Tự luận BÀI GIẢNG :GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 0D6- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung trịn, độ dài cung trịn a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian rađian cịn viết tắt rad Vì tính thơng dụng đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo cung góc b) Độ dài cung tròn Quan hệ độ rađian: a ( £ a £ 2p) a0 ( £ a £ 360) Cung trịn bán kính R có số đo , có số đo có độ dài l thì: pa a a l = Ra = R = 180 p 180 ỉ 180 p ữ rad = ỗ rad ữ , 10 = ỗ ỗ ữ 180 ốp ứ c biệt: Góc cung lượng giác a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ gọi chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ chiều âm) b) Khái niệm góc, cung lượng giác số đo chúng Ou, Ov cắt đường v Cho đường tròn định hướng tâm O hai tia + tròn U V Tia Om cắt đường tròn M , tia Om chuyển động V theo chiều(âm dương) quay quanh O điểm M chuyển động theo chiều đường tròn M O m Tia Om chuyển động theo chiều từ Ou đến trùng với tia Ov ta nói tia Om qt góc lượng giác tia đầu U u Ou , Ov ( ) Ou , tia cuối Ov Kí hiệu Điểm M chuyển động theo từ điểm U đến trùng với điểm V Ð ta nói điểm M vạch nên cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối V Kí hiệu UV Tia Om quay vịng theo chiều dương ta nói tia Om quay góc 360 (hay ), quay hai 0 vịng ta nói quay góc 2.360 = 720 (hay 4p ), quay theo chiều âm phần tư vòng ta nói p 25 quay góc - 90 (hay ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vịng) nói quay góc 25 50p 3600 7 )… (hay ( Ou, Ov) số đo cung lượng giác UV Ta coi số đo góc lượng giác c) Hệ thức Sa-lơ Với ba tia Ou, Ov , Ow tùy ý ta có: Ð Sđ ( Ou, Ov) + Sđ ( Ov , Ow) = Sđ ( Ou, Ow) + k 2p ( k ẻ Â ) S ( Ou, Ov) - Số điện thoại : Sđ ( Ou, Ow) = Sđ ( Ow , Ov) + k 2p ( k Ỵ ¢ ) Trang -1- Tự luận BÀI GIẢNG :GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC B- CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN Dạng toán Mối liên hệ độ rad Phương pháp áp dụng a Dùng công thức: 180 Trong đó: đo radian góc cung a số đo độ góc cung Chú ý: Có thể dùng máy tính bỏ túi tính nhanh Lưu ý Câu Đổi góc có số đo 60 30 sang radian Lời giải tham khảo 60 30 60,5 Áp dụng công thức đổi độ rad : 60,5. 121. 180 360 1.1 Đổi góc có số đo 108 sang radian Lời giải 108. 3 180 1.2 Đổi góc có số đo 60 40 sang radian Lời giải 2 60 40 60 3 2 60 91 3 180 270 1.3Đổi góc có số đo 120 sang radian 1.4 Đổi góc có số đo 110 20 sang radian Lời giải Lời giải 120. 180 Câu Đổi góc có số đo sang độ Lời giải tham khảo 180 180 a 30 Số điện thoại : Trang -2- 1 110 331 3 180 540 Lưu ý Tự luận BÀI GIẢNG :GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 2.1 Đổi góc có số đo 5,34 sang độ Lời giải a 180 a 60 5,34.180 305, 959 2.3 Đổi góc có số đo Lời giải a 2.2Đổi góc có số đo sang độ Lời giải 5 sang độ 2.4 Đổi góc có số đo 11, sang độ Lời giải a 5 180 150 11, 2.180 641, 713 Dạng tốn Bài tốn lên quan đến góc cung lượng giác Chú ý: Số đo cung lượng giác có dạng: k 2 ; k Z Số đo góc ln đưa dạng: k 2 ; k Z cho gọi số đo hình học góc Lưu ý k 2 Câu Tìm giá trị k để cung thỏa mãn 10 11 Lời giải tham khảo 10 11 10 k.2 11 19 21 k 2 2 19 21 k 4 k 5 7 a k 2 k Z a k 2 k Z 1.1 Cho Tìm giá trị k để 1.2 Cho , tìm góc a thỏa a 19; 27 mãn a Lời giải 19 k 2 27 k Z k = 3; 4 Lời giải 7 k 2 0 k Z Ta có 0 k k Z Số điện thoại : Trang -3- Tự luận BÀI GIẢNG :GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 7 k 2 12 k 1 k 7 a 2 = 6 Vậy k 2 1.3 Tìm giá trị k để cung thỏa mãn 10 11 Lời giải k 2 11 10 11 19 21 19 21 k 2 k 2 4 k 5 137 Tìm 1.5 Biết góc lượng giác có số đo Ou, Ov số đo dương nhỏ góc Lời giải 137 27, 4 0, 6 28 Ou, Ov 0, 6 Vậy số đo dương nhỏ góc Ox, Oy 22o30 ' k 360o Với k Ox, Oy 1822o30 ' ? nhiêu 1.4.Cho bao Lời giải Ox, Oy 1822o30 ' 22o30 ' 5.360o k 5 10 1.6 Biết góc lượng giác có số đo 2018 Tìm số đo hình học Lời giải 19 71 2018 11 12 90 90 71 Vậy số đo hình học 90 Dạng tốn Câu hỏi liên quan đến độ dài cung Phương pháp áp dụng Với đường trịn bán kính R, ta có: l Cung có độ dài l có số đo radian là: R Cung có số đo radian có độ dài là: R πRR Chú ý: Đường trịn có số đo radian là: R = 2 Câu Một đường trịn có bán kính 15 cm Tìm độ dài cung trịn có góc tâm 30 Lưu ý Lời giải tham khảo a l R R 180 Theo công thức tính độ dài cung trịn ta có a 30 5 l R 15 180 180 Nên: 1.1Cho đường trịn có bán kính 6cm ,tìm số đo ( rad ) cung có độ dài cm Số điện thoại : Trang -4- 1.2 Cung trịn bán kính 8, 43 cm Tìm độ dài cung có số đo 3,85 rad Tự luận BÀI GIẢNG :GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Lời giải Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có a l R R 180 l 0,5 R Nên: 10 R cm 1.3Một đường trịn có bán kính Tìm độ dài cung đường trịn Lời giải Áp dụng cơng thức ta có độ dài cung là: ao 10 R 90 5cm 180 180 1.5Một đường trịn có bán kính 20 cm Tìm độ dài Lời giải l R. 8, 43.3,85 32, 4555 cm 1.4 Một đường trịn có bán kính R 10 cm Tính độ o dài cung 40 đường trịn Lời giải Độ dài cung có giá trị : ao R 40.10 7 cm 180 180 1.6 Một đường trịn có bán kính 6cm , tìm độ dài cung đường trịn cung đường trịn có số đo 15 (tính gần Lời giải đến hàng phần trăm) Áp dụng công thức: Lời giải 2 12 l R 6 7,54 cm 5 rad 12o Độ dài cung 15 đường tròn ao R 12.20 4,18cm 180 tính cơng thức: 180 Dạng tốn Biểu diễn cung lên đường trịn lượng giác Chú ý: Một góc lượng giác có số đo a (hay rad) góc lượng giác tia đầu, tia cuối với có số đo dạng a k 360 (hay 2k ), k , góc ứng với giá trị k Hai góc(cung) lượng giác có số đo x m 2 y n 2 biểu diễn đường trịn lượng giác có điểm cuối trùng k 2 có nghiệm m, n, k A 1;0 Câu Chọn điểm làm điểm đầu cung lượng giác đường trịn lượng giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo 25 Lời giải tham khảo 25 Cung AM có số đo , ta có: AM 25 6 4 Vậy điểm M biểu diễn cung lượng giác cho nằm góc Số điện thoại : Trang -5- Lưu ý Nếu cung(góc) lượng giác có A 0;1 điểm dầu Để tìm vị trí điểm cuối cung(góc) ta tìm số đo hình học cung(góc) cho từ tìm vị trí điểm cuối biểu diễn cung(góc) lượng giác Tự luận BÀI GIẢNG :GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC phần tư thứ 1.1 Có điểm M đường trịn định 1.2 Có điểm M đường tròn định Ð Ð k k AM ,k Z AM ,k Z 3 A hướng gốc thoả mãn sđ ? hướng gốc A thoả mãn sđ ? Lời giải Lời giải k k 0, AM 2 3; 2 1 k k 1, AM 0 2 ; 3 1 k 2, AM k ; 2 Có giá trị k Z thỏa mãn Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán 4 k 3, AM ; 5 k 4, AM ; k 5, AM 2 ; 7 k 6, AM Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán 1.3 Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng): 5 25 19 , 3, , Tìm cung có điểm cuối trùng Lời giải 5 7 25 8 2 6 3 ; ; 19 7 2 6 ; cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng 1.4 Cho góc lượng giác có số đo 6 11 9 31 Hỏi số ; ; ; số số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối OA, OB ? với góc lượng giác Lời giải 6 4 11 2 2 5 Ta có: ; ; OA, OB 9 31 2 6 5 ; 31 Do có góc có số đo thỏa mãn yêu cầu toán 5 A 1;0 Ox, Ou m2 1.5Trên đường tròn lượng giác gốc cho 1.6 Cho hai góc lượng giác : , 7 13 5 ; ; Tìm cung m Z Ox, Ov n2 n Z cung có số đo: ; ; , có điểm cuối trùng nhau? Hỏi hai góc lượng giác nói có tia cuối trùng Lời giải hay không? Số điện thoại : Trang -6- Tự luận BÀI GIẢNG :GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Lời giải 7 2 4 13 5 2 4 5 3 2 4 5 m2 n 2 Ox, Ou Ox, Ov 2 m2 n 2 m n 2k m; n; k Do hai cung lượng giác cho có điểm cuối trùng 7 có điểm cuối Suy có hai cung trùng Dạng toán Toán thực tế, ứng dụng liên môn Lưu ý Câu 1.Trong 20 giây bánh xe xe gắn máy quay 60 vịng.Tính Chu vi đường trịn bán kính độ dài qng đường xe gắn máy vòng phút, biết R là: 2 R bán kính bánh xe gắn máy 6,5 cm (lấy 3,1416 ) Lời giải tham khảo a l R R 180 nên Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có 60.180 540 Trong phút bánh xe quay 20 vòng, bánh xe lăn được: l 6,5.540.2 6,5.540.2.3,1416 cm 22054 cm 1.1 Một đồng hồ treo tường, kim dài 10,57 cm kim phút dài 13,34 cm Tìm độ dài mũi kim vạch lên cung tròn 30 Lời giải Trong 30 phút mũi kim chạy đường trịn có bán kính 10,57 cm cung có số đo 24 nên độ dài đoạn đường mũi kim 10,57 2, 77 cm 24 72 1.3Một bánh xe có Tính số đo góc(độ) mà bánh xe quay di chuyển 10 Lời giải 72 có chiều dài 2pR nên 10 có chiều 10.2pR 5p l= = R 72 18 dài pR l 18 l = Ra Û a = = = p R R 18 Theo công thức Đổi sang Số điện thoại : số đo độ Trang -7- ta có: 1.2 Một xe tơ có đường kính bánh xe 120cm Tính xem km, bánh xe quay vịng Lời giải Bánh xe có chu vi là: 2 60 377 cm Số vòng quay bánh xe sau lăn bánh 1km là: 105 265 377 Vậy km bánh xe quay khoảng 265 vòng 1.4 Bánh xe đạp người xe đạp quay vòng giây Hỏi giây, bánh xe quay góc độ Lời giải Trong giây bánh xe đạp quay 2.2 = 5 vòng Tương ứng bánh xe quay cung có độ dài l = 2pR = pR 5 Tự luận a= BÀI GIẢNG :GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 180a = p pR l l = Ra Û a = = = p R R Ta có p 18 = 50° p 180 Vậy bánh xe di chuyển 10 bánh xe quay góc 50 BÀI TẬP TỰ LUYỆN MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN Bài 2p 3p 5p 9p 7p 13p 3p 15p p , , , , , ,, 2, , 3 15 Đổi số đo cung sau độ, phút, giây: Bài Đổi số đo góc sau radian Bài Đổi số đo độ cung trịn sau thành số đo radian (chính xác đến phần nghìn): 21030', 75054', 12036' , 15030', - 105045'30'', 27038'49'' ( rad) : 900, 360, 150, - 720, 2700, 2400, 5400, - 7500, 210 Bài ( rad) 2,5p Đổ số đo radian cung tròn sau số đo độ (chính xác đến phút): p Bài Điền giá trị thích hợp vào ô trống 00 150 300 450 600 750 900 1200 1500 1800 p 16 p p 5p 12 p 2p 3p 5p p 4p Radian 7p Độ p 12 - 5p p 2p 3p 1350 - 500 8100 TÍNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Bài 10( cm) Một đường trịn có bán kính Tính độ dài cung có số đo 2p p 3p 7p 13p 3p , , , , , - 2p, , 450, ( rad) , 750 18 Số điện thoại : Trang -8- Tự luận Bài Bài Bài BÀI GIẢNG :GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Kim đồng hồ dài 30 phút 7( cm) , kim phút dài 10( cm) Tính quãng đường kim phút, kim 55( cm) 40( km/h) Bánh xe có đường kính (tính lốp) Nếu xe chạy với vận tốc giây bánh xe quay bao nhiều vòng ? 1,75( m) 1,26( m) Kim phút kim đồng hồ lớn nhà Bưu Điện Hà Nội theo thứ tự dài Hỏi 15 phút, mũi kim phút mũi kim vạch cung trịn có độ dài mét ? BIỂU DIỄN NGỌN CUNG LƯỢNG GIÁC Bài 10 0 0 Biểu diễn góc sau lên đường tròn lượng giác gốc A: 30 , - 45 , 120 , - 120 , 330 , 7p 4p 15p 2010p 6300, 7500, - 12500, , , - 7500, 11250, , 4 Bài 11 p p p k2p, kp, k , k , k , ( k ẻ Â ) Xỏc nh điểm cuối cung có số đo: Bài 12 Xác định điểm họ nghiệm sau trờn ng trũn lng giỏc vi k ẻ Â 1/ x = kp 2/ 3/ x = 4kp 5/ 7/ 9/ x =- 4/ p + k2p x= kp x= p k3p + 4 6/ 8/ 10/ x= p + k2p x= p + kp x =- p + kp x= p k2p + 3 x= p kp + Ð Bài 13 Ð p kp sđ AM = sđ AN = v 798 vi k ẻ Â Tỡm k Î ¥ để: Cho hai điểm M N cho 1/ M trùng với N Bài 14 2/ M đối xứng với N qua tâm O 35p mp Hai góc lượng giác có số đo radian với m số nguyên có tia đầu tia cuối hay không ? Số điện thoại : Trang -9-