55 một số phương trình, bpt qui về bậc hai (in cho hs)

Bài 5.3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Dạng tốn 1: Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương: ax  bx  c 0, ( a 0) () 2 — Đặt t x 0 thì ()  at  bt  c 0 () — Để xác định số nghiệm của (), ta dựa vào số nghiệm của () và dấu của chúng, cụ thể:  (**) v« nghiƯm    (**) cã nghiƯm kÐp ©m  (**) cã nghiƯm ©m  Để () vơ nghiệm  (**) cã nghiƯm kÐp t1=t2 =0 Û×  × (**) có nghiệm 0, nghiệm lại âm (  )  Để có nghiệm   () cã nghiƯm kÐp d ¬ng   (  ) cã nghiƯm tr¸i dÊu (  )   Để có nghiệm phân biệt  Để () có nghiệm  () có nghiệm và nghiệm cịn lại dương  Để () có nghiệm  () có nghiệm dương phân biệt b Có hai nghiệm phân biệt Bài 1: Cho phương trình: x   m   x  m 0 (1) Tìm m để phương trình: a.Có nghiệm b Có hai nghiệm phân biệt c.Có ba nghiệm phân biệt d.Có bốn nghiệm phân biệt Lời giải tham khảo Đặt t x với điều kiện t 0 Khi đó, phương trình biến đổi dạng: t   m   t  m 0 (2) a Phương trình (1) có nghiệm S 0  P 0  (2) có nghiệm t1  = t2   m  0   m 0 , vô nghiệm Vậy, không tồn m thoả mãn điều kiện đầu c Có ba nghiệm phân biệt d Có bớn nghiệm phân biệt  m  1 x Bài 1.1: Cho phương trình  x  0 b) Phương trình (*) có nghiệm (*) Tìm m để a) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt b) Phương trình (*) có nghiệm  Giải a) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt Dạng tốn 2: Phương trình chứa GTTĐ Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, ta tìm cách khử dấu trị tuyệt đối cách: dùng  A A 0 A  ,  A A   định nghĩa hoặc bình phương vế hoặc đặt ẩn phụ Loại 1:  B 0  A B    A B   A  B  hoặc sử dụng định nghĩa:   A 0   A B A B    A      A B  A B A B    A  B  Loại 2: Loại 3: a A  b B C dùng phương pháp chia khoảng để giải Bài 2: Giải phương trình sau x  x  4 x  17 ) b a) 2x   x  3x   Giải Bài 2.1: Giải phương trình sau: a) b ) x  x  x  3 x3 x   Giải Lập bảng xét dấu x  x x   x +  x2  x    2x  4:    +  +  + Trường hợp 1: Với x 0 x 2 , phương trình có dạng: x  x   x   3  x  x  0 3 (loại) Trường hợp 2: Với  x  , phương trình có dạng:   x     x 1  x  x   x   3  x  x  0 0  1 Trường hợp 3: Với x 2 , phương trình có dạng: x  x  x  3  x  x  0  x  x  0 x x2  x   29 Vậy nghiệm phương trình là: x x 5 29   x  2 x c)  x x  x  x  x Gợi ý: Viết lại phương trình dạng: x   x   x   x  x  x 0 (1) Đặt t  x  3x , điều kiện t 0 Khi đó, phương trình (1) biến đổi dạng: t   x   t  x 0 (3) Chú ý: Trong số trường họp ta giải phương trình chứa GTTĐ cách sử dụng tính chất GTTĐ Ta sử dụng các tính chất sau: TÝnh chÊt 1: Ta có: a  b  a  b  ab 0  a 0 a  b a  b   b 0 TÝnh chÊt 2: Ta có:  a 0 a  b a  b   b 0 TÝnh chÊt 3: Ta có: a  b  a  b  b  a  b  0 TÝnh chÊt 4: Ta có: với lược đồ thực hiện theo các bước: B-íc 1: Đặt điều kiện có nghĩa (nếu cần) cho các biểu thức phương trình B-íc 2: Biến đổi phương trình tính chất biết B-íc 3: Giải ( hoặc biện luận) phương trình đại sớ nhận B-íc 4: Kết luận Bài 2.2: Giải phương trình,bpt: a) b) x  x   x  x 3  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Viết lại phương trình dạng: x2  x   x  x  x  4x   x  x   x  x  0   Tính chất     x  x 0   2x2  3x   x2  5x  2x    x 1   x 4  0;1   3;  Vậy, nghiệm phương trình    Cách 2: Viết lại phương trình dạng:    x2  x   x  x  x  4x   x  4x    x 3   x  x  0    x 1    x 4 Tính chaát      x  x 0  x 1   x 4  0;1   3;  Vậy, nghiệm phương trình    Dạng tốn 3: Bất phương trình chứa GTTĐ  f ( x)  g( x)  f ( x )  g( x ) f ( x )   g( x )   Loại 1:   f ( x) 0    f ( x)  g( x)   f ( x)   g( x)   g( x )     f ( x)  g( x)  f ( x)  g ( x)   f ( x )  g( x )  g ( x )  f ( x )  g ( x ) Loại 2:   Hoặc   Bài : Giải bất phương trình sau : a) Hoặc  g( x)     g( x) 0   f ( x)  g ( x)  b) x   x2  x  0 x   2x  Bài 3.1: Giải bất phương trình sau: | x  x | 3 b) x | x  5|  | x  2| a x  5x   c) x2  x   0 | x  x  2|  2 Dạng toán 4: Bất phương trình chứa dấu  f ( x) 0  f ( x )  g ( x )   g( x )    f ( x)   g( x)  Loại 1:   g( x)     f ( x) 0 f ( x )  g( x )    g( x) 0     f ( x)   g( x)     Loại 2: Bài : Giải bất phương trình sau : b) x  3x  10  x  2 a) x  x  12   x b) ( x  3)(8  x)  26   x  11x Bài 4.1: Giải bất phương trình sau: ) x   x  1 a Dạng 5: Phương trình , bất phương trình vô tỷ Phương pháp 1: Nâng luỹ thừa  B 0 A B    A B A  B      A  B  A B2  A 0 (hay B 0)    A B 3  A B  A B Bài 5: Giải phương trình sau: b x  1  x b x4  a x  = x  Bài 5.1: Giải phương trình sau: a  x   2x  x  x  1 Phương pháp 2: Sử dụng ẩn phụ Bai 5.2: Giải phương trình sau: b)  x     x  3 x  3x a) x  x  11 31  Giải a) Đặt t  x  11, t 0 Khi phương trình cho trở thành:  t 6 tt2   42 0    t  Vì tt0  6 , thay vào ta có x  11 6 x  11 36  x 5 Vậy phương trình có nghiệm x 5 c) x  3x  + x  3x  =  d)  3x   x  4 x   x  x  1 x  9 x   x x e) Bài 5.3: Giải bất phương trình: a) (x + 1)(x + 3)  x2  4x  b) ( x  1) x  3( x  1) Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Bài 5.4: Giải phương trình a) x  3x  x  Lời giải ĐKXĐ: x  Phương trình   27  x    x   x  31x  80 0 b) 60  24 x  x x  x  10 t  x   t 0  Đặt phương trình trở thành 2  27 tt  3x x 31  80 0  3x  16 x5 t1  ,t  t  18 x  93  Có suy  3x  16  x3  Vô nghiệm  x  16 0 vì với x  thì x5  x  x  0  x 1 hoặc x  Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 và x   c) x3   x     x   12  x  28  x Bài 5.5: Giải bất phương trình sau: 2 b) x - 2 x x  2x a) x2 + 4x  (x + 4) x  x  Giải a)Đặt t = x  x  , bất phương trình có dạng f  x   x -  t -  x - 4t 0 (1) coi vế trái tam thức bậc hai theo x, ta có   tt-   16t   4  x   x t f(x) = có nghiệm  Tức (1) biến đổi thành dạng x    x - t  0   x   ( x    x  0    x  x  x  0    x  0   x  x  x  0     x     x 0  0 x  x  x   x   x  x  4) 0   x     x  x  x    x    x  x  x  0     x 2   x  Vậy bất phương trình có nghiệm x  (  ; - 4]  [2;  ) Phương pháp 4: Phân tích thành tích cách nhân liên hợp Để trục thức ta nhân với các đại lượng liên hợp;  A B  A B  A B A B  A B A B 3 A  B  A  B     A  A B  B  A  A B  B 3 3 3 3 2    A B  A 3 A3 B  B Với A, B không đồng thời không Bài 5.6: Giải phương trình sau  x  1   b) x   x 2 x  20   2x a) Lời giải tham khảo    x 0  x       x  x 1 a) ĐKXĐ: Phương trình    2x  x  20     2x     2x   x  1  10  x   x   x  20  x  1 2 2   2x   10  x   x 2  x  20   x 5  x 9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có ngjiệm x 9  2 c) ( x  3) x  x  x  2 d) x  x   x  15  10 Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Phương pháp giải: Dạng 1: Khi gặp phương trình có chứa các đại lượng a  f  x , f  x và b  f  x (hoặc b  f  x ) thì  g  u; v  c  u  a  f  x , v  b  f  x v  b  f  x u  v a  b ta đặt (hoặc ) và đưa hệ phương trình  (hoặc  g  u; v  c  2 u  v a  b ) Giải hệ tìm u, v từ giải phương trình u  a  f  x  hoặc v  b  f  x  tìm x Dạng 2: Khi gặp phương trình có thể đưa dạng cách đặt t  f  x  , y  n af  x   b ta có hệ Bài 5.7: Giải phương trình sau a) 20  x  16  x 6 Lời giải a) ĐKXĐ: x 16  u  20  x  v  16  x Đặt  suy u  36 , v 0 và u3  v 36 Khi phương trình trở thành u  v 6 Ta có hệ phương trình u  v 6  v 6  u    2 u  v 36 u  (6  u) 36  v 6  u  u(u  u  12) 0 (*)  u 0    u 3  u  Phương trình (*) thỏa mãn u  36 Với u 0   20  x  x  20 , f n  x   b a n af  x   b ta đưa hệ đối xứng loại n t  b ay  n  y  b at b)  x    4  x   2 u 3   20  x  x 7 và u     20  x  x  84 11 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x  20; x  84; x 7 c) x  x    x x  x  2 d)  x x Dạng toán 5: Phương trình , bất phương trình dạng khác quy bậc hai Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai e d   0 a ax  bx  cx  dx  e   b Loại với    t x   t  x   x x  với    Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 0, đặt d   b Loại ( x  a)( x  b)( x  c )( x  d) e với a  c b  d   Phương pháp giải:  ( x  a)( x  c )  ( x  b)( x  d)  e   x  ( a  c)x  ac   x  (b  d)x  bd  e và đặt t x  ( a  c )x Loại ( x  a)4  ( x  b)4 c   Phương pháp giải: Đặt Bài 6: Giải phương trình sau: a) x  x  x + 0 x tt ab a b  (t   )4  (c   )4    2 với b) x  x -   x    x    -12 12  x  2   x  6 c) 32 13