Soan bdt gv

BÙI THỊ VÂN ANH - NV 41-BẤT ĐẲNG THỨC – TỰ LUẬN - GV BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC 4.1.1 CÁC CÂU HỎI CHƯA PHÂN DẠNG – DÙNG ĐỊNH NGHĨA Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta sử dụng cách sau:  Ta chứng minh A - B ³ Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng tích biểu thức không âm  Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh Câu 1: Cho số thực a,b,c Chứng minh Lưu ý: ab £ bất đẳng thức sau: Lời giải tham khảo: a2 + b2 a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 ³ 2 Ta có Þ a + b ³ 2ab Đẳng thức Û a = b 1.1) ỉ a + bữ ab Ê ỗ ữ ỗ ữ ỗ ø è 1.2)  a  b  c   a  b  c  Lời giải: BĐT tương đương Lời giải: Bất đẳng thức tương đương với  a  b  c  a  b  c  2ab  2bc  2ca ổ a + bử ữ ỗ ữ ỗ ữ - ab ỗ ứ ố 2   a  b    b  c    c  a  0 Đẳng thức xảy Û a = b = c  a  2ab  b 4ab   a  b  0 (đúng) ĐPCM (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy Û a = b  a  b  c 1.3) 1.4) Cho năm số thực a,b,c,d,e Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e) 3  ab  bc  ca  Lời giải: BĐT tương đương Lời giải: a  b  c  2ab  2bc  2ca 3  ab  bc  ca  Ta có : 2   a  b2  c    ab  bc  ca  0 2   a  b    b  c    c  a  0 ĐPCM Đẳng thức xảy Û a = b = c (đúng) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) a2 a2 = ( - ab + b2) + ( - ac + c2) 4 a2 a2 + ( - ad + d ) + ( - ae + e2) 4 a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d)2 + ( - e)2 ³ Þ 2 2 đpcm Đẳng thức xảy Û b=c =d =e= 1 + ³ Câu 2: Cho ab ³ Chứng minh : a + b + 1 + ab Lời giải tham khảo: Ta có 1 1 + =( ) +( ) a + b + 1 + ab a + 1 + ab b + 1 + ab ab - a2 ab - b2 a- b b a = + = ( ) (a + 1)(1 + ab) (b + 1)(1 + ab) + ab + b + a2 a - b b - a + a2b - b2a = + ab (1 + b2)(1 + a2) a - b (a - b)(ab - 1) (a - b)2(ab - 1) = ³ + ab (1 + b2)(1 + a2) (1 + ab)(1 + b2)(1 + a2) (Do ab ³ 1) Lưu ý: Câu 3: Cho số thực x Chứng minh : x + ³ 4x = Lời giải tham khảo: Bất đẳng thức tương đương với x - 4x + ³   x  1  x3  x  x  3 0   x  1 x  x   0 2   x  1   x  1  1 0   (đúng với số thực x ) Đẳng thức xảy x 1 3.1) x   x  x Lời giải: Bất đẳng thức tương đương với x  x  x   2  x  x   x  x     x  1   x    x Ta có 2 2  1 0,  x   0   x  1   x   0  x  0  x  0 Đẳng thức xảy  (không xảy ra) x Suy 2  1   x    ĐPCM 12 3.2) x  x   x  x Lời giải: 12 Bất đẳng thức tương đương với x  x  x  x   x12  x  x  x   x12  x   x     x  x  + Với : Ta có 12 Vì x  nên  x  0,  x  x  x  x  x   Lưu ý: a     x12  x9  x  x   x9 x   x x3   + Với x 1 : Ta có 12 Vì x 1 nên x - ³ x - x + x - x + > 12 Vậy ta có x + x + > x + x Câu 4: Cho a,b số thực Chứng minh rằng: a4 + b4 - 4ab + ³ Lời giải tham khảo: BĐT tương đương với Û ( a2 - ( a4 + b4 - Lưu ý: 2a2b2 ) + ( 2a2b2 - 4ab + 2) ³ b2 ) + 2( ab - 1) ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = ±1 2( a4 + 1) + ( b2 + 1) ³ 2( ab + 1) 4.1) Lời giải: BĐT tương đương với Û ( a4 + b4 - 2( a4 + 1) + ( b4 + 2b2 + 1) - 2( a2b2 + 2ab + 1) ³ 2a2b2 ) + ( 2a2 - 4ab + 2b2 ) + ( a4 - 4a2 + 1) ³ Û (a2 - b2)2 + 2(a - b)2 + (a2 - 1)2 ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = ±1 4.2) ( ) 3( a2 + b2 ) - ab + ³ a b2 + + b a2 + Lời giải: BĐT tương đương với ( ) 6( a2 + b2 ) - 2ab + - a b2 + + b a2 + ³ Û é a2 - 4a b2 + + 4( b2 + 1) ù + éb2 - 4b a2 + + 4( a2 + 1) ù + a2 - 2ab + b2 ) ³ ê ú ú ë û ê ë û ( Û (a- ) ( ) 2 b2 + + b - a2 + + ( a - b) ³ (đúng) Đẳng thức không xảy Câu 5: Cho hai số thực 4( x3 - y3 ) ³ x, y ( x - y) Lưu ý: thỏa mãn x ³ y Chứng minh rằng: Lời giải tham khảo: Bất đẳng thức tương đương Û Û 4( x - y ) ( x2 + xy + y2 ) - ( x - y ) éêë4( x2 + xy + y2 ) - ( x - y ) ( x - y ) éë3x2 + 3xy + y2 ùû³ ( x - y) ù³ ú û éỉ y ư2 3y2 ù ỳ ỗx + ữ 3( x - y ) ữ ờỗ ữ + ỳ ỗ è ø ê ú ë û (đúng với x ³ y ) ĐPCM 3 5.1) x - 3x + ³ y - 3y ³ Lời giải: 3 Bất đẳng thức tương đương x - y ³ 3x - 3y - Theo ta có x3 - y3 ³ Thật vậy, BĐT (*) Û (x- 3 1 ( x - y) ( x - y ) ³ 3x - 3y - 4 , ta cần chứng minh : (*) ( x - y) Û - 12( x - y ) + 16 ³ y - 2) é (ë x - y ) + 2( x - y ) - 8ùúû³ Û ê (x- y - 2) (x- y + 4) ³ x ³ y ) Đẳng thức không xảy (đúng với 4.1.2 CÂU HỎI LÝ THUYẾT Các tính chất bất đẳng thức: * a > b b > c Þ a > c * a > b Û a +c > b +c * a > b c > d Þ a + c > b + d * Nếu c > a > b Û ac > bc ; Nếu c < a > b Û ac < bc * a >b³ 0Þ a> b 2 * a ³ b³ 0Û a ³ b n n *a > b ³ Þ a > b * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng (a- 1) ù é ëa; b ỷị 2) ự a,b,c ẻ ộ ởa; b ỷị a ) ( a - b) £ (a- Câu 1: Cho hai số thực ( *) a ) ( b - a ) ( c - a ) + ( b - a ) ( b - b) ( b - c ) ³ 0( * * ) x, y thỏa mãn x ³ y 4( x3 - y3 ) ³ ( x - y) Chứng minh rằng: Lời giải tham khảo: Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a + b > c Þ ac + bc > c2 2 Tương tự : bc + ba > b ; ca + cb > c Lưu ý: Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT | a - b |< c bình phương hai vế ta có kết Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Câu 2: Cho a,b,c Ỵ [0;1] Chứng minh : a2 + b2 + c2 £ + a2b + b2c + c2a Lưu ý: Ta dùng chứng minh tương đương: BĐT cần chứng minh tương đương với Lời giải tham khảo: a2 ( - b) + b2 ( - c ) + c2 ( 1- a ) £ Vì a,b,c Ỵ [0;1] Mà Þ (1 - a2)(1- b2)(1- c2) ³ ù a,b,c Ỵ é ë0;1û 2 Û + a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2b2c2 ³ a2 + b2 + c2 (*) Þ a £ a,b £ b,c £ c a2 ( 1- b) + b2 ( - c ) + c2 ( - a ) 2 a b c ³ ; Ta có : £ a ( 1- b) + b( 1- c ) + c ( - a ) a2b2 + b2c2 + c2a2 £ a2b + b2c + c2a nên từ (*) ta suy Ta cần chứng minh a ( - b) + b( 1- c ) + c ( 1- a ) £ a2 + b2 + c2 £ + a2b2 + b2c2 + c2a2 £ + a2b + b2c + c2a ù a,b,c Ỵ é đpcm ë0;1û Thật vậy: nên theo nhận ( * * ) ta có abc + ( - a ) ( - b) ( - c ) xét ³ Û a + b + c - ( ab + bc + ca ) £ Û a ( 1- b) + b( - c ) + c ( - a ) £ BĐT ban đầu chứng minh 4.1.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Định lý: Với hai số không âm a, b, ta có: a+b  √ ab (thường viết a + b  dấu đẳng thức xảy a = b Mở rộng √ ab ), a+b+c 3 Với số a, b, c khơng âm, ta ln có:  √ abc thường viết: a + b + c  √ abc (a + b + c)3  27abc.abc Dấu đẳng thức xảy a = b = c a +a2 + .+an ⏟ n sè h¹ ng Với n số ai, i = 1,n khơng âm, ta ln có: dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt cơsi số phải số khơng âm n a1 a2 an n √⏟ n sè h ¹ng * BĐT côsi thường áp dụng BĐT cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu ‘=’ số Câu 1: Cho a,b số dương thỏa mãn a2 + b2 = ỉ a b ưỉ a bử ỗ ỗ + ữ + 2ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗb a ứố ỗb ố ø a ÷ Lưu ý: Chứng minh: Lời giải tham khảo: Áp dụng BĐT cơsi ta có a b a b a b a b + ³ = 2, + ³ 2 = b a ba b a b a ab æ a b ửổ a bử ỗ ỗ + ữ + 2ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç a ø ab (1) Suy èb a øèb 2 2 Mặt khác ta có = a + b ³ a b = 2ab Þ ab £ (1) ỉ a b ưỉ a bử ỗ ỗ + ữ + 2ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗb a ứố ỗb è ø a Từ (1) (2) suy ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = 1.1) ( a + b) ³ 16ab ( + a2 ) ( + b2 ) Lời giải: ( a + b) Ta có = ( a2 + 2ab + b2 ) ( a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 ) Áp dụng BĐT cơsi ta có a2 + 2ab + b2 ³ 2ab( a2 + b2 ) = ab ( a3 + 3ab2 ) + ( 3a2b + b3 ) ³ ( a3 + 3ab2 ) ( 3a2b + b3 ) = ab( + b2 ) ( a2 + 1) ( a2 + 2ab + b2 ) ( a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 ) ³ 16ab ( a2 + 1) ( b2 + 1) Suy ( a + b) Do ³ 16ab ( + a2 ) ( + b2 ) ĐPCM Đẳng thức xảy Câu 2: Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: Lời giải tham khảo: Áp dụng BĐT cơsi ta có: a+ ổ 1ửổ 1ửổ 1ử ỗ a+ ữ b+ ữ c+ ữ ữỗ ữỗ ữ ỗ ỗ ỗ ữỗ ữỗ ç è bøè c øè a÷ ø a b c ³ , b+ ³ , c + ³ b b c c a a ổ 1ữ ửổ 1ửổ 1ử a b c ỗ ỗ ç a+ ÷ b+ ÷ c+ ÷ ³ =8 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ç ç ç è b ø è c øè a ø b c a Suy ĐPCM a = b = c Đẳng thức xảy Lưu ý: 2 2 2 2.1) a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc Lời giải: 2 Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: + a ³ a = 2a , tương tự ta có + b2 ³ 2b, + c2 ³ 2c a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ³ 2( a2b + b2c + c2a ) Suy Mặt khác, áp dụng BĐT cơsi cho ba số dương ta có a2b + b2c + c2a ³ a2bb 2cc 2a = 3abc 2 2 2 Suy a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c = ( ) 2.2) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ + abc Lời giải: (1 + a)(1 + b)(1 + c) = + ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) + abc Ta có Áp dụng BĐT cơsi cho ba số dương ta có ( ab + bc + ca ³ 33 abbcca =3 ) abc ( (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ + 3 a + b + c ³ abc abc Suy Đẳng thức xảy a = b = c ) + 33 abc + abc = ( + abc ) ĐPCM 2 3 2.3) a bc + b ac + c ab £ a + b + c Lời giải: Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dương ta có ỉ ỉ ỉ b+cư a +cư a + bư ÷ ÷ ữ a2 bc Ê a2 ỗ ữ, b2 ac Ê b2 ỗ ữ, c2 ab Ê c2 ỗ ữ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ø ç ø è ø è è a2 bc + b2 ac + c2 ab £ a2b + b2a + a2c + c2a + b2c + c2b (1) Suy Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có a3 + a3 + b3 b3 + b3 + a3 a3 + a3 + c3 , ba £ ,ac £ , 3 c3 + c3 + a3 b3 + b3 + c3 c3 + c3 + b3 c2a £ , bc £ ,cb£ 3 2 2 2 3 a b + b a + a c + c a + b c + c b £ 2( a + b + c3 ) a2b £ Suy (2) 2 3 Từ (1) (2) suy a bc + b ac + c ab £ a + b + c Đẳng thức xảy a = b = c 2 Câu 3: Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = 2 Chứng minh rằng: a b + b c + c a £ Lời giải tham khảo: Lưu ý: ( a2 + b2 + c2 ) Ta có = Û a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2b2 = Áp dụng BĐT cơsi ta có 2 4 2 4 (1) 2 a + b ³ 2a b , b + c ³ 2b c , c + a ³ 2c a 4 2 2 2 Cộng vế với vế lại ta a + b + c ³ a b + b c + c a (2) 2 2 2 Từ (1) (2) ta có a b + b c + c a £ (3) Áp dụng BĐT cơsi ta có a2 + a2b2 ³ a2.a2b2 = 2a2b , tương tự ta có b2 + b2c2 ³ 2b2c, c2 + c2a2 ³ 2c2a Cộng vế với vế ta a2 + b2 + c2 + a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ 2( a2b + b2c + c2a ) 2 (4) Từ giả thiết (3), (4) suy a b + b c + c a £ ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c = ab bc ca + + £ 2 3+a 3+b 3.1) + c Lời giải: Áp dụng BĐT cơsi ta có + a2 = + ( - b2 - c2 ) = ( - b2 ) + ( - c2 ) ³ Þ ( 3- b2 ) ( - c2 ) bc bc b2 c2 1ổ b2 c2 ữ ỗ Ê = Ê + ữ ỗ 2 2 2ữ ç 2 3- c 3- b 4è3 - c 3+a 3- b ø ( 3- b ) ( 3- c ) 1ỉ b2 c2 ÷ £ ç + ÷ ç 2 2÷ ç 4èb + a c +a ø ab 1ỉ a2 b2 ca 1ổ c2 a2 ữ ữ ỗ ỗ Ê + , Ê + ữ ữ ỗ ỗ 2 2 2ữ 2 2 2ữ ỗ ỗ 4èa + c 4èc + b 3+c b +c ø 3+b a +b ø Tương tự ta có ab bc ca + + £ 2 ĐPCM 3+a 3+b Cộng vế với vế ta + c Đẳng thức xảy a = b = c = 4.1.4 BÀI TẬP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARS (BUNHIACOPXKI) 2 Định lí: Cho a1, a2, b1, b2 số thực, ta có: (a1b1 + a2b2)2  ( a1 + a2 )( b1 a1 Dấu đẳng thức xảy Mở rộng b1 a2 = b2 + b2 ) 2 2 2 1) Với số thực a1, a2, a3, b1, b2, b3, ta ln có:(a1b1 + a2b2 + a3b3)2  ( a1 + a + a )( b1 + b + b ), a1 a2 a3 Dấu đẳng thức xảy b1 = b = b n n  n  a 2i  b 2i   bi     i 1 i 1 , 2) Với hai n số ai, bi, i = 1, n , ta ln có  i 1 a1 a2 an Dấu đẳng thức xảy b1 = b = = b n  a1  a   a n  a12  a 22   a 2n   n   n 3) Với a1, a2, , an n số tuỳ ý, ta có:  Lưu ý: Câu 1: Chứng minh với số thực x, y ln có (x  y3 )   x  y   x  y  Lời giải tham khảo: VT = (x3 + y3)2 = (x.x2 + y.y2)2  (x2 + y2)(x4 + y4), đpcm y x 2 Dấu đẳng thức xảy khi: x = y  x = y  x = y Lưu ý: Câu 2: Chứng minh x + 3y = x + y  Lời giải tham khảo: 2 Ta có: = (x + 3y)  (1 + )(x + y ) = 10(x + y )  x + y  10 = ,  x  3y 2  x y   dấu "=" xảy  x = y = 2 2 2 2 49 2.1) Nếu 2x + 3y = 7abc 2x + 3y  Lời giải: 2 Ta có: 7abc.2 = (2x + 3y) = ( x + 49 2  2x + 3y  , y )2  (2 + 3)(2x2 + 3y2) = 5(2x2 + 3y2) 2x  3y 7abc 7abc  x  y dấu "=" xảy  x=y= Câu 3: Cho số không âm x, y thoả mãn x  y3  Chứng minh rằng: x  y  Lời giải tham khảo: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: Lưu ý:   x2  y   x x  y y   x  y   x  y  2  x  y   (x2 + y2)  4(x + y)2 = 4(1.x + 1.y)2  4(1 + 1)(x2 + y2) = 8(x2 + y2)  (x2 + y2)3   x2 + y2  2, đpcm  x y   y3  x | x || y |   3 x  y 2 x  y 2 Dấu "=" xảy khi:     x = y = 4.1.5 BÀI TẬP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VECTƠ 4.1.6 BÀI TẬP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRỊ TUYỆT ĐỐI Các tính chất bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối a  a  a với số thực a x  a  a  x  a với a  (tương tự x< a  a < x < a với a > 0) x  a  x  a x  a với a  (tương tự x > a  x < a x > a với a > 0) a  b a b a  b 4.1.7 BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 4.1.8 BÀI TẬP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Phương pháp giải Điều quan trọng dạng toán cần phát bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức phụ BĐT có từ đặc điểm BĐT cần chứng minh dự đoán đưa BĐT phụ từ vận dụng vào tốn Câu 1: Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: a b c a +b +c + 3+ 3³ abc b c a Lời giải tham khảo: 3 2 Trước tiên ta chứng minh a + b ³ a b + b a Lư u ý: 3 2 2 BĐT tương đương với a + b - a b - b a ³ Û a (a - b) + b (b - a) ³ Û (a - b)2(a + b) ³ (đúng với a > 0,b > ) Þ a3 + b3 ³ a2b + b2a Đẳng thức xảy a = b Ta có a3 + b3 ³ a2b + b2a Û a 1 + 2³ 2+ ab b a b b 1 c 1 + ³ 2+ , 3+ 2³ 2+ bc a ac b c c a Hồn tồn tương tự ta có c a b c 1 + 3+ 3³ + + a b c c a Cộng vế với vế rút gọn ta b a b c a +b+c + 3+ 3³ abc , đẳng thức xảy a = b = c c a Hay b 1 1 + + £ 3 3 abc 1.1) a + b + abc b + c + abc c + a + abc Lời giải: 3 2 Theo toán ta có : a + b ³ a b + b a = ab(a + b) Þ a3 + b3 + abc ³ ab(a + b + c) Þ 1 c £ = a + b + abc ab(a + b + c) abc(a + b + c) Tương a b £ ; £ 3 abc(a + b + c) c3 + a3 + abc abc(a + b + c) tự : b + c + abc Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b = c Câu 2: Cho a,b số thực Chứng minh rằng: 3(a + b + 1) + ³ 3ab Lời giải tham khảo: Áp dụng bất đẳng thức ỉ a + bư ữ ab Ê ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ø (a + b)2 nên ta chứng minh (*) 2 Thật : (*) Û 12(a + b) + 24(a + b) + 16 ³ 3(a + b) 3(a + b + 1)2 + ³ Û 9(a + b)2 + 24(a + b) + 16 ³ Û (3a + 3b + 4)2 ³ (đúng) ĐPCM a =b= Đẳng thức xảy 2.1) 64a3b3(a2 + b2)2 £ ( a + b) Lời giải: Dễ thấy bất đẳng thức ab £ Lư u ý: Xét ab > Áp dụng BĐT æ a + bử ữ ab Ê ỗ ữ ỗ ữ ỗ è ø ta có 2 é2ab + (a2 + b2) ù ỉ a + b ÷ ç ù £ 16ç ê ú = ( a + b) 64a b (a + b ) = 16ab é ab ( a + b ) ÷ ÷ ë ỷ ỗ ỳ ố ứờ ỷ 3 2 2 64a3b3(a2 + b2)2 £ ( a + b) 2 Suy Đẳng thức xảy a = b Câu : Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh Lưu ý: a3 b3 c3 + + ³ bc ca ab Lời giải tham khảo: 2 Áp dụng BĐT a + b + c ³ ab + bc + ca hai lần ta có : a4 + b4 + c4 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ³ abbc + bcca + caab = abc(a + b + c) = 3abc (vì a + b + c = ) a4 + b4 + c4 a3 b3 c3 ³ + + ³ abc Suy hay bc ca ab ĐPCM Û a = b = c Đẳng thức xảy 1 + + ³ a2 + b2 + c2 b c 3.1) a Lời giải: 1 1 1 + 2+ 2³ + + = ab bc ca abc b c Áp dụng a + b + c ³ ab + bc + ca ta có a ³ a2 + b2 + c2 Û abc ( a2 + b2 + c2 ) £ Do ta cần chứng minh abc (*) 2 ( a + b + c) Lại áp dụng ( ab + bc + ca ) 2 ³ 3( ab + bc + ca ) (ví dụ 1) ta có ³ 3abc ( a + b + c ) Þ abc £ ( ab + bc + ca ) (**) æ a +b +cử ữ abc Ê ỗ ữ ỗ ữ ç è ø Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có abc ( a2 + b2 + c2 ) £ ( ab + bc + ca ) ( a2 + b2 + c2 ) æa + b + c ( ) ữ 1ỗ ữ ữ Ê ỗ =3 ỗ ữ ỗ ữ 9ỗ ÷ è ø Vậy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy Û a = b = c 4.1.9 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Lưu ý: Câu 1: Tìm giá trị lớn hàm số: a y = (2x + 1)(2 - 3x), với x  [- ; ] Lời giải tham khảo: Với   x  2x +  - 3x  0, sử dụng bất đẳng thức Côsi ta 1 1 được:y = (2x + 1)(2  3x) = (x + ) (  x) = (x + )( - x) 2    (x  )  (  x)       25   12   =   = 864   25 Từ suy yMax = 864 , đạt khi:x + =  x  x = 12 1.1) y = x(1 - x) 3, với  x  Lời giải: 1 Viết lại hàm số dạng: y = 3x(1 - x)3 = 3x(1 - x)(1 - x)(1 - x), áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm gồm 3x số - x, ta được: 4  3x  (1  x)  (1  x)  (1  x)  3 27 4    =   = 256 , y   27 từ suy yMax = 256 , đạt khi:3x = - x = - x = - x  x = Câu 2: Tìm giác trị nhỏ hàm số: y = x + x  với x > Lưu ý: Lời giải tham khảo: Vì x > nên x  x  hai số dương Do đó: 2 (x  1) x =1+2 y=x+ x =1+x1+ x 1+2 2 từ đó, suy yMin = + , đạt khi: x  = x   x = + 2 x 2.1) y = x + , với x > Lời giải: 21 1 1 1 x x x 3 3 2 3 x x = Viết lại hàm số dạng: y = x + x + x + x + x  5 27 từ đó, suy yMin = 1 27 , đạt khi: x = x  x5 =  x = Câu 3: Cho a,b,c số dương thỏa mãn 2a + 4b + 3c = 68 Tìm giá trị nhỏ 2 A = a + b + c Lưu ý: Lời giải tham khảo: Áp dụng BĐT cơsi ta có: c3 c3 + + 32 ³ 6c2 a + ³ 4a, b + 16 ³ 8b 2 2 Cộng vế với vế ta a2 + b2 + c3 + 52 ³ 4a + 8b + 6c2 , kết hợp với 2a + 4b + 3c2 = 68 2 Suy a + b + c ³ 84 a = 2,b = 4,c = Đẳng thức xảy Vậy minA = 84 Û a = 2,b = 4,c = A= Lưu ý: x2 - x + - x3 Câu 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: với x < Lời giải tham khảo: A= x2 - x + ( 1- x ) ( x2 + x + 1) Ta có Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dương ta có ( 1- x ) ( x2 + x + 1) A³ = 2( - x ) x2 + x + 2 2( - x ) + x + x + x2 - x + £ = 2 2 x2 - x + =2 x2 - x + 2 Suy Đẳng thức xảy 2( - x ) = x2 + x + Û x2 + 3x - = Û x = Vậy minA = 2 x= - ± 13 - ± 13 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: x