Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
1,37 MB
Nội dung
§5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIAÙ I Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để giải phương trình vơ tỷ II Đưa tổng số không âm dạng An = Bn http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word I Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để giải phương trình vơ tỷ Ý tưởng giải tốn Biến đổi phương trình về: f ( x) a , ( a const a h( x)), mà ta dùng bất đẳng thức chứng minh kết f ( x) a f ( x) a Lúc đó, nghiệm tất các giá trị x thỏa mãn dấu " " xảy Biến đổi phương trình dạng f ( x) g( x), mà ta dùng BĐT f ( x) a f ( x) a hay , ( a const a h( x)) g( x) a g( x) a chứng minh được: f ( x) a g( x) a Lúc đó, nghiệm của phương trình các giá trị x thỏa hệ: Các bất đẳng thức cổ điển thường sử dụng Bất đẳng thức Cauchy: Với a , b 0 thì: a b 2 a.b Dấu " " xảy a b Với a , b , c 0 thì: a b c 3 a.b.c Dấu " " xảy a b c Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacôpxki): ( a.x b.y )2 ( a b2 )( x y ) Với a , b , x , y ta ln có: 2 2 a.x b.y ( a b ).( x y ) a b x y Dấu " " xảy x y hay a b ( a.x b.y c.z)2 ( a b2 c )( x y z ) Với x , y , z 2 2 2 a.x b.y c.z ( a b c )( x y z ) a b c x y z Dấu " " xảy x y z hay a b c Bất đẳng thức véctơ: cho u ( a; b), v ( x; y), w ( m; n) đó: a b u v u v Dấu " " xảy u, v chiều x y a b u v u v Dấu " " xảy u, v chiều x y a b u v u.v Dấu " " xảy u, v chiều x y a x m u v w u v w Dấu " " xảy b y n ♦ Lưu ý Thông thường, tơi sử dụng casio để tìm nghiệm của phương trình (điểm rơi) Dựa vào điểm rơi để ghép hợp lý sử dụng BĐT Các ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Cauchy – Schwarz http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ 203 Giải phương trình: () x x x 10 x 27 Tạp chí Tốn Học & Tuổi Trẻ số 402 2 Phân tích Do VP() x 10 x 27 ( x 5) 2 đánh giá vế trái VT() x x 2 khả sử dụng bất đẳng thức để giải cao Thật VT có dạng A B với A B số, dấu nhận dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy Cauchy – Schwarz Nếu sử dụng Cauchy, số thức nhiêu có nhiêu hạng tử tích số Đối với x có hạng tử, cần thêm hạng tử số dạng m.( x 4) với m x 5 (do dự đoán nghiệm x 5 casio phù hợp với dấu " " xảy vế phải) Ta làm tương tự với thức x Điều kiện: x 6 ab Lời giải Sử dụng Cauchy dạng a.b VP() x 10 x 27 ( x 5)2 2 (1) thức Cauchy ( x 4) x 2 VT x x 2 (2) ( ) Cauchy (6 x) x x 1.(6 x) 2 x x 2 , nên nghiệm phương trình () giá trị để Từ (1), (2), suy x 10 x 27 2 dấu " " (1), (2) đồng thời xảy x 5 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 5 x 1.( x 4) Lời giải Sử dụng Cauchy – Schwarz dạng a.x b.y ( a2 b2 )( x y ) Ta có: f ( x ) x 10 x 27 ( x 5)2 2 Mà: g( x) 1 x x Cauchy Schwarz x x 2 (1) (2) x x 2 , nên nghiệm phương trình () giá trị để Từ (1), (2), suy x 10 x 27 2 dấu " " (1), (2) đồng thời xảy x 5 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 5 () Ví dụ 204 Giải phương trình: 16 x 6 x x Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Nguyễn Văn Linh – Phú Yên Phân tích Do VT() 16 x 0, x , nên phương trình có nghiệm cần điều kiện kéo theo x x x(4 x2 1) x Sử dụng casio, tìm nên dựa vào điểm rơi để tìm trọng số hợp lý cho áp dụng Cauchy đảm bảo dấu đẳng thức xảy x Đối 2 1 mx 4 x m 4 3 Khi x Từ với x x 6 mx.(4 x 1).n 3 2 m.n n 4 x n 2 có lời giải chi tiết sau: nghiệm phương trình x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải Điều kiện: x Cauchy VP() 6 x x 3 x(4 x 1).2 x x2 (1) VT() 16 x 4 x x (2 x 1)2 (2 x x 1) 0 : x (2) Do nghiệm phương trình () tất giá trị làm cho dấu đẳng thức 4 x 4 x 2 x (1) (2) đồng thời xảy 2 x 0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x () Ví dụ 205 Giải phương trình: x x2 x 40 4 x 0 Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Lê Q Đơn – Ninh Thuận Phân tích Phương trình x 3x x 40 8 4 x sử dụng casio, tìm nghiệm phương trình x 3 Vế phải có bậc bốn nên thức có hạng tử tích số Tức có 4 x (4 x 4).16.16.16 có lời giải chi tiết sau: Lời giải Điều kiện: x 0 x () x x x 40 8 4 x (1) Cauchy x 52 x 13 (2) 2 Mà: x 3x x 40 x 13 ( x 3) ( x 3) 0 : x (3) Từ (2), (3), suy nghiệm (1) giá trị làm cho dấu đẳng thức (2) (3) 4 x 16 x 3 đồng thời xảy x 0 Ta có: VP(1) 8 4 x (4 x 4).16.16.16 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 3 Ví dụ 206 Giải phương trình: 3x x 2 x x () Phân tích Sử dụng casio, tìm phương trình có nghiệm x 0 Hình thức tốn khó cho việc sử dụng liên hợp, hàm số nên ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Nhưng sử dụng Cauchy biểu thức thức (bậc ba) phải dương Với điều kiện x 0 x x x 2 x ( x 1) 1 nên để phương trình có nghiệm cần điều kiện: 3x x x Do thêm bớt (1 3x).a.b , (1 x).c để áp BĐT Cauchy với điểm rơi x 0 hạng tử tích thức nên a b 1 3.0 1, c 1 2.0 1 Từ định hướng này, ta có lời giải chi tiết sau: 1 Lời giải Điều kiện: x Cauchy 3x • (1 x).1.1 1 x nhân 3 Ta có: x x 1 x (1) Cauchy 2x • (1 x).1 1 x Dấu " " (1) xảy x 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 Mà: x x 1 x x (2 x 3) 0 : x ; (2) 3 Dấu " " (2) xảy x 0 x x 1 x , nên nghiệm () tất giá trị làm Từ (1), (2), suy ra: 2 2 x x 1 x cho dấu " " (1), (2) đồng thời xảy x 0 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 0 Ví dụ 207 Giải phương trình: x x x x x x () Phân tích Sử dụng casio, nhận thấy phương trình có nghiệm x 1 Bài tốn có dạng A B đa thức, ta hồn tồn giải bất đẳng thức Cauchy cho thức sau cộng lại dựa vào chứng minh vế cịn lại sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Hiển nhiên cách cần dựa vào điểm rơi x 1 để ghép số hợp lý Từ phân tích này, có lời giải chi tiết sau: x x 0 1 5 1 x Điều kiện: 2 x x 0 ab Dấu " " xảy a b Lời giải Sử dụng Cauchy dạng a.b Cauchy Ta có: x2 x Cauchy x2 x x x 1.( x x 1) x x 1.( x x 1) VT() x x x x x (1) (2) (3) Dấu " " (3) xảy chi dấu " " (1), (2) đồng thời xảy x x 1 x x 0 x 1 x x 1 x 0 x 1 x x 1 x x 0 2 Ta lại có: VP() x x ( x x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x (4) Dấu " " (4) xảy x 0 x 1 x x x x x , nên nghiệm phương trình () Từ (3), (4), suy ra: x x x giá trị làm cho dấu " " (3), (4) đồng thời xảy x 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 Lời giải Sử dụng Cauchy – Schwarch dạng a.x b.y ( a2 b2 )( x y ) VT() 1 x x x x (12 12 )( x x x x 1) 2 x Dấu " " xảy (1) x 1 x2 x x x2 x 1 1 x VP() x2 x 2 x ( x 1)2 ( x 1)2 0 : x (2) x 0 x 1 Dấu Dấu " " xảy x 0 Từ (), (1), (2), suy nghiệm phương trình giá trị làm dấu " " (1), (2) đồng thời xảy x 1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 Ví dụ 208 Giải phương trình: () x 3x x 12 x 5 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Cauchy 1 x 7 x ( x 3).4 2 Cauchy 1 3x Ta có: 3x (3x 1).4 2 Cauchy x 2 (5 x).4 x Điều kiện: (1) (2) (3) Suy ra: (1) (2) (3) x x x 12 (4) Từ (), (4), suy nghiệm phương trình giá trị làm cho dấu đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời xảy x 1 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 1 Lời giải Cauchy – Chwarz dạng ax by cz ( a b2 c )( x y z ) Cauchy SChwarz Ta có: x x 20 x 12 12 2 24 12 (5) Suy nghiệm làm cho dấu đẳng thức (5) xảy ra: 20 x x 1 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 1 x 3x Ví dụ 209 Giải phương trình: 3x x x x x (7 x x 4) Phân tích Nhận thấy x nghiệm phương trình vế trái có nhiều phức tạp nên ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ba số để đánh giá VT f ( x) Rồi dựa vào f ( x) điểm rơi x để tách ghép vế phải nhằm chứng minh VP f ( x) bất đẳng thức Cauchy dạng a b 2 ab 3 x 0 x Lời giải Điều kiện: x 1 x x 0 Áp dụng Cauchy – Schwarz dạng ax by cz ( a b2 c )( x y z ) có: (i) x x x ( x) x 12 12 ( x) x x x x Suy ra: 3x x x x x (5x x)( x 2) (1) 2 (5 x x) 2( x 2) áp dụng bất đẳng 4 2 thức Cauchy cho hai số dương (5 x x); 2( x 2), ta được: Ta có: VP (7 x x 4) Cauchy (5 x x) 2( x 2) (5 x x).2( x 2) 2 (5 x x).( x 2) (2) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x x x x x (5 x x)( x 2) , nên có nghiệm Từ (1), (2), suy ra: (7 x x 4) (5 x x)( x 2) phương trình cho tất giá trị làm cho dấu đẳng thức (1), (2) 3x x x x đồng thời xảy 2 5x x 2( x 2) Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x Ví dụ 210 Giải phương trình: x x 1 1 x x (MO Yugoslavia) () Phân tích Sử dụng casio tìm nghiệm xấu ta tiếp tục sử dụng casio tìm nhân tử bậc hai dạng x x chức table Đối với áp dụng Cauchy dấu đẳng thức xảy x 1 với nhân tử vừa tìm Cịn x 1 x 1 x x 1 x x 0 phù hợp x 1 ( x 1) áp dụng bất đẳng thức Cauchy x x x x x 0 Từ có lời giải sau: x đạt dấu đẳng thức Lời giải Điều kiện: x 1 1 1 x x x x x 1 Ta có: VP() x x (1) x x x Cauchy 1 ( x 1) x x x ( ) Suy nghiệm phương trình tất giá trị làm cho dấu đẳng thức Cauchy 1 x 1 x x 1 1 x x 0 x x (1) xảy 2 x x Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x Ví dụ 211 Giải phương trình: Phân tích Do biểu thức: 4 1 x x x 4 x x x x 30 x x (4 x)( x 2) (4 x).( x 2) , giúp ta suy ab phù hợp với điểm rơi x 3 tìm casio x 4 x thuộc dạng A B có A B số nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cơng việc cịn lại tách ghép x x hợp lý dựa vào điểm rơi x 3 Nếu dựa vào điểm rơi này, đa số 3x học sinh áp dụng 3.x khó khăn cho việc cịn lại Do ta ước lượng tổng hai đánh giá 3, nên ta áp dụng Cauchy cho x x cho nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: ab http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Cauchy x 3x 27 x để VT x 30, tức: x 3x 2 27.x 27 x , đảm bảo dấu " " xảy vị trí x 3 có lời giải chi tiết sau: Lời giải Điều kiện: x 4 Cauchy 4 xx 1 Dấu " " (1) xảy chi x 3 Ta có: x2 6x Mặt khác: (4 x).( x 2) (1) Cauchy SChwarz x 4 x 1 x 4 x Cauchy SChwarz x x 2( x x ) (12 12 )( x x) 2 (2) Dấu " " (2) xảy chi x 3 Cauchy Ta lại có: x 3x 2 27.x 27 x Dấu " " (2) xảy chi x 3 (3) (1) (2) (3) VT( ) x x x 4 x x x x 30 VP( ) Suy nghiệm phương trình giá trị làm cho dấu " " (1), (2), (3) đồng thời xảy x 3 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 3 Ví dụ 212 Giải phương trình: x2 x2 x2 x 2x2 () Phân tích Sử dụng casio, tìm phương trình có nghiệm x 2 Do ta cần thêm trọng số để áp dụng bất đẳng thức Cauchy đảm bảo dấu " " xảy 1 2 (8 x ) 4 (chọn m 4 sau vị trí x 2 Với x (8 x ) m m 2 áp dụng Cauchy có dấu " " x m , với x 2 m 4) Ta làm tương x2 x2 x2 m có lời giải sau: 2x2 x2 x2 m 2 x Lời giải Điều kiện: x 2 tự cho x (8 x ) 4 x2 x2 x2 x2 Ta có: Cauchy Cauchy 12 x x2 3 2 (1) x2 4 x x2 (2) x 15 x (3) 4 x2 2x2 Dấu " " (3) xảy dấu " " (1), (2) đồng thời xảy 8 x 4 x 4 x2 x 2 x x2 (1) (2) VT() x Ta lại có: x 15 x x x 4 x 2 2 1 0 x 2 (4) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x 0 (4) x 2 Dấu " " xảy 0 x x 15 x 1 x2 , nên nghiệm phương 4 x2 x 2x2 trình () giá trị làm cho dấu " " (3), (4) xảy x 2 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 2 Từ (3), (4), suy ra: x2 () Ví dụ 213 Giải phương trình: x x x x Phân tích Sử dụng casio tìm phương trình có nghiẹm x 1 x 0 không nghiệm nên () x x x Nhận thấy vế phải có dạng x nghịch đảo gợi ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy, vế trái sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Cchwarz lần triệt tiêu biến x có lời giải chi tiết sau: Lời giải Điều kiện: x 0 x Do x 0 không nghiệm nên () x x x x2 (1) Cauchy (2) x x 2 x x Ta có: 4 4 1 x 1.x 2 x x 2 (2 x ) x 2 (3) Nghiệm phương trình (1) giá trị làm cho dấu " " (2), (3) đồng thời xảy x x x x 1 x x Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 1 Ví dụ 214 Giải phương trình: x 1 Lời giải Điều kiện: x 2 Suy ra: () x 1 4( x x 2) 3( x 1)2 x 1 ( x 1 x 2)( x 1) () x 0, x 2 3 Đặt a x 1, b x , ( a b 0) Khi đó: (1) a Ta có: a 3 (1) 3 ( a b)(b 1)2 (2) b 1 b 1 ( a b) 1 2 ( a b)(b 1) ( a b)(b 1) Cauchy b 1 b 1 4 ( a b) 3 (3) 2 ( a b )( b 1)2 Suy nghiệm phương trình (2) giá trị làm cho dấu " " (3) xảy a 2 x 2 x 3 b 1 x 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Nhận xét Việc đánh giá a 3 kỹ thuật tách cặp nghịch đảo để ( a b)(b 1)2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy Việc áp dụng dựa theo ý tưởng: “tách phần nguyên theo mẫu số để sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy số biến số giống (hoặc gần giống) vế phải” Bạn đọc tìm hiểu rèn luyện bất đẳng thức đề cương học tập toán 10 tác giả trang web: w.w.w.mathvn.com, trang 115 Ví dụ 215 Giải phương trình: 3x x (1 x) x x 2( x 1) 3 x () Phân tích Sử dụng casio, tìm nghiệm phương trình x 1 Vế trái có dạng phân số với tử số dạng nên nghĩ đến việc áp dụng BĐT Cauchy dạng A B f ( x) Nên cần đánh giá mẫu số ? để phân số dấu biểu thức mẫu có chứa 2( x 1) (12 12 )( x2 12 ) , gợi ta sử dụng bất đẳng thức ( a b )( x y ) a.x b.y Kiểm tra lại thấy Cauchy – Chwarz viết ngược dạng: dấu " " xảy x 1, phù hợp với dự đoán casio nên hướng Lời giải Điều kiện: x 1 Cauchy 1 3x x (3 x 1) 2 x x x Ta có: Cauchy x ( x 3) 4 x 2 3 x 4 x 1 Dấu " " (1) xảy x 4 Mà: x 2( x 1) x (12 12 )( x 12 ) Cauchy Schwarz x x 2( x 3) Dấu " " xảy x 1 1 Suy ra: x 2( x 1) 2( x 3) Lấy (1) nhân (2) theo vế, suy ra: VT() 3 x 2 Dấu đẳng thức xảy x 1 VP() (1 x) x Từ (3), (4), suy ra: (2) 3x x x 2( x 1) (1 x)3 (1 x3 2( x 3) (3) x ) 0 : x 0;1 (4) 3x x 3 x (1 x) x , nên nghiệm () x 2( x 1) 2 giá trị làm cho dấu " " (3), (4) đồng thời xảy x 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 Ví dụ 216 Giải phương trình: 2( x 5) x x 10 Lời giải Điều kiện: 5( x x 9) 10 x 3x x 3 Ta có: 10 x 3x 2 10 x Cauchy Schwarz 6x 4 18 9 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 10 x x x 1 Nên: 10 x 3x 10 10 x x 10 5( x x 9) 5( x x 9) x x Suy ra: VP (1) 10 2 10 x x Dấu đẳng thức xảy VT 2( x 5) 3x x 10 x2 x x x 29 4( x 5) x 0 ( x 5)2 2.( x 5).2 x 4(1 x) 0 ( x x ) 0 : Dấu đẳng thức xảy x x 0 x x2 4x 1 VT 2( x 5) x x 10 , x ; Hay: 3 (2) Từ (1), (2), suy nghiệm phương trình vị trí dấu " " (1), (2) x Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x ( x x 1)4 () x2 16 x Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu Ví dụ 217 Giải phương trình: x2 0 x2 x x 2 y x 4x , suy hệ phương trình: Đặt y 2x x 1 y x2 2 Lấy (2) 2.(1) ( x x) y y x x Cauchy Schwarz x x 3 • x ( 2).( x 2) Ta có: Cauchy Schwarz 2 2 • ( 2) 3 x x x x Lời giải Điều kiện: x 0 (1) (2) (3) (4) (5) 2 Lấy (4) (5) VT(3) ( x x) 6 (6) x x VP(3) y y 6 ( y 1)2 ( y y 3) 6 ( y 1)2 ( y 1)2 6 (7) Do nghiệm phương trình (3) giá trị làm cho dấu đẳng thức (6), (7) đồng thời xảy dấu đẳng thức (4), (5), (7) đồng thời xảy ra, tức: x2 4x x x 1 y 2x x 2 x x x2 2x x x x 0 x ; 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x Ví dụ 218 Giải phương trình: 3x2 x 5x 10 x 14 4 x2 x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word () Phân tích Để ý biểu thức ngồi đưa dạng đẳng thức 2 dạng a 2ab b ( a b) 0 kết hợp với dự đoán nghiệm x casio nên có lời giải chi tiết sau: Lời giải Điều kiện: x x 0 ?! x 3( x 1)2 5( x 1)2 5 ( x 1)2 () (1) VT 3( x 1)2 5( x 1)2 5 (2) (1) Ta có: (3) VP(1) 5 ( x 1) 5 Suy nghiệm phương trình cho giá trị làm cho dấu đẳng thức (2), (3) đồng thời xảy x Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x Ví dụ 219 Giải phương trình: x x x x ( x 1)2 x () Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 lần – THPT Chuyên Đại học Vinh Lời giải Điều kiện: x 0 x 2 () x x x x ( x x)2 Ta có: x x (1) 4 x x 4, x 2; 2 Suy ra: x x 2, x 2; (2) Dấu đẳng thức (2) xảy x 0 x 2 Đặt t ( x x)2 , x 2; nên suy ra: t 1; Khi đó: (1) x x tt3 2 với t 1; (3) Xét hàm số f (tt) t 2 1; có f (tt) 3tt2 t0 0 22 f t2 max ( ) 2 ( ) 2 Tính ff( 1) 1, ff(0) 2, f t , (2) 1;2 27 Do x x ( x x)2 2 (4) Dấu đẳng thức (4) xảy x 0 x 2 Suy nghiệm phương trình (1) giá trị làm cho dấu đẳng thức (2) (4) đồng thời xảy x 0, x 2 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x 2, x 0, x 2 Các ví dụ sử dụng bất đẳng thức véctơ Ví dụ 220 Giải phương trình: x x x x 10 29 () Phân tích Các biểu thức thức đưa dạng bình phương, ta khơng làm ví dụ điểm rơi toán x dò casio Nhưng để ý, biểu thức thức có dạng tổng bình phương (môđun véctơ) gợi ta sử dụng bất đẳng thức véctơ dạng: u v u v Tức biến đổi phương trình ( x 1)2 2 ( x 1)2 32 29 chọn u ( x 1; 2), v ( x 1; 3) Nhưng vế phải số nên ta cần điều chỉnh lại cách chọn véctơ u v để http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word triệt tiêu x tính u v điều chỉnh u (1 x; 2), v ( x 1; 3) tính chất số phương, ta ln có: ( x 1)2 (1 x)2 có lời giải chi tiết sau: Lời giải Ta có: () ( x 1)2 2 ( x 1)2 32 29 (1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét hai véctơ u (1 x; 2), v ( x 1; 3) u (1 x)2 2 u v (2; 5) , Suy ra: 2 v ( x 1)2 32 u v 29 2 2 Mà ta ln có: u v u v ( x 1) ( x 1) 29 (2) Từ (1), (2), suy nghiệm phương trình () giá trị làm cho dấu " " 1 x x (2) xảy u, v chiều x 1 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x Ví dụ 221 Giải phương trình: x x x x x 12 x 13 () Lời giải Tập xác định: D (1) () (2 x 1)2 12 ( x 1) 2 (3 x 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét hai véctơ: u (2 x 1; 1), v ( x 1; 2) u (2 x 1)2 12 u v (3 x 2; 3) u v (3 x 2)2 Suy ra: v ( x 1)2 2 Ta có: u v u v (2 x 1)2 12 ( x 1)2 2 (3x 2)2 32 (2) Từ (1), (2), suy nghiệm phương trình giá trị làm cho dấu " " (2) 2x 1 x xảy u, v chiều x Kết luận: Phương trình cho có nghiệm nhất: x Ví dụ 222 Giải phương trình: x2 2x Phân tích Phương trình ( x 1)2 2 x x 10 () ( x 3)2 12 với vế trái có dạng hiệu biểu thức bên có dạng tổng hai bình phương gợi ý ta sử dụng bất đẳng thức véctơ dạng u v u v với việc chọn u ( x 1; 2) v ( x 3;1) tính u v x triệt tiêu phù hợp với vế phải số có lời giải sau: Lời giải Tập xác định: D () ( x 1)2 2 ( x 3)2 12 (1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét hai véctơ: u ( x 1; 2), v ( x 3;1) u ( x 1)2 2 u v (2;1) u v 2 12 Suy ra: v ( x 3)2 12 2 2 Ta ln có: u v u v ( x 1) ( x 3) (2) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Từ (1), (2), suy nghiệm phương trình giá trị làm cho dấu " " (2) x x 5 xảy u, v chiều x Kết luận: Phương trình cho có nghiệm nhất: x 5 Ví dụ 223 Giải: 25 x 20 x 13 x x 13 16 x 40 x 26 () Lời giải Tập xác định: D (1) () (5x 2)2 32 ( x 3)2 2 (4 x 5) 12 u (5 x 2)2 32 u 5x 2; v ( x 3)2 2 Chọn: v x 3; u v x 5; 1 u v (4 x 5)2 12 2 2 2 Ta ln có: u v u v (5x 2) ( x 3) (4 x 5) (2) Từ (1), (2), suy nghiệm phương trình () giá trị làm cho dấu " " 5x 13 x (2) xảy u, v chiều x3 13 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm nhất: x Ví dụ 224 Giải phương trình: x 20 x 34 x x x 6 () Phân tích Phương trình (2 x 5)2 32 ( x 1)2 2 x 6 với biểu thức có dạng f ( x) a2 , gợi ta sử dụng bất đẳng thức véctơ dạng u v w u v w Cần cần biến đổi (2 x 5)2 (5 x)2 để biến x triệt tiêu vế phải số có lời giải chi tiết sau: Lời giải Tập xác định: D (2) () (2 x 5)2 32 ( x 1) 2 x 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét u (5 x; 3), v (1 x; 2), w ( x;1) 2 2 Suy ra: u (5 x) , v ( x 1) , w x u v w 6; nên u v w 6 u v w u v w (2x 5)2 32 ( x 1)2 2 x 6 (2) Có: Từ (1), (2), suy nghiệm phương trình giá trị làm cho dấu " " (2) xảy u, v , w chiều x 1 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm nhất: x 1 trình vơ tỷ Nhận xét Qua ví dụ, nhận thấy dấu hiệu nhận dạng giải phương u v u v ; u v u v u v w u v w các bất đẳng thức biểu thức biến đổi dạng: ( ax b)2 () Lúc đó, ta cần chọn tọa độ véctơ dựa vào () theo cơng thức tính mơđun véctơ hợp lý Ví dụ 225 Giải phương trình: x 3x x 2( x 1)( x 3) () Đề nghị Olympic 30/04 – THPT Bình Phú – Tp HCM http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Phân tích VT x x x làm ta nhớ đến "hoành nhân hoành + tung nhân tung", nghĩa tích hai véctơ u.v x 3x x với véctơ u ( x; 1) v ( 3x 2; x ) Khi hiển nhiên liên quan đến bất đẳng thức véctơ dạng: u.v u v tính u v VP việc giải phương trình hướng 2 Thật u v x x 2( x 1)( x 3) VP có lời giải sau: Lời giải Điều kiện: x 4 (1) () x 3x x x x u x2 u ( x;1) Chọn: 2 v ( 3x 2; x ) v ( 3x 2) ( x ) x Suy ra: u.v x x x u v x x Ta ln có: u.v u v x 3x x x x (2) Từ (1), (2), suy nghiệm phương trình giá trị làm cho dấu " " x x x 3x xảy u, v chiều 3x 4 x x 0 x 0 x 2 x 1 2 x (4 x) 2 x x x 3x 0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm x 2, x 1 () Ví dụ 226 Giải phương trình: x 3x x x x Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Long An – Tỉnh Long An Lời giải Điều kiện: 3x 0 Chọn: u ( x;1), v ( x ; x ) u x2 u v x x Suy ra: v 4x u.v x x x Ta ln có: u.v u v x x x x x (1) Từ (), (1), suy nghiệm () giá trị làm cho dấu đẳng thức (1) xảy 3x 1 x hai véctơ u, v chiều 3x x x x 1 x 0 x 0 x : TMĐK 2 2 x x (1 x) ( x 2)( x x 1) 0 Ví dụ 227 Giải phương trình: (3 x) x x 40 34 x 10 x x () Lời giải Điều kiện: x Chọn: u (3 x;1) v ( x 1; x ) u (3 x)2 u.v (3 x) x x Suy ra: 2 v 4 x u v (3 x) x 40 34 x 10 x x Ta có: u.v u v (3 x) x x 40 34 x 10 x x (1) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Từ (), (1), suy nghiệm () giá trị làm cho dấu " " (1) xảy 3 x (3 x) x x u, v chiều x 2x 3 x 0 x 3 x 2 2 (3 x) (5 x) x 2 x 17 x 49 x 46 0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm nhất: x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word