2 phuong trinh 2(i)

§2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH I Sử dụng phép biến đổi tương đương II Kỹ thuật nhân lượng liên hợp để đưa tích số Liên hợp với phương trình có nghiệm hữu tỷ dễ xác định nhân tử Nhóm I: Ghép hai thức để liên hợp phân tích biểu thức cịn lại  Nhóm II: Sử dụng casio, tìm nghiệm x xo  PP ghép số  ghép bậc Nhóm III: Có nghiệm đẹp x x1 , x x  PP ax  b Liên hợp với phương trình có nghiệm vơ tỷ có biến đổi Nhóm I: Đặt ẩn phụ để đơn giản có biến đổi, liên hợp Nhóm II: Sử dụng chức table casio tìm nhân tử bậc hai, bậc ba http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word I Sử dụng phép biến đổi tương đương Dùng các phép biến đổi, đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để đưa phương trình cho về dạng tích số đơn giản và biết cách giải, chẳng hạn như: A.B 0  A 0 B 0 Một số biến đổi thường gặp:  f ( x) ax  bx  c a.( x  x1 )( x  x2 ) với x1 , x2 là nghiệm f ( x) 0  Dùng các đẳng thức bản, lưu ý các biến đổi thường gặp sau: + u  v 1  uv  (u  1)  v(u  1) 0  (u  1)(1  v) 0  u v 1 + au  bv ab  vu  a(u  b)  v(u  b) 0  (u  b)(a  v ) 0 () Bài Giải phương trình: ( x  3) 10  x x  x  12 Phân tích Thấy vế phải phân tích được thành tích số: x  x  12 ( x  3)( x  4) dựa vào f ( x) ax  bx  c a.( x  x1 )( x  x2 ) với x1 , x2 là nghiệm phương trình f ( x) 0, nên có nhân tử x  với vế trái và có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện: 10  x 0   10 x  10 ()  ( x  3) 10  x ( x  3)( x  4)  ( x  3)  10  x  ( x  4)  0    x  0  x 4   x   x   2 2 x  10 x  0  10  x x  Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm nhất x  Bài Giải phương trình: x  x 1  () x  x 1 Phân tích Với điều kiện x 0 thì phương trình  x  x  1  x  x  và có dạng u  v 1  uv  (u  1)( v  1) 0  u v 1 và có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện: x 0 ()  x  x  1  x  x   ( x  1)  ( x   x  x  1) 0 x  1  x 1 x 0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 0, x 1  ( x  1)(1  x  1) 0  x 1 Bài Giải phương trình: x   x 2 x    x  x   Phân tích Sử dụng phân tích ()  x  x   ( x  1)(7  x) và ghép cặp lại với xuất nhân tử chung và đưa được về tích số  Lời giải Điều kiện: x 7 ()   ( x  1)  x      x  ( x  1).(7  x)  0      x  1( x   2)   x (2  x  1) 0  x  2  x 5  x ) 0       x    x  x 4 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm là x 4, x 5  ( x   2).( x   () Bài Giải phương trình: x   x 2 x   10  x  x  Học sinh giỏi tỉnh Kiên Giang năm 2014 – 2015 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Phân tích Tương tự thí dụ trên, thấy 10  3x  x  ( x  2)(5  x) nên ghép các biểu thức thích hợp với đưa được về phương trình tích số và có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện:  x 5 ()   ( x  2)  ( x  2)(5  x)     x  x   0      x  2( x    x )  2( x    x ) 0   x2  5 x x   ( x    x )( x   2) 0    2   x  2  x 2 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm là x  , x 2 Bài Giải phương trình: x  3x  x  2 x  x  Phân tích Nếu quy đồng và phân tích nhóm với cụm x 5 x () x2  5x  ( x  2)( x  3) 5   , rồi x x x x  3x  x( x  3) xuất nhân tử và có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện: x   ( x  2)( x  3)  ()   x( x  3)    (2 x   x) 0 x     x   x     x x3 x2    2( x   x) 0 x  x2 x  x3   2( x   x) 0  ( x   x)    0   x    x  x  x  x  0  x 2      x  2 x  x 1  x  4 x Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1, x 2 Bài Giải: x x   3( x   1) 3x  x  13x  15  x  Phân tích Nếu quan sát kỹ, phương trình chứa thức phân tích () 2x  , x  sau 2 x  13x  15  (2 x  3)( x  5) và nhóm nhân tử chung phù hợp xuất phương trình tích số và có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện: x  0 ()  ( x x   x)  (2 x  3)( x  5)  x    3( x   1)    x( x   3)  x  3( x   1)  3( x   1)  x( x   3) ( x   1)( x   3)  ( x   3)( x  x   1) 0  x  3  x 3     x  x   x 4 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm là x 3, x 4 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài Giải phương trình: 3x  x  ( x  6) x  x  () Phân tích Do biểu thức và ngoài dấu cùng là bậc hai, nên ta nghĩ đến việc phân tích biểu thức ngoài dấu theo biểu thức dấu căn, cụ thể viết: 3x  3x  (3 x2  x  3)  5( x  1) và xuất thêm hạng tử có chứa ( x  1), nên phân tích: ( x  6) 3x  x   ( x  1)  5  x  x  , rồi phân phối và ghép hạng tử phù hợp đưa được về phương trình dạng tích, từ đó có lời giải 1  10  3  Lời giải Tách ghép đưa về phương trình tích số Điều kiện:   x  1 10 x  ()  (3x  x  3)  ( x  1) ( x  1)  x  x    x2  x    ( x  x  3)2  x  x     5( x  1)  ( x  1) x  x   0      x  x  3( 3x  x   5)  ( x  1)(5  x  x  3) 0  3x2  x  5  ( 3x2  x   5)( x2  x   x  1) 0    3x2  x  x    x  x  28 0   85  85   x x     x    3  2 x  x  0   x 1   x 1    Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình là x 1  , x   85   Lời giải Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Đặt t  x2  x    t 3 x2  x   3x t  x  Khi đó: ()  t  x   x  ( x  6).tt x2  ( t 6) x 5(  1) 0 (1) t Xem (1) là phương trình bậc với ẩn là và có biệt số: t ( x  6)2  20( x  1) x  x  16 ( x  4) , suy ra: t x  t 5  3x  x  5 Do đó:  và giải tương tự cách giải  x  x  x   Bình luận Phương trình có dạng ax  bx  c ( mx  n) ax  px  q , ta giải phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn nếu biệt số Δ là số chính phương Bản chất phương pháp là hình thức đưa về tích số  Lời giải Liên hợp sau sử dụng casio tìm được nhân tử chung phương trình là 3x  x  28 ()  ( x  6)( 3x  x   5) 3 x  x  28  ( x  6)(3 x  x  28) 3x  x    3x  x  28 0  3x  x  28   x6 1  3x2  x     3x  x  28 0  và giải tương tự cách  x  x  x  Nhận xét Đối với bài toán trên, không tìm đượng lượng nhân tử chung chức table casio Khi đó ta tìm hai nghiệm và dựa vào định lý Viét để tìm http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word nhân tử chung sau: nhập 3X  3X   ( X  6) 3X  X  và bấm shift solve  100 được nghiệm là X  2,739848152, gán nghiệm này vào biến A, tức bấm Ans  A , ( Ans / shift / RCL / (  )) Tìm nghiệm thứ hai cách nhập lại phương trình và bấm shift solve 100 ta được nghiệm X 3.406514819, rồi lưu nghiệm này vào biến B: Ans  B , ( Ans / shift / RCL / , , ,) Khi đó ta tính tổng, tích A và B 28 được A  B 0,6666666667  và AB  nên theo Viét thì A , B là nghiệm 3 28 X  SX  P 0, tức có nhân tử x  x  hay 3x  x  28 3 () Bài Giải phương trình: x  x  ( x  3) x  x   0 Phân tích Do biểu thức và ngoài dấu cùng là bậc hai, nên ta nghĩ đến việc phân tích biểu thức ngoài dấu theo biểu thức dấu căn, cụ thể viết: x  x  ( x  x  1)  x và xuất thêm hạng tử có chứa 3x , nên phân tích: ( x  3) x  x  x x2  x   x  x  và ghép hạng tử phù hợp xuất nhân tử chung và đưa được về phương tình tích số Từ đó có lời giải Điều kiện: x  x  0  x  1 x  1  2  Lời giải Tách ghép đưa về tích số ()   ( x  x  1)  x x  x    (3 x  x  x  1) 0   2    ( x  x  1)  x x  x    3( x  x  x  1) 0    x  x  1( x  x   x)  3( x  x  x  1) 0  x  x   x  ( x  x   x) ( x  x   3) 0    x  x  3    x 0     x  0   x  x  9   x    x 1  41 : thỏa mãn điều kiện  Kết luận: Phương trình cho có nghiệm là x  1, x  1 41 , x  41   Lời giải Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Đặt t  x  x  0, suy ra: t x  x   x t  x  Khi đó: ()  t  x   x  ( x  3).tt 0  x2  ( t 3).x  0 (1) Xem (1) là phương trình bậc hai với ẩn là t và có biệt số:  t  x  t ( x  3)2  12 x x  x  ( x  3) , suy ra:   t 3 Với t  x  x  và giải được kết quả  Lời giải Ghép để liên hợp sau tìm nhân tử x  x  10 casio ()  ( x  x  10)  ( x  3)  x  x    0    ( x  x  10)  ( x  3).( x  x  10) x2  x   0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  x  x  10 0    x 1 0  x  x 13   x  x  10 0    x  x   x   41 x     x  Bài Giải phương trình: x  x  10  5.( x  2) x  0 () Phân tích Khác với các thí dụ trên, biểu thức thức là bậc nhất và có dạng tổng quát là ax  bx  c (dx  e) x   Khi đó phân tích biểu thức ngoài dấu theo biểu thức tích mang dấu đồng nhất thức, nghĩa là biểu diễn x  x  10 m.( x  2)2  n.( x  1)2 mx  (n  4m).x  (n  4m) và so sánh hệ số trước x , x và hệ số tự được m n 2 Khi đó, ta có hướng xử lý thường gặp là tách ghép đưa về tích số đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp, chia cho lượng dương để đưa về phương trình bậc Điều kiện: x  Khi đó: ()  2( x  2)2  2( x  1)2  5( x  2) x  0 (1)  Lời giải Tách ghép đưa về tích số (1)   2( x  2)2  ( x  2) x     2( x  1)2  4( x  2) x   0      ( x  2)  2( x  2)  x    x   x   2( x  2)  0      x  2( x  2)   2( x  2)  x    ( x  2)  x   0        x  x    x 2   x 2   2  x 3   x  4( x  x  4)  4 x  17 x  15 0     x 8  x   x        4( x  1) x  x    x  x 0   Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 3, x 8  Lời giải Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp Đặt a x  2, b  x  0 Do x  là nghiệm nên b  x   0, thì:  a 2b    2a b Thế vào và giải tương tự được nghiệm là x 3, x 8  Lời giải Chia cho lượng dương đưa về phương trình bậc  a  a (1)  2a2  2b2  5ab 0        0  b    b Do x  là nghiệm nên chia hai vế cho ( x  1)2  thì: x  x  x x   (1)    0  2   5 x 1 x 1 x 1  x 1  Giải tương tự được x 3, x 8  Lời giải Ghép bậc nhất ax  b với thức để nhân lượng liên hợp sau sử dụng casio nhẩm được nghiệm x 3, x 8 ()  ( x  2)  ( x  7)  x    x2  11x  24 0   ( x  2)( x  11x  24)   ( x  11x  24) 0 x 1  x 7  x  11x  24 0   x 2   ( x  11x  24)    0   x   x  2  x  x 1  x 7  Giải tương tự trên, ta được kết quả x 3, x 8 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word