§4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I Các ví dụ vận dụng hàm số y = f (x) đơn điệu chiều miền D phương trình f (x) = có tối đa nghiệm II Các ví dụ vận dụng hàm số y = f (x) đơn điệu chiều miền D tồn u, v Ỵ D f (u) = f (v) Û u = v I Các ví dụ vận dụng hàm số y f ( x ) đơn điệu chiều miền D phương trình f ( x ) 0 có tối đa nghiệm Ví dụ 203 Giải phương trình: 5x x x 4 () Phân tích Quan sát vế trái phương trình thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ dự đốn vế trái hàm đồng biến, cịn vế phải số sử dụng casio tìm nghiệm x 1, nên điều kiện thích hợp cho việc sử dụng phương pháp hàm số để giải Ngồi ra, cơng thức u n đạo hàm sau thường hay sử dụng ( u ) n n n u Điều kiện: 5x 0 x Lời giải Sử dụng tính đơn điệu hàm số (i) () x x x 0 Xét hàm số y f ( x) 5x x x ; có: f ( x) 15 x 5x 0, x ; Do hàm số y f ( x) đồng 3 (2 x 1) biến ; f (1) 0 nên x 1 nghiệm (i ) Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với điểm rơi x 1 Cauchy 1 5x x 3 x (5 x 1) 2 Ta có: Suy ra: Cauchy (2 x 1).1.1 x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word VT( ) x x x 5x3 2x 15 x 20 x 13 x 12 15 x 20 x 13 4 x x 0 ( x 1)(3x 3x 7) 0 x 1 12 15x 20 x 13 Suy ra: 5x x x 4 dấu " " xảy x 1 12 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 Lời giải Liên hợp sử dụng casio tìm x 1 nghiệm Mà: () ( 5x 2) ( x 1) x 0 5( x 1)( x 1) 2( x 1) 5x (2 x 1)2 x ( x 2) 0 5( x 1) ( x 1) 1 0 x 1 x (2 x 1)2 x 5( x 1) 0, x Do 2 3 5x (2 x 1) x Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 1 Ví dụ 204 Giải phương trình: 3( x 1) x(1 3x x 1) () Phân tích Sử dụng casio tìm x 0 nghiệm phương trình Để ý 2 x 0 x 3x x 3x 8 x 3x nên để phương trình có nghiệm điều kiện kéo theo x 0 Tìm điều kiện chặt chẽ thuận lợi cho việc đánh giá f ( x) dương hay âm cách giải hàm số Lời giải Điều kiện: x 0 rằng: x 1 () 3x x x x2 x 0 (i) Xét hàm số f ( x) 3x x x x x 0; có: x2 6x 32 x x f ( x) 6 x x x 2x2 x2 x2 Do: 32 x x 0, x nên f ( x) 0, x 0 Suy hàm số f ( x) đồng biến [0; ) có f (0) 0 nên x 0 nghiệm (i ) Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 0 Ví dụ 205 Giải phương trình: x x x 12 12( x x ) () Phân tích Sử dụng casio, tìm x 4 nghiệm phương trình Với điều kiện x 4 nháp đạo hàm vế trái thấy hàm số đồng biến, đạo hàm vế phải thấy hàm nghịch biến Từ nghĩ đến việc vận dụng nội dung: “Nếu hai hàm số f ( x) g( x) đơn điệu ngược chiều miền D số nghiệm D phương trình f ( x) g( x) khơng nhiều 1” có lời giải chi tiết hàm số sau: Lời giải Điều kiện: x 4 Xét hàm số f ( x) x x x 12 xác định liên tục 0; , có: x 0, x 0; , nên f ( x) đồng biến 0; ( i) 2 x 12 Xét hàm số g( x) 12( x x ) xác định liên tục 0; , có: f ( x) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 g( x) 12 0, x 0; Do hàm số f ( x) nghịch biến 5 x 4 x (ii ) đoạn 0; Từ (i ), (ii ), suy f ( x) g( x) có nghiệm f (4) g(4) 12 nên x 4 nghiệm phương trình () Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 4 () Ví dụ 206 Giải phương trình: ( x 1)(2 x 3 x 6) x Học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm 2010 Lời giải Điều kiện: x 1 Do x 1 khơng nghiệm phương trình nên xét x (1; ) x6 () x 3 x x Xét hàm số f ( x) 2 x 3 x nửa khoảng (1; ) có: f ( x) x 1 x6 (i) 0, x nên hàm số f ( x) đồng biến (1; ) 7 x6 0, x (1; ) có g( x) ( x 1)2 x Do hàm số g( x) nghịch biến (1; ) Ta lại có: f (2) g(2) 8 nên x 2 nghiệm (i ) Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 2 Xét hàm số g( x) () Ví dụ 207 Giải phương trình: (4 x 1)( 3 x x 3) 4 x Lời giải Điều kiện: x 0 x 1 Do x , x không nghiệm () nên xét x ( 3; )\ 4 () 3x x 4x 4x 3x x (3 x 5) x3 (i) 1 4x x 3; \ có: 4x 4 Xét hàm số f ( x) 3x x f ( x) 4x 0 4x 36 1 0, x 3; \ (4 x 1) 4 1 Suy hàm số f ( x) nghịch biến khoảng 3; , ; 4 Bảng biến thiên x 3 f ( x) f ( x) 13 Ta có ( i) phương trình hồnh độ giao điểm hàm số f ( x) trục Ox có phương trình y 0 Từ bảng biến thiên, suy phương trình có tối ( i) có tối đa hai nghiệm có ff( 2) (1) 0 nên x 2, x 1 nghiệm cần tìm Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 2, x 1 34 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( x 2)(2 x 1) x 4 Ví dụ 208 Giải: ( x 6)(2 x 1) x () Học sinh giỏi tỉnh Cao Bằng năm 2014 – 2015 Lời giải Điều kiện: x () ( x 2)(2 x 1) x ( x 6)(2 x 1) x 4 x 2( x 3) x 6( x 3) 4 (i) ( x 3)( x x 6) 4 Do x x 0, x điều kiện kéo theo vế phải dương nên để phương trình ( i) có cần 2 x x Xét hàm số dương f ( x) x nửa khoảng (5; ) có: f ( x) 2x 2x 0, x nên f ( x) hàm số dương đồng biến (5; ) (1) Xét hàm số dương g( x) x x nửa khoảng (5; ) có: g( x) x2 x6 0, x nên g( x) đồng biến (5; ) (2) Từ (1),(2) h( x) f ( x).g( x) ( x 3)( x x 6) hàm số đồng biến (5; ) có h(7) 4 nên x 7 nghiệm (i ) Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 7 Nhận xét Trong thí dụ trên, tơi sử dụng kết quả: "Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm đồng biến (nghịch biến) D" Ví dụ 209 Giải: ( x 1)2 x ( x 5) x 3x 31 0 () Lời giải Điều kiện: x 8 Đặt t x x tt3 8 () tt2 2tt ( 3 t4) 7 3tt tt 28 t ( 3 4) 28 0 (i) 0 Nhận thấy t không nghiệm nên xét t ( ; ) Xét hàm số f (tt) 3tt3 2tt 28 ( 4) tt2 ( 4) f (tt) (9tt2 2) tt , t 23 7 3 (t 7) ( ; ) có: 0, ( ; ) Do hàm số f (t ) đồng biến nửa khoảng ( ; ) Ta lại có: f (2) 0 t 2 x 9 nghiệm phương trình Kết luận Phương trình cho có nghiệm x 9 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word