Chuyên đề giá trị min max và bất đẳng thức (55 trang)

1 CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT     Với n   A ta có: A2 n 0 , A2 n 0 A 0 Với A ta có: A 0 , A 0 A 0 1 A  B (với A, B dấu)  A B n A 0  A 0 (với n số tự nhiên) II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Với n   , A biểu thức chứa x; y; m số tùy ý, dạng ta đưa hai loại toán sau: Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2 n  m với k  Hướng giải: Với k  A ta có A2 n 0  k A2 n 0  k A2 n  m m Do GTNN k A2 n  m m A 0 Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A  x    Lời giải 4 Với x ta có  x   0   x    3 ,  x   0 x  0 hay x  Vậy GTNN biểu thức A  x    x  Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A 4  x  1  2019 b) B 2021 x   2020  2022 Lời giải 2 a) Vì  x  1 0 x nên  x  1  2019 2019 Dấu xảy  x  1 0  x 1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2019 x 1 b) Vì 2021 x   2021 x   2020 2020 0 x  2021 x   0  x  2020  2022  2022 Dấu xảy 2 Vậy giá trị nhỏ B  2022 x  Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức C  x  y  2020 30   y  3  25 Lời giải 2020 2020 0 ,  x  y  0 x  y 0 hay x  y Với x; y ta có  x  y  30 30 30 Với y ta có  y  3 0   y  3 0 ,  y  3 0 y  0 hay y 3 2020 30 2020 30   y  3 0   x  y    y  3  25  25 hay Do với x; y ta có:  x  y  B  25 Ta có B  25 xảy đồng thời x  y y 3 hay x  y 3 Vậy GTNN biểu thức C  x  y  2020 30   y  3  25  25 x  y 3 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  1   y  1  10 B  x   2n   y  1 4n  100, n   Lời giải  x  1 0 x  A  x  1   y  1  10 10 + Ta có:   y  1  y  x  1 0  Dấu xảy   y  1 0  x 1   y 1  x 1 Vậy giá trị nhỏ A 10   y 1 2n  2n 4n  x   0 x  x   y   100  100     + Ta có:  4n y    y      x   n 0  Dấu xảy  4n   y  1 0  x 2   y 1  x 2 Vậy giá trị nhỏ B  100   y 1 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A  x  x  1  x  30 Phân tích: Với tốn mà biểu thức chưa có dạng A a.M  b Ta đặt thừa số chung để đưa dạng A a.M  b Lời giải Ta có: A  x  x  1   x  1  29  x  1  x  1  29  x  1  29 2 + Vì  x  1 0 x nên  x  1  29 29 Dấu xảy  x  1 0  x  Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 29 x  Loại 2: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2 n  m với k  Hướng giải: Với k  A ta có A2 n 0  k A2 n 0  k A2 n  m m Do GTLN k A2 n  m m A 0 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức sau a) C   x    102019 b) D   x  10  2020  2100 Lời giải 2 a) Vì   x   0 x nên   x    102019 102019 Dấu xảy   x   0  x 5 Vậy giá trị lớn biểu thức C 102019 x 5 b) Vì   x  10  2020 0 x    x  10  Dấu xảy   x  10  2020 2020  2100  2100 0  x  10 Vậy giá trị lớn D  2100 x  10 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B   x  1   y    Lời giải 6 Ta có: B   x  1   y        x  1   y    4 Với x ta có  x  1 0   x  1 0 ,  x  1 0 x  0 hay x 1 6 Với y ta có  y   0 ,  y   0 y  0 hay y  Do với x; y ta có: 6  x  1   y   0     x  1   y    0     x  1   y      hay     B  4 Vậy GTLN biểu thức B   x  1   y     x 1 y  2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức C   x    100  y  10   2025 Lời giải  2   x   0 x  C   x    100  y  10   2025 2025 + Ta có:    100  y  10  0 y    x   0  x 2  Dấu xảy     100  y  10  0  y  10  x 2 Vậy giá trị lớn C 2025   y  10 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức B  x  x    x  100 Lời giải Ta có: B  x  x     x     100  x     x    104   x    104 2 + Vì   x   0 x nên   x    104 104 Dấu xảy   x   0  x  Vậy giá trị lớn biểu thức C 104 x  Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn biểu thức D  x  x  y  y  50 Lời giải Ta có: D   x  x    x  1  y  y  y   55  x  x  1   x  1  y  y     y    55  x  1   x    y     y   55 2   x  1   y    55    x  1 0 x 2    x  1   y    55 55 Vì     y   0 y    x  1 0  x 1  Dấu xảy      y   0  y 2  x 1 Vậy giá trị lớn D 55   y 2 Dạng 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức Ở dạng xét tốn: Tìm số ngun n ( số tự nhiên n ) để phân thức A có GTLN – GTNN a với a; b; c số nguyên biết b.n  c + Nếu a   thì: Loại 1: A  A có GTLN b.n  c số dương nhỏ ứng với n nguyên A có GTNN b.n  c số âm lớn ứng với n nguyên + Nếu a   thì: A có GTLN b.n  c số âm lớn ứng với n nguyên A có GTNN b.n  c số dương nhỏ ứng với n ngun Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để A  15 có GTLN Tìm GTLN 2n  Lời giải Ta có tử 15  nên A  15 có GTLN 2n   có GTNN ứng với n   2n  Xét 2n    2n   n  Do để 2n   có GTNN ứng n   n phải số tự nhiên nhỏ thỏa mãn n  Từ ta suy n 3 GTLN A  15 15 15 2n  2.3  5 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để P  ( n 3) có giá trị lớn n Lời giải Ta có:  khơng đổi P có giá trị lớn n  số nguyên dương nhỏ n Ta có: n    n  Do n  N n  số nguyên dương nhỏ suy ra: n 4 Khi P đạt giá trị lớn Vậy n 4 Ví dụ 3: Tìm số ngun n để P  có giá trị nhỏ 2n  Lời giải Ta có:  khơng đổi P có giá trị nhỏ 2n  số nguyên âm lớn 2n  5 Ta có: 2n    n  Do n   2n  số nguyên âm lớn suy ra: n  Khi P đạt giá trị nhỏ  Vậy n  Ví dụ 4: Tìm n để phân số P  có giá trị lớn 2n  Lời giải Ta có:  khơng đổi P có giá trị lớn 2n  số nguyên dương nhỏ 2n  Ta có: 2n  7 n 0 Do 2n  nhỏ n 0  n 0 nên P đạt giá trị lớn Vậy n 0 Loại 2: A  a.n  d với a; b; c; d số nguyên biết b.n  c a.n  d f e  b.n  c b.n  c  Tách A   Việc tìm n ngun để A có GTLN – GTNN trở thành tốn tìm n ngun để f có GTLN có GTNN (Bài tốn loại 1) b.n  c  A Chú ý ta cách tách biểu thức A theo cách sau: a.n  d b  a.n  d  ban  bd ban  ac  bd  ac a  bn  c   bd  ac a bd  ac       b.n  c b  b.n  c  b  b.n  c  b  b.n  c  b  b.n  c  b b  b.n  c  Ví dụ 1: Tìm số ngun n để B  7n  có GTNN Tìm GTNN 2n  Lời giải Ta có: B n   n   14n  10 14n   17  2n  1  17 17 17         2n   2n  1  2n 1  2n  1  2n 1 2  2n 1 2  n 1 Do biểu thức B  7n  đạt GTNN đạt GTLN 2n  2n  Mặt khác, tử  nên đạt GTLN 2n 1  có GTNN ứng với n   2n  Xét 2n    2n    n   Do để 2n 1  có GTNN ứng với n   n phải số nguyên nhỏ thỏa mãn n Từ ta suy n 0 GTNN B  Ví dụ 2: Tìm số nguyên n để M  7n  7.0   2n  2.0  6n  đạt GTLN Tìm GTLN 4n  Lời giải Ta có: M  n  6n    n    6 3       4n   2n  3  2n  3 2  2n   2n  Do biểu thức M  6n  3 đạt GTLN đạt GTLN 4n  2n  Mặt khác, tử  nên đạt GTLN 2n   có GTNN ứng với n   2n  Xét 2n    2n   n  Do để 2n   có GTNN ứng với n   n phải số nguyên nhỏ thỏa mãn n  Từ ta suy n 2 GTLN M  Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n để P  6n  6.2   4n  4.2  5n  có giá trị nhỏ 2n  Lời giải 5 1 (2n  1)   (2n  1)   1 Ta có: P  5n   2   5  2 2n  2n  2n  2n  2(2n  1) 1 P đạt giá trị nhỏ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, lớn 2(2n  1) 2(2n  1) Do  không đổi Phân số có giá trị lớn (2n  1) số nguyên dương nhỏ 2(2n  1) Ta có: 2n    n  Do n  N (2n  1) số nguyên dương nhỏ suy ra: n 1 Khi P đạt giá trị nhỏ Ngồi hai loại thay n lũy thừa bậc cao n ta toán mở rộng Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Với A biểu thức chứa x; y; m số tùy ý, dạng ta đưa hai loại toán sau: Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A  m với k  Hướng giải: Với k  A ta có A 0  k A 0  k A  m m Do GTNN k A  m m A 0 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A   x  Lời giải Ta có:  x 0 với x nên A 2 Vậy A đạt giá trị nhỏ 12 x 3 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức A 3 x   Lời giải Với x ta có x  0  x  0  x    hay A  Vậy GTNN biểu thức A 3 x    x  0 hay x  Loại 2: Tìm GTLN biểu thức dạng: k A  m với k  Hướng giải: Với k  A ta có A 0  k A 0  k A  m m Do GTLN k A  m m A 0 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn B  x   Lời giải Ta có:  x  0 nên B 6 Vậy B đạt giá trị lớn x  Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B 6  x   x  y Lời giải Với x ta có x  0   x  0 x  0 x  0 hay x 2 Với x; y ta có x  y 0   x  y 0 x  y 0 x  y 0 hay x 2 y Suy x; y ta có:  x   x  y 0   x   x  y 6 hay B 6 Ta có B 6 xảy đồng thời x 2 x 2 y Thay x 2 vào x 2 y ta 2 y  y 1 Vậy GTLN biểu thức B 6  x   x  y x 2 y 1 Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức C  x   x  y   25 Lời giải Với x ta có x  0 , x  0 x  0 hay x  Với x; y ta có x  y  0  x  y  0 , x  y  0 x  y  0 hay y x  Do với x; y ta có: x   x  y  0  x   x  y   25  25 hay C  25 Ta có C  25 xảy đồng thời x  y x  Thay x  vào y  x  ta y   3 Vậy GTLN biểu thức C  x   x  y   25  25 x  y 3 CÁC DẠNG TỐN TỔNG HỢP Loại 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A  x  1  y   Lời giải 2 Với x ta có  x  1 0 ,  x  1 0 x 1 0 hay x  Với y ta có y  0 , y  0 y  0 hay y  Do đó:  x  1  y  0 , với x , y Suy A  x  1  y   3 , với x , y Vậy GTNN biểu thức A  x  1  y   x  y  Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B 10  x    y  1 Lời giải 6 Ta có : B 10  x    y  1 10   x    y  1  Với x ta có x  0  x  0 , x  0 x  0 hay x 5 6 Với y ta có  y  1 0 ,  y  1 0 y  0 hay y  6 Do x    y  1 0    x    y  1  0  10   x    y  1  10 hay B 10 Vậy GTLN biểu thức B 10  x    y  1 10 x 5 y  10 Loại 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A   x  2  Lời giải Do tử  nên biểu thức A   x  2 2 4 đạt GTLN  x     đạt GTNN 2 Với x ta có  x  1 0   x  1  4 2 Do GTNN  x     x   0 hay x  Vậy GTLN biểu thức A   x  2  Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức B  x  4  x 1 10 2 Lời giải Ta có: B  4  x  1 Biểu thức B  10 2  4  x 1 10 2 Mặt khác, tử  nên  x  1 10 2 đạt GTNN  x  1 10  x  1 10 2 đạt GTLN 10 2 đạt GTLN  x  1   đạt GTNN 10 10 Với x ta có  x  1 0   x  1  2 10 10 Do GTNN  x  1   x  1 0 hay x  Vậy GTNN biểu thức B  4  x 1 10 2   x  2 Loại 3: Tìm GTLN - GTNN phân thức chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A  2x   Lời giải Do tử  nên biểu thức A  đạt GTLN x    đạt GTNN 2x  