Đs9 chuyên đề 5 min max và bất đẳng thức(308 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | ĐS9-CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG Kiến Thức Cần Nhớ Để chứng minh bất đẳng thức A  B Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức thành bất đẳng thức mà phổ biến dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A B  A  B 0 + Dạng tổng bình phương: A  B  mX  nY  kZ 0 , với số m, n, k không âm + Dạng tích hai thừa số dấu: A  B  X Y 0 A  B  X n Y 0 Một Số Ví Dụ Minh Họa Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b số thực a) a  b 2ab 2 b)  a  b   a  b  2 c)  a  b  4ab d) a  b  c ab  bc  ca 2 e)  a  b  c   a  b  c  2 f)  a  b  c  3  ab  bc  ca  2 g) a  b  c  2  a  b  c  h) a b2 c   a  b  c với a, b, c  b c a Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b 2ab (*)  a  2ab  b 0   a  b  0 rõ ràng bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy a b b) Cộng hai vế (*) với a  b ta thu bất đẳng thức cần chứng minh c) Cộng hai vế (*) với 2ab ta thu bất đẳng thức cần chứng minh d) Từ a  b 2ab , tương tự ta có: b  c 2bc; c  a 2ca cộng bất đẳng thức 2 2 2 chiều ta có:  a  b  c  2  ab  bc  ca   a  b  c ab  bc  ca Ngoài ta làm theo cách khác: a  b  c ab  bc  ca   a  b  c    ab  bc  ca  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN (**) CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 2  a  2ab  b2  b2  2bc  c  c  2ca  a 0   a  b    b  c    c  a  0 , bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy a b c e) Nhân hai vế (**) với cộng vế với a  b  c ta thu bất đẳng thức cần chứng minh f) Cộng vế (**) với  ab  bc  ca  ta thu điều phải chứng minh g) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: a  2a   b  2b   c  2c  0 2   a  1   b  1   c  1 0 dấu đẳng thức xảy a b c 1 h) Với số thực dương a, b, c số thực k thỏa mãn: k 1 ta có:  a  b 2 2 0    k   a  b  0   a  b  k  a  b   a  b 2ab  k  a  b  Chia vế 2  a  b  , tương tự ta có hai bất đẳng thức cộng cho b  ta thu được: a  b 2a  k b b   a  b  b  c  c  a   a b2 c    a  b  c 2a  2b  2c  k     lại thu được: b c a b c a     a  b  b  c  c  a  a b2 c2   a  b  c  k     a  b  c Dấu đẳng thức xảy Hay b c a b c a   a b c Ví dụ Cho số thực khơng âm a, b Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 a) a  b ab  a  b  3 b)  a  b   a  b  2 2 c)  ax  by   a  b   x  y  d) 1   với ab 1 a  b  1  ab e) 1   với ab 1 a  b  1  ab f) 2  a  1   b  1 2  x  y g) x  y  a b a b  ab  với a, b, x, y  2 2 2 h)  ax  by  cz   a  b  c   x  y  z  CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN |  x  y  z i) x  y  z  a b c a b c j) 2 với a, b, c, x, y, z  1    với a, b, c 1 3  abc 1 a 1 b 1 c 4 k) a  b  c abc  a  b  c  Lời giải 3 a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b  ab  a  b  0   a  b   a  ab  b  ab  0   a  b   a  b  0 bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy a b 3 b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:  a  b    a  b  0 2   a  b    a  ab  b    a  b   0   a  b    a  b   0 bất đẳng thức cuối   Dấu đẳng thức xảy a b c) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 2  b   x  y    ax  by  0  a x  a y  b x  b y  a x  2abxy  b y 0 hay a y  2abxy  b2 x 0   ay  bx  0 , bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy ay bx d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b2  2    a  b     ab  2  a  1  b  1 2  ab  a  1  b  1  a  b  a 3b  ab  2ab  2a b  2a  2b   a 3b  2a b  ab3   a  2ab  b  0  a 3b  2a b2  ab3   a  2ab  b  0  ab  a  2ab  b2    a  2ab  b  0   ab  1  a  b  0 , bất đẳng thức với số thực không âm a, b thỏa mãn ab 1 e) Làm tương tự câu d f) Áp dụng bất đẳng thức câu c ta có:  a  1   a b  a   ab  1  a  b   ab  1.1  ab  1   1    b b b   a  1  a  b   ab  1   Tương tự ta có:  b  1  a  a  b   ab  1 , cộng bất đẳng thức chiều ta thu được: | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 b a     , dấu đẳng thức xảy 2  a  1  b  1  a  b   ab  1  a  b   ab  1 ab  a b 1 g) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: bx  ay  x  y     a  b   bx  ay  ab  x  y  ab a b  abx  aby  b x  a y abx  aby  2abxy  b2 x  2abxy  a y 0   bx  ay  0 Rõ ràng bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy ay bx h) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 2  b2  c   x  y  z    ax  by  cz  0  a  x  y  z   b2  x  y  z   c  x  y  z    a x  b y  c z  2abxy  2bcyz  2cazx  0   a y  2abxy  b x    b2 z  2bcyz  c y    c x  2cazx  a z  0 2   ay  bx    bz  cy    cx  az  0 Bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy ay bx a b c  bz cy    x y z cx az  i) Áp dụng bất đẳng thức câu g liên tục lần ta có: 2 x2 y z  a  y  z  x  y  z  đpcm Dấu đẳng thức xảy      a b c a b c a b c a b   ay  bx  a b c x y      x y z c  x  y   z  a  b   a  b c  x  y z Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức câu h ta có:  x  y  z  x2 y z   x  y z  a b z       a  b  c b c  b z  a   a 2  x  y  z Hay x  y  z  a b c a b c (đpcm) Các bất đẳng thức g, h, i cịn có tên gọi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Đây bất đẳng thức sở để giải hầu hết toán chứng minh bất đẳng thức Học sinh cần nắm phần j) Áp dụng bất đẳng thức câu d) liên tục lần ta có: CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | 1 1 2 4        3  a  b  c  abc  a3 b3  abc  a3 b3 abc  abc Hay 1    , dấu đẳng thức xảy a b c 1 3  abc 1 a 1 b 1 c k) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b  c  a bc  b2 ac  c ab 0  2a  2b  2c  a bc  2b2 ac  2c ab 0 2   a  b   2a b   b  c   2b c   c  a   2a c  2a bc  2b ac  2c ab 0 2 2 2   a  b    b  c    c  a    ab  bc    bc  ac    ab  ac  0 Suy a  b  c abc  a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức x  y  z  xy  yz  zx với x a , y b , z c ta thu được: a  b  c a b  b c  c a ab.bc  bc.ca  ca.ab abc  a  b  c  Ví dụ Chứng minh rằng: a) a  b b3  c c  a   2  a  b  c  với số thực dương a, b, c ab bc ca b) a b   b a  ab với a, b 1 4a b a b2   3 a, b 0 c)  a  b2  b2 a với d) a 2b a  2ab với a, b    2a  b3 2a  b k 1 16  4k e) Tìm số k lớn cho a  b3  a  b3  với a, b   a  b 2ab a  b2 a b   ab  f) với a, b  2  a  b Lời giải 3 a) Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x  y  xy  x  y  với x, y số dương 3 2 Thật x  y  xy  x  y    x  y   x  y  xy   xy  x  y    x  y  0 Áp dụng bất đẳng thức ta a  b b3  c c  a3 ab  a  b  bc  b  c  ca  c  a       2  a  b  c  ab bc ca ab bc a | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC a  b3 b  c c  a   2  a  b  c  ab bc ca b) Đặt x  a  1; y  b  , x 0; y 0 2 2 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành  x  1 y   y  1 y  x  1  y  1 x  1 y   y  1 y  x  1  y  1   x  1  y  1   x  1 y   x  1  y  1   y  1 x 0 2   x  1  y  1   y  1  x  1 0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x  y 1 hay a b 2 c) Cách 1: Bất đẳng thức cho tương đương với: 4a b a    b2  4a b   a  b  a2 b2 a  2a b  b     0   0 b a a 2b  a  b2    a2  b2  a a 2  b2  2 a   b2  0   a  b a 2b2 2  b    a  b   a 2b    a 2b  a  b  a 0  2       0  a b2  a  b      b  a 2b  2  b2   b2  a a b a 0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b Cách 2: Bất đẳng thức viết lại thành a ta  t 1 Suy t  b2  a 2b 2 4a b a  b2  a   b2  a2 b2 2  a2  b2  4    Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t  2ab  5  t  5t  0   t  1  t   0 Bất đẳng thức cuối ln  t 1 t Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 2b a  2ab a2b a  2ab      1 2a  b3 2a  b 2 a  b3 a  b  5 Đặt t  22ab  ,  a b    a  b  2a  b   2a  b     a  b 2a  b  2a  b   0   a  b    2a  b3    2a  b CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN |    a  b    2a  b    2a  b   a  b  2a 3 2   2a  b   0  2b3  2a b  2ab  0   a  b   a  b  0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b e) Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta được: k 1 16  4k  3  3 a b a b  a  b k 4k 8   3  3 0 3 3 a b  a  b a  a  b b  a  b  a  b  7b  4ab  a 7a  4ab  b  3k  a  b   a  b    0  3  b3 a3  a  b    a  b   a  b  a  b  a  5a 3b  12a b  5ab  b  a b3  3k  a  b  a  ab  b 0 2   a  b    a  5a 3b  12a b  5ab  b   a  ab  b   3ka 3b3  0 Vì  a  b  0 nên bất 2 2 3 đẳng thức  a  5a b  12a b  5ab  b   a  ab  b   3ka b 0 Cho a b bất đẳng thức trở thành 24a  3ka 0  k 8 Ta chứng minh k 8 số lớn thỏa mãn bất đẳng thức cho Thật vậy, ta xét trường hợp sau 2 2 3 + Với k   a  5a b  12a b  5ab  b   a  ab  b   3ka b  + Với k 8 bất đẳng thức viết lại thành a  5a 3b  12a b  5ab3  b   a  ab  b   24a 3b3 0 Ta có a  b 2a b ; a  b 2ab 2 4 2 2 2 nên a  5a b  12a b  5ab  b a  b  5ab  a  b   12a b 24a b 2 2 3 Và a  ab  b ab Do ta có  a  5a b  12a b  5ab  b   a  ab  b  24a b Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy số k lớn f) Bất đẳng thức cần chứng minh biến đổi sau: 2 a b  ab   a  b a  b 2ab   a b 2   a  b   2a  2b   2         1   0 a b  a  b2   ab   a  b   ab  0  Vì  a  b  0 nên ta cần chứng minh 2a  2b   a  b   ab 0 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Thật vậy, ta có 2 a  b a b      a  b 2 a  b 2    a  b  ; a  b  ab  a b   a  b   a b  Do bất đẳng thức tương đương với   a  b     a b    a  b2    a  b    a  b2   a  b     a  b 2  a  b   4ab  a  b   ab    0    a  b   a 0  2 b  0   a  b    a  b   ab  0      a  b  a  b   ab 0 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b Vi dụ Chứng minh bất đẳng thức: a) a  bc  b  ca  c  ab 1  ab  bc  ca với a, b, c  0; a  b  c 1 5b3  a 5c  b3 5a  c3 b)   a  b  c với a, b, c  ab  3b bc  3c ca  3a c) 1 1    với ( a, b, c  ) 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 33  1 1 d)       với a, b, c  a  b  c 3 ab  bc  ca a b c Lời giải a) Quan sát bất đẳng thức ta có nhận xét sau: + Dự đoán đẳng thức xảy a b c  + Khi thay a  b  c vào bất đẳng thức chuyển vế ta nhóm a  bc  a  bc ; b  ca  b  ca 0; c  ab  c  ab Do vai trị a, b, c nên ta dự đốn nhóm khơng âm Để chứng minh dự đốn ta bình phương làm bậc hai biến đổi tương đương thành tổng bình phương + Để ý giả thiết a  b  c 1 , ta có  a  b  a  c a  bc   a  b   a  c  Dễ dàng nhận a  bc Như cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp cịn lại bất đẳng thức chứng minh Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | a  bc  b  ca  c  ab a  b  c  ab  bc  ca  a  bc  a    bc  b  ca  b    ca  c  ab  c   ab 0 Ta cần chứng minh a  bc  a  bc 0; b  ca  b  ca 0; c  ab  c  ab 0 Thật ta có a  bc  a  bc 0  a  bc a  bc  a  bc a  2a bc  bc  a  bc  a  b  c  a  bc  Chứng minh tương tự ta  b  ca  b  b c  0 ca 0; c  ab  c  ab 0 Đến bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c  Cách 2: Kết hợp với giả thiết a  b  c 1 ta có a  bc   a  b  a  c ; b  ca   a  b  b  c ; c  ab   c  a  b  c Khi bất đẳng thức viết lại thành a  bc   a  b   a  c    a  b   b  c    c  a   b  c  1  ab  bc  ca Mặt khác ta có  a  b  a  c  a  bc  a  ab  bc  ca a  2a bc  bc  b  c 2 bc   b c Chứng minh tương tự ta  0  b  c  a  b b  ca ;  c  a  b  c c  ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta  a  b  a  c   a  b  b  c   c  a   b  c Hay a  bc  a  b  c  ab  bc  ca  a  b   a  c    a  b   b  c    c  a   b  c  1  ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c  5b3  a b) Ta chứng minh 2b  a với a, b số thực dương ab  3b Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta 5b3  a  2b  a   ab  3b2   5b3  a3 2ab  6b3  a 2b  3ab  a  b3 a 2b  ab | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC   a  b   a  b  0 Bất đẳng thức cuối đúng, bất đẳng thức chứng minh Chứng minh tương tự ta 5c  b3 5a  c  c  b ; 2a  c bc  3c ca  3a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 5b3  a 5c  b3 5a  c   a  b  c ab  3b bc  3c ca  3a Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c Cách 3: Ta có a3  5b3  2b  ab  3b  a  b3  2ab  a  ab    b3  a b   2ab   a b  ab  3 2a b  2ab  2ab   a b  ab  a  ab  3b  Do ta có a  5b  2b a hay ta ab  3b 5b3  a 5c3  b3 5a3  c 2b  a Áp dụng tương tự ta 2c  b; 2a  c ab  3b bc  3c ca  3a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 5b3  a 5c  b3 5a  c   a  b  c ab  3b bc  3c ca  3a Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c 3 2 c) Ta có: a  b  a  b   a  ab  b  Suy a  b3  ab  a  b   a  b   a  2ab  b   a  b   a  b  0 suy đpcm 3 Áp dụng bất đẳng thức ta có: a  b  abc ab  a  b   abc ab  a  b  c  Suy 1  Tương tự ta có: a  b  abc ab  a  b  c  3 b  c  abc suy ra:  1 ;  Cộng ba bất đẳng thức chiều ta bc  a  b  c  b  c  abc ca  a  b  c  1 1  3  3  Dấu đẳng thức xảy a  b  abc b  c  abc a  c  abc abc a b c d) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:  1 1      ab  bc  ca    ab  bc  ca  33  a b c  ab bc ca  3      ab  bc  ca  15 a b   c Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc  x  y  z  3  xy  yz  zx  ta có:  ab bc ca   ab bc bc ca ca ab     3     3  a  b  c  ta chứng minh bất đẳng thức  a b  a b b c   c  c a mạnh là: 3  a  b  c    ab  bc  ca  15 10 (*)