Đs9 chuyên đề 5 min max và bất đẳng thức(308trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | ĐS9-CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I BIẾN ĐỐI TƢƠNG ĐƢƠNG Kiến Thức Cần Nhớ Để chứng minh bất đẳng thức A  B Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức thành bất đẳng thức mà phổ biến dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A  B  A  B  + Dạng tổng bình phương: A  B  mX  nY  kZ  , với số m, n, k không âm + Dạng tích hai thừa số dấu: A  B  X Y  A  B  X 2n Y  Một Số Ví Dụ Minh Họa Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b số thực a) a  b2  2ab b)  a  b2    a  b  c)  a  b   4ab d) a2  b2  c2  ab  bc  ca e)  a  b2  c    a  b  c  f)  a  b  c    ab  bc  ca  g) a  b2  c    a  b  c  h) a b2 c    a  b  c với a, b, c  b c a Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b2  2ab (*)  a  2ab  b2    a  b   rõ ràng bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy a  b b) Cộng hai vế (*) với a  b2 ta thu bất đẳng thức cần chứng minh c) Cộng hai vế (*) với 2ab ta thu bất đẳng thức cần chứng minh d) Từ a  b2  2ab , tương tự ta có: b2  c2  2bc; c  a  2ca cộng bất đẳng thức chiều ta có:  a  b2  c    ab  bc  ca   a  b2  c  ab  bc  ca Ngồi ta làm theo cách khác: a  b2  c2  ab  bc  ca   a  b2  c    ab  bc  ca  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN (**) CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC  a  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ca  a    a  b    b  c    c  a   , bất đẳng 2 thức cuối Dấu đẳng thức xảy a  b  c e) Nhân hai vế (**) với cộng vế với a  b2  c2 ta thu bất đẳng thức cần chứng minh f) Cộng vế (**) với  ab  bc  ca  ta thu điều phải chứng minh g) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: a2  2a   b2  2b   c2  2c     a  1   b  1   c  1  dấu đẳng thức xảy a  b  c  2 h) Với số thực dương a, b, c số thực k thỏa mãn:  k  ta có:  a  b   1  k  a  b     a  b   k  a  b   a  b2  2ab  k  a  b  Chia vế 2 2  a  b a2 cho b  ta thu được: , tương tự ta có hai bất đẳng thức cộng  b  2a  k b b   a  b 2  b  c 2  c  a 2  a b2 c    a  b  c  2a  2b  2c  k    lại thu được:  b c a c a   b    a  b 2  b  c 2  c  a 2  a b2 c    abck   Hay   a  b  c Dấu đẳng thức xảy b c a c a   b  a  b  c Ví dụ Cho số thực không âm a, b Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3  b3  ab  a  b  b)  a3  b3    a  b  c)  ax  by    a  b2  x  y  d) 1   với ab  a  b  1  ab e) 1 với ab    a  b  1  ab f) 2  a  1   b  1  ab  x2 y  x  y    g) với a, b, x, y  a b ab h)  ax  by  cz    a  b2  c  x  y  z  x2 y z  x  y  z     i) với a, b, c, x, y, z  a b c abc 2 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | j) 1 với a, b, c     3  abc 1 a 1 b 1 c k) a  b4  c4  abc  a  b  c  Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a3  b3  ab  a  b     a  b  a  ab  b2  ab     a  b  a  b   bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy a  b b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:  a3  b3    a  b   2   a  b  4  a  ab  b2    a  b      a  b  3  a  b   bất đẳng thức cuối   Dấu đẳng thức xảy a  b c) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b2  x  y    ax  by    a x  a y  b2 x  b2 y  a x  2abxy  b2 y  hay a y  2abxy  b2 x    ay  bx   , bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy ay  bx d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b2  a  1 b  1    a  b2   1  ab    a  1 b  1  ab  a  b2  a3b  ab3  2ab   2a b2  2a  2b2   a3b  2a 2b2  ab3   a  2ab  b2    a3b  2a b2  ab3   a  2ab  b2    ab  a  2ab  b2    a  2ab  b2     ab  1 a  b   , bất đẳng thức với số thực không âm a, b thỏa mãn ab  e) Làm tương tự câu d f) Áp dụng bất đẳng thức câu c ta có:    ab  1 a  b  a a b    a  1   ab  1.1   ab  1   1  b b b   a  1  a  b  ab  1   2 Tương tự ta có:  a  1   b  1   b  1 b  a  a  b  ab  1  a , cộng bất đẳng thức chiều ta thu được:  a  b  ab  1  a  b  ab  1  , dấu đẳng thức xảy ab  a  b  .3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC g) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: bx  ay  x  y     a  b   bx  ay   ab  x  y  ab ab  abx2  aby  b2 x2  a y  abx2  aby  2abxy  b2 x2  2abxy  a2 y    bx  ay   Rõ ràng bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy ay  bx h) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b2  c  x  y  z    ax  by  cz    a  x2  y  z   b2  x  y  z   c  x  y  z    a x  b2 y  c z  2abxy  2bcyz  2cazx     a y  2abxy  b2 x    b2 z  2bcyz  c y    c x  2cazx  a z     ay  bx    bz  cy    cx  az   Bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy 2 ay  bx a b c  bz  cy    x y z cx  az  i) Áp dụng bất đẳng thức câu g liên tục lần ta có: x2 y z  a  y  z2  x  y  z  đpcm Dấu đẳng thức xảy      a b c ab c abc 2 a b x  y ay  bx a b c       x y z c  x  y   z  a  b  a b  c  x  y z Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức câu h ta có:  x  y  z 2  x   x2 y z  y z  a b z    a  b  c b c  b z  a   a x2 y z  x  y  z     Hay (đpcm) a b c abc Các bất đẳng thức g, h, i cịn có tên gọi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Đây bất đẳng thức sở để giải hầu hết toán chứng minh bất đẳng thức Học sinh cần nắm phần j) Áp dụng bất đẳng thức câu d) liên tục lần ta có: 1 1 2 4        3  a  b  c  abc  a3b3  abc  a3b3 abc  abc Hay 1    , dấu đẳng thức xảy a  b  c  3  abc 1 a 1 b 1 c CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | k) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a4  b4  c4  a2 bc  b2 ac  c2 ab   2a4  2b4  2c4  a2 bc  2b2 ac  2c2 ab    a  b2   2a b2   b2  c   2b2 c   c  a   2a c  2a bc  2b2 ac  2c ab  2   a  b2    b2  c    c  a    ab  bc    bc  ac    ab  ac   Suy 2 2 2 a  b4  c4  abc  a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b  c Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức x2  y  z  xy  yz  zx với x  a , y  b2 , z  c ta thu được: a4  b4  c4  a b2  b2 c2  c2 a  ab.bc  bc.ca  ca.ab  abc  a  b  c  Ví dụ Chứng minh rằng: a) a  b3 b3  c c  a     a  b  c  với số thực dương a, b, c ab bc ca b) a b   b a   ab với a, b  c) d) 4a b a  b2   a b2   với a, b  b2 a a2b a  2ab   với a, b  a  b 3 2a  b e) Tìm số k lớn cho k 1 16  4k  3  với a, b  3 a b a b  a  b 2ab a  b2 ab   ab  f) với a, b  2  a  b Lời giải a) Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x3  y  xy  x  y  với x, y số dương Thật x3  y3  xy  x  y   x  y  x  y  xy   xy x  y   x  y  Áp dụng bất đẳng thức ta a3  b3 b3  c3 c3  a3 ab  a  b  bc  b  c  ca  c  a        2a  b  c ab bc ca ab bc a a  b3 b3  c c  a    2a  b  c ab bc ca b) Đặt x  a  1; y  b  , x  0; y  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN  CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành  x2  1 y   y  1 y   x2  1 y  1 x  1 y   y  1 y   x2  1 y  1   x2  1 y  1   x  1 y   x  1 y  1   y  1 x    x2  1  y  1   y  1  x  1  Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức 2 chứng minh Đẳng thức xảy x  y  hay a  b  c) Cách 1: Bất đẳng thức cho tương đương với: 4a b   a  b  a b2 a  2a b  b 1      0 b a a b2  a  b2  4a b a    b2    a  b2  a a 2  b2  2 a   b2    a  b a b2 2  b   a  b   a 2b    a 2b  a  b  a 0  2     0  a b  a  b 2     b   a  b  a 2b  a 2b  a  b  0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b Cách 2: Bất đẳng thức viết lại thành a ta  t  Suy t  b2  a 2b 2 4a b a  b2  a   b2  a b2 2  a  b2   4   Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t  2ab    t  5t     t  1 t    Bất đẳng thức cuối ln  t  t Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2b a  2ab a2b a  2ab      1 a  b 3 2a  b 2a  b3 2a  b2   a  b   2a  b    2ab  ,  Đặt t   2  a b   2a  b    a  b 2a  b  2a  b  0  a  b    2a3  b3    2a  b    a  b  3  2a3  b3    2a  b2   2a  b     a  b   2a3  2b3  2a b  2ab2     a  b  a  b   CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b e) Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta được: k 1 16  4k  3  3 a b a b  a  b  k 4k 8   3  3 0 3 3 a  b  a  b a  a  b b  a  b a  b  7b  4ab  a 7a  4ab  b  3k  a  b   a  b    0  3  b3 a3  a  b   a  b  a  b   a  b a  5a3b  12a b2  5ab3  b4  a b3  3k  a  b  a  ab  b2 0 2   a  b   a  5a3b  12a b2  5ab3  b4  a  ab  b2   3ka3b3   Vì  a  b   nên bất đẳng thức  a  5a3b  12a b2  5ab3  b4  a  ab  b2   3ka3b3  Cho a  b bất đẳng thức trở thành 24a6  3ka6   k  Ta chứng minh k  số lớn thỏa mãn bất đẳng thức cho Thật vậy, ta xét trường hợp sau + Với k   a  5a3b  12a b2  5ab3  b4  a  ab  b2   3ka3b3  + Với k  bất đẳng thức viết lại thành a  5a3b  12a b2  5ab3  b4  a  ab  b2   24a3b3  Ta có a  b4  2a b2 ; a  b2  2ab nên a  5a3b  12a b2  5ab3  b4  a  b4  5ab  a  b2   12a b2  24a b2 Và a  ab  b2  ab Do ta có  a  5a3b  12a 2b2  5ab3  b4  a  ab  b2   24a3b3 Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy số k lớn f) Bất đẳng thức cần chứng minh biến đổi sau:  a  b a b a  b 2ab  ab    2 ab 2 2     1    0  a  b2 ab    ab     a  b   2a  2b   a  b   ab     Vì  a  b   nên ta cần chứng minh 2a  2b   a  b2   ab  Thật vậy, ta có | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC a  b  2a  b 2    a  b 2  a  b2    a  b  ; a  b  ab   a b    a  b a b  Do bất đẳng thức tương đương với   a  b     a b   0   2 a  b   a  b   2   a  b    a  b2   a  b     a  b 2  a  b   4ab  a  b   ab   2 a  b     a  b    a  b   ab      0  a  b  a  b   ab 0 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b Vi dụ Chứng minh bất đẳng thức: a  bc  b  ca  c  ab   ab  bc  ca với a, b, c  0; a  b  c  a) b) 5b3  a3 5c3  b3 5a3  c3    a  b  c với a, b, c  ab  3b2 bc  3c3 ca  3a c) 1 1 với ( a, b, c  )    3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 33  1 1 d)       với a, b, c  a  b  c  ab  bc  ca a b c Lời giải a) Quan sát bất đẳng thức ta có nhận xét sau: + Dự đoán đẳng thức xảy a  b  c  + Khi thay a  b  c vào bất đẳng thức chuyển vế ta nhóm a  bc  a  bc ; b  ca  b  ca  0; c  ab  c  ab Do vai trị a, b, c nên ta dự đốn nhóm khơng âm Để chứng minh dự đốn ta bình phương làm bậc hai biến đổi tương đương thành tổng bình phương + Để ý giả thiết a  b  c  , ta có  a  b  a  c   a  a  bc   a  b  a  c  Dễ dàng nhận bc Như cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp cịn lại bất đẳng thức chứng minh Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | a  bc  b  ca  c  ab  a  b  c  ab  bc  ca    a  bc  a  bc     b  ca  b  ca  c  ab  c  ab  Ta cần chứng minh a  bc  a  bc  0; b  ca  b  ca  0; c  ab  c  ab  Thật ta có a  bc  a  bc   a  bc  a  bc  a  bc  a  2a bc  bc   a  bc  a  b  c  a  bc   b c  0 b  ca  b  ca  0; c  ab  c  ab  Chứng minh tương tự ta Đến bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Cách 2: Kết hợp với giả thiết a  b  c  ta có a  bc   a  b  a  c ; b  ca   a  b b  c ; c  ab   c  a b  c  Khi bất đẳng thức viết lại thành a  bc   a  b  a  c    a  b b  c    c  a b  c    ab  bc  ca Mặt khác ta có  a  b  a  c   a   b  c  bc   bc  a  ab  bc  ca  a  2a bc  bc b c Chứng minh tương tự ta  0  b  c  a  b   b  ca ; c  a b  c   c  ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta  a  b  a  c    a  b b  c    c  a b  c   a  b  c  Hay a  bc  ab  bc  ca  a  b  a  c    a  b b  c    c  a b  c    đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  b) Ta chứng minh ab  bc  ca Vậy bất 5b3  a3  2b  a với a, b số thực dương ab  3b Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta 5b3  a3   2b  a   ab  3b2   5b3  a3  2ab2  6b3  a 2b  3ab2  a3  b3  a 2b  ab2 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC   a  b  a  b   Bất đẳng thức cuối đúng, bất đẳng thức chứng minh Chứng minh tương tự ta 5c3  b3 5a3  c3  c  b ;  2a  c bc  3c ca  3a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 5b3  a3 5c3  b3 5a3  c3    abc ab  3b2 bc  3c ca  3a Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a  b  c Cách 3: Ta có a3  5b3  2b  ab  3b2   a3  b3  2ab2   a3  ab2    b3  a b   2ab2   a b  ab2   2a b  2ab2  2ab2   a b  ab2   a  ab  3b2  Do ta có a3  5b3  2b  a hay ta ab  3b 5b3  a3 5c3  b3 5a3  c3  b  a  c  b ;  2a  c Áp dụng tương tự ta ab  3b bc  3c ca  3a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 5b3  a3 5c3  b3 5a3  c3    abc ab  3b2 bc  3c ca  3a Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a  b  c c) Ta có: a3  b3   a  b   a  ab  b2  Suy a3  b3  ab  a  b    a  b   a  2ab  b2    a  b  a  b   suy đpcm Áp dụng bất đẳng thức ta có: a3  b3  abc  ab  a  b   abc  ab  a  b  c  Suy 1  Tương tự ta có: a  b  abc ab  a  b  c  b  c  abc 3 suy ra:  1 ;  Cộng ba bất đẳng thức chiều ta bc  a  b  c  b  c  abc ca  a  b  c  1 1  3  3  Dấu đẳng thức xảy a  b  abc b  c  abc a  c  abc abc a b  c d) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:  1 1  ab bc ca       ab  bc  ca    ab  bc  ca   33        ab  bc  ca   15 a b  a b c  c Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc  x  y  z    xy  yz  zx  ta có: 2  ab bc ca   ab bc bc ca ca ab  2            a  b  c  ta chứng minh bất đẳng thức a b  a b b c   c  c a mạnh là: 3  a  b2  c    ab  bc  ca   15 10 (*) CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC  P  x  y  z  3xyz   x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx  3    x  y  z  x  y  z  2xy  yz  zx  2  3   x  y  z   x  y  z    2   3.5   9       Dấu “=” xảy  x, y, z    2,1,0  hoán vị Câu 39 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x2  8y  4xy x2  8z  4xz 8y  8z  16yz Cộng theo vế ta được: P  x2  16y2  16z2   xy  xz  4yz   128 Dấu “=” xảy x = 4y = 4z , thay điều kiện ta được: x  Câu 40 Ta có: +) 2x2  y2   x2  y2  x2    2xy  2x   x x x   2x  y  2xy  2x   xy  x   ) 6y  z   4y  z  2y    4yz  4y  2y 2y y    6y  z  4yz  4y   yz  y  1 Do đó: 294 6 ;y  z  3 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | VT  y x z    xy  x    yz  y  1 zx  2z   y yz x    xy  x  xyz   yz  y  1 xyz  2yz  2y  y yz    yz  y  1  yz  y  1  yz  y  1  yz  y   yz  y  1  Dấu “=” xảy x = y = 1, z = Câu 41 Theo AM-GM ta có:  x  y  xy  xy  1  xy   4 xy Do đó: 1 1 P      x2 y2   x2 y2   xy x y xy xy   Suy ra: P2 P2 1 15 15  xy   xy  2 xy  xy 16xy 16xy 16xy 16xy 15   17 16 Dấu “=” xảy x  y  17 Vậy giá trị nhỏ P Câu 42 Ta có:   x  y  6xy  x  y     x  y   xy     x  y   12xy   x  y   xy   Đặt a  x  y, b  xy  a, b   đó:   2a  12b  a  b    b a  12  2a  4a Do VT > nên 2a  4a   2a  a     a  295 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Ta có:  a a  12a 1  x y   x  y  xy   a T     1          1  2y x xy  2  2b 4a  8a  2 b Ta chứng minh: T  a  6 a2  a  12a 3  (luôn a  ) Thật vậy: T   4a  8a 4a  a   Dấu “=” xảy a = 6, b = hay x   3, y   x   3, y   Vậy giá trị nhỏ T Câu 43 Ta có: P xy xy x  2x y  y x2 y2      2 2 xy xy y x xy  x2  y2  xy x  y xy       xy xy  xy  x  y  x2  y2  xy  x  y   xy  P  2  2  xy xy  xy  xy Đặt t  xy xy Theo AM – GM thì: x  y  xy  Khi đó: P t t  15 t2     2 2  t  2 16t  16t t t 15  2  2 2 16t 16 15    4   33 Dấu “=” xảy x = y Vậy giá trị nhỏ P Câu 44 296 xy xy  1 t  2 2 t CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN | Theo giải thiết ta có: 4xy   8y Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 4x2  y2  4xy Suy ra: 4x2  y2   4xy   8y       Do đó: x2    8y  y2  y2    5y    y   y  Suy ra: x2   y   M  x2  1 y2  Dấu “=” xảy x = 2, y = Vậy giá trị nhỏ M Câu 45 Ta có: A  x4  4x  6x  4x   y  8y  24y  32y  17    x  1    y   4 Đặt a  x  1, b  y  , ta A  a   b4 Từ giả thiết ta được:  a  1 b  1   a  b  ab  4 Theo AM – GM ta có:   4a   4a  a  b2  a  b  (1)  2  4b   4b a  b2  2ab    2 a  b2  ab Cộng theo vế (1) (2) ta được:   a  b2  a  b  ab      a  b2  2 4 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta được: A  a   b4    1   a 2  b2   a  b2  4 1 17    4  2 Dấu “=” xảy a  b  1  x   ,y  2 Vậy giá trị nhỏ A 17 Câu 46 .297 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Ta có: yz xy zx    xy  yz  zx x  y  z y z  x z x  y y2 x2 11 1    z      1 1 1 2x y z    y z x z x y Đặt a  1 , b  ,c   abc  x y z Khi ta cần chứng minh: a2 b2 c2 abc    bc ac ab Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:  a  b  c   a  b  c  VP (đpcm) a2 b2 c2 VT     b  c a  c a  b a  b  c  2 Dấu “=” xảy x = y = z Câu 47 Áp dụng bất đẳng thức Côsi Tương tự x3 xz2 xz2 z  x   x   x 2 2 2xz x z x z y3 z x2  y2   y  Suy P  x  y  z  xy y2  z2 Theo gt z  x2  y2 P  xy  xy xy Vậy Pmin   x  y  z  Câu 48 Ta có: 1  a   b2  ab  a  Tương tự:  1  b  a  b2  2a  2ab  2a   ab  a    2    2 ab  a  ab  a  ab  a  ab  a   c2  bc  b   2 ; bc  b  1  c   a2  ca  c   1    Do đó: P       2Q  ab  a  bc   ca  c   298  2 ca  c  CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Với x, y dương ta có:  x  y     x  y   4xy  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Áp dụng (*) ta được: Tương tự: 1 1 1      ab  a   ab  a  1   ab  a    bc  b  1 1  ;    bc  b   ca  c  1 1     ca  c   Do đó: 1 1  Q       2Q   ab  a  bc  b  ca  c   1 1  P 6     1  ab  a  bc  b  ca  c   1 1     1   ab  a  bc  b  ca  c   1 c ac  6     1  abc  ac  c bc.ac  abc  ca  c   1 c ac  6     1  ca  c  ca  c  ca  c     2 5 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 49 Với x, y dương ta có:  x  y     x  y   4xy  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Sử dụng (*) ta được: Tương tự: ab ab ab  1      a  b  2c  a  c    b  c   a  c b  c  bc bc  1  ca ca  1     ;     b  c  2a  b  a a  c  c  a  2b  c  b b  a  Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: ab bc ca   a  b  2c b  c  2a c  a  2b ab  1  bc  1  ca  1              a  c b  c   b  a a  c   c  b b  a  299 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC   ab  bc ab  ca bc  ca     c  a bc a  b    b a  c  a  b  c  c a  b        a  c bc a  b   a  b  c   dpcm  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 50 Ta có: a  c a  2b  c a  2b  c   b  ac  2 2 a a 2 2a 2a       a  2b  c a  2b  c  a  2b  c  a  2b  c  b  ac b  ac b  ac  b  Mặt khác: a  b  c  3 abc   Do đó: 4 2a 12 2a a  b  c     a  2b  c  7a  10b  7c  a b c  VT  12      7a  10b  7c 7b  10c  7a 10a  7b  7c  a  b  c   c   17  ab  bc  ca   12  a  b2 Mặt khác:   a  b2  c  ab  bc  ca  a  b2  c  17  ab  bc  ca    a  b  c    12  a  b  c   a  b  c  17  ab  bc  ca  2  12  a  b  c  a  b  c  2  Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 51 Ta có: P a a  b b  c c a 3 b b 3 c c 3 a 2 a b c2    a  ab b  bc c  ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: 300  dpcm  CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | P  a2 a  ab  b2 b  bc a  b  c  abc3   c2 c  ac ab  bc  ca Mặt khác theo AM-GM:  ab  bc  ca  a  b bc ca   abc 2 a  b  c  abc  1 Do đó: P  a  b  c  a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P Câu 52 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:  a  b  c   ab  bc  ca a b2 c abc VT      ab bc ca a  b  c ab  bc  ca a  b2  c 2 a  b2  c ab  bc  ca 2 ab  bc  ca a  b2  c  a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b2  c     2    ab  bc  ca  a  b  c 2 a  b  c   ab  bc  ca     Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta được: VT  3  a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  2  ab  bc  ca  a  b2  c 2 a  b2  c 2     dpcm  2 Đẳng thức xảy a = b = c Câu 53 Sử dụng bất đẳng thức Minicopski ta được: ab  a b2   b c   c a      ab  bc  ca    a  b  c     dpcm  2   a2   bc  ab  bc  ca  2  b2   ca    ab  bc  ca  301 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN  c2 CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Dấu “=” xảy a  b  c  Câu 54 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: a ab2 ab2 ab  a   a  a 2 2b 1 b 1 b Tương tự: b bc  b ; 2 1 c c ca c 2 1 a Cộng theo vế bất đẳng ta được: R a b c ab  bc  ca    a  b  c   2 2 1 b 1 c 1 a  a  b  c  a  b  c    3 Dấu “=” xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ R 32  3 Câu 55 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:  1 x  2xy  4xyz  x  x.4y  z   2   1 3 1  x  x  y  z    x  x   x   2 2  2  x  x 2  x  x   x 2  x  2     x    x  2x    x   x  1  2 Do x  y  z    x   x   Vì thế: x  2xy  4xyz   x   x  1   (đpcm) Dấu “=” xảy x  1, y  ,z  Câu 56 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:  a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca  Thật vậy:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc 302 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Lại theo BĐT AM-GM ta có: abc  ab bc ca   a  b   b  c   c  a   a  b  b  c  c  a  2 Suy ra:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc   a  b  c  ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca  Suy đpcm:  ab  bc  ca  abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta có: 1 ab  bc  ca      a  2b b  2c c  2a  a  b  c  a  b  c ab  bc  ca  Lại có:     ab2c  a bc  abc  3abc a  b  c  a  b  c    a  b  c  3abc  a  b  c    abc 27 abc 92 a  b  c  Suy ra: P  2 abc  1 abc     2 a  2b b  2c c  2a abc   a  b  b  c  c  a    abc a  bc 1 Dấu “=” xảy khi:   abc    abc Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = Câu 57 Ta có:     a  ab  3b2   a  2ab  b2  ab  b   b     a  b   ab  b2   b2  b2  ab  2b  b  a  b   a  ab  3b2   b  a  b  1  Tương tự: b2  bc  3c   a  ab  3b2  1 c  b  c  2 ;  b  a  b  1 c  ac  3a   303 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN a  c  a  2 CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Với x, y dương ta có:  x  y     x  y   4xy  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Cộng theo vế sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: P b a  b     4b  a  b    c  b  c  2  4c  b  c   a c  a  2  4a  c  a    1   1   1   4b  a  b     4c  b  c     4a  c  a         1 1 1  1          a b c   a  b  b  c  c  a   AM  GM  Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được:  1 1 1  1 1 1 1 1  P                 a b c    a  b   b  c   c  a   1 1  1   1   1                    8 16  a b  16  b c  16  c a      1  3 3          8  a b c   8 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 59 Theo bất đẳng thức Schur với a, b, c số thực khơng âm thì: a  a  b  a  c   b  b  c  b  a   c  c  a  c  b   Biến đổi ta hệ quả: a  b3  c  3abc  a  b  c   b2  c  a   c a  b  Mặt khác ta có đẳng thức:  a  b  c   a  b3  c   a  b  b  c  c  a  Khi ta có:  a  b  c   9abc  a  b3  c  9abc   a  b  b  c  c  a  Do đó: VT  a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a  Ta có đẳng thức: 304 CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUYÊN | ) ) a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  c ab  bc  ca  abc   a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca  Do đó: a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a   a  b  c ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Câu 59 Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta được:  2x  z  2y  z    x  x  z  y  z  y    xy  zx  yz  Do đó: xy   2x  z  2y  z  xy  2x  z  2y  z   xy  xy  yz  zx yz yz  ;  2y  x  2z  x  xy  zx  yz Tương tự: Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: P  xy  zx  yz xy  zx  yz Vậy giá trị lớn P Câu 60 Ta có:     1 1  0        x  xy    y  xy   x  y  xy       xy   x   xy   y 0 1  x  1  xy  1  y  1  xy   xy  x  1  y    xy  y  1  x    1  x 1  y  1  xy   x   y  x 1  y   y  1  x 1  y  1   x  y 1  x  xy  xy xy  yz  zx zx zx   2z  y  2x  y  xy  zx  yz Đẳng thức xảy x = y = z 1)   0 305 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN 1 CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC    y  x  x  y x  y x y   0 1  x 1  y   xy      y  x  x  y  xy y  x    0 1  x 1  y   xy   y  x  y   1  x 1  y        x    xy  1   0 xy     xy  1  (đúng xy  )  1  x 1  y  1  xy  y x (1) Dấu “=” xảy x = y = Bất đẳng thưc (1) phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh 2) Sử dụng AM-GM ta có:  12   x  y   4xy  xy Đặt   4xy  8xy xy  4xy xy  t  t   , đó: 8t  4t  12   2t  t    2t  2t  3t      2t  t  1   t  1 t  1    t  1 2t  3t    t 1 Áp dụng bất đẳng thức ý ta có: P 1 2   2018xy   2018xy   2018t 1 x 1 y 1 t  xy Ta chứng minh:  2018t  2019  *  1 t Thật vậy:  *    2 t    2018  t  1    1 t   2018  t  1 t  1  1 t    1  t    2018  t  1   (đúng  t  )  1 t  Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị lớn P 2019 Câu 61 306 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ) a3 b3 c3 a4 b4 c4      a  2b b  2c c  2a a  2ab b  2bc c  2ca    b2  c  a a  b  c  2ab  2bc  2ca   b2  c   a  b2  c  a  b2  c  a  b2  c  b3 c3 a3 b4 c4 a4      a  2b b  2c c  2a ab  2b bc  2c ca  2a )   a a  b2  c   a ab  bc  ca  a  b  c    b2  c   a  b2  c  a  b2  c  a  b2  c  Cộng theo vế ta được: a  b3 b3  c c  a   2 a  2b b  2c c  2a Dấu “=” xảy a  b  c  (đpcm) Câu 62 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  1    x   7y 21  62 T  21  x     y           x y y  x 3 x  y 3  7y 21 62 x 2 2   3 x y 3   2.7  62   80 Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị nhỏ T 80 Câu 63 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có : (a.1 + b.1 + c.1 )2  ( a2 +12 + 12 )(b2 + c2 + 1) = (a2 + 2) (1+ b2 + c2) (1) Do vai trò a, b, c theo nguyên lý Dirichlet số a2 -1, b2-1,c2-1 tồn số dấu, giả sử b2-1; c2-1 307 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC  (b  1)(c  1)   b2c  b2  c    b c  2b  2c    3b  3c  (b  2)(c  2)  3(1  b  c )  (a  2)(b2  2)(c2  2)  3(a  2)(1  b2  c ) Từ (1) (2) , suy ra: S = = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  3(a +b+c)2=3.9=27 Vậy GTNN S = 27 a = b = c = 308 (2)