Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 45 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
45
Dung lượng
2,01 MB
Nội dung
66 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 5: ƯỚC CHUNG VÀ BỘ CHUNG A KiÕn thøc cÇn nhí I Ước bội 1) Định nghĩa ước bội Ước: Số tự nhiên d gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ước a a d N : d | a Nhận xét: Tập hợp ước a Ư Bội: Số tự nhiên m gọi bội a m chia hết cho a hay a ước số m a B a 0; a; 2a; ; ka , k Z Nhận xét: Tập hợp bội a 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên - Nếu Ư a 1; a a số nguyên tố - Số lượng ước số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố x y z số tự nhiên A a b c … số lượng ước A bằng x 1 y 1 z 1 … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: x m có x cách chọn (là 1, a, a , , a ) y n có y cách chọn (là 1, b, b , , b ) p có z cách chọn (là 1, c, c , , c z ),… x 1 y 1 z 1 Do đó, số lượng ước A bằng II Ước chung bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) Ư(b) có phần tử chung phần tử gọi ước số chung a b Kí hiệu ƯC(a; b) Nhận xét: Nếu ƯC a; b 1 a b nguyên tố Ước chung lớn (ƯCLN): Số d N gọi ước số chung lớn a; b Z a b d phần tử lớn tập hợp ƯC(a; b) Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN(a; b) (a;b) gcd(a;b) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử gọi bội số chung a b Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ (BCNN): Số m gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b) a; b lcm(a;b) 2) Cách tìm ƯCLN BCNN a) Muốn tìn ƯCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bước sau : Phân tích số thừa số nguyên tố 2.- Chọn thừa số nguyên tố chung 3.- Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Ví dụ: 30 2.3.5, 20 22.5 ƯCLN(30; 20) 2.5 10 Chú ý : - Nếu số cho khơng có thừa số ngun tố chung ƯCLN chúng - Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố - Trong số cho, số nhỏ ước số cịn lại ƯCLN số cho chính số nhỏ b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bước sau : 1- Phân tích số thừa số nguyên tố 2- Chọn thừa số nguyên tố chung riêng 3- Lập tích thừa số chọn , thừa số lấy với số mũ lớn chúng Tích BCNN phải tìm 20 22.5 BCNN(30; 20) 2.3.5 60 Ví dụ: 30 2.3.5, Chú ý: - Nếu số cho từng đôi nguyên tố BCNN chúng tích số Ví dụ : BCNN(5 ; ; 8) = = 280 - Trong số cho, số lớn bội số cịn lại BCNN số cho chính số lớn Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 3) Tính chất Một số tính chất ước chung lớn nhất: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com ● Nếu a1 ; a2 ; ; an ta nói số a1 ; a2 ; ; an nguyên tố a ;a 1, m k , m, k 1;2; ; n ● Nếu m k ngun tố ta nói số a1 ; a2 ; ; an đôi a b a; b ; c ● c ƯC (a; b) c c a b d a; b ; d d ● ● ca; cb c a; b ● a; b ● a; b; c a; b ; c a; c a; bc ● Cho a b a; b b - Nếu a b.q - Nếu a bq r r a; b b; r Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: M M ; a; b M ● Nếu a b ● ● ● a; b; c a; b ; c ka, kb k a, b ; a; b a; b a.b 4) Thuật tốn Euclid việc tính nhanh ƯCLN BCNN “Thuật toán Euclid” thuật toán cổ biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau Euclid (ơ –clit) hệ thống phát triển nên thuật tốn mang tên ơng Về số học, “Thuật toán Euclid” thuật toán để xác định ước số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số nguyên) Khi có ƯCLN ta tính nhanh BCNN Thuật tốn khơng u cầu việc phân tích thành thừa số số nguyên Thuật tốn Oclit – dùng để tìm ƯCLN số nguyên Để tìm ƯCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vòng lặp” sau: Bước 1: Lấy a chia cho b: Nếu a chia hết cho b ƯCLN(a, b) = b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Nếu a không chia hết cho b (dư r) làm tiếp bước Bước 2: Lấy b chia cho số dư r: a Nếu b chia hết cho r ƯCLN(a, b) = r rn Nếu b chia r dư r1 ( r1 ) làm tiếp bước Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1 : Nếu r chia cho r1 dư ƯCLN(a, b) = r1 Nếu r chia r1 dư r2 ( r1 ) làm tiếp bước Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 : b r1 r1 r2 q1 r3 q2 b q …… (a, b) rn1 qn Nếu r1 chia hết cho r2 ƯCLN(a, b) = r2 Nếu r1 cho cho r2 dư r3 ( r3 ) làm tiếp đến số dư bằng Số dư cuối khác dãy chia liên tiếp ƯCLN (a,b) Ví dụ: Tính ước số chung lớn 91 287 Trước hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14) Suy tốn trở thành tìm ƯCLN(91,14) Lặp lại quy trình phép chia khơng cịn số dư sau: 91 = 14.6 + (14 dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7.2 (khơng cịn số dư suy kết thúc, nhận làm kết quả) Thật vậy: = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối ƯCLN(287, 91) = Tính BCNN nhanh Để việc giải tốn BCNN ƯCLN nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƯCLN (a,b) a.b a, b a, b a , b Nghĩa là: Tích số nguyên a.b a.b a, b , a, b a.b a, b ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ƯCLN (12,18) = thì: BCNN (12,18) = (12 x 18) : = 36 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Nếu làm theo cách phân tich thừa số nguyên tố phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = x 32 suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số ngun có nhiều chữ số việc phân tích thừa số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễ 5) Phân số tối giản a b phân số tối giải a, b Tính chất: i) Mọi phân số khác đưa phân số tối giản ii) Dạng tối giản phân số iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Các tốn liên quan tới số ước số * Cơ sở phương pháp: Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố x y z x 1 y 1 z 1 số tự nhiên A a b c … số lượng ước A bằng … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: x m có x cách chọn (là 1, a, a , , a ) y n có y cách chọn (là 1, b, b , , b ) p có z cách chọn (là 1, c, c , , c z ),… x 1 y 1 z 1 Do đó, số lượng ước A bằng * Ví dụ minh họa: 96 Bài tốn Tìm số ước số 18 Hướng dẫn giải Ta có : 1896 32.2 96 3192.296 96 96 1 192 1 97.193 18721 Vậy số ước số 18 Bài toán Chứng minh rằng số tự nhiên lớn số chính phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com số ước số số lẻ Hướng dẫn giải ak a1 a2 * Giả sử n p1 p2 pk với pi nguyên tố N n số chính phương a1 , a2 , , ak số chẵn a1 1 a2 1 ak 1 số lẻ a a a Mặt khác k số số ước n, tốn chứng minh Bài tốn Một số tự nhiên n tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng n khơng thể có 17 ước số Hướng dẫn giải Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp có dạng : n m 1 m m 1 3m2 2 số chính phương Nếu n có 17 ước số n số chính phương (bài tốn 1), vơ lí Từ suy điều phải chứng minh Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết * Cơ sở phương pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dư, sau để thỏa mãn chia hết số chia phải ước phần số ngun dư, từ ta tìm số ngun n thỏa mãn điều kiện * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Hướng dẫn giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) chia hết cho (n + 2) (n + 2) ước (n +2) n Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n + 2) n 15 Bài toán Tìm số tự nhiên n để n số tự nhiên Hướng dẫn giải Để số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com 12 chia hết cho (n +3) (n + 3) Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 n 0; 1; 3; 9 Vậy với n 0; 1; 3; 9thì số tự nhiên Bài tốn Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + n + Hướng dẫn giải Ta có: n2 + 3n + n + Suy ra: n (n + 3) + n + n + => n + Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 4n Bài tốn Tìm số ngun n để phân số 2n có giá trị số nguyên Hướng dẫn giải 4n 4n n(2n 1) 7 n 2n 2n Ta có: 2n = 2n 4n Vì n nguyên nên để 2n nguyên 2n nguyên => 2n – Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n {– 6; 0; 2; 8} n {– 3; 0; 1; 4} 4n Vậy với n {– 3; 0; 1; 4} 2n có giá trị số ngun Bài tốn Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: 2n 5n 17 3n B n2 n2 n2 Hướng dẫn giải Ta có: B 2n 5n 17 3n 2n 5n 17 3n 4n 19 n2 n2 n2 n2 n2 4(n 2) 11 11 4 n2 n2 11 Để B số tự nhiên n số tự nhiên 11 (n + 2) n + Ư(11) = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word 1; 11 tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Do n + > nên n + = 11 n = Vậy n = B N Bài tốn Tìm k ngun dương lớn để ta có số nguyên dương n k 1 k 23 số Hướng dẫn giải k 2k k 23 k 21 484 484 k 1 ,k Z k 23 k 23 k 23 k 23 Ta có: n số nguyên dương k 23 | 484, k 23 23 n k 1 k 23 121 k 98 k 23 44 k 21 Ta có 484 = 22 = 4.121= 44.21 Với k = 98, ta có n = 81 Với k = 21, ta có n = 11 Vậy giá trị k lớn thỏa mãn yêu cầu toán 98 Dạng 3: Tìm số biết ƯCLN chúng * Cơ sở phương pháp: * Nếu biết ƯCLN(a, b) = K a = K.m b = K.n với ƯCLN(m; n) = (là điều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 ƯCLN(a, b) = 18 Hướng dẫn giải Giả sử a b Ta có: a b 162, a, b 18 a 18m b 18n với m, n 1, m n Đặt Từ a b 162 18 m n 162 m n Do ( m, n ) = 1, lập bảng: Liên hệ tài 039.373.2038 m n a 18 36 loai 72 b 144 126 liệu word toán zalo: 90 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Kết luận: Các số cần tìm là: 18;144 ; 36;126 ; 72;90 Bài tốn Tìm hai số nhỏ 200, biết hiệu chúng bằng 90 ƯCLN 15 Hướng dẫn giải Gọi hai số cần tìm a, b Ta có: a, b N ; a, b 200 a b 90; a, b 15 a 15m m, n m, n b 15n m n 15 m n 90 Đặt 15m 200 m 13 a, b 200 15n 200 n 13 Lại có: Vậy: m n a b 13 195 105 11 65 75 85 15 a, b 195;105 , 65;75 , 85;15 Bài toán Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 ƯCLN bằng Hướng dẫn giải Ta có: ab 432; a, b a b Đặt a 6m, b 6n với (m, n) = m ≤ n 36mn 432 mn 12 Ta được: Vậy m n a b 12 72 18 24 a, b 6;72 , 18, 24 Bài tốn Tìm hai số a, b biết 7a = 11b ƯCLN(a; b) = 45 Hướng dẫn giải Từ giả thiết suy a > b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com a 45a1 a1 ; b1 1, a1 b1 b 45b1 Từ ƯCLN(a; b) = 45 a 45.11 495 a 11 a 11 a 11 b b1 b1 a1 ; b1 => b 45.7 315 Mà: Vậy hai số a,b cần tìm a = 495 b = 315 Dạng 4: Các toán phối hợp BCNN số với ƯCLN chúng * Cơ sở phương pháp: * Nếu biết BCNN (a, b) = K ta gọi ƯCLN(a; b) = d a = m.d b = n.d với ƯCLN(m; n) = (là điều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Ví dụ minh họa: Bài toán Cho a 1980, b 2100 a) Tìm a, b b) So sánh a, b a, b a, b với ab Chứng minh nhận xét hai số tự nhiên a b khác tùy ý ( Nâng cao phát triển lớp tập – Vũ Hữu Bình) Hướng dẫn giải 2 a) 1980 5.11, ƯCLN(1980, 2100) 2100 2.3.52.7 22 3.5 60 BCNN 1980, 2100 22.32.52.7.11 69300 1980, 2100 1980, 2100 1980.2100 b) ( bằng 4158000 ) Ta chứng minh a, b a, b a.b rằng Cách Trong cách giải này, thừa số riêng coi thừa số chung, chẳng hạn a chứa thừa số 11,b khơng chứa thừa số 11 coi b chứa thừa số 11 với số mũ bằng Với cách viết này, ví dụ ta có: 1980 22.32.5.7 0.11 2100 22.3.52.7.110 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com b1 24 b 14 48 18 Câu 24 Gọi d = ƯCLN( 14n + ; 21n + 4) => d N* Khi ta có : 14n 3Md 42n 9Md 3 14n 3 Md 21n 4Md 42n 8Md => 42n 42n Md 1Md 21n Md Vậy hai số 14n + 21n + hai số nguyên tố Câu 25 Gọi d = ƯCLN( 2n + ; 6n + 5), => d N* Khi ta có : 3 2n 1 Md 2n 1Md 6n 3Md 6n 6n Md 6n 5Md 6n 5Md 6n 5Md => 2Md d U 1;2 Do 2n + Md, mà 2n + lại số lẻ nên d=2 loại, d=1 Vậy hai số 14n + 21n + hai số nguyên tố 14, x 770 Câu 26 Gọi số phải tìm x, (k ¥ ),770 14.55, (k,55) 1, k ước 14 Ta có: 770 xk Vậy k bằng: 1,2,7,14, tương ứng x bằng 770,385,110,55 (b, b a) a bMd , bMd , a Md Ta có ( a, b) nên Câu 27 a) Gọi d ƯC d 2 b) Giả sử a b ab chia hết cho số ngun tố d vơ lí Câu 28 Giả sử ab c chia hết cho số ngun tố d vơ lí Câu 29 a) 4n M13 4n 13 M13 4n M13 4(n 2) M13 Do 4,13 nên Đáp số: n 13k k ¥ * b) Đáp số : c) 25n 3 Đáp số: n M13 n 7k 3 k ¥ * M53 25n 53 M53 n 53k k ¥ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Câu 30 a) n không chia hết cho b) n số chẵn c) n số lẻ d) Giả sử 18n 21n chia hết cho số nguyên tố d 21n 18n 3 Md 21 Md Vậy d 3;7 18n 3, 21n Hiển nhiên d 21n không chia hết cho Như 18n 3 M7 18n 21 M7 (cịn 21n ln chia hết cho 7) 18 n 1 M7 n 1 M7 n k 1 k ¥ 18n 3, 21n Vậy Câu 31 Bài tốn khơng u cầu tìm giá trị n mà cần vô số giá trị n để giải sau: n 5, n 72 Do ngồi cách giải trên, n 5, n 72 57 Md Do n 15 Md , 57 Md nên tồn tại n Gọi d ƯC n 15 57 k cho d 1 Nếu ta chọn n 15, n 72 , rõ ràng có vô số giá trị Câu 32 a) ƯCLN a b, a b n 57 k 14 k 1, 2,3, n bằng a b lẻ, bằng a b có số chẵn số lẻ b) 29 Câu 33 a) Gọi a da ', b db ', (a ', b ') Ta có: ab da ' b ' d a ' b ' d 55 d Theo đề bài, ta có: da ' b ' d 55 hay Như a ' b ' ước 55, mặt khác a ' b ' a, b Ta có a' b' a b 4=2 11 44 11 10 = 2.5 10 5 10 50 25 55 54 2.33 = 54 27 54 27 d a ' b ' a 'b ' 11 5 b) Giải tương tự câu a) ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán d a ' b ' 1 zalo: Từ đó: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com d a ' b ' a 'b ' a' b' a b 6 3 2 10 c) Có cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70) Câu 34 a) 1; b) 1111 Câu 35 Đặt A n, n 1 B A, n 2 B n, n 1, n 2 Dễ thấy Áp dụng tính chất a, b, c a, b , c , ta có n, n 1 , suy n, n 1 n n 1 a, b a, b ab a; b Lại áp dụng tính chất d n n 1 , n Gọi Xét hai trường hợp: Do a.b a; b n 1, n nên - Nếu n chẵn d = 2, suy - Nếu n lẻ d = 1, suy n, n 1, n 2 n, n 1, n 2 n n 1 n n n 1 , n d n, n n, n n 1 n n, n 1, n 2 n n 1 n Câu 36 Gọi d ước chung 3n 5n ( d ¥ * ) 3n – 5n 1 Md 17Md d 1;17 Ta có 3n 4Md 5n 1Md nên 17 Để 3n 5n có ước chung lớn 1, ta phải có 3n 4M hay n –10 M 17 mà UCLN 3 ; 17 nên n –10 M17 n –10 17 k ( k ¥ ) Vì n ¥ , n 30 10 n –10 20 nên k 0 ; 1 17 5.10 1M 17 (thỏa mãn) Với k n 10 , 3.10 4M 17 5.27 1M 17 (thỏa mãn) Với k n 27 , 3.27 4M Vậy n 10 ; 27 2n Câu 37 Để n có giá trị số ngun 2n 1Mn (1) n Mn 2 Vì n 2Mn nên (2) n 2n 1 Mn Từ (1) (2) 3Mn n 1; 3;1;3 n 3; 5; 1;1 Vì n nguyên nên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Vậy với n 3; 5; 1;1 2n phân số n số nguyên Câu 38 Giả sử sau a phút (kể từ lúc 6h) xe lại xuất phát tại bến lần thứ BCNN 75, 60,50 Lập luận để suy a BCNN 75, 60,50 300 Tìm (phút) = Sau 5h xe lại xuất phát, lúc 11h ngày 2n 1Md d UCLN 2n 1, 6n 6n 5Md 6n 2n 1 Md Câu 39 Giả sử 2Md d 1; 2 Vì n số nguyên dương nên 2n M2 d d 1 2n Vậy với số ngun dương n phân số 6n ln tối giản 6n P n¥ 3n Câu 40 Cho phân số: a) Chứng tỏ rằng phân số P phân số tối giản * 6n 5,3n Gọi d ƯC (với d ¥ ) 6n Md 3n Md 6n 3n Md Md d Vậy phân số P phân số tối giản b) Với giá trị n phân số P có giá trị lớn nhất? Ta có: P 6n 3n 1 2 3n 3n 3n Với n ¥ 3n 1 5 2 P 3n 2 3n 2 Dấu “=” xảy n Vậy n phân số P có giá trị lớn bằng Câu 41 Gọi a d a1 UCLN a; b d a1; b1 b d b1 a 2b 48 da1 2db1 48 d a1 2b1 48 d U 48 Mà : Ta lại có: 3.BCNN(a; b) + ƯCLN(a; b) = 114 => d 3.a1.b1.d 114 d 3a1.b1 114 d U 114 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: (1) (2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Từ (1) (2) => Mà : d UC (48;114) 1; 2;3;6 d 3a1.b1 114 3.38 d M3 TH1 : d = 3=> d = d = a1 2b1 16 a1 2b1 16 1 3a1.b1 38 3a1.b1 37 (loại) a1 2b1 a1 2b1 a1 a 12 d 1 3a1.b1 19 a1.b1 b1 b 18 TH2 : Vậy a = 12 b = 18 Câu 42 Đặt (11a + 2b, 18a + 5b) = d 55a 10bMd 19a Md 36a 10b M d Và 198a 36bMd 19bM d 198a 55bMd Do Vậy 19a Md 19Md 19bMd (vì (a, b) = 1) d 1;9 Câu 43 Ta có a, b a,a b a a b,a b 2a b,a b 2a b,3a 2b 5a 3b,3a 2b 5a 3b, 5a 3b 3a 2b 5a 3b,13a 8b ab bc ca Mp abcMp Câu 44 Giả sử tồn tại số nguyên tố p cho a Mp abcMp bMp cMp Từ bMp a Mp ab acMp bcMp cMp Giả sử Điều mâu thuẫn với (a, b) = (a, c) = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com a b,a Câu 45 Ta có ab b a b, a b a ab b a b,3ab Do (a, b) = nên (a + b, ab) = Vì a b,a ab b a b,3ab a b,3 d 1;3 * Xét d = a b ab 3ab 9 2 a ab b 73 a ab b 73 Khi Điều khơng xảy a, b N * Xét d = Khi a;b 17;7 a b 24 ab 3ab 2 a ab b 73 a;b 7;17 a ab b 219 Thử lại ta hai cặp số thỏa mãn điều kiện toán Câu 46 Đặt n n d 22 1, 22 d lẻ Ta có 2 2 n n 1 1 1 n1 1 1 1 1 22 22 22 2 Do 2 Vậy 2n 2n 1 2n 1 2n n 2 n 2 2n 2m n 2m 22 2Md d n 1 M d (vì d lẻ) 1, 22 Câu 47 Đặt d = (m, n) Khi tồn tại số tự nhiên r, s cho rn - sm = d Đặt d1 2m 1, 2n 1 d1 lẻ Ta có: 2n 1M2d (vì n Md ) 2m 1M2d (vì mMd ) 2d Do d1 M Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com 2n 1Md1 rn 1Md1 2rn 2sm 2sm 2rn sm 1 2sm 2d 1 M d1 m sm M d M d 1 Mặt khác: Mà 2,d1 2d 1Md1 Từ suy 2 Vậy m d1 2d 1, 2n 1 2 m,n Câu 48 Giả sử a b a 15.m m n , m, n b 15 n Do ƯCLN (a, b) = 15 , 15 m n Khi BCNN(a; b) = Do đó: 15.m.n 15 15m 15n a.b ab 300.15 4500 ƯCLN(a; b).BCNN(a; b) mn 20 15m.15n 4500 mn Ta có bảng: m n a b 20 15 300 60 75 Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (15 ;60), (300 ; 75) đảo ngược lại d a, a d | a Câu 49 Giả sử d | a d | a a d d = Với a lẻ (a, a + 2) = Với a chẵn (a, a + 2) = Câu 50 Giả sử d | a a m 1 d | a 1 ,suy : d | a m1 1 a m 1 a 1 m d | m Vậy d | m d | a d m m1 a 1 Ngược lại, d | a d | a Vậy a a m 1 , a 1 m, a 1 Câu 51 Giả sử d | a, b | d , c | d d lẻ d Ta có a bM Liên hệ tài 039.373.2038 liệu a bM a bM 2d 2, d 1 word toán zalo: ab M d TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com bc cd M d M d Tương tự: ab bc ca , , 2 Vậy d ước ab bc ca , , 2 d ước Ngược lại, giả sử d ước ab a c bc a 2 Tương tự d | b d | c ab bc ca , , a , b, c 2 Vậy: Câu 52 Giả sử 999 37 Vì d d a1 , a2 , ,a 49 d | ak k 1, 2, , 49 d , suy d ước ,khi a1 a2 a49 999M nên ak d , k 999 a1 a2 a49 49d 99 21 29 Vậy d nhận giá trị 1,3, Giá trị d lớn bằng 9.48 567 999 ) Câu 53 Giả sử a1 a2 a48 9; a49 567 (vì d 11a 2b,18a 5b , d |18a 5b d |11a 2b , suy d |11 18a 5b 18 11a 2b 19b d |19 d | b Nếu d | b từ - d | 11a 2b 18a 5b a 5b d | a d | a, b d - Nếu d |19 d = d = 19 Vậy (11a + 2b, 18a + 5b) bằng bằng 19 Câu 54 Giả sử d m n, m n d | m n m n 2mn 2 d | m n d | m n suy 2 d | m n d | mn suy d | 2m m n 2mn 2m d | 2n m n 2mn 2n Do d | 2m , 2n m , n d Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: d = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Nếu m, n lẻ d = Nếu m, n khác tính chẵn lẻ d = d 21n 4,14n 3 Câu 55 a) Giả sử d | 21n , d | 21n d |14 n suy d | 14n 3 d | 14n 3 21n d 21n Vậy 14n phân số tối giản b) Giả sử d 2n 1, n 2n suy d | n 2n n 2n 1 n Từ d | 2n d | n suy d | 2n 2n d 2n Vậy 2n 2n phân số tối giản 18n 3 6n 1 21n 7 3n 1 Câu 56 a) Ta có: Mà 3,7 3,3n 1 6n 1,3n 1 nên 18n 6n 1,7 để phân số 21n tối giản ta phải có Mặt khác, 6n + = 7n – (n – 1), : 6n 1,7 n 1,7 n 7k k Z 18n Vậy, với n chia cho không dư 21n phân số tối giản 2n 11 2 n tối giản n 7,11 n 11k k Z , b) Ta có n Câu 57 Khơng tính tổng quát ta giả sử a b Vì a, b 16 nên a 16a1 , b 16b1 với a1 , b1 16 a1 b1 128 a1 b1 Từ a b 128 suy Với điều kiện a1 b1 a1 , b1 ta có a1 1, b1 a1 3, b1 Từ ta có a 16, b 112 a 48, b 80 Câu 58 Ta có hết Liên hệ tài 039.373.2038 ab ba 10a b 10b a 11 a b ;33 11.3 ab ba,33 11 liệu word tốn zalo: Vì (a + b) khơng chia TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Câu 59 Số có chữ số tận 136 chia hết có ít ước số dương 1, 2, 4, Câu 60 d | a, d | b d | ma nb, d | ka lb; d | ma nb, d | ka lb d | k ma nb m ka lb b d | b Tương tự : d | a Câu 61 Ta có 123456798 – 123456789 = nên ƯCLN phải tìm 1, 9, mà tất số cho chia hết ƯCLN phải tìm Câu 62 d | a 2a b a ab a d 2a b, a ab d | a2 , b2 d 2 d | b 2a b a ab b 2a Câu 63 a ) d 12n 1,30n d | 12n 1 30n d 12n Vậy phân số 30n phân số tối giản b) d 15n 8n 6,30n 21n 13 d | 15n2 8n 30n 21n 13 d | 5n d | 3n 5n 1 15n 8n d | 5n d | 5n 5n 1 d | d | 5n d |1 d d |5 15n 8n Vậy phân số 30n 21n 13 phân số tối giản n 13 15 1 n tối giản 15, n Câu 64 n Do n – không chia hết cho n 13 Do để phân số n tối giản n 3k 2, n 5l Câu 65 Chứng minh n lẻ không chia hết cho Câu 66 Các số cho có dạng n 2, k n tối giản n 37 n 35 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word k k 7,8, ,31 k n 2 k n 2 Mà k 1 n2 k nguyên tố với 7,8, ,31 n nhỏ tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Câu 67 a) a = 6, b = 60 a = 12, b = 30 11;44 a b ; 1;54 , 2;27 , 5;50 , 10;25 b) Các cặp số (a, b) với a b cần tìm Câu 68 n 1M 2,3, 4,5,6,7,8,9 5.7.8.9 2520 Vậy n 2519 N ab ab 1 2ab 1 b ab 1 2ab 1 b Câu 69 Ta có: chia hết cho số: 1; a ; ; ; a ab 1 2ab 1 ab ab 2ab 1 2ab ab ab 1 N ab ab 1 2ab 1 b ab 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; a 2ab 1 a ab 1 b 2ab 1 ; ; có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab 1; 2ab số nguyên tố Do a, b ab Nếu a; b lẻ ab chia hết hợp số (vơ lý) Do khơng tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ a Ta có b khơng chia hết cho 2ab 4b ab 2b chia hết cho hợp số (vô lý) b Vậy a 2; b 2 2 Câu 70 Đặt A = p pq 2q B = p pq q Xét trường hợp: +) p q , không thoả mãn +) p 2, q 3, A, B 2q 2q ,8 2q q q q ,8 p q 3q,8 2q q q,8 q q , 2) (vì p q M 3) (vì p q M = d Suy d lẻ d Do d = +) q 2, p 3, A, B p2 p 8, p2 p p p 8, p p , p 6, p p p 2, p p , 3) (vì p p 2M p 2, p Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word 2) (vì p p 8M tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com p 2, p p d 4p Suy d , d lẻ d p Do d = +) p, q 3, Vì p, q số lẻ nên p q p q số chẵn Suy A p p q 2q M2 B p q q p M2 Vậy A B không nguyên tố Tóm lại: p 2, q 3, q nguyên tố q 2, p 3, p nguyên tố a b, a Câu 71 Gọi b d a b Md 2 d a b M a 2ab b2 Md 2ab Md a, b ab, a b 2ab, a b 2, a b d ước số 2ab, a b d ước số 2, a b d ước số cùa d d a b a b a d 1 2 b a b 25 ab 12 Nếu a b a b 14 d 2 2 a b 50 vô nghiệm Nếu a, b 3, , 4,3 Tóm lại 2 Câu 72 Đặt A m n B m n Gọi d ước chung lớn A B với d Khi ta có A Md;BMd hay ta m nMd;m2 n2 Md Ta lại có A B m n m2 n2 2mn A Mà B M d d nên suy 2mnM 2n m n Md 2mn 2n2 M d m n M d Lại có nên Kết hợp với 2mnMd ta 2n Md Hoàn toàn tương tự ta chứng minh 2m2 Md Theo m n nguyên tố nên m n không tính chẵn Ta xét trường hợp sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Trường hợp 1: Trong hai số m n có số chẵn số lẻ, m n số lẻ nên từ m n chia hết cho d ta suy d số lẻ Từ ta m n chia hế cho d Mà ta lại có m n nguyên tố nên suy d Trường hợp 2: Cả hai số m n số lẻ, từ m n số chẵn nên từ m n chia hết cho d với d lớn ta suy d số chẵn 2 2 Đặt d 2d' , từ 2m Md 2n Md ta m Md' n Md' Do m n nguyên tố nên suy d' 1, d Vậy ta có hai kết sau: m n,m + Nếu hai số m n có số chẵn số lẻ m n,m + Nếu hai số m n lẻ n2 n2 Câu 73 Giả sử số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu tốn, ta có 4a 1,4b 1 16ab 1M a b Ta có Lại có 4a 1 4b 1 16ab 1 4 a b M a b 4a 1 4b 4 a b M a b Mà 4a 1,4b 1 Nếu hai số 4a a b chia hết cho số ngun tố p đó, a b ta suy 4b 1Mp , điều mâu thuẫn từ 4a 1 4b chia hết cho với giả thiết 4a 1,4b 1 Từ suy 4a 1,a b 4a 1,a b nên suy 4b 1M a b Ngược lại giả sử a, b số nguyên dương thỏa mãn 4b 1M a b Ta có 4a 1 4b 1 M a b Khi từ 4a 1 4b 1 M a b ta suy 16abM a b Nếu hai số 4a 4b chia hết cho p p số nguyên tố lẻ Ta lại có 4a 1 4b 4 a b M a b Do ta Liên hệ tài 039.373.2038 4b 1 4b 1 2Mp liệu word toán , suy 4b 1Mp , điều mâu thuẫn với p số nguyên tố lẻ zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Từ ta Website:tailieumontoan.com 4a 1,4b 1 Như hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 4a 1,4b 1 16abM a b tương đương với hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 4b 1M a b 4b 1 4 a b 4b 1M a b Chú ý 4b số lẻ nên từ ta suy 4b 1 a b a 3b 4b 1 3 a b b 3a Như cặp số nguyên dương a;b c;3c 1 , 3c 1;c * với c N b ab 1 2ab 1 b ; ; a ab 1 2ab 1 ab ab 2ab 1 2ab ab ab 1 N ab ab 1 2ab 1 b ab 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; a 2ab 1 a ab 1 b 2ab 1 ; ; có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab 1; 2ab số nguyên tố Do a, b ab Câu 74 Ta có: N ab ab 1 2ab 1 chia hết cho số: 1; a ; Nếu a; b lẻ ab chia hết hợp số (vơ lý) Do khơng tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ a Ta có b khơng chia hết cho 2ab 4b ab 2b chia hết cho hợp số (vô lý) b Vậy a 2; b 2 Câu 75 Gọi d ƯCLN(m, n) suy m , n , mn chia hết cho d m n m2 n2 m n 2 n m mn Do số nguyên nên m n m n chia hết cho d 2 Suy m + n chia hết cho d m n d Câu 76 a) Dễ thấy số m n d a, b, c 1,3, thỏa mãn đề b) Đặt S a b c ab bc ac Từ giả thiết suy S chia hết cho a, b, c Vì a, b, c đơi khác nhau, a, b, c đồng thời số nguyên tố S Mabc hay S kabc(k ¥ ) Khơng tính tổng quát, giả sử a b c Nếu a b, c lẻ b c bc lẻ nên không chia hết cho Do a nên b 5, c Từ S kabc( k ¥ ) suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 1 k ¥ ab ac bc a b c a , b , c đồng thời số nguyên tố Vậy 0k Câu 77 Thay x 2n A 4n n 4n n 4n n 1 8n Câu 78 Ta cần tìm ab ; cho biết abMab với a, b ab nab với n số tự nhiên khác 10a b nab 10a b na 1 10a M na 1 Nếu Nếu a b n 1 10 lập bảng để chọn: b n 1 10 n 11 a an 1 an ước số 10 an 1; 2;5 an 2;3;6 an 1, n 2;1 , 3;1 , 2;3 , 3; Thay a, n Ta có: vào ta tính b a; b 2; , 3;6 Đáp số: Liên hệ tài 039.373.2038 ab 11;12;15; 24;36 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... n 90 Đặt 15m 200 m 13 a, b 200 15n 200 n 13 Lại có: Vậy: m n a b 13 1 95 1 05 11 65 75 85 15 a, b 1 95; 1 05? ?? , 65; 75? ?? , 85; 15? ?? Bài tốn Tìm hai... có: da ' b ' d 55 hay Như a ' b ' ước 55 , mặt khác a ' b ' a, b Ta có a' b' a b 4=2 11 44 11 10 = 2 .5 10 5 10 50 25 55 54 2.33 = 54 27 54 27 d a ' b ' a 'b ' 11 5 b) Giải tương... Giả sử a b a 15. m m n , m, n b 15 n Do ƯCLN (a, b) = 15 , 15 m n Khi BCNN(a; b) = Do đó: 15. m.n 15 15m 15n a.b ab 300. 15 450 0 ƯCLN(a; b).BCNN(a;