Cđ5 ước chung và bội chung

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ5: ƯỚC CHUNG VÀ BỘ CHUNG A KiÕn thøc cÇn nhí I Ước bội 1) Định nghĩa ước bội Ước: Số tự nhiên d 0 gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ước a  a   d  N : d | a Nhận xét: Tập hợp ước a Ư Bội: Số tự nhiên m gọi bội a 0 m chia hết cho a hay a ước số m  a 0  B  a   0; a;2a; ; ka , k  Z Nhận xét: Tập hợp bội a 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số ngun - Các số -1 ước số nguyên - Nếu Ư  a   1; a a số nguyên tố - Số lượng ước một số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố một số x y z  x  1  y  1  z  1 … tự nhiên A a b c … số lượng ước A bằng Thật vậy ước A số có dạng mnp …trong đó: x m có x  cách chọn (là 1, a, a , , a ) y n có y  cách chọn (là 1, b, b , , b ) z p có z  cách chọn (là 1, c, c , , c ),…  x  1  y  1  z  1 Do đó, số lượng ước A bằng II Ước chung bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) Ư(b) có phần tử chung phần tử gọi ước số chung a b Kí hiệu ƯC(a; b) Nhận xét: Nếu ƯC  a; b   1 a b nguyên tố Ước chung lớn (ƯCLN):Số d  N gọi ước số chung lớn a b  a; b  Z  d phần tử lớn tập hợp ƯC(a; b) Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN(a; b) (a;b) gcd(a;b) File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử gọi bội số chung a b.Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ (BCNN):Số m 0 gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b)  a; b  lcm(a;b) 2) Cách tìm ƯCLN BCNN a) Muốn tìn ƯCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bước sau : Phân tích số thừa số nguyên tố 2.- Chọn thừa số nguyên tố chung 3.- Lập tích thừa số chọn,mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Ví dụ: 30 2.3.5, 20 22.5  ƯCLN(30; 20) 2.5 10 Chú ý : - Nếu số cho khơng có thừa số ngun tố chung ƯCLN chúng - Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố - Trong s ã cho, số nhỏ ước số cịn lại ƯCLN số chou s nhỏ ước số cịn lại ƯCLN số cho ước số cịn lại ƯCLN số chot ước số cịn lại ƯCLN số cho ước số lại ƯCLN số choc s cịn lại ƯCLN số choi ƯCLN số choCLN c số s ước số cịn lại ƯCLN số cho s nhỏ ước số cịn lại ƯCLN số cho ước số lại ƯCLN số chot ất ước số cịn lại ƯCLN số choy ã cho b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bước sau : 1- Phân tích số thừa số nguyên tố 2- Chọn thừa số nguyên tố chung riêng 3- Lập tích thừa số chọn , thừa số lấy với số mũ lớn chúng Tích BCNN phải tìm Ví dụ: 30 2.3.5, 20 22.5  BCNN(30; 20) 22.3.5 60 Chú ý: - Nếu số cho từng đôi nguyên tố BCNN chúng tích số Ví dụ : BCNN(5 ; ; 8) = = 280 - Trong số cho, số lớn bội số cịn lại BCNN số cho chính số lớn Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 3) Tính chất Một số tính chất ước chung lớn nhất: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ● Nếu  a1 ; a2 ; ; an  1 ta nói số a1 ; a2 ; ; an nguyên tố ● Nếu  am ; ak  1, m k , m, k    1;2; ; n ta nói số a1 ; a2 ; ; an đôi nguyên tố  a b   a; b   ;  c ● c  ƯC (a; b)  c c  a b d  a; b    ;  1 d d ● ●  ca; cb  c  a; b  ●  a; b  1  a; c  1  a; bc  1 ●  a; b; c    a; b  ; c  ● Cho a  b   a; b  b - Nếu a b.q - Nếu a bq  r  r 0   a; b   b; r  Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: M M  ;  1 a; b  M ● Nếu   a b  ● ● ●  a; b; c    a; b ; c   ka, kb  k  a, b ;  a; b  a; b  a.b 4) Thuật toán Euclid việc tính nhanh ƯCLN BCNN “Thuật tốn Euclid” thuật toán cổ biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau Euclid (ơ –clit) hệ thống phát triển nên thuật tốn mang tên ơng Về số học, “Thuật tốn Euclid” thuật toán để xác định ước số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số nguyên) Khi có ƯCLN ta tính nhanh BCNN Thuật tốn khơng u cầu việc phân tích thành thừa số số nguyên Thuật toán Oclit – dùng để tìm ƯCLN số nguyên Để tìm ƯCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vòng lặp” sau:  Bước 1: Lấy a chia cho b: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Nếu a chia hết cho b ƯCLN(a,b) = b Nếu a không chia hết cho b (dư r) làm tiếp bước  Bước 2: Lấy b chia cho số dư r: a Nếu b chia hết cho r ƯCLN(a, b) = r Nếu b chia r dư r1 ( r1 0 ) làm tiếp bước  Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1 : Nếu r chia cho r1 dư ƯCLN(a, b) = r1 Nếu r chia r1 dư r2 ( r1 0 ) làm tiếp bước Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 : Nếu r1 chia hết cho r2 ƯCLN(a, b) = r2 Nếu r1 cho cho r2 dư r3 ( r3 0 ) làm tiếp b r1 r1 r2 q1 r3 q2 b q …… rn rn (a, b) qn đến số dư bằng Số dư cuối khác dãy chia liên tiếp ƯCLN(a,b) Ví dụ: Tính ước số chung lớn 91 287  Trước hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 dùng cho vịng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14) Suy tốn trở thành tìm ƯCLN(91,14) Lặp lại quy trình phép chia khơng cịn số dư sau: 91 = 14.6 + (14 dùng cho vịng lặp kế) 14 = 7.2 (khơng cịn số dư suy rakết thúc, nhận làm kết quả) Thật vậy: = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối ƯCLN(287, 91) = Tính BCNN nhanh Để việc giải toán BCNN ƯCLN nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƯCLN (a,b) a.b  a, b   a, b    a, b   Nghĩa là: Tích số nguyên a.b  a.b  a, b  ,  a, b   a.b  a, b  ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ƯCLN (12,18) = thì: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN BCNN (12,18) = (12x 18) : = 36 Nếu làm theo cách phân tich thừa số nguyên tố phải tính: 12 = 22x3; 18 = x32suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số nguyên có nhiều chữ số việc phân tích thừa số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễ 5) Phân số tối giản a b phân số tối giải  a, b  1 Tính chất: i) Mọi phân số khác đưa phân số tối giản ii) Dạng tối giản phân số iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Các toán liên quan tới số ước số * Cơ sở phương pháp:Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố một số tự nhiên x y z x  1  y  1  z  1 A a b c … số lượng ước A bằng  … Thật vậy ước A số có dạng mnp …trong đó: x m có x  cách chọn (là 1, a, a , , a ) y n có y  cách chọn (là 1, b, b , , b ) z p có z  cách chọn (là 1, c, c , , c ),…  x  1  y  1  z  1 Do đó, số lượng ước A bằng * Ví dụ minh họa: 96 Bài tốn 1.Tìm số ước số 18 Hướng dẫn giải 96 Ta có : 1896  32.2  3192.296 96 Vậy số ước số 18 File word: Zalo_0946 513 000  96  1  192  1 97.193 18721 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Bài tốn 2.Chứng minh rằng số tự nhiên lớn số chính phương số ước số số lẻ Hướng dẫn giải ak a1 a2 * n  p p p p a  N k i i Giả sử với nguyên tố n số chính phương a1 , a2 , , ak số chẵn  a1  1  a2  1  ak  1 số lẻ Mặt khác minh  a1  1  a2  1  ak  1 số số ước n, tốn chứng Bài tốn 3.Một số tự nhiên n tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng n khơng thể có 17 ước số Hướng dẫn giải Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp có dạng : 2 n  m  1  m   m  1 3m  số chính phương Nếu n có 17 ước số n số chính phương (bài tốn 1), vơ lí Từ suy điều phải chứng minh  Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết * Cơ sở phương pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dư, sau để thỏa mãn chia hết số chia phải ước phần số nguyên dư, từ ta tìm số ngun n thỏa mãn điều kiện * Ví dụ minh họa: Bài tốn 1.Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Hướng dẫn giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) ước ⇔ (n +2)  { ; ; } ⇒ n  {0 ; 2} Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n +2) n  15 Bài tốn Tìm số tự nhiên n để n  số tự nhiên File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hướng dẫn giải Để ⇒ n +15 n+3 số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3) ⇔ 12 chia hết cho (n +3) ⇔ (n + 3) Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 ⇔ n 0; 1; 3; 9 Vậy với n 0; 1; 3; 9thì n + 15 n+3 số tự nhiên Bài toán 3.Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n +  n + Hướng dẫn giải Ta có: n2 + 3n +  n + Suy ra: n (n + 3) +  n + ⇔  n + => n + ¿ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 4n  Bài toán 4.Tìm số nguyên n để phân số 2n  có giá trị số nguyên Hướng dẫn giải 4n  4n   n(2n  1)  7  n  2n  2n  Ta có: 2n  = 2n  4n  Vì n nguyên nên để 2n  nguyên 2n  nguyên => 2n –  Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}  2n  {– 6; 0; 2; 8}  n  {– 3; 0; 1; 4} 4n  Vậy với n  {– 3; 0; 1; 4} 2n  có giá trị số nguyên Bài tốn 5.Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: 2n  5n  17 3n B   n2 n2 n2 Hướng dẫn giải Ta có: B 2n  5n  17 3n 2n   5n  17  3n 4n  19     n2 n2 n2 n2 n2 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  4(n  2)  11 11 4  n2 n2 11 Để B số tự nhiên n  số tự nhiên ⇒ 11  (n+2) ⇒ n+2 ¿ Ư(11) =  1; 11 Do n + > nên n + = 11 ⇒ n = Vậy n = B ¿ N n Bài tốn Tìm k ngun dương lớn để ta có số  k  1 k  23 số nguyên dương Hướng dẫn giải n Ta có:  k  1 k  23  k  2k   k  23  k  21  484 484  k   ,k  Z  k  23 k  23 k  23 n số nguyên dương k  23 | 484, k  23  23  k  23 121    k  23  44 Ta có 484 = 22 = 4.121= 44.21   k 98  k 21  Với k = 98, ta có n = 81 Với k = 21, ta có n = 11 Vậy giá trị k lớn thỏa mãn yêu cầu toán 98  Dạng 3: Tìm số biết ƯCLN chúng * Cơ sở phương pháp: * Nếu biết ƯCLN(a, b) = K a = K.m b = K.n với ƯCLN(m; n) = (là điều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 ƯCLN(a, b) = 18 Hướng dẫn giải Giả sử a b Ta có: a  b 162,  a , b  18  a 18m   b 18n với  m, n  1, m n Đặt  Từ a  b 162  18  m  n  162  m  n 9 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Do ( m, n ) = 1, lập bảng: m n a 18 36 loai 72 b 144 126 Kết luận: Các số cần tìm là: 90  18;144  ;  36;126  ;  72;90  Bài tốn Tìm hai số nhỏ 200, biết hiệu chúng bằng 90 ƯCLN 15 Hướng dẫn giải Gọi hai số cần tìm a, b Ta có: Đặt  a, b  N ; a, b  200  a  b 90;  a, b  15  a 15m   b  15 n     m, n  1    15 m  n  90     15m  200  a, b  200    15 n  200   Lại có: Vậy:  m, n  1    m  n 6   m 13     n 13 m n a b 13 195 105 11 65 75 85 15  a, b   195;105  ,  65;75  ,  85;15  Bài tốn Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 ƯCLN bằng Hướng dẫn giải Ta có: ab 432;  a, b  6  a b  Đặt a 6m, b 6n với (m, n) = m ≤ n  36mn 432  mn 12 Ta được: Vậy m n a b 12 72 18 24  a, b   6;72  ,  18, 24  File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Bài tốn Tìm hai số a, b biết 7a = 11b ƯCLN(a; b)= 45 Hướng dẫn giải Từ giả thiết suy a > b a 45a1   b 45b1 Từ ƯCLN(a; b) = 45  a 11 a 11     b b1 a1 11  b1 7  a1 ; b1  1,  a1 b1  a 45.11 495  a ; b  1 => b 45.7 315 1 Mà: Vậy hai số a,b cần tìm a = 495 b = 315  Dạng 4: Các toán phối hợp BCNN số với ƯCLN chúng * Cơ sở phương pháp: * Nếu biết BCNN (a, b) = K ta gọi ƯCLN(a; b) = d a = m.d b = n.d với ƯCLN(m; n) = (là điều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho a 1980, b 2100 a) Tìm  a, b  b) So sánh khác tùy ý  a, b   a, b  a, b  với ab Chứng minh nhận xét hai số tự nhiên a b ( Nâng cao phát triển lớp tập – Vũ Hữu Bình) Hướng dẫn giải 2 a) 1980 2 5.11, 2100 22.3.52.7 22.3.5 60 ƯCLN(1980, 2100) BCNN  1980, 2100  22.32.52.7.11 69300 b) rằng  1980, 2100  1980, 2100  1980.2100 ( bằng 4158000 ) Ta chứng minh  a, b  a, b  a.b Cách Trong cách giải này, thừa số riêng coi thừa số chung, chẳng hạn a chứa thừa số 11,b không chứa thừa số 11 coi b chứa thừa số 11 với số mũ bằng Với cách viết này, ví dụ ta có: 1980 22.32.5.7 0.11 2100 22.3.52.7.110 File word: Zalo_0946 513 000 10 File word: Zalo_0946 513 000