(Skkn 2023) phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán về bội chung và bội chung nhỏ nhất

Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI - –&& Mà SKKN PHÁT TRIỂN TƯ DUY CỦA HỌC SINH QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT MƠN: TỐN Năm học : 2017 – 2018 1/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Trang Đối tượng nghiên cứu: Trang Mục đích nghiên cứu Trang Phạm vi nghiên cứu Trang 5 Nhiệm vụ nghiên cứu Trang Phương pháp nghiên cứu Trang PHẦN II: NỘI DUNG A Cơ sở lí luận thực tiễn Trang B Giải pháp cách thực Trang Kiến thức Trang Các dạng tập cách giải Trang a Hệ thống tập đơn giản Trang b Hệ thống tập nâng cao Trang 15 Kết sau thực nghiệm Trang 22 C PHẦN III: KẾT LUẬN – BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trang 24 Bài học kinh nghiệm Trang 24 Kiến nghị Trang 25 Danh mục tài liệu tham khảo Trang 26 A- ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài 2/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Trong thời đại công nghiệp hóa đại hóa đất nước mục tiêu nhà trường đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với nhu cầu thực tế Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết phải tạo tiền đề vững lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên mơn nói chung mơn Tốn nói riêng Ngày nay, với phát triển vũ bão khoa học kĩ thuật phát triển mạnh mẽ đất nước, đòi hỏi ngành giáo dục phải thay đổi tầm nhìn phương thức hoạt động yêu cầu tất yếu, sản phẩm giáo dục người Nó định vận mệnh tương lai đất nước, điều thể rõ sách: “Coi giáo dục đào tạo quốc sách hàng đầu với khoa học cơng nghệ yếu tố định góp phần phát triển khoa học xã hội” Do cần phải đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa hội nhập quốc tế Xuất phát từ yêu cầu thực tế Toán học đời gắn liền với người, với lịch sử phát triển sống xã hội lồi người nói chung, người nói riêng Nó có lí luận thực tiễn lớn lao quan trọng đồng chí: Phạm Văn Đồng nói: “Tốn học mơn thể thao trí tuệ giúp rèn luyện tính thơng minh sáng tạo” Tốn học môn khoa học tự nhiên địi hỏi tính thơng minh trí tưởng tưởng cao người học Tốn học góp phần khơng nhỏ phát triển môn khoa học tự nhiên thúc đẩy môn khoa học xã hội phát triển, tảng để xây dựng nên môn khoa học tự nhiên khác Trong giáo dục, mơn tốn có vị trí quan trọng Trong nhà trường phổ thơng Tốn học môn học Đối với đa số học sinh, tốn mơn học khó nên q trình học tập học sinh trường phổ thơng địi hỏi phải có tư tích cực học sinh Trong đời sống hàng ngày tốn học giúp người có kĩ tính tốn, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, từ giúp người có điều kiện thuận lợi để tiến hành hoạt động lao động sản xuất thời kì cơng nghiệp hóa đại hóa đất nước Qua thực tế giảng dạy tơi thấy, học sinh lớp bước đầu làm quen với chương trình THCS nên cịn nhiều bỡ ngỡ gặp khơng khó khăn Đặc biệt với phân mơn số học, học tiểu học, với đòi hỏi 3/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ cấp THCS buộc em trình bày tốn phải lơgíc, có sở nên khó khăn lại khó khăn Trong đó, đa số em vận dụng kiến thức tư nhiều hạn chế, khả suy luận chưa nhiều, khả phân tích chưa cao, việc giải tốn em gặp nhiều khó khăn Vì học sinh giải đúng, xác, gọn hợp lí Mặc khác, q trình giảng dạy nhiều giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà chưa phát triển tư cho học sinh Đây vấn đề mà thầy giáo giảng dạy tốn bậc phụ huynh quan tâm, lo lắng Do muốn rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh phải vận dụng linh hoạt kiến thức học để phân loại chúng đưa cách giải hợp lí Vì nhiệm vụ người thầy giáo giải tập cho học sinh mà vấn đề đặt người thầy người định hướng, hướng dẫn cho học sinh cách tiến hành giải tốn Điều địi hỏi thầy giáo phải tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Để giúp em học tập mơn Tốn có kết tốt, giáo viên khơng nắm kiến thức, mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu Do yêu cầu đổi phương pháp dạy học “phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo học sinh” nên việc tổ chức cho em tìm tịi cách giải tốn u cầu tối cần thiết người thầy Trong giảng dạy mơn tốn, việc giúp học sinh nắm kiến thức biết khai thác mở rộng kiến thức áp dụng vào giải nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo nhanh nhạy giải tốn từ học mơn số học Môn số học môn học quan trọng học sinh nắm kiến thức số học có móng tốt để học mơn đại số năm tiếp theo.Qua q trình giảng dạy tơi thấy toán bội chung bội chung nhỏ hay, dạng tập phong phú, đa dạng toán bội chung bội chung nhỏ vận dụng để giải số dạng tốn khác góp phần lớn q trình bồi dưỡng học sinh giỏi Xuất phát từ thực tế qua năm giảng dạy tốn tơi thấy toán bội chung (BC) bội chung nhỏ (BCNN) quan trọng.Vì kiến thức ban đầu tìm BC BCNN cần hiểu rõ chất có kĩ thực kiến thức xuyên suốt năm học năm có tìm BC BCNN học sinh qui đồng mẫu số cộng, trừ phân 4/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ số có kiến thức học sinh quy đồng mẫu thức, cộng trừ phân thức năm Bên cạnh tơi cịn thấy: + Kỹ tìm BC BCNN em cịn yếu khơng rèn luyện nhiều + Các tốn BC BCNN em cịn mơ màng khơng có khả suy luận + Những em khơng biết tìm BC BCNN khơng biết làm tập yếu dần Vậy để khắc phục nhược điểm gây cho em hứng thú học tốn, thơng qua học phát triển trí tuệ rèn luyện tư sáng tạo phương pháp, kỹ giải toán, để từ em vận dụng vào giải tập đạt hiệu cao Xuất phát từ lý tâm huyết với em học sinh, niềm đam mê dành cho mơn tốn tơi không ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề việc soạn giảng kinh nghiệm riêng thân lý để chọn đề tài Đối tượng nghiên cứu: + Lớp áp dụng đề tài: Học sinh lớp 6A + Lớp đối chứng( không áp dụng đề tài): Học sinh lớp 6B Hai lớp trực tiếp giảng dạy trường THCS - Năm học 2017 – 2018 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu nhằm đề phương pháp sư phạm với mục đích: “Phát triển tư học sinh qua số toán chung bội chung nhỏ nhất”, góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn nói riêng tốn THCS nói chung Phạm vi nghiên cứu: Thời gian: Từ tháng năm 2017 đến tháng năm 2018 Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ số vấn đề sau: + Làm sáng tỏ sở lí luận kĩ giải toán + Đề xuất phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi đề tài Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lí thuyết + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm + Phương pháp thực nghiệm sư phạm 5/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ PHẦN II – NỘI DUNG A CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Địa phương tơi đời sống cịn nhiều khó khăn so với nhiều địa phương khác Do việc mua sắm tài liệu tham khảo đặc biệt học sinh thuộc diện hộ nghèo cận nghèo Vì vậy, khả giải tốn em cịn nhiều hạn chế Trong trình dạy học nhiều năm trường THCS nhận thấy đa số học sinh chưa phát huy hết lực giải tốn mình, học sinh đầu cấp THCS Đặc biệt môn số học bước khởi đầu quan trọng để hình thành khả phân tích giải toán cho học sinh năm học Giải tập tốn q trình suy luận, nhằm khám phá quan hệ logic cho với phải tìm Nhưng qui tắc suy luận, phương pháp chứng minh chưa dạy tường minh Do học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tập toán Thực tiễn dạy học cho thấy: Học sinh khá, giỏi thường đúc kết tri thức, phương pháp cấn thiết cho đường kinh nghiệm, học sinh TB, yếu gặp nhiều lúng túng Để có kỹ giải tập tốn phải qua q trình luyện tập Quan sát đặc điểm toán, khái quát đặc điểm đề mục vô quan trọng khái quát hướng suy nghĩ phương pháp giải Sự thực giải tập tốn khơng giải vấn đề cụ thể mà giải đề loạt vấn đề Do hướng suy nghĩ phương pháp giải tập toán định có ý nghĩa chung Nếu ta ý từ mà khái quát hướng suy nghĩ cách giải vấn đề ta dùng để đạo giải vấn đề loại mở rộng Nhà tốn học Đề-Các nói rằng: “Một vấn đề mà giải trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải vấn đề khác” Do sau giải tốn nên ý khai thác hướng suy nghĩ cách giải Vậy khái niệm BC BCNN học sinh chưa hiểu sâu (chỉ sở tính tốn số cụ thể) hiểu BC BCNN cách sơ sài, nông tư duy, hẹp kiến thức cách giải toán, chưa định hình cách giải tốn BC BCNN Trước thực đề tài cho học sinh tốn sau: (làm 15 phút) Tìm số tự nhiên có chữ số chia cho 17, cho 25 số dư theo thứ tự 16 Kết học sinh làm nửa chừng Gọi số tự nhiên a (0 < a < 1000) a : 17 dư a : 25 dư 16 6/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Nhiều học sinh làm đến lúng túng cách giải Ta có: a –  17 a – + 17  17 a – 16  25 => a – 16 + 25  25 a +  17 => => a +  BC ( 17; 25 ) a +  25 Mà BCNN ( 17; 25 ) = 425 a + = B ( 425 ) = { 0; 425; 850; 1275;…} Vì a số tự nhiên có chữ số nên a + = 425 => a = 416 a + = 850 => a = 841 Vậy số cần tìm là: 416 841 Với đề kết thu lớp mà giảng dạy trường THCS sau: * Lớp 6A: Điểm Số học sinh: 36 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 14 10 9.0-10 TB 16 9.0-10 TB 13 * Lớp 6B: Điểm Số học sinh: 37 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 15 10 Thông qua kết rút số kết luận sau: 1) Về phía giáo viên: Thực tế q trình học tập trường THCS nay, vài giáo viên không xem trọng việc tự học nhà học sinh mà thường giáo viên hướng dẫn cách sơ sài, giáo viên chưa phát huy hết tác dụng đồ dùng dạy học, đặt câu hỏi chưa rõ ràng chưa sát với yêu cầu toán, chưa đưa dạng toán tổng hợp cuối chương làm cho học sinh không rèn luyện nhiều, chưa hình thành kĩ giải tốn làm cho em gặp nhiều khó khăn q trình học tốn 2) Về phía học sinh: Học sinh trường THCS mà giảng dạy tiếp thu chậm vận dụng kiến thức từ lý thuyết toán BC BCNN vào làm tập hạn chế Khả tính tốn em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí phương pháp giải, giải tốn chưa hợp logic, khả phân tích, dự 7/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ đoán kết số em hạn chế khả khai thác tốn chưa sâu Ngồi số học sinh khơng có khả phân tích tốn từ đề u cầu sau tổng hợp lại, khơng chuyển đổi từ ngơn ngữ bình thường sang ngơn ngữ số học khơng tìm phương pháp chung để giải toán bội chung bội chung nhỏ nhất, từ cần có khả so sánh cách giải để trình bày lời giải cho hợp lí Nhiều học sinh giải không xác định đáp án sai Vận dụng cách giải để tạo tốn tổng qt Bên cạnh học sinh cịn hạn chế tìm tịi sách tham khảo để tìm cơng thức quen thuộc sáng tạo lời giải Nguyên nhân: + Do thời lượng luyện tập khố cịn ít, học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm tập giải tập nhiều + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, số học máy móc, hiểu cách đơn giản chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn q trình làm tập + Cách trình bày lời giải tốn chưa thật chặt chẽ thực phép tính chưa xác nên kết chưa cao + Chưa có phương pháp học tập hợp lí; Chưa xác định dạng tốn; Chưa có thời khóa biểu học nhà cụ thể + Đại đa số em làm tập đơn giản + Một số em cịn lúng túng, nhầm lẫn tìm BCNN ƯCLN + Có em khơng nắm cách tìm BC thơng qua BCNN + Khi gặp số tốn địi hỏi phải có kĩ suy luận hầu hết học sinh không làm Thông qua kết thấy cần phải khuấy động phong trào học toán, khơi dậy lòng ham học em để em đạt kết cao Vì tơi áp dụng đề tài vào học sinh lớp 6A trường THCS mà trực tiếp giảng dạy 8/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ B GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN: - Trang bị yêu cầu học sinh nắm lí thuyết - Hệ thống tập đơn giản - Hệ thống tập nâng cao * Nội dung đề tài Muốn cho học sinh nắm kiến thức cần trang bị cho em lí thuyết, đồng thời rèn luyện cho em làm thành thạo toán BC BCNN 1) Kiến thức - Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b a gọi bội b; b gọi ước a - Tập hợp bội a kí hiệu B(a) - Muốn tìm bội số a (a 0) cách nhân số a với 0; 1; 2; 3; … Bội a có dạng tổng quát a.k với k  N - Bội chung hay nhiều số bội tất số - Tập hợp bội chung hai số a b kí hiệu BC(a,b) x  BC(a,b) x a; x b - BCNN hay nhiều số số nhỏ khác tập hợp BC số - Bội chung nhỏ hai số a b kí hiệu BCNN(a,b) - Cách tìm BCNN hay nhiều số lớn 1: (ta làm theo bước) Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung riêng Bước 3: Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm - Nếu số cho đơi ngun tố BCNN chúng tích số - Trong số cho số lớn bội số cịn lại BCNN số cho số lớn - Muốn tìm BC số cho, ta tìm bội BCNN số 2) Các dạng tập cách giải a Hệ thống tập đơn giản nhằm giúp em nắm kiến thức Bài tốn 1: (Ví dụ 3/T59 – Sách trọng tâm kiến thức phương pháp giải tập tốn tập 1) Tìm tập hợp bội chung của: a) 15 9/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ b) c) 9; 12 18 Khi gặp toán đơn giản học sinh sử dụng phương pháp liệt kê sử dụng phương pháp tìm bội BCNN số cho a) Tìm BC(5; 15) Cách 1: Sử dụng phương pháp liệt kê Ta có: B (5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; …} B (15) = {0; 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; …} => BC (5; 15) = {0; 15; 30; 45; 60; …} Cách 2: Sử dụng phương pháp tìm bội BCNN số cho Ta có: = 15 = 3.5 => BCNN(5;15) = 3.5 = 15 => BC(5; 15) = B(15) = {0; 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; …} Phần a làm cách sau: Ta thấy 15 5 nên BCNN(5;15) = 15 => BC(5; 15) = B(15) = {0; 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; …} b) Tìm BC(2; 3) Cách 1: Ta có: B (2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20;…} B (3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; …} => BC (2; 3) = {0; 6; 12; 18; …} Cách 2: Ta có: = 3=3 => BCNN(2; 3) = 2.3 = => BC(2; 3) = B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; …} Phần b làm cách sau: Ta thấy ƯCLN(2; 3) = nên hai số nguyên tố => BCNN(2; 3) = 2.3 = => BC(2; 3) = B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; …} c)Tìm BC(9; 12; 18) Cách 1: Ta có: B (9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; …} 10/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Ta có: 10 = 2.5 999 = 33.37 1000 = 23.53 => BCNN ( 10; 999; 1000 ) = 23.33.53.37 = 999000 Sau thành thạo tìm BC BCNN giáo viên đưa cho em dạng tập khác để lồng ghép vừa rèn kĩ tìm BC BCNN vừa rèn khả suy luận Bài toán 5: (Bài 85/T39 – Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 6) Số học sinh trường số có chữ số lớn 900 Mỗi lần xếp hàng 3; hàng 4; hàng vừa đủ không thừa học sinh Hỏi trường có học sinh Đây toán phát biểu dạng tốn có lời văn thực chất tốn BC thường gặp Học sinh nên hiểu rõ chất toán Học sinh phải hiểu số học sinh trường xếp hàng 3, hàng 4, hàng vừa đủ khơng thừa học sinh có nghĩa số học sinh trường chia hết cho 3; chia hết cho chia hết cho Gọi số học sinh trường x (x  N*) (Học sinh cần hiểu x  N* số học sinh 0) (900 < x < 1000) Vì xếp hàng 3; hàng 4; hàng vừa đủ không thừa học sinh nên: x 3 x 4 => x  BC (3; 4; 5) x 5 Ta có: BCNN (3; 4; 5) = 3.4.5 = 60 => BC (3; 4; 5) = B (60) = {0; 60; 120; 180; …; 900; 960; 1020; …} Vì 900 < x < 1000 nên x = 960 Vậy số học sinh trường 960 học sinh Bài toán 6: ( Bài 145/T38 – Toán nâng cao chuyên đề toán 6) Ba em An, Bảo, Ngọc học trường ba lớp khác An ngày trực nhật lần, Bảo 10 ngày trực nhật lần Ngọc ngày trực nhật lần Lần đầu ba em trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày ba bạn lại trực nhật Đến ngày em trực lần Loại tốn loại toán quan trọng học BC BCNN đòi hỏi giáo viên phải phân tích để em nắm để từ vận dụng vào làm tốn khác 12/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Giáo viên phân tích Ba bạn An, Bảo, Ngọc ba lớp khác An ngày trực nhật lần Bảo 10 ngày trực nhật lần Ngọc ngày trực nhật lần Lần đầu ba em trực nhật ngày Vậy số ngày để em lại trực nhật phải chia hết cho 5; chia hết cho 10; chia hết cho => Số ngày phải BCNN 5; 10; BCNN (5; 10; 8) = 40 Khi An trực nhật: 40 : = ( lần ) Bảo trực nhật: 40 : 10 = ( lần ) Ngọc trực nhật: 40 : = ( lần ) Bài tốn 7: (Bài 83/T34 – Sách ơn tập tốn 6) Một số tự nhiên chia cho 4, cho cho dư Tìm số đó, biết số chia hết cho nhỏ 400 Trước hết giáo viên phải nắm thông tin từ phía học sinh xem học sinh hiểu tốn hướng làm em Đối với học sinh chậm hiểu giáo viên giảng chậm rõ ràng để học sinh theo kịp Học sinh hiểu số chia cho 4, cho 5, cho dư có nghĩa số trừ chia hết cho 4; 5; Vậy phép suy luận tìm hướng giải tốn Gọi x số cần tìm (x  N*, x  x < 400) Theo đề bài: x – 4 x – 5 => x –  BC (4; 5; 6) x – 6 Ta có: BCNN (4; 5; 6) = 60 BC (4; 5; 6) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; …} => x – = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420;…} => x = {1; 61; 121; 181; 241; 301; 361; 421; …} Mà x  x < 400 nên x = 301 Vậy số phải tìm 301 Bài tốn 8: (Ví dụ 35/T61 – Sách kiến thức nâng cao toán tập 1) Một liên đội thiếu niên xếp hàng 3, hàng 4, hàng 5, thừa người Tính số đội viên liên đội, biết số đội viên vào khoảng 160 đến 190 13/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Bản chất toán phát biểu dạng khác Thông qua tập học sinh rèn kĩ suy luận, kĩ vận dụng rèn kĩ tìm BC BCNN Gọi số đội viên liên đội x (x  N* 160  x  190) Theo đề số đội viên xếp hàng 3, hàng 4, hàng thừa người nên: x – 3 x – 4 => x –  BC (3; 4; 5) x – 5 158  x –  188 Ta có: BCNN (3; 4; 5) = 60 BC (3; 4; 5) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; …} Vì x –  BC (3; 4; 5) 158  x –  188 Do đó: x – = 180 => x = 182 Vậy số đội viên liên đội 182 người Bài toán 9: ( Bài 18.14/T111- Các dạng toán phương pháp giải tốn tập 1) Tìm số tự nhiên nhỏ mà chia cho 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 số dư 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Gọi số cần tìm x (x  N*) Theo đề ta có: x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + 8 x + 9 x +  10 => x +  BC ( 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 ) Mà BCNN ( 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 ) = 23.32.5.7 = 2520 Do x + = B (2520) = {0; 2520; 5040; 7560; …} Vì x + > x nhỏ nên x + = 2520 => x = 2519 - => x = 2519 14/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ b) Hệ thống tập nâng cao nhằm phát triển kĩ phát triển tư cho học sinh Bài toán 10: (Bài 1.146/T58 – Toán nâng cao THCS tập 1) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 1, chia cho dư Đối với học sinh gặp toán dễ bỏ dở chừng khơng làm hết khơng biết cách biến đổi Học sinh làm sau: Gọi số a (a  N*) a nhỏ Theo đề ta có: a – 5 a – 7 Đến học sinh không làm tiếp Giáo viên hướng dẫn học sinh cách biến đổi sau học sinh thảo luận mà chưa tìm cách giải: Vì a –  => a – + 10  => a +  a –  => a – + 14  => a +  Sau biến đổi ta thấy đưa a +  a +  tốn trở nên dễ dàng học sinh làm Vậy a +  BC (5; 7), a nhỏ Nên a +  BCNN (5; 7) BCNN (5; 7) = 35 => a + = 35 => a = 26 Vậy số 26 Bài toán 11: ( Bài 148/T31 - Nâng cao phát triển tốn tập1) Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia cho 15, cho 35 số dư theo thứ tự 13 Sau giáo viên hướng dẫn cách làm, học sinh vận dụng vào làm Giáo viên cho học sinh làm độc lập vào phiếu học tập sau thu lại để kiểm tra, xem em vận dụng được, em chưa hiểu để khắc sâu cho em Bài tập làm sau: Gọi số tự nhiên a (0 < a < 500) a : 15 dư => a +  15 => a + + 15  15 => a + 22  15 a : 35 dư 13 => a + 22  35 => a + 22  35 => a + 22  BC (15; 35) 15/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Ta có: 15 = 3.5 35 = 5.7 => BCNN (15; 35) = 3.5.7 = 105 => a + 22 = 105.k (k  N*) Thử với k = => a + 22 = 105 => a = 83 (nhận) Thử với k = => a + 22 = 210 => a = 188 (nhận) Thử với k = => a + 22 = 315 => a = 293 (nhận) Thử với k = => a + 22 = 420 => a = 398 (nhận) Thử với k = => a + 22 = 525 => a = 503 (loại) Vậy số cần tìm là: 83; 188; 293; 398 Bài toán 12: ( Bài 12/T47 – Tuyển tập tốn hay khó bồi dưỡng học sinh giỏi 6) Tìm số tự nhiên n lớn có chữ số cho n chia cho dư 7, chia cho 31 dư 28 Học sinh tự làm để rèn luyện kĩ Gọi số tự nhiên cần tìm là: n (0 < n < 1000) n lớn Ta có n +  => n + + 64  => n + 65  n +  31 => n + + 62  31 => n + 65  31 => n + 65  BC (8; 31) Mà BCNN (8; 31) = 248 => n + 65 = 248p (p  N*) => n = 248p – 65 Với p = => n = 183 Với p = => n = 431 Với p = => n = 679 Với p = => n = 927 Với p = => n = 1175 Vì n lớn có chữ số nên ta chọn n = 927 Vậy số cần tìm 927 Bài tốn 13: ( Bài 153/T31 – Nâng cao phát triển tốn tập 1) Tìm số tự nhiên a nhỏ cho chia cho 3, cho 4, cho số dư theo thứ tự 1; 3; Với hai 12 13 đòi hỏi học sinh phải sáng tạo vận dụng linh hoạt không dập khuôn Giáo viên cho học sinh thảo luận nhóm để phát học sinh có khả tư biết vận dụng từ bồi dưỡng thêm cho em 16/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Nếu học sinh dập khn khó đến kết Gọi a số phải tìm (a  N*), a nhỏ Ta có: a – 3 a – 4 a – 5 Bài tốn có đặc điểm thú vị nhân với a – 1; a – Thì 2a –  2a –  2a –  => 2a –  => 2a –  BC (3; 4; 5) 2a –  2a –2  Vì a nhỏ nên 2a –  BCNN (3; 4; 5) BCNN (3; 4; 5) = 60 => 2a - = 60 => 2a = 62 => a = 31 Vậy số 31 Bài tốn 14: (Bài 10/T47 - Sách tuyển tập tốn hay khó bồi dưỡng học sinh giỏi 6) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 3; cho 5; cho có số dư theo thứ tự 2; 3; Học sinh vận dụng từ tập để giải Gọi số phải tìm a (a  N*), a nhỏ Theo đề bài: a – 3 2a –  a – 5 => 2a –  a – 7 2a –  2a –  => 2a –  => 2a –  BC (3; 5; 7) 2a –  Vì a nhỏ nên: 2a –  BCNN (3; 5; 7) BCNN (3; 5; 7) = 105 => 2a – = 105 => 2a = 105 + => 2a = 106 => a = 53 Vậy số 53 17/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Bài tốn 15: ( Ví dụ 25/T30 – Nâng cao phát triển toán tập 1) Một số tự nhiên chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 13 a) Tìm số nhỏ có tính chất b)Tìm dạng chung tất số có tính chất Câu a: Học sinh vận dụng kiến thức học để làm tốt Gọi x số cần tìm (x  N*), x nhỏ Theo đề bài: x – 3 x – + 3 x – 4 => x – + 4 x – 5 x – + 5 x – 6 x – + 6 x + 3 => x +  => x +  BC (3; 4; 5; 6) x + 5 x + 6 Ta có: BCNN (3; 4; 5; 6) = 60 Nên x + = 60k (k  N*) Ngoài x nhỏ x  13 Lần lượt thay k = 1; 2; 3; … đến k = 10 x = 598  13 Vậy số cần tìm 598 Câu b: Để tìm dạng chung x ta vận dụng câu a để tìm dạng tổng quát x Học sinh độc lập suy nghĩ tìm hướng làm khơng kết học sinh thảo luận nhóm để tìm lối giải Bài giải sau: Số phải tìm thỏa mãn tính chất x +  60 (1) x  13 (2) Từ ( ) x +  60 => x + + 180  60 => x + 182  60 Từ ( ) x  13 => x + 182  13 => x + 182  BC (60; 13) BCNN (60; 13) = 780 => x + 182 = 780.k (k  N *) => x = 780.k – 182 (k  N *) Vậy dạng chung số x thỏa mãn đề là: x = 780.k – 182 (k  N *) 18/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Bài toán 16: (Bài 149/T31 – Sách nâng cao phát triển toán tập 1) a) Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho ta số dư theo thứ tự 1; 2; 3; 4; b) Tìm dạng chung số tự nhiên a chia cho dư 3, chia cho dư 4, chia cho dư 5, chia hết cho 13 Vận dụng cách làm 15 học sinh hoạt động cá nhân làm tập vào phiếu học tập Giáo viên kiểm tra để biết kết tiếp thu khả vận dụng học sinh a) Gọi số cần tìm x (x  N *) x < 1000, x lớn Theo đề bài: x – 2 x – + 2 x – 3 x – + 3 x – 4 => x – + 4 x – 5 x – + 5 x – 6 x – + 6 x + 2 => x +  x + 4 => x +  BC (2; 3; 4; 5; 6) x + 5 x + 6 Ta có: BCNN (2; 3; 4; 5; 6) = 60 Từ x + = 60.k (k  N*) => x = 60.k – (k  N*) Vì x lớn có chữ số nên tìm x = 959 Vậy số cần tìm 959 b) Đối với phần b học sinh phải có kĩ biến đổi Ta có: a + 4 a + 5 => a +  BC (4; 5; 6) a + 6 Mà BCNN(4; 5; 6) = 60 Nên a +  60 Biến đổi a +  60 => a + – 300  60 => a – 299  60 ( ) a  13 => a – 13.23  13 => a – 299  13 (2) Từ ( ) ( ) => a – 299  BC( 60; 13 ) BCNN (60; 13) = 780 => a - 299 = 780.k (k  N *) Vậy dạng chung a là: a = 780.k + 299 (k  N *) 19/26 Phát triển tư học sinh qua số toán bội chung bội chung nhỏ Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm tập hợp bội chung của: a) b) 6; 10; 15 Bài 2: Tìm BC có chữ số 21; 35; 175 Bài 3: Tìm BCNN số sau: a) 24 28 b) 105 175 c) 120; 135 450 Bài 4: Tìm BCNN số sau: Số nhỏ có chữ số, số lớn có chữ số số nhỏ có chữ số Bài 5: Số học sinh trường THCS số có chữ số lớn 800 Mỗi lần xếp hàng 5; hàng 6; hàng 7; hàng vừa đủ không thừa học sinh Hỏi trường có học sinh Bài 6: Ba tàu cập bến theo lịch sau: Tàu I 15 ngày cập bến, tàu II 20 ngày cập bến, tàu III 12 ngày cập bến Lần đầu ba tàu cập bến vào ngày thứ sáu Hỏi sau bao lâu, ba tàu lại cập bến ngày thứ sáu Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ 400 chia số cho 2, cho 3, cho 4, cho cho dư chia cho khơng cịn dư Bài 8: Một liên đội thiếu niên xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa người Tính số đội viên liên đội, biết số đội viên vào khoảng 100 đến 150 Bài 9: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 21 dư 2, chia cho 12 dư Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5; cho 7; cho có số dư theo thứ tự 3; 4; 20/26