Hsg đs9 cđ5 min max và bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ MỤC LỤCC LỤC LỤCC CHUYÊN ĐỀ VI MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨCT ĐẲNG THỨCNG THỨCC CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNGN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNGI TƯƠNG ĐƯƠNGNG ĐƯƠNG ĐƯƠNGNG CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨCT ĐẲNG THỨCNG THỨCC AM-GM 11 CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỀ MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GMT SỐI TƯƠNG ĐƯƠNG KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GMT VẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GMN DỤC LỤCNG BẤT ĐẲNG THỨCT ĐẲNG THỨCNG THỨCC AM-GM 20 D ng D đoán d u đ ng thức để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GMc để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GM phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GM h ng vận dụng bất đẳng thức AM-GMn d ụng bất đẳng thức AM-GMng b t đ ng th ức để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GMc AM-GM 20 D ng Kỹ thuận dụng bất đẳng thức AM-GMt ghép đố hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GMi xức để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GMng 28 D ng Kỹ thuận dụng bất đẳng thức AM-GMt AM-GM ngược dấuc d u 31 D ng Phương pháp đặt ẩn phụng pháp đặt ẩn ẩn phụn phụng bất đẳng thức AM-GM 33 CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨCT ĐẲNG THỨCNG THỨCC CAUCHY-SCHWARZ 39 D ng Làm quen b t đ ng thức để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GMc Cauchy-Schwarz 39 D ng Kỹ thuận dụng bất đẳng thức AM-GMt tách ghép 45 D ng Kỹ thuận dụng bất đẳng thức AM-GMt thêm bớtt 49 D ng Phương pháp đặt ẩn phụng pháp đặt ẩn ẩn phụn phụng bất đẳng thức AM-GM 53 D ng Kỹ thuận dụng bất đẳng thức AM-GMt đố hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GMi xức để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức AM-GMng hóa 54 CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỀ MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GMT SỐI TƯƠNG ĐƯƠNG KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GMT XỬ LÝ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN TÊN TỪNG LÝ BẤT ĐẲNG THỨCT ĐẲNG THỨCNG THỨCC VỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN TÊN TỪNGI CÁC BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNGN BỊ CHẶN TÊN TỪNG CHẶN TÊN TỪNGN TÊN T ỪNGNG KHOẢNG ĐOẠNNG ĐOẠNN 55 CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỀ MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GMT SỐI TƯƠNG ĐƯƠNG CÁCH ĐÁNH GIÁ KHÁC 74 CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨCT ĐẲNG THỨCNG THỨCC SCHUR 78 CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỀ CÔNG THỨCC ABEL VÀ ỨCNG DỤC LỤCNG 83 HƯỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN TÊN TỪNGNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊNN GIẢNG ĐOẠNI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊNC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊNI VÀ VÀO 10 CHUYÊN 87 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ VI MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp giải: Để chứng minh bất đẳng thức A  B Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức thành bất đẳng thức mà phổ biến dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A B  A  B 0 + Dạng tổng bình phương: A  B  mX  nY  kZ 0 , với số m, n, k khơng âm + Dạng tích hai thừa số dấu: A  B  X Y 0 A  B  X n Y 0 Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b số thực a) a  b 2ab 2 b)  a  b   a  b  2 c)  a  b  4ab d) a  b  c ab  bc  ca 2 e)  a  b  c   a  b  c  2 f)  a  b  c  3  ab  bc  ca  2 g) a  b  c  2  a  b  c  a2 b2 c h)   a  b  c với a, b, c  b c a Lời giải: a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b 2ab (*)  a  2ab  b 0   a  b  0 rõ ràng bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy a b b) Cộng hai vế (*) với a  b ta thu bất đẳng thức cần chứng minh c) Cộng hai vế (*) với 2ab ta thu bất đẳng thức cần chứng minh d) Từ a  b 2ab , tương tự ta có: b  c 2bc; c  a 2ca cộng bất đẳng thức chiều ta 2 2 2 có:  a  b  c  2  ab  bc  ca   a  b  c ab  bc  ca (**) Ngồi ta làm theo cách khác: a  b  c ab  bc  ca   a  b  c  2  ab  bc  ca  2  a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a 0   a  b    b  c    c  a  0 , bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy a b c e) Nhân hai vế (**) với cộng vế với a  b  c ta thu bất đẳng thức cần chứng minh File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ f) Cộng vế (**) với  ab  bc  ca  ta thu điều phải chứng minh g) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: a  2a   b  2b   c  2c  0 2   a  1   b  1   c  1 0 dấu đẳng thức xảy a b c 1 h) Với số thực dương a, b, c số thực k thỏa mãn: k 1 ta có:  a  b 2 2 0    k   a  b  0   a  b  k  a  b   a  b 2ab  k  a  b  Chia vế cho 2  a  b  , tương tự ta có hai bất đẳng thức cộng lại thu b  ta thu được: a  b 2a  k b b   a  b  b  c  c  a   a2 b2 c    a  b  c 2a  2b  2c  k     được: b c a b c a      a  b  b  c  c  a   a b2 c   a  b  c  k     a  b  c Dấu đẳng thức xảy Hay b c a b c a    a b c Ví dụ Cho số thực không âm a, b Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 a) a  b ab  a  b  3 b)  a  b   a  b  2 2 c)  ax  by   a  b   x  y  d) 1   với ab 1 a  b  1  ab e) 1   với ab 1 a  b  1  ab f) 2  a  1   b  1 2  x  y g) x  y  a b a b  ab  với a, b, x, y  2 2 2 h)  ax  by  cz   a  b  c   x  y  z  2  x  y  z i) x  y  z  a b c a b c j) với a, b, c, x, y , z  1    với a, b, c 1 3  abc 1 a 1 b 1 c 4 k) a  b  c abc  a  b  c  Lời giải: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ 3 a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b  ab  a  b  0   a  b   a  ab  b  ab  0   a  b   a  b  0 bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy a b 3 b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:  a  b    a  b  0 2   a  b    a  ab  b    a  b   0   a  b    a  b   0 bất đẳng thức cuối Dấu   đẳng thức xảy a b c) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 2  b   x  y    ax  by  0  a x  a y  b x  b y  a x  2abxy  b y 0 hay a y  2abxy  b x 0   ay  bx  0 , bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy ay bx d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b2  2    a  b     ab    a  1  b  1 2  a  1  b  1  ab  a  b  a 3b  ab3  2ab  2a b  2a  2b   a 3b  2a b  ab3   a  2ab  b  0  a3b  2a b2  ab3   a  2ab  b  0  ab  a  2ab  b    a  2ab  b2  0   ab  1  a  b  0 , bất đẳng thức với số thực không âm a, b thỏa mãn ab 1 e) Làm tương tự câu d f) Áp dụng bất đẳng thức câu c ta có:  a  1   a b  a   ab  1  a  b   ab  1.1  ab  1   1    b b b   a  1  a  b   ab  1   Tương tự ta có:  a  1   b  1   b  1  a  a  b   ab  1 , cộng bất đẳng thức chiều ta thu được: b  a  a  b   ab  1  a  b   ab  1  ab  , dấu đẳng thức xảy a b 1 g) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: bx  ay  x  y     a  b   bx  ay   ab  x  y  ab a b  abx  aby  b x  a y abx  aby  2abxy  b x  2abxy  a y 0   bx  ay  0 Rõ ràng bất đẳng thức cuối Dấu đẳng thức xảy ay bx h) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ a 2  b2  c   x  y  z    ax  by  cz  0  a  x  y  z   b  x  y  z   c2  x  y  z    a x  b y  c z  2abxy  2bcyz  2cazx  0   a y  2abxy  b2 x    b2 z  2bcyz  c y    c x  2cazx  a z  0 2   ay  bx    bz  cy    cx  az  0 Bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy ay bx a b c  bz cy    x y z cx az  i) Áp dụng bất đẳng thức câu g liên tục lần ta có: 2 x2 y z  a  y  z  x  y  z  đpcm Dấu đẳng thức xảy      a b c a b c a b c a b    ay bx a b c x y      x y z c  x  y   z  a  b   a  b c  x  y z Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức câu h ta có:  x  y  z  x2 y2 z2   x  y z  a b z       a  b  c b c  b z  a   a 2  x  y  z Hay x  y  z  a b c a b c (đpcm) Các bất đẳng thức g, h, i cịn có tên gọi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Đây bất đẳng thức sở để giải hầu hết toán chứng minh bất đẳng thức Học sinh cần nắm phần j) Áp dụng bất đẳng thức câu d) liên tục lần ta có: 1 1 2 4        3  a  b  c  abc  a3 b3  abc  a 3b3 abc  abc Hay 1    , dấu đẳng thức xảy a b c 1 3  abc 1 a 1 b 1 c k) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  b  c  a bc  b2 ac  c ab 0  2a  2b4  2c  a bc  2b ac  2c ab 0 2   a  b   2a b2   b  c   2b c   c  a   2a c  2a bc  2b ac  2c ab 0 2 2 2   a  b    b2  c    c  a    ab  bc    bc  ac    ab  ac  0 Suy a  b  c abc  a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Cách khác: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Áp dụng bất đẳng thức x  y  z  xy  yz  zx với x a , y b , z c ta thu được: a  b  c a b  b c  c a ab.bc  bc.ca  ca.ab abc  a  b  c  Ví dụ Chứng minh rằng: a  b3 b  c c  a   2  a  b  c  với số thực dương a, b, c ab bc ca a) b) a b   b a  ab với a, b 1 4a b a2 b2   3 a, b 0 c)  a  b2  b2 a với a2b a  2ab với a, b    2a  b3 2a  b d) k 1 16  4k e) Tìm số k lớn cho a  b3  a  b3  với a, b   a  b 2ab a  b2 a b   ab  với a, b  2  a  b f) Lời giải: 3 a) Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x  y  xy  x  y  với x, y số dương 3 2 Thật x  y  xy  x  y    x  y   x  y  xy   xy  x  y    x  y  0 Áp dụng bất đẳng thức ta a  b3 b3  c c3  a ab  a  b  bc  b  c  ca  c  a       2  a  b  c  ab bc ca ab bc a a  b b3  c c  a   2  a  b  c  ab bc ca b) Đặt x  a  1; y  b  , x 0; y 0 2 2 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành  x  1 y   y  1 y  x  1  y  1 x  1 y   y  1 y  x  1  y  1 2   x  1  y  1   x  1 y   x  1  y  1   y  1 x 0   x  1  y  1   y  1  x  1 0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x  y 1 hay a b 2 c) Cách 1: Bất đẳng thức cho tương đương với: 4a b a  b2  4a b   a  b  a b2 a  2a b  b     0   0 b a a2b2  a2  b2  File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ     a2  b2  a a 2  b2  a  2  b2  0   a  b a2b2 2  b2    a  b   a 2b    a 2b  a  b  a 0  2       0  a b2  a  b      b2  a 2b  b  a 2b   b2  a a 0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b Cách 2: Bất đẳng thức viết lại thành a  t 1 Suy t  b2  a 2b 2 4a b a  b2  a   b2  a 2b2 2 2ab  5 Đặt t  , ta   a b   a  b2  4    Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t  2ab  5  t  5t  0   t  1  t   0 Bất đẳng thức cuối  t 1 Vậy bất t đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2b a  2ab a 2b a  2ab      1 2a  b 3 a  b 2a  b3 2a  b    a  b  2a  b   2a  b     a  b 2a  b  2a  b   0   a  b    2a  b3    2a  b    a  b    2a  b3    2a  b   2a  b   0   a  b  2a  2b3  2a b  2ab  0   a  b   a  b  0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b e) Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta được: k 1 16  4k  3  3 a b a b  a  b  k 4k 8   3  3 0 3 3 a  b  a  b a  a  b b  a  b a  b  7b  4ab  a 7a  4ab  b  3k  a  b   a  b    0  3  b3 a3  a  b    a  b   a  b   a  b a  5a3 b  12a b  5ab3  b  a b3 File word: Zalo_0946 513 000  3k  a  b  a  ab  b 0 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ 2   a  b    a  5a 3b  12a b  5ab  b   a  ab  b   3ka 3b3  0 Vì  a  b  0 nên bất đẳng 2 2 3 thức  a  5a b  12a b  5ab  b   a  ab  b   3ka b 0 Cho a b bất đẳng thức trở thành 24a  3ka 0  k 8 Ta chứng minh k 8 số lớn thỏa mãn bất đẳng thức cho Thật vậy, ta xét trường hợp sau 2 2 3 + Với k   a  5a b  12a b  5ab  b   a  ab  b   3ka b  + Với k 8 bất đẳng thức viết lại thành a  5a 3b  12a b  5ab3  b   a  ab  b   24a 3b3 0 Ta có a  b 2a b ; a  b 2ab nên a  5a 3b  12a b  5ab3  b a  b  5ab  a  b   12a b 24a b 2 2 3 Và a  ab  b ab Do ta có  a  5a b  12a b  5ab  b   a  ab  b  24a b Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy số k lớn f) Bất đẳng thức cần chứng minh biến đổi sau: a  b2  ab   a  b a  b 2ab   a b 2   a  b   2a  2b           1   0 a b a  b2   ab   a  b   ab  0  2  a  b   ab 0 Vì  a  b  0 nên ta cần chứng minh 2a  2b  Thật vậy, ta có 2 a  b a b      a  b 2  a  b2    a  b   ; a  b  ab  a b   a  b   a b  Do bất đẳng thức tương đương với   a  b     a b    a  b2    a  b    a  b2   a  b     a  b 2  a  b   4ab 2 a  b 2  2 ab    0    a  b   a 0  2 b  0   a  b    a  b   ab  0      a  b 2 a  b 2  2 ab 0 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b Vi dụ Chứng minh bất đẳng thức: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ a  bc  b  ca  c  ab 1  ab  bc  ca với a, b, c  0; a  b  c 1 a) b) 5b3  a 5c  b3 5a3  c3   a  b  c với a, b, c  ab  3b bc  3c ca  3a c) 1 1    với ( a, b, c  ) 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 33  1 1 d)       với a, b, c  a  b  c 3 ab  bc  ca a b c Lời giải: a) Quan sát bất đẳng thức ta có nhận xét sau: + Dự đốn đẳng thức xảy a b c  + Khi thay a  b  c vào bất đẳng thức chuyển vế ta nhóm a  bc  a  bc ; b  ca  b  ab Do vai trò a, b, c nên ta dự đoán ca 0; c  ab  c  nhóm khơng âm Để chứng minh dự đốn ta bình phương làm bậc hai biến đổi tương đương thành tổng bình phương a  bc  + Để ý giả thiết a  b  c 1 , ta có  a  b  a  c  a  b   a  c  Dễ dàng nhận a  bc Như cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp lại bất đẳng thức chứng minh Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  bc  b  ca  c  ab a  b  c  ab  bc  ca  a  bc  a    bc  b  ca  b    ca  c  ab  c   ab 0 Ta cần chứng minh a  bc  a  bc 0; b  ca  b  ca 0; c  ab  c  ab 0 Thật ta có a  bc  a  bc 0  a  bc a  bc  a  bc a  2a bc  bc  a  bc  a  b  c a  bc  Chứng minh tương tự ta b  ca  b   b c  0 ca 0; c  ab  c  ab 0 Đến bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c  Cách 2: Kết hợp với giả thiết a  b  c 1 ta có a  bc   a  b  a  c  ; b  ca   a  b  b  c ; c  ab   c  a b  c Khi bất đẳng thức viết lại thành a  bc   a  b   a  c    a  b   b  c    c  a   b  c  1  ab  bc  ca Mặt khác ta có File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ  a  b  a  c a  bc  a  ab  bc  ca a  2a bc  bc  b  c 2 bc   b c Chứng minh tương tự ta  0  b  c  a  b b  ca ;  c  a  b  c c  ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta  a  b  a  c   a  b  b  c    c  a   b  c  Hay a  bc  a  b  c  ab  bc  ca  a  b   a  c    a  b   b  c    c  a   b  c  1  ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c  b) Ta chứng minh 5b3  a 2b  a với a, b số thực dương ab  3b Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta 5b3  a  2b  a   ab  3b   5b3  a3 2ab  6b3  a 2b  3ab  a3  b3 a 2b  ab 2   a  b   a  b  0 Bất đẳng thức cuối ln đúng, bất đẳng thức chứng minh Chứng minh tương tự ta 5c  b3 5a3  c  c  b ; 2a  c bc  3c ca  3a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 5b3  a 5c  b3 5a  c   a  b  c ab  3b bc  3c ca  3a Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c Cách 3: Ta có a  5b3  2b  ab  3b  a  b3  2ab  a  ab    b3  a b   2ab   a b  ab  2a b  2ab  2ab   a b  ab  a  ab  3b  Do ta có a  5b3  2b a hay ta ab  3b 5b3  a 5c  b3 5a3  c3 Áp dụng tương tự ta  b  a  c  b ;  2a  c ab  3b bc  3c ca  3a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 5b3  a 5c  b3 5a  c   a  b  c ab  3b bc  3c ca  3a Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c 3 2 c) Ta có: a  b  a  b   a  ab  b  Suy a  b3  ab  a  b   a  b   a  2ab  b   a  b   a  b  0 suy đpcm 3 Áp dụng bất đẳng thức ta có: a  b  abc ab  a  b   abc ab  a  b  c  Suy 1  Tương tự ta có: a  b  abc ab  a  b  c  File word: Zalo_0946 513 000 10 File word: Zalo_0946 513 000