Chuyên đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức

Trang 1

590 Dang Thanh Nam

Trang 2

591 Dang Thanh Nam

Trang 3

592 Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

Phương pháp:

Biến đổi hai vế nhờ các phép tốn đại số cơ bản; nhóm nhân tử chung; quy đồng; dựa vào giá trị tuyệt đối;… sau đó nếu có dùng các bất đẳng thức cơ bản

xy2 0 và xy2 02 2 2222 102x y z  xyyzzx  xy  yz  zx 2  222 3 0xyz  xyyzzx x y z  xyyzzx  (*) Từ (*) ta có một bất đẩng thức khác hay được sử dụng:xyyzzx2 3xy yz yz zx zx xy 3xyz x yzBÀI TẬP MẪU Bài 1 Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn 222

1x y z  Chứng minh rằng 112 xyyzzx     Lời giải: Ta có  222 22 1 2 012xyyzzxxyyzzxxyzxyzxyyzzx                Lại có 22222211021xyyzzxxyzxyyzzxxyyzzxxyyzzx                 Từ đó suy ra đpcm

Bài 2 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y Chứng minh rằng z

Trang 4

593 Dang Thanh Nam

Lời giải:

BĐT tương đương với

1 1 1 1 101 1 1010xzyxzxzxzyxzyxzxzyxzyxzyxz                                0.xzyxzyxyz    đúng vì 0xyz

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz

Bài 3 Cho 2 số thực x0,y0thay đổi vào thỏa mãn điều kiện:

22

( )

xy xy x y xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A 13 13xy Lời giải: Ta có  2 2  233333333xyxyxyxyxy xyxyxyAx yx yx yxy             

Theo giả thiết ta có

2 2 2 222 3 1( ) 3 04 4xy xy  x y xy xy  xy xy  xy  xy  20 xy 4 Axy 16.xyxy         

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1.2

x y  Vậy giá trị lớn nhất của Abằng 16

Bài 4 Cho x y z, , là các số thực thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 5

594 Dang Thanh Nam

 

2 3

Pxyzx yy zz x

        Vậy giá trị lớn nhất của P  khi 3 x yz1

Bài 5 Cho a b c , , 0 thỏa mãn 2 2 2 5

3a b c  Chứng minh rằng 1 1 1 1abc abc Lời giải :

Do a b c , , 0 nên bất đẳng thức tương đương với 1bc ca ab Theo bất đẳng thức cơ bản ta có 2 1 2 2 2 50 12 6a b c   bccaab a b c   ln đúng Từ đó ta có đpcm

Bài 6 Cho a b c , , 0 thỏa mãn a b c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 24 4 4b cc aa bP a   b   c Lời giải : Ta có 2 2 2 24 2 4 2b cb cb cb ca  a   a a b c    a     2 2 204 4 4 2b cb cb cb cbcaa           Tương tự 24 2cacab   b 24 2a ba bc   c 

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên suy ra

Trang 6

595 Dang Thanh Nam

Giá trị lớn nhất của Pbằng 2

Bài 7 Cho a b c , ,  0;1 thỏa mãn 3

2

a b  c Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức  222cosP a b cLời giải : Do a b c , ,  0;1 nên 222 302 2abcab c       vậy Plớn nhất( nhỏ nhất) khi 222a b c nhỏ nhất ( lớn nhất) - Tìm giá trị nhỏ nhất của a2 b2c2Ta có 2 2 2 12 33 4

a b c  a b c  Suy ra GTLN của Pbằng cos3

4 ; xảy ra khi 12abc- Tìm giá trị lớn nhất của a2b2c2giả sử : 3 132 2ab ca  b c  cc Vậy 222222222 3 522 4a b c  ab  abc  a b c c  c  Do c1 2 c1 0

Suy ra GTNN của P bằng cos5

4 ; xảy ra khi  , ,  0, 0,12

a b c   

 hoặc các hoán vị

Bài 8 Cho x y, là các số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 7

596 Dang Thanh Nam

Từ đó suy ra GTLN của Pbằng 1

4 khi x1;y0

GTNN của Pbằng 1

4

 khi x0;y1

Bài 9 Cho a b c , , 0là các số đôi một khác nhau Chứng minh rằng

2 2 21 1 14ab bc caa bb cca           Lời giải :

Giả sử cmina b c, , , khi đó do a b c , , 0 ta suy ra

ab bc caab2 21 1bb c 2 21 1aa c Vậy ta chỉ cần chứng minh 222 21 1 14 abab 4 0abbabaa ba b             2222 a b 2 0 2 a b 0ababababa ba b             luôn đúng Vậy ta có đpcm Bài 10 Cho a b c , , 0 và 1 1 2

acb Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2abcbPa bc b   Lời giải : Ta có b2acac thay vào 2 23 3 31 42 2 2 2 22 2acacacaccaacacacPacacaccaacacac                

Bài 11 Cho a b c , ,  1;3 thỏa mãn a b c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6

222

Trang 8

597 Dang Thanh Nam

Lời giải : Cách 1 : Đặt a x 1;b y1;c z 1; , ,x y z0; 2Khi đó 222 2 2 21 1 1Pa b c  x  y  z2222 3xyzxyz       xyz2 2xyyzzx 2xyz 3         2 xyyzzx 18    Từ x y z, , 0; 22x2y2z 08 4 xyz 2 xyyzzxxyz 0         2 xyyzzx 4 xyz 4         do xyz 0Từ đó suy ra P 2xyyzzx18 14

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c , ,  1, 2,3hoặc các hốn vị

Bình luận :

Đặt ax1;b y1;c z 1 để chúng ta tận dụng tích xyz 0

Nếu khơng abc sẽ rất khó đánh giá

Cách 2 : Xem phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Bài 12 Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn x2y2z2  và 5 x  yz 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

22xyPz Lời giải : Ta có 2 2 2 12 2 12 25 32 2x y  z  xy  xy  xy  z2 21 6 3xy   z zTa có : 2 22 2 2 2P z   xy  xy  P z  2  2  2  23 4 4 6 4 8 3 0PzPPzPP        

Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là z, để phương trình có nghiệm thì

 2  2 2  2  36

' 2 2 3 3 4 8 3 0 023

zPPPPPP

Trang 9

598 Dang Thanh Nam

- Với x2;y0;z1 thì P  là giá trị lớn nhất của 0 P

- Với 20; 66; 731 31 31x y  z thì 3623P   là giá trị nhỏ nhất của P -

Bài 13 Cho a b c , ,  0;1 Chứng minh rằng 1 1 1 32a2b2c abcLời giải :  12 0 2  1 12aaaaa      Tương tự : 1 1;2bb 2cc

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta suy ra

3

1 1 1

3 3

2a2b2c a b  cabc  abc do abc  1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  c 1

Bài 14 Cho a b c , ,  0;1 và a b c   Chứng minh rằng 0

1 1 1 51 1 1

ab bc ca  a b c

Lời giải :

Khơng mất tính tổng qt ta giả sử 1ab  c 0Khi đó 1 1 121 1 1 1 1b cbcbccaba b cabbccabcbc              Mặt khác 1 1 1 31 1 1 1 1 1abbccaabbccaabbccaabbcca                                1 1  1 1  1 1 3 31 1 1abbccaabbcca            

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab1,c0hoặc các hoán vị

Bài 15 Cho a b , 0 thỏa mãn 22

1

Trang 10

599 Dang Thanh Nam

21 12 2 ababba       Lời giải :

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

1 12 2 ab 2 a b 2ab 2 2ab 1ab ba     22 11 2 2 12ababa b             21 2 tt 2 2 0 (*)      ; với ta b 1; 2(Vì 2 22222 1 1a b a b  aba b  a bVà 2  2 22 2 2a b  a b    a bSuy ra t1; 2) Bất đẳng thức (*) luôn đúng với t1; 2

Bài 16 Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng  222

4

a b c  a b ca b b c  ca

Lời giải :

Khơng mất tính tổng qt ta giả sử b nằm giữa a và c , ta xét hai trường hợp

- Nếu ab cVT  0 VP, ta có đpcm - Nếu c ba, khi đó vế phải

4VP a b c  a b b c c a  4 a b c b a c b ca       a b c b ac b ca 2      Ta chỉ cần chứng minh   222a b c b a    c b c a  a b c

Thật vậy bất đẳng thức này tương đương với

2 2  0

aac b

    , đúng

Vậy ta có đpcm

Bài 17 Cho a b c , ,  0;1 Chứng minh rằng

1 1 1  1

a b b c c a 

Lời giải :

Trang 11

600 Dang Thanh Nam

 1a b c   ab bc ca   Làm ta nghĩ đến : 1a1b1c0 1 a b c    ab bc ca  abc 0a b c ab bc ca 1 abc 1        

Từ đó ta có đpcm Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab0,c1hoặc các hoán vị

Bài 18 Cho a b c , , 0 thỏa mãn a b c   Chứng minh rằng 3

3 3 34 4 4 abcbccaa ba b  bc  ca      Lời giải : Đặt a bxb cycaz     do a b c , , 0 và a b c   nên 3 x y z , , 0 và 333aybzcx    Khi đó bất đẳng thức trở thành 3334 4 4 3 y 3 x 3 zxyzyxz      3334 3 4 3 4 30xyzxxyyzz                 2 2 23331 2 1 2 1 20xxyyzzxyz         Bất đẳng thức cuối ln đúng, từ đó ta có đpcm

Bài 19 Chứng minh rằng với mọi a b ,  0;1 thì ta ln có 1 2 1 2 2

1a 1b 1ab

Lời giải :

Bất đẳng thức tương đương với

 22 2 22

1ab 2a b 2 1a 1b  ab1 a b  , bất đẳng thức cuối ln đúng Ta 0có đpcm

Bài 20 Cho x y z , ,  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 12

601 Dang Thanh Nam

33 3 31 1 21x 1y 1 x y3 41 1 21z 1xyz 1 xyz334 4 4 42 2 4 411 x y 1 xyz 1 x y zxyz    

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta suy ra

3333331 1 1 3 1 1 11 31 x 1 y 1 z 1 xyzPxyz 1 x 1 y 1 z                  

Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz

Vậy giá trị lớn nhất của P  3

Bài 21 Cho a b c , , 0 thỏa mãn ab Chứng minh rằng c

a b c 1 1 1 1abc       Lời giải :

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

1 1 1 1 1 1 1 1abc  a b c   ac ba b c1 1aca cacb a b cacb a b c        0  0b a b caca b cb b ca b b c             Bất đẳng thức cuối luôn đúng do ab Ta có đpcm c

Bài 22 Cho các số thực a b c, , thỏa mãn a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

Trang 13

602 Dang Thanh Nam



22 3 3

2 2

c aca  ca  ca

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta suy ra



3 3

P a b c  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3ab c BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1 Cho ab  Chứng minh rằng 0 2 3 2 3 2 1 2 14 4 2 2abbaab                           

1.2 Cho x y z , , 0; 2 thỏa mãn xy z 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

222

Px y z

1.3 Chứng minh rằng với mọi x y z, , không âm ta ln có

x2yzx yz2 4xyyzzx

1.4 Cho a b c , , 1; 2 Chứng minh rằng  222

3 ab bc ca  2 a b c  a b b c c a 

1.5 Cho a b c , , 0 và bmina b c, ,  Chứng minh rằng a b c 1 1 1 1

abc       1.6 Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng 3211 12b cbcaa             , từ đó chứng minh rằng 3333333 a 3 b 3 c 1ab cbcaca b       

1.7 Cho x y , 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

33333 348xyPxyyxy   

1.8 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng

223 3 2acabaabacab c      1.9 Cho xy 0 và 222 1x  y  Chứng minh rằng 1 2 x 1 2 y  1 1 2

1.10 Chứng minh rằng với ba số thực a b c, , ta ln có

 2  2  2 2

1 1 1 1

a  b  c   ab bc ca

Trang 14

603 Dang Thanh Nam

Đưa bài toán nhiều biến về bài toán một biến, khảo sát tính tính đơn điệu của hàm số suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Các hướng giải quyết bài toán loại này

+ Nếu trong biểu thức có xuất hiện biểu thức đối xứng của x y, đặt t  hoặc xytxy.

+ Nếu không biểu diễn các biến về một biến được có thể coi biểu thức đó là hàm một biến và các biến còn lại là hằng số

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Cho x y z, , là ba số thực thuộc đoạn  1; 4 và x y x,  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu z

thức 2 3xyzPxyyzzx    Lời giải: Ta có 1 1 12 3 2 3 1 1xyzPyzxxyyzzxxyz         Đặt ay,bz,cxxyz   , ta có abc 1,bcx 1; 4y  Khi đó ta có 1 1 12 3 1 1Pabc    Mặt khác ta có 1 1 2 1 1 21 11 1 1 1 1 2 1b cbcbcbcbc b cbc b cbcbcbc                    , do bc  Suy ra 1221 1 1 1 1( )32 3 1 2 1 2 3 1tPf tabcbcttbc            , với t bc1; 2 Ta có  2 2 23 1'( ) 2 012 3tf ttt        Vì 2  2  32  2 3 1 2 3 1 2 32tt t  t    t  t 2  2 4 1 12 31 2 3 02 2tttt        

Trang 15

604 Dang Thanh Nam

34( ) (2)

33

P f t  f 

Đẳng thức xảy ra khi x4,y1,z2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 34

33

Bài 2 Cho các số thực dương x y z , , (0; 4] và xy x;  và thỏa mãn zxyz 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 2 Px y z    xyzxyyzzxLời giải: Xét 222( , , ) 2P f x y z  x y z  xy zxyyzzxTa có 22( , , ) ( , , ) 2 2 4f x y z  f xyzyz  y z y zyzxyzx  yz x yz2 2 22yzyzxyz      yz 2 yz 2x 1 2 yz 0       , vì x y x, z.Đặt 12, 1 1.2tyzxttx     Khi đó f x( , yz, yz) f(12, , )t t 14 12 2t 4 f t( )tttt     Ta có 234 1'( ) 2 1 , '( ) 0 1.f tf tttt              

Lập bảng biến thiên ta suy ra

minPmin ( )f t  f(1)0 Xảy ra khi x y z1.

Bài 3 Cho 1 1; , 1

4x y z sao cho xyz 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 16

605 Dang Thanh Nam

22( ) (2)15f t  f Suy ra min 2215P  khi 1; 24x yz

Bài 4 Cho hai số thực x y, thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2y2  Tìm giá trị lớn nhất và giá 1trị nhỏ nhất của biểu thức  2 22 6.1 2 2xxyPxyy Lời giải: Vì x2y2  , nên 1 2  2 222222 6 2 62 2 3 2xxyxxyPxyxyyxyxy      + Nếu y 0 P2.+ Xét với  2 22 60 , 2 3ttxyPttty       Xét hàm số f t( )trên  Ta có 2224 2 9 3 2'( ) 0 22 3tf tttt      

Lập bảng biến thiên ta suy ra

3 2 48 2 18ax max ( )2 17mP f t  f     , khi 3 11, 2.11 11x  y 3 2 18 48 2min min ( )2 17P f t  f     , khi 3 11, 2.11 11x y 

Bài 4 Cho ab Chứng minh rằng: 0 2 1 2 1

2 2baabab            Lời giải:

Lấy logarit cơ số tự nhiên 2 vế BĐT cần chứng minh trở thành

Trang 17

606 Dang Thanh Nam

Trong đó 1ln 22( ) , 0ttf ttt   

  Do vậy ta chỉ cần chứng minh hàm f t( )nghịch biến trên

0; .Thậy vậy, ta có    441224ln4 ln 4 4 1 ln 4 1 4 1'( ) 04 1 4 1ttttttttttf ttt       Ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab.

Bài 5 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn  22

2 a b ab abab2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 332233224 ab 9 ab Pbaba            Lời giải: Theo giả thì  22

2 a b ab a b ab2 , chia cả 2 vế của đẳng thức này cho ab ta được

2 22 ab 1 abbaab         Sử dụng BĐT Cơ si ta có 2 22 2 ababbaba         , suy ra 2 ab 1 2 2 abbaba             , đặt 2 52 1 2 2 2 4 4 15 0 2abttttttba             Vậy ta có P f t( )4t39t212t18Ta có '( ) 12 2 18 12 '( ) 0 2 5.2f t  t  t  f t   t 

Lập bảng biến thiên suy ra min ( ) 234

f t   , khi 5.2

t 

4 , khi 1 2.2 1aabb     

Trang 18

607 Dang Thanh Nam

Pxyyzzx2xyz.Lời giải: Giả sử min( , , ) 3 1 1.3x x y z  xxy  zxKhi đó ta có 2 (1 2 ) 0.Pxyyzzx xyz yz  x xyzx

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1,yz0.

Mặt khác ta lại có 21(1 2 ) ( ) 1 1 2 ( )2xP yz  x x yz x x     x  f x 

Ta tìm giá trị lớn nhất của f x( )trên đoạn 0;13    Ta có '( ) 3 1 02 3f x  x x  , do đó f x( )đồng biến trênđoạn 10;3   

Vậy max max ( ) 1 7 3 27P f x  f     Khi và chỉ khi 1.3x yz

Bài 7 Cho x y z, , là các số thực khơng âm có tổng bằng 3 Chứng minh

222

4.

Px y z xyz

Lời giải:

Khơng mất tính tổng qt ta giả sử min , ,  3 3 1.

3x x y z  xxy  zxKhi đó ta có 2 2224 2 4 2 3 4P x  yz  yzxyz  x yzx  x 222 3( ) 2 2 6 5, 0 2 2yzxf txtxxtyz                    

Vậy ta tìm giá trị nhỏ nhất của f t( )trên

230;2x          , ta có f t( )là hàm số nghịch biến do 2 0x   Vậy  223 14 ( ) 1 2 0 4.2 4xP  f t  f     x x  P    Ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1.

Bài 8 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c   Chứng minh 1  222 333

5 a b c 6 a b c 1.

Trang 19

608 Dang Thanh Nam

Khơng mất tính tổng giả sử min , ,  1.3

a a b c a

BĐT đã cho tương đương với

 2 2  3 3 5 a  b c 2bc 6 a  b c 3bc b c  1 2 2  3 3 5 a 1 a 2bc 6 a 1 a 3bc 1 a 1          9a 4bc 2a 12 0.    Ta đặt 22102 2bcatbc  t         Vậy ta chỉ cần chứng minh 22 1( ) 9 4 2 1 0, 0;2af t  a t a  t        Do f t( )là hàm nghịch biến nên 221 1( ) 3 1 0.2 4af t  f     aa     Ta có đpcm

ab c

Bài 9 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ab a b   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3  221 1ababPabbaab       Lời giải: Đặt 22 2 2  23 ; 2 2 3 2 6ta bab t a b  ab  abt  t t  tTa có 2213 2.2 4a bab     tt  t Suy ra P  222223 3 12 51 2ababababttababa bt            Xét hàm số ( ) 2 12 52f tttt     với t  2Ta có f t'( ) 2t 1 122 0,t 2t

      Suy ra hàm số f t( ) nghịch biến trên

2;  ( ) (2) 3.

2

Pf tf

    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab1.Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 khi ab1.

Trang 20

609 Dang Thanh Nam

Chứng minh rằng 183 165 5 x4 y4 z4 18 Lời giải: Ta có 444  2222  2222222Px y z  x y z  x y y z z x 2 2 2 2 2 2xyzxyyzzxxyyzzxxyz xyyzzx           

Theo giả thiết ta có 4

2xyzxyz  , đặt  2 2 32 144t xyyzzxP t  tTa có yz2 4yz 4 x2 8x

     , giải bất phương trình này ta suy ra 3 5x 2Ta có tx y z yzx4 x 2x      , xét hàm số f x( ) x4 x 2x   trên đoạn 3  5, 2  ta được 5,5 5 12t    Tương tự xét hàm số  2 ( ) 2 32 144f t  t  t trên đoạn 5,5 5 12    ta suy ra đpcm

Bài 11 Cho a b c, , là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

222 1 21 1 11Pabcabc     Lời giải :

Sử dụng bất đẳng cô si cho 3 số dương ta có :

331 1 13ab ca b c      

  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab cMặt khác sử dụng bất đẳng thức Cauchy sharvart ta có

2

222 1

1 1

4

a b c   a  b c Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab  c 1Đặt ta b c    Khi đó kết hợp với các bất đẳng thức trên ta suy ra 1 1

32 54( )2Pf ttt   Xét hàm số 32 54( )2f ttt  trên khoảng 1,  Ta có 422 162'( )2f ttt   '( ) 0 4  4 1; lim ( ) 0; (1) 04 tf ttff tf       từ đo suy ra 1,1( ) (4)4tmax f tf

   Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của 1

4

P  khi và chỉ khi 1

Trang 21

610 Dang Thanh Nam

Bài 12 Cho các số thực a b c, , thỏa mãn abc; a b c  Chứng minh rằng 5 a b b c c a     ab bc ca    4

Lời giải :

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

a b b c   a c ab bc ca  4 (*)Đặt vế trái của bất đẳng thức (*) là P Nếu ab bc ca 0 P , ta có đpcm 0Xét ab bc ca , ta đặt x0 ab bc ca Ta có : 22312 2 4a b b caca b b c           a b b c  ac  a c   Mặt khác lại có 222222221 1 12 2 21 12 4abcab bccaa bb ca caca b b c               Suy ra 32 45 5 ; 0 54 3xa ca cxx         Suy ra 331 4 2 35 54 3 9P x x   x x  Xét hàm số ( ) 2 3 5 39

f x  x x trên đoạn 0;5 , ta suy ra 

  

0;5 ( ) 2 4

xmax f xf

  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a2;b1;c0 Ta có đpcm

Bài 13 Cho x y , 0 thỏa mãn x2yxy0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

224 8 1xyPyx  Lời giải:

Theo giả thiết ta có :

21 1 22 2 2 82 2 2xyx yxy x y    x y 

Theo bất đẳng thức Cauchy sharcs ta có

Trang 22

611 Dang Thanh Nam

Vậy đặt t x 2yvà xét hàm số 2( ) , 88 4tf ttt Ta có 224 8'( ) 08 4ttf tt  với t  8Suy ra 8;8min ( ) (8)5tf tf  

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của Pbằng 8

5, khi x4;y2

Bài 14 Cho x y z , , 0 thỏa mãn xy z 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3333339 9 9xyyzzxPxyyzzx      Lời giải :

Theo bất đẳng thức Cauchy schwarz ta có

Trang 23

612 Dang Thanh Nam

Từ đó cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta suy ra 11 3.21 9

4 4

P xyz  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz3

Bài 15 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng 3 abc 2 acb 3bcacba               Lời giải : Giả sử amax a b c , , - Nếu a  thì cb3 3 3 2 3abcabcabcabcabcbcacabbcacabcab                            - Nếu ab thì cXét hàm số f a( ) 3 abc 2 acb 3bcacba              Ta có  2 2223 23 3 2 2'( ) cbabccaf abacaa bc     Do 2ab ca bc

Nếu 3c2a hàm số đồng biến suy ra

( ) ( ) bc 2 0

f af b

ca

    

Nếu 3c2a hàm số nghịc biến suy ra

2222 23 2( ) ( ) b ccbbcc b c 0f af bcbcbcb c          Ta có đpcm

Bài 16 Cho ba số thực a b c , , 1; 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 24

613 Dang Thanh Nam

Khi đó 2222241 4ababccPcab ca bababcccc                     Ta đặt tabcc  thì do a b c, , 1; 2 tab 1; 4cc    Bây giờ ta xét hàm số 22( )1 4tf ttt  có  2224 2'( ) 0, 1; 44 1ttf tttt    Từ đó suy ra  1;41min ( ) (1)6tf tf  

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của Pbằng 1

6 khi ab1;c2

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1 Cho x y z , , 0 thỏa mãn xy z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 222

2 4 9 2012

P x y z  xyz x

1.2 Cho x y z, , là ba số thực thuộc đoạn  1;9 và xmaxx y z, ,  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2xyzPxyyzzx    

1.3 Cho các số thực x y, thay đổi và thỏa mãn xy34xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 4422 22

3 2 1.

P x y x y  x y 

1.4 Cho x y, là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2

1 1 2

A x y  x y  y

1.5 Cho các số thực không âm thỏa mãn a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

 222 222 222

3 3 2

M  a b b c c a  ab bc ca   a b c

1.6 Cho các số thực không âm x y, thay đổi và thỏa mãn xy1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 2  2 

4 3 4 3 25

S  x  yy  x  xy

Trang 25

614 Dang Thanh Nam

1.8 Cho x y , 0 thỏa mãn x yxy  xy3xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

222 1 2 32xyPxyxy    1.9 Cho , , 25a b c   thỏa mãn a b c   Chứng minh rằng 322226 5 26 5 26 595 2 5 2 5 2abcPabc       

1.10 Cho x y, 0;1 ; xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 xy

Px y

1.11 Cho x y , 0với xy2 Chứng minh rằng



2222

2.

x yx y 

1.12 Cho x y z, , là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh



7 xyyzzx  2 9xyz.

1.13 Cho các số thực dương a b c, , thuộc đoạn  1; 2 Chứng minh rằng

333

5

a b c  abc

1.14 Cho x y, là 2 số thực thay đổi thỏa mãn x2xyy2 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

22

2

Px xy y

1.15 Cho các số thực a b c, , thay đổi thỏa mãn 222

1.a b c  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3333 Pa b c  abc1.16 Cho 0a  Chứng minh rằng b 122ln ln ln ln ab b a a b

1.17 Cho các số thực khơng âm a b c, , có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

P a b b c c a  

1.18 Cho 3 số thực dương a b c, , thỏa mãn 21ab2bc8ca12 Chứng minh rằng

1 2 3 5.2abc1.19 Cho x y, là 2 số thực thỏa mãn 0 , 0 3 3xy    Chứng minh rằng  cosxcosy 1 cos xy

1.20 Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 Chứng minh rằng

Trang 26

615 Dang Thanh Nam

222 163 2

3

x  y z 

1.22 Cho các số thực không âm x y z, , có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

4 4 4 1

.12

x yz y zx z xy 

1.23 Cho các số thực x y, không nhỏ hơn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 3322.1 1xyxyPxy   1.24 Cho các số thực x y  ,  3; 2và thỏa mãn 332x y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22.Px y

1.25 Cho các số thực không âm a b c, , và khơng đồng thời bằng khơng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

333316abcPa b c  

1.26 Cho bốn số nguyên thay đổi thỏa mãn 1a  bcd50 Chứng minh

53.175

ac

bd 

1.27 Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn xy z 1 Chứng minh rằng

2222221 1 182.xyzxyz     

1.28 Cho các số dương a b c, , có tích bằng 1 Chứng minh rằng 3 2.21 1 1abca  b  c   

1.29 Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn a2b2c2 3 Chứng minh rằng

1 1 13.2a2b2c

1.30 Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng

2222222222 2 28.2 2 2ab cb cac ababcbcaca b            

1.31 Cho các số thực dương a b c, , có tổng bằng 3 Chứng minh rằng

2222221 1 1.abca b c   

1.32 Cho a b c, , là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

2229.1 1 1 10abca  b  c   

Trang 27

616 Dang Thanh Nam

222

1 1 1

1.

1 1 1

a  a b  b c  c 

1.34 Cho hai số dương x y, có tổng bằng 1 Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức 1 1xyAxy  1.35 Cho các số thực x y, thỏa mãn 0xy Chứng minh rằng  3  3 6 sin 6 sinx  xy y  yx 1.36 Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn 42xyzxyz  Chứng minh rằng 183 165 5 x4 y4 z4 18

1.37 Cho a b , 1là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 1 1 4

3ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22221 11 1Pabab    

1.38 Cho các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện

2222212xyzxyyzzxyzyz        

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222

P x y z

1.39 Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa mãn  2

4a c b c   c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3abcPbcacbcca    

1.40 Cho a b c, , là ba số thực thỏa mãn ab bc ca1;a  bc 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3332224 abc 3abcPa b cabca b c        

1.41 Cho các số thực x y z , ,  0;1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 12  12  12

P xyy  yz z  zx x

1.42 Cho x y, là hai số thực dương thỏa mãn x2y2  Chứng minh rằng 2

322942xyy  x y1.43 Cho a b, là các số thực thỏa mãn 1, 12aab

   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 28

617 Dang Thanh Nam

1.44 Cho x y, là hai số thực thỏa mãn

2213 2 1yxxxy    

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

22

3 2

P y  x  x

1.45 Cho x y, là các số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 2

333333

2 3 2 1

Px x yx  y   y  

1.46 Cho ba số thực a b c a, ,  0 ; a sao cho hàm số b 32 

2 3 6 12

y ax  bx  cx a b c luôn đồng biến trên  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pabc

a b

 



1.47 Cho các số thực dương a b c, , có tổng bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3333332222223 4 11 3 4 11 3 4 11abbccaPbaabbcbbccaccaa         

1.48 Cho a b c , , 0 thỏa mãn abc a b  c2 ab bc ca2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3334a 1 4b 1 4c 1Pbca     1.49 Cho ba số thực a b c, , thỏa mãn 222 32

a b c  ab bc ca và khơng có hai số nào đồng thời bằng 0 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 2c2

Pab bc ca  1.50 Cho ba số thực a b c, , thỏa mãn 222 32

a b c  ab bc ca và khơng có hai số nào đồng thời bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa 2c

ab bc ca



 

1.51 Cho a b c , , 1; 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

21 1 1Pabcabc         1.52 Cho , , 1; 22a b c    Chứng minh rằng 8 abc 5 acb 9bcacba              

1.53 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng

3 abc 2 acb 3bcacba              

1.54 Cho a b c , , 0thỏa mãn a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

Trang 29

618 Dang Thanh Nam

1.55 Cho x y z , , 0 thỏa mãn x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 35

Pxyyzzx

xyz

   

 

1.56 Cho x y , 0 thỏa mãn x2yxy0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

224 8 1xyPyx  

1.57 Cho a b c , , 0 thỏa mãn a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

2222 3Pabcab bcca    

1.58 Cho bốn số thực x y z t thuộc đoạn , , , 1 2;2 3  

  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 229 xz 16 x tPx txy            PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHAWARS VÀ HOLDER BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

Trong Đề thi TSĐH các bài toán BĐT thường cho 3 biến số , nên ta chỉ cần sử dụng chắc 2 kết quả sau

Với 2 số khơng âm a b, ta có

2

a bab



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b

Với 3 số không âm a b c, , ta có

33a bcabc 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c

Ngồi ra ta có các kết quả sau

Trang 30

619 Dang Thanh Nam

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Cho x y z, , là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1.2 2 2xyzPxyzyzzxxy                  Lời giải: Ta có 1 1 12 2 2xyzPxyzyzzxxy                  2222 2 2xxyyzzyzzxxy     2221 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2xzyyzxzxyxyzxxyyzyzzx                     2223 1 1 3 1 1 3 1 1 93 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2xzyyzxzxyxyzxxyyzyzzx   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Pbằng 9

2khi x yz1.

Bài 2 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 4

x yz  Chứng minh rằng 1 1 11.2x yz x2yz x y 2z Lời giải: Ta có 1 1 41 1 4xxxxyzyz  

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta suy ra

2 1 1 1 1 1642 2xyzxyzxyz         Một cách tương tự, ta có 2 1 1 162yz x y zx2 1 1 162z x y  z xy

Trang 31

620 Dang Thanh Nam

x yz

Bài 3 Cho các số dương x y z, , thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng 3333331 1 13 3.xyyzzxxyyzzx       Lời giải:

Sử dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có

33 3 331x y 3 1 .x y 3xy, suy ra 331 xy 3xyxyxy Một cách tương tự ta có 2 bất đẳng thức 33331 31 3yzyzyzyzzxzxzxzx  Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, và để ý 33 3 3 3 3 33 3 3.xyyzzxxyyzzxxy  yz  zx  xyyzzx  Ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1.

Bài 4 Chứng minh rằng nếu 0 y x1 thì 1.4

x yy x 

Lời giải:

1

4y x x y

Do 0x 1 x x2, vậy 1 1 2 2 1 2

4y x 4yx  4 yx  x y Ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1; 1.

4

x y

Trang 32

621 Dang Thanh Nam

23 1 24xPyxy    1 224 4 4 2xyyxyxy           321 2 6 92 3 4 4 4 2 2xy yxy   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2,y4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 9.2

Bài 6 Cho x y, là các số thực khơng âm Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2 21.1 1xyxyPxy  Lời giải: Vì x y , 0nên ta có xy1xy  xy1xy  xy1xy.Từ đó suy ra  2221 11 1 1xyxyxyxyPxyxyxy        Mặt khác ta lại có 2  11 4 1 4xy xy  xy xy  P Từ đó suy ra 1 14 P 4   Với x1;y0 thì 1.4P Với x0;y1 thì 1.4P  

Bài 7 Cho các số dương a b c, , thỏa mãn 222

1

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .abcabcPcba  Lời giải: Ta có 2222222222222 2a bb ca cPabccab     

Sử dụng bất đẳng thức Cô sic ho mỗi bộ hai số dương ta có

222 22222222222222 2 ; 22 2 ; 22 2a bb cb ca ca ba cbcac  a  a  b  c  b 

Trang 33

622 Dang Thanh Nam



4 4 2.

P  a b c  P

abc

Bài 8 Cho ba số thực dương a b c, , có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 P xxy xyzLời giải: Ta có 31 1.4 4 162 4Px x y  x yzSử dụng BĐT Cơ si ta có 1 1 16 44 4 16 4 12 12 3P x x y  x y z  xyz 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1621444 16211121xxyxyzyxyzz           

Vậy giá trị lớn nhất của Pbằng 4.3

Bài 9 Cho các số không âm a b c d, , , chứng minh rằng

3

16(abc bcd cdadab) a  b cd

Lời giải: Ta có 22316( ) 16 ( ) 16 ( )4 ( ) 4 ( )4.

abc bcdcdadabab cdcd a b

abcdcda ba bcda bcda bcd                   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ ab cd.

Bài 10 Cho các số thực không âm a b c d e, , , , có tổng bằng 5 Chứng minh rằng 5

abc bcd cdedea eab 

Lời giải:

Trang 34

623 Dang Thanh Nam

Ta có

2323

( )( ) ( )

5 5 2

2 3 2 3

abc bcddce ceaeabe ac bdbc ade

abcdbcadeeeee                                        Ta chỉ cần chứng minh  2325 5 25 1 8 0.2 3eee        e e    

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab cd   e 1

Bài 11 Cho các số thực không âm a b c, , có tổng bằng 3 Chứng minh rằng

a b c ab bc ca Lời giải: Ta có 2  2 2 23 2( )a b c    ab bc ca  a b c   a b c 2229 abc   Vậy ta chỉ cần chứng minh  2222 a b c  a b c  9

Sử dụng BĐT Cô si cho mỗi bộ 3 số dương ta có

222

3 ; 3 ; 3

a  a a  a b  b b b c  c c  c

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

 222

2 a b c  a b c 3(a b c)9.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab  c 1

Bài 12 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyzxyyzzx Chứng minh



3

xyz x yz

Lời giải:

Theo giả thiết ta có

xyz2 xyyzzx2, mặt khác ta lại có

2  222

3 3

xyyzzx  xzy yxz  yzx  xyz xyz

Từ 2 bất đẳng thức trên ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz3

Trang 35

624 Dang Thanh Nam

32( )xyzxzyxyzyzxzyxxyz                Để ý 233xxyzxyz 

Sử dụng BĐT Cô si cho mỗi bộ 3 số dương ta có

333

1 3 ; 1 3 ; 1 3

xxxyyyzzz

y z  xyzz  x   xyzx y  xyz

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được

33( )3xyzxzyxyzyzxzyxxyz                 Lại có 3 3xyzxyz  , từ đó ta có đpcm Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z

Bài 14 Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của tam giác có tổng bằng 3 Chứng minh rằng

1 1 1 9ab bc caa b c   b c a   c a b   Lời giải: Đặt x a bc y;  b ca z;  c ab Thì ta cóx2 y2z2 a b   c 3

BĐT tương đương với

2222221 1 1 369x yz  x y y z z x 2222229 x yy zz xxyyzzx 36xyz      Sử dụng BĐT Cơ si ta có 233xyyzzx xyz4222222 129x y y z z x 12 xyz

Nhân theo 2 vế của 2 bất đẳng thức trên, ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  c 1

Bài 15 Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng

333333

1 1 1 1

a b abcb c abcc a abc abc

Trang 36

625 Dang Thanh Nam

Ta có a3 b3 ab a b( ) a3 b3 abcab a b( c) 3 abc3 cababca bc             Tương tự ta cũng có 3 abc3 a ; 3 abc3 bb c abc a b c c a abc a b cCộng theo vế các bất dẳng thức trên ta có đpcm Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c

Bình luận: Một bài tương tự

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn a b c   Chứng minh rằng 0

2222221 1 118 8 1 8 8 1 8 8 1ab  bc  ca      

Bài toán này được giải quyết bằng cách đặt 2 ,2 2 ,2 22 2 2 1

abca b c

xyzxyz

 

     

Bài 16 Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn 1 1 1 1

x y z  Chứng minh xyz yzx zxy xyz x y zLời giải: Đặt a 1;b 1;c 1 a b c 1.xyz      

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1bca ca b  ab c   ab bc caTa có 2bca  bca a bc  abac  a bc a bcMột cách tương tự ta có ca bbcaab ccab    

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, và để ý a b c   Ta suy ra đpcm 1Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz3.

Bài 17 Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn ab bc ca   Chứng minh 1

Trang 37

626 Dang Thanh Nam

Một cách tương tự ta có 22212212bacbca bc    

Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

ab c

Bài 18 Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng

32abcab cb c  ca  a b    Lời giải:

Dễ thấy bất đẳng thức đúng với bộ 3 số a b c thì cũng đúng với bộ 3 số , , ka kb kc k  , , , 0Vậy không mất tính tổng quát ta chứng minh bất đẳng thức với a b c   6

Ta phải chứng minh bất đẳng thức 36 6 6abca  b c    Đặt 2226 ; 6 ; 6 12 6.x a y b z cx y z  xy zTa cần chứng minh 2226 6 6 1 1 13 6 3.xyzxyzxyzxyz              

Thật vậy bất đẳng thức này luôn đúng

Do 6 1 1 1 xyz 54 xyz 9 6 3.xyzxyz               

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc.

Bài 19 Cho các số thực không âm a b c, , không đồng thời bằng khơng Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 38

627 Dang Thanh Nam

2 2

;

yyzz

zx  xyzxy  xyz

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta suy ra P 2 Nhận thấy x y1,z0dấu bằng xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của Pbằng 2 khi 2 số bằng 1 và một số bằng không

Bài 20 Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x x yz3yz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 33223 xxyyzzxxyxzPyzyzyz                 Lời giải: Đặt 2222, 1xyxzxyxzxy xzabababyzyzyzyzyz yz                           Suy ra 2 321 3 1 24a b   ab  ab a b Ta có 3 3 323 3 2 54Pa b  aba bab  a b 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab 1 x yz1

Bài 21 Cho x y z, , là các số thực khơng âm thỏa mãn x y z 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P5xy7yz8zx Lời giải : Ta có P5xy7yz8zx3x y z2y z x5z x y2 2 23x 2 x 2y 2 y 5z 2 z 1 10 3 1 x 2 1 y 5 1 z             2 2 2340 300 450 1803 1 2 1 5 131 x 961 y 961 z 961            340 60 60 60 340 60 2801 1 1 331 31 x 31 y 31 z 31 31 xyz 31              

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 21; 16; 2531 31 31

x y z

Vậy giá trị lớn nhất của 280

31

P 

Bình luận : Để có được biến đổi ở (*), ta tìm các số thực a b c, , thỏa mãn



Trang 39

628 Dang Thanh Nam

Bài 22 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng 1 1 3 6a bcab bcca    Lời giải: Cách 1: Ta có ab bc ca  23abc a b c   3a b c  ab bc ca   3a b c  Suy ra 6 2 3ab bc ca   a b c Vậy ta chỉ cần chứng minh 23 3 31 2 0 1 0a bca bca bc                ln đúng

Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  c 1

Cách 2: Đặt a 1;b 1;c 1xyz   do abc 1 xyz1Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3 61xyyzzxxyz    Theo bất đẳng thức cơ si ta có xyz2 3xyyzzxSuy ra 23 91 1xyyzzxxyz     Vậy ta chỉ cần chứng minh 229 6 31 1 0xyzxyzxyz             luôn đúng Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  c 1

Bài 23 Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng

Trang 40

629 Dang Thanh Nam

2221 1.3 2 2 2aabcb c   Lại có  32 322 1 1 1 1 1 2 12 3 3 9 2 2 18bcb cbcb cbcbc               Suy ra 2221 2 13 2 18aabcbc       

Tương tự ta chứng minh được :

2221 2 13 2 18bbcaca       2222 13 2ccabab      

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	559,3 KB