Chuyên đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất phan nhật linh

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 03 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LÍ THUYẾT ❖ Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D ▪  f ( x)  M , x  D Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x ) D nếu:   x  D , f ( x ) = M  ▪ Kí hiệu: M = max f ( x) ▪  f ( x)  m, x  D Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) D nếu:  x0  D , f ( x0 ) = m ▪ Kí hiệu: m = f ( x) xD xD ❖ Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ O Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách khảo sát trực tiếp ▪ Bước 1: Tính f  ( x ) tìm điểm x1 , x2 , , xn  D mà f  ( x ) = hàm số khơng có đạo hàm ▪ Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn ▪ Bước 1: Hàm số cho y = f ( x ) xác định liên tục đoạn  a; b  Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng ( a; b ) , f  ( x ) = f  ( x ) không xác định ▪ Bước 2: Tính f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( b ) ▪ Bước 3: Khi đó:     max f ( x ) = max f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b )  a ,b f ( x ) = f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b )  a ,b o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng ▪ Bước 1: Tính đạo hàm f ( x) ▪ Bước 2: Tìm tất nghiệm xi  ( a; b) phương trình f ( x) = tất điểm  i ( a; b) làm cho f ( x) khơng xác định ▪ Bước Tính A = lim+ f ( x) , B = lim− f ( x) , f ( xi ) , f ( i ) ▪ Bước So sánh giá trị tính kết luận M = max f ( x) , m = f ( x) ▪ Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) x→a x →b ( a ;b) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ( a;b) Chủ đề 03: Giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số ▪ min f ( x ) = f ( a )  a ; b Nếu y = f ( x ) đồng biến  a; b     f ( x) = f (b) max  a ;b ▪ min f ( x) = f ( b )  a ; b Nếu y = f ( x ) nghịch biến  a; b     f ( x) = f ( a ) max  a ;b ▪ Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng ❖ Bất đẳng thức trị tuyệt đối: ▪ Cho hai số thực a , b ta có: a + b  a + b  a − b ▪ Dấu “ = ” vế trái xảy a , b dấu Dấu “ = ” vế phải xảy a , b trái dấu ▪ Tính chất hàm trị tuyệt đối: max a , b = ▪ Bước 1: Xét hàm số y = f ( x )  a , b    a−b + a+b ❖ Phương pháp chung để giải tốn tìm GTLN – GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Tính đạo hàm y = f ( x ) Giải phương trình f  ( x ) = tìm nghiệm thuộc  a , b  ▪ Bước 2: Giải phương trình f ( x ) = tìm nghiệm b j thuộc  a , b  ▪ Bước 3: Tính giá trị f ( a ) ; f ( b ) ; f ( ) ; f b j So sánh kết luận ( ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số f ( x) = m x − (m tham số thực khác 0) Gọi m1 , m2 hai giá trị m thỏa mãn f ( x) + max f ( x) = m2 − 10 Giá trị m1 + m2 [2;5] [2;5] A B C 10 D Lời giải Chọn A Với x   2;  có f '( x) = m x −1 Ta thấy dấu f '( x) phụ thuộc vào dấu m m  f ( x) đơn điệu  2;   f ( x) + max f ( x) = f (2) + f (5) = m + 2m [2;5] [2;5] m = Vậy m1 + m2 = Từ giả thiết ta m2 − 10 = m + 2m  m2 − 3m − 10 =    m = −2 ( ) VÍ DỤ 2: Cho hàm số y = x − 3x + m + Tổng tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn −  1;1 A −2 C −4 B D Lời giải Chọn A ( Đặt y = f ( x) = x − 3x + m + ) hàm số xác định liên tục đoạn −  1;1  x = 1 Ta có y = f ( x) = x − 3x + m + 3x − ; f ( x) =    m = − x + 3x − = g( x) Ta khảo sát hàm số g( x) đoạn −  1;1 Bảng biến thiên g( x) ( )( ) y=0 Nếu m  −  3;1 ln tờn x0  −  1;1 cho m = g( x0 ) hay f ( x0 ) = Suy  −1;1 , tức không tờn m thỏa mãn u cầu tốn Nếu m  −  3;1 f ( x) =  x = 1  −  1;1 Ta có: f ( x) =  f (1); f ( −1) = ( m − 1)2 ;( m + 3)2   −1;1  m = (TM ) Trường hợp 1: m  tức m +  m −   f ( x) = ( m − 1)2 =    −1;1  m = ( KTM )  m = −4 (TM ) Trường hợp 2: m  −3 tức m −  m +   f ( x) = ( m + 3)2 =   −1;1  m = −2 ( KTM ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 03: Giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán: m = 2; m = −4 , từ tổng tất giá trị m −2 VÍ DỤ 3: Biết giá trị nhỏ hàm số y = mx + số) Mệnh đề sau đúng? A  m  36 đoạn 0;  20 (với m tham x+1 B  m  C  m  D m  Lời giải Chọn C Cách 1:  20 x − 16  36 m , x  ( 0;  mx +  20,  x   0;      x ( x + 1) x+1  Ta có: y = 20   (*)  0;3  36 x0  0;  : mx0 + x  ( 0;  : m = 20 x0 − 16 = 20  x0 +   x0 ( x0 + )  (vì y ( ) = 36  20 ) Xét hàm số g ( x ) = Ta có: g ' ( x ) = 20 x − 16 ( 0;  x ( x + 1) −20 x + 32 x + 16  x ( x + 1)   x = ( tm ) ; g ' ( x ) =  −20 x + 32 x + 16 =   x = − (l)  Bảng biến thiên: Do đó, từ ( * ) suy m = Vậy  m  Cách 2: Ta có: y ( ) = 36 , y ( ) = 3m + ; y ' = m − Mà y = 72 ( x + 1) 36 ( x + 1) , x  0; 3 y ( ) = m − 36 , y ' ( ) = m −  0, x  0;  Bảng biến thiên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Khi y '  0, x  0;  Suy hàm số nghịch biến đoạn 0;  11 Do đó, ta có y = 20  y ( ) = 20  3m + = 20  m = (không thỏa mãn) 0;3 Trường hợp 1: m  Trường hợp 2: m  36 Khi y '  0, x  0;  Suy hàm số đồng biến đoạn 0;  Do đó, ta có y = y ( ) = 36 (không thỏa mãn) 0;3 Trường hợp 3:  m  36 Khi y ' =  x = −1 +  ( 0; ) m  m = ( tm )   = 20  − m + 12 m = 20   Do đó, ta có y = 20  y  −1 +  0;3  m   m = 100 ( l ) Do m = thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy  m  VÍ DỤ 4: Cho hàm số y = f ( x ) = x6 + ax + bx + 2a + b với a , b số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = Giá trị nhỏ f ( ) bao nhiêu? A 128 B 243 C 81 D 696 Lời giải Chọn D Ta có f ' ( x ) = x + 2ax + b Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = nên f  ( 1) =  b = −2a − Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = nên f ( x )  f ( 1) , x  f ( x )  f ( 1) , x   x6 + ax + bx + 2a + b  + 3a + 2b , x   x6 + ax + ( −2a − ) x + 2a − 2a −  + 3a + 2b , x  ( ) (do b = −2 a − )  a x − x +  − x + x − 5, x  ( )  a ( x − 1)  ( x − 1) − x − x − x − x − , x  2 ( (* ) ) Mà max − x − x − 3x − x − = −3  x = −1 nên (*) xảy a  −3 f ( ) = 3a + 705  f ( ) = 696 VÍ DỤ 5: Cho y = f ( x) = x − 5x + + mx Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m cho giá trị nhỏ hàm số f ( x) lớn Tính số phần tử S A B C Lời giải Chọn A | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D Chủ đề 03: Giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số Vì f ( x )  nên f ( x) = x − 5x + + mx  với x  Với x   4; + ) , ta có f ( x ) = mx + x2 − 5x +   m  − x − + 5, x  x 3 Đặt g( x) = − x − + 5, x  Ta có g( x) = −1 +  0, x   4; + ) , g(4) = x x 1 Do g ( x )  g ( ) = Vì m  g ( x ) x   4; + )  m  g ( )  m  (1) 4 Tương tự, với x  1; ) Ta có f ( x ) = − x + 5x − + mx  x  1; )  m  (2) Với x  (0;1) Ta có f ( x ) = x2 − 5x + + mx  x  ( 0; 1)  m  − x − +  m  (3) x Với x  ( −; ) Ta có f ( x ) = x − 5x + + mx  x  ( −;0 ) + x  ( −;0 )  m  + ( ) x Với x =  m  −x − Từ (1), (2), (3) (4) ta có  m  + Vậy S = 2; 3; 4; 5;6;7; 8 tập hợp tất giá trị nguyên m thỏa mãn VÍ DỤ 6: Tìm tất giá trị thực m để giá trị lớn hàm số y = 4sin x + m.6sin x không nhỏ 9sin x + 41+ sin x A m  B m  C m  13 18 D 13 m 18 Lời giải Chọn B Ta có: y = sin x + m.6 sin x sin x + 41+ sin x 3 + m   2 = 3 2   sin x sin x +4 sin x mt + 2 3 3 Đặt t =   với t   ;  y = f ( t ) = t +4 3 2 2 u cầu tốn tương đương với: Tờn max f ( t ) ( điều đúng) f ( t )  2 3 3;2   Xét f ( t )  1 t2 +  mt +  t +  3m  3 t Đặt g ( t ) = t2 + , g ' (t ) = − =  t = t t 2 3 có nghiệm t   ;  3 2 (1) Bảng biến thiên hàm g ( t ) : Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 3 Yêu cầu toán tương đương (1) có nghiệm hay 3m  g ( t ) có nghiệm t   ;  3 2  3m  g (1)  3m   m  VÍ DỤ 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) Hàm số y = f  ( x ) liên tục tập số thực có bảng biến thiên sau: Biết f ( −1) = đoạn  −1; 2 A 10 10 , f ( ) = Giá trị nhỏ hàm số g ( x ) = f ( x ) − f ( x ) B 820 27 C 730 27 D 198 Lời giải Chọn C Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − f ( x ) đoạn  −1; 2  f  ( x ) = (1) g  ( x ) =  f ( x ) − 1  f  ( x ) , g  ( x ) =    f ( x ) = ( 2)  x = −1  −1; 2 Từ bảng biến thiên, ta có: (1)    x =   −1; 2 Và f  ( x )  , x   −1; 2 nên f ( x ) đồng biến  −1; 2  f ( x )  f ( −1) =  f ( x )   f ( x )  , x   −1; 2 nên ( ) vơ nghiệm Do đó, g  ( x ) = có nghiệm x = −1 x =  10   10  730 Ta có g ( −1) = f ( −1) − f ( −1) =   −   =  3   27 g ( ) = f ( ) − f ( ) = ( ) − ( ) = 198 Vậy g ( x ) = g ( −1) =  −1;2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 730 27 10 Chủ đề 03: Giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số VÍ DỤ 8: Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn 1; 2 Biết hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ( f ( x) − x ) f ( x) = x + 3x + x , x  Giá trị 3M − m B −28 A C −3 D 33 Lời giải Chọn A Ta có: ( f ( x) − x ) f ( x) = x + 3x + x  f ( x) − xf ( x) = x + 3x + x  f ( x) − xf ( x) = x + 12 x + x  f ( x) − xf ( x) + x = x + 12 x + x  f ( x) − x = x + 3x  f ( x) = x + x    f ( x) − x  = (2 x + 3x)    3  f ( x) − x = −2 x − 3x  f ( x) = − x − x Với f ( x) = x + x  f ( x) = 3x +  0, x  nên f ( x) đồng biến Với f ( x) = − x − x  f ' ( x) = −3x −  0, x  nên f ( x) nghịch biến Suy ra: f ( x) = − x − x Vì f ( x) nghịch biến nên M = max f ( x) = f (1) = −2 1;2 m = f ( x) = f (2) = −10 Từ đây, ta suy ra: 3M − m = ( −2 ) + 10 = 1;2 VÍ DỤ 9: Cho hàm số f ( x ) Biết hàm số f  ( x ) có đờ thị hình Trên đoạn −  4;  , hàm số g ( x ) = f ( x ) + (1 − x ) đạt giá trị nhỏ điểm? A x = −3 B x = −4 C x = D x = −1 Lời giải Chọn D Ta có g ( x ) = f  ( x ) − (1 − x )  x =  −  4;   Giải phương trình: g ( x ) =  f  ( x ) − (1 − x ) =  f  ( x ) = (1 − x )   x = −1  −  4; 3   4; 3  x = −4  − Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Tương giao đồ thị sau Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Bảng biến thiên: Vậy đoạn −  4;  , hàm số g ( x ) đạt giá trị nhỏ điểm x = −1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ĐỀ VDC SỐ Câu 1: Cơ GTLN-GTNN hàm số Giá trị lớn hàm số y = − x + x khoảng ( 0; ) là: A Câu 2: B C Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục x  y' D -2 có bảng biến thiên sau + + + + y  Khẳng định sau đúng? A Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ B Hàm số có cực trị C Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = D Hàm số có giá trị cực tiểu Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên Giá trị lớn hàm số đoạn −  2;  A Câu 4: B D Giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = ( x + 1)( x + )( x + )( x + ) + 2019 A 2017 Câu 5: C B 2020 C 2018 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên −  5;7 ) sau: Mệnh đề sau đúng? A f ( x ) = hàm số không đạt giá trị lớn −  5;7 )  −5;7 ) B max f ( x ) = f ( x ) =  −5;7 )  −5;7 ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D 2019 Chủ đề 03: Giá trị nhỏ – Giá trị lớn hàm số Câu 28: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn  a  b  c  d hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f  ( x ) có đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a, b, c hình vẽ Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x )  0;d  Khẳng định sau đúng? A M + m = f ( b ) + f ( a ) B M + m = f ( ) + f ( a ) C M + m = f ( ) + f ( c ) D M + m = f ( d ) + f ( c ) Câu 32: Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y = f  ( x ) đường cong hình bên Giá trị nhỏ ( ) giá trị lớn hàm số g ( x ) = f x − x đoạn  −1; 2 A f ( ) f ( ) − B f ( ) f ( −1) − C f ( ) − f (1) − D f (16 ) − 32 f ( −1) − Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc bốn Đồ thị hàm số y = f  ( x − 1) cho hình  1 vẽ bên Hàm số g ( x ) = f ( x ) + x + x có giá trị nhỏ đoạn  −3;   2 A f ( ) + 12 B f ( −2 ) C f ( −6 ) + 12 D f (1) + Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho hàm số đa thức bậc bốn f ( x) có bảng biến thiên đạo hàm sau: Biết f (−2) = −1 , giá trị lớn hàm số f ( x)  −2;0 A B 13 12 C 12 D Lời giải Chọn A Vì f ( x) hàm đa thức bậc bốn nên f ( x ) hàm bậc ba có dạng y = ax + bx + cx + d Ta có y = 3ax + 2bx + c Dựa vào BBT ta có hệ sau:  a = −  y(−2) = 12a − 4b + c =   y(−1) = 3a − 2b + c = b = −      y (−2) = −8a + 4b − 2c + d =    c = −2  y (−1) = −a + b − c + d =    d = 6  3 1 Suy f ( x) = − x3 − x − x + Ta có f (0) = Dựa vào bảng biến thiên ta có 3 f ( x)  0, x   −2;0 Ta có  f ( x)dx = f (0) − f (−2) −2 Suy Max f ( x) = f (0) =  −2;0 Câu 2:   f ( x)dx + f (−2) =   − x −2 −2 3 1 − x − x +  dx − =2 − = 3 Cho hàm số bậc bốn f ( x) có đồ thị đạo hàm f '( x ) sau Hàm số g ( x) = f ( x ) − A f (4) − x có giá trị lớn đoạn  − ;  16   49   25 B f (2) − C f   − D f   −   64   64 Lời giải Chọn D | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 03: Giá trị nhỏ – Giá trị lớn hàm số Đặt t = x Vì x   − ;  nên t   0;3 Khi đó, tốn trở thành tìm giá trị lớn t với t   0;3 16 Vì f ( x) hàm số bậc bốn nên f ' ( x ) hàm số bậc ba hàm số h ( t ) = f ( t ) − Dựa vào đồ thị ta thấy f ' ( x ) có nghiệm x = nghiệm kép x = Suy f '( x) = ax ( x − 3) Mặt khác, ta có f ' ( ) =  = 4a  a = 1 x ( x − 3) = ( x − x + x ) 2 11  Suy f ( x ) =  x − x3 + x  + C = x − x3 + x + C 2  Suy f ' ( x ) = Suy f ( t ) = t − t + t + C 35 Suy h ( t ) = t − t + t + C 16 t3 35 − 3t + t t = Ta có h ' ( t ) =   (vì t   0;3 ) t =  Suy h ' ( t ) = 5   25 Khi dễ thấy giá trị lớn hàm số h(t ) đoạn  0;3 h   = f   − đạt 2   64 t = Câu 3: Cho hàm số f ( x ) bậc bốn Biết f ( ) = đồ thị hàm số f  ( x ) hình vẽ bên: y -1 O x -2  3 Giá trị nhỏ hàm số g ( x ) = f ( x ) − x + x đoạn  − ;   2 63 15 A − B C − D − 4 4 Lời giải Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Chọn C Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Đặt t = x, t   −1;3 Ta cần tìm giá trị nhỏ hàm số h ( t ) = f ( t ) − t + 2t đoạn  −1;3 Dựa vào bốn điểm ( −1; −2 ) ; ( 0; ) ; (1;0 ) ; ( 2; −2 ) mà đồ thị f  ( x ) = ax3 + bx + cx + d qua  − a + b − c + d = −2 a = d = b = −3    lập hệ phương trình  nên a + b + c + d = c = 8a + 4b + 2c + d = −2 d = x4 f  ( x ) = x − x +  f ( x ) = − x + x, f ( ) = Khi h ( t ) = Câu 4: t4 15 − t + 2t − t + 2t  h ( t ) = h ( 3) = − − 1;3   4 Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y = f  ( x ) đường cong hình vẽ bên Giá trị nhỏ  4 hàm số g ( x ) = f ( 3x ) − x đoạn  −1;   3 A f ( 3) − B f ( −3) + C f ( ) Lời giải Chọn A | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D f ( ) − 12 Chủ đề 03: Giá trị nhỏ – Giá trị lớn hàm số  4 Đặt t = x x   −1;   t   −3; 4  3  h ( t ) = f ( t ) − 3t với t   −3; 4 t = a  −3( L) t = t =  Ta có: h ( t ) = f  ( t ) −  h ( t ) =  f  ( t ) =   t = t =  t = b  ( L ) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên: h ( x ) = h ( t ) = h ( 3) = f ( 3) −  −3;4  4  −1;    Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f  ( x ) đường cong hình bên Giá trị lớn hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x − đoạn  −1;1 B f ( −2 ) − 12 B f ( −1) C Lời giải f ( ) − 12 D f ( ) − 30 Chọn B g  ( x ) = f  ( x ) − 8x − g  ( x ) =  f  ( x ) = x + ( *) Đặt t = x Với x   −1;1 t   −2; 2 ; (*)  f  ( t ) = 2t + (**) Số nghiệm phương trình (**) số giao điểm đồ thị hàm số y = f  ( t ) đường thẳng y = 2t + dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  1 max g ( t ) = g ( −1)  max g ( x ) = g  −   max g ( x ) = f ( −1) −2;2 −1;1 −1;1  2 Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f '( x) đường cong hình vẽ bên Giá trị nhỏ hàm số g ( x) = f ( x) − x + x đoạn  −2; 2 A g (2) B g ( −2) C g (0) + g (2) D g (2) − g (0) Lời giải Chọn A Ta có g '( x) = f '( x) − x + = f '( x) − ( x − 1) g '( x) =  f '( x) = x − Ta có đồ thị hàm số y = x − parabol có đỉnh I ( 0; −1) qua hai điểm A( −2; 7) B (2; 7) Khi đồ thị hàm số y = f '( x) y = x − có dạng | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 03: Giá trị nhỏ – Giá trị lớn hàm số x = Từ đồ thị ta có g '( x) =    x = 2 Bảng biến thiên hàm g ( x) Vậy giá trị nhỏ hàm số g ( x) = f ( x) − x + x đoạn  −2; 2 g (2) Câu 7: Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y = f  ( x ) đường cong hình bên Giá trị lớn hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) đoạn  −3;3 A f ( ) − B f ( −3) − C f (1) − D f ( 3) − 16 Lời giải Chọn C Ta có g ( x) = f ( x) − x −  x = −3  g ( x) =  f ( x) = x +   x =  x = Bảng biến thiên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Từ bảng biến thiên, suy max g ( x ) = g (1) = f (1) − [ −3;3] Câu 8: Cho hàm số f ( x) , biết y = f '( x) có đồ thị hình vẽ Gọi giá trị nhỏ hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( x − 1) đoạn  −4;3 là.Kết luận sau đúng? A m = g ( −1) B m = g ( −4 ) C m = g ( 3) D m = g ( −3) Lời giải Chọn A Ta có: g ( x ) = f ( x ) + ( x − 1)  g ' ( x ) = f ' ( x ) + ( x − 1) Xét g ' ( x ) = f ' ( x ) + ( x − 1) =  f ' ( x ) − ( − x + 1) =  x = −4; x = −1; x =  Ta có BBT: 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 03: Giá trị nhỏ – Giá trị lớn hàm số  Giá trị nhỏ hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( x − 1) đoạn  −4;3 là: g ( −1) Câu 9: ax + b có phần đồ thị hình vẽ bên dưới, biết hệ số a, b, d x−d nguyên ad  Giá trị lớn biểu thức T = a + b + d Cho hàm số f ( x ) = A −1 B −2 C Lời giải D Chọn C Ta có f  ( x ) = −ad − b (x −d) Từ hình vẽ suy hàm số f ( x ) đồng biến khoảng tập xác định  ad + b  b x = a  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường thẳng y = a  a  lim f ( x ) = lim x → x → d 1− x Mà ad   d  (1) Từ hình vẽ suy tiệm cận đứng đồ thị hàm số đường thẳng x = d  ( ) a+ Từ (1), (2) d   d =  a + b  Do a, b   a + b  −1 Khi T = a + b + d  −1 +  T  Dấu “=” xảy  a + b = −1 d = Vậy giá trị lớn biểu thức T = a + b + d Câu 28: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn  a  b  c  d hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f  ( x ) có đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a, b, c hình vẽ Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x )  0;d  Khẳng định sau đúng? Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 A M + m = f ( b ) + f ( a ) B M + m = f ( ) + f ( a ) C M + m = f ( ) + f ( c ) D M + m = f ( d ) + f ( c ) Lời giải Chọn C  Dựa vào đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta có bảng biến thiên hàm y = f ( x )      Dựa vào bảng biến thiên ta có M = max f ( ) , f ( b ) , f ( d ) , m = f ( a ) , f ( c )  Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = a 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 03: Giá trị nhỏ – Giá trị lớn hàm số  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = b, x = c Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = c, x = d  Dựa vào hình vẽ ta có; b a a S1  S2   f  ( x ) dx   f  ( x ) dx  f ( ) − f ( a )  f ( b ) − f ( a )  f ( )  f ( b ) b S3  S   d f  ( x ) dx   f  ( x ) dx  f ( b ) − f ( c )  f ( d ) − f ( c )  f ( b )  f ( d ) c c  Suy M = f ( ) b b c a S3  S2   f  ( x ) dx   f  ( x ) dx  f ( b ) − f ( c )  f ( b ) − f ( a )  f ( c )  f ( a ) Suy m = f ( c )  Vậy M + m = f ( ) + f ( c ) Câu 32: Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y = f  ( x ) đường cong hình bên Giá trị nhỏ ( ) giá trị lớn hàm số g ( x ) = f x − x đoạn  −1; 2 A f ( ) f ( ) − B f ( ) f ( −1) − C f ( ) − f (1) − D f (16 ) − 32 f ( −1) − Lời giải Chọn A ( ) Xét hàm số g ( x ) = f x − x với x   −1; 2  x  [0; 4] ( ) ( ) Ta có: g( x) = 2x f  x2 − 4x = 2x  f  x2 − 2 x2= x = x =  g ( x) =   f  x =  x =  x = −2  −1;2  x2 = x = ( ) ( ) ( ) Với x  [0; 4] f  x2   f  x2 −  Bảng biến thiên g ( x ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 So sánh: f (1) − với f (4) − Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi: y = f ( x) , y = , x = , x = có diện tích S 4 1 S =  f '( x) − 2.dx =   f ( x) − 2.dx = ( f ( x) − 2x)14 = f (4) − − ( f (1) − 2) S   f (4) − − ( f (1) − 2)   f (4) −  f (1) − Vậy: g ( x ) = f ( ) max g ( x ) = f ( ) − [ −1;2] [ −1;2] Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc bốn Đồ thị hàm số y = f  ( x − 1) cho hình  1 vẽ bên Hàm số g ( x ) = f ( x ) + x + x có giá trị nhỏ đoạn  −3;   2 A f ( ) + 12 C f ( −6 ) + 12 B f ( −2 ) Lời giải Chọn C  1 Đặt t − = x , x   −3;   t   −5; 2  2 Khi đó, hàm số g ( x ) = f ( x ) + x + x thành h ( t ) = f ( t − 1) ( t − 1) + 2 + ( t − 1) 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D f (1) + Chủ đề 03: Giá trị nhỏ – Giá trị lớn hàm số h ( t ) = f  ( t − 1) + t  h ( t ) =  f  ( t − 1) = −t Xét tương giao đồ thị hai hàm số y = f  ( t − 1) , y = −t t = −2 Do h ( t ) =  t = −1 t = Ta có bảng biến thiên hàm số h ( t ) : Do vậy, g ( x ) = h ( t ) = h ( −5) ; h ( −1)  1  −3;    −5;2 Trong h ( −5 ) = f ( −6 ) + 12, h ( −1) = f ( −2 ) Từ đồ thị ta thấy: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f  ( t − 1) , y = −t đường thẳng t = −5, t = −2 lớn diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f  ( t − 1) , y = −t đường thẳng t = −2, t = −1 Do đó: Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 −1 −2  −t − f ' ( t − 1) dt    f  ( t − 1) + t dt −2 −5 −1 −2  t2  t2    − − f ( t − 1)    + f ( t − 1)    −2   −5 25  − − f ( −2 ) + + f ( −3)  + f ( −3) − − f ( −6 ) 2  f ( −2 )  f ( −6 ) + 12 Vậy, g ( x ) = f ( −6 ) + 12  1  −3;   2 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 03: Giá trị nhỏ – Giá trị lớn hàm số Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18