Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 48: GTNN – GTNN (TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM PHỤ THUỘC THAM SỐ TRÊN ĐOẠN PHẦN I: KHƠNG CĨ KIẾN THỨC CẦN NHỚ - KHÔNG BÀI TẬP MẪU BÀI TẬP MẪU x+m ( m tham số thực) Gọi S x +1 tập hợp tất giá trị m cho max f ( x ) + f ( x ) = Số phần tử S (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hàm số f ( x ) = [0;1] [0;1] B A C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn GTLN – GTNN hàm số liên tục đoạn (cố gắng đưa phương pháp chung cho dạng toán được) …………………………………………………………………………………………………… KIẾN THỨC CẦN NHỚ: (thầy cô liệt kê hết công thức cần dùng cho biến đổi toán) + Quy tắc xác định GTLN – GTNN hàm số liên tục đoạn: Xét hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] B1: Tính đạo hàm f ′ ( x ) Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng ( a; b ) f ′ ( x ) f ′ ( x ) khơng xác định B2: Tính f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( b ) B2: Tìm số lớn M số nhỏ m số = = f ( x ) ; m f ( x ) Ta có: M max [a ; b] [a ; b] …………………………………………………………………………………………………… HƯỚNG GIẢI: (nếu câu hỏi lý thuyết hay câu hỏi dễ có 1; dịng bỏ qua bước này) B1: Xét trường hợp m = ⇒ thấy thỏa mãn tốn B2: Tính đạo hàm f ′ ( x ) Xét trường hợp f ′ ( x ) > 0, f ′ ( x ) < để suy max f ( x ) f ( x ) [0;1] [0;1] B3: Biện luận để suy max f ( x ) f ( x ) từ tìm đáp số tốn [0;1] [0;1] Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B + Với m = : ta có f ( x ) = 1, ∀x ∈ [ 0;1] Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang1 Website: tailieumontoan.com Do max f ( x ) = f ( x ) = ⇒ max f ( x ) + f ( x ) = (thỏa mãn đề bài) [0;1] [0;1] [0;1] 1− m + Với m ≠ , ta có: = f ′( x) f ( ) m= ; f (1) Có= ( x + 1) [0;1] ≠ 0, ∀x ∈ [ 0;1] m +1 - Nếu − m < ⇔ m > f ′ ( x ) < ⇒ Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; − 1) ( −1; + ∞ ) Khi đó: f = ( x ) f= (1) [0;1] m +1 > max f ( x= ) f ( 0=) m > [0;1] m +1 max f ( x ) = m [0;1] [0;1] m +1 =2 ⇔ 3m =3 ⇔ m =1 (loại) Theo ta phải có: m + Suy f ( x ) = - Nếu − m > ⇔ m < f ′ ( x ) > ⇒ Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; − 1) ( −1; + ∞ ) Khi đó: max f = ( x ) f= (1) [0;1] m +1 f= ( x ) f= ( 0) m [0;1]  m ⇔ Ta xét  m > m +1 +) Khi ≤ m < , ta có max f ( x ) = f ( x ) = m [0;1] [0;1] m +1 + m =2 ⇔ 3m =3 ⇔ m =1 (loại) Theo ta phải có: m +1 +) Khi − ≤ m < , ta có max f ( x ) = f ( x ) = m 0;1 [0;1] ] [ Theo ta phải có: m +1 m +1 + m= 2⇔ − m = ⇔ −m = −3 ⇔ m = (loại) 2 m +1 m +1 +) Khi m < − , ta có < m nên max f ( x ) = m f ( x ) = [0;1] [0;1] 2 Theo ta phải có: m +1 m +1 m+ = ⇔ −m − = ⇔ −3m = ⇔ m = − (thỏa mãn) 2   Vậy, ta có tập S = − ;1 , số phần tử tập S   Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang2 Website: tailieumontoan.com Bài tập tương tự phát triển : Câu Cho hàm số y = x − x + m ( m tham số thực) thỏa mãn y = −1 Mệnh đề sau [0;4] đúng? A m < −10 B −10 < m ≤ −7 C −7 < m < Phân tích hướng dẫn giải D < m < 10 DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn [ a ; b ] Phương pháp - B1: Tính đạo hàm f ′( x) - B2: Tìm tất nghiệm xi ∈ [a; b] phương trình f ′( x) = tất điểm α i ∈ [a; b] làm cho f ′( x) khơng xác định - B3: Tính f (a ) , f (b) , f ( xi ) , f (α i ) - B4: So sánh giá trị tính kết luận M = max f ( x) , m = f ( x) [ a ;b ] [ a ;b ] ………………………………………………………………………………………………… KIẾN THỨC CẦN NHỚ ( nhắc lại công thức, định lý cần dùng cho phần lời giải chi tiết) ( )′ = n x  x n ( ) ′  x = n −1 u′ ′ , u = x u ( )  ax + b ′ ad − bc  =  cx + d  ( cx + d )   ( uv = )′ u′.v + v′.u  u ′ u′ v − v′.u  = v2 v  = ( k u )′ k u′ (k ∈ ) …………………………………………………………………………………………………… HƯỚNG GIẢI:  B1: Tính đạo hàm f ′( x)  B2: Tìm tất nghiệm xi ∈ [a; b] phương trình f ′( x) = tất điểm α i ∈ [a; b] làm cho f ′( x) không xác định  B3: Tính f (a ) , f (b) , f ( xi ) , f (α i )  B4: So sánh giá trị tính kết luận M = max f ( x) , m = f ( x) [ a ;b ] Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 [ a ;b ] Trang3 Website: tailieumontoan.com Từ ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D Ta có y′ = x − = ⇔ x = Suy y = { y ( ) ; y ( 3) ; y ( )} = {m ; m − 9; m − 8} = m − [0;4] Theo giả thiết ta có m − =−1 ⇔ m =8 Vậy < m < 10 Câu Cho hàm số y = x − x + m ( m tham số thực) thỏa mãn y − max y = −18 Mệnh đề [0;4] sau đúng? A m < −10 B −10 < m ≤ −7 [0;4] C −7 < m < Lời giải D < m < 10 Chọn D Ta có y′ = x − = ⇔ x = Suy +) y = { y ( ) ; y ( 3) ; y ( )} = {m ; m − 9; m − 8} = m − [0;4] +) = max y max { y ( ) ; y ( 3) ;= y ( )} max {m ; m − 9;= m − 8} m [0;4] Theo giả thiết ta có y − max y =−23 ⇒ m − − 2m =−18 ⇔ m =9 [0;4] [0;4] Vậy < m < 10 Câu Cho hàm số y = x − x + m ( m tham số thực) thỏa mãn max y = Mệnh đề sau [0;4] đúng? A m < −10 B −10 < m ≤ −7 C −7 < m < Lời giải D < m < 10 Chọn D Ta có y′ = x − = ⇔ x = Suy = max y max { y ( ) ; y ( 3) ;= y ( )} max {m ; m − 9;= m − 8} m [0;4] Theo giả thiết ta có max y =3 ⇒ m =3 [0;4] Vậy < m < 10 Câu Cho hàm số y = x − x + m ( m tham số thực) thỏa mãn y + max y = −23 Mệnh đề [0;4] sau đúng? A m < −10 B −10 < m ≤ −7 Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 C −7 < m < Lời giải [0;4] D < m < 10 Trang4 Website: tailieumontoan.com Chọn B Ta có y′ = x − = ⇔ x = Suy +) y = { y ( ) ; y ( 3) ; y ( )} = {m ; m − 9; m − 8} = m − [0;4] +) = max y max { y ( ) ; y ( 3) ;= y ( )} max {m ; m − 9;= m − 8} m [0;4] Theo giả thiết ta có y + max y =7 ⇒ m − + m =−23 ⇔ m =−7 [0;4] [0;4] Vậy −10 < m ≤ −7 Câu Cho hàm số y = − x + x − m ( m tham số thực) thỏa mãn y = Khẳng định sau [ −1;3] đúng? A m < −10 B −10 < m ≤ −7 Chọn B Ta có y′ =−2 x + =0 ⇔ x =2 D < m < 10 C −7 < m < Lời giải Suy y =min { y ( ) ; y ( −1) ; y ( 3)} =min {−5 − m; − m;3 − m} =−5 − m [ −1;3] Theo giả thiết ta có −5 − m =3 ⇔ m =−8 Vậy −10 < m ≤ −7 Câu Cho hàm số y = − x + x − m ( m tham số thực) thỏa mãn max y = 10 Khẳng định sau [ −1;3] đúng? A m < −10 B −10 < m ≤ −7 Chọn C Ta có y′ =−2 x + =0 ⇔ x =2 C −7 < m < Lời giải D < m < 10 Suy max y = max { y ( ) ; y ( −1) ; y ( 3)} = max {−5 − m; − m;3 − m} = − m [ −1;3] 10 ⇔ m = −6 Theo giả thiết ta có − m = Vậy −7 < m < Câu Cho hàm số y = Khẳng định − x + x − m ( m tham số thực) thỏa mãn y + max y = [ −1;3] sau đúng? A m < −10 B −10 < m ≤ −7 C −7 < m < Lời giải [ −1;3] D < m < 10 Chọn C Ta có y′ =−2 x + =0 ⇔ x =2 Suy +) y =min { y ( ) ; y ( −1) ; y ( 3)} =min {−5 − m; − m;3 − m} =−5 − m [ −1;3] +) max y = max { y ( ) ; y ( −1) ; y ( 3)} = max {−5 − m; − m;3 − m} = − m [ −1;3] Theo giả thiết ta có y + max y = ⇔ −5 − m + − m = ⇔ m = −1 [ −1;3] [ −1;3] Vậy −7 < m < Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang5 Website: tailieumontoan.com Câu Cho hàm số y =x − x + m ( với m tham số thực) có y = −1 Mệnh đề sau [0;3] đúng? A -2 < m < B < m < C < m < Lời giải D < m , ∀x ∈ [ 2; 4] Do y = = y y= y ( 2) = −2m + , max ( 4) [ 2;4] D [ 2;4] 15 − 4m 15 − 4m Suy y + max y = ⇒ −2m + + = −2 [ 2;4] [ 2;4] ⇔ −10m + 30 = ⇒ m = ± Vậy tổng phần tử S − x − mx + Câu 33 Cho hàm số y = (với m tham số thực âm) Biết y = Mệnh đề sau [ 2;4] x+m đúng? A < m ≤ B < m ≤ C < m < D m ≤ −3 Lời giải Chọn D   − x − 2mx − m − − ( x + m ) + 1 ′ Với m= > , ta có y = < 0, ∀x ∈ [ 2; 4] 2 ( x + m) ( x + m) 19 −4m − 15 Do y = 1⇔ m = y ( 4) = = − [ 2;4] m+4 Câu 34 Cho hàm số y = đúng? A < m ≤ − x − mx + (với m tham số) Biết max y = −3 Mệnh đề sau [ 2;4] x+m B < m ≤ C < m < Lời giải D m ≤ −3 Chọn D   − x − 2mx − m − − ( x + m ) + 1 > , ta có y′ Với m= = < 0, ∀x ∈ [ 2; 4] 2 ( x + m) ( x + m) −3 − 2m Do max y =y ( ) = =−3 ⇔ m =−3 [ 2;4] 2+m − x − mx + Câu 35 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = (với m x+m tham số) có y + max y = −1 Tổng phần tử S [ 2;4] [ 2;4] Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang15 Website: tailieumontoan.com A 25 B −8 25 C 25 D − 28 Lời giải Chọn D   − x − 2mx − m − − ( x + m ) + 1 Với m= > , ta có y′ = < 0, ∀x ∈ [ 2; 4] 2 ( x + m) ( x + m) Do = y y= ( 4) [ 2;4] −4m − 15 −3 − 2m , max = y y= 2) ( [ 2;4] m+4 2+m Suy y + max y =−1 ⇒ [ 2;4] [ 2;4] −4m − 15 −3 − 2m + =−1 2+m m+4 ⇔ 5m + 28m + 34 =0 ⇔ m = −14 ± 26 Vậy tổng phần tử S − 28 Câu 36 Tập hợp chứa tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x − x + m đoạn [ −1; 2] A ( −5; −2 ) ∪ ( 0;3) C ( −6; −3) ∪ ( 0;1) B ( 0; +∞ ) D ( −4;3) Lời giải Chọn A Xét hàm số f ( x ) = x − x + m đoạn [ −1; 2] Có f ′ ( x= ) 2x − ; f ′ ( x) = ⇔ x =1 Ta có f ( −1) = m + , f (1= ) m −1 , f ( 2) = m Khi max y= m + max y = − m [ −1;2] [ −1;2] Ta xét Trường hợp sau: TH1: max y = m + = ⇒ m = [ −1;2] Thử lại với m = Khi y = x − x + = x − x + 2, ∀x ∈ [ −1; 2] nên max y = [ −1;2] Do m = (thỏa mãn) TH2: max y =− m =⇒ m= −4 [ −1;2] Thử lại với m = −4 Khi y = x − x − nên max y = [ −1;2] Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang16 Website: tailieumontoan.com Do m = −4 (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị thỏa mãn m = 1; m = −4 Câu 37 Tìm tất tham số thực m biết giá trị lớn hàm số y = x3 − 3x + m [ 0; 4] 20 A {−16; 4} B {±4} C {20; 4} D {−16; 20} Lời giải Chọn A x = Ta có f ( x ) = x − 3x + m ⇒ f ' ( x ) =3 x − 6x;f ' ( x ) = ⇔  x = max y max { y ( ) ; y ( ) ;= y ( )} max { m ; m − ; m= + 16 } 20 Do đó, ố = [0;4]  m= 20 ±20  m=   ⇒  m − =20 ⇔  m ={−16; 24}  m + 16 =  m =− 20 { 36; 4} Thử lại điều kiện max { m ; m − ; m + 16 } =20 ⇒ m =− { 16; 4} Câu 38 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [ −21; 21] để giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) = x + ( m − ) x5 + ( m − 11) x + 2021 đạt x = Số phần tử tập S A 34 B 42 C 35 Lời giải D 37 Chọn C Ta có f ( x ) = x + ( m − ) x5 + ( m − 11) x + 2021 ≥ f ( ) = 2021 , ∀x ∈  ⇔ x  x + ( m − ) x + m2 − 11 ≥ , ∀x ∈  ⇔ x + ( m − ) x + m − 11 ≥ , ∀x ∈   −2 − 37 m ≤ ⇔ ∆= ( m − )2 − ( m − 11) ≤ ⇔ −3m2 − 4m + 48 ≤ ⇔   −2 + 37 m ≥  m ∈  ⇒ m ∈ {−21; ; −5; 4; ; 21} ⇒ S = {−21; ; −5; 4; ; 21} m ∈ [ −21; 21] Với  Vậy tập S có tất 35 phần tử Câu 39 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [ −21; 21] để giá trị nhỏ hàm số A f ( x) =x − 2mx3 + 4mx − (2m + 2) x − 2021 đạt x0 = Số phần tử tập S là: B C Lời giải D 12 Chọn B + Một hàm đa thức muốn đạt giá trị nhỏ điểm phải dương đạo hàm phái triệt tiêu Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 x = x0 hệ số lũy thừa cao x = x0 Suy ra:  f ′( x0 ) =  an > Trang17 Website: tailieumontoan.com + Đạo hàm: + Suy ra: f ′( x) = x3 − 6mx + 8mx − (2m + 2) f ′(2) =4.23 − 6m.22 + 8m.2 − (2m + 2) =0 ⇔ m =3 + Thử lại: Với m =3 → f ( x) =x − x3 + 12 x − x − 2021 =( x − 2)2 ( x − x) − 2021 + Không thỏa mãn điều kiện: f ( x) =− ( x 2)2 ( x − x) − 2021 > f (2) = −2021 với ∀x ∈  + Suy khơng có giá trị tham số Câu 40 Gọi S m thỏa mãn tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để hàm số f ( x) = − x − 2mx + 3mx − 2mx − 2021 đạt giá trị lớn x0 = Số phần tử tập S là: B A C Lời giải D 20 Chọn C + Một hàm đa thức muốn đạt giá trị lớn điểm âm đạo hàm phái triệt tiêu + Đạo hàm: + Suy ra: x = x0 Suy ra: x = x0 hệ số lũy thừa cao phải  f ′( x0 ) =  an < f ′( x) = −4 x3 − 6mx + 6mx − 2m f ′(1) = −4.13 − 6m.12 + 6m.1 − 2m =⇔ m= −2 + Thử lại: Với m =−2 → f ( x) =− x + x3 − x + x − 2021 =−( x − 1)4 − 2020 + Thỏa mãn điều kiện: f ( x) =−( x − 1)4 − 2020 ≤ f (1) =−2020 với ∀x ∈  + Suy giá trị tham số m = −2 thỏa mãn Câu 41 Cho hàm số y = g ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] , hàm số đạt giá trị lớn nhỏ −3 Giá trị lớn nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ a; b ] A B −3 C −3 Phân tích hướng dẫn giải D DẠNG TỐN: Đây tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = g ( x ) biết giá trị lớn nhỏ hàm số y = g ( x ) KIẾN THỨC CẦN NHỚ: • Đồ thị hàm số y = g ( x ) suy từ đồ thị hàm số y = g ( x ) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm phía trục hồnh + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh, bỏ phần đồ thị y = g ( x ) nằm phía trục hồnh Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang18 Website: tailieumontoan.com Đồ thị hàm số y = g ( x ) hợp hai phần HƯỚNG GIẢI: B1: Xét giá trị lớn nhỏ hàm số để kiểm tra đồ thị hàm số có cắt trục hồnh khơng B2: Từ cách vẽ đồ thị hàm số y = g ( x ) suy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = g ( x ) từ giá trị lớn nhỏ hàm số y = g ( x ) Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Vì hàm số liên tục đoạn [ a; b ] nên ta giả sử bảng biến thiên g ( x ) Suy bảng biến thiên g ( x ) Suy g ( x ) = , max g ( x ) = [ a ;b ] [ a ;b ] Câu 42 Cho hàm số y = g ( x ) liên tục [ a; b ] , hàm số đạt giá trị lớn nhỏ −5 Giá trị lớn nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ a; b ] B −5 C −3 D Phân tích hướng dẫn giải 1.DẠNG TỐN: Đây dạng tốn max hàm số chứa trị tuyệt đối 2.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A a Cách vẽ hàm số f  x  : B1: Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  C  B2: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trục hoành B3: Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) nằm trục hoành b Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] : Nếu xo   a; b  f  xo   f  x  x   a; b  giá trị lớn hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] f  xo  Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang19 Website: tailieumontoan.com Nếu xo   a; b  f  xo   f  x  x   a; b  giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] f  xo  3.HƯỚNG GIẢI B1: Phác thảo đồ thị hàm số y  f  x  C B2: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trục hoành B3: Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) nằm trục hoành B4: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  để kết luận giá trị lớn nhỏ Từ ta giải tốn cụ thể sau Lời giải Chọn A Vì hàm số liên tục đoạn [ a; b ] nên ta giả sử bảng biến thiên g ( x ) Suy bảng biến thiên g ( x ) Kết cho ta max g ( x ) = g ( x ) = x∈[ a ;b ] x∈[ a ;b ] Câu 43 Cho hàm số y = g ( x ) liên tục [ a ; b ] , hàm số đạt giá trị lớn nhỏ β α Ta gọi giá trị lớn hàm số biểu sai tương ứng là: A Nếu β ≥ −α M = β C Nếu β ≥ −α M = β − α y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] M , mệnh đề phát B Nếu β ≤ −α M = −α = D M max {β ; − α } Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị lớn hàm trị tuyệt đối y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] biết trước giá trị lớn nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Cách biến đổi đồ thị hàm số y = g ( x ) từ đồ thị hàm số y = g ( x ) : Gọi ( C1 ) phần đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm phía trục Ox , Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang20 Website: tailieumontoan.com ( C2 ) phần đồ thị hàm số y = g ( x ) không nằm phía trục Ox , (C ′ ) phần đồ thị đối xứng với đồ thị (C ) qua trục Ox 2 ( ) Khi đồ thị hàm số y = g ( x ) ( C1 ) ∪ C2′  Đồ thị hàm số đoạn [ a ; b ] : Đồ thị hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] phần đồ thị hàm số y = g ( x ) mà có hồnh độ x ∈ [ a ; b]  Giá trị lớn hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] : Giá trị lớn hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] tung độ điểm cao đồ thị hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định giá trị nhỏ B2: Xét dấu α giá trị lớn β hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] α Nếu α > M = β Nếu α < ta so sánh −α với β kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C Nếu α ≥ M = β Nếu α < để tìm M ta cần so sánh β với Do mệnh đề: Nếu β ≥ −α M = β Nếu β ≤ −α M = −α −α giá trị lớn M = M max {β ; − α } Mệnh đề Nếu β ≥ −α M = β − α mệnh đề sai Câu 44 Cho hàm số y = g ( x ) liên tục [ a ; b ] , hàm số đạt giá trị lớn nhỏ β α Ta gọi giá trị nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] biểu sai tương ứng là: A Nếu α ≥ m = α B Nếu β ≤ m = − β C Nếu αβ < m = D m = {β ; α } m , mệnh đề phát Phân tích hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang21 Website: tailieumontoan.com DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị nhỏ hàm trị tuyệt đối y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] biết trước giá trị lớn nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Cách biến đổi đồ thị hàm số y = g ( x ) từ đồ thị hàm số y = g ( x ) : Gọi ( C1 ) phần đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm phía trục Ox , ( C2 ) phần đồ thị hàm số y = g ( x ) khơng nằm phía trục Ox , (C ′ ) phần đồ thị đối xứng với đồ thị (C ) qua trục Ox 2 ( ) Khi đồ thị hàm số y = g ( x ) ( C1 ) ∪ C2′  Đồ thị hàm số đoạn [ a ; b ] : Đồ thị hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] phần đồ thị hàm số y = g ( x ) mà có hồnh độ x ∈ [ a ; b]  Giá trị nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] : Giá trị nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] tung độ điểm thấp đồ thị hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định giá trị nhỏ B2: Xét dấu α α giá trị lớn β hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] β Nếu αβ < ta kết luận m = , (vì đồ thị hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] cắt trục hoành nên điểm nằm đồ thị hàm số y = g ( x ) đoạn [ a ; b ] có tung độ khơng âm) Nếu α > 0, β > ta kết luận m =α Nếu α < 0, β < ta kết luận m = − β Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D Muốn xác định m ta phải xác định dấu α , β Ta có khẳng định: Nếu αβ < m = Nếu α > 0, β > m =α Nếu α < 0, β < m = − β khẳng định Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang22 Website: tailieumontoan.com Do khẳng định m = {β ; α } sai Câu 45 Cho hàm số y = x + x + m − Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số đoạn 2; 2 10 Tổng tất phần tử tập S A B −1 C −3 Phân tích hướng dẫn giải D DẠNG TỐN: Đây dạng tốn GTLN – GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Quy tắc tìm GTLN – GTNN hàm số y = f ( x ) đoạn  a; b  : + Tính đạo hàm f   x Giải phương trình f ′ ( x ) = đoạn  a; b  + Gọi nghiệm tìm x1, x2 , , xm   a; b  , tính giá trị f a , f  x1 , f  x2 , , f  xm , f b + So sánh giá trị tìm để kết luận max f  x f  x  a ;b   a ;b  HƯỚNG GIẢI: B1: Xét hàm số f ( x ) = x + x + m − Lập bảng biến thiên hàm số f  x  đoạn 2; 2 B2: Biện luận trường hợp f ( x ) ≥ max f ( x ) ≤ để từ suy [−2;2] [ −2;2] max f ( x ) [−2;2] B3: Xác định tập S đáp số tốn Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Ta xét hàm số: f ( x ) = x + x + m − Đặt g  x   f  x  x + 2; Ta có: f ′ ( x ) = f ′( x) = ⇔ x =−1 Bảng biến thiên hàm số f  x  đoạn 2; 2 + Trường hợp 1: m    m  , ta có max g  x   g 2  f 2  m   m  2;2 Ta phải có m   10  m  (thỏa mãn) Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang23 Website: tailieumontoan.com + Trường hợp 2: m    m  5 , ta có max g  x  g 1  f 1  m  2;2  m  14 l   m   10    m   10  m  6 Ta phải có m   10   Vậy, ta có S  6; 5 nên tổng tất phần tử S 6   1 Câu 46 Cho hàm số y = x − x + 2m − Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số đoạn 1; 1 Tích tất phần tử tập S A C − B −14 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn GTLN – GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Quy tắc tìm GTLN – GTNN hàm số y = f ( x ) đoạn  a; b  : + Tính đạo hàm f   x Giải phương trình f ′ ( x ) = đoạn  a; b  + Gọi nghiệm tìm x1, x2 , , xm   a; b  , tính giá trị f a , f  x1 , f  x2 , , f  xm , f b + So sánh giá trị tìm để kết luận max f  x f  x  a ;b   a ;b  HƯỚNG GIẢI: B1: Xét hàm số f ( x ) =x − x + 2m − Lập bảng biến thiên hàm số f  x  đoạn 1; 1 B2: Biện luận trường hợp f ( x ) ≥ max f ( x ) ≤ để từ suy [−1;1] [ −1;1] max f ( x ) [−1;1] B3: Xác định tập S đáp số tốn Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn C Ta xét hàm số: f ( x ) =x − x + 2m − Đặt g  x   f  x  x = 3x − x; f ′ ( x ) = 0⇔ Ta có: f ′ ( x ) =  x = ∉ [ −1;1] (l ) Bảng biến thiên hàm số f  x  đoạn 1; 1 Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang24 Website: tailieumontoan.com + Trường hợp 1: 2m    m  , ta có max g  x  g 0  f 0  2m 1  2m 1 1;1 Ta phải có 2m 1   m  (thỏa mãn) + Trường hợp 2: 2m 1   m  , ta có max g  x  g 1  f 1  2m  1;1  11  m  l   2m    Ta phải có 2m       2m   6  m       1 7 Vậy, ta có S   ;  nên tích tất phần tử S        2  2  Câu 47 Cho hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ a ; b ] −2 Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [ −21; 21] Để hàm số y= f ( x ) + 3m − có giá trị lớn đoạn [ a ; b ] không nhỏ 12 Số phần tử S là? A 37 B 38 C 39 Phân tích hướng dẫn giải D 36 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số có dấu trị tuyệt đối chứa tham số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Từ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) suy giá trị lớn nhất,nhất = y f ( x) ± m hàm số   +) max g ( x ) max  max g ( x ) ; − g ( x )  = [a ; b] [a ; b]  [a ; b]  HƯỚNG GIẢI: B1:Xét hàm số: g ( x )= f ( x ) + 3m − [ a; b ] B2:Tìm GTLN, GTNN hàm số g ( x )= f ( x ) + 3m − [ a; b ] B4: Dùng bổ đề để biện luận GTLN hàm số y= f ( x ) + 3m − [ a; b ] Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang25 Website: tailieumontoan.com Chọn B 3m + 5; g ( x ) = 3m − +) Xét hàm số: g ( x )= f ( x ) + 3m − : max g ( x ) = [a ; b] [a ; b]   +) Suy ra: max g ( x ) = −3m + 3 3m + 5; − g ( x ) =  max g ( x ) = [a ; b]   [a ; b] [a ; b]   m ≥  3m + ≥ 12     m ≥ − m≥ 3m + ≥ − 3m    ⇔  3⇔ Suy điều kiện:    3 − 3m ≥ 12   m ≤ −3  m ≤ −3  3 − 3m ≥ 3m +    m ≤ −  Kết hợp với giá trị nguyên tham số m ∈ [ −21; 21] , nên m ∈ [ −21; −3] ∪ [3; 21] ⇒ có 38 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 48 Cho hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ 0;3] −3 Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y= f (3 − x ) + m có giá trị lớn đoạn [ 0;3] khơng lớn 12 Số phần tử tập S A 17 B 18 C Phân tích hướng dẫn giải D 23 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn max hàm giá trị tuyệt đối KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Bổ đề:Cho hàm số y = f ( x ) Biết rằng= max f ( x ) a= ; f ( x ) b Khi x∈K x∈K + max f ( x ) = max { a ; b } x∈K b b ≥  + f ( x ) = −a a ≤ x∈K 0 a.b <  HƯỚNG GIẢI: B1:Xét hàm số: g ( x )= f ( − x ) + m [ 0;3] B2:Đặt t = − x ⇒ t ∈ [ a ; b ] Tìm GTLN, GTNN hàm số h= ( t ) f ( t ) + m [ a ; b] B3: Suy GTLN, GTNN hàm số g ( x )= f ( − x ) + m [ 0;3] B4: Dùng bổ đề để biện luận GTLN hàm số y= f ( − x ) + m= g ( x ) [ 0;3] Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang26 Website: tailieumontoan.com Xét hàm số dấu giá trị tuyệt đối: g ( x )= f ( − x ) + m [ 0;3] Đặt t = − x ⇒ t ∈ [ 0;3] hàm số trở thành h= (t ) f (t ) + m Do max f ( x ) = ⇒ max g ( x ) = max h ( t ) = 5+ m; x∈[ 0;3] x∈[ 0;3] t∈[ 0;3] f ( x ) =−3 ⇒ g ( x ) =min h ( t ) =−3 + m x∈[ 0;3] x∈[ 0;3] t∈[ 0;3] Suy ra: max g ( x )= max {5 + m ;3 − m} x∈[0;3] x∈[0;3] Để hàm số y= f ( − x ) + m có giá trị lớn đoạn [ 0;3] khơng lớn 12  m + ≤ 12  m ≤   −1 ≤ m ≤  m + ≥ − m ⇔  m ≥ −1 ⇔  ⇔ −9 ≤ m ≤   3 − m ≤ 12  m ≥ −9  −9 ≤ m < −1    3 − m > m +  m < −1 Vây, có 17 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 49 Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [ −2021; 2021] để giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) = x5 − x + 2m − đoạn [ −2; 0] lớn Số phần tử tập S là: A 2022 B 4042 C 4021 Phân tích hướng dẫn giải D 4027 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm ẩn KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] Hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] tồn giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ a; b ]  Giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] : f ( x ) [a ; b]     = f ( x ) ; max f ( x ) ; max f ( x ) max  f ( x ) ; max f ( x )   a ; b] a ; b] a ; b] a ; b] a ; b] [ [ [ [ [     HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ a; b ] B2: Nhận xét g ( x ) > nên đồ thị hàm số khơng cắt trục hồnh hồn tồn [a ; b] phía hồn tồn phía trục hồnh B3: Tìm m theo hai trường hợp Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D + Xét hàm trị tuyệt đối: g ( x ) = x − x + 2m − [ −2; 0] ta kết quả: Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang27 Website: tailieumontoan.com + g ( = x ) 2m − 23 max g ( = x ) 2m + x∈[ −2; 0] x∈[ −2; 0] + Có g ( x ) > suy đồ thị hàm y = g ( x ) khơng cắt trục hồnh, tức nằm x∈[ −2; 0] nằm Khi có hai trường hợp ứng với nằm nằm sau:   g ( x ) = 2m − 23 > 23  m >   x∈[−2; 0]    g ( x ) = g ( x ) = 2m − 23 >  23    x∈[ −2; 0]   x∈[−2; 0] > m  m > 14 ⇔ ⇔   max g x m = + <   ( )  x∈[−2; 0]  m < −  m < −4      g ( x ) =− max g ( x ) =−2m − >  m < −4 x∈[ −2; 0]    x∈[−2; 0] 12 ≤ m ≤ 2021 Các giá trị nguyên m thỏa mãn điều kiện toán là:   −2021 ≤ m ≤ −5 Vậy có tất 4027 giá trị nguyên thỏa mãn Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − 12 x + m Gọi α β giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = f ( x ) = x3 − 12 x + m đoạn [ 0;3] Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [ −40;40] để 2α > β Số phần tử tập S là: B 41 A 33 C 27 D 32 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm GTLN, GTNN hàm số chứa tham số thỏa mãn điều kiện cho trước KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Mọi hàm số liên tục đoạn cógiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ trênđoạnđó Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm liên tục đoạn Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm f đoạn [ a; b ] ta làm sau:  Tìm điểm x1; x2 ; ; xn thuộc ( a; b ) cho hàm số f có đạo hàm khơng xác định  Tính f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; ; f ( xn ) ; f ( a ) ; f ( b )  So sánh giá trị tìm Số lớn giá trị giá trị lớn hàm f đoạn [ a; b ] , số nhỏ giá trị giá trị nhỏ hàm f đoạn [ a; b ] HƯỚNG GIẢI: B1:Khảo sát hàm số bên dấu giá trị tuyệt đối để tìm GTLN, GTNN hàm số B2:Từ mối liên hệ GTLN, GTNN hàm số kết luận đặc điểm hàm số Cụ thể ta suy ra, đồ thị hàm số y = g ( x ) khơng cắt trục hồnh (ln nằm nằm dưới) Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 Trang28 Website: tailieumontoan.com B3: Xét trường hợp suy khoảng giá trị tham số m cần tìm Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D Khảo sát nhanh hàm số trị tuyệt đối: g ( x ) =x − 12 x + m đoạn [ 0;3] , ta kết quả: g ( x = ) m − 16 max g ( x ) = m x∈[ 0;3] x∈[ 0;3] Ta có g ( x ) > max g ( x ) ⇒ g ( x ) > x∈[0;3] x∈[0;3] x∈[0;3] Suy ra, đồ thị hàm số y = g ( x ) không cắt trục hồnh (ln nằm ln nằm dưới) Trường hợp 1: Đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm trục hoành Ox ,suy ra:  g x = m − 16 >  x∈[0;3] ( )  m > 16 ⇔ m > 32 g ( x ) = g ( x ) = m − 16 ⇔  α = xmin ∈[0;3] x∈[ 0;3] − > m 16 m ( )     β max = = = g ( x ) max g ( x) m x∈[0;3] x∈[ 0;3]  ( *) Trường hợp 2: Đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm trục hoành Ox , suy ra:  max g x= m <  x∈[0;3] ( ) m <  ⇔ m < −16 g ( x ) = − max g ( x ) = −m ⇔  α = xmin ∈[0;3] x∈[ 0;3] 2 ( −m ) > 16 − m  β = − g ( x ) = max g ( x ) = 16 − m x∈[ 0;3] x∈[0;3]  (**) Kết hợp (*) , (**) điều kiện ban đầu giá trị nguyên m ∈ [ −40;40] 33 ≤ m ≤ 40 Suy :  Suy có tất 32 giá trị  −40 ≤ m ≤ −17 Liên hệ tài liệu word toán sđt zalo: 039.373.2038 m nguyên thỏa mãn Trang29 ... sánh giá trị tìm Số lớn giá trị giá trị lớn hàm f đoạn [ a; b ] , số nhỏ giá trị giá trị nhỏ hàm f đoạn [ a; b ] HƯỚNG GIẢI: B1:Khảo sát hàm số bên dấu giá trị tuyệt đối để tìm GTLN, GTNN hàm số. .. Mọi hàm số liên tục đoạn c? ?giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ trênđoạnđó Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm liên tục đoạn Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] Khi đó, để tìm giá. .. tìm giá trị lớn nhỏ hàm ẩn KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] Hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] tồn giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ a; b ]  Giá trị lớn