(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, lớn NHẤT của một BIỂU THỨC

CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A Kiến thức Định nghĩa Cho biểu thức f(x,y…) Ta nói M giá trị lớn biểu thức f(x,y…),ký hiệu maxf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn : - Với x,y,…để f(x,y…) xác định f(x,y…) - Tồn M ( M số) cho Cho biểu thức f(x,y…) Ta nói m giá trị nhỏ biểu thức f(x,y…),ký hiệu minf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn : - Với x,y,…để f(x,y…) xác định f(x,y…) - Tồn m ( m số) cho B.Bài tập Dạng I I.1 Biểu thức dạng f(x) = ( a,b,c số, ) PP : Ta biến đổi Dựa vào lũy thừa bậc chẵn a, Tìm GTLN Biến đổi hàm số y = f(x) = Do download by : skknchat@gmail.com b Tìm GTNN Biến đổi hàm số y = f(x) = Do c, Tam Thức bậc hai Nếu a> 0, GTNN f(x) khơng có GTLN Nếu a < 0, GTLN f(x) GTNN Ví dụ 1a Tìm GTNN tam thức f(x) = b.Tìm GTLN tam thức f(x) = Giải a/ Ta có: f(x) = 5x2 - 2x + Vì với x, x R nên ta có: Vậy f(x) có giá trị nhỏ Kl: f(x) đạt GTNN với x, x R = => x = x = b/ f(x) = - 3x2 + x – download by : skknchat@gmail.com Vì với x, x R nên  Vậy f(x) f(x) với x, x R f(x) có giá trị nhỏ Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm giá trị nhỏ của: a/ b/ Q(x) = 5x2 - 3x – Bài 2: Tìm GTLN cuûa: a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – Baøi 3: Tìm GTLN a/ P(x) = b/ Q(x) = x – x2 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm giá trị nhỏ của: a/ b/ Q(x) = 5x2 - 3x – Bài 2: Tìm GTLN của: a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – download by : skknchat@gmail.com Bài 3: Tìm GTLN a/ P(x) = b/ Q(x) = x – x2 I.2 Đa thức bậc cao hai: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 minA = -36 y=0 x2 – 7x + = -36 x1 = 1, x2 = Ví dụ 3: Với giá trị biến x biểu thức P(x)= (x – 1)(x + )(x + 3)( x + 6) có GTNN? Tìm GTNN Giải P(x) = (x – 1)(x + )(x + 3)( x + 6) = (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3) = Ta có hai cách giải Cách 1: Ta có P(x) Vì x2 + 5x 0, với x, x R nên P(x) -36 P(x) đạt GTNN – 36 với x2 + 5x =  x = x = - Cách 2: download by : skknchat@gmail.com Xét biểu thưc đối P(x) – P(x) : P(x) =- = Nếu đặt X = ;Y= Thì ta có X + Y = - 12 khơng đổi Vậy tích X.Y lớn X = Y => - P(x) lớn khi:  2x2 + 10 =  x = x = - = Vậy P(x) đạt GTNN 36 x = x = - II Biểu thức phân thức : a/ Phân thức có tử số ,mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : A = = Ta thấy (3x – 1)2 a = nên (3x – 1) +4 theo tính chất b với a, b dấu) Do minA = - 3x – = BT tự luyện: Tìm GTLN BT : x= A - download by : skknchat@gmail.com HD giải: Tìm GTLN BT : HD Giải: b/ Phân thức có mẫu bìmh phương nhị thức Ví dụ 5: Tìm GTNN A = Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm A= minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : A= minA = Bài tập luyện tập: 1, Tìm GTNN GTLN bt: 2, Tìm GTNN bt : 3, Tìm GTNN GTLN bt: download by : skknchat@gmail.com 4, Tìm GTNN bt : a, b, c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ 6: Tìm GTNN GTLN A = Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : A = = -1 -1 minA = -1 x = Tìm GTLN A = =4- Ví dụ 7: a/ Tìm GTNN P(x) = b/ Tìm GTLN Q(x) = Giải: a/ Sử dụng phép chia hết,chiacó dư đưa P(x) dạng: P(x)= P(x) đạt GTNN đạt GTLN Xét biểu thức Vì Suy với x, x R nên đạt GTLN x = với GTLN download by : skknchat@gmail.com x, x R Vậy P(x) đạt GTNN : Kết quả: b/ Ta có: Q(x) = =3+ ; Q(x) lớn lớn lớn x2 + đạt GTNN Vì x2 + 4, với x, x R nên x2 + đạt GTLN x = Vậy với x = 0, Q(x) đạtGTLN + Bài tập luyện tập: 1, Tìm GTLN bt: 3, Tìm GTNN bt: 4, Tìm GTNN bt: 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: Với x > Với x > Với x > 9, Với giá trị dương x biểu thức sau đạt GTNN: download by : skknchat@gmail.com a/ b/ III TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ 8: Tìm GTNN x3 + y3 + xy biết x + y = Xử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải Cách 1: Xử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A Mà Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) minA = x2 + y2 x = y = Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA = )2 + x = y = Cách 3/ Sử dụnh điều kiện cho để dưa biến Đặt x = + a y = x2 + y = ( minA = - a Biểu thị x2 + y2 ta : + a)2 + ( a =0 - a)2 = +2 a2 x=y= download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 9: Tìm Min A = Cách Ta có: A=  Min A = 2011 Cách 2:  Min 2A = 4022 => Min A = 2011 Bài tập luyện tập Tìm GTNN a) b) c) ( Gợi ý ) ( Gợi ý ( Gợi ý download by : skknchat@gmail.com ) ) d) ( Gợi ý ) IV Các ý tìm tốn cực trị : 1- Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 +2 minA = y=0 x=2 2- Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức kháư đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn lớn A nhỏ B nhỏ với B > Ví dụ 10: Tìm GTLN Chú ý A>0 nên A lớn = nhỏ ngược lại Vậy = x = Do maxA =1 x = 3/ Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường xử dụng bất đẳng thức biết 3.1 Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a,b,c,d > a.c > b.d download by : skknchat@gmail.com b) a > b c >0 a.c > b.c c) a > b c b a,b,n >0 an > bn e) 3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Với hay - a>0 ; b>0 3.3 Bất đẳng thức Bu –nhi –a cốp-xki Cho hai cặp số ( ta có Dấu ’’=’’ xảy Ví dụ 11 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y x2 + y2 thành phần bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = b = ta có ( 2x + 3y )2 2x + 3y ( 22 + 32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 26 Vậy max A = 26 { 3x = 2y 2x +3y Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y Vậy max A 26 x2 = 16 x=4 x= -4 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y x =4 , y = Ví d ụ 12a/ Tìm giá trị lớn biểu thức P(x)= 2x – x với < x < download by : skknchat@gmail.com b/ Tìm GTNN Q(x)= ,x>0 Giải: a/ Ta coù 2x – x2 = x(2 – x) với < x < =>x > 0; – x > Xét tổng x + (2 - x) = = không đổi Vậy tích x(2 - x) lớn x = – x => x = GTLN P(x) với < x < là: P(1) = +1 = 2, ứng với giá trị x =1 b/ Ta có Q(x)= tích x x > Xét = = không đổi Vậy tổng x + đạt giá trị nhỏ x = => x2 = => x = Ví dụ 13 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT Bu nhi a cơp xki ta có ( 2x + 3y )2 ( 2x + 3y )2 2x + 3y Thay y = ( 22+32 ).52 13.13.4 26 Vậy maxA = 26 vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y Vậy Max A = 26 x =4 , y = x2 = 16 x=4 x= -4 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 14 : Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk Giải Do x > 0, y > nên ta có: Tìm GTNN bt: áp dụng bất đẳng thức côsi cho số Hay => Mặt khác ta có: x > 0, y > => áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: Vậy: Min A = : Ví dụ 15 : Tìm GTNN của biểu thức : Giải Ta có: Áp dụng BĐT Cơ- si cho số ta có :  Max A = Ví dụ 16 Tìm giá trị nhỏ : với x, y, z > download by : skknchat@gmail.com Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: Do Cách : Ta có : Ta có (do x, y > 0) nên để chứng minh (1) ta cần chứng minh : (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ z) – z(x – z) ≥ y(x – (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ VD 17: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = Giải Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ download by : skknchat@gmail.com Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ max A = x = y = z = VD 18 Tìm GTNN A≤ với x, y, z > , x + y + z = Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : Tương tự : Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = A = với x = y = z = VD 19 Tìm GTNN với : x > 0, y > 0, x + y < Giải Ta có: Ta có: => download by : skknchat@gmail.com VD 20 : Cho , Tìm GTLN Giải : Ta có : Với áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số Hay : Ta có: Dấu “ = ” xảy áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số Hay : Do đó: Ta có: Dấu “ = ” xảy - 2x = Dấu “ = ” xảy VD 21: Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của: Giải Ta có: S = = áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương Tương tự ta có :  S ta có : ; 1+4+9+4+12+6=36 download by : skknchat@gmail.com ta có: Dấu “=” sảy : Vậy Min S = 36 VD 22: Tìm GTNN hàm số : Cách 1: Nếu: x < -1 Nếu: Nếu: x > Vậy y nhỏ Cách : áp dụng BĐT ( Dấu “=” sảy a.b ) Ta có : Vậy y nhỏ Bài 23: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có : A = x(4 -2x ) = – = => Max A = download by : skknchat@gmail.com Cách 2: Ta có : A = Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x, xy ta có: có : Thay số ta =A Vậy Max A =2 BÀI TẬP TỰ LUYÊN Bài 1: Tìm GTNN HS: a, b, Bài 2: Tìm GTNN HS: a, b, Bài Tìm giá trị nhỏ 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau -Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang Ví dụ 13: Tìm GTLN GTNN tích xy , biết x,y số nguyên dương thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn x – y nhỏ ; xy nhó x – y lớn download by : skknchat@gmail.com giả sử x > y ( xãy x = y) Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = VI Một số sai lầm giải toán cực trị ( Tài liệu Nâng cao vàphát triển Toán tập 1- Vũ Hữu Bình) VII Ví dụ thamkhảo + Bài tập luyện tập 73) Sách nâng cao phát triển Toán tập – Vũ Hữu Bình (Trang 56 – Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán –Bùi Văn Tuyên (Trang 23-29) download by : skknchat@gmail.com ... trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức kháư đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn lớn A nhỏ B nhỏ với B > Ví dụ 10: Tìm GTLN Chú ý A>0 nên A lớn. .. GTNN bt: Với x > Với x > Với x > 9, Với giá trị dương x biểu thức sau đạt GTNN: download by : skknchat@gmail.com a/ b/ III TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ... giá trị nhỏ của: a/ b/ Q(x) = 5x2 - 3x – Bài 2: Tìm GTLN cuûa: a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – Baøi 3: Tìm GTLN a/ P(x) = b/ Q(x) = x – x2 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm giá trị nhỏ của: