MỤC LỤC I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN………………………… II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mơ tả giải pháp trước tạo sáng kiến …………………………………… 2 Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến…………………………………………….3 2.1 Vấn đề cần giải 2.2 Biện pháp thực 2.2.1 Hướng dẫn học sinh tìm hiểu ghi nhớ kiến thức .3 2.2.2 Rèn cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp tự học .3 2.2.3 Đổi việc kiểm tra, đánh giá .4 2.3 Nội dung giải pháp .4 2.3.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT .4 2.3.2.1 Sử dụng định nghĩa 2.3.2.2 Tính góc hai mặt phẳng theo phương pháp gián tiếp .8 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Hiệu kinh tế………………………………………………………………… 54 Hiệu xã hội 54 IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN……… 56 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến Trong nhà trường phổ thơng mơn Tốn giữ vị trí quan trọng phần nội dung kiến thức “Góc khoảng cách hình học khơng gian ” nội dung khó khơng học sinh mà cịn khơng giáo viên Học sinh có tư tưởng ngại sợ tập hình khơng gian Học sinh thường gặp khó khăn phải tư tưởng tượng khơng gian, tư logic, chưa biết vận dụng lí thuyết học để giải tập… Giáo viên thiếu sách tham khảo, tài liệu hướng dẫn, sách hướng dẫn giảng dạy, phương tiện giảng dạy chưa đáp ứng đủ khơng có quy trình giảng dạy cụ thể mà chủ yếu kinh nghiệm giảng dạy thân giáo viên Học sinh khó tiếp thu kiến thức vận dụng để giải tập lượng tập nhiều phong phú thường nằm tập lớn, cách giải đa dạng Trong kì thi đề thường hay có nội dung “Các tốn góc, khoảng cách” hình học không gian, dẫn đến nhiều học sinh gặp tập dạng thường em nản chí bỏ qua, cịn có số em làm khơng hồn chỉnh, em điểm tối đa Ví dụ Trong kì thi tốt nghiệp THPT dù đề dạng hình thức trắc nghiệm học sinh không nắm chất, không hiểu sâu sắc khó đưa đáp án lẽ riêng nội dung khơng có cách “mị” hay có cơng thức tổng qt Thực tiễn dạy học cho thấy học sinh khơng có phương pháp để xác định, tính góc hai mặt phẳng học sinh khó vận dụng vào giải toán được, học sinh khơng tưởng tượng hình hay cảm thấy khó khăn với hình học khơng gian Chính vậy, việc xây dựng “Một số phương pháp tính góc hai mặt phẳng” áp dụng mơ hình từ mơ hình thường gặp đến số mơ hình phức tạp giúp học sinh hiểu, nắm phương pháp điều cần thiết Từ gặp tốn liên quan đến góc hai mặt phẳng học sinh không lo ngại, dè dặt, gạt bỏ tư tưởng ngại sợ hình học khơng gian làm cho hình học khơng gian trở thành môn học gần gũi thiết thực học sinh II Mô tả giải pháp Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn trường phổ thơng, tơi nhận thấy kiến thức góc khoảng cách, thể tích khối đa diện toán thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia Trong đó, rèn luyện cho học sinh có kỹ xác định góc tính góc hai mặt phẳng nhiệm vụ đặc biệt quan trọng Trong q trình dạy học hình học khơng gian nói chung dạy tập tính góc hai mặt phẳng chương trình tốn 11 nói riêng học sinh thường lúng túng, dễ nhầm lẫn thời gian xác định tính góc hai mặt phẳng Vì vậy, để giúp em tự tin hơn, tơi có rút “Một số phương pháp tính góc hai mặt phẳng” áp dụng số trường hợp từ mơ hình đến số mơ hình phức tạp nhằm giúp em học sinh lớp 11 xác định góc tính góc hai mặt phẳng dễ dàng nhanh chóng Đồng thời tảng cho việc tính thể tích khối đa diện chương trình tốn 12 số tốn thường gặp Vì em khơng xác định góc hai mặt phẳng dẫn tới khơng giải tốn thể tích khối đa diện số trường hợp Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến 2.1 Vấn đề cần giải Sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích tập hợp số phương pháp xác định tính góc hai mặt phẳng giúp học sinh nắm vững số phương pháp tính góc hai mặt phẳng từ mơ hình số mơ hình phức tạp 2.2 Biện pháp thực 2.2.1 Hướng dẫn học sinh tìm hiểu ghi nhớ kiến thức - Học sinh vẽ mơ hình số mơ hình phức tạp - Giáo viên đưa số phương pháp tính góc hai mặt phẳng từ mơ hình cụ thể - Giáo viên đưa toán áp dụng cho phương pháp - Học sinh vận dụng kiến thức học để giải tốn liên quan đến góc hai mặt phẳng - Giúp đỡ, hướng dẫn cho học sinh học sinh gặp khó khăn vận dụng giải toán 2.2.2 Rèn cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp tự học - Thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, - Kỹ năng: + Giáo viên đưa số phương pháp tính góc hai mặt phẳng + Sau phương pháp, giáo viên cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo cho toán khác 4 + Học sinh nắm vững phương pháp để giải toán tự tập hợp thêm tập tính góc hai mặt phẳng để củng cố kiến thức 2.2.3 Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Ra đề với mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng cao, có sử dụng tốn xác định tính góc hai mặt phẳng - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh 2.3 Nội dung giải pháp Sau xin đề xuất số phương pháp tính góc hai mặt phẳng tơi tổng hợp, sưu tầm áp dụng cho học sinh có hiệu 2.3.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Chú ý: - Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc hai mặt phẳng 00 - Nếu hai mặt phẳng vng góc góc chúng 900 2.3.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 2.3.2.1 Sử dụng định nghĩa Muốn sử dụng phương pháp ta phải xét xem hai mặt phẳng có rơi vào trường hợp song song hay vng góc hay khơng? Nếu khơng rơi vào hai trường hợp ta phải quan sát, phán đoán xem với đặc điểm cho tốn ta xác định dựng hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng mà tốn u cầu tính góc chúng hay khơng? Ví dụ Cho hình lập phương ABCD ABC D Tính góc cặp mặt phẳng a, ABCD ABCD ; b, ABCD ACC A Hướng dẫn: C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an a, Ta thấy hai mặt phẳng ABCD ( ABC D) hai mặt đáy hình lập phương nên chúng song song với Vậy góc ABCD ( ABC D) 00 b, Do AA ABCD ACC A ABCD nên góc ABCD ACC A 90 D A C B D' A' C' B' Ví dụ Cho hình lập phương ABCD ABC D Tính góc hai mặt phẳng ABCD ABCD Hướng dẫn: B A Ta có CD ADDA CD AD AD AD AD ABCD CD AD D Mà AD ABC D ABC D ABCD Do đó, góc ( ABCD ) ( ABC D) 90 C A' D' B' C' Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có mặt bên tam giác có 3a diện tích Gọi ( P) mặt phẳng qua A vng góc với SC Tính góc hai mặt phẳng ( P) ( ABCD) Hướng dẫn: S A D O B C Gọi O AC BD , ta có: SO ( ABCD) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Giả thiết ( P) SC nên góc hai mặt phẳng ( P) ( ABCD) góc SC SO góc CSO Vì mặt bên tam giác có diện tích 3a nên cạnh hình chóp có độ dài a Trong SCO , ta có: OC CSO 450 sin CSO SC * Nhận xét: Việc dựng mặt phẳng ( P) phức tạp thời gian, học sinh cần ý phân tích kĩ giả thiết tốn từ việc cho hình chóp tứ giác ta dễ tìm đường thẳng vng góc với mặt đáy Từ áp dụng định nghĩa giải nhanh tốn Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ABCD , SA x Xác định x để hai mặt phẳng SBC SDC tạo với góc 600 Hướng dẫn: S N x M D A a B C SCD SAD , kẻ AN SD N AN SCD SAB SBC , kẻ AM SB M AM SBC Suy góc SBC SDC góc AM AN Ta có Ta có SB SD x a , AM AN x SM x x2 a2 MN ax x a 2 , SM MN SM BD MN SB BD SB a x 2a x2 a2 MN x a2 x2 a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Từ giả thiết ta có AMN đều, suy MN AM xa x2 a2 x 2a x2 a2 x2 a2 x x a *Nhận xét: Trong toán trên, ta dễ dàng dựng hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng SBC SDC nên việc sử dụng định nghĩa để vận dụng giải tốn hợp lý Ví dụ Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy, SA BC a 600 Gọi H K hình chiếu vng góc A lên SB và BAC SC Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABC ) Hướng dẫn: Ta có SA ( ABC) (1) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , kẻ đường kính AD BD SA BD ( SAB ) BD AH BD AB AH SB AH ( SBD) AH SD AH BD Chứng minh tương tự, ta có AK SD Từ suy SD ( AHK ) (2) Từ (1) (2), suy góc ( AHK ) ( ABC) góc SA SD DSA Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trong ABC , ta có: AD 2R BC a 2a sinA sin 60 Trong SAD , ta có: SD SA2 AD a 21 SA 21 Từ suy cos DSA SD *Nhận xét: Trong toán việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABC) , từ dựng mặt phẳng với giao tuyến phức tạp Mặt khác, ta có SA vng góc với mặt phẳng đáy việc dựng đường thẳng vuông góc với ( AHK ) đơn giản Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA vng góc với ( ABC ), SA AB a, AC 2a Gọi H , K hình chiếu A lên SB, SC Tính cosin góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABC) (tương tự Ví dụ 5) 2.3.2.2 Tính góc hai mặt phẳng theo phương pháp gián tiếp Phương pháp gồm số cách sau Cách Tính góc hai mặt phẳng cách xác định góc cụ thể hai mặt phẳng Cách thường sử dụng việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng dễ dàng có yếu tố vng góc, cụ thể có bước sau Bước Xác định ( P) (Q) Bước Dựng ( R) Tìm ( R) ( P) p, ( R) (Q) q Bước Góc ( P) (Q) góc p q Việc tính góc hai mặt phẳng khơng gian ta thường gặp hai loại sau LOẠI Tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp, hình lăng trụ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Phân tích: Giao tuyến mặt bên mặt đáy cạnh đáy Khi có đường thẳng vng góc với cạnh đáy Dễ dựng mặt phẳng vng góc với giao tuyến Bài tốn gốc: Cho hình chóp S A1 A2 An có đường cao SH Xác định góc mặt bên ( SAi A j ) mặt đáy Hướng dẫn - Bước 1: Xác định giao tuyến: ( SAi A j ) ( A1 A2 An ) Ai A j - Bước 2: Ta có: Trong ( A1 A2 An ) kẻ HK Ai A j Chứng minh Ai Aj ( SHK ) - Bước 3: Tìm giao tuyến mặt phẳng (SHK ) với mặt phẳng ( SAi A j ) ( A1 A2 An ) - Bước 4: Tính góc hai giao tuyến, từ suy góc hai mặt phẳng Mơ hình 1: Hình chóp Đối với mơ hình này, học sinh phải nắm vững định nghĩa hình chóp hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , chiều cao a hình chóp Tính góc mặt bên mặt đáy Hướng dẫn: S A D I O B C Vì S ABCD hình chóp nên góc mặt mặt bên với mặt đáy Tính góc hai mặt phẳng (SCD) ABCD HD: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 10 ABCD SCD CD Gọi O tâm hình vng ABCD I trung điểm CD Tam giác có I , O trung điểm CD, BD nên IO đường trung bình tam giác BCD IO / / BC a IO BC Mà BC CD IO CD CD SO Lại có CD OI CD ( SIO ) SO, OI ( SIO ) SIO ABCD IO Ta có SIO SCD SI Suy góc (SCD) ( ABCD) góc IO SI góc nhọn SIO a SI SIO 600 Xét SIO vuông O, ta có: tan SIO a IO Vậy góc mặt bên mặt đáy 60 Mơ hình 2: Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Tương tự hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy tính góc mặt bên mặt đáy ta dễ dàng dựng mặt phẳng vng góc với giao tuyến cách từ chân đường cao kẻ đường thẳng vng góc với giao tuyến Ví dụ Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy tam giác vuông cân B , BA BC a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ), SA a Tính góc mặt bên mặt đáy Hướng dẫn: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 11 S C A B - TH mặt bên chứa SA SA ABC SAB ABC SA SAB SA ABC SAC ABC SA SAC Vậy góc mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy 900 - Trường hợp mặt bên khơng chứa SA Ta có SBC ABC BC BC BA BC SAB BC SA SA, BA SAB SAB ABC AB Mà SAB SBC SB Suy góc (SBC ) ( ABC ) góc AB SB góc nhọn SBA ( SAB vuông A ) 450 Lại có AB SA SAB vng cân A SBA Vậy góc (SBC ) ( ABC) 450 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , SA SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD , biết AC 2 Tính tan góc mặt phẳng SOD mặt phẳng BCO Hướng dẫn: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 12 SOD BCO BD , BD SAC ( SAO vuông O ) Góc SOD BCO góc nhọn SOA Ta có tan SOA SA AO 120 , SA Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, AB a , BAD vng góc với đáy Biết góc đường thẳng SC ( ABCD) 450 Tính góc mặt bên mặt đáy Hướng dẫn S A D J B I C - TH mặt bên chứa SA SA ABCD SAB ABCD SA SAB Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 13 SA ABCD SAD ABCD SA SAD Vậy góc mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy 90 - Trường hợp mặt bên không chứa SA + Góc mặt phẳng SBC ABCD 1200 nên BC BA 2a ABC Vì ABCD hình thoi có BAD ABC 60 Gọi I trung điểm BC AI BC BC SA Mà BC AI BC SIA SA, AI SIA ( SIA) ( SBC ) SI nên góc mặt phẳng SBC ABCD góc nhọn SIA ( SIA ) ( ABCD ) AI 450 nên SAC vuông cân A SA 2a Từ giả thiết ta có SCA Xét ABC có trung tuyến AI AI a SA Xét SIA vuông I , tan SIA AI 3 3 Tương tự góc (SCD) ( ABCD) góc cho tan Vậy góc (SBC ) ( ABCD) góc cho tan Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B , AB BC a , AD 2a ; SA ABCD SA 2a Tính tan góc hai mặt phẳng SCD ABCD Hướng dẫn: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 14 S M A B D C Ta có SCD ABCD CD Gọi M trung điểm AD Từ giả thiết ta có ABCM hình vng Xét ACD có CM trung tuyến, CM CD AD AD nên tam giác ACD vuông C Do CD AD CD SAC CD SA SAC SCD SC SAC ABCD AC Suy góc SCD ABCD góc SC AC góc nhọn SCA SA 2a Ta có tan SCA AC a Mơ hình 3: Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy – Hình chiếu vng góc Trong mơ hình này, học sinh phải nắm vững nội dung kiến thức sau “Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng kia”( Hệ Định lý Hai mặt phẳng vng góc) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 15 Như vậy, từ giả thiết mặt bên vng góc với mặt đáy ta dễ dàng dựng hình chiếu đỉnh xuống mặt phẳng đáy, từ ta dựng mặt phẳng vng góc với giao tuyến cách từ chân đường cao kẻ vng góc với giao tuyến Ví dụ 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với ( ABCD) Tính cơsin góc hai mặt phẳng (SCD) ( ABCD) Hướng dẫn: Gọi H trung điểm AB Ta có SH AB ( SAB) ( ABCD) AB SH ( ABCD ) SH CD ( SAB) ( ABCD ) SH AB Ta có (SCD) ( ABCD) CD Trong ( ABCD) kẻ HK CD ( K CD) , suy CD (SHK ) ( SHK ) ( ABCD) HK ( SHK ) ( SCD) SK Do góc mặt phẳng (SCD) ( ABCD) góc nhọn SKH a ; HK a SH cos SHK Ta có tan SHK HK Ta tính SH Ví dụ 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên SBC tam giác vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 16 ABCD , cạnh bên SD tạo với mặt bên SBC góc 600 Tính phẳng SBD ABCD góc hai mặt Hướng dẫn : S B A K H O C D +)Từ giả thiết ta có DC (SBC ) nên SC hình chiếu SD (SBC ) , suy 600 góc SD (SBC ) góc SD SC DSC Trong SCD vuông C SC CD cot 600 a +)Trong (SBC ) kẻ SH BC, H BC SH ( ABCD) Trong tam giác vng SBC , ta có CH SC a BC Trong tam giác vng SHC , ta có SH SC HC a +) (SBD) ( ABCD) BD Trong ( ABCD), kẻ HK BD BD ( SHK ) (SHK ) ( ABCD) HK (SHK ) ( SBD) SK Suy góc hai mặt phẳng SBD ABCD góc SK HK góc nhọn SKH Trong ( ABCD), gọi O AC BD Ta có HK BH BC CH a HK CO BC BC 3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 17 Do tan SKH SH 450 SKH HK Ví dụ 14 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân A, AB a 2, I trung điểm BC Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc AI cho IH AH SH 2a Tính góc mặt phẳng (SAB) ( ABC) Hướng dẫn: S C A K H I B Ta có (SAB) ( ABC ) AB Trong ( ABC) kẻ HK / / AC ( K AB) , suy AB (SHK ) ( SHK ) ( ABC ) HK ( SHK ) ( SAB) SK Do góc mặt phẳng (SAB) ( ABC) góc nhọn SKH Từ giả thiết ta tính AI a AH a Tam giác AHK vuông K , ta có HK AH cos 450 a SH HK Mơ hình Hình lăng trụ đứng – Hình hộp chữ nhật – Hình lập phương Xét tam giác SHK vng H , có tan SKH +) Vì hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương có cạnh bên vng góc với đáy nên góc mặt bên với mặt đáy 900 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 18 +) Trong hình lăng trụ đứng tính góc mặt phẳng với mặt đáy mà giao tuyến mặt phẳng với mặt đáy đường thẳng nằm mặt đáy ta làm tương tự mơ hình hình chóp Ví dụ 15 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy a Gọi M 3a điểm cạnh AA cho AM Tính tan góc hợp hai mặt phẳng MBC ABC Hướng dẫn: C' A' M B' C A D B Ta có MBC ABC BC Gọi D trung điểm BC BC AD BC AMD BC AM (vì Do góc MBC ABC góc AD MD góc nhọn MDA tam giác MAD vuông A ) Vậy tan MDA AM 3a AD a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 19 Ví dụ 16 Cho hình lăng trụ đứng với đáy ABC tam giác vng C có 60 , diện tích tam giác ACC 10cm2 Tính tan góc tạo AB 8cm, BAC hai mặt phẳng (C AB ) ( ABC) Hướng dẫn : C' A' B' C A H B Ta có ( ABC ) (C AB ) AB Kẻ CH AB Ta chứng minh AB (C CH ) (C CH ) ( ABC ) CH Ta có (C CH ) (C AB ) C H HC Do góc (CAB) ( ABC ) góc nhọn C Trong ABC vng có: cos CAB AC AC 4cm AB Trong AHC vng có CH AC.sin 600 cm Có S ACC AC CC CC 5cm Trong CCH , ta có tan CHC CC CH Vậy góc hai mặt phẳng (CAB) ( ABC) với tan Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 20 Ví dụ 17 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Tính sin góc hai mặt phẳng ( BDA) ( ABCD) Hướng dẫn: Gọi I AC BD Ta có: BD BDA ABCD BD AI BD AIA ; BD AA Do góc hai mặt phẳng ( BDA) ( ABCD) góc nhọn AIA Ta có AAI vng A a a AA AA a; AI AI AA2 AI sin AIA 2 AI Mơ hình 5: Hình lăng trụ xiên Ví dụ 18 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm đoạn BG (với G trọng tâm tam giác ABC ) Tính cosin góc hai mặt phẳng ABC ABBA Hướng dẫn : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 21 C' A' B' C A G M H K B Ta có ( ABC ) ABBA AB Gọi H trung điểm BG , theo giả thiết AH ABC Gọi M , K trung điểm AB BM CM AB HK AB AHK AB Từ suy góc nhọn HK / / CM AKH góc hai mặt phẳng ABC ABBA Ta có AB a , AG BG a 3 AB AG BG 7a 12 41a 165a 2 2 Lại có AH AA AH AK AH HK 12 48 a HK 165 Ta có HK GM cos 12 AK 165 AH Ví dụ 19 Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy tam giác cạnh a , AA AB AC a Tính góc hai mặt phẳng ( ABBA) ( ABC ) 12 Hướng dẫn : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 22 A' C' B' C A H I B Ta có ( ABBA) ( ABC ) AB Gọi H hình chiếu A lên ( ABC) đáy ABC tam giác nên hình chóp A ' ABC 12 hình chóp đo H tâm tam giác ABC Gọi I trung điểm AB AH AB Ta có HI AB AB ( AHI ) AH , HI ( AHI ) Vì AA AB AC a ( AHI ) ( ABC ) HI Lại có nên suy góc nhọn AIH góc hai mặt ( A HI ) ( ABB A ) A I phẳng ( ABBA) ( ABC ) Xét ABC tâm H có CI a a IH a IH Xét AHI vng H có: cos AIH AIH 600 AI Xét ABA có AI AA2 AI LOẠI Góc hai mặt bên hình chóp, hình lăng trụ Phân tích: Giao tuyến hai mặt bên cạnh bên, đường thẳng song song với cạnh đáy đường thẳng nối đỉnh giao điểm hai cạnh đáy mặt Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 23 - Nếu giao tuyến đường thẳng song song với đáy dựng mặt phẳng vng góc với giao tuyến hay vng góc với cạnh đáy tương tự cạnh dựng mặt phẳng vng góc mơ hình góc mặt bên mặt đáy - Nếu giao tuyến cạnh bên hay đường thẳng nối đỉnh giao điểm hai cạnh đáy mặt thường hay dựng mặt phẳng chưa chân đường vng góc với mặt đáy vng góc với giao tuyến Mơ hình : Hình chóp Bài tốn gốc: Cho hình chóp S A1 A2 An có đường cao SH Xác định góc mặt phẳng ( SAi A j ) mặt phẳng ( SAi Ak ) Hướng dẫn: - Bước 1: Xác định giao tuyến ( SAi Aj ) ( SAi Ak ) SAi - Bước 2: Dựng mặt phẳng ( P) qua H vng góc với SAi - Bước :Tìm giao tuyến ( P) với ( SAi A j ) ( SAi Ak ) Sau tính góc hai giao tuyến đó, kết luận Ví dụ 20 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , SA a SA ABC , AB BC a Tính góc cặp mặt phẳng a, (SAB) (SAC); b, (SAC) (SBC ) Hướng dẫn : S K F A C B a, Ta có (SAB) (SAC) SA ; SA ( ABC) ( SAB ) ( ABC ) AB ( SAC ) ( ABC ) AC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 24 Suy góc (SAB) (SAC) góc AB AC góc CAB 450 Từ giả thiết, ta có CAB b, Ta có SAC SBC SC Gọi F trung điểm AC BF SAC Dựng BK SC K suy SC ( BKF ) Do góc (SAC) (SBC) góc KB KF góc nhọn BKF a a FK SA FC SA a CFK ∽ CSA FK FC SC SC a a FB 60o tan BKF BKF a FK Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 60° Ví dụ 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tam giác a SAD cạnh a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD Tính sin góc hai mặt phẳng SAD SCD Hướng dẫn: S N H A B C (SAD) (SCD) SD Gọi H hình chiếu A SCD Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 25 Vì AB // SCD nên AH d A, SCD d B, SCD Gọi N trung điểm SD AN a a SD AN (do tam giác SAD đều) Do SD HN Suy góc hai mặt phẳng SAD SCD góc nhọn ANH ( AHN vng H ) a AH Ta có sin ANH AN a 3 Ví dụ 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AD DC a Biết SAB tam giác cạnh 2a mặt phẳng SAB vng góc với mặt phẳng ABCD Tính cosin góc hai mặt phẳng SAB SBC Hướng dẫn : S K B A H D Cách C ( SAB ) ( ABCD ) AB ( SAB ) ( ABCD ) Từ S kẻ SH AB SH ( ABCD) Do CH SH Ta có H trung điểm AB nên ADCH hình vng, suy CH AB CH SH CH ( SAB ) CH SB CH AB Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 26 Trong (SAB), từ H kẻ HK SB (CHK ) SB (CHK ) ( SAB ) HK , góc hai mặt phẳng SAB SBC góc (CHK ) ( SBC ) KC ( CHK vuông H ) nhọn CKH Trong HKB vuông K , ta có HK HB.sin 600 CHK vng H nên CK CH HK Ta có cos CKH a a HK 21 CK Cách ( SAB ) ( ABCD ) AB ( SAB ) ( ABCD ) Trong ( ABCD) kẻ CH AB CH (SAB) nên hình chiếu SBC lên SAB SBH Gọi góc SAB SBC Ta có cos S SHB S SBH S SBC a2 a.a 2 SB SC 2a, BC a SSBC Vậy cos a 4 a a a 4 a2 2 2 S SBH 21 S SBC Ví dụ 23 Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC cạnh 2a Gọi M trung điểm đoạn BC , H trung điểm đoạn AM SH vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Góc mặt phẳng (SAB) ( ABC ) 600 Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC ) Hướng dẫn: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 27 S N C A K H M B 60 +) Kẻ HK AB góc (SAB) ( ABC ) góc nhọn góc SKH Ta tính AH a a AM ; HK AH sin 300 2 Xét tam giác SHK có: SH HK tan 60 3a BC AM +) Do BC ( SAM ) BC SA BC SH Kẻ BN SA SA ( BNC ) ( BNC ) ( SAB ) BN Ta có ( BNC ) ( SAC ) CN Do góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) góc gữa hai đường thẳng BN CN Ta tính SA SH HA2 a 21 a ; SK HK HA2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 Vì BN CN vng góc với SA , SAC SAB nên BN CN Xét SAB có BN SA SK AB BN 4a NC NB NC BC +) Xét BNC ta có cos BNC NB.NC Vậy góc (SAB) (SAC) góc với cos cos BNC Ví dụ 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trung điểm H cạnh AB , SH a Gọi góc hai mặt phẳng SBD SBC Tính cos Hướng dẫn: Ta có (SBD) (SBC ) SB Gọi M trung điểm SB , N trung điểm SC Khi MN đường trung bình SBC MN //BC Mà BC SH BC SAB BC SB MN SB BC AB Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 29 Trong SBD , ta có SB a ; BD a 2; SD SH HD SH HA AD 2 a SBD cân D DM SB Suy góc SBD SBC góc MN DM Trong SDC , ta có DS DC SC 2a SD SC SB BC 2a 2, CD a DN 2 Xét DMN có MN BC a , MD DB BM a 7, DN 2a 2 2 DM MN DN cos DMN DM MN Vậy cos cos DMN Ví dụ 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Tính góc hai mặt phẳng SBC SDC Hướng dẫn: S H D A O B C Ta có (SBC ) (SCD) SC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 +) Ta chứng minh BD (SAC ) BD SC BD SC Kẻ BH SC Ta có BH SC SC ( BDH ) BD , BH ( BDH ) ( BDH ) ( SBC ) BH ( BDH ) ( SCD ) DH Vậy góc SBC SDC góc gữa hai đường thẳng BH DH +) Tam giác SBC vng B, đường cao BH nên ta có 1 a BH DH 2 BH SB BC 2a Áp dụng hệ định lí sin vào tam giác BHD ta có: cos BHD BH HD BD 1200 BHD BH DH Vậy góc hai mặt phẳng SBC SDC 600 *Nhận xét: Khi xác định góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng cụ thể song góc hình học tạo hai đường thẳng chưa xác định có góc nhọn hay khơng, ta cần tính góc hình học từ suy góc hai mặt phẳng Trong ví dụ ngồi việc biết xác định góc hai mặt phẳng học sinh cần nắm vững kiến thức hệ thức lượng tam giác đặc biệt định lý cosin để tính tốn nhanh linh hoạt Ví dụ 26 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vuông góc với AC AD BC BD a, CD x Tìm giá trị x để hai mặt phẳng ABC ABD vng góc với Hướng dẫn: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 A K D B H C Ta có ( ABC ) ( ABD) AB Gọi H , K trung điểm CD, AB Do tam giác ABC , ABD cân C D nên CK AB, DK AB góc hai mặt phẳng ABC ABD góc KC KD Do tam giác ACD cân A nên AH CD mà ACD BCD AH BCD AH HB a2 x2 AB Ta có HK 2 900 KH CD ( ABC ) ( ABD ) CKD 2( a x ) a xx Ví dụ 27 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB a, ACB 300 , tam giác SAB vuông cân S Biết khoảng cách hai 3a đường thẳng SA BC Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC ) Hướng dẫn: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 S N K M C A E D H I B +)Gọi D trung điểm BC suy tam giác ABD cạnh a Gọi I , E trung điểm BD AB, H giao AI DE Khi H trọng tâm tam giác ABD Ta có AI BC, DE AB Vì SA SB SE AB AB SDE AB SH Chứng minh tương tự ta có BD (SIA) BD SH Từ suy SH ABC Trong ( SIA) kẻ IK SA IK đoạn vng góc chung SA BC 3a Do IK d SA; BC a a a2 Đặt SH x, AI , AH SA x2 2 Lại có AI SH IK SA 2S SAI x a +) SAC SBC SC Gọi M hình chiếu A lên SI , AM SBC Gọi N hình chiếu M lên SC , SC AMN ( ANM ) ( SBC ) NM ( ANM ) ( SAC ) AN Suy góc (SAC) (SBC) góc nhọn ANM ( AM MN ) a a 39 AI SH 3a , SI AM 6 SI 13 a 39 5a a 30 SI SM SI IM , SC Mặt khác IM AI AM 26 39 Ta tính HI Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 MN SM CI SM 3a 130 MN CI SC SC 52 AM 10 65 tan ANM cos ANM MN 13 65 Vậy cos ANM 13 Ta lại có SMN SCI Ví dụ 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Tính góc hai mặt phẳng SAD SBC Hướng dẫn: S x D A B C AD ( SAD ) BC ( SBC ) Ta có AD //BC S ( SAD) ( SBC ) Suy SBC SAD Sx // BC // AD Ta chứng minh BC SAB BC SB Sx SB Lại có SA ABCD SA AD SA Sx Vậy góc mặt phẳng SBC SAD góc SA SB góc BSA Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 450 Từ giả thiết, ta có BSA Ví dụ 29 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng B , cạnh bên SA vng góc với đáy ABC , AB a , SA 2a Gọi M , N trung điểm SB, SC Tính cơsin góc hai mặt phẳng AMN ABC Hướng dẫn: Ta có MN //BC (tính chất đường trung bình) MN ( AMN ) BC ( ABC ) Mặt khác MN //BC A ( AMN ) ( ABC ) Suy AMN ABC Ax ( Ax //BC ) Dễ thấy, BC SAB Ax SAB ( SAB ) ( AMN ) AM ( SAB ) ( ABC ) AB Vậy góc hai mặt phẳng AMN ABC góc nhọn MAB Ta có MA MB BC SBA MAB cos SBA AB Do cos MAB SB a SA2 AB a a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Trong ví dụ bước đầu học sinh cần xác định giao tuyến hai mặt phẳng dựa vào nội dung kiến thức“ Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng ( có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng đó”- hệ Định lý “Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song” Ví dụ 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SH vng góc với ( ABCD) , H trung điểm cạnh AB , SH a Điểm M thuộc cạnh BC cho BM BC , N trung điểm cạnh CD Tính tan góc hai mặt phẳng SAB SMN Hướng dẫn: Gọi F AB MN ( SMN ) ( SAB) SF NH AB NH (SAB) NH SF NH SH Ta có Trong tam giác SHF kẻ HE SF SF NH SF NE SF HE Do góc hai mặt phẳng SAB SMN góc NE HE góc ( NEH vng H ) NEH Trong tam giác vng SHF ta có: 1 HE a 2 HE HF HS Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 NEH Trong tam giác vuông NHE ta có: tan HN a HE 3a Mơ hình 2: Hình lăng trụ Ví dụ 31 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cạnh Tính góc cặp mặt phẳng a, ( ABB) ( BC C ); b, AB C A BC Hướng dẫn: a, Ta có ( ABB) ( BC C ) BB , BB ( ABC ) ( ABC ) ( ABB) AB ( ABC ) ( BC C ) BC Suy góc ( ABB) ( BC C ) góc AB BC góc ABC 60 Từ giả thiết, ta có ABC b, Giả sử cạnh hình lăng trụ ABC.ABC có độ dài a Gọi M AB AB N AC AC Khi AB C ABC MN Gọi J trung điểm BC , BC ( AAJ ) BC AJ Gọi I MN AJ , BC //MN AI MN Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 BC ( AAJ ) BC AI , BC // MN AI M N Do góc AB C ABC góc AI AI Ta tính a a AJ , AJ AA2 AJ a AI AJ 2 ta có Xét tam giác AIA AI AI AA2 1 cos cos AIA AI AI Ví dụ 32 Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tính góc hai mặt phẳng ABC ACD Hướng dẫn: A' D' C' B' E A B D C BD AC Ta có ( ABC ) ( ACD) AC Do BD AC BD AA Kẻ BE AC ( E AC ) BDE AC BDE ABC EB ; BDE ACD ED Suy góc ABC ACD góc EB ED BC BA Ta có BC AABB BC AB BC BB Giả sử hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Tam giác ABC vuông B với đường cao BE , ta có a 1 1 BE 2 BE BC BA a 2a 2a Tương tự ta có DE a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Áp dụng hệ định lý hàm số cosin tam giác BDE a 2a 2 2 a 1 BE DE BD 120 cos BED BED 2 a 2.BE.DE 2 Vậy góc hai mặt phẳng ABC ACD 600 Ví dụ 33 (ĐỀ THI THPTQG NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO MI Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( MC D) (MAB) Hướng dẫn: C B N A D O M C' B' L I D' A' ( MAB ) ( MC D) Mx ( Mx / / AB / / C D) Gọi L, N trung điểm C D AB Ta có MC MD ML C D Từ suy ML Mx (1) Tương tự MA MB MN AB , suy MN Mx (2) Từ (1) (2) suy góc (MAB) ( MC D) góc hai đường thẳng MN ML Gọi cạnh hình lập phương Ta có LM Ta có cos LMN 10 34 , MN , NL 6 MN ML2 NL2 7 85 MN ML 85 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Suy cosin góc hai mặt phẳng (MAB) ( MC D) 85 85 Cách Tính góc hai mặt phẳng sử dụng kiến thức khoảng cách Q Bước Xác định ( P) (Q) Bước Từ A ( P), A , dựng AK , AH (Q) , suy góc ( P ) (Q ) góc AKH Ta có: sin AH d ( A,(Q)) AK d ( A, ) H A P α Δ Ví dụ 34 Cho hình lăng trụ ABC ABC có BA CA AA 2a, BA BC a, ABC 1200 Gọi góc ( ABBA) ( BCC B) Tính sin Hướng dẫn: C' A' B' H C M A B Gọi H chân đường vuông góc hạ từ A xuống ( ABC ), BA CA AA nên H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC BA BC , ABC 1200 nên H điểm đối xứng B qua trung điểm M AC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn K C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Ta chứng minh ( AHA) / /( BCC B) , ( AHA) ( ABC ) ( BCC B) ( ABC ) d ( A,( BCC B)) d ( A, BC ) d ( H , BC ) d ( A, BB) d ( B, AA) a 2SBAA a 15 AA d ( A,( BCC B)) d ( A, BB) *Nhận xét: Trong toán trên, việc dựng mặt phẳng vng góc với giao tuyến phức tạp, song việc tính khoảng cách từ điểm A đến ( BCC B) khoảng cách từ A đến giao tuyến BB đơn giản nhiều Tương tự ta xét thêm ví dụ sau Vậy sin Ví dụ 35 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Tính sin với góc hai mặt phẳng ( ABD ) ( BAC ) Hướng dẫn: C' D' I A' B' K C D A B Gọi I AC BD, K AB AB ( ABD) ( BAC ) IK Lại có IK AI AK a a d ( A, IK ) Gọi H hình chiếu A lên ( ABD ) , d ( A,( ABD)) AH 1 1 a AH 2 2 AH AA AB AD Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 Do sin d ( A,( ABD)) 2 d ( A, IK ) Ví dụ 36 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vng cân với AB AC 2a, AA a Tính góc hai mặt phẳng ( ACC A) ( ABC ) Hướng dẫn: A' C' I B' C A B Ta có ( ACC A) ( ABC ) AC Xét tam giác vuông AAC vuông A, ta có: 1 2a d ( A , A C ) d ( A, AC ) AA2 AC Xét tứ diện vng AABC vng A, ta có: 1 1 d ( A,( ABC )) a 2 d ( A,( ABC )) AA AB AC 2 Gọi góc hai mặt phẳng ( ACC A) ( ABC ) Do sin d ( A,( ABC )) 600 d ( A, A C ) Cách Xác định góc hai mặt phẳng cách dùng định lý hình chiếu Định lý Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng ( P) S diện tích hình chiếu H H ( P) góc ( P ) ( P) S S cos hay cos S S Ví dụ 37 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có diện tích đáy 3a (đvdt), diện tích tam giác ABC 2a (đvdt) Tính góc hai mặt phẳng ABC ABC Hướng dẫn: A' C' B' C A B Ta có ABC hình chiếu vng góc ABC mặt phẳng ABC Gọi góc ABC ABC SABC a 3 cos 30 SABC 2a *Nhận xét: Từ giả thiết cho diện tích hai hình phẳng nằm hai mặt phẳng cần tính góc chúng, ta chứng minh hình mặt phẳng hình chiếu vng góc hình mặt phẳng cịn lại, nên ta sử dụng định lý hình chiếu để tính góc nhanh chóng Ví dụ 38 Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh a Các điểm M , N , P thuộc đường thẳng AA, BB, CC thỏa mãn diện tích tam giác MNP a Tính góc hai mặt phẳng (MNP) ( ABCD) Hướng dẫn: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 D A B C M N A' D' P B' C' Gọi góc hai mặt phẳng (MNP) ( ABCD) Ta có hình chiếu vng góc tam giác MNP lên ( ABCD) tam giác ABC Áp dụng cơng thức hình chiếu diện tích ta có SABC SMNP cos cos AB.BC a cos 600 Vậy góc hai mặt phẳng (MNP) ( ABCD) 600 Ví dụ 39 Cho hình hình lập phương ABCD ABCD có cạnh Mặt phẳng cắt tất cạnh bên hình lập phương Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt ( ) biết ( ) tạo với ABBA góc 600 Hướng dẫn: Giả sử ( ) cắt tất cạnh bên hình vẽ Thiết diện hình lập phương cắt ( ) tứ giác IJKL Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 Do góc ( ) ABBA 600 nên suy góc ( ) mặt đáy ABCD 900 600 300 Hình vng ABCD hình chiếu vng góc tứ giác IJKL lên ABCD Gọi S diện tích tứ giác IJKL S diện tích hình vng ABCD S Ta có S S cos300 S cos300 3 2 3 Ví dụ 40 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD có SA AB AD , M trung điểm SB Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng MAD SAC Hướng dẫn: S M N B A H D C Gọi MAD SBC , suy M AD MAD Ta có BC SBC // AD // BC AD // BC Suy đường thẳng qua M song song với BC Trong mặt phẳng SBC , gọi N trung điểm SC , suy MN // BC MN Ta có MAD MADN có MADN SAC AN Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 Trong mặt phẳng ABCD , vẽ DH AC H DH AC Ta có DH SAC DH SA Góc tạo hai mặt phẳng MAD SAC góc ADN SAC Ta có AHN hình chiếu ADN lên SAC Gọi góc ADN SAC AC AD CD DH AD.CD 3 AH AH AD DH AC 2 AC 3 3 Ta có SAHN SACN SSAC SA AC 4 8 Ta có SC SA AC , dễ thấy AN Sử dụng cơng thức Hê-rơng ta có SADN SC SC DN 2 2 p p a p b p c SAHN Vậy cos SADN Ví dụ 41 Cho lăng trụ ABC ABC có AB 3, BB Gọi M , N , P tương ứng trung điểm AB, AC, BC Gọi góc hai mặt phẳng MNP ACC Tính cos Hướng dẫn : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 Do ABC ABC lăng trụ nên lăng trụ đứng có đáy tam giác Ta lấy thêm trung điểm AB, AC điểm E , L Gọi H , K trung điểm AN , CL Khi thực phép chiếu vng góc tam giác MNP lên mặt phẳng ACC A ta tam giác KNH Tam giác MNP có MN 3, MP NP với MP PE ME Tam giác MNP cân P nên độ dài đường cao kẻ từ P tính : 7 15 3 Suy S MNP 22 Ta có 3 3 3 2 2 S KHN S ACC ' A ' S AKHA ' S KCC ' N 2 Áp dụng công thức hình chiếu ta có: S KHN S MNP cos S KHN Vậy cos S MNP 5 Ví dụ 42 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác cân với AB AC a , cạnh bên BB 2a Gọi I trung điểm CC Tính cosin góc hai mặt phẳng ABC ABI , biết khoảng cách hai đường thẳng AA BC a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 Hướng dẫn: C' A' B' I A C D B Gọi D trung điểm BC , tam giác ABC cân A suy AD BC Vì ABC ABC lăng trụ đứng nên AA ABC AA AD AD BC a Ta có BC AAD d AA; BC AD AA BC Ta tính BD AB AD a BC a AB AB BB a AI AC IC a BI BC 2 C I 2 a Mặt khác, hình chiếu tam giác ABI lên mặt phẳng ABC tam giác ABC Gọi góc ABC ABI Ta có S ABC S ABI cos cos S ABC S ABI Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 S ABC SABI 1a a2 AD.BC a 22 p p AB p AI p BI Vậy cos a 71 với p a a 2 a 71 *Nhận xét: Như muốn sử dụng định lý hình chiếu để tính góc hai mặt phẳng ta phải xét xem có hình nằm mặt phẳng hình chiếu vng góc hình lên mặt phẳng cịn lại hay khơng? Và việc tính diện tích hình đơn giản Cách Sử dụng phương pháp tọa độ ( Áp dụng với chương trình Hình học 12) CƠ SỞ LÝ THUYẾT ABC có vectơ pháp tuyến n AB; AC a1 ; b1 ; c1 (MNP) có vectơ pháp tuyến n2 MN ; MP a2 ; b2 ; c2 góc ( ABC ) (MNP), đó: n1.n2 a1a2 b1b2 c1c2 cos n1 n2 a12 b12 c12 a22 b22 c22 Ví dụ 43 ( Đề tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB AA Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng ABC MNP Hướng dẫn: Cách Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 Gắn hình lăng trụ vào hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ P 0;0;0 , A 3;0;0 , B 0; 3;0 , C 0; 3;0 , A 3;0;2 , B 0; 3;2 , C 0; 3;2 3 3 nên M ; ;2 , N ; ;2 2 2 Ta tìm vectơ pháp tuyến ABC n1 2;0;3 vectơ pháp tuyến MNP n2 4;0; 3 Gọi góc hai mặt phẳng ABC MNP 89 13 cos cos n1 , n2 65 13 25 Cách Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 C' Q M B' N E J K A' I C P B A Gọi P, Q trung điểm BC, BC I BM AB, J CN AC , E MN AQ Suy ra, MNP ABC MNCB ABC IJ Gọi K IJ PE K AQ với E trung điểm MN (hình vẽ) AAQP IJ AQ IJ , PE IJ Do góc hai mặt phẳng ABC MNP góc AQ PE góc Ta có AP 3, PQ AQ 13 QK 5 13 ; PE PK 3 KQ KP PQ 13 Do cos cos QKP KQ.KP 65 Nhận xét: Nhận thấy hai cách trên, việc sử dụng phương pháp tọa độ đơn giản nhiều, không rối hình lại thuận lợi cho việc tính tốn Phương pháp thường dùng mơ hình mà có đường thẳng đơi vng góc sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian Ta xét thêm ví dụ sau Ví dụ 44 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có cạnh AB ; AD ; AA Góc hai mặt phẳng BC D AC D Tính cos Hướng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ sau Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 z A' D' C' B' D A B y C x Theo cách chọn hệ trục tọa độ theo ta có A 0;0;0 ; B 2;0;0 ; D 0;3;0 ; C 2;3;0 ; C 2;3;4 ; A 0;0;4 Ta có BC 0;3;4 ; BD 2;3;0 n BCD BC; BD 12; 8;6 n1 6;4; 3 vectơ pháp tuyến BC D Tương tự ta có n2 6; 4; 3 vectơ pháp tuyến AC D n1.n2 6.6 16 29 Ta có cos 2 n1 n2 61 62 42 3 62 4 3 Tóm lại: Qua viết trên, tơi hệ thống hai phương pháp chủ đạo việc tính góc hai mặt phẳng Chú ý rằng, q trình phân tích tìm tịi lời giải ta cần vận dụng linh hoạt cho toán cụ thể Bản thân áp dụng công tác giảng dạy nhận thấy có tác dụng tích cực tới nhận thức, thái độ, kết học tập học sinh Sau số tập tiêu biểu mà nhóm học sinh đề xuất giúp giải toán Học sinh tự đánh giá học sinh Giáo viên đóng vai trị giám sát, đánh giá nhận xét Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB 2a, AD DC a SA ABCD Tính tan góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A AB a Biết SA vng góc với ABC SA a Tính góc hai mặt phẳng SBC ABC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình vng có cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc SC mặt phẳng SAB 300 Gọi góc hai mặt phẳng SCD ABCD Tính tan Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có SC ABCD , SC 3a , đáy ABCD hình ABC 1200 Tính góc hai mặt phẳng (SAB) thoi có cạnh a 3, (ABCD) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (SCD) Tính cos Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB vuông cân S Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB, mặt phẳng (SHC), (SHD), (ABCD) đôi vng góc, SC a Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SDC) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều, SC SD a Gọi góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Tính cos Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB a , mặt bên tam giác cân đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Gọi góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Tính cos Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA 2a , tam giác ABC vuông 300 , H hình chiếu vng góc A SC Gọi góc C có AB 2a, CAB hai mặt phẳng (SAB), (SBC) Tính cos Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC SA a , đáy ABC tam giác vuông cân B, AC a Gọi H , K hình chiếu vng góc đỉnh A cạnh SB, SC Tính cosin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AHK ) Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC ,đáy ABC tam giác vuông cân B, AC a Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu vng góc đỉnh A cạnh SC Gọi góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AGK ) Tính cos , biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( KBC ) a Ví dụ 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích tam giác ABC Gọi M, N, P thuộc cạnh AA', BB', CC' diện tích tam giác MNP 10 Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (MNP) Ví dụ 13 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB 2a, AC a, AA ' a 10 , 1200 Hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng ABC trung điểm BAC cạnh BC Tính góc hai mặt phẳng ABC ACCA Ví dụ 14 Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB 3, AA Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC , BC Tính cosin góc hai mặt phẳng ABC MNP Ví dụ 15 Cho hình hộp ABCD ABC D có hình chóp AABD hình chóp đều, AB a, AA a Gọi góc hai mặt phẳng ( ABC D) ( ABD ) Tính tan Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 Ví dụ 16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có đáy ABCD hình vng, AC a Gọi P mặt phẳng qua AC cắt BB, DD M , N cho tam giác AMN cân A có MN a Tính cos với góc hai mặt phẳng P ( ABCD) Ví dụ 17 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có mặt đáy ABC tam giác cạnh AB 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G tam giác ABC , biết AA 3a Gọi góc hai mặt phẳng ABBA ABC Tính cos III Hiệu đề tài đem lại Hiệu kinh tế - Tiết kiệm nhiều thời gian công sức việc tìm tịi tài liệu giáo viên học sinh dạy học dạng toán - Tiết kiệm nhiều chi phí mua tài liệu Hiệu xã hội - Kết từ thực tiễn Thực tế áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh lớp 11 năm học 2021 – 2022 trường THPT Xuân Trường B thấy: + Học sinh nắm vững phương pháp tính góc hai mặt phẳng, em khơng cịn “sợ” gặp dạng tốn + Học sinh tự tin, sáng tạo linh hoạt giải toán kiểm tra đề thi Qua nội dung vừa trình bày trên, ta áp dụng làm tài liệu giảng dạy cho học sinh lớp 11 12 đặc biệt để giải Ví dụ mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi TNTHPT - Kết thực nghiệm Tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm học sinh trường THPT Xuân Trường B năm học 2021-2022 với số học sinh lớp phụ trách 42, Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn