Skkn toán học thpt (4)

MỤC LỤC Trang THÔNG TIN VỀ SÁNG KIẾN …………………………………………… I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến ……………………………… II Mô tả giải pháp ………………………………………………………………… Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến ………………… 1.1 Thực trạng việc dạy học Toán … …… ……………… 1.2 Một số lực Toán học cần phát triển ………….… ……… 1.3 Tóm tắt số nội dung kiến thức liên quan ………………… Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến ………………………… Phần 2.1: Khai thác mối quan hệ điểm đặc biệt hàm số … 2.1.1 – Mối quan hệ điểm đạt giá trị lớn nhất, điểm đạt giá trị nhỏ với điểm cực trị ……………………… 2.1.2 – Mối quan hệ dấu giá trị hàm số điểm liên tục lân cận điểm …………………………………………………… 16 2.1.3 – Mối quan hệ không điểm hàm số vấn đề giá trị hàm số không đổi dấu …………………………………………………… 22 2.1.4 – Quan hệ số không điểm số điểm cực trị hàm số đa thức……………………………………………………………………… 26 Bài tập vận dụng ……………………………………………………… 35 Phần 2.2: Khai thác tính chất đặc biệt hàm số …… 39 Bài tập vận dụng ……………………………………………………… 52 Hướng dẫn giải tập vận dụng …………………………………… 53 III Hiệu sáng kiến mang lại …………………………………… 61 IV Cam kết không chép vi phạm quyền …………………… 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………… 2 BÁO CÁO SÁNG KIẾN MỘT SỐ Ý TƯỞNG KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Đổi giáo dục điều tất yếu diễn khắp mặt ngành giáo dục nước ta, xu hướng thay đổi quan trọng bậc hoạt động dạy học, đánh giá diễn theo phẩm chất lực người học, giúp phát triển lực cho người học Ở mơn Tốn, lực Tốn học có đặc thù riêng cần thiết phải phát bồi dưỡng cho học sinh, học sinh có tố chất tốt để trở thành nguồn nhân lực tốt cho xã hội Bắt đầu từ năm học 2016-2017, thi Tốt nghiệp THPT tuyển sinh Đại học, cao đẳng theo cách gọi trước mơn Tốn chuyển sang hình thức trắc nghiệm (ta tạm gọi thi tốt nghiệp THPT) Kể từ năm học đến dạng câu hỏi thi ngày phong phú nội dung, cách phát biểu có yêu cầu sâu kiến thức, kĩ mà học sinh cần trang bị Nội dung ứng dụng hàm số (ứng với kiến thức thuộc Chương Chương Đại số Giải tích 12) mảng khai thác nhiều có tập trung nhiều câu hỏi vận dụng cao Để tiếp cận câu hỏi đề thi thường địi hỏi học sinh phải có lực Tốn học tốt Do chúng tơi thấy cần thiết phải rèn luyện cho học sinh kĩ bản, kĩ thuật tiếp cận vấn đề câu hỏi vận dụng cao, thơng qua phát triển lực Tốn học cho em để khơng đáp ứng yêu cầu trước mắt thi mà cách thức tư duy, tiếp cận giải vấn đề sống Các nội dung báo cáo bàn định hướng phát triển lực Toán học cho học sinh học mảng ứng dụng hàm số đạo hàm triển khai qua số năm giảng dạy mơn Tốn cho học sinh lớp 12 tiếp cận chương trình thi THPT quốc gia Đây giải pháp tốt đáp ứng yêu cầu việc học thi Toán THPT, đồng thời tiếp cận theo chương trình giáo dục phổ thơng triển khai II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Tóm tắt: Trong phần này, báo cáo trình bày nội dung sau: Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: - Nêu thực trạng việc dạy học Toán để thi trắc nghiệm - Một số lực Toán học cần phát triển cho học sinh - Tóm tắt số nội dung kiến thức liên quan tới hàm số (giải tích) Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: Phần báo cáo trình bày ý tưởng cụ thể nhằm phát triển lực Toán học cho học sinh THPT thông qua việc tiếp cận câu hỏi vận dụng cao có nội dung hàm số chương trình lớp 12 Thơng qua việc trình bày số ý tưởng sau đây, tác giả muốn nhấn mạnh điều: Năng lực Tốn học học sinh khơng hình phát huy qua việc tiếp cận vấn đề theo quy trình “chuẩn” nói chung trang bị mà cịn phát triển qua việc hiểu đúng, hiểu sâu chất toán sáng tạo việc liên kết mạch kiến thức với để có cơng cụ Các giải pháp trình bày báo cáo bao gồm: Một là: Khai thác mối quan hệ điểm đặc biệt hàm số - Mối quan hệ điểm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ với điểm cực trị - Mối quan hệ dấu giá trị hàm số điểm liên tục lân cận điểm - Mối quan hệ khơng điểm hàm số vấn đề hàm số không đổi dấu - Mối quan hệ số nghiệm số điểm cực trị hàm đa thức 4 Hai là: Khai thác tính chất đặc biệt hàm số (tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, …) Điểm sáng tạo báo cáo là: - Từ ý tưởng hình thành Mệnh đề dùng suy luận nhanh câu hỏi trắc nghiệm vận dụng cao Các Mệnh đề tảng cho việc sáng tạo toán giáo viên - Thể tính liên hệ chặt chẽ mạch kiến thức giải tích có liên quan tới hàm số, xem biện pháp quan trọng để phát triển lực giải vấn đề Toán học - Chú trọng sử dụng phương tiện tốn học (máy tính cầm tay) đáp ứng yêu cầu thực tế việc làm trắc nghiệm Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: 1.1 Thực trạng việc dạy học Toán để thi trắc nghiệm Liên quan tới báo cáo này, quan tâm tới hai vấn đề dạy học Tốn nay: Một việc dạy học phát triển lực người học, hai tác động việc thi trắc nghiệm mơn Tốn tới cách học mơn học sinh Bên cạnh mặt tích cực mà phương pháp đánh giá kiểm tra hình thức trắc nghiệm tạo có khơng điều hạn chế mâu thuẫn phát sinh: - Mâu thuẫn việc dạy học mơn Tốn nhằm phát triển lực học sinh, hướng tới hay đẹp nội mơn Tốn tính ứng dụng Tốn đời sống với việc học để làm thi trắc nghiệm (bài thi mà thể u cầu đặc trưng riêng mơn Tốn) - Khơng học sinh học để thi trắc nghiệm, chạy theo cách học “giải nhanh, giải tắt” mà bỏ qua tính chặt chẽ lập luận Tốn học, khơng C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an nắm rõ chất vấn đề lý thuyết Nhiều trường hợp điểm đánh giá hình thức trắc nghiệm khơng phản ánh lực Tốn học học sinh - Trong giải tập tốn, phần lớn học sinh gặp khó khăn bước tìm cách giải Học sinh thường áp dụng máy móc cơng thức hay thuật tốn (điều thành cơng câu hỏi vận dụng cao mang tính phân loại), khơng có thói quen chuyển hướng tư Học sinh có thói quen dừng lại tìm lời giải cho tốn, khơng tìm kiếm lời giải khác hay toán tương tự thay đổi giả thiết tốn hay khái qt hóa tốn Thói quen làm cho học sinh thấy mệt mỏi học toán lượng câu hỏi dạng trắc nghiệm nhiều, khơng nhìn điểm chốt kiến thức kĩ câu hỏi, khơng thấy mối liên hệ kiến thức với - Học sinh bị “mất gốc” học tiếp mơn Giải tích bậc Đại học bậc THPT khơng học làm toán theo chất Toán học 1.2 Một số lực Toán học cần phát triển cho học sinh Trước đưa Toán học vào đời sống, thấy ứng dụng Toán đời sống, có lẽ cần phát triển lực đặc thù cho học sinh để việc học làm Toán trở với “chất” Toán Một số lực sau đóng vai trị quan trọng, đặc biệt học sinh có khả tư tốt Toán bối cảnh chung đánh giá học sinh qua trắc nghiệm: - Năng lực tư lập luận toán học - Năng lực giải vấn đề toán học - Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Chi tiết lực có tài liệu tham khảo [2]-trang đến trang 15, nói gọn số yêu cầu cần phát triển cho học sinh là: Phải đảm bảo tính logic suy luận (sử dụng định nghĩa, định lý cách Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an đắn, khơng cảm tính, ngộ nhận chiều suy luận …), nhìn tốn nhiều góc độ để có hướng giải sáng tạo, có thói quen khai thác kiến thức khai thác tốn, biết sử dụng cơng cụ (máy tính) hỗ trợ việc giải tốn … 1.3 Tóm tắt số nội dung kiến thức liên quan tới hàm số (giải tích) 1.3.1 – Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số f  x  xác định tập D x, x  D   x  D + Hàm số f  x  gọi hàm số chẵn tập D  x  D, f   x   f  x  x, x  D   x  D + Hàm số f  x  gọi hàm số lẻ tập D  x  D, f   x    f  x  1.3.2 – Hàm số liên tục điểm: Cho hàm số f  x  xác định khoảng K x0  K Hàm số f  x  gọi liên tục x0 lim f  x   f  x0  x x0 Nói cách khác: Với số thực dương  tùy ý, tồn số thực dương  cho f  x  f  x0    với x thỏa mãn x  x0   1.3.3 – Đạo hàm hàm số điểm: Cho hàm số f  x xác định khoảng a; b x0  a; b Nếu tồn giới hạn hữu hạn lim x x0 hàm số lim x0 f  x  f  x0  giới hạn gọi đạo hàm x  x0 f  x  điểm x0 Giới hạn viết dạng f  x0 x  f  x0  x 1.3.4 – Điều kiện đủ để hàm số đồng biến Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng K Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an + Nếu f '  x   0, x  K hàm số y  f  x  đồng biến K + Nếu f '  x   0, x  K hàm số y  f  x  nghịch biến K Lưu ý : Nếu f '  x   0, x   a; b  hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b hàm số y  f  x  đồng biến đoạn  a; b 1.3.5 – Điểm cực trị hàm số: Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định liên tục khoảng a; b (ở a  b  ), điểm x0   a; b * Nếu tồn h  cho f  x  f  x0 , x   x0  h; x0  h  \ x0  ta nói f  x đạt cực đại điểm x0 * Nếu tồn h  cho f  x  f  x0 , x   x0  h; x0  h  \ x0  ta nói f  x  đạt cực tiểu điểm x0 Định lý Fermat: Nếu hàm số f  x có đạo hàm khoảng a; b chứa x0 f  x  đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) x0 f /  x0   Định lý (Quy tắc I - tìm cực trị): Giả sử hàm số f  x liên tục khoảng K   x0  h; x0  h có đạo hàm điểm K \  x0  , h  * Nếu f /  x  0, x   x0  h; x0  f /  x  0, x   x0 ; x0  h x0 điểm cực đại hàm số f  x * Nếu f /  x   0, x   x0  h; x0  f /  x   0, x   x0 ; x0  h x0 điểm cực tiểu hàm số f  x 1.3.6 – Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số f  x xác định K Khi đó:  f  x  m, x  K * f  x  m    K x0  K : f  x0   m   f  x  M , x  K * max f  x   M    K x0  K : f  x0   M  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mô tả giải pháp sau có sáng kiến: Phần 2.1: Khai thác mối quan hệ điểm đặc biệt hàm số 2.1.1 – Mối quan hệ điểm đạt giá trị lớn nhất, điểm đạt giá trị nhỏ với điểm cực trị Ý tưởng: Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn hay giá trị nhỏ điểm cực trị hàm số Mệnh đề Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm khoảng a; b khoảng a; b đạt giá trị nhỏ (hoặc đạt giá trị lớn nhất) điểm x0  a;b , f /  x0  0 Chứng minh: f  x  f  x0  , có f  x  f  x0 , x  a; b Giả sử có a ;b   Ta có f /  x0   lim x0 f  x0 x   f  x0  f  x0 x   f  x0   lim (1)  x  x x   f  x0  x   f  x0  f  x0  x  f  x0  Từ  suy lim  (2)  x0 x  x   f  x0  x  f  x0  f  x0  x   f  x0  Từ  suy lim  (3)  x0 x   x   Kết hợp (1), (2), (3) dẫn đến f /  x0   Tương tự, chứng minh kết sau: - Nếu  x0 ; b hàm số f  x có đạo hàm đạt giá trị nhỏ x0 f /  x0   (như hiểu theo nghĩa hàm số có “xu hướng đồng biến lân cận phải x0 ”) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an - Nếu  x0 ; b  hàm số f  x  có đạo hàm đạt giá trị lớn x0 f /  x0   (như hiểu theo nghĩa hàm số có “xu hướng nghịch biến lân cận phải x0 ”) - Nếu a; x0  hàm số f  x có đạo hàm đạt giá trị nhỏ x0 f /  x0   (như hiểu theo nghĩa hàm số có “xu hướng nghịch biến lân cận trái x0 ”) - Nếu a; x0  hàm số f  x có đạo hàm đạt giá trị lớn x0 f /  x0   (như hiểu theo nghĩa hàm số có “xu hướng đồng biến lân cận trái x0 ”) Ví dụ Cho hàm số f  x    x  1  ax  4ax  a  b   với a, b  Biết   khoảng   ;0  hàm số đạt giá trị lớn điểm x  1 Hỏi đoạn   5   2;   hàm số đạt giá trị nhỏ điểm sau đây? A x   B x   C x   D x  2 Phân tích: Hàm số f  x có đạo hàm liên tục  f /  x    x  1  2ax  5ax  3a  b     + Trên khoảng   ;0  hàm số đạt giá trị lớn x  1 nên theo Mệnh   đề 1, hàm số đạt cực trị x  1  f /  1   4  6 a  b     b  a  Khi có f /  x   2a  x  1  x  x  3   Phải có a  , f /  x  có nghiệm x   ; 1   Hàm f  x  đạt cực đại x  1 nên có bảng biến thiên sau (với a  ): Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 10  x f /  x 1         f  x 5  Quan sát bảng biến thiên thấy đoạn  2;   , hàm số đạt giá trị nhỏ 4  x   Chọn phương án C Ví dụ Xét tất tham số thực m thỏa mãn điều kiện hàm số  x  mx  có giá trị lớn đoạn 1;1 Phát biểu f  x  x2 sau đúng? A m  B m  2;0  C m  0;1 D m  1;3  Phân tích: * Đây kiểu biện luận giá trị lớn nhất, nhỏ theo tham số * Cách giải theo mạch tư thông thường là: - Tìm đạo hàm; - Xác định điểm tới hạn hàm số đoạn 1;1 ; - Tính giá trị hàm số điểm tới hạn hai đầu mút so sánh để xác định giá trị lớn (tùy thuộc theo trường hợp m); - Giải điều kiện giá trị lớn * Khó khăn tiến hành theo cách trên: Ta thấy y /  x  x  m   x  2 Việc y / có nghiệm có nghiệm phải so sánh nghiệm với  dẫn đến nhiều trường hợp biện luận việc tính tốn, so sánh giá trị trở lên phức tạp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 11 Phát vấn đề: + f 0   max f  x  , f  x liên tục 1;1  1;1 + Điểm x0  thuộc bên miền khảo sát 1;1 Giải vấn đề: + Phát dẫn đến x0  điểm cực trị hàm số, suy f / 0   m  x  x  Dễ dàng kiểm tra x2 max f  x  phương pháp khảo sát dùng MTCT (mode 8) Vậy + Thử lại: Với m  f  x   1;1 phương án cần chọn D Hướng tiếp cận khác cho Ví dụ 2: Sử dụng định nghĩa giá trị lớn * max f  x   xảy đồng thời điều (1) (2) sau: 1;1 (1) là: Bất phương trình f  x  nghiệm với x  1;1 (2) là: Phương trình f  x  có nghiệm x  1;1 * Điều (2) ln thỏa mãn x  nghiệm phương trình f  x  Để giải yêu cầu (1) ta dùng phương pháp “cô lập-khảo sát”:  x  mx   2, x  1;1 x2  x  mx   2 x  2, x  1;1 (do x   0, x  1;1 )  x  m   x  2  0, x  1;1 m   x, x  0;1 m       m m   x, x  1;0 m   Nhận xét: Một cách tổng qt, tốn tìm điều kiện để max f  x   a (hoặc D f  x  a ) chuyển hệ hai tốn: tốn tìm điều kiện D Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 12 để bất phương trình nghiệm với x  D , đồng thời tốn cịn lại tìm điều kiện để phườn trình có nghiệm x  D Đây ý tưởng tốt trường hợp khảo sát trực tiếp hàm số đề cho khó khăn không điểm xảy dấu điểm xảy dấu lại điểm biên (khơng dùng Mệnh đề 1) Ví dụ Xét tham số thực m thỏa mãn x  x3  3mx  mx  2m x  x    0, x   Hỏi phát biểu sau đúng? B m  ; 1 A m   5 C m   0;   4 D m   1;1 Phân tích: Hướng 1: Tiếp cận theo phương pháp “cô lập-khảo sát”, bất phương trình cho   tương đương với m x  x  x  x   x  x  Việc cô lập trở nên phức tạp phải xét trường hợp dấu   biểu thức x  x  x  x  , hướng khó thực Hướng 2: Phát thấy x  thỏa mãn bất phương trình dấu bất phương trình xảy Sử dụng Mệnh đề ta suy f / 1  với f  x   x  x  3mx  mx  2m x  x    x 1   xác định với x + Có f /  x   8x 12 x  m 6 x 1   x  x    1 Giải f / 1   12  m6 1     m   1 + Thử lại: Với m  bất phương trình cho trở thành x  x3  3x  x   x  x    2 x  x     x  x  1  , bất phương trình nghiệm với x   Vậy m  1, chọn phương án C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 13 Ví dụ Xét tất tham số thực m thỏa mãn bất phương trình x  3x  mx  nghiệm với x   Hỏi phát biểu sau đúng? A m   2;0   3 B m   0;   2 3  C m   ;3  2  D m  Hướng 1: Tiếp cận lời giải theo phương pháp quen thuộc “cô lập-khảo sát” + Bước 1-“cô lập”: Ta có x  x  mx   mx  x  x  x  3x  Với x  bất phương trình tương đương với m  x Với x  bất phương trình tương đương với m  x  3x  x Với x  bất phương trình thành mệnh đề  Như bất phương trình ban đầu nghiệm với x m  f  x nghiệm với x  , m  f  x  nghiệm với x  , f  x  x  3x  x x  3x  + Bước 2-“kháo sát”: Xét hàm f  x  với x  x  f  x / x ln  3x ln 3.x  2 x  3x  2.1 G  x     x2 x2 G /  x   2 x.ln 2  3x.ln 3 x có nghiệm x  , lập bảng biến thiên hàm số G  x  ta thu kết G  x  G 0  0, x (dấu bất đẳng thức xảy x  ) Từ suy G  x f /  x   0, x  x  x  3x   0, x x Tính giới hạn: lim f  x  lim x  1 3x 1 lim f  x   lim    ln  ln  ln , x0 x0  x   x x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 14 x  3x    x x lim f  x   lim x  Bảng biến thiên hàm số f  x  \ 0 : x  /   f  x   f  x ln ln + Bước 3-“quan sát bảng kết luận”: Từ bảng biến thiên ta có m  f  x , x  m  ln     m  ln  1,791759  m  f  x , x  m  ln  Chọn phương án C Hướng 2: Dùng Mệnh đề phát dấu bất đẳng thức xảy x  Bài tốn có nội dung: Tìm tham số m để F  x  2x  3x  mx   0, x + Thấy F 0  nên hiểu yêu cầu thành tìm m để F x F0 0  + Theo Mệnh đề phải có F / 0   2x.ln  3x.ln3  m x0   m  ln + Thử lại: Với m  ln ta kiểm tra tính sai bất đẳng thức F  x   x  3x  x.ln   0, x - Cách 1: Dự đốn tính sai MTCT với Mode (bảng giá trị) - Cách 2: Xét hàm số F  x có đạo hàm cấp hai liên tục  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 15 F /  x   x ln  x ln  ln , F //  x   x.ln 2  3x.ln  0, x Suy F /  x  đồng biến  Thấy F / 0  nên có F /  x   0, x  F /  x   0, x  Lập bảng biến thiên hàm số F  x  ta thu kết F  x  F 0  0, x Vậy m  ln giá trị m thỏa mãn yêu cầu Chọn phương án C Bàn luận thêm hai hướng tiếp cận Ví dụ trình bày trên: - Ở hai hướng có bước khảo sát hàm cụ thể để xác định miền giá trị hàm số Khi làm trắc nghiệm dự đốn miền giá trị thơng qua MTCT với chức Mode 8, điều giúp học sinh phán đoán đáp án x  3x  - Ở hướng 1, việc khảo sát hàm số f  x   không đơn x giản Hai trở ngại với học sinh (khi trình bày lời giải logic) việc xét dấu f /  x  tìm giới hạn f  x  x tiến đến ;1  x  3x   Đối với giới hạn lim   hiểu toán gốc x0  x    a x  1 lim    ln a (với a  0, a  ); x   x  2x  3x   suy luận từ việc hàm x x y  x , y  3x tiến dương vô cực “nhanh hơn” hàm đa thức x   Đối với kết lim (chẳng hạn phương pháp đạo hàm chứng minh 3x 2x  x2, x 4, sau 2x 3x 2 dùng định lý kẹp để suy lim ) x x - Khi giảng dạy ví dụ kiểu cần rèn luyện cho học sinh tư linh hoạt giải toán, điểm nhấn hướng điểm nút câu hỏi khác Chẳng hạn đề cập tới số câu hỏi sau sau phân tích Ví dụ 4: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 16 Câu hỏi Tìm tất số thực m để bất phương trình x  3x  mx  có nghiệm thực x Đáp án là: m   , bất phương trình ln có nghiệm x  Câu hỏi Tìm tất số thực m để bất phương trình x  3x  mx  có nghiệm thực x Đáp án là: m   , ln có lim  x  3x  mx  2   x Câu hỏi Tìm tất số thực m để bất phương trình x  3x  mx  có nghiệm thực x Đáp án là: m  ln , làm hướng 1, điều kiện là: m  f  x  có nghiệm x  (cho kết m  ln ) m  f  x có nghiệm x  (cho kết m  ln ) Thực chất Câu hỏi hiểu tốn ngược Ví dụ 2.1.2 – Mối quan hệ dấu giá trị hàm số điểm liên tục lân cận điểm Ý tưởng: Nếu hàm số liên tục điểm x0 dấu giá trị hàm số khơng thay đổi lân cận chứa x0 Điều giúp ta giải tốn liên quan đến việc xét dấu hàm số lân cận Bài toán điểm cực trị kiểu ta cần khảo sát đổi dấu hàm đạo hàm lân cận trái lân cận phải điểm x0 theo Quy tắc I – tìm cực trị Để xác hóa ý tưởng trên, xây dựng hệ thống mệnh đề sau: Mệnh đề 2: Giả sử hàm số f  x liên tục điểm x0 Nếu f  x0   tồn khoảng a; b chứa x0 mà f  x  0, x a;b Nếu f  x0  0 tồn khoảng a; b chứa x0 mà f  x  0, x a;b Chứng minh: Theo định nghĩa hàm số liên tục điểm x0 thì: Lấy cố định số   (tùy ý), tồn số     mà ta có f  x  f  x0    với biến x thỏa mãn x  x0   Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 17 + Ta biết f  x  f  x0    tương đương với f  x0     f  x  f  x0    (*) + Xét trường hợp f  x0   : Khi ta chọn   f  x0  từ (*) suy f  x0  f  x0    , bất đẳng thức với x thỏa 2 mãn x  x0   Như chọn a  x0   b  x0   có điều phải chứng f  x   f  x0   minh + Xét trường hợp f  x0   : Khi ta chọn    f  x0   , từ (*) suy f  x0  f  x0    , bất đẳng thức với x thỏa 2 mãn x  x0   Như chọn a  x0   b  x0   có điều phải chứng f  x   f  x0   minh Hệ 2.1: Cho hàm số f  x đạt cực trị điểm x0  a; b f /  x    x  x0  A x , x  a; b  2n với A x  hàm liên tục khoảng a; b n   Khi có A x0   Chứng minh: Ta dùng phương pháp phản chứng, giả sử A x0   + Trường hợp 1: A x0   Vì A x liên tục x0 nên theo Mệnh đề tồn lân cận x0 nằm khoảng a; b   x0  ; x0    mà A x  0, x   x0  ; x0    Suy f /  x    x  x0  A x   0, x   x0   ; x0    dấu 2n xảy điểm x  x0 Điều dẫn đến f  x đồng biến  x0 ; x0  Đối chiếu với định nghĩa điểm cực trị ta thấy f  x  đạt cực trị điểm x0 , điều mâu thuẫn với giả thiết + Trường hợp 2: A x0   Tương tự thu f  x nghịch biến  x0  ; x0    dẫn đến f  x đạt cực trị điểm x0 Tóm lại, điều giả sử sai, phải có A x0   Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 18 Hệ 2.2: Cho x0 a;b hàm số f  x thỏa mãn n1 f /  x   x  x0  A x, x a;b với A x  hàm liên tục khoảng a; b , n   A x0   Khi đó: (i) f  x đạt cực tiểu x0  a; b A x0   (ii) f  x đạt cực đại x0  a; b A x0   Chứng minh: Từ giả thiết A x0   nên xảy hai trường hợp sau: + Trường hợp 1: A x0   Khi theo Mệnh đề tồn lân cận x0 nằm khoảng a; b  x0  ; x0    mà A x   0, x   x0  ; x0    n1 Kết hợp với điều:  x  x0  n1  x  x0   0, x   x0  ; x0   0, x   x0 ; x0    , n1 f /  x   x  x0  ta suy ra: n1 f /  x   x  x0  A x  0, x   x0  ; x0  A x  0, x  x0 ; x0    Như đạo hàm f /  x  đổi dấu từ âm sang dương x chạy qua x0 lân cận  x0  ; x0    , theo Quy tắc I-tìm cực trị ta thu x0 điểm cực tiểu f  x + Trường hợp 2: A x0   Làm tương tự thu f /  x  đổi dấu từ dương sang âm x chạy qua x0 lân cận  x0 ; x0  , suy x0 điểm cực đại f  x  Từ hai trường hợp có phát biểu (i), (ii) chứng minh Trong nhiều toán ta có f /  x  có nghiệm x  x0 khơng dễ dàng có phân tích f /  x    x  x0  A x  Hai mở rộng sau (phần k chứng minh xin dành cho bạn đọc) giúp giải vấn đề: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 19 Hệ 2.1 mở rộng: Cho f  x đạt cực trị x0  a; b f /  x   u  x  A x , x  a; b  với A x hàm liên tục khoảng a; b u  x  u x0   0, x  a;b Khi có A x0   Hệ 2.2 mở rộng: Cho x0 a;b f /  x u x.A x, x a;b với A x hàm liên tục khoảng a; b  , A x0 0 u  x đảo dấu từ âm sang dương x chạy qua x0 Khi đó: (i) f  x  đạt cực tiểu x0  a; b  A x0   (ii) f  x đạt cực đại x0  a; b A x0   Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số y  x  mx  m  3m  4m  12 x  m đạt cực đại điểm x  ? A B C D Phân tích: Các tốn tìm điều kiện để hàm số f  x đạt cực trị điểm x0 (giả sử f  x có đạo hàm x0 ) thường theo hướng sử dụng định lý Fermat đưa giải điều kiện f /  x0   , sau tìm tham số tiến hành thử lại Trở ngại tốn việc y / 0  xảy với m nên việc thử lại tất giá trị m gặp khó khăn, quy tắc II để tìm cực trị khơng hiệu toán Để giải toán địi hỏi việc khai thác tính chất “đảo dấu” đạo hàm biến x chạy qua giá trị Hướng giải: Xét hàm số cho có đạo hàm liên tục  , y /  x 5 x  4mx  3m3  3m  4m  12  x A x  ,   A x   x  4mx  3 m3  3m  4m  12 liên tục  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 20 + Giả sử hàm số đạt cực đại x  Theo Hệ 2.1 ta có A0   3 m3  3m  4m  12   m  2;2;3 + Thử lại: - Với m  2 y /  x 5 x  x   x 5 x  8 Ta thấy y / đảo dấu từ âm sang dương biến x chạy qua 0, theo Quy tắc I-tìm cực trị có x  điểm cực tiểu, không thỏa mãn yêu cầu - Với m  y /  x 5 x  x   x 5 x  8 Ta thấy y / đảo dấu từ dương sang âm biến x chạy qua 0, theo Quy tắc I-tìm cực trị có x  điểm cực đại, thỏa mãn yêu cầu - Tương tự m  thỏa mãn yêu cầu Như có hai giá trị nguyên m thỏa mãn, chọn phương án B Ví dụ (Đề THPT QG năm 2018) Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số y  x8  m  2 x5 m2  4 x4  đạt cực tiểu điểm x  ? A Hướng giải: B C D Vô số Xét hàm số cho có đạo hàm liên tục  , y /  x 8 x  5 m  2 x  4m  4  x A x  ,   A x   x  5 m  2 x  4 m  4 liên tục  + Trường hợp 1: A0   m  2 - Với m  2 y /  x 8 x  20 x   x 8 x  20 Ta thấy y / đảo dấu lần x chạy qua giá trị nên x  không điểm cực trị hàm số - Với m  y /  x Ta thấy y / đảo dấu từ âm sang dương biến x chạy qua 0, theo Quy tắc I-tìm cực trị có x  điểm cực tiểu, thỏa mãn yêu cầu + Trường hợp 2: A0   m  2 Theo Hệ 2.2 ta có: Hàm số đạt cực tiểu x  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 21 A0   4 m  4   2  m  Kết hợp với yêu cầu m   có m  1;0 Vậy có bốn giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu, chọn phương án A Ví dụ Cho hàm số f  x có đạo hàm    f /  x    x  sin x  x  m  3 x   m Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số f  x đạt cực tiểu điểm x  ? A Phân tích: B D C Hướng 1: Trước hết ta thấy f / 0  với m  3;3 , kết hợp với m   thử giá trị m  3; 2; 1;0 MTCT với chức Mode8 Hướng 2: + Phát x  sin x đổi dấu từ âm sang dương x chạy qua    Thật vậy, xét hàm số u  x  x  sin x  ;  :  2     u /  x   1 cos x  0, x   ;  , dấu xảy x   2     Suy hàm số u  x  x  sin x đồng biến  ;  Lại có u 0   2       nên dẫn đến u  x   0, x   ;0 u  x   0, x  0;        + Bây xét f /  x   x  sin x x  m  3 x   m2  u  x.A x , A x liên tục x  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 22  Trường hợp 1: A0  hay m  3   m    m  3 Với m  3 f /  x   u  x .x Như f /  x  đảo dấu từ âm sang dương x chạy qua nên x  điểm cực tiểu hàm số f  x    Với m  f /  x   x 3u  x  x  6 Dễ thấy f /  x   0, x   ;   2     dấu xảy x  , dẫn đến f  x nghịch biến  ;  ,  2  khơng đạt cực tiểu x  Trường hợp 2: A0  , áp dụng Hệ 2.2 có  f  x  đạt cực tiểu x   A0   m  3   m  m  3 9  m2   0   3  m  Vậy điều kiện cần đủ tham số m 3  m  , từ có giá trị nguyên m , chọn phương án A 2.1.3 – Mối quan hệ không điểm hàm số vấn đề giá trị hàm số không đổi dấu Ý tưởng: Điểm biên khoảng mà biến chạy qua giá trị hàm số đổi dấu khơng điểm hàm số (điểm mà giá trị hàm số 0; nghiệm) Ngược lại, khơng điểm hàm số điểm biên khoảng mà khoảng giá trị hàm số khơng đổi dấu Mệnh đề 3: - Nếu f  x liên tục a; x0  f  x  0, x   a; x0  f  x0   - Nếu f  x  liên tục a; x0  f  x   0, x   a; x0  f  x0   Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 23 - Nếu f  x liên tục  x0 ; b f  x  0, x   x0 ; b f  x0   - Nếu f  x liên tục  x0 ; b f  x  0, x   x0 ; b f  x0   Chứng minh: Ta cần chứng minh cho phát biểu đầu tiên, phát biểu cịn lại tương tự Giả sử có f  x liên tục a; x0  f  x  0, x   a; x0  + Từ f  x liên tục trái x0 nên có f  x0   lim f  x x x0 + Từ f  x  0, x   a; x0  có lim f  x  x x0 Vậy f  x0   Mệnh đề 4: Giả sử f  x liên tục a; b x0  a; b - Nếu f  x   0, x   a; x0  f  x   0, x   x0 ; b  f  x0   - Nếu f  x  0, x   a; x0  f  x  0, x   x0 ; b f  x0   Chứng minh: Giả sử f  x liên tục a; b , f  x  0, x   a; x0  f  x  0, x   x0 ;b Thấy f  x  liên tục nửa khoảng a; x0  ,  x0 ; b Dùng Mệnh đề 3: Từ f  x  0, x   a; x0  suy f  x0   ; Từ f  x  0, x   x0 ; b suy f  x0   Kết hợp hai điều suy f  x0   Phát biểu lại Mệnh đề chứng minh tương tự Mệnh đề 5: Giả sử f  x  liên tục khoảng a; b  x0  a; b  , n   n1 f  x   0, x   a; b  f  x0   n1 f  x   0, x   a; b  f  x0   - Nếu có bất đẳng thức  x  x0  - Nếu có bất đẳng thức  x  x0  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 24 n1 Chứng minh: Giả sử có  x  x0  n1 Nhận thấy với n    x  x0  f  x   0, x   a; b  (*)  0, x  a; x0  n 1  x  x0   0, x   x0 ; b Khi ta có (*) tương đương với: f  x  0, x   a; x0  f  x  0, x   x0 ; b Sử dụng Mệnh đề cho hàm số liên tục f  x dẫn đến f  x0   Tương tự, ta chứng minh phát biểu lại Mệnh đề Bình luận:  Một cách tiếp cận khác để thu kết nêu Mệnh đề n 1 f  x hàm đa thức, việc  x  x0  f  x khơng đảo dấu, mà có nghiệm x0 nên nghiệm phải nghiệm bội chẵn n1 đa thức  x  x0  f  x  Do số mũ n  số lẻ nên suy có nhân tử  x  x0  xuất phân tích đa thức f  x , f  x0    Mỗi phát biểu Mệnh đề có chiều ngược lại nói chung khơng đúng, sử dụng mệnh đề cần thiết phải thử lại kết tìm  Có thể mở rộng Mệnh đề theo hướng thay biểu thức n1  x  x0  biểu thức u  x  có tính chất đổi dấu x chạy qua x0 Mệnh đề mở rộng: Giả sử x0  a; b  f  x  u  x A x , x  a; b với A x  hàm liên tục khoảng a; b , u  x đảo dấu từ âm sang dương x chạy qua x0 Khi đó: (i) Nếu f  x   0, x  a; b  A x0   (ii) Nếu f  x  0, x  a; b A x0   Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 25 Ví dụ Có giá trị tham số m cho hàm số m2 x7 m  2 x x5 m 1 x f  x     m đồng biến  ? B A Hướng giải: C D Hàm số cho có đạo f /  x   x  m x  m  2 x  x  m  1  x3 A x  xác định  + Giả sử f  x đồng biến  , có f /  x   x A x   0, x Thấy A x liên tục x  nên theo Mệnh đề suy A0  A 0    m    m   Với m  1 f /  x   x  x  x  1  0, x dấu bẳng + Thử lại: xảy x  , f  x đồng biến  Với m  f /  x   x  x  x  1 3     , f  x nghịch biến f /  x  0, x  ;  2  3 3     ; nên khơng thể đồng biến  Rõ ràng + Kết luận: Chỉ có m  1 thỏa mãn yêu cầu, chọn phương án B Ví dụ Có giá trị tham số m để bất phương trình  m  ln x    A Hướng giải:   3  nghiệm với x  ? x 3  m x B    C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 26  m  Với điều kiện xác định x  ln x      3  x 3  m x     ln x 3x  m x   m     + Nhận xét ln x đảo dấu từ âm sang dương x chạy qua giá trị 1, hàm A x  3x  m x   m2 liên tục x  + Sử dụng Mệnh đề mở rộng suy điều kiện A1  m  hay  m  m     m  3 + Thử lại: - Với m  bất phương trình cho thành ln x 3x  x  1     4x     Dễ dàng chứng minh x   ln x. x  1 1   x  x   ln x  x  1 ln dấu, bất phương trình nghiệm với x  - Với bất phương trình cho thành m 3 ln x 3x  x   9        , bất phương trình nghiệm   x 1ln x 1    x   với x  Vậy có hai giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu, chọn phương án C 2.1.4 – Quan hệ số không điểm số điểm cực trị hàm số đa thức Ý tưởng: Xét lớp hàm số đa thức với bậc cho trước, đồ thị ln có “dáng điệu” thuộc hữu hạn kiểu định trước, tức số điểm cực trị định theo cách khơng dùng quy tắc I, II trình bày sách giáo khoa Chẳng hạn, hàm số đa thức bậc ba có ba nghiệm thực phân biệt có hai điểm cực trị Câu hỏi đặt có liên hệ số nghiệm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 27 hàm số đa thức với số điểm cực trị hay khơng? Chúng ta có kết sau đây: Mệnh đề 6: Nếu hàm đa thức bậc n có đủ n nghiệm thực phân biệt n   *  có n 1 điểm cực trị Chứng minh: Giả sử P  x đa thức bậc n P  x có n nghiệm thực phân biệt Khi theo định lý Lagrange (định lý Rolle), hàm đa thức P /  x  có bậc n 1 có n 1 nghiệm thực phân biệt Như P /  x  có n 1 nghiệm đơn nên có n 1 lần đảo dấu biến x chạy qua nghiệm Điều chứng tỏ hàm P  x  có n 1 điểm cực trị Hệ quả: Nếu P x hàm đa thức bậc n thì: + Hàm số y  P  x có tối đa 2n 1 điểm cực trị + Hàm số y  P  x có 2n 1 điểm cực trị P x có n nghiệm thực phân biệt Hệ có phép suy từ đồ thị quen thuộc, từ đồ thị hàm số P x suy sang đồ thị hàm số y  P  x , phép chứng minh xin dành cho bạn đọc Vấn đề đặt là: Khi đa thức P x có bậc n có n nghiệm thực khơng thiết phân biệt số điểm cực trị P x xác định nào? Chúng thu kết phát biểu Mệnh đề sau Mệnh đề 7: Xét đa thức P x có bậc n có đủ n nghiệm thực, có k nghiệm bội chẵn t nghiệm bội lẻ Khi số điểm cực trị hàm đa thức P x 2k  t  Trước hết xin nêu kết cho đa thức dùng cho phần chứng minh mệnh đề 6, là: Nếu P  x  đa thức bậc n có n nghiệm thực x1 , x2 , , xn ta có P /  x 1    với x  x1 , x2 , , xn P  x  x  x1 x  x2 x  xn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 Chứng minh Mệnh đề 7: Không tổng quát coi hệ số bậc cao P  x 1, theo giả thiết mệnh đề ta có biểu diễn P x sau: k t mi 1 P  x   x  i  i  x   j  2n i1 , j1 ni  * , m j   nghiệm i ,  j đôi phân biệt k t 2m j  P /  x 2ni   + Trước hết xét hàm u  x  xác định P  x i1 x  i j 1 x   j D   \  xi | i  1, k  t  , x1 , x2 , , xk t dãy thứ tự tăng ngặt k  t  số i ,  j k Có u /  x   i 1 2ni 2m j  t   x  i  j 1 x   j   với x  D lim u  x   , lim u  x   , lim u  x   x x xi  x xi  Bảng biến thiên hàm số u  x  :  x x1  u /  x xk t1 x2   u  x   0      xk t  Quan sát bảng biến thiên ta thấy u  x  có k  t  nghiệm thực giá k u  x   i1 phân biệt với tất số xi Để ý 2m j  ni hàm phân thức, quy đồng với mẫu thức  x  i j1 x   j k chung trị t i1 Q  x t  x  i . x   j  u  j 1 k t  x   . x    i i1 j j 1 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn với Q  x đa C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 29 thức bậc k  t  1, k t i 1 j1 hệ số bậc cao Q  x a   2ni   2m j  1  Theo ta có nghiệm u  x  nghiệm Q  x  , Q  x  có k  t  nghiệm thực phân biệt  i i  1, k  t 1 phân biệt với tất số  ,  i k t 1 j Vậy Q  x   a   x   i  i 1 + Như ta có phân tích cho đa thức đạo hàm P /  x  sau: P /  x   u  x .P  x   Q  x k k t  x   . x    i k i1 i1 2n mi 1 i1 j 1 j i 1 k t 1 t  x  i  i  x   j  j 1  a   x  i . x  i  ni 1 t  x   j  mi j 1 Từ công thức suy P /  x  có k  t   k  2k  t  nghiệm bội lẻ P /  x  đổi dấu biến x chạy qua nghiệm bội lẻ này, suy P  x  có 2k  t  điểm cực trị Ví dụ 10 Hàm số f  x  x x 1 x  2  x  2023 có điểm cực trị? A Phân tích: B C 2023 D 2022 Các bước giải quen thuộc tốn tìm cực trị hàm số f  x có đạo hàm điểm tập xác định là: + Tìm tập xác định + Tìm đạo hàm f /  x  , xác định dấu tìm nghiệm f /  x  + Lập bảng biến thiên + Kết luận điểm cực trị hàm số Điểm khó khăn tiến hành theo bước nằm chỗ tìm nghiệm (tìm số nghiệm) để xác định dấu f /  x  cách trực tiếp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 Một số hướng giải khó khăn trên: Hướng 1: Dùng Mệnh đề định lý Rolle, ta thấy f  x đa thức bậc 2024 có 2023 nghiệm thực phân biệt, f /  x  đa thức bậc 2023 có 2023 nghiệm thực phân biệt, f  x có 2023 điểm cực trị Chọn phương án C Nói thêm hướng trường hợp câu hỏi đặt “xác định rõ số lượng điểm cực đại số lượng điểm cực tiểu hàm số f  x ”: - Trước hết f /  x  có 2023 nghiệm phân biệt, theo thứ tự x1  x2   x2023 - Sử dụng tính chất hàm số liên tục không đảo dấu khoảng liên tục khơng chứa nghiệm, tính chất đảo dấu qua nghiệm đơn lim f /  x   ta suy dấu f /  x  thể qua trục sau: x Suy f  x có 1012 điểm cực tiểu 1011 điểm cực đại Hướng 2: Thử trường hợp nhỏ phán đoán quy nạp f1  x  x Hàm f  x  x  x 1  x  x f  x   x  x 1 x  2  x  x  x … f 2024  x   x  x 1  x  2023 Số điểm cực trị Có điểm cực trị Có điểm cực trị Có điểm cực trị … Dự đốn có 2023 điểm cực trị Hướng 3: Sử dụng tính chất hàm số liên tục để xác định số nghiệm đạo hàm f /  x  Ta có f /  x   x 1 x  2  x  2023  x. x  2 x  3  x  2023   x  x 1 x  2  x  2022 hàm số liên tục  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 Ta thấy: f 0  0 10  2 0  2023  , f 1  1.1  21 3 1 2023  , f 2  2.2 12  3  4 2  2023  , … f 2023  2023.2023 12023  2 2023  2022  Suy f 0 f 1  , f 1 f  2  , …, f  2022 f 2023  Theo định lý giá trị trung gian suy f /  x  có nghiệm khoảng 0;1,1;2, , 2022;2023 , suy f /  x  có 2023 nghiệm thực phân biệt Mặt khác f /  x  đa thức bậc 2023 nên kết hợp điều suy có 2023 nghiệm thực phân biệt Từ suy f  x có 2023 điểm cực trị Ví dụ 11 Hàm số y  x  x  x  có điểm cực trị? B A D C Hướng 1: Khảo sát hàm số (lập bảng biến thiên) f  x   x  x  x  , dùng phép suy đồ thị để suy dạng đồ thị y  f  x  , từ đếm số điểm cực trị + Có f /  x   x  x  có hai nghiệm phân biệt x   21 + Bảng biến thiên hàm số f  x  : x  21  f / x   21     63  14 21 f  x 0 63  14 21  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 + Suy bảng biến thiên (dáng điệu đồ thị) hàm số y  f  x  có dạng sau: x  21   21    63  14 21 63  14 21 f  x 0 Từ bảng suy hàm số y  f  x  có điểm cực trị, chọn phương án A Hướng 2: Sử dụng MTCT với chức Table (Mode 8) để thiết lập bảng giá trị, dựa vào tính tăng giảm bảng giá trị suy số điểm cực trị Lưu ý cách làm dễ gây ngộ nhận việc lựa chọn STEP chưa đủ nhỏ khiến bảng giá trị “bỏ qua” số vị trí điểm cực trị Hướng 3: Thấy f  x   x  x  x  có nghiệm thực phân biệt nên y  f  x  có số điểm cực trị 23 1  , chọn phương án A Ví dụ 12 Có số nguyên m thuộc đoạn 10;10 thỏa mãn điều kiện hàm số y  mx3  3mx2  3m  2 x   m có điểm cực trị A B C 10 Phân tích Dựa Hệ Mệnh đề ta thấy hàm số D 11 y  mx3  3mx2  3m  2 x   m có tối đa điểm cực trị, xảy số lượng tối đa mx  3mx  3m   x   m  (1) có ba nghiệm thực phân biệt + Ta có 1   x  1  mx  2mx  m  2  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 x 1    mx  2mx  m    2 + Vậy: (1) có ba nghiệm phân biệt  2 có hai nghiệm phân biệt x  a  m    /  m  m m  2   m.12  2m.1  m    m    2m   m   2  Kết hợp điều kiện m    10;10 ta m  1;2; ;10 Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn, chọn phương án C Ví dụ 13 (Mã đề 104-Đề Tốt nghiệp THPT năm học 2019-2020, lần 1) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có bảng biến thiên sau: Số điểm cực trị hàm số g  x  x  f  x 1 A B C D Hướng 1: Thực quy trình (quy tắc I) tìm cực trị hàm số Xét hàm số g  x  x  f  x 1 xác định  + g /  x  x  f  x  1  x  f  x  1 f /  x  1 3  x  f  x  1  f  x  1  x f /  x  1 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 x    / + Xét g  x      f  x  1    f  x  1  x f /  x  1   (1) (2) (3) + Dễ thấy (1) có nghiệm x  (là nghiệm đơn) Phương trình (2) có bốn nghiệm phân biệt (suy luận dựa vào bảng biến thiên, nghiệm nghiệm bội 3) Để giải (3), hướng thơng thường tìm cơng thức tường minh hàm số f  x Bằng cách đặt f  x   ax  bx  cx  dx  e a  0 , kết hợp bảng biến thiên đề cho ta có hệ sau:  f / 0    f /      f / 1    f 0  2   f 1   Giải hệ tìm f  x    x  10 x  ; f /  x    20 x  20 x (Bàn thêm: quan sát bảng biến thiên cho ta dự đoán đồ thị f  x  có tính đối xứng qua trục tung, suy đoán dạng f  x   ax  cx  e , điều giúp giảm bớt số lượng tham số phải tìm) Giải (3): Đặt x   t (3) thành 5t 10t  2  2t 120t  20t     45t  40t  50t  40t   Dùng MTCT thấy phương trình có nghiệm đơn phân biệt Từ tổng hợp lại thấy g /  x  có nghiệm thực phân biệt (vì phương trình (1), (2), (3) khơng có nghiệm chung) tất nghiệm nghiệm bội lẻ, hàm số g  x có điểm cực trị, chọn phương án C Hướng 2: Sử dụng Mệnh đề Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 - Ta có f  x hàm đa thức bậc nên g  x  x  f  x  1 hàm đa thức bậc 18  x2  - Xét phương trình g  x      f  x  1  (4) (5) Thấy (4) có nghiệm x  (là nghiệm bội 2) Từ bảng biến thiên suy f  x  1 có nghiệm đơn phân biệt nên 5 có nghiệm bội Như g  x có 18 nghiệm thực với nghiệm bội nghiệm bội 4, suy g  x  có nghiệm bội chẵn khơng có nghiệm bội lẻ Theo Mệnh đề suy số điểm cực trị hàm đa thức g  x 25 0 19 Chọn phương án C Bài tập vận dụng: Bài Có số nguyên m để bất phương trình x2   m3  4m x  m ln  x2  1 nghiệm với số thực x ? A C B D Vô số Bài Biết có số thực  thỏa mãn bất phương trình 9 x   x   18 x  nghiệm với số thực x Hỏi phát biểu sau đúng? A    0;2 B   12;   Bài Cho hàm số f  x  C    6;10  D    2;6  x  mx  Hỏi có số thực m thỏa x2 mãn điều kiện f  x  max f  x  ? 1;1 A 1;1 B C D Bài Gọi S tập hợp số tự nhiên m để hàm số y  x3   3mx có giá trị lớn đoạn 0;3 Hỏi S có phần tử? A B C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Bài Cho hàm số f  x   ax  cx  d (với a, c, d tham số thực a  ) thỏa mãn điều kiện f  x  f 2 Khi max f  x ;0 A 8a  d B d  16a 1;3 C d 11a D d  2a Bài Cho hàm số f  x   x  2 x  2022 x Biết có số thực m thỏa mãn bất phương trình f 4 x  mx  37m  f  x  x  m  37  nghiệm với số thực x Hỏi m thuộc khoảng sau đây? A  30;50  B 10;30  C  50;70 D  10;10  Bài Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x  m2  x  x3   m x  x3   2e x1  x  Hỏi có số thực m thỏa mãn điều kiện F  x đồng biến  ? A B C D Gọi S tập hợp số thực m thỏa mãn m x mx3 y  10x2 m2  m  20 x đồng biến  Tính tổng tất phần tử tập hợp S Bài A B C 2 D Bài Gọi S tập hợp số thực m để bất đẳng thức 3  m2 ln4 x 16 4  3mln2 x  4  92ln x  2  với x  Tính tổng tất phần tử tập hợp S A  B C D Bài 10 Biết có số thực a thỏa mãn bất phương trình e x  ax  3ln  x  1  nghiệm với số thực x Hỏi phát biểu sau đúng? A a   4;6 B a  2;0 C a   2;4 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a   0;2 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 Bài 11 (Đề THPT QG năm 2018) Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số y  x8  m 1 x5  m2 1 x4 1 đạt cực tiểu điểm x  ? A B C D Vô số Bài 12 (Đề THPT QG năm 2018) Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số y  x8 m  4 x5 m2 16 x4 1 đạt cực tiểu điểm x  ? A B C D Vô số Bài 13 Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số y  x12  m  5 x7   m2  25 x6 1 đạt cực đại điểm x  ? A B 10 C D Vơ số Bài 14 Có giá trị nguyên lớn 10 tham số m thỏa mãn điều x2   m  2 x  m2 1 kiện hàm số y  đạt cực đại điểm x  ? xm A B 10 C D Vô số Bài 15 Tính tổng tất giá trị tham số thực a cho bất phương trình sin x x    m x  m2  4  khơng có nghiệm khoảng ;   A 2 B C Bài 16 Cho hàm số bậc bốn f  x  có bảng biến thiên sau: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Số điểm cực trị hàm số g  x  x  f  x 1 B A 11 C D Bài 17 Cho hàm số bậc ba f  x  có bảng biến thiên sau: Số điểm cực trị hàm số y   x 1  f  x A B C D Bài 18 Cho hàm số bậc bốn f  x  có bảng biến thiên sau: Có giá trị nguyên tham số g  x   x  m  f  x  2 có ba điểm cực trị? A B C m để hàm số D Bài 19 Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y  3x  x3 12 x  m 1 có điểm cực trị A  0;6  B  6;33 C 1;33 D 1;6  Bài 20 Có giá trị nguyên tham số m thuộc 5;0 để hàm số y  x3   m  1 x  2mx  m2 có điểm cực trị A B C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Phần 2.2: Khai thác tính chất đặc biệt hàm số Ý tưởng: Hàm số công cụ quan trọng thường sử dụng việc biện luận phương trình, bất phương trình, đặc biệt việc sử dụng tính chất đơn điệu hàm số Trong phần báo cáo chúng tơi phối hợp tính đơn điệu hàm số với tính chất chẵn, lẻ số tính chất khác hàm số việc giải số phương trình bất phương trình có cấu trúc đặc biệt Trước hết ta nhắc lại ba mệnh đề quan trọng thể ứng dụng tính đơn điệu hàm số: Mệnh đề 8: Cho hàm số f  x  liên tục đơn điệu khoảng K , u, v  K Khi có: f  u   f  v   u  v Mệnh đề 9: Cho hàm số f  x  liên tục đồng biến khoảng K , u, v  K Khi có: f  u   f  v   u  v Mệnh đề 10: Cho hàm số f  x  liên tục nghịch biến khoảng K u , v  K Khi có: f  u   f  v   u  v Tiếp theo số hàm số với tính chất đặc biệt đây, phần chứng minh phát biểu xin dành cho bạn đọc: * Với a  , hàm số f  x   a x  a  x hàm số lẻ đồng biến  * Với  a  1, hàm số f  x   a x  a  x hàm số lẻ nghịch biến  ax đồng biến  thỏa mãn ax  a f  x   f 1  x   1, x   * Với a  , hàm số f  x   ax nghịch biến  thỏa mãn ax  a f  x   f 1  x   1, x   * Với  a  1, hàm số f  x   * Với a, b  1, hàm số f  x   log a x  b x  b x đồng biến khoảng  0;  1 thỏa mãn f     f  x  , x   x * Với a  hàm số f  x   log a x  x  a đồng biến  thỏa mãn f  x   f   x   1, x   Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40   * Với a, b  , hàm số f  x   a  e x  e  x   b ln x  x  hàm số lẻ đồng biến  * Với a  , hàm số f  x   x  x  đồng biến  thỏa mãn f  x  f   x   x   Một số ví dụ sau minh họa cho ý tưởng: Ví dụ Cho hàm số f  x   2021x  2021 x Giá trị nguyên lớn m để f  m   f  2m  2019   A 673 B 674 C 673 D 674 Lời giải Chọn B Ta có f '  x   2021x ln 2021  2021 x ln 2021  0, x   , suy hàm số f  x  đồng biến  + f   x    f  x  , x    hàm số f  x  hàm số lẻ  + Khi f  m   f  m  2019    f  m   f  2m  2019   m  2m  2019  3m  2019  m  673 Vậy giá trị nguyên lớn m 674 Ví dụ Cho hàm số f  x   2020 x  2020  x Tìm giá trị nguyên lớn tham số m để phương trình f  log2 x  m  f  log23 x  có nghiệm x  1;16  A 65 B 67 C 68 D 69 Lời giải Chọn B Ta có f '  x   2020 x ln 2020  2020  x ln 2020  0, x   , suy hàm số f  x  đồng biến  + f   x    f  x  , x    hàm số f  x  lẻ  + Đặt t  log x , điều kiện t   0;  Phương trình trở thành Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 f t  m   f t    f t    f t  m   f t   f  m  t   t3  m  t  t3  t  m Xét hàm số g  t   t  t với t   0;4  + f '  t   3t   0,  t   0;  + f  t  liên tục 0;4 Ta có g    g    68 nên miền giá trị hàm số g  t  khoảng  0;4 khoảng  0;68  Vậy phương trình cho có nghiệm x 1;16   m  68 Suy giá trị nguyên lớn tham số m 67 x x Ví dụ Cho hàm số f  x   ln x  e  e Tìm số nghiệm nguyên dương     phương trình f log x 2 10  f log  x3 A B   C Lời giải D Chọn A 1 1x x Ta có: f '  x    e  e  0, x  , suy hàm số f  x  đồng biến x x khoảng  0;  1   1 Với x  , ta có f    ln    e x  e x    ln x  e x  e x    f  x  x x   Với x  * , phương trình   f log 9 x   10  f log   x    f    f log   x    log  x                f  log  x     f log   x    f log   x   f  log  x    x   log   x3   log   x   x  x       x  3 Đối chiếu điều kiện xét có nghiệm nguyên dương phương trình x  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 9x Tìm m để phương trình sau có nghiệm 9x    f  3m  sin x   f  cos x     Ví dụ Cho hàm số f  x   m 192 1 m C 192 12 m 192 m D  192 12 Lời giải A  B  Chọn C 2 x 6.  ln 9x Ta có f  x   x   f ' x   0, x   2 x 2 x   3. 3  3.    9x Suy hàm số f  x   x đồng biến  3 9x 91 x 9x Ta có f  x   f 1  x   x  1 x  x  x 1 3 3 3 3  f  x   f 1  x   x         Do f cos2 x  f  sin x   f sin x   Phương trình cho tương đương với f  3m  sin x   f sin x   1  3m  sin x  sin x  3m  sin x  sin x 4 Đặt t  sin x , t   1;1 ;  1 Xét g  t   t  t có g '  t   2t  ; 4 1 g '  t    2t    t  8 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn  C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 Dựa vào bảng biến thiên suy ra: Phương trình cho có nghiệm   Ví dụ Cho hàm số f  x   1  3m   m 64 192 12 4x Tìm m để phương trình 2 x   f  m  sin x   f  cos x   có nghiệm phân biệt thuộc   ; 2    1 A   m  B   m  C   m  D   m  64 64 64 64 Lời giải Chọn B + Xét f  x   f  x  4x , ta có 4x  2.4 x.ln 4 x  2 Ta lại có: f 1  x    0, x    hàm số đồng biến  1 41 x   41 x   2.4 x  x Suy f 1  x   f  x   4x  x   f  x    f 1  x  2 2 x + Từ phương trình cho tương đương với 1     f  m  sin x   f  cos x    f  m  sin x    f 1  sin x  4        f  m  sin x   f  sin x    1 2 Từ 1   suy m  sin x  sin x  m  sin x  sin x * 4 2 + Phương trình * có nghiệm phân biệt thuộc   ;2  phương trình m  t  t có nghiệm phân biệt thuộc  1; 0 t Bảng biến thiên hàm số y  1;0 : Xét y  t  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 Vậy * có nghiệm phân biệt thuộc   ; 2    m  64 Ví dụ Cho hàm số f  x   log x  x  x Tính tổng bình phương giá trị   tham số m để phương trình f    f  x  x    có  x  m  3 ba nghiệm thực phân biệt A 14 B 13 C 10 D Lời giải Chọn A 1   1 + Ta có f    log  x  3x    log x  3x  x    f  x  , x  x x   1 1x x Lại có f   x    ln  ln  0, x  x ln x  Hàm số f  x  đồng biến  0;   + Do đó:   f   f  x  4x  7   x  m 3   f  x  m  3  f x  x    x  m   x2  4x   x  m  x2  4x  4m   x  x   4m  x  + Để biện luận số nghiệm hệ phương trình ta sử dụng phương pháp đồ thị: Vẽ hai parabol y   x  x  y  x  hệ trục hình vẽ sau Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 Chú ý hai parabol y   x  x  y  x  tiếp xúc với điểm A  2;8 ; parabol y   x  x  có đỉnh I1  4;12  ; parabol y  x  có đỉnh I  0;4   4m  m   Phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt  4m    m     4m  12  m  Vậy tổng bình phương giá trị m 12  22  32  14 Bình luận: Đối với tốn biện luận hệ phương trình tuyển (hệ “hoặc”), để tránh việc xét nhiều trường hợp xét thiếu trường hợp phương trình có nghiệm chung, ta nên sử dụng phương pháp đồ thị để có nhìn đầy đủ số lượng nghiệm hệ Ví dụ Cho hàm số f  x   log x  x  Có giá trị thực tham số m để bất phương trình   f  x  1  4x   f  x2  6m  m2  m4   nghiệm với x ? A B C Lời giải D Vô số Chọn A Xét hàm số f  x   log x  x   log x  x   Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn  C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 Tập xác định hàm số  x 1 x 4  + Ta có f   x    , x  nên f  x  2 x  x  ln 2 x  ln   đồng biến    1 + Mặt khác f   x   log  x    x    log x   x 2  log   log x2   x   f  x  , x   2 x 4x     Do bất phương trình cho tương đương  x  1  4x  5  f  x  6m  m  m    f   x  1  4x  5   f  x  6m  m  m   f   x  1  x  5  f   x  6m  m  m  f 4 2 2 2 4   x  1  x    x  6m  m2  m 4   x  1   x  1   x  1  m  m  6m Đặt t  x  1; t  Bất phương trình trở thành t  t  6t  m  m  6m Xét hàm số g  t   t  t  6t ; t   Ta có g   t   4t  2t  ; g   t    4t  2t    t  Bảng biến thiên Bất phương trình cho nghiệm với x  m  m  m  4  g  m   4  g  m   4  m  (Suy từ bảng biến thiên) Vậy có giá trị thực m thỏa mãn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47   Ví dụ Cho hàm số f  x    e x  e 2 x   ln x  x   x Có   giá trị nguyên tham số m để bất phương trình f x  m  f  x  12   nghiệm với x   2;1 A 21 B 22 D 20 C Vô số Lời giải Chọn A   + Xét hàm số f  x    e x  e 2 x   ln x  x   x Tập xác định D   x 1 x2   3x x  x2  1  2e2 x  2e2 x   3x  0, x   x 1 Suy hàm số f  x  đồng biến  Ta có f '  x    2e x  2e 2 x     Ta có f   x    e 2 x  e x   ln  x   x  x3   e2 x  e2 x   ln   e 2 x  e x   ln   x3 x 1  x   x   x  x   f  x  , x   Suy f  x  hàm số lẻ  + Với tính chất ta có     f 3x  m  f  x3  12    f 3x  m  f 12  x   3x  m  12  x3  x3  3x  m  12   x  x  m  12    x  3x  m  12  +) Đặt g  x   x  x  m  12 , 1  2 g ' x   3x  x  3x  x    x0 g ' x      x  2 Ta có bảng biến thiên hàm số g  x   2;1 : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 Do đó: (1) nghiệm với x   2;1  m    m  +) Đặt h  x   x  x  m  12 , h ' x   3x  x  3x  x   h '  x    x  Ta có bảng biến thiên hàm số h  x   2;1 : Do đó: (2) nghiệm với x   2;1  Max  h  x     m  12   m  12  2;1 Vậy 12  m  Có 21 giá trị nguyên m thỏa mãn Ví dụ Cho hàm số f  x   ln  4x  Tìm tất giá trị 2x x   m( x  1)  f  m  1  có  4x2   2x  tham số m để bất phương trình f   nghiệm A m  1 B m  C m  1  D m  Lời giải Chọn A + Xét hàm số f  x   ln   4x2   x  Tập xác định D   f   x   ln  4x  2x    4x 4 x  1 x   x   x  ln   x 2  4x   2x   Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 x  1   2x  4x    ln x   x  x   f  x  , x   Do f  x  hàm số lẻ   x ln  2 x ln  0, x   Lại có f   x   4x   f  x  đồng biến    ln     x2   x + Xét bất phương trình f  1    x   m( x  1)  f  m  1  với điều kiện xác định x  Ta có bất phương trình tương đương với f x   m( x  1)   f  m  1    f    x   m ( x  1)   m  (do f  x  đồng biến  ) x   m( x  1)  f   m  1 (do f  x  hàm số lẻ)  m   x   1  x  x  1 (*) x2 x  1 6 x2 x4 + Xét hàm số g ( x)  Ta có g  x   x2 x  4. x   m x   g  x     x  x     x    x      x   Bảng biến thiên hàm số g  x   4;  : Từ bảng biến thiên có: (*) có nghiệm  m  1 Cách khác: Đặt t  x  4, t  , (*) trở thành m  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn t 1 t2  C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 Lập bảng biến thiên hàm số g  t   max g  t   g 0;  m   1  t 1 khoảng  0;  ta t2  1 , từ suy bất phương trình (*) có nghiệm 1 Ví dụ 10 Cho hàm số f  x   x  x  Tổng bình phương giá trị tham số m để phương trình  x  m  1  x  x  f  x2  x    có 2 f x  2mx  m      nghiệm phân biệt 13 A   B C D Lời giải Chọn B + Ta có: 2 x  2mx  m  x  m ; f '( x)   x x2  f (  x )   x  x   f ( x) f (  x )   f ( x )  Suy f (  x  x  2)   x2   x x2   0, x   , x   f ( x) , x   f ( x  x  2) 2 x  m 1 x2  x  + Phương trình cho tương đương với (1)  f (2 x  m  1) f ( x  x  2) Xét hàm số g (t )  g '(t )  t (t  0) f (t ) f (t )  t f '(t )  f (t ) t  t2 1  t  t2 t2 1   0, t  t  f (t ) Vậy hàm số g (t ) đồng biến  0;  , phương trình (1) tương đương f (t ) với phương trình x  x   x  m  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51  x2  x   x  m  x  x   2( x  m)  2m   x  x    x  x    2( x  m ) m  x    Ta thấy hai parabol y   x  x  1, y  x  tiếp xúc với điểm có tọa độ 1;2  nên đồ thị chúng hệ tọa độ Oxy sau: y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 Khi để phương trình có nghiệm đường thẳng y  2m cắt hai parabol điểm phân biệt, từ đồ thị có điều kiện cần đủ m  m   2m  2m    m      2m  1 m   Vậy tổng bình phương giá trị m Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 Bài tập vận dụng: Bài Cho hàm số y  f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m3  5m  f ( x)  có bốn nghiệm thực phân biệt f ( x)  A B C D Bài Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho phương trình x3   m  3 x  x  m có hai nghiệm thực Tích tất phần tử tập hợp S 23 A B C D 27 27 Bài Cho hàm số f ( x)  x3  x  Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f   f ( x)  f ( x)  m   x  x  có nghiệm x  [ 1; 2] A 1746 B 1750 C 1747 D 1748 Bài Cho phương trình 4 x  x  log  m  x   2m   ,  m    Số giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn   2; 2 A B C D Vô số Bài Có tất số nguyên dương a với a  2021 để phương trình x  ax  a ln a  ln  ax  a ln a   ee  x A 1199 B 2003 có nghiệm x  C 1001 D 1802 Bài Có số thực m để phương trình  x m log  x2  2x  3  2 x x log1  x  m  2 có nghiệm thực phân biệt? A Vơ số B C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 Bài Có cặp số nguyên dương  x; y  với x  2021 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 ? A 2020 B 1010 D C Bài Cho hàm số f  x   x3  15 x  78 x  141  m  x   m với m tham số Có số nguyên m thuộc đoạn  2020 ; 2020 cho f  x   với x thuộc đoạn  ; 4 ? A 2020 B 2024 C 2021 D 2022 Bài Cho hàm số f  x   log 2021   x   x  x 2021  x 2003 Tập nghiệm bất phương trình f  2 x   f   x    A  1;   B  1;   C  ; 1 D  ; 1 9t Bài 10 Xét hàm số f  t   t với m tham số thực Gọi S tập hợp  m2 tất giá trị tham số m cho f  x   f  y   với x, y thỏa mãn e x  y  e  x  y  Tìm số phần tử S A B Vô số C D Hướng dẫn giải tập vận dụng: Bài Cho hàm số y  f ( x) liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun tham số m để phương trình m3  5m  f ( x)  có bốn nghiệm thực phân biệt f ( x)  A B C D Lời giải Chọn B m3  5m  f ( x)   m3  5m  f ( x)   f ( x)  1 Ta có: f ( x)   Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn  C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 Xét hàm số h(t )  t  5t  h(t )  3t    hàm số đồng biến  Khi 1  h  m   h   f ( x)   f ( x)   m Phương trình có nghiệm m   f  x   m2  Khi ta có f ( x )   m    f  x    m2   Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f  x    m  có nghiệm Để phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt  f  x   m  có nghiệm thực phân biệt   m2   1  m  1  m2      3  m2   10  m  26  10  m  26 mà m    m  4;5 Bài Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho phương trình x3   m  3 x  x  m có hai nghiệm thực Tích tất phần tử tập hợp S 23 A B C D 27 27 Lời giải Chọn A Đặt t  3 x  x  m  t  x  x  m  m  t  x  x Từ phương trình ban đầu ta có x   m  t  m  x   t 1 2 Từ 1 ,    x   t  t  x  x   x  1   x  1  t  t * Xét hàm số f  u   u  u có f '  u   3u   u   Khi phương trình  *  f  x  1  f  t   x   t Thế vào phương trình   ta x  x   m ** Ta xét hàm số g  x   x  x  có g   x   3x    x   Bảng biến thiên: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 Để phương trình có hai nghiệm thực  92 m    23      S  ;   Đáp số  3 27   92  m    Bài Cho hàm số f ( x )  x3  x  Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f   f ( x)  f ( x)  m   x  x  có nghiệm x  [ 1; 2] A 1746 B 1750 C 1747 Lời giải D 1748 Chọn B  Ta có f  f ( x)  f ( x)  m   x  x  , (1) Đặt t  f ( x)  f ( x)  m , suy ra: 1  f  t    x3  x   t  t     x     x   , (2) Xét hàm số y  h  u   u  u  có h  u   3u   0, u   nên hàm số đồng biến  Do    h  t   h   x   t   x Suy y  h u  f ( x)  f ( x)  m   x  f ( x)  f ( x)  m    x   m   f ( x)  f ( x)  x Mà f ( x )  x3  x  , suy m    x3  x     x3  x    x3 , (3) Xét hàm số h( x)    x3  x  2   x3  x    x3 với x  [ 1; 2] Suy h( x)  3  x3  x    3x  1   3x  1  3x  0, x   1;2  Do h  1  h( x)  h     h( x)  1748 Vậy phương trình (1) có nghiệm x  [1;2] phương trình (3) có nghiệm x  [ 1; 2]  1748  m  Do m    m  1748; 1747; ; 1;0;1 Vậy có 1750 giá trị nguyên tham số m Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 56 Bài Cho phương trình 4 x  x  log  m  x   2m   ,  m    Số giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn   2;2  A B C Lời giải D Vô số Chọn B Đặt log  m  x   t  m  x  4t  m  x  4t Phương trình trở thành 4 x  x  t   x  4t     22 x  x  22t 1  t  1  2 x   22t 1   2t  1 1 2 1 Do hàm số g  a   2a  a có g   a   2a ln   0, a   nên hàm số đồng biến 2  1  g  2 x   g  2t  1  2 x  2t   2t  2 x   m  x  22 x1 *  22 x  Xét h  x   x  2 x1 có h  x    2.22 x1 ln   22 x ln   x  log  ln  Bảng biến thiên h  x  Phương trình * có nghiệm x   2; 2  m  1;2;3;4;5;6 m   Bài Có tất số nguyên dương a với a  2021 để phương trình x  ax  a ln a .ln  ax  a ln a   ee  x A 1199 B 2003 có nghiệm x  C 1001 Lời giải D 1802 Chọn D x x x x  ax  a ln a  ln  ax  a ln a   e e  x  e e e x  e e ln e e (1) Xét hàm số f  t   t ln t , với t  Vì f   t    ln t  nên hàm số f  t  đồng biến  0;  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 57   x (1)  f  ax  a ln a   f ee  ax  a ln a  ee x x  2 x x Với ax  a ln a  e e  a ln  ae x   e e   ae x  ln  ae x   e e ln ee   x Khi   có dạng f  ae x   f ee  a  e e + Xét hàm số g  x   ee Có g   x   e e x x x x x x x  2;   e x  1  với x   2;   , hàm số g  x  đồng biến  2;  nên x   g  x   g   x Hay a  ee  x  ee 2  219  219  a  2020 Do   a  219;220; ;2020 Vậy có 1802 số a * a    Bài Có số thực m để phương trình  x m log  x2  x  3  2 x  x log  x  m  2 có nghiệm thực phân biệt? A Vô số C Lời giải B Chọn B  xm Ta có log x  x  3  2 x x D log  x  m    2.4  x m  2.2 x  2x 2 2 x 2 x 3 log3  x  x  3  2  x2  x log  x  m   log  x  x  3  22 x m log3  x  m   log  x  x  3  2 xm  log  x  m   (*) Xét hàm số f  t   2t.log t , t   f '  t   2t.log t.ln t  2t  0, t   hàm số y  f  t  đồng biến t ln  Suy phương trình (*) tương đương với f  x  m    f  x  x  3  x  m   x  x   2m   x  x   x  m  x  2x     2m  x  Ta vẽ đồ thị hai hàm số y   x  x  1 C1  ; y  x  1 C2  hệ trục tọa độ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 58  m  2m    Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt  m    m    m   m   Suy có giá trị m Bài Cho Có cặp số nguyên dương  x; y  với x  2021 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 ? A 2020 B 1010 D C Lời giải Chọn C Ta có  x  y   1  y   log  x  1  x  y   3.9 y  log  x  1  x   log  x  1  y  3.9 y   x  1  log  x  1  3.32 y  log 32 y (1) Xét hàm số y  f  t   3t  log3 t với t  , có y  f   t     0, t  t.ln Suy hàm số y  f  t   3t  log3 t đồng biến khoảng  0;  Từ 1  f  x  1  f  32 y   x   32 y  x   32 y Với x  2021  32 y   2021  32 y  4041  y  log 4041  y  log 4041  3, 78 2 Vì y nguyên dương nên y  1;2;3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 59 +) Với y  x  +) Với y  x  41 +) Với y  x  365 Vậy có cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn Bài Cho hàm số f  x   x3  15 x  78 x  141  m  x   m với m tham số Có số nguyên m thuộc đoạn  2020 ; 2020 cho f  x   với x thuộc đoạn  ; 4 ? A 2020 B 2024 C 2021 D 2022 Lời giải Chọn C Ta có f  x    x3  15 x  78 x  141  m  x   m    x     x  5  x   m  x   m   x     x  5   g  x  5  g   2x   m   2x   m  x   m với g (t )  t  5t Vì g  t  đồng biến  nên g  x  5  g Do đó,   x   m  x   x   m   x  5  x   m f  x   0, x   ; 4 max h  x   m  ; 4 với h  x    x  5  x  Ta có h x   3 x  5   3x2  30x  73 h  x   x  30  0, x   ; 4 Suy h  x   h    0, x   ; 4 Vì max h  x   h     ; 4 Vậy max h  x   m  m  nên số nguyên m thuộc đoạn  2020 ; 2020 thỏa  ; 4 mãn đề gồm 0;1;2; ;2020 tức có 2021 số nguyên m thỏa mãn đề Bài Cho hàm số f  x   log 2021   x   x  x 2021  x 2003 Tập nghiệm bất phương trình f  2 x   f   x    A  1;   B  1;   C  ; 1 Lời giải Chọn A Hàm số có tập xác định D   Ta có: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D  ; 1 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 60 f  x   log2021   log 2021    x2   x   x  2021   x  2003  log2021  x2021  x2003 x 1  x  x   x  x 2021  x 2003   f  x  , x   Vậy f  x  hàm lẻ Bất phương trình cho tương đương với f   x    f   x    f  2 x   f  x   1 1 Mặt khác, có f '  x    f ' x   x x2   2021x 2020  2003 x 2002 x   x ln 2021   2021x 2020  2003x 2002  0, x   x  1.ln 2021 Suy f  x  đồng biến  ;   Nên 1  2 x  x    x  x     Đặt g  x   2 x  x  3, x   Ta có g '  x   2 x ln   0, x   Suy g  x  nghịch biến  ;   Như    g  x   g  1  x  1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   1;   9t Bài 10 Xét hàm số f  t   t với m tham số thực Gọi S tập hợp  m2 tất giá trị tham số m cho f  x   f  y   với x, y thỏa mãn e x  y  e  x  y  Tìm số phần tử S A B Vô số C Lời giải Chọn D Xét hàm số y  et  et , t    y  et  e  y   t  Bảng biến thiên Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 61 Vậy et  et  , dấu xảy t  Suy e x y  e  x  y   e x y  e  x  y    x  y   y   x Do f  x   f  y    f  x   f 1  x    9x 91 x  m x   m 91 x    1 x  m2 91 x  m  m x  91 x.m2  m   m2 x   m 91 x   m x  91 x.m2  m4  m   m   Vậy có số phần tử tập S III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Hiệu kinh tế: - Nội dung trình bày sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 q trình ơn tập chuẩn bị cho thi tốt nghiệp THPT thi đánh giá lực tuyển sinh vào trường đại học; tài liệu dùng tập huấn học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi THPT cấp tỉnh - Các tốn ý tưởng trình bày sáng kiến tài liệu tham khảo bổ sung thêm cho thầy cô giáo chủ đề ứng dụng hàm số Thơng qua ý tưởng trình bày, thầy có liên hệ tương tự chủ đề khác hướng dẫn học sinh cách tiếp cận phù hợp với dạng toán cách linh hoạt, qua phát triển lực Tốn học cho học sinh Với việc đề xuất số ý tưởng khai thác tính chất hàm số, tác giả mong muốn giải pháp sử dụng rộng rãi, cách tiết kiệm chi phí tài liệu, chi phí ơn tập cho học sinh lớp 12 tiếp cận câu hỏi vận dụng cao việc bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh ôn thi THPT Hiệu mặt xã hội: Trong trình giảng dạy lớp 12, tổ chun mơn triển khai ý tưởng trình bày báo cáo nhận thấy học sinh hứng thú hơn, có thêm nhiều cơng cụ việc giải tốn, đồng thời qua lực giải vấn đề toán học học sinh nâng cao; kết thu tốt phần thể qua điểm trung bình mơn Tốn thi THPT nhà trường qua năm Các kết phổ biến cộng đồng giáo viên Tốn thơng qua diễn đàn Giáo viên Tốn mạng xã hội, góp phần thầy giáo dạy Tốn nâng cao lực giảng dạy sáng tạo tập Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 62 Năm học Điểm trung bình mơn Tốn trường THPT chun Lê Hồng Phong Điểm trung bình mơn Tốn tỉnh Điểm trung bình mơn Tốn nước 2018-2019 2019-2020 2020-2021 7,96 8,79 8,56 6,52 7,63 7,42 5,64 6,66 6,61 (Bảng điểm trung bình mơn Tốn thi Tốt nghiệp THPT năm 2018-2021) Khả áp dụng nhân rộng: - Các nội dung sáng kiến áp dụng giảng dạy mơn Tốn cho học sinh 12 ôn thi TN THPT bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, trao đổi rộng rãi diễn đàn giáo viên Tốn Việt Nam - Có thể áp dụng sáng kiến (hoặc tương tự, mở rộng với chủ đề kiến thức khác) cho đối tượng học sinh lớp 12 THPT tồn quốc; cho thầy giáo dạy Tốn q trình dạy học IV CAM KẾT KHƠNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN: Chúng xin cam kết kết trình bày sáng kiến nghiên cứu qua trình dạy lớp 12, ơn thi TN THPT bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh Chúng không chép vi phạm quyền tác giả Nam Định, tháng 05 năm 2022 CÁC TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Phạm Bắc Phú Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Nguyễn Trung Sỹ C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 63 CƠ QUAN, ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (ghi rõ nhận xét, phạm vi ảnh hưởng hiệu áp dụng có đạt mức sở hay khơng, tính sáng kiến gì?) ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 64 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá, xếp loại) ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn