Skkn toán học thpt (8)

3 B.THỰC TRẠNG: Trong mơn Tốn trường phổ thơng tốn hình học khơng gian túy phong phú đa dạng mảng tập mà học sinh thấy khó khăn bối rối giải Để giải tốn hình học khơng gian túy xuất phát từ nhiều kiến thức khác giải nhiều phương pháp khác nhau, có phương pháp tọa độ hóa Phương pháp tọa độ hóa đặt hệ trục tọa độ thích hợp vào số hình chóp, hình lăng trụ để chuyển tốn hình học khơng gian túy (mà việc gặp nhiều khó khăn dựng hình, tính tốn với em học sinh) sang việc tính tốn dựa vào tọa độ Phương pháp chìa khố vạn việc tính tốn dài dịng phức tạp thực hữu ích cho nhiều học sinh mà việc nắm vững phương pháp cách giải hình học khơng gian cịn yếu tốn hình khơng gian thể tích khối đa diện, khoảng cách góc khó,về tốn cực trị hình học khơng gian, quỹ tích điểm… Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thông chất lượng thi học sinh giỏi thi THPT Quốc gia chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ Oxyz giải tốn hình học khơng gian” giúp em có thêm kỹ giải tốn góc, khoảng cách, thể tích khối đa diện, tốn cực trị hình học khơng gian từ vững vàng kỳ thi C CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM I Các kiến thức liên quan Véc tơ không gian a) Định nghĩa: u = ( x; y; z )  u = xi + y j + zk b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k  • a  b = (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) • ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 )  a1 = b1  • a = b  a2 = b2 a = b  • = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) • a phương b (b  0)  a = kb (k  ) a1 = kb1   a2 = kb2 a = kb  • a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3.b3 • a ⊥ b  a1b1 + a2b2 + a3b3 =  a1 a2 a3 = = , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 • a = a12 + a22 + a32 • a = a12 + a22 + a22 • cos(a , b ) = a.b = a b a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 (với a, b  ) Tọa độ điểm a) Định nghĩa: M ( x; y; z)  OM = x.i + y j + z.k Chú ý: (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) • M  (Oxy )  z = 0; M  (Oyz )  x = 0; M  (Oxz )  y = • M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) • AB = ( xB − xA ; yB − yA ; zB − z A ) • AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A )2  x A + xB y A + y B z A + z B  ; ;   2  • Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : M  • Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC :  x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  G A ; ;  3   • Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD :  x + xB + xC + xD y A + yB + yC + yD z A + z B + zC + zC  G A ; ;   4  Tích có hướng hai vectơ a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1; a2 ; a3 ) , b = (b1; b2 ; b3 ) Tích có hướng hai vectơ a b, kí hiệu  a, b  , xác định a  a , b  =   b2 a3 b3 ; a3 a1 b3 b1 ; a1 b1 a2 b2   = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )  Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất: • [a, b] ⊥ a; [a, b] ⊥ b •  a, b  = − b, a  • i , j  = k ;  j , k  = i ; k , i  = j • [a, b] = a b sin ( a , b ) • a, b phương  [a, b] = (chứng minh điểm thẳng hàng) c) Ứng dụng tích có hướng: •Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng  [a, b].c = =  AB, AD  •Diện tích hình bình hành ABCD : S •Diện tích tam giác ABC : SABC = •Thể tích khối hộp ABCDABCD : VABCD A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD] AA •Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = ABCD  AB, AC  [ AB, AC ] AD Phương trình tổng qt mặt phẳng • Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C  • Phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n = ( A; B; C ) khác VTPT là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = x a y b z c • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : + + = Ở ( ) cắt trục tọa độ điểm ( a;0;0) , ( 0; b;0) , ( 0;0;c ) với abc  Các cơng thức tính khoảng cách a) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( x A ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) là: AB = (x − x A ) + ( yB − yA ) + ( zB − zA ) B 2 b) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng  qua M , có véc tơ phương u điểm A u, AM   Khoảng cách từ A đến đường thẳng  tính cơng thức: d( A; ) =  u c) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = là: d M ,( P ) = ( ) Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo 1, 2 biết : +) 1 qua điểm M có véc tơ phương u1 +) 2 qua điểm N có véc tơ phương u2 Khoảng cách hai đường thẳng 1 2 tính cơng thức: d ( 1 , 2 ) = u1 , u2  MN u1 , u2  e) Khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng ( ) (với  / / ( ) ) d  ,( ) = d M ,( ) , M  ( ) ( ) ( ) Cơng thức tính góc a) Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng: 1 có véc tơ phương u1 = ( x1; y1; z1 ) 2 có véc tơ phương u2 = ( x2 ; y2 ; z2 ) Gọi  góc đường thẳng 1 2 Khi đó: Cos  = u1 u2 u1 u2 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = x + y12 + z12 x22 + y22 + z22 , (    90 ) b) Góc hai mặt phẳng Gọi  góc hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = (Q ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = ( ) cos  = cos nP , nQ = nP nQ nP nQ = A.A '+ B.B '+ C.C ' A2 + B + C A '2 + B '2 + C '2 , (    90 ) c) Góc đường thẳng mặt phẳng Cho: Đường thẳng  có véc tơ phương u = ( x; y; z ) Mặt phẳng ( ) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) Gọi  góc hai đường thẳng  ( ) Khi đó: sin  = u.n u.n = Ax + By + Cz A2 + B + C x + y + z2 , (    90 ) II Phương pháp Phương pháp Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp ( ý đến vị trí gốc O) Bước 2: Xác định tọa độ điểm có liên quan ( xác định tọa độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào: - Ý nghĩa hình học tọa độ điểm ( điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) 7 - Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song, phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn để tìm tọa độ - Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng - Dựa vào quan hệ góc đường thẳng mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán Một số dạng gắn hệ trục tọa độ Gắn tọa độ với hình chóp 1.1 Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác + Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB = a = + Tọa độ điểm là:   O ( 0;0;0 ) , A  0; ;0  ,     1  B  − ;0;0  , C  ;0;0  ,   2    S  0; ; OH   SA  Đáy tam giác vuông B Đáy tam giác cân A + Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a =1 B  O ( 0;0;0) , A ( 0; AB;0) , + Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a = + Tọa độ điểm là: + Tọa độ điểm là: O ( 0;0;0) , A ( −OA;0;0) , O ( 0;0;0) , A ( 0; OA;0) , B ( 0; OB;0) , C ( OC;0;0) , B ( −OB;0;0) , C (OC;0;0) ,   S  −OA;0; OH  SA     S  0; OA; OH  SA   Đáy tam giác vuông A + Chọn hệ trục hình vẽ, + Chọn hệ trục hình vẽ, a = a =1 + Tọa độ điểm là: + Tọa độ điểm là: Đáy tam giác cân B A  O ( 0;0;0) , B ( 0; OB;0) , Đáy tam giác thường + Dựng đường cao BO ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a =1   C ( BC;0;0 ) , S  0; AB; BH  SA   C ( AC;0;0 ) , S ( 0;0; SA) + Tọa độ điểm là: O ( 0;0;0) , A ( −OA;0;0) , B ( 0; OB;0) ,   C ( OC;0;0 ) , S  −OA;0; OH  SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật Đáy hình thoi + Chọn hệ trục hình vẽ, + Chọn hệ trục hình vẽ, a =1 a =1 + Tọa độ điểm là: + Tọa độ điểm là: A  O ( 0;0;0) , B ( 0; AB;0) , C ( AD; AB;0) , D ( AD;0;0) , S ( 0;0; SA) O ( 0;0;0) , A (OA;0;0) , B ( 0; OB;0) , C ( −OC;0;0) ,   D ( 0; −OD;0) , S  OA;0; OH  SA   Đáy hình thang vng + Chọn hệ trục hình vẽ, a =1 + Tọa độ điểm là: A  O ( 0;0;0) , B ( 0; AB;0) , C ( AH ; AB;0) , D ( AD;0;0) , S ( 0;0; SA) 1.2 Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác, mặt bên Đáy tam giác cân C Đáy hình vng, hình chữ tam giác thường (hoặc đều), mặt bên tam nhật giác cân S (hoặc đều) + Vẽ đường cao CO ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a = + Chọn hệ trục hình vẽ, a =1 + Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a =1 + Tọa độ điểm là: A  O ( 0;0;0) , C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an + Tọa độ điểm là: + Tọa độ điểm là: O ( 0;0;0) , A (OA;0;0) , O ( 0;0;0) , A ( 0; OA;0) , B ( 0; −OB;0) , C ( OC;0;0) , B ( 0; −OB;0) , C ( OC;0;0) ,   S  0; OH ; OK  SA     S  AH ;0; AK  SH   B ( AB;0;0) , C ( AB; AD;0) ,   D ( 0; AD;0 ) , S  AH ;0; AK  SH   1.3 Hình chóp Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác + Chọn hệ trục hình vẽ, a = + Tọa độ điểm là: + Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục hình vẽ, a = + Tọa độ điểm là:  AB  O ( 0;0;0 ) , A  0; ;0  ,    BC   BC  B− ;0;0  , C  ;0;0  ,      AB  S  0; ; OK  SH      AB  O ( 0;0;0 ) , A  ;0;0  ,    =OA       AB   − AB  B  0; ;0  , C  ;0;0  , 2     = OB    =− OA     − AB  D  0; ;0  , S ( 0;0; SO )   = OB   Gắn tọa độ với hình lăng trụ 2.1 Lăng trụ đứng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 10 Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục tọa độ hình vẽ với a = tọa độ điểm A  ( 0;0;0) , B ( 0; AB;0) , C ( AD; AB;0) , D ( AD;0;0) , Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình với O ( 0;0;0) , A ( −OA;0;0) , B ( 0; OB;0) , C ( OC;0;0) , A' ( 0;0;AA' ) , B' ( 0; AB;AA' ) , D ( 0; −OD;0) , A' ( −OA;0;AA' ) , B' ( 0; OB;AA' ) , C ' ( AD; AB;AA' ) , D' ( AD;0;AA' ) C ' ( OC;0; CC ' ) , D ( 0; −OD;DD' ) Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có  AB  O ( 0;0;0) , A  ;0;0  ,    AB  B− ;0;0  ; C ( 0; OC;0 ) ; A' (OA;0;AA' ) ,   Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = , tọa độ điểm là: O(0;0;0); A(OA;0;0) , B(−OB;0;0); C (0; OC;0) , A' (OA;0; AA ' ); B ' (−OB;0; BB ' ); C ' (0; OC; CC ' )  AB  B'  − ;0; BB'  ; C ' ( 0; OC; CC ' )   Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm cạnh tam giác đáy Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 11 - Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác - Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định định điểm O; A' ; B ' ; C ' ; A - Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA' = BB' = CC' điểm O; A' ; B ' ; C ' ; D ' ; A - Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA' = BB' = CC' = DD' III.Các dạng thường gặp: • Độ dài đoạn thẳng • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách hai đường thẳng • Góc hai đường thẳng • Góc đường thẳng mặt phẳng • Góc hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Bài tốn cực trị, quỹ tích IV MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH IV.1 HÌNH LĂNG TRỤ Dạng Hình lập phương Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M N trung điểm AD BB’ Tính thể tích khối tứ diện A ' CMN A a3 B a3 C a3 16 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a3 32 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 12 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, ta có: A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; a ) , B ' ( a;0; a ) , C ' ( a; a; a ) , D ' ( 0; a; a ) Thể tích khối tứ diện A ' CMN là: V =  a     a  A ' N , A ' M  A ' C     a      a  Ta có: N  a; 0;  , M  0; ;   A ' N =  a;0; −  , A ' M =  0; ; −a  , A ' C = ( a; a; −a ) 2 2   a2 a2  a3 a3   A ' N , A ' M  =  ; a2 ;    A ' N , A ' M  A ' C = + a3 − = a3     4 2  Vậy V = a3 = a3 ( dvtt ) Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.ABCD tích 27cm3 Tan góc tạo đường thẳng AC mặt phẳng ( BBDD) A B C D 2 Hướng dẫn B H A B C A D C z D I x A B C B y K D A C D Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta được: D(0;0;0); D(0;0;3) B(3;3;0); C (3;0;0); A(0;3;3) Ta có DB = (3;3;0); DD = (0;0;3); AC = (−3;3;3)  DB  DD = (9; −9;0) = 9(1; −1;0) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 13 Suy ( BBDD) có VTPT n = (1; −1;0) AC có VTCP u = (−1;1;1) Khi sin ( AC , ( BBDD) ) = Do + cot  = n.u = n u Đặt  = ( AC,( BBDD) ) 1  cot  =  tan  = 2 sin  Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M N trung điểm BC A’B’ Mặt phẳng (MND’) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, khối chứa điểm C gọi (H).Thể tích khối (H) A 55a 72 B 55a 144 C 181a3 486 D 55a 48 Hướng dẫn Thể tích khối lập phương a Mặt phẳng (MND’) cắt DC E thỏa mãn EC = DC ; cắt BB’ P cho BP = BB ' Khi V( H ) = VC '.D ' NPME + VC '.CME + VC '.B ' PN VB '.C ' NP = a 2a a a = ; 18 VC C ' ME = a a a3 a = 48 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, lấy đơn vị trục đơn vị a Ta có C (0;0;0); C '(0;0;1); E  ;0;0  ; M  0; ;0  ; R  0;0; −  ; Q  − ;1;0  ; D ' (1; 0;1) 4      Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn    C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 14 Phương trình mặt phẳng (MND’) : x y z 29 + + =  x + y − 3z =  d (C '; ( MND ') ) = 1 29 − 29 29 11 29 − = 12 48 11 VC '.D ' NPME = d ( C '; ( MND ') ) SMPND ' E = a3 36 55 V( H ) = a 144 SMDND ' E = SEQND ' − SPMQ = Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh Gọi M ;N ;P ;Q trung điểm AB;BC ; C’D’ ; DD’ Gọi thể tích khối tứ diện MNPQ phân số tối giản a Tổng a + b b A C 13 B 25 D 11 Hướng dẫn Thiết lập hệ trục tọa độ hình vẽ, gốc tọa độ điểm B(0 ;0 ;0) Khi Suy 1   1     M  0; ;1 ; N  ;0;1 ; P 1; ;0  ; Q 1;1;  2   2     1   1 MN =  ; − ;0  ; MP = (1;0; −1) ; MQ = 1; ; −  2   2 1 VMNPQ =  MN ; MP  MQ =  a = 1; b = 12  a + b = 13 12 Dạng Hình hộp chữ nhật Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 15 Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a; AD = 2a; AA = 4a Góc tạo mặt phẳng (C BD) mặt đáy A arccos 21 22 B arccos 21 42 C arccos 21 21 D arccos 21 12 Hướng dẫn B z C A B C A D B y C H D B C A A D x D Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có C (0;0;0); D(a;0;0); B(0; 2a;0); C (0;0; 4a) Ta có ( ABCD)  (Oxy)  ( ABCD) : z = Lại có CB = (0;2a; −4a); CD = (a;0; −4a)  CB  CD = (−8a2 ; −4a2 ; −2a2 ) = −2a2 (4;2;1) Suy ( ABCD) có VTPT n = (0;0;1) (C BD) có VTPT n = (4;2;1) Khi cos ( (C BD), ( ABCD) ) = n.n n n = 21 Vậy ( (CBD),( ABCD) ) = arccos 21 21 Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB = AD = a, AA ' = b Gọi M trung điểm cạnh CC’ Thể tích khối tứ diện BDA ' M A V = a2 b B V = a2 b C V = a2 b D V = a2 b 16 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ có gốc O  A  b A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; b ) , C ' ( a; a; b ) , M  a; a;  2  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Khi C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 16 =  BD , BM  BA '  6 Thể tích khối tứ diện BDA ' M là: VBDA ' M b   ab ab  Trong đó: BD = ( −a; a;0 ) , BM =  0; a;    BD, BM  =  ; ; −a2    2 2    3a2 b BA ' = ( − a; 0; b )   BD, BM  BA ' = −   Vậy V = a2 b Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 3a, AD = 5a , góc tạo DB mặt đáy 450 Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng chéo BD BM A a 661 20 20a 661 B a 661 30 C D 30a 661 Hướng dẫn D C A D B D A K N C y B M B A Chọn hệ trục toa độ hình vẽ : B(0;0;0); M( Có BD = (3a; 4a;0); BM = ( x D E A B C M C z 3a ;0;0); B(0;0;5a); D(3a; 4a;0) 3a 3a ;0;5a); BM = ( ;0;0) 2 Ta có : BD  BM = (20a2 ; −15a2 ;6a2 ); ( )  BD  BM = a 611; BD  BM BM = 3a Khi d ( BD, BM ) = ( BD  BM ) BM BD  BM = 30a 661 2a Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD Biết khoảng cách AB BC 2a a , khoảng cách BC AB , khoảng cách AC BD Gọi M trung điểm BC Tan góc tạo hai mặt phẳng ( BMD ) ( BAD ) A tan  = B tan  = 5 C tan  = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D tan  = C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 17 Hướng dẫn Đặt BA = x, BC = y , BB  = z Gọi O tâm ABCD Ta có AB // ( B DC )  d ( AB , BC ) = d ( AB, ( BDC ) ) = d ( B , ( BDC ) ) Ta dễ dàng chứng minh ( BDC ) ⊥ ( BBCC ) cắt theo giao tuyến BC Kẻ BK ⊥ BC  BK ⊥ ( BDC ) , hay d ( AB , BC ) = BK = Xét BBC vuông B , ta có 2a 1 1 = +  + = (1) BK BC BB2 y z 4a Lại có BC // ( B AD )  d ( BC , AB) = d ( BC, ( BAD ) ) = d ( B, ( BAD ) ) Ta dễ dàng chứng minh ( BAD ) ⊥ ( BBAA) cắt theo giao tuyến AB Kẻ BH ⊥ AB  BH ⊥ ( BAD ) , hay d ( BC , AB) = BH = 2a 1 1 = +  = + (2) Xét BBA vuông B , ta có 2 BH BA BB 4a x z Từ (1) (2) , suy x = y , hay ABCD hình vng Ta dễ dàng chứng minh AC ⊥ ( BBDD ) Kẻ OI ⊥ BD , suy AC ⊥ OI , hay OI đoạn vng góc chung AC BD , suy d ( AC, BD) = OI = a 2a Trong ( BBDD ) , kẻ DJ / /OI ( J  BD)  DJ = 2OI = ( OI đường trung bình BDD ) Xét BDD vng D , ta có 1 1 = +  = + (3) 2 2 DJ BD DD 4a 2x z Giải (2), (3) ta x = a, z = 2a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 18  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với : B ( 0;0;0) , B ( 0;0;2) , C (1;0;0) , A ( 0;1;0) , D (1;1;0) , M trung điểm BC , suy M  ;0;1 2  +) Ta có BA = ( 0;1; −2) , BD = (1;1; −2) ,  BA, BD  = ( 0; − 2; − 1) Suy mặt phẳng ( BAD ) có véctơ pháp tuyến n = ( 0;2;1) 1 +) Ta có BM =  ;0;1 , BD = (1;1;0) ,  BM , BD  =  −1;1;  2 2   Suy mặt phẳng ( BMD ) có véctơ pháp tuyến n = ( −2;2;1) Gọi  góc tạo hai mặt phẳng ( BMD ) ( BAD ) , ta có: cos  = | n.n | | n |  n = 2 5  sin  =  tan  = = 5.3 Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng cạnh m ; AA ' = n m + n = Gọi M trung điểm cạnh CC ' Giá trị lớn thể tích khối tứ diện BDA ' M A 125 B 27 64 27 C 245 108 D Hướng dẫn ^ z D' A' C' B' M A D B > y C x Chọn hệ trục hình vẽ với A(0;0;0) B ( m;0;0) , D ( 0; m;0) , A ' ( 0;0; n ) suy M  m, m,  n   Ta có: A ' B = ( m;0; −n ) A ' D = ( 0; m; −n ) Suy ra:  A ' B, A ' D  = ( mn; mn; m2 ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn gốc tọa độ ta có C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 19 −n   Ta lại có: A ' M =  m; m;    Thế tích BDA ' M VBDA ' M =  A ' B, A ' D  A ' M = m2 n + m2 n − m n = m2 n  6 4 Mà m + n = suy VBDA' M = m2 ( − m ) = Xét hàm số y = Ta có: y ' = −m3 + 5m2 ) ( −m3 + 5m2 ) với m  ( 10 −3m + 10m ) Cho y ' = suy m = 0; m = ( Căn bảng biến thiên Ta giá trị lớn nhât thể tich 125 10 m = 27 Dạng Hình hộp đứng đáy hình thoi Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a góc BAD = 60 Gọi M , N trung điểm cạnh A ' D ' A ' B ' Khoảng cách hai đường thẳng A ' C MN AB = AD = a, AA ' = A a 15 10 B a 15 C a 15 20 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a 15 15 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chọn hệ trục độ tọa Oxyz hình vẽ Khi ta 20 có: a   a a 3  a a a 3  a a a 3 C ;0;0  , A '  − ;0; ; ; ;− ; , M  − , N  −       4              a  a 3 A ' C =  a 3;0; −   vtcp u1 = ( 2;0; −1) MN =  0; ;0   u2 = ( 0;1;0 )      d ( MN , A ' C ) = u1 , u2  A ' M u1 , u2  = a 15 20 Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi, tam giác ABD Gọi M , N trung điểm cạnh BC C’D’; biết MN ⊥ B ' D Gọi  góc tạo đường thẳng MN mặt đáy (ABCD), cos bằng: A B C 10 D Hướng dẫn Chọn AB =  BD = 2; AC = Đặt A ' A = h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ta có ( ) ( ) D (1;0;0 ) ; B ( −1;0;0 ) C 0; 3;0 ; D ' (1;0; h ) ; C ' 0; 3; h ; B ' ( −1;0; h )   1   M  − ; ;0  ; N  ; ; h  , MN = (1;0; h ) ; B ' D = ( 2;0; −h )  2  2  ( Do MN ⊥ B ' D  MN B ' D =  − h =  h =  MN = 1;0; ( ) ) Ta có: MN có vtcp u = MN = 1;0; , (ABCD) có vtpt n = j = ( 0;0;1) ( ) sin  = cos u; n = u.n u n =  cos = − sin  = 3 Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi, AA' = , tam giác ABC cạnh Gọi M , N, P trung điểm cạnh B ' C ' C ' D ' ; DD ' ; Q thuộc Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 21 cạnh BC cho QC = 3QB Thể tích tứ diện MNPQ A 3 B 3 C D Hướng dẫn Gọi O O’ tâm hai đáy ABCD, A’B’C’D’ Tam giác ABC cạnh 4, O trung điểm BC nên OB = 3; OC = Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, tia Ox trùng với tia OC, tia Oy trùng với tia OB, tia Oz trùng ( ) 3; ) ; P ( 0; −2 3;1) ( ) ( với tia OO’ Khi C ( 2;0;0 ) ; B 0; 3;0 ; C ' ( 2;0;0 ) ; D 0; −2 3;0 ; D ' 0; −2 3; ( ) ( Suy M 1; 3; ; N 1, − )   MN = 0; −2 3;0 ; MP = −1; −3 3; −1 ; MQ =  − ; ; −2    MN , MP  = 3;0; −2 ;  2  ( VMNPQ = ) ( ) ( )  MN , MP  MQ =   DẠNG 4: Lăng trụ đứng có đáy tam giác vng Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân, AA ' = 2a, AB = AC = a Gọi G, G ' trọng tâm tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' I tâm hình chữ nhật AA ' B ' B Khoảng cách hai đường thẳng IG G 'C A 2a 41 B a 41 C 3a 41 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 4a 41 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 22 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ A  O ( 0;0;0 ) Khi đó: B ( a;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , a a  a a  a  A ' ( 0;0;2a ) , B ' ( a;0;2a ) , C ' ( 0; a;2a ) , G  ; ;  , G '  ; ;2a  , I  ; 0; a  ( I 3  3  2  I’ trung điểm AB’ A’B)  a a   a 2a   a 2a   IG =  − ; ; −a  , G ' C =  − ; ; −2a  , GC =  − ; ;     3   3  Ta thấy IG; G ' C phương nên IG//G’C d ( IG, G ' C ) = d ( G, G ' C ) =  d ( IG, G ' C ) = 2a G ' C , GC    G 'C  4a 2a  ; ;0 Ta có G ' C, GC  =     3  41 Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AC = Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng ( AACC ) góc 45 tạo với mặt phẳng đáy góc  Gọi M , N trung điểm cạnh BB, AC  Khoảng cách hai đường thẳng MN AC cho sin  = A B 3 C Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 23 ) ( ) ( Ta có BC ', ( AA ' C ' C ) = AC ' B = 45 BC ', ( ABC ) = CBC ' =  Gọi AB = x Có sin  = 2 CC CC  AB AB  BC = ; sin 45 =  CC  = AB = x  BC  = 3 BC  BC 2 Chọn hệ trục Oxyz , có gốc tọa độ trùng với A , Ox chứa AB , Oy chứa AC , Oz chứa Pytago ACC , ta x = AA  Có A ( 0;0;0 ) , C   0; 2;  6  5 5 5 ;0;  , M   , N  0;1;        5   5 5 MN =  − ;1;  , AC ' =  0; 2;  , AN =  0;1;  5       Suy d ( MN , AC ') =  MN , AC  AN   =  MN , AC    Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC với đáy ABC tam giác vng C có AB = 8cm BAC = 600 ,diện tích tam giác ACC  10cm2 Tan góc tạo hai mặt phẳng (C AB) ( ABC ) A B C Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an A C z A 24 C B B y A C H C A x B B Chọn hệ trục toa độ hình vẽ Khi ta có C(0;0;0); A(0;4;0)B(4 3;0;0); C(0;0;5) Ta có ( ABC )  (Oxy)  ( ABC ) : z = Lại có CA = (0;4; −5); CB = (4 3;0; −5)  CA  CB = (−20; −20 3; −16 3) Suy (C AB) có VTPT n = (5;5 3;4 3) ( ABC ) có VTPT n = (0;0;1) Khi cos ( (C AB), ( ABC ) ) = ADCT + tan  = n.n n n = 37  tan ( (CAB),( ABC) ) = cos  Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC tam giác vuông A AB = 1, AC = Gọi  góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng ( ABC ) có số đo lớn Biết sin  = A 11 p ( với p, q nguyên tố ) Giá trị tổng p + q q B C Hướng dẫn Giả sử AA = m (m  0) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 25 A(0;0;0), B(1;0;0), C (0; 2;0), C (0; 2; m), A(0;0; m) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z + + =  2mx + my + z − 2m = m  véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) là: n(2m; m;2) BC(−1;2; m) véc tơ phương đường thẳng BC sin  = cos(n; BC ) = 2m 5m2 + m2 + = 2m (5m4 + 20) + 29m2 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số 5m 20 : sin   2m 5m 20 + 29m = 2m 20m + 29m 2 = Dấu “=” xảy 5m4 = 20  m = Vậy p = 2, q =  p + q = Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác vuông cân, AA = 2a , AB = AC = a Gọi G G trọng tâm tam giác ABC tam giác ABC , I tâm hình chữ nhật ABBA Thể tích khối A.IGCG A a3 B a3 C a3 D a3 30 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O trùng với điểm A , tia Ox , Oy , Oz trùng với tia AB , AC AA Suy A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A ( 0;0;2a ) , B ( a;0;2a ) , C ( 0; a;2a ) , a a  a a a   G  ; ;0  , G  ; ;2a  , I  ;0; a  (vì I trung điểm AB AB ) 3 3       a a a 2a Ta có IG =  − ; ; −a  GC =  − ; ; −2a  Suy IG GC phương    3  Do bốn điểm I , G , C , G đồng phẳng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 26 a 2a Mặt khác GC =  − ; ;0   3   4a 2a  ; ;0  nên mặt phẳng ( IGCG) có véc-tơ pháp tuyến n = ( 2;1;0) Vì GC , GC  =    Vậy phương trình mặt phẳng ( IGCG) : x + y − a = Suy h = d ( A, ( IGCG ) ) = −a +1 = a Diện tích tứ giác IGCG S IGCG = ( IG + GC ) d ( IG, GC ) GC , GC  a 41 a 41     d IG , G C = d G , G C = ) ( )  Trong IG = , GC = , ( GC  4a 2a  Vì GC , GC  =  ; ;0  nên d ( IG, GC ) = 2a  3  41  a 41 a 41  a2 + = Suy S IGCG =   2a 2  41 1 a2 5 a3  V = S d A , IGCG = a Thể tích cần tìm A.IGCG ( )) = ( IGCG 3 DẠNG 5: Lăng trụ đứng có đáy tam giác Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a, có AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi D trung điểm BB1 Lấy điểm M di động cạnh AA1 Giá trị lớn diện tích tam giác MC1D A SMC D = 3a B SMC D = 5a C SMC D = Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn a2 42 a2 15 D SMC1D = 4 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho: O  A ( 0;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) , A1 ( 0;0;2a ) 27 a a  C1  ; ;2a  D ( 0; a; a ) Do M di động AA1 có tọa độ M ( 0; 0; t ) với t   0;2a   2    1 DC , DM   2 Ta có: SDC M = a a  a DC1 =  ; − ; a  , DM = ( 0; −a; t − a )   DC, DM  = − t − 3a; ( t − a ) ; a    2   ( a   DC; DM  =   ( t − 3a ) a 4t − 12at + 15a + ( t − a ) + 3a = a SDC M = 4t − 12at + 15t 2 f  ( t ) = 8t − 12a, f  ( t ) =  t = ) f ( t ) = 4t − 12at + 15a2 , t  0;2a  Xét Ta có a2 15 3a  Smax = Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh bên 2a , góc tạo AB mặt đáy 60 Gọi M trung điểm BC Côsin góc tạo đườngthẳng AC AM A B C D Hướng dẫn z A C A C N B B y C A N C A M M B B Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó: M (0; 0; 0); A(0; a; 0); C ( Ta có AC = (− a 4a ; a; 2a)  AC = ; AM = (0; a;0)  AM = a 3 Khi có cos ( AC , AM ) = x AC AM AC AM = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn a ; 0; 0); A(0; a ; 2a ) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ có O  M Khi đó:  a a   a  a   a   a a M ( 0;0;0 ) , A  − ;0;0  , B  ;0;0  , C  0; ;0  , A '  − ;0; tan   , B '  ;0; tan      2  2   2        ,  a a a a a   C '  0; ; ; tan   Ta có: AB = ( a;0;0 ) , AC ' =  ; tan    2   2     a a a  A ' B ' = ( a;0;0 ) , A ' C =  ; ;− tan   2      a2 a2    AB, AC ' =  0; − tan  ;    2       a2  a     A ' B ', A ' C  =  0; tan  ;      véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng là:  AB, AC ' = ( 0; − tan  ;1)  a2   n2 = A ' B ', A ' C  = ( 0; tan  ;1)  a  n1 = ( ABC ') ⊥ ( A ' B ' C ')  n n =  − tan2  + =  tan  = ( 0    90 )   = 45 DẠNG 6: Lăng trụ đứng có đáy tam giác cân Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB = AC = a , góc ABC = 30 , góc đường thẳng AB mặt phẳng ( ABC ) 450 Gọi M , N trung điểm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an BC CC Cosin góc mặt phẳng ( AMN ) mặt phẳng ( ABC ) A B C 13 D Hướng dẫn z A' C' M B' N x A C H y B Ta có ( AB, ( ABC ) ) = ( AB, AB ) = ABA = 45 nên AAB vuông cân A  AA = AB = a Gọi H trung điểm BC  AH ⊥ BC  AH = AB.sin 30 = a BC = 2BH = AB2 − AH = a Lại có M , H trung điểm BC BC  MH = BB = AA = a; MH // BB  MH ⊥ ( ABC ) a 2   Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ có H  O , suy H ( 0;0;0) , A  ;0;0  ,    a  a a a  B  0; ;0  , M ( 0;0; a )  C  0; − ;  ;0  , N  0; − 2        a2 a2 a2   a a a  a   AM  − ;0; a  , AN  − ; − ;− ; ;    AM , AN  =   2 4        −1 3  ( AMN ) có VTPT n =  ; ;   4  Ta có HM = ( 0;0;a ) , HM ⊥ ( ABC )  ( ABC ) có VTPT n1 = ( 0;0;1) Gọi  góc mặt phẳng ( AMN ) mặt phẳng ( ABC ) từ cos  = n.n1 n n1 = 2    2     +−  +     4   = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 29 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 DẠNG 7: LĂNG TRỤ XIÊN Ví dụ Cho lăng trụ ABC.ABC có tam giác ABC cạnh 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm M BC Biết góc tạo AB mặt đáy 60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ABC ) A a B 2a C 2a 39 13 a 39 13 D Hướng dẫn Góc AB mặt phẳng ( ABC ) góc ABM = 60 Ta có AM = BM tan 60 = a ; AM = AB.sin 60 = 2a Đặt hệ trục toạ Oxyz hình vẽ Coi a = A ( ( ) ( =a ) 3;0;0 , B ( 0;1;0) , C ( 0; −1;0) , ( ) ) A 0;0; Gọi B ( x0 ; y0 ; z0 ) , AB = x0 ; y0 ; z0 − , AB = − 3;1;0  x0 = −   B − 3;1; Vì AB = AB nên  y0 =   z0 = ( ( Ta có AB = ( −2 ) )       AC , AB = − 3;3; −3  n = 1; − 3;3 vec tơ pháp 3;1;   AC = − 3; −1;0 ( ) ) ( ) tuyến mp ( ACB) Phương trình mp ( ACB) x − y + 3z − =  d ( B, ( ACB) ) = − 3− 1+ + = 39 2a 39 Vậy khoảng cách từ B đến mp ( ABC ) 13 13 Ví dụ Cho lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính góc hai mặt phẳng ( BCCB) ( ABC ) là: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 A arctan B arctan C arctan D arctan Hướng dẫn z A A C B H B x C A C F C H H B x B K E Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: H ( 0;0;0) ( ) ( B ( a;0;0 ) , A ( −a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , A 0;0; a ) Mặt phẳng ( ABC ) : z = có vtpt k = ( 0;0;1) Mặt phẳng ( BCB) có vtpt: n = BC  BB = a cos ( ( BCC B ) , ( ABC ) ) = Vậy n.k = n.k ( ) 3;1; −1  tan ( ( BCCB) , ( ABC ) ) = (( BCCB) , ( ABC )) = arctan Ví dụ Cho lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O có AB = a, BC = 2a Gọi H , M trung điểm OA, AA Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với điểm H Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( CDDC) A 29 a 13 B 85 a 17 C 285 a 19 D 21 a Hướng dẫn A D M B D A C B C M z A D A H B C K D H I O y E B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C x C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:  a 3a  B ( 0;0;0 ) , A ( 0; a;0) , C ( 2a;0;0) , D ( 2a; a;0 ) , H  ; ;0  2   a 3a 15   a 7a 15   5a a 15  A  ; ; a  , M  ; ; a  Vì CC  = AA  C   ; − ; a ; 4  2 4  4 8   a a Ta có: CD = ( 0; a;0) ; CC  =  ; − ; 2 Vậy d ( M , ( CDDC  ) ) =  7a 7a 15  15  a  ; MC =  ; − ; − a   8   ( CD  CC ) MC CD  CC  = 285 a 19 Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy tam giác cạnh a Gọi M trung điểm AB, A ' CM cân A’ nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích khối lăng trụ A a 57 19 a3 Khoảng cách hai đường thẳng AB CC’ B 2a 57 19 C 2a 39 13 D 2a 39 Hướng dẫn Gọi H trung điểm MC  A ' H ⊥ MC  A ' H ⊥ ( ABC ) Ta có V = A ' H SABC  A ' H = V SABC =a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho :  a   a  a   a  O  M (0;0;0); A  − ;0;0  ; B  ;0;0  ; C  0; ;0  ; Mz / / A ' H  A ' =  0; ; a    2      Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 Ta có  a 3a  CC ' = AA '  C '  ; ; a  2  a a  a a  AB = ( a;0;0 ) ; CC ' =  ; ;0  ; AC =  ; ;0  2  2  Vậy d ( AB, CC ') =  AB; CC ' AC 2a 57   = 19  AB; CC '   IV.2 HÌNH CHĨP Dạng Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , AC = AD = ( cm) , AB = ( cm) BC = ( cm) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) A 12 34 B 34 C 34 12 D 34 Hướng dẫn Tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = nên tam giác ABC vuông A Do tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC , AD đơi vng góc Chọn hệ trục hình vẽ Khi đó: A ( 0;0;0) , B (3;0;0) , C ( 0;4;0) , D ( 0;0;4) x y z Phương trình mặt phẳng ( BCD ) : + + =  x + y + 3z − 12 = Vậy d ( A, ( BCD ) ) = 4.0 + 3.0 + 3.0 − 12 16 + + = 12 34 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc mặt bên ( SBC ) với mặt phẳng đáy 45 Gọi M , N Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 trung điểm AB SB Khoảng cách hai đường thẳng MD CN là: A a B a 21 C 2a D 2a 21 21 Hướng dẫn z S N A O M 45° B y D x C Gọi  hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD )  BC ⊥ AB  BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SA Ta có BC = ( SBC )  ( ABCD )  Suy  = ABS = 45 Do SAB vuông cân A nên SA = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) cho A  O(0;0;0), D ( a;0;0) B ( 0; a;0) ; S ( 0;0; a ) Khi C ( a; a;0) , N  0; ;  , M  0; ;0  2 a a  a      −a   MD =  a; ;0    a2 a2      MD; NC  =  ; ; a       a −a     Suy  NC =  a; ;     2   a  CD = ( 0; −a;0 )  CD  MD; NC  =    d ( MD, NC ) = CD  MD, NC   MD, NC    = a3 a 21 = 2a 21 21 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a , cạnh bên SA = 10a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng ( AMC ) ( SBC ) A B C D Hướng dẫn Chuẩn hóa với a = Xét hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ sau: z S (0;0;10) (0; ;5) M B (5;0;0) A≡O x (0;5;0) D C (5;5;0) y Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ   A ( 0;0;0) ; D ( 0;5;0 ) ; B (5;0;0 ) ; C (5;5;0 ) ; S (0;0;10 ) ; M  0; ;5    BC = ( 0;5;0 ) , BS = ( −5;0;10 )  BC , BS  = ( 50;0; 25 )  véctơ pháp tuyến ( SBC ) n1 = ( 2;0;1)     AC = ( 5;5;0) , AM =  0; ;5    25  AC, AM  =  25; − 25;   véctơ pháp tuyến ( AMC ) n2 = ( 2; − 2;1)    2 Gọi  góc hai mặt phẳng ( AMC ) ( SBC ) cos  = n1.n2 n1 n2 = Suy ra: tan  = 2.2 + ( −2 ) + 1.1 22 + 02 + 12 22 + ( −2 ) + 12 = 5 1 −1 = −1 = 2 cos      3  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) SA = Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng ( SMC ) vng góc với mặt phẳng ( SNC ) Thể tích khối chóp S AMCN đạt giá trị nhỏ A +4 B −8 C − Hướng dẫn D −4 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , D ( 0;2;0) , S ( 0;0;2) , suy C ( 2;2;0 ) Đặt AM = m , AN = n , m, n 0;2 , suy M ( m;0;0) , N ( 0; n;0) SM = ( m;0; −2 ) , SC = ( 2;2; −2) , SN = ( 0; n; −2 )  n( SMC ) =  SM , SC  = ( 4; 2m − 4; 2m ) , n( SNC ) =  SN , SC  = ( − 2n; −4; −2n ) Do ( SMC ) ⊥ ( SNC ) nên n( SMC ) n( SNC ) =  ( − 2n ) − ( 2m − ) − 4mn =  mn + ( m + n ) = ( m + n) + m + n −  m+n ( )  + ( m + n ) nên ta có   Mặt khác mn + ( m + n )   m + n  −  Do m, n  nên m + n  −  m + n  −4 − S AMCN = S ABCD − SBMC − SDNC = − ( − m) − ( − n ) = m + n  − −8 VS AMCD = SA.S AMCN = ( m + n )  3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 −8 Vậy thể tích nhỏ khối chóp S AMCN Ví dụ Cho khối tứ diện ABCD có BC = , CD = , ABC = BCD = ADC = 900 Góc hai đường thẳng AD BC 60 , cô-sin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACD ) A 43 86 B 43 43 C 43 43 D 43 43 Hướng dẫn Dựng AH ⊥ ( BCD ) , H  ( BCD )  BC ⊥ AB ( gt )  BC ⊥ BH  BC ⊥ AH Ta có:  CD ⊥ AD ( gt )  CD ⊥ DH  CD ⊥ AH Suy tứ giác HBCD hình chữ nhật Do BH = CD = , DH = BC = AHD vuông Xét tam giác ADH = ( AD, DH ) = ( AD, BC ) = 60 suy H có AH = DH tan 60 = 3 Gắn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ ( ) Khi đó: A 0;0;3 , B ( 4;0;0 ) , C ( 4;3;0 ) , D ( 0;3;0 ) , ( ) ( )  BA = −4;0;3   BA  BC = −9 ;0; − 12  VTPT ( ABC ) n1 = 3 ;0;   BC = ( 0;3;0 ) ( ) (  DA = 0; − 3;3   DA  DC = 0;12 ;12  VTPT ( ACD ) n2 = 0; ;1   DC = 4;0;0 ( )  ( ( ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACD ) ( ) Khi cos  = cos n1 , n2 = n1.n2 n1 n2 = 43.2 = 43 43 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn ) ) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A AB = a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi D, E, F điểm đối xứng A qua C , S qua B A qua mặt phẳng ( SBC ) Thể tích khối tứ diện ADEF : A 2a B 3a3 C a3 3a3 D Hướng dẫn Ghép hệ trục tọa độ Oxyz với tọa độ điểm sau: A ( 0;0;0) , B (1;0;0) , C ( 0;1;0) , S ( 0;0;1) Theo giả thiết, ta có: D điểm đối xứng A qua C  D ( 0;2;0) E điểm đối xứng S qua B  E ( 2;0; −1) Gọi H trực tâm tam giác SBC nên ta chứng minh AH ⊥ ( SBC )  F điểm đối xứng A qua H Mà SA = AB = AC = a SB SC BC a Tam giác SBC tam giác H vừa trực tâm, vừa trọng tâm tam giác SBC Ta có: AD AD, AE VADEF 0;2;0 , AE 2;0; , AF 2 ; ; 3 2;0; AD, AE AF 3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn H 1 ; ; 3 F 2 ; ; 3 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Dạng Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với ( ABCD ) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( SAB ) A ( SCD ) 21 B 15 15 C D Hướng dẫn z S D A y O B C x Gọi O trung điểm AB Ta có : ( SAB )  ( ABCD ) = AB   SO ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  SO ⊥ AB  Khơng tính tổng quát, chuẩn hóa a = Chọn hệ trục ( Oxyz ) hình vẽ  3 Ta có : S  0;0;  , A  − ;0;0  , B  ;0;0  , C  ;1;0  , D  − ;1;0   2     2    1 1 Mặt phẳng ( SAB ) có phương trình y =  j = ( 0;1;0 )   Mặt phẳng ( SCD ) có vectơ pháp tuyến n =  SC , SD  =  0; ;1   Cosin góc tạo hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) : cos ( ( SAB ) , ( SCD ) ) = jn jn = 21 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 10 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC, SD Cơsin góc hai mặt phẳng ( GMN ) ( ABCD ) A 39 39 B C 39 13 D 13 13 Hướng dẫn Gọi O trung điểm AB Do tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc ( ABCD ) nên SO ⊥ ( ABCD ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Vì kết tính góc khơng phụ thuộc vào a nên ta chọn a = ( ) Khi đó: S 0;0; ; A ( −1;0;0 ) ; B (1;0;0 ) ; C (1; 2;0 ) ; D ( −1; 2;0 )  1  3 3 3  G  0;0;  ; M  ;1;  ; N  − ;1;      2   1 3 GM =  ;1;      2   GM , GN  =  0; − ;1      GN =  − ;1;     Ta có mặt phẳng ( ABCD ) có vecto pháp tuyến k = ( 0;0;1)   Mặt phẳng ( GMN ) có vecto pháp tuyến n = GM , GN  =  0; − ;1   Gọi  góc hai mặt phẳng ( GMN ) ( ABCD ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 Ta có: cos  = n.k = n.k  3 −  +1   = 39 13 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm I AB Gọi H , K trung điểm DC SB , biết SH = A a Khoảng cách HK SC 15 B C 15 D 10 Hướng dẫn z S K D A H I B C x Đặt AB = x 2 a 7 x 3 Ta có SH = SI + IH    =   + x  x = AB = a 2     2 Chuẩn hóa a = Chọn hệ toạ độ Oxyz cho  3 O  I ( 0;0;0) , B  ;0;0  , C  ;1;0  , S  0;0;   2 2    1 3  H (0;1;0) , K  ;0;   4 1 1  3 3 3 HK =  ; −1;  , SC =  ;1; −  , HS =  0; −1;     4 2  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn y C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42  3 3 3 3  HK , SC  =       ; ;  ,  HK , SC  HS = + ( −1) + =   d ( HK , SC ) =  HK , SC  HS   = 10  HK , SC    Dạng Hình chóp Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC Biết MN = a , tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SBD ) A B C D Hướng dẫn Gọi I hình chiếu M lên ( ABCD ) , suy I trung điểm AO Khi CI = AC = 3a Áp dụng định lý cosin ta có: NI = CN + CI − 2CN CI cos 45o = a 9a a 3a 2 a 10 + − = 4 2 Do MIN vuông I nên MI = MN − NI = Mà MI / / SO, MI = SO  SO = 3a 5a a 14 − = a 14 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43       Khi ta có tọa độ điểm: O ( 0;0;0 ) , B  0; ;  , D  0; − ;0  , C  ; 0;  , 2        2      14  14  N  ; ;0  , A  − ; 0;  , S  0;0; ;0;  , M  −     4         2 2 14  14  14  ; ;− ;− ;−  , SB =  0;  , SD =  0; −  2       Khi MN =  ( ) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( SBD ) : n =  SB , SD  = − ;0;0 Suy sin ( MN , ( SBD ) ) = MN n ( ) − = MN n = Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân với ASB = 120 nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Khoảng cách hai đường thẳng AM , BN A a B 237a 79 C 2a D Hướng dẫn z S M N C A y H B x Gọi H trung điểm AB Vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với O  H , HB  Ox , HC  Oy , HS  Oz Ta có : HC = AC − AH = 3a ; SH = AH = a tan ASH Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 237a 79 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ( ) ( 44 ) 3a a H ( 0;0;0) , S ( 0;0; a ) , A −a ;0;0 , B a ;0;0 , C ( 0;3a ;0 ) , M  0; ;  ,  2 9a a  3a a     9a a  N  0; ;   AM =  a ; ;  , BN =  −a ; ;  , 4 2    4  3a 3a 15 3a   AM , BN  =  −    ; − ;    3a3 237a = 79 711a Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = 2a , AB = a Gọi M trung điểm cạnh  AM , BN  AB   = Khoảng cách AN , BN : d ( AM , BN ) =  AM , BN    BC Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng ( SAB ) A a 165 30 B a 163 30 C a 161 30 D 2a 21 21 Hướng dẫn Gọi O hình chiếu S ( ABC ) , ta suy O trọng tâm tam giác ABC Do M trung điểm BC nên AM = a a a Suy OA = OM = Xét tam giác SOA vuông O , ta có SO = SA2 − OA2 = 4a − a a 33 = 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ, ta được: a    a  a 33  ; 0;  , S  0; 0; ;0;0  O ( 0;0;0) , A   , M  −       Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45  a a  a  a  ; − ;0  ; ;0  , C  − Suy B  − 6     a ;0; − Ta có SA =    a a a 33  a 33  ; ;−  , SB =  −      a 33 a 11 a  ; ;    Suy n( SAB ) =  SA; SB  =  Phương trình măt phẳng ( SAB ) Suy d ( M , ( SAB ) ) = 33 11 a 11 x+ y+ z− = 6 33 − a a 11  − 6 33 11 + + 36 36 = a 165 30 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm cạnh SB SC Biết mặt phẳng ( AMN ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Diện tích tam giác A 4a 10 B AMN a 13 16 C 2a D a 10 16 Hướng dẫn Gọi O hình chiếu S ( ABC ) , ta suy O trọng tâm tam giác ABC Gọi a a a , OI = Suy OA = Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ Đặt SO = h , I trung điểm BC , ta có AI = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 a   a  ;0;0  , I  − ;0;0  ta O ( 0;0;0 ) , S ( 0;0; h ) , A       a a  a  a   a a h  a a h ; − ;  ; − ;0  , M  − ; ;  , N  − ; ;0  , C  − Suy B  − 6  2     12  12  Ta có  a a  5a a h   5a a h   AM =  − ; ; −h  , ; − ;  , SB =  − ; ;  , AN =  − 2   12  12    a a  SC =  − ; − ; −h     ah 5a   a2  Suy n( AMN ) =  AM , AN  =  ;0;   n( SBC ) =  SB, SC  =  − ah;0; 24     ( AMN ) ⊥ ( SBC )  n( AMN ) n( SBC ) =  −  SAMN = a h 15a 5a + =  h2 = 144 12 a 10 a 10  AM , AN  = S = Vậy AMN  2 16 16 V HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN V.1 ĐỀ BÀI LOẠI 1: HÌNH LĂNG TRỤ Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M,N,P,Q tâm hình vng ABA’B’ ;A’B’C’D’ ;ADD’A’ ;CD’DC’ Tính thể tích tứ diện MNPR với R trung điểm BQ C D 24 12 24 Câu 2:Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có ABC tam giác vng cân, AB = AC = a , A 12 B AA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB, BC  a a a 15 a B C D 2 Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có diện tích tam giác BAB 2a Tính khoảng cách điểm B mặt phẳng (C BD) A 2a a a C D 3 Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB = a , AD = 2a AA = a Gọi M AM điểm nằm AD cho = Tính khoảng cách từ M đến (ABC) MD A 2a B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 A a 12 B a C a D a Câu 5: Cho hình hộp ABCD ABCD có tất cạnh BAD = DAA = AAB = 600 Cho hai điểm M , N thỏa mãn CB = BM , DN = DD Độ dài đoạn thẳng MN A B 13 C 19 D 15 Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy đáy ABC tam giác vuông A , AB = a, AC = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính khoảng cách từ điểm C  đến ( ABBA) là: A a B a C 85 a 17 D 13 a Câu 7:Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC cạnh a , cạnh bên 2a A ' A = A ' B = A ' C Tính tan  với  góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) mặt phẳng ( ABC ) B C 2a 11 D 2a Câu 8:Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy ABC tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu A 11 vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC , biết AA = 3a Tính góc hai mặt phẳng ( ABBA) ( ABC ) là: A arccos 3 B arccos C arccos D arccos 12 Câu 9:Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy đáy ABC tam giác vng cân A , AC = a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AA BC là: 2 29 C D a a a 7 Câu 10:Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng A a B góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Gọi  góc hai đường thẳng AC BB Khi cos  : A cos  = B cos  = C cos  = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D cos  = C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 Câu 11: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính góc hai đường thẳng AC ( ABC ) là:    B C D arcsin 4 Câu 12: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có A.ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N A trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng ( ABC ) (CMN ) A B C 2 D 13 Câu 13:Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB = AC = a , góc ABC = 30 , góc đường thẳng AB mặt phẳng ( ABC ) 450 Gọi M , N trung điểm BC CC Cosin góc mặt phẳng ( AMN ) mặt phẳng ( ABC ) 13 Câu 14:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a mặt bên hình vuông cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC I trung điểm A B C D đoạn thẳng CC ' Khoảng cách hai đường thẳng A ' B GI A a 11 22 B 3a 11 C a 11 12 D 3a 11 22 Câu 15:Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC = a Góc mặt phẳng ( AB ' C ) mặt phẳng ( BCC ' B ') 600 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' ? A V = 2a 3 B V = a3 C V = 3a3 D V = 3a3 Câu 16:Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác cân, với AB = AC = a góc BAC = 120 , cạnh bên AA = a Gọi M trung điểm CC Cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABM ) 10 30 33 C D 10 10 11 Câu 17:Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác vng A , AB = AC = a có cạnh bên 2a Gọi M , N trung điểm BB ', CC ' Tính khoảng cách từ điểm A 11 11 B A đến mặt phẳng ( A ' MN ) A a B 2a C 3a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 Câu 18:Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác cân C , AB = 2a , AA = a , góc BC ( ABBA) 60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( BCN ) A 2a 74 37 B a 74 37 C 2a 37 37 D a 37 37 Câu 19:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có AB = AC = a , góc BAC 1200 , AA ' = a Gọi M , N trung điểm B ' C '; CC ' Khoảng cách đường thẳng MN AH A a B a C a D a Câu 20:Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi D trung điểm BB1 , M di động cạnh AA1 Giá trị lớn diện tích MC1 D A a 15 B a 15 C a2 D a 10 Câu 21:Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có tất cạnh a , M điểm di chuyển đường thẳng A ' C ' ; Tính khoảng cách lớn AM BC ' a 34 a 17 a 14 a 21 C D 4 Câu 22:Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a , cạnh bên A B AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM BC a 21 a Câu 23:Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC tam giác vuông A AB = 1, AC = Gọi A a B C a D  góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng ( ABC ) có số đo lớn Biết sin  = p ( với p, q nguyên tố ) Giá trị tổng p + q là: q A 11 B C D Câu 24:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có độ dài cạnh đáy a Góc ( ABC ) ( ABC ) 60 Gọi M , N trung điểm BC CC Tính khoảng cách AM AN A 6a 97 97 B 3a 97 97 C 6a 65 65 D 3a 65 65 Câu 25:Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh a M điển thỏa Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 mãn CM = − AA Cơsin góc hai mặt phẳng ( AMB ) ( ABC ) A 30 10 30 B C 30 16 D Câu 26:Cho hình hộp ABCD.ABCD tích V Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , AC , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP A V 48 B V C V 48 D V Câu 27:Cho hình hộp ABCD.ABCD , có đáy hình thoi cạnh 2a , tâm O , BAD = 600 AA = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với tâm O Gọi M trung điểm CD Khoảng cách hai đường thẳng AM BD A 21 B 21 C 21 D 21 Câu 28:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , có AB = a, AD = a 2, góc AC mặt phẳng ( ABCD ) 30 Gọi H hình chiếu vng góc A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABBA) A 60 B 45 C 90 D 30 Câu 29:Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc A1 lên ( ABCD ) trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) a 21 a a C D 2 Câu 30:Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi K trung điểm DD ' Tính A a B khoảng cách hai đường thẳng CK A' D a a a C D Câu 31:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 3a, AD = AA = a Lấy điểm M thuộc đoạn A a B ( ) AB , điểm N thuộc đoạn AC cho AM = AN = x ,  x  10a , Tìm x theo a để đoạn MN nhỏ A B 30a C 10a D 10a Câu 32:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB = a, AD = 2a, AA ' = 3a Gọi M , N , P trung điểm BC , C ' D ' DD ' Tính khoảng cách từ A đến mp ( MNP ) A 15 a 22 B a 11 C a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 15 a 11 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 Câu 33:Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác vng cân, AA = 2a , AB = AC = a Gọi G G trọng tâm tam giác ABC tam giác ABC , I tâm hình chữ nhật ABBA Thể tích khối A.IGCG A a3 B a3 C a3 D a3 30 Câu 34:Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy hình vng cạnh a Mặt phẳng ( ABB ' A ') vng góc với đáy, tam giác A ' AB vng A ' , góc BA ' đáy 60 Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng IA ' DB ' A a 55 B a 55 C a 55 D a Câu 35:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy tam giác ABC vuông A , AB = , AC = , AA = 61 Hình chiếu B lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC , M trung điểm cạnh AB Tính cosin góc tạo mặt phẳng ( AMC) mặt phẳng ( ABC ) A 33 3715 B 33 3175 C 33 3157 D 33 3517 Câu 36: Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc A1 lên ( ABCD ) trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD) A a B a C a D a LOẠI 2: HÌNH CHĨP Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , ABC = 60o , BC = 2a Gọi D điểm thỏa mãn 3SB = SD Hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc đoạn BC cho BC = 4BH Biết SA tạo với mặt đáy góc 60 o Góc hai đường thẳng AD SC A 60 o B 45o C 90 o D 30 o Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, AB = a, AD = 2a, SA = 3a Gọi M , N hình chiếu A lên SB, SD P giao điểm SC với mặt phẳng ( AMN ) Tính thể tích khối chóp S AMPN A 1869a 140 B 5589 a 1820 C 181a 120 D 1863a 1820 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B , AB = BC = a , AD = 2a ; Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M , N trung điểm SB , CD Cơsin góc MN ( SAC ) A B 55 10 C 10 D Câu Cho hình chóp S.ABC có ABC vng B , AB = 1, BC = , SAC đều, mặt phẳng ( SAC ) vuông với đáy Gọi  góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) Giá trị cos  A 65 65 B 65 20 C 65 10 D 65 65 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy H K hai điểm nằm hai cạnh BC CD cho BH = 3a , KD = x (0  x  a) Giá trị x để hai mặt phẳng ( SAH ) ( SAK ) tạo với góc 45 a A x B x a C x 2a 2a D x Câu Trong không gian, cho tam giác OAB cân O có OA = OB = 5; tan AOB = Điểm C di động tia Oz vng góc ( OAB ) , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động tia Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn bằng: A B C D Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a , góc BCD = 120 SA ⊥ ( ABCD ) Thể tích khối chóp S.ABCD a3 Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SOD Khoảng cách h từ M tới mặt phẳng ( SBC ) A h = a 57 19 B h = a 57 38 C h = 5a D h = 5a 19 Câu Cho tam giác ABC vng A đường thẳng  vng góc với mặt phẳng ( ABC ) A Các điểm M , N thay đổi đường thẳng  cho ( MBC ) ⊥ ( NBC ) Biết AB = b, AC = c Giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC theo b c A 3b2c b2 + c B b2c b2 + c C bc b2 + c D b2c2 b2 + c Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 với mặt phẳng ( ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a a 19 Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh Gọi E , M A 2a 57 19 B a 57 19 C 2a 13 19 D trung điểm cạnh BC, SA,  góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng ( SBD ) Giá trị sin  A sin  = B sin  = C sin  = D sin  = Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AIB ) 4ah A 4h + 9a 2 B 2ah 4h + 9a 2 C ah 4h + 9a 2 2ah D 2h2 + 3a Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , tâm O Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng MN AC A a B a C a D a Câu 13 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A AB = a , BAC = 120 SA = SB = SC Gọi  góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) cho cos  = Khi thể tích khối chóp A 2a B a3 C 2a D 3a3 12 Câu 14 Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy , cạnh bên Gọi M , N điểm thuộc SB, SD cho SB = 3SM , SD = 3DN Khoảng cách AM CN A 40 857 B 72 857 C 24 153 D 40 257 Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD = AB = 2BC = 2CD = 2a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm SB CD Biết thể tích khối chóp S.ABCD MN ( SAC ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn a3 Góc C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 A 10 B 310 20 C 310 20 D 10 Câu 16 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB = 3a , AC = 4a Các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) tạo với đáy ( ABC ) góc 450 Biết chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng ( ABC ) nằm miền tam giác ABC Gọi góc tạo hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC )  Giá trị cos A cos = 10 B cos = C cos = D cos = 15 Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 60 o Khoảng cách h hai đường thẳng SA BC A a 42 B a 42 12 C a 42 D a 42 24 Câu 18 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Khoảng cách BD SC 5a a D 12 Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B , AB = BC = a , AD = 2a ; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M , N trung điểm A 5a B 3a C SB , CD Côsin góc MN ( SAC ) A B 55 10 C 10 D Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA = SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng ( SMC ) vng góc với mặt phẳng ( SNC ) Khi thể tích khối 1 + AN AM C chóp S AMCN đạt giá trị lớn tổng T = A B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 V.2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT LOẠI 1: HÌNH LĂNG TRỤ Câu Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M,N,P,Q tâm hình vng ABA’B’ ;A’B’C’D’ ;ADD’A’ ;CD’DC’ Tính thể tích tứ diện MNPR với R trung điểm BQ A 12 B 12 C 24 D 24 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, A ( 0;0;0) ; B (1;0;0) ; D ( 0;1;0 ) ; A' (0;0;1); C (1;1;0 ); B ' (1;0;1) , D ' (0;1;1) ; C ' (1;1;1) 1 1 1 1 1 Theo giả thiết ta có: M  ;0;  ; N  ; ;1 ; P  0; ;  ; Q  ;1;  ; R  ; ;  2 2 2   2 2 2 4 4 Ta có: MN =  0; ;  ; MP =  − ; ;0  ; MR =  ; ; −   2  2  4 4 1 1 1 1  MN , MP  MR =   24 Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có ABC tam giác vng cân, AB = AC = a , Suy ra: VMNPR = AA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB, BC  A a B a C a Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a 15 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 56 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A ( 0;0;0) ; B ( a;0;0)  Ox ; C ( 0; a;0)  Oy ( ( ) ) ( ) A 0;0; a  Oz Khi B a;0; a ; C  0; a; a ( ) ( ) AB = a;0; a ; BC  = −a; a; a ; AB = ( a;0;0 ) Áp dụng công thức khoảng cách hai đường chéo AB, BC ta có:  AB, BC  AB a     d ( AB ; BC ) = =  AB, BC    Câu Cho hình lập phương ABCD.ABCD có diện tích tam giác BAB 2a Tính khoảng cách điểm B mặt phẳng (C BD) A 2a B 2a C a D a Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi : C (0;0;0); D(2a;0;0); B(0; 2a;0); C (0;0; 2a); B(0; 2a; 2a) Ta có CB = (0; −2a;2a); CD = (−2a;0;2a)  CB  CD = (−4a2 ; −4a2 ; −4a2 ) = −4a2 (1;1;1) Suy (C BD) nhận n = (1;1;1) VTPT qua điểm D(2a;0;0) Nên (C BD) có PT: x + y + z − 2a = Khi d ( B,(C BD) ) = 2a + 2a − 2a = 2a 3 Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB = a , AD = 2a AA = a Gọi M điểm nằm AD cho AM = Tính khoảng cách từ M đến (ABC) MD Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 57 A a 12 B a C a D a Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc Oxyz sau : A(0;0;0) ; A(0;0; a) ; B(0; a;0) ; B(0; a; a) C (2a; a;0) ; C (2a; a; a) ; D(2a;0;0) ; D(2a;0; a) Vì M điểm nằm AD cho AM 3a = nên M ( ;0;0) MD Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) n(AB'C) =  AB, AC  = (−a ; 2a ; −2a ) hay n(AB'C) = (1; −2;2) Phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) x − y + z = Do khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) là: a − 2.0 + 2.0 a d ( M , ( ABC )) = = 1+ + Câu Cho hình hộp ABCD ABCD có tất cạnh BAD = DAA = AAB = 600 Cho hai điểm M , N thỏa mãn CB = BM , DN = DD Độ dài đoạn thẳng MN A B 13 C 19 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 15 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 58 Từ giả thiết, suy AAB , ABD , AAD tam giác có cạnh Từ suy tứ diện A.ABD tứ diện Gọi G trọng tâm tam giác ABD Suy AG ⊥ ( ABD) 3 ; GO = ; AG = ; AG = 3 Dễ dàng tính CO = AO = Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ O ( 0;0;0 ) ,   A  ; 0;  ,     B  0; ;0  ,   −  C  ;0;0  ,    −1  D  0; ;0  ,     G  ;0;0  ,    6 A  ;0;     −5  −2 −1  6 ;0; ; ;  DN = 2CC   N       Ta có: CC = AA  C   5 −  ;1;    B trung điểm CM  M  Vậy MN = 15 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 59 Câu Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy đáy ABC tam giác vuông A , AB = a, AC = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính khoảng cách từ điểm C  đến ( ABBA) là: A a B a C 85 a 17 D 13 a Hướng dẫn C A C A z B B I E y A C A C H H x B B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0) , C ( 0;2a;0) , a 15  15  a  a H  ; a;0  , A  ; a; a  Vì CC  = AA  C   ;3a; a   2  2 2 Phương trình mặt phẳng ( ABBA) là: 15 y − 6z = Vậy d ( C, ( ABBA ) ) = d (C, ( ABBA ) ) = d (C, ( ABA ) ) = 85 a 17 Câu Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC cạnh a , cạnh bên 2a A ' A = A ' B = A ' C Tính tan  với  góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) mặt phẳng ( ABC ) A B 11 C 2a D 2a 11 Hướng dẫn z C' A' Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ:  a  a a   a a  O ( 0;0;0 ) , A  0; − ;0  , B  ; ;0  , C  − ; ;0    2    A ' O = A ' A2 − AO =  a 33 a 33   A '  0;0;  3   B' A C O I x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn B y C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 60  a a a 33  A ' B =  ; ;−  ; BC = ( −a;0;0 )  2  a 33 a  ; Véctơ pháp tuyến ( A ' BC ) là: n1 =  A ' B, BC  =  0;    Véctơ pháp tuyến ( ABC ) là: n = k = ( 0;0;1) Ta có: cos  = cos ( n1 , n ) = 135  tan  = 11 Câu Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy ABC tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC , biết AA = 3a Tính góc hai mặt phẳng ( ABBA) ( ABC ) là: A arccos B arccos C arccos D arccos 12 Hướng dẫn C A A z B C B A y A x C G E C G E I B I B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:  a   a 69  ;0  , A  0; ; a I ( 0;0;0) , A 0; a 3;0 , C ( a;0;0 ) , B ( −a;0;0 ) , G  0; 3     ( ) Mặt phẳng ( ABC ) : z = có vtpt k = ( 0;0;1)  Mặt phẳng ( ABBA) có vtpt n = AB  AA = a  − 23;  cos ( ( ABBA ) , ( ABC ) ) = n.k n.k = Vậy 12 69  ;  nên: 3  (( ABBA) , ( ABC )) = arccos 126 Câu Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy đáy ABC tam giác vuông cân A , AC = a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 61 cạnh BC Biết góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AA BC là: A a B a C a D 29 a Hướng dẫn C A z C A B B K y A C C A H H B B x ( ) ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: A ( 0;0;0 ) , B a 3;0;0 , C 0; a 3;0 , a a  a a  a a  H  ; ;0  , A  ; ; ; ; a ; a  Ta có: AA =  2 2       ( ( ) ) BC = −a 3; a 3;0 ; AB = a 3;0;0 Vậy d ( AA, BC ) = ( AA  BC ) AB = ( AA  BC ) a Câu 10 Cho lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A lên ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Gọi  góc hai đường thẳng AC BB Khi cos  : A cos  = 3 C cos  = B cos  = D cos  = Hướng dẫn z C A B y A C H B x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 62 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: ( ) ( ) H ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , A ( −a;0;0) , C 0; a 3;0 , A 0;0; a ( ) Vì BB = AA  B 2a;0; a ( ( ) ) Ta có: AC = a; a 3;0 ; BB = a;0; a Ta có: cos ( AC , BB ) = AC.BB = 1 Vậy cos  = 4 AC.BB Câu 11 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính góc hai đường thẳng AC ( ABC ) là: A  B  C  D arcsin Hướng dẫn z A A B B H H y C C C C H H ( x B B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: ) ( ) H ( 0;0;0) , B ( a;0;0 ) , A ( −a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , A 0;0; a Mặt phẳng ( ABC ) : z = có vtpt k = ( 0;0;1) ( ) VTCP đường thẳng AC là: u = AC = a 0; − 3; Khi đó: sin ( AC , ( ABC ) ) = u.k = u.k  Vậy ( AC , ( ABC ) ) = Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có A.ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng ( ABC ) (CMN ) A B C 2 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 13 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 63 z B' C' A' N M B C y H O A x Khơng tính tổng qt ta chọn a = Gọi O trung điểm AB Gọi H tâm ABC  AH ⊥ ( ABC ) Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O ( 0;0;0 )   Khi đó: A  ;0;0  , B  − ;0;0  , C  0; ;0  Dễ thấy mp ( ABC ) có vtpt n1 = ( 0;0;1)  2      Do: H  0;    6  6  A  0; ; ; ;0  , AH =  Ta có AB = AB  B  −1;  6       −3  6 ; ;   , N trung điểm BB  N  ;  12   12  1 M trung điểm AA  M  ; (  −5  ;   (CMN ) có vtpt n2 = 0;2 2;5   12 MN = ( −1;0;0) , CM =  ; ) Đặt  = ( ( ABC ) , ( CMN ) ) n1.n2 n1 n2 = 33 = 2  tan  = −1 = ( góc  nhọn) cos  33 Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB = AC = a , góc ABC = 30 , góc đường thẳng AB mặt phẳng ( ABC ) 450 Gọi M , N trung điểm BC CC Cosin góc mặt phẳng ( AMN ) mặt phẳng ( ABC ) A B C 13 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 64 z A' C' M B' N x A C H y B Ta có ( AB, ( ABC ) ) = ( AB, AB ) = ABA = 45 nên AAB vuông cân A  AA = AB = a Gọi H trung điểm BC  AH ⊥ BC  AH = AB.sin 30 = a BC = 2BH = AB2 − AH = a Lại có M , H trung điểm BC BC  MH = BB = AA = a; MH // BB  MH ⊥ ( ABC ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ có H  O , suy H ( 0;0;0) , A  ;0;0  , 2  a    a  a a a  B  0; ;0  , M ( 0;0; a )  C  0; − ;  ;0  , N  0; − 2        a a a  a2 a2 a2   a   AM  − ;0; a  , AN  − ; − ;    AM , AN  =  ;− ;  2 4       −1 3  ( AMN ) có VTPT n =  ; ;   4  Ta có HM = ( 0;0;a ) , HM ⊥ ( ABC )  ( ABC ) có VTPT n1 = ( 0;0;1) Gọi  góc mặt phẳng ( AMN ) mặt phẳng ( ABC ) từ cos  = n.n1 n n1 = 2    2     +−  +     4   = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 65 Câu 14 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a mặt bên hình vng cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC I trung điểm đoạn thẳng CC ' Khoảng cách hai đường thẳng A ' B GI A a 11 22 B 3a 11 C a 11 12 D 3a 11 22 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ cho A ( 0;0;0) , C ( a;0;0) , A ' ( 0;0; a ) trục Ay nằm mặt phẳng ( ABC ) vng góc với trục Ax Khi gọi H , K hình chiếu B lên trục Ax, Ay góc BAy = 300 nên AK = AB cos300 = a a  a a ;0  Vì G trọng tâm tam ; AH = AB cos 600 = nên B  ; 2 2  a a  a ;0  Đồng thời I trung điểm CC ' nên , I  a;0;  2    giác ABC nên ta có G  ; a a   a a a a  ; −a  ; IG =  − ; ; −  ; A ' I =  a;0; −  2 2  2   Suy A ' B =  ;  a Ta có  A ' B, IG  =  −  3a a   a3 a 33 ; ;  A ' B, IG  =    A ' B, IG  A ' I = − 12   A ' B, IG  A ' I 3a 11   = Vậy d ( A ' B, GI ) =  A ' B, IG    22 Câu 15 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vng cân A , cạnh BC = a Góc mặt phẳng ( AB ' C ) mặt phẳng ( BCC ' B ') 600 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' ? Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 66 A V = 2a 3 B V = a 3 C V = 3a 3 D V = 3a 3 Hướng dẫn Vì tam giác ABC vng cân A , cạnh BC = a nên AB = AC = a ) ( ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A( 0;0;0) , C a 3;0;0 , B 0; a 3;0 , A ( 0;0; z ) ( z  0) ( ( ) )  B 0; a 3; z ; BC = a 3; − a 3;0 , BB = ( 0;0; z ) −1  BC , BB = (1;1;0 )  za  VTPT ( BCCB) là: n1 = ( ( ) ) AC = a 3;0;0 , AB = 0; a 3; z  VTPT mặt phẳng ( BAC ) là: n2 = ( )  AC , AB = 0; − z; a  a 3 Vì góc mặt phẳng ( AB ' C ) mặt phẳng ( BCC ' B ') 600 nên: ( ) cos 60 = cos n1 , n2  z ( z + 3a 2 ) =  z =a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là: V = 3a3 AC AB AA = 2 Câu 16 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác cân, với AB = AC = a góc BAC = 120 , cạnh bên AA = a Gọi M trung điểm CC Cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABM ) A 11 11 B 33 11 C 10 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 30 10 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 67 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( gốc tọa độ O trùng với trung điểm BC )  a  a  a a    a  a  ;0; a  , C  − ;0;0  , C   − ;0;  ;0; a  , M  − A  0; ;0  , B  2 2          a a  a  AB =  ; − ; a  =   ( ) 3; −1;2 ;  a a a AM =  − ; − ;  = a − 3; −1;1 2 2  ( )  a −3a −a  a ; 1; − 3 ; − Có:  AB; AM  =  ;  =  4  ( ) Mặt phẳng ( ABC ) có véc tơ pháp tuyến n1 = k = ( 0;0;1) ( ) a 1; − 3 ; − Mặt phẳng ( ABM ) có véc tơ pháp tuyến  AB; AM  = ( Chọn véc tơ pháp tuyến n2 = 1; − 3; −  cos ( ( ABC ) ; ( ABM ) ) = n1.n2 = n1 n2 ) ( 0.1 + 0.(−3 3) + −2 ( ) 02 + 02 + 12 12 + (−3 3) + −2 ) = 30 10 Câu 17 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác vuông A , AB = AC = a có cạnh bên 2a Gọi M , N trung điểm BB ', CC ' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' MN ) A a B 2a C 3a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 68 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A trùng với gốc tọa độ, điểm B nằm trục Ax , điểm C nằm trục Ay , điểm A ' nằm trục Az Ta có: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a;0), A'(0;0; 2a), B'(a;0; 2a), C'(0;a; 2a) Do M , N trung điểm BB ', CC '  M(a;0;a), N(0; a; a) A ' M = (a;0; −a), A ' N = (0; a; −a) n =  A ' M , A ' N   n = (a ; a ; a ) Suy : n1 = (1;1;1) vecto pháp tuyến mặt phẳng ( A ' MN ) Phương trình mặt phẳng ( A ' MN ) : 1( x − 0) + 1( y − 0) + 1( z − 2a) =  x + y + z − 2a = Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' MN ) là: d(A;(A'MN)) = −2a +1 +1 2 = 2a 3 Câu 18 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác cân C , AB = 2a , AA = a , góc BC ( ABBA) 60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( BCN ) A 2a 74 37 B a 74 37 C 2a 37 37 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a 37 37 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 69 Gọi H , K là trung điểm cạnh AB AB Từ giả thiết ta có: HB = a  HB = a  HC  = HB.tan 60o = a ` Mặt khác: HC , HB v a HK đơi vng góc Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ có H  O a Tọa độ hóa: H (0;0;0) , C(0; a 6;0) , A(−a;0;0) , A(−a;0; a) , N  −a;0;  , B(a;0;0) ,   a B(a;0; a) , M  a;0;  2  C B = (a; −a 6; a)   Xét mặt phẳng ( BC N ) có  a   BN =  −2a;0; −  2    vtpt n = ( 6; −3; −4 6) Phương trình ( BCN ) là: 6( x + a) − y −  z −  = a   Khoảng cách từ M đến ( BCN ) là: d ( M ;( BC N )) = a a 6(a + a) − 3.0 − 6( − ) 2a 2a 74 2 = = 37 + + 96 111 Câu 19 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có AB = AC = a , góc BAC 1200 , AA ' = a Gọi M , N trung điểm B ' C '; CC ' Khoảng cách đường thẳng MN AH A a B a C a Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 70 Gọi H trung điểm BC Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có: ( ) BC = AB + AC − AB AC.cos BAC = a + a − 2.a.a.cos120 = 3a  BC = a AH = 2 ( AB + AC ) − BC = ( a + a ) − 3a = a2 a  AH = Vì tam giác ABC cân A có AH đường trung tuyến nên AH ⊥ BC H hay cạnh MH , HA HB đơi vng góc với Ta chọn hệ trục tọa độ Hxyz cho điểm A  Hx , điểm B  Hy điểm M  Hz Khi ta có tọa độ điểm sau:    a  a a a  a  ;0  , C  0; − ;  ;0  , M ( 0;0; a ) , N  0; − H ( 0;0;0 ) , A  ;0;0  , B  0; 2  2        Ta có: MN =  0; −   a a a a a a ; −  ; AH =  − ;0;0  ; AN =  − ; − ;  2 2 2      a a Suy ra:  MN ; AH  =  0; ; − 3   Áp dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, ta có:  MN , AH  AN   d ( MN , AH ) = =  MN , AH    a a 32 = 4 a Câu 20 Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi D trung điểm BB1 , M di động cạnh AA1 Giá trị lớn diện tích MC1 D Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 71 A a 15 a B 15 C a D a 10 Hướng dẫn + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O ; B  Oy ; A1  Oz a a  ; ; 2a  D ( 0; a; a )  2  Khi A ( 0;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) A1 ( 0;0;2a ) , C1  Do M di động AA1 , tọa độ M ( 0;0; t ) với t  0;2a  Ta có: SDC M = 1  DC1 , DM   2  a a ; − ; a) −a  DC = ( (t − 3a; 3(t − a); a   DC1 , DM  = = Ta có:  2  DM = (0; − a; t − a )  ( ) a   DC1 , DM  = (t − 3a) + 3(t − a) + 3a 2 a 4t − 12at + 15a 2 a SDC1M = 4t − 12at + 15a 2 = Xét f (t ) = 4t – 12at + 15a2 f ' (t ) = 8t – 12a ( t  0;2a  ) f '(t ) =  t = 3a a 15 t = hay M  A Câu 21 Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có tất cạnh a , M điểm di chuyển Lập BBT giá trị lớn SDC M = đường thẳng A ' C ' ; Tính khoảng cách lớn AM BC ' Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 72 A a 34 B a 17 C a 14 D a 21 Hướng dẫn Khơng tính tổng qt chọn a = ; Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng C' ; Ox trùng C ' A ' ; Oz trùng với C ' C ; Sao cho: 3 A '(1;0;0); C '(0;0;0); B'( ; ;0); A(1;0;1); B( ; ;1); C (0;0;1); M(m;0;0) 2 2    AM , C ' B  AC ' Khi đó: d ( AM ; C ' B) =  AM , C ' B    1  ;1 ; AC ' = (−1;0; −1) 2  Ta có: AM = (m − 1;0; −1); C ' B =  ; m m d ( AM ; C ' B) = = = 7 2 − m+ m ( ) + ( − m) + (m − 1) 4 2 7 − + m2 m ( m  m = M trùng C ' dẫn đến khoảng cách 0) Khoảng cách lớn khoảng cách lớn là: 7 − + nhỏ  =  m = ; Khi đó: m m m 14 ; Vậy: trường hợp tổng quát, khoảng cách lớn 7a a 14 MC ' = Câu 22 Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 73 AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM BC A a B a 21 C a D a Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau: ( ) a B(0;0;0) ; A ( 0; a;0) ; C ( a;0;0) ; B’ 0;0; a ; M  ;0;0  2  ( ( ) a  AM =  ; −a;0  ; B ' C = a;0; −a ; AB ' = 0; −a; a 2   )  a2    Ta có:  AM , B ' C  =  a 2; ; a    +) Khoảng cách AM , B ' C a3 Vì:  AM , B ' C  AB ' = nên AM , B ' C chéo d ( AM , B ' C ) =  AM , B ' C  AB '   =  AM , B ' C    a3 a = 2a + a + a Câu 23 Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC tam giác vng A AB = 1, AC = Gọi  góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng ( ABC ) có số đo lớn Biết sin  = ( với p, q nguyên tố ) Giá trị tổng p + q A 11 B C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D p q C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 74 Hướng dẫn Giả sử AA = m (m  0) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: A(0;0;0), B(1;0;0), C (0; 2;0), C (0; 2; m), A(0;0; m) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z + + =  2mx + my + z − 2m = m  véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) là: n(2m; m;2) BC(−1;2; m) véc tơ phương đường thẳng BC sin  = cos(n; BC ) = 2m 5m + m + 2 = 2m (5m + 20) + 29m2 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số 5m 20 : sin   2m 5m4 20 + 29m2 = 2m 20m + 29m 2 = Dấu “=” xảy 5m4 = 20  m = Vậy p = 2, q =  p + q = Câu 24 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có độ dài cạnh đáy a Góc ( ABC ) ( ABC ) 60 Gọi M , N trung điểm BC CC’ Tính khoảng cách AM AN A 6a 97 97 B 3a 97 97 C 6a 65 65 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 3a 65 65 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 75 Do BC vng góc với mặt phẳng ( AMA) nên góc mặt phẳng ( ABC ) ( ABC ) góc AMA 60 , AA ' a 3a  AA ' = 3= AM 2 Trong mặt phẳng ( ABC ) kẻ đường thẳng Ay song song với BC , đường Trong tam giác vuông AAM : tan 600 = AM , Ay, AA đơi vng góc với Xét hệ tọa độ Axyz cho: M  Ax, A '  Az Ta có: A(0;0;0), A '(0;0; suy ra: A ' M ( 3a a a a 3a ), M ( ;0;0), N ( ; ; ) 2 2 a 3a a a 3a 3a 9a a ;0; − ), AN ( ; ; )   A ' M , AN  = ( ;− ; ) 2 2 4 Áp dụng cơng thức tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta có: d ( A ' M , AN ) =  A ' M , AN  AM 3a3 / 3a 97   = = 97 a 291 /  A ' M , AN    Câu 25 Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh a G điển thỏa mãn CM = − AA Côsin góc hai mặt phẳng ( AMB ) ( ABC ) A 30 10 B 30 C 30 16 D Hướng dẫn Xét hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh a Gắn hệ trục hình vẽ quy ước a = ( đơn vị ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 76 Gọi D giao điểm AM AC Vì tam giác ABC tam giác cân cạnh a nên ta suy độ dài đường trung a Suy tọa độ điểm hình vẽ AD =  DA = −2 DC Theo giả thiết ta có CM = − AA  ADA CDM  CD tuyến Vậy tọa độ điểm D là: D  0; ;1   Ta có mặt phẳng ( ABC ) có phương trình z =  n( ABC ) = ( 0;0;1) Mặt khác mặt phẳng ( AMB ) mặt phẳng qua ba điểm A , D B   1 − 3 Ta có: AD =  0; ;1 AB =  ; ;1  n ( ABM ) =  AD , AB  =  ; ;     2  6  Vậy  sin góc tạo hai mặt phẳng ( AMB ) ( ABC ) là: ( ) ( ) cos ( A ' BM ) , ( ABC ) = cos n( ABM ) , n( ABC ) = − 3 + + 36 = 30 = 10 10 Cách khác:    −3 3  AB =  ; ;1 , AM =  0;1;  ,  AB , AM  =  − ; ;  = − 1;3 3; −2  2   2   4 ( ( )  mp ( AMB ) có vectơ pháp tuyến n( ABM ) = 1;3 3; −2 Mp(ABC) mp(Oxy): z=0 có vtpt n( ABC ) = ( 0;0;1) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn ) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 77 ) ( ( ) cos ( A ' BM ) , ( ABC ) = cos n( ABM ) , n( ABC ) = −2 + 27 + 12 = 30 10 Câu 26 Cho hình hộp ABCD.ABCD tích V Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , AC , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP A V 48 B V C V 48 D V Hướng dẫn Đây toán tổng quát, ta đưa cụ thể, giả sử hình hộp cho hình lập phương có cạnh Khi V = Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, A gốc toạ độ, trục Ox, Oy, Oz nằm cạnh AB, AD, AA Khi đó, 1 1   C (1;1;0) ; B (1;0;0 )  M  ;0;0  ; B (1;0;1)  P 1;0;  ; 2    1  A ( 0;0;1) , C (1;1;1)  N  ; ;1 2  Ta có CM =  − ; −1;0  , CN =  − ; − ;1 , CP =  0; − 1;  2     2  Khi VCMNP = 1 1 5 CM , CN  CP = − =  VCMNP = V   48 6 48 Câu 27 Cho hình hộp ABCD.ABCD , có đáy hình thoi cạnh 2a , tâm O , BAD = 600 AA = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với tâm O Gọi M trung điểm CD Khoảng cách hai đường thẳng AM BD A 21 B 21 C 21 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 21 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 78 z A' B' C' D' A B O D M x C y +) Đáy ABCD hình thoi cạnh 2a , tâm O , BAD = 600 nên tam giác ABD tam giác cạnh 2a  AO = 2a = 3a AO = AA2 − AO2 = 4a2 − 3a2 = a +) Giả sử a = Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ O  O ( 0;0;0) , D (1;0;0)  Ox , ( ( ) ) ;1) D (1; C 0; ;0  Oy A ( 0;0;1)  Oz Khi đó, B ( −1;0;0 ) , A 0; − ;0 ( ( ) Ta có: BB = DD = AA = 0; ;1 nên tìm B −1; ) ;1 1  ;0  M trung điểm CD  M  ; 2     AM ; BD AB +) Ta có: d ( AM ; BD ) =   AM ; BD   1  AM =  ; ; − 1  2     AM ; BD = 0; − 2; −  BD = ( 2;0;0 )  ( ( ) Mà AB = −1; ;0 nên d ( AM ; BD ) = ) 0−2 +0 0+4+3 = 21 Câu 28 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , có AB = a, AD = a 2, góc AC mặt phẳng ( ABCD ) 30 Gọi A hình chiếu vng góc B C A hình chiếu vng góc B AD Tính góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABBA) A 60 B H C 90 Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 30 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 79 Do ABCD.ABCD hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C ( ABCD)  ( A ' C,( ABCD)) = ( A ' C, A ' C ') = CA ' C ' = 300 Ta có AC = AB + AD = a 3; tan CA ' C ' = CC '  CC ' = a A'C ' Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E, F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A Ta có 1 a a ; = +  AK = ; A ' K = A ' A2 − AK = 2 AK A ' A AD 3 1 a a = +  KF = ; KE = A ' K − KF  KE = 2 KF KA A ' K 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A ' D, B, A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E( ;0;0), F (0;0; ) 2 3 3 Mặt phẳng ( ABB ' A ') mặt phẳng ( yOz ) nên có VTPT n1 = (1;0;0); a Ta có  AK , AH  = n , n (2; 2; 2) Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT n2 = (2; 2; 2); Gọi  góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABBA) Ta có cos = cos (n1 , n ) =   = 450 Câu 29 Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc A1 lên ( ABCD ) trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 80 A a B a C a 21 D a Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ cho tâm O hình vuông ABCD gốc toạ độ, OA trục Ox, OB trục Oy, OA1 trục Oz hình vẽ a  ;0;0      A Vì mp ( A1BD )  mp(Oyz) nên mp ( A1BD) có phương trình: x = AB1 cắt mp ( A1BD ) trung điểm AB1  d (B1 ;( A1BD)) = d ( A;( A1BD)) = a a = 2 Câu 30 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi K trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A' D A a B a C a Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 81 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A , tia Ox , Oy , Oz trùng với tia AB , AD , AA ' Khi A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0) , A ' ( 0;0; a ) , B ' ( a;0; a ) , C ( a; a;0 ) a Gọi M trung điểm BB '  M  a;0;   2  a2 2  a2 a  A ' M =  a;0; −  , A ' D = ( 0; a; −a )   A ' M , A ' D  =  ; a ; a  = (1; 2; ) 2    Suy ( A ' DM ) nhận n = (1;2;2) làm vec tơ pháp tuyến qua điểm A ' ( 0;0; a ) ( A ' DM ) : x + y + z − 2a = Do M trung điểm BB ' nên A ' M / /CK a + 2a − 2a d ( CK , A ' D ) = d ( CK , ( A ' DM ) ) = d (C , ( A ' DM ) ) = 12 + 22 + 22 = a Vậy chọn A Câu 31 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 3a, AD = AA = a Lấy điểm M thuộc ( ) đoạn AB , điểm N thuộc đoạn AC cho AM = AN = x ,  x  10a , Tìm x theo a để đoạn MN nhỏ A 30a B 10a C D Hướng dẫn z A' F D' N B' C' M y A B D E x C Ta có AB = AB2 + BB2 = 9a2 + a2 = 10a Gọi E hình chiếu M lên AB Ta có AE AM AB AM 3ax 3x =  AE = = = AB AB  AB  10a 10 ME AM BB  AM ax x =  ME = = = BB  AB  AB  10a 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 10a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 82 Gọi F hình chiếu N lên AB Tương tự ta tính AC  = 10a , AF = 3x , NF = 10 x 10 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A , điểm B , D , A nằm tia Ox , Oy , Oz Khi ta có tọa điểm là: A ( 0;0;0 ) , B (3a;0;0) , D ( 0; a;0) ,  3x  3x  x x  ; ;0; ;a A ( 0;0; a ) , M  , N  10   10 10   10  2x a  a2 x 2ax a − + a =  −   + 10 10 2  10  x2  x Ta có MN = + − a = 10  10  GTNN MN a 2x 10 = a x= 10a Câu 32 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB = a, AD = 2a, AA ' = 3a Gọi M , N , P trung điểm BC , C ' D ' DD ' Tính khoảng cách từ A đến mp ( MNP ) A 15 a 22 B a 11 C a D 15 a 11 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm B , tia Ox; Oy; Oz trùng với tia BA; BC; BB ' Khi B ( 0;0;0) ; A ( a;0;0) ; C ( 0;2a;0) ; D ( a;2a;0) ; C ' (0;2a;3a ) ; D ' ( a;2a;3a ) Suy M ( 0; a;0 ) ; P  a; 2a;  3a  a   N  ; 2a; 3a   2  Ta có MP  a; a;  3a  a   ; MN  ; a;3a  , vectơ pháp tuyến ( MNP ) là:  2  3 1 a n =  MP; MN  = a  ; − ;  = ( 6; −9; ) 2 2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 83 Suy ( MNP ) :6x − y + 2z + 9a = 0; A ( a;0;0) Vậy d ( A; ( MNP ) ) = 6a + 9a +9 +2 2 = 15a 11 Câu 33 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác vng cân, AA = 2a , AB = AC = a Gọi G G trọng tâm tam giác ABC tam giác ABC , I tâm hình chữ nhật ABBA Thể tích khối A.IGCG A a3 B a3 C a3 D a3 30 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O trùng với điểm A , tia Ox , Oy , Oz trùng với tia AB , AC AA Suy A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A ( 0;0;2a ) , B ( a;0;2a ) , C ( 0; a;2a ) , a a  a a a   G  ; ;0  , G  ; ;2a  , I  ;0; a  (vì I trung điểm AB AB ) 3  2 3   a 2a a a Ta có IG =  − ; ; −a  GC =  − ; ; −2a  Suy IG GC phương   3   Do bốn điểm I , G , C , G đồng phẳng Mặt khác GC =  − ; ;0   3  a 2a  4a 2a  ; ;0  nên mặt phẳng ( IGCG) có véc-tơ pháp tuyến n = ( 2;1;0) Vì GC , GC  =   3  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 84 Vậy phương trình mặt phẳng ( IGCG) : x + y − a = Suy h = d ( A, ( IGCG ) ) = −a +1 = a Diện tích tứ giác IGCG S IGCG = ( IG + GC ) d ( IG, GC ) Trong IG = GC , GC  a 41 a 41     d IG , G C = d G , G C =  ( ) ( ) G C = , , GC  4a 2a  Vì GC , GC  =  ; ;0  nên d ( IG, GC ) = 2a  3  41  a 41 a 41  a2 + = Suy S IGCG =   2a 2  41 1 a2 5 a3  V = S d A , IGCG = a Thể tích cần tìm A.IGCG ( )) = ( IGCG 3 Câu 34 Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy hình vng cạnh a Mặt phẳng ( ABB ' A ') vng góc với đáy, tam giác A ' AB vuông A ' , góc BA ' đáy 60 Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng IA ' DB ' A a 55 B a 55 C a 55 D a Hướng dẫn Gọi O hình chiếu vng góc A ' lên cạnh AB Vì mặt phẳng ( ABB ' A ') vng góc với ( ABCD) nên A ' O ⊥ ( ABCD) Ta có góc BA ' mặt phẳng ( ABCD) góc A ' BO Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 85 Ta có BA ' = AB.cos 600 = a a a , BO = A ' B.cos 600 = , OA ' = A ' B.sin 60 = 4 Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi O(0; 0; 0) , A '(0;0; −a a −3a a a a ; a;0), B '(a;0; ) ) , B ( ; 0; 0) , I ( ; ;0), D( 4 4  a −a a   7a a 3 Ta có IA ' =  ; ;  , DB ' =  ; −a;  ; A ' B ' = ( a;0;0 )  4    a 3a 5a    IA '; DB ' = Khi đó:    ; ;      IA '; DB ' A ' B ' Ta có: d (A'I; DB') =  =  IA '; DB '   a3  27 25  a4  + +   64 64 64  = a3 a = a 55 55 Câu 35 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy tam giác ABC vuông A , AB = , AC = , AA = 61 Hình chiếu B lên ( ABC ) trung điểm cạnh BC , M trung điểm cạnh AB Tính cosin góc tạo mặt phẳng ( AMC) mặt phẳng ( ABC ) A 33 3715 B 33 3175 C Hướng dẫn Gọi H trung điểm BC Ta có: BC = AB2 + AC = Xét tam giác BBH vuông H : BH = BB2 − BH = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A trùng với O hình vẽ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 33 3157 D 33 3517 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 86 3 Với A ( 0;0;0 ) , B ( 0;3;0) , C ( 4;0;0 )  H  2; ;0  trung điểm BC  B  2; ;3      3 Do BB = AA = CC   A  2; − ;3  ; C   6; − ;3   M ( 2;0;3)     AM = ( 2;0;3) ; AC =  6; − ;3  nên vectơ pháp tuyến ( MAC )   9  =  ;12; −3    n ( MAC) =  AM , AC      AB =  −2; ; −3  ; AC =  2; ; −3  nên vectơ pháp tuyến ( ABC )     = ( −9; −12; −12) n ( ABC ) =  AB, AC  Gọi  góc tạo mặt phẳng ( AMC) mặt phẳng ( ABC ) cos  = n ( MAC) n ( ABC ) n ( MAC) n ( ABC ) = ( −9 ) + 12 ( −12 ) − ( −12 ) 2 9   + 12 + ( −3) 2 ( −9 ) + ( −12 ) + ( −12 ) 2 = 33 3157 Câu 36 Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc A1 lên ( ABCD ) trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) A a B a C a Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 87 Chọn hệ trục toạ độ cho tâm O gốc toạ độ , OA trục Ox, OB trục Oy, OA1 a  trục Oz  A  ;0;0    Vì mp ( A1BD )  mp(Oy; Oz)  mp(Oyz) nên mp ( A1BD) có phương trình: x = a a = 2 Khi : d (B1 ;( A1BD)) = d ( A;( A1BD)) = LOẠI 2: HÌNH CHĨP Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , ABC = 60o , BC = 2a Gọi D điểm thỏa mãn 3SB = SD Hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc đoạn BC cho BC = 4BH Biết SA tạo với mặt đáy góc 60 o Góc hai đường thẳng AD SC A 60 o B 45o C 90 o D 30 o Hướng dẫn z S x O B H C D y A Ta có AH = BH + BA2 − 2.BH BA.cos 60o = tan 60o = a2 a 3a a + a − .a =  AH = 2 SH 3a  SH = AH = AH AC = BC.sin 60 = 2a Ta có AH + HC = 3a = a , HC = BC = 2 9a 3a + = 3a = AC nên tam giác AHC vuông H , tức 4 AH ⊥ HC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chọn a = chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) cho O  H ( 0;0;0) ,   3  3  ;0  , S  0;0;  C  ;0;0  , A  0; 2  2    Suy B  − ;0;0  SB =  − ;0; −   SD =  − ;0; −   D  − ;0; −  2 4 4      3 Ta có DA =  ; 4 3 ;  u =  3 ( ) 3; 2; véctơ phương AD 3 3 SC =  ;0; −   v = (1;0; −1) véctơ phương SC 2 2 Ta có u.v =  AD ⊥ SC Vậy góc hai đường thẳng AD SC 90 o Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, AB = a, AD = 2a, SA = 3a Gọi M , N hình chiếu A lên SB, SD P giao điểm SC với mặt phẳng ( AMN ) Tính thể tích khối chóp S AMPN A 1869a 140 B 5589 a 1820 C 181a 120 D 1863a 1820 Hướng dẫn z S P M N A y D B x C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có tọa độ điểm A(0;0;0) , B ( a;0;0) , D (0;2a;0) , C ( a;2a;0) , S (0;0;3a ) Suy SB = ( a;0; −3a ) , SD = ( 0;2a; −3a ) , SC = ( a;2a; −3a ) x = a + t  Phương trình SB :  y =  z = −3t   M ( a + t;0; −3t )  AM = ( a + t;0; −3t ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 88 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 89 −a  9a 3a   M  ;0;  Mà AM ⊥ SB  AM SB =  ( a + t ) + 9t =  t = 10  10 10   18a 12a  ; Tương tự ta tìm N  0;   13 13  Suy n1 =  AM , AN  = − 27a (1;2; −3) 65 Do ta có phương trình ( AMN ) : x + y − 3z = x =t Phương trình SC :  y = 2t nên tọa độ điểm P nghiệm hệ  z = 3a − 3t   x=t  y = 2t    z = 3a − 3t  x + y − 3z = x= 9a 9a 15a  9a 9a 15a  ,y = ,z =  P ; ;  14 14  14 14  2 27a 27a Ta có:  AM , AP  = − (1;2; −3) (1;2; −3) ,  AN , AP  = 91 70 621 14.a 9a Suy S AMPN =   AM , AP +  AN , AP  = d ( S , ( AMN ) ) =  2 1820 14 9a 621 14.a 1863.a = 14 1820 1820 Vậy VS AMPN = Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B , AB = BC = a , AD = 2a ; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M , N trung điểm SB , CD Cơsin góc MN ( SAC ) A B 55 10 C 10 D Hướng dẫn z S a M y 2a A D a N B a C x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 90 Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với O  A Tọa độ đỉnh hình chóp : A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0) , D ( 0;2a;0) , S ( 0;0; a )  a 3a  a a  M  ;0;  , N  ; ;0  2  2 2 1 Ta có: − SA = ( 0;0;1) = u ; SC = (1;1; −1) = v a a Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( SAC ) n = u , v  = ( −1;1;0) Lại có: MN = ( 0;3; −1) = w a Gọi  góc MN ( SAC ) ta có: sin  = 55 n.w  cos  = = n.w 10 Câu Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông B , AB = 1, BC = , SAC đều, mặt phẳng ( SAC ) vuông với đáy Gọi  góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) Giá trị cos  A 65 65 B 65 20 C 65 10 Hướng dẫn Gọi H , M , N trung điểm AC, AB, BC ( SAC ) ⊥ ( ABC )  SH ⊥ ( ABC )  SH ⊥ HM , SH ⊥ HN ABC vuông B  HM ⊥ HN ABC vuông B  AC =  SH = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 65 65 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 91 HM = 1 ; HN = AB = BC = 2 2 ( )  Chọn hệ trục tọa độ sau: H ( 0;0;0) ; S 0;0; ; M  0;   ;0  ; N  ;0;0  ,  2  1  B  ; ;  2    BN =  0; − ;0      BM =  − ;0;0        BS =  − ; − ;  BS =  − ; − ;    2       3 3 n1 =  BM , BS  =  0; ;  ; n2 =  BN , BS  =  − ;0; −      ( ) cos  = cos n1 ; n2 = − 16 3 + + 16 16 = 65 65 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy H K hai điểm nằm hai cạnh BC CD cho BH = 3a , KD = x (0  x  a) Giá trị x để hai mặt phẳng ( SAH ) ( SAK ) tạo với góc 45 a A x B x a C x 2a Hướng dẫn Ta chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi A ( 0;0;0) ; B ( a;0;0) ; D ( 0; a;0) ; S  Oz Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D x 2a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 92  3a  Qua ta có tọa độ điểm C ( a; a;0 ) ; H  a; ;0  ; K ( x; a;0 )   Ta có: AH =  a; ;0  ; AK = ( x; a;0 )   3a k = ( 0;0;1)  3a  Ta có   3a   k , AH  =  − ; a;0     AH =  a; ;0     −3 Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( SAH ) n =  ;1;0     k = ( 0;0;1) Ta có    AK = ( x; a;0 )   k , AK  = ( −a; x;0 ) Gọi n  véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( SAK ) n = ( −a; x;0) Gọi  góc hai mặt phẳng ( SAH ) ( SAK ) , cos  = n n n n  cos 45 = 3a +x  −3    +    x + 48ax − 7a =  x = Vậy x = ( −a ) 2 + x2  3a  25   + x  = ( a2 + x2 )   16 a ( x  ) a Câu Trong không gian, cho tam giác OAB cân O có OA = OB = 5; tan AOB = Điểm C di động tia Oz vng góc ( OAB ) , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động tia Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn bằng: A B C Hướng dẫn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 93 z C H y O K B E Ax Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O , tia Ox trùng tia OA , tia Oy nằm mặt phẳng ( OAB ) cho tia OB nằm hai tia Ox, Oy hình vẽ Khi A(5;0;0) B (3;4;0) Giả sử C ( 0;0; c ) Dễ thấy tam giác ABC cân C Gọi E = ( 4;2;0) trung điểm AB Ta có mặt phẳng ( OCE ) vng góc với AB mặt phẳng cố định Gọi K trực tâm tam giác OAB , A , B K nằm mặt phẳng ( Oxy ) Giả sử K ( x; y;0) , ta có  OK AB =    BK OA = x =  x ( −2 ) + y.4 =    Tìm y=  x − =     K =  3; ;0      AB ⊥ ( OEC )  HK ⊥ AB   KH ⊥ ( CAB )  KH ⊥ HE  KHE = 90 HK ⊥ CA CA ⊥ BHK ( )    Do  Do H thuộc mặt cầu đường kính KE = + thuộc mặt phẳng ( OCE ) cố = định Vậy H thuộc đường trịn cố định có bán kính R = Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a , góc BCD = 120 SA ⊥ ( ABCD ) Thể tích khối chóp S.ABCD a3 Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SOD Khoảng cách h từ M tới mặt phẳng ( SBC ) A h = a 57 19 B h = a 57 38 C h = 5a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D h = 5a 19 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 94 Hướng dẫn S S z M K B M A D O C B C H y D A x Khơng tính tổng qt, ta giả sử a = Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz //SA Khi ta có  −1   −  1  O ( 0;0;0 ) , A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  ;0;0       2   −1    −1  D  0; ;0   S  ;0;  , M  ; ;1      4  1 −   SB =  ; ; −  , SC = (1;0; − ) 2   3 Ta có n( SBC ) =  SB, SC  =  ; − 1;    Phương trình mặt phẳng ( SBC ) là: 3x − y + Suy d ( M , ( SBC ) ) = +1+ Vậy d ( M , ( SBC ) ) = = 3 z+ =0 2 57 19 a 57 19 Câu Cho tam giác ABC vuông A đường thẳng  vng góc với mặt phẳng ( ABC ) điểm A Các điểm M , N thay đổi đường thẳng  cho ( MBC ) ⊥ ( NBC ) Biết AB = b, AC = c Giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC theo b c A 3b2c b2 + c B b2c b2 + c C bc b2 + c D b2c2 b2 + c Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A , tia Ox, Oy, Oz trùng với tia AB, AC , AM Đặt AB = b, AC = c, AM = m ( b, c không đổi) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 95 Khi A ( 0;0;0) , B (b;0;0) , C ( 0; c;0) , M ( 0; 0; m) Giả sử N ( 0; 0; n ) Ta có: ( MBC ) : x y z 1 1  + + − = có véctơ pháp tuyến   ; ;  b c m b c m ( NBC ) x y z 1 1 + + − = có véctơ pháp tuyến   ; ;  b c n b c n : Vậy ( MBC ) ⊥ ( NBC )    =  −b c 1  m n = + + =  mn  b2 + c2 b c mn Mặt khác m  nên n  Vậy M N nằm hai phía A Ta có BC = ( −b; c;0) , BM = ( −b;0; m) , BN = ( −b;0; n ) ,  BM , BN  = ( 0; b ( n − m ) ;0 ) Vậy VMNBC = Ta có m.n = 1 BC  BM , BN  = bc ( n − m ) = bc ( m − n ) 6 −b c không đổi b2 + c2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có VMNBC = 1 b2c bc ( m − n )  bc.2 m ( −n ) = 6 b2 + c Dấu đẳng thức xảy m = − n = bc b2 + c Vậy VMNBC nhỏ M , N nằm hai phía A AM = AN = Khi giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC b2c b2 + c2 AB AC BC Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 96 A 2a 57 19 B a 57 19 C 2a 13 19 a 19 D Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z S N D A y H M B C x a      a   Tọa độ đỉnh: A(0;0;0), B ( a;0;0 ) , D(0; a;0), C(a; a;0), M  ;0;0  , N  0; ;0  2 x = t  a  Suy DM =  ; −a;0   phương trình DM :  y = a − 2t  H ( t ; a − 2t ;0 )   z =  a    CH = ( t − a; −2t;0 ) , CN =  −a; − ;0    Vì H  CN  t − a −2t a  a 3a   a 3a  =  −t + a = 4t  t =  H  ; ;0   S  ; ; a  − a −a 5  5   4a 2a   a2  ; a  Ta có: SC =  ; ; −a  , DC = ( a;0;0 )   DM , SC  =  a 3; 5       DM , SC  DC = a 3  DM , SC  DC a3 2a 57  Vậy d ( SC , DM ) =  = =  DM , SC    a 19 19 Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh Gọi E , M trung điểm cạnh BC, SA,  góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng ( SBD ) Giá trị sin  A sin  = B sin  = C sin  = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D sin  = C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 97 Hướng dẫn Gọi AC  BD = O Vì hình chóp tứ giác S.ABCD hình chóp nên SO ⊥ ( ABCD ) Đặt OA = Vậy AC = đáy hình chóp S.ABCD hình vng có cạnh Do giả thiết hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh nên SA = 2 Xét tam giác SAO vng O có SO = SA − AO = ( 2) − 12 = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho Ox  OC, Oy  OB, Oz  OS Khi ta có: C (1;0;0) , A ( −1;0;0) , B ( 0;1;0) , S ( 0;0;1) −1     Do E , M trung điểm cạnh BC, SA nên E  ; ;0  , M  ;0;  2 2   1 AC ⊥ ( SBD ) nên mặt phẳng ( SBD ) nhận AC ( 2;0;0 ) vectơ pháp tuyến  −1  Đường thẳng EM nhận ME 1; ;  vectơ phương  2 Gọi  góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng ( SBD ) Vậy ta có: sin  = ME AC ME AC =  −1  1.2 + +     2 1  1 12 +   +  −  2  2 = Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AIB ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 98 A 4ah 4h2 + 9a 2ah B 4h2 + 9a ah C 4h2 + 9a D 2ah 2h2 + 3a Hướng dẫn Gọi O giao điểm AC BD Ta có OA = OB = OC = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O , tia Ox chứa A , tia Oy chứa B , tia Oz chứa S a   a   −a  ;0;0  , S ( 0;0; h )  ;0;0  , B  0; ;0  , C  Khi đó: A       Gọi M giao điểm SO AI Tam giác SAC có M giao điểm hai đường   h trung tuyến nên M trọng tâm, M  0;0;   Mặt phẳng ( AIB ) qua A, B, M nên có phương trình:  x a 2 + y a 2 + z =1 h 2 x+ y + z −1 = a a h h − 2ah h Do khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AIB ) là: d = = 2 2 h + a + + a a h2 Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , tâm O Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng MN AC A a B a C a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 99 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Đặt SO = h gọi I trung điểm SA  Ta có tọa độ đỉnh là: A  0; −   a a  a    a  ;0;0  , C  0; ; 0;  ;0  , D  − ;0  , B  2        S ( 0;0; h ) a a   a h ; ;  , N  ;0  I , N trung điểm SA , BC  I  0; − 2    a a  ;− ; h  E đối xứng với D qua I  E    a a h ;− ;  M trung điểm AE  M  2    3a h ( )  a 3a  ; ; −  , AC = 0; a 2;0 , AN =  ;0  Do MN =  0; 4 2     ah  a2h   MN , AC  =  ;0;0    MN , AC  AN =      MN , AC  AN a   = Vậy d ( MN , AC ) =  MN , AC    Câu 13 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A AB = a , BAC = 120 SA = SB = SC Gọi  góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) cho cos  = Khi thể tích khối chóp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 100 A 3 2a B 2a C a D 3a 12 Hướng dẫn Vì SA = SB = SC  Hình chiếu S lên ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC D (với D đỉnh hình thoi ABDC ) Đặt SD = x ( x  0) Gắn hệ tọa độ: D ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , S ( 0;0; x ) Vì DI =  a  a  I  0; ;0  2    a a  a a  ;0  ;0  , C  − ;  2 2   Ta có DB ( a;0;0 ) , IA = DB  A  ; a a   a a  ; − x  , SB = ( a;0; − x ) , SC =  − ; ; − x  +) SA =  ; 2   2   − ax − xa − a    SA, SB  =  ; ;   n1 x 3; x; a 2   ( ) vecto pháp tuyến ( SAB )  a2    SA , SC = 0; ax ;   n2 0; x; a vecto pháp tuyến ( SAC ) +)      ( +) cos = n1.n2 n1 n2  ) x + 3a = x=a x + 3a +) VSABC = SD.S ABC = a 3 a = a 12 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 101 Câu 14 Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy , cạnh bên Gọi M , N điểm thuộc SB, SD cho SB = 3SM , SD = 3DN Khoảng cách AM CN A 40 857 B 72 857 C 24 153 D 40 257 Hướng dẫn Gọi O giao điểm AC , BD  SO ⊥ ( ABCD )  OA = 2, SO = 18 − = Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ ( Ox //AB, Oy //AD, Oz  OS ) Tọa độ điểm A ( −1; −1;0) , B (1; −1;0) , C (1;1;0) , D ( −1;1;0) , S ( 0;0;4)   xM = (1 − )  1  1 8 Từ giả thiết ta có SM = SB   yM = ( −1 − )  M  ; − ;  3 3 3    zM − = ( − )   2 4 Tương tự tọa độ điểm N  − ; ;   3 3  8  4 Suy AM =  ; ;  , CN =  − ; − ;  , AC = ( 2;2;0 )  3 3  3 3 Chọn vectơ phương đường thẳng AM u1 = ( 2;1;4) , chọn vectơ phương đường thẳng CN u2 = ( 5;1; −4 ) Ta có u1; u2  = ( −8; 28; −3) Khoảng cách hai đường thẳng AM , CN Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 102 d ( AM ; CN ) = u1; u2  AC   = u1; u2    −16 + 56 + ( −8) + 282 + ( −3) = 40 857 Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD = AB = 2BC = 2CD = 2a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm SB CD Biết thể tích khối chóp S.ABCD a3 Góc MN ( SAC ) A 10 B 310 20 C 310 20 D 10 Hướng dẫn Vì ABCD hình thang cân có AD = AB = 2BC = 2CD = 2a  AD = 2a; AB = BC = CD = a  CH = a + 2a a 3 3a a S = = ; ABCD 2 3a a3  SA = a SA = 4 nên VABCD = Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ hình vẽ a   a   a   −a a  ;0  , A  0; − ;0  , N  ; ;0  , Ta có: K ( 0;0;0) , B  ;0;0  , C  0; 2 2         a a a a  S  0; − ; a  , M  ; − ;     4  −3a 3a −a  MN =  ; ;  Chọn u1 = −3;3 3; − phương với MN   ( ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 103  BK ⊥ SA  BK ⊥ ( SAC ) Nhận xét:   BK ⊥ AC  a  BK =  − ;0;0  vtpt ( SAC ) Chọn n1 = (1;0;0 ) phương với BK   Gọi  góc góc MN ( SAC ) Ta có sin  = u1.n1 u1 u2 = 10 310  cos  = 20 20 Câu 16 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB = 3a , AC = 4a Các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) tạo với đáy ( ABC ) góc 450 Biết chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng ( ABC ) nằm miền tam giác ABC Gọi góc tạo hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC )  Giá trị cos A cos = 10 B cos = C cos = D cos = 15 Hướng dẫn Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) Gọi M , N , P hình chiếu H AB , AC BC Ta có góc (SAB) ( BAC ) góc SMH Tương tự ta có SMH = SNH = SPH = 45 Do SMH = SNH = SPH  HM = HN = HP Mà H nằm miền  ABC nên H tâm đường tròn nội tiếp  ABC Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC , AB AC SABC 3a.4a r= = = =a pABC AB + BC + CA 3a + 4a + 5a ( ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 104 Tam giác SHM vuông cân H nên SH = HM = r Chọn hệ trục Đề-các vng góc Axyz hình vẽ Khi ta tìm tọa độ điểm sau A ( 0;0;0 ) , B (3a;0;0) , C ( 0;4a;0) , H ( r; r;0) = ( a; a;0) , S ( xH ; yH ; SH ) = ( a; a; a ) Suy ra:  AS , AC  = ( −1;0;1)  4a  −1 Mặt phẳng ( SBC ) có véc tơ pháp tuyến n2 =  AS , AC  = ( 4;3;5) a Mặt phẳng ( SAC ) có véc tơ pháp tuyến n1 = Do cos = −1.4 + 0.3 + 1.5 ( −1) + +1 2 +3 +5 2 = 10 Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 60 o Khoảng cách h hai đường thẳng SA BC A a 42 B a 42 12 C a 42 D a 42 24 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ có gốc M , trục hoành MC , trục tung MB , trục cao Mz / / HS (xem hình vẽ) Ta có: MH = AB a a =  CH = CM + MH = 6 ( SC, ( ABC )) = SCH = 60  SH = CH.tan 60 = a 321 o o Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 105  a a 21  a      ;0;0  Do tọa độ điểm A  0; − ;0  , S  0; ;  , B  0; ;0  , C          a a  a a  2a a 21   SA =  0; − ; − ; − ;  , AB = ( 0; a ;0)  , BC =  3      a 21 a a    SA, BC  =  − ;− ;     d ( SA, BC ) =  SA, BC  AB a 42   =  SA, BC    Câu 18 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Khoảng cách BD SC A 5a B Ta có: AB = BC = CD = a Hướng dẫn 3a C D AD = a Gắn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Ta có: 1  3  A ( 0;0;0 ) , S  0;0;  , D ( 2;0;0 ) , B  ; ;  , C  ; ;0  2  2  2  3 3 3 3  3  ; −  , BD =  ; − ;0  SD =  2;0; −  , SC =  ; 2  2  2 2  3 3  SC , BD  =  − ;− ;−     4   d( SC ;BD ) =  SC , BD  SD   =  SC , BD    Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 5a 12 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 106 Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B , AB = BC = a , AD = 2a ; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M , N trung điểm SB , CD Cơsin góc MN ( SAC ) A B 55 10 C 10 D Hướng dẫn z S a M y 2a A D a N B a C x Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với O  A Tọa độ đỉnh hình chóp : A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0) , D ( 0;2a;0) , S ( 0;0; a )  a 3a  a a  M  ;0;  , N  ; ;0  2  2 2 1 Ta có: − SA = ( 0;0;1) = u ; SC = (1;1; −1) = v a a Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( SAC ) n = u , v  = ( −1;1;0) Lại có: MN = ( 0;3; −1) = w a Gọi  góc MN ( SAC ) ta có: sin  = n.w 55  cos  = = n.w 10 Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA = SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng ( SMC ) vng góc với mặt phẳng ( SNC ) Khi thể tích khối 1 + AN AM C chóp S AMCN đạt giá trị lớn tổng T = A B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 107 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , D ( 0;2;0) , S ( 0;0;2) Suy C ( 2;2;0 ) Đặt AM = x , AN = y , x, y  0;2 , suy M ( x;0;0) , N ( 0; y;0) SM = ( x;0; −2 ) , SC = ( 2; 2; −2 ) , SN = ( 0; y; −2)  n1 =  SM , SC  = ( 4; x − 4; x ) , n2 =  SN , SC  = ( − y; −4; −2 y ) Do ( SMC ) ⊥ ( SNC ) nên n1.n2 =  ( − y ) − ( x − 4) − xy =  xy + ( x + y ) =  y= − 2x − 2x   x  , y  nên x+2 x+2 S AMCN = S ABCD − SBMC − SDNC = − ( − x ) − ( − y ) = x + y Do VS AMCD 2 − x  x2 + = SA.S AMCN = ( x + y ) =  x + = 3 3 x+2  x+2 x2 + x − x2 +  Xét f ( x ) = với x  1;2 , f ( x ) = x+2 ( x + )2 f  ( x ) =  x2 + x − =  x = −2 + ; x = −2 − (loại) Lập BBT ta suy max f ( x ) = f (1) = f ( ) = 0;2  Vậy max VS AMCN   x =  1 1 y = =2 T = + = 2+ 2= 2  x = AM AN x y    y = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn