Skkn toán học thpt (17)

2 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến Từ năm học 2016–2017, việc đổi phương pháp thi THPT Quốc gia thi Tốt nghiệp THPT có đổi hình thức thi Đại học mơn Tốn từ tự luận 180 phút sang trắc nghiệm 100% (gồm 50 câu hỏi với thời gian 90 phút), hầu hết giáo viên học sinh gặp khơng khó khăn Với thi trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải hiểu cặn kẽ mặt lý thuyết; biết tư linh hoạt làm để đưa đáp án nhanh xác Để làm điều đó, giáo viên cần trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức bản, kỹ tổng hợp phân tích dạng tốn để giải tập cấp độ tư Trong trình dạy học mơn Tốn, học sinh Trung học phổ thơng thường phải phân tích, phán đốn hướng giải tốn, liên hệ tốn với toán quen thuộc, đơn giản đặc biệt mối quan quan hệ ứng dụng chủ đề kiến thức để có hướng giải tương tự ngược lại từ toán đơn giản ta sâu phân tích, mở rộng, phát triển thành toán Khi dạy phần phép biến hình mặt phẳng khơng gian thấy học sinh “sợ” Đặc biệt việc ứng dụng giải tốn liên quan nội dung khó địi hỏi học sinh vừa phải nắm kiến thức phép biến hình vừa phải biết tư hình học biết kết hợp sử dụng phương pháp nội dung tương ứng Đồng thời quan điểm cải cách giáo dục, người ta nghiên cứu cải tiến nội dung chương trình tốn học cách bỏ bớt nhũng lý luận dài dịng khơng cần thiết Mục tiêu cuối cần đạt tới làm cho học sinh nắm mối quan hệ biện chứng khái niệm, tính chất nhớ kiến thức mơn học để tính tốn, suy luận nhanh gọn để giải vấn đề đặt Trên tinh thần đó, cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống, kiến thức khác thông qua hệ thống ví dụ, tập đa dạng, phong phú để giúp rèn luyện, phát triển tư cho học sinh Khi học sinh biết nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ khác Khơng mà thơng qua việc giải ví dụ chủ đề cịn giúp học sinh hình thành giới quan vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo Sự say mê khoa học thường bắt nguồn từ hiểu biết Giúp học sinh hiểu biết sâu phép biến hình nói riêng ứng dụng nội dung cho đơn vị kiến thức Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang liên quan nói chung góp phần làm cho em say mê mơn tốn mơn khoa học khác Để nâng cao hiệu giáo dục góp phần đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục nước ta dạy học mơn tốn nhà trường phổ thông nghiên cứu đề tài: “ Ứng dụng số phép biến hình nhằm đáp ứng kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp” II Mô tả giải pháp Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Chủ đề phép biến hình nói riêng hình học nói chung quan trọng chương trình tốn THPT Đã có nhiều phương pháp để tiếp cận giải toán chủ đề Tuy nhiên với việc quen với không quan tâm giáo viên học sinh trước câu hỏi dừng lại mức độ nhẹ nhàng “ngại” phần hình học đến gần xuất khai thác ứng dụng câu hỏi vận dụng xuất đề thi tốt nghiệp THPT kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Đặc biệt ứng dụng khơng cịn đơn hình học tổng hợp mà cịn xuất hình học toạ độ giải tích dẫn tới nhiều khó khăn cho giáo viên học sinh Một khó khăn mà học sinh gặp phải chưa khai thác hết tính chất phép biến hình đặc biệt việc áp dụng với phần kiến thức hình học toạ độ giải tích Trong q trình dạy học mình, tơi nhận thấy cung cấp cho học sinh đầy đủ kiến thức nêu cách nhìn nhận tốn việc liên hệ kiến thức để chuyển hoá toán lạ tốn quen thuộc, đơn giản học sinh hồn tồn giải vấn đề mà khơng q khó khăn để từ đam mê với nội dung môn học Một số phương pháp quen thuộc với loại toán mà em học sinh biết tài liệu đề cập mức độ nhận biết, thông hiểu Trong sáng kiến này, tơi xin trình bày chủ yếu ứng dụng số phép biến hình mặt phẳng không gian như: Phép đối xứng tâm; Phép đối xứng trục; Phép tịnh tiến; Phép quay Phép vị tự nhằm giải toán mức độ vận dụng chủ đề khơng bó hẹp hình học mà cịn giải tích Mô tả giải pháp sau tạo sáng kiến Vấn đề đặt sáng kiến không đưa toán mức độ nhẹ nhàng liên quan trực tiếp tới phép biến hình hay phương pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang biết nội dung liên quan mà đưa phân tích số ứng dụng phép biến hình nói việc giải tốn mức độ vận dụng khơng lĩnh vực hình học mà cịn tìm hiểu sâu rộng lĩnh vực giải tích 2.1 Phép đối xứng: Đối xứng trục, đối xứng tâm đối xứng qua mặt phẳng 2.1.1 Khái niệm tính chất liên quan Phép biến hình phép dời hình khơng gian định nghĩa tương tự mặt phẳng nên khái niệm sau ta trình bày mặt phẳng: Trước tiên tìm hiểu phép biến hình: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M  mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Nếu ký hiệu phép biến hình F ta viết F M   M  hay M   F M  gọi điểm M  ảnh điểm M qua phép biến hình F Nếu H hình mặt phẳng ta kí hiệu H   F  H  tập điểm M   F M  , với điểm M thuộc H Khi ta nói F biến hình H thành hình H  , hay hình H  ảnh hình H qua phép biến hình F 2.1.1.1 Phép đối xứng trục * Định nghĩa: Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M khơng thuộc d thành M  cho d đường trung trực đoạn thẳng MM  gọi phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi trục phép đối xứng đơn giản gọi trục đối xứng Phép đối xứng trục d thường kí hiệu Đd Nếu hình H  ảnh hình H qua phép đối xứng trục d ta cịn nói H đối xứng với H  qua d , hay H H  đối xứng với qua d * Nhận xét  Cho đường thẳng d Với điểm M , gọi M hình chiếu vng góc M     đường thẳng d Khi M  Ñd  M   M 0M  M 0M  M   Ñd  M   M   Ñd  M  * Biểu thức toạ độ Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang x   x    Nếu d  Ox , gọi M  x ; y   Đd  M  x; y    y   y  x   x       Nếu d  Oy, gọi M x ; y   Ñd  M  x; y    y   y  * Tính chất Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính A O a B C B' C' a' R R O' A' * Trục đối xứng hình Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng qua d biến hình H thành Khi ta nói H hình có trục đối xứng 2.1.1.2 Phép đối xứng tâm * Định nghĩa M' I Cho điểm I Phép biến hình biến M điểm I thành nó, biến điểm M khác I thành M  cho I trung điểm MM  gọi phép đối xứng tâm I Điểm I gọi tâm đối xứng Phép đối xứng tâm I thường kí hiệu ĐI Nếu hình H  ảnh hình H qua ĐI ta cịn nói H đối xứng với H  qua tâm I , hay H H  đối xứng với qua I   Từ đinh nghĩa suy M   ÑI  M   IM   IM * Biểu thức toạ độ Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Đức Quang C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x   x    Với O 0;0 , ta có M  x ; y   ĐI  M  x; y     y   y  x   2a  x       Với I a;b  , ta có M x ; y   ÑI  M  x; y     y   2b  y  * Tính chất     Tính chất 1: Nếu ÑI  M   M  ĐI  N   N  M N  MN , từ suy M N   MN N M I M' N' Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính A A B A C B I A' I O B' C' I A' B' O' A' * Tâm đối xứng hình Điểm I gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành Khi ta nói H hình có tâm đối xứng 2.1.1.3 Phép đối xứng qua mặt phẳng Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  phép biến hình biến điểm thuộc  P thành nó, biến điểm M không thuộc  P  thành điểm M  cho  P mặt phẳng trung trực MM  Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P biến hình H thành  P  gọi mặt phẳng đối xứng hình H 2.1.2 Ví dụ áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Bùi Đức Quang C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 1: Gọi m0 số thực cho phương trình x  12x  m có ba nghiệm dương phân biệt x 1, x 2, x thỏa mãn x  x  x   Biết m0 có dạng a  b với a,b số hữu tỷ Tính 4a  8b A 106 Hướng dẫn: B 115 C 113 D 101 y 16 x Từ đồ thị hàm số y  x  12x ta có phương trình x  12x  m 1 có ba nghiệm dương phân biệt x 1, x 2, x m0  0;16 Ta có hàm số y  x  12x hàm số chẵn (vì y x   x   12 x   x  12x  y x  ) Từ đó, ta thấy x ; x ; x ba nghiệm dương phương trình 1 x ; x ; x ba nghiệm phương trình 1 Khơng tính tổng qt, giả sử x  x  x Khi ta có x 1, x 2, x nghiệm phương trình x  12x  m Theo định lí Viet ta có: x  x  x  Theo ra, x  x  x   nên x  b  a 1 1  3    12   3  97 Khi đó, m0   2   Sáng kiến kinh nghiệm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Bùi Đức Quang C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 97 ,b   4a  8b  106 Chọn đáp án A Nhận xét: Bằng việc sử dụng phép đối xứng trục phối hợp tính chất khác hàm số ta có nhận xét sau: a  - Biết đồ thị C  : y  f x  ta suy đồ thị C  hàm số y  f x  sau: + Giữ lại đồ thị C  : y  f x  trục hoành + Lấy phần đồ thị C  : y  f x  trục hoành đối xứng qua trục hoành   - Biết đồ thị C  : y  f x  ta suy đồ thị C  : y  f x sau: + Giữ lại đồ thị C  : y  f x  bên phải trục tung + Lấy phần đồ thị C  vừa giữ lại đối xứng qua trục tung 2x  có đồ thị C  Gọi M 2; thuộc C , x 1 đường trịn tâm M bán kính R cắt nhánh đồ thị C  không chứa M hai điểm   Ví dụ 2: Cho hàm số f x   R2 phân biệt A, B cho tam giác MAB có diện tích Khi bán kính R đường trịn A B C 2 D Hướng dẫn: Sáng kiến kinh nghiệm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Bùi Đức Quang C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nhận xét điểm M  C   d , với d : y  x  trục đối xứng C  nên      AMB  MAB  ABM  60  d, MA  d , MB   300 Suy   45    75   Phương trình đường thẳng MB qua M 2, có hệ số góc tan    là:   MB : y   x   Suy B, M   MB  C , gọi B có hồnh độ x , x   x nghiệm phương trình: x  2(l ) 2x   x 1     x 1 x  1       x  1   y    B 1  3,  Giả thiết S MAB R2  , MAB Khi đó: R  MB  MA  AB  Nhận xét: Thực tế học sinh làm mà không nhận xét đường thẳng d : y  x  trục đối xứng đồ thị hàm số để từ lập phương trình đường thẳng MB việc vượt qua tốn thực khó khăn lớn với em Chọn đáp án A Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy điểm A thuộc miền góc đó, điểm B thuộc cạnh Ox (B khác O ) Tìm C thuộc Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ A C hình chiếu A Oy B C hình chiếu B Oy C C hình chiếu trung điểm I AB Oy D C giao điểm BA '; A ' đối xứng với A qua Oy Hướng dẫn: Gọi M điểm đối xứng với A qua Ox Vì B  Ox nên BA  BM Gọi N điểm đối xứng với A qua Oy Vì C  Oy nên CA  CN Chu vi tam giác: PABC  AB  BC  CA  BM  BC  CN Sáng kiến kinh nghiệm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn * Bùi Đức Quang C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 10 Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có MB  BC  MC MC  CN  MN M x A Kết hợp với  , suy B PABC  MB  BC   CN  MC  CN  MN O y C Dấu "  " xảy B, C , M , N thẳng N hàng hay C giao điểm BM với trục Oy Chọn đáp án D Nhận xét: Ví dụ có sử dụng tốn tổng quát sau: Cho đường thẳng d hai điểm A, B Xét điểm M thay đổi d, tìm vị trí M để tổng T  MA  MB đạt giá trị nhỏ TH1: Khi A hay B thuộc d Tmin  AB M trùng A B TH2: Khi A, B khác phía với d  T  MA  MB  AB  Tmin  AB M giao điểm đường thẳng d AB TH3: Khi A, B phía với đường thẳng d ta gọi A1 đối xứng A qua d Theo tính chất phép đối xứng trục ta có: T  MA  MB  MA1  MB  A1B  Tmin  A1B M giao điểm đường thẳng d A1B Ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho hai số phức z 1, z thỏa mãn đẳng thức sau z1   3i  z   3i , z   3i  z   3i Giá trị nhỏ biểu thức P  z  z  z1   i  z   i A 10 B C 16 13 D 18 13 Hướng dẫn: Đặt z1  x  yi z1   3i  z1   3i  2x  3y   d1  Đặt z  x   y i z   3i  z   3i  x   3y    d2  Gọi A, B điểm biểu diễn z1, z A  d1; B  d2 Gọi C 6;1 Sáng kiến kinh nghiệm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Bùi Đức Quang C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 11 C1 E A d1 α C d2 B D C2 P  z1  z  z   i  z   i  z1  z  z   i  z   i  AB  AC  BC  C 1C Với C 1,C đối xứng với C qua d1, d2  66 31 Phương trình CC : 3x  2y  20   C  ;   13 13   24 13   Phương trình CC : 3x - y  17   C  ;  5  Vậy C 1C  18 13 Chọn đáp án D Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng x , y cố định Hai điểm M , N thay đổi x hai điểm P,Q thay đổi y cho MN  a, PQ  b a,b độ dài cho trước Hãy xác định vị trí M , N , P,Q cho bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện MNPQ lớn Hướng dẫn: Gọi V , S , r thể tích, diện tích tồn phần bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện MNPPQ; XY đoạn vng góc chung hai đường thẳng x , y; điểm X x ,Y y cho XY  d, x , y    Ta có r  3V 1 ,V  MN PQ.sin x , y   abd sin   const S 6 Sáng kiến kinh nghiệm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Bùi Đức Quang