MỤC LỤC I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến:……………………………………… II Mô tả giải pháp kỹ thuật…………………………………………………… II.1 Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến………………………………… II.2 Mô tả giải pháp sau có sáng kiến……………………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN……………………………………………………… A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ………………………………………… B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN……………………………………… 13 I GÓC………………………………………………………………………… 13 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG……………… 13 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG… 25 DẠNG 3: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG…………………… 38 II KHOẢNG CÁCH…………………………………………………………… 52 DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG ……………………………………………………………………………… 52 DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG………………………………………………………………………… 58 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG…………………………………………………………………… 77 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG…………………………………………………………………………… 79 DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 81 C BÀI TẬP TỰ LUẬN………………………………………………………… 99 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM………………………………………………… 105 III Hiệu sáng kiến đem lại……………………………………………… 122 IV Cam kết không chép vi phạm quyền………………………… 123 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến: Trong mơn tốn trường THPT phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động tính cẩn thận, xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Trong chương trình tốn lớp 11, 12, tốn góc, khoảng cách khơng gian xuất hầu hết đề thi định kì, đề thi học sinh giỏi, đề thi THPTQG Đối với học sinh đại trà, phần khoảng cách mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần này, nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập loại tập nhiều song dừng tập đơn giản Các tài liệu tham khảo có tài liệu phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách khơng gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian hạn chế nên việc biên soạn chuyên đề sắc nét, có tính hệ thống phần cịn gặp khó khăn Bản thân tơi dạy mơn Toán 11, 12, giảng dạy đối tượng học sinh khác nhau, thấy giới thiệu đơn giản sách giáo khoa, sách tập, chí theo số tài liệu tham khảo nhiều học sinh Khá, Giỏi chưa tích cực giải toán khoảng cách mức độ vận dụng, vận dụng cao; học sinh trung bình, yếu thường có tư tưởng bỏ qua câu Tuy nhiên giới thiệu cách làm sáng kiến tơi trình bày tơi thấy ưu điểm như: - Nhiều học sinh giải dễ dàng, nhanh chóng tốn góc, khoảng cách, kể tốn khoảng cách đề thi đại học Với học sinh Khá, Giỏi, ý thức học tốt giải nhanh trơn tru Với học sinh trung bình địi hỏi em phải luyện tập nghiêm túc giải tốt - Do nắm hướng giải nên học sinh tích cực, sẵn sàng tiếp nhận tốn khoảng cách, mà nói đến toán khoảng cách đề thi đại học học sinh hào hứng - Thay đổi tư tưởng bỏ qua tốn góc, khoảng cách số học sinh - Làm cho học sinh trở nên u thích phần Hình học khơng gian nói riêng mơn Tốn nói chung, từ phần học học sinh coi khó trở nên giải cách dễ dàng 2 - Rèn tư duy, phát triển tư cho học sinh, điều giúp em có hướng giải tốt vấn đề khó khăn sống, phát huy tính sáng tạo cơng việc Những lí nguồn cảm hứng, động lực thúc đẩy viết sáng kiến kinh nghiệm Tài liệu giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao khả thân II Mô tả giải pháp kỹ thuật II.1 Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Tôi xin nhắc lại dạng tốn góc khoảng cách góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo mà sách Bài tập Hình học 11 số tài liệu tham khảo hướng dẫn: 1) Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm song song với a b a' a O b' b 2) Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng ( P) +) Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P) góc đường thẳng d mặt phẳng ( P) 900 +) Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( P) góc đường thẳng d hình chiếu d ' ( P) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng ( P) d A O P d' H 3) Góc hai mặt phẳng - Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc hai mặt phẳng 00 n m Q P - Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt nhau: Cho hai mặt phẳng ( P) (Q) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng đường thẳng a ( P) vng góc với c dựng đường thẳng b (Q) vng góc với c Khi góc ( P) (Q) góc hai đường thẳng a b Q b c P I a 4) Tìm khoảng cách từ điểm M đến mp( P) - Tìm hình chiếu H M mp( P) - Tính MH * Phương pháp tìm hình chiếu H M mp( P) : mp(Q) M d H P + Tìm mp(Q) chứa M vng góc với mp( P) theo giao tuyến d + Từ M hạ MH vng góc với d ( H d ) ( P ) ⊥ ( Q ) ( P ) ( Q ) = d MH ⊥ ( P ) d ( M , ( P ) ) = MH + Vì MH ( Q ) MH ⊥ d 5) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo - Trường hợp 1: a, b chéo a, b vng góc với b a B A α + Chọn mp( ) chứa a vng góc với b B + Trong mp( ) kẻ BA vng góc với a A Suy AB đoạn vng góc chung a, b - Trường hợp 2: a, b chéo a, b khơng vng góc với Cách 1: b B M a α b' A M' + Dựng mặt phẳng ( ) chứa a song song với b + Chọn M b , dựng MM ' ⊥ ( ) M ' + Từ M ' dựng đường thẳng b '/ / b , cắt a A + Từ A dựng AB / / MM ' , cắt b B AB đoạn vng góc chung a, b Chú ý: d (a, b) = AB = MM ' = d (b,( )) Cách 2: a b A B O I α H b' + Dựng mặt phẳng ( ) ⊥ a O, ( ) cắt b I + Dựng hình chiếu vng góc b ' b ( ) + Trong mp ( ) , dựng OH ⊥ b ' H + Từ H dựng đường thẳng song song với a , cắt b B + Từ B dựng đường thẳng song song với OH , cắt a A AB đoạn vng góc chung a b Chú ý: d (a, b) = AB = OH Nếu triển khai sách giáo khoa, sách tập Hình học số tài liệu tham khảo cách làm tổng qt, học sinh áp dụng với toán đơn giản, nhiên thao tác phức tạp, khó nhớ nên tốn mức độ vận dụng cao đa số học sinh gặp khó khăn việc xác định khoảng cách tính tốn II.2 Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến a) Từ nét vẽ xác định góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng, cụ thể: - Xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thực hiện: (1) a' a O b b' (2) +) Nét 1: Vẽ a '/ / a +) Nét 2: Vẽ b '/ / b Khi ( a, b ) = ( a '; b ') - Xác định góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) , ta thực theo bước sau: d A (1) O d' P H (2) +) Tìm giao điểm O d với ( P ) (thường có sẵn giao điểm xác định giao điểm dễ dàng) +) Nét 1: Từ điểm A d (không trùng O ) vẽ AH ⊥ ( P) H +) Nét 2: Nối OH Đường thẳng d ' đường thẳng OH Khi ( d , ( P ) ) = ( d , d ) = AOH - Xác định góc hai mặt phẳng: Q (2) (1) b I c a P Giả sử ( P ) ( Q ) = c + Nét 1: Từ điểm I c , vẽ a ( P), a ⊥ c + Nét 2: Từ điểm I c , vẽ b (Q), b ⊥ c Khi (( P ) ; (Q ) ) = ( a;b ) b) Từ nét vẽ xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ ba đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng có loại khoảng cách: C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Điểm Đường thẳng Điểm Mặt phẳng Khoảng cách từ điểm→ điểm (là toán xuyên suốt toán tính khoảng cách, thường tính hệ thức lượng tam giác) Khoảng cách từ điểm→ đường thẳng Khoảng cách từ điểm→ mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng song song Các đối tượng Đường thẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Như từ ba đối tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng có loại khoảng cách trên, hai loại khoảng cách quan trọng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo Hai loại khoảng cách thường xuất đề thi, nhiều câu câu hỏi dùng để phân loại học sinh Trong loại khoảng cách vấn đề trọng tâm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, mấu chốt khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng chứa đỉnh Tài liệu giúp học sinh giải dễ dàng tốn mấu chốt từ nét vẽ Chẳng hạn tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng ( P) hình: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an S mp(P) (2) K a (3) H (1) I mp đáy nét là: + Nét 1: Kẻ HI ⊥ a I ( a giao tuyến mp(P) mp đáy) + Nét 2: Nối SI + Nét 3: Kẻ HK ⊥ SI K Khi đó: d ( H ,( P) ) = HK Có thể nói nét vẽ vi diệu, đơn giản giúp ta giải hầu hết toán khoảng cách mức độ vận dụng, vận dụng cao Các loại khoảng cách: khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song chuyển toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng So với giải pháp cũ cách làm đơn giản, dễ nhớ lại giải dễ dàng tốn Vì nắm nét vẽ ta giải dễ dàng toán mấu chốt: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng chứa đỉnh, từ giải hầu hết toán khoảng cách Trong lời giải tự luận tốn tính khoảng cách, thường yêu cầu học sinh trình bày ý chính: + Dựng hình + Chứng minh + Tính Sáng kiến sâu vào hai loại khoảng cách quan trọng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo với nhiều ví dụ minh họa từ dễ đến khó, nhiều mơ hình chóp chóp tam giác (tam giác vng, tam giác đều,…), chóp tứ giác (đáy hình vng, hình thoi, hình chữ nhật, hình thang vng,…) , chóp có cạnh bên vng góc với đáy, mặt bên vng góc với đáy, hai mặt bên vng góc với đáy,…; mơ hình hình lăng trụ Sáng kiến cập nhật nhiều toán khoảng cách đề thi Đại học, đề thi THPT Quốc gia năm gần Từ học sinh thực hành, trải nghiệm với nhiều mơ hình, tiếp xúc với đề thi Đại học, đề thi THPT Quốc gia, tăng thêm kĩ năng, tư duy, kinh nghiệm cho thân Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an NỘI DUNG SÁNG KIẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ I Góc Góc hai đường thẳng: Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm song song với a b a' a O b' b Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng d mặt phẳng ( P) +) Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P) góc đường thẳng d mặt phẳng ( P) 900 +) Nếu đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng ( P) góc đường thẳng d hình chiếu d ' ( P) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng ( P) d A O P d' H Góc hai mặt phẳng - Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc hai mặt phẳng 00 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 10 n m Q P - Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt nhau: Cho hai mặt phẳng ( P) (Q) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng đường thẳng a ( P) vng góc với c dựng đường thẳng b (Q) vng góc với c Khi góc ( P) (Q) góc hai đường thẳng a b Q b c I a P II Khoảng cách Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng M α H Cho điểm M đường thẳng Trong mp ( M , ) gọi H hình chiếu vng góc M Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến Kí hiệu d ( M , ) = MH Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 11 M H α Cho mặt phẳng ( ) điểm M , gọi H hình chiếu điểm M mặt phẳng ( ) Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu d ( M , ( ) ) = MH Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song M α H Cho đường thẳng mặt phẳng ( ) song song với Khi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ) gọi khoảng cách đường thẳng mặt phẳng ( ) d ( , ( ) ) = d ( M , ( ) ) , M - Nếu cắt ( ) nằm ( ) d (,( )) = Khoảng cách hai mặt phẳng song song M α β H Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng gọi khoảng cách hai mặt phẳng ( ) ( ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 12 d ( ( ) , ( ) ) = d ( M , ( ) ) = d ( H , ( ) ) với M ( ) , H ( ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo - Đường thẳng a cắt , ' vng góc với , ' gọi đường vng góc chung , ' a M N ' - Nếu a cắt , ' M, N MN gọi đoạn vng góc chung , ' Độ dài đoạn MN gọi khoảng cách , ' - Cách dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau: K M d α H ' N +) Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' song song với +) Bước 2: Dựng d hình chiếu vng góc xuống ( ) cách lấy điểm M dựng đoạn MN ⊥ ( ) , lúc d đường thẳng qua N song song với +) Bước 3: Gọi H = d ' , dựng HK / / MN Khi HK đoạn vng góc chung ' d (, ') = HK = MN - Nhận xét: +) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với +) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 13 B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN I GÓC DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải: * Cách Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thực hiện: (1) a' a O b' (2) b +) Nét 1: Vẽ a '/ / a +) Nét 2: Vẽ b '/ / b ( ) ( Khi a, b = a ', b ' ) * Cách (Ít sử dụng) Tìm hai vectơ phương u1 , u2 hai đường thẳng a, b Khi góc hai đường thẳng xác định cos ( a, b ) = u1 u2 u1 u2 Chú ý: +) Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a , b, c không đồng phẳng mà tính độ dài góc chúng, sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a , b, c thực tính tốn +) Ta thường chọn điểm O điểm có sẵn đường +) Giả sử u VTCP a , v VTCP b , (u , v ) = Khi đó: ( a, b ) = 180 − neáu 0 90 neáu 90 180 +) Nếu a//b a b ( a, b ) = 0 +) 0 ( a, b ) 90 +) Nếu góc thuộc tam giác vng dùng cơng thức tính tốn tam giác vuông Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 14 +) Nếu góc thuộc tam giác thường sử dụng định lý hàm số cosin tam giác Định lý hàm số cosin tam giác ABC : b2 + c − a a = b + c − 2bc cos A cos A = 2bc Ví dụ (Đề thi THPTQG - 2021 - Mã 101) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có tất cạnh Góc hai đường thẳng AA' BC ' bằng: A 300 B 900 C 450 A' D 600 C' B' (2) (1) C A B + Ta có AA '/ / BB ' nên ( A A ', BC ') = ( BB ', BC ') = B ' BC ' + Vì BCC ' B ' hình vng nên B ' BC ' = 450 Vậy ( A A ', BC ') = 450 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB, SAC, SAD giác vuông A Biết SA = a 3, AB = a, AD = 3a Tính góc đường thẳng sau: a) SD BC b) SB CD c) SC BD Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 15 S a I A 3a D a O B C a) Tính góc SD BC * Nhận xét: Để xác định góc hai đường thẳng SD BC ta sử dụng phương án 1, tìm đường thẳng song song với hai đường thẳng SD , BC song song với đường thẳng lại + Ta dễ nhận thấy AD / / BC SDA Khi ( SD; BC ) = ( SD; AD ) = 180 − SDA + Xét SAD có tan SAD = SA = suy SAD = 30 Vậy ( SD; BC ) = 30 AD b) Tính góc SB CD SBA + Tương tự, CD / / AB ( SB; CD ) = ( SB; AB ) = 180 − SBA + Xét SAB có tan SBA = SA = suy SDA = 60 Vậy ( SB; CD ) = 60 AB c) Tính góc SC BD + Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD , I trung điểm SA IOB Trong SAC có OI / / SC suy ( SC ; BD ) = ( OI ; BD ) = 180 − IOB + Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI có: a 3 a IB = IA + AB = + a = 2 + Ta có ABCD hình chữ nhật nên BD = AB + AD2 = a + 9a = a 10 suy OB = OA = a 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 16 + Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vng ABO có 2 a a 10 a 13 IO = IA + AO = + = 2 Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho IOB ta được: 13a 10a 7a + − OI + OB − IB 4 = cos IOB = = 2.OI OB a 13 a 10 130 2 2 = ( SC ; BD ) 130 Suy IOB = arccos Vậy ( SC ; BD ) = arccos 130 Ví dụ Cho tứ diện ABCD , gọi M , N trung điểm BC , AD Biết AB = CD = 2a , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải: A 2a N (2) P a (1) B D M 2a C * Nhận xét: Do AB CD cạnh tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc hai đường thẳng AB CD ta tạo đường thẳng tương ứng song song với AB , CD chúng cắt + Gọi P trung điểm AC , MP / / AB , NP / /CD MPN ( AB, CD ) = ( MP, NP ) = 180 − MPN + Do MP , NP đường trung bình nên ta có MP = NP = a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 17 Áp dụng định lý hàm số cosin MPN ta được: MP + NP − MN 2a − 3a cos MPN = = =− 2.MP.NP 2.a.a Suy MPN = 120 ( MP; NP ) = 60 Vậy ( AB; CD ) = 60 * Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P ta lấy điểm P trung điểm BD , cách giải khí tương tự Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D , AD = DC = a , AB = 2a , SA vng góc với AB AD , SA = 3a Tính góc đường thẳng a) CD SB b) SD BC Hướng dẫn giải: S 2a 3 (1) 2a A I B a (2) D a C a) + Do DC / / AB ( DC; AB ) = ( AB; SB ) = 2a SA = = + Tam giác SAB vuông A nên góc nhọn, tan = AB 2a suy = 30 Vậy góc hai đường thẳng DC SB 30 b) + Gọi I trung điểm AB , AI = a Tứ giác ADCI hình hình hành (do AI / / DC ), có AI = AD = a nên hình thoi Lại có góc A , D vng nên ADCI hình vng cạnh a suy DI = a + Mặt khác, tứ giác BIDC hình hình hành (do cặp cạnh DC BI song song nhau) nên BC / / DI Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 18 Khi đó, ( SD; BC ) = ( SD; DI ) 2a 7a 2 + a = + Tam giác SAI vuông A nên SI = SA + AI = 2 2 2a 7a 2 Tam giác SAD vuông A nên SD = SA + AD = + a = 2 Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác SDI ta cos SDI = SD + DI − SI = 2.SD.DI 2a = a 21 42 .a 42 Do cos SDI nên góc SDI góc nhọn suy = SDI = arccos Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a , gọi I trung điểm cạnh AD Tính góc hai đường thẳng AB CI Hướng dẫn giải: A I (2) K B (1) D O C Ta có tam giác mặt đáy mặt bên tam giác cạnh a + Gọi O tâm tam giác BDC K trung điểm BD IK đường trung bình tam giác ABD , IK / / AB Rõ ràng IC trung tuyến đồng thời đường cao tam giác ACD , CK đường cao tam giác Thu IK = a 1 AB = a , CK = IC = 2 ( ) ( ) Tam giác CIK có AB; CI = IK ; CI = CIK Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 19 a 3a 3a + − IK + IC − CK 4 = cos CIK = = 2.IK IC a a 2 2 3 Suy ( AB; CI ) = arccos * Một số câu đề thi THPTQG năm gần Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm BC Góc hai đường thẳng OM AB A 450 B 90 C 30 D 60 Hướng dẫn giải: Chọn D A N (2) B O (1) M C + Đặt OA = a suy OB = OC = a AB = BC = AC = a + Gọi N trung điểm AC ta có MN / / AB MN = a 2 Suy góc ( OM , AB ) = ( OM , MN ) Xét OMN + Trong tam giác OMN có ON = OM = MN = a nên OMN tam giác Suy OMN = 600 Vậy ( OM , AB ) = ( OM , MN ) = 600 Câu (Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết MN = a , góc hai đường thẳng AB CD Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 20 B 90 A 450 Hướng dẫn giải: C 60 D 30 A M 2a (2) P a B D (1) N 2a C + Gọi P trung điểm AC , ta có PM //CD PN //AB , suy ( AB, CD ) = ( PM , PN ) + Dễ thấy PM = PN = a Xét PMN ta có cos MPN = ( PM + PN − MN a + a − 3a = =− PM PN 2.a.a ) MPN = 1200 AB, CD = 1800 − 1200 = 600 Câu (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD.ABCD ; gọi M trung điểm BC Góc hai đường thẳng AM BC A 45 B 90 C 30 D 60 Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 21 A' D' M B' C' (2) (1) N D A B C + Giả sử cạnh hình lập phương a + Gọi N trung điểm đoạn thẳng BB Khi đó, MN //BC nên ( AM , BC ) = ( AM , MN ) + Xét tam giác ABM vng B ta có: AM = AB2 + BM = a + Xét tam giác AAM vng A ta có: AM = AA2 + AM = a + Có AN = AM = a2 a = 5a 3a = a BC a = ; MN = 2 Trong tam giác AMN ta có: 9a 2a 5a 6a + − = = 2 2 MA + MN − AN 4 6a 2 = cos AMN = 3a a 2.MA.MN 2 Suy AMN = 45 Vậy ( AM , BC ) = ( AM , MN ) = AMN = 45 Câu (Chun Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm AD SD Số đo góc hai đường thẳng MN SC A 45 B 60 C 30 D 90 Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 22 S N (1) (2) M A D P O B C + Gọi P trung điểm CD + Ta có: NP // SC ( MN , SC ) = ( MN , NP ) a + Xét tam giác MNP ta có: MN = , NP = a a , MP = 2 a2 a2 a2 = MN + NP = + = MP MNP vuông N 4 2 MNP = 90 ( MN , SC ) = ( MN , NP ) = 90 Câu (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.MNP có tất cạnh Gọi I trung điểm cạnh AC Cơsin góc hai đường thẳng NC BI A 15 B C D Hướng dẫn giải: K M P (2) N a (1) a C I A a a B + Giả sử cạnh lăng trụ a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 10 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 23 + Gọi K trung điểm MP BI / / NK ( NC, BI ) = ( NC, NK ) + ABC.MNP lăng trụ tam giác CP ⊥ ( MNP ) CK = CP + PK = a CN = CP + NP = a NK = NP − KP = cos CNK = a NC + NK − CK = NC.NK Câu (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos ( AB, DM ) A B C D Hướng dẫn giải: A N (2) B D (1) M C Chọn B + Gọi N trung điểm AC Suy MN // AB Do đó: cos ( AB, DM ) = cos ( MN , DM ) a + Gọi a độ dài cạnh tứ diện ABCD , suy MN = ; ND = MD = Trong tam giác MND ta có: cos NMD = MN + MD − ND = 2.MN MD cos ( AB, DM ) = cos NMD = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 24 Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD với AC = AD, CAB = DAB = 600 , CD = AD Gọi góc hai đường thẳng AB CD Chọn khẳng định góc A cos = B 30 D cos = C 60 Hướng dẫn giải: * Nhận xét: Đề cho mối quan hệ độ dài góc nên ta tính góc hai đường thẳng thơng qua tích vơ hướng hai vectơ phương Chọn D A 600 600 a 3a B D a C Ta có AB CD = AB ( AD − AC ) = AB AD − AB AC = AB AD cos 600 − AB AC.cos 600 −1 = AB AD cos 600 − AB AD.cos 600 = AB AD ( ) cos AB, CD = AB.CD −1 = cos = AB.CD 4 Câu (Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , tam giác ABC nằm mặt phẳng vuông góc với ( ABC ) M trung điểm cạnh CC Tính cosin góc hai đường thẳng AA BM A cos = 22 11 B cos = 33 11 C cos = 11 11 D cos = 22 11 Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 25 A' C' B' M a C A a a H B + Ta có: AH = AH = a AH ⊥ BC , AH ⊥ BC BC ⊥ ( AAH ) BC ⊥ AA hay BC ⊥ BB Do đó: BCCB hình chữ nhật a 22 a a BM = a + =a 2= Khi đó: CC = AA = 16 2 ( ) + Xét: AA.BM = AA BC + CM = + AA.CM = Suy cos ( AA, BM ) = 3a a a 22 = 3a 33 11 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Giả sử cần xác định góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) , ta thực theo bước sau: +) Tìm giao điểm O d với ( P ) (thường có sẵn giao điểm xác định giao điểm dễ dàng) +) Nét 1: Từ điểm A d (không trùng O ) vẽ AH ⊥ ( P) H +) Nét 2: Nối OH Đường thẳng d ' đường thẳng OH Khi ( d , ( P ) ) = ( d , d ) = AOH Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 26 d A (1) O H d' P (2) Ví dụ (Đề thi THPTQG- 2020- Mã 101) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a BC = 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 15a Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy bằng: A 450 B 300 C 600 D 900 Hướng dẫn giải: S 15a (1) A C (2) a 2a B + Do SA vng góc với mặt phẳng đáy nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng đáy ( ) ( ) Suy SC ,( ABC ) = SC , AC = SCA + Trong ABC vuông B có AC = AB2 + BC = a + 4a = 5a + Trong SAC vuông A có tan SAC = ( SA 15a = = SAC = 600 AC 5a ) Vậy SC ,( ABC ) = 600 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 27 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , S A = a vng góc với đáy Tính góc a) SC ( ABCD ) b) SC ( SAB ) c) SB ( SAC ) Hướng dẫn giải: S a (2) a A D a a (1) a B O C a) + SA ⊥ ( ABCD ) AC hình chiếu SC ( ABCD ) ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , AC ) = SCA + Ta có AC = a nên tan SCA = SA a = = SCA = 600 AC a ( SC, ( ABCD ) ) = 600 BC ⊥ AB BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ AS b) + Có BS hình chiếu CS mặt phẳng ( SAB ) ( SC , ( SAB ) ) = ( SC , SB ) = CSB + Có SB = AS + AB = a tan CSB = CB a 1 = = CSB = arctan SB a 7 ( SC , ( SAB ) ) = arctan Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 BO ⊥ AC BO ⊥ ( SAC ) BO ⊥ S A c) + SO hình chiếu SB ( SAC ) ( SB, ( SAC ) ) = ( SB, SO ) = OSB a BO 1 sin OSB = = = OSB = arcsin SB a 14 14 ( SB, ( SAC ) ) = arcsin 14 Ví dụ Cho hình chop S ABC đáy ABC vuông C , SA vuông góc ( ABC ) A , SA = AC = a , AB = 2a Xác định tính góc cặp đường thẳng mặt phẳng sau: a) SA, SC, SB với ( ABC ) b) BC, BA, BS với ( SAC ) c) CH , CA, CB, CS với ( SAB) Với CH đường cao ABC d) Biết AK đường cao tam giác SAC , xác định tính góc AK , AS , AC ( SBC ) Hướng dẫn giải: S a K 2a H A a C a) 1) SA vng góc ( ABC ) A ( SA; ( ABC ) ) = 90 2) ( SC; ( ABC ) ) = ( SC; AC ) = SCA = 45 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn B C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 29 1 3) ( SB; ( ABC ) ) = ( SB; AB ) = SBA = arctan b) BC ⊥ AC BC ⊥ ( SAC ) ( BC ; ( SAC ) ) = 90 BC ⊥ SA 1) 2) ( BA; ( SAC ) ) = ( BA; AC ) = BAC = 60 3) ( BS ; ( SAC ) ) = ( BS ; SC ) = BSC = 45 c) CH ⊥ AB CH ⊥ ( SAB ) ( CH ; ( SAB ) ) = 90 CH ⊥ SA 1) 2) ( CA; ( SAB ) ) = ( CA; AH ) = CAH = CAB = 60 1 3) ( CB; ( SAB ) ) = ( CB; HB ) = CBH = CBA = arctan 6 4) ( CS ; ( SAB ) ) = ( CS ; SH ) = CSH = arcsin Xét ABC vuông C : sin 60 = CH a CH = AC a CH = = Xét SCH vuông H : sin CSH = SC a d) AK ⊥ BC ( BC ⊥ ( SAC ) ; AK ( SAC ) ) 1) AK ⊥ SC AK ⊥ ( SBC ) ( AK ; ( SBC ) ) = 90 2) ( AS ; ( SBC ) ) = ( AS ; SK ) = ASK = ASC = 45 3) ( AC; ( SBC ) ) = ( AC; CK ) = ACK = ACS = 45 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng ( ABCD ) trọng tâm G tam giác ABD , cho SG = 2a Tính góc giữa: a) SA BD b) SC ( ABCD ) c) AD ( SAC ) d) SD ( ABCD ) Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 S 2a a A a a G B D O a C a) Gọi O = AC BD Do G trọng tâm tam giác ABD nên G thuộc AC AC ⊥ BD ( SAC ) ⊥ BD SA ⊥ BD SG ⊥ BD Ta có: ( ) Vậy SA; BD = 90 b) S 2a (1) a A a G B Ta có: AC = BD = a AO = OG = a D a O (2) C a 2 a 2 AO = CG = a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 Mặt khác, tan SCG = SG 2a = = cos SCG = = 0 GC 2a 11 + tan SCG ) ( 11 Vậy SC; ( ABCD ) = SCG = với cos = c) S 2a a A (2) a G B D a (1) O a C ) ( DO ⊥ AO DO ⊥ ( SAC ) AD; ( SAC ) = DAO = 45 DO ⊥ SG Ta có: d) S 2a (1) a A a G B (2) Trong GOD có: GD = OD + GO = a O a D C a2 a2 a + = 18 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 Mặt khác tan SDG = SG 2a = = cos SDG = 0 DC 41 5 a ) ( Vậy SD; ( ABCD ) = SDG = với cos = 41 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B , AB = BC = a , AD = 2a Cạnh SA vng góc với đáy, SA = a Tính góc a) SC ( SAB ) b) SD ( SAC ) c) AC ( SAD ) Hướng dẫn giải: S a (2) 2a A F D a B a (1) C E BC ⊥ AB BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ SA a) Ta có: SB hình chiếu SC ( SAB ) ( SC , ( SAB ) ) = ( SC , SB ) SB = SA2 + AB = 3a Mà 2 2 SC = SA + AB + BC = 4a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 SB + SC − BC 3a + 4a − a cos BSC = = = 2.SB.SC 2.2a 3a BSC = 300 ( SC , ( SAB ) ) = 300 b) Trên mặt phẳng ( ABCD ) kẻ DE ⊥ AC ( E AC ) Ta có EAD vng cân tai E AE = ED = a 2; SD = a Dễ thấy: DE ⊥ ( SAC ) ( SD, ( SAC ) ) = ESD Do ta có sin ESD = DE = cos ESD = SD 3 c) S a (2) 2a A a B F D (1) a C E Kẻ CF ⊥ AD ( F AD ) Khi dễ thấy CF ⊥ ( SAD ) ( AC, ( SAD ) ) = CAF = 450 * Một số câu đề thi THPTQG năm gần Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Góc SC mặt phẳng (ABCD ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 A 45 Hướng dẫn giải: B 60 C 30 D 90 S a (1) A D (2) B C a Chọn C Ta có SA ⊥ (ABCD ) nên ta có (SC ,(ABCD)) = SCA tan SCA = SA = AC 2a 3a = SCA = 300 Câu (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho khối chóp S.ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông B , AC 2a , BC a , SB 2a Tính góc SA mặt phẳng SBC A 45 Hướng dẫn giải: B 30 C 60 D 90 S 2a (2) H (1) 2a C A a B + Trong SAB kẻ AH + Vì SA BC AB BC BC SB H SAB SB BC AH Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Mà SB SBC , hay H hình chiếu A lên AH cách dựng nên AH SBC suy góc SA SBC góc ASH hay góc ASB + Tam giác ABC vuông B Tam giác SAB vuông A AB AC AB SB sin ASB BC 2 a ASB 30 Câu (Chun ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB = 2a , BAC = 600 SA = a Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( SAC ) A 300 Hướng dẫn giải: B 450 C 600 D 900 S a (2) A C 600 (1) 2a B + Trong mặt phẳng ( ABC ) kẻ BH ⊥ AC Mà BH ⊥ SA BH ⊥ ( SAC ) Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( SAC ) BSH + Xét tam giác ABH vuông H , BH = AB.sin 600 = 2a AH = AB.cos 600 = 2a =a = a + Xét tam giác SAH vuông S , SH = SA2 + AH = (a ) + a2 = a + Xét tam giác SBH vng H có SH = HB = a suy tam giác SBH vuông H Vậy BSH = 450 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng ( ABCD ) A 2 B 3 C D 3 Hướng dẫn giải: S M (1) A D H (2) B O C Chọn D + Gọi O tâm hình vng Ta có SO ⊥ ( ABCD ) SO = a − + Gọi H trung điểm OD a2 a = 2 ta có MH / / SO nên H hình chiếu M lên mặt phẳng ( ABCD ) MH = SO = a Do góc đường thẳng BM mặt phẳng ( ABCD ) MBH a MH = = + Ta có tan MBH = BH 3a Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA = a Gọi Vậy tang góc đường thẳng BM mặt phẳng ( ABCD ) góc SD ( SAC ) Giá trị sin A B C Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 S a (2) A D (1) O B C a + Gọi O = AC BD DO ⊥ AC DO ⊥ ( ABCD ) DO ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) ) Ta có: SO hình chiếu SD lên mặt phẳng ( SAC ) ( SD; ( SAC ) ) = ( SD; SO ) = DSO = 2 + Xét SAD vuông A : SD = 3a + a = 2a + Xét SOD vuông O : có SD = 2a , OD = a DO sin = sin DSO = = SD Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho tứ diện SABC cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, SC Tính tan góc đường thẳng MN mặt phẳng ( ABC ) A B C Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 S N (1) A C (2) H O M B Chọn C + Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Vì SABC tứ diện cạnh a nên h = a + Gọi H chân đường vng góc từ N xuống ( ABC ) H trung điểm OC 2 a MH = MC = a − = a 3 2 + Vì N trung điểm SC nên NH = h = a + Góc đường thẳng MN mặt phẳng ( ABC ) NMH Vậy tan NMH = NH = a : a = MH DẠNG 3: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) ta sử dụng cách sau: *) Cách (Sử dụng định nghĩa): Tìm hai đường thẳng a , b mà a ⊥ ( P) , b ⊥ (Q) Khi đó: ( ( P),(Q) ) = ( a, b ) (Cách sử dụng) *) Cách 2: Giả sử ( P ) ( Q ) = c + Nét 1: Từ điểm I c , vẽ a ( P), a ⊥ c + Nét 2: Từ điểm I c , vẽ b (Q), b ⊥ c Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Khi (( P ) ; (Q ) ) = ( a;b ) Q (2) (1) b I c a P *) Cách 3: Sử dụng cơng thức hình chiếu Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), = ( ( P ),(Q) ) Khi đó: S ' = S cos Chú ý: +) Để xác định hai đường thẳng a, b ta thường xác định mặt phẳng trung gian ( R ) mà ( R ) ⊥ c (Đây bước quan trọng nhất) Khi a = ( R ) ( P ) , b = ( R ) ( Q ) +) 00 ( ( P),(Q) ) 90 * Những trường hợp đặc biệt đề hay ra: Trường hợp 1: Hai tam giác cân ACD BCD có chung cạnh đáy CD Gọi H trung điểm CD, góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc AHB Trường hợp 2: Hai tam giác ACD BCD có chung cạnh CD Dựng AH ⊥ CD BH ⊥ CD Vậy góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc AHB Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Trường hợp 3: Có thể tìm góc hai mặt phẳng công thức S ' = S cos Trường hợp 4: Tìm hai đường thẳng d d' vng góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) Góc hai mặt phẳng góc d d' Trường hợp 5: CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG BÊN VÀ MẶT PHẲNG ĐÁY Bước 1: Xác dịnh giao tuyến d mặt bên mặt đáy Bước 2: Từ hình chiếu vng góc đỉnh, dựng AH ⊥ d Bước 3: Góc cần tìm góc SHA Với S đỉnh, A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC) Hãy xác định góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC) Ta có BC giao tuyến mp (SBC) (ABC) Từ hình chiếu đỉnh điểm A, dựng AH ⊥ BC BC ⊥ SA BC ⊥ ( SAH ) BC ⊥ SH BC ⊥ AH Vì Kết luận góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc SHA Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác đều, DBC vuông cân D Biết AB = 2a , AD = a Tính góc ( ABC ) ( DBC ) Hướng dẫn giải: A a 2a (2) B D (1) E C + Ta có: ( ABC ) ( BCD ) = BC + Gọi E trung điểm BC AE ⊥ BC ( ADE ) ⊥ BC ( ( ABC ) , ( BCD ) ) = ( AE , DE ) DE ⊥ BC + Tam giác ADE có AE = 2a BC 2a = a 3, DE = = = a, AD = a 2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 Do đó: cos AED = Vậy AE + DE − AD AE.DE 2 (a 3) = ( + a2 − a ( ) ) 2 a a =− AED = 150 ( ( ABC ) , ( BCD ) ) = ( AE , DE ) = 180 − 150 = 30 Ví dụ (Đề thi THPTQG-2022- Mã 101) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AC = , AB = AA' = Góc hai mặt phẳng ( ABC ') ( ABC ) bằng: A 300 B 450 C 900 D 600 Hướng dẫn giải: A' C' B' (2) C A (1) B AB ⊥ BC , AB ⊥ BB ' + Ta có BC , BB ' ( BCC ' B ') AB ⊥ ( BCC ' B ') AB ⊥ BC ' BC BB ' = B ( ABC ') ( ABC ) = AB + Lại có BC ' ( ABC '), BC ' ⊥ AB ( ( ABC '),( ABC ) ) = ( BC ', BC ) = C ' BC BC ( ABC ), BC ⊥ AB + Xét ABC vng B có BC = AC − AB = + Xét BCC ' vuông C có tan C ' BC = CC ' = =1 BC Vậy C ' BC = 450 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , O tâm đáy Hình chiếu vng góc S xuống ( ABCD ) trung điểm H OA , biết ( SD; ( ABCD ) ) = 60 Tính góc a) ( SCD ) ( ABCD ) b) ( MBC ) ( ABCD ) , với M trung điểm SA Hướng dẫn giải: S (2) 2a 600 2a A I (1) H 2a O B 2a D C + Ta có: SH ⊥ ( ABCD ) ( SD, ( ABCD ) ) = ( SD, HD ) = SDH = 60 + a 2 a OHD : HO = AC = , OD = a HD = HO + OD = + a SHD : SH = HD.tan 60 = ( a 10 a 30 3= 2 a) + Ta có: ( SCD ) ( ABCD ) = CD + Trong mặt phẳng ( ABCD ) , kẻ HI HI ⊥ CD AD, HI CD = I 3a HI = 2a = + Lại có: SH ⊥ CD CD ⊥ ( SHI ) ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( SI , HI ) = SIH (do SIH 90 ) Xét SHI : tan SIH = SH 30 30 = ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SIH = arctan HI 3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn ) = a 10 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 b) S M (2) E K 2a O 2a D I H (1) B 600 2a A C + Ta có: ( MBC ) ( ABCD ) = BC + Gọi E trung điểm AH EM ⊥ ( ABCD ) EM = SH = + Trong mặt phẳng ( ABCD ) , kẻ EK a 60 EK ⊥ BC AB, EK BC = K 7 7a EK = AB = 2a = + Lại có: EM ⊥ BC BC ⊥ ( MEK ) ( ( MBC ) , ( ABCD ) ) = ( MK , EK ) = MKE EM 60 60 = ( ( MBC ) , ( ABCD ) ) = MKE = arctan EK 7 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B + Xét MEK : tan MKE = với AB = BC = a ; AD = 5a Hình chiếu vng góc S xuống ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn AB với BH = AH Biết ( SC ; ( ABCD ) ) = 45 Tính góc a) ( SCD ) ( ABCD ) b) ( IBC ) ( ABCD ) , với I thuộc đoạn SA cho SI = 2IA Hướng dẫn giải: Ta có: SH ⊥ ( ABCD ) ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , HC ) = SCH = 45 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 2 a 13 2 2a SH = HC = BH + BC = AB + BC = + a = 3 a) 2 S (2) A H a B 450 (1) a 5a D K C + Ta có: ( SCD ) ( ABCD ) = CD + Trong mặt phẳng ( ABCD ) , kẻ HK ⊥ CD + Lại có: SH ⊥ CD CD ⊥ ( SHK ) ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( SK , HK ) = SKH + Xét SHK : ( AD + BC ) AB AD AH BH BC 2 − − 2 SSHK ( S ABCD − S AHD − S BHC ) HK = = = 2 CD AB + ( AD − BC ) AB + ( AD − BC ) 5a 5a a 2a a + a a − 3− 2 4a = = 13 a a2 + − a tan SKH = SH 13 13 = ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SKH = arctan HK 12 12 b) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 S I P (2) A H a (1) B 5a D 450 a C + Ta có: ( IBC ) ( ABCD ) = BC + Lại có: BC ⊥ ( SBA ) ( ( IBC ) , ( ABCD ) ) = ( BI , BA ) = IBA + Xét SAB : BH = AB = + Gọi P = IB SH 2a HP IP HI IA HA 1 a 13 = = = = = HP = SH = SP BP SB SA BA 12 HP 13 13 = = tan ABI ( ( IBC ) , ( ABCD ) ) = ABI = arctan BH 8 Ví dụ Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a , AA vng góc với đáy AA = a Tính góc ( ABC ) ( BCA ) + Xét BHP : tan HBP = Hướng dẫn giải: A' C' B' a K (1) M (2) a A C T a a B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 + Ta có giao tuyến hai mặt phẳng đoạn BK , với K tâm hình vng ACCA BT ⊥ AC ( KTB ) ⊥ ( ABC ) BT ⊥ KT + Gọi T trung điểm AC + Từ T kẻ TM vng góc với KB AMC AC ⊥ BK BK ⊥ AMC ABC , A BC = ( ) ( ) ( ) ( ) 180 − AMC TM ⊥ BK a + Ta có KT = ; BT = a KT BT a a BK = a TM = = MC = BK 4 a MT = = cos AMC = cos TMC − = − Dẫn đến cos TMC = MC a 7 AMC 980 ( ( ABC ) , ( ABC ) ) 820 * Một số câu đề thi THPTQG năm gần Câu (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB = 2a , SA vng góc với mặt đáy góc SB mặt đáy 60 Gọi góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) Giá trị cos 15 A B C D Hướng dẫn giải: S (2) C A 2a (1) 600 M B Chọn C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 + Gọi M trung điểm BC AM ⊥ BC (1) + Có BC ⊥ SA BC ⊥ SM (2) BC ⊥ AM Từ (1) (2) suy (( SBC ),( ABC )) = SMA = + Do SA ⊥ ( ABC ) SA ⊥ AB AB hình chiếu vng góc SB lên ( ABC ) SBA = 60 + SAB có SA = AB.tan SBA = 2a.tan60 = 3a 1 + ABC có AM = BC = AB2 + AC = (2a) + (2a ) = a AM 2 AM = SA2 + AM + SAM vng A có cos = SM = a (2 3a) + (a ) 2 = Câu (Sở Bắc Giang -2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a , AD = SA = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) Tính tang góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( ABCD ) A B C D Hướng dẫn giải: S 2a (2) 2a A a D D a (1) H O H B B C + Ta có ( SBD ) ( ABCD) = BD + Hạ AH ⊥ BD H Ta có 2a A AH ⊥ BD BD ⊥ ( SAH ) BD ⊥ SH BD ⊥ SA ( ) ( ( SBD ) ;( ABCD) ) = HA, HS ( ) + SAH vuông A SHA 90 HA, HS = SHA Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn O C C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 tan SHA = SA AH + Xét ABD vng A có: 1 = + 2 AH AB AD 2 AH = SA 2a tan SHA = = = AH 2a 5 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng ( ABCD) Biết a Tìm số đo góc hai mặt phẳng AB = SB = a , SO = ( SAB ) ( SAD ) A 30 Hướng dẫn giải: B 45 C 60 D 90 S a M a (1) D A a (2) O B C Chọn D + Gọi M trung điểm SA Ta có SAB cân B BM ⊥ SA (1) + Vì SO ⊥ ( ABCD ) SO ⊥ BD , lại có O trung điểm BD SBD cân S nên SD = SB = a SAD cân D nên DM ⊥ SA (2) + Lại có ( SAB ) ( SAD ) = SA (3) Từ (1);(2);(3) ( ( SAB ) , ( SAD ) ) = BMD ( ( SAB ) , ( SAD ) ) = 180 − BMD + Xét SOB OB = a 2a BD = 3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 + Xét AOB OA = OC = a 2a a OM = SC = = BD 3 Do BMD vuông M + Xét SOC SC = Vậy ( ( SAB ) , ( SAD ) ) = BMD = 90 Câu (Sở Quảng Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( ABCD ) Nếu tan = góc ( S AC ) ( SBC ) A 30 Hướng dẫn giải: B 90 C 60 D 450 S K A (2) D α (1) a O B C + Gọi O tâm đáy, K hình chiếu vng góc O SC BD ⊥ AC BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ SO , BD ⊥ S A Do Suy góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( ABCD ) góc SOA = + Ta có tan = SA = SA = OA = a OA SC ⊥ BD SC ⊥ BK SC ⊥ OK + Do Do góc hai mặt phẳng ( S AC ) ( SBC ) BKO + Ta có tan BKO = BO BO = = OK d A, SC ( ) 2 BO SA AC = 2 2 + 2 = SA2 + AC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 Vậy BKO = 600 Câu (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD = a Cạnh SA vng góc với mặt đáy SA = a Tính góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) A 60 Hướng dẫn giải: B 120 C 45 D 90 S a H (2) a A D (1) a a B C a 6 10 a + Ta có SB = SA + AB = + a = 2 + Vì tam giác ABD nên AC = AO = 2 Suy SC = SA + AC 2 a 6 = + a ( ) a=a = a SC ⊥ BD SC ⊥ HD SC ⊥ BH + Kẻ BH ⊥ SC , ta có ( SBC ) ( SCD ) = SC Như BH ⊥ SC DH ⊥ SC (( SBC ) , ( SCD )) = (BH , DH ) HC BC + SC − SB a = HC = + Xét tam giác SBC ta có cosC = BC BC.SC Suy HD = HB = BC − HC = a HB + HD − BD = BHD = 90 + Ta có cos BHD = HB.HD ( ) Vậy ( SBC ) , ( SCD ) = 90 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AA = AB = AC = BAC = 1200 Gọi I trung điểm cạnh CC Cơsin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABI ) A 370 20 70 10 B C 30 20 D 30 10 Hướng dẫn giải: * Nhận xét: Việc tính diện tích tam giác AB ' I ABC dễ dàng nên dùng cơng thức hình chiếu Chọn D A' C' B' I 1200 A C B + Gọi góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABI ) AB = , AI = BC = AB + AC − AB AC.cos A = BC = BC = BI = BC 2 + C I = 13 2 2 Vì AB + AI = BI ABI vng điểm A S ABC = AB AC sin A = S ABI = 10 AI AB = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 + Hình chiếu vng góc ABI lên mặt phẳng ( ABC ) ABC Ta có S ABC = S ABI cos cos = S ABC 30 = S ABI 10 II KHOẢNG CÁCH DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Nhận xét: - Dạng tốn nhìn chung dễ việc dựng hình chiếu điểm đường thẳng tính tốn khoảng cách đơn giản Dạng tốn gặp kì thi, nhiên để chuyên đề đầy đủ hơn, tơi giới thiệu vài ví dụ cho dạng toán - Khoảng cách hai đường thẳng song song đưa khoảng cách từ điểm đến đường thẳng a) Phương pháp giải - Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ta cần xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng Điểm H thường dựng theo hai cách sau: +) Cách 1: Trong mp ( M , ) vẽ MH ⊥ ( H ) d ( M , ) = MH M α H Nhận xét: Nếu vẽ trực tiếp HK ⊥ SA, ( K SA ) mà việc tính khoảng cách dễ dàng ta thực theo cách +) Cách 2: : Dựng mặt phẳng ( ) qua M vng góc với H d ( M , ) = MH M H α - MH thường đường cao tam giác Hai cơng thức sau hay dùng để tính MH : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 +) MAB vng M có đường cao MH thì: 1 MA.MB hay MH = = + 2 MH MA MB MA2 + MB 2S +) MH đường cao MAB MH = MAB AB b) Ví dụ * Ví dụ cho cách Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vng góc với mặt phẳng ( BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AM Hướng dẫn giải: A a H a C B a M a D +) Kẻ CH ⊥ AM , H AM +) d (C , AM ) = CH +) Xét ACM có 1 1 11 = + = + = CH AC CM (a 2) a 6a CH = a 11 11 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , đáy ABCD hình thoi Vậy d (C , AM ) = CH = a cạnh a B = 600 Biết SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến SC Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 S 2a H a A D a a 60° a B C +) Kẻ AH ⊥ SC +) d ( D, SC ) = AH +) ABCD hình thoi cạnh a B = 60 ABC AC = a Trong tam giác vng SAC ta có: 1 = 2+ AH SA AC AH = SA AC = 2a.a = 5a SA2 + AC 4a + a Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a , ABCD hình vuông cạnh a Gọi O tâm ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC Hướng dẫn giải: S 2a H a A D a a O B a C +) Kẻ OH ⊥ SC +) d ( O; SC ) = OH +) Ta có: SAC OCH ( g − g ) nên OH OC OC = OH = SA SA SC SC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 Mà OC = a AC = , SC = SA2 + AC = a 2 OC a a SA = = SC 3 Ví dụ Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy Tính khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên Hướng dẫn giải: Vậy OH = S H A α a a a O B a D C Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có SO ⊥ ( ABCD ) +) Kẻ OH ⊥ SD +) d ( O; SD ) = OH +) Ta có = SDO a sin Ví dụ Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng CD Hướng dẫn giải: OH = OD sin = A' D' C' B' M A B D C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 56 +) Gọi M trung điểm CD Do ABCD ABC D hình lập phương nên tam giác ACD ' tam giác cạnh a +) AM ⊥ CD a Ví dụ Cho hình chóp S ABC SA, AB, BC vng góc với +) d ( A, CD ) = AM = đôi Biết SA = 3a, AB = a 3, BC = a Tính khoảng cách từ B đến SC Hướng dẫn giải: S 3a H A C a a B +) Ta có SA ⊥ BC BC ⊥ ( SAB) BC ⊥ SB AB ⊥ BC Suy SBC vuông B +) Kẻ BH ⊥ SC +) Ta có d ( B; SC ) = BH Lại có 1 1 1 = 2+ = + = 2 2 BH SB BC SA + AB BC 4a d ( B; SC ) = BH = 2a * Ví dụ cho cách Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vng góc với mặt phẳng ( BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 57 A a a C B a M a D Nhận xét: +) Nếu vẽ trực tiếp AM ⊥ BD tính tốn phức tạp +) Ta thấy BD ⊥ ( ACM ) AM ⊥ BD Hướng dẫn giải: +) Ta có AC ⊥ ( BCD ) AC ⊥ BD Lại có với M trung điểm BD mà BCD nên CM ⊥ BD AC ⊥ BD BD ⊥ ( ACM ) AM ⊥ BD Từ ta có CM ⊥ BD Suy d (A;BD) = AM +) Xét tam giác vng ACM , ta có AM = AC + CM = 2 (a ) 2 a 3 a 11 + = a 11 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC với SA vng góc với ( ABC ) Vậy d ( A; BD) = SA = 3a Diện tích tam giác ABC 2a , BC = a Tính khoảng cách từ S đến BC Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 58 S 3a C A a H B +) Kẻ AH vng góc với BC SA ⊥ BC BC ⊥ ( SAH ) SH ⊥ BC AH ⊥ BC +) d ( S , BC ) = SH SABC 2.SABC 4a = AH BC AH = = = 4a BC a Dựa vào tam giác vuông SAH ta có SH = SA2 + AH = (3a ) + (4a ) = 5a Vậy d ( S , BC ) = SH = 5a DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG a) Phương pháp giải: Tôi chia làm trường hợp, trường hợp bao quát tất toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Hai trường hợp đầu đơn giản, trường hợp thứ vấn đề trọng tâm khoảng cách nhờ nét vẽ học sinh dễ dàng giải toán khoảng cách, trường hợp thường câu phân loại, học sinh dễ dàng giải cách tính gián tiếp thông qua trường hợp * Trường hợp 1: Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy (P) khối chóp có cạnh bên Cho hình chóp có đỉnh S có cạnh bên có độ dài (đa giác đáy thường tam giác tứ giác) Khi O tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy SO ⊥ ( P ) d ( S , ( P ) ) = SO ( SO trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 59 S A C O M N B Chú ý: + Nếu đáy tam giác O trọng tâm + Nếu đáy tam giác vng O trung điểm cạnh huyền + Nếu đáy hình vng, hình chữ nhật O giao đường chéo đồng thời trung điểm đường * Trường hợp 2: Tính khoảng cách từ điểm M mặt đáy đến mặt phẳng (P) chứa đường cao mp (P) H M K a mp đáy + Xác định giao tuyến a mp(P) mp đáy + Kẻ MK ⊥ a K + Chứng minh MK ⊥ ( P ) d ( M , ( SHA) ) = MK * Trường hợp 3: Tính khoảng cách từ điểm H chân đường cao đến mặt phẳng (P) không chứa đường cao, qua đỉnh (Bài toán mấu chốt chuyên đề) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 60 S mp(P) (2) K a (3) I H (1) mp đáy + Nét 1: Kẻ HI ⊥ a I ( a giao tuyến mp(P) mp đáy) + Nét 2: Nối SI + Nét 3: Kẻ HK ⊥ SI K Khi đó: d ( H ,( P) ) = HK * Trường hợp 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khơng chứa đường cao, qua đỉnh Chú ý: Trường hợp ta thường tính gián tiếp cách “đổi điểm”: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) dễ tìm khoảng cách từ M đến mp(P), hầu hết toán tính thơng qua khoảng cách từ điểm H chân đường cao đến mặt phẳng (P) + Trước hết tính d ( H ,( P) ) = HK trường hợp + Nếu HM / / ( P) d ( M , ( P ) ) = d ( H , ( P ) ) + Nếu HM ( P) = N H d ( M ,( P )) d ( H ,( P )) = MN HN M H M K K N mp (P) mp (P) b) Ví dụ * Ví dụ cho trường hợp Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 61 S 2a 3a A C 3a G 3a M B + Dựng: Gọi G trọng tâm tam giác ABC + Chứng minh: Do S ABC chóp nên SG ⊥ ( ABC ) + Tính: AM = 3a AG = AM = a 3 SAG vuông SG = SA2 − AG = 4a − 3a = a Ví dụ Cho hình lập phương BI ⊥ ( AAC C ) cạnh Tính khoảng cách từ A đến ( BCD) A' D' C' B' G A B I D C - Nhận xét: Hình lăng trụ phân chia thành nhiều hình chóp Trong ta nhận thấy tứ diện AB ' CD ' tứ diện Hướng dẫn giải: +) Ta có: AB ' = AC = AD ' = B ' D ' = B ' C = CD ' = a Nên tứ diện AB ' CD ' tứ diện +) Gọi I trung điểm B ' C , G trọng tâm tam giác B ' CD ' Khi ta có: d ( A; ( B ' CD ') ) = AG Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 62 a = 2 a Theo tính chất trọng tâm ta có: D ' G = D ' I = 3 Trong tam giác vng AGD ' có: +) Vì tam giác B ' CD ' nên D ' I = a AG = D ' A − D ' G = 2 (a ) Vậy d ( A; ( B ' CD ' ) ) = AG = 2 a 6 2a − = 3 2a 3 * Ví dụ cho trường hợp Ví dụ (Đề thi THPTQG-2021- Mã 101) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B , AB = 2a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB) bằng: A a C a B 2a D 2a Hướng dẫn giải: S C A 2a B + Tam giác ABC vuông cân B nên BC = AB = 2a BC ⊥ AB BC ⊥ ( SAB) BC ⊥ SA + Ta có Do d (C ,( SAB)) = BC = 2a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 63 Ví dụ Cho chóp S ABC đáy tam giác vuông B AB = 2BC = 2a Biết SA ⊥ ( ABC ) Tính d ( B; ( SAC ) Hướng dẫn giải: S H A C 2a a B + Dựng BH ⊥ AC H BH ⊥ AC + BH ⊥ SA BH ⊥ ( SAC ) BH khoảng cách từ B đến ( SAC ) + Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: BA.BC 2a.a 2a d ( B;( SAC )) = BH = = = 2 2 BA + BC 4a + a Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD) , AB = a, AD = a , O giao điểm AC BD Tính: a) d (C ,( SAB)) b) d (O,( SAB)) c) d (B,( SAC )) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 64 S I A a a D H O B C Hướng dẫn giải: BC ⊥ AB BC ⊥ ( SAB) a) + BC ⊥ SA + d (C,(SAB)) = CB = a b) + Gọi I trung điểm AB OI / / BC OI ⊥ ( SAB) Ta có BC ⊥ ( SAB ) a AD = 2 c) + Trong mp( ABCD) kẻ BH ⊥ AC + d (O,( SAB)) = OI = BH ⊥ AC BH ⊥ ( SAC ) + Ta có BH ⊥ SA d ( B,( SAC )) = BH a a d ( B,( SAC )) = 2 * Ví dụ cho trường hợp Đây dạng toán mấu chốt chuyên đề Ví dụ (Chóp có đáy tam giác vng) Cho hình chóp S ABC SA , AB , BC vng góc với đơi + Tính BH = Biết SA = a , AB = a Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 65 S a (2) (3) H C A (1) a B + Kẻ AH ⊥ SB BC ⊥ SA BC ⊥ ( SAB) BC ⊥ AH + Ta có: BC ⊥ AB Suy AH ⊥ ( SBC ) d ( A,( SBC )) = AH + Trong tam giác vng SAB ta có: 1 SA AB a = 2+ AH = = 2 2 AH SA AB SA + AB a Ví dụ (Chóp có đáy tam giác đều) Vậy d ( A,( SBC )) = AH = Cho hình chóp tam giác S ABC cạnh đáy 2a chiều cao a Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên Hướng dẫn giải: S (2) a H 2a A (3) 2a O (1) C M 2a B Ta có SO ⊥ ( ABC ) , với O trọng tâm tam giác ABC + Gọi M trung điểm BC Kẻ OH ⊥ SM Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 66 BC ⊥ SO BC ⊥ ( SOM ) BC ⊥ OH + Ta có BC ⊥ MO nên suy d ( O; ( SBC ) ) = OH a + Ta có: OM = AM = 3 1 = + 2 OH SO OM a SO.OM = 3a = a OH = = 10 30 SO + OM 3a + a a Vậy d ( O; ( SBC ) ) = OH = a 10 Ví dụ (Chóp có đáy hình chữ nhật) Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD = 2a , SA = a Tính khoảng cách từ A đến ( SCD) Hướng dẫn giải: S (2) H a (3) A (1) 2a B D C + Kẻ AH ⊥ SD + CD ⊥ ( SAD) CD ⊥ AH nên d ( A,( SCD)) = AH + Trong tam giác vng SAD ta có: 1 = 2+ AH SA AD SA AD a.2a 2a AH = = = 2 2 SA + AD 4a + a 2a Vậy d ( A,( SCD)) = AH = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 67 Ví dụ (Chóp có đáy hình thoi) Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy hình thoi tâm O, cạnh a góc BAD = 120 , đường cao SO = a Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) Hướng dẫn giải: S a a H a A B a M 120° O D a I C + Vì hình thoi ABCD có BAD 120 Suy tam giác ABC cạnh a Kẻ đường cao AM tam giác ABC AM = a Kẻ OI ⊥ BC I OI = AM a = Kẻ OH ⊥ SI + OH ⊥ ( SBC ) d ( O, ( SBC ) ) = OH + Xét tam giác vng SOI ta có: 1 a 57 = + OH = 2 OH SO OI 19 Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH = a 57 19 Ví dụ 10 (Chóp có đáy hình thoi) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc BAD = 60o 3a Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) SO = Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 68 S a D 3a/4 D H a a A a C O a a O 60° a C K K 60° B A a B + Trong mặt phẳng ( ABCD ) : kẻ OK ⊥ BC ( K BC ) Mà BC ⊥ SO nên suy hai mặt phẳng ( SOK ) ( SBC ) vng góc theo giao tuyến SK Trong mặt phẳng ( SOK ) : kẻ OH ⊥ SK ( H SK ) + OH ⊥ ( SBC ) d ( O, ( SBC ) ) = OH a a 3a OK = OH = 3a Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH = * Ví dụ cho trường hợp Đây dạng toán thường xuất đề thi HSG, đề thi Đại học, đề thi THPT Quốc gia thường câu hỏi phân loại học sinh 4.1 Trường hợp HM / / ( P) d ( M , ( P ) ) = d ( H , ( P ) ) + Tính: OC = H M K mp (P) Ví dụ 11 (ĐH- Khối B-2011) Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' , ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc A' ( ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính d ( B ',( A ' BD)) Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 69 A' D' C' B' A H D O B C + Gọi O giao điểm AC BD Vì B ' C / / A ' D B ' C / /( A ' BD) Do đó, d ( B ',( A ' BD)) = d ( B ' C ,( A ' BD)) = d (C ,( A ' BD)) + Trong mặt phẳng ( ABCD) kẻ CH ⊥ BD, (H BD) (1) Mặt khác, A ' O ⊥ ( ABCD) A ' O ⊥ CH (2) Từ (1) (2) suy ra: CH ⊥ ( A ' BD) d ( B ',( A ' BD)) = CH + Xét tam giác vng BCD có: 1 a = + = CH = 2 CH BC CD 3a a Ví dụ 12 (ĐH- Khối B - 2013) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên ( SAB) tam giác nằm mặt phẳng vuông Vậy d ( B ',( A ' BD)) = CH = góc với mặt phẳng đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) Hướng dẫn giải: S a a P A D a a a H B K a C +) Dựng SH ⊥ AB ( H AB) Vì hai mp( SAB) mp( ABCD) vng góc với cắt theo giao tuyến AB nên suy SH ⊥ ( ABCD) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 70 Dựng HK ⊥ CD( K CD), HP ⊥ SK ( P SK ) HP ⊥ ( SCD) d ( H ,( SCD) = HP + Có AH / / ( SCD) d ( A,( SCD)) = d ( H ,( SCD)) = HP +) Có SH = a a 21 ; HK = a HP = a 21 Ví dụ 13 (ĐH- Khối A-2013): Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác d ( A,(SCD ))= vuông A , ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a , ( SBC ) ⊥ ( ABC ) Tính d (C ,( SAB)) Hướng dẫn giải: S a a D I H B a C 30° M J A + Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ hình chữ nhật ABCD Gọi M , I , J trung điểm BC , CD, AB Lúc CD / /( SAB) hay d (C ,( SAB)) = d (CD,( SAB)) = d ( I ,( SAB)) + Trong mp( SIJ ) kẻ IH ⊥ SJ ( H SJ ) (1) IJ ⊥ AB AB ⊥ ( SIJ ) AB ⊥ IH (2) SM ⊥ ( ABC ) AB ⊥ SM Từ (1) (2) suy ra: IH ⊥ ( SAB) hay d (C ,( SAB)) = IH Mặt khác, ta có: + Xét tam giác SIJ có: S SIJ = 1 SM IJ IH SJ = SM IJ IH = 2 SJ Ta có IJ = AC = BC.sin 300 = a a a 13 , SM = , SJ = SM + MJ = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 71 Do đó: IH = SM IJ a 39 = SJ 13 Vậy d (C ,( SAB )) = a 39 13 4.2 Trường hợp HM ( P) = N d ( M ,( P )) d ( H ,( P )) = MN HN H M N K mp (P) Ví dụ 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AB = AD = a , CD = 2a , SD ⊥ ( ABCD) , SD = a a) Tính d ( D,( SBC )) b) Tính d ( A,( SBC )) Hướng dẫn giải: S a H 2a D M C a A a B E Gọi M trung điểm CD , E giao điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng ( SBD ) kẻ DH ⊥ SB, (H SB) (1) + Vì BM = AD = CD Tam giác BCD vuông B hay BC ⊥ BD (*) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 72 Mặt khác, SD ⊥ ( ABCD) SD ⊥ BC (**) Từ (*) (**) ta có: BC ⊥ ( SBD) BC ⊥ DH (2) Từ (1) (2) suy ra: DH ⊥ ( SBC ) hay d ( D,( SBC )) = DH + Xét tam giác vng SBD có: 1 2a = + = DH = 2 DH SD BD 2a 2a 3 d ( A,( SBC )) AE AB = = = b) Ta có d ( D,( SBC )) DE CD Vậy d ( D,( SBC )) = a d ( A,( SBC )) = d ( D,( SBC )) = a 3 Ví dụ 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , Vậy d ( A,( SBC )) = ABC = 30 , tam giác SBC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) Hướng dẫn giải: S a a K B a C 30° H E A + Gọi H trung điểm BC ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ( SBC ) ( ABC ) = BC SH ⊥ ( ABC ) Vì SH SBC ( ) SH ⊥ BC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 73 Vì CH ( SAB ) = B d ( C , ( SAB ) ) d ( H , ( SAB ) ) = CB =2 HB d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H , ( SAB ) ) + Gọi E trung điểm AB HE / / AC HE ⊥ AB Trong ( SHE ) , kẻ HK ⊥ SE , ( K SE ) (1) AB ⊥ HE AB ⊥ ( SHE ) AB ⊥ HK (2) Vì AB ⊥ SH Từ (1) (2) HK ⊥ ( SAB ) d ( H , ( SAB ) ) = HK a SH = + Ta có: HE = AC = BC.sin ABC = a 2 Xét SHE vuông H có đường cao HK, ta có: HK = SH HE SH + HE = a 39 26 Vậy d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H , ( SAB ) ) = HK = a 39 13 Ví dụ 16 Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc cạnh AB cho AH = 2HB Góc mặt phẳng ( SCD ) mặt phẳng ( ABCD ) 60 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) tính theo a Hướng dẫn giải: S J B 60° 3a H A C 2a K D Kẻ HK ⊥ CD góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) SKH = 60 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 74 Có HK = AD = 2a , SH = HK tan 60 = 2a Có BC ⊥ ( SAB ) , Kẻ HJ ⊥ SB , mà HJ ⊥ BC HJ ⊥ ( SBC ) d ( A, ( SBC ) ) d ( H , ( SBC ) ) = BA =3 BH d ( A, ( SBC ) ) = 3.d ( H , ( SBC ) ) = 3HJ Mà 1 1 13 = + = 2+ = 2 2 HJ HB SH a 12a 12a 2a 39 6a 39 d ( A, ( SBC ) ) = 13 13 Ví dụ 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm cạnh HJ = AD, DC Góc mặt phẳng ( SBM ) mặt phẳng ( ABCD ) 45 Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBM ) Hướng dẫn giải: S M A a D H A M 45° I B N D N C B C + Đặc điểm hình: Đáy hình vng ABCD nên AN ⊥ BM Góc mặt phẳng ( SBM ) mặt phẳng ( ABCD ) góc AIS = 45 Vậy tam giác ASI vuông cân A , AI = a - Xác định khoảng cách: d ( D, ( SBM ) ) = d ( A, ( SBM ) ) = AH Với H chân đường cao tam giác ASI - Tính AH : 1 a = + = AH = 2 AH AS AI a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 75 Ví dụ 18 (ĐH- Khối D-2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , BA = 3a, BC = 4a , ( SBC ) ⊥ ( ABC ), SB = 2a 3, SBC = 300 Tính d ( B,( SAC )) Hướng dẫn giải: S 2a H C 30° 4a B M 3a N A + Trong mặt phẳng ( SBC ) kẻ SM ⊥ BC (M BC) Trong mặt phẳng ( ABC ) kẻ MN ⊥ AC (N AC) Trong mặt phẳng ( SMN ) kẻ MH ⊥ SN (N SN ) Suy MH ⊥ ( SAC ) d ( M ,( SAC )) = MH + Ta có: SM = SB.sin300 = a , BM = SB.cos300 = 3a CM = a , AB.CM 3a MN = = AC Xét tam giác vng SMN có: 1 28 3a = + = MH = 2 MH SM MN 9a 28 3a d ( M ,( SAC )) = 28 + Mặt khác, ta có: d ( B,( SAC )) BC = =4 d ( M ,( SAC )) MC 6a d ( B,( SAC )) = 4.d ( M ,( SAC )) = 6a Vậy d ( B,( SAC )) = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 76 Ví dụ 19 (ĐH- Khối A- 2014): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình 3a vng cạnh a , SD = , hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) Phân tích: S (2) E 3a/2 (3) B H a C a K (1) a A a O D H chân đường vng góc d ( A, ( SBD ) ) AB Ta có = = d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) d ( H , ( SBD ) ) HB Ta chuyển tốn tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) tốn tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng ( SBD ) giải dễ dàng toán nhờ nét vẽ (1),(2),(3) hình Hướng dẫn giải: S E 3a/2 B H a A C a K a O a D + Gọi trung điểm cạnh AB H Ta có SH ⊥ ( ABCD) Trong mp( ABCD) kẻ HK ⊥ BD, K BD Trong tam giác SHK kẻ HE ⊥ SK , E SK Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 77 HE ⊥ SK HE ⊥ ( SBD) d ( H ,( SBD)) = HE + Ta có HE ⊥ BD ( BD ⊥ ( SKH )) + Trong tam giác vng SHD có: 9a a2 2 2 2 SH = SD − DH = SD − ( AH + AD ) = − ( + a2 ) = a2 4 SH = a Ta có HK = 1 a AO = BD = 2 a =a Trong tam giác vng SHD có HE = = SH + HK a a + SH HK Ta có d ( A, ( SBD ) ) d ( H , ( SBD ) ) = a AB =2 HB Vậy d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) = HE = 2a 3 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Ví dụ Cho hình thang vng ABCD vuông A D, AD = 2a Trên đường thẳng vng góc với ( ABCD ) D lấy điểm S với SD = a Tính khoảng cách DC ( SAB ) Hướng dẫn giải: S a H D C 2a A B + Trong tam giác DHA, dựng DH ⊥ SA + Vì DC / / AB d ( DC; ( SAB ) ) = d ( D; ( SAB ) ) = DH + Xét tam giác vng SDA có : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 78 1 a 12 2a = + DH = = 2 DH SD AD 3 Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Tính khoảng cách đường thẳng AB mặt phẳng ( SCD) Hướng dẫn giải: S H A D I O B C + Gọi O tâm hình vng ABCD Khi SO ⊥ ( ABCD ) Kẻ OI ⊥ CD, OH ⊥ SI OH ⊥ SI OH ⊥ ( SCD ) + OH ⊥ CD d ( O, ( SCD ) ) = OH AD a a a , SO = SA2 − AO = = , OI = 2 2 1 a = + OH = 2 OH SO OI + Ta tính AO = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) ) = 2.OH = a 2a Gọi M N trung điểm OA OB Tính khoảng cách đường thẳng MN ( ABC ) Ví dụ Cho hình chóp O ABC có đường cao OH = Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 79 O 2a/ M P N C A H B + Do MN // ( ABC ) d ( MN , ( ABC ) ) = d ( M , ( ABC ) ) + Lại có d ( O, ( ABC ) ) d ( M , ( ABC ) ) = OA =2 MA OH a d ( M , ( ABC ) ) = d ( O, ( ABC ) ) = = 2 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh bên a Các cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60o Hình chiếu vng góc A' lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm BC Khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ bao nhiêu? Hướng dẫn giải: A' C' a A B' 60° C H B + Ta có: A 'H ⊥ ( ABC ) , A ' AH = 60o + ( A ' B ' C ') / / ( ABC ) d ( ( A ' B ' C ' ) , ( ABC ) ) = d ( A ', ( ABC ) ) = A ' H + A ' H = A ' A.cos60o = a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 80 Vậy d ( ( A ' B ' C ') , ( ABC ) ) = A ' H = a Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh bên hợp với đáy góc 60 , đáy ABC tam giác cạnh a A cách A , B , C Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ Hướng dẫn giải: A' C' B' a 60° A a N H a C M B + ( A ' B ' C ') / / ( ABC ) d ( ( A ' B ' C ') , ( ABC ) ) = d ( A ', ( ABC ) ) + Vì ABC AA = AB = AC A ABC hình chóp Gọi AH chiều cao lăng trụ, suy H trọng tâm ABC , AAH = 60 a = a d ( ( A ' B ' C ') , ( ABC ) ) = d ( A ', ( ABC ) ) = A ' H = a AH = AH tan 60 = Ví dụ Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD ABC D có cạnh đáy a Gọi M , N , P trung điểm AD , DC , A' D ' Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( MNP ) ( ACC ') Hướng dẫn giải: P A' H O' B' D' C' A D M N B a C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 81 + Ta có: ( MNP ) // ( ACC ') d ( ( MNP ) ; ( ACC ') ) = d ( P; ( ACC ') ) = d ( P; ( ACC ' A ' ) ) + Gọi O ' = A ' C ' B ' D ' Trong mp ( A ' B ' C ' D ') kẻ PH ⊥ A ' C ' PH ⊥ A ' C ' PH ⊥ ( ACC ' A ') Ta có PH ⊥ CC ' d ( P; ( ACC ' A ') ) = PH a + PH = O ' D = Vậy d ( ( MNP ) ; ( ACC ') ) = a DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Đây hai dạng toán khoảng cách mà đề thi HSG, đề thi Đại học hay đề cập đến: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng chéo a) Phương pháp chung Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách 1: a M N b + Xác định đoạn vng góc chung a b + Tính độ dài đoạn vng góc chung Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 82 Cách 2: M a b P a' + Tìm mp( P) chứa b song song với a + Khi d (a, b) = d (a,( P)) = d ( M ,( P)) với M điểm thuộc a Cụ thể tơi chia làm trường hợp, trường hợp 1,2 đơn giản; trường hợp nhiều câu hỏi phân loại đề thi Trường hợp 1: hai đường thẳng đường cao a H b K + Từ chân đường cao H dựng HK ⊥ b K + HK đoạn vng góc chung a b nên d (a, b) = HK Trường hợp 2: Tìm a ⊥ ( P), ( P) b a b M P N + Chọn mặt phẳng ( P ) chứa b vng góc với a M + Trong ( P ) dựng MN ⊥ b N + Đoạn MN đoạn vng góc chung a b d ( a, b ) = MN Trường hợp 3: Tìm a / /( P), ( P) b Mục tiêu: Chuyển tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thường tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, từ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 83 đưa tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà ta giải dễ dàng M a b P + Dựng mặt phẳng ( P ) chứa b song song với a + d ( a, b ) = d ( a, ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) Chú ý: - Mặt phẳng ( P ) có sẵn phải dựng Ta ln ln tìm mp( P) chứa b song song với a mà việc tạo mp( P) đơn giản, từ điểm b dựng đường thẳng a '/ / a , mp( P) mp(a ', b) + Với mơ hình hình chóp thường tạo mặt phẳng chứa đường thẳng không nằm mp đáy song song với đường nằm mặt đáy + Với mơ hình hình lăng trụ việc tạo khó cần tinh ý phát song song theo tính chất đường trung bình hay định lí talet - Có thể chuyển khoảng cách mặt phẳng song song: M a P b Q + Dựng hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) cho a ( P ) , b ( Q ) , ( P) / /(Q) + Khi d ( a, b ) = d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M , ( Q ) ) b) Ví dụ * Ví dụ cho trường hợp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy SA = a Tính khoảng cách SA BD theo a Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 84 S a 2a A D a H B C + Trong mp( ABCD) kẻ AH ⊥ BD H + Vì SA ⊥ ( ABCD ) A nên SA ⊥ AH A AH đoạn vng góc chung SA BD 2a 5 AB + AD Ví dụ Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Tính khoảng cách BB AC Hướng dẫn giải: + d ( SA, BD) = AH = AB AD 2 = A' D' C' B' a A D I B a C - Cách 1: + Gọi I = AC BD Ta có BI ⊥ AC BB ' ⊥ (ABCD) BB ' ⊥ BI BI đường vng góc chung BB AC a - Cách 2: (Đưa khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song) ( AACC ) AC Vì nên d ( BB; AC ) = d ( BB; ( AACC ) ) AA C C // BB ( ) + d ( BB; AC ) = IB = Gọi I = AC BD Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 85 Vì ABCD ABC D hình lập phương nên BI ⊥ ( AAC C ) Suy d ( BB; AC ) = d ( BB; ( AACC ) ) = IB = a * Ví dụ cho trường hợp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết hai mặt bên ( SAB) ( SAD ) vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính khoảng cách AD SB Hướng dẫn giải: S a H a A D a a B a C Vì hai mặt bên ( SAB) ( SAD ) vng góc với mặt phẳng đáy nên SA ⊥ ( ABCD ) + Trong mp( SAB) kẻ AH ⊥ SB, H SB + Vì AD ⊥ ( SAB) AD ⊥ AH A AH đường vng góc chung AD SB a AS + AB Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hai mặt bên d ( AD, SB) = d ( A, SB) = AH = AS AB 2 = ( SAB), ( SAC ) vng góc với đáy, SA = a I trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CI Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 86 S a a A C H I a a B Phân tích: + ( SAB), ( SAC ) vng góc với đáy nên giao tuyến SA vng góc với đáy + CI vng góc với mp( SAB) chứa SB Hướng dẫn giải: + Trong mp( SAB) kẻ IH ⊥ SB H CI ⊥ AB CI ⊥ ( SAB) CI ⊥ IH + CI ⊥ SA IH đoạn vng góc chung SB CI d ( SB, CI ) = IH IH SA a = IH = IB SB Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải: + BHI BAS Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 87 A M B D a N C + Gọi M, N trung điểm AB CD + Vì BCD ACD tam giác cạnh a nên AN = BN = a AN ⊥ CD CD ⊥ ( ABN ) CD ⊥ MN (1) BN ⊥ CD Mặt khác, AN = BN ABN cân N MN ⊥ AB (2) Từ (1) (2) MN đoạn vng góc chung AB CD a a 2 a + Do đó: d ( AB, CD ) = MN = AN − AM = − = 2 2 a 2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu S ( ABC ) trùng với trung điểm BC Biết SA hợp với đáy góc 30° Vậy d ( AB, CD ) = Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 88 S K B a C H a 30° a A Phân tích: H trung điểm BC Ta thấy BC ⊥ ( SAH ) , ( SAH ) SA Hướng dẫn giải: + Gọi H trung điểm BC SH ⊥ ( ABC ) SH ⊥ BC (1) AH ⊥ BC (2) Vì ABC a AH = Từ (1) (2) BC ⊥ ( SAH ) Trong ( SAH ) , kẻ HK ⊥ SA, ( K SA ) (3) BC ⊥ ( SAH ) + Vì BC ⊥ HK (4) HK ( SAH ) Từ (3) (4) HK đoạn vng góc chung SA BC d ( SA, BC ) = HK + Vì SH ⊥ ( ABC ) HA hình chiếu SA ( ABC ) ( SA, ( ABC ) ) = ( SA, HA) = SAH = 30 Xét AHK vng K, ta có: sin HAK = HK a HK = AH sin HAK = AH a Ví dụ (ĐH- Khối A - 2010) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H giao điểm Vậy d ( SA, BC ) = HK = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 89 CN DM, SH ⊥ ( ABCD), SH = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng DM SC S D K C a a D C a N a H a A N M A B B M Phân tích: DM ⊥ ( SHC ), ( SHC ) SC Hướng dẫn giải: + Trong mp ( SCH ) kẻ HK ⊥ SC (1), (K SC) + Mặt khác, SH ⊥ ( ABCD) SH ⊥ DM (*) DM ( ABCD) Xét hai tam giác vng AMD DNC có AM = DN , AD = DC AMD = DNC 0 có: ADM = DCN DNC + ADM = 90 NHD = 90 AMD + ADM = 900 hay DM ⊥ CN (**) AMD = DNC Từ (*), (**) suy ra: DM ⊥ ( SCH ) DM ⊥ HK (2) Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC CD a2 2a = = + Ta có: HCD DCN HC = 2 CN CD − DN Xét tam giác vng SHC ta có: 1 a 15 = + = HK = 2 HK HC HS 3a * Ví dụ cho trường hợp Ví dụ (Đề thi THPTQG-2022- Mã 101) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a , BC = 2a AA ' = 3a Khoảng cách hai đường thẳng BD A ' C ' bằng: A a B a C 2a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 3a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 90 Hướng dẫn giải: A' D' C' B' 3a A D a B 2a C BD ( ABCD) A ' C '/ /( ABCD) + Ta có Suy d ( BD, A ' C ') = d ( A ' C ',( ABCD)) = AA ' = 3a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật với AC = a BC = a Tính khoảng cách SD BC Hướng dẫn giải: S A D a B a C + BC / / AD BC / /( SAD) d ( BC , SD) = d ( BC ,( SAD)) + Dễ thấy BA ⊥ ( SAD) d ( BC ,( SAD)) = BA + Xét tam giác vng ABC có AB = 5a2 − 2a2 = a Vậy d ( BC, SD) = AB = a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 91 Ví dụ 10 Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Khoảng cách AI OC bao nhiêu? Hướng dẫn giải: A a H a O C a J I B + Gọi J trung điểm OB Ta có: OC //IJ nên OC // ( AIJ ) d ( AI , OC ) = d ( OC , ( AIJ ) ) = d ( O, ( AIJ ) ) + Kẻ OH vng góc AJ H OC ⊥ (OAB) IJ ⊥ (OAB) IJ ⊥ OH Ta có: IJ / / OC OH ⊥ AJ OH ⊥ ( AIJ ) d (O,( AIJ )) = OH OH ⊥ IJ + Tam giác AOJ vng O , có OH đường cao a a OA.OJ a OH = = = OA2 + OJ a a + 2 Do d ( AI , OC ) = d ( OC , ( AIJ ) ) = d ( O, ( AIJ ) ) = OH = a Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A B , AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc với mặt đáy SA = a Tính khoảng cách SB CD Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 92 S a 2a A H D a B a C + Gọi H trung điểm AD ta có: CD / / BH CD / /( SBH ) d (CD, SB) = d (CD,( SBH )) = d ( D,( SBH )) = d ( A,( SBH )) + 1 1 = + + = 2 2 d ( A;( SBH )) AS AB AH a a 3 Ví dụ 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Biết hai mặt bên ( SAB) ( SAD ) vng góc với mặt phẳng đáy d (CD, SB ) = SA = a Tính khoảng cách SO AB Hướng dẫn giải: S a H E a A a D a O B a C + Gọi E trung điểm AD Kẻ AH ⊥ SE , H SE + d ( AB, SO) = d ( AB,( SOE )) = d ( A,( SOE )) = AH Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 93 a EA.ES =a = + Ta có AH = EA2 + ES a2 2a + Ví dụ 13 (ĐH- Khối A-2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông tai B, AB = BC = 2a , hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB SN Phân tích: a S H (2) J (3) (1) A N M 60° 2a C 2a I B Trong mp ( ABC ) kẻ NI / / AB d ( AB, SN ) = d ( AB,( SNI )) = d ( A,( SNI )) Ta chuyển tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng giải dễ dàng toán nhờ nét vẽ (1), (2), (3) hình Hướng dẫn giải: S H J A 2a N M 60° C 2a I B + Gọi I trung điểm BC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 94 Do MN//BC nên N trung điểm AC Do IN//AB hay d ( AB, SN ) = d ( AB,( SNI )) = d ( A,( SNI )) Trong mp(ABC) kẻ AJ ⊥ IN ,( J IN ) (*) Trong mp(SAJ) kẻ AH ⊥ SJ ,( H SJ ) (1) ( SAB) ⊥ ( ABC ) SA ⊥ ( ABC ) SA ⊥ IN (**) ( SAC ) ⊥ ( ABC ) Từ (*), (**) ta có: IN ⊥ ( SAJ ) IN ⊥ AH (2) + Theo giải thiết ta có: Từ (1), (2) ta có: AH ⊥ ( SIN ) d ( AB, SN ) = AH + Ta có: (( SBC ),( ABC )) = SBA = 600 SA = AB.tan 600 = 2a ; AJ = BI = a Xét tam giác vng SAJ có: 1 13 12 = 2+ = AH = a 2 AH SA AJ 12a 13 12 13 Ví dụ 14 (ĐH- Khối A-2012) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H cho Vậy d ( AB, SN ) = AH = a HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Phân tích: S (2) A I Δ I A a K (3) 60° a C M a (1) Δ H + Trong mp ( ABC ) qua A kẻ đường thẳng / / BC BC / /( SA, ) d ( BC , SA) = d ( BC ,( SA, )) = d ( B,( SA, )) d ( B, ( SA, ) ) d ( H , ( SA, ) ) = BA a = = HA 2a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C a M 60° H B + Ta có 60° a a B C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 95 d ( B, ( SA, ) ) = d ( H , ( SA, ) ) Ta chuyển tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng giải dễ dàng toán nhờ nét vẽ (1), (2), (3) hình Hướng dẫn giải: S A K I I A a 60° C a 60° a M a Δ a a M H Δ 60° H B B Ta có SCH = 600 + Trong mp ( ABC ) qua A kẻ đường thẳng / / BC BC / /( SA, ) d ( BC , SA) = d ( BC ,( SA, )) = d ( B,( SA, )) + Trước hết ta tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mp( SA, ) Trong mp ( ABC ) kẻ HI ⊥ , I Trong tam giác SHI kẻ HK ⊥ SI , K SI HK ⊥ SI HK ⊥ ( SA, ) d ( H ,( SA, )) = HK Ta có HK ⊥ ( ⊥ ( SHI )) Gọi M trung điểm AB , ta có MH = a a AB = , CM = 6 2 a a 2 a Trong tam giác vng CMH có CH = CM + MH = + = 6 2 Trong tam giác vuông SHC có SH = HC.tan SCH = Trong tam giác vng AIH có HI = AH sin IAH = a a 21 tan 600 = 3 2a a sin 600 = 3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 96 Trong tam giác vng SHI có HK = + Ta có SH HI SH + HI = d ( B, ( SA, ) ) d ( H , ( SA, ) ) a 21 a 3 a 21 a + = = a 42 12 BA a = = HA 2a 3 3 a 42 a 42 d ( B, ( SA, ) ) = d ( H , ( SA, ) ) = HK = = 2 12 a 42 Ví dụ 15 (ĐH- 2015) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD) , góc đường thẳng SC Vậy d ( BC , SA) = d ( BC ,( SA, )) = d ( B,( SA, )) = mặt phẳng ( ABCD) 450 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB AC Phân tích: S (2) H (3) K A (1) a D a 45° M B a a C Trong mp( ABCD) kẻ KB / / AC , KB = AC AC / /( SBK ) d ( AC , SB ) = d ( AC ,( SBK )) = d ( A,( SBK )) Ta chuyển tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng giải dễ dàng toán nhờ nét vẽ (1),(2),(3) biết Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 97 S K a A D H A K a D a M a 45° M B a a C B a + Trong mp( ABCD) kẻ KB / / AC , KB = AC AC / /( SBK ) d ( AC , SB ) = d ( AC ,( SBK )) = d ( A,( SBK )) + Trong mp( ABCD) kẻ AM ⊥ BK , M BK Trong tam giác SAM kẻ AH ⊥ SM , H SM AH ⊥ SM AH ⊥ ( SBK ) d ( A,( SBK )) = AH Ta có AH ⊥ BK (do BK ⊥ ( SAM )) + Trong tam giác vng SAC có SA = AC.tan SCA = a 2.tan 450 = a Trong tam giác vng SAM có: 1 1 1 = + = + + = + + = AH AS AM AS AK AB 2a a a 2a AH = a 10 a 10 Ví dụ 16 (Đề thi THPTQG- Mã 101- 2018): Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Vậy d ( AC , SB ) = AH = Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AC SB Phân tích: Dựng BE / / AC AC / /( SBE ) d ( AC , SB) = d ( AC ,( SBE )) = d ( A,( SBE )) Ta chuyển tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng giải dễ dàng toán nhờ nét vẽ (1), (2), (3) biết Hướng dẫn giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 98 S H E 2a a A D a I B 2a C + Dựng điểm E cho ACBE hình bình hành Khi : AC / / EB AC / /( SBE ) d ( AC , SB) = d ( AC ,( SBE )) = d ( A,( SBE )) (1) + Kẻ AI ⊥ EB ( I EB), Kẻ AH ⊥ SI ( H SI ) d ( A,( SBE )) = AH d ( A,( SBE )) = AH (2) 1 1 = + = 2+ 2= 2 2 AI AB AE 4a a 4a 1 1 = 2+ 2= 2+ 2= Xét SAI , ta có: AH SA AI a 4a 4a AH = a (3) 2a Từ (1), (2), (3) suy d ( AC , SB) = Chú ý: - Với tốn tự luận lời giải thường trình bày theo ý: + Dựng hình + Chứng minh + Tính khoảng cách - Với tốn trắc nghiệm cách làm khơng có khác, ta phải nắm vững cách làm để không cần chứng minh mà thực ý trên: + Dựng hình (Thực hình vẽ- khơng cần trình bày lời giải) + Tính khoảng cách (Có thể áp dụng số công thức quen thuộc, nhanh) Chẳng hạn với ví dụ 16 đề thi THPTQG- Mã 101- 2018: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a , SA vuông + Tam giác ABE vuông A có góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách hai đường thẳng AC SB bằng: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 99 A 6a B 2a C a a Hướng dẫn giải: D S a H 2a E A D a I + AI = AB AE AB + AE = B a.2a 2a = C 2a a + 4a 2a a SA AI = 2a = + AH = 2 SA + AI 4a 2 a + → Chọn đáp án B C BÀI TẬP TỰ LUẬN I GÓC 2 2 Góc hai đường thẳng Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB , SAD , SAC giác vuông A Biết SA = a , AB = a , AD = 3a Tính góc đường thẳng sau: a) SD BC b) SB CD c) SC BD Bài Cho tứ diện ABCD , gọi M , N trung điểm BC , AD Biết AB = CD = 2a , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D , AD = DC = a , AB = 2a , SA vuông góc với AB AD , SA = đường thẳng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 3a Tính góc C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 100 a) CD SB b) SD BC Bài Cho tứ diện ABCD cạnh a , gọi I trung điểm cạnh AD Tính góc hai đường thẳng AB CI Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P trung điểm BC , AD AC Biết AB = 2a , CD = 2a , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Bài Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc ( SC; AB ) , từ suy góc SC AB Góc đường thẳng mặt phẳng Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O; SO ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Biết ( MN ,( ABCD )) = 60 a) Tính MN SO b) Tính góc MN (SBD) HD: a) MN = a 10 a 30 ; SO = 2 b) sin ( MN ,(SBD)) = Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc giữa: a) SC (ABCD) b) SC (SAB) c) SB (SAC) HD: a) 600 c) arcsin b) arctan 14 d) arcsin d) AC (SBC) 21 Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật; SA ⊥ (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc hợp với mặt bên SAB góc a) Tính SA b) CMR: AB = a cos( + ).cos( − ) HD: a) a.sin Bài 10 Cho hình chóp SABC, có ABC tam giác cân, AB = AC = a, BAC = Biết SA, SB, SC hợp với mặt phẳng (ABC) góc Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 101 a) CMR: hình chiếu S mp(ABC) tâm đường trịn ngoại tiếp ABC b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC) a.sin HD: b) cos Bài 11 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy tam giác cạnh a, AA ⊥ (ABC) Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300 a) Tính AA b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến (BAC) c) Gọi N trung điểm cạnh BB Tính góc MN (BAC) HD: a) a b) a 66 11 c) arcsin 54 55 Bài 12 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC tam giác vng cân A; AA ⊥ (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc mặt bên BCCB góc a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a b) Chứng minh rằng: cos = sin HD: a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a cos; AA = a.sin Góc hai mặt phẳng Bài 13 Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC) HD: a) ( (SAC ),(SBC ) ) = 600 b) cos ((SEF ),(SBC )) = 10 Bài 14 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) (SCD) 600 HD: SA = a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 102 Bài 15 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) HD: b) cos ((SBC ),(SCD)) = a) tan ((SAD),(SBC )) = 10 Bài 16 Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) b) arctan a) 600 HD: c) 300 Bài 17 Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = a ; SA ⊥ (ABCD) SO = a a) Chứng minh ASC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) HD: c) 600 Bài 18 Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD) SA = a , đáy ABCD hình thang vng A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng: a) (SBC) (ABC) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) (SCD) HD: a) 450 b) 600 c) arccos II KHOẢNG CÁCH Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB cạnh a, (SAB) ⊥ (ABCD) Gọi I trung điểm AB, E trung điểm BC a) Chứng minh: (SIC) ⊥ (SDE) b) Tính d(I, (SED)) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 103 c) Tính d(C, (SED)) Bài Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) HD: a) d(A,(SCD)) = a ; d(B,(SCD)) = a 2 b) a Bài Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA ⊥ (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vng A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB ⊥ (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) HD: a) a b) a 21 c) a 2 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) khoảng a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE HD: a) a ; a 2 b) a c) a2 Bài Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 600, nhận AB = a làm đoạn vng góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC BD HD: a) AD = a a ; d(C,(ABD)) = 2 b) a 93 31 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) SO = E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 3a Gọi C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 104 b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) HD: b) d(O,(SBC)) = 3a 3a , d(A,(SBC)) = Bài (ĐH- Khối D - 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Bài (ĐH- Khối B- 2014) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng A ' C mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACC ' A ') Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC HD: a) a 2 b) a 5 Bài 10 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD HD: a) a 6 b) a 3 Bài 11 Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC) b) Xác định đường vng góc chung BC SA HD: b) Gọi E = AH BC Đường vuông góc chung BC SA AE Bài 12 a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vng góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vng góc chung AB CD AC = BD, AD = BC HD: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b Chứng minh a = a, b = b Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 105 Bài 13 Cho hình vng ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS ⊥ (ABCD) IS = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng: a) NP AC b) MN AP HD: a) a b) a Bài 14 (ĐH- Khối D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài 15 (ĐH- Khối D-2014) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , mặt bên ( SBC ) vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA, BC D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I GÓC Dạng Góc hai đường thẳng Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AB DM A B C D AD, CAB = DAB = 60, CD = AD Gọi góc AB CD Chọn khẳng định Câu Cho tứ diện ABCD có AC = A cos = B = 60 C = 30 D cos = Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AM SB 6 B C D 4 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a , A SB = a mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 106 M , N trung điểm cạnh AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM , DN A B C D Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB A B O M C A 45 B 30 C 60 D 90 Câu Cho hình lập phương ABCD ABC D Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , CD Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 30o B 45o C 60o D 90o Câu Cho hình lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vng A , có AB = a AC = a Biết A ' B = a , Gọi N trung điểm AA' Góc hai đường thẳng A ' B CN Khẳng định sau A cos = 14 B cos = − 14 C cos = 14 28 D cos = 14 Câu Cho tứ diện ABCD có AC = BD = a , AB = CD = 2a , AD = BC = a Tính góc hai đường thẳng AD BC A 300 B 600 C 900 D 450 Câu Cho hình lập phương ABCD ABC D Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , BC , C D Xác định góc hai đường thẳng MN AP Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 107 A 450 B 300 C 600 D 900 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình vng có cạnh 2a , SAD vuông A Gọi M, N trung điểm cạnh AB BC Biết SM = SA = a Khi sin góc hai đường thẳng SM DN bằng? 1 A cos( SM ,DN) = B cos( SM ,DN) = C cos( SM ,DN) = D cos( SM ,DN) = − Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA = a SA vng góc với mặt đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Tính cơsin góc hai đường thẳng SM , DN A 10 B 10 C D a Câu 12 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , SA ⊥ ( ABC ) , BC = 2SA = 2a , AB = 2a Gọi E trung điểm AC Khi đó, góc hai đường thẳng SE BC là: A 30 B 60 C 90 khác D Kết Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD, SA ⊥ ( ABCD ) SA = AB Gọi E , F trung điểm BC, SC Góc EF mặt phẳng ( SAD ) A 450 B 300 C 600 D 900 Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = a SA ⊥ ( ABC ) SA = a Gọi góc SB ( SAC ) Tính A = 300 B = 600 C = 450 D = 900 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân C, AC = BC = a 10 , mặt bên SAB tam giác cạnh 2a nằm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 108 mặt phẳng vng góc với đáy Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 30 B 45 C 90 D 60 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB SC = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H AB Cosin góc SC ( SHD) 5 B C D 5 Câu 17 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có mặt phẳng ( AA ' B ' B) ( ACC ' A ') A vng góc với mặt phẳng ( A ' B ' C ') , đáy tam giác cạnh a , cạnh bên có độ dài a Gọi M trung điểm cạnh B ' C ' , góc đường thẳng AM ( A ' B ' C ') thuộc khoảng sau đây? A (150 ;200 ) B ( 200 ;400 ) C ( 450 ;500 ) D ( 500 ;600 ) Câu 18 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Điểm M thuộc tia DD ' thỏa mãn DM = a Góc đường thẳng BM mặt phẳng ( ABCD ) A 30o B 45o C 75o D 60o Câu 19 Cho hình chóp tam giác S ABC , có ABC tam giác cạnh a , SA = SB = SC = a Tính cosin góc SA ( ABC ) A B C D Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a , tam giác SAB Gọi H trung điểm AB , SH vuông với đáy Gọi I , K trung điểm SD, BC Góc IK mặt đáy ( ABCD ) A 300 B 900 C 400 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 600 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 109 Câu 21 Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có tất cạnh a Gọi M trung điểm cạnh AB góc tạo MC ' mặt phẳng ( ABC ) Khi tan bằng: A B C D Câu 22 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN ( ABCD ) 60 , cosin góc MN mặt phẳng ( SBD ) bằng: A 41 41 B C D 41 41 Câu 23 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AD = 2a, AB = a , góc BCD 600 , SB vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , ( SAC ) A SB = a Tính cos góc tạo SD mặt phẳng B C 15 D Câu 24 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M điểm đoạn SD cho SM = 2MD Gọi góc BM mặt phẳng ( ABCD) Tính tan A B C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 110 Câu 25 Cho lăng trụ ABC ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60 Gọi góc đường thẳng AB mặt phẳng ( BCC B ) Tính sin A sin = 13 B sin = 13 C sin = 13 D 13 sin = Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a Mặt phẳng ( P ) mặt phẳng qua A vng góc với SC Tính cotang góc tạo đường thẳng AB với mặt phẳng ( P ) A 11 B 33 C 33 D Dạng Góc hai mặt phẳng Câu 27 Trong khơng gian cho tam giác SAB hình vuông ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc Gọi góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) Tính tan S A B A D C B C D Câu 28 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a , ASB = ASC = 60o ; BSC = 90o , gọi góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABC ) Khi sin bằng: A B C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 111 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) Khi tan bằng: 3 C D Câu 30 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , A B AB = AC = a , SBA = SCA = 90 Gọi H hình chiếu vng góc S ( ABC ) SH = a Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) A B C D Câu 31 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác cân, AB = AC = 2a , BAC = 120 ; CC = 2a Gọi I trung điểm CC Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( ABI ) ( ABC ) A B 10 C 30 D 30 10 Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Cho biết AB = AD = 2DC = 2a Tính góc hai mặt phẳng ( SBA ) ( SBC ) A 900 B 30 C 45 D 60 Câu 33 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác cân, AB = AC = 2a , BAC =1200 ; CC = 2a Gọi I trung điểm CC Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( ABI ) ( ABC ) A B 10 C 30 D 30 10 Câu 34 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A Mặt bên ( SBC ) tam giác cân S , đường cao SH = a ( H BC ), BC = 3a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy ABC Gọi góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) Mệnh đề sau đúng? Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 112 A = 600 B = 450 C cos = D = 300 Câu 35 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , ABC = 600 , tam giác SBC tam giác có cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABC ) Mệnh đề sau đúng? A = 600 B tan = D tan = Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a , C tan = cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a (hình bên) Gọi H , K hình chiếu vng góc A SB, SD Số đo góc tạo mặt phẳng ( AHK ) ( ABCD ) bằng: A 90 B 60 C 30 D 45 Câu 37 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác ABC cạnh 2a góc ABA ' = 60 Gọi I , K trung điểm AB AC Gọi góc hai mặt phẳng ( AIK ) ( ABC ) Tính cos A B C D Câu 38 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB = BC = a SA = a Góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) A 60 B 90 C 30 D 45 Câu 39 Cho hình chóp S ABC có SC ⊥ ( ABC ) tam giác ABC vuông B Biết AB = a, AC = a 3, SC = 2a Gọi góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) Tính sin A 13 B C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 113 Câu 40 Cho hình chóp tam giác S ABC có AB = a chiều cao hình a chóp Góc mặt bên mặt đáy hình chóp cho bằng? A 30 B 60 C 45 D 90 Câu 41 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , mặt bên SBC tam giác cân S , SB = 2a , ( SBC ) ⊥ ( ABC ) Gọi góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) , tính cos A cos = − C cos = B cos = D cos = Câu 42 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a 3, BC = a SA = SB = SC = SD = 2a Gọi K hình chiếu vng góc B AC H hình chiếu vng góc K SA Tính cosin góc hai mặt phẳng ( BHK ) ( SBD ) A B C D Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , chiều cao 2a Gọi góc mặt phẳng ( SAB ) mặt phẳng ( ABCD ) Tính tan A tan = B tan = C tan = D tan = Câu 44 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Góc tạo mặt bên mặt đáy hình chóp Tính tan A 14 B 15 C 14 D 15 Câu 45 Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh SA vng góc với đáy SA = a Tính góc mp ( SBC ) mp ( SDC ) A 120 B 90 C 30 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 60 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 114 II KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M trung điểm CD Khoảng cách từ M đến ( SAB ) nhận giá trị giá trị sau? a B 2a D a C a 2 Câu Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ ( BCD ) BCD tam giác A cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: 2a 4a 3a a 11 B C D 3 2 Câu Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thoi cạnh A a Bˆ = 60 Biết SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến SC A 3a B 4a C 2a D 5a Câu Cho hình chóp S ABC SA , AB , BC vng góc với đôi Biết SA = 3a , AB = a , BC = a Khoảng cách từ B đến SC A a B 2a C 2a D a Câu Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng CD a a C D a 2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Câu Cho hai tam giác ABC ABD nằm hai mặt phẳng hợp với góc 60o , ABC cân C , ABD cân D Đường cao DK ABD bằng12cm Khoảng cách từ D đến ( ABC ) A a B C cm D cm A 3 cm B cm Câu Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Khi khoảng cách từ tâm hình lập phương đến mặt phẳng ( BDA) a a D Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên b, cạnh đáy A a B a C d , với d b Hãy chọn khẳng định khẳng định bên Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 115 A d ( S ,( ABC ) ) = b − d B d ( S ,( ABC ) ) = b − d C d ( S ,( ABC ) ) = b − d D d ( S ,( ABC ) ) = b + d Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a đường cao SO = a Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA a a C a D Câu 10 Cho hình lập phương ABCD.A1BC D cạnh a Gọi M trung 1 A a B điểm AD Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng ( C1 D1M ) bao nhiêu? 2a 2a B C a D a Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao A a Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên: A a B a C 2a D a 10 Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy nửa lục giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) với SA = a Khoảng cách từ A B đến mặt phẳng ( SCD ) là: a a B a ; 2 a a C a ; D a ; 2 Câu 13 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1BC D có ba kích thước AB = a, AD = 1 A a ; b, AA1 = c Trong kết sau, kết sai? A khoảng cách hai đường thẳng AB CC1 b ab B khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) a + b2 abc C khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) a + b2 + c2 D BD1 = a + b2 + c Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 116 Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy ABCD hình thoi cạnh a; ABC = 120 Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) trọng tâm G tam giác ABD, ASC = 90 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) tính theo a a a a a B C D 3 Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm tam A giác ABD Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng ( ABCD ) góc 60 Khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( SBC ) tính theo a A 3a 285 19 B a 285 19 a 285 5a 285 D 18 18 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AC = 2a, SA C vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) góc 30 Gọi M điểm cạnh AB cho BM = 3MA Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCM ) A 34a 51 B 34 a 51 34a 34 a D 51 51 Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M , N P trung điểm cạnh AB, AD DC Gọi H giao C điểm CN DM , biết SH vng góc ( ABCD ) , SH = a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SBP ) tính theo a a a a a B C D 4 Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân có hai đường A chéo AC, BD vng góc với nhau, AD = 2a 2; BC = a Hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) 60 Khoảng cách từ M trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng ( SCD ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 117 A a 15 B a 15 20 3a 15 9a 15 D 20 20 Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O, hình C chiếu vng góc S ( ABCD ) trung điểm AO, góc ( SCD ) ( ABCD ) 60 Khoảng cách từ trọng tâm tam giác mặt phẳng ( SCD ) tính theo a SAB đến 2a a 2a a B C D 3 3 Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cân A A, AB = AC = a, BAC = 120 Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc cho tan = Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) tính theo a 3a a 13 3a 13 5a 13 B C D 13 13 13 13 Câu 21 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, góc A cạnh bên mặt đáy 60 Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SMN ) tính theo a a 7a 3a a B C D 7 Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy trung điểm H CI , góc đường thẳng SA mặt đáy 60 A Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SBC ) a 21 a 21 4a 21 a 21 B C D 29 29 29 29 Câu 23 (ĐỀ THPTQG- 2018): Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông đỉnh B, AB = a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) A A 5a B 5a C 2a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 5a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 118 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 2a Câu 24 Cho hình chóp O ABC có đường cao OH = Gọi M N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN ( ABC ) bằng: a a a a B C D 3 2 Câu 25 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = SA = 2a Khoảng cách từ đường thẳng AB đến ( SCD ) bao nhiêu? A a a a B C D a 2 Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thang A vng có chiều cao AB = a Gọi I J trung điểm AB CB Tính khỏang cách đường thẳng IJ ( SAD ) a a D 3 2a Câu 27 Cho hình chóp O ABC có đường cao OH = Gọi M N trung điểm OA OB Tính khoảng cách đường thẳng MN ( ABC ) A a 2 B a C a a a a B C D 3 2 Câu 28 Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , mặt đáy ABCD hình A thang vng có chiều cao AB = a Gọi I J trung điểm AB CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ ( SAD ) a a a a B C D 3 2 Câu 29 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi khoảng cách đường thẳng AB mặt phẳng ( SCD) A 2a a a a B C D 4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Câu 30 Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh (đvdt) Khoảng cách AA' BD ' bằng: A Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 119 2 B C D Câu 31 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai cạnh đối AB CD A a a a a B C D 2 Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo AD A ' C ' : A AA ' B BB ' C DA ' D DD ' Câu 33 Cho hình vng ABCD tam giác SAD nằm hai mặt phẳng vng góc với AD = a Tính khoảng cách AD SB A a 21 a 21 a 15 a 15 B C D Câu 34 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AD AB ? A a a D Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a Biết hai mặt bên ( SAB) ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy A a B a C SA = a Khoảng cách BD SC A độ dài đoạn thẳng OA B độ dài đoạn thẳng BC C khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC D khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Khoảng cách hai đường thẳng chéo SB CD A a B a C a D a Câu 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp a Gọi E F trung điểm AB CD; K điểm AD Khoảng cách hai đường thẳng EF SK là: A a B a C a 15 D a 21 Câu 38 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách SM BC bao nhiêu? Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 120 A a B a C a 3 D a Câu 39 Cho tứ diện ABCD cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD bao nhiêu? A a B a C a D a Câu 40 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = AA = a , AC = 2a Tính khoảng cách AC CD : A a B a C a D a Câu 41 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh (đvd) Khoảng cách AA BD bằng: A 2 B C 3 D 2 Câu 42 Khoảng cách hai cạnh đối tứ diện cạnh a : A a B a C a D a Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AC = a , BC = a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách SD BC A 2a B a C 3a D a Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a Khoảng cách hai đường thẳng AD SB là: A a B a 42 C a Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = D a a 17 Hình chiếu vng góc H đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm cạnh AB Gọi K trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường SD HK theo A a 3a B a C a 21 D a Câu 46 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác vng A, AB = AC = b có cạnh bên b Khoảng cách hai đường thẳng AB BC A b B b C b Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D b C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 121 Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC = 60 Hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với đáy, góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD ) 30 Khoảng cách hai đường thẳng SA, CD theo a bằng: A a B a C a D a Câu 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I , AB = 2a; BD = 3AC , mặt bên SAB tam giác cân đỉnh A, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AI Khoảng cách hai đường thẳng SB CD bằng: A a 35 B a 35 C 2a D a 35 35 Câu 49 (ĐỀ THPTQG- 2018): Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách hai đường thẳng AC SB bằng: 2a a a 6a B C D 3 2 Câu 50 (ĐỀ THI THPTQG 2022) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a , BC = 2a AA ' = 3a Khoảng cách hai đường thẳng BD A ' C ' bằng: A A a B a C 2a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 3a C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 122 III Hiệu sáng kiến đem lại: III.1 Hiệu kinh tế (Giá trị làm lợi tính thành tiền): Với thao tác ít, dễ nhớ, sáng kiến tập trung vào giải tốn tính góc khơng gian với cách làm chính, hay sử dụng; sáng kiến giải cách tương đối triệt để tốn tính khoảng cách đối tượng điểm, đường thẳng mặt phẳng Sáng kiến tài liệu tốt để tự học, tự rèn luyện mà không cần tốn III.2 Hiệu mặt xã hội (Giá trị làm lợi không tính thành tiền(nếu có)): - Với nét vẽ, học sinh dễ nhớ, hào hứng giải tập - Đề tài phân dạng, nêu phương pháp chung minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với mức độ khác để học sinh tiếp cận, thực hành - Giúp học sinh hệ thống dạng tốn tính góc, khoảng cách khơng gian, có nhìn tổng qt, đứng trước tốn học sinh bật cách giải, định hướng trước làm bài, qua có cách giải tối ưu cho toán giúp học sinh e sợ phần - Làm cho học sinh trở nên u thích phần Hình học khơng gian nói riêng mơn Tốn nói chung, từ phần học học sinh coi khó trở nên giải cách dễ dàng - Qua thực tế áp dụng thấy em học sinh hứng thú học tập phần Khi học lớp qua lần kiểm tra, thi, số học sinh làm tính góc, khoảng cách cao hẳn + Kết kiểm tra sau triển khai theo giải pháp cũ 40 học sinh lớp 11B6: Số HS có Số HS có Số HS có Số HS có Số HS có điểm điểm 5-dưới điểm 7-dưới điểm 8-dưới điểm đến 10 5/40 8/40 18/40 7/40 2/40 (12.5%) (20%) (45%) (17.5%) (5%) + Kết kiểm tra sau triển khai theo giải pháp 40 học sinh lớp 11B3: Số HS có Số HS có Số HS có Số HS có Số HS có điểm điểm 5-dưới điểm 7-dưới điểm 8-dưới điểm đến 10 2/40 4/40 17/40 12/40 5/40 (5%) (10%) (42.5%) (30%) (12.5%) - Thông qua việc vẽ hình, tìm đường tối ưu để tính tốn hình thành kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh mà cịn phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ giáo dục đào tạo Đó vấn đề mẫu chốt, mục tiêu dạy học đại Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 123 - Tài liệu giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao khả thân IV Cam kết không chép vi phạm quyền Trong trình dạy viết sáng kiến tơi có tham khảo thêm sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo, cập nhật nguồn tài liệu mạng không chép vi phạm quyền sáng kiến tác giả khác Tuy điều kiện thời gian hạn chế, nguyên nhân khách quan chủ quan nên đề tài khơng tránh khỏi sai sót, hạn chế định định dạng từ cỡ chữ 12 thơng thường sang cỡ chữ 14 nhiều cơng thức bị hóa ảnh Rất mong nhận thơng cảm, góp ý đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để sáng kiến đầy đủ hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! CƠ QUAN ĐƠN VỊ Hải Hậu, ngày 30 tháng năm 2022 ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (xác nhận) Trần Thị Huệ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 124 CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO BÁO CÁO Giấy xác nhận áp dụng sáng kiến trường THPT B Hải Hậu Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn