1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương pháp tính tích phân hàm ẩn tốn tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số I ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong Chương trình mơn Tốn Trung học phổ thơng, phép tính Ngun hàm - Tích phân chiếm vị trí quan trọng Tốn học, tích phân ứng dụng rộng rãi thực tế tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, sở để nghiên cứu Giải tích đại Ngồi phép tính tích phân cịn ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 có mặt hầu hết kỳ thi thi tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi cấp Hiện với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân yêu cầu rộng đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt phần Nguyên hàm - Tích phân số hàm ẩn đưa vào để yêu cầu học sinh, học kỹ phương pháp tính, đứng trước yêu cầu tính nguyên hàm, tích phân hàm ẩn đa số em cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng chí khơng định hình lời giải đứng trước toán dạng Muốn học sinh học tốt phần người Giáo viên truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách dập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó nguyên nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Yêu cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách thiết kế giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Vì lí đó, để giúp học sinh có sở khoa học, có có hệ thống kiến thức tính tích phân hàm ẩn tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục, chọn sáng kiến sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp tính Tích phân hàm ẩn tốn tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số” Với Sáng kiến hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc tính nguyên hàm, tích phân nói chung ngun hàm, tích phân số hàm ẩn nói riêng lớp toán kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số tích phân II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: Từ kì thi THPT QG năm 2017 Giáo dục Đào tạo chuyển đổi hình thức thi mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Trong đề minh họa Giáo dục Đào tạo, đề thi TN THPT, học sinh thường gặp số câu tính tích phân hàm ẩn tốn tích phân cho kết hợp với cực trị, tương giao đồ thị hàm số, toán phân hóa đối tượng mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có thêm phương pháp, có kinh nghiệm việc tính tích phân nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi, giúp giáo viên tự tin lên lớp Trước áp dụng sáng kiến vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường lớp 12A2, 12A3 Trường THPT Xuân Trường toán tính nguyên hàm - tích phân hàm ẩn, thu kết sau: Lớp Sĩ số 12A1 12A2 38 37 Giỏi SL % 18,4 13,5 Khá SL % 10 26,3 24,3 TB SL 21 22 % 55,3 59,5 Yếu SL % 2,7 Kém SL % 0 Qua khảo sát tơi thấy trình độ nhận thức học sinh lớp chênh lệch không đáng kể Số lượng học sinh nắm kiến thức dạng khơng nhiều, có nhiều em chưa định hình lời giải chưa có kiến thức kĩ cần thiết Thực sáng kiến hệ thống lại phương pháp tính tích phân học để áp dụng tính cho hàm ẩn lớp tốn tính tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số thông qua phương pháp cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tương tự để học sinh vận dụng phương pháp học vào giải vấn đề Mô tả giải pháp sau có sáng kiến Sáng kiến làm rõ vấn đề mà học sinh gặp khó khăn, lúng túng, sai lầm thường gặp chí khơng có định hình lời giải việc tính nguyên hàm, tích phân hàm ẩn, tốn tích phân kết hợp với tốn cực trị, tương giao đồ thị hàm số Sáng kiến góp phần gây hứng thú học tập phần nguyên hàm, tích phân hàm ẩn, tốn ứng dụng tích phân kết hợp với yếu tố cực trị, tương giao đồ thị hàm số cho học sinh, phần coi khó, địi hỏi tính tư logic cao khơng giúp giáo viên lên lớp tự tin; học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức Sáng kiến làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 2.1 Giải pháp 1: Xác định sở lý luận thực tiễn phương pháp sử dụng sáng kiến Phương thức 1: Xác định rõ kiến thức lý thuyết nguyên hàm tính chất Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f x xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x K F ' x f x với x K Định lí Giả sử hàm số F x nguyên hàm hàm số F x K Khi đó: Với số C, hàm số F x C nguyên hàm f x K Ngược lại, với nguyên hàm f x K tồn số C cho G x F x C với x K Do F x C, C họ tất nguyên hàm f x K Ký hiệu f x dx F x C Tính chất Nếu f x , g x hai hàm số liên tục K thì: f ' x dx f x C b) kf x dx k f x dx , với k hai số thực khác c) mf x ng x dx m f x dx n g x dx với m,n hai số thực khác a) d) Với a, b a ta có: nguyên hàm f x f ax b dx a F ax b C , F x Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K Phương thức 2: Tìm hiểu định nghĩa, tính chất tích phân phương pháp tính tích phân Định nghĩa Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b) F(a) gọi tích phân f từ b a đến b kí hiệu f ( x )dx Trong trường hợp a b , ta gọi a phân f đoạn a; b b f ( x )dx a tích C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an b Người ta dùng kí hiệu F ( x ) a để hiệu số F(b) F(a) Như Nếu F b nguyên hàm f K f ( x )dx F( x ) b a F ( b) F ( a) a Tính chất Giả sử f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có a 1) f ( x )dx ; 2) a 3) 4) b c a b b b a a b f ( x )dx f ( x )dx ; c f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx a b b a a f ( x ) g ( x ) dx f ( x )dx g ( x )dx ; a b b a a 5) kf ( x )dx k f ( x )dx với k Chú ý: F( x ) f ( x ) với x K F ( x ) f ( x )dx Phương pháp đổi biến số b Tính tích phân I g ( x )dx Giả sử g( x ) viết dạng a f u( x ).u( x ) , hàm số u( x ) có đạo hàm K , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp f u( x ) xác định K a, b hai số thuộc K Khi b u(b) a u( a) f u( x ).u( x )dx f (u)du Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x Như tích phân b b b a a a không phụ thuộc f ( x )dx f (u)du f (t )dt Phương pháp tính tích phân phần Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn vào biến tức C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an b Công thức u( x )v( x )dx u( x )v( x ) a b a b v( x )u( x )dx (trong u, v có đạo a hàm liên tục K a, b hai số thuộc K ) Trên cơ tóm tắt định nghĩa tính chất giáo viên nhấn mạnh đưa ý áp dụng để giải toán Phương thức 3: Các phương pháp tính tích phân hàm ẩn, tốn tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số hàm số giải pháp trọng tâm sáng kiến Thực sáng kiến chia nội dung thành bốn phần Phần Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm (giải pháp 2) Phần Phương pháp sử dụng phương pháp đổi biến số (giải pháp 3) Phần Phương pháp sử dụng phương pháp tính tích phân phần (giải pháp 4) Phần Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân (giải pháp 5) Phần Bài tốn tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số (giải pháp 6) Mỗi phần thực theo bước: - Nhắc lại kiến thức sử dụng sáng kiến - Nêu ví dụ áp dụng - Phân tích định hướng lời giải cho ví dụ - Nêu nhận xét, bình luận đưa tốn tổng qt (nếu có) 2.2 Giải pháp 2: Phương pháp tính tích phân hàm ẩn cách biến đổi đưa nguyên hàm Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng dạng toán đưa 10 ví dụ minh họa cho phương pháp, ví dụ khác có phân tích định hướng lời giải, nhận xét, bình luận đưa tốn tổng quát có Cuối đưa tập tương tự để học sinh rèn luyện 2.2.1 Kiến thức sử dụng * Nếu F( x ) f ( x ) với x K F ( x ) f ( x )dx * Các công thức đạo hàm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an uv uv u ; v2 v 1) u.v u.v uv ; 2) 4) nu n 1u u n ; 5) 3) u u u ; u u2 u 2.2.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ (THPTQG – MĐ 101 – 2018) Cho hàm số f x thoả mãn 2 f x x f x với x Giá trị f 1 35 19 A B C D 36 36 15 Phân tích định hướng lời giải : Để tính f 1 ta phải xác định hàm số f 2 f x Từ giả thiết f x x f x hợp điều kiện f f x f x 2x x C kết f x ta suy hàm số f x Khi ta có lời giải sau: Ta có f x x f x Lời giải f x f x 2x d f x d x x d x f x xdx f x 1 x2 C f x f x x C f x 2 C Theo giả thiết: f 9 4C f 1 Vậy f x x2 Chọn B Bình luận: Qua ví dụ ta thấy đề thiết kế dựa kiến thức nguyên hàm, công thức nguyên hàm hàm số hợp Do người đề dễ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an dàng thiết kế mối liên hệ f x , f x biểu thức g x dễ tính nguyên hàm ta hồn tồn tìm hàm số f x vấn đề giải Tương tự dựa vào cơng thức tính đạo hàm hàm số chứa căn; đạo hàm tích, thương hai hàm số ta xét tiếp số ví dụ sau Ví dụ (Đề thi chọn HSG tỉnh Nam Định năm 2021) Cho hàm số f x có đạo f ( x) với x x x 1; e Giá trị f e biết f 1 3? hàm liên tục 1;e thỏa mãn xf ' x xf x f x Phân tích định hướng lời giải : Thực biến đổi giả thiết ta x f x x f x x f x , lúc vế phải có dáng dấp bình phương, ta thực thêm bớt được: x f x x f x x f x 2 Nhận thấy x f x f x x f x nên chia hai vế cho x f x , Khi ta có lời giải sau Lời giải Với x 1; e , ta có xf ' x xf x f x x 2 x f x x f x x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x 2 (do f x với x 1; e ) x x Lấy nguyên hàm hai vế ta được: ln x C x f x C C 1 3 Cho x e ln e f e e f e 2e Cho x Ví dụ Cho hàm số f liên tục, f x 1, f thỏa mãn f x x x f x Tính f A B 3 C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Phân tích định hướng lời giải : Mấu chốt tốn cơng thức tính đạo hàm f x 1 f x Từ giả thiết f x x x f x , điều kiện f x 1 f công thức đạo hàm ta suy hàm số f x Khi ta có lời giải sau Lời giải Ta có f x x2 x f x f x dx x x 1 f x f x 1 dx x x2 f x 1 f x dx x dx x x2 1 f x x2 C Mà f C Suy f f x x2 3 1 f 3 Chọn B Qua cách tư ví dụ 1, 2, kĩ sử dụng quy tắc tính đạo hàm, lối tư tương tự ta thực ví dụ 4, 5, 6, Ví dụ Cho hàm số f x , liên tục đoạn 1;2 thỏa mãn f (1) x f ( x ) x f ( x ) với x 1;2 Tính tích phân I f ( x )dx A ln3 B ln3 C 4 ln3 D ln3 Lời giải Ta có x f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x f ( x) x f (x) x2 1 1 .dx x c , f (1) c f ( x) f (x) x x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 10 2x2 x Nên ta có f ( x) f ( x) x 2x Khi 2 2 x d (1 x ) I f ( x )dx dx ln x 2 2x 1 2x 1 1 ln3 ln3 ln3 4 Chọn A Ví dụ Cho hàm số f ( x ) đồng biến, có đạo hàm đoạn 1;4 thoản mãn x x f ( x ) f ( x ) với x 1;4 Biết f (1) A 1186 90 B 1186 45 , tính I f ( x )dx 2267 45 Lời giải C D 2267 90 Do f ( x ) đồng biến đoạn 1;4 f ( x ) 0, x 1;4 Ta có x x f ( x ) f ( x ) x 1 f ( x ) f ( x ) , x 1;4 2 f ( x ) 0, x 1;4 f (x) 1 f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x f ( x) f ( x ) xdx f ( x ) f (1) f (x) x x x c Vì 3 c c 2 3 2 4 2 f (x) x x f (x) x x f (x) x3 x 3 3 9 18 3 23 16 25 1186 Khi I f ( x )dx x x dx x x x 9 18 45 18 45 18 1 4 Chọn B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 11 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) đồng biến, có đạo hàm cấp hai đoạn 0;2 thỏa mãn f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) với x 0;2 Biết f (0) , f (2) e6 2 Tính tích I (2 x 1) f ( x )dx 2 A e4 B e Phân tích định hướng lời giải : Giả D e2 C e2 f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) thiết f ( x ) f ( x ) f ( x ) biến đổi dạng f ( x ) ta liên tưởng đến công thức tính đạo hàm thương hai hàm số Khi ta có lời giải sau Lời giải Do f ( x ) đồng biến đoạn 0;2 nên ta có f (0) f ( x ) f (2) f ( x ) e6 Ta có f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) 2 2 f (x) f ( x ) f ( x ) 2.dx x c dx x c dx ln f ( x ) x cx c1 mà f (x) f (x) f ( x ) e6 Nên ta có ln f ( x ) x cx c1 f (0) c1 c Do c1 4 2c c1 f (2) e ln f ( x ) x x f ( x ) e x x Khi I (2 x 1) f ( x )dx (2 x 1).e x 2 2 x dx e x x d (e x 2 Chọn C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn x ) ex x 2 e2 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 12 Ví dụ Cho f ( x ) có đạo hàm R thỏa mãn f ( x ).e f x R Biết f (0) , tính tích phân I ( x ) x 1 2x với f (x) x f ( x )dx 45e 45e B Phân tích định hướng lời giải : A Giả f ( x ) f ( x ).e f e f ( x ).e f thiết f x 3 x.e x (x) ( x ) x 1 1 45 C 2x 0 f (x) D biến đổi 45 dạng ta liên tưởng đến cơng thức tính đạo hàm hàm số Khi ta có lời giải sau Lời giải Ta có f ( x ).e f ef (x) ( x ) x 1 3 2x f ( x ) f ( x ).e f ( x ) x.e x 1 e f ( x ) x.e x 1 f ( x) xe x 1dx e x 1d ( x 1) e x 2 Do f (0) e e c c e f (x) 1 ex c 1 f ( x) x f ( x) x Khi I x f ( x )dx 0 x x 1.dx 3 x 1.d ( x 1) x 8 x 1 Chọn C Ví dụ Cho f ( x ) có đạo hàm 0;1 thỏa mãn f ( x ) x 1 f ( x ) với x 0;1 Biết f (5) , tính tích phân I f ( x )dx A ln B ln Phân tích định hướng lời giải : C ln Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D ln 45 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 13 Giả thiết f ( x ) x 1 f ( x ) có dạng tổng quát u x f ( x ) u x f ( x ) ta liên tưởng đến công thức tính đạo hàm tích hai hàm số u x f x Do ta tìm hàm số u x tốn giải Khi ta có lời giải sau Lời giải Ta có f ( x ) x 1 f ( x ) x 1 f ( x ) x 1 f ( x ) x 1 f ( x ) x 1 f ( x ) dx x 1 f ( x ) x c , f (5) x 1 f ( x ) x f ( x ) 1 7 c c 6 x2 x 1 1 x2 Khi I f ( x )dx dx dx x ln x ln x x 0 0 Chọn A Nhận xét: Nếu u( x ) biểu thức cho trước ta có u( x ) f ( x ) u( x ) f ( x ) u( x ) f ( x ) Đặt v( x ) u( x ) ta u( x ) f ( x ) v( x ) f ( x ) u( x ) f ( x ) (*) Như biểu thức có dạng v( x ) f ( x ) u( x ) f ( x ) ta biến đổi đưa dạng u( x ) f ( x ) Khi ta có tốn tổng qt cho ví dụ sau: Cho A( x ); B( x ) ; g( x ) biểu thức biết Tìm hàm số f ( x ) thỏa mãn A( x ) f ( x ) B( x ) f ( x ) g( x ) (**) Do vế trái có dạng (*) nên ta biến đổi (**) u( x ) f ( x ) g ( x ) Trong u( x ) chọn cho : u( x ) A( x ) u( x ) A( x ) u( x ) A( x ) dx dx u( x ) B ( x ) u( x ) B( x ) u( x ) B ( x ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 14 ln u( x ) G ( x ) c (với G ( x ) nguyên hàm A( x ) ) từ ta B( x ) chọn biểu thức u( x ) Ví dụ Cho f ( x ) thỏa mãn x ( x 2) f '( x ) ( x 4) f ( x ) x ( x 2)2 với x 0, x 2 Biết f (1) Tính f (2) 11 A B C -4 D 3 Phân tích định hướng lời giải : trước hết ta tìm biểu thức u( x ) Ta có u( x ) x4 x2 ln u x ln C u( x ) x x x x x2 chọn u x x2 ta có lời giải sau x2 Lời giải Ta có x ( x 2) f '( x ) ( x 4) f ( x ) x ( x 2)2 x2 x ( x 4) f '( x ) f ( x) x2 x2 x 2 x2 x2 x2 x3 f x x2 f x dx x dx f x C x2 x2 x2 Do f 1 C suy x2 x3 f 2 f x x2 3 Chọn B Ví dụ 10 Cho hàm số f x có đạo hàm \ 1 thỏa mãn f x x 1 f x x 1 e x f Tính I f x dx e D I Phân tích định hướng lời giải : trước hết ta tìm biểu thức u( x ) A I e Ta có B I C I u( x ) 2 ln u x ln x 1 C u( x ) x chọn u x x 1 ta có lời giải sau Lời giải Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 15 Ta có f x x 1 f x x 1 e x x 1 f x x 1 f x x 1 e x x 1 2 f x x 1 e x x 1 f x x 1 e x dx x e x C Do f C suy x 1 f x x e 1 0 I f x dx x ex x 1 2 x x f x ex x 1 1 2 x e dx dx = x x 0 e x dx e x dx (*) 2 x x 0 = e x dx 1 e x dx ex Đặt K dx ;J = x 1 0 x 1 du dx u ex Xét K dx đặt x 1 x 1 x 1 dv e x dx x v e 1 K ex ex e dx J x x 1 Thay K vào (*) ta được: I e x dx e e e Bài tập tương tự: Câu Cho f ( x ) liên tục có đạo hàm \ 1;0 thỏa mãn x ( x 1) f ( x ) f ( x ) x x với x \ 1;0 f (1) 2 ln , tính tích phân I xf ( x )dx 31 ln3 ln 12 31 ln3 ln C 2 A 31 ln ln 12 ln3 ln D 12 B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 16 Câu Cho f ( x ) có đạo hàm 1;2 thỏa mãn ( x 1) f ( x ) x f ( x ) 2e x với x 1;2 Biết f (1) e , tính tích phân I x f ( x )dx A e2 2e B e2 e C e2 e D 2e2 e Câu Cho hàm số f x thỏa mãn f x (2 x 1) f x , x 0, f x f 1 Khi A ln 2020 f ( x )dx 2021 4040 B ln 4040 2021 C ln 2021 2020 D ln 2020 2021 Câu Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x f x x x Biết f Tính f 2 313 332 324 323 B f C f D f 15 15 15 15 Câu Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0; thỏa A f f x x f x Tính f 1 f f 3 15 11 11 A B C D 15 15 30 30 Câu Cho hàm số y f x liên tục, không âm thỏa mãn mãn f f x f x x f x f Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y f x đoạn 1;3 A M 20 ; m B M 11 ; m C M 20 ; m D M 11 ; m 2.3 Giải pháp 3: Phương pháp tính tích phân hàm ẩn cách đổi biến số Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng dạng toán đưa 10 ví dụ minh họa cho phương pháp, ví dụ khác có phân tích định hướng lời giải, nhận xét, bình luận đưa tốn tổng qt có Cuối đưa tập tương tự để học sinh rèn luyện 2.3.1 Kiến thức sử dụng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 17 b Tính tích phân I g ( x )dx Giả sử g( x ) viết dạng f u( x ).u( x ) ,trong a hàm số u( x ) có đạo hàm K , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp f u( x ) xác định K a, b hai số thuộc K Khi b f u( x ).u( x )dx a u(b) f (u)du u( a) Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x Như tích phân b b b a a a khơng phụ thuộc vào biến tức f ( x )dx f (u)du f (t )dt 2.3.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ (Đề thi chọn HSG tỉnh Nam Định năm 2021) Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn f x 1 f x e x x 1 Giá trị tích phân I f x dx A I B I C I 1 D I 3 Phân tích định hướng lời giải: Do vế trái chứa f x 1 f x nên lấy tích phân hai vế với cận từ đến thực phép đổi biến số ta thu 3 1 f x 1 dx f x dx f t dt f t dt f t dt f x dx Ta có lời giải sau: Từ f x 1 f x e Suy x x Lời giải 1 1 f x 1 dx f x dx e x x 0 1 dx (1) 1 + Với tích phân I1 f x 1 dx , đặt t x ta I1 f t dt + Với tích phân I f x dx , đặt t x ta I f t dt 2 1 Do 1 f t dt f t dt e x x 1 dx Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 18 f x dx 1 Chọn C Ví dụ (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Nam Định năm 2022) Cho hàm số y f (x) liên tục f ( x)dx 18 , có f ( x )dx Giá trị f x dx 1 21 15 A B C 21 D 4 Phân tích định hướng lời giải: Nếu dùng phương pháp chia khoảng phá dấu giá trị tuyệt đối thực phương pháp đổi biến t x ; t x xuất hai tích phân ban đầu Do ta thực lời giải sau: Lời giải Ta có I f x dx 1 f 1 x dx f x 1 dx 1 Tính I1 f 1 x dx , đặt t x , I1 f t 1 5 dt f t dt 4 4 3 dt 18 Tính I f x 1 dx , đặt t x I f t f t dt 40 4 Vậy I I1 I2 21 Chọn B Ví dụ Cho hàm số f x liên tục thoả mãn f x x 1 x Tính f x dx 57 Phân tích định hướng lời giải: Sử dụng phép đổi biến x t 3t A 192 B Đặt x t 3t dx 3t 3 dt C 25 Lời giải Đổi cận: x t ; x t Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 196 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 19 f x dx f t Khi đó: Chọn C 3t 3t dt t 3 3t dt 25 f x Ví dụ Cho f x x dx , dx Giá trị f x dx x 2 1 A 17 B 16 C 13 D 12 Phân tích định hướng lời giải: f Nếu xét tích phân x x dx dùng phương pháp đổi biến 2 f x dx x2 t x x rút x ta thấy xuất hai tích phân f x dx Do ta thực lời giải sau: Lời giải Đặt t x x suy t x x t x x t 2tx 2 t 1 dx dt 2t 2 2t Đổi cận: x 2 t 5; x t x 1 5 2 x x dx 5 f t 2t dt 1 f t t 1 dt 5 f t 5 Suy f t dt 5 dt f t dt t t 1 Ta có: f 5 1 f x dx 5 f x dx 5.3 13 x2 Chọn C Ví dụ Xét hàm số f x liên tục 1;2 thỏa mãn f x xf x f 1 x x Tính giá trị tích phân I f x dx 1 C I D I 15 Phân tích định hướng lời giải: Nếu từ phương trình f x xf x f 1 x x lấy tích phân cận A I B I từ 1 đến Dùng phương pháp đổi biến số biến đổi hai tích phân Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 20 x f x 2 dx 1 f 1 x dx ta tích phân I 1 f x dx Do ta 1 thực lời giải sau: Từ f x xf x f 1 x x 2 f x dx x f x 1 1 Lời giải 2 1 1 dx f 1 x dx x 3dx * Xét J x f x dx 1 Đặt u x du xdx ; với x 1 u 1 x u Khi J x f x dx 1 f u du 1 f x dx 1 1 Xét K f 1 x dx 1 Đặt t x dt dx ; Với x 1 t x t 1 Khi K f 1 x dx 1 f t dx 1 f x dx 1 Thay 1 , vào * ta được: f x dx 15 1 f x dx 1 Chọn C Bài toán tổng quát : Cho hàm số f x thỏa mãn : A f x B u x f u x C f a b x g x b Tính I f x dx a Kết : b b u a a +) Với f x dx g x dx (1) A B C u b b a a b b u a b +) Với f x dx g x dx A B C a u b a a Trong đề thường bị khuyết hệ số A, B, C Nếu f x liên tục a; b b b a a f a b x dx f x dx Chứng minh trường hợp (1): Từ A f x B u x f u x C f a b x g x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 21 b b b b a b a a a suy A f x dx B u x f u x dx C f a b x dx g x dx (*) Xét J u x f u x dx a Đặt t u x dt u x dx ; đổi cận x a t a; x b t b b b a a Suy J f t dt f x dx I b Xét K f a b x dx a Đặt t a b x dt dx ; đổi cận x a t b; x b t a a b b a Suy K f t dt f x dx I b b Khi * A I B I C I g x dx I g x dx (ĐPCM) A B C a a Trường hợp chứng minh tương tự Cách 2: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f x x f x f 1 x x Ta có: u 1 1 A 1; B 1; C u x thỏa mãn u 2 x4 x dx Khi áp dụng cơng thức có: I f x 1 1 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0;2 thỏa mãn 1 f ( x ) f (2 x ) x 12 x 16 với x 0;2 Tính tích phân I f ( x )dx A I 16 B I 16 C I 16 21 Lời giải x t Đặt x t dx dt , đổi cận : x t 0 2 0 Khi I f (2 t )dt f (2 t )dt I f (2 x )dx Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D I C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 22 Ta có 2 0 3I I 3 f ( x )dx f (2 x )dx 3 f ( x ) f (2 x )dx I x 12 x 16 dx I x3 16 16 x 12 x 16 dx x 16 x I 0 Chọn A Cách 2: (Dùng công thức – Dạng 1) Với: f ( x ) f (2 x ) x 12 x 16 Ta có: u A 3; B 0; C 4 chọn u x thỏa mãn u Khi áp dụng cơng thức có: 2 16 I f x x 12 x 16 dx 1 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn xf ( x ) f (1 x ) x với x 0;1 Tính tích phân I f ( x )dx Lời giải Cách 1: Theo phương pháp đổi biến số x t Xét I f ( x )dx , đặt x t dx 2tdt Đổi cận : x t 1 1 0 Khi I 2t f (t )dt I x f ( x )dx I x f ( x )dx Xét I f ( x )dx , Đặt x t dx dt 0 1 x t Đổi cận : Khi I f (1 t )dt f (1 t )dt I f (1 x )dx x t 0 1 0 3I f (1 x )dx Ta có I 3I xf ( x ) f (1 x ) dx x dx Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 23 Đặt x sin t dx cos tdt (với t ; ), đổi cận : 2 x t x t Khi 12 1 5I sin t cos tdt cos tdt 1 cos2t dt t sin 2t I 20 2 20 0 0 Nhận xét: từ ví dụ ta thấy giả thiết cho mối liên hệ f ( x ) 2 2 f (u( x )) Thì ta đặt x u(t ) Cách 2: (Dùng công thức – Dạng 1) Với: xf ( x ) f (1 x ) x Ta có: u A 0; B 2; C với u x thỏa mãn u Khi áp dụng cơng thức có: 1 I f x x dx 50 20 1 Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục f x f 3x Tính x f x I dx x B I C I D I 1 2 Phân tích định hướng lời giải: Để tính tích phân I, ta phải tìm hàm số f x Từ ta định A I 1 hướng từ phương trình f x f 3x ta đặt t , đưa hệ phương trình x x 1 ẩn f x f Giải hệ ta thu hàm số f x Do ta thực lời x giải sau: Lời giải 1 Đặt, t x điều kiện trở thành x t 1 1 f f t f x f t t x x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 24 1 1 Hay f x f , kết hợp với điều kiện f x f 3x x x x f x 1 Suy : f x 3x x x x 2 f x 2 I dx dx x x x 1 x 2 Chọn A Bài toán tổng quát: b Cho A f u x Bf v x g x Tính I f x dx a Cách giải: Lần lượt đặt t u x t v x để giải hệ phương trình hai ẩn (trong có ẩn f x ) để suy hàm số f x (nếu u x x cần đặt lần t v x ) Các kết đặc biệt: Cho A f ax b B f ax c g x với A2 B ) xb x c A.g B.g a a (*) f x A2 B A.g x B.g x A2 B gx +) Hệ (*): A f x B f x g x f x với g x hàm A B số chẵn Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục thỏa mãn +) Hệ (*): A f x B f x g x f x f x 2020 f x e x Tính giá trị I f x dx 1 A I e 1 2021e B I e 1 2020e D I C I Lời giải Cách 1: (Dùng công thức) Với f x 2020 f x e x ta có A 1; B 2020 1 x Suy I f x dx e x dx e 2021 2020 1 1 Cách 2: (Dùng công thức) 1 e2 2021e Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn e2 e C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 25 Áp dụng Hệ 1: A f x B f x g x f x Ta có: f x 2020 f x e x f x 1 A.g x B.g x A2 B 2020e x e x 20202 e2 1 x x f x dx 2020e e dx 2021e 2019.2021 1 1 Chọn A Ví dụ 10 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0;3 thỏa mãn f ( x ) f (3 x ) dx f (x) với x 0;3 Tính tích phân I 3 3 B I C I D I Phân tích định hướng lời giải: Để tính tích phân I, ta sử dụng cách đổi biến x t kết hợp điều 3 f ( x) f ( x) kiện f ( x ) f (3 x ) Ta có I dx I dx kết hợp 2 f ( x) f ( x ) A I dx Do ta thực lời giải f (x) tích phân ban đầu ta tính I sau: Lời giải x t Đặt x t dx dt , đổi cận : Khi I dt f (3 t ) x t 3 3 1 f (x) dx dx dt I dx f (3 x ) f (3 t ) 2 f (x) 0 f (x) Ta có 3 3 f ( x) f (x) I I 2. dx 3 dx dx dx I f (x) f (x) f (x) 0 0 Chọn B b dx ba k f x 2k a Bài toán tổng quát: Cho f x f a b x k , I Chứng minh: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 26 dt dx Đặt t a b x k x a t b ; x b t a f x f t b b b dx dx f x dx Khi I k2 k f x a k a k f x a k f t b b ba dx f x dx 1 2I dx b a I 2k k f x k a k f x k a k a Bài tập tương tự: b Câu Cho f x hàm số liên tục f x d x , f x d x Tính I f 2x d x 1 A I B I C I D I Câu Cho hàm số f x liên tục thỏa f x dx f x dx 14 Tính f x dx 2 A 30 B 32 C 34 Câu Cho f x liên tục thỏa f D 36 dx x x f sin x cos xdx Tính I f x dx A I 10 B I C I D I Câu (Đề thi chọn HSG tỉnh Nam Định năm 2021) Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn e6 f ln x x dx f cos x sin xdx f x dx A 16 B 10 C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D Tích phân C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 27 Câu Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn e2 e f ln x x ln x dx Tính A B f x tan x f cos x dx 2 f 2x dx x C D Câu Cho hàm số f x liên tục thỏa f x 16 x dx 2019 , dx Tính x2 f x dx B 4022 A 2019 C 2020 D 4038 Câu Cho hàm số f x liên tục 0;1 thỏa mãn f x x f x 3x 1 Tính f x dx A B C 1 Câu Xét hàm số f x liên tục f x 1 xf x 0;1 D thỏa mãn điều kiện 1 x Tích phân I f x dx A I B I Câu Cho hàm số C I D I 20 16 f ( x ) liên tục 0;2 thỏa mãn điều kiện f x f x x Tính giá trị tích phân I f x dx B I C I D I Câu 10 Xét hàm số f x liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện A I 4 f x f 1 x x x Tính tích phân I f x dx A I 25 B I 15 C I 15 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D I 75 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 Câu 11 Xét hàm f x số liên 1;2 tục f x dx 1 B I C I f x x xf x Tính giá trị I 14 Câu 13 B I Xét f x xf x hàm A I ln D I 15 1;2 f x liên tục Câu 12 Hàm số A I thỏa mãn điều kiện f x dx 1 28 số f x tục D I C I liên 0;1 C I Câu 14 Cho hàm số y f x thỏa mãn f x x f x phân I f x dx A Câu 15 Cho thỏa mãn D I 1 f 1 x Tính giá trị tích phân I f x dx x 1 B I ln mãn f x xf x f 1 x x Tính giá trị tích phân I A I thỏa x3 x2 Tích a b ab với a, b, c ; tối giản Tính a b c c c c B 4 hàm số f x C liên tục D 10 thỏa mãn thỏa mãn x2 f 1 2x f 1 2x , x tính tích phân I f x dx x 1 1 A I Câu 16 B I Cho hàm số C I y f x liên tục D I f x 1 dx f x x f x x Giá trị tích phân I x x x 1 ;3 A B C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 16 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 29 Câu 17 Cho f ( x) hàm số liên B I thỏa mãn 3 f x f x 2cos2 x Tính tích phân I A I tục f x dx C I D I Câu 18 Cho hàm số f x liên tục nhận giá trị dương 0;1 Biết dx 1 f x f x f 1 x với x 0;1 Tính giá trí I B 2 Câu 19 Cho hàm số C A f x D f f 2018 x Giá trị tích phân I 2018 f x , ta có liên tục dx 1 f x A I 2018 B I C I 1009 D 4016 Câu 20 Cho hàm số y f x có đạo hàm, liên tục f x dx x 0;5 biết f x f x tính tích phân I , 1 f x 5 B I C I D I 10 Câu 22 Cho hàm số y f x liên tục thỏa mãn f x f x Biết A I 3 1 xf x dx Tính tích phân f x dx 11 B C D 2 2 Câu 22 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục f x x [0; A a dx f x a] ( a ) Biết f x f a x , tính tích phân I A I a B I 2a C I a D I a 2.4 Giải pháp 4: Tính tích phân hàm ẩn phương pháp tích phân phần Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng dạng tốn đưa ví dụ minh họa cho phương pháp, ví dụ khác có phân tích định hướng lời giải, nhận xét Cuối đưa tập tương tự để học sinh rèn luyện 2.4.1 Kiến thức sử dụng b Công thức b u( x )v( x )dx u( x )v( x ) a v( x )u( x )dx (trong u, v có đạo hàm b a a liên tục K a, b hai số thuộc K ) 2.4.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm thỏa mãn 5 44 1 f ( x )dx f (5) 15 Tính tích phân I 1 x 1 f ( x )dx 344 256 344 256 B I C I D I 5 5 Phân tích định hướng lời giải: Để tính tích phân I, ta sử dụng phương pháp tích phân phần A I cách chọn u x 1; dv f x dx , kết hợp tính chất f x dx f x C biến đổi I sử dụng kết biết giả thiết Do ta thực lời giải sau: Lời giải u x du dx Đặt Khi dv f ( x )dx v f ( x ) 5 44 344 I x 1 f ( x ) f ( x )dx f (5) Chọn A Với cách giải tương tự ta có Ví dụ 2, 3, 4, sau Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm R thỏa mãn f ( 3) f ( x )dx 1 x f ( x )ln x 1 Biết I x dx a ln a b ; a, b số nguyên Tính T a b A T B T C T D T Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 Lời giải u ln x x dx du Đặt x2 dv f ( x ) v f ( x ) Khi I f ( x )ln x x 3 f ( x )dx x2 ln Suy a 3; b T Chọn B Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm thỏa mãn 1 x f ( x )dx f (2) f (0) 2020 Tính tích phân B I 2020 A I 2021 u x Ta có C I 1011 Lời giải I f (2 x )dx D I 1010 du 2 dx 1 x f ( x )dx 2020 , đặt dv f ( x )dx v f ( x ) 2 0 Khi 2020 (1 x ) f ( x ) f ( x )dx 2020 3 f (2) f (0) f ( x )dx 2 0 2020 2020 f ( x )dx f ( x )dx 2020 x t Xét I f (2 x )dx , đặt t x dt 2dx Đổi cận: x t 2 1 2020 Khi I f (t )dt I f ( x )dx 1010 20 20 Chọn D Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm thỏa mãn f (3) f (0) 18 f ( x ) 1 A I 76 15 302 f (x) Tính tích phân I x 1dx dx 15 x 1 B I 76 15 C I 152 15 D I Lời giải Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 38 15 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 u x dx du Đặt x 1 dv f ( x ) v f ( x ) x Khi 3 f ( x) 302 f ( x ) x 1 x 0 15 2 x 1 x 1 dx 302 I 14 76 I 25 I x 1dx 15 15 20 f (3) f (0) Chọn B Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm đoạn 1;3 thỏa mãn f (3) f (1) f ( x ) ln x Biết I x 1 xf ( x ) dx x 1 dx a a 1 ln c ln ; phân số tối giản, a, b, c số tự b b nhiên Tính T a b c A T 10 Xét I B T C T Lời giải D T 12 1 u f ( x ) ln x du f ( x ) dx f ( x ) ln x x dx , đặt dv dx x 1 v x x 1 x 1 x 1 xf ( x ) x Khi I f ( x ) ln x dx x 1 1 x x 1 3 3 f (3) ln3 f (1) 0 ln x 1 ln ln 4 Suy a 3; b 4; c nên T 10 Chọn A Bài tập tự luyện Câu (Đề thi TN THPT năm 2019-mã đề 101) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm 0 liên tục Biết f xf x dx , x f x dx Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 31 B 16 C D 14 Câu Cho hàm số y f x liên tục, có đạo hàm , f 16 A 0 x f x dx Tính tích phân xf dx A 144 B 12 C 56 D 112 Câu Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục thỏa mãn f f 1 Biết e x f x f x dx ae+b Tính S a2021 b 2022 A S B S 1 C S D S Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f (1)sin1 10 Tính I f ( x )cos x f ( x )sin x dx B I 10 A I 20 C I 20 D I 10 2 0 Câu Cho hàm số f x có f , xf x dx Khi x f x dx B D 14 Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn 4 A 15 f 3, 4 f x cos x C 18 dx sin x.tan x f x dx Tích phân sin x f x dx A B 23 C 1 D Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn 4 f 3, 4 f x cos x dx sin x.tan x f x dx sin x f x dx Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Tích phân C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 A B 23 C 1 D 2.5 Giải pháp 5: Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng dạng tốn đưa ví dụ minh họa cho phương pháp, ví dụ khác có phân tích định hướng lời giải, nhận xét Cuối đưa tập tương tự để học sinh rèn luyện 2.5.1 Kiến thức sử dụng Nếu f ( x ) với x a; b b f ( x )dx , dấu "=" xảy a f ( x ) 0, x a; b b Hệ quả: f ( x )dx f ( x ) với x a; b a 2.5.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm đoạn 1;2 Biết f (0) , f ( x )dx f ( x ) 2 dx Tính tích phân I f ( x ) dx A I 64 B I Phân tích định hướng lời giải : D I 68 C I Giả thiết chứa f ( x ) f ( x ) nên ta tạo bình phương dạng f ( x ) a 2 Ta chọn a cho f ( x ) a 2 2 f ( x ) dx 2a f ( x )dx a 1 dx f ( x ) af ( x ) a dx 2 dx 4a a a Từ ta có lời giải sau Lời giải Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Ta có f ( x ) 2 2 2 1 dx f ( x ) f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x )dx dx 2 f ( x ) f ( x ) x c , mà f (0) c nên f ( x ) x Khi 2 I f ( x ) dx x 1 dx x 12 x x dx 3 1 x x 3x x 68 Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 , 1 37 0 f x dx 0 x f x dx 180 Tính I 0 f x 1 dx 1 D I 10 15 Lời giải 1 f 1 1 1 x f x dx Ta có: x f x dx x f x x f x dx 4 40 0 A I 10 B I 15 C I 3 37 37 Mà f 1 ; x f x dx suy x f x dx 180 180 20 0 x f x dx Xét: f x kx 1 dx f x d x k x f x dx k x dx 4k k 0 9 k 2 dx f x 2 x f x x C 3 Mà f 1 C C f x x 5 5 1 f x 1 dx x dx 15 0 Chọn C Khi f x kx Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1 e2 f x dx x 1 e f x dx Tính tích phân I f x dx 0 e 1 e A I e B I e C I D I 2 Lời giải u f x du f x dx Xét A x 1 e x f x dx Đặt x x v xe dv x 1 e dx x 1 1 e2 Suy A xe f x xe f x dx xe f x dx xe f x dx 0 x x x x 1 1 e2 1 Xét x e dx e x x 2 4 0 2x 2x 1 1 Ta có f x dx xe f x dx x e dx f x xe x dx x 0 2 2x Suy f x xe x 0;1 (do f x xe x f x xe x f x 1 x e x C x x 0;1 ) Do f 1 nên f x 1 x e x 1 0 Vậy I f x dx 1 x e x dx x e x e Chọn B Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm đoạn 0;1 Biết 1 0 f ( x ) dx 1 x f ( x )dx Tính tích phân I f ( x )dx Phân tích định hướng lời giải : Giả thiết chứa f ( x ) f ( x ) nên ta chưa thể tạo bình phương, trước hết ta biến đổi f( x )dx để khử cách đặt t x dx 2tdx 1 x t 1 2 Đổi cận ta có t f (t )dt t f (t )dt x f ( x )dt 5 x t 0 Đến Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 ta hai biểu thức f ( x ) x f ( x ) nên ta tạo bình phương dạng 2 f ( x ) ax , ta chọn a cho 1 2 f ( x ) ax dx 0 f ( x) 2ax f ( x ) a x dx 2 1 0 f ( x ) dx a x f ( x )dx a x dx 2 1 a2 a a Từ ta 5 có lời giải Lời giải Xét x f ( x )dx , đặt t x dx 2tdx 1 x t 1 2 Đổi cận , t f (t )dt t f (t )dt x f ( x )dt 5 x t 0 Vì 1 2 f ( x ) x dx f ( x ) x f ( x ) x dx 0 1 0 f ( x ) dx x f ( x )dx x dx 1 1 1 nên f ( x ) x Do I f ( x )dx x dx 5 0 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0; thỏa mãn 2 sin x f ( x )dx f ( x )dx 1, f ( x ) 2 dx 3 Tính tích phân I f ( x ).cos xdx Phân tích định hướng lời giải : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Giả thiết chứa f ( x ) , sin x f ( x ) f ( x ) nên ta tạo bình phương dạng f ( x ) a sin x b , ta chọn a, b cho f ( x ) a sin x b 2 dx 0 f ( x ) a sin xf ( x ) 2bf ( x ) ab sin x a2 sin x b2 dx 0 2 2 0 0 f ( x ) dx 2a sin xf ( x )dx 2b f ( x )dx ab sin xdx a2 sin x b dx 3 a2 b2 a b ab 0 4 4 2 2 a 1 a 1 b 1 2 b 1 , để có a 16 b 1 2 b 1 16 2 b 1 b 1 a 1 Từ ta có lời giải Lời giải Ta có f ( x ) sin x 1 dx f ( x ) 2 2sin xf ( x ) f ( x ) 2sin x sin x dx 0 2 2 0 0 f ( x ) dx sin xf ( x )dx f ( x )dx sin xdx sin x dx 3 3 1 1 f ( x ) sinx 4 4 2 2 Khi I f ( x ).cos xdx sinx 1 cos xdx 0 Bài tập tương tự Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 1;2 thỏa mãn f =0 , f x dx A I 36 45 B I x 1 f x dx 1 15 C I Tính I f x dx 30 1 12 D I 12 Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;2 , thỏa điều kiện f 2 0 f x dx f x dx A.1 2 Giá trị f x dx : x2 C B.2 D Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 , x f x dx A I 1 f x dx Tính tích phân I f x dx 5 0 B I C I 4 D I Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0; thỏa mãn: 0 f x dx 0 cos x f x dx f Khi tích phân A B 1 C D 2 f x dx Câu Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục đoạn 0;1 thỏa f 1 , f x dx A 2 cos 2 x f x dx Tính B C 1 f x dx D Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 1;2 thỏa mãn x 1 A I 2 f x dx , f , f x dx Tính I f x dx 1 B I C I 20 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D I 20 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 , 1 0 2 f x dx x f x dx Tích phân A B C f x dx D Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 , 1 0 f x dx 36 x f x dx Tích phân A B f x dx C D 2.6 Giải pháp 6: Phương pháp giải tốn Tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng dạng toán đưa ví dụ minh họa cho phương pháp, ví dụ khác có phân tích định hướng lời giải, nhận xét, bình luận Cuối đưa tập tương tự để học sinh rèn luyện 2.6.1 Kiến thức sử dụng a) Cho hàm số y f x C1 y g x C2 Phương trình hồnh độ giao điểm C1 C2 f x g x Nếu f x an x n an1 x n1 an2 x n2 a1 x a0 (với , i 0,1,2, , n ) có nghiệm x1 , x2 , , xk k n f x x x1 x x2 x xk h x , với đa thức h x có bậc n k Đặc biệt: Nếu f x ax bx c có nghiệm x1 , x2 f x a x x1 x x2 Nếu f x ax bx cx d có nghiệm x1 , x2 , x3 f x a x x1 x x2 x x3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , y g x liên tục đoạn a; b hai đường thẳng x a , x b xác định: b S f x g x dx a 2.6.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ (Đề thi TN THPT năm 2021-mã đề 101) Cho hàm số f ( x ) x ax bx c với a, b, c số thực Biết hàm số g x f x f x f x có hai giá trị cực trị 3 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y A ln3 f x y gx B ln C ln18 D ln Phân tích định hướng lời giải : Do hàm số g x có hai giá trị cực trị 3 nên từ lý thuyết cực trị hàm số ta g x1 g x2 có hệ điều kiện , với x1 , x2 điểm cực trị g x 3; g x Phương trình hoành độ giao điểm S x2 f x f x có nghiệm x1 , x2 nên gx g x 1 dx x1 Lời giải Ta có f x x 2ax b , f x x a , f x g x f x f x f x g x f x f x Vì g x có hai cực trị 3 nên không giảm tổng quát, giả sử g x có hai điểm cực trị x1 , x2 g x1 3 , g x2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường y f x 1 gx f x y gx f x g x f x f x f x f x x x1 f x f x g x x x2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y S f x g x 1 dx x f x g x g x dx x f x y là: gx x2 x2 x2 1 x1 g x dx g x x g x g x dx ln g x x x2 x2 1 f x f x dx g x x x2 ln12 ln 2ln Chọn D Ví dụ (Đề KSCL lần năm 2022-Sở GD ĐT Nam Định) Cho hàm số bậc bốn f ( x ) ax bx cx dx e hàm số bậc ba g x mx nx px q Các hàm số y f x y g x có đồ thị hình vẽ Biết f 1 g 1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , y g x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y g x A 32 15 B 16 C 16 25 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 16 15 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 Phân tích định hướng lời giải : Từ đồ thị được: f x g x ax x 1 x a x x x Từ diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , y g x : S f x g x dx tìm a , từ tính diện tích hình phẳng cần tìm Lời giải Ta có: f x 4ax 3bx 2cx d , g x 3mx 2nx p Đồ thị hàm số y f x cắt đồ thị y g x điểm x 0, x 1, x nên f x g x ax x 1 x a x x x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , y g x 4a x x x dx 4a x x x dx a a 2 a a 2 f x g x 8 x 3x x 8 x 24 x 16 x f x g x f x g x dx 2 x x x C Mà f 1 g 1 f 1 g 1 2 2 C 2 C f x g x 2 x x x S 2 x x x dx 32 15 Chọn A Ví dụ (Đề KSCL HK2 năm 2022-Sở GD ĐT Nam Định) Cho hàm số bậc ba y f ( x ) ax x cx d parabol y g x có đỉnh nằm trục tung Biết đồ thị y f x y g x cắt ba điểm phân biệt A, B, C có hồnh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 độ 2;1;2 thỏa mãn AB (tham khảo hình vẽ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y f x y g x A 13 B 238 C 71 D 71 Phân tích định hướng lời giải: Chú ý đến tính chất đối xứng parabol có đỉnh nằm trục tung cho ta tung độ điểm A C nhau: f 2 f Với A 2; f 2 , B 1; f 1 AB tìm mối liện hệ a, c Từ dễ dàng tính diện tích Lời giải Ta có A 2; f 2 , B 1; f 1 AB f 2 f 1 f 2 f 1 (do f 2 f 1 ) 2 8a 2c d a c d 3a c 1 (1) Do parabol y g x có đỉnh năm trục tung nên tung độ điểm A, C f 2 f 8a 2c d 8a 2c d 16a 4c (2) Từ (1) (2) suy a 1, c 4 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 Do đồ thị y f x y g x cắt ba điểm phân biệt A, B, C có hồnh độ 2;1;2 nên: f x g x a x x 1 x x x x Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y f x y g x S x x x dx 2 71 Chọn C Ví dụ (Đề KSCL lần năm 2022-Sở GD ĐT Nam Định) Cho hàm số f x ax bx cx dx e, a g x mx nx px q Đồ thị hàm số f x g x cắt điểm phân biệt có hoành độ 3; 1;1 Biết f g , tính A ln 23 51 B ln 63 95 f x g x dx f x gx C ln 37 62 D ln 49 87 Lời giải f x 4ax 3bx 2cx d ; g x 3mx 2nx p Đồ thị hàm số f x g x cắt điểm phân biệt có hồnh độ 3; 1;1 nên f x g x 4a x 3 x 1 x 1 a x x x 3 f x g x f x g x dx 4a x x x dx x4 x2 f x g x 4a x 3x C Có f g f g C d f x g x dx dx l n f x g x f x gx f x gx f x g x Chọn B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 2 ln 63 95 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 Ví dụ (Đề KSCL lần năm 2022-Chuyên Hùng Vương Phú Thọ) Cho hàm số f ( x ) x bx c (b, c ) có đồ thị đường cong C đường thẳng d : y g x tiếp xúc với C điểm x0 Biết (d ) (C) cịn có hai điểm chung khác có hồnh độ x1, x2 x1 x2 x2 gx f x x 1 x1 dx Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C đường thẳng d A 29 B 28 143 Lời giải C D 43 Ta có d C tiếp xúc với điểm x0 cịn có hai điểm chung khác có hồnh độ x1, x2 x1 x2 nên f x g x x 1 x x1 x x2 x2 Do tồn tích phân g x f x x 1 dx x1 x2 g x f x x 1 nên x1 ; x x dx x1 4 x x1 x x2 dx 3 x1 x2 x x1 x x1 x1 x2 dx x1 x2 x x1 x1 x2 x x1 dx x1 x2 x x1 3 x x1 2 x1 x2 3 x1 x x1 x2 x1 (1) Giả sử y g x m Phương trình hồnh độ giao điểm d C : f x g x x bx c m Theo định lý Viet bậc bốn ta có: x1 x2 x1 x2 2 (2) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 Từ (1) (2) ta có: x1 2; x2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C đường thẳng d : S 1 2 2 29 f x g x dx x 1 x x dx Bài tập tương tự Câu (Đề thi TNTHPT f ( x ) x ax bx c với năm a , b, c 2021-mã đề số 102) thực Cho Biết hàm số hàm số g x f x f x f x có hai giá trị cực trị 4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x y gx A ln B ln C 3ln D ln Câu Cho hai hàm số f ( x ) ax bx cx 3x g x mx nx x ; với a, b, c, m, n Biết hàm số y f x g x có ba điểm cực trị 1;2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x y g x 32 71 71 64 B C D 9 Câu Cho hai hàm số bậc ba y f x có đồ thị đường cong hình bên A Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị thỏa mãn x2 x1 f x1 f x2 đồ thị qua điểm M x0 ; f x0 Hàm số g x hàm số bậc hai có đồ thị qua điểm M điểm cực trị đồ thị hàm số y f x Tính tỉ số S1 ( S1 S2 S2 diện tích hai hình phẳng tạo đồ thị hai hàm f x , g x ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 B 35 32 Câu Cho hai hàm số A f x ax bx cx d , C y f x D 33 29 y g x liên tục có g x mx nx p với a.q thỏa mãn f g Đồ thị hàm số f x g x cho hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y f x y g x 16 Câu A 15 hàm số B Cho 16 D 15 3 y f x x ax bx a, b biết C hàm số 1 f x f x có hai điểm cực trị x 1, x Với t số tùy ý thuộc đoạn 0;1 , gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đượng gx f x x 0, y f t , y f x S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường: y f x , y f t , x Biểu thức P 8S1 4S nhận giá trị số nguyên? A B C D Câu Cho hàm số f x x bx c b, c có điểm cực trị x1 , x2 , x3 Đồ thị hàm số g x mx nx p m, n, p qua điểm cực trị đồ thị hàm số y f x Biết diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f x y g x A T 4 Giá trị T b c m n p 15 B T C T Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D T 1 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Hiệu kinh tế Cho dù chưa trực tiếp tính thành tiền sáng kiến nguồn tư liệu hữu ích cho giáo viên học sinh Hiệu mặt xã hội - Với sáng kiến này, đưa trước tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất biến đổi việc tính tích phân hàm ẩn, tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập Sau nghiên cứu sáng kiến đồng nghiệp tổ tự tin giảng dạy phần kiến thức Với phương pháp trình bày SKKN tơi áp dụng giảng dạy trường THPT Xuân Trường vào lớp 12A2, 12A3 có đối chứng kết khảo sát ban đầu Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng ghép dạy lớp, dạy tự chọn, ôn tập tốt nghiệp cho học sinh bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tơi thấy học sinh hứng thú, tích cực chủ động, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học toán nâng lên rõ rệt Sau áp dụng sáng kiến với dạng toán đầu cho học sinh làm kiểm tra khảo sat 15 phút, 45 phút (Đề kiểm tra phần phụ lục kèm theo) thu kết sau: Kết thứ Lớp 12A2 12A3 Sĩ số 38 37 Giỏi SL % 17 44,7 13 35,1 Khá SL % 14 36,8 15 40,5 TB SL % 18,4 24,3 Yếu SL % 0 0 Kém SL % 0 0 Yếu SL % 0 0 Kém SL % 0 0 Kết thứ hai Lớp 12A2 12A3 Sĩ số 38 37 Giỏi SL % 19 50 17 45,9 Khá SL % 17 44,7 16 43,2 TB SL % 5,26 10,8 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 Như qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát ban đầu chưa áp dụng SKKN nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Sáng kiến đồng nghiệp áp dụng vào bồi dưỡng đội tuyển Học sinh giỏi môn Tốn lớp 12 trường, góp phần vào nâng cao chất lượng đội, kết đội tuyển đạt giải Ba, giải Khuyến khích, đồng đội xếp thứ 19 IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi xin cam kết báo cáo sáng kiến tơi đúc rút qua q trình cơng tác, giảng dạy, nghiên cứu tài liệu môn, không chép vi phạm quyền Nếu vi phạm chép vi phạm quyền xin chịu hình thức kỷ luật Trên báo cáo sáng kiến đúc rút q trình học tập cơng tác mình, chắn có nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Văn Khoa Nguyễn Thị Lan Hương CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO SÁNG KIẾN Danh mục tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) [2] Sách tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) [3] Sách giáo Bí chinh phục điểm cao kì thi THPT Quốc gia mơn Tốn – Nhóm tác giả PGS.TS Lê Văn Hiện (Chủ biên) – Trương Quốc Toản – Lê Thảo – Ma Huyền Mỹ - Trần Đông Phong – Nguyễn Thanh Hoài – Nguyễn Thanh Hiếu – Nguyễn Đỗ Chiến [4] Các trang mạng diendantoanhoc.net; mathvn.com; toanhocbactrungnam.vn;… [5] Các đề thi chọn HSG tỉnh, đề khảo sát cuối năm 2022 tỉnh Nam Định, đề thi tốt nghiệp THPT năm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 PHỤ LỤC Đề kiểm tra 15 phút thỏa mãn f 1 xf x f x x với Câu Cho hàm số f x x Tính f x dx A 71 C 136 B 59 D 21 Câu Giả sử hàm số f x liên tục đoạn 0;2 thỏa mãn f x dx Tính tích phân I f 2sin x cos xdx A Câu B 3 hàm số Cho f x C liên tục D 6 tập f x x x f x f x 1 , f Tính f A B C f x mãn 3 D Đề kiểm tra 45 phút y f x liên tục, không âm thỏa mãn Câu Cho hàm số f x f x x thỏa f Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y f x đoạn 1;3 A M 20 ; m B M 11 ; m C M 20 ; m D M 11 ; m Câu Cho ln mãn f e A 10 Câu x số f x hàm dx 1, tục tập hợp x 1 f x dx 3 Tính f Xét liên B 4 hàm số B thỏa thỏa mãn C 5 f x liên tục D 12 đoạn 0;1 f x dx A x dx x 3 f x f 1 x x Tích phân C 15 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 1 x x2 Câu Cho hàm số y f x x x e f ln x Tính giá trị I dx xf x dx x A I 27 Câu 32 B I Cho hàm số C I f x liên tục D I đoạn 37 0;1 thỏa mãn thỏa mãn x f x f 1 x x Tính I f x dx A Câu B Cho 16 hàm số C f x 20 liên tục D đoạn 0;4 f x f x f x f x f x với x 0;4 Biết x 1 f f , giá trị f C e3 D e2 1 f x Câu Cho hàm số y f ( x ) thỏa mãn dx f (1) f (0) Tính x A e2 I B 2e f x x 1 A I dx B I C I 1 D I Câu Cho hàm số y f ( x ) ax x bx c, a y g ( x ) mx nx p, m có đồ thị cắt ba điểm A, B, C hình vẽ Biết đồ thị hàm số y g ( x ) parabol có trục đối xứng x diện tích tam giác ABC Tính f x dx Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 A B 4 C Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn D 28 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn