Skkn toán học thpt (24)

3 Cấu trúc sáng kiến Trang I.Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến ……………………………………….……….4 II.Mô tả giải pháp……………………………………………………………… Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Thực trạng việc dạy giải tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ trường THPT Mô tả giải pháp sau có sáng kiến ………………… ……… …………………15 2.1 Cơ sở lý thuyết…… ……………………………….…………………………… 15 2.2.Các ví dụ minh họa… .25 2.2.1.Góc hai đường thẳng 25 2.2.2: Góc đường thẳng mặt phẳng 42 2.2.3: Góc hai mặt phẳng 60 2.2.4: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .79 2.2.5: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 94 2.2.6: Thể tích tứ diện, khối chóp, khối hộp 106 Thực nghiệm sư phạm 119 3.1.Mục đích thực nghiệm 119 3.2.Đối tượng địa bàn cách thực hiện… ……………….……….………… … 119 3.3.Nội dung thực nghiệm………………………………….….…….……… … 119 3.3.1.Thực nghiệm nghiên cứu kiến thức mới………… ….………… … 119 3.3.2.Thực nghiệm củng cố hoàn thiện kiến thức …………… …… … 123 3.3.3.Thực nghiệm kiểm tra đánh giá ………………………… ………… 123 3.3.4 Đánh giá kết thực nghiệm ………………………………… ………… 127 III Hiệu sáng kiến đem lại…………………… …………………… … 128 1.Trước hết việc dạy giáo viên….….……………………………… … 128 Đối với việc học học sinh ….…………….………………………………… 129 2.1.Về kiến thức … ……………………….….………………………………… .129 2.2.Về tư tưởng tình cảm ………………… … ……………………………… … 129 2.3.Về kỹ ……………………………… ……………………………… … 129 Khả áp dụng nhân rộng… ………… ………………………….………130 IV Cam kết không chép vi phạm quyền ….… …………………… 131 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến Chúng ta biết rằng: Dạy học Tốn dạy cho người học có lực trí tuệ Năng lực giúp cho họ học tập tiếp thu kiến thức tự nhiên, xã hội, bồi dưỡng giới quan vật biện chứng Vì dạy Tốn khơng đơn dạy cho học sinh nắm kiến thức, định lí Tốn học Điều quan trọng dạy cho học sinh lực trí tuệ Năng lực hình thành phát triển học tập Trong trình dạy học mơn Tốn bậc THPT tốn góc khoảng cách hình học khơng gian chiếm vị trí quan trọng, xun suốt chương trình lớp 11, 12 Với nhiều tốn hình học khơng gian ta phải thành thạo vẽ hình, tư hình chí cịn phải dựng thêm hình Đó vấn đề vất vả giáo viên học sinh Trong trình giảng dạy ôn luyện thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi tỉnh cho em học sinh thấy việc giải tốn hình học khơng gian đặc biệt tốn tính : Góc khoảng cách, trí số tốn tính thể tích quan trọng học sinh THPT, việc tính góc khoảng cách, tốn tính thể tích giúp học sinh rèn luyện kỹ vẽ hình, tư hình học khơng gian, kỹ giải tốn, tính cẩn thận, xác làm cho học sinh nắm mơn tốn Làm tốt tốn góc khoảng cách, tốn thể tích hình học khơng gian học sinh nâng cao tư vận dụng để hiểu biết nội dung khác chương trình tốn THPT thực tiễn sống Tuy nhiên thực tế tốn hình học khơng gian : Tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo hay số toán thể tích dùng phương pháp tọa độ khơng gian Để giải guyết tốn số em học sinh biết phương pháp trình bày cịn lúng túng, chưa gọn gàng sáng sủa, chí cịn số học sinh khơng có hướng giải Nguyên nhân đâu ? Nguyên nhân phần góc khoảng cách trình bày SGK lớp 11 Tính góc khoảng cách làm phương pháp hình học khơng gian túy Đối với học sinh phần vẽ hình học khơng gian vấn đề Tưởng tượng hình khó, tính góc khoảng cách phần lớn phải dựng thêm hình, vấn đề khó học sinh Trong chương trình SGK hình học lớp 12, học sinh biết sử dụng phương pháp tọa độ để tính góc, khoảng cách biết tọa độ điểm, toạ độ véctơ, biết phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng Tuy nhiên lượng tập sử dụng phương pháp tọa độ để tính góc khoảng cách áp dụng cho hình học khơng gian túy khơng có, hạn chế Mặt khác tốn tính góc khoảng cách sử dụng phương pháp tọa độ không gian ta thường dựng thêm hình cách giải độc đáo rễ hiểu Để góp phần vào việc giải đề khó khăn trên, mạnh dạn sưu tầm, tập hợp, bổ xung xếp toán dạng theo cấu trúc rõ ràng đa dạng viết thành đề tài: “ Giải hình học khơng gian phương pháp tọa độ không gian ” Hy vọng với đề tài giúp học sinh nhận biết, xử lý tốn hình học khơng gian nhanh thành thạo II.Mô tả giải pháp: 1.Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Thực trạng việc dạy giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ trường THPT Toán học môn học khoa học, mang tính trừu tượng, ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lý thuyết khoa học ứng dụng Tốn học mơn khoa học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học THPT Tuy nhiên mơn học khó, khơ khan địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc chương trình nội dung SGK, nắm vững phương pháp dạy học việc thiếu Để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức toán học cho học sinh, cơng việc cần phải làm thường xuyên trình giảng dạy Chủ đề hình học khơng gian đề cập SGK hình học lớp 11 với số tiết 34 tiết, với thời lượng học sinh vừa làm quen với mơn hình học không gian, nắm vững kiến thức hình học khơng gian Học sinh tập cách vẽ hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ Học sinh học về: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc, góc khoảng cách khơng gian Học sinh biết số phương pháp giải số tốn hình học khơng gian như: Chứng minh song song, chứng minh vng góc, tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau… biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp Trong SGK Hình học lớp 12 có giới thiệu chủ đề: Phương pháp tọa độ không gian với số tiết tương đối nhiều, học sinh nắm khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ điểm, tọa độ véc tơ, tích vơ hướng hai véc tơ, tích có hướng hai véc tơ, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, phương trình mặt cầu, cơng thức khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau; cơng thức tính góc: Góc hai đường thẳng, góc hai mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng số cơng thức thể tích Tuy nhiên đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia câu hỏi góc khoảng cách khơng gian, số câu tính thể tích câu tương đối khó học sinh chủ yếu dùng phương pháp tọa độ để giải Thông thường tập SGK đưa đơn giản, lượng tập đưa sau học hạn chế Chính lẽ mà học sinh sử dụng phương pháp máy móc chưa biết cách sử dụng * Ưu điểm phương pháp này: - Vì tồn hình số hóa, nên em học sinh khơng có khả nhìn hình tốt làm - Đối với số dạng khó giải phương pháp khơng gian túy tọa độ hóa, tốn trở nên vơ đơn giản, lời giải ngắn gọn dễ hiểu - Rất hữu ích cho em học sinh ôn thi thời gian ngắn (khoảng đến tháng) - Không bị trừ điểm trình bày + Nhược điểm: - Khơng phải bải toán sử dụng phương pháp Sau chúng tơi đưa số ví dụ so sánh hai phương pháp: Phương pháp tọa độ phương pháp khơng gian túy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân AD // BC , AD  2a , BC  CD  a Biết SA   ABCD ,SA  3a Gọi   góc hai đường thẳng SC AD Tính cos A cos   B cos   C cos   D cos   Đối với làm theo cách khơng gian túy sau: +) Ta có AD // BC nên góc hai đường thẳng SC AD góc hai đường thẳng SC BC +) Vì ABCD hình thang cân nên AB  CD  a Gọi I trung điểm AD   AI  BC  AD Ta có:  nên tứ giác AIBC hình bình hành nên CI  AB  a  AI / / BC Tam giác ACD có CI  AD nên tam giác ACD vuông C Tam giác ACD vuông C nên : AC  AD2  CD2   2a   a2  a Tam giác SAC vuông A nên ta có: SC  SA  AC2   3a    a   2a Tam giác SAB vuông A nên: SB  SA  AB2   3a  +) Áp dụng định lí cosin tam giác SBC : cosSCB  SC2  BC2  SB2  2SC.BC Vậy cosin góc hai đường thẳng SC AD  a  a 10 Chọn đáo án A Nếu làm phương pháp tọa độ sau:   Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ ta có: C  0;0;0 ,A a 3;0;0 ,D  0;a;0  ,S  0;0;3a  a a  ; ;0  Suy ra: SC   0;0; 3a  , AB    2    Ta có cos   cos SC, AD  SC.AD SC AD  Vậy cos   Chọn đáp án A Qua ví dụ ta thấy học sinh trình bày theo cách thứ hai đặc sắc ngắn gọn cách thứ Ưu điểm cách thứ hai học sinh khơng phải dựng thêm hình Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD  2AB  2BC  2CD  2a Hai mặt phẳng SAB SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi M, N trung điểm SB CD Tính cosin góc a3 MN SAC , biết thể tích khối chóp S.ABCD 10 Lời giải A B 310 20 C 310 20 D 10 Ví dụ làm theo phương pháp hình học khơng gian túy sau: Gọi   mp qua MN song song với mp SAD  Khi   cắt AB P , cắt SC Q , cắt AC K Gọi I giao điểm MN QK  I  SAC Suy ra: P,Q, K trung điểm AB,SC AC Lại có: ABCD hình thang cân có AD  2AB  2BC  2a  AD  2a,AB  BC  CD  a a 3a 3 ;SABCD  a3 a2  SA  SA  a Ta có: VS.ABCD  SA.SABCD  4 a 3a  MP  SA  NP  2  CH  2 a 10  a   3a  Xét tam giác MNP vuông P : MN        2   MP, KQ đường trung bình tam giác SAB , SAC  MP // KQ // SA KN đường trung bình tam giác ACD  KN  AD  a 2  a   3a 2 a Xét tam giác AHC vuông H : AC        a  KC  2     Suy tam giác KNC vuông C  C hình chiếu vng góc N lên SAC   góc MN SAC  góc NIC Khi đó: IN KN 2 a 10 a 10    IN  MN   MN NP 3 3  a 10   a  a 31 a a 10  IC   Xét tam giác NIC vuông C : NC  , IN        2  cos NIC  IC a 31 a 10 310  :  IN 20 Chọn đáp án C Đứng trước ví dụ học sinh vơ lúng túng phần vẽ hình Học sinh khơng xác định góc Do sử dụng phương pháp tọa độ tốn đơn giản nhiều Cụ thể làm phương pháp tọa độ khơng gian sau: AD  2a Vì ABCD hình thang cân có AD  2AB  2BC  2CD  2a   AB  BC  CD  a a a  2a a 3a  CH  ;SABCD   2 a3 a2  SA  SA  a Nên VS.ABCD  SA.SABCD  4 Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ hình vẽ 10 a a  a a   a 3a a  A  0; a;0  , B  ;  ;0  ,C  ; ;0  , D  0;a;0  ,S  0; a;a  , M  ;  ; ,   2  2    a 3a  N ; ;0   4   3a a  Ta có : MN   0; ;   Chọn u1   0;3; 1 phương với MN 2  AS   0;0;a  Chọn u   0;0;1 phương với AS  a 3a  AC   ; ;0  Chọn u   2    3;3;0 phương với AC   Mặt phẳng SAC có VTPT : n  u ,u   3; 3;0 Gọi  góc tạo đường thẳng MN mặt phẳng SAC    Ta có sin   cos u1 , n  u1.n u1 n  10 310  cos   20 20 Chọn đáp án C Qua hai cách trình bày cách thứ học sinh khơng thể dựng hình phần lớn học sinh khơng làm Nhưng làm theo cách thứ hai học sinh khơng phải dựng thêm hình cách thứ hai đặc sắc hơn, dễ hiểu nhiều so với cách thứ C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 11 Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy a Góc  A'BC  ABC 600 Gọi M, N trung điểm BC CC' Tính khoảng cách A 'M AN 6a 97 97 Lời giải A B 3a 97 97 C 6a 65 65 D a 65 65 Cách giải theo hình học cổ điển: Kẻ A 'E // AN  E  AC  AN //  A'ME   d  A 'M, AN   d  AN,  A 'ME    d  A,  A 'ME    AK Có 1   2 AK A 'A AH + Có góc  A'BC   ABC A 'MA  600  A 'A  AM.tan 600  3a + Dễ thấy AE  A'F  2AC , với F  A'F  AC SAME 2 a2 2SAME  AH.EM  AH  ; mà SAME  SMEC  SABC  EM 3 EM  AE  AM  2AE.AM.cos1500  a 31 a 53  AH  31 3a 97 1 97     AK  2 AK A 'A AH 9a 97 Chọn B Vậy Đối với ví dụ học sinh giỏi, học sinh cứng dựng hình làm Vấn đề dựng hình khó học sinh bên cạnh lại phải hình dựng hình tính tốn Trong làm phương pháp tọa độ khơng gian sau: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 12 Do CB vuông góc với mặt phẳng  A'MA  nên góc mặt phẳng  ABC  A'BC góc A'MA 600 Trong tam giác vuông A 'MA : tan 600  Trong mặt phẳng  ABC AA ' a 3a  AA '  3 AM 2 kẻ đường thẳng Ay song song với BC , đường AM, Ay , A ' A đơi vng góc với Xét hệ tọa độ Oxy cho: O  A, AM  Ox,Oy // BC,AA'  Oz ( hình vẽ)   a a 3a  3a   a  ;0;0  , N  ; ;  Ta có: A  0;0;0  , A '  0;0;  , M  2  2 4    Suy ra: a  a a 3a   3a 9a a  3a    A 'M   ;0;   , AN   ; ;    A 'M, AN    ; ;  2    2 4  Áp dụng công thức tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta có:  A 'M, AN  AM 3a 97   d  A 'M, AN    97  A 'M, AN    Chọn B Qua hai ta thấy cách thứ hai dễ làm hơn, khơng phải dựng thêm hình * Qua ví dụ ta thấy giải tốn phương pháp tọa độ khơng gian toán trở nên đơn giản lời giải ngắn gọn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn