Skkn toán học thpt (11)

MỤC LỤC I II ĐẶT VẤN ĐỀ NỘI DUNG BÁO CÁO SÁNG KIẾN Trang 1-7 8-204 CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP 8-57 Dạng 1: Cực trị hàm số có dạng y = f ( x) ………………….……………….8-31 Dạng 2: Cực trị hàm số có dạng y = f ( x ) …………………………………31-40 Dạng 3: Cực trị hàm số khác có chứa dấu giá trị tuyệt đối………………… 40-44 Dạng 4: Cực trị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối liên quan đến tham số 45-57 CHỦ ĐỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 58-66 Dạng Sự tương giao đồ thị hàm số………… (khơng có chứa tham số) 58-64 Dạng Sự tương giao đồ thị hàm số ………………….(có chứa tham số) 64-66 CHỦ ĐỀ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA 67-79 HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1: Sự đồng biến, nghịch biến hàm số (khơng có tham số) 67-76 Dạng 2: Sự đồng biến, nghịch biến hàm số ( có chứa tham số) 77-79 CHỦ ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 80-91 CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP Dạng GTLN, GTNN hàm số ẩn, hàm số hợp (khơng có chứa tham số).….80-83 Dạng GTLN, GTNN hàm số ẩn, hàm số hợp (có chứa tham số)………….84-91 CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 92-98 CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1: Tiệm cận hàm số ẩn, hàm số hợp (khơng có chứa tham số)……….92-96 Dạng 2: Tiệm cận hàm số ẩn, hàm số hợp (có chứa tham số)………………96-98 CHỦ ĐỀ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ 99-113 TUYỆT ĐỐI CÓ YẾU TỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối…… (khơng có chứa tham số) 93-109 Dạng 2: Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối …………… (có chứa tham số) 109-113 CHỦ ĐỀ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ 114-139 TUYỆT ĐỐIVÀ BIỂU THỨC MŨ VÀ LOGARIT Dạng 1: Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối………… (khơng có tham số) 114-131 Dạng 2: Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối ………… (có chứa tham số) 132-139 CHỦ ĐỀ 8: KHAI THÁC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TỐN 140-151 CHỨA GIẢ THIẾT VỀ HÀM SỐ CĨ DẠNG y = f ' u ( x )  CHỦ ĐỀ 9: KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG 152-163 CHỦ ĐỀ 10: KHAI THÁC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN VỀ 163-204 HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Dạng Khai thác, phát triển toán cực trị hàm số………………… 163-190 Dạng Khai thác, phát triển toán tương giao đồ thị hàm số 190-197 Dạng Khai thác, phát triển toán giá trị lớn nhỏ nhất…… 197-201 Dạng Khai thác, phát triển toán đồng biến, nghịch biến…… 201-204 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 205 IV LỜI CAM ĐOAN 206 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong năm học 2021-2022, kì thi THPT Quốc gia, Bộ Giáo dục Đào tạo tiếp tục giữ ngun hình thức thi mơn Tốn dạng Trắc nghiệm Như đến năm thứ 6, mơn Tốn chuyển đổi từ hình thức thi Tự luận sang hình thức thi Trắc nghiệm Bắt đầu từ thi mơn Tốn dạng trắc nghiệm giáo viên học sinh phải có thay đổi cách dạy cách học cho phù hợp Các dạng tốn trắc nghiệm vơ phong phú đa dạng địi hỏi người học phải có tảng kiến thức vững có cách nhìn nhận vấn đề sâu rộng Những toán khai thác với ý tưởng mẻ với lời giải đẹp xuất ngày nhiều thi trắc nghiệm mà trước chưa xuất thi tự luận Đặc biệt toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp” mang đậm chất định tính, thiên lý thuyết, địi hỏi suy luận logic, khơng thiên nhiều định lượng, kỹ tính tốn, biến đổi phức tạp Những tốn phù hợp với hình thức thi mơn Tốn dạng trắc nghiệm, khai thác phát triển liên tục năm gần người giải toán, người yêu toán đón nhận quan tâm hàng đầu “Hàm số hợp” hàm số có dạng y = f ( u ( x ) ) , u ( x ) biểu thức x , hàm số dạng học sinh làm quen chương trình Tốn phổ thơng, “Hàm số ẩn” cịn mẻ với đại đa số học sinh “Hàm số ẩn” đề cập chuyên đề hàm số y = f ( x ) chưa có định dạng công thức cụ thể, tức hàm số cho nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn như: Bảng biến thiên hình dáng đồ thị hàm số y = f ( x ) biểu thức tính đạo hàm f ' ( x ) , bảng xét dấu đạo hàm f ' ( x ) , bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f ' ( x ) , cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn đẳng thức dạng “phương trình hàm” Như toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp” mới, học sinh bỡ ngỡ tỏ rõ lúng túng trước toán lạ Bởi lẽ để giải tốn chun đề địi hỏi học sinh phải có tảng kiến thức vững chắc, phải rèn luyện hình thức Tự luận để hình dung cách hệ thống vấn đề, dạng tốn Ngồi học sinh cần suy luận logic, sắc bén, cảm nhận tinh tế để đưa cách giải toán nhanh nhất, đưa kết xác thời gian ngắn Thực trạng trường THPT Lê Quý Đôn học sinh chưa tiếp cận nhiều với toán liên quan đến “Hàm số ẩn hàm số hợp” Những em học sinh có học lực khá, giỏi trường có quan tâm có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến toán liên quan đến “Hàm số ẩn hàm số hợp” nội dung Chuyên đề thường xuyên xuất đề thi thử THPT Quốc gia trường, Sở Giáo dục Đào tạo nước đặc biệt đề thi Minh họa Bộ Giáo dục Đào tạo mức độ khó Các em học sinh phải chiếm lĩnh nội dung chuyên đề “Hàm số ẩn hàm số hợp” có hội đạt điểm cao mơn Tốn hội trúng tuyển trường Đại học tốp đầu mà em mơ ước Với mong muốn ngày có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học đỉnh cao giúp học sinh có tầm nhìn cách hệ thống sâu sắc nhất, làm chủ tình huống, năm học 2021-2022 mạnh dạn viết chuyên đề: Khai thác, phát triển dạng toán hàm số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt đối kì thi HSG TNTHPT Chuyên đề đề cập đến dạng tốn mang tính thời đơng đảo giáo viên, học sinh toàn quốc quan tâm, tìm tịi khai thác II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Trước học sinh tiếp cận giải toán liên quan đến “hàm số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt đối”, học sinh tiếp cận giải toán, chuyên đề liên quan đến hàm số định dạng trước công thức (hàm số cho trước cách tường minh) cách hệ thống, hình thức Tự luận Sự thuận lợi lớn toán liên quan đến hàm số cho trước cơng thức q trình giải toán, học sinh làm việc trực tiếp với hàm số, với biến đổi cụ thể Những toán đề cao kỹ biến đổi, kỹ trình bày, khả lập luận số liệu cụ thể, giả thiết cụ thể, tình trạng “mắt thấy, tai nghe” làm toán liên quan đến “hàm số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt đối” học sinh chủ yếu sử dụng suy luận logic, tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa tốn, góp phần hình thành, phát triển lực tư duy, lập luận học sinh Mô tả giải pháp sau có sáng kiến Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm Chuyên đề bao gồm 10 Chủ đề Trong Chủ đề bao gồm ví dụ minh họa, đặc trưng cho đơn vị kiến thức trọng tâm khác Các ví dụ xếp với mức độ khó tăng dần tập trung chủ yếu vào hai cấp độ: Vận dụng thấp vận dụng cao Để giải toán chuyên đề học sinh cần huy động tổng lực phương pháp khác, chẳng hạn như: Phương pháp suy luận logic, phương pháp tương tự hóa, tổng quát hóa hay đặc biệt hóa tốn Trong chủ đề ví dụ xếp theo thứ tự logic, có tính kết nối ví dụ với tạo thành thể thống Các chủ đề chuyên đề có mối liên hệ mật thiết với Ngồi chun đề cịn đưa tốn có tính thời sự, tính chun sâu khơng ngừng khai thác, chẳng hạn như: Ví dụ 1.1.3 (Sở Nam Định-thi thử lần 1-năm 2020-2021) Cho hàm số y = f ( x ) có f ( −3) = đồng thời có bảng xét dấu đạo hàm sau đạo hàm liên tục Hàm số g ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f ( − x − x − x − ) có điểm cực trị? D B C Ví dụ 1.1.21 Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục A có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y = f ( g ( x ) ) y y=f(x) -3 -2 -1 O -1 -2 x -3 -4 y=g(x) A 25 B 24 C 21 D 26 Ví dụ 1.2.10 Cho hàm số y = f ( x ) đa thức bậc có đồ thị f  ( x ) hình vẽ bên Xét 2 hàm số g ( x ) = f ( x + x ) − x Hỏi hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị? A B C D Ví dụ 10.1.11 (Đề gốc Mã 104 -2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x) có f ( ) = Biết y = f ( x) hàm số bậc bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x) = f ( x ) + x A B C D Ví dụ 10.1.22 (Đề gốc Đề thi Tốt Nghiệp-BGD-chính thức-lần 1-năm 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x − ) ( x − ) , x  Có giá trị nguyên ( ) dương tham số m để hàm số g ( x ) = f x3 + 5x + m có điểm cực trị? A B Ví dụ 8.7 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục Biết hàm số y = f ( x + x ) có đồ thị đạo hàm C D hình vẽ Số điểm cực trị hàm ( số y = f x − x + x − x ) A B 11 C D Ví dụ 2.1.7 Cho hàm số đa thức bậc năm y = f ( x ) có đồ thị hình 2 Số nghiệm thực phương trình f ( xf ( x ) ) = − x f ( x ) B 14 C 15 Ví dụ 2.1.8.Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d  A 13 (( Số nghiệm phương trình f f ) ) D có đồ thị hình vẽ ) f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) − f (1) = A B Ví dụ 6.1.6 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục C D có đồ thị hình đây:  9  Số nghiệm phương trình f ( 3sin x ) = cos x khoảng  0;    B 17 Ví dụ 6.1.10 Cho hàm số y = f ( x ) hàm số đa A 16 C 15 D 18 thức bậc bốn Biết f ( ) = đồ thị hàm số y = f ( x) có hình vẽ bên Hàm số g ( x) = f ( 2sin x − − 1) + có tất điểm cực trị đoạn 0;3  ? A 16 B 32 C 17 D 33 Ví dụ 9.3 Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3sin x cos x f f m 4m có nghiệm 2cos x sin x D A B C Vơ số Ví dụ 9.15 (Trích dẫn: Đề thi thử Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2021) x Cho hàm số f ( x ) = log3 x + − Tổng bình phương tất giá trị nguyên tham x   số m để phương trình f   + f ( x − x + 2022 ) = có nghiệm phân biệt  x − m + 2021  A B C D Ví dụ 7.2.3 Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  −2021;2021 để hàm số: y= e f ( x )− 13 f ( x )+ f ( x )+ 2 − m có điểm cực trị B 2021 C 4043 D Ví dụ 7.1.14 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ sau A.1 Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( 3x f ( x ) ) = A.3 B C D Ví dụ 7.1.15 Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có f ( ) = Hàm số f  ( x ) có đồ thị hình vẽ đây: Hàm số g ( x ) = f ( x + ) − A B x+2 − 10 có điểm cực tiểu? C D Ví dụ 7.1.16 Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị ( C1 ) hàm số y = f  ( x ) có đồ −x thị ( C2 ) hình vẽ bên Xét hàm số g ( x ) = f e f ( x )  , số điểm cực trị hàm số y = g ( x ) khoảng ( − ;3) là: A B C D Sau học xong chuyên đề học sinh phát triển lực cốt lõi thân, chẳng hạn như: lực giải vấn đề, lực tư lập luận CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP Dạng 1: Cực trị hàm số có dạng y = f ( x) Bài toán 1: Cho hàm số y = f ( x ) (Giả thiết cho công thức, đồ thị, bảng biến thiên f ( x ) , f ' ( x ) ) Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( u ) u hàm số x Ta thực phương pháp tương tự xét số điểm cực trị y = f ( x ) u ' ( x ) = Bước Tính đạo hàm y ' ( x ) = u ' ( x ) f ' ( u ) Giải phương trình y ' ( x ) =    f ' ( u ) = Bước 2.Tìm số nghiệm đơn bội lẻ điểm mà y ' ( x ) không xác định Bài tốn 2: Tìm số cực trị hàm số y = f ( x) Ta thực theo cách sau: Cách 1: Biến đổi y = f ( x) = f ( x) Khi đạo hàm y ( x ) = f ( x) f ( x) f ( x) , f ( x)  Giải phương trình f ( x) = (1) để tìm điểm mà f ( x) khơng có đạo hàm Với điều kiện phương trình y ( x ) =  f ' ( x ) = ( ) Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị y = f ( x) trục hoành y = Số nghiệm ( ) số cực trị hàm số y = f ( x) Tổng số nghiệm bội lẻ (không trùng nhau) (1) ( ) số cực trị cần tìm Cách 2: Gọi m, n số cực trị hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) p số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) trục hoành (các giao điểm không trùng với điểm cực trị đồ thị y = f ( x ) ) ta có đẳng thức m = n + p Ví dụ 1.1.1 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ đây: Biết tất điểm cực trị hàm số y = f ( x ) −2 ; ; ; a ; với  a  Số điểm cực trị hàm số y = h ( x ) = f ( x − 3x ) A 14 B 11 C 15 D 13 Hướng dẫn Xét hàm số u ( x ) = f ( x − 3x ) , x  Khi y = h ( x ) = u ( x ) Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; ( ( a ; tất nghiệm phương trình f  ( x ) =0 Ta có: u ' ( x ) = f x − x ) ) = ( x − x ) f  ( x − x ) Khi phương trình  x = 0, x = 1  x = 0, x = 1  x = 1    x − 3x = −2  x = 0, x =   x − 3x =  6x − 6x =    u '( x ) =   x =   x − 3x =  f  ( x − 3x ) =    x =  m, m   x − 3x = a  x =  n, n  m  x − 3x =   Ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) = x − 3x Dựa vào bảng biến thiên hàm số g ( x ) = x − 3x , ta suy 1 nghiệm kép 6 2 phương trình x − 3x = −2 nghiệm kép phương trình x − 3x = Do 1 nghiệm kép f  ( x − 3x ) Do 1 nghiệm bội ba y Các nghiệm khác 1 y nghiệm đơn Vậy hàm số u ( x ) có 11 cực trị  x6 − 3x = p  −2 (1) Tiếp tục ta xét phương trình u ( x ) =  f ( x − 3x ) =    x − 3x = q  (2) 6 Dựa vào bảng biến thiên hàm số g ( x ) = x − 3x , ta suy phương trình (1) vơ nghiệm phương trình (2) có nghiệm phân biệt (không trùng với 11 cực trị hàm số u ( x ) trên) Vậy đồ thị hàm số u ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt Kết luận: Hàm số y = h ( x ) = f ( x − 3x ) có 13 điểm cực trị Chọn D Ví dụ 1.1.2 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( −6 ) = có bảng xét dấu đạo hàm sau: Tìm số cực trị hàm số y = h ( x ) = f ( − x + 4x − 6) + x − 3x − 12 x A B C D.5