Chuyên đề hàm số nguyễn thành nhân

Nhóm tốn anh Dúi Nguyễn Thành Nhân Phan Thành Tường Phá đường dây Hàm số NHĨM TỐN ANH DÚI - Nắm lý thuyết toán lớp 12 - Tư nhanh tốn trắc nghiệm - Phân tích sâu lỗi sai HS thường mắc phải - Hệ thống câu hỏi đa dạng có chọn lọc - Đánh giá lực theo thang mức độ - Extra Techniques bổ sung kinh nghiệm thực chiến đề Nguyễn Thành Nhân Phan Thành Tường Nhóm tốn anh Dúi Nhóm tốn anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] [ I can't, I can! ] Nhóm tốn anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ & ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM I.I Tính đơn điệu hàm số A Lý thuyết cần nắm Đơn điệu gì? Ví dụ 1: Xét hàm số y  2021 Dễ thấy, y '   (hoặc  ) Tuy nhiên, y  2021 hàm (hàm không đổi trường số thực ) Một hàm số gọi đơn điệu đồng biến nghịch biến K , K khoảng (đoạn), nửa khoảng (nửa đoạn) Mối quan hệ tính đơn điệu dấu đạo hàm Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng I Khi đó:  i  Nếu hàm số y  f  x  đồng biến f '  x   0, x  I  ii  Nếu hàm số y  f  x  nghịch biến f '  x   0, x  I Lưu ý: Điều ngược lại chưa (Xem Ví dụ 1) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng I Khi đó: Đồ thị I.I.1  i  Nếu f '  x   0, x  I dấu "  " xảy hữu hạn điểm khoảng I hàm số y  f  x  đồng biến I  ii  Nếu f '  x   0, x  I dấu "  " xảy hữu hạn điểm khoảng I hàm số y  f  x  nghịch biến I  iii  Nếu f '  x   0, x  I hàm số y  f  x  không đơn điệu (không đổi) I *Mở rộng khoảng đơn điệu khoảng, đoạn: Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng: [ I can't, I can! ] Nhóm tốn anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y  f  x  liên tục hình bên Giả sử hàm số y  f  x  liên tục nửa khoảng  a; b  (hoặc  a; b  ) có đạo hàm khoảng  a; b  Khi đó:  i  Nếu f '  x   0, x   a; b  dấu "  " xảy hữu hạn điểm khoảng  a; b  hàm số y  f  x  đồng biến nửa khoảng  a; b  (hoặc  a; b  )  ii  Nếu Đồ thị I.I.2 Ta có nhận xét sau: Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng f '  x   0, x   a; b  dấu "  " xảy hữu hạn điểm khoảng  a; b  hàm số y  f  x  nghịch biến nửa khoảng  a; b  (hoặc  a; b  )  iii  Nếu f '  x   0, x   a; b  hàm số y  f  x  không đơn điệu (không đổi) nửa khoảng  a; b  (hoặc  a; b  )  ;2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu đoạn: Hàm số y  f  x  Giả sử hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  có đạo hàm khơng đổi khoảng khoảng  a; b  Khi đó:  2;6  Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  6;  Lưu ý: Trên khoảng  6;  có điểm (hữu hạn) làm đồ thị hàm số ngang (đạo hàm điểm khơng) Vì hàm số liên tục đoạn , nên hồn tồn ta thay khoảng I thành nửa khoảng, đoạn I ' tương ứng [ I can't, I can! ]  i  Nếu f '  x   0, x   a; b  dấu "  " xảy hữu hạn điểm khoảng  a; b  hàm số y  f  x  đồng biến đoạn  a; b  ii  Nếu f '  x   0, x   a; b  dấu "  " xảy hữu hạn điểm khoảng  a; b  hàm số y  f  x  nghịch biến đoạn  a; b  iii  Nếu f '  x   0, x   a; b  hàm số y  f  x  không đơn điệu (không đổi) đoạn  a; b  Nhận xét chiều biến thiên: Nếu hàm số đồng biến K đồ thị hàm số có chiều hướng lên từ trái sang phải Nếu hàm số nghịch biến đồ thị hàm số có chiều hướng xuống từ trái sang phải Tất nhiên, hàm đường thẳng song song trùng với trục hồnh (Xem Ví dụ 2) Nhóm toán anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] Những trường hợp đặc biệt: Ta xét hàm số tuần hoàn, hàm số lượng giác: y  sin x hay y  cos x có số vơ hạn điểm mà hàm số đạo hàm Hàm số y  sin x Đồ thị I.I.3 không Nhưng ta kết luận hàm số y  sin x đồng biến     họ khoảng    k 2 ;  k 2  , k    3   họ khoảng   k 2 ;  k 2  , k  2  nghịch biến (Xem Đồ thị I.I.3) Hàm số y  cos x Đồ thị I.I.4 Một cách tương tự, ta có kết luận hàm số: y  cos x đồng biến họ khoảng    k 2 ; k 2  , k  nghịch biến họ khoảng  k 2 ;  k 2  , k  (Xem Đồ thị I.I.4)   y  tan x đồng biến họ khoảng    k ;  k  , k   Hàm số y  tan x Đồ thị I.I.5  (Xem Đồ thị I.I.5) y  cot x nghịch biến họ khoảng  k ;  k  , k  (Xem Đồ thị I.I.6) Hàm số y  cot x Đồ thị I.I.6 Nhận xét : Khi xác định tính đơn điệu đồ thị hàm số đạo hàm ta phải đặc biệt lưu ý câu chuyện phải có dấu xảy hữu hạn điểm bởi: Nếu dấu xảy số vô hạn điểm K hay xảy tồn tập K mảy may trường hợp giống hàm số y  f  x  đoạn  2;6 hàm số không đổi Hay hàm số y  x2  chẳng hạn, khoảng 1;  , hàm  x  1 x  1 x2   1, x  1;   nên số liên tục có đạo hàm y  x 1 đó: y '  0, x  1;   Vậy hàm số có hay khơng tính đơn Đồ thị I.I.7 [ I can't, I can! ] điệu? Đáp án không (Xem Đồ thị I.I.7) Nhóm tốn anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] Extra Techniques: Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Bước 1: Tìm tập xác định D Remark: Để đánh giá dấu khoảng  xi , xi 1  ta dùng cơng cụ Casio để hỗ trợ cách "CALC" giá trị trung gian khoảng Bước 2: Tính đạo hàm y '  f '  x  Tìm tất điểm xi , i  1, n mà f '  xi   f '  xi  không xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên xếp điểm vừa tìm theo thứ tự tăng dần kí hiệu tương ứng  xi , xi1  , dấu Bước 4: Kết luận khoảng đơn điệu hàm số f '  x0  , x0   xi , xi 1  B Bài tập đề thi thử dấu dấu f '  x  khoảng  xi , xi 1  Dạng 1: Bài tốn khơng chứa tham số Câu Cho hàm số y  x2 Mệnh đề đúng? x 1 Ngoài ra, công cụ đạo hàm hữu hiệu việc xác định dấu A Hàm số nghịch biến khoảng  ;   C Hàm số nghịch biến khoảng  ; 1 f '  x  khoảng K B Hàm số nghịch biến khoảng  1;   D Hàm số đồng biến khoảng  ; 1 (Trích đề tham khảo BGD&ĐT năm 2017) Đáp án: D Extra Techniques: Tips: TXĐ: D  Để đạo hàm hàm số ax  b y ta áp cx  d dụng công thức đạo hàm nhanh sau: y'  Lời giải \ 1 Xét hàm số: y  Ta có: y '  x2 x 1  x  1 ad  bc  cx  d  [ I can't, I can! ] Vì vậy, hàm số y   0, x  D x2 đồng biến  ; 1  1;   x 1 Nhóm toán anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] Extra Techniques: Casio: Cơ sở: Dựa vào đáp án ta dễ dàng loại trừ phương án sai: Đạo hàm x  5 Câu Cho hàm số y  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  0;  B Hàm số đồng biến khoảng  ;0  C Hàm số nghịch biến khoảng  0;  D Hàm số nghịch biến khoảng  1;1 (Trích đề thi THPTQG năm 2017 MĐ 104) Vì: y '  5  Đáp án: A Lời giải Loại B Đạo hàm x  0.5 TXĐ: D  Xét hàm số: y  x  Ta có: y '  4x 2 x2   2x x2  0 x0 Vì: y '  0.5  Loại C, D Chọn A Vậy hàm số y  x  nghịch biến khoảng  ;0  đồng biến khoảng  0;  Câu Hàm số đồng biến khoảng  ;   ? A y  x 1 x2 B y  x  x C y   x3  3x D y  x 1 x3 (Trích đề thi THPTQG năm 2017 MĐ 110) Đáp án: B Lời giải [ I can't, I can! ] Nhóm tốn anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] Extra Techniques: Remark: Cơ sở: Dựa vào đáp án ta dễ dàng loại trừ phương án sai: Đáp án A D hàm biến đồ thị đồng biến nghịch biến khơng đổi khoảng xác định Hay nói cách khác đồ thị hàm biến không liên tục không đơn điệu Loại A, D  +) Đáp án A: TXĐ: D  \ 2 Vậy hàm số y  x 1 liên tục khoảng  ;   x2 Loại A +) Đáp án B: TXĐ: D  Ta có: y '  3x   0, x  Vậy hàm số y  x3  x đồng biến khoảng  ;   Chọn B +) Đáp án C: Đáp án C hàm bậc ba có hệ số a  nên:  lim  x3  3x   x  Ta xét đáp án: TXĐ: D  Ta có: y '  3x2   0, x  Vậy hàm số y   x3  3x nghịch biến khoảng  ;   Hay hàm số có xu hướng theo chiều từ xuống x dần đến khoảng đủ lớn Loại C Loại C Vậy hàm số y  +) Đáp án D: TXĐ: D  \ 3 x 1 liên tục khoảng  ;   x3 Chọn B Loại D Câu Hàm số y  A  ;   nghịch biến khoảng đây? x 1 B  0;  C  ;0  D  1;1 (Trích đề thi THPTQG năm 2017 MĐ 123) [ I can't, I can! ] Nhóm tốn anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] Extra Techniques: Đáp án: B Lời giải Casio: Cơ sở: Dựa vào đáp án ta dễ dàng loại trừ phương án sai: TXĐ: D  Xét hàm số: y  Đạo hàm x  0.5 Ta có: y '   x 1 4 x  x2  0 x0 Vì: y '  0.5  Loại A, C, D Chọn B Từ bảng biến thiên đồ thị hàm số ta nhận thấy đồ thị hàm số cho nghịch biến khoảng  0;  Câu Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A  ; 1 B  0;1 C  1;0  D  1;   (Trích đề thi THPTQG năm 2019 MĐ 103) Đáp án: C Lời giải Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số ta thấy rằng: Hàm số đồng biến hai khoảng rời nhau:  1;0  1;  [ I can't, I can! ] Nhóm tốn anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ] Câu Trong hàm số sau hàm đồng biến Extra Techniques: A y  x3  5x B Remark: Cơ sở: Dựa vào đáp án ta dễ dàng loại trừ phương án sai: Đáp án: A Loại B +) Đáp án B: Đáp án C hàm bậc bốn trùng phương có tích hệ số ab  nên có điểm cực trị, a  nên đồ thị hàm số có dạng hình chữ "W" Loại C TXĐ: D  hàm không xác định tồn tập Vì khơng thể đồng biến Loại D Chọn A [ I can't, I can! ] Lời giải Xét đáp án: +) Đáp án A: TXĐ: D  Ta có: y '  3x   Vì hàm số: y  x3  5x đồng biến \ 7 Vì hàm số y  x2 không liên tục x7 Loại B +) Đáp án C: Đáp án D có tập xác \ 2;2 x2 x7 x2  C x  x  D x 4 (Trích đề thi Nhóm tốn anh Dúi 2020 - 2021) Đáp án B hàm biến đồ thị đồng biến nghịch biến không đổi khoảng xác định Hay nói cách khác đồ thị hàm biến khơng liên tục không đơn điệu định: D  ? TXĐ: D  x    Ta có: y '  x3  x    x  x  