Chuyên đề hàm số vd vdc

Nhóm "TikzPro – Vẽ hình LATEX" NẮM TRỌN y = a(x + 7)(x + 2)(x − 3) Chuyïn àïì FFF VD - VDC HÀM SỐ (Duâng cho hoåc sinh lúáp 12 vâ luån thi Àẩi hổc nùm 2021 Trình bày đầy đủ, chi tiết khoa học Có 100% lời giải chi tiết Tuyển chọn đầy đủ dạng tốn hay khó y = ax3 + bx2 + cx + d TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ MỤC LỤC Cơ tính đơn điệu hàm số A Lý thuyết 1 Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu B Ví dụ | Đề VDC số Cơ tính đơn điệu hàm số | Đề VDC số Tính đơn điệu hàm hợp 28 | Đề VDC số Tính đơn điệu hàm số hợp 53 | Đề VDC số Tính đơn điệu hàm giá trị tuyệt đối 83 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 115 A Lý thuyết 115 Định nghĩa 116 Quy tắc tìm cực trị 116 B Ví dụ 117 | Đề VDC số Cơ cực trị hàm số 122 Cực Trị Hàm Tổng Và Hàm Hợp 133 | Đề VDC số Bài tốn truy tìm hàm ngược 172 Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 185 A Một số kiến thức cần nắm 185 Cách vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)| 185 Cách vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|) 185 B Ví dụ mẫu 186 C Bài tập rèn luyện 186 | Đề VDC số Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 206 Cực trị điểm cho trước 217 A Lý thuyết 217 B Câu hỏi trắc nghiệm 218 | Đề VDC số Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 229 Giá trị lớn - giá trị nhỏ hàm số 252 A Lý thuyết 252 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 252 B Ví dụ minh họa 253 | Đề VDC số Cơ GTLN-GTNN hàm số 258 Giá trị lớn - giá trị nhỏ hàm số 266 | Đề VDC số 13 Min, max hàm đa thức BPT 267 | Đề VDC số 14 Min, max hàm hợp 281 | Đề VDC số 15 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 308 3 | Đề VDC số 16 ỨNG DỤNG CỦA GTLN-GTNN 334 Tiệm cận đồ thị hàm số 358 A Lý thuyết 358 Đường tiệm cận ngang 358 Đường tiệm cận đứng 358 Dấu hiệu nhận biết đường tiệm cận đồ thị hàm số 359 Cách tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số 359  Hàm số / Trang ii/509 Một số ý trình tìm tiệm cận 359 Ví dụ minh họa 359 | Đề VDC số 17 Cơ tiệm cận đồ thị hàm số 362 | Đề VDC số 18 Bài tập tiệm cận đồ thị hàm số 378 Đọc biến đổi đồ thị 393 A Lý thuyết 393 Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) 394 Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) 394 ax + b Hàm số bậc y = (c 6= 0, ad − bc 6= 0) 395 cx + d Các phép biến đổi đồ thị 396 B Bài tập rèn luyện 397 Tương giao đồ thị hàm số 410 A Lý thuyết 410 Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số 410 Tương giao đồ thị hàm bậc 410 Tương giao hàm số phân thức 411 Tương giao hàm số bậc 412 B Ví dụ minh họa 412 | Đề VDC số Bài toán tương giao đồ thị hàm số 417 | Đề VDC số Bài toán tương giao đồ thị hàm số 436 Tiếp tuyến - tiếp xúc hai đồ thị 447 A Lý thuyết 447 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = f (x) M (x0 ; y0 ) 447 Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước 447 Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị 447 B Ví dụ minh họa 447 | Đề VDC số Bài toán tiếp tuyến tiếp xúc 453 Toàn tập phương pháp ghép trục 478 A Lý thuyết 478 Cơ sở phương pháp ghép trục giải toán hàm hợp g = f (u(x)) 478 Một số ý quan trọng sử dụng phương pháp ghép trục để giải toán hàm hợp 479 Ví dụ minh họa 480 B Bài tập rèn luyện 482 | Đề VDC số Toàn tập ghép trục 491 B p Dự án TexBook12-HamSo Ơ Nhóm TikzPro - Vẽ hình LATEX  Hàm số / Trang 1/509 CHỦ ĐỀ CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ A LÝ THUYẾT Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K  Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y = f (x) hàm số xác định K, ta nói Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét  Nhận xét Nếu hàm số f (x) g(x) đồng biến (nghịch biến) D hàm số f (x) + g(x) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f (x) − g(x)  Nhận xét Nếu hàm số f (x) g(x) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f (x) · g(x) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hàm số f (x), g(x) không hàm số dương D  Nhận xét Cho hàm số u = u(x), xác định với x ∈ (a; b) u(x) ∈ (c; d) Hàm số f [u(x)] xác định với x ∈ (a; b) Ta có nhận xét sau ○ Giả sử u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với x ∈ (a; b) ⇔ f (u) đồng biến với u ∈ (c; d) ○ Giả sử u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với x ∈ (a; b) ⇔ f (u) nghịch biến với u ∈ (c; d) Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi  Nếu hàm số đồng biến khoảng K f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K  Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi  Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ K hàm số f đồng biến K  Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ K hàm số f nghịch biến K  Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ K hàm số f khơng đổi K p Dự án TexBook12-HamSo Ơ Nhóm TikzPro - Vẽ hình LATEX  Hàm số / Trang 2/509 Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi  Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K f (x) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K  Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K f (x) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K  Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = f (x; m) đơn điệu khoảng (α; β) ○ Bước 1: Ghi điều kiện để y = f (x; m) đơn điệu (α; β) Chẳng hạn Ë Đề yêu cầu y = f (x; m) đồng biến (α; β) ⇒ y = f (x; m) ≥ Ë Đề yêu cầu y = f (x; m) nghịch biến (α; β) ⇒ y = f (x; m) ≤ ○ Bước 2: Độc lập m khỏi biến số đặt vế cịn lại g(x), có hai trường hợp thường gặp Ë m ≥ g(x), ∀x ∈ (α; β) ⇒ m ≥ max g(x) (α;β) Ë m ≤ g(x), ∀x ∈ (α; β) ⇒ m ≤ g(x) (α;β) ○ Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g(x) (α; β) (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Từ suy m  Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = ax + b đơn điệu khoảng (α; β) cx + d d ○ Tìm tập xác định, chẳng hạn x 6= − Tính đạo hàm y c ○ Hàm số đồng biến ⇒ y > (hàm số nghịch biến ⇒ y < 0) Giải tìm m d d ○ Vì x 6= − có x ∈ (α; β) nên − ∈ / (α; β) Giải tìm m (2) c c ○ Lấy giao (1) (2) giá trị m cần tìm (1)  Ghi nhớ Nếu hàm số f (t) đơn điệu chiều miền D (ln đồng biến ln nghịch biến) phương trình f (t) = có tối đa nghiệm ∀u, v ∈ D f (u) = f (v) ⇔ u = v B VÍ DỤ L Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x − 9)(x − 4)2 Khi hàm số y = f x2 nghịch biến khoảng đây? A (3; +∞) B (−3; 0) C (−∞; −3) D (−2; 2) | Lời giải Ta có

0
0

2 y = f x2 = x2 x4 x2 − x2 − = 2x5 (x − 3)(x + 3)(x − 2)2 (x + 2)2 Cho y = ⇔ x = −3 x = −2 x = x = x = Ta có bảng xét dấu y x y0 −∞ −3 − −2 + 0 + − −
Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f x2 nghịch biến (−∞; −3) (0; 3) Chọn đáp án C p Dự án TexBook12-HamSo +∞ +  Ơ Nhóm TikzPro - Vẽ hình LATEX  Hàm số / Trang 3/509 L Ví dụ Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục
R có đồ thị hàm f (x) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f x − nghịch biến khoảng sau A (−1; 0) B (0; 1) C (−∞; 0) D (0; +∞) y y = f (x) −2 O x | Lời giải
Ta có y = 2x · f x2 −    x=0 x=0 ñ x=0 x=0
   0 y = ⇔ 2x · f x − = ⇔ x − = −2 ⇔ x = −1 ⇔ x = −1 x =1 2 x = x −1=0 x =1 Ta có bảng biến thiên −∞ x y0 −1 − + +∞ − + y
Nhìn bảng biến thiên hàm số y = f x2 − nghịch biến khoảng (0; 1) Chọn đáp án B 
L Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
(x) = x2 (x + 2) x2 + mx + với ∀x ∈ R Số giá trị nguyên âm m để hàm số g(x) = f x2 + x − đồng biến khoảng (1; +∞) A B C D | Lời giải
Ta có g (x) = (2x + 1) · f x2 + x − Để
hàm số g(x) đồng biến khoảng (1; +∞) ⇔ g (x) ≥ ∀x ∈ (1; +∞)Ä⇔ f x2 + x − ≥ ∀x ∈ (1; +∞)ä
2

2
⇔ x2 + x − x +x x2 + x − + m x2 + x − + ≥ ∀x ∈ (1; +∞)
2
⇔ x2 + x − + m x2 + x − + ≥ (1) ∀x ∈ (1; +∞) Đặt t = x2 + x − 2, x ∈ (1; +∞) ⇒ t > Khi (1) trở thành t2 + mt + ≥ ∀t ∈ (0; +∞) ⇔ t + ≥ −m (2) ∀t ∈ (0; +∞) t Để (1) nghiệm với x ∈ (1; +∞) ⇔ (2) nghiệm với t ∈ (0; +∞) √ √ 5 Ta có h(t) = t + ≥ với ∀t ∈ (0; +∞) Dấu xảy t = ⇔ t = t t √ √ √ Suy h(t) = ⇒ (2) nghiệm ∀t ∈ (0; +∞) ⇔ −m ≤ ⇔ m ≥ −2 t∈(0;+∞) Vậy số giá trị nguyên âm m Chọn đáp án B  L Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau −∞ x f (x) −1 − 0 + +∞ − + Bất phương trình f (x) < ex + m với x ∈ (−1; 1) p Dự án TexBook12-HamSo Ơ Nhóm TikzPro - Vẽ hình LATEX  Hàm số / Trang 4/509 A m ≥ f (0) − B m > f (−1) − e C m > f (0) − D m ≥ f (−1) − e | Lời giải 2 Ta có f (x) < ex , ∀x ∈ (−1; 1) ⇔ m > g(x) = f (x) − ex , ∀x®∈ (−1; 1) (1) g (x) > 0, ∀x ∈ (−1; 0) Ta có g (x) = g (x) − 2x · ex có nghiệm x = ∈ (−1; 1) g (x) < 0, ∀x ∈ (0; 1) Bảng biến thiên x g (x) −1 + − f (0) − g(x) −∞ −∞ Do max g(x) = g(0) = f (0) − (−1;1) Ta (1) ⇔ m > f (0) − Chọn đáp án C  L Ví dụ Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ −3 +∞ 3 y0 1 Bất phương trình f (x) < 3ex+2 + m có nghiệm x ∈ (−2; 2) A m ≥ f (−2) − B m > f (2) − 3e4 C m ≥ f (2) − 3e4 D m > f (−2) − | Lời giải Ta có f (x) < 3ex+2 + m ⇔ f (x) − 3ex+2 < m Đặt h(x) = f (x) − 3ex+2 ⇒ h0 (x) = f (x) − 3ex+2
Vì ∀x ∈ (−2; 2), f (x) ≤ x ∈ (−2; 2) ⇒ x + ∈ (0; 4) ⇒ 3ex+2 ∈ 3; 3e4 Nên h0 (x) = f (x) − 3ex+2 < 0, ∀x ∈ (−2; 2) ⇒ f (2) − 3e4 < h(x) < f (−2) − Vậy bất phương trình f (x) < 3ex+2 + m có nghiệm x ∈ (−2; 2) m > f (2) − 3e4 Chọn đáp án B  sin x − L Ví dụ Tổng giá trị nguyên tham số m khoảng (−2020; 2020) để hàm số y = sin x−m  π đồng biến khoảng 0; A −2039187 B 2022 C 2093193 D 2021 | Lời giải Điều kiện xác định: sin x 6= m sin x − cos x(sin x − m) − (sin x − 3) cos x cos x(3 − m) Ta có y = ⇒ y0 = = sin x − m (sin xå− m) (sin x − m)2 Ç √  π Vì x ∈ 0; nên cos x > 0; sin x ∈ 0; p Dự án TexBook12-HamSo Ơ Nhóm TikzPro - Vẽ hình LATEX  Hàm số / Trang 5/509  3−m>0     m≤0   π m≤0 √  ⇔ Suy hàm số đồng biến khoảng 0; √ ⇔    ≤ m <   m≥ 2 Vì m ∈ Z ⇒ m ∈ {−2019; −2018; ; −1; 0} ∪ {1; 2} −2019 + · 2020 + + = −2039187 Vậy tổng giá trị tham số m S = Chọn đáp án A  L Ví dụ Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số g(x) = f (1−2x)+x2 −x nghịch biến khoảng đây? y −2 x O −2 Å ã A 1; Å ã B 0; C (−2; −1) D (2; 3) | Lời giải Cách Ta có g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x⇒ g (x) = −2f (1 − 2x) + 2x − 1 − 2x Hàm số nghịch biến ⇔ g (x) < ⇔ f (1 − 2x) > − t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f (t) y = − y f (t) −2 x O −2 y=− t ñ −2 1 ñ x ⇔ m ≥ −3 Kết hợp điều kiện m ∈ [−2021; 2021] suy có 2022 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D  √ Câu 51 Có giá trị nguyên m ∈ [−2020; 2020] để hàm số y = x2 + − mx − đồng biến khoảng (1; 2)? A 4042 B 4039 C 4040 D 4041 | Lời giải √ x Đặt f (x) = x2 + − mx − Ta có f (x) = √ − m x +1 Vì hàm số liên tục x = 1; x = nên để hàm số y = |f (x)| đồng biến khoảng (1; 2) ta xét hai trường hợp sau  x ® √ − m ≥ 0, ∀ x ∈ [1; 2] f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ [1; ] x2 + Trường hợp 1: ⇔ √  f (1) ≥ m≤ 2−1  Å ã  x  m ≤ √ x m ≤ √ , ∀ x ∈ [1; 2] √ x2 + [1; 2] x2 + ⇔ m ≤ − ⇔ ⇔ √   m ≤ √2 − m≤ 2−1 ® Trường hợp 2: f (x) ≤ 0, ∀ x ∈ [1; 2] f (1) ≤ (1)  x √ − m ≤ 0, ∀ x ∈ [1; 2] x +1 ⇔ √  m≥ 2−1  Å ã  x x √  m ≥ √  , ∀ x ∈ [1; 2] m ≥ max √ 2 x +1 [1; 2] x +1 ⇔m≥ ⇔ ⇔ √ √   m ≥ − m≥ 2−1 (2) √  m≥ Từ (1) (2) ta có  √5 m ≤ − ® m∈Z Do nên có 4041 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán m ∈ [−2020; 2020] 

Câu 52 Có giá trị m nguyên để hàm số y = f (x) = x − 3x2 + m2 + x + 12 − 3m2 cos x đồng biến (0; π)? A B C D Vô số | Lời giải Chọn đáp án D p Dự án TexBook12-HamSo Ơ Nhóm TikzPro - Vẽ hình LATEX  Hàm số / Trang 112/509

Đặt h (x) = x3 − 3x2 + m2 + x
+ 12 − 3m2
cos x Ta có h0 (x) = 3x2 − 6x + m2 + − 12 − 3m2 sin x ⇔ h0 (x) = (x − 1)2 + 12 (1 − sin x) + 3m2 (1 + sin x) ≥ 0, ∀x ∈ (0; π) Vậy hàm số h (x) đồng biến (0; π)
Để y = f (x) đồng biến (0; π) h (0) ≥ ⇔ 12 − 3m2 ≥ ⇔ m ∈ [−2; 2] Kết luận: có giá trị m nguyên thỏa mãn Chọn đáp án B   π π Câu 53 Các giá trị tham số m để hàm số y = |sin x − cos x + m| đồng biến khoảng − ; √ √ A m > B m ≥ C m > D m ≥ | Lời giải   √ √ π π Xét hàm số f (x) = sin x − cos x + m = sin x − + m ⇒ f (x) = cos x − 4 p f (x) · f (x) Khi y = |sin x − cos x + m| = |f (x)| = f (x) Nên y = p  π π  π π  f (x) ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ − ; Hàm số y = |sin x − cos x + m| đồng biến khoảng − ; 4 ®  π π f (x) · f (x) ≥ ⇔ ∀x ∈ − ; (1) f (x) 6=   π π  π π π π π π π π < x < ⇒ − < x − < ⇒ cos x − > 0, ∀x ∈ − ; ⇒ f (x) > 0, ∀x ∈ − ; 2  4 4   √ √ π π π Nên (1) ⇔ f (x) > 0, ∀x ∈ − ; ⇔f − ≥ ⇔ · (−1) + m ≥ ⇔ m ≥ 4 Chọn đáp án B