Chuyên đề hàm số tổng hợp

www.VIETMATHS.com Ch ơng I : ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số & vẽ đồ thị của hàm số @@@@ Chủ đề i : tính đơn điệu của hàm số 0 0 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trong một khoảng Phơng pháp: Định lí Viét: Nếu PT bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (a 0 ) ( ) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì: 1 2 1 2 ; b c S x x P x x a a = + = = = Hệ quả: 1) PT (*) có hai nghiệm trái dấu x 1 < 0 < x 2 0P < . 2) PT (*) có hai ngiệm cùng dấu ( ) 1 2 1 2 0 0 0 0 x x x x P < < > 3) PT (*) có hai nghiệm cùng âm 1 2 0 0 0 0 x x S P < < > 4) PT (*) có hai nghiệm cùng dơng 1 2 0 0 0 0 x x S P < > > Nhận xét: Đặt : f(x) = ax 2 + bx + c (a 0 ) 1) f(x) = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 < < x 2 tức là 1 2 0x x < < . Đặt: t x = , ( ) ( ) g t f t = + . Dẫn đến ( ) 0g t = có hai nghiệm trái dấu 0 g P < 2) f(x) = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 1 2 x x < tức là ( ) 1 2 0 0x x g t < = có hai nghiệm cùng âm 0 0 0 g g g S P < > Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com 3) ( ) 0f x = có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 1 2 x x < tức là 1 2 0 x x < ( ) 0g t = có hai nghiệm cùng dơng 0 0 0 g g g S P > > Ví dụ 1: Tìm m để hàm số ( ) 2 1 1 1 x mx y x + = đồng biến trên khoảng ( ) 1; + Gợi ý: TXĐ : { } \ 1D = Ă Ta có: ( ) 2 2 2 1 1 x x m y x + = . Đặt : ( ) 2 2 1f x x x m = + . Hàm số (1) đồng biến trên ( ) 1; + ( ) ( ) ( ) 0, 1; 0, 1;y x f x x + + ( ) ( ) 0 0 * f m f x = < = ,(*) có hai nghiệm thoả mãn ( ) 1 2 1 2x x < . Đặt : t = x- 1, g(t) = f(t + 1). áp dụng nhận xét 2 ĐK (2) tơng đơng với g(t) = t 2 m có hai nghiệm không dơng. Tức là: 0 0 0 0 0 g g g m S m P m = = = = . Vậy với ] ( ;0m thì hàm số (1) đồng biến trên ( ) 1; + . Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh Bất đẳng thức Phơng pháp: Chọ hàm số f(x) thích hợp (thông thờng đặt bằng hiệu hai vế). Xét tính đơn điệu của f(x) để suy ra BĐT phải chứng minh. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) 0,sin 6 3 ><< xxx x x b) sinx + tanx > 2x , ) 2 0( << x Gợi ý: Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com a) 0,sin 6 3 ><< xxx x x (1) >>+ >> 0,0 6 sin 0,0sin 3 x x xx xxx Đặt f(x) = x sinx với x > 0 (vì 1cos x ) Suy ra hàm số đồng biến khi x > 0 Do đó : ( ) ( ) 00 => fxf Suy ra : x sinx > 0 (2), 0 > x đợc chứng minh. Đặt : g(x)= 0,0 6 sin 3 >>+ x x xx . Ta có : ( ) 2 1cos 2 x xxg += ( ) xxxg += sin 0,0)( >> xxg do (2) Suy ra hàm số )(xg đồng biến khi x > 0. Suy ra 0)0()( = > gxg Suy ra g(x) đồng biến khi x > 0 Suy ra g(x) > g(0) = 0 Suy ra : 0,0 6 sin 3 >>+ x x xx (đpcm) b) sinx + tanx > 2x , ) 2 0( << x * Đặt : f(x) = sinx + tanx - 2x , ) 2 0( << x . Ta có : 2 cos 1 2)( 2 cos 1 .cos22 cos 1 cos)( 22 += x xf x x x xxf Mà ) 2 0( << x nên 0 < cosx <1 1 cos 1 > x . Suy ra : 0)(022)( > => xfxf 0 < x < 2 với ) 2 0( << x )(xf đồng biến với 2 0 << x Suy ra : f(x) > f(0) = 0 Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com Do đó : sinx + tanx 2x > 0 với 2 0 << x .Ta có đpcm. Bài 2: Xác định giá trị của m sao cho hàm số : y = x 3 2x 2 + mx -1 a) Đồng biến trên R b) Đồng biến trong khoảng (0 ; 1/3). Gợi ý: a) D = R. mamxxy 34;03;43 2 = >=+= Hàm số đồng biến trên R 3 4 034 mm b) Với 3 4 m thì hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trong (0; 1/3) Với mm 34; 3 4 = < . Để hàm số đồng biến trong (0; 1/3) điều kiện là: ( ) ( ) < <<< 2 3 1 0 1 3 1 0 21 21 xx xx ( ) 1 3 1 3 2 01 3 1 2 0 3 1 3 1 > > m m S y ( ) ( ) < < 0 3 2 03 0 2 003 2 m S y vô nghiệm. Vậy với 1 m thì hàm số luôn đồng biến trong (0 ; 1/3) Dạng 3: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình Ví dụ 1: Giải phơng trình : 11414 2 =+ xx (1) (HVNH_ĐHQG Khối D -2001) Gợi ý: Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com ĐK : 2 1 014 014 2 x x x Nhận xét rằng số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 1414 2 + xx và đờng thẳng y = 1 + Xét hàm số : y = 1414 2 + xx D = [ ); 2 1 + 2 1 ,0 14 4 14 2 2 > + = x x x x y . Do đó hàm số luôn luôn đồng biến với 2 1 x . Nên PT nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Nhận thấy 2 1 =x thoả mãn PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất. Dạng 4: Tìm m để PT ( ) f x m = có đúng n nghiệm thực Phơng pháp: Khảo sát và lập BBT của hàm số y = f (x) trên TXĐ của nó. Căn cứ vào BBT, xác định dáng điệu đồ thị hàm số y = f(x) trên TXĐ để suy ra các giá trị của m cần tìm. Ví dụ 1: Tìm m để PT sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt ( ) ( ) 1 8 1 8 .x x x x m+ + + + = Gợi ý: ĐK: 1 8x . Xét hs: ( ) ( ) ( ) 1 8 1 8f x x x x x= + + + + trên [ ] 1;8 . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 7 2 8 1 7 2 2 1 2 8 2 1 . 8 2 1 8 2. 1 8 1 1 7 2 2 1 82 1 . 8 . 1 8 x x x x f x x x x x x x x x x x xx x x x + = + = + + + + + ữ = + ữ + + + + Mà ( ) 1 2 1 . 8 . 1 8x x x x+ + + ( ) ( ) 1 2 1 8x x + + >0 với mọi ( ) 1;8x Do đó, dấu của đạo hàm ( ) f x chỉ phụ thuộc vào dấu của nhị thức bậc nhất 7 2x. Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com Ta có BBT: x -1 7 2 8 ( ) f x + 0 - ( ) f x 9 3 2 2 + 3 3 Từ BBT suy ra các giá trị của m cần tìm là 9 3 3 2 2 m + Chủ đề ii : cực trị của hàm số Soạn : 15/09/09 Dạng 1: Tìm các cực trị của các hàm số Phơng pháp : Quy tắc 1: Tìm )(xf Tìm các điểm x i (i = 1, 2, 3.) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhng không có đạo hàm. Xét dấu )(xf . Nếu )(xf đổi dấu khi x đi qua điểm x i thì hsố đạt cực trị tại x i . Quy tắc 2: Tìm )(xf Tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, 3.) của phơng trình 0)( = xf . Với mỗi x i , tính )( i xf . Nếu )( i xf < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu )( i xf > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = - x 3 + 3x 2 1 ; b) y = 3 2 2 4 + x x c) x x y = 2 3 ; d) 2 1 2 = x xx y Gợi ý: Dùng quy tắc I Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com a) y = - x 3 + 3x 2 1 x 0 2 + y - 0 + 0 - + 3 y 1 -1 Vậy hàm số đạt 1= CT y , tại x = 0 và y CĐ = 3 tại x = 2. Dạng 2: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 hay đạt cực trị bằng y 0 . 1. Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 Phơng pháp: Giải phơng trình 0)( 0 = xf để định m. Thử lại điều kiện đủ bằng cách dùng lại dấu hiệu I hoặc II. 2. Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị bằng y 0 Phơng pháp: ĐK ( ) ( ) = = 00 0 0 yxf xf (x 0 cha biết để định m) Thử lại đk đủ nh phần 1 Ví dụ 1: Định m để hàm số : y = f(x) = 3 1 x 3 (m - 1)x 2 + (m 2 3m +2)x +5 đạt cực đại tại x = 0 Gợi ý: y = f(x) = 3 1 x 3 (m - 1)x 2 + (m 2 3m +2)x +5 D = R ( ) xfy = =x 2 2(m - 1)x + m 2 3m +2 Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nên : ( ) = = =+= 2 1 02300 2 m m mmf Thử lại : + Dùng dấu hiệu I: m = 1: 00; 2 == = xyxy BBT : x 0 + Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com y + 0 + + y Nh thế hàm số không đạt cực đại tại x = 0. Nên loại m = 1. m = 2: = = = = 2 0 0;2 2 x x yxxy BBT : x 0 2 + y + 0 - 0 + + CĐ y CT Nh thế hàm số đạt cực đại tại x = 0. Nên nhận m = 2. Dạng 3: Điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại và cực tiểu. Phơng pháp: Tìm TXĐ D Tính ( ) xfy = Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu là y đổi dấu 2 lần phơng trình : 0 = y có hai nghiệm phân biệt thuộc D 0 > Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số : y = 2 2 2 2 + ++ x mxx luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu. Gợi ý: + D = R + ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) mm xxxy x xxx x xmx y >+= =++= + ++ = + ++ = 082 *0220 2 222 2 4222 2 2 2 2 2 2 2 2 Chứng tỏ phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Do đó hàm số đã cho có mọtt cực đại , cực tiểu. Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com Ví dụ 2: Cho hàm số : ( ) mx mxmmx y +++ = 11 32 a) CMR : Hàm số luôn có CĐ, CT. b) Định m để cực y CĐ và y CT trái dấu. Gợi ý: a) ( ) mx mxmmx y +++ = 11 32 + { } ( ) ( ) += = =+= + = = 1 1 0120 12 \ 2 1 22 2 22 mx mx mxmmxxy mx mmxx y mRD Nh thế phơng trình 0= y luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 đều khác m. Nên hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. b) Hai cực trị cho bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 0 0 0 0 0 += == mmx xv xu xv xu xy . Vì aa > 0 nên: y CĐ = y(x 1 ) = 2(m - 1) m(m + 1) = - m 2 + m 2 y CT = y(x 2 ) = 2(m + 1) m(m + 1) = - m 2 + m + 2 Điều kiện đề bài y CĐ .y CT < 0 ( )( ) ( ) 21 ,02,02 022 22 22 << <+>++ <+++ m mmmmm mmmm Dạng 4: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực đại tại 2 điểm x 1 , x 2 ( hay có y CĐ , y CT )thỏa mãn một điều kiện cho trớc. Phơng pháp: Tìm TXĐ D Tính ( ) xfy = Định m để phơng trình 0 = y có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức cho trớc: o Nếu thoả một đẳng thức thì thờng dùng hệ thức Viét o Nếu thoả mãn BĐT thì thờng dùng cách so sánh 1 số với các nghiệm của phơng trình bậc hai. Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com Ví dụ1: Định m để hàm số : ( ) ( ) 3 1 231 3 1 23 += xmxmmxy có hao điểm cực trị x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 + 3x 2 = 1. Gợi ý: ( ) ( ) 3 1 231 3 1 23 += xmxmmxy + D = R + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1023120 2312 2 2 == = mxmmxy mxmmxy Trớc tiên để hàm số có 2 cực trị là pt (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . ( ) ( ) < +> >+ >+= 2 3 1 2 3 1 0184 0 0231 0 2 2 m m mm m mmm m và 0 m (2) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) == =+= =+ c m m xxP b m m xxS axx 23 . 12 13 21 21 21 GiảI hệ (a) và (b) ta đợc: m m x m m x 2 2 ; 2 65 21 + = = Tahy vào (c): ( )( ) ( ) = = = = + 7 6 2 01287 23 4 265 2 2 m m mm m m m mm (đều thoả (2)) ĐS : m = 2 , m =-6/7. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm các cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x 3 + 3x 2 36x 10 b) y = x 4 + 2x 2 3 c) y = x x 1 + d) 1 32 2 + = x xx y e) y = x 3 ( 1 - x) 2 . Bài 2: Cho hàm số : y = mx 3 + 3mx 2 ( m - 1)x 4. Tìm m để hàm số không có cực trị. Gợi ý: + D = R. Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá [...]... của hàm số y = f(x) Phơng pháp: y T Gọi T là miền giá trị của hàm số trên, thì Phơng trình f(x) = 0 có nghiệm x Viết lại hàm số về dạng phơng trình ẩn x Tìm điều kiện để phơng trình ẩn x có nghiệm, từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: x2 + 1 y= 2 x + x +1 y T Gợi ý: Gọi T là miền giá trị của hàm. .. Trên đoạn [a ; b] Hàm số tăng thì Min y = f(a) ; Max y = f(b) Hàm số giảm thì Min y = f(b) ; Max y = f(a) Hàm số có cực trị duy nhất tại điểm x0 mà cực trị đó là cực đại thì: Min y = min { f ( a ) , f ( b )} Max y = f ( x0 ) Hàm số có cực trị duy nhất tại điểm x0 mà cực trị đó là cực tiểu thì: Max y = min { f ( a ) , f ( b )} Min y = f ( x0 ) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phơng pháp... chủ đề iii: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Soạn : 20/09/09 Dng 1 : Tìm giỏ tr ln nht v giá trị nh nht của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] Phơng pháp: y = f ( x ) Tính đạo hàm f ( x ) Tìm các điểm x1, x2, xi trên (a ; b) tại đó f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) f ( xn ) , f ( b ) Tính Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên max f ( x) = M... thị hàm số + Tơng tự : 1 x 1+ 2 1 x = lim 1 + 2 = 1 lim y = lim x x x x x , do đó đờng thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lim y = +; lim y = x 0 + + Vì : hàm số x 0 , nên đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: Gợi ý: x3 x f ( x) = 2 = x+ 2 x 1 x 1 Cách 1: x3 f ( x) = 2 x 1 lim [ f ( x ) x] = lim x x x x =0 2 1 Đồ thị hàm. .. tăng trên R Do đó hàm số không có cực trị m0 + Nếu thì y không có cực trị y đơn điệu trên R = 9m 2 + 3m( m 1) 0 12m 2 3m 0 1 0 0 m < 3 2 Để y đạt cực tiểu tại x = 1 Bài 4: Cho hàm số : y = 2x3 + ax2... 13 Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm này cách đều trục tung Gợi ý: + D = R y = 6 x 2 2 x 12 + Ta có: = a 2 + 72 > 0 a Do nên y luôn có 2 điểm cực trị với mọi a Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của pt y = 0 x = x2 ( loai ) x1 = x2 1 x1 = x2 2a x1 + x2 = 0 S = =0a=0 6 Hai điểm cực trị cách đều trục tung Bài 5: Cho hàm số: y = mx4 + ( m2 - 9)x2 + 10 Tìm m để hàm số có 3 cực trị... dạng: f(x)= h(m) ;+) - Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ( Trên khoảng ( hoặc trên khoảng (o;+) (;0) hoặc trên khoảng ) tuỳ theo yêu cầu của bài toán là 1, 2 hay3 - Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của tham số x1 , x 2 , x3 Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai 3 điểm có hoành độ cách đều nhau.(Lập thành cấp số cộng) Cách1 (PP đại số) *ĐK cần: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng... Nga Sơn Thanh Hoá www.VIETMATHS.com y = x + Vậy tiệm cận xiên là : 4 3 Dạng 2: Biện luận số tiệm cận của đồ thị hàm số tuỳ theo m y= Ví dụ 1: Biện luận theo m các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số: x 2 4x + m x+2 Gợi ý: + D = R \ {-2} x 2 4x + m m + 12 y= = x6+ x+2 x+2 + Ta có: Với : m + 12 = 0 hay m = -12 Hàm số có dạng suy biến : y = x 6( ) đồ thị là một đờng thẳng nên không có tiệm cận m + 12... ) 0 ( ;0) Chú ý: Khi đó điểm A là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb x1 , x 2 y' = 0 Có 2 nghiệm pb y ( x1 ) y ( x 2 ) < 0 x2 x1 * Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ dơng( hoặc phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có 3 nghiệm dơng pb) Cách1(phơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của... 2/3) -Chủ đề iv: đờng tiệm cận của đồ thị hàm số Soạn: 25/09/09 Dạng 1: áp dụng định nghĩa tìm tiệm cận Phơng pháp: Đờng thẳng y = a đợc gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu: lim f ( x) = a lim f ( x) = a x + x hoặc Đờng thẳng x = x0 đợc gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu : lim f ( x) = + lim f ( x) = + lim f ( x) = x x0 + x . Ch ơng I : ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số & vẽ đồ thị của hàm số @@@@ Chủ đề i : tính đơn điệu của hàm số 0 0 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trong một khoảng Phơng. + Chủ đề ii : cực trị của hàm số Soạn : 15/09/09 Dạng 1: Tìm các cực trị của các hàm số Phơng pháp : Quy tắc 1: Tìm )(xf Tìm các điểm x i (i = 1, 2, 3.) tại đó đạo hàm của hàm số bằng. ĐK : 2 1 014 014 2 x x x Nhận xét rằng số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 1414 2 + xx và đờng thẳng y = 1 + Xét hàm số : y = 1414 2 + xx D = [ ); 2 1 + 2 1 ,0 14 4 14 2 2 > + = x x x x y