CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn CHUYÊN ðỀ ðẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn ñối tượng A1 n2 cách chọn ñối tượng A2 A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách chọn ñối tượng A1, A2 2) Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn ñối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn ñối tượng A2 ⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy ñối tượng A1, A2 3) Hoán vị: − Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử − Số hoán vị: Pn = n! 4) Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) thứ tự chúng gọi chỉnh hợp chập k n phần tử − Số chỉnh hợp: A kn = n! (n − k)! 5) Tổ hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử − Số tổ hợp: Ckn = n! k!(n − k)! − Hai tính chất Ckn = Cnn −k Ckn −−11 + Ckn −1 = Cnk 6) Nhị thức Newton n (a + b)n = ∑ C kn a n − k b k k =0 = C0n a n + C1n a n −1b + + Cnn b n − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cnk a n −k b k − ðặc biệt: (1 + x) n = C0n + xC1n + x 2C 2n + + x n Cnn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn II / MỘT SỐ VÍ DỤ Bài toán ñếm 1.1 ðếm số tự nhiênñược thành lập Ví dụ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập ñược số tự nhiên gồm chữ số cho a) Các số ñều khác b) Chữ số ñầu tiên c)Các chữ số khác không tận chữ số Giải a) Mỗi số có chữ số khác ñược thành lập tương ứng với chỉnh hợp chập phần tử ⇒ Có A 57 = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập abcde Chữ số ñàu tiên ⇒ a có cách chọn b, c, d, e ñều có cách chọn ⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số c) Gọi số cần thiết lập abcde Chữ số cuối khác ⇒ e có cách chọn (trừ số 4) a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn ⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số Ví dụ 2.(ðH An ninh 97) Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, thành lập ñược số chẵn có chữ số khác Giải Gói số cần thiết lập abcde Xét hai trường hợp + Trường hợp 1: Chọn e = ⇒ e có cách chọn Khi ñó a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn ⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số + Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, } ⇒ e có cách chọn Khi ñó a có cách chọn trừ số e b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn ⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số Vậy có 360 + 900 = 1260 số Ví dụ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập ñược số có chữ số cho số tạo thành gồm chữ số khác thiết có chữ số Giải Cách 1: Thành lập số có chữ số khác mặt chữ số ⇒ Có A 36 = 120 số Với số vừa thành lập có vị trí ñể xen số tạo thành số có chữ số khác có mặt chữ số ⇒ Có 120.4 = 480 số Cách 2: − Số cần tìm có bốn dạng 5bcd, a5bc, ab5d, abc5 − Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số Ví dụ 4: Có số tự nhiên gồm 2008 chữ số cho tổng chữ số Giải Xét trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm chữ số 2007 chữ số ⇒ Chỉ có số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo thành gồm chữ số 1, chữ số 2006 chữ số Chọn chữ số ñầu tiên có cách chọn số Chữ số lại có 2007 vị trí ñể ñặt, vị trí khác ñặt số ⇒ Có 2.2007 = 4014 số + Trường hợp 3: Số tạo thành gồm chữ số 2005 chữ số Chọn chữ số ñầu tiên Chọn 2007 vị trí ñể ñặt chữ số ⇒ có C22007 = 2007.1003 = 2013021 Vậy có + 4014 + 2013021 = 2017036 số Ví dụ 5(ðHQG TPHCM 2001) Có số tự nhiên gồm bảy chữ số biết chữ số có mặt ñúng hai lần, chữ số ba có mặt ñúng ba lần, chữ số lại có mặt không lần Giải + Coi dãy gồm chữ số tương ứng với số gồm chữ số (Kể bắt ñầu 0) Khi ñó ta thành lập số cách xếp chữ số vào vị trí Chọn vị trí ñể xếp chữ số 2: có C72 cách Chọn vị trí lại ñể xếp chữ số 3: có C35 cách Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Chọn chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, ñể ñặt vào vị trí lại có A82 cách ⇒ Có C72 C35 A82 = 11 760 cách + Cần phải loại trường hợp chữ số ñứng ñầu Lập luận tương tự cho vị trí ⇒ có C62 C34 A17 = 420 số Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số 1.2 ðếm số phương án Ví dụ 6: (ðH Thái nguyên 99) Một lớp học có 25 nam 15 nữ Cần chọn nhóm gồm ba học sinh Hỏi có cách: a) Chọn học sinh b) Chọn học sinh gồm nam nữ c) Chọn học sinh ñó có nam Giải a) Mỗi cách chọn tổ hợp chập3 40 ⇒ Số cách chọn là: C340 = 9880 cách b) Chọn nam có C125 = 25 cách = 105 cách Chọn nữ có C15 ⇒ Có 25.105 = 2625 cách chọn c) Chọn học sinh có 9880 cách Chọn học sinh nữ có C15 = 455 cách ⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chọn có nam Ví dụ 7: (ðHSP Quy Nhơn 97) Cho hai ñường thẳng song song a b Trên a lấy 17 ñiểm phân biệt, b lấy 20 ñiểm phân biệt Tính số tam giác có ñỉnh số 37 ñiểm ñã chọn Giải Cách Mỗi tam giác ñược hình thành ba ñiểm không thẳng hàng Số ba ñiểm từ 37 ñiểm là: C 37 Số ba ñiểm thẳng hàng a là: C 17 Số ba ñiểm thẳng hàng b là: C 20 Vậy số tam giác tạo thành là: C − C − C = 11 340 tam giác 37 17 20 Cách 2: Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Mỗi tam giác ñược tạo thành ñiểm ñường thẳng hai ñiểm ñường thẳng Xét trường hợp + TH1: Tam giác tạo thành ñiểm a ñiểm b: có 17.C220 + TH2: Tam giác tạo thành ñiểm a ñiểm b: có 20.C17 = 11 340 ⇒ Số tam giác là: 17.C220 + 20.C17 Ví dụ 8: (ðH Cảnh sát nhân dân) Cho tam giác ABC Xét gồm ñường thẳng song song với AB, ñường thẳng song song với BC ñường thẳng song song với CA ñó ba ñường thẳng ñồng quy Hỏi ñường thẳng tạo ñược tam giác tứ giác (không kể hình bình hành) Giải a) Mỗi tam giác ñược tạo thành ba ñường thẳng thuộc ba nhóm khác ⇒ Số tam giác 4.5.6 = 120 b) Mỗi hình thang hình bình hành ñược tạo thành hai ñường thẳng thuộc nhóm ñường thẳng thuộc nhóm lại ⇒ Số hình thang C24 C15 C16 + C14 C52 C16 + C14 C15 C62 = 720 hình thang Giải phương trình, bất phương trình hệ ñại số tổ hợp Ví dụ 1: (CðSP TPHCM99) Tìm k thỏa mãn: Ck + Ck +2 = 2Ck +1 14 14 14 Giải k ∈ N ðK k ≤ 12 Phương trình tương ñương với 14! 14! 2.14! + = k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! 1 ⇔ + = (14 − k)(13 − k) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k) ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k) ⇔ k2 − 12k + 32 = ⇔ k = 4, k = (Thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = Ví dụ 2: (ðH Hàng hải 99) Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Cn −3 n −1 Giải bất phương trình: > 14P A n +1 Giải ðK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương Cn −3 n −1 > ⇔ 14.P Cn −3 > A ⇔14.3! ( n − 1)! > n + n n − n − ( ) ( )( ) n −1 n +1 14P n − !2! ( ) A4 n +1 ⇔ n + n − 42 < ⇔ ( n − ) ( n + ) < ⇔ −7 < n < Kết hợp với ðk n≥ ñược tập nghiệm bất phương trình là: {3, 4, 5} Ví dụ 3: (ðHBK HN2001) 2.A y + 5.C y = 90 x x y y 5.A x − 2.C x = 80 Giải hệ phương trình: Giải ðK: x, y ∈ N*, y ≤ x 2.u + 5.v = 90 u = 20 * v = C xy ⇒ u, v ∈N ta có hệ ⇔ v = 10 5.u − 2.v = 80 x! y! = y = A y = 20 (x − y)! = 20 x Thay vào ta có y ⇔ ⇔ x! ⇔ x! x! C x = 10 (x − y)! = 20 (x − 2)! = 20 = 10 y!(x − y)! ðạt u = A xy , x(x − 1) = 20 x = 5, x = −4 ⇔ y = y = ⇔ x = y = Kết hợp ñiều kiện ⇒ Hệ phương trình có nghiệm 3) Xác ñịnh số hạng khai triển Newuton Ví dụ 1: (ðH Kinh tế quốc dân, 1997) Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn 12 1 Tìm số hạng không chứa x khai triển Newton x + x Giải k Số hạng tổng quát Tk +1 = C x k 12 12 − k 1 k 12 − 2k = C12 x x Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = ⇔ k = 12.11.10.9.8.7 ðáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: C6 x = = 924 12 1.2.3.4.5.6 Ví dụ 2:(ðH Cð, khối A, 2003) n 1 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn + x5 , x3 biết Cn +1 − Cn = ( n + 3) n +4 n +3 Giải (n + 4)! (n + 3)! Ta có Cn +1 − Cn = ( n + 3) ⇔ − = 7(n + 3) n +4 n +3 (n + 1)!.3! (n)!.3! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2) − (n + 3)(n + 2)(n + 1) = 42(n + 3) ⇔ (n + 4)(n + 2) − (n + 2)(n + 1) = 42 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 12−k 5k −36+3k k k k =C Số hạng tổng quát T x = C12.x k +1 12 x3 Số hạng chứa x8 tương ứng với 5k − 36 + 3k = ⇔ 11k = 88 ⇔ k = ðáp số:Hệ số số hạng chứa x8 phải tìm là: C8 = 495 12 Tổ Toán Trương THPT Lương Tài