Nắm trọn chuyên đề hàm số

– –     – –  Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K  Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y  f  x  hàm số xác định K, ta nói: Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K  Nhận xét  Nhận xét  Nếu hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x   g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f  x   g  x    Nhận xét Nếu hàm số f  x  g  x  hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hàm số f  x  , g  x  không hàm số dương D  Nhận xét  Cho hàm số u  u  x  , xác định với x   a; b  u  x    c; d  Hàm số f u  x   xác định với x   a; b  Ta có nhận xét sau:  Giả sử hàm số u  u  x  đồng biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u  x   đồng biến với x   a; b   f  u  đồng biến với u   c; d  Giả sử hàm số u  u  x  nghịch biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u  x   nghịch biến với x   a; b   f  u  nghịch biến với u   c; d   Định lí  Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:  Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '  x   0, x  K Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '  x   0, x  K  Định lí  Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f '  x   0, x  K hàm số f đồng biến K Nếu f '  x   0, x  K hàm số f nghịch biến K Nếu f '  x   0, x  K hàm số f không đổi K  Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:  Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f   x   , x  K f   x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Nếu f   x   , x  K f   x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y  f  x ; m  đơn điệu khoảng  ;    Bước 1: Ghi điều kiện để y  f  x ; m  đơn điệu  ;   Chẳng hạn:  Đề yêu cầu y  f  x ; m  đồng biến  ;    y  f   x ; m    Đề yêu cầu y  f  x ; m  nghịch biến  ;    y  f   x ; m    Bước 2: Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g  x  , có hai trường hợp thường gặp :  m  g  x  , x   ;    m  max g  x   m  g  x  , x   ;    m  g  x   Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g  x  D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị  ;    ;   lớn giá trị nhỏ Từ suy m Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y  ax  b đơn điệu khoảng  ;   cx  d d Tính đạo hàm y  c  Tìm tập xác định, chẳng hạn x    Hàm số đồng biến  y   (hàm số nghịch biến  y   ) Giải tìm m 1  Vì x    Lấy giao 1   giá trị m cần tìm d d có x   ;   nên    ;   Giải tìm m c c  2  Cần nhớ: “Nếu hàm số f  t  đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến ln nghịch biến) phương trình f  t   có tối đa nghiệm u , v  D f  u   f  v   u  v VÍ DỤ MINH HỌA   VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x   x   Khi hàm số y  f x 2 nghịch biến khoảng đây? A  ;   B  3;  C   ; 3  D  2 ;  Lời giải Chọn C  Ta có y   f x   x  x x  x           x  x   x   x    x   2 Cho y   x  3 x  2 x  x  x  Ta có bảng xét dấu y   Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y  f x nghịch biến   ; 3   ;  VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  có đồ thị hàm f   x  hình vẽ bên Hỏi   hàm số y  f x  nghịch biến khoảng sau đây? A  1;  B  0;1 C  ;  D  0;   Lời giải Chọn B   Ta có y  x f  x2  x  x  x  x     2 y   x f  x     x   2   x  1    x  x   x2    x2   x  1     Ta có bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên hàm số y  f ( x2  1) nghịch biến khoảng  0;1   VÍ DỤ 3.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x  x   x  mx  với x   Số giá trị   nguyên âm m để hàm số g  x   f x  x  đồng biến khoảng  1;   A C B D Lời giải Chọn B   Ta có g '  x    x  1 f ' x  x  Để hàm số g  x  đồng biến khoảng 1;      g '  x   x   1;    f ' x2  x   x  1;     x    x2  x  2 x    x x2      m x  x    x   1;     x2  x   m x  x    1 x  1;   Đặt t  x2  x  , x   1;    t  Khi 1 trở thành t  mt   t   0;    t   m t  2 t   0;   Để 1 nghiệm với x   1;      nghiệm với t   0;   Ta có h  t   t  5  với t   0;   Dấu xảy t   t  t t Suy Min  h  t       nghiệm t   0;    m   m  2 t 0;   Vậy số giá trị nguyên âm m VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f  x   e x  m với x   1;1 A m  f    B m  f  1  e C m  f    D m  f  1  e Lời giải Chọn C Có f  x   e x  m, x   1;1  m  g  x   f  x   e x , x   1;1 (1) 2  g  x   0, x   1;0  Ta có g  x   f   x   x.e x có nghiệm x    1;1   g  x   0, x   0;1 Bảng biến thiên: Do max g  x   g    f    Ta 1  m  f     1;1 VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f ( x)  3e x  m có nghiệm x   2;  khi: A m  f  2   B m  f    3e C m  f    3e D m  f  2   Lời giải Chọn B Ta có: f ( x)  3e x  m  f ( x)  3e x  m Đặt h  x   f ( x)  3e x   h  x   f   x   3e x   Vì x   2;  , f   x   x   2;   x    0;   3e x   3; 3e  Nên h  x   f   x   3e x   0, x   2;   f (2)  3e  h  x   f ( 2)  Vậy bất phương trình f ( x)  3e x  m có nghiệm x   2;  m  f    3e VÍ DỤ Tổng giá trị nguyên tham số m khoảng  2020; 2020  để hàm số y    đồng biến khoảng  0;   4 A 2039187 B 2022 C 2093193 Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: sin x  m D 2021 sin x  sin x  m Ta có y  cos x  sin x  m    sin x  3 cos x cos x   m  sin x   y   2 sin x  m  sin x  m   sin x  m   2   Vì x   0;  nên cos x  0; sin x   0;    4   3  m  m    m    Suy hàm số đồng biến khoảng  0;        4  m      m  Vì m    m  2019; 2018; ; 1; 0  1; 2 2019  2020    2039187 Vậy tổng giá trị tham số m là: S  VÍ DỤ Cho hàm số f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2  3 A  1;   2  1 B  0;   2 C  2; 1 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: g  x   f 1  x   x  x  g   x   2 f  1  x   x   2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   t  y   Hàm số nghịch biến  g   x    f  1  x     2  t  t Dựa vào đồ thị ta có: f   t      t  1 2  x   2   x  Khi đó: g '  x      1  x  x    Cách 2: Ta có: g  x   f 1  x   x  x  g   x   2 f  1  x   x  D  2;3 g   x    f ' 1  x     2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   t  y   Từ đồ thị ta có: t  2 t f '  t     t  Khi đó: t   x  1  x  2   g   x    1  x    x  Ta có bảng xét dấu:  1  x   x    3  1 3 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến khoảng   ;    ;  2  2 2 VÍ DỤ Cho hàm số f  x  g  x  có phần đồ thị biểu diễn đạo hàm f   x  g  x  hình vẽ Biết hàm số y  h  x   f  x   g  x   a x  2021 tồn khoảng đồng biến  m; n Tổng giá trị nguyên dương a thỏa mãn là? A B C D Lời giải Chọn B Ta có đạo hàm: h  x   f   x   g  x   a Để hàm số đồng biến h  x    a  f   x   g  x  Từ đồ thị, ta có f   x   g  x   12  a  12 Suy số giá trị nguyên dương a thỏa mãn a  1; 2; 3 Vậy tổng giá trị a thỏa mãn Câu 1: Hàm số đồng biến tập  ? A y  x2  x  Câu 2: C y  3x  5x  Hàm số y  x  x  x nghịch biến khoảng nào? A  2;  Câu 3: B y  x  sin x B  1;  C  6; 1 Kết luận sau tính đơn điệu hàm số y  D y  ln  x   D  3; 2  3x  đúng? x2 A Hàm số nghịch biến khoảng  ;   2;   B Hàm số đồng biến  \2 C Hàm số đồng biến khoảng  ;   2;   D Hàm số nghịch biến  \2 Câu 4: Câu 5: Cho hàm số y  x3  x2  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  0;  B Hàm số nghịch biến khoảng  ;  C Hàm số nghịch biến khoảng  0;  D Hàm số nghịch biến khoảng  2;    Hàm số sau đồng biến  ;   2;   ? A y  Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: x1 x2 B y  x2 C y  2x  x2 D y  x1 x2 Cho hàm số y  x3  x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  1;  B Hàm số nghịch biến khoảng  3;   C Hàm số đồng biến khoảng  1;   D Hàm số đồng biến khoảng  ;  Cho hàm số f  x   x x2   6x  A Hàm số nghịch biến khoảng  2;  B Hàm số nghịch biến  ; 2  C Hàm số đồng biến  2;   D Hàm số đồng biến khoảng  2;  Cho hàm số y  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng 1;   B Hàm số nghịch biến khoảng  ;  C Hàm số đồng biến khoảng (0;  ) D Hàm số đồng biến  ;   Hàm số z  z   đồng biến khoảng  1   A   ;   B   ;   2    C  0;   Câu 10: Trong hàm sau đây, hàm số không nghịch biến  D  ;0  x   B y        A y   x 1 C y   x3  x  x D y  4 x  cos x Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đạp hàm f   x   x  , x   Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  1;1 B Hàm số nghịch biến khoảng  ;  C Hàm số đồng biến khoảng   ;   D Hàm số nghịch biến khoảng 1;   Câu 12: Trong hàm số sau, hàm số vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến tập 2x  xác định    y  ,    y   x  x  ,    y  x  3x  x1 A    ;    B    &  II  C    ;    D  II  Câu 13: Cho hàm số y   x  x2  x  Mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến  B Hàm số đồng biến  C Hàm số đồng biến  1;    nghịch biến  ;1 D Hàm số đồng biến  ;1 nghịch biến  1;    Câu 14: Cho hàm số y  x1 Khẳng định sau khẳng định đúng? 1 x A Hàm số đồng biến khoảng  ;1 1;   B Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   C Hàm số nghịch biến khoảng  ;1   1;   D Hàm số đồng biến khoảng  ;1   1;   Câu 15: Cho hàm số y  A x1 , y  tan x , y  x  x2  x  2017 Số hàm số đồng biến  x2 B C D Câu 16: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx   m   x nghịch biến khoảng  1;   A 2  m  Câu 17: Cho hàm số y  B 2  m  C m  2 D m  2 2x  Mệnh đề đúng? x  A Hàm số đồng biến \1 B Hàm số nghịch biến \1 C Hàm số đồng biến khoảng  ; 1  1;    D Hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  1;    Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x , x   Hàm số y  2 f  x  đồng biến khoảng A  2;  B  0;  C  2;   D  ; 2  Câu 19: Cho hàm số y  x  x  Chọn khẳng định A Hàm số nghịch biến khoảng  2;   2;   B Hàm đồng biến khoảng  ; 2   0;  C Hàm số đồng biến khoảng  2;   2;   D Hàm số nghịch biến khoảng  ; 2   2;   Câu 20: Hàm số sau đồng biến  ? 1 x 1 A y  x4 – x – B y  x  x2  x  C y  x2 D y  x3  x  3x – Câu 21: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến 1;   ? B y  A y  log x x x 1 x2  1 C y    2 D y  x3 x2 Câu 22: Hàm số y   x  x  nghịch biến khoảng sau đây? A    ;   B  3;0 ;    ;  C  ;0 ;    2;  D  ; Câu 23: Hàm số y  x3  3x2 nghịch biến khoảng đây? A  1;1 B  ;1 C  0;  D  2;    Câu 24: Hàm số sau đồng biến khoảng  0;  ? A y   x3  3x B y   x2 x C y  2x  x1 D y  x ln x Câu 25: Hàm số sau nghịch biến 1;  ? x1 A y  x  x  3x  B y  x2 Câu 26: Cho hàm số y  C y  x2  2x  x2 D y  x2  2x  Khẳng định sau đúng? x1 A Hàm số luôn nghịch biến \1 B Hàm số đồng biến khoảng   ; 1  1;   C Hàm số nghịch biến khoảng   ; 1  1;   D Hàm số luôn đồng biến \1 Câu 27: Hàm số y  x4  x  đồng biến khoảng nào? A x   B  1;0  1;   C  1;0  Câu 28: Hàm số sau đồng biến  ? x A y  B y  x  x 1 C y  x  D 1;   D y  x  Câu 29: Hàm số y  x  nghịch biến khoảng nào?  1 A  ;  2  B  ;  Câu 30: Cho hàm số f  x   1  C  ;   2  D  0;   3x  Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? x  A f  x  nghịch biến  C f  x  nghịch biến   ; 1  1;   B f  x  đồng biến  ;1 1;   D f  x  đồng biến  Câu 31: Cho hàm số y  x3  x  x  Mệnh đề sau đúng?  1 A Hàm số nghịch biến khoảng  ;    1;    3   1 B Hàm số đồng biến  ;    1;    3  1  C Hàm số đồng biến khoảng  ;    3  1  D Hàm số nghịch biến khoảng  ;1  3  Câu 32: Cho hàm y  x2  x  Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  5;   B Hàm số đồng biến khoảng  3;   C Hàm số đồng biến khoảng  ;1 D Hàm số nghịch biến khoảng  ;  Câu 33: Hàm số y   x4  x2  nghịch biến A  1;  ;  1;   B  1;1 C  D   ; 1 ;  0;1 C y  x  D y   x  C  ;1 ;  1;   D  3;   Câu 34: Hàm số sau đồng biến  ? A y  x3  x  Câu 35: Hàm số y  A  1;   B y  x  x  x2 nghịch biến khoảng: x 1 Câu 36: Cho hàm số y  B 1;   x3 Khẳng định sau khẳng định đúng? x3 A Hàm số nghịch biến \3 B Hàm số đồng biến \3 C Hàm số đồng biến khoảng  ;   3;   D Hàm số nghịch biến khoảng  ;   3;   Câu 37: Tìm tất khoảng đồng biến hàm số y   x A  0;   B  ;  C  3;  D  0;  Câu 38: Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến tập xác định nó? A y  x4  x  B y  2 x3  3x  C y   x4  x Câu 39: Hàm số sau đồng biến  ? x 1 A y  x4  x2  B y  C y   x  x  x3 Câu 40: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến  ? x 1 A y  x  x2  3x  B y  C y  x  x  x1 D y  x1 x  D y  x  x2  x  D y   x3  3x    Câu 41: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x   x   Khi hàm số y  f x nghịch biến khoảng đây? A  3;   B  3;0  C   ; 3  D  2 ;  Câu 42: Cho f  x  mà đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Hàm số y  f  x  1  x  x đồng biến khoảng A  1;  B  1;0  Câu 43: Cho hàm số  y  f ( x) có đạo hàm  C  0;1 f   x   x2  x D  2; 1 x   Hàm số với g  x   f  x2   x   đồng biến khoảng đây? A  2; 1 B  1;1 C 1;  D  2;    Câu 44: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đạo hàm f   x   x2  x   x2  x  m với x  R Có số nguyên m thuộc đoạn   2019;2019  để hàm số g  x   f 1  x  nghịch biến khoảng  ; 1 ? A 2012 B 2011 C 2009 D 2010 Câu 45: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1  x   với x   Hàm số  5x  g  x  f   đồng biến khoảng khoảng sau? x 4 A   ;   B  2 ;1 C  ;  Câu 46: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau D  ;   x   x3 Xét hàm số g  x   f     x  x  Khẳng định sau sai?   A Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  1;  B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;  C Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  4; 1 D Hàm số g  x  đồng biến khoảng  2;  Câu 47: Tìm y tập hợp S tất giá trị tham số thực x  (m  1)x  (m  m)x  nghịch biến khoảng  1;1 A S    1;0  C S  1 B S   m để hàm số D S  1 1 Câu 48: Tổng tất giá trị thực m để hàm số y  m2 x  mx  10 x  m2  m  20 x  đồng biến  A B 2 C D 2   Câu 49: Cho hàm số y  f  x  có f   x    x   x  5 x  1 Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng đây? A  0;1 B  1;0  C  2; 1 D  2;  Câu 50: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Đặt g  x   f  x   x Mệnh đề đúng? y x 1 O 1 A g 1  g  1  g   B g  1  g 1  g   C g    g 1  g  1 D g    g  1  g  1 Câu 1: Câu 2: Chọn B Ta có hàm số y  x  sin x có tập xác định D   y   cos x  với x   nên đồng biến  Chọn A Ta có: y  x  5x  ; y   x  5x     x  Suy hàm số nghịch biến khoảng  2;  Câu 3: Chọn A Ta có y  5  x  2  0, x  Do hàm số nghịch biến khoảng  ;   2;   Câu 4: Chọn C x  Ta có: y  x2  x ; y    x  Bảng xét dấu: Do hàm số nghịch biến khoảng  0;  đồng biến khoảng  ;  ;  2;    Câu 5: Câu 6: Câu 7: Chọn C Chọn A Chọn A Ta có f   x   x  x  có hai nghiệm phân biệt 2 f   x    x   2;  Vậy hàm số nghịch biến khoảng  2;  Câu 8: Câu 9: Chọn A Hàm số có tập xác định D   ; 1  1;   nên loại A, B, D Chọn C y  x  y    x   y    x  ; y    x  Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;   Câu 10: Chọn A Với y   2x ta có y  x 1 x2    y  x  y  x  nên hàm số không nghịch biến  Câu 11: Chọn C Ta có f   x   x   0, x    Hàm số đồng biến khoảng   ;   Câu 12: Chọn D  I  : TXĐ: D   \1 y   x  1  x   \1   I  không thỏa ( Nhận xét: hàm biến nên không thỏa)  x    II  : TXĐ: D   , y  4x  2x , y    x   x    Bảng xét dấu Vậy  II  thỏa (Nhận xét, y  phương trình bậc ba có đủ nghiệm nên đổi dấu  nên  II  thỏa)  III  : TXĐ: D   , y  3x   x   Vậy  III  không thỏa Câu 13: Chọn A y   x  x  =   x  1  0, x   nên hàm số nghịch biến  Câu 14: Chọn A Hàm số y  x 1 có tập xác định D   \1 có đạo hàm y    x  D nên 1 x  x  1 khẳng định A Câu 15: Chọn C Loại hai hàm số y  x1 , y  tan x khơng xác định  x2 Với hàm số y  x  x2  x  2017 ta có y '  3x  x   0, x   nên hàm số đồng biến  Câu 16: Chọn A y  mx   m   Theo u cầu tốn ta có y  0, x   1;   Ta có mx   m     m  2x  với x   1;   2x  Xét hàm số g  x   Vậy 2  m  Câu 17: Chọn C Tập xác định D  \1 Ta có y    x  1  với x  Hàm số đồng biến khoảng  ; 1  1;    Câu 18: Chọn B Ta có: y  2 f   x   2 x  x   x   0;  Suy ra: Hàm số y  2 f  x  đồng biến khoảng  0;  Câu 19: Chọn C x  Phân tích: Xét phương trình y   x  x     x  2 Theo dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a   nên ta xác định nhanh hàm số đồng biến  2;   2;   , hàm số nghịch biến   ; 2   0;  Câu 20: Chọn B 1   11 Hàm số y  x  x2  x  có y  x  x    x     0, x   2   Câu 21: Chọn A Ta có hàm số y  a x , y  log a x đồng biến tập xác định a  Do hàm số y  log x đồng biến  0;   Câu 22: Chọn C   y  4 x  x  x  x    x  0, x   Câu 23: Chọn C Ta có y  3x2  x  x  x   Do đó, y   x   Theo dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu hàm số, hàm số nghịch biến  0;  Câu 24: Chọn A Xét hàm số y   x3  3x có y  3 x  x y   3x  x   x  x  Xét dấu y  ta có hàm số đồng biến  0;  Câu 25: Chọn A x  1 Xét hàm số y  x  x  3x  Ta có y  x2  x  y    x  Bảng biến thiên Do hàm số nghịch biến khoảng 1;  Câu 26: Chọn C 3 y    Hàm số nghịch biến khoảng   ; 1  1;    x  1 Câu 27: Chọn B x y' -1 -∞ + - 0 - +∞ + y Hàm số y  x  x  đồng biến khoảng  1; ;  1;   Câu 28: Chọn B Hàm số y  x  xác định  có đạo hàm y   0, x   nên hàm số đồng biến  Câu 29: Chọn B Ta có: y  x3 Hàm số nghịch biến  y  x   x  Câu 30: Chọn B Tập xác định D  \1 f   x     x  1  , x  Vậy hàm cho đồng biến khoảng  ;1 1;   Câu 31: Chọn D x    Ta có y  3x  x  y    x   Bảng xét dấu y  : 1  Dựa vào bảng xét dấu ta có y  x   ;1  nên hàm số nghịch biến khoảng 3  Câu 32: Chọn A x3 Tập xác định: D    ;1   5;   Ta có y   , x   5;   x  6x  1   ;1  3  Vậy hàm số đồng biến khoảng  5;   Câu 33: Chọn A x  Ta có y  4 x3  x y     x  1 Bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến khoảng  1;  ;  1;   Câu 34: Chọn A Hàm số y   x  nghịch biến  Hàm số y  x  3x  có y  x  nên hàm số đồng biến  Hàm số y  x  có y  x nên hàm số đồng biến  Hàm số y  x3  x  có: y  3x   x Câu 35: Chọn C TXĐ: D  \1 y  3  x  1  0, x  D Suy ra: Hàm số nghịch biến khoảng   ;1 ;  1;   Câu 36: Chọn D Tập xác định D  \3 Ta có y  6  x  3  0, x  D hàm số nghịch biến khoảng  ;   3;   Câu 37: Chọn C Tập xác định D    3;  Ta có y /  Câu 38: Chọn B x 9x ; y /  x   0;  , suy hàm số cho đồng biến  3;  Hàm trùng phương không nghịch biến tập xác định x1 Với y  ta có: y   0, x  Hàm số đồng biến khoảng xác định x   x  3 Với y  2 x  3x  ta có: y  6 x   0, x   Hàm số nghịch biến  Câu 39: Chọn D Xét hàm: y  x3  x2  x  Ta có: y  3x  x   x   , nên hàm số đồng biến  Câu 40: Chọn A Ta có y  x  x  x   y  x  x    x  1  x   y  x  Vậy y  x  x2  3x  đồng biến  Câu 41: Chọn C 2  Ta có y   f x   x  x x  x   x  x   x   x    x     Cho y   x  3 x  2 x  x  x         Ta có bảng xét dấu y   Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y  f x2 nghịch biến   ; 3   ;  Câu 42: Chọn A Ta có y  f  x  1  x  x Khi y  f   x  1  x  Hàm số đồng biến y   f   x     x    1  Đặt t  x    trở thành: f   t   t   f   t   2 t Quan sát đồ thị hàm số y  f   t  y  2t hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta thấy với t   0;  đồ thị hàm số y  f   t  nằm đường thẳng y  2t Suy f   t   t  ,  t   0;1  Do  x   1;  hàm số y  f  x    x  x đồng biến Câu 43: Chọn A   x Ta có g( x)  f   x  x 1  x x 1   x  f   x2   1  x    Vì f   x   x2  x   x  1  nên f (x)  1,  x   hay f   x    ,  x     f   x     x  x    x  Do f   x     ,  x       2 2 Và f   x     f   x   1   x    x  BBT: x ∞ + g'(x) +∞ 0 g(x) ∞ ∞ Dựa vào BBT, suy hàm số g  x  đồng biến khoảng  ;  Vậy hàm số cho đồng biến  2; 1 Câu 44: Chọn B Ta có:  2 g   x   f    x    x      x    x   x  x   m    x   x  1 x  x   m     Để hàm số nghịch biến khoảng   ; 1 g  x   , không số điểm hữu hạn với x    ; 1 Do 1  x   x  1  với x    ; 1 , nên g  x   với x    ; 1  x2  x   m  với x    ; 1  m   x  x  với x    ; 1 Xét hàm số h  x    x  x    ; 1 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy m  , kết hợp với điều kiện m nguyên thuộc đoạn   2019; 2019  suy có 2011 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 45: Chọn D x   Cho f   x    x  x  1  x     x  1(nghiem_kep)  x  2 Ta có g  x   5 x  20 x 4   5x  5 x  20  x   Cho f  g x   f     0 x 4 x 4 x2     5 x  20    x  2  5x    x2  x0  Dựa f   x  ta có:  5x  x  1( nghiem_kep)  1  x   x  4(nghiem_kep)  5x   x  Bảng xét dấu Suy hàm số đồng biến khoảng  ;  Câu 46: Chọn B Cách 1: Ta có g  x    x 1 f    x  3x  2     x 1   2   x  4 x 1  x   1    2 x    x  4   x 1  x    f  0      x  1  x  ; f       1  x 1  2  x      2   x  x 1 3   Bảng xét dấu cho biểu thức Từ bảng xét dấu đáp án B sai, x  (0;1)  (0; 2) g  x   Hàm số nghịch biến Cách 2: Thử trực tiếp  x 1 Ta có g  x   f     x  3x  2         15 Đáp án A: chọn x    ( 1;0) g     f        2  4 Đáp án B: chọn x  1  1  (0; 2) g    f       , sai 2  4 Tương tự cho đáp án lại Câu 47: Chọn C Ta có y'  x2  2(m  1)x  (m  m) Để hàm số nghịch biến khoảng  1;1 y'  x   1;1  x  2(m  1)x  (m  m)  x   1;1 x  m Ta có y'   x2  2(m  1) x  (m  m)    x  m  Bảng xét dấu y' : Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến khoảng  1;1  m  1 m  1   m  1   m   m  1 Câu 48: Chọn C 1 y  m x5  mx  10 x  m2  m  20 x   y  m2 x  mx  20 x  m  m  20    Hàm số cho đồng biến   y  m2 x4  mx2  20 x  m2  m  20  , x   dấu "  " xảy số hữu hạn điểm Điều kiện cần: Ta thấy phương trình y  có nghiệm x  1 nên để y  , x   y không đổi dấu qua x  1 , phương trình y  có nghiệm kép x  1 ( x  1 nghiệm bội phương trình y  y khơng chứa số hạng x3 )  m  2 Ta suy y  1   4 m  2m  20    m   Điều kiện đủ: Với m  2 , ta có  5 y  x  x  20 x  14  4( x  1)2  x  1    , x   nên hàm số đồng biến  2  Suy m  2 thỏa mãn điều kiện đề Với m  , ta có y  25 65 25  8 x  x  20 x   ( x  1)2  x  1    , x   nên hàm số đồng biến 4 5   Suy m  thỏa mãn điều kiện đề giá trị cần tìm Khi tổng giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu toán 2   2 Vậy m  2 , m   49: Chọn B  Câu Xét dấu f   x  : x  x   x  x      x  Ta có: y   f ( x )   x f   x      x  5  f   x   x      x  1     Chọn x  1 0; ta có y 1  2.1 f  1   f  1  Do đó, khoảng 0; âm  Từ ta có trục xét dấu y   f  x   sau:  Từ trục xét dấu ta thấy: Hàm số y  f  x  đồng biến  1;0  Câu 50: Chọn C  x  1      Xét hàm số g  x   f  x   x ,  g  x   f  x   , g  x    f  x     x   x  Bảng biến thiên Vậy g    g 1  g  1 Câu Cho đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ   Hàm số y  f x2  nghịch biến khoảng đây? A  0;1 Câu B  1;  C  ; 1 D  1;0  Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm f   x  sau:   Hàm số y  f x2  x nghịch biến khoảng đây? A  2;1 Câu B  4;   C  0;1 D  2;  1 Cho hàm số y  f  x  liên tục  hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ   Hàm số y  g  x   f  x  x2  2020 đồng biến khoảng đây? A  1;0  Câu B  0;1 C  2;  D  3;  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x    x   Hàm số g  x   f  10  x  đồng biến khoảng đây? A  ;1 B  1;  C  2;   D  1;  Câu Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f ( x)  x( x  1)2 ( x  2) với giá trị thực x Xét hàm số  5x  g( x )  f   Trong khẳng định sau khẳng định đúng? x 4 Câu A Hàm số đồng biến khoảng (0;1) B Hàm số nghịch biến khoảng (0; 4) C Hàm số đạt cực đại x  D Hàm số đạt giá trị nhỏ x  Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên   Hỏi hàm số g  x   f x2  x  x2  3x đồng biến khoảng đây?   A   ;    Câu 1  B  ;1  4  C  0;1 D  ;  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   (3  x)  10  3x   x   với x   Hàm số 2 g  x   f   x   ( x  1)3 đồng biến khoảng khoảng sau? A  ;  Câu B  0;1 C 1;    1 D   ;     Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau Hàm số y   f  x     f  x   nghịch biến khoảng đây? A  ;  Câu B  1;  C  3;  D   ;  1 Cho hàm số y  f  x  , hàm số f   x   x  ax  bx  c  a , b , c    có đồ thị hình vẽ Hàm số g  x   f  f   x   nghịch biến khoảng đây? A 1;   B  ; 2  C  1;0   3 ; D    3    Câu 10 Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm  Biết hàm số f '  x  có đồ thị cho hình vẽ   x Có giá trị nguyên m thuộc   2019; 2019  để hàm só g  x   f 2019  mx  đồng biến  0;1 A 2028 B 2019 C 2011 D 2020  1 C  1;  2  D   ; 1 Câu 11 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có đồ thị hàm f   x  hình vẽ Hàm số   g  x   f x  x đồng biến khoảng nào? 1  A  ;1  2  B  1;  Câu 12 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Biết hàm số y  f   x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Hàm số y f  C     x  đồng biến khoảng đây?   3;  ,  3;      3;   D  ;   ,  0;   A ;  , 0; B ;  , Câu 13 Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình   bên Hàm số y  f x  x nghịch biến khoảng y O   A   ;       B   ;     x  3 C  ;  2  1  D  ;   2  Câu 14 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số   y  f   x  ( y  f   x  liên tục  ) Xét hàm số g  x   f x  Mệnh đề sai? y 2 1 O x A Hàm số g  x  đồng biến  1;  B Hàm số g  x  nghịch biến   ; 1 C Hàm số g  x  nghịch biến  1;  D Hàm số g  x  đồng biến  2;   Câu 15 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị nằm trục hồnh có đạo hàm  , bảng xét dấu biểu thức f   x  bảng  f x2  2x Hàm số y  g  x      f x2  2x  nghịch biến khoảng đây?  5 B  2;  2  A  ;1 C 1;  D  2;   Câu 16 Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Hàm số y   f  x     f  x   nghịch biến khoảng đây? A  ;  B  ;  C   ; 1 D  ;  Câu 17 Cho hàm số y  f  x  đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số f   x  hình vẽ   Hỏi hàm số y  f x2  x đồng biến khoảng sau đây? A  1;  B  0;1 C 1;  D  2;   Câu 18 Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục  , có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số y   f  x   nghịch biến khoảng sau đây? A  1;1  5 B  0;   2 5  C  ;  2  D  2; 1 Câu 19 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau   Có số nguyên m  2019 để hàm số g  x   f x2  x  m đồng biến khoảng 1;   ? A 2016 B 2015 C 2017 Câu 20 Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên sau: D 2018 Hàm số g( x)   f (3  x)  nghịch biến khoảng khoảng sau? A ( 2;5) B (1; 2) C (2; 5) D (5; ) Câu 21 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng ? A  0;1 B  1;1 C  0;  D  1;  Câu 22 Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên   Hàm số g  x   f  x đồng biến khoảng khoảng sau ? A   ; 1 B  1;  C  2;  D  4;7  Câu 23 Cho hàm số bậc ba y  f  x  , hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số   g  x   f x  nghịch biến khoảng đây? A 1,   B  1,0  C  1,2  D  ,1 Câu 24 Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y  x4  x  12 x2  m nghịch biến trến khoảng  ; 1 ? A B C Câu 25 Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ sau: D   Hàm số g  x   f  x nghịch biến khoảng sau đây? 1 3 A  ;  2 2 5  C  ;7  2  B  ; 2   3 5 D  ;  2 2  Câu 26 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  x , với x   Số giá trị nguyên   tham số m để hàm số g  x   f x  3x  m có điểm cực trị A B C D Câu 27 Cho hàm số y  f  x  xác định R hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên f '  x   với x    ; 3,    9;   Đặt g  x   f  x   mx  Có giá trị dương tham số m để hàm số g  x  có hai điểm cực trị? A B C D Câu 28 Cho hàm số đa thức bậc bốn y  f  x  , biết hàm số có ba điểm cực trị x  3, x  3, x  Có tất  giá trị nguyên tham số m cho hàm số g  x   f e x điểm cực trị A B  C    x2 D   m có Câu 29 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f   x   x  x x  x  , x   Tính tổng tất giá   trị nguyên tham số m để hàm số g  x   f x  m có cực trị A B C D Câu 30 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Xét hàm số   g  x   f x  x   m max g  x   10 Tìm m để 0;1 A m  C m  13 B m  12 D m  Câu 31 Cho hàm số f  x  có đạo hàm  f   x    x  1 x   Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 10; 20    để hàm số y  f x2  3x  m đồng biến khoảng  0;  ? A 18 B 17 C 16  D 20    x  2020  Có giá trị nguyên tham số m  2020; 2020  để hàm số g  f  x   đồng biến  2;   Câu 32 Cho hàm số f  x   x  x  m g  x   x2  2018 x  2019 ? A 2005 B 2037 C 4016  D 4041  Câu 33 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1 x  mx  với x   Có số nguyên âm m để hàm số g  x   f  x  1 đồng biến khoảng  3;  ? A D B C Câu 34 Cho hàm số f  x  xác định liên tục R Hàm số y  f   x  liên tục  có đồ thị hình vẽ 2 m  x   2020 ,  với m tham số thực Gọi S tập hợp giá trị Xét hàm số g  x   f  x  m   nguyên dương m để hàm số y  g  x  nghịch biến khoảng  3;  Hỏi số phần tử S bao nhiêu? A C B D Vô số   Câu 35 Cho hàm số f  x  liên tục  có đạo hàm f   x   x  x   x  x  m với x   Có số nguyên m thuộc đoạn   2020; 2020  để hàm số g  x   f   x  nghịch biến khoảng   ; 1 ? A 2016 B 2014 C 2012 D 2010 Câu 36 Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị f ( x) hình vẽ Có bao y nhiêu giá trị nguyên m   2020 ; 2020  để hàm số 1  g  x   f  x    ln  x2  2mx đồng biến  ;  ? 2  A 2020 B 2019 C 2021 D 2018   -2 -1 x Câu 37 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ   Hàm số g  x   f x  x  x  3x  x  2020 đồng biến khoảng sau ?  1 A  1;  2  B  2;0  C 1;   D  0;1 Câu 38 Cho hàm số y  f  x  xác định  có bảng xét dấu đạo hàm sau: Biết f  x   2, x   Xét hàm số g  x   f   f  x    x  3x2  2020 Khẳng định sau đúng? A Hàm số g  x  đồng biến khoảng  2;  1 B Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  0;1 C Hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;  D Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  2;  Câu 39 Cho hàm số y  f ( x) xác định  Hàm số y  g( x)  f '  x    có đồ thị parabol với tọa độ đỉnh I  2; 1 qua điểm A  1;  Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch biến khoảng đây? A  5;9  Câu 40 Cho hàm B  1;  y  f  x số có f  x  f   x   x  x  1  x     đạo C  ;  hàm cấp D  1;  liên tục  mãn với x   g  x    f   x    f  x  f   x  Hàm số h  x   g x  x đồng biến khoảng đây? A  ;1 thỏa B  2;   C  0;1 D  1;  Câu Chọn A Gọi  C  đồ thị hàm số y  g  x   f   x  Tịnh tiến  C  sang trái đơn vị ta đồ thị hàm số y  g  x    f   x  Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f   x  qua Oy ta đồ thị hàm số y  f  x  x  x   x    Ta có y  f x   y  x f  x2  ; y     x2    x   f x 3   x2     x        Bảng xét dấu y    Vậy hàm số y  f x  nghịch biến khoảng  0;1  Câu Chọn D        Đặt: y  g  x   f x2  x ; g  x   f x  x    x   f  x  x  x  1  2x    x  x  2  vo nghiem   g  x     x   f  x  x    x  2x   f  x  x    x  x       x  1   x  1     x  1  ( x  1  nghiệm bội chẵn phương trình: x2  x  ) x    x  3  Ta có bảng biến thiên:   Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số y  f x  x nghịch biến khoảng  2 ;  1 Chú ý: Cách xét dấu g  x  :   Chọn giá trị x   1;    x2  x   g    f     (dựa theo bảng xét dấu   hàm f   x  ) Suy g  x   , x  1;   Sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “lẻ đổi, chẵn không” suy dấu g  x  khoảng lại Câu Chọn B   Ta có g  x     x  f   x  x2 2  2x  g  x      f   x  x  Bảng biến thiên:  x   x   x  1    1  x  x  2   x  0 1  x  x  1 x      x     Dựa vào bảng biến thiên hàm số g  x  đồng biến khoảng   ;  1  ;1 1   ;3   Mà (0;1)  (1  3;1) nên hàm số y  g  x   f  x  x  2020 đồng biến (0;1) Câu Chọn B Ta có g  x   10  5x  f   10  5x   5 f   10  x  x  10  5x   12  g  x    f   10  5x    10  5x  2   x   10  5x  x   Bảng xét dấu g( x)  x  g ( x ) 12  0    Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng 1;  Câu Chọn C  Ta có:   5x   x   x  20  5x  x  5x  1    ,x   g  x     f    2   x 4 x 4 x   x   x    x    20  5x 0  2  x 4  x  2    5x  x0  g( x)   x   x   x   1  x   x2   5x  2 x     Bảng biến thiên hàm số y  g( x) : Vậy hàm số y  g( x) đạt cực đại x  Câu Chọn A   Ta có: g  x   f x2  x  x2  3x      g  x    x  1 f  x  x  12 x    x  1  f  x  x      x   x    x  x      x  x  1 vo nghiem  4x   x  g  x       2x  x   f  x  x  3 x   x2  x      x  x   nghiem kep   x   17  nghiem kep     x   17  nghiem kep     Ta có : g '  2   9  f '(10)   dựa vào đồ f '  x  ta thấy f ' 10   3  f '  10     g '  2   Ta có bảng xét dấu sau:     1    17    17 ;   Xét dấu g  x  ta g  x   0, x    ;0    ;    1;              17    17    1 1 ;   Suy g  x  đồng biến khoảng   ;   ;   1;         4 2              Mà   ;     ;  nên hàm số g  x   f x  x  x  3x đồng biến khoảng     ;0   Câu Chọn D Ta có g '  x    f '   x   x( x  1)2 Theo giả thiết f '  x   (3  x)  10  3x   x   nên f '   x   x  3x  1   x  2 2 Từ suy g '  x    x  3x  1   x   x( x  1)2 2  x( x  1)2  (3 x  1)2  ( x  1)2   x( x  1)2 ( 8 x2  x)  x ( x  1)2 ( 8 x  4)   x  0(nghiem kep)  Khi g '  x     x  1( nghiem kep)  x    Bảng biến thiên  1 Khi hàm số đồng biến  ;   2  Câu Chọn A Ta có y   f  x    f  x    f   x   f  x  f   x  ; y  f   x  f  x   f  x    ; y    f  x     f  x    x  x2   x1 ;1 x     x  x1  x2  x  x3   1;   + f  x   ; f  x    ; f  x    x  x  x  x      x   x  + Bảng xét dấu y Từ bảng xét dấu suy hàm số y   f  x     f  x   nghịch biến khoảng  ;  Câu Chọn B Vì điểm  1;0  ,  0;  ,  1;  thuộc đồ thị hàm số y  f   x  nên ta có hệ: 1  a  b  c  a     b  1  f   x   x  x  f ''  x   x  c  1  a  b  c  c    Ta có: g  x   f  f   x    g  x   f   f   x   f ''  x  x3  x   x  x  Xét g  x    g  x   f  f '  x  f   x    f  x  x 3x     x  x  1   x          x  1  x     x  x1 ( x1  1,325 )  x  x2 ( x2  1,325)    x   Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có g  x  nghịch biến   ; 2  Câu 10 Chọn D   Ta có g '  x   2019 x ln 2019 f ' 2019 x  m x Ta lại có hàm số y  2019 đồng biến 0;1 Với x  0;1 2019 x  1; 2019  mà hàm y  f '  x  đồng biến 1;   nên hàm y  f ' 2019 x đồng biến 0;1       Mà 2019 x  1; f ' 2019 x   x  0;1 nên hàm h  x   2019 x ln 2019 f ' 2019 x đồng biến 0;1 Hay h  x   h    0,  x  0;1 Do hàm số g  x  đồng biến đoạn 0;1  g '  x   0,  x   0;1    m  2019 x ln 2019 f ' 2019 x ,  x  0;1  m  h  x   h    x 0;1 Vì m nguyên m  2019; 2019   có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 11 Chọn C    g  x   f x  x  g   x    x  1 f  x  x   x    x  x  2x    g  x      x  x   x    f  x  x   x2  x   x  1  x       x  Từ đồ thị f   x  ta có f  x  x   x  x    Xét dấu g  x  :  x  1    1 Từ bảng xét dấu ta có hàm số g  x  đồng biến khoảng  1;  2  Câu 12 Chọn C Xét hàm số y  f   x   y  x x 1 x    x   1 x   y      x2    f x 1     x 1    x 1   Bảng biến thiên  f   x2  x  x  x       x    x    x      x2     x   x  Vậy hàm số y  f     x  đồng biến khoảng  3; ,  3;  Câu 13 Chọn D        Đặt y  g  x   f x  x2  g  x   f  x  x2 x  x    x  f  x  x2  1  x  1  x     x  x  1 ptvn   x  Cho g  x     2  f  x  x    x  x   ptvn     x  x2  x   f x  x2    Ta có f '  x     ( Luôn với x   ) x   x  x    Vậy g '  x     x   x  1  Hay hàm số g  x   f x  x nghịch biến khoảng  ;   2    Câu 14 Chọn C   g  x   f x     x       f  x   xf  x   Ta có f   x    x  2 nên f '( x2  3)   x2   2  x   1  x  Ta có bảng xét dấu: x 2x f '( x  3)  + 2 | + 1 | 0 Từ bảng xét dấu ta thấy đáp án C g '( x) - 0 | + - | + + | + + + - + + Câu 15 Chọn C g  x   x      2x   f   x  2x   f  x  x   1  f  x  x   1   x f  x2  x 2 2  x  x   2x   x  x  2   g  x        x  1  x  x  1  f  x  x   x    x  x    Ta có bảng xét dấu g  x  : Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số y  g  x  nghịch biến khoảng   ;  1  1;  Câu 16 Chọn D   Ta có y  f  x  f   x   f  x  f   x  = 3f  x  f   x   f  x     f  x    x  x1 ,4| x1  1  y    f  x    x  x2 , x3 ,3, x4 | x1  x2   x3  2;  x4    f '  x    x  1,2,3, 4 Lập bảng xét dấu ta có Do ta có hàm số nghịch biến khoảng  ;  Câu 17 Chọn A   Có y   x   f  x2  x x  x    x  x  x  x  2  Do y      x   x  2x    f  x  x    x  1  x  x  x     Ta có bảng xét dấu đạo hàm sau   Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, hàm số y  f x2  x đồng biến khoảng  1;  , 1;  ,  3;   Câu 18 Chọn C  x  2  x   f  x    x  Có y  f   x  f  x  Do y     f  x    x   x  1  Ta có bảng xét dấu đạo hàm sau Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, hàm số y   f  x   nghịch biến khoảng  ; 2  ,  1;  ,  25 ;    Câu 19 Chọn A        Ta có g  x   x  x  m f  x  x  m   x  1 f  x  x  m Hàm số y  g  x  đồng biến khoảng 1;   g  x   0, x   1;     g  x   hữu hạn điểm   x  1 f  x  x  m  0, x  1;    x  x  m  2, x   1;    f  x2  x  m  0, x   1;      x  x  m  0, x  1;     Xét hàm số y  x2  x  m , ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có Trường hợp 1: x  x  m  2, x   1;    m    m  Trường hợp 2: x  x  m  0, x   1;   : Khơng có giá trị m thỏa mãn Vậy có 2016 số nguyên m  2019 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 20 Chọn C Từ bảng biến thiên suy f ( x)  0, x    f (3  x)  0, x   Ta có g '( x)  2 f '(3  x) f (3  x)  2   x  2  x   Xét g  x    2 f    x  f   x    f    x     3  x  x  Suy hàm số g  x  nghịch biến khoảng ( ;1) (2; 5) Câu 21 Chọn D Thực liên hoàn biến đổi đồ thị y  f  x  thành đồ thị y  f  x  , sau biến đổi đồ thị   y  f  x  thành đồ thị y  f x Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  ta suy hàm số đồng biến khoảng 1;  Câu 22 Chọn B 1  x   x  1 Dựa vào đồ thị, suy f   x     f   x     x  1  x    1  x   Với x  g  x   f  x     g  x   f   x      x   2  x   Do hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;  ,  7;   x  Với x  g  x   f   x    g  x    f    x    f    x    x   loai    x  1   Do hàm số g  x  đồng biến khoảng  1;   1  x  1   x  Câu 23 Chọn B Ta có: g  x   x f x 1 x   x  x  x   x 0 x    x      x  1 Xét g  x    f  x     x   x    f x 1    x         ( L) x      x  1 x   Ta có bảng biến thiên:   Từ bảng biến thiên ta có g  x   f x  nghịch biến khoảng  1,1 đồng biến khoảng   , 1   1,   Câu 24 Chọn D  x  1  Xét hàm số f  x   x  x  12 x  m  f   x   12 x  12 x  24 x ; f   x     x   x   Bảng biến thiên: Để hàm số y  f  x  nghịch biến   ; 1  m    m  Do yêu cầu m số nguyên nhỏ 10 nên ta có m  5; 6;7; 8; 9 Vậy có giá trị m thỏa yêu cầu Câu 25 Chọn A Trường hợp 1: x  Khi g  x   f   x  x    x  2 Ta có g  x   2 f    x  , g  x    f    x      1  x 1   x   1 3 So điều kiện x  ta g  x  nghịch biến  ;  2 2 Trường hợp 2: x  Khi g  x   f  x    1  x  2  x   Ta có g  x   f   x   , g  x    f   x       x  2x     5 7  So điều kiện x  ta g  x  nghịch biến  2;  ;  ;    2 2  Câu 26 Chọn C     Ta có g  x   3x  x f  x  3x2  m x  3x2  x    x  2 x  3x  m   g  x       x  3x2  m   x  3x  m    x  x2  m   x  x  m    x  3x  m   Vì qua nghiệm phương trình x3  3x  m  (nếu có) dấu f  x  3x2  m  không đổi nên dấu g  x  phụ thuộc nghiệm hai phương trình cịn lại Vậy hàm số y  g  x  có điểm cực trị phương trình x3  3x2  m  x3  3x2  m  phải có ba nghiệm phân biệt (khác khác ) x  Xét hàm số h  x    x  x , ta có h  x   3 x  x ; h  x     x  Bảng biến thiên hàm số y  h  x  Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để phương trình  x  3x2  m  x3  3x2  m  phải có ba nghiệm phân biệt (khác khác )  m2  m    m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn m  Câu 27 Chọn C Ta có g   x   f   x   m ; g   x    f   x   m   f   x   m Để hàm số y  g  x  có hai điểm cực trị phương trình g   x   có hai nghiệm bội lẻ phân biệt m   Khi m  1,2,3, 4,5,10,11,12 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề 10  m  13 Câu 28 Chọn D   Ta có: g  x   x  x e x   g  x    x  x e x 3  x2  x2  f  ex  f  ex 3  x2  x2 m   x  x    x  2  x  2    m    e x  x  m  3   e x  x  m   1  x3  x2  e x3  x2  m   m   2 e   x 3x  e x  x  m   m   3  e  Hàm số g  x  có điểm cực trị tổng số nghiệm đơn bội lẻ, khác 2 phương trình 1 ,   ,   Xét hàm số h  x   e x  x2  x0 Ta có h  x      x  2 Bảng biến thiên:   có h  x   3x  x e x  x2 Khi có trường hợp sau: Trường hợp 1: 4  m   e  m  e   51,6 Khi đó:    4   m   e   m  e   57,6 Do m nguyên nên m  52; 53; 54; 55; 56; 57 Trường hợp 2: m   e  m  e   49,6   Khi đó: 1  m   e   2  m  e   m   0  m   3  m    Trường hợp 3:   m   e4 4  m  e   49,6   Khi đó: m     m  2  m m   m    Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa yêu cầu toán Câu 29 Chọn C x   Ta có f   x   x  x  1  x      x   x  x  x    x  x2  m   x   m  1    Lại có g  x   x f  x  m    x2   m x2  m  f  x2  m       2 x   m  3  x  m       Do   có nghiệm ln nghiệm bội chẵn ; phương trình  1 ,   có nghiệm khơng chung m   m nên: 3  m  0m3 Hàm số g  x  có cực trị  g  x   có nghiệm bội lẻ   m  Vì m    m  0;1; 2 Vậy tổng giá trị nguyên Câu 30 Chọn C Đặt t  x   x  x  với x  0;1 Ta có t  x   x   0, x   0;1 Suy hàm số t  x  đồng biến nên x  0;1  t  1;  Từ đồ thị hàm số ta có max f  t    max  f  t   m    m  1;   1;  Theo yêu cầu tốn ta cần có:  m  10  m  13 Câu 31 Chọn A     Ta có y  f  x2  3x  m   x   f  x  x  m Theo đề ta có: f   x    x  1 x    x  3 suy f   x     f   x    3  x  x  Hàm số đồng biến khoảng  0;  y  0, x   0;      x   f  x  3x  m  0, x   0;  Do x   0;  nên x   0, x   0;  Do đó, ta có:  x  3x  m  3 m  x2  3x  y  0, x   0;   f  x  x  m      x  3x  m  m  x  x         m  max x  x   m  13 0;2     m  1 m  x  x    0;2  Do m  10; 20  , m   nên có 18 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu đề Câu 32 Chọn B Ta có f  x   x  x  m ,   g  x   x2  2018 x  2019  x 2  2020   a12 x12  a10 x10   a2 x  a0 Suy f   x   x  , g  x   12 a12 x11  10a10 x   2a2 x 11  Và  g  f  x     f   x  12 a12  f  x    10 a10  f  x     a2 f  x          f  x  f   x  12 a12 f  x   10     10 a10 f  x    a2 Dễ thấy a12 ; a10 ; ; a2 ; a0  f   x   3x   , x    Do f   x  12 a12  f  x    10 a10  f  x     a2  , x  10  Hàm số g  f  x   đồng biến  2;    g  f  x    , x   f  x   , x    3  x  x  m  , x   m   x  x , x   m  max  x  x  16  2;   Vì m  2020; 2020  m   nên có 2037 giá trị thỏa mãn m Câu 33 Chọn A Ta có: g  x   f '(2 x  1)  2(2 x  1)(2 x  2)2 [(2 x  1)2  m(2 x  1)  1] Đặt t  x  Để hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;  g  x   0, x   3;   t(t  mt  1)  0, t   7;11  t  mt   0, t   7;11  2m  Xét hàm số h(t )  t  , t   7;11 t t  t  7;11 , có h '(t )  t t2 BBT: Dựa vào BBT ta có m  t  50 , t   7;11  m  max h  t   m    ;11  t 14   Vì m     m  {  3; 2; 1} Câu 34 Chọn B Ta có g '  x   f '  x  m    m  x  Đặt h  x   f '  x     x  Từ đồ thị hàm số y  f '  x  đồ thị hàm số y   x hình vẽ suy 3  x  ra: h  x    f '  x    x   x  Ta có  3  x  2m   2m   x  m  g '  x   h  x  2m       x  2m   x  2m  Suy hàm số y  g  x  nghịch biến khoảng  m  3; m  1  m  3;    2m   3 m3  Do hàm số y  g  x  nghịch biến khoảng  3;    2 m      2m    m   Mặt khác, m nguyên dương nên m  2; 3  S  2; 3 Vậy số phần tử S Từ chọn đáp án B Câu 35 Chọn C 2 Ta có: g  x   f    x      x    x  1   x     x   m       x  1  x   x  x  m   Hàm số g  x  nghịch biến khoảng   ; 1  g  x   0, x  1  *  , (dấu "  " xảy hữu hạn điểm) Với x  1  x  1  x   nên  *   x2  x  m   0, x  1  m   x  x  5, x  1 Xét hàm số y   x2  x  khoảng   ; 1 , ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy m  Kết hợp với m thuộc đoạn   2020; 2020  m nguyên nên m  9;10;11; ; 2020 Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn đề Câu 36 Chọn B Ta có g  x   f   x    2x 1   2m Hàm số g  x  đồng biến  ;  1 x 2  g  x   0, x   1;   m  f   x     x  x 1  , x   ;   m   f   x       x  1 x x ;2   2  2  1  1  Đặt t  x  , x   ;   t   2;1 2  Từ đồ thị hàm f   x  suy f   t   0, t   2;1 f   t   t  1 1  Tức f   x    0, x   ;   f   x    x    1  x ;2  2   Xét hàm số h  x     x x2  1   khoảng Ta có h x  ;      x2 2   x2  h   x    x    x  1 1  Bảng biến thiên hàm số h  x   ;  sau: 2   Từ bảng biến thiên suy h  x    1  h  x    x    1  2 x ;2  2  Từ  1 ,     suy m   Kết hợp với m   , m   2020; 2020  m  2019;  2018; ; 2; 1 Vậy có tất 2019 giá trị m cần tìm Câu 37 Chọn D   Ta có g  x    x  1 f  x  x  12 x  x  Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy f   x    1  x  Do  x  x  1  x  x   0; x   f  x2  x      2  x   x  x   x  x   Ta có bảng xét dấu g  x  :     Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng   ;1    Câu 38 Chọn D Ta có: g '  x   2 f '  x  f '   f  x    3x  x Vì f  x   2, x   nên  f  x   1 x   Từ bảng xét dấu f '  x  suy f '   f  x    0, x   Từ ta có bảng xét dấu sau: Từ bảng xét dấu trên, loại trừ đáp án suy hàm số g  x  nghịch biến khoảng  2;  Câu 39 Chọn A Xét hàm số g( x)  f '  x    có đồ thị Parabol nên có phương trình dạng: y  g( x)  ax  bx  c P Vì  P  có đỉnh I  2; 1 nên  b  b  a 4 a  b   2    2a  g    1 4 a  2b  c  1 4 a  2b  c  1  5  P  qua điểm A 1;  nên g 1   a  b  c  2 4a  b  a    Ta có hệ phương trình 4 a  2b  c  1  b  12 nên g  x   x  12 x  11 a  b  c  c  11   Đồ thị hàm y  g( x) Theo đồ thị ta thấy f '(2 x  3)   f '(2 x  3)     x  Đặt t  x   x  t3 t3 f '(t )    3 5t 9 2 Vậy y  f ( x) nghịch biến khoảng  5;  Câu 40 Chọn D Ta có g  x   f   x  f   x   f   x  f   x   f  x  f   x   2 f  x  f   x  ;     Khi  h  x     x   g x  x  2  x   x  x x  x  x   x1 h  x     Ta có bảng xét dấu h  x  x    x     Suy hàm số h  x   g x2  x đồng biến khoảng 1;   x 2  2x   Câu 1: Cho hàm số đa thức f  x  có đạo hàm  Biết f    đồ thị hàm số y  f   x  hình sau Hàm số g  x   f  x   x đồng biến khoảng đây? A  4;   Câu 2: B  0;  C  ; 2  D  2;  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ Số tham số m nguyên thuộc đoạn   20; 20  để hàm số g  x  nghịch biến khoảng  1;  biết    g  x   f  x  3x  m  x  3x  m A 23 Câu 3: B 21   2x   x  2m  C D 17 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  2021; 2021 để hàm số g  x   x  3mx2   m   x  m  đồng biến khoảng  0;  ? A 4041 Câu 4: B 4042 C 2021 D 4039 Cho hàm số y  f ( x) liên tục R có bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số y  f  x  1  x  15 x  18 x  đồng biến khoảng  3 B  1;   2 A  3;   Câu 5: 5  C  ;  2    5 D  2;   2  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x2  x   x  mx  với x   Số giá trị   nguyên âm m để hàm số g  x   f x  3x  đồng biến  1;    ? B A Câu 6:  C D  Cho hàm số f  x    x4   m2 x  2020 g  x    x  x  2020 x  2021 Có giá trị nguyên dương m để h  x   g  f  x   đồng biến  2;   A 13 Câu 7: B 12 D C Cho hàm số g  x   f   x  có đạo hàm g '  x     x  với x   Có số nguyên dương m   x   x   m   x  3m   để hàm số f  x  nghịch biến khoảng 2021 2020  0;   A Câu 8: B C D Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f ( x) cho hình bên Hỏi hàm số g( x)  f ( x)  x  x  2021 nghịch biến khoảng đây? A ( ; 1) Câu 9: B ( 2;0) C (0; 2) D (2; ) Cho hàm số y  f  x  liên tục xác định  , biết f   x    x  x  Hàm số   y  f x  x  đồng biến khoảng đây? A  2; 1 B  3; 1 C 1;   Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thoả f  3   f    y  f   x  hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ sau: D  2;0  Biết hàm số Hỏi hàm số g  x    f   x    f   x  nghịch biến khoảng sau đây: A  3;1 B  ; 3  C  0;  D  2;  Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ   Biết hàm số f x  x  nghịch biến khoảng lớn  a; b  ;  m; n  ;  p; q  Giá   trị biểu thức a2  b2  m2  n2  p2  q bằng: A B 12 C 14 D 10 Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình vẽ   bên Hàm số g  x   f   x2 đồng biến trên: A  0;1 B  1;  C  1;0  D  3; 1 Câu 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình vẽ bên Hàm số g  x   f 1   x  x  nghịch biến trên: A  5;6  C  2;   B  1;  D  3;  Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Hỏi hàm số f  f  x   đồng biến khoảng đây? A  0;  B  3; 1 C  3;  D  5; 3  Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục xác định  có biểu thức đạo hàm cho f '  x   x  x   x  1 Hỏi tham số thực m thuộc khoảng hàm số   g  x   f x  m đồng biến khoảng  1;   ?  1 A  0;   2 B  1;  1  C  ;1  2  D  0;1 Câu 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Hỏi có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn   20; 20  để hàm số   g  x   f x  x  m đồng biến khoảng 1;  ? A 19 B 23 C 18 D 17 Câu 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị y  f   x  hình vẽ bên Hỏi   có giá trị nguyên tham số m  30; 30  để hàm số g  x   f x  3x  m đồng biến   2; 1 B 25 A 24 C 26 D 31 Câu 18: Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  20; 20  để hàm số x2  2x   đồng biến   ;1 ? 2m   x2  x  A 21 B 19 C 22 y Câu 19: Cho hai hàm số f  x   D 20 x  4a xb g  x   đồng biến khoảng xác xb x  a2 định Gọi ao bo số nguyên dương nhỏ a b thỏa mãn Giá trị biểu thức T  ao  bo tương ứng bằng: A 25 B 26 C 27  D 28  Câu 20: Cho hàm số y  f  x    m  1 x3  m2  m  x   m  1 x  m  với m tham số Biết với tham số m hàm số ln nghịch biến  a; b  Giá trị lớn biểu thức  b  a  bằng: A B D C Câu 21: Cho hàm số f  x   3m x  mx  x  12  m  1 x  với m tham số Biết với tham số m hàm số đồng biến  a; b  ; với a, b số thực Giá trị lớn biểu thức  2b  a  bằng: A B 2 C Câu 22: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị cho hình vẽ Hỏi hàm số y  D nghịch biến f ( x)  khoảng đây? A ( 3; 2) B ( 2;1) C ( 1; 2) D (3; ) Câu 23: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  20; 2021 để hàm số y  A 19 B 21 f ( x)  nghịch biến  1;  ? f ( x)  m C 20 D 22 Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị cho hình vẽ Hỏi hàm số y   f  x   đồng biến khoảng đây? A 1;  B  2;  C  2;   D  3; 1 Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị cho hình vẽ Hỏi hàm số g  x    f  x    f  x  nghịch biến khoảng đây? A  3;1 B  7;14  C  14;   D  1;7  Câu 26: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị y  f   x  hình vẽ bên Hỏi   có giá trị nguyên tham số m  30; 30  để hàm số g  x   f x  x  m nghịch biến  1;  A B C 28 D 23 Câu 27: Cho hàm số f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2  3 A  1;   2  1 B  0;   2 C  2; 1 D  2;  Câu 28: Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  40; 40  để hàm số g  x   x2  mx  m  nghịch biến khoảng  2; 1 A 79 B 39 C 80 D 40 Câu 29: Cho hàm số f ( x) liên tục  có đồ thị hàm số y  f ( x) cho hình vẽ   Hàm số g( x)  f x   x  x  2020 đồng biến khoảng nào? A (0;1) B ( 3;1) C (1; 3) D ( 2;0) Câu 30: Cho hàm số y  f ( x) liên tục  có đồ thị hàm số y  f ( x) cho hình vẽ   Hàm số g( x)  f x   x  x  2020 đồng biến khoảng nào? A  0; 1 B  3; 1 C 1;  D  2;  Câu 31: Cho hàm số f ( x) , g( x) có đồ thị hình vẽ Biết hai hàm số y  f (2 x  1) , y  g( ax  b) có khoảng nghịch biến lớn Khi giá trị biểu thức  4a  b  bằng: A B 2 C 4 D Câu 32: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số hình vẽ Khi hàm   số f x  x  nghịch biến trên: A 1;   1 C  2;     B  0;1   D   ;    Câu 33: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị nằm trục hồnh có đạo hàm  , bảng xét dấu biểu thức f   x  bảng Hàm số y  g  x   A  ;1  f x2  2x    f x  2x  nghịch biến khoảng đây?  5 B  2;    C 1;  D  2;   Câu 34: Cho hàm số f  x  có đạo hàm  f 1  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Có   số nguyên dương a để hàm số y  f  sin x   cos x  a nghịch biến  0;  ?  2 B A C Vô số D Câu 35: Giả sử f  x  đa thức bậc Đồ thị hàm số y  f '   x  cho hình bên Hỏi hàm   số g  x   f x  nghịch biến khoảng khoảng sau? A  2;1 B  1;0  C 1;  D  0;1 Câu 36: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn 10  m  10 hàm số y  f ( x2  x  m) đồng biến khoảng (0;1) ? A B C D Câu 37: Cho hàm số y  ax4  bx3  cx  dx  e , a  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên thuộc khoảng  6;6  tham số m để hàm số g  x   f   x  m   x   m   x  m nghịch biến  0;1 Khi đó, tổng giá trị phần tử S A 12 B C D 15     Câu 38: Có giá trị thực m để hàm số y  mx9  m2  3m  x  2m3  m2  m x  m đồng biến  ? A Vô số B D C Câu 39: Cho hàm số f  x   m x5  mx  m2  m  20 x  ( m tham số) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số cho đồng biến  ? A B C D 10   Câu 40: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị y  f   x  hình vẽ bên Đặt x  m  1  2019 , với m tham số thực Gọi S tập hợp giá trị  nguyên dương m để hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  5;  Tổng tất phần g  x  f  x  m  tử S bằng: A B 11 D 20 C 14 Câu 41: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m     f ( x)   m  1 x  m  5m  x  3m  m  19 x  32  x  1 để hàm số  đồng biến khoảng  1;   Số phần tử tập hợp S A B C D   Câu 42: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f  x2  x hình vẽ bên Hỏi hàm số y  f x   x  đồng biến khoảng nào?  A  3; 2   B  1;  C  2; 1 D  1;  Câu 43: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ   Hàm số g  x   f  3x  1  x  x2  x  nghịch biến khoảng đây? A  ; 2  ,  1;   B  3;0  C   ; 1 D  1;  Câu 44: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  1 hình vẽ Hàm số 1 g  x   f  x   x  x Đồng biến khoảng sau đây? A  ; 3  Câu 45: B  3;0  C 1;  D  4;   Cho hàm số bậc bốn f  x  Đồ thị hàm số y  f '   x  cho hình bên Hàm số   y  f x2  nghịch biến khoảng nào? A  ;  B  0;1 C  2;   D  1;  Câu 46: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục có đạo hàm  , hàm số   g  x   f   x  ' hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ   Hàm số y  f x2   x3  x  x  2021 nghịch biến khoảng sau đây? A   ; 1 B  0;1 C 1;  D  2;     Câu 47: Cho hai hàm số f ( x); g( x) có đạo hàm liên tục  Đồ thị y  f  x2  x hình vẽ Hàm số g( x)  f x2   x  2021 nghịch biến khoảng nào?  A  0;   B  3;  C  2,3  D  4;   Câu 48: Cho hàm số f  x  g  x  xác định liên tục  , g  x    f x   hàm bậc ba có đồ thị hình vẽ:     Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số h  x   f x  x  m đồng biến  0;1 A B D C   Câu 49: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức hàm số y  f x  có bảng biến thiên   Hàm số g  x   f x  x đồng biến khoảng sau đây?  1  ; A    6    B   ;   6    ;1  C      ;   D     Câu 50: Cho hàm số y  f ( x  2) hàm số bậc có bảng biến thiên sau   Hàm số g  x   f x  3x  đồng biến khoảng sau đây? A  ;   B  2; 1 C 1;  D  1;    Câu 1: Chọn B Xét hàm số h  x   f  x   x  Vì f  x  hàm số đa thức nên h  x  hàm số đa thức h    f    Ta có h  x   f   x   x Do h  x    f   x    x Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y  f   x  đường thẳng y   x , ta có h  x    x  2;0; 4 Suy bảng biến thiên hàm số h  x  sau: Từ ta có bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  sau: Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;  Câu 2: Chọn A       x  3x  m    3x  m    x  3x  m  g  x   f  x  x  m   x  3x  m     f  x  3x  m   x 3 3 Ta có          g '  x   9 x  f '  x3  3x  m  18 x2   x  x  m  36 x   x  3x  m  Để hàm số nghịch biến  1;      3x  m     x g '  x   x   1;   f '  x  x  m   x3  3x  m     f '  x  x  m  2  x 3      x  x  m  x   1;    3x  m x   1;  Đặt t   x3  3x  m Với x   1;  có t '  3x   x   1;   t   m  14; m   Xét bất phương trình  1 f '  t   2t  4t  1 Đồ thị hàm số y  f '  t  y  2t  4t hệ trục tọa độ:  t   m  14, m   t   m  14, m    m    m  3  t  Để  1   t      m  14   m  16  t   t   m  14, m     t    Câu 3: Do m  20; 20  nên số giá trị m  3  20     20  16    23 Chọn A Xét hàm số g  x   f  x   x3  3mx2   m   x  m  có f   x   x  mx   m   Để hàm số đồng biến  0;  thì:   f      f  x     , x   0;  , x   0;   3 x  mx   m      f   x       f      f  x   , x   0;  , x   0;       f  x    3 x  mx   m      m     m  2  m  x  , x  0;     2021  m  2   m  2 2x   m  2 2021; 2021   Vì m         m  2 1  m  2021 m    m      m  x2   m  , x   ;  2x   Câu 4: Vậy có tất 4041 giá trị m thỏa mãn đề Chọn B Ta đặt: y  g( x )  f  x  1  x  15x  18 x   g( x)  f   x  1  12 x2  30 x  18   f   x  1  x2  5x   x   2 x   x   x   2 Có f   x  1      2 x   x2     x    x  Từ đó, ta có bảng xét dấu sau: Câu 5:  3 Dựa vào bảng xét dấu trên, ta kết luận hàm số g( x) đồng biến khoảng  1;   2 Chọn B   Ta có g '  x    x   f ' x2  3x  Hàm số đồng biến 1;     2x  3 f '  x    x  x    x  x   x  x    m  x   2 2 Đặt t  x  3x   t   x   1;     1  t  t    t 2  Do m nguyên âm nên m  3;  2;  1 Chọn D  mt   0, t   t  mt   0, t  1 9  m    t   , t   m  3 2 t Câu 6:   3x      0, x   1;    1   x   0, x   1;     f ' x  x   0, x   1;    Ta có h  x   g  f  x    h '  x   g '  f  x   f '  x    3 f  x   10 f  x   2020     g '  f  x   m2       x  x  4 x   m   f '  x    Bảng biến thiên:   Hàm số đồng biến  2;   3 m2  4 m2    6  m  Vậy có giá trị nguyên dương m thỏa mãn Câu 7: Chọn C Ta có x   , g '  x    f '   x   f ' 1  x    g '  x  Suy f '   x      x  2021  f '   x        x     x 2021 2020  x   m   x  3m  6      1  x   2020   x   m   x   m       x   x  m.x  2m   f  x Hàm số nghịch biến  f '  x      x    x   x  m.x  2m    Vậy f '  x      x  2021 2021 2020 2020 2  x  mx  m   , x   0;    m  Xét h  x   khoảng  0;   x   0;   x2  x   0;    *  x2 x2  , x   0;    x2 x2 x2  h  x     x  2  h  x     x  2 x   x   0   x   3  x  5 Bảng biến thiên  *   m  , mà m Câu 8: nguyên dương suy m  1; 2 Vậy có giá trị m thỏa mãn Chọn C   x  Xét hàm số: g( x)  f ( x)  x  x  2021  g( x)  f ( x)  x     f ( x)            x   x  Để hàm số nghịch biến thì: g( x)    f ( x)         f ( x)           x Trên hệ trục ta nhận thấy đường thẳng  : y    qua ba điểm ( 2; 2),(0;1),(2;0)  x  Để f ( x)      đồ thị hàm số  y  f ( x)    phải nằm đường thẳng   x  2 Tương ứng với miền  0  x  Câu 9: Chọn C Ta có: f   x    x  x    x  1 x    f   x    x   1 x      x   x   x  Khi đó: f   x     Đặt y  g  x   f x  x  x     2x   Ta có: g  x    x   f  x  x      f  x  x        x  2  x  2   x  2   x       x  1  x  4x      x2  4x    x  3  x  1   x  3 Bảng xét dấu g  x  : x g (x )   3  2   1    Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số y  g  x   f x  x  đồng biến khoảng  1;   Câu 10: Chọn D Từ đồ thị ta có bảng biến thiên: Suy f  x   x   Mặt khác: g  x   2 f    x  f   x   f    x    f    x   f   x   1 Ta có g  x     f    x   f   x   1  3  x  x    f 3  x     3   x  2  x  Do hàm số g đồng biến khoảng  2;  Câu 11: Chọn B       Đặt u  x3  3x   g  x   f  u   f x3  x   g  x   3x  f  x  3x   x  1   x  1 x    g  x     x  3x   1   x     x  3x    x  1  x   Bảng biến thiên   Vậy hàm số nghịch biến khoảng  3; 1 ,  0;1 ,    3;  Vậy giá trị biểu thức a2  b2  m2  n2  p  q  12 Câu 12: Chọn C   Cách 1: Tập xác định hàm số f   x   2;  Đạo hàm: g  x   x 4x  f    x2  Hàm số đồng biến g  x   Từ tập xác định ta có:   x   0;    f    x2     x   2;     f    x       x   0;    x   0;         3    x       x    x   0;     0      x     x  VN            x   2;    x   2;    x   2;0         1    x     x  0   1    x          x  3   VN    x   0;   VN   x   2;   x   2;      x     Cách 2: Sử dụng pp ghép trục: g  x   f   x2  f  u  , u    x , với x  2;  Bảng biến thiên kép Suy hàm số đồng biến khoảng  2;  Câu 13: Chọn D Cách 1:  Tập xác định hàm số g  x   f 1   x  x Đạo hàm: g  x   3x  6x  x  f  1   x  x  D   1;7   Hàm số nghịch biến: g  x   Từ tập xác định, ta có trường hợp sau:   x   1;    x   1;     x   1;           x  x    f  1   x  x       x  x     x   3;7           x   3;7  x  3;7     1   x  x  1          x  x   f    x  x        1   x  x        x   1;     x    1  x        x     x      x   3;7    3   x   Cách 2: Sử dụng phương pháp ghép trục   g  x   f 1   x  x  f  u  với u  1   x  x x  2;  Bảng biến thiên kép    Vậy hàm số nghịch biến khoảng 1;  3;   Câu 14: Chọn A Xét hàm số: g  x   f  f  x    g '  x   f '  x  f '  f  x   Hàm số đồng biến g '  x   f '  x  f '  f  x       x  1    x  1    f '  x   x    x      x  4     x  4   f '  f  x        f  x   1            1  x   x  f  x    f '  x    x          1  x     f '  f  x       4  x   1  f  x    Câu 15: Chọn B   g '  x   3x f '  x  m   x  x Xét hàm số g  x   f x  m có biểu thức đạo hàm: 3     m x3  m  x3  m  Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng  1;   ta phải có: Câu 16: Chọn C   m    m   m  1;    Xét hàm số g  x   f x  x  m  g '  x    x  1 f ' x  x  m Với x  1;   x   Để hàm số đồng biến khoảng  1;  thì:     g '  x    x  1 f ' x  x  m   f ' x  x  m  x2  2x  m   m  x2  x    , x   1;   2  3  x  x  m   x  x   m  x  x   Suy với x   1;  ta có:    m  x  x  m   20  m  4    2  max x  x   m  x  x  2  m  m   Do có 18 giá trị m nguyên thỏa mãn  Câu 17: Chọn C        Ta có: g  x   x2  f  x  3x  m Với x  2; 1  x     Để hàm số g  x   f x3  3x  m đồng biến   2; 1 thì:     x2  f  x  x  m  0, x    2; 1  x  3x  m  3, x    2; 1   f x  x  m  0, x  2; 1   1  x  3x  m  3, x    2; 1    x  3x  m  3, x  2; 1    m   x  3x , x  2; 1   m   x  x  1  x     2; 1 Xét hàm số h  x   x  3x  h  x   3x      x  1    2; 1 Ta có: h  2   2 h  1   max h  x   h  x   2  2; 1  2; 1  max h  x   m  2  m  m   2; 1    m   h  x  Từ  1      m   2   m  3  m   2; 1  m     m  1     m   max h x      2; 1  Mà m    30; 30    m  30 , có 26 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 18: Chọn A Đặt u  x  x  Xét   ;1 u   1;   Để   ;1 nằm TXĐ hàm số cho thì: m   x  x  , x    ;1  2m    m  u1 2m  2m  x 1 Ta có hàm số y    y   u   2 2m   u (2m   u) (2 m   u) x  2x  2m  x 1 Để hàm số đồng biến   ;1 y    0, x    ;1 (2m   u) x2  x  Suy 2m    m  Từ, suy m  , mà m  20 ; 20  , m     m  20, 19, ,0 Vậy có 21 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu Câu 19: Chọn B  b  4a   b  4a  *   f ' x   x  b  Ta có:   a2  a  a   ao  a  b g ' x    a2  b  * *   x  a2    Từ  *   b  a0  20  bo  21  T  26 Câu 20: Chọn D   Ta có f '  x    m  1 x  m2  m  x   m  1 Hàm số nghịch biến  a; b  nên   f '  x    m  1 x  m2  m  x   m  1  x   a; b      m  1 x  m2  m  x   m  1  x   a; b     2 xm2  x  x  m  x  x   x   a; b     xm2  x  x  m  x  x   x   a; b   x   x     x    6;   2   x  x  10 x     x   x x                 b  a  max      Câu 21: Chọn C Hàm số đồng biến  a; b  suy ra: f '  x   12 m2 x  24 mx  12 x  12  2m  1  x   a; b   m x3  2mx  x   2m  1  x   a; b     m x3   x m  x   x   a; b  m    1 m  1   x    1 x   2      x  x  x  1   x  1 x  x      1  x       Suy  a  b   1   2b  a max  Câu 22: Chọn A Ta ln có: f ( x)    phương trình mẫu số f ( x)   vô nghiệm Suy hàm số y  Đạo hàm: y   có tập xác đinh  f ( x)  f ( x) [ f ( x)  3]2 Hàm số nghịch biến thì: y   Câu 23: Chọn C  x  ( ; 2) f ( x)   f ( x)    [ f ( x)  3]  x  (1; 3) Tập xác định hàm số y  g( x)  f ( x)  D  { x  R∣ f ( x)   m} f ( x)  m Để khoảng (1; 4)  D  phương trình f ( x)   m phải khơng có nghiệm x  (1; 4) m   m  4 Suy ra:     m  2 m  Đạo hàm: y  g( x)  f ( x)  Để hàm số y  g( x)  g( x)  f ( x)  Suy ra:  f ( x)  m   f ( x)  m  m5  f ( x)  m  ; Để ý ln có f ( x )  f ( x)  nghịch biến thì: f ( x)  m m5 m5  1  với x  (1; 4)   m5  m  2 Kết hợp  1   điều kiện 𝑚 nguyên m  20; 2021  20  m  4 20  m  4 Ta suy ra:  Có 20 giá trị nguyên 𝑚 thỏa mãn    m   2m4 Câu 24: Chọn D Đạo hàm: y  f   x  f  x  Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu suy hàm số y   f  x   đồng biến khoảng  3; 1 ,  1;  ,  3;   Câu 25: Chọn B Xét hàm số g  x    f  x    f  x    g  x   f  x  f   x   f   x   f   x  f  x   Hàm số nghịch biến g  x   f   x     f   x      f  x    f  x       f   x    f x 3         x  3   x     x  7   x  7  x  7        1  x  14   7  x  14  7  x  14   3  x   3  x   3  x       7  x     x  14  Câu 26: Chọn A  Ta có: g  x    x  1 f  x2  x  m    Để hàm số g  x   f x3  3x  m nghịch biến  1;  thì:   g  x    x  1 f  x  x  m  0, x   1;      2  x  1 f  x  x  m  0, x   1;1   2  x  1 f  x  x  m  0, x   1;     1    f  x  x  m  0, x   1;1 1    f  x  x  m  0, x   1;  x2  2x  m   x2  x  m  ,  x   1;1 , x   1;1     2   3  x  x  m    m   x  x  m    2 2    x  x  m  m   x  x  m    , x   1;    x  x  m  3 , x   1;   x2  x  m      Xét hàm số h  x   x  x  h  x   x    x  Với x   1;1  h  x   x    h  1  h  x   h  1  1  h  x   3, x   1;1 Với x   1;   h  x   x    h  1  h  x   h    1  h  x   0, x   1;  Câu 27: Chọn A Ta có : g  x   f   x   x  x  g '  x   2 f '   x   x  Đặt t   x  g  x   2 f   t   t t x Vẽ đường thẳng y   đồ thị hàm số f '  x  hệ trục g '  x    f ' t    2  t  t Hàm số g  x  nghịch biến  g '  x    f '  t      t  1 x     x   2x   2 Như f    x   2  x 4   2x  1 3  3 Vậy hàm số g  x   f   x   x  x nghịch biến khoảng  ;    ;   2 2 2   3 1 3  3 Mà  1;    ;  nên hàm số g  x   f   x   x  x nghịch biến khoảng  1;  2      2  1  m   4  m     m  4   m   1   m     3  m    2  m   m     m Từ       m   1    m  2  3  m  2   0  m     3  m m          0  m     m Vậy khơng có giá trị ngun m  30; 30  thỏa mãn yêu cầu toán Câu 28: Chọn C Xét hàm số g  x   f  x   x  mx  m  có f '  x   x  m   f  1   , x   2; 1   f '  x   x  m  Để hàm số nghịch biến  1;     f  1  , x   2; 1    f '  x   x  m     5m   m      , x   2; 1  m  x   m   1  m  40 m         2 m  Z , m    40;40       40  m    m      m  1  m  , x   2; 1  x    m   m  1   Vậy có 80 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 29: Chọn A Ta có đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số y  f ( x) điểm x  1; x  1; x  hình vẽ sau:  x  1 1  x  Dựa vào đồ thị hai hàm số ta có f ( x)  x   f ( x)  x   1  x  x  Trường hợp 1: x    x  , ta có g( x)  f 1  x   x  x  2020 Ta có g( x)  2 f    x   2(1  x)  1   x    x  g( x)   2 f    x   2(1  x)   f    x    x    1  x   x  2 0  x  Kết hợp điều kiện ta có g( x)     x  2 Trường hợp 2: x    x  , ta có g( x)  f  x  1  x  x  2020 g( x )  f   x  1  2( x  1)  x   1 x  g( x)   f   x  1  2( x  1)   f   x  1  x     1  x   2  x  Kết hợp điều kiện ta có g( x)    x    Vậy hàm số g( x)  f x   x2  x  2020 đồng biến khoảng (0;1) Câu 30: Chọn A Với x  , ta có g  x   f  x  1   x  1  2021  g  x   f   x  1   x  1 Hàm số đồng biến  f   x  1   x  1   f   x  1  x  * 1  t    x   Đặt t  x  ,  *   f   t   t   t  1  x  (loai ) Với x  1, ta có g  x   f 1  x     x   2021  g  x   2 f    x   1  x  Hàm số đồng biến  2 f    x     x    f  1  x    x * *   1  t    x    x    Đặt t   x ,  * *   f   t   t   t   x  2  x  2 Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng  ; 2  ,  0;1 ,  2;  Câu 31: Chọn B Xét hàm số y  f (2 x  1)   f (2 x  1)  '  f '(2 x  1) nghịch biến f   x     f (2 x  1)  '  f '(2 x  1)   f '(2 x  1)    x     x  Xét hàm số y  g( ax  b)   g( ax  b)  '  a.g '( ax  b) nghịch biến xảy hai trường hợp  a    a     x  b  a    a     ax  b   g '( ax  b )  2b       ax  b      x   a    a    a   a    g '( ax  b)     0  ax  b   b  b x  a a    b    b  Nếu a  hàm số y  g( ax  b) nghịch biến   ;  ;  ;   không thỏa mãn điều a   a   kiện có khoảng nghịch biến 1;   b  b  Nếu a  hàm số y  g( ax  b) nghịch biến   ;  a a   Yêu cầu toán hai hàm số y  f (2 x  1) , y  g( ax  b) có khoảng nghịch biến lớn  b2    a  2  nên  a   a  b  4 b   b   a Câu 32: Chọn B  Xét hàm số g  x   f x  3x          Để hàm số nghịch biến g '  x    x  1 f '  x  x  1   Đạo hàm hàm hợp g '  x   x2  f ' x  3x   x  f ' x3  x    f ' x  x    1  x  x       x  x  x x       x   x  1 x  x    x  x   Câu 33: Chọn C x g  x          2x   f   x  2x   f  x  x   1  f  x  x   1   x f  x2  x 2 2 x  x   2 x   x  x  2   g  x        x  1 x  x  1  f  x  x   x    x  x    Ta có bảng xét dấu g  x  : Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số y  g  x  nghịch biến khoảng   ;  1  1;  Câu 34: Chọn B Đặt g  x   f  sin x   cos x  a  g  x    f  sin x   cos x  a   4cos x f   sin x   sin x   f  sin x   cos x  a   g  x     f  sin x   cos x  a  Ta có cos x f   sin x   2sin x  4cos x  f   sin x   sin x    Với x   0;  cos x  0,sin x   0;1  f   sin x   sin x   2     Hàm số g  x  nghịch biến  0;  f  sin x   cos x  a  0, x   0;   2  2    f  sin x    2sin x  a , x   0;   2 Đặt t  sin x f  t    2t  a , t   0;1 Xét h  t   f  t    2t  h  t   f   t   4t   f   t   1 Với t   0;1 h  t    h  t  nghịch biến  0;1 Do  a  h  1  f  1   2.12  Vậy có giá trị nguyên dương a thỏa mãn Câu 35: Chọn D Đặt t   x  f  t   f 1  x   f '  t    f '   x   x  t    Ta có f '  t    f ' 1  x     x    t  1  x   t  2 x  f '  t    f ' 1  x     2  x  t      t  1 BBT f  t   Mặt khác g '  x   x f ' x2   x  Nên g '  x    x f ' x      f ' x        x  2  x2     2 Ta có f ' x     x   1   x    x  1  x   2     x2   f ' x2      2  x   1   Bảng xét dấu g '  x  x   x  2     x  1    x  Dựa vào bảng xét dấu g '  x  suy hàm số g  x  nghịch biến  0;1 Câu 36: Chọn C Xét y  g( x)  f ( x2  x  m) Ta có: y '  g '( x)  2( x  1) f '( x  x  m) Vì x   0x  (0;1) nên để hàm số y  f ( x2  x  m) đồng biến khoảng (0;1) f '( x  x  m)  0x  (0;1) , hàm số x2  x  m đồng biến (0;1) nên Đặt t  x  x  m Vì x  (0;1) nên t  ( m; m  3)  m   2  m  5  Dựa vào bảng xét dấu f '( x) ta có:  m   m   m    Mà 10  m  10 nên m  { 9; 8; 7; 6; 5; 0} Vậy có tất giá trị nguyên tham số m thỏa mãn đề Câu 37: Chọn B Xét g '  x   2 f '   x  m   x   m   Xét phương trình g '  x   t  2  t   Đặt t   x  m phương trình trở thành 2  f '  t      t  2  t  5m m3 1  m Lập bảng xét dấu, đồng thời lưu ý , x2  , x3  2 x  x1 t  t1 nên f  x   Và dấu đan xen nghiệm làm đổi dấu đạo hàm Từ đó, g '  x    x1  nên suy g '  x    x   x2 ; x1     ; x3  3  m 5m   1 Vì hàm số nghịch biến  0;1 nên g '  x   0, x   0;1 từ suy  1  1  m  giải giá trị nguyên thuộc  6;  m -3; 3; 4; Câu 38: Chọn B     Ta có: y  9mx8  m2  3m  x  2m3  m  m x      x mx  m2  3m  x2  m3  m2  m  Để hàm số ln đồng biến  y  0, x   Mặt khác ta thấy y  có nghiệm bội lẻ x  , để y  0, x   phương trình     9mx  m2  3m  x  2m3  m2  m  có nghiệm x  m    m  m2  m    m    m   Thử lại: Với m   y  12x Với m   y  9x8  0, x   45  y   x  x 2 Vậy có giá trị m Với m   Câu 39: Chọn B Ta có: f  x   m2 x  mx  m  m  20 x     f   x   m2 x  mx  m  m  20 Để hàm số cho đồng biến  f   x   0, x    m2 x  mx  m  m  20  0, x   Đặt t  x , t  ta có: m t  mt  m  m  20   *  , t  nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: m  : bpt  *  trở thành 20  Nên m  thỏa mãn m  m  m  Trường hợp 2:      64 m  m  8m  160 m  3  m  m  m  12   m   m  m  Trường hợp 3:       64 m  m  8m  160 m   m  3  m  m  12  Khi đó: u cầu tốn  phương trình m2 t  mt  m2  m  20  có hai nghiệm phân S  biệt thoả mãn t1  t2    P  4  m  m  m      4  m  m  m  20  4  m   m  m  20   m2 Kết hợp điều kiện ta có: 4  m  3 Vậy để hàm số cho đồng biến  3  m   4  m  4, m    m  4; 3; 2; 1;0;1; 2; 3; 4   4  m  3 Câu 40: Chọn C Ta có g  x   f   x  m    x  m  1 Cho g  x    f   x  m   x  m  Đặt x  m  t  f '  t   t  Khi nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  f   t  và đường thẳng y  t  t  1   Dựa vào đồ thị hàm số ta có f  t   t   t  t  Bảng xét dấu g  t  Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số g  t  đồng biến khoảng  1;1  3;    1  t   1  x  m  m   x  m    Hay  t  x  m  x  m  m     m    m   Để hàm số g  x  đồng biến khoảng  5;   m    m  Vì m số nguyên dương nên S  1; 2; 5; 6 Vậy tổng tất phần tử S là:     14 Câu 41: Chọn D Ta có f '( x)  ( m  1)x  ( m  5m  4)x  x   3m  m  19    Hàm số đồng biến khoảng  1;    f '( x)  0, x   1;   ( m  1)x  ( m2  5m  4) x  x   3m2  6m  19  0, x   1;       x    m  1 x  m  2m       x   g( x)  0, x   1;   x 1  2  Với g( x)   m  1 x  m  2m   x1 2 m  Điều kiện cần: g(3)    m  1  m2  2m     m2  m     m  1 Điều kiện đủ:   Với m  ta có f '( x)   x    x    x1  2   x1 2         x    x          x    x    x    x1           x   1  x1 2   Với m  1 ta có:       0, x   1;    m  thỏa mãn      x 1 2   f '( x)   x         x   x 1   x1     x  3 x 1   m  1 thỏa mãn Câu 42: Chọn C Đặt t  x   t   x  23 t  1  Khi y  t   f t  2t       y  t    t  1 f  t  2t   t  1   t  1  f  t  2t  t  1   2   0, x   1;   t  x    t  1   x  2 t   y  t      t  a   0;1   x  a    1;     f t  t   t  t  x    t  b   2;   x  b    1;    t    y  Ta có bảng biến thiên sau Với x   t  , ta có   f  t  2t    Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng  2; 1 Câu 43: Chọn C   Ta có, g  x   f   3x  1  18 x  12 x   2 11 11 x2  x     x  1  3 3 11 Đặt t  3x  , ta f   t   t  3 11 Vẽ Parabol  P  : y  t  hệ trục tọa độ Oty với đồ thị hàm số y  f (t ) hình 3 vẽ sau  f   x  1  x  x      x   2  x  1 11  Ta thấy, f   t   t  với t    ; 2   1;     3 3x   x  Câu 44: Chọn D 1 1 Ta có g  x   f  x   x  x có g'  x   f '  x   x  2 1 Cho: g'  x    f '  x   x   1 2 1  f '  t  1  t  2t  1   2 Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  1 phương trình có nghiệm: Đặt x  2t  , phương trình  1  f '  2t  1  t  2  x  3   f '  2t  1  t   t    x  t   x  Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng  3;1 ,  5;   Câu 45: Chọn D  x  1  t   Đặt t   x  f '  t   f '   x  Cho f '  t    f '   x     x   t   x   t  1 Từ ta có bảng biến thiên f  x  :     Xét g  x   f x  , ta có g '  x   xf ' x   x0  x0   x0  x    g '  x    xf ' x       x    x 1  f ' x    x  2    x       Ta có bảng biến thiên sau:   Do hàm số f x2  nghịch biến  1;  Câu 46: Chọn C Hàm số g  x  hàm số bậc nên có dạng:   g  x   f   x  '  a  x   x  1 x   , a   f '   x   a  x   x  1 x   Đặt t   x  f '  t   a  t   t   t  1   Đạo hàm hàm số y  f x   x  x  x  2021    y '  xf ' x   x  x   ax x  x  x    3  x  1  x       Lập bảng xét dấu       Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số cho nghịch biến  1;  Câu 47: Chọn B     Ta có g( x)  xf  x2   x  x  f  x   x  Đặt t  x   x  t       f  t  4t  t  2     Suy ra: g (t )   t   f t  4t  t  ; g '  t        t  2   t  2  t0   t 1   t  Bảng biến thiên:  t0  x2 0  x2   Dựa vào bảng biến thiên ta có:  1  t  1  x   3  x  Câu 48: Chọn D  Ta có: g  x    f x    xf  x          Dựa đồ thị ta có g  x   kx  x  1 x  1  kx x  ; k  k k x  ; k  Đặt t  x  4, t  4 ta có f   t    t   ; k  2 Phương trình đạo hàm: f   t    t  3 Bảng xét dấu   Vì vậy, f  x      h  x    x  1 f   x   x  m   0, x   0;1 mà x   0, x   0;1 nên: h  x   0, x   0;1  f   x  x  m   0, x   0;1  x  x  m  3, x   0;1  m   x  x  3, x   0;1  m  max   x  x    3 max   x  x    3 x  Hàm số h  x   f x  x  m đồng biến  0;1 khi: 2 2 2 x0;1 x0;1 Kết luận: có giá trị nguyên âm m thỏa đề m  1;  2; 3 Câu 49: Chọn A x  Xét y  f x2  x có y  xf  x2  ; y     f  x              Có x   nghiệm bội lẻ f  x   f   1    Xét g  x   f x  x , cho g  x   x  f  x3  x    x x   Cho g  x       x  x   x   1  ; Hàm số g  x  đồng biến khoảng     1;   6  Câu 50: Chọn C  x  1  Ta có y '  x f ' x  , dựa vào bảng biến thiên ta thấy y '    x   x     x  1 f ' x2     f '( x)   x  x         Xét g  x   f x  3x  ta có g '  x   3x2  f ' x  3x   x  1  3x2    x  1   g ' x     x   f ' x  3x    x  x    x  2        Ta có bảng xét dấu g '  x  Vậy hàm số đồng biến  1;   Hàm số y  f  x  đồng biến  ;     y    0, x   ;      y       y    0, x   ;      y       Hàm số y  f  x  đồng biến  ;    y    0, x   ;      y     y    0, x   ;      y     Các dạng đồng biến y  f  x   ; a  ,  ;   ta thực tương tự  Hàm số hỏi nghịch biến làm ngược lại Câu 1: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x5  x   m  1 x  nghịch biến khoảng  ;1 ? A Câu 2: B C D Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  x  mx  đồng biến khoảng 1;   ? A Câu 3: B C D Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y  x4  x  12 x2  m nghịch biến khoảng   ; 1 ? A Câu 4: B C D Tìm tất giá trị m để hàm số y  x4  x  mx  đồng biến khoảng  1;    ? A m  B m  C  m  D m  Câu 5: Có giá trị nguyên tham m thuộc đoạn   10 ;10  để hàm số y   x   m  1 x2  3m  m   x  m2  m   đồng biến khoảng  ;1 ? B 10 A 21 Câu 6: C D Có số nguyên m thuộc khoảng  4;  để hàm số y  1;   ? A Câu 7: Tổng g( x )  giá trị nguyên thuộc D   5;  m để hàm số x   m  1 x   m   x  đồng biến 1;  là: 3 A Câu 8: C B tất x  x  mx  đồng biến B 1 C D Có giá trị nguyên thuộc đoạn   2019 ; 2019  tham số thực m để hàm số y  x   m   x  3m  m   x đồng biến khoảng  ;  ? A 4033 Câu 9: B 4032 C 2018 Có giá trị nguyên dương m  để hàm số y  D 2016  x  x  x  m đồng biến (0, ) ? A B C D Câu 10: Có số nguyên dương m để hàm số y  x  mx  đồng biến khoảng 1;   A B C D Câu 11: Có số nguyên m thuộc khoảng  10;10  để hàm số y  x  2mx  đồng biến khoảng  1;   ? A 12 B C 11 D Câu 12: Cho hàm số y  x5  mx  Gọi S tập tất số nguyên dương m cho hàm số đồng biến 1;   Tính tổng tất phần tử S A 15 B 14 C 12 D 13 Câu 13: Cho hàm số f ( x)  x2  mx  m  Có giá trị nguyên tham số m thuộc [  9; 9] để hàm số đồng biến khoảng (0; 2) ? A B C 16 D 1 Câu 14: Cho hàm số f ( x)   x  (2 m  3) x  ( m  m) x  Có giá trị nguyên tham 3 số m thuộc [  9; 9] để hàm số nghịch biến khoảng (1; 2) ? A B C 16 D Câu 15: Có giá trị nguyên m   20; 20  để hàm số y  3x  x  12 x2  m nghịch biến khoảng 1;   B 30 A C D 15 Câu 16: Có giá trị ngun khơng âm m để hàm số y  x4  mx  đồng biến khoảng 1;   A B Câu 17: Cho hàm số y  C D x   m   x   m   x  Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương m để hàm số cho đồng biến khoảng  4;   Chọn mệnh đề sai? A S có phần tử B Tổng giá trị m thuộc S C Tích giá trị m thuộc S D Giá trị m lớn thuộc S Câu 18: Cho hàm số f  x   x   2m   x  2018 Có giá trị nguyên tham số m thuộc   2019; 2019  để hàm số đồng biến khoảng 1;  ? A 3032 B 4039 C Câu 19: Có tất giá trị y  g  x   x   m  1 x  3m  m   x 2021  m  2021 ? A 2020 nguyên D 2021 tham m số để hàm số đồng biến nửa đoạn 0;   biết B 2021 C 2022 D 2019 Câu 20: Gọi S   a ;    tập tất giá trị tham số m để hàm số y  x3  x2  mx  3m  đồng biến khoảng  2 ;    Khi a A 3 B 19 C D 2 Câu 21: Tính tổng S tất giá trị nguyên tham số m đoạn   10;10  để hàm số mx  đồng biến  1;    y xm2 A S  55 Câu 22: Tìm m để hàm số y  A  m  B S  54 C S  x  2m  đồng biến 1;   xm 1 B m    1;1 \     C 1  m  Câu 23: Có số nguyên tham số m để hàm số y  A B B 1  m  D  m  x  x  2m  đồng biến  3;    ? x 1 C vô số Câu 24: Tìm tất giá thực tham số m để hàm số y  x  A m  1 D S  C m  D  m đồng biến 1;   x D m  Câu 25: Biết tập hợp tất giá trị m cho hàm số y  x    2;   m2  2m  đồng biến x 1  a; b  Tính a.b A 10 B 9 C xm đồng biến khoảng 1;   x1 Câu 26: Tìm tất giá trị thực m cho hàm số y  A m  1 B m  D 7 C 1  m  D 1  m  Câu 27: Tính tổng tất giá trị nguyên dương m để hàm số y  x  mx  đồng biến x 1 khoảng  ;    A B Câu 28: Có số nguyên m để hàm số y  A xm đồng biến khoảng  2;   ? xm3 C B Câu 29: Có giá trị nguyên âm m để hàm số y  x   B 10 A 11 D C D 1 m đồng biến  5;    ? x2 C Câu 30: Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y  D x  x  2m  đồng biến x1 khoảng  3;    ? B A C Câu 31: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  A m  m  Câu 32: Cho hàm số y  B m2 2x  x2  C D Vô số xm1 đồng biến khoảng 1;   xm m2 D m2 m x  Có giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến (0;1) A B C Câu 33: Có giá trị nguyên tham số m   5;  để hàm số y  D x2   x  3m nghịch biến  2;  ? A B C D Câu 34: Có giá trị nguyên tham số m  0;10  ðể hàm số y  x  m x  x  ðồng biến khoảng 1;   ? A 11 B 10 C 12 D Câu 35: Cho hàm số f  x   giá trị nguyên x2  x   x  m , m tham số thực S tập hợp tất m 2019 ; 2019  f x đoạn  để hàm số   đồng biến khoảng  1;    Số phần tử tập S A 2018 B 2017 C 2019 D 4039 Câu 36: Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y  x   x  m đồng biến khoảng 1;   ? A B C D Vơ số Câu 37: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x  x   5x  m2  đồng biến khoảng (1;   ) ? A Câu 38: Cho hàm số y  f ( x)  B D C 11 x   x  m2  5m Hỏi m thuộc khoảng khoảng sau để hàm số f ( x) đồng biến (1;  ) A   ;  B (1; 4) D  3;    C (  ; 2) Câu 39: Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y   x  x  m đồng biến khoảng  0;  ? A B C D 10 Câu 40: Tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x  x  x   A 2016 B 1952 C 2016 m có điểm cực trị D 496 Câu 41: Có giá trị nguyên m  2020; 2020  để hàm số y  x2   mx  đồng biến khoảng  1;  A 4042 B 4039 C 4040 D 4041     Có giá trị m nguyên để hàm số y  f ( x)  x  3x  m  x  12  3m cos x Câu 42: đồng biến  0;   A B C D Vô số    Câu 43: Các giá trị tham số m để hàm số y  sin x  cos x  m đồng biến khoảng   ;   2 A m  B m  C m  D m  Câu 44: Cho hàm số y  sin x  m.sin x  Gọi S tập hợp tất số tự nhiên m cho hàm số   đồng biến  0;  Tính số phần tử S  2 A B C D Câu 45: Có giá trị nguyên m thuộc   5;  để hàm số y  cos x  3m cos x nghịch biến    0;   2 A B 11 C D Câu 46: Có giá trị nguyên dương m để y  x  x  m  đồng biến đoạn 0;1 A B C D Câu 47: Có giá trị m nguyên dương nhỏ 2020 để hàm số y  x  m.2 x 1  m  đồng biến khoảng (0;1) ? A 2018 Câu 48: Cho hàm số y  e B 2019 x x 1 D C x1  3e x 1  m  (1) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số nghịch biến khoảng  2;  ? A 234 B Vô số C 40 D Không tồn m 2 Câu 49: Có giá trị nguyên dương m  ( 2019; 2020) , để hàm số y  e  x  e x  m nghịch biến  1; e  ? A 401 B C 2019 D 2016 Câu 50: Giá trị lớn m để hàm số y  e x  e x  m đồng biến 1;  A e B e  e C e D    Câu 51: Tìm tất giá trị m để hàm số y  tan x  3.2 tan x  m  đồng biến   ;   2 29 29 29 29 A m  B m  C m  D m  8 8 Câu 52: Có giá trị nguyên thuộc khoảng  100;100  tham số m để hàm số y  ln x  x  m đồng biến đoạn 1; e  ? A 101 B 102 C 103 D 100 Câu 53: Có số nguyên m  2020 để hàm số y  ln  mx   x  nghịch biến  1;  ? A 2018 B 2019 C D vô số   Câu 54: Có số nguyên m thuộc  2020; 2020  để hàm số y  ln x  x  m  2mx  đồng biến  0;10  A 4038 B 2020 C 2017 D 2017  Câu 55: Có số nguyên tham số m đoạn   3;  để hàm số y  ln x  mx  đồng biến nửa khoảng 1;  ? A B C D    Câu 56: Cho hàm số y  ln x  mx  m  Có giá trị nguyên thuộc khoảng  10;10    tham số m để hàm số đồng biến khoảng   ;1  ? A 10 B C D   Câu 57: Tổng giá trị m nguyên thuộc   5;  cho hàm số y  ln x  3x  m  nghịch biến 0;1 A 10 B 11 C 12 D 13   Câu 58: Có giá trị nguyên tham số m  10;10  để hàm số y  log x  x  mx  đồng biến 1;   A 13 B 12 C 11 D 10   Câu 59: Tổng giá trị nguyên m   10;10  để hàm số y  g( x)  ln x  x  m  x đồng biến  1;  A 50 B 100 C 52 D 105 Câu 60: Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m   2021;2021 để phương trình x x 1 x     x   x  m  có nghiệm thực x Số phần tử tập S là: x 1 x  x  A 2018 B 2021 C 2019 D 2022 Câu 1: Chọn D Xét hàm số f  x   x  x   m  1 x  Trường hợp 1: f  x   có nghiệm x0   ;1 hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  ;1 Trường hợp 2: f  x   khơng có nghiệm x0   ;1 Ta có: f   x   x  10 x   m  1 Khi y  x  5x   m  1 x   f  x   Hàm số nghịch biến  ;1 f ( x) f ( x) f  x  nên y  f ( x) y  với x   ;1  f ( x)   f ( x) f ( x)   , x   ;1   , x   ;1 ( lim f  x    ) x   f  x    f ( x)   f   x   x  10 x   m  1  0, x    ;1   f  1  5m  17   m   x  x  1, x   ;1 m  max  x  x      ;1     2   17 m   m  17     Câu 2: 3 2 1 m   17 m   m  Chọn C Xét hàm số f  x   x  mx  Trường hợp 1: f  x   có nghiệm x0   1;   hàm số y  f  x  đồng biến khoảng 1;   Trường hợp 2: f  x   khơng có nghiệm x0   1;   Ta có: f   x   x  m Khi y  x  mx   f  x   f  x  nên y  f ( x) f ( x) f ( x) Hàm số đồng biến khoảng 1;   y  với x   1;    f ( x) f ( x)   f ( x)   , x  1;     , x   1;   ( lim f  x    ) x   f  x    f ( x)   f  1  2  m   2 x  mx    m   m  1; 2; 3   , x   1;     6 x  m  6  m   f   1  Câu 3: Chọn D  Xét hàm số f  x   3x  x  12 x  m  f   x   12 x3  12 x  24 x  12 x x2  x    x  1   f  x   x   x  Bảng biến thiên: Nhận thấy: hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  ; 1  m    m  m    m  5;6;7; 8;9 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Lại  m  10 Câu 4: Chọn C Đặt f  x   x  x  mx   f   x   x  x  m ; y  x4  x  mx   f  x  Ta có lim f  x    nên hàm số đồng biến  1;    x   f   x   , x   1;    4 x  x2  m  , x   1;       1  m   f  1   m  max 4 x  x2 m  4 x3  x , x   1;      1;     1  m  m  Câu 5:  m     m  m  Chọn B Xét hàm số f  x    x   m  1 x  3m  m   x  m  m   khoảng  0;2  f '  x   3 x   m  1 x  m  m    3  x2   m  1 x  m  m     xm f 'x    x  m  x  m  m  m   Nhận xét: f  x     x  m   Từ bảng biến thiên, suy hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  ;1  0;1   m; m   m    m   1  m      0;1   m  3;    m    m  3 Mà m nguyên thuộc khoảng   10;10  nên có 10 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 6: Chọn A Xét hàm số: f  x   x  x  mx   f   x   x  x  m Ta có:    m Trường hợp 1:      m   m  Suy f   x   0, x   1;    m  m   m    Vậy yêu cầu toán    1   m  3  m  m    f  1    Kết hợp với điều kiện m   ; m   4;  ta m    3;  2;  1;0;1 Ta có giá trị m thoả mãn yêu cầu toán Trường hợp 2:     m  Suy f '  x   có nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  Ta có bảng biến thiên: m  m   m   f   1      f   1   m Vậy yêu cầu toán   x1  x2    S f 0  1 1      2   f (1)   f (1)  Vậy tất có giá trị m thoả mãn yêu cầu toán Câu 7: Chọn B Xét hàm số f ( x)  x3   m  1 x   2m   x  3  x  1 Ta có: f ( x)  x   m  1 x  m  ; f ( x)     x   2m Hàm số g( x) đồng biến  1;  xảy hai trường hợp sau: 3  2m  m   f ( x) đồng biến 1; 13 Trường hợp 1:    13  m   f (1)   3m    3m  3   Kết hợp điều kiện m nguyên thuộc   5;  ta m  2; 3; 4; 5 5   2m  m  1  f ( x) nghich bien tren 1;    Trường hợp 2:     13  m  1 m    f (1)     3m  3   Kết hợp điều kiện m nguyên thuộc   5;  ta m  1; 2; 3; 4; 5 Vậy tổng tất số nguyên m để hàm số đồng biến   5;  là: 1 Câu 8: Chọn A Xét hàm số f  x   x   m   x  3m  m   x khoảng  0;4  f '  x   x   m   x  m  m     x2   m   x  m  m     xm f ' x    x  m   m  m4  Nhận xét: Đồ thị hàm số y  f  x  qua điểm O  ;  Trường hợp 1: Nếu m  Từ bảng biến thiên, suy hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  ;    ;    ; m   m  Kết hợp với m  , ta có m  Trường hợp 2: Nếu m   m   4  m  Từ bảng biến thiên, suy hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  ;    ;    ; m    m    m  Kết hợp với 4  m  , ta có m  Trường hợp 3: Nếu m    m  4 Từ bảng biến thiên, suy hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  ;    nên hàm số  m4  y  f  x  đồng biến khoảng  ;  với m  4 Vậy  m   m  4 Mà m nguyên thuộc khoảng   2019 ; 2019  nên có 4033 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 9: Chọn B  Xét hàm số y  x  x2  x  m ta có y  x2  x   0, x  R  Suy hàm số y  x  x2  x  m đồng biến R Do điều kiện hàm số y   x  x  x  m đồng biến (0, ) y(0)   m  Lại có m nguyên dương m  có giá trị m Câu 10: Chọn B          x  mx  x  mx   5 x  m x  mx     Ta có: y   ; y'   5  x  mx  x  mx   5 x  m x  mx   m  5x 5 x  m  m   Trường hợp 1: y '   , x     m  , x    m   m  x   x  mx   x  5x  m  , x  Hệ vơ nghiệm lim x  mx    Trường hợp 2: y '   x   x  mx     m  Vậy   m  1,2,3,4, 5   m   Câu 11: Chọn A Xét hàm số: f  x   x  mx  có f '  x   x  m Trường hợp 1: Hàm số f  x  đồng biến khoảng  1;   f  1  m  x2 x   1;   m  6 x  m       m 5  2m  m  m    Suy có 12 giá trị m thỏa yêu cầu Trường hợp 2: Hàm số f  x  nghịch biến khoảng  1;   f  1   Trường hợp không xảy lim f  x    Vậy có tất 12 giá trị m thỏa yêu cầu đề x  Câu 12: Chọn A Ta có : y '  x  mx  x  mx   5x4  m     Để hàm số đồng biến 1;   g  x   x  mx  5x  m  (*) , x    Với m  ta có g    x  5x  0, x  Với m  Do m     *  ln có nghiệm Do vậy, điều kiện cần để g  x   , x  4 m Ta ý lim g  x    x  m   m  5 Với m  , m  ; m  ; m  ; m  , thay vào (*) kiểm tra bảng xét dấu thấy  nhận m  1; m  ; m  ; m  ; m  Vậy S  {1;2;3;4;5} Tồng phần tử S 15 Câu 13: Chọn A Xét hàm g( x)  x2  2mx  m  Ta có g '( x)  x  m Hàm số f ( x) đồng biến khoảng (0; 2)  g(0)   g(0)  , x  (0; 2)  , x  (0; 2)   g '( x)   g '( x)   g(0)  m   , x  (0; 2)    2  m  Trường hợp 1:   g '( x)  2 m   g(0)  m   m  2 , x  (0; 2)    Trường hợp 2:  vô nghiệm  g '( x)  2m  m  Do m nguyên thuộc [  9; 9] nên m  {-2, -1, 0} Câu 14: Chọn B 1 Xét hàm g( x)   x  (2 m  3)x2  ( m2  3m)x  Ta có 3 g '( x)   x2  (2m  3)x  ( m2  3m)  ( x  m)( x  m  3) Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (1; 2)  g(2)   g(2)  , x  (1; 2)  , x  (1; 2)   g '( x)   g '( x)  Trường hợp  2 m  m    g(2)   m  (  ; 2]  [1;  ) ,  x  (1; 2)  , x  (1; 2)    m     g '( x)   m  [  1;1]  ( x  m)( x  m  3)  Trường hợp  2 m  m    g(2)   m  [  2;1] ,  x  (1; 2)  , x  (1; 2)    m  2    ( x  m)( x  m  3)   g '( x)   m  (  , 2]  [2;  ) Do m nguyên thuộc [  9; 9] nên m {1, -2} Câu 15: Chọn D   3 x  x  12 x  m x  x  12 x  m   Ta có y   4 3 x  x  12 x  m x  x  12 x  m    12 x  12 x  24 x x4  x3  12 x  m   Nên y   3 x  x  12 x  m   12 x  12 x  24 x Yêu cầu toán tương đương với     12 x  12 x  24 x  Trường hợp 1:  , x  3 x  x  12 x  m  m  3 x  x  12 x , x  1  m  12 x  12 x  24 x  Trường hợp 1:  , x   Hệ vô nghiệm 3 x  x  12 x  m  Vậy m  5; 6; ;19 Có 15 số nguyên thỏa mãn Câu 16: Chọn A      x  mx  4 x  mx x4  mx     Ta có y   nên y    x  mx  x  mx   4 x  mx Yêu cầu toán tương đương với x x 4    0  mx    mx m  x2 m  x2 4 x  mx    Trường hợp 1:  , x    , x    , x  2  x  mx   m  x  m  x  x x    m   m  0;1; 2 4 x  mx  Trường hợp 2:  , x   x  mx   Hệ vô nghiệm x   x4  mx    Câu 17: Chọn D 1 Đặt f ( x)  x   m   x2   m   x  Ta có: f '( x)  x   m   x  m  Hàm số cho đồng biến khoảng  4;   khi:  f '( x)  0, x   4;    f '( x)  0, x   4;      f (4)   f (4)   x   m   x   2m    0, x   4;    f '( x)  0, x   4;   Trường hợp 1:    f (4)  16   m    m      x  3x  x  3x  m m  m  ,  x  4;        4;    m x2 x2    m  m  m     2  f '( x)  0, x   4;   Trường hợp 2:   f (4)    Hệ vô nghiệm lim x   m   x   m     x  Vậy m  , m nguyên dương nên m  0;1; 2; 3 Câu 18: Chọn A Xét hàm số f  x   x   m   x  2018 , có đạo hàm f  x   x   m   Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng 1;  đồ hàm số khoảng 1;  phải có hình dạng sau: Trường hợp 1: Hàm số f  x  đồng biến khoảng 1;  không âm 1;  tức là:  f 1  m  2 m  x  x   1;     m   2024  m  m  1012  f   x   x   1;  Trường hợp 2: Hàm số f  x  nghịch biến khoảng 1;  không dương 1;  tức là:  f 1  m  2 m  x  x   1;     m  1012  m  1012 2024  m   f   x   x  1;  Kết hợp với điều kiện ta kết m    2019;   1012; 2019  Vây có 3032 giá trị m Câu 19: Chọn A Xét hàm số: y  f  x   x   m  1 x  3m  m   x Tập xác định : D   x  m Ta có: y '  x   m  1 x  m  m   ; y '     m  m  2, m  x  m  Bảng biến thiên Gọi C1  phần đồ thị hàm số y  x   m  1 x  3m  m   x nằm 0x Gọi  C  phần đồ thị hàm số y  x   m  1 x  3m  m   x nằm 0x Gọi  C 2  phần đồ thị đối xứng với  C  qua 0x Suy đồ thị hàm số y  g  x   x3   m  1 x  3m  m   x gồm C1    C2  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: hàm số y  g  x   x   m  1 x  3m  m   x đồng biến m   nửa đoạn 0;     m  2  f    Kết hợp với điều kiện 2021  m  2021 , ta suy có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 20: Chọn B Đặt f  x   x  x  mx  3m   f   x   x  x  m  f   x   0, x   2 ;    Trường hợp 1:   f  2    f   x   0, x   2 ;    3 x  x  m  0, x   2 ;    m  3 x  x , x   2 ;         m  19 m  19  f  2     m  max 3x  x m   x 2;     m  19  m  19 m  19  f   x   0, x   2 ;    Trường hợp 1:   f  2    f   x   0, x   2 ;    3 x  x  m  0, x   2 ;    m  3 x  x , x   2 ;         m  19  m  19  f  2      m  3 x  x   2;     m  19   Vì lim 3 x  x    hàm số y  3x  x khơng có giá trị nhỏ Vì TH2 khơng x  có giá trị m thỏa mãn Vậy tập giá trị m cần tìm S  19 ;   Câu 21: Chọn B Xét hàm số y  Hàm số y  mx  m2  2m  với x  m  , có y '  xm2 x  m    mx  đồng biến  1;    xảy hai trường hợp sau : xm2  m2  m  m2  2m   y '  0    m  3   x  m  2    m3 Trường hợp 1:  , x      m   m  0  y  1   m3   m  3   m   1;     m       m2  2m  m2  m   y '  0    x  m  2   m3 Trường hợp 2:  , x     m 0 y      m3   m   1;     m       m Vậy m   1;    , lại  suy m  2 ; 3; ; 5; ;7 ; ; ;10 , S  54  m    10 ;10  Câu 22: Chọn B Đặt f ( x)  x  2m  3m  Điều kiện: x   m f '( x)  xm  x  m Để hàm số đồng biến 1;    y '  f '( x) f ( x)  0, x   1;   f ( x)  f '( x)  0, x   1;    f '( x)  0, x   1;    I    II    f (1)   f (1)    3m   3m     1 Ta có  I    m    m  ;  II   m   m   Vậy  m  3   2m   2m   0 0  1 m  1 m Câu 23: Chọn A Tập xác định: D  \1 Xét hàm số f  x   Khi y  f  x   f x  y'  x2  2x  2m x2  x  2m  có f '  x   x 1  x  1 f ' x  f  x  f  x Hàm số đồng biến  3;    y '  0, x   3;     f   x  f  x    f  x    , x   3;      , x   3;    (vì lim f  x    ) x   f  x    f '  x    x2  x  2m  0  x 1   x  x  m    , x   3;      , x   3;    x  2x  2m x  x  2m        x  1    2 m   max  x  x 2 m    x  x  m   3  3;     ,  x   3;        x2  x 2 m  x  x 2m  2 m   3;       m   Vì m    m  2; 1; 0;1  m   Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 24: Chọn C     x  x  m   x      Ta có: y  x   m   x   m   y '   x x      x  x  m   Hàm số đồng biến 1;    y '  0,   1;      x   m   x      ,   1;     x   m   0,   1;   x          x      x   m   0,   1;    m   x  ,   1;   x x    2  m  max   x    *  1;   x  2 Xét hàm số g  x    x  , x  1;    g '  x   1   0, x  1;   x x  2  max g  x   max   x    g  1  Vậy  *   m  1;   1;   x  Câu 25: Chọn A Xét hàm số f  x   x   Khi y  x   m2  2m  m2  2m  Ta có f   x    x 1  x  1 m2  m   f  x  x1 f  x  nên y '  f  x f  x  f  x Hàm số đồng biến  2;   y  với x   2;    f   x  f  x    f   x    , x   2;     , x   2;   ( lim f  x    ) x   f  x    f  x    m2  m  0 x    x1  m  m     x  1  , x   2;     , x   2;   m2  m  m  m   x   1        x  1  m  2m   max    x  12   9  m2  2m      2;        11  m   11  2 m  m  10     m  2m    x  1   2;    Câu 26: Chọn D Điều kiện xác định: x  1 Đặt f  x   xm 1 m  f ' x  x 1  x  1 Khi ta có y  f  x   f  x  y'  f ' x f  x f  x Hàm số đồng biến 1;   y '  0x   1;    f '  x  f  x   0x   1;   1  m   f '  x   0x   1;   m   Trường hợp 1:   1  m   1  m  0  m  1  f 1    1  m   f '  x   0x   1;   m   Trường hợp 2:   1  m  m m    f        Vậy m  1;1 giá trị cần tìm Câu 27: Chọn A Xét hàm số f  x   Khi y  x  3x  2m  x  mx  Ta có: f   x   x 1  x  1 x  mx   f  x  x 1 f  x  nên y  f  x  f  x  f  x Hàm số đồng biến khoảng  ;    y  với x   ;     f   x  f  x    f  x    , x   2;      , x  ;    ( lim f  x    ) x   f x  f x         f 2   10  m    x  3x  m    , x  2;    2 x  x  m   , x  2;      x  1    m  m    2 m  2 x  x  , x   ;    2 m  max 2 x  3x   x 2;        5 m  m    2  1  m   m  2  m  1   Vì m    nên m 1; 2 Vậy tổng giá trị nguyên dương m Câu 28: Chọn A Đặt f  x   xm 2m  Tập xác định: D  \ m  3 Ta có f   x   xm3  x  m  3 Hàm số cho đồng biến khoảng  2;    y   f  x  f   x   0, x   2;   Trường hợp 1: f  x  f  x  f  x  0, x   2;     m   2m    f   x   0, x   2;        m     m  1  1  m   f    2  m  5  m     0 5  m  Trường hợp 2:   m   2m    f   x   0, x   2;        m     m  1 (khơng có m thỏa mãn)   f    2  m  m   m  5   0 5  m  Vậy 1  m  , mà m    m  1; 0;1; 2 Vậy có số nguyên m thoả mãn Câu 29: Chọn C Tập xác định: D  R \2 Xét hàm số f  x   x   Khi y  f  x   1 m m1 x2  x  m  Đạo hàm: f   x     2 x2  x  2  x  2 f  x  nên y  f  x  f  x  f  x Hàm số đồng biến  5;    y  0, x   ;     f   x  f  x    f  x    , x   5;      , x   5;    (vì lim f  x    ) x   f  x    f   x    1 m x   x   m  x  3x    , x   5;     ,  x   5;      m1 m   x  x    1     x      m  x  x   ;    m   3.5     8  m  31 x  4x  m  5  4.5  m  max  5;     Mà m nguyên âm nên ta có: m  8;  ;  6;  5;  ;  3;  ;  1 Vậy có giá trị nguyên âm m để hàm số y  x   Câu 30: Chọn A Đặt f  x   x2  x  2m  x2  2x   2m  f  x   x 1  x  1 Khi y  f  x   f  x   y  f   x  f  x  f  x 1 m đồng biến  5;    x2 Hàm số đồng biến khoảng  3;    y  0, x   3;     f  x f  x f  x  0, x   3;     f   x  f  x    , x   3;     f  x    f  x   f       f   x   , x   3;    ,do lim f  x      x   f   x   0, x   3;     f x       2m  0  m      x  x   m  0, x   3;     x  x   m , x   3;        m  m     9  m   2  x  x   2m , x   3;    m    Ta có m   nên m  4; 3; 2; 1; 0;1; 2 Câu 31: Chọn C Đặt f  x   x m1 2m  ,  x  m   f '  x   xm  x  m Để hàm số y đồng biến khoảng 1;   y '   f ' x  f  x f  x  , x   1;   Trường hợp 1:   m  2m    f '  x   0, x   1;      m    m    m  1  2  m  m  1   m  f  1    0 m1  Trường hợp 2:   m  2m    f '  x   0, x   1;       m    m  1  m2   f  1  2  m  1  m    0 1 m  Vậy để hàm số đồng biến khoảng 1;    m  Câu 32: Chọn A m 1 m x  Ta có f ( x)     2 2x 2x Do hàm số liên tục x  0; x  nên để hàm số nghịch biến (0;1) ta xét trường hợp sau: Đặt f ( x)   x  x   Trường hợp 1: m 1  f ( x)  0, x  0;1  , x  0;1     2 2x 2x   f (1)   f (1)   m 1 m  1   , x   0;1        xmin 2  x 2  x  0;1    2  x  2 2  x   2  m  m    m  2  Trường hợp 2: m 1  , x   0;1  f ( x)  0, x   0;1     2 2x 2x   f (1)   f (1)   m  m 1   , x  0;1      max    x0;1  2  x 2  x  2x 2x   m   m      m    (vô nghiệm) Do m nguyên nên m nhận giá trị sau 3;  2;  1;  m  2  Câu 33: Chọn B Xét hàm số f  x   x   x  3m Ta có: f   x   x x2    f  x  x  x2  x2  Cho f   x    x  x    x  Ta thấy f   x   0, x   2;  nên hàm số f  x  nghịch biến  2;  Để y  x   x  3m nghịch biến  2;  f       3m   m  Do m   5;  nên m  2; 3; 4 Câu 34: Chọn A Tập xác định: D   Xét hàm số f  x   x  m x  x  Ta có: f   x    m x1 x  2x    f   x   0, x  1;      f  1  Hàm số đồng biến khoảng 1;        f   x   0, x  1;      f  1  Trường hợp 1: 6 f   x   0, x   1;     m x 1  0, x   1;   x  2x   x  x   m  x  1  , x   1;   Đặt t  x  1, t   t   mt  t   m  Xét f (t )   t2  , t  t  t2  , f (t )   t > BBT: t t t2  m  1  f   x   0, x  1;   m  1 1    Từ bảng biến thiên, ta có  1  m  m  1  m   f 1   Trường hợp 2: x 1 f   x   0, x   1;     m  0, x   1;   x2  x   x  x   m  x  1  , x  1;   Đặt t  x  1, t   t   mt   *  , t  Mà lim t 0    t   mt   nên với giá trị m ln có giá trị t dương đủ nhỏ để VT  *  lớn Suy khơng có gía trị m để TH2 thỏa mãn Vậy có 11 giá trị nguyên m thỏa mãn 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10 Câu 35: Chọn A Xét hàm số g  x   x  x   x  m khoảng  1;    Ta có, g '  x   x1 x2  x  1  x   x2  x  (Do x   x  x    x  1  x2  x   x  1  0, x  1   0, x  1 ) Vậy hàm số g  x  nghịch biến khoảng  1;    Suy ra, hàm số f  x   g  x  đồng biến khoảng  1;     g  x   0, x  1 1 Do hàm số g  x  liên tục   1;    nghịch biến khoảng  1;    nên hàm số g  x  nghịch biến   1;    Vậy  1  max g  x    g  1  m    m  2 Vậy S  2019 ; 2018 ; ;  2  1;   Câu 36: Chọn A Xét hàm số f  x   x   x  m  f   x   Trên 1;    f   x   3x x2  1 Bảng biến thiên: Nhận thấy: hàm số y  f  x  đồng biến khoảng 1;     1 m  m    m  3  mà   m  5; 4; 3; 2; 1 m  Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 37: Chọn A Xét hàm số f ( x)  x2  x   x  m2  xác định  Ta có f '( x)  Với x   f '( x)   f ( x) đồng biến 1;    Vậy để hàm số y  f ( x) 4( x  1) x2  x  5 đồng biến (1;  )  f (1)    m2  10    m2  10   2   m   Mà m  ,  m  4 ;  ;  ;  ; ;1 ; ; ; 4 suy chọn đáp án A Câu 38: Chọn A Đặt g( x)  x2   x  m2  5m Ta có g( x)  x x2    x  (1;  ) Dế thấy g( x) liên tục 1;    g( x)  0 x  (1;  ) nên g( x) đồng biến 1;     g(1)   m2  5m   (*) Nên y  f ( x) | g( x)|đồng biến 1;     f (1)  kết hợp với (*) ta có:  m   m    ;1 m  5m      Mà m    ;     ;1  m   m   ;    Câu 39: Chọn D Tập xác định: D   0;  Xét hàm số f  x    x  x  m  f   x   Bsngr biến thiên 2 x  x2  x   x  Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  0;   m  m    m  0;1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8;9 Lại  m  10 Vậy có 10 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 40: Chọn A Xét hàm số f  x   x  x  x    x  1 m Ta có f   x   x  x     x  Ta có bảng biến thiên  f  x  , f  x   Do y  f  x    nên   f  x  , f  x   m   m  f  x   có nghiệm x0  , ta có bảng biến thiên hàm số  Nếu cho Trường hợp hàm số cho có điểm cực trị m  Nếu  32   m  64 f  x   có nghiệm x0  1 ,ta có bảng biến thiên hàm số cho Trường hợp hàm số cho có điểm cực trị  m   m Nếu    m  64 f  x   x  x  x    có ba nghiệm x1 ; x2 ;  m  32   x3 với x1  1  x2   x3 , ta có bảng biến thiên hàm số cho Trường hợp hàm số cho có điểm cực trị Như vậy, giá trị nguyên m để hàm số cho có điểm cực trị m  1; 2; 3; ; 63 Tổng giá trị nguyên là: S      63  63 1  63   2016 Câu 41: Chọn D Đặt f ( x)  x2   mx  Ta có f '( x)  x x 1 m Vì hàm số liên tục x  1; x  nên để hàm số y  f ( x) đồng biến khoảng  1;  ta xét hai trường hợp sau:  x  m  0,  x  1;   f '( x )  0,  x  1;   Trường hợp 1:    x2   f (1)  m      x   x ,  x  1;  m     m   1;    x2   x 1   m  1 m     m   1  x  m  0,  x  1;   f '( x )  0,  x  1;   Trường hợp 2:    x2   f (1)  m      x   x ,  x  1;  m  max    m  1;     x2   x 1  m  m     m   2  m  Từ (1) (2) ta có   m   m   Do  nên có 4041 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán  2020; 2020  m   Câu 42: Chọn B     Đặt h  x   x3  x  m2  x  12  3m2 cos x     Ta có h  x   3x2  x  m2   12  3m2 sin x  h  x    x  1  12   s inx   3m   sin x   x   0;   Vậy hàm số h  x  đồng biến  0;     Để y  f ( x) đồng biến  0;   Thì h     12  3m2   m  2;  Kết luận: có giá trị m nguyên thỏa mãn Câu 43: Chọn B     Xét hàm số f  x   sin x  cos x  m  sin  x    m  f   x   cos  x   4 4   f  x  f   x  Khi y  sin x  cos x  m  f  x   f  x  Nên y  f  x       Hàm số y  sin x  cos x  m đồng biến khoảng   ;   y  ; x    ;   2  2  f  x  f   x       , x    ;   2  f  x   Với   x     x    1        cos  x    0, x    ;  4   2     f   x   0, x    ;   2      Nên 1  f  x   0, x    ;   f       1  m   m   2  4 Câu 44: Chọn A     Trên khoảng  0;  , hàm số y  sin x đồng biến Đặt t  sin x , x   0;   t   0;1  2  2   Khi hàm số y  sin x  m.sin x  đồng biến khoảng  0;   2 y  g  t   t  mt  đồng biến  0;1 Xét hàm số y  f  t   t  mt  khoảng  0;1 có f   t   3t  m Khi m  : f   t   3t  0, t  y  f  t   t  đồng biến  0;1 đths y  f  t   t  cắt trục hoành điểm t  1  y  g  t   t  mt  đồng biến  0;1  m  thỏa mãn Khi m  : f   t   có nghiệm phân biệt t1   m ,t  m   m  m Hàm số y  f  t   t  mt  đồng biến khoảng  ;   ;           m 0 Trường hợp 1:  m 1 0 m3  m Hàm số y  f  t   t  mt  nghịch biến khoảng  0;  đồng biến khoảng     m  ;1       Khơng có giá trị m để y  g  t   t  mt  đồng biến  0;1 m  1 Trường hợp 2:  m m3 Để y  g  t   t  mt  đồng biến  0;1 t  mt   0, t   0;1  mt  t  1, t   0;1  m  t  , t   0;1  m   Khơng có giá trị m thỏa t mãn Vậy có giá trị m  thỏa mãn Câu 45: Chọn B   Đặt t  cos x , x   0;   t   0;1 Vì t  cos x hàm số nghịch biến  2    0;  nên  2 Yêu cầu toán trở thành tìm m nguyên thuộc   5;  để hàm số y  t  3m t đồng biến  0;1 Xét f t   t  3m t ; t   0;1 ; f '  t   3t  3m Trường hợp 1: Nếu m   f '  t   0; t   0;1  f  t  đồng biến  0;1 Mà f     y  f  t  đồng biến  0;    y  f  t  đồng biến  0;1 Do m  thỏa mãn tốn  1 t   m  t  m Trường hợp 2: m   f '  t     ; f  t    t  t   m  t  m Với m  , ta có BBT sau: Từ bảng biến thiên, suy hàm số y | f  t  | đồng biến  0; m  Yêu cầu toán tương đương  0;1   0; m   m    Với m  , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên suy hàm số y | f  t  | đồng biến  0;  m  Yêu cầu toán tương đương  0;1   0;  m   m  1   Từ 1 ;   ;   có 11 giá trị nguyên m thỏa mãn toán Câu 46: Chọn C Đặt x  t  t  1;  x  0;1  y  t t m1  t t m1   y     t  t  m  t  t  m  Để hàm số đồng biến đoạn t  1; 3 y   2 t  t  m   2t  1  t 2 t m1 t t m1 0 t 1;  Với giá trị t  1; 3 2t  >0 nên Để y  t  1;  thì: t  t  m   t  1;   m   t  t  g  t  t  1;   m   g  t    m  Vậy có giá trị nguyên 1; 2; 3 thỏa mãn yêu cầu toán 1;3 Câu 47: Chọn A Xét hàm số f ( x)  x  m.2 x1  m  (1) khoảng (0;1) Đặt t  x , t (1; 2) Hàm số (1) trở thành h(t )  t  2m.t  m  khoảng (1; 2) Suy h '(t)  2t  2m   f ( x) đồng biến (0;1)  f (0)  Ta có y  f ( x) đồng biến khoảng (0;1)    (*)  f ( x) nghịch biến (0;1)    f (0)  Vì hàm số t  x đồng biến (0;1)  h(t ) đồng biến (1; 2)  2t  m  t  (1; 2)   3  m  3  m   Do đó, (*)     h(t ) nghịch biến (1; 2) 2t  m  t  (1; 2)    3  m   3  m  m   m  m     Vậy có 2018 số nguyên dương nhỏ 2020 thỏa ycbt m  m     m  Câu 48: Chọn C x 1 x1 x1  x   2 x 1 Đặt t  e x 1 , ta có t  e x 1   e  x   2;   t  e ; e , đồng thời x  x     x  1   t ngược chiều biến thiên t Khi hàm số trở thành y  t  3t  m     t  3t  m   2t   Ta có: y  t  3t  2m   t  2  3t  m     3t  m   2t   t  3t  m   (2)  Hàm số (1) nghịch biến khoảng  2;   hàm số (2) đồng biến khoảng e ; e    t  3t  2m   2t   t  3t  m       t  e ; e  t  3t  m   t  e ; e   t  3t   g(t ) t  e ; e 2t  e  3e  e  3e  e  3e   t  e ; e   g(t )  m Có g(t )  2 2 Với điều kiện m số nguyên dương ta tìm 40 giá trị m  m    Câu 49: Chọn A 2 Đặt f ( x)  e  x  e x  m  f ( x)  2 xe  x  xe x Ta có y  f ( x)  f ( x)  y  f ( x) f  x  f  x Yêu cầu toán  y  0, x   1; e  (*) Vì x   1; e  nên 2 xe  x2  xe x2   2x e2x  e x2   0,  1; e  Khi đó,  *   f  x   0, x   1; e   e  x  e x  m  0, x   1; e   e  x  e x  m, x   1; e  2 2 Ta có giá trị lớn hàm số y  e  x  e x , x   1; e  e e  e  e nên m  e e  e  e  1618,18 2 Vậy có 401 giá trị nguyên dương m thỏa mãn Câu 50: Chọn B 2 2 Đặt f  x   e x  e x  m  y  f  x   f  x  Ta có y '  f ' x f  x f  x  f  x  f '  x   Hàm số đồng biến 1;   y '  0x   1;    x   1;   f  x   Vì f '  x   e x  e x  0x   1;  Nên y '  0x   1;   f  x   0x   1;   m  e x  e x x  1;   m  e  e Câu 51: Chọn C    Đặt tan x  t x    ;  suy tan x  1 nên t  Khi ta có hàm số:  2 y  t  3t  m  (1)    1  Để hàm số ban đầu đồng biến   ;  hàm số (1) phải đồng biến  ;    2 2  Xét hàm số f  t   t  3t  m  Ta có: f   t   3t   0, t Khi y  f  t   f  t  nên y  f t  f t  f t  1  1  Hàm số đồng biến  ;   y  0, t   ;   2  2  1  1   f  t   0, t   ;    t  3t  m   0, t   ;   2  2  1   m  t  3t  2, t   ;   ,     1  Xét hàm số: g  t   t  3t  2, t   ;   2  1 g  t   3t   0, t Vậy hàm số g  t  đồng biến  nên g  t   g   2   29 Từ   suy ra: m  g    2 Câu 52: Chọn B y  ln x  x  m Điều kiện x  Xét hàm số g  x   ln x  x  m 1; e   g  x   1  8x2  8x   0, x  1; e   g  x  nghịch biến 1; e  x x  hàm số y  g  x   ln 3x  x  m đồng biến đoạn 1; e   ln   m   m   ln Mà m nguyên thuộc khoảng  100;100  nên m  99; 98; ; 1; 0;1; 2 Vậy có 102 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Câu 53: Chọn A Xét f  x   ln  mx   x  Dễ thấy x   1;  : mx   m  Khi đó: f   x     , x   1;  Do f  x  ln nghịch biến  1;  x Yêu cầu toán tương đương với f     ln  4m     m  e2  1,6 Vậy m   ; 2019  có 2018 số nguyên thỏa mãn Câu 54: Chọn C   Ta xét hàm số f  x   ln x  x  m  2mx   0;10  Điều kiện hàm số có nghĩa x  x  m  0, x   0;10   x  x  m , x   0;10   1 Ta lại có x  x  x  x    với x   0;10  nên điều kiện  1 cho ta m    Đạo hàm f   x   2x  2x   mx m  x   0;10  nên  0; 4mx  suy x  2x  m x  2x  m f   x   hàm số đồng biến  0;10    Từ để hàm số y  ln x  x  m  2mx   f  x  đồng biến  0;10  điều kiện đủ f  x   với x   0;10      Trường hợp : m  f  x   ln x  x  có lim f  x    khơng thỏa mãn   x0 Trường hợp : Xét m  , hàm số f  x  đồng biến nên ta cần f     ln   m      m  e  m   e 2020  m  e Từ ta được:   m  2019; 2018; 2017; ; 3 có 2017 giá trị m thỏa m   mãn toán Câu 55: Chọn C Điều kiện xác định: x3  mx     Xét hàm số f  x   ln x3  mx  Ta có: f   x   3x  m x  mx    f  x    , x  1;   1   f   x   Hàm số đồng biến nửa khoảng 1;      f  x   , x  1;     f x      Trường hợp 1:    x  mx   ln x  mx    , x  1;   3 x  m  , x  1;  1   3x2  m 0   x  mx    x  mx     1  m  max   x    2 m   x    1;3  x    m  2 x , x  1;     m  3 x  m  max 3 x  3  1;3   Trường hợp 2:      x  mx   ln x  mx    , x  1;    x  m  , x  1;      3x  m 0   x  mx    x  mx     28 m   m   x  x    m  3x , x  1;   m  27  m    m   x2   m  max   x2    3 1;3  x  x   Từ hai trường hợp suy m  2 Vì lấy m  3;  nên m  2;  1; 0; 1; 2; 3 Câu 56: Chọn D   Đặt f  x   ln x2  mx  m       x  mx  m  0,  x    ;1           f   x   0, x    ;1  1         f  x   0, x    ;1       Hàm số đồng biến khoảng   ;1         x  mx  m  0,  x    ;1           f  x  0, x    ;1  2               f  x   0, x    ;1         x2   Xét x  mx  m  0, x    ;1   x  m  x  1 , x    ;1   m  , x    ;1  x1       Đặt g  x   x2 x2     Khi đó, m  , x    ;1   g  x   m , x    ;1  x1 x1     Ta có: g  x   x   1  g  x    x 1  x  1     x     ;1    ; g  x         x  2    ;1       Bảng biến thiên hàm số y  g  x  khoảng   ;1      Từ bảng biến thiên hàm số y  g  x  suy g  x   m x    ;1   m  g      2x  m Ta có: f   x   x  mx  m   m  m    m  1        1 m 1  2 x  m, x    ;1  m  1     1  ln         lim f  x   ln   m     x        m  1  m  1  4e   1 m   4e  m   m   e  4   m  m     suy không tồn m    2 x  m x    12 ;1  m      1 m  lim f  x   ln       x       4e Vậy m  Mà m nguyên, 10  m  10 nên có giá trị m thỏa mãn toán Câu 57: Chọn C   Đặt f  x   ln x  3x  m  , ta có f   x   3x2  x3  3x  m Điều kiện xác định f  x  x3  3x  m  Điều kiện cần để hàm số y  f  x  nghịch biến 0;1 x  x  m  0, x   0;1  m   x  x , x   0;1  m  (1) Với x  0;1 , ta có 3x   Do từ điều kiện (1) ta suy f  x  3x2   0, x  0;1 x3  3x  m Điều kiện đủ để hàm số y  f  x  nghịch biến 0;1   f  x   0, x   0;1  ln x3  x  m   0, x  0;1 1  m    x  3x , x  0;1  m    2,37 e e Do m nguyên thuộc   5;   m  3; 4; 5 Vậy tổng giá trị m 12 Câu 58: Chọn A   Đặt f  x   log x  x  mx  nên f '  x     x  mx  ln   f  x     f '  x   đồng biến 1;      , x  1;     f  x    f' x 0     Hàm số đồng biến y  f  x  Trường hợp 1: x 3x2  x  m   log x  x  mx     f  x   , x  1;     x  x  mx   , x  1;    3x  x  m   f '  x     x  x  mx   m  x2  x  , x  1;     , x  1;   3 x  x  m m  x  x    m  x  x m  1;       m  m5 3x  x  m  1;    Trường hợp 2:    log x  x  mx     f  x   , x  1;     x  x  mx   , x  1;    3x  x  m   f '  x    x2  x  m  x  x  mx        x  x  mx   , x  1;     x  x   m , x  1;   x 3x2  x  m   3x  x  m   Ta có: m  x  x , x  1;    m  max x  x ,  1;      Vì lim x  x   nên khơng tồn m thỏa mãn   Do trường hợp không tồn giá x  trị m thỏa mãn yêu cầu toán m   Suy m  thỏa mãn yêu cầu tốn Mặt khác  nên có 13 giá trị m thỏa m    10;10  mãn yêu cầu toán Câu 59: Chọn C   Xét hàm số f  x   ln x2  x  m  x khoảng  1;  Điều kiện xác định là: x  x  m  với x   1;  Khi f   x   2x  x2  3x  m    x2  x  m x2  x  m  x2  x  m      x2  3x  m     ln x  x  m  x  Hàm số g  x  đồng biến  1;     x2  x  m     x  3x  m    ln x  x  m  x         1 với x   1;  2  x2  x  m   Xét hệ bất phương trình  1 :  x  x  m   với x   1;   ln x  x  m  x    Ta có: x  x  m  0, x   1;   m   x  x , x   1;  Khảo sát tính biến thiên hàm số y   x2  x khoảng  1;  ta suy   Với m  max  x  x  m   1;3 Lại có x  3x  m   0, x   1;   m   x  3x  1, x   1;  Khảo sát tính biến thiên hàm số y   x  3x  khoảng  1;  ta suy ra:   m  max  x  3x   m  [ 1;3 ]   Ngoài ln x2  x  m  x  0, x   1;   m   x2  x  e  x , x   1;  Đặt k  x    x  x  e  x , k  x    e  x  x   0, x   1;  Do m   x  x  e  x , x   1;   m  e Vậy  1 tương đương m  e Với hệ bất phương trình   ta làm tương tự  m   x2  x  m    x  x  m    x   1;  m   19  m       ln x  x  m  x  ln x  x  m  x          Vậy hàm số y  g( x)  ln x  x  m  x đồng biến  1;  m  e , mà m số nguyên thuộc   10;10  nên m  3; 4; 5; 6;7; 8; 9;10 Do tổng giá trị nguyên m thỏa mãn 52 Câu 61: Chọn D Phương trình cho  Xét hàm số f  x   x x 1 x     x   x  m  f  x  g  x x 1 x  x  x x 1 x  1    f  x    0 2 x 1 x  x   x  1  x    x    lim f  x    x  Hàm số f  x  có tập xác định D   \ {  1;  2;  4} có   f  3   2 x   m neu x  3 Xét hàm số g  x   x   x  m   neu x  3 3  m Bảng biến thiên: Để phương trình f  x   g  x  có nghiệm thực x  m   m  Kết hợp m  , m   2021;2021 suy có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn LÝ THUYẾT  Định nghĩa  Giả sử hàm số f xác định tập K x0  K Ta nói:  x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng  a; b  chứa x0 cho  a; b   K f  x   f  x0  , x   a; b  \x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f  x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng  a; b  chứa x0 cho  a; b   K f  x   f  x0  , x   a; b  \x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số  Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm  x0 ; f  x0   gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f  Quy tắc tìm cực trị  Quy tắc 1:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f   x   Bước 2: Tìm điểm xi  i  1; 2;  mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm  Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f   x  Nếu f   x  đổi dấu qua xi hàm số đạt cực trị xi  Định lý  Giả sử y  f  x  có đạo hàm cấp khoảng  x0  h; x0  h  với h  Khi đó:  Nếu f   x0   0, f   x0   hàm số f đạt cực đại x0  Nếu f   x0   0, f   x0   hàm số f đạt cực tiểu x0 Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số  Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f   x   Bước 2: Tìm nghiệm xi  i  1; 2;  phương trình f   x    Bước 3: Tính f   x  tính f   xi  Nếu f   xi   hàm số f đạt cực đại điểm xi Nếu f   xi   hàm số f đạt cực tiểu điểm xi VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Hàm số y  x3  x  3x  đạt cực tiểu điểm A x  1 B x  C x  3 D x  Chọn B Ta có hàm số y  x3  x2  3x  có tập xác định D    x1 y  x  x  ; y      x  3 y  x  ; y  3   4  ; y  1   Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x  VÍ DỤ Cho hàm số y  x   m  1 x   m   x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D Vô số Lời giải Chọn B Xét hàm số y  x   m  1 x   m   x (1)  y  3x   m  1 x   m   Ta có: y   x   m  1 x  m   (2) Hàm số cho khơng có cực trị  Phương trình y  vơ nghiệm có nghiệm kép   2    m  1   m     m2  5m     m  Do m số nguyên nên m   1; ; ;  Vậy tập S có phần tử   VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x   x   với x   Hàm số g  x   f   x  có điểm cực đại? A B C Lời giải Chọn B Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số f  x  D Ta có g  x   f   x   g  x    f    x  Từ bảng biến thiên hàm số f  x  ta có   x  1 x   g  x    f    x     1   x   1  x  Như ta có bảng biến thiên hàm số g  x  Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g  x  có điểm cực đại VÍ DỤ Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên sau Số điểm cực trị hàm số y  f ( x) A B C D Lời giải Chọn B Gọi đồ thị hàm số y  f  x   C  Đặt g  x   f  x  gọi C   đồ thị hàm số y  g  x  Đồ thị  C  suy từ đồ thị C  sau: Giữ nguyên phần đồ thị  C  phía Ox ta phần I Với phần đồ thị  C  phía Ox ta lấy đối xứng qua Ox , ta phần II Hợp phần I phần II ta C   Từ cách suy đồ thị  C  từ C  , kết hợp với bảng biến thiên hàm số y  f  x  ta có bảng biến thiên hàm số y  g  x   f  x  sau: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f ( x) có điểm cực trị VÍ DỤ Cho hàm số y  x5 m   m  1 x  x  2019 Có giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x  ? A.Vô số B.1 C.2 D.0 Lời giải Chọn B Ta có y  x   m  1 x  mx  x  x   2m  1 x  m  Dễ thấy x  nghiệm đạo hàm y Do hàm số đạt cực tiểu x  y đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x  Ta thấy dấu y dấu hàm số g  x   x   m  1 x  m Hàm số g  x  đổi dấu qua giá trị x  x  nghiệm g  x  Khi g     m  Thử lại, với m  g  x   x  x đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x  Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán VÍ DỤ Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  x  3mx  cắt đường tròn tâm I  1;1 , bán kính R  hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? A m  1 B m  2 C m  2 D m  2 Lời giải Chọn B Ta có y  x  3mx   y  3x  3m Hàm số y  x  3mx  có điểm cực trị  phương trình y  3x  3m  có hai nghiệm phân biệt  m   1 Ta có: y  x.y  mx  Suy phương trình đường thẳng  qua hai điểm cực đại cực tiểu y  2mx   mx  y   Đường thẳng  cắt đường tròn tâm I  1;1 , bán kính R  hai điểm phân biệt A , B  dI;   R  2m  4m    m   m2   4 m  m    sin AIB   Dấu xảy  sin AIB    AIB   90 Ta có SIAB  IA.IB.sin AIB 2 Khi tam giác IAB vng cân I có IA  nên dI;   2m  2 2    m2  m    m  thỏa mãn đk  1 2 2 4m  Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn m  2 VÍ DỤ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x   m   x  3m  có ba điểm cực trị A m   2;   B m   2;  C m    ;  D m   0;  Lời giải Chọn C  Ta có: y  x   m   x  3m  ; y '  x   m   x  x x  m   x  y'     x   m (1) Để hàm số có ba điểm cực trị  phương trình y '  có ba nghiệm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác   m   m    VÍ DỤ Cho hàm số f  x  có đạo hàm f ( x)  ( x  1)2 x  x Có giá trị nguyên dương   tham số m để hàm số g( x)  f x  12 x  m có điểm cực trị ? A 18 B 17 C 16 D 19 Lời giải Chọn B  x  1  Ta có : f ( x)   ( x  1) x  x    x  , x  1 nghiệm kép  x       g( x)  f x  12 x  m  g  x    x  12  f  x2  12 x  m    Xét g  x     x  12  f  x  12 x  m  (*) x  x    2 x  12 x  m  1  x  12 x  m  1 ( l)     x  12 x  m  x  12 x  m   1   2  x  12 x   m    x  12 x  m   ( Điểm cực trị hàm số g  x  nghiệm bội lẻ phương trình (*) nên ta loại phương trình x2  12 x  m  1 ) Xét hàm số y  x2  12 x có đồ thị (C) có y '  x  12 Ta có bảng biến thiên Để g  x  có điểm cực trị phương trình  1 ;   có hai nghiệm phân biệt  Do đó, đường thẳng y   m y   m phải cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hồnh độ khác Nhận xét: đường thẳng y   m nằm đường thẳng y   m Ta có: 18   m  m  18 Vậy có 17 giá trị m nguyên dương VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x   x3   2m  1 x    m  x  với m   Tập hợp tất giá trị   m để hàm số y  f x có cực trị khoảng  a; b  Tích a.b A 12 B 16 C 10 D 14 Lời giải Chọn D Ta có y  x   m  1 x   m       Vì f x hàm chẵn f   x   f  x  , nên đồ thị hàm f x đối xứng qua trục Oy Do đó,   hàm f  x  có hai cực trị dương hàm f x có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oy   cực trị cịn lại giao điểm đồ thị hàm f x trục Oy Yêu cầu tốn tương đương với phương trình y  có nghiệm dương phân biệt  m  3m      m  1    m       Điều kiện tương đương S   2 m    m  P  8  m    m     m  1  m   7    m   m   ;  Vậy a  , b  a.b  14 4    m    Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  f   x    x  2018  x  2019  x  2020  Hàm số cho có điểm cực trị? A B Câu 2: Câu 3: Hàm số y  x3  x2  3x  đạt cực tiểu điểm A x  1 B x  C x  3 B B x  C M  0;  D y  B Hàm số y  C 2x  có điểm cực trị? x1 B C D D Đồ thị hàm số y  x3  x2  x  có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB ? A M  ;  1 Câu 9: D Cho hàm số f  x  có f   x   x  x  1 x   Số điểm cực trị hàm số cho A Câu 8: C Hàm số y  x3  x2  có điểm cực đại A Câu 7: D Cho hàm số f  x  có f   x   x  x  1 x   Số điểm cực trị hàm số cho A x  Câu 6: D x  C B A Câu 5: D Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x    x  1  x    x   , x   Số cực trị hàm số cho A Câu 4: C B Q  1;10  C P  1;  D N  1;  10  Số sau điểm cực đại hàm số y  x  x3  x  A B C D Câu 10: Cho y  f  x  có đạo hàm f '  x   ( x  2)( x  3)2 Khi số cực trị hàm số y  f  x  1 A B C D Câu 11: Cho hàm số y  x  x  Xét mệnh đề sau 1) Hàm số có điểm cực trị; 2) Hàm số đồng biến khoảng  1;  ;  1;   3) Hàm số có điểm cực trị; 4) Hàm số nghịch biến khoảng   ; 1 ;  0;1 Có mệnh đề bốn mệnh đề trên? A B C D 2019 2019  C2019 x  C 2019 x   C2019 x Câu 12: Hàm số f  x   C 2019 có điểm cực trị? A B 2018 D 2019 C Câu 13: Cho hàm số y  x  x  Tọa độ điểm cực tiểu đồ thị hàm số A  2;  B  1;  C  0;1 D 1;  2 10 10 Câu 14: Cho hàm số f ( x)   C10 x  C10 x   C10 x Số điểm cực trị hàm số cho A 10 B C D   Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1 x   3x  , x   Số điểm cực trị hàm số cho A C B   D  Câu 16: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x  3x , x   Gọi T giá trị cực đại hàm số cho Chọn khẳng định A T  f   B T  f   C T  f  3     D T  f   Câu 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x  3x , x   Gọi T giá trị cực đại hàm số cho Chọn khẳng định A T  f   B T  f   C T  f  3  D T  f   Câu 18: Gọi A , B , C điểm cực trị đồ thị hàm số y  x4  x  Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC A 1 B C  D Câu 19: Cho hàm số y  x4  x  có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác, gọi ABC Tính diện tích ABC A S  B S  C S  D S  Câu 20: Cho hàm số y  x   m  1 x   m   x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D Vô số Câu 21: Cho hàm số y  f ( x ) có ba điểm cực trị 2;  1; có đạo hàm liên tục  Khi hàm số y  f ( x2  x) có điểm cực trị? A B C D Câu 22: Cho hàm số f ( x)  x2 ( x  1)e x có nguyên hàm hàm số F( x) Số điểm cực trị hàm số F( x) A B Câu 23: Số điểm cực trị hàm số y  sin x  A B C D x , x    ;   C D Câu 24: Biết phương trình ax  bx  cx  d   a   có hai nghiệm thực Hỏi đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d có điểm cực trị? B A Câu 25: Số điểm cực trị hàm số f  x   D C x2 2t dt  1 t 2x A B C D Câu 26: Cho hàm số f ( x)  ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y  f ( 2 x2  x) A B C D Câu 27: Biết đồ thị hàm số y  x  x  có ba điểm cực trị thuộc đường tròn  C  Bán x kính C  gần với giá trị đây? A 12,4 B 6,4 C 4,4   D 27 Câu 28: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x     x  x   x , x   Hỏi hàm số y  f   x   x  có điểm cực tiểu 2 A B C D ax  b có đồ thị hình vẽ Chọn mệnh đề mệnh đề sau: cx  d A Hàm số y  ax  bx  cx  d có hai điểm cực trị trái dấu Câu 29: Cho hàm số y  B Đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d cắt trục tung điểm có tung độ dương C Đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung D Tâm đối xứng đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d nằm bên trái trục tung Câu 30: Cho hàm số f  x   ax  bx  c với a  , c  2018 a  b  c  2018 Số điểm cực trị hàm số y  f  x   2018 B A Câu 31: Hàm số f  x   A C D x  m có nhiều điểm cực trị? x 1 B C  D  Câu 32: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x   x   với x   Hàm số g  x   f   x  có điểm cực đại? A B C D Câu 33: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  bảng xét dấu đạo hàm Hàm số y  f (  x  x  6)  x6  3x  12 x có tất điểm cực tiểu? A B C D Câu 1: Chọn A Tập xác định: D    x  2018  Ta có: f   x     x  2019  x  2020 Bảng xét dấu f   x  : Dựa vào bảng xét dấu f   x  ta thấy f   x  đổi dấu qua hai điểm x  2018; x  2019 nên hàm số cho có hai điểm cực trị Câu 2: Chọn B Ta có hàm số y  x  x  3x  có tập xác định D    x1 y  x  x  ; y    ; y  x  ; y  3   4  ; y 1    x  3 Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x  Câu 3: Chọn B Ta có f '  x  đổi dấu qua giá trị x  x  Câu 4: 3 nên hàm số có cực trị Chọn B  x0  Xét phương trình f   x     x   x  2 Ta có bảng xét dấu sau: Dễ thấy f   x  đổi dấu qua x  2 f   x  đổi dấu qua x  nên hàm số có điểm cực trị Câu 5: Chọn B x  Ta có y  x  x , y  12 x  ; y    x   y    2   x  điểm cực đại hàm số y  x3  x2  Chú ý: phân biệt điểm cực đại hàm số xcđ , điểm cực đại đồ thị hàm số  xcđ ; ycđ  Câu 6: Chọn A x   Ta có f   x     x   x  2 Nhận thấy  x    x  2  f   x  không đổi dấu qua nghiệm x  2 nên x  2 điểm cực trị hàm số Ngoài f '  x  dấu với tam thức bậc hai x  x  1  x  x nên suy x  0; x  hai điểm cực trị hàm số Câu 7: Chọn B Tập xác định D  \1 Ta có y  3  x  1  x  D Do y không đổi dấu nên hàm số khơng có cực trị Câu 8: Chọn D Cách 1: Xét hàm số y  f  x   x  x  x  , f   x   x  x  1 1 Ta có f  x    x   f   x   x  3  Đồ thị hàm số f  x  có hai điểm cực trị A B nên f   x A   f   xB    y A  f  xA   8 xA  Suy   y B  f  xB   8 xB  Do phương trình đường thẳng AB y  8 x  Khi ta có N 1;  10  thuộc đường thẳng AB Cách 2: Xét hàm số y  f  x   x  x  x  , x3 f   x   3x2  x  f   x    3x2  x      x  1 Suy tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số A  ;  26  B  1;    Ta có AB  4; 32  phương với u  1;8   Phương trình đường thẳng AB qua B  1;  nhận u  1;8  làm vecto phương  x  1  t t      y   8t Khi ta có N 1;  10  thuộc đường thẳng AB Câu 9: Chọn A Tập xác định : D    x   2 Ta có y  x  x  x ; y   x x  x     x   x   Bảng biến thiên :   Từ bảng biến thiên ta có điểm cực đại hàm số cho x  Câu 10: Chọn C y  f   x  1   x    x      x  1 x   2  x y    Nên hàm số có cực trị   x  Câu 11: Chọn D x   y   y '  4x  4x  y '   x   y   x  1  y  Bảng xét dấu: Hàm số có điểm cực trị, đồng biến khoảng  1;  ; 1;   nghịch biến khoảng  ; 1 ;  0;1 Vậy mệnh đề , , Câu 12: Chọn A 2019 2019 Ta có: f  x   C 2019  C 2019 x  C 2019 x   C2019 x  1  x  2019  f '  x   2019.(1  x)2018  f '  x    x  1 Vì x  1 nghiệm bội chẵn nên x  1 điểm cực trị hàm số Câu 13: Chọn D x  Ta có: y '  3x2    x2    ; y ''  x  y ''  1   0; y ''  1  6   x  1 Vậy điểm cực tiểu đồ thị hàm số 1;  Câu 14: Chọn D Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn, ta có: 2 10 10 f ( x)   C10 x  C10 x   C10 x  (1  x)10  f '( x)  10 1  x  Bảng biến thiên Vậy hàm số cho có điểm cực trị x  1 Câu 15: Chọn C x   Ta có: f   x    x  x  1 x       x   x   x  Vậy hàm số cho có điểm cực trị Câu 16: Chọn C   Ta có f   x    x2  x  3x   x  3   x2  x    x      x  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại hàm số T  f  3  Câu 17: Chọn C   Ta có f   x    x2  x  3x   x  3   x2  x    x      x  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại hàm số T  f  3  Câu 18: Chọn C Cách 1: x  Ta có y '  x3  x Khi y     x  1 Suy đồ thị hàm số y  x4  x  có ba điểm cực trị A  ;  , B  1;  C  1;      Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC , ta có BC.IA  AC.IB  AB.IC   43  Mà AB  AC  BC  nên suy I  ;      Phương trình đường thẳng BC y  Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC r  d( I , BC )   Cách 2: Áp dụng cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có: r SABC ( p  a)( p  b)( p  c )   1 p p a  BC  2; b  c  AB  AC  ; p  abc Cách 3: Áp dụng cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có: r  ( p  a)tan Câu 19: A ( 2)3  8.1   900   với cosA  0A ( 2)   Chọn B x  Ta có y  x3  x; y     x  1 Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A  0;1 , B  1;  , C  1;       AB AC  AB   1; 1 ; AC  1; 1    AB  AC  Suy ABC vuông cân A S  AB.AC  Câu 20: Chọn B Xét hàm số y  x   m  1 x   m   x  y  3x   m  1 x   m   Ta có: y   x   m  1 x  m   Hàm số cho khơng có cực trị  Phương trình y  vơ nghiệm có nghiệm kép   2    m  1  1. m     m2  5m     m  Do m số nguyên nên m   1; ; ;  Vậy tập S có phần tử Câu 21: Chọn D Do hàm số y  f ( x) có ba điểm cực trị 2;  1; có đạo hàm liên tục  nên f ( x)  có ba nghiệm x  2; x   1; x  Đặt g  x   f ( x  x )  g  x    x   f ( x  x) Vì f (x) liên tục  nên g( x) liên tục  Do điểm g( x) đổi dấu thuộc tập điểm thỏa mãn 2 x   x    x  x  2   x    x  x  1  x    x  x  Ba nghiệm nghiệm đơn bội lẻ nên hàm số g( x) có ba điểm cực trị Câu 22: Chọn A Hàm số f  x  có TXĐ  , có nguyên hàm hàm số F  x   F '( x)  f ( x ) , x   nên x  F ( x)   f ( x)   x ( x  1)e x    x  Ta có bảng xét dấu F ( x) sau Dựa vào bảng trên, ta thấy hàm số F( x) có điểm cực trị Câu 23: Chọn D Xét hàm số y  f  x   sin x  x với x    ;        x  x1    ;0  1   Ta có f   x   cos x  f   x    cos x     4    x  x2   0;   2  f  x1   sin x1  x1 15 x1 15      0 4 4 f  x2   sin x2  x2 15 x2 15      0 4 4 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị đồ thị hàm số cắt trục hoành x ba điểm phân biệt khác x1 , x2 Suy hàm số y  sin x  , với x    ;   có điểm cực trị Câu 24: Chọn D Phương trình ax3  bx  cx  d  , a  tương giao đồ thị hàm số ax3  bx2  cx  d  , a  trục hồnh Do phương trình ax3  bx2  cx  d  , a  có hai nghiệm thực nên phương trình ax3  bx2  cx  d  viết dạng a  x  x1   x  x2   với x1 , x2 hai nghiệm thực phương trình Khi đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d  a   tiếp xúc trục hồnh điểm có hồnh độ x1 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x2 Đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d  a   ứng với trường hợp a  a  : Đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d  a   tương ứng Vậy đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d Câu 25: Chọn D  a   có tất điểm cực trị Gọi F  t  nguyên hàm hàm số y  Khi đó: f  x   F  t   x x2 2x 2t  t2      F x  F  x   f   x   x.F  x2  F   x  x  x3  x x2 4x   f x      x4  4x2  x4  4x2     f   x    8x5  4x3  8x    x x4  x2     x  x    1  17  1  17   x    x  x1      1  17  x  1  17   x  x2     Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số có điểm cực trị Câu 26: Chọn D Quan sát đồ thị f ( x) , ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x  2; x  f '( x)  3ax  2bx  c có hai nghiệm x  2; x  nên f '( x)  3a( x  2) x Ta có: y '   f ( 2 x  x) '  ( 4 x  4) f '( 2 x  x)  ( 4 x  4)( 2 x2  x)  3a( 4 x  4)( 2 x  x)( 2 x  x  2)  y '  48 ax( x  2)( x  1)( x  x  1) x   x   y '   x  dấu y ' đổi x qua nghiệm x     x   Vậy hàm số cho có điểm cực trị Câu 27: Chọn B TXĐ: D    ;    ;    y  x   x  3x2   x2 x2  x1  2,8794  y   x  x     x2  0,6527  x  0,5321  3  Tọa độ điểm cực trị: A   2,879 ;  4,84  , B   0,653;  3,277  , C   0,532 ; 3,617  Gọi C  : x  y  ax  2by  c   1 đường tròn qua ba điểm cực trị Thay tọa độ ba điểm A , B , C vào  1 ta hệ phương trình ẩn sau:  5,758 a  9,68 b  c  31,71 a  5, 374   1,306 a  6,554 b  c  11,17  b  1,0833  1,064 a  7,234 b  c  13,37 c  11,25    R  a  b2  c  41,3  6,4 Câu 28: Chọn D Ta có f   x    x  x  3x   y  f   x   x  3x  x  y   x   13 ;   13    13   2 13  ; y  y  6 x  ; y     13     3     Suy hàm số có điểm cực tiểu Câu 29: Chọn A a a  1 c  c     d  d  2  c c   b b Từ đồ thị ta có:    0  3 d d  b b 4  a  a    a.d  b.c  a.d  b.c      A Hàm số y  ax3  bx  cx  d có hai điểm cực trị trái dấu  y '  3ax2  2bx  c có hai nghiệm trái dấu  3a.c   a.c  Đúng với  1 B Đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d cắt trục tung điểm có tung độ dương Sai Suy d  Chưa đủ để kết luận y d  c  c  ví dụ hàm số c x  x2 2 ;y  rõ ràng  0 3 x  3x  5 C Đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung Sai    'y '   'y '     2b b        Trái với  1  3a a c c  3a   a  D Tâm đối xứng đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d nằm bên trái trục tung Sai Hồnh độ tâm đối xứng nghiệm y ''   x   Yêu cầu đề hoành độ tâm đối xứng âm nên  Câu 30: b 3a b b    Trái với   3a a Chọn D Xét hàm số g  x   f  x   2018  ax  bx  c  2018 a  a     b  Ta có c  2018  a.b   hàm số y  g  x  hàm trùng phương có a  b  c  2018 c  2018   điểm cực trị Mà g    c  2018  g    , g  1  a  b  c  2018   g  xCT   g  1   đồ thị hàm số y  g  x  cắt trục hoành điểm phân biệt Đồ thị hàm số y  g  x  có dáng điệu sau Từ đồ thị y  g  x  , ta giữ nguyên phần phía trục Ox , phần trục Ox ta lấy đối xứng qua trục Ox , ta đồ thị hàm số y  g  x  Từ ta nhận thấy đồ thị y  g  x  có điểm cực trị Câu 31: Chọn D Xét hàm số g  x   x  m , TXĐ:  x 1 Ta có g  x    x2 1  x  2 x  ; g  x      x  1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có hàm số y  g  x  ln có hai điểm cực trị Xét phương trình g  x    x  m   mx  x  m  , phương trình có nhiều x 1 hai nghiệm Vậy hàm số f  x  có nhiều bốn điểm cực trị Câu 32: Chọn B Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số f  x  Ta có g  x   f   x   g  x    f    x  Từ bảng biến thiên hàm số f  x  ta có   x  1 x   g  x    f    x     1   x   1  x  Như ta có bảng biến thiên hàm số g  x  Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g  x  có điểm cực đại Câu 33: Chọn D Có y  (12x  24 x) f (  x  x2  6)  12 x  12 x  24 x   12 x( x  2) f (  x  x2  6)  12 x x4  x       12 x( x  2) f (  x  x2  6)  x  x  x    Khi y '    f (  x  x2  6)  ( x  1)    x   x2    f (  x  x  6)  x    Ta có  x4  x2   ( x  2)2   2, x   Do f (  x  x  6)  f   2   0, x   Mà x   1, x   Do phương trình f '(  x4  x  6)  x  vô nghiệm Hàm số y  f (  x4  x2  6)  x6  3x  12 x có bảng xét dấu đạo hàm sau Vậy hàm số y  f (  x  x2  6)  x6  3x  12 x có điểm cực tiểu Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm f '  x  sau   Hàm số g  x   f x  x   x  có điểm cực trị? A Câu 2: C B D 10 Cho hàm số y  f  x  liên tục  biết f  1  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m   2020; 2021 để hàm số sau có tất điểm cực trị g  x   f  x   A Câu 3: f  x  m C B D Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên sau: Hàm số y   f  x     f  x    12 f  x   2021 có điểm cực đại? A B 10 C D Câu 4: Cho hàm số bậc bốn f  x  có bảng biến thiên sau: Số điểm cực tiểu hàm số g  x    f  x  1   2021 A B C D Câu 5: Cho hàm số f x xác định liên tục   \  , thỏa mãn  x  x f  x   xf  x   f '  x  f 1  Hàm số g  x    f  x  1  có điểm cực tiểu? A Câu 6: B D C Cho hàm số bậc năm y  f  x  có đồ thị y  f   x  hình vẽ   Tìm tất giá trị m để số điểm cực trị hàm số g  x   f x  3x  m A  2;   Câu 7:  17  B  ;     9 C  ;  4  Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đạo hàm f   x    x  12    17  D  ;  4  2020 x   x Có  giá trị nguyên m   2020; 2020  để hàm số y  f x  2020 x  2021m có điểm cực trị dương A 4038 Câu 8: B 2021 C 2020 D 2019 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  , g( 2)  Đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y  g  x   f  x     x  1 x    log 2021 A Câu 9: B C Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ D   Có giá trị m nguyên để hàm số y  f f  x   f  x   m có 17 cực trị B A C D Câu 10: Cho f  x  hàm số bậc bốn thỏa mãn f    Hàm số f '  x  có bảng biến thiên sau:   Hàm số g  x   f x  x có điểm cực trị? A B C D Câu 11: Cho f  x  hàm số bậc bốn thỏa mãn f    Hàm số f '  x  có bảng biến thiên sau:   Tìm m nguyên để hàm số g  x   f x3  3m x  m  có nhiều điểm cực trị Thì giá trị m nhỏ thỏa mãn thuộc khoảng đây?  3 A  2;0  B  1;1 C  1;   2 3  D  ;  2  Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ   Hàm số g  x   x  x  có điểm cực đại A B C Câu 13: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  , có đồ thị hình vẽ D     Số điểm cực trị hàm số g  x   f x  3x   x6  12 x4  16 x  18 x  48 x  A B C D Câu 14: Cho hai hàm số bậc bốn y  f  x  y  g  x  có đồ thị hình Số điểm cực trị hàm số h  x   f  x   g  x   f  x  g  x  A B C D Câu 15: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f điểm cực trị Tổng phần tử S A B C  x  1  m có D 10 Câu 16: Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  dx  e ,  a   có đồ thị đạo hàm f '( x ) hình vẽ Biết e  n Số điểm cực trị hàm số y  f   f  x   x  A B 10 C 14 D Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có bẳng biến thiên sau   Số điểm cực đại hàm số g  x    f x  x    A B C D Câu 18: Cho hàm số bậc bốn trùng phương f ( x) có bảng biến thiên sau: Số điểm cực trị hàm số y  A B  f ( x)  1  x C D Câu 19: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên dưới: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h  x   f  x   f  x   m có cực trị B m  C m  Câu 20: Cho hàm số bậc bốn f  x  có bảng biến thiên sau: A m  D m   x  2 g  x   f  x  1  Số điểm cực trị hàm số A C B D Câu 21: Cho hàm số y  f  x  liên tục khoảng  ;   2;   có đồ thị hình vẽ   Số điểm cực trị hàm số g  x   f x   A B C D Câu 22: Cho hàm đa thức bậc bốn y  f  x  , hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ   Số điểm cực tiểu hàm số g  x   f x4  x  A B C D Câu 23: Cho hàm bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y   xf  x  1  A B C D Câu 24: Cho bảng biến thiên hàm số f (2 x  1) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số   f  x  x tương ứng x ∞ + ∞ y ∞ A B -1 ∞ C D   Câu 25: Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ bên Hỏi hàm số f x  x đồng biến khoảng đây? A  2 ;  B  1;  C  ;    D   ;   Câu 26: Cho hàm số f  x  liên tục xác định  Biết hàm số f  x  có điểm cực trị   x  a; x   a Bên cho bảng biến thiên hàm số f x  x  Số điểm cực trị   hàm số f x3  3x  A B C D Câu 27: Cho bảng biến thiên hàm số f ( x) hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g( x)  x  f ( x )  là: A B C D Câu 28: Cho bảng biến thiên hàm số f  x  hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g  x   x2  f  x    A B 12 D C Câu 29: Cho đồ thị hàm đa thức y  f  x  hình vẽ Hỏi hàm số g  x   f  x  f  x  1 có tất điểm cực trị? A B D C Câu 30: Cho bảng biến thiên hàm đa thức f  x  hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g  x    x    f  x  1  là: A B D C   Câu 31: Cho hàm số y  f  x  liên tục  Biết đồ thị hàm số y  f x  x hình vẽ Hỏi hàm   số y  f x  mx  x  m  m2 có tất điểm cực trị A B C D Câu 32: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Biết đồ thị hàm số f  x  cho hình tập giá trị nguyên tham số m  21; 21 vẽ Gọi S  để hàm số  y  f  x  2021m  2m  có điểm cực trị Số phần tử S là: A B C D Câu 33: Cho đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Hỏi có giá trị thực tham số m cho   hàm số y  f x3  mx  5x  4m có điểm cực trị? A B C D Câu 34: Cho bảng biến thiên hàm số f ( x) hình vẽ bên Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y   f ( x)  m   f ( x) có điểm cực trị? A B C D Câu 35: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục xác định  , có đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên gọi S tập hợp chứa giá trị nguyên tham số m để hàm số     y  f  x   m f  x    2m   f  x   2021 có điểm cực trị Số phần tử tập S là: A 11 B C 10 D Câu 36: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục xác định R, đồ thị hàm số y  f ( x) hình vẽ gọi S tập giá trị nguyên tham số m  20; 20  để hàm số y   f ( x)    m   f ( x)  3m  12 có điểm cực trị Số phần tử tập S là: A 35 B 32 C 33 D 34 Câu 37: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục xác định R, đồ thị hàm số y  f ( x) hình vẽ gọi S tập giá trị nguyên tham số m  20; 20  để hàm số y   f ( x)  m  có điểm cực trị Số phần tử tập S là: A 20 B 22 C 21 D 19 Câu 38: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục xác định R có bảng biến thiên hàm số hình vẽ Hàm số y   f ( x)    f ( x)   2021 có điểm cực tiểu? A B C D Câu 39: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị y  f   x  hình vẽ Biết f  10   30 f  6   30 f    30 Hỏi hàm số y  f  f  x   3x   có tất điểm cực trị? B A C D Câu 40: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên sau Hỏi hàm số   y  f x  3x  có điểm cực trị? B A C D Câu 41: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ  Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để hàm số f x 3 x m  có điểm cực trị Số phần tử tập S là: A B C D 10 Câu 42: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục xác định toàn  Biết biểu thức đạo hàm  m  m  f   x    x  5x    x  x    Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m      để hàm số f x có điểm cực trị Số phần tử tập S A 31 B 35 C 33 D 37 Câu 43: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ Hỏi có tất giá tị nguyên tham số m để hàm số g  x   f  x   mf  x   11  m có điểm cực trị? A B C Câu 44: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Đặt f  x   x2  x  g  t  dt Số điểm cực trị 2018 hàm số f  x  tương ứng là: A D C B D Câu 45: Cho hàm số f  x   x  3x  Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  60; 60    để phương trình f x  mx  có điểm cực trị? B A C D Câu 46: Cho hàm số f  x   x  3mx2   m  1 x  m Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  2022; 2022  để hàm số f  x  có điểm cực trị nằm phía bên phải trục tung Oy ? A 2019 B 2020 C 2021 D 2022 Câu 47: Cho hàm số y  f   x  hình vẽ Biết tất giá trị thực tham số m để hàm     số f x2  m x có điểm cực trị  a; b  Giá trị biểu thức P  a2  b là: A B 10 C 15 D 20 Câu 48: Cho hàm số y  f  x  hình vẽ Hỏi có tất giá trị thực tham số m để hàm   số f x3  mx  x  m có điểm cực trị? A B C D Câu 49: Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên hình vẽ đây:   Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f x  x   m có 10 điểm cực trị? A B C D Câu 50: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị hình vẽ đây:   Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x   f f  x   f  x   m có 51 điểm cực trị? A B C D Câu 51: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị hình vẽ đây:   Số điểm cực trị hàm số g  x   x  f x   A B C D l Câu 52: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có bảng biến thiên sau:   Số điểm cực đại hàm số g  x   f x  x   x  là: A B C D Câu 1: Chọn B  x 1  Ta có: g '  x    x    f '  x  x   x    x      x  1   2   x  1    f '  x  x   x     x  1   f '  x  x   x   x  x      Phương trình + x    x   x  Khi: x     x     x   2  x  x   x   1  x   x      Khi: f '  x  x   x      x  x   x     x   x      x 1  x 1 1   x  x   x        x 1  x 1  x     x  Giải phương trình ta  x     1  x   x     2  x  1   g '  x   có lần đổi dấu Vậy hàm số có điểm cực trị Câu 2: Chọn C Số cực trị hàm số g  x   f  x   f  x  m f  x   m cộng với số giao h  x   f  x   f  x   m đường thẳng: y  Xét hàm số: h  x   f  x   f  x   m h  x  f  x  số cực trị hàm số điểm đồ thị hàm số Có: h '  x   f  x  f   x   f  x  f   x   f  x  f   x   f  x   1 x   f  x    x3 Giải phương trình: h '  x     f   x     x    f  x   1  x   ,     Bảng biến thiên Nên để đồ thị hàm số g  x  có điểm cực 1  m 0m   m  Đối chiếu điều kiện suy khơng có giá trị m 2 Ta Câu 3: có h 1  m  Chọn A Hàm số y  g  x    f  x     f  x    12 f  x   2021 liên tục  Ta có y   f  x  f   x   18 f  x  f   x   12 f '  x   f   x   f  x   f  x   2  f ' x   Giải phương trình đạo hàm: y     f  x   f x 2    x  x  Từ 1 , ta có f '  x     x   x   x  a   ;1   x   nghiem kep  Từ   , ta có f  x     x  b  3;     x  c   4;    1  2  3 trị  x  d   a;1   x  e  1;  Từ  3 , ta có f  x     x  nghiem kep     x  u   c;    Lập bảng xét dấu, ta có Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số y  g  x  có điểm cực đại Câu 4: Chọn B Ta có: g   x   f  x  1 f   x  1  x 1  a  a  1  x  1 a  x  0    x 1  b  1  b  0  x  1 b   x  1    x 1  c   c  1  x  1 c 1  x  2  f  x 1    g  x    f  x 1 f  x 1      x 1  d  d  1    x   d  x  2   f   x 1    x 1  1  x      x 1   x    x 1   x     x   1 x  f   x  1       x   1  x  Vậy hàm số y  g  x  có điểm cực tiểu Câu 5: Chọn D Ta có:  x3  x f  x   xf  x   f '  x    f '  x   x  x  xf  x   f  x    x  x  f  x    1 f ' x  x  f  x   x 1 f ' x dx   xdx    x  f  x   1  C  C   Do f 1     f 1 2 2 x2  C x  f  x 2 Khi đó:  x2  4x   f  x    x  f ' x  1 2 x  f  x x 3 x    2  x  x  x     x  1  x     x   x  2 x 3  x 1 Và f '  x    x   x  3  x  x  x   x  x  x     x  a  Suy ra: f  x        x   2  x2   x 1 Khi đó: g '  x   f '  x  1 f  x  1    x      2x 1  a  a 1   x  2   Ta có: f  x 2x 1    x  không xác định x    g  x không xác định  1  4 Mặt khác: g '  1  f '  3  f  3       3 lim   1  x      g  x    , lim   1  x      g  x    , lim  1  x      g  x   , lim   1  x      g  x   , lim g  x   , lim g  x    x  x  Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy g  x  có điểm cực tiểu Câu 6: Chọn C 2 x   Ta có: g  x    2x  3 f  x  3x  m Cho g   x      f   x  x  m   Ta có: 1  x    1  2  x2  3x  m   Và     x  x  m    x  x  m  a, a   m   x2  3x  m    x  3x  m  a   x  3x  Với x  3x  m  g   x   có nghiệm kép Xét hàm số y  x  3x ta có đồ thị phương trình g   x   có nghiệm đơn phân biệt nên g  x  có điểm cực trị m  Do a  , suy m  Câu 7: Chọn D Ta có: y  f  x  2020 x  2021m   y    x  2020  f   x  2020 x  2021m    x  2020   x  2020 x  2021m  12  2020 x  2020 x  2021m  x  2020 x  2021m    x  2020  1  x  2020 x  2021m  12    y     x  2020 x  2021m   3   x  2020 x  2021m     Dễ thấy   ,   ,   nghiệm chung,  x  2020 x  2021m  12  2020  0, x   nên hàm số y  f  x  2020 x  2021m  có điểm cực trị dương hai phương trình  3 ,   có nghiệm trái dấu khác 1010  3  2021m  có nghiệm trái dấu khác 1010   m0 1010  2020.1010  2021m   2021m   có nghiệm trái dấu khác 1010   m 2021 1010  2020.1010  2021m   Vậy m  hàm số có cực trị dương 4 Do m   2020; 2020  nên có 2019 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 8: Chọn C Xét hàm số g  x   f  x     x  1 x  3  log 2021 Ta có g   x   f   x    x  Cho g   x    f   x      x   Đặt t  x  ta f   t   t 1 1 phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y  f   t  đường thẳng d : y  t Dựa vào đồ thị y  f   t  đường thẳng y  t ta có t  1  x   1  x  3 t  x    x  2 f   t   t     t  x    x  1    t  x   x  Bảng biến thiên hàm số g  x  Suy hàm số g  x   f  x     x  1 x  3  log 2021 có điểm cực trị g  x   có nghiệm bội lẻ Vậy hàm số y  g  x   f  x     x  1 x    log 2021 có điểm cực trị Câu 9: Ta thấy hàm số y  f  x đạt cực trị điểm x  2 x   f  x   f  x   m   f  x   f  x   m  f  y  Ta có:  f  x  f  x  m f  x  f  x  m   f   x   f  x   1  f  x   f  x   m    f  x  f  x   m   f  x  f  x   m 1     f  x  f  x  m 0      f   x    x  2; x    f  x    x  a, x  b, x  c y    2  f  x  f  x  m   f  x  f  x  m  f  x  f  x  m   f  x  f  x  m 1  Xét hàm số g  x   f  x   f  x  ; g   x   f   x   f  x   1  f   x    x  2; x  g x    ;  f  x    x  a, x  b, x  c  g  a   g  b   g  c   12  2.1  1   g  2    2.4    g 1  (1)   1  Bảng biến thiên hàm số g  x  Số nghiệm bội lẻ y '  phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị hàm số g  x  với đường thẳng d1 : y  m  1, d2 : y  m, d3 : y  m  Yêu cầu toáng tương đương với trường hợp sau Trường hợp 1: d1 , d , d3 cắt đồ thị hàm số g  x  điểm phân biệt không trùng với điểm x  2;1; a; b; c 3  m   1  m    m  3  m   3  m    m   m  3  m   5  m  10   Trường hợp 2: đường thẳng d1 , d2 cắt đồ thị hàm số g  x  điểm phân biệt d3 không cắt tiếp xúc đồ thị hàm số g  x  điểm có tung độ 1 1  m   3  m    m   1  m   1  m   1  m    m   2 m   1 m    Trường hợp 3: Hai đường thẳng d1 cắt đồ thị hàm số g  x  điểm phân biệt d cắt đồ thị hàm số g  x  hai điểm phân biệt, d3 cắt g  x  điểm phân biệt m   m     3  m   3  m   m   3 1  m   1  m    Từ 1 ,   &  3  có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 10: Chọn D Xét hàm số h  x   f  x3   x có h '  x   x f '  x   Ta có h '  x    f '  x   2  * x2  x3 3x  Ta dễ dàng thấy f ''  x   a ( x  1)( x  2)  f '  x   a    2x  C    13 Từ bảng biến thiên: f '  2   3, f '  1  ta tìm a   , C   , từ f '     2 Với x  , f '  x   nên kéo theo f ' x3  mà  nên phương trình *  khơng có x nghiệm h '  x     2 hàm số đồng biến nên phương trình *  có x2 nhiều nghiệm Ta có h '     h '      nên phương trình *  có nghiệm Với x  , f '  x  hàm sô nghịch biến, cịn x  c  Từ ta có bảng biến thiên h  x  Do ta có h    f (0)  6.0  nên h  c   Từ suy hàm số g  x   h  x  có cực trị Câu 11: Chọn D Xét hàm số h  x   f  x   3m x  m  có h '  x   x f '  x   6m   Nếu m  h  x   f  x  nên g  x   f x3  3m2 x  m  có cực trị Xét với m  Ta có h '  x    f '  x   2 m *  x2  x3 3x  Ta dễ dàng thấy f ''  x   a ( x  1)( x  2)  f '  x   a    2x  C    1 Từ bảng biến thiên: f '  2   1, f '  1  ta tìm a  1, C   , từ f '     3   Với x  , f '  x   nên kéo theo f ' x3  mà 2 m  nên phương trình *  khơng có x2 nghiệm h '  x   Với x  , f '  x  hàm số nghịch biến, 2m hàm số đồng biến nên phương trình *  x2   2m  2m  nhiều nghiệm Ta có lim  f '  x3      lim  f '  x      nên x 0 x  x  x    phương trình * có nghiệm x  c  Từ ta có bảng biến thiên h  x  Dựa vào bảng biến thiên h    f (0)  m   m  nên hàm số g  x   h  x  có nhiều cực trị h  c   Từ ta cần h     m  Vậy m  Câu 12: Chọn A Từ đồ thị y  f   x  , suy bảng biến thiên y  f  x  sau Đặt u  x  x  Ta có bảng ghép trục sau:   Vậy hàm số g  x   f x  x  có ba điểm cực đại Câu 13: Chọn A Ta có: g   x    3x  3 f   x3  3x  3  12 x5  48 x3  48 x  36 x  48  x  x  3     ;  24  x  1  f  x  x  3     x    x  1  g x    x3  3x  3   1  f   x  x  3   2 Từ đồ thị hàm số y  f  x  , ta có: t  1 t 1  t  Đặt t  x  x  Phương trình 1 trở thành: f   t   t  Với t  1 ta có: x  x   1 Phương trình có nghiệm x 1 Với t  ta có: x  x     , x  nghiệm kép  x  2 x  Với t  ta có: x3  x     , x  1 nghiệm kép  x  1 Như g   x   có nghiệm đơn phân biệt nghiệm bội ba Câu 14: Chọn A Ta có: h  x    f  x   g  x    h '  x    f  x   g  x    f   x   g '  x    f  x   g  x   1 h  x      f   x   g '  x     Từ đồ thị ta thấy phương trình 1 có nghiệm phân biệt x  1 ; x  x1  x1   1;3  ; x  , f  x   g  x  đổi dấu qua nghiệm Do nghiệm nghiệm bội lẻ 1 Mà f  x  g  x  đa thức bậc nên bậc phương trình 1 nhỏ Từ suy phương trình 1 phương trình bậc Do phương trình 1 phương trình bậc có nghiệm phân biệt nên phương trình   phải có nghiệm phân biệt khơng trùng nghiệm phương trình 1 Suy h  x   có nghiệm phân biệt h  x  đổi dấu qua nghiệm đấy, nên hàm h  x  có điểm cực trị Câu 15: Chọn A Xét hàm số y  f  x  1     m có đạo hàm y   x  1 f   x  1  m x  x    2 Cho y '    x  1  m  1   x  1  1  m   2  x  1  m   x  1   m Để hàm số có điểm cực trị 1  m    m  1  m   m  1;0;1; 2 Vậy tổng phần tử S Câu 16: Chọn A Ta có y '   f  x   x  ' f ''  f  x   x    f '( x)   f ''  f  x   x   f ' x   y'    f ''  f  x   x   Khi f '  x     f '  x   có nghiệm  f  x   x  m (1) Khi f ''  f  x   x      f  x   x  n (2) Xét phương trình 1 : f  x   x  m  m   , đặt g  x   f  x   x  g '  x   f '  x    x  x1  m Phương trình đạo hàm g '  x    f '  x     x   x  x2  n Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên  phương trình 1 có nghiệm Xét phương trình   : f  x   x  n  n  e  , đặt h  x   f  x   x  h '  x   f '  x    x  x1  m h '  x    f '  x     x   x  x2  n Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên  phương trình có nghiệm Vậy hàm số y  f   f  x   x  có điểm cực trị Câu 17: Chọn C  Ta có g   x    f  x  x     f  2x  x   4x  1 f  2x  x  2  1   8a  a  1 x   x  x  a  a  1    f 2x  x    x    x g   x    4 x     4    x  2 x  x   f   x  x     x  x  2    x  1 Vì a  nên có thứ tự nghiệm g   x   là: 1   a 1 1   8a  x2  1  x3    x4   x5  4 Vậy g   x   có nghiệm đơn suy g   x  đổi dấu x chạy qua nghiệm đơn x1   1 Với    ;     x3 ; x4   Xét g     f   f     Suy g   x   khoảng  2  1   ;  hay khoảng  x3 ; x4  Ta có bảng xét dấu g   x  sau  2   Ta có hàm f  x  liên tục  nên hàm số g  x    f x  x  liên tục  Vậy hàm số g  x    f x  x  có điểm cực đại x  x2  1 x  x4    Câu 18: Chọn C  f '(0)  a   f (0)    4 Giả sử f ( x)  ax  bx  c Từ   b  4 Suy f ( x)  x  x   f '( 1)   c   f ( 1)  Khi y   x  x   24 x ( x  2) Có y '  24.4.x3.( x  2)3.(3x  2)  x Và y '   x  ; x   ; x   Do đó, hàm số y có cực trị Câu 19: Chọn D  f ' x  Xét g  x   f  x   f  x   m  g '  x   f  x  f '  x   f '  x      f  x    2 Ta có: f '  x    có hai nghiệm x  0; x  f  x     có nghiệm x  a  nên hàm số g  x  có ba cực trị Do để đồ thị hàm số h  x   f  x   f  x   m có cực trị phương trình f  x   f  x   m  vô nghiệm     4m   m  Câu 20: Chọn C Từ bảng biến thiên  phương trình f   x   có ba nghiệm x  1 ; x  ; x     f   x  có dạng f   x   kx  x  1 x  1  k x3  x , với k   k   x4 x2   f  x   k    C  , C số     k  16   k    C    Mà đồ thị hàm số f  x  qua 1;3   0;  1     C  16 kC  1   x4 x2   f  x   16      4 x  x   16   f  x  1  4  x  1   x  1   f  x  1  4  x  x  x  x  1   x  x  1   f  x  1  4 x  16 x  16 x   f   x  1  16 x  48 x  32 x  x    f  x  1   x    f  x  1  f   x  1 Ta có: g   x    f  x  1  3  g  x   x   f  x  1   x   f   x  1 4  f  x  1    x  2  f  x  1   x   f   x  1   f  x  1  x    x  Do đó: g   x      f  x  1   x   f   x  1  Phương trình: f  x  1   x   f   x  1    4 x4  16 x3  16 x  3   x    16 x3  48 x2  32 x    16 x  64 x3  64 x  12   16 x  16 x3  64 x2  64 x    16 x  64 x  64 x  12  48 x  48 x3  192 x  192 x   32 x  16 x  256 x  192 x  12   x  x  64 x  48 x   Xét hàm số h  x   x  x3  64 x  48 x   x  x1 Ta có: h  x   32 x  48 x  128 x  12    x  x2 với x1  1   x2    x3  x  x3 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy phương trình h  x   có nghiệm phân biệt Mà h    233  x  khơng nghiệm phương trình h  x    Phương trình g   x   có nghiệm phân biệt  x  2 g  x   f  x  1  Vậy hàm số có điểm cực trị Câu 21: Chọn C g  x   f  2x 1  2  g ' x    x  1 2x 1 f '  2x   2  x    1VN   Ta có: g '  x    f '  x       x    VN   x       x     x  x     2x 1      x   2 x    1 g '  x  không xác định x  g '  x  đổi dấu x  , x  g  x  khơng 2 1 xác định Vậy hàm số có điểm cực trị x  , x  2 Câu 22: Chọn C   Ta có: g  x   f x  x3   g '  x   x3 f '  x   x  x  x f '  x   3  x2  Xét g '  x      f '  x4    2x *  x    x   f '  x4      4  x  x  f   *   x0  x       x   f '  x4     x4 x   f  x   a  x   c 4  x a  x c  x d   x   d x    x4  b  x4  e x  b  x  e  Bảng biến thiên: Vậy hàm số g  x  có điểm cực tiểu Câu 23: Chọn B Đặt: f  x   ax3  bx  cx  d  f   x   3ax  2bx  c Ta có: đồ thị giao với trục Oy điểm  0;1  d  Đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị  1;3 ; 1;  1 nên 3a  2b  c  b  3a  2b  c       a   f  x   x  3x  a  b  c   1  c  3  a  b  c    f  x  1   x  1   x  1   x3  3x   f   x  1  3x  x Có g  x    xf  x  1   g   x   xf  x  1  f  x  1  xf   x  1   g   x   x  x  x  3 x3  x  3 x   x  2,532  x   x  1,347   Suy g   x     x  3x     x  0,879 4 x3  x    x  2, 076    x  0, 694  x  0,52  Phương trình g   x  phương trình bậc có nghiệm phân biệt nên hàm số g  x  có điểm cực trị Câu 24: Chọn A Ta có x  x     x    0; 2   y  f  x  x  y  x2 4x  x  f   x  x2  x   y     f   4x  x       x  x2  f   x  x  f  2  1     Ta có  x  x     x    0; 2 nên  x  x2     ;   2   x  x2   x  x2 f  2  1     x  x2  2   Phương trình có nghiệm Vậy y có nghiệm, qua nghiệm y đổi dấu, hàm số có cực trị Câu 25: Chọn B Trước hết ta khôi phục bảng biến thiên hàm số f  x  từ bảng biến thiên hàm f  v  t    f   2t  sau: Ta vẽ lại bảng biến thiên hàm số f  x  cho dễ nhìn sau: Xét hàm số f  x  x   f  u  ; u  x  x Ta có bảng biến thiên ghép  x ; u ; f  u   từ kỹ ghép trục sau:       Suy hàm số đồng biến  ;1  , 1;1  ,  ;     Mà 1;   1;1  Nên hàm số đồng biến 1; 2 Câu 26: Chọn B Chọn hàm số f ( x)   x  x  12 x  liên tục xác định  x   a Khi f '( x)    x  x  12    x    a  hàm số f ( x) có điểm cực trị x  a; x   a   Ta có f x  x    2 x  x   x  x   12 x  x            f x  x      x   f  x2  x         x  x  2x        x  x     x    x0  f x  x     x2  x    x    x0      Bảng biến thiên hàm số f x  x  thỏa đề  Mặt khác:  f x  x     x  x f  x  x           x   3x  x    3x2  6x   x    x  x   (4 nghiệm đơn)    x  3,103  f  x  3x    x  3x      x  3,425     Vậy hàm số f x  x  có điểm cực trị Câu 27: Chọn D Ta có : x0   x  a, (a  2) x f ( x)    , x  nghiệm bội chẵn, x  a, x  b nghiệm  x  b,  2  b    x4  bội lẻ, x  nghiệm bội chẵn Suy g ( x )  x  f ( x)  có bốn nghiệm bội chẵn suy ĐTHS g ( x) tiếp xúc với trục Ox bốn điểm Mặt khác hàm số g ( x) có đạo hàm  lim g ( x)   nên ta phác x  họa đồ thị hàm số g ( x) sau : Vậy hàm số có cực trị Câu 28: Chọn D  x2  x  Ta có: g  x         f  x      f  x  2  x  x     x   a  2  x  a   4   x   b, b   2;0    x  b    4; 2     x   c, c   0;2   x  c    2;0    x   d  x  d   Suy đồ thị hàm số y  g  x  cắt trục hoành điểm phân biệt, nghiệm nghiệm kép Ta suy hình dáng đồ thị y  g  x  sau Dựa vào đồ thị ta suy hàm số có điểm cực trị Câu 29: Chọn A Ta có: f g  x    f  x  f  x  1     f  x  3  x  3 x  x    x  x   x     x  1   x   3  x  2 2x   x    2x   x  Suy đồ thị hàm số y  g  x  cắt trục hoành điểm, nghiệm 3;3; 2;0 nghiệm đơn x  nghiệm kép Ta có hình dáng đồ thị y  g  x  sau Suy hàm số có điểm cực trị Câu 30: Chọn D  g  x   0, x   Nhận xét  g  x   0, x  ,  g  x   , lim g  x     xlim  x  x    x   a  a  2   x    x     x   b  2  b  1  Cho g  x      f x      f  x  1       x 1    x   c c  2 x   x   a  1   x   b   1;2   x  1 c  Do g  x   có nghiệm phân biệt có ba nghiệm bội chẵn nghiệm bội lẻ Hay đồ thị g  x  có điểm tiếp xúc với trục hoành điểm giao điểm với trục hồnh mà hàm số đổi dấu Vậy hàm số g  x  có cực trị Câu 31: Chọn C  Ta có y  f x  m  x  m         Ta biết số điểm cực trị hàm g  x  g  x  m  Hàm số g  x  có điểm cực trị dương nên hàm g  x  có điểm cực trị Suy hàm g  x  m  có tất điểm cực trị   Đặt g  x   f x  x Suy g x  f x2  x Suy g x  m  f x  m  x  m  Câu 32: Chọn B Hàm số y  f   x  2021m  2m  1 có số điểm cực trị với hàm số y  f   x  m  1 Sơ đồ biến đổi đồ thị:     f ( x)  f (  x)  f   x  m  1  f   x  m  1  f  x  2m  Các điểm cực trị hàm số f  x  là: ( x1  a  1 ); ( x2  1 );  x3  3  ;  x4  b  3  Suy điểm cực trị hàm số f    x  2m  1   f   x  2m  1 x   a  m   ;  x   m   ;  x  3  m  1 ;  x   b  m   Để hàm số y    x  2m  1 có điểm cực trị hàm số y  f   x  m  1 có giá trị m Câu 33: Chọn B  x  2 Ta có: f   x     x        y  f x  mx  x  m  y  x  mx  f  x  mx  x  4m   x  mx    x  mx       x  mx  5x  4m  2  f  x  mx  x  m   x  mx  5x  4m    x  mx    1    x    x   m   x  m  1      x    x   m   x  2m  1           m2  15   Có   m2  m     m2  m    Nên (1) ln có nghiệm phân biệt, (2) ln có nghiệm phân biệt, (3) ln có nghiệm phân biệt   Để hàm số y  f x  mx2  5x  4m có điểm cực trị (1) có nghiệm trùng với nghiệm (2) (3) (thử lại thỏa mãn) 7 Trường hợp 2: Phương trình (1) nhận x  nghiệm  m  (thử lại thỏa mãn) Trường hợp 1: Phương trình (1) nhận x  2 nghiệm  m  Vậy có giá trị m   thỏa mãn yêu cầu đề Câu 34: Chọn A Ta có: y   f ( x)  m    f ( x )  m   3m   f ( x)  m      y '   f ( x)  m   f '( x)  y '      f '( x)   f ( x)  m  1(1)   f ( x)  m         f ( x)  m  1(2)  f '( x)   f '( x)  0(3)   y   f ( x )  m   f ( x) Nhận xét: số điểm cực trị hàm số tổng số nghiệm bội lẻ ba phương trình (1);(2);(3) Dựa vào bảng biến thiên, suy phương trình (3) có nghiệm phân biệt y   f ( x)  m   f ( x) có điểm cực trị phương trình (1) (2) có nghiệm Vậy để hàm số phân biệt bội lẻ Căn vào bảng biến thiên, có trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình (1) có nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm phân biệt m   m  mZ     m     m   2  m   1  m  Khi m    m  phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm bội chẵn nên m  (thỏa mãn) Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm phân biệt  2  m   3  m  mZ    3  m  1    m  2   m      m     Khi m   2  m  1 phương trình (2) có nghiệm phân biệt, có nghiệm bội chẵn nên m  1 (thỏa mãn) Vậy m  2; 1;1; 2 Câu 35: Chọn D Ta có: y  f   x   f  x    m f   x  f  x    m   f   x     f   x   f  x   2mf  x    m       f  x    Cho y     f  x   mf  x    2m       Dựa vào đồ thị  f   x   có nghiệm đơn phân biệt   Để hàm số có cực trị  f  x   2mf  x    m    vơ nghiệm có nghiệm kép Đặt t  f  x   3t  mt   m    Phương trình vơ nghiệm:     m2   2m     m2  6m    3   m  3  Vậy có giá trị tham số m thỏa yêu cầu tốn Câu 36: Chọn C Ta có y  f ( x) f ( x)   m   f ( x)  f ( x)  f ( x)  m    f ( x)  () y     f ( x)  m  Dựa vào đồ thị () có nghiệm  m   3  m  5  Do để hàm số có điểm cực trị   Vậy có 33 giá trị m m   m  Câu 37: Chọn B Ta có: y   f ( x)  m  f ( x)  f ( x)   m   f ( x)   m x  2 y     x   f ( x)    x  Hàm số có điểm cực trị   m  2 m   Vậy có 22 giá trị m    m   5  m  2 Câu 38: Chọn B Ta có: y  f ( x) f ( x)  12 f ( x) f ( x)  f ( x) f ( x)  f ( x)    x  a  a  2    x  b  2  b    x  c   c  3  f ( x)    y    f ( x)    x  d  d    x  2  f ( x)  4  x  x    x  2 Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu y  hàm số có điểm cực tiểu Câu 39: Chọn A Xét hàm số y  g  x   f  f  x   x    g   x    f   x   3 f   f  x   x    f   x   (co mot nghiem boi le) Giải phương trình đạo hàm: g   x      f   f  x   3x    Để xét phương trình f   f  x   3x    ta cần khảo sát hàm số h  x   f  x   x  Ta có: h  x   f   x     f   x    x  c; x  a Bảng biến thiên:  h  x   f  x   x   5  nghiemboi le  Xét f   f  x   x      h  x   f  x   x   b   0;5   nghiem boi le  h x  f x  x    nghiem boi le      Như phương trình đạo hàm g   x   có nghiệm bội lẻ ứng với điểm cực trị Câu 40: Chọn A Đặt u  x  x   u   x  x Sử dụng phương pháp ghép trục sau: Như hàm số có tất điểm cực trị Câu 41: Chọn B  Xét hàm số g  x   f x 3 x      m  g   x    x  1 x 3 x f  x 3 x   m ln  x    x  1  co nghiem boi le Cho g   x      f  x 3 x   m      Để thoả mãn u cầu tốn phương trình f  x 3 x    m  phải có nghiệm bội lẻ  x 3 x  m  2  x 3 x     m   3 Ta có: f  x 3 x   m    x 3 x   m    x 3 x     m  x3  x   x3  x  m 4 m     Xét biến thiên ba hàm số x 3 x   , x độ 3 x   , x 3 x   hệ trục toạ  Để phương trình f  x 3 x    m  phải có nghiệm bội lẻ 12  m  15  15  m  12 m   m  14; 13; 12; 3; 2; 1    m    3  m    Vậy có giá trị nguyên tham số m thoả mãn Câu 42: Chọn C Hàm số liên tục xác định tồn  có đạo hàm khơng triệt tiêu lân cận chứa điểm x  nên hàm số f  x  đạt cực trị điểm x  Để hàm số f  x  có điểm cực trị hàm số f  x  phải có hai điểm cực trị dương m  m   Ta có: f   x    x  x    x  x        m    x  x  1  m  f  x   x  5x       4  x  x    m  g  x   x2  4x  m     Vẽ hai đồ thị hàm số f  x  , g  x  hệ trục toạ độ sau:  16  m   16  m   32  m  21  31  m  21 m Để có hai điểm cực trị dương     có tất 33  m  17  m  17    m  20  m  20 giá trị nguyên tham số m thoả mãn Câu 43: Chọn C  f   x    co nghiem don : x  3; x  0; x  Có: g   x    f  x   m  f   x      f  x   m  Để hàm số g  x  có điểm cực trị phương trình f  x   m  phải có nghiệm bội lẻ  f  x  m Suy ra:  Xét tương giao hai hàm số f  x   f  x  bảng  f x  m    biến thiên hình vẽ sau đây: Suy  m    m   có giá trị nguyên m thoả mãn Câu 44: Chọn C Ta có: f  x   x2 2 x  2018 g  t  dt  G  t  x2  2x  G  x  x   G  2018 2018 Đạo hàm f   x   G   x  x   x    g  x  x   x  1 Xét phương trình  x   nghiem boi le   x  x  3  vo nghiem    g  x  x   x  1    2  x  x   a   co hai nghiem kep g x  x         x  x   x   2  hai nghiem boi le   Suy phương trình đạo hàm có nghiệm bội lẻ nên hàm số có điểm cực trị Câu 45: Chọn A Xét hàm số g  x   f  x  2mx  1  g   x    x  m  f   x  2mx  1 x  m 1 x  m x  m   Cho g   x       x  2mx     x  2mx  2    f  x  2mx  1   x  2mx   1   x  2mx    3 * Bài toán yêu cầu phương trình  * phải có nghiệm bội lẻ Đã có nghiệm bội lẻ phương trình 1 , nên hai phương trình bậc hai cịn lại phải có phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình cịn lại khơng có nghiệm phân biệt   4m  m  m    m  1 Ta có:   4m   4m       4m     m  Vậy có hai giá trị nguyên m thoả mãn Câu 46: Chọn C Đặt g  x   x  3mx   m  1 x  m Hình vẽ minh hoạ: Đạo hàm g   x   x  mx   2m  1   x  3mx  2m  1   x  1; x  2m  Yêu cầu toán tương đương với đồ thị hàm số y  g  x  có hai điểm cực trị hai điểm cực trị nằm phía bên phải Oy nằm hai phía trục hồnh, đồng thời g    Suy ra: m   m  m   2m      2m     2  m   2  m  m  g g 2m         2   2m    4m  12m  10m      g    m    2  m  m   m    Kết hợp điều kiện   m  2022 Vậy có tất 2021 giá trị thoả mãn m m 2022;2022 Câu 47: Chọn B  x  3   x  Hàm số f   x  đạt cực trị  x  1   x   x    x  5 Vậy ta coi hàm số f  x  đạt cực trị điểm x  5; x  5; x  Ta đặt g  x   f  x  2mx   g  x   f  x  2m x  Nhận thấy hàm số g  x   f  x  mx  xác định điểm x  số khoảng chứa điểm x  , nên hàm số g  x   f  x  m x  đặt cực trị x  Để hàm số g  x   f  x  m x  có điểm cực trị hàm số g  x   f  x  mx  có điểm cực trị dương x  m x  m   x  2mx   x  2mx    Ta có: g   x    x  2m  f   x  2mx     x  2mx   x  2mx     x  2mx    x  2mx  5  1  2  3  4 Dễ thấy phương trình    3 phương trình cho ta nghiệm đơn dương Phương trình   có nghiệm đơn dương có hai nghiệm phân biệt Vì phương trình   khơng thể có hai nghiệm phân biệt dương, tức phải có hai nghiệm phân biệt âm khơng có hai nghiệm phân biệt phương trình 1 có nghiệm dương Suy ra: m      ' 4  m   a      m   m  0;  P   a  b    02    10   b     ' 4  m        2m     Câu 48: Chọn D Xét hàm số g  x   f  x  mx  x  m   g   x    x  2mx   f   x  mx  x  m  Yêu cầu toán xảy phương trình đạo hàm phải có nghiệm bội lẻ:  x  2mx   3 x  2mx    Ta có: g   x        x  mx  x  m  1    f  x  mx  x  m     x  mx  x  m  Phương trình 3x  2mx   ln cho hai nghiệm phân biệt Suy hai phương trình lại phải cho nghiệm bội lẻ:  x  mx  x  m  1  x  1  x   m  1 x  m  1  1    x  1  x   m  1 x  m  1     x  mx  x  m   Nhận thấy hai phương trình 1 ,   cho hai nghiệm phân biệt, nghiệm hai phương trình khơng trùng Để hai phương trình có nghiệm bội lẻ thì: Trường hợp 1: x  nghiệm  x  1  x   m  1 x  m  1  x  1 nghiệm  x  1  x   m  1 x  m  1  Trường hợp 2: x  1 nghiệm  x  1  x   m  1 x  m  1  x  nghiệm  x  1  x   m  1 x  m  1    m    1   m  1  m    m      1   m  1  m   Suy ra:   m  m  1   m  1  m      1  m   m         m     Vậy có hai giá trị thực m thoả mãn Câu 49: Chọn C  x3 x  Ta có: f   x   a  x   x  1  f  x   a    x   b   10  10  4  a  b  a  Đồ thị hàm số qua A  2;  , B 1; 1 nên ta có:    1   a  b b    27 Hàm số ban đầu f  x    10  x x    2x   9  27 u  x  x   m  Đặt   x  2  f x  f x        x    Bảng biến thiên:  2  3  m  m   loai     1  1  m  m   3  m  2  1  m   1  m  Yêu cầu toán xảy khi:      1  m    m  0  m     2  1  m  m  1  loai    1   m   m  Vậy m   0;1  khơng có giá trị m thoả mãn Câu 50: Chọn D u  f  x   f  x   m Đặt   u   x   f   x  f  x   f   x   h  x   f  x   f   x    x  1;5;9 Giải phương trình đạo hàm: u   x      f  x    x  a; b; c; d  Lại có: h  x    x  9;  5;  1;0 Bảng biến thiên: 9  1  m m  5  1  m m    Để hàm số g  x  có 51 điểm cực trị 1   m  m    m  5   m m    9  15  m m  Vậy có giá trị m  thoả mãn yêu cầu toán Câu 51: Chọn B  x2    x   1  x    x   0,5 Ta có: g  x   x  f  x  1      f x       x   0,5   x      x  0;  0,5;  1,5;  Phác họa nhanh đồ thị: Câu 52: Chọn B Xét hàm số y  x  x   x  , tập xác định  2 x  x  neu x  1hoac x  4 x  neu x  1hoac x   y   Ta có: y   neu  x  neu  x  8 8 x  10 Bảng biến thiên: Suy hàm số có điểm cực trị x  Đặt u  x  x   x  Sử dụng phương pháp ghép trục: Suy hàm số y  f  u  có điểm cực đại Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f    x  hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x   A Câu 2: B C D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f  1  x  hình vẽ   Có giá trị nguyên m   2021; 2021 để hàm số y  f  x  x  2020  m có điểm cực trị A Khơng có giá trị B giá trị Câu 3: C giá trị D giá trị Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  Biết hàm số g  x   f   x  có bảng biến thiên bên Hàm số h  x   f  x  1 có điểm cực trị? A Câu 4: B C D Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  Biết hàm số g  x   f   x3  x  có bảng biến thiên bên Hàm số h  x   f  x  x  có điểm cực trị? A Câu 5: B C D Cho hàm đa thức bậc ba y  f   x   có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số g ( x )  f  x  x  có điểm cực trị? A Câu 6: B C D Cho hàm số y  f  x  x  3 có đạo hàm liên tục  (bảng biến hình sau) Hỏi hàm số g ( x )  f  x  x  có điểm cực trị? A Câu 7: B C D Cho hàm đa thức y  f  x  liên tục  , có bảng xét dấu sau: Số điểm cực đại hàm số y  f  x  x  1 A Câu 8: B C D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  hàm số y  f   x  có bảng biến thiên hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  10  A Câu 9: B C D Đồ thị hàm y  f  1  x  hình vẽ đưới Số giá trị nguyên   m   2021; 2021 để số điểm cực trị hàm số g  x   f x  x  3m  nhiều y -1 A 4040 B 2024 O C 4002 x D 2020  Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '   x  hình vẽ Hàm số g  x   f x   có điểm cực tiểu? A B C D Câu 11: Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm R Hàm số g  x   f ' 1  x  hàm số bậc bốn có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f  x  x  có điểm cực trị? A B C D Câu 12: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Có giá trị thực tham số m thuộc khoảng  9;9  thoả mãn 2m  hàm số y  f  4x3 1  m  A có điểm cực trị? B C D Câu 13: Giả sử f  x  đa thức bậc bốn Đồ thị hàm số y  f 1  x  cho hình bên   Hỏi hàm số g  x   f x  có điểm cực tiểu? A B C D   Câu 14: Cho hàm số y  f x  x có bảng biến thiên hình vẽ bên   Biết hàm số f  x  có hai điểm cực trị x  2 x  a Hàm số f x  x  có điểm cực trị? A B C   D  Câu 15: Cho hàm đa thức y   f x  2x  có đồ thị hình vẽ  3 2 y O 1 x    Tổng giá trị nguyên m   10 ;10  để hàm số g x  f x   m có cực trị  B 55 A 52   C 55 D 56  Câu 16: Cho hàm số y  f ' x  x  2x  hàm số bậc có đồ thị đường cong hình vẽ   Biết f (0)  0, f (1)  Hàm số g  x  f x  2x có điểm cực tiểu? B A C D Câu 17: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm  f ' x  có bảng biến thiên sau:   Hàm số g x   f e 2x  2x  có điểm cực trị? A B 11 C D Câu 18: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f    Đồ thị hàm số y  f '  x  cho hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x có điểm cực tiểu? A B C D Câu 19: Cho hàm số y  f  x  , hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Hàm số  5sin x    5sin x  1 g  x  f   có điểm cực trị khoảng  0;2  ?    A B C D Câu 20: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  20; 20 để hàm số g  x   f 1  x   m có điểm cực trị? A 14 B 15 C 16 D 17 Câu 1: Xét hàm số y  f  x  x  3 ta có x  y    x   f   x  x  3     f   x  x  3  Giải f   x  x    , đặt x  x    t từ đồ thị hàm số y  f    t  ta có  x2  2x     x  2x   f   x  x  3    x  x     x  x   1   x  x   3  x2  2x    x  1  x   x  2x     x  2x 1    x  1    x  2x    x     x  x   Phương trình f   x  x    có nghiệm bội đơn phân biệt suy hàm số hàm số y  f  x  x   có điểm cực trị Câu 2: Xét hàm số y  f   x  x  2020  m  ta có h  x    2 x   f    x  x  2020  m  x 1 h  x      f    x  x  2020  m   0, * Giải * , đặt  x  x  2020  m   x , ta có   x  x  2020  m  7  m  x  x  2013   f    x  x  2020  m      x  x  2020  m    m  x  x  2023   x  x  2020  m  11  m  x  x  2031     hàm số y  f  x  x  2020  m có điểm cực trị hàm số y  f   x  x  2020  m  có điểm cực trị dương, từ đồ thị hàm số ta suy 2012  m  2013 , m   2021; 2021 suy m Câu 3: x 1 Ta có g   x    f    x  ; g   x     x  Suy x  1; x  nghiệm phương trình f    x   Do f     0; f     Ta có h  x   xf   x  1 ; x  x  x   h  x       x     x  1  f x       x2 1   x   Bảng xét dấu Vậy hàm số h  x  có điểm cực trị Câu 4: x  Ta có g   x     x  1 f    x  x  ; g   x     x 1 Suy x  0; x  nghiệm phương trình f    x  x   Do f     0; f   2   Ta có h  x    x  1 f   x  x  ;   x  x     x  h  x      2 x  x    x     f   x  x    x  x  2 x    Bảng xét dấu Vậy hàm số h  x  có điểm cực trị Câu 5: Ta có: f   x    a  x  1 x  1 x   (với a  ) Với x  1 f   5  Với x  f     Với x  f   33  x  Suy f ( x)    x    x  33 Ta có: g ( x )   x   f   x  x   x  2  2 x   x 45  g ( x)      x    f   x  x     x   33 Vậy hàm số g ( x ) có điểm cực trị Câu 6:  x  2  x  1  x     x   29 Ta có y    x   f   x  x  3  4 x   x    2  f   x  x  3   f   x  x  3  1 Từ bảng biến thiên ta thấy y   có nghiệm bội lẻ x  5, x  1, x  Như phương trình 1 có nghiệm bội lẻ x  5 x  Thay x  5 vào 1 ta được: f   73   x  73 Thay x  vào 1 ta được: f   51   f ( x)     x  51 Ta có: g ( x )   x  x  f   x  x   x  3 x  x   x  2   x  x  73    x  3,382  x  3x  51    x  5,022 Vậy hàm số g ( x ) có điểm cực trị 3 x  x     f   x  x   Câu 7: Từ bảng xét dấu f   x  1 ta có: f   x  1   x  1 x  x  1 h  x  với h  x   , x    f   x  1   x    x  1 x   1 h  x  Đặt t  x  f   t   t  t  1 t   U  t  với t  x   h  x   U  t   với t thỏa mãn điều kiện t  Vậy f   t    t  t  Mặt khác ta có: g  x   f  x  x  1  g   x    x  1 f   x  x  1   x     x  1   2x     x  1   x  x       x  x 1      x     x  x    1 x   Ta có bảng biên thiên sau: Vì y  g  x   f  x  x  1 g  x   f  x  x  1 đối xưng qua trục tung nên hàm số y  f  x  x  1 có điểm cực đại  x 1  Vậy hàm số g  x   y  f   có tối đa điểm cực trị  x2 Câu 8: y  f  x  x  10   y    x   f   x  x  10  x  y     f   x  x  10   Xét f   x  x  10   Đặt x  x  10   4t t    4t  9 Ta có f    4t     t    4t  5 x  1   x  x  10  9 x  1 Nên f   x  x  10       x  x  10  5 x  1  x  1 2 Vậy hàm số y  f  x  x  10  có điểm cực trị Câu 9:  x  1   x  Từ giả thiết ta có f  1  x     x     x  3  x  1  x  11  t 5 Từ suy f '  t     t  3 t  11    Ta có g  x   f x  x  3m   g '  x    x   f ' x2  x  3m     x  2  2 2   2   4 x  2    x  x  3m    x  x  3m  g ' x      x  x  3m   3 x  x  3m     x  x  3m   11  x  x  3m     y  x  x ta Min x  x  y  2   4 Lập bảng biến thiên hàm số    Vậy hàm số g  x   f x2  x  3m  có nhiều điểm cực trị 3m   4  m  Vì giá trị nguyên m   2021; 2021 nên m  2;3 ; 2021 Vậy có 2020 số Câu 10: Ta có y  f '   x   a  x    x  1 với a  Với x  2 ta có f '    Với x  ta có f ' 1  x  Suy f '  x     x  nghiệm bội hai x     Ta có: g  x   f x   f   x  x  3   x  3   g '  x   x2  f ' x2  2   x  x   g ' x      x  2 x    x   g '  x  không xác định  x    x   3.6 3   Xét g '  3   f '   Ta có f '    f '      3       Nên f '    f '     a        1  a  suy g '  3        Bảng xét dấu: Hàm số có điểm cực tiểu Câu 11: Hàm số g  x  hàm số bậc nên có dạng g  x   a  x   x  1 x  1 x   , a   f ' 1  x   a  x   x  1 Đặt t   x  f '  t   at  t  3   2x   y  f  x  x   y   x   f   x  x   2ax     x  x  x  x  3 x  x     x  2  x  1  y    x    x 1  x  Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y  f  x  x  có điểm cực trị Câu 12: Đặt t   x Khi y  f   x  có điểm cực trị x  0, x  2, x  y  f  t  có điểm cực trị t  5, t  1, t  3 f    0, f 1  , f  3  4 Bảng xét dấu y  f  t  sau:  x2   x2    4x   x 1  3 Xét g  x   f  x  1  m   g   x   24 x f   x  1      4x   x 0    x3   3  x  1  y  g  x  có điểm cực trị Xét phương trình f  x  1  m  Đặt u  4x 1  u  1 m   f  x  1   Số nghiệm f  x  1    m m số nghiệm phương trình f  u   f  t     4 Để y  f 4x 1  m  1 m có điểm cực trị f  t    có nghiệm đơn phân biệt 1 m  m  4 4   Suy   1 Vì m    9;  2m   nên có 26 giá trị   m  17  4   m  2  Câu 13: Đồ thị hàm số y  f 1  x  tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ x  2 x  Suy y  f 1  x   a  x    x  1 a  2 y  f 1  x   a 3  1  x    1  x  2 Do đó, f  x   a   x  x  f   x   2ax   x    x  Ta có bảng xét dấu f   x  : x   x  x    g   x   x f   x       x  x    x  1   x   Bảng biến thiên   Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số g  x   f x  có điểm cực tiểu Câu 14: Đặt t  x  x Ta có phần bảng biến thiên hàm số f  t  sau Ta vẽ lại phần bảng biến thiên hàm số f  x  sau Suy hàm số f  x  có hai điểm cực trị x  2 x  15 x   Xét hàm số g  x   f  x  x    g   x    x   f   x  x      x  x   2  x  x   15  Phương trình x  x   2 vơ nghiệm Phương trình x  x   15 có hai nghiệm phân biệt khác   Vậy hàm số f x  x  có điểm cực trị      2 Câu 15: Ta có:  f x  2x   2x  f  x  2x  a x  x  x  x            x  1 a   a a 2 x  x  x x   x  2x  x  2x 2 a Đặt t  x  2x  f  t  t 3 t x  x 2 Ta có g   f x 2 m    x 2  f  x   m    f  x  2x                Để hàm số g x có 5cực trị x   m   m  m  phải có nghiệm phân biệt     m   3m  m3  x   m      Suy m  10; 9; ; 1 Tổng giá trị m nguyên 55 Vậy hàm số f  x  nghịch biến khoảng  5;9  x 1  Câu 16: Từ đồ thị ta thấy f ' x  x  2x  3   x  ta có f ' x   x  x        4 Xét h x  f x  2x ta có h' x  4x  4x f ' x  2x , x  x  x     h'  x   4x3  4x f ' x4  2x2    x  1  x 1  x  1     f ' x  2x   x  2x  x   (Tất nghiệm bội lẻ)   Ta có bảng biến thiên hàm số h  x  f x  2x sau:   Do hàm số y  f ' x  x  2x  hàm bậc suy y  f ' x hàm bậc có hệ số bậc âm f ' 3  f  3  f (0) , theo giả thiết f (0)  0, f (1)  nên kết hợp với bảng     4 biến thiên hàm số h  x  f x  2x ta suy hàm số g  x  f x  2x có điểm cực tiểu Câu 17: Dựa vào bảng biến thiên f ' x  x  x  ' Ta thấy f x     x  x   a  ; 1  b  1; 0  c  0;1 Đặt h x   e 2x  2x   d  1;  h ' x   2e 2x   h ' x    e 2x   x  x    0, 92 h x    e 2x  2x     x    0, 57 Nên ta có bảng biến thiên sau: Sử dụng  phương pháp  ghép g x   f e 2x  2x   f u   trục, ta có bảng  Vậy hàm số g x   f e 2x  2x  có điểm cực trị Câu 18: Đặt: h  x   f  x   x  h '  x   f '  x    3  biến thiên hàm số sau: Từ đồ thị hàm y  f '  x  ta có bảng biến thiên: Số điểm cực trị dương hàm h  x  Do số điểm cực tiểu g  x  là: 2.2   Câu 19: Đặt t  5sin x  Suy g  t   f  t   t  Ta có g   t   f   t   2t   f   t   t  t  1    t    t  3  Bảng biến thiên: Suy ra: Câu 20: f  x  có hai cực trị x  0, x   f   x   ax  x    f  x   a x  ax  C f    2, f 1  4  a  3, c  2  f  x   x  x   f 1  x  , x   x  x  4, x  f 1  x     f 1  x     f 1  x  , x   x  x  4, x  Ta có đồ thị f 1  x  sau: Đặt h  x   f 1  x   m Ta có g  x   h  x  g  x  có cực trị  phương trình h  x   có nghiệm đơn  m  Vậy có 17 giá trị m thỏa yêu cầu toán Câu 1: Cho hàm số f  x  liên tục  có đồ thị đạo hàm y  f   x  hình vẽ Gọi tập S tập   chứa tất giá trị nguyên m   21; 21 để hàm số f x  2mx  có điểm cực trị Số phần tử S là: B A Câu 2: C D Cho hàm số y  f  x  liên tục xác định R có đồ thị đạo hàm y  f '  x   x  x  1 Số điểm cực trị hàm số y  f  x   1 là: A Câu 3: B C D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục xác định R có biểu thức đạo hàm y  f '  x   x  x   Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f  x  m  m  có ba điểm cực trị B A Câu 4: C D Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  có biểu thức đạo hàm f ' x   x x  m x   m  , với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên   tham số m  30; 30 để hàm số f 3x   có điểm cực trị? A B C D Câu 5: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  có biểu thức đạo hàm   f ' x   x x  2mx  12  m , với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên   tham số m  30; 30 để hàm số f 2x  m  m có điểm cực trị? A 27 B 26 C 25 D 29 Câu 6: Cho đồ thị hàm số y  f ' x  hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên tham số  m  30; 30 để hàm số f x  3m 2x  có 11 điểm cực trị? A 29 Câu 7: C 21 D 22 Cho hàm số y  f  x  hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x   f A Câu 8: B 23  f  x   m  có 11 điểm cực trị? B C D  x   x   m   x  neu  Cho hàm số y  f  x     x  , với a b số thực xác 4 x  m  a x  b neu  x     định hàm số liên tục tồn  Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Câu 9: mx  n neu x  1  Cho hàm số f  x    , với hai tham số thực m n Hỏi có tất  x  nx  m  neu x  1 giá trị nguyên tham số m   30;30 để hàm số f  x  có điểm cực trị? A B 36 C 11 D Câu 10: Cho hàm số f  x  có biểu thức đạo hàm f   x   x  3x  Hỏi có tất giá trị   nguyên tham số m   30;30 để hàm số f x  x   mx có điểm cực trị? A B C D 31 Câu 11: Cho hàm số y  x   x   x   x  Hàm số đạt cực tiểu A x  B x  C x  1 D x  Câu 12: Cho hàm số y  x   x   x   x   x   m x  Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số có cực trị? A B C D Câu 13: Cho hàm số f  x   x   x   x   mx ; với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số có cực trị? A 17 B 15 C 16 D vô số Câu 14: Cho hàm số f  x   x   x   x    x  n với n số nguyên dương khơng lớn 2021 Hỏi có tất giá trị tham số n để hàm số có cực trị? A 1010 B 1011 C 1009 D 2020 Câu 15: Số điểm cực trị hàm số f  x   x2  x   x  là: A B C D Câu 16: Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số m để hàm số y  f  x   x2  2mx   x có điểm cực đại với giá trị cực đại tương ứng nằm khoảng  3;  đồng thời thỏa mãn 10m số nguyên Số phần tử tập S A B D C   Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đạo hàm y  f '  x  hình vẽ Hàm số y  f x  x có số điểm cực trị A C 13 B D 11   Câu 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục  Biết đồ thị hàm số y  f x  x hình vẽ Hỏi hàm   số y  f x  mx  x  m  m2 có tất điểm cực trị A B C D   Câu 19: Cho hàm số y  f  x  liên tục  Biết đồ thị hàm số y  f x2  x cho hình vẽ   Hỏi hàm số y  f x2  x  12 có tất điểm cực trị? A B C D Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định  có đồ thị đạo hàm y  f '( x ) hình vẽ Hỏi hàm số f ( x  x  1) có tất điểm cực trị? A B C D Câu 1: Chọn A Hàm số f  x  có ba điểm cực trị là: x  a  0; x  1; x  b   Xét hàm số f x  2mx    f  u  Ta có bảng biến thiên u  x  mx  sau:  u  a    Do SĐCT u  nên để hàm số f  u  có điểm cực trị SNBL  u  b      m  u      m  Vậy có giá trị tham số m Câu 2: Chọn B Hàm số y  f  x  đạt cực trị điểm x  0; x  Xét hàm số y  f  x   1  f  u  Bảng biến thiên u  x   sau:  u   Ta có SĐCT f  u   SĐCT u  SNBL     1   u   Câu 3: Chọn C Hàm số y  f  x  đạt cực trị điểm x  0; x  Xét hàm số y  f  x  m  m   f  u  Bảng biến thiên u  x  m  m sau: Ta có SĐCT f u   SĐCT u   u      u   SNBL  u    u      SNBL     SNBL   2  u    u   Suy   m  hay 2  m   m  1; 0 Câu 4: Chọn D   Nhận xét: Cho hàm số y  f x  liên tục  y  f ax  b  c ln có cực trị b điểm x   a   f 3x  1 x  , x  điểm cực trị hàm số y  f 3x       f 3x  3 x    3 f ' 3x  1 x  y '    3 f ' 3x  3 x    3 3x  13x   m 3x   m  x   y '    3 3x  33x   m 3x   m  x     Hàm số có điểm cực trị y '  có nghiệm phân biệt khác Khi:   x   m  1  m  1  m  1  m   3 x  y'      1  m   m x  x  m  3  x   m      3   x   m  1  m  1  m   3     Khi x   y '    x  x m  3 x  m      3  Vậy m  1; 5 \ 3 m   nên có giá trị nguyên thỏa yêu cầu Câu 5:   Xét hàm số f 2x  m  m  f u  Bảng biến thiên hàm số u  2x  m  m sau Ta có số điểm cực trị hàm số u điểm Nhận xét, hàm số f x  có điểm cực trị hàm số f u  có điểm cực trị Do đó, xét trường hợp m  m  12   m  3  m  hàm số f x  có điểm cực trị x  0; x  m  m  m  12 Áp dụng công thức: Số điểm cực trị f u   số điểm cực trị u + số nghiệm bội lẻ phương trình u   m   u  m  m  m  12 suy  kết hợp với điều kiện m  3  m  suy  m  12   u  m  m  m  12  m  3 m  30; 30    suy có 26 giá trị nguyên   m  12 m     Câu 6: Hàm số đạt cực trị x  a  1; x  1; x    Xét hàm số f x  3mx  f u  Bảng biến thiên hàm số u  x  3mx  suy có phương trình u  x  3mx  cho ta nghiệm bội lẻ Nếu m  suy số điểm cực trị u 1, suy số nghiệm bội lẻ phương trình u  tối đa nghiệm bội lẻ Không thỏa yêu cầu Khi m  số điểm cực trị u 5, ta có bảng biến thiên hàm số u  x  3mx Áp dụng công thức: Số điểm cực trị hàm số f u  = Số nghiệm bội lẻ phương trình u  + số điểm cực trị u    m   m  Suy  suy có 29 giá trị nguyên thỏa yêu  m  kết hợp     m  30; 30 2m m        cầu Câu 7: Chọn C x  Ta có f   x      x  3  f  x  m   Ta lại có: g   x   f f ( x)  m f   x f  f  x  m f  x  m    f  x   x  3   1  f  x  m   f  x  m  g  x    f  x  m   2  f  x  m    f x  m   ptvn    f  x   m   3    Để hàm số g  x   f  f  x   m  có 11 điểm cực trị phương trình 1 ;   ;  3 phương trình phải có nghiệm phân biệt 2  m  2  m     2  m    5  m    m  2  m   1  m    Vì m nguyên nên m  Câu 8: Chọn D Tập xác định hàm số cho D   Khi đó: +) lim f  x   f 1  2 m  8; lim f  x   f     m  32 x 1 x  3 +) lim f  x   a  b  m  ; lim f  x   a  b  m  36 x 1 Hàm x3 số liên tục   lim f  x   lim f  x   f 1  x 1 x 1   f x  lim f x  f      xlim  3 x  3 2a  b   a  2    a  b  4 b  hàm số phải liên  a  b  m   2 m    a  b  m  36  6 m  32  x   x   m   x  neu  Từ y  f  x    x  4 x  m  x  neu  x     tục x  1; x  Để hàm số có điểm cực trị hồnh độ đỉnh parabol phải thỏa mãn điều kiện: m   m   2  m  m      m     m  10  m    2  m  10 1   Vì m nguyên nên m  3; 4;8;9 Câu 9: neu x  1 m Đạo hàm: f   x    2 x  n neu x  1 Khi đó, ta có bảng biến thiên f  x  sau:  m   Hàm số f  x  phải liên tục xác định x  1 Suy  f  1  m  n  n  m   n   1   m   m  n  m    m   1  m   n m      1  2 Vậy có tất giá trị tự nhiên m thỏa mãn toán  SDCT u   u      Câu 10: Ta có:   SDCT u  SNBL    u     {Không thỏa mãn}  SNBL  u     u         Như vậy, bắt buộc u phải có điểm cực trị Khi phải có: 2  m  42  4.3  (*) Khi đó, ta có bảng biến thiên u  x  x  sau:  u     Suy SDCT u   SNBL   6  u     1 2  m    3m  4  14  m   Từ bảng biến thiên, suy ra:  (**)     m  8m   m  4  14 2  1  m  8m     Kết hợp (*) (**), suy ra: 4  14  m   m  0 m , m 30;30 Vậy có giá trị m nguyên thỏa mãn toán Câu 11: Chọn A Với x  1  y  x   x   x   x    x  x    x  x   5x  Tương tự, ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu x  Câu 12: Chọn C   Với x  1  y   x   x   x   x   x  m2 x   5  m2 x  16 Tương tự, ta có bảng biến thiên: Để hàm số có cực trị phải có đoạn f   x  phải đổi dấu từ âm sang dương: m   m2    m    m  0; 1; 2 Thử lại m  1 f  x  hàm (Loại) Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 13: Chọn B Ta có bảng xét hàm bảng biến thiên ghép làm sau: Để hàm số có cực trị đạo hàm phải đổi dấu lần Mà ta lại có : 9  m  7  m  1  m   m Suy số nhỏ phải âm số lớn phải dương, đồng thời khoảng  1;  ,  ;  đạo hàm phải khác Tức : 9  m  9  m   9  m   m   m    có tất 15 giá trị m nguyên thỏa mãn   m   m   1  m  Câu 14: Chọn B Dạng toán xét số giá trị cụ thể số nguyên dương n rút quy luật giá trị tham số n để hàm số có cực trị sau: Trường hợp 1: Xét n  , ta có y  f  x   x   x  Hàm số khơng có cực trị Trường hợp 2: Xét n  , ta có y  f  x   x   x   x  Hàm số có cực trị Nhận xét thấy n số nguyên dương lẻ hàm số y  x   x   x    x  n có điểm cực trị Khi n số ngun dương chẵn khơng tồn điểm cực trị Suy  n  2021 n lẻ nên có 1011 giá trị n nguyên dương thỏa mãn Câu 15: Chọn B Những hàm trị tuyệt đối cụ thể tối ưu bảng xét hàm sau : x  1 /  x  x1 x1 x1 x1 x2  2x  x2  x  x2  x   x2  x  x2  x  f  x x2  5x  x2  3x   x2  5x  x2  3x  f  x 2x  2x  2 x  2x  f  x      Suy hàm số có điểm cực tiểu x  ; x  điểm cực đại x  Câu 16: Chọn C Xét phương trình x  2mx    *  , có   m2  Nếu   m2   hàm số y  f  x   x  mx   x  x   m   x  khơng có điểm cực đại  m  1 Nếu   m2     phương trình m  * có hai nghiệm phân biệt x1  m  m2  x2  m  m2   x  x1 Với  y  f  x   x  mx   x  x   m   x  khơng có điểm cực đại  x  x2 Với x1  x  x2 y   x  mx   x   x   m   x  Hàm số đạt cực đại x  m  giá trị cực đại yCD  m2  4m  Vậy điều kiện để hàm số có cực đại m  m   m   m  m   x1  x  m   x2    2 3  m  m   0  m  m  m     m2     m     m  m     2   m  2   2   m  4 m2  4m    m  4   m   42 41 Do 10m số nguyên nên có hai giá trị thỏa mãn m   m   10 10 Câu 17: Chọn D Từ đồ thị f '  x  , ta suy hàm số y  f  x  có điểm cực trị     Đặt g  x   f x  x Ta suy y  g x Do số điểm cực trị hàm y số điểm cực trị dương hàm số g  x  cộng thêm x   6 x  x Ta có g '  x     x  f ' x  x2 , cho g '  x    6 x  x  6 x  x  6 x  x   a0 b0  c 0  c  9 d9 Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy phương trình g '  x   có tất nghiệm dương phân biệt   Suy số điểm cực trị g  x  Do số điểm cực trị y  g x 11 Câu 18: Chọn C  Ta có y  f x  m  x  m         Ta biết số điểm cực trị hàm g  x  g  x  m  Hàm số g  x  có điểm cực trị dương nên hàm g  x  có điểm cực trị Suy hàm g  x  m  có tất điểm cực trị   Đặt g  x   f x  x Suy g x  f x2  x Suy g x  m  f x  m  x  m  Câu 19: Chọn D     Ta có y  f x  x  12  f x  x   x   f  x     x    g  x   Ta thấy hàm số y  g  x  có điểm cực trị x  1, x  2, x  c  Suy hàm số y  g  x   có điểm cực trị x  1, x  4, x  c  (3 điểm cực trị dương)     Vậy hàm số y  g x   f x2  x  12 có điểm cực trị      Lí giải: y  f x  x  g x  , với x       x    x  x  12    2 Câu 20: Chọn B Hàm số f ( x ) đạt cực trị điểm x  a  0; x  b  (0;1); x  c  Xét hàm số f (u )  f ( x  x  1) với u  x  x  Ta có bảng khảo sát hàm số u  x  x  Ta có: ( f (u )) '  u ' f '(u ) nên số điểm cực trị hàm số f (u ) là: số điểm cực trị u cộng u  a với số nghiệm bội lẻ phương trình f '(u )  hay u  b u  c Hàm u khơng có điểm cực trị u  a vô nghiệm; u  b vơ nghiệm; u  c có nghiệm; Vậy: f (u ) có hai điểm cực trị Câu 1: Cho hàm số f  x  liên tục  có đồ thị đạo hàm y  f   x  hình vẽ Gọi tập S tập   chứa tất giá trị nguyên m   21; 21 để hàm số f x  2mx  có điểm cực trị Số phần tử S là: B A Câu 2: C D Cho hàm số y  f  x  liên tục xác định R có đồ thị đạo hàm y  f '  x   x  x  1 Số điểm cực trị hàm số y  f  x   1 là: A Câu 3: B C D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục xác định R có biểu thức đạo hàm y  f '  x   x  x   Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f  x  m  m  có ba điểm cực trị B A Câu 4: C D Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  có biểu thức đạo hàm f ' x   x x  m x   m  , với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên   tham số m  30; 30 để hàm số f 3x   có điểm cực trị? A B C D Câu 5: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  có biểu thức đạo hàm   f ' x   x x  2mx  12  m , với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên   tham số m  30; 30 để hàm số f 2x  m  m có điểm cực trị? A 27 B 26 C 25 D 29 Câu 6: Cho đồ thị hàm số y  f ' x  hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên tham số  m  30; 30 để hàm số f x  3m 2x  có 11 điểm cực trị? A 29 Câu 7: C 21 D 22 Cho hàm số y  f  x  hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x   f A Câu 8: B 23  f  x   m  có 11 điểm cực trị? B C D  x   x   m   x  neu  Cho hàm số y  f  x     x  , với a b số thực xác 4 x  m  a x  b neu  x     định hàm số liên tục tồn  Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Câu 9: mx  n neu x  1  Cho hàm số f  x    , với hai tham số thực m n Hỏi có tất  x  nx  m  neu x  1 giá trị nguyên tham số m   30;30 để hàm số f  x  có điểm cực trị? A B 36 C 11 D Câu 10: Cho hàm số f  x  có biểu thức đạo hàm f   x   x  3x  Hỏi có tất giá trị   nguyên tham số m   30;30 để hàm số f x  x   mx có điểm cực trị? A B C D 31 Câu 11: Cho hàm số y  x   x   x   x  Hàm số đạt cực tiểu A x  B x  C x  1 D x  Câu 12: Cho hàm số y  x   x   x   x   x   m x  Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số có cực trị? A B C D Câu 13: Cho hàm số f  x   x   x   x   mx ; với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số có cực trị? A 17 B 15 C 16 D vô số Câu 14: Cho hàm số f  x   x   x   x    x  n với n số ngun dương khơng lớn 2021 Hỏi có tất giá trị tham số n để hàm số có cực trị? A 1010 B 1011 C 1009 D 2020 Câu 15: Số điểm cực trị hàm số f  x   x2  x   x  là: A B C D Câu 16: Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số m để hàm số y  f  x   x2  2mx   x có điểm cực đại với giá trị cực đại tương ứng nằm khoảng  3;  đồng thời thỏa mãn 10m số nguyên Số phần tử tập S A B D C   Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đạo hàm y  f '  x  hình vẽ Hàm số y  f x  x có số điểm cực trị A C 13 B D 11   Câu 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục  Biết đồ thị hàm số y  f x  x hình vẽ Hỏi hàm   số y  f x  mx  x  m  m2 có tất điểm cực trị A B C D   Câu 19: Cho hàm số y  f  x  liên tục  Biết đồ thị hàm số y  f x2  x cho hình vẽ   Hỏi hàm số y  f x2  x  12 có tất điểm cực trị? A B C D Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định  có đồ thị đạo hàm y  f '( x ) hình vẽ Hỏi hàm số f ( x  x  1) có tất điểm cực trị? A B C D Câu 1: Chọn A Hàm số f  x  có ba điểm cực trị là: x  a  0; x  1; x  b   Xét hàm số f x  2mx    f  u  Ta có bảng biến thiên u  x  mx  sau:  u  a    Do SĐCT u  nên để hàm số f  u  có điểm cực trị SNBL  u  b      m  u      m  Vậy có giá trị tham số m Câu 2: Chọn B Hàm số y  f  x  đạt cực trị điểm x  0; x  Xét hàm số y  f  x   1  f  u  Bảng biến thiên u  x   sau:  u   Ta có SĐCT f  u   SĐCT u  SNBL     1   u   Câu 3: Chọn C Hàm số y  f  x  đạt cực trị điểm x  0; x  Xét hàm số y  f  x  m  m   f  u  Bảng biến thiên u  x  m  m sau: Ta có SĐCT f u   SĐCT u   u      u   SNBL  u    u      SNBL     SNBL   2  u    u   Suy   m  hay 2  m   m  1; 0 Câu 4: Chọn D   Nhận xét: Cho hàm số y  f x  liên tục  y  f ax  b  c ln có cực trị b điểm x   a   f 3x  1 x  , x  điểm cực trị hàm số y  f 3x       f 3x  3 x    3 f ' 3x  1 x  y '    3 f ' 3x  3 x    3 3x  13x   m 3x   m  x   y '    3 3x  33x   m 3x   m  x     Hàm số có điểm cực trị y '  có nghiệm phân biệt khác Khi:   x   m  1  m  1  m  1  m   3 x  y'      1  m   m x  x  m  3  x   m      3   x   m  1  m  1  m   3     Khi x   y '    x  x m  3 x  m      3  Vậy m  1; 5 \ 3 m   nên có giá trị nguyên thỏa yêu cầu Câu 5:   Xét hàm số f 2x  m  m  f u  Bảng biến thiên hàm số u  2x  m  m sau Ta có số điểm cực trị hàm số u điểm Nhận xét, hàm số f x  có điểm cực trị hàm số f u  có điểm cực trị Do đó, xét trường hợp m  m  12   m  3  m  hàm số f x  có điểm cực trị x  0; x  m  m  m  12 Áp dụng công thức: Số điểm cực trị f u   số điểm cực trị u + số nghiệm bội lẻ phương trình u   m   u  m  m  m  12 suy  kết hợp với điều kiện m  3  m  suy  m  12   u  m  m  m  12  m  3 m  30; 30    suy có 26 giá trị nguyên   m  12 m     Câu 6: Hàm số đạt cực trị x  a  1; x  1; x    Xét hàm số f x  3mx  f u  Bảng biến thiên hàm số u  x  3mx  suy có phương trình u  x  3mx  cho ta nghiệm bội lẻ Nếu m  suy số điểm cực trị u 1, suy số nghiệm bội lẻ phương trình u  tối đa nghiệm bội lẻ Không thỏa yêu cầu Khi m  số điểm cực trị u 5, ta có bảng biến thiên hàm số u  x  3mx Áp dụng công thức: Số điểm cực trị hàm số f u  = Số nghiệm bội lẻ phương trình u  + số điểm cực trị u    m   m  Suy  suy có 29 giá trị nguyên thỏa yêu  m  kết hợp     m  30; 30 2m m        cầu Câu 7: Chọn C x  Ta có f   x      x  3  f  x  m   Ta lại có: g   x   f f ( x)  m f   x f  f  x  m f  x  m    f  x   x  3   1  f  x  m   f  x  m  g  x    f  x  m   2  f  x  m    f x  m   ptvn    f  x   m   3    Để hàm số g  x   f  f  x   m  có 11 điểm cực trị phương trình 1 ;   ;  3 phương trình phải có nghiệm phân biệt 2  m  2  m     2  m    5  m    m  2  m   1  m    Vì m nguyên nên m  Câu 8: Chọn D Tập xác định hàm số cho D   Khi đó: +) lim f  x   f 1  2 m  8; lim f  x   f     m  32 x 1 x  3 +) lim f  x   a  b  m  ; lim f  x   a  b  m  36 x 1 Hàm x3 số liên tục   lim f  x   lim f  x   f 1  x 1 x 1   f x  lim f x  f      xlim  3 x  3 2a  b   a  2    a  b  4 b  hàm số phải liên  a  b  m   2 m    a  b  m  36  6 m  32  x   x   m   x  neu  Từ y  f  x    x  4 x  m  x  neu  x     tục x  1; x  Để hàm số có điểm cực trị hồnh độ đỉnh parabol phải thỏa mãn điều kiện: m   m   2  m  m      m     m  10  m    2  m  10 1   Vì m nguyên nên m  3; 4;8;9 Câu 9: neu x  1 m Đạo hàm: f   x    2 x  n neu x  1 Khi đó, ta có bảng biến thiên f  x  sau:  m   Hàm số f  x  phải liên tục xác định x  1 Suy  f  1  m  n  n  m   n   1   m   m  n  m    m   1  m   n m      1  2 Vậy có tất giá trị tự nhiên m thỏa mãn toán  SDCT u   u      Câu 10: Ta có:   SDCT u  SNBL    u     {Không thỏa mãn}  SNBL  u     u         Như vậy, bắt buộc u phải có điểm cực trị Khi phải có: 2  m  42  4.3  (*) Khi đó, ta có bảng biến thiên u  x  x  sau:  u     Suy SDCT u   SNBL   6  u     1 2  m    3m  4  14  m   Từ bảng biến thiên, suy ra:  (**)     m  8m   m  4  14 2  1  m  8m     Kết hợp (*) (**), suy ra: 4  14  m   m  0 m , m 30;30 Vậy có giá trị m nguyên thỏa mãn toán Câu 11: Chọn A Với x  1  y  x   x   x   x    x  x    x  x   5x  Tương tự, ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu x  Câu 12: Chọn C   Với x  1  y   x   x   x   x   x  m2 x   5  m2 x  16 Tương tự, ta có bảng biến thiên: Để hàm số có cực trị phải có đoạn f   x  phải đổi dấu từ âm sang dương: m   m2    m    m  0; 1; 2 Thử lại m  1 f  x  hàm (Loại) Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 13: Chọn B Ta có bảng xét hàm bảng biến thiên ghép làm sau: Để hàm số có cực trị đạo hàm phải đổi dấu lần Mà ta lại có : 9  m  7  m  1  m   m Suy số nhỏ phải âm số lớn phải dương, đồng thời khoảng  1;  ,  ;  đạo hàm phải khác Tức : 9  m  9  m   9  m   m   m    có tất 15 giá trị m nguyên thỏa mãn   m   m   1  m  Câu 14: Chọn B Dạng toán xét số giá trị cụ thể số nguyên dương n rút quy luật giá trị tham số n để hàm số có cực trị sau: Trường hợp 1: Xét n  , ta có y  f  x   x   x  Hàm số khơng có cực trị Trường hợp 2: Xét n  , ta có y  f  x   x   x   x  Hàm số có cực trị Nhận xét thấy n số nguyên dương lẻ hàm số y  x   x   x    x  n có điểm cực trị Khi n số ngun dương chẵn khơng tồn điểm cực trị Suy  n  2021 n lẻ nên có 1011 giá trị n nguyên dương thỏa mãn Câu 15: Chọn B Những hàm trị tuyệt đối cụ thể tối ưu bảng xét hàm sau : x  1 /  x  x1 x1 x1 x1 x2  2x  x2  x  x2  x   x2  x  x2  x  f  x x2  5x  x2  3x   x2  5x  x2  3x  f  x 2x  2x  2 x  2x  f  x      Suy hàm số có điểm cực tiểu x  ; x  điểm cực đại x  Câu 16: Chọn C Xét phương trình x  2mx    *  , có   m2  Nếu   m2   hàm số y  f  x   x  mx   x  x   m   x  khơng có điểm cực đại  m  1 Nếu   m2     phương trình m  * có hai nghiệm phân biệt x1  m  m2  x2  m  m2   x  x1 Với  y  f  x   x  mx   x  x   m   x  khơng có điểm cực đại  x  x2 Với x1  x  x2 y   x  mx   x   x   m   x  Hàm số đạt cực đại x  m  giá trị cực đại yCD  m2  4m  Vậy điều kiện để hàm số có cực đại m  m   m   m  m   x1  x  m   x2    2 3  m  m   0  m  m  m     m2     m     m  m     2   m  2   2   m  4 m2  4m    m  4   m   42 41 Do 10m số nguyên nên có hai giá trị thỏa mãn m   m   10 10 Câu 17: Chọn D Từ đồ thị f '  x  , ta suy hàm số y  f  x  có điểm cực trị     Đặt g  x   f x  x Ta suy y  g x Do số điểm cực trị hàm y số điểm cực trị dương hàm số g  x  cộng thêm x   6 x  x Ta có g '  x     x  f ' x  x2 , cho g '  x    6 x  x  6 x  x  6 x  x   a0 b0  c 0  c  9 d9 Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy phương trình g '  x   có tất nghiệm dương phân biệt   Suy số điểm cực trị g  x  Do số điểm cực trị y  g x 11 Câu 18: Chọn C  Ta có y  f x  m  x  m         Ta biết số điểm cực trị hàm g  x  g  x  m  Hàm số g  x  có điểm cực trị dương nên hàm g  x  có điểm cực trị Suy hàm g  x  m  có tất điểm cực trị   Đặt g  x   f x  x Suy g x  f x2  x Suy g x  m  f x  m  x  m  Câu 19: Chọn D     Ta có y  f x  x  12  f x  x   x   f  x     x    g  x   Ta thấy hàm số y  g  x  có điểm cực trị x  1, x  2, x  c  Suy hàm số y  g  x   có điểm cực trị x  1, x  4, x  c  (3 điểm cực trị dương)     Vậy hàm số y  g x   f x2  x  12 có điểm cực trị      Lí giải: y  f x  x  g x  , với x       x    x  x  12    2 Câu 20: Chọn B Hàm số f ( x ) đạt cực trị điểm x  a  0; x  b  (0;1); x  c  Xét hàm số f (u )  f ( x  x  1) với u  x  x  Ta có bảng khảo sát hàm số u  x  x  Ta có: ( f (u )) '  u ' f '(u ) nên số điểm cực trị hàm số f (u ) là: số điểm cực trị u cộng u  a với số nghiệm bội lẻ phương trình f '(u )  hay u  b u  c Hàm u điểm cực trị u  a vơ nghiệm; u  b vơ nghiệm; u  c có nghiệm; Vậy: f (u ) có hai điểm cực trị  xa f '  a   f   a    f ( n1)  a   f ( n)  a     n f ( n)  a   f ( x)  n f ( n)  a   f ( x)  n  Câu 1: n f ( x)  f  x a a a n2 Cho hàm số y  f  x  xác định  \1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số y  f  x  có điểm cực trị? A Câu 2: Câu 6: C 2 D 2 B m  C m  2 D m  Tìm tập tất giá trị m để hàm số y  x   3m  1 x  m x  đạt cực tiểu x  1 A 5;1 Câu 5: B  Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y  x3  x2  mx đạt cực đại x  A m  Câu 4: D C Tập hợp số thực m để hàm số y  x   m   x   5m   x  m  đạt cực tiểu x  2 A  Câu 3: B B 5 D  1 C  Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  m2  m  x  đạt cực đại điểm x  ? A m  m  1 B m  m  C m  D m   Tìm m để hàm số y  x3  mx  mx  đạt cực tiểu x   A không tồn m Câu 7: B m  1 C m  D m  1; 2 C D Cho hàm số f  x  với bảng biến thiên Hỏi hàm số y  f  x  có cực trị? A Câu 8:   Tìm m để hàm số y  mx4  m2  x  đạt cực đại x  A m  Câu 9: B B m  1 C m  D 1  m  C D Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau Giá trị cực đại hàm số A 2 B 1 Câu 10: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y  f  x  là: y x O A B C D Câu 11: Tập hợp số thực m để hàm số y  x  3mx   m   x  m đạt cực tiểu x  A 1 B 1 D  C  Câu 12: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y  x3  mx  m2  x  đạt cực đại x3 A m  1, m  B m  C m  D m  1   Câu 13: Tìm m hàm số y  x  mx   m  1 x  m đạt cực trị điểm x  1 A m  1 B m  C m  D m    Câu 14: Tìm m để hàm số y  mx  m2  x2  x  đạt cực tiểu x  A B  C D 1   Câu 15: Tìm tất tham số thực m để hàm số y   m  1 x4  m2  x  2019 đạt cực tiểu x  1 A m  B m  2 C m  D m  Câu 16: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x9  ( m  2)x7  ( m2  4) x6  đạt cực tiểu x  ? A B D C Vô số x5 m   m  1 x  x  2019 Có giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x  ? Câu 17: Cho hàm số y  A Vô số B C D Câu 18: Cho hàm số y  f ( x) hàm đa thức có bảng xét dấu f '( x) sau   Số điểm cực trị hàm số g( x)  f x2  x A B Câu 19: Có giá trị nguyên m C D thuộc khoảng  2019; 2019  m 1 m x  x  m  đạt cực đại x  0? A 110 B 2016 C 100 để hàm số y Câu 20: D 10 Có tất giá trị nguyên m để hàm số y  x8   m   x   m   x  đạt cực tiểu x  A B C D Vô số   Câu 21: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x 2018   m   x  25  m2 x  đạt cực đại điểm x  A B C D 10 cực tiểu điểm x  A 722 B 742 C 703 D 685 Câu 22: Có cặp số nguyên  a , b  thỏa mãn a , b   20,20  để hàm số y  x8  ax7  bx6  đạt Câu 23: Có nguyên tham số m để hàm số y  x8  ( m  3)x  ( m2  9) x4  đạt cực tiểu điểm x  A B Vô số C D   Câu 24: Có số nguyên m để hàm số y  x  mx5  10m  m2 x  đạt cực tiểu điểm x  A B 10 C 11 D   Câu 25: Có số nguyên m để hàm số y  x   m  1 x  m2  x  đạt cực tiểu điểm x  A B D C   Câu 26: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x   m   x  m  16 x  đạt cực tiểu điểm x  A B Vô số C D Câu 27: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f  x  h   f  x  h   h , x   , h  Đặt g  x    x  f   x  2019   x  f   x   29  m    m4  29m2  100 sin x  , m tham số nguyên m  27 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m cho hàm số g  x  đạt cực tiểu x  Tính tổng bình phương phần tử S A 108 B 58 C 100 D 50   Câu 28: Có số nguyên m để hàm số y  x   m   x7  m2  x6  đạt cực tiểu điểm x  A B Vô số  C D  Câu 29: Cho hàm số y  x  mx  m3  3m2  4m  12 x  Có giá trị nguyên m để hàm số cho đạt cực đại x  ? A B C D Câu 1: Chọn A Từ bảng biến thiên hàm số y  f  x  , suy bảng biến thiên hàm số y  f  x  Dựa vào bảng biến thiên, ta suy hàm số có điểm cực trị Câu 2: Chọn A Ta có y '  x   m   x  5m  ; y ''  x   m    y '  2   Để hàm số đạt cực tiểu x  2   y ''  2   12   m    5m   m    12  m   m  Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: Chọn D TXĐ: D   ; y  3x  x  m, y  x  Hàm số y  x  3x  mx đạt cực đại x   y(0)   m  Với m  ta có: y(0)  6   x  điểm cực đại đồ thị hàm số Vậy m  giá trị cần tìm Câu 4: Chọn B Kiến thức cần nhớ: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp  a; b  chứa điểm x0 y  f  x  có đạo hàm cấp hai khác x0 , đó:  f '  x0   Nếu  hàm số y  f  x  đạt cực tiểu điểm x0  f ''  x0    f '  x0   Nếu  hàm số y  f  x  đạt cực đại điểm x0  f ''  x0   Áp dụng ta có y '  x   m  1 x  m ; y ''  x   3m  1 m  Xét phương trình y '  1    1   3m  1  m2   m2  m     m  Với m   y ''  x   y ''  1  2  nên hàm số đạt cực đại x  1 Với m   y ''  x  28  y ''  1  22  nên hàm số đạt cực tiểu x  1 Vậy m  thỏa mãn yêu cầu toán Câu 5: Chọn D TXĐ D   ; y '  x  2mx  m2  m  Hàm số y  x  mx2  m2  m  x  đạt cực đại điểm x    m   y '  1   12  2m.1  m  m    m2  3m     m  Với m  , y '  x  x    x  1  x   , y '   x   Hàm số y  x  mx2  m2  m  x  đồng biến  m    Vậy m  không thỏa mãn yêu cầu toán x  Với m  , y '  x  x  3, y '   x  x     x  y ''  x   y ''  1  2.1   2   Hàm số y  Câu 6: x  mx2  m2  m  x  đạt cực đại điểm x  m    Chọn C m  3  m  m   y  1   Để x  điểm cực tiểu hàm số      m  6  m   y  1  m   Thử lại với m  1, ta có y  x3  x  x  ; y  3x  x  x  y   3x  x     x   Bảng biến thiên: Quan sát bảng biến thiên ta thấy m  thỏa yêu cầu toán Câu 7: Chọn C   Hàm số y  f x  hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy trục đối xứng gồm hai phần, phần trùng với phần đồ thị hàm số y  f  x  ứng với x  ; phần lấy đối xứng phần qua trục tung   Bảng biến thiên hàm số y  f x Bảng biến thiên hàm số y  f  x  Vậy hàm số y  f  x  có cực trị Câu 8: Chọn B y  4mx3  m2  Để hàm số đạt cực tại x  y     m2    m  1 Với m   y  x  1, y  x3   x  Khảo sát hàm số ta thấy, hàm số đạt cực tiểu x  suy m  không thỏa mãn Với m  1  y   x4  1, y  4 x   x  Khảo sát hàm số ta thấy, hàm số đạt cực đại x  Câu 9: Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại hàm số x  2 x  Câu 10: Chọn C Hàm số xác định liên tục   x  x1  Từ đồ thị ta thấy f   x     x   x  x2  Bảng biến thiên: x y'  x1 + x2 + + + y Khi hàm số y  f  x  đạt cực tiểu x  x1 hay hàm số y  f  x  có điểm cực trị Câu 11: Chọn C Ta có y  3x2  6mx  m  y  x  m  y  1  3  m  m    Hàm số y  x  3mx   m   x  m đạt cực tiểu x    6  m   y  1  m    khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu toán m  Câu 12: Chọn B Tập xác định: D   Ta có: y '  x  2mx  m2  y "  x  m m  Hàm số đạt cực đại x  suy y '     m2  m     m  Thử lại: Với m  y "     , suy x  điểm cực tiểu hàm số Với m  y "    4  , suy x  điểm cực đại hàm số Vậy m  giá trị cần tìm Câu 13: Chọn C Ta có y '  x  mx   m  1 Điều kiện cần:- Giả sử hàm số đạt cực trị x  1  y '  1   m  Điều kiện đủ: Thử lại m  ta y  x3  3x Hàm số đạt cực đại x  1 Câu 14: Chọn A Hàm số cho xác định với x     Đạo hàm y '  3mx2  m2  x   3 Hàm số đạt cực tiểu x   y '  1   2 m2  3m   m  0;   2 Thử lại: Với m  y  2 x2  x  y '  2 x   Hàm số đạt cực đại x  (KTM) Với m  a 13  4 y '  x  x  ; y '   x  1;  Hàm số y hàm số bậc ba có 2  9  nên hàm số đạt cực đại x  đạt cực tiểu x  (Thỏa mãn) Vậy m  Câu 15: Chọn D   Tập xác định: D   Ta có: y   m  1 x  m2  x * Điều kiện cần:   Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu x  1 f '  1   4  m  1  m2   m   2m2  4m    m  * Điều kiện đủ: Trường hợp 1: m  hàm số trở thành y   x  x  2019  x  1  Ta có: y '   4 x  x    x   x  Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại x  1 nên loại m  Trường hợp 2: m  hàm số trở thành y  x4  x  2019  x  1  Ta có: y '   x  x    x   x  Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu x  1 Chọn m    Vậy với m  hàm số y   m  1 x  m2  x  2019 đạt cực tiểu x  1 Cách 2: Kiểm tra điều kiện đủ - Với m  , hàm số trở thành y   x4  x2  2019 y  4 x3  x , y  12 x   y  1  Ta có:  , suy hàm số đạt cực đại x  1 nên loại m   y  1  8  - Với m  , hàm số trở thành y  x4  x  2019 y  x  x , y  12 x   y  1  Ta có:  , suy hàm số đạt cực tiểu x  1 nên chọn m   y  1   Kết luận: m  Câu 16: Chọn A   y  x8   m   x6  m2  x  y    0, m     y  9.8 x7  7.6  m   x  6.5 m2  x  y    0, m   Ta nhận thấy y    y     y      0, m   Ta  y(6)  9.8.7.6.5.4 x  7.6.5.4.3.2  m   x  6.5.4.3.2.1 m2  có     y(6)    6.5.4.3.2.1 m2  m  Trường hợp 1: y (6)      thì:  m  2 + m   y  x8  0, x   nên hàm số đồng biến  nên không đạt cực trị x    + m  2  y  x x  28 không đổi dấu qua x  nên không đạt cực trị x  Trường hợp 2: y(6)     m  2 Khi để hàm số đạt cực tiểu x  cần thêm   y(6)     6.5.4.3.2.1 m2    m2    2  m   m  1; 0;1 Vậy có giá trị nguyên tham số m Câu 17: Chọn B Ta có y  x   m  1 x  mx  x  x2   m  1 x  m  Dễ thấy x  nghiệm đạo hàm y  Do hàm số đạt cực tiểu x  y  đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x  Ta thấy dấu y  dấu hàm số g  x   x   m  1 x  m Hàm số g  x  đổi dấu qua giá trị x  x  nghiệm g  x  Khi g     m  Thử lại, với m  g  x   x  x đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x  Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 18: Chọn A TXĐ: D    x  x  1   1 x  x  x    1 Ta có g  x   x    f  x  x    x  ( l)     x      x   2   x   g  x  không xác định x  Bảng xét dấu  Vậy g  x  có điểm cực trị Câu 19: Chọn B Ta có y  ( m  1) x   m   x x   y  x Suy hàm số đạt cực tiểu x  (loại) Trường hợp 1: m  Khi y   x1  Trường hợp 2: m  Khi y    x   m  2 m1  Nhận thấy x2  x1   m  2  y  3x  x    Hàm số nghịch biến  nên hàm số khơng có cực trị ( loại)  m   m      2  m   x1  x2     m  2 Vì u cầu tốn tương đương với  m   m       m  2   x1  x2     m  Suy số giá trị m nguyên thuộc khoảng  2019; 2019  2016 Câu 20: Chọn C Ta có y '(0)  y ''(0)  y (3) (0)  , y (4) (0)  4!(m  4) Nếu y (4) (0)   m  2 Kiểm tra trực tiếp thấy với m  hàm số cho đạt cực tiểu x  Với m  2 hàm số cho không đạt cực tiểu x  Nếu y (4) (0)  hàm số cho đạt cực đại x  Nếu y (4) (0)   2  m  hàm số cho đạt cực tiểu x  Tóm lại có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: Có y '  x  5( m  2) x  4(m2  4) x3  x3 (8 x  5( m  2) x  4( m  4)) Đặt g ( x)  x  5(m  2) x  4( m  4) ; g (0)  4(m  4) Nếu g (0)  tồn số h  cho g ( x )  0x  (  h; h )  y ' đổi dấu từ dương sang âm x qua  Hàm số cho đạt cực đại Nếu g (0)   2  m  tồn số h  cho g ( x )  0x  (  h; h )  y ' đổi dấu từ âm sang dương x qua  Hàm số cho đạt cực tiểu Nếu g (0)   m  2 Kiểm tra trực tiếp thấy với m  hàm số cho đạt cực tiểu x  Với m  2 hàm số cho khơng đạt cực tiểu x  Tóm lại có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán    Cách 3:Ta có: y  x   m   x   m   x  x x   m   x   m          g  x  3 Ta xét trường hợp sau * Nếu m    m  2 Khi m   y  x  x  điểm cực tiểu Khi m  2  y   x  x  20   x  không điểm cực tiểu * Nếu m    m  2 Khi ta có y  x 8 x5   m   x   m   x    Số cực trị hàm y  x8   m   x5  m2  x  số cực trị hàm g   x   g   x   8x5   m   x   m   x    g   x   40 x  100  m   x   m   Nếu x  điểm cực tiểu g     Khi 4  m2     m2    2  m   m  1;0;1 Vậy có giá trị nguyên m    Cách 4: Ta có: y  x   m   x   m   x  x x   m   x   m          g  x   3    m    5 m   m  Ycbt     4 m    2  m   Vậy có giá trị nguyên m   Nhận xét: Ta thấy rằng, hàm số đạt cực tiểu x  y     y  đổi dấu từ    sang  qua x  điều tương đương số hạng bậc thấp y  phải bậc lẻ dương Câu 21: Chọn D   Ta có y    y    y      0, m; y( 4)    4! 25  m Nếu y      25  m2   5  m  hàm số đạt cực tiểu x  (thỏa mãn) Nếu y     ,hàm số đạt cực đại x  (loại) Nếu y      25  m2   m  5   Với m  5  y  2018 x2017  50 x  x 2018 x  50 không đổi dấu qua x  (loại) Với m   y  2018 x2017 đổi dấu từ âm sang dương qua x  (thỏa mãn) Vậy 5  m   m  4, ,5 Có 10 số nguyên thỏa mãn Câu 22: Chọn B Ta có y    y    y     y      y      0, a , b.y   6! b Trường hợp 1: Nếu y       b  hàm số đạt cực tiểu x  (thỏa mãn) Vậy trường hợp a  19, ,19 , có 39 cách chọn; b  1, ,19 , có 19 cách chọn  Có 39.19  741 cặp Trường hợp 2: Nếu y      b  hàm số đạt cực đại x  (loại) Trường hợp 3: Nếu y    b  Khi y  x7  ax6  x6 (8 x  a) đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x   a  Vậy trường hợp có cặp  a; b    0;  Vậy có tất 742 cặp số nguyên thỏa mãn Câu 23: Chọn C   Ta có f     f     f     0, f      4! m2    Nếu f      4! m    3  m  hàm số đạt cực tiểu điểm x  (thỏa mãn)  f       4! m      m   m  3 Nếu f       4! m2    m   m  3 hàm số đạt cực đại điểm x  (loại) Nếu Với m   f   x   x7 đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  (thỏa mãn)   Với m  3  f   x   x7  30 x  x 4 x3  15 không đổi dấu qua điểm x  (loại) Vậy 3  m   m  2, ,3 Có số nguyên thỏa mãn Câu 24: Chọn B   Ta có y    y    y    0, m ; y    4! 10 m  m   Nếu y      4! 10m  m2    m  10 hàm số đạt cực tiểu điểm x    Nếu y      4! 10m  m2   m   ;   10;   hàm số đạt cực đại điểm x  (loại) m  Nếu y      4! 10m  m2     m  10   Với m   y  x5 Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x  (thỏa mãn) Với m  10  y   x  50 x  x  x  25  Ta có đạo hàm không đổi qua x  (loại) Kết luận: Có 10 giá trị m nguyên thỏa mãn Câu 25: Chọn B   Ta có y    y    0, m ; y  3! m2    Nếu y     3! m2    m  2 Hàm số không đạt đạt cực trị điểm x  (loại) n  lẻ   Nếu y     3! m2    m  2   Với m  2  y  x5  12 x  x3 x  Ta có đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x  (loại)   Với m   y  x  x  x 3x  Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x  (thỏa mãn) Vậy m  thỏa mãn Câu 26: Chọn D   Ta có y    y    y    0, m ; y    4! m2  16   Nếu y      4! m2  16   4  m  hàm số đạt cực tiểu điểm x    Nếu y      4! m2  16   m   ; 4    4;   hàm số đạt cực đại điểm x  (loại)  m  4 Nếu y      4! m2  16    m    Với m   y  x7 Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x  (thỏa mãn)   Với m  4  y  x7  40 x  x x3  Ta có đạo hàm khơng đổi qua x  (loại) Kết luận: Vậy m  3; 2; ; 4 hay có giá trị m nguyên thỏa mãn Câu 27: Chọn C Chú ý: Định nghĩa đạo hàm điểm x0 : f   x0   lim f  x0  h   f  x0  h h 0 f  x  h  f  x  h x   , h  , f  x  h   f  x  h   h  Do lim h 0 f  x  h  f  x  h h   lim h f  x  h  f  x h h 0  f   x   f   x    f   x   , x     lim  h f  x  f  x  h h 0 h 0  Suy g  x   x2019  x29 m  m4  29m2  100 sin x     g  x   2019 x 2018   29  m  x28  m  m4  29 m2  100 sin x  Khi đó:  2017   29  m  28  m  x 27 m  m4  29 m  100 2cos x  g  x   2019.2018 x     Có g    , g    2 m4  29m2  100 Trường hợp 1: g     Hàm số g  x  đạt cực đại x  2  m  Trường hợp 2: g     m4  29m  100    m2  25    5  m  2 Khi hàm số g  x  đạt cực tiểu x   m  5 Trường hợp 3: g      Thay lại ta có với m  5 , g  x  đổi dấu từ âm sang  m  2 dương qua x  Khi hàm số g  x  đạt cực tiểu x  Vậy S  5; 4 ; 3; 3; ; 5 Tổng bình phương phẩn tử S 100 Câu 28: Chọn A   Ta có y  x8   m   x6  m2  x   y    y     y      0, m   , y      6! m  Trường hợp 1: y      y đạt cực đại x  Trường hợp 2: y      2  m  Hàm số đạt cực tiểu x  Do m  0;  thỏa ycbt Trường hợp 3: y      m  2 Thay m  2 vào y , ta thấy y  không đổi dấu qua x  Do y khơng đạt cực tiểu x  Vậy có số nguyên m thỏa ycbt Câu 29: Chọn C   Ta có y  5x4  4mx  m3  3m2  4m  12 x2   y    y    , m y      m  3m  m  12 Trường hợp 1: y     hàm số cho không đạt cực trị x  Trường hợp 2: y       m  2 ; 3 Với m  2  y  x  x  x  x   đổi dấu từ âm sang dương qua x  nên hàm số đạt cực tiểu x  Với m   y  x  x  x  5x   đổi dấu từ dương sang âm qua x  nên hàm số đạt cực đại x  Với m   y  5x  12 x  x  5x  12  đổi dấu từ dương sang âm qua x  nên hàm số đạt cực đại x  Vậy có giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu 1: Cho hàm số y  x   m  1 x   m   x  với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm khoảng  2;  A m   1;  \3 Câu 2: B m   3;  C m   1;  D m   1;  Với m tham số thực cho đồ thị hàm số y  x  2mx  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Mệnh đề đúng? A m  B  m  C 2  m  Câu 3: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y   A  m  Câu 4:  Câu 8: C D B C D B m  2019 C m  2018 D m  1009   Tìm tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x  m2  x   m có điểm cực trị A  2;  B  ; 2    2;   C   2;  D  ; 2    2;   Cho hàm số y  x4  mx2  m Tất giá trị thực m để hàm số có cực trị A m  Câu 9:   x   , x   Số điểm cực trị hàm Tất giá trị tham số m để hàm số y  x   m  2019  x  2018 có ba điểm cực trị A m  2019 Câu 7: m  D  m  Cho hàm số f ( x) có đồ thị f '( x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số f ( x) A Câu 6: B x3  mx  mx  có hai điểm cực trị C m  Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  số cho là: A Câu 5: B m  D m  2 B m  C m  D m  Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  mx   m   x  m khơng có điểm cực đại A B vô số C D   Câu 10: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  m2 x  m2  2019m x2  có điểm cực trị A 2019 B 2020 C 2018 D 2017 Câu 11: Tìm số điểm cực trị hàm số y  sinx  cos x 0; 2  A B C D Câu 12: Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y  mx3  2mx  ( m  2)x  cực trị A m   ; 6    0;   B m   6;  C m  6;  D m  6;  Câu 13: Tìm tất giá trị tham số m để hàm y  x   m   x   m   x  m  m đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn 1  x1  x2 B   m  3 A 3  m   m  3 C  m  D   m  2   Câu 14: Tập hợp tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y  x  3mx  m2  x  m3 có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh  a ; b  Khi giá trị a  2b A B C D Câu 15: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x   m   x  3m  có ba điểm cực trị A m   2;   B m   2;  C m   ;  D m   0;  Câu 16: Cho hàm số y  x  mx   1 Tổng lập phương giá trị tham số m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị đường tròn qua A 5 B 1 điểm có bán kính R  C  D 1  Câu 17: Tìm số thực k để đồ thị hàm số y  x4  kx2  k có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận  1 điểm G  0;  làm trọng tâm  3 1 A k  1; k  B k  1; k   C k  1; k  1 D k  ; k   Câu 18: Cho hàm số y  x  m  m  x  m  Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị khoảng cách hai điểm cực tiểu nhỏ A m  B m  C m = 1 D m =  Câu 19: Có giá trị nguyên dương m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x  m nhỏ A B C 11 D Câu 20: Tìm tất giá trị m để hàm số y  x  mx2  ( m  2)x có cực trị giá trị hàm số điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương  22  22 B m   2; C  m  1 D m  1    3   A m  Câu 21: Cho hàm số y  x  2mx  3m  Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm trục tọa độ? A B C D Câu 22: Biết m  m0 ; m0   giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Khẳng định sau đúng? A m0   ;  B m0  5;   C m0   3 ;0  D m0   ;7  Câu 23: Cho hàm số y  x  2( m2  m  1)x  m có đồ thị  C  Tìm m để đồ thị hàm số  C  có điểm cực trị khoảng cách hai điểm cực tiểu nhỏ 1 A m  B m   C m  2 D m  Câu 24: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x3  3( m  1)x2  12 mx  2019 có điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2  8 A m  1 B m  C m  D m  2 1 Câu 25: Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị hàm số y  x  mx  x  10 Tìm giá trị lớn biểu    thức S  x12  x22  A C B D Câu 26: Cho hàm số y  x3  3mx  3( m2  1)x  m3 với m tham số, gọi  C  đồ thị hàm số cho Biết rằng, m thay đổi, điểm cực đại đồ thị  C  nằm đường thẳng d cố định Xác định hệ số góc k đường thẳng d A k  3 B k  C k  D k   Câu 27: Cho hàm số y  x   m  1 x   m  1 x  m  Có giá trị số tự nhiên m  20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh? A 18 B 19 C 21 D 20 Câu 28: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x3  3mx2  3m2 có hai điểm cực trị A , B mà OAB có diện tích 24 A m  Câu 29: Có bao B m  nhiêu giá trị nguyên C m  2 tham số D m  1 m để đồ thị hàm số y  x  ( m  1)x  ( m  2)x  m  có hai điểm cực trị hai điểm cực trị nằm phía trục hoành? A B C D Câu 30: Cho hàm số y  x  2mx2   m  1 x  2m2  ( m tham số) Xác định khoảng cách lớn từ gốc tọa độ O  0;  đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số A B C 10 D x  mx   m   x  2019 có điểm cực trị B 2  m  C  m  D m  Câu 31: Các giá trị m để đồ thị hàm số y  A m  2 Câu 32: Hỏi hàm số y  sin x  x có điểm cực trị   ;   ? A B C D Câu 33: Cho hàm số y  x   m   x  x  Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  x1  x2  thỏa mãn x1  x2  2 A B 1 C  D  Câu 34: Xét hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x x  3x  với x   Hàm số y  f   2019 x  có nhiều điểm cực trị? A B C D Câu 35: Cho hàm số y   x  3mx  3m  với m tham số thực Giá trị m thuộc tập hợp để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng d : x  y  74  A m   1;1 B m   3; 1 C m   3;  D m   1;  Câu 36: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ sau: Số điểm cực trị hàm số y  f  x  2018   2019 x  A B C D Câu 37: Cho hàm số y  x3  6mx  có đồ thị C m  Gọi m0 giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu C m  cắt đường tròn tâm I  1;  , bán kính hai điểm phân biệt A , B cho tam giác IAB có diện tích lớn Chọn khẳng định A m0   3;  B m0   1;  C m0   0;1 D m0   2;  Câu 38: Biết hai hàm số f  x   x  ax  x  g  x    x  bx  x  có chung điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b A 30 B C  D 3 Câu 39: Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  3mx  cắt đường tròn tâm I  1;1 , bán kính R  hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? 2 1 2 2 B m  C m  D m  2 Câu 40: Tìm giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số A m  y  x3  3mx  cắt đường tròn C  :  x  1  y  có tâm I hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn  1 m  B   1 m   A m  8 C m   m  D  m   2  m  1 x3   m  1 x2  2mx  m  , với m tham số thực Có giá trị nguyên dương nhỏ 2019 tham số m để hàm số khơng có cực trị? A 2018 B 2019 C D Câu 41: Cho hàm số y  Câu 42: Biết m0 giá trị tham số m để hàm số y  x  3x  mx  có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x12  x22  x1 x2  13 Mệnh đề sau đúng? A m0   1;7  B m0   7;10  C m0   7;  1 D m0   15;   Câu 43: Cho hàm số y  x3  (1  2m)x  (2  m) x  m  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ    m  1 m  m  A  m  B  C  D   m 7 m   m     5 Câu 44: Cho hàm số y  x  3mx  m  có đồ thị  C  , với m tham số Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị  C  có hai điểm cực trị A , B với điểm C  ;  1 tạo thành tam giác có diện tích nhỏ 10 ? A B C 12 D Câu 45: Đồ thị hàm số y  x   m  1 x  m  m  1 x  có hai điểm cực trị A B Điểm   M 2m3 ; m tạo với hai điểm A B tam giác có diện tích nhỏ Khi giá trị tham số m thuộc khoảng đây? A  7; 3  B  3;  C  3;7  D  7;13  Câu 46: Cho hàm số y  x  x   m   x  m ( m tham số), có đồ thị C m  Tìm tất giá trị thực m để C m  có hai điểm cực trị điểm M  9; 5  nằm đường thẳng qua hai điểm cực trị C m  A m  5 B m  C m  D m  1 Câu 47: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y   3m  1 x   m vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x  3x2  A m  B m  1 C m  D m  1 Câu 48: Cho hàm số y   m  1 x  x  Tìm tất giá trị thực m để hàm số cho có ba điểm cực trị nhỏ A 1  m  B m  1 C  m  D m  Câu 49: Cho hàm số y   m   x   m  1 x  Tìm tất giá trị thực m để hàm số cho có điểm cực trị A m   2;   B m   ;1   2;   C m   ;1 D m   ;1   2;   Câu 50: Tìm tập hợp giá trị tham số m để hoành độ điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y  x   m  1 x  thuộc khoảng  1;1 A  1;1   B   ;    C  2;  D  1;    Câu 51: Tìm tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x  m  m  x  m  có điểm cực trị, đồng thời hoành độ hai điểm cực tiểu x1 ; x2 thỏa điều kiện x1  x2   13   A  0;       13 13   B  ;  C  0;1   D 0;1 Câu 52: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2m2 x  2m có ba điểm cực trị A , B , C cho O , A , B , C bốn đỉnh hình thoi A m  1 B m  C m  D m  Câu 53: Cho hàm số y  x  mx2  m2  m4 có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  có ba điểm cực trị A , B , C ABDC hình thoi D  0; 3  , A thuộc trục tung Khi m thuộc khoảng nào? 9  A m   ;  5  1 9 D m   ;  2 5 x  mx  m Câu 54: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  có hai điểm x 1   90 tổng bình phương tất phần tử S bằng: cực trị A , B Khi AOB A 16  1 B m   1;  2  C m   2;  B C D 16 Câu 55: Cho hàm số f  x   x   m  1 x   m   x   5m   x  m  12 , với m tham số Có giá trị nguyên m thuộc đoạn   10; 10  để hàm số y  f  x  có số điểm cực trị nhiều nhất? A 15 B 16 C 13 D 14 Câu 1: Chọn A Xét hàm số y  x   m  1 x   m   x  Ta có y  x   m  1 x   m    x  1 y   x2   m  1 x  m     x   m Hàm số có điểm cực trị  y  có nghiệm phân biệt   m  1  m  Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm khoảng  2;  2  1    1  m   2   m  Kết hợp điều kiện m  , ta m   1;  \3 Câu 2: Chọn C Cách 1: Hàm số y  ax4  bx2  c có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông b  8 a Áp dụng vào toán ta có:  m   8  m3  1  m  1 Cách 2: x  Ta có: y  x3  mx y     x  m  1 Để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị phương trình  1 phải có hai nghiệm phân biệt x   y  khác , nghĩa m  Khi y     x   m  y   m   Gọi A  0;1 , B   m ;1  m2 C    m ;1  m2 ba điểm cực trị đồ thị hàm số Theo tính chất hàm số cho tam giác ABC cân A , tam giác ABC có   thể vng A Ta có: BA   m ; m , CA   m ; m       m  Ta có: BA.CA   m  m    So với điều kiện ta nhận m  1  m  1 Câu 3: Chọn D Ta có: y  x  2mx  2m Hàm số y   x3  mx  mx  có hai điểm cực trị  y  có hai nghiệm phân biệt m     m  m    m  Câu 4: Chọn B  x  1  Xét f   x     x  1 x   x      x  1  x  1  x      x   x  2 Bảng biến thiên:   Vậy hàm số có hai điểm cực trị Lưu ý: dùng tính chất nghiệm bội chẵn, nghiệm bội lẻ để giải toán nhanh Câu 5: Chọn C Từ đồ thị f   x  ta có bảng xét dấu đạo hàm f   x   x  1  Ta có f   x     x   x3  Khi qua điểm x  1 , f   x  đổi dấu từ " " sang " " nên x  1 điểm cực đại f ( x) 5 Khi qua điểm x  , f   x  không đổi dấu nên x  không điểm cực trị f ( x) 4 Khi qua điểm x  , f   x  đổi dấu từ " " sang " " nên x  điểm cực tiểu f ( x) Do số điểm cực trị hàm số y  f  x  Câu 6: Chọn A x  Cách 1: Ta có y  x   m  2019  x  x x  m  2019    2019  m x  (*)    Hàm số cho có cực trị  y  có nghiệm phân biệt  PT có nghiệm phân biệt khác  m  2019 Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh hàm số y  ax4  bx  c có cực trị  a.b  Do hàm số y  x   m  2019  x  2018 có ba điểm cực trị   m  2019    m  2019 Câu 7: Chọn D    Ta có y  x  m2  x  x x2  m2   Hàm số cho hàm số trùng phương nên có cực trị y  có nghiệm  m  2 Hay x x  m2   có nghiệm  m     m     ab  Chú ý: Hàm số y  ax4  bx2  c có cực trị  2  1  a  b  Đặc biệt: Hàm số trùng phương y  ax  bx  c  a   có cực trị ab  Hàm số y  ax4  bx2  c có ba cực trị ab    Câu 8: Chọn A x  TXĐ: D   ; y  x3  mx  4x x2  m y     x  m  *    Hàm số y  x  mx  m có điểm cực trị phương trình y  có nghiệm phân biệt  phương trình  *  có nghiệm phân biệt khác  m  Câu 9: Chọn D Trường hợp 1: m  y  3x2 Hàm số khơng có điểm cực đại Vậy m  Trường hợp 2: m  Hàm số hàm bậc bốn trùng phương  Ta có y  4mx   m   x  x 2mx  m   Để hàm số khơng có điểm cực đại m  y  có nghiệm y  có nghiệm  2mx  m   vô nghiệm có nghiệm kép x   m3    m  Vì m nguyên nên m  1; 2; 3 Vậy m có giá trị nguyên 2m Câu 10: Chọn C Xét m  y  đồ thị hàm số khơng có cực trị Xét m    Để đồ thị hàm số có cực trị  m2 m2  2019m    m  2019 Do m nguyên nên có 2018 giá trị m Câu 11: Chọn A Ta có y  cos x  sin x.cos x    x   k   cos x    y   cos x   2sin x      x    k 2 , k     sinx      x   k 2  Trên 0; 2  , phương trình y  có nghiệm đơn x  Suy 0; 2  , hàm số cho có điểm cực trị Câu 12: Chọn D  ;x  3 11 7 ;x  ;x  6 Ta có y  3mx2  4mx  m  • Nếu m  y   nên hàm số khơng có cực trị • Nếu m  y  3mx  mx  m  tam thức bậc hai m Hàm số cực trị     m   3m  m     m  m   m  6;  Kết hợp trường hợp ta có m  6;  hàm số khơng có cực trị Câu 13: Chọn B Ta có y  x   m   x   m   Đặt t  x   x  t  Khi y  t   m   t  m  Hàm số đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn 1  x1  x2  x   m   x   m    có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1  x1  x2  t   m   t  m   có hai nghiệm   m  3    m  m   m    phân biệt dương Điều tương đương với S  2  m     m  2    m  3  P  2m     m    Cách Ta có y  f (x)  x   m   x   m   Hàm số đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn 1  x1  x2  x   m   x   m    có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1  x1  x2 Điều tương đương với   m  3    m     m  2m      7   m   a f ( 1)   1  2( m  3)  4( m  3)   m   2 S  2( m  3)    1  m  3  1 2    Câu 14: Chọn D  x  m  Ta có y '  x2  6mx  3( m2  1) Xét x  mx  3( m2  1)     x  m  Hai nghiệm phân biệt với m Đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị y  2 x  m Vậy nên giá trị cực trị y(  m  1)  3m  , y(  m  1)  3m  2 Theo u cầu tốn ta phải có  3m   3m       m  Vậy a  2b  3 Câu 15: Chọn C Ta có: y  x   m   x  3m  x  y '  x3   m   x  4x x2  m  ; y '     x   m (1) y có ba điểm cực trị  phương trình y '  có ba nghiệm phân biệt    phương trình có hai nghiệm phân biệt khác   m   m  Câu 16: Chọn D   y '  x  4mx  x x  m ; y '   x  0; x   m với m  Gọi A  0;1 , B     m ;  m2  , C  m ;  m2  điểm cực trị hàm số; tam giác ABC cân A , I tâm đường tròn qua A , B , C nên I  Oy , gọi I  0; b  Ta có: IA  R    b   b  ; IB  R   m  m4  2m2    m4  2m2  m     m  m  1 m  m    m1  0; m2  1; m3 ,4  1  Kết hợp điều kiện m  nên loại m4 m1 Ta có m23  m33  1  Câu 17: Chọn C x  Ta có: y  x  kx  x x2  k ; y '     x  k  1   Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  y  có ba nghiệm phân biệt y đổi dấu x qua nghiệm  PT 1 có hai nghiệm phân biệt khác khơng  k  Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số     A 0 ; k  , B  k ; k  k2 , C k ; k  k2 Từ yêu cầu toán ta có: yG     2 y A  y B  yC k kk  kk   3  k   2 k  3k     k   2 Câu 18: Chọn D     y'  x  m  m  x = x x  m2 + m  x  y '   x x  m2 + m     2  x  m  m+ Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y'  có ba nghiệm phân biệt hay phương  trình  x  m2 + m   có hai nghiệm phân biệt khác không  1  m  m +    m     m     Khi phương trình y'  có ba nghiệm phân biệt x1   m2  m  1, x2  m2  m  1, x3  Bảng biến thiên x   y' x1   x2     y2 y y1 y1   Khi đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu B  m  m  1; y1 C   m  m  1; y1  1 Khoảng cách hai điểm cực tiểu BC = m  m    m     2  Dấu "  " xảy m =  Câu 19: Chọn A x  Ta có y  x2  ; y   3x      x  1 Hai điểm cực trị đồ thị hàm số A  1; m   , B  1; m   Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  2 x  m Theo giả thiết d  O; AB    m Mà m nguyên dương nên có giá trị    m   5  m  Câu 20: Chọn B Cách 1: Ta có: y  x2  mx  m  ; y   x  mx  m    1 Để hàm số có hai điểm cực trị phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt  m  1    m2  m     * m  Phương trình đường thẳng  2 4 y    m2  m   x  m  m   3  qua điểm CĐ, CT hàm số là: Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y  hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số, để hàm số có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu dương y1  y2  đồ thị hàm số y  x  mx2  ( m  2)x cắt trục hoành điểm Theo định lý vi-et ta có x1  x2  m  2 4 Nên y1  y     m2  m    x1  x2   m  m    3   2 4    m2  m    m   m  m     2m 2m  3m   3     57  m   ;       57     0; * *        Để đồ thị hàm số y  x  mx2  ( m  2)x cắt trục hồnh điểm phương trình y  có nghiệm đơn nhất, x  mx  ( m  2) x    có nghiệm đơn Ta có: x  x  mx  ( m  2)x   x x2  3mx  3m      x  3mx  3m       Để phương trình  1 có nghiệm đơn phương trình   vơ nghiệm, điều kiện   9m2  12m  24   22 22 m * * *  3 Kết hợp  *  ,  * *  ,  * * *  ta tập giá trị m thỏa mãn  m  22 Cách 2: Ta có: y  x2  mx  m  ; y   x  mx  m    1 Để hàm số có hai điểm cực trị phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt,  m  1    m2  m     * m  Để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dương đồ thị hàm số y  x  mx2  ( m  2)x cắt trục hoành điểm giá trị hàm số điểm uốn dương Để đồ thị hàm số y  x  mx2  ( m  2)x cắt trục hoành điểm phương trình y  có nghiệm nhất, x  mx  ( m  2)x    có nghiệm đơn Ta có: x  mx  ( m  2)x   x x2  3mx  3m     x    x  3mx  3m     Để phương trình  1 có nghiệm đơn phương trình   vơ nghiệm, điều kiện:   9m2  12m  24   22 22 m * * 3 Để giá trị hàm số điểm uốn dương: y  x  2mx  m  2, y  x  2m y   x  m   x  m Ta có: y  m    m3  m3  m  m      57    57   m 2m2  3m    m    ;    0;   * * *   4       Kết hợp  *  ,  * *  ,  * * *  ta tập giá trị m thỏa mãn  m  22 Câu 21: Chọn A x  Ta có y  x  2mx  3m   y  x  4mx Khi y     x   m Với m  đồ thị hàm số có điểm cực trị điểm cực trị A  ; 3m   , B     m ;  m2  3m  C  m ;  m  3m  Điểm A nằm trục tung, để điểm cực trị nằm trục tọa độ hai điểm m  B C phải nằm trục hoành, suy m2  3m     m  Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 22: Chọn C Cách x  Ta có y  x3  mx Xét phương trình y   x  mx     x  m Đồ thị hàm số có điểm cực trị m  Khi điểm cực trị A  ;1 , B      m ;1  m , C   m ;1  m Ta thấy  ABC cân A Nên  ABC vuông  ABC vuông cân A   m  Do AB.AC   m  m4   m  m    Kết hợp m  ta có m  1  m  1 Cách Gọi A , B , C ba điểm cực trị đồ thị hàm số    ABC vuông cân  b  8 a   m   8  m3  1  m  1 Câu 23: Chọn B  x   m2  m   Ta có: y  x  m2  m  x  x  x  m2  m      x2      x3  m  m       1 Khoảng cách điểm cực tiểu: d  x3  x1  m  m    m     2  Dấu xảy m   Câu 24: Chọn A y '  x  6( m  1) x  12m ; y '   3x  6( m  1) x  12m   x  2( m  1)x  4m  (1) Để hàm số có cực trị x1 , x2  Phương trình có nghiệm phân biệt   '   ( m  1)2   m   x  x  2( m  1) Với điều kiện m  ta có   x1 x2  m Do x1  x2  x1x2  8  m   m  8  m  1 Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 25: Chọn A 1 Ta có: y  x  mx2  x  10  y '  x  mx  ; y '   x2  mx     m  16  0, m nên phương trình y '  ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  b  x1  x2  a  m Áp dụng định lí viet:   x x  c  4  a S  ( x12  1)( x22  1)  ( x1 x2 )2  [( x1  x2 )2  x1 x2 ]   16  ( m2  8)    m2  Câu 26: Chọn A Ta có: y  3x2  6mx  3( m2  1)  3( x2  mx  m2  1) x  m  y   x  2mx  m2    x  m  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại đồ thị  C  điểm M  m  1; 3 m   Nhận xét: y M  3m   3( m  1)   3x M   M   d  : y  3 x  1, m Vậy: m thay đổi, điểm cực đại đồ thị  C  nằm đường thẳng d cố định có phương trình: y  3x  Vậy đường thẳng d có hệ số góc k  3 Câu 27: Chọn B   Ta có: y   x  1 x  2mx   m Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh đồ thị y cắt trục hoành   ba điểm phân biệt  y   x  1 x  2mx   m  có ba nghiệm phân biệt  x2  2mx   m  có hai nghiệm phân biệt khác   1    m    m  m        m  1    3m     m     Do m  N , m  20 nên  m  20 Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn toán Câu 28: Chọn C Xét y  3x  mx  x  x  2m  x  y   x  x  m      x  2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  m      Tọa độ hai điểm cực trị A 0; 3m2 , B 2m ; 3m2  4m3 Phương trình đường thẳng OA : x  1 Ta có: SOAB  OA.d  B ; OA   3m m  24  m m   m  2 2 Câu 29: Chọn C Tập xác định hàm số cho  y  x   m  1 x  m  có   2m2  2m  Để đồ thị hàm số y  x  ( m  1)x  ( m2  2) x  m2  có hai điểm cực trị y đổi dấu hai lần, tức y  có hai nghiệm phân biệt, tương đương  15  15 m Vì m   nên m  1; 0; 1; 2 2 Lúc này, hai nghiệm x1 , x2 y  hoành độ điểm cực trị hàm số    2 m  m    Hai điểm cực trị nằm phía trục hoành f  x1  f  x2   , tương đương đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm, tức là, phương trình x  ( m  1)x  ( m2  2)x  m   có nghiệm thực Xét m  1 phương trình x  x   : phương trình có nghiệm thực nên chọn m  1 Xét m  phương trình x  x  x   : phương trình có nghiệm thực nên chọn m  Xét m  phương trình x3  x  x   : phương trình có ba nghiệm thực phân biệt nên không chọn m  Xét m  phương trình x3  x2  x   : phương trình có nghiệm thực nên chọn m  Đáp số: m  1; 0; 2 Câu 30: Chọn D Ta có y  x2  mx  m  Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình y  có hai nghiệm phân biệt    4m2  m    m   1 2m   2 2 2 Mà y  x   y  x   x    m  m  x  m  m   3 3 3 3 Suy đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số đường thẳng  : 8 2 y    m2  m   x  m2  m  3 3    1 Ta thấy đường thẳng  qua điểm cố định A  1;   3 Gọi H hình chiếu vng góc O lên  Khi ta có d  O;    OH  OA O A H Do khoảng cách lơn H  A hay   OA Vậy khoảng cách lớn OA  10 Câu 31: Chọn D Xét hàm số: y  x  mx   m   x  2019 TXĐ: D   Ta có: y  x  mx   m   Để đồ thị hàm số y  x  mx   m   x  2019 có điểm cực trị đồ thị hàm số 3 x  mx2   m   x  2019 có điểm cực trị nằm bên phải trục tung  phương trình y  x  mx   m    có hai nghiệm dương y phân biệt m2  m        m   S    m  P  m     Câu 32: Chọn A Xét hàm f   x    cos x   số f  x   sin x  x có 2   2x    k 2  x    k , k   3 f   x   cos x    x   Vì x    ;      x   2   2 f    2       0; f        2 f    0; f  3           2   0  Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy:   ;   đồ thị hàm số f  x   sin x  x có điểm cực trị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x  Do hàm số y  sin x  x có điểm cực trị   ;   Câu 33: Chọn C Tính được: y  x   m   x  Khi    m    15  nên hàm số ln có hai điểm cực trị x1 , x2  x1  x2  Nhận xét a.c  nên x1   x2 Suy ra: x1  x2  2   x1  x2  2  4 m  2 b  2  m   2  a Câu 34: Chọn B Nhận xét: Số cực trị hàm số y  f   2019 x  tổng số nghiệm phương trình f 1  2019 x   số cực trị hàm số y  f   2019 x     Ta có f   x   x  x  1 x  x   f 1  2019 x    2019 f    2019 x  Do     f 1  2019 x       2019 x  1  2019 x  1  2019 x   2019 x     x  2019  x   x    2019  x    2019 Bảng biến thiên y  f   2019 x  Do phương trình f   2019 x   có tối đa nghiệm hàm số y  f   2019 x  có ba điểm cực trị Vậy hàm số y  f   2019 x  có tối đa điểm cực trị Câu 35: Chọn D y   3x  mx ; y    x   x  2m Hàm số có CĐ, CT PT y  có nghiệm phân biệt  m   Khi điểm cực trị là: A  0; 3m  1 ; B 2m; 4m  3m   AB  2m; 4m3       Trung điểm I AB có toạ độ: I m; m3  3m   Đường thẳng d : x  y  74  có VTCP u   8; 1 I  d B đối xứng với qua d    AB  d 16 m3  23m  82  m  2m3  3m   74  16 m3  23m  82          m   AB.u   16 m  m    m  2    m  Suy m   1;  Câu 36: Chọn B y  f  x  2018   2019 x   y '  f '  x  2018   2019 Do y '   f '  x  2018   2019 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y  f '  x  với đường thẳng y  2019 Từ đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy có nghiệm đơn Vậy hàm số y  f  x  2018   2019 x  có điểm cực trị Câu 37: Chọn C Xét hàm số y  x  6mx  có tập xác định  y  3x2  6m ; y '   x  2m Đồ thị hàm số có điểm cực trị  y đổi dấu lần  y  có hai nghiệm phân biệt  m  Ta có y  y '.x  mx  Gọi M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  hai điểm cực trị đồ thị hàm số   y  x1   y  x2     y  4 mx1   Ta có  y1  y  x1   y  x1  x1  mx1     y2  4 mx2     y2  y  x2   y  x2  x2  mx2  Suy M , N thuộc đường thẳng d có phương trình y  4mx  Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị C m  là: y  4mx  Gọi T  đường trịn có tâm I  1;  bán kính R  Đường thẳng d cắt đường tròn hai điểm phân biệt A , B tạo thành tam giác IAB m     d  I , d   R   d  I , d     4 m     16 m  Cách 1: Do đường thẳng d qua điểm K  0;  , IK  17  R  K nằm ngồi đường trịn nên tồn hai điểm A , B giao điểm d với đường trịn để tam giác IAB vng I   IA.IB Do đó: SIAB  IA.IB.sin AIB 2 Dấu xảy  IA  IB  d  I , d    4m  16m  1 m R  ) 15 32 Bình luận: Nếu đường thẳng d qua điểm K cố định mà IK  R khơng có vị trí đường thẳng d để tam giác IAB vuông I Khi đó, làm bị sai Trong trường hợp ta phải đặt d  I , d   t   t  l  , với l độ dài đoạn thẳng IK , tính SIAB  f  t  tìm giá trị lớn f  t  nửa khoảng  0;l  Cách 2: Phương trình đường trịn là:  x  1  y   C   x  12  y  Xét hệ   16 m  x   16 m  1 x  15   1  y  4 mx   C    16 m  1 d  hai điểm phân biệt A , B cắt  1 có nghiệm phân biệt a , b  15  16 m  1    IA   a  1; 4 ma   Khi A  a; 4 ma   , B  b; 4 mb       IB   b  1; 4 mb       IA.IB  ab   a  b   16  m ab  m  a  b   1    ab   a  b   16 m2 ab  16 m  a  b   17   15   16 m  1 2 16 m  16m  1  17   2 16 m     16m2  ab   16 m  1 a  b   17   16  m  15 32 Câu 38: Chọn A Ta có f   x   3x  ax  Hàm số y  f  x  có cực trị khi: a2    a    a  1 g  x   3 x  2bx  Hàm số y  g  x  có cực trị b    b  3  b    Giả sử x0 điểm cực trị hai hàm số y  f  x  y  g  x    a  b  x a   x  x0 3 x  ax0           3  x  bx   b   x   b   x   0    2 x0   x0    P a  b   P2  3 1  x0   x0     x0 x0 2 x0  x0 25 25  x02  15  x02  15  30  P  30 x0 x02 Dấu “=” xảy khi:     1 1   x0  x0      x0  x0    x0  x0   x0   x     x0     25  x   x2  x0     Với hai giá trị x0 , ta tìm hai cặp giá trị a , b thoả Vậy P  30 Câu 39: Chọn B Ta có y  x  3mx   y  3x2  3m Hàm số y  x  3mx  có điểm cực trị  phương trình y  x  3m  có hai nghiệm phân biệt  m   1 Ta có y  x.y  mx  Suy phương trình đường thẳng  qua hai điểm cực đại cực tiểu y  2mx   mx  y   Đường thẳng  cắt đường tròn tâm I  1;1 , bán kính R  hai điểm phân biệt A , B  d I;   R  2m  4m    m   m   4 m  m    sin AIB 1 Ta có SIAB  IA.IB.sin AIB 2    AIB   90 Dấu xảy  sin AIB Khi tam giác IAB vng cân I có IA  nên 2m  2 2    m2  m    m  thỏa mãn đk  1 dI;   2 4m2  Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn m  2 Câu 40: Chọn A   Ta có y  3x  3m  x  m , y   x  m Suy hàm số có hai điểm cực trị m  1  Ta có y  y  x   mx  nên đường thẳng qua hai điểm cựa trị đồ thị hàm số 3   : y  2mx  hay  : 2mx  y   Đường tròn  C  có tâm I (1; 0) , bán kính R  Đường thẳng d cắt đường tròn  C  hai điểm phân biệt A , B d I,  2m  2 4m    4m2  8m   8m2   4m2  8m    Khi đó, diện tích tam giác IAB SIAB  IA.IB.sin AIB   IA.IB  R  Mà IA.IB.sin AIB 2    AIB   90 Như diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn sin AIB Từ d  I ,    2m  1   m2  m   4m   m  AB  R   2 4m  Vậy giá trị m cần tìm m  Câu 41: Chọn A Trường hợp 1: Với m   y  x  hàm số đồng biến  nên khơng có cực trị Trường hợp 2: Với m  1 *  , ta có: y   m  1 x   m  1 x  m Hàm số khơng có cực trị  phương trình y  vơ nghiệm có nghiệm kép m       m  1  m  m  1    m      m  1 m  Kết hợp với điều kiện  *  ta có   m  1 m   Vậy   m  1  m  1; 2; 3; ; 2018  có 2018 giá trị tham số thực m  *  m   , m  2019 Câu 42: Chọn D Tập xác định D   y  x2  x  m Để hàm số có hai điểm cực trị phương trình y  có hai nghiệm phân biệt  x1  x2        m   m  Hệ thức Vi-ét:  m  x1 x2   Ta có x12  x22  x1 x2  13   x1  x2   3x1 x2  13 Thay hệ thức Vi-ét vào, ta  m  13  m  9 Câu 43: Chọn C y '  x2  2(1  2m)x  (2  m) YCBT  Phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  '  4m2  m     ( x1  1)( x2  1)   1 Hệ thức Vi-ét: x  x  2   2(1  2m)  x1  x2    m x x      m  1; m   m  1; m     m  1   m 2(1  m)        m      5  m      2(1  m) m        Câu 44: Chọn D Ta có: y   x  3m   x  m  *  Để đồ thị  C  có điểm cực trị  *  phải có nghiệm phân biệt  m  Khi đó: y   x   m        m  m m  m     m   2 m m  m   m Đặt: A m ;  m m  m  B  m ; m m  m    Và CA  m ;  m m  m ; CB   m ; m m  m  Ta lại có: SABC  m Theo đề: SABC  10  m m  10  m3  100  m  100 Kết hợp với điều kiện m  ta  m  100 Suy m  1; ; 3; 4 Vậy: có giá trị nguyên tham số m thỏa yêu cầu Câu 45: Chọn B x  m y  x   m  1 x  m  m  1 ; y    x  m  x  m  1    x  m  Đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị với m   B  m  1; 2m   3m  Với x  m  y  2m3  3m2   A m; m3  3m2  Với x  m   y  2m3  3m2  Có AB   1; 1  AB  Phương trình đường thẳng qua hai điểm A B là: x  y  2m3  3m2  m   Diện tích tam giác MAB nhỏ d  M , AB  nhỏ d  M , AB   m  m  m3  3m  m   3m   3m   d  M , AB   Dấu = xảy m  1 Vậy giá trị nhỏ SMAB  d  M , AB  AB  , đạt m  2 Câu 46: Chọn B Ta có y  3x  x  m  C  m có hai điểm cực trị khi: phương trình y  có hai nghiệm phân biệt Hay:      m     m  13 1   m 26  7m Ta có: y  y. x      x   9   3 Nên phương trình đường thẳng d qua hai điểm cực trị C  m là:  m 26  7m y  x     Đường thẳng d qua M  9;   nên:  m 26  7m      5  m     Câu 47: Chọn D Ta có y  x2  x 1 1 Ta có: y   x   y ' x  3  Gọi  đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho   : y  2 x  1 d vng góc với  nên:  3m  1  2   1  m   Câu 48: Chọn D Trường hợp 1: Nếu m    m  1 hàm số cho trở thành: y  x  , hàm số có điểm cực trị, ta loại trường hợp Trường hợp 2: Nếu m    m  1 Ta có y   m  1 x3  x  x  m  1 x2  1 x  x  y      m  1 x2    x  1 m1  Hàm số cho có ba điểm cực trị nhỏ phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt   m  1  m    m    khác nhỏ , hay:  1      m  1  m  m1  1  m   m   m   m  Câu 49: Chọn D Trường hợp 1: Nếu m    m  hàm số cho trở thành y  x  , có điểm cực trị Trường hợp 2: Nếu m    m  Ta có y   m   x   m  1 x  x   m   x  m  1 x  x    y 0  1 m x    m   x  m    m  2  1 Hàm số cho có điểm cực trị phương trình y '  có nghiệm hay phương m  1 m 0 2 m  2 m  trình  1 vơ nghiệm có nghiệm kép x  , hay: Kết hợp với trường hợp ta được: m   ;1   2;   Cần nhớ:  ab  Hàm số y  ax4  bx2  c có cực trị  2  1  a  b  Hàm số y  ax4  bx2  c có ba cực trị ab    Câu 50: Chọn D Hàm số cho có ba cực trị  ab   2  m  1   m  1   y   x   m  1 x  x x  m   x    1;1 x  y      x   m  x  m  Hoành độ điểm cực đại cực tiểu thuộc khoảng  1;1  m    1;1  m    1  m  Kết hợp điều kiện hàm số có cực trị ta tập hợp giá trị m  1;0  Câu 51: Chọn D   Hàm số cho có ba cực trị  ab   2 m  m    m2  m   , m       Ta có y  x  m2  m  x  x x2  m2  m  x  x  Phương trình y     2 x  m  m   x   m  m  Nhận thấy x  điểm cực đại hàm số nên suy x1,2   m  m  Do x1  x2   m2  m    m  m    m2  m    m  Vậy tập hợp giá trị m cần tìm 0;1 Câu 52: Chọn B x  Ta có y  x  4m2 x  x x2  m2  Phương trình y    x  m     Vậy với điều kiện m  hàm số có điểm cực trị A  0; m  , B m; m4  2m ,   C m;  m  m   Ta có OB   m;  m4  m ; CA   m; m4     Vì tứ giác ABOC có hai đường chéo AO BC vng góc AB  AC nên hình bình   m   l  hành khi: OB  CA  m  m  m4  m m3      m   Câu 53: Chọn D  x  Ta có y  x x  m  y    x  m       Với điều kiện m  đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A 0; m4  2m2 ; B  m ; m  3m ; C   m ; m  3m Để ABDC hình thoi điều kiện BC  AD trung điểm I BC trùng với trung điểm J AD Do tính đối xứng ta ln có BC  AD nên cần I  J với  m  m2   I 0; m4  3m2 , J  0;      m  1 9 Điều kiện: m4  2m2   2m4  6m2  m4  4m2      m ;  2 5  m  Câu 54: Chọn A y   x  m  x  1  x  x  1  mx  m 2   x2  x  m  m2  x  1  Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A , B y  phải có hai nghiệm phân biệt khác    m  m2    m   1  m  m  x Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu y   mx  m  x  1   x  m Gọi x A ; xB hồnh độ A , B x A ; xB nghiệm phương trình   x  x  m  m2  Theo định lí Viet ta có xA  xB  ; xA xB  m2  m y A  x A  m ; y B  xB  m   90  x x  y y   x x  x x  m x  x  m  AOB  A B A B A B A B A B  m2  m  4m  m2   4m2  m   m  0; m      1 Tổng bình phương tất phần tử S bằng:      16   Câu 55: Chọn D Tập xác định hàm số y  f  x   tập xác định hàm số y  f  x  Ta có, hàm số y  f  x  hàm số bậc nên có tối đa điểm cực trị x1 , x2 , x3 đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành tối đa điểm phân biệt có hồnh độ x4 , x5 , x6 , x7 Do đó, hàm số y  f  x  có nhiều điểm cực trị, điểm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x , x7 Vậy để hàm số y  f  x  có nhiều điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành điểm phân biệt hay f  x   có nghiệm phân biệt Ta có f  x    x   m  1 x   m   x   5m   x  m  12      x  1 x   x  2mx   m  Suy f  x   có nghiệm phân biệt g  x   x  mx   m có hai nghiệm    m  m     m  3   phân biệt khác 1 khác   g  1   m    m  7  g    Từ ta m  10; 9;  ;  ;  5;  ; 3; ; ;6 ;7 ; ;9 ;10 Có 14 số ngun thỏa mãn LÍ THUYẾT  Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định tập D   f ( x )  M , x  D Số M gọi giá trị lớn hàm số y  f  x  D nếu:   x  D , f ( x )  M  Kí hiệu: M  max f ( x)   f ( x)  m , x  D Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y  f  x  D nếu:   x  D , f ( x )  m  Kí hiệu: m  f ( x) xD xD  Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ O Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách khảo sát trực tiếp  Bước 1: Tính f   x  tìm điểm x1 , x2 , , xn  D mà f   x   hàm số khơng có đạo hàm  Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn  Bước 1: Hàm số cho y  f  x  xác định liên tục đoạn  a; b  Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng  a; b  , f   x   f   x  không xác định  Bước 2: Tính f  a  , f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  b   Bước 3: Khi đó:     max f  x   max f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b   a ,b  f  x   f  x1  , f  x2  , , f  xn  , f  a  , f  b   a ,b  o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng  Bước 1: Tính đạo hàm f ( x)  Bước 2: Tìm tất nghiệm xi ( a; b) phương trình f ( x)  tất điểm  i ( a; b) làm cho f ( x) khơng xác định  Bước Tính A  lim f ( x) , B  lim f ( x) , f ( xi ) , f ( i )  Bước So sánh giá trị tính kết luận M  max f ( x) , m  f ( x)  Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) xa x b ( a ;b) ( a ;b)  min f  x   f  a   a ;b Nếu y  f  x  đồng biến  a; b     f  x  f b max  a ; b  min f ( x)  f  b   a ; b Nếu y  f  x  nghịch biến  a; b     f ( x)  f  a  max  a ;b  Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng  Bất đẳng thức trị tuyệt đối:  Cho hai số thực a , b ta có: a  b  a  b  a  b  Dấu “ = ” vế trái xảy a , b dấu Dấu “ = ” vế phải xảy a , b trái dấu  Tính chất hàm trị tuyệt đối: max a , b   Bước 1: Xét hàm số y  f  x   a , b    ab  ab  Phương pháp chung để giải tốn tìm GTLN – GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Tính đạo hàm y  f  x  Giải phương trình f   x   tìm nghiệm thuộc  a , b   Bước 2: Giải phương trình f  x   tìm nghiệm b j thuộc  a , b   Bước 3: Tính giá trị f  a  ; f  b  ; f   ; f bj So sánh kết luận   VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số f ( x)  m x  (m tham số thực khác 0) Gọi m1 , m2 hai giá trị m thỏa mãn f ( x)  max f ( x)  m2  10 Giá trị m1  m2 [2;5] [2;5] A B C 10 D Lời giải Chọn A Với x   2;  có f '( x)  m x 1 Ta thấy dấu f '( x) phụ thuộc vào dấu m m  f ( x) đơn điệu  2;   f ( x)  max f ( x )  f (2)  f (5)  m  m [2;5] [2;5] m  Vậy m1  m2  Từ giả thiết ta m2  10  m  m  m2  3m  10     m  2   VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  x  3x  m  Tổng tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn   1;1 B A 2 D C 4 Lời giải Chọn A   Đặt y  f ( x)  x  3x  m  hàm số xác định liên tục đoạn   1;1  x  1 Ta có y  f ( x)  x3  3x  m  3x2  ; f ( x)     m   x  x   g( x )    Ta khảo sát hàm số g( x) đoạn   1;1 Bảng biến thiên g( x) Nếu m  3;1 ln tồn x0  1;1 cho m  g( x0 ) hay f ( x0 )  Suy y   1;1 , tức không tồn m thỏa mãn u cầu tốn Nếu m  3;1 f ( x)   x  1  1;1  Ta có: f ( x)   f (1); f ( 1)  ( m  1)2 ;( m  3)2  1;1   m  (TM ) Trường hợp 1: m  tức m   m    f ( x)  ( m  1)2     1;1  m  ( KTM )  m  4 (TM ) Trường hợp 2: m  3 tức m   m    f ( x)  ( m  3)2     1;1  m  2 ( KTM ) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán: m  2; m  4 , từ tổng tất giá trị m 2 VÍ DỤ 3: Biết giá trị nhỏ hàm số y  mx  số) Mệnh đề sau đúng? A  m  36 đoạn  0;  20 (với m tham x1 B  m  C  m  D m  Lời giải Chọn C Cách 1:  20 x  16  36 m  x x  , x   0;  mx  x   20, x   0;     Ta có: y  20   (*)  36  0;3  x0  0;  : mx0  x   0;  : m  20 x0  16  20  x0    x0  x0  1  (vì y    36  20 ) Xét hàm số g  x   Ta có: g '  x   20 x  16  0;  x  x  1 20 x  32 x  16  x  x  1     x   tm  ; g '  x    20 x  32 x  16    x   l    Bảng biến thiên: Do đó, từ  *  suy m  Vậy  m  Cách 2: Ta có: y    36 , y    3m  ; y '  m  Mà y  72  x  1 36  x  1  0, x   0;  Bảng biến thiên , x  0;  y    m  36 , y '    m  Khi y '  0, x  0;  Suy hàm số nghịch biến đoạn  0;  11 Do đó, ta có y  20  y    20  3m   20  m  (không thỏa mãn)  0;3  Trường hợp 1: m  Trường hợp 2: m  36 Khi y '  0, x  0;  Suy hàm số đồng biến đoạn  0;  Do đó, ta có y  y    36 (không thỏa mãn)  0;3 Trường hợp 3:  m  36 Khi y '   x  1    0;  m  m   tm    Do đó, ta có y  20  y  1   20   m  12 m  20    0;3  m  m  100  l   Do m  thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy  m  VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  f  x   x6  ax  bx  a  b với a , b số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0  Giá trị nhỏ f   bao nhiêu? A 128 B 243 C 81 D 696 Lời giải Chọn D Ta có f '  x   x  ax  b Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0  nên f  1   b  2 a  Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0  nên f  x   f 1 , x   f  x   f 1 , x    x  ax  bx  a  b   3a  2b , x    x6  ax   2 a   x  a  a    3a  2b , x   (do b  2 a  )    a x  x    x6  x  5, x      a  x  1   x  1  x  x  x  x  , x    *  2   Mà max  x4  x  3x  x   3  x  1 nên (*) xảy a  3 f    3a  705  f    696 VÍ DỤ 5: Cho y  f ( x)  x2  x   mx Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m cho giá trị nhỏ hàm số f ( x) lớn Tính số phần tử S A B C Lời giải Chọn A D Vì f  x   nên f ( x)  x  5x   mx  với x    Với x   4;   , ta có f  x   mx  x  5x    m   x   5, x  x 3 Đặt g( x)   x   5, x  Ta có g( x)  1   0, x   4;   , g(4)  x x 1 Do g  x   g    Vì m  g  x  x   4;    m  g    m  (1) 4 Tương tự, với x  1;  Ta có f  x    x  x   mx  x  1;   m  (2) Với x (0;1) Ta có f  x   x  x   mx  x   0; 1  m   x    m  (3) x Với x   ;0  Ta có f  x   x  x   mx  x    ;   x   ;   m     x Với x   m  x  Từ (1), (2), (3) (4) ta có  m   Vậy S  2; 3; 4; 5;6;7;8 tập hợp tất giá trị nguyên m thỏa mãn VÍ DỤ 6: Tìm tất giá trị thực m để giá trị lớn hàm số y  sin x  m.6 sin x không nhỏ sin x  41 sin x A m  B m  C m  13 18 D 13 m 18 Lời giải Chọn B Ta có: y  sin x  m.6 sin x sin x  41 sin x 3  m   2  3 2   sin x sin x 4 sin x mt  2 3 3 Đặt t    với t   ;  y  f  t   2 t 4     Yêu cầu toán tương đương với: 2 3 Tồn max f  t  ( điều ln đúng) f  t   có nghiệm t   ;  3 2 2 3 ; 3 2   Xét f  t   1 t2   mt   t   3m  3 t Đặt g  t   t2  , g 't      t  t t Bảng biến thiên hàm g  t  : 1 2 3 Yêu cầu toán tương đương  1 có nghiệm hay 3m  g  t  có nghiệm t   ;  3 2  3m  g    3m   m  VÍ DỤ 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  Hàm số y  f   x  liên tục tập số thực có bảng biến thiên sau: Biết f  1  đoạn  1; 2 A 10 10 , f  2  Giá trị nhỏ hàm số g  x   f  x   f  x  B 820 27 C 730 27 D 198 Lời giải Chọn C Xét hàm số g  x   f  x   f  x  đoạn  1; 2  f   x   1 g   x    f  x   1  f   x  , g   x      f  x    2  x  1  1;  Từ bảng biến thiên, ta có: 1    x    1;  Và f   x   , x   1; 2 nên f  x  đồng biến  1; 2  f  x   f  1   f  x    f  x   , x   1;2 nên   vơ nghiệm Do đó, g   x   có nghiệm x  1 x   10   10  730 Ta có g  1  f  1  f  1         3   27 g    f    f          198 Vậy g  x   g  1   1;2 730 27 10 VÍ DỤ 8: Cho hàm số y  f ( x) nghịch biến  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) đoạn 1;  Biết hàm số y  f  x  thỏa mãn  f ( x)  x  f ( x)  x  x  x , x   Giá trị 3M  m B 28 A C 3 D 33 Lời giải Chọn A Ta có:  f ( x)  x  f ( x )  x  x  x  f ( x)  xf ( x )  x  x  x  f ( x )  xf ( x)  x  12 x  x  f ( x )  xf ( x)  x  x  12 x  x  f ( x)  x  x  3x  f ( x)  x  x    f ( x)  x   (2 x  3x)   3  f ( x)  x  2 x  3x  f ( x)   x  x Với f ( x)  x3  x  f ( x)  3x   0, x   nên f ( x) đồng biến  Với f ( x)   x  x  f ' ( x )  3 x   0, x   nên f ( x) nghịch biến  Suy ra: f ( x)   x3  x Vì f ( x) nghịch biến  nên M  max f ( x)  f (1)  2 1;2 m  f ( x )  f (2)  10 Từ đây, ta suy ra: 3M  m   2   10  1;2 VÍ DỤ 9: Cho hàm số f  x  Biết hàm số f   x  có đồ thị hình Trên đoạn   4;  , hàm số g  x   f  x     x  đạt giá trị nhỏ điểm? A x  3 B x  4 C x  D x  1 Lời giải Chọn D Ta có g  x   f   x     x   x   4;   Giải phương trình: g  x    f   x     x    f   x   1  x    x  1  4;    x  4  4;  Tương giao đồ thị sau Bảng biến thiên: Vậy đoạn   4;  , hàm số g  x  đạt giá trị nhỏ điểm x  1 Câu 1: Giá trị lớn hàm số y   x  x khoảng  0;  là: A Câu 2: B C D -2 Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục  có bảng biến thiên sau x y'  + + + + y  Khẳng định sau đúng? A Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ B Hàm số có cực trị C Hàm số đạt cực đại x  đạt cực tiểu x  D Hàm số có giá trị cực tiểu Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Giá trị lớn hàm số đoạn   2;  A Câu 4: B D Giá trị nhỏ hàm số f  x    x  1 x   x   x    2019 A 2017 Câu 5: C B 2020 C 2018 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên   5;7  sau: Mệnh đề sau đúng? A f  x   hàm số không đạt giá trị lớn   5;7   5;7  B max f  x   f  x    5;7   5;7  D 2019 C max f  x   f  x    5;7   5;7  D max f  x   f  x    5;7  Câu 6: Gọi m giá trị nhở hàm số y  x  A m  Câu 7:  5;7  B m  khoảng  0;   Tìm m x C m  D m  Cho hàm số y  f  x  hàm số y  g  x  có đạo hàm xác định  có đồ thị hình vẽ đây: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình ? A Câu 8: B C f  x g  x  m có nghiệm thuộc   ;  D Cho hàm số có bảng biến thiên hình Khẳng định sau đúng? A Giá trị nhỏ hàm số tập số thực  B Giá trị cực đại hàm số C Giá trị lớn hàm số tập số thực D Giá trị cực tiểu hàm số Câu 9: Cho hàm số y  f  x  liên tục  cho max f  x   Xét g  x   f  3x  1  m Tìm tất  1;  giá trị tham số m để max g  x   10  0;1 A 13 B 7 C 13 D 1    Câu 10: Giá trị lớn hàm số y  3sin x  4sin x khoảng   ;  bằng:  2 A B C 1 D sin x  Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số sin x  sin x  cho Chọn mệnh đề 3 A M  m B M  m  C M  m  D M  m  2 Câu 11: Cho hàm số y  Câu 12: Tìm giá trị nhỏ hàm số f  x    khoảng  0;1 x 2x  A f  x   54  25 20 B f  x   11  5 C f  x   10  5 D f  x   56  25 20  0;1  0;1  0;1  0;1 Câu 13: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x2  tập x2  3 D   ; 1  1;  Tính giá trị T m.M  2 A T  B T  C T   D T   11  Câu 14: Cho hàm số y  x  x  Gọi M giá trị lớn hàm số khoảng  25;  Tìm 10   M 129 A M  B M  C M  D M  250 Câu 15: Giá trị lớn hàm số y   x3  3x  khoảng  0;   bằng: A B C 1 D Câu 16: Trên khoảng (0;  ) hàm số y   x  3x  A Có giá trị lớn Max y  –1 B Có giá trị nhỏ Min y  –1 C Có giá trị lớn Max y  D Có giá trị nhỏ Min y  Câu 17: Cho hàm số y  x4  x2  Khẳng định sau đúng: A Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn B Hàm số có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn C Hàm số có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn D Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai  Biết f     , f     2018 bảng xét dấu f   x  sau: Hàm số y  f  x  2017   2018 x đạt giá trị nhỏ điểm x0 thuộc khoảng sau đây? A  ;  2017  B  2017;   C  0;  D  2017;  Câu 19: Cho hàm số f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  x   x  m  x nghiệm với x   1;  A m  10 B m  5 C m  3 D m  2 Câu 20: Có số thực m để giá trị nhỏ hàm số y  x2  x  m   x 5 A B C D Câu 1: Chọn B Tập xác định D   0;  Xét hàm số y   x2  x khoảng  0;  Ta có: y  x   x2  x Bảng biến thiên có y   x  Trên khoảng  0;  giá trị lớn hàm số y  Câu 2: Chọn C Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng thấy A, B, D sai, C Câu 3: Chọn B Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy hàm số y  f  x  xác định liên tục đoạn f  x   f  3    2;  ta có f  x   2;  với x   Nên ta có max  2;3  Câu 4: Chọn C Tập xác định: D=   Biến đổi: f  x    x  1 x   x   x    2019  x  x   x   x   2019  5 9 Đặt t  x  x   t   x     t   x 2 4  Hàm số cho trở thành f  t   t  2t  2019   t  1  2018  2018  t     Vậy giá trị nhỏ hàm số cho 2018 t   1   ;      Câu 5: Chọn A Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng ta thấy f  x   x   5;7  max f  x   sai f  x  nhận giá trị 7; lớn x   5;7  max f  x   sai f  x  khơng mà tiến đến x  ,  x    5;7  Câu 6: Chọn A ; y '   x  2; x    0;   x2 Bảng biến thiên: Ta có: y '   Suy giá trị nhỏ hàm số y( 2)   m  Câu 7: Chọn D Xét hàm số h  x   f  x g  x Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số f  x  g  x  liên tục nhận giá trị dương   2;  , h  x  liên tục nhận giá trị dương   ;  Ngoài với x  2 ;  , dễ thấy h0  f 0 g 0  f  x   , g  x   nên h  x   f  x g  x  , mà  nên max h  x    2; 3 Lại có h  x   với x  2 ;  h  2   nên  h  x    2 ;  Phương trình f  x g  x h  x   m  max h  x   m có nghiệm   ;   2; 3  2 ; 3 Từ  1 ,     , kết hợp với m   , ta có m  1; ; 3; ; ; 6 Chọn D Câu 8: Chọn B Từ bảng biên thiên ta nhận thấy đạo hàm hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm nên hàm số đạt cực đại giá trị cực đại hàm số Câu 9: Chọn C Ta có: max g  x   max  f  x  1  m   m  max f  3x  1 0;1 0;1 0;1 Đặt t  3x  Ta có hàm số t  x  đồng biến  Mà x  0;1  t  1;  Suy ra: max f  3x  1  max f  t   Suy max g  x   m  0;1  1; 2 0;1 Do max g  x   10  m   10  m  13 0;1 Câu 10: Chọn A Đặt sin x  t  t   1;1 Khi f   t   12t  ; f   t    t    1 1 f    ta thấy GTLN f     2 2 Câu 11: Chọn D 1 So sánh f   2 Đặt t  sin x ,   t   y  f (t )  t 1 t  2t  , f ( t )  t2  t  t2  t    t     1;1 f (t )     f (0)  1, f ( 1)  0, f (1)  Vậy M  1, m  t  2  1;1 Câu 12: Chọn B Hàm số xác định liên tục  0;1 có f   x     x  x  1   Giải phương trình f   x    x3  x2  16 x     x   x2  x    x  3 Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có f  x    0;1 11  5 Câu 13: Chọn B y x2  Tập xác định  ; 1  1;   \2 x2 x  x  2 y  x 1  x2   x  2  2 x  x   x  2 2 ; y   x  Từ bảng biến thiên suy M  0; m   Vậy M.m  Câu 14: Chọn A x  Ta có y  x2  3x    x  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có M  Câu 15: Chọn A x  Ta có: y  3x2  , y     x  1 l  Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn hàm số y   x  3x  khoảng  0;   Câu 16: Chọn C x  Ta có y  3x  , y     x  1 Ta có bảng biến thiên  Hàm số có giá trị lớn Max y  Câu 17: Chọn C x   Ta có: TXĐ: D   y  x  x , y    x   x  1 Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn Câu 18: Chọn A Dựa vào bảng xét dấu f   x  ta có bảng biến thiên hàm sồ f   x  Đặt t  x  2017 Ta có y  f  x  2017   2018 x  f  t   2018t  2017.2018  g  t  g  t   f   t   2018 Dựa vào bảng biến thiên hàm số f   x  suy phương trình g  t  có nghiệm đơn    ;  nghiệm kép t  Ta có bảng biến thiên g  t  Hàm số g  t  đạt giá trị nhỏ t0     ;  Suy hàm số y  f  x  2017   2018 x đạt giá trị nhỏ x0  2017    ;0   x0    ; 2017  Câu 19: Chọn B f  x   x  m  x nghiệm với x   1;   f  x  x 3x   m , x   1;   m  g  x   1;3  2 Quan sát đồ thị, ta thấy f  x   f    3  1;3  Xét hàm h  x   x  x 3x 3x  , x   1;  Ta có: h  x    x ; h  x     2 x  Bảng biến thiên: Theo bảng biến thiên trên, ta suy h  x   h    2  1;3  Từ suy g  x   g    5 Vậy m  5 giá trị thỏa yêu cầu toán  1;3 Câu 20: Chọn D Xét f  x   x  x  m  có    m  Trường hợp m  : f  x   x  y  x  x  m  x0 mà y  5  m   Trường hợp m  : f  x   có hai nghiệm x1    m ; x2    m   y  x   8   m Nếu x   x1 ; x2  : y   x   m   y  x2   8   m  y  x1   y  x2   y  8   m  8  x1 ; x2   Nếu x   x1 ; x2  : y  x  x   m ) x2    m  3 :  y  m  13  5  m  ) x2   m  3 :  y  8   m  8 Vậy có giá trị m Câu 1: Cho hàm số f  x   x 20  m  x7  , với m tham số nguyên dương Hỏi có bao nhêu giá trị nguyên tham số m để hàm số có giá trị nhỏ  A B C Câu 2: Cho hàm số f  x   x 30 m  x6  , với m tham số nguyên dương Hỏi có bao nhêu giá trị nguyên tham số m để hàm số có giá trị lớn  A B C Câu 3:  D  Cho hàm số f  x   m2  3m x11  mx6  x  , với m tham số Hỏi có bao nhêu giá trị thực tham số m để hàm số có giá trị lớn  A B C Vô số Câu 4: D 10  D  Cho hàm số f ( x)  m3  m x13  mx6  x  , với m tham số Hỏi có tất giá trị thực tham số m để hàm số f  x  có giá trị nhỏ  ? A Câu 5: B C Cho hàm số f ( x)  x  x   m  1 x  mx  Để hàm số đạt giá trị nhỏ x0  giá trị tham số m nằm khoảng đây? A  3; 1 B  1;  C  3;  Câu 6: B C D 12 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để hàm số f  x    x  m.x  3m.x  mx  2021 đạt giá trị lớn x0  Số phần tử tập S là: A Câu 8: D  1;1 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m  21; 21 để giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x  mx  mx   m   x  2021 đạt x0  Số phần tử tập S A Câu 7: D B C D Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m  21; 21 để giá trị nhỏ hàm   số f  x   x6   m   x  m  11 x  2021 đạt x0  Số phần tử tập S là: A 34 Câu 9: C 35 B 42  D 37  Cho hàm số f ( x)   x  1 x   x2  ax  b  2021 Biết hàm số đạt giá trị nhỏ 2021 Giá trị biểu thức S  a  b tương ứng bằng: A B C 10 D 14 Câu 10: Cho hàm số f  x   x6  ax  bx  a  b , với a , b hai số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0  Giá trị nhỏ f   bao nhiêu? A 128 B 243 C 81 D 696 Câu 11: Cho hàm số f  x   x  x  ax  bx  b  Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0  Hỏi có tất giá trị nguyên tham số a  20; 20  thỏa mãn toán? A 30 B 23 C 22 D 24 Câu 12: Cho hàm số f  x   ( m  n  2)x  x  ( m  2n  1)x  x  (2 n  1) x  Với m n hai tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0  Giá trị biểu thức T  16m  2n bằng: A 22 B 38 C 46 D 79 Câu 13: Cho hàm số f  x   x  ax  2bx  2cx  2b với a , b , c tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x1  x2  Giá trị biểu thức T  a  b bằng: A B C D Câu 14: Cho hàm số f  x   x  ax  bx  cx  với a , b , c tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x1  x2  Giá trị biểu thức T  a  b  c bằng: A B C D 3 Câu 15: Cho hàm số f  x   x  ax  2bx  với a , b hai tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x1  x2  Giá trị biểu thức T  a  b bằng: A B C D Câu 16: Cho hàm số f ( x)  x4  ax3  bx2  cx  , với a , b , c tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ (b) Giá trị biểu thức T  a  3b  c bằng: A B C 6 D 1 Câu 17: Cho hàm số f ( x)  x8  ax5  bx4  cx  2021 , với a , b tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0  Giá trị nhỏ biểu thức T  a  b bằng: A 1 B C 2 D Câu 18: Cho hàm số f ( x)  x6  ax  bx4  , với a , b tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0  Giá trị nhỏ biểu thức T  a  b bằng: A B C 16 D 2 Câu 19: Cho hàm số f  x   x  x   m  1 x  mx  với m tham số thực Biết   f  x  Giá trị lớn  bằng: A B -1 C -2 D Câu 20: Cho hàm số f  x   x  x   m  1 x  mx  với m tham số thực Biết   f  x  Khi  đạt giá trị lớn x  xo ; m  mo Giá trị biểu thức  xo  mo  bằng: A B C -1 D  Câu 21: Cho hàm số f ( x)   x  x  mx   m   x , với m tham số thực Biết   max f  x  Khi  đạt giá trị nhỏ bằng: A B C D 1 Câu 22: Cho hàm số f ( x)  x6  6a x  5b, với a b hai số thực không âm Biết hàm số đạt giá trị nhỏ 5 Giá trị lớn biểu thức ab tương ứng bằng: A B C D 6 7 Câu 23: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x2  y  Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x  xy  M m Giá trị biểu thức T  M  4m bằng: 2y2  A 113 B 36 C 12 D 64 Câu 24: Biết để giá trị lớn hàm số f  x   x  mx  đoạn 1;  giá trị a a thực tham số m  , a , b số nguyên dướng phân số m  tối giản b b Giá trị biểu thức T  a  b bằng: A B C D Câu 25: Hỏi có tất giá trị nguyên dương tham số m  50; 50  để giá trị lớn hàm số f  x   x  mx đoạn   1;  nhỏ 60? A 53 B 44 C 58 D Câu 26: Hỏi có tất giá trị nguyên dương tham số m  50; 50  để giá trị lớn hàm số f  x   x  mx đoạn 1; 3 lớn 40 ? A 52 B 51 C 49 D 50 Câu 27: Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số f ( x)  x3  mx2 đoạn 1;  nằm  6; 20  ? A B C D Câu 28: Để giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x  mx đoạn 1;  giá trị thực tham số m bằng: A 1 B C 2 D Câu 29: Hỏi có giá trị nguyên tham số m  30; 30  để giá trị nhỏ hàm số x x  mx đoạn 1;  lớn x1 A B 27 C 28 f ( x)  D 33 Câu 30: Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m thuộc   30; 30  để giá trị nhỏ x  mx  hàm số f  x   đoạn 1;  nhỏ ? x 1 A 35 B 26 C 11 D 31 Câu 31: Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m thuộc  44; 44  để giá trị nhỏ hàm số f  x   x  mx   0;  nằm   2;  Số phần tử tập S là: A 41 B 45 C 72 D Câu 32: Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số x  mx  Tổng bình phương tất phần tử tập S bằng: f  x  2 x  x1 A 13 B C 11 D Câu 33: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m  30; 30  để giá trị nhỏ hàm x2  m số f  x   lớn  Số phần tử tập S bằng: x  2x  A 31 B 32 C 11 D Câu 34: Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm số x  mx  nhỏ Số phần tử tập S : f x  x  2x  A B C 59 D 58 Câu 35: Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số x  mx  Tổng bình phương phần tử tập S : f x  x  2x  A 32 B 36 C 40 D 48 Câu 36: Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số x  mx  nhỏ Số phần tử tập S f x  x  x1 A B 10 C D Câu 37: Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m  30; 30  để giá trị lớn hàm x  mx  số f  x   lớn Số phần tử tập S x  2x  A 17 B 16 C 43 D 35 Câu 1: Trường hợp 1: m  13  f  x    f  x   Vậy m  13 thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: m  13  *   Khi hàm đa thức có giá trị nhỏ   bậc cao phải bậc chẵn hệ số 1  m  13   20  m  1  m  13 4  k    k  19    phải dương  20  m  k  m  20  k   2  m  20  k m, k    m, k     m  20  k m, k          m , k    m  2; 4; 6; 8;10;12 (thỏa mãn điều kiện  *  ) Vậy có giá trị m nguyên dương thỏa mãn Câu 2: Chọn C Trường hợp 1: m  24  f  x    max f  x   Vậy m  24 thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: m  24  *   Khi hàm đa thức có giá trị lớn   bậc cao phải bậc chẵn hệ số 0  30  m   24  m  30 phải âm     m  24; 25; 26; 27; 28; 29; 30    m    m   Trong trường hợp kết hợp với  *  ta có m  25; 26; 27; 28; 29; 30 Vậy m  24; 25; 26; 27; 28; 29; 30 Suy có giá trị m nguyên dương thỏa mãn Câu 3: Chọn D Một hàm đa thức có giá trị lớn   bậc cao phải bậc chẵn hệ số phải m  âm, suy m  3m    m  Với m   f  x   x   không tồn giá trị lớn hàm số f  x   Với m   f  x   3 x6  x   tồn giá trị lớn hàm số f  x   Vậy có giái trị thực tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 4: Chọn C Hàm đa thức y  f  x  đạt giái trị nhỏ  bậc cao phải bậc chẵn m  suy m  m     m  1 Với m   f  x   x  , tồn giá trị nhỏ  nên m  thỏa mãn Với m   f  x    x  x  , không tồn giá trị nhỏ  nên m  không thỏa mãn Với m  1  f  x   x6  x  , tồn giá trị nhỏ  nên m  1 thỏa mãn Vậy có giá trị thực m thỏa mãn tốn Câu 5: Chọn D Ta có: f   x   x  x   m  1 x  m , f   x   12 x  x   m  1 Hàm đa thức đạt giá trị nhỏ điểm x0  hàm số phải đạt cực tiểu x0  Suy ra:  f     m  m0   f     2 m   Thử lại: với m   f  x   x  x  x  f      Xét f  x   f    x4  x3  x  x x2  x   0, x   Suy m  thỏa mãn toán Câu 6: Chọn B f   x   x3  6mx  28mx  2m  f   x   12 x  12mx  8m Hàm đa thức đạt giá trị nhỏ điểm x0  hàm số phải đạt cực tiểu x0  Suy ra:  f     30  10 m  m3   f     48  16 m  Thử lại: với m   f  x   x  x  12 x  x  2021 f    2021   Xét f  x   f    x  x  12 x  x   x   x  x không thảo mãn điều kiện không âm, x   Suy khơng có giá trị m thỏa mãn toán Câu 7: Chọn C Ta có: f '  x   4 x  mx  mx  m; f ''  x   12 x  12 mx  m Hàm đa thức đạt giá trị lớn điểm x0  hàm số phải đạt cực đại x0  Suy ra:  f '  1  4  m   m  2   f ''  1  12  m  Thử lại: Với m  2  f  x    x  x  x  x  2021 f  1  2020 Xét: f  x   f  1   x  x  x  x     x  1  với x   Suy ra: m  2 thỏa mãn toán Câu 8: Chọn C Cách 1: Lập luận chất theo tư bất phương trình:   Ta có: f  x   x6   m   x  m2  11 x  2021  f    2021 với x    x4  x   m   x  m2  11   x   m   x  m2  11  với x    2  37 m  21  m  5 m ; m 21;21     m    m2  11       2  37   m  21 m   Vậy có tất 35 giá trị nguyên m thỏa mãn toán Cách 2: Áp dụng kiến thức GTLN GTNN hàm đa thức        Ta có: f '  x   x   m   x  m2  11 x3 ; f ''  x   30 x4  20  m   x  12 m2  11 x2  f '  x0   Hàm đa thức đạt giá trị nhỏ điểm x0  thì:   m  f ''  x0       Thử lại Xét: f  x   f    x6   m   x  m2  11 x  x x   m   x  m2  11  x   m    m  11  với x    2  37 m  21  m  5 m ; m 21;21     m    m2  11       2  37   m  21 m   Vậy có tất 35 giá trị nguyên m thỏa mãn toán Câu 9:   Chọn D Cách 1: Áp dụng kiến thức GTLN GTNN hàm đa thức      Ta có: f '  x    x   x  ax  b  x  3x   x  a     f ''  x   x  ax  b   x   x  a    x   x  a   x  x    f '  x0   Hàm đa thức đạt giá trị nhỏ điểm x0  hàm số phải đạt cực tiểu x0 :   f ''  x0   Nhận thấy f  x   2021  f  1  f   Tức hàm số đạt giá trị nhỏ x  1; x   f '  1  a  b    a   f '     2a  b  Suy   b   f '' 1  2b    f ''    16  6a  2b   Thử lại:   a  3; b   f  x    x  1 x   x  3x   2021   x  1  x    2021  2021 Với 2 TM  Suy a  3; b  thỏa mãn.Suy ra: a  b  14 Cách 2: Theo cách tư bất phương trình:     Ta có f ( x)   x  1 x   x  ax  b  2021  2021   x  1 x   x  ax  b  với x  Suy ra: x2  ax  b  x 1; x   1 a  b  a  0  4  2a  b  b  Thử lại: Với a  3, b  thỏa mãn Suy ra: a  b  14 Câu 10: Chọn D Có đạo hàm f   x   x  ax  b; f   x   30 x  a Hàm số đạt giá trị nhỏ x0  , suy hàm số đạt giá trị cực tiểu x0  Suy ra:  f (1)   a  b   b  2 a     a  15  f (1)  30  a  Thử lại: b  2 a   f  x   x6  ax  2( a  3)x  f 1   a  11 Với  a   15  f  x   f (1)  x6  ax  2( a  3) x  a   ( x  1)2 ( x  x  x  x  a  5)  với x  R  x  x  x2  x  a   với x  R Xét hàm số: g  x   x  x  x  x  a  có: g  x   x  x  x   ( x  1)(4 x  x  4) Khảo sát nhanh hàm số: y  g  x  ta có bảng biến thiên: Để g( x)  x4  x3  x2  x  a   với x  R a    a  3 Có f (3)  11a  4b  729  11a  4( 2 a  6)  729  3a  705  3.( 3)  705  696 Suy giá trị nhỏ cùa f (3) 696 Câu 11: Chọn B Ta có: f   x   x  x  ax  b; f   x   12 x  x  a Hàm số đạt giá trị nhỏ x0  , thì: b  2 a   f (1)  a  b      a  9  f (1)  2a  18  b  2 a  Thử lại: Xét  suy f  x   x  x  ax  ( 2 a  7)x  a  f 1  3a  13 a    Xét f  x   f (1)  x  x  ax  ( 2 a  7)x  a   ( x  1)2 ( x  3x  a  5)  với x  R  x  3x  a   với x  R 11 aZ ; a20;20     32  4( a  5)   a    2  a  20 Vậy có tất 23 giá trị a nguyên thỏa mãn toán Câu 12: Chọn D Điều kiện để hàm số tồn giá trị nhỏ là: m  n    m   n f  x   x  (n  1) x  x  (2n  1)x  f   x   x  3( n  1)x  x  2n  1; f   x   12 x  6( n  1)x  Hàm số đạt giá trị nhỏ x0  , thì:  f (2)  2n  47  47 n   f (1)  62  12 n  14  Thử lại: n Thay 47 14 vào ta 33 54 100 23 25 x  x2  x    x   ( x2  x  )  với x  R 14 7 14 47 75 Suy n   ; m   n   T  2n  3m  79 14 14 f  x   f    x4  Câu 13: Chọn A Ta có: f '  x   x  3ax  4bx  2c ; f ''  x   12 x  ax  4b Để hàm đa thức đạt giá trị nhỏ đồng thời hai điểm x1  x2  , phải có:  f  1  f   7 a  6b  2c  15  a  6  f '     3a  4b  2c  4   13    f '   12 a  b  c   32      b   12  6a  b    f '' 1   c  6  f ''    48  12 a  4b   13 Thử lại, thay a  6; b  ; c  6 vào ta f  x   x  x  13 x  12 x  13 f  1  Xét f  x   f  1  x  x  13 x  12 x    x  1  x    thỏa mãn 2 Vậy T  a  2b  Câu 14: Chọn B Ta có: f '  x   x  3ax  2bx  c ; f ''  x   12 x  ax  2b Để hàm đa thức đạt giá trị nhỏ đồng thời hai điểm x1  x2  , phải có:  f    f  1 a  b  c  1    f ' 0   a  2 c      f '  1    a  b  c  4   b   2 b  c    f ''      f '' 1  12  a  2b   Thử lại, thay a  2; b  1; c  vào ta f  x   x  x  x  f    Xét f  x   f  1  x  x  x  x  x  1  thỏa mãn Vậy T  a  b  c  Câu 15: Chọn B Ta có: f '  x   x  5ax  8bx ; f ''  x   30 x  20 ax  24bx Để hàm đa thức đạt giá trị nhỏ đồng thời hai điểm x1  x2  , phải có:  f    f  1  a  2b  1    f '0  a  0       f ' 1   5a  8b  6  0  b   f ''      f ''  1  30  20a  24 b   Thử lại, thay a  2; b  vào ta f  x   x  x  x  f    Xét f  x   f  1  x  x  x  x  x  1  thỏa mãn Vậy T  3a  4b  Câu 16: Chọn C f ( 1)  f (1) b  f ( x)  b  f ( 1) f ( 1)  f (1) b Ta có   f ( x)  b  f (1) Dễ thấy: Bài toán cho dấu "  " xảy ta nên f ( x)  f ( 1)  f (1) Ta có f ( x)  x3  3ax2  2bx  c ; f ( x)  12 x  ax  2b Để hàm số đa thức đạt giá trị nhỏ đồng thời hai điểm x1  1, x2  phải có:  f ( 1)  f (1)  a  b  c  a  b  c    a   f ( 1)   4  a  b  c        a  b  c   b  2  f (1)   f ( 1)  12  a  2b  c      f (1)  12  6a  2b  Thử lại, thay a  0, b  2, c  vào ta f ( x)  x  x2  1, f (1)  b  2 Xét f ( x)  b  x  x2   ( x  1)2 ( x  1)2  thỏa mãn Vậy a  0, b  2, c   T  a  3b  c  6 Câu 17: Chọn A Ta có f ( x)  f (0)  f ( x)  f (0)  2021, x   Dễ thấy để xuất ( a  b) ta xét f (1)   a  b  2021  f (0)  2021  a  b  1 Dấu "  " xảy f (1)  f (0) tức f ( x)  f (0)  f (1) Ta có f ( x)  x7  5ax  4bx3 ; f ( x)  56 x6  20 ax  12bx2 Để hàm số đa thức đạt giá trị nhỏ đồng thời hai điểm x1  0, x2  phải có:  f (0)  f (1) a  b  1     f (0)  0   a  4     f (1)   5a  4b  8 b   f (0)  0     f (1)  56  20 a  12b  Thử lại, thay a  4, b  3 vào ta f ( x)  x  x  3x  2021, f (0)  2021 Xét f ( x)  f (0)  x8  x  3x  x4 ( x  1)2 ( x  x  3)  thỏa mãn Vậy a  4, b  3  Tmin  ( a  b)min  1 Câu 18: Ta có f ( x)  f (0)  f ( x)  f (0)  1, x   Dễ thấy để xuất (2a  b) ta xét f ( 2)  64  32 a  16b   f (0)   a  b  Dấu "  " xảy f ( 2)  f (0) tức f ( x)  f (0)  f ( 2) Ta có f ( x)  x  5ax  4bx3 ; f ( x)  30 x  20ax3  12bx Để hàm số đa thức đạt giá trị nhỏ đồng thời hai điểm x1  0, x2  2 phải có:  f (0)  f ( 2) 2a  b      f (0)  0  a      f ( 2)    5a  2b  12 b   f (0)  0     f ( 2)   480  160 a  48b  Thử lại, thay a  4, b  vào ta f ( x)  x6  x  x  1, f (0)  Xét f ( x)  f (0)  x6  x  x  x ( x  2)2  thỏa mãn Vậy a  4, b   Tmax  (2 a  b)max  Câu 19: Chọn B    Ta có: f  x   x  x3   m  1 x  mx   m x2  x  x  x3  x   x  Dễ thấy: x2  x    x    f    Biết   f  x   f  x  , x   Suy     f 1  1   f  1  1 Ta tìm điều kiện dấu xảy ra:   f  x   f  1  1 Tức ta tìm điều kiện để hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ xo  Ta có: f '  x   x  12 x2   m  1 x  m; f ''  x   12 x  24 x  m   f ' 1  m   m6   f ''  1  m  10  Thay m=6 ta được: f  x   x  x  x  x  1; f  1  1   f  x   f  1  x  x  x  x    x  1 x  x   0, x   Vậy m=6   f  x   f  1  1 giá trị lớn  Câu 20: Chọn D    Ta có: f  x   x  x   m  1 x  mx   m  x2  x   x4  x   x  1 Dễ thấy:  x  x     x    f  1     f  1  Biết rằng:   f  x   f  x  x   Suy ra:   f    108  Dấu xảy ra:   f  x   f  1  hay hàm số đạt giá trị nhỏ xo  1 Ta có: f '  x   x  x  mx  m; f ''  x   12 x  x  m  f '  1  m   m   f ''  1   m  1 Thử lại: thay m  vào ta f  x   x  x  x2  x  ; f  1  4 2 1 3 Xét: f  x   f  1  x  x  x  x    x  1  x  x    0, x   4 4   mo    f  x   f  xo   f  1  giá trị lớn  Suy  xo  mo    Vậy m  Câu 21: Chọn A Ta có: f ( x)   x  x3  x  m( x  x) ,  f     max f  x   Ta tồn m để max f  x   x  Khi x   ta có   f 1  1 hàm số đạt cực đại x   f      m  2 Thử lại với m  2 f ( x)   x  x  x2  f ( x)  4 x  x  x Ta có bảng biến thiên: Vậy với m  2 max f  x   Câu 22: Chọn D Ta có f ( x)  x  a5 x  5b  f ( x)  x  a5 ; f ( x)   x  a Ta có bảng biến thiên: Theo hàm số đạt giá trị nhỏ 5  5a6  5b  5  b   a6 Giả sử h  a   a.b  a  a6  a  a7  h  a    a   a  Ta có bảng biến thiên   Vậy giá trị lớn biểu thức ab 76 Câu 23: Chọn A Nếu y   x2  P  2 Nếu y  ta có: P  Đặt t  x  xy  x  xy  y  8y2  x  16 y x x 5   8   y y    2  x    16 y x 5t  8t  ta được: P     P  t  8t   16 P    y 2t  16 t  2 Nếu P  phương trình   phương trình bậc hai Nếu P        P   16 P   16  20  88 P  32 P 32 P  88 P      MaxP  Câu 24: Chọn A   32 P  88 P  11  113 11  113 y 8 11  113 11  113  M , MinP   m  T  M  m  113 8   Ta có: Max x  mx    x  mx   4, x  1;  1;  m  x3   x3  , x  1;  ; m  Max   1;  x  x  Dấu “=” xảy m  Câu 25: Chọn B    a  5, b   T  a  b    Ta có: Max x  mx  60  x  mx   60, x    1;   mx  x  60, x  1;  1;  Với x  0, thỏa mãn Với x  ta xét m  1;   x  60  x  60    m  ,  x   1;0  m      m  59   1;0  x mx  x  60  x    m  59   x  60  x  60 m   0;  m , x   0;   m   m7   0;   x x m x  x  60     Kết hợp với điều kiện m   , m  50; 50   m  7; 8; ; 50 Có 44 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 26: Chọn C   Ta có: max x  3mx  40 x  3mx  40, x  1;  1;  m  x  40  x  40 13 , x  1;   m  Max    1;  3x 3x     Suy ra, để giá trị lớn hàm số lớn 40 m   13 Kết hợp với m   , m  50; 50   m  50;  49; ;  2 có 49 số thỏa mãn Câu 27: Chọn D Đặt M giá trị lớn hàm số f ( x)  x3  mx2 đoạn 1;  Ta có:  M  20 Để M  20 x3  mx  20 x  1;  Từ suy ra: m  20  x 20  x  x   1;   m     1;2  x2 x2 Tương tự để M  x3  mx2  x  1;   m  Min 1;2  Do để M  m   x 1  x2 1 1 Vậy  m  , có giá trị nguyên m thỏa mãn 2 Câu 28: Chọn D Để giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x  mx2 đoạn 1;  thì: x3  x3  mx  x  1;  dấu “=” phải xảy Khi ta có: m   1;2  x Câu 29: Chọn C Để giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x x  mx đoạn 1;  lớn thì: x1 x x  mx  x  1;   mx  x x  x  x  1;  x1 m x x  2x  x x  2x  x  1;   m  x x 1;4  Lại có: đặt g( x)  Do đó: m  Min 1;4  Câu 30: Chọn A x x  2x  2 g '( x)    x  1;  x x x x x  2x   g(1)  3 Vậy có tất 28 giá trị m thỏa mãn x Vì f  x   x  mx  hàm liên tục 1;  nên f  x  có giá trị nhỏ 1;  x 1 Ta có: f  x    x  1;  : 1;2  x  mx   x2  3x    x  1;  : m   1 x1 x x2  3x  Khi 1  m  Max g  x   m  x 1;2  Như có 35 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Đặt: g  x   Câu 31: Chọn B Vì hàm số f  x   x  mx  hàm liên tục  0;  nên f  x  có giá trị nhỏ  0;  Ta có: f  x     2;0   2  f  x    1 0;3 Ta 0;3 f    1  0m thấy: f  x   0m nên 1  2  f  x   2  f  x  x  0; 3  x 0;3  0;3 Suy ra:  mx   2x  0;   1  m   x  x   0;   m  max   x    m    0;3    x x Vậy số giá trị nguyên m thuộc  44; 44  thỏa mãn yêu cầu toán 45 Câu 32: Chọn A Ta có : Giá trị nhỏ hàm số f  x   có nghiệm x   m  1 x   có nghiệm trình f  x   1 x  mx   f  x    x   phương 2 x  x1  3x   m  1 x   0x   phương trình    m  12  12        m  1  12   16 m2  m  11     m  1  12  Theo định lý Vi-et, ta có phương trình 16m2  8m  11  có hai nghiệm phân biệt m1 , m2 thỏa   m1  m2   2 13 mãn:   m12  m2   m1  m2   m1 m2   m m   11  16 Vậy tổng bình phương tất phần tử tập S 13 Câu 33: Chọn A a b c    a b Để hàm số có giá trị nhỏ  a ' b ' c ' Dễ thấy  nên hàm số ln có giá trị lớn a' b' a  b  a ' b ' giá trị nhỏ Khi f  x   x2  m  f  x     3x  3m   x  x  với x   x  2x   x  x  3m   với x   m , m30;30 Suy  '   12 m    m      m  30 12 Vậy có 31 giá trị m thỏa mãn Câu 34: Chọn D a b c    Để hàm số có giá trị nhỏ  a ' b ' c ' a  b  a ' b ' a b c 2 m      nên vô nghiệm a' b' c ' a b 2 m Trường hợp 2:     m  1 Khi hàm số có giá trị lớn giá trị a' b' nhỏ Ta tìm điều kiện để f  x   x  mx  Khi f  x    f  x    x  mx  16  x  x  với x   x  2x  Trường hợp 1: Ta có Suy x   m  1 x  13  với x   Suy  '   m  1  39   1  39 1  39 m 4  1  39 m  30  m  2 m  1,m 30;30  , m Suy để f  x       1  39   m  30 m   Có tất 58 giá trị m thỏa mãn Câu 35: Chọn C a b c    Để hàm số có giá trị lớn  a ' b ' c ' a  b  a ' b ' a b c m       m  2 a' b' c ' 2 a b Trường hợp 2:   m  2 a' b' Trường hợp 1: Khi ta tìm điều kiện để max f  x   x  mx   max f  x   với x   x2  x  Phải có điều kiện dấu xảy Mặt khác : f  x   Ta suy x   m   x   với x   Suy    m      6  m  2 Kết hợp điều kiện suy m  6 Kết hợp hai trường hợp, ta suy m  6; 2  S  6; 2 Tổng bình phương giá trị S 40 Câu 36: Chọn D a   Để hàm số có giá trị lớn  a a   a Ta có: f  x   b c  m    b c   1   m  1   m  b   m  m  1 b  1 x  mx   max f  x    x   x2  x     x  mx   x  x   x    x   m   x    x        m    24   4   m  4  m   m  8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 Vậy có tất giá trị m thỏa mãn điều kiện Câu 37: Chọn D a   Để hàm số có giá trị lớn  a a   a b c  m    b c   2  VN  m  4   b   m  m  4 b  2 Để tìm điều kiện m để max f  x   ta tìm điều kện để max f  x   Ta có: f  x   x  mx   max f  x    x   x2  x     x  mx   x2  x   x    x   m  12  x    x        m  12   144    m  24  m  4 m   m , m 4, m 30 ; 30  Vậy để max f  x       30  m  1  m  24   25  m  30  Vậy có tất 35 giá trị m thỏa mãn điều kiện Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ sau Cho a  f  x   f  x  , b   a  a  3 2 S   b  1 1  b   b       b  b  m  n m Có giá trị lớn S k  Khẳng định mn n A k  Câu 2: B 49 C 25 D Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f  x   x3  3x  m đoạn  0;3 16 Tổng tất phần tử S A 16 Câu 3: C 12 B 16 Cho hàm số f  x    x  1  x  m2   m ( m số thực) Gọi tổng giá trị m cho b max f  x   f  x   S  a  b (với a, b   ) Giá trị 1;2 1;2 a 36 18 A B C D 18 5  Câu 4: D 2  Cho hàm số f  x  , đồ thị hàm số y  f   x  đường cong hình bên Giá trị lớn   hàm số g  x   f  x   x đoạn   ;    A f  0 Câu 5: B f  3  C f  2  D f  4  Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx ,  a, b, c, d    , biết đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị x cho hàm số g  x   f  x  đạt giá trị lớn f  x  f  x  2 đạt giá trị nhỏ Số phần tử tập S A B C Câu 6: Cho hàm số f ( x)  A Câu 7: D xm 16 Số giá trị m thỏa mãn f  x   max f  x   1;2 1;2     x 1 B C D Cho hàm f  x  liên tục đoạn  4; 4 có bảng biến thiên hình vẽ bên Có tất giá trị thực tham số m thuộc đoạn  4; 4 để hàm số g  x   f  x  x   f  m  có giá trị lớn đoạn  1;1 ? A 12 Câu 8: Cho hàm số B 11 f  x   x  ax  bx  cx  d S  a  b2  c2  d ? A 60 Câu 9: C D 10 thỏa mãn C 70 B 75 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ hàm số g  x       f  x   1, x   1;1 Tính D 65 x   x  4x    4x 2x 1  2x  Đặt h  x   f  g  x    f  x  x  f   m2 Gọi M giá trị lớn h  x  Giá trị lớn M thuộc khoảng sau đây: A  0;  B  2;  Câu 10: Cho hàm số f  x   C  4;5  D  5;10  x  mx  , với m tham số Tìm tham số m để f  x   ?  1;1   x2 A m  B m  C m   D m 4 Câu 11: Cho số thực x, y thỏa mãn x  x   y   y Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y A m in P   21 B P   15 C P  63 D P   91 Câu 12: Cho hàm số f  x   x3  3x g  x   f   cos x   m ( m tham số thực) gọi S tập hợp tất giá trị m cho 3max g  x   g  x   100 Tổng giá trị tất phần tử  S A 16  C 32 B 12 D 28 ax  b Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ x2  f ( x) Có cặp số  a , b  với a, b   cho M  m2  ? Câu 13: Cho hàm số y  f ( x)  A 51 B 89 Câu 14: Cho hàm số y  C 198 D 102   x   m   x    3m  x  Tìm m    ;  để giá trị lớn   hàm số cho đoạn  1;1 A m  1 B m  1 C m  1 D m  1 Câu 15: Tìm số giả trị tham số m để giá trị lớn hàm số y  3x  x3  6mx  12mx  m đoạn 1;2 18 A B C D Câu 16: Cho hàm y  f  x số đồng biến  thỏa mãn  f  x   x  f  x   x  3x  x2 , x   Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x  đoạn 1;  Giá trị 3M  m B 3 A 33 C D 28 Câu 17: Có số thực m để giá trị nhỏ hàm số y  x  x  m  x 1 B A C D Câu 18: Có giá trị nguyên m để giá trị lớn hàm số f  x   x3  12 x  m 1;3 không vượt 20 A 33 B 34 C 35 D 36 Câu 19: Gọi M giá trị lớn hàm số f  x   x  ax  b đoạn  1;3 Giá trị biểu thức a  b M nhỏ B  A C D Câu 20: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  0; 20 cho giá trị nhỏ hàm số g  x   f  x   m   f  x   đoạn  2; 2 không bé 1? A 18 B 19 C 20 D 21 Câu 21: Tìm tất giá trị a để giá trị nhỏ hàm số y  4ax  x  x  lớn 2? A a  B a  1 C a 2 D a  Câu 22: Có tất giá trị nguyên dương tham số m để hàm số f  x   2mx  x  có x2 giá trị nhỏ đoạn  1;1 a thỏa mãn  a  A B C D Câu 23: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 1; 20 cho giá trị nhỏ hàm số g  x   f  x   m   f  x   3m  đoạn  2; 2 không bé Tổng tất phần tử S bằng: A 207 B 209 C 210 D 212 Câu 24: Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để giá trị nhỏ hàm số y  x  5x   mx lớn Số phần tử S là: A B C D Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  , bảng biến thiên hàm số y  f  x  hình vẽ f   x   0, x   0;   Biết a, x thay đổi đoạn  0; 2 giá trị nhỏ biểu thức  f   x  2  1  f      a  x  f   a     m   S (phân số tối giản, m, n    ) n  f   x  f  x   f   x  f  a      Tổng m  n thuộc khoảng đây? A  20; 25  B  95;145  C  45; 75 D  75;95     Câu 26: Cho đồ thị hàm số f  x   f   x  hình vẽ Biết f    f    f    f  1 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x  trênđoạn  0;  Đáp án A M  f   ; m  f  1 B M  f   ; m  f  1 C M  f   ; m  f   D M  f  1 ; m  f   Câu 27: Đặt M  max x  x  mx Giá trị nhỏ M A B C D Câu 28: Cho đồ thị hàm số y  f  ( x) hình vẽ Biết f (6)  f (0)  f (2) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) đoạn [0;6] Đáp án A M  f (6); m  f (0) B M  f (2); m  f (6) C M  f (2); m  f (0) D M  f (6); m  f (0) Câu 29: Cho đồ thị hàm số y  f  ( x) hình vẽ Biết f (0)  f (2)  f (1)  f (3) f (0)  f (1)  f (3)  f (5) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) đoạn [0; 5] Đáp án A M  f (3); m  f (1) B M  f (0); m  f (1) C M  f (0); m  f (5) D M  f (3); m  f (5) Câu 30: Cho hàm số y  f ( x) đạt giá trị nhỏ  tương ứng m Khi giá trị nhỏ hàm số g( x)  f ( x)  x  x thỏa mãn điều kiện đây? A g( x )  3m B g( x)  3m  C g( x)  3m  D g( x )  3m  Câu 31: Cho hàm số y  f  x  đạt giá trị nhỏ  tương ứng giá trị nhỏ hàm số g  x   f  x   x  x tương ứng Kết luận đúng? A f    B f    C f    D f    Câu 32: Cho hai hàm số y  f  x  y  g  x  liên tục xác định  , có giá trị lớn Khi giá trị lớn hàm số y  f  x   g  x  thỏa mãn điều kiện đây? A max  f  x   g  x    21 B max  f  x   g  x    24 C max  f  x   g  x    30 D max  f  x   g  x    21 Câu 33: Cho hai hàm số y  f  x  y  g  x  liên tục xác định  , có giá trị lớn hàm số y  f  x  giá trị nhỏ y  g  x  Khi giá trị lớn hàm số y  f  x   g  x   thỏa mãn điều kiện đây? A max  f  x   g  x     B max  f  x   g  x     C max  f  x   g  x     D max  f  x   g  x     Câu 34: Cho hàm số y  f  x  liên tục  , có giá trị lớn Biết hàm số y  f  x   x  x có giá trị lớn Chọn đáp án đáp án sau? A f    B f     C f    D f     Câu 35: Cho hàm số y  f  x  liên tục xác định  , có f  x   Khi kết luận nghiệm bất phương trình f  x   là: A có nghiệm B ln vơ nghiệm C có nghiệm vơ nghiệm D ln có nghiệm Câu 36: Cho hàm số y  f  x   x  ax  a  có giá trị nhỏ m Nhận xét đáp án đúng? A m  3 B m   C m  78 D m  Câu 37: Cho hàm số y  f  x  liên tục  , có giá trị lớn nhỏ M m Biết f  a   f  b   18 , a b hai số thực dương Nhận xét đáp án đúng? A m  B M  C m  D M  Câu 38: Cho hàm số y  f  x  liên tục  , có giá trị lớn giá trị nhỏ M m Biết f  a   f  b   12 , a b hai số thực dương Khi giá trị biểu thức  M   m   A 1 B 3 C D 10 Câu 39: Cho hàm số f  x   x  ax  a  , có giá trị nhỏ m Hỏi có tất giá trị nguyên dương mà m nhận? A 11 B C D 10 Câu 40: Cho đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Biết m tham số thực, giá trị nhỏ hàm số f  x   x  2mx  m2  tương ứng bằng: A B C 1 D 2 Câu 41: Cho đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Biết m tham số thực, giá trị nhỏ hàm số f  x    x  mx  m  4 tham số m bằng: A 1 B C  D Câu 42: Cho đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Biết m tham số thực Gọi S tập chứa tất   giá trị thực tham số m để hàm số f  3x  m   f x2  x đạt giá trị lớn Tổng giá trị tất phần tử thuộc tập S bằng: A B C D 2 Câu 43: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Biết m , n hai số thực Để hàm số f  x  m   f  x  n   x  x đạt giá trị lớn  2m  n  A B C D Câu 44: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Hỏi có tất giá trị thực tham số m để hàm số g  x   x  2m2 x  m4  f  f  x   đạt giá trị nhỏ nhất? A B C D Câu 45: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Biết m , n hai số thực Để hàm số f  x  m   f  x  n   x  x đạt giá trị nhỏ T  2m  3n A 11 B 7 C 13 D Câu 46: Cho hàm số f  x   x  mx Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  30; 30  để hàm số f  x  tồn giá trị nhỏ  1;  ? A B C D Câu 47: Cho hàm số f  x    x   m  1 x Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  30; 30  để hàm số f  x  tồn giá trị nhỏ  3;11 ? A B 31 C D Câu 48: Cho hàm số y  x  3mx Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  30; 30  để hàm số f  x  tồn giá trị nhỏ nhất 1;  ? A B C D 11 Câu 49: Cho hàm số y  x3  3mx Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m  30; 30  để hàm số f  x  tồn giá trị nhỏ  2;  ? A 30 B 18 C 32 D Câu 1: 0 f  x   Ta có: f  x   f  x    2 f  x  f  x   Từ đồ thị hàm số y  f  x   a  f  x   f  x    0;1 ,  x   3  2 Có b   a  a    ;1 ,  a   0;1 Xét g  b    b  1 1  b   b     4  2  g '  b    b  1 1  b   b     b  1  2b   b   2b   b               b  1 1  b  4b  b2   b  1 4b  4b  b3   b  1 2b  b3    b  1 1  4b  4b3  b  4b  4b3  b  4b  4b  b3  2b3  b  2b  b3    b  1 3b  8b3  2b  4b  1     b  1 b  b   3b  2b   1 3  3  Ta có b   ;1  b   0;3b  2b    g '  b   0, b   ;1 4  4  2 3   Hàm số g  b    b  1 1  b   b   đồng biến  ;1   4  3   g  b   g 1  8, b   ;1 4   3b Xét h  b     h 'b    b  b  b  b  b   3  3   h '  b   0, b   ;1  h  b   h 1  1, b   ;1 4  4  3 2  S   b  1 1  b   b        Đẳng thức xảy b     b  b  Giá trị lớn S  Câu 2: k  4 Ta có : x  x  m  16 x   0;3  16  x  x  m  16 x   0;3  16  m  x  x  16  m x   0; 3  max g  x   18  0;3 Xét hàm số g  x   x3  3x với x   0;3 Khi :  g  x   2   0;3 18  16  m   14  m  2 2  16  m m  14 Dấu ‘  ’ xảy  Tổng tất phần tử S  16 m  2 Câu 3: f '  x    x  1  3x  2m2  1  x  1 1;  f '  x     x  1 3x  2m      x   2m  1;  m    Bảng biến thiên: 3 Từ bảng biến thiên ta có: f  x    m max f  x   m  m   m 1;2 1;2 2 Xét phương trình max f  x   f  x   1;2 1;2 1 Trường hợp 1:  m   m    10 m  3 1  m2  m   m   m2  3m     2 4   10 m   Do m  nên m   10 Trường hợp 2:  m   m  1  max f  x   3m   3m max f  x   max  ; m   2    3m   max f  x      m  (nhận)  3m  m  3m   2   13  3m m m  2   ktm     4  max f  x        13  3m  m  3m  m  ktm    2  Vậy S  Câu 4:  10   2   36  10 nên a  36, b  10 giá trị b 10   a 36 18 Xét g  x   f  x   4x *   Đặt u  x, x    ; 2  u   3; 4   Khi theo cách đặt * trở thành: g1  u   f  u   2u u    3;4 g1  u    f   u     u    3; 4 Ta có bảng biến thiên hàm số g1  u   3;4 Từ bảng biến thiên suy max g1  u   g1    f     3;  Câu 5: Đặt f  x   t , t  (  ; a ], a  Ta có g  x   Đặt h  t   h ' t   f  x  f  x  f  x  2 2t  t  2t  2 2t  , t  (  ; a ], a  t  2t  2 2  t  2t  t   2t   t  0 t  Ta có bảng biến thiên hàm số h  t   g1  u   f   u   , Ta có h  a   2a   a  nên từ bảng biến thiên suy ra: a  2a  2 max g  x   max h  t    t  hay f  x   (phương trình có nghiệm)  ;a   g  x   h  t   1  t  hay f  x   (phương trình có nghiệm)  ;a   Vậy có tất giá trị x cho hàm số g  x  đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ Câu 6: Ta có: f ( x)  max f ( x)  1;2 1;2 xm 1 m 16 (1) Đặt h  x   có đạo hàm: h '  x   x 1  x  1 Nếu m  f  x   max f  x   (loại) 1;2 1;2 m 1 m2 ; h  2  Trường hợp 1: h 1 , h    m  1 Nếu m  h  x   0, x  h 1  m  m  16    m  (TM) 3 Trường hợp 2: h 1 , h    m  2 Phương trình (1)  m 1 m  16 39   m (TM) 3  h 1 h     Trường hợp 3:  m  m    m  1    m  16   m  14 (khơng TM) Phương trình (1)  3  h 1 h    7  Trường hợp 4:  m  m  2  m     m  16 35 Phương trình (1)    (khơng TM) m 3 39 Vậy m  5, m  nên có giá trị m thỏa mãn Phương trình (1)  Câu 7: Cách 1:   Đặt t  f x3  x Vì x   1;1 nên t   6;5 Khi đó, g  x   t  n với n  f  m    n    n  Do đó, max g  x   max  n  ; n      1;1  n     n  8  n6 8  n5 n3  n  2 Với n   f  m    f  m   , suy có giá trị m 2 , suy có giá trị m Vậy có 11 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Cách 2: Với n  2  f  m   2  f  m     Vì x   1;1 nên 3  x3  3x   6  f x3  3x    Ta có : f  x  x   f  m   8, x   1;1  8  f x3  3x  f  m   8, x   1;1  f  m   f  x3  3x    f  m  5   f  m     x   1;1     f m   f m         f m  f x  x           f  m  Do max f  x  3x   f  m      f  m    2 , có giá trị m Với f  m   1, có giá trị m Với f  m   Vậy có 11 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 8:       Ta có:        f  1  f f f f 8  a  b  c  d 1    2  a  b  c  d 1      2  2 2   0    d       a  b  c  d 1   1  2 2  2    a  b  c  d  1   b  2d   a b c a b c b   d  2    d     d 1 2 2 2 2 Tương tự: 16  2b  2d    b  d  b  2   d  1  d  Dấu “=” xảy kết hợp với d  khi: 8  b  d    b  8 d     a  c      a  c 1   2 Khi đó:  dấu “=” xảy a  c  a c   1  2 2   a  c   Vậy f  x   x  x  Suy ra: a  b2  c  d  65 Chú ý: Ta suy luận sau để nhanh đáp số: Vì cos  4t   8cos4t  8cos 2t  nên đặt x  cost cos  4t   x  x  hàm f  x   x  x  thỏa mãn f  x   1, x   1;1 Câu 9: Điều kiện: x   0; 2 Ta có: g  x   Do  x  2 x  x   x  4x    4x 2x 1  2x   x  2 x  2x 1  2x  x   x   1, x   0; 2   x   x    x   x   x    x   g  x    f  g  x    1 Dấu "  " xảy  x    Ta có:  x  x   2;3 , x   0; 2   f  x  x2  Dấu "  " xảy  x    Ta có:   m2   0; 2  f   m2   2  3 Dấu "  " xảy  m  Từ 1 ,   ,    h  x       max h  x    x  1; m    f  x   , x   1;1 1 3 Câu 10: Ta có: f  x    f  x   , x   1;1    1;1 4  f  x    , x   1;1    Trường hợp 1: f  x   , x   1;1 Nhận thấy f    2  Nên trường hợp (1) khơng tìm m Trường hợp 2: f  x    , x   1;1 Ta có: f  x    , x   1;1 x  mx    , x   1;1  x  4mx  16  3 x  6, x   1;1 x2  0  10, x   10   4mx  x  x  10, x   1;1  4m  x   , x   0;1 * x  10  4m  x   x , x   1;0   Xét hàm số g  x   x3   10 10 24 x  10 có g   x   24 x    0, x  x x2 x Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên:    m   x  m  4m      m  g  x    *  4m  max 0;1   4 4m   m   4m  g  x   1;0   Câu 11: Cách 1: Đặt X  x  1, Y  y  với X , Y  suy ra: x  X  1, y  Y  Ta có: x  x   y   y  X  Y  X  3Y   (1) 3 3 Tập hợp điểm M  X , Y  thỏa mãn phương trình (1) đường trịn  C  có tâm I  ;  , bán 2 2 kính R    21    21  30 ;0  Vì Gọi A   C    Oy   A  0;  ; B   C    Ox   B       X , Y  nên ta xét điểm M   AmB Ta có: P  x  y  X  Y   OM  suy Pmin  OM  OA  OB   21   21 Mặt khác: OA        2   21   21 Vậy P  OA         Cách 2: ĐK: x  1; y  2 Ta có: x  x   y   y  x  y  x   y  ,  x  y     x  y    x  y  3  18  x  1 y    21  x  1  y  2   Đẳng thức xảy   11  21  13  21 y  x      x  y    x  y   27   x  y   x  1  y  2  21   Vậy P    11  21 13  21 y  x    Câu 12: Đặt t   cos x, t  1;3 Ta có f  t   t  3t ; g1  t   t  3t  m t  (tm) Xét hàm số h  t   t  3t  m đoạn 1;3 ; h  t   3t      t  1 (l ) h 1  m  2, h  3  m  18  g1  t   m   1;3 Trường hợp : m    g  t   m  18  max 1;3 Từ giả thiết tốn ta có :  m  18  m   100  m  12 (tm)  g1  t    m  18  1;3 Trường hợp : m  18   g  t   m   max 1;3 Từ giả thiết tốn ta có :  m    m  18  100  m  28 (tm)  g1  t   1;3  Trường hợp : 18  m    g  t   max  m  ; m  18   max 1;3 Nếu m   m  18  m  8 106   m  (l ) Từ giả thiết tốn ta có : m   100   18  m  8  m  94 (l )  Nếu m  18  m   m  8 154   m  (l ) Từ giả thiết tốn ta có : m  18  100   8  m   m  46  l   Vậy S  12;  28  12  28  16 Câu 13: Cách 1: ax  b  yx  ax  y  b  x2  Để có max y , y phương trình (1) phải có nghiệm x Tập xác định D    x   : y  1 a  b  Trường hợp 1: y  , (1)  ax  b  Phương trình có nghiệm   a  Với a  b  y  0, x   , y  max y   (thoả mãn) b Với a  y   x   a Trường hợp 2: y  Xét   16 y  8by  a (1) có M  nghiệm     16 y  8by  a   b  a2  b2 b  a2  b2  y 4 b  a  b2 b  a  b2 ;m  4 M  m2  a  2b   a  2b  40(*) Suy b  20  4  b  (do b   ) Nhận xét a  M có   M   số nguyên a thoả mãn Với b  4  a  Có số nguyên a thoả mãn.Vậy có 10 cặp  a; b  Với b  3  a  22 Có số nguyên a thoả mãn.Vậy có 18 cặp  a; b  Với b  2  a  32 Có 11 số nguyên a thoả mãn.Vậy có 22 cặp  a; b  Với b  1  a  38 Có 13 số nguyên a thoả mãn.Vậy có 26 cặp  a; b  Với b   a  40 Có 13 số nguyên a thoả mãn.Vậy có 13 cặp  a; b  Tổng cộng có 89 cặp  a; b  cần tìm Cách 2: (C ) : y  ax  b ax  2bx  a   y  2x2  2 x2    Nếu a  b  y  0, x   , M  m   M  m2  (thoả mãn) Xét a, b không đồng thời Khi y   ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 2b   x1  x2  Ta có  a (Giả sử x1  x2 )  x1.x2  1 lim y  nên (C ) có dạng x  M , m nhận y  x1  , y  x2  Ta có cơng thức cực trị hàm số y  u  x v  x y  xct   u a  v xct  a2 a2 a  4b  M  m  2  2       2b  a  40 x1 x2 16  a  (đến thực tương tự cách 1.) 2 Câu 14: Đặt f  x   x3   m   x    3m  x  Suy f   x   x2   m  2 x   3m2   x  m  1 x  3m  3   5  x1   m    x1   1;   f  x    Vì m    ;  nên     x1 , x2   1;1    x2   3m  x  1;3     Do hàm số f  x  đơn điệu đoạn  1;1 Suy max f  x   max f  1 ; f 1  1;1 f 1  3m2  m       max y     1;1       f f f f 1;1 13 13 7  3m2  m   3m2  m   f  1  3m2  m  3 3   3m  m    1  13   1   3m  m   1  m  3m  m   1     1     3m  m     Câu 15: Đặt f  x   3x  x3  6mx  12mx  m Ta có: f 1  7m  f    m  16  f 1  m   18 17 Điều kiện cần: giả sử max f  x   18      m 1;2  f    m  16  18  17  Vậy cần xét m    ;    Điều kiện đủ: Ta có: f   x   12  x  1  x  m  Trường hợp 1:  1;2 , mà 17  m  , đó: f   x   0, x  1; 2 suy hàm số f  x  đồng biến f    m  16   0;17  nên yêu cầu toán tương đương f 1  7m   18  m   17 Trường hợp 2:  m  , đó: f   x   có nghiệm x  m  1;  Bảng biến thiên: Với: f  m   3m    4m m  6m  12m m  m  3m m  m  2m m  m  19   f 1  m   18 m (l )   Do YCBT     f    m  16  18 m   Vậy có hai giá trị m thỏa mãn là: m   17 ,m    Câu 16:  f  x   x  f  x   x  3x  x   f  x   x  f  x   x3  x  x3  x  x  , x    f  x   x3  x   f  x   x  x   f  x   x  x      f  x    x  x 3 Vì f  x  hàm đồng biến  nên loại f  x    x  x  f  x   x  x  f   x   x   0, x    f 1   f  x   m; f    12  max f  x   M 1;2 1;2 Suy ra: 3M  m  3.12   33 Câu 17: Yêu cầu toán  y  1, x   y  1 có nghiệm Ta có y  1, x    x  x  m  x  1, x    x  x  m  4 x  1, x    *   x  x  m  x  1, x    ( x   (*) ln đúng)  x  x  m  4 x  1, x      m   x  x  1, x     m  (1)  m   x  x  1, x     x2  2x  m  4x  Ta có y  1 có nghiệm  x  x  m  4 x  có nghiệm   có  x  x  m  4 x   m   x2  x  m 1  nghiệm x     có nghiệm x    16  m  (2)  4  m   x  x  m  Từ (1) (2) suy m   x   1;3 Câu 18: Đặt g  x   x  12 x  m  g   x   3x  12 , g   x      x  2  1; 3 Ta có: g 1  m  11 ; g    m  16 ; g  3  m   g  x   m  16; max g  x   m  1;3 Do 1;3 max f  x   max  m  ; m  16  đó: 1;3  m   20 20  m   20 11  m  29    4  m  29  20  m  16  20 4  m  36  m  16  20 Vậy có 34 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán Câu 19: M giá trị lớn hàm số f  x   x  ax  b đoạn  1;3 M   a  b  M  f  1     M  f  3   M   3a  b   2 M  f 1 2M   a  b  4M   a  b   3a  b  1  a  b   a  b   3a  b   2a  2b  M   M   M   a  b    a  2  Dấu xảy khi: 3a  b     b    1  a  b   Thử lại thấy thỏa M  giá trị lớn hàm số f  x  đoạn  1;3 Vậy a  2b   Câu 20: Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy f  x    2; 2 với x   2; 2 Đặt t  f  x   với x   2; 2  t   0; 4 với x   2; 2 Xét h  t   2t  m  t   2t  m  t   t  m  (vì 2t  m  t   0; 4 , m  0; 20 ) Trường hợp 1: Xét m    m   Min g  x   Min h  t   m    m  (tm)  2; 2 0; 4 m   Trường hợp 2: Xét    m  (do m   0; 20 )  Min g  x   Min h  t    x 2;2 t0;4 m   (ktm) Trường hợp 3: Xét m    m  3 (không thõa mãn m   0; 20 ) Ta có Min g  x    m    m  mà m  , m   0; 20 nên m  2;3; ; 20  2; 2 Suy có 19 giá trị nguyên m thỏa mãn đề Câu 21: y -1 x d1 d2 Để giá trị nhỏ hàm số y  4ax  x  x  lớn thì: 4ax  x  x   với x   Suy x  x    4ax với x   Hàm số y  x  x  có đồ thị  C  Đường thẳng d : y   4ax qua điểm cố định  0;  Đường thẳng d : y   4ax tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  ( x  1)   x   a   d1 : y   x 2  4ax  x  x     x  1  a   d : y   x  4 a  x   Để x  x    4ax với x   d : y   4ax nằm d1 , d  a 2 Câu 22: Đặt t  x  với x   1;1  t  1;  x  t  Hàm số cho trở thành g  t   Xét hàm số h  t   2mt  4t  4m Khi đó: f  x   g  t  1;  1;1 t2   2mt  4t  4m đoạn 1;  t2 h  t   4t  8mt  0, t  1;  m  t4 suy h  t   2m  max h  t   1;    1;    2m  3 Điều kiện cần: Ta có: g  t   a   0;1  h 1 h 1;          2m  4  2m 34  3     2  m  Vì m nguyên dương nên m  1; 2;3 Điều kiện đủ: m  1;2;3  Khi đó: g  t   g 1 ; g 1;         2m  ; 2m 34          (loại) + m  : g  t   6;   1;            0;1 (nhận) + m  : g  t   8;   1;            0;1 (nhận) + m  : g  t   10;   1;      Vậy m2;3 nên có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 23: Với m  * , m  20 , ta có x   2; 2  t  f  x    2; 2 Khi h  t   2t  m   t  3m    0, t   2; 2  h  t   2t  m   t  3m   0, t   2; 2 Trường hợp 1: t   3m  h  t   3t  4m 2  3m   2; 2   m   m 1 +)  h t  h   3m    5m    2;2     3m  2  m   m  2;3; ; 20  m  1; 2; ; 20 +)  h  t   h  2   4m     2;2 Trường hợp 2: t   3m khơng cần xét lấy tất giá trị m nguyên thuộc đoạn cho đề Vậy tổng phẩn tử S    20  1  20  20  210  x    m  x  4, x   ;1   4;   Câu 24: Ta có y  x  x   mx    x    m  x  4, x  1, 4 5m m5  4 2 Bảng biến thiên hàm số cho Trường hợp 1:  m    Từ để giá trị nhỏ hàm số y  x  x   mx lớn m  , kết hợp với điều kiện m  m nguyên dương ta m  m    Trường hợp 2: m    5  m   Bảng biến thiên hàm số cho Từ để giá trị nhỏ hàm số y  x  x   mx lớn m  10m    m  10m    m  10m  13     m   hợp với điều kiện m  m nguyên dương ta m  3; 4;5;6;7;8} Kết Gộp hai trường hợp ta tập giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán S  2;3; 4;5;6;7;8} Câu 25: Do f   x   0, x   0;   nên f  x  có đồ thị lồi  0;   , tức tiếp tuyến phía đồ thị Suy  f  a   f    a    f    af     Xét  0; 2 , ta có f  x   f   x0  x  x0   f  x0  , x   0;       Suy f   x  f    , f  a   f   x  af     Ta chứng minh f      a  x  f   a    af        a  f      x  a  f   a * Thật vây: Nếu x  a VT *   VP * 2  a  x  a  Nếu x  a  nên *  f     f   a  f  0   a  x  f   a   Do  f   2x  f a     Lại có  f   x     f   x  f  x   f    nên suy S  64 Dấu "  " xảy a  0; x  Như m  1, n  64  m  n  65 Câu 26: Chọn B Bảng biến thiên hàm số f  x  đoạn  0;  sau:  max f  x   f   x0;5 Suy ra: f  x   f  1  m     x0;5 max f  x   f    x0;5 Từ giả thiết: f    f    f    f  1  f    f    f  1  f     f    f   Suy ra, max f  x   f    M x0;5 Câu 27: Ta có: x  x  mx  M ,  x   0;4 M  Với x  thỏa mãn Với x   0; 4 ta có:  m    M  x  x  mx  M   m   M 1   g  x x x M 1   h x x x ,  x   0;4 + Ta có g  x nghịch biến 0; 4 nên: m  g  x   g 4  0;4 M +Ta có h ' x   x  Vậy: 4M 4 M Max h x      4M 4M 4M2 M m  M   M   M Min  4M Câu 28: Chọn C Bảng biến thiên f ( x) đọan [0;6] sau: Suy ra: max f ( x)  f (2)  M x[0;6] Và f ( x)  f (0) ; f ( x)  f (6) x[0 ,6] x[0;6] Từ giả thiết: f (6)  f (0)  f (2)  f (6)  f (0)  f (2)  f (6)   f (6)  f (0) Suy ra: f ( x)  f (0)  m x[0;6] Câu 29: Chọn D Bảng biến thiên f ( x) đọan [0; 5] sau:  max f ( x)  f (0)  f ( x)  f (1) x[0,5] x[0,5] Suy ra:    max f ( x)  f (3)  f ( x)  f (5)  x[0,5]  x[0,5] Từ giả thiết: f (0)  f (2)  f (1)  f (3)  f (0)  f (3)  f (1)  f (2)   f (0)  f (3) Suy ra: max f ( x)  f (3)  M x[0,5] Từ giả thiết: f (0)  f (1)  f (3)  f (5)  f (1)  f (5)  f (3)  f (0)   f (1)  f (5) Suy ra: f ( x)  f (5)  m x[0 ,5] Câu 30: Chọn D Tồn giá trị x0  R cho: f ( x)  f  x0   m với x   Suy ra: f ( x)  f  x0   3m với x   Lại có: x  x  ( x  1)2   1 Suy ra: y  f ( x)  x2  x  3.m  ( 1)  3m  Suy f ( x)  3m  Câu 31: Chọn A Ta có: f  x   3, x   Mà: g  x   f  x   x  x  f  x    x     4.3    f  x    f  x   Dấu "  " xảy     f 2   x     x  Câu 32: Chọn A Ta có: f  x   3, x   g  x   6, x      y  f  x   g  x   3.3  2.6  21  max f  x   g  x   21 Câu 33: Chọn C Ta có: f  x   6, x   g  x   3, x      y  f  x   g  x    2.6  3.3    max f  x   g  x    Câu 34: Chọn A Theo giả thiết ta có: y  g  x   f  x   x  x  Do đó: g    f     f    g  3  f  3    f  3   g    f      f    Câu 35: Chọn C Nếu f  x   hàm  bất phương trình f  x   vô nghiệm.(Đáp án A sai) Nếu f  x   x  liên tục xác định  bất phương trình f  x    x   x  có vơ số nghiệm.(Đáp án B, D sai) Câu 36: Chọn C Ta có y  f  x   x  ax  a   m , x   Suy f     a.3  a   m  78  m Câu 37: Chọn D Ta có: m  y  f  x   M , x    f  a   m Từ giá thiết ta có   18  f  a   f  b   m  m  3m  m   f  b   m  f  a   M Tương tự ta có   18  f  a   f  b   M  M  M  M   f  b   M Câu 38: Chọn B Ta có m  y  f  x   M , x    f  a   m Từ giả thiết ta có   12  f  a   f  b   m  m  3m  m    m    1  f  b   m Tương tự, ta có được:  f  a   M  12  f  a   f  b   M  M  M  M   M     f  b   M Suy  M   m    2 Câu 39: Chọn D Ta có: m  f  x  , x   Suy m  f    Suy giá trị nguyên dương m thỏa  m  Có giá trị Câu 40: Chọn D Ta thấy f  x   f  1  3 Xét hàm số g  x   f  x   x  mx  m2   f  x    x  m    f  x   f  1  3 Có   g  x   f  x    x  m     3     2  x  m    x  1  m  1 Khi g  x   g  1  2 Dấu xảy khi:  x  m Câu 41: Chọn A Ta thấy f  x   f  1  3 Xét hàm số g  x   f  x     x  m    3    4 2 x   1  x  2  f  x    3 Dấu xảy khi:    x  2m m  1  x  m  Câu 42: Chọn C +) Ta thấy maxf  x   f     f  x   f    4, x    f  3x  m   f    +) Ta có   f x  x  f  x  m   2.4   12  f x  x  f         m  3x    x  m  Dấu xảy khi:     x  1  m  6;6  S  x  x   x   Vậy tổng phần tử thuộc tập S Câu 43: Chọn C Ta thấy max f  x   f    nên  f  3x  m     f  x  n    f  3x  m   f  x  n   x  x  20   x  x  x  x    Để xảy dấu  3x  m   m  x  n  n    Vậy 2m  n  Câu 44: Chọn A Ta thấy max f  x   f  3  nên  f  f  x     f  3   Mặt khác, x2  m2 x  m4  x  m2   Từ đó, ta có g  x   x2  2m2 x  m4  f  f  x     f  3   x  m Để xảy dấu   f m2  3 (*) f x        m2  m Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  (*) tồn a   b  c  d để  m   m a m   b   m   c c   m   d d b Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 45: Chọn C  f  x  m   3 max f  x   f     Ta thấy  nên  f  3x  n    f  x  m   f  3x  n   x  x  12 min f  x   f    3   x  x  1 x  x    Để xảy dấu 2 x  m   m  2 3x  n  n  3   Vậy T  2m  3n  13 Câu 46: Chọn A Ta có đạo hàm: f   x   x  m Bảng biến thiên:   0  m  Yêu cầu toán  m   1;   m ; m 30;30  Vậy có tất giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 47: Chọn B Ta có đạo hàm: f   x   2 x  m  Bảng biến thiên: m ; m 30;30      m  30 Yêu cầu toán  3  m   1  m  Vậy có tất 31 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 48: Ta có đạo hàm: y  3x  3m Hàm số y  x  3mx tồn giá trị nhỏ  1;  có điểm cực tiểu  1;  giá trị cực tiểu nhỏ giá trị hàm số hai đầu mút Nhận thấy, m  hàm số f  x  đồng biến  (cũng đồng biến  1;  ) nên không tồn giá trị nhỏ nhất  1;  Khi m  , hàm số có điểm cực tiểu x  m    m   1;  1  m    Khi đó, ta phải có:  f m  f 1   f m  f  1    f m  f  3  f m  f  3           Yêu cầu toán tương đương với m m  1;    m   2  m  Vậy có tất giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 49: Ta có đạo hàm: y  3x  mx Hàm số y  x3  3mx tồn giá trị nhỏ 1;  có điểm cực đại  2;  giá trị cực đại lớn giá trị hàm số hai đầu mút Nhận thấy, m  hàm số f  x  đồng biến  (cũng đồng biến  2;  ) nên không tồn giá trị lớn nhất  2;  Khi m  y  x2  mx   x  0; x  2m  hàm số đạt cực đại x  m   m  0   2;   Khi ta phải có:   0  8  12 m  m  f  f        0  27  27 m  f    f  3  Khi m  y  3x2  mx   x  0; x  2m  hàm số đạt cực đại x  2m m  1  m     m   2;  Khi ta phải có:   4 m3  8  12 m  vo nghiem  f  m   f  2   4 m  27  27 m  f  2m   f    m ; m 30;30    Kết hợp lại ta được: m     m  30 Vậy có tất 30 giá trị nguyên m thỏa mãn DẠNG 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Câu Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x2  x  đoạn   3;0  Khi tổng M  m A Câu C 14 D Giá trị lớn hàm số y  x3  x2  đoạn  0;  A Câu B B 11 C D Cho hàm số y  x  16 x  , gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn  0;  Tính giá trị biểu thức M  2m A 14 Câu B 57 C 64 D 60 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   2x  đoạn x2   1;1 Giá trị biểu thức M  3m A Câu B C D Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x2  3x  đoạn x 1  1  2;  Giá trị biểu thức 3M  m   A Câu 27 C  40 D 16 Tìm giá trị lớn hàm số f  x   e x  4e x  4e x  10 đoạn  ; ln  A Câu B 10 B C 10 D Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f  x   ln x  2ln x  đoạn 1; e  Giá trị M  m A Câu B C D Giả sử M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  cos x  sin x   3  0 ;  Tính M  4m   A Câu B C 2 D Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x    x Khi M  m  A a  b c , với a , b , c nguyên Tính T  a  bc B C 12 D Câu 10 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   x   x  x  đoạn 2;  Tính giá trị biểu thức T  M  m A T  18 Câu 11 B T  19 B 200 C 50 D Giá trị nhỏ hàm số y  x  3x   x  a Tìm a A Câu 13 D T  Tích giá trị lớn nhỏ hàm số y  x2  x   x2    4;  A 200 Câu 12 C T  20 C B D Cho hàm số y  3x    x  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ M a a  3  ( phân số tối giản), biểu thức T  a  b có giá hàm số đoạn 0;  Giả sử m b b  2 trị A 37 B 40 C 13 D 20 Câu 14 Cho hàm số y  f  x  liên tục  , có đồ thị  C  hình vẽ sau Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  đoạn  0;  Khi biểu thức M  2m có giá trị A B Câu 15 C D Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau Tìm giá trị lớn hàm số y  f  x  1  đoạn   2;  A Câu 16 B C D Có tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f  x   x2  x  m   1;  A Câu 17 B C Tính tích tất số thực m để hàm số y  D x  x  x  m có giá trị nhỏ đoạn  0;  18 A 432 Câu 18 B 216 C 432 D 288 Cho hàm số f  x   x4  x2  m  Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn  0;  18 Tổng tất phần tử S B A 5 Câu 19 Cho hàm số f  x   C 14 D 10 2x  m Gọi S tập hợp tất giá trị m để f  x   Tổng 1 x  2;  phần tử tập S Câu 20 D A B 8 Cho hàm số y  f  x   x2  m ( m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị m x 1 C 5 cho f  x   Số phần tử S  2;  A Câu 21 B C D Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị nhự hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số g  x   f  x   m đoạn 0;  A 10 Câu 22 C B 6 D Cho hàm số f  x   x  x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y  f  sin x  1  m Tổng phần tử S A Câu 23 B C D Biết đồ thị hàm số f  x   ax  bx  c có ba điểm chung với trục hoành f 1  1; f  1  Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình f  x   m  12 nghiệm x  0;  Số phần tử S A 10 Câu 24 B 16 Cho hàm số f  x   C 11 D x  2020 ( m tham số thực) Có tất giá trị tham số m xm cho max f  x   2020 0;2019  A Câu 25 B C Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số f  x  x  2mx  4m đoạn   1;1 Tổng tất phần tử S x2 1 B  C D  2 Tính tổng tất giá trị nguyên lớn tham số m cho giá trị nhỏ hàm A Câu 26 D số y  x2   m  1 x  m  2; m  1 nhỏ 2020 A 2043210 Câu 27 B 2034201 C 3421020 D 3412020 Cho hàm số y  x  x  x   m Tổng giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn   10;10  để giá trị nhỏ hàm số đoạn  0;  không bé A Câu 28 Cho hàm số y  D 7 x  x  x  m Tính tổng tất số nguyên m để max y  11  1;2  A 19 Câu 29 C B 1 B 37 C 30 D 11 Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y  4cos2 x  2sin x  m    đoạn 0;  nhỏ 4?  2 A 12 Câu 30 B 14 C 13 D 15 Cho hàm số f  x   x  mx  Có giá trị m nguyên để giá trị lớn f  x  đoạn 1;  không lớn ? B A Câu 31 C D Cho hàm số y  x  3x  x  m (với m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để max y  50 Tổng phần tử M  2;3  A Câu 32 C 200 D 201 B C D Gọi M giá trị nhỏ hàm số y  x  x  m đoạn   ;1 Với m  3;  , giá trị lớn M C B D Gọi M giá trị nhỏ hàm số y  x  x  m  đoạn   1;1 Với m  4;  , giá trị lớn M B Câu 36 B 196 Cho hàm số y  sin x  cos x  m , có giá trị nguyên m để hàm số có giá trị lớn A Câu 35 D 215  1;  bé A Câu 34 C 759 Cho hàm số y  x  x3  x  a Có giá trị nguyên tham số a để max y  100 A 197 Câu 33 B 737 B 2 C D Cho hàm số f  x   x4  x3  x2  m Khi m thuộc   3;  giá trị nhỏ hàm số f  x  đoạn  0;  đạt giá trị lớn A Câu 37 B C D Cho hàm số y  x2  x  m  với m tham số thực Biết giá trị lớn hàm số đoạn 1;  đạt giá trị nhỏ a m  b Tính P  2b  a A B 13 C 9 D Câu 38   Cho hàm số y  x  x  m2  x  27 Gọi S tập tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số đoạn   3; 1 có giá trị nhỏ Khi tích phần tử S A Câu 39 B 4 D 8 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số 19 y  x  x  30 x  m đoạn  0;  đạt giá trị nhỏ nhất? B A Câu 40 C C D Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y  x2  x  m đoạn  0;  Số phần tử S A Câu 41 B C D Có giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm số y  x3  mx  x  m đoạn   2;  đạt giá trị nhỏ A Câu 42 B D C Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y  f  x    x  x2  m đoạn   1;  đạt giá trị nhỏ A 23 Câu 43 B 24 D 26 Cho hàm số y  x  x3  x  a Có số thực a để y  max y  10  1;  B A Câu 44 C 25 Cho hàm số y  C  1;  D x  ax  ( a tham số) Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x hàm số 1;  Có giá trị thực a để M  2m  ? A Câu 45 B C D Cho hàm số f ( x)  x  x  m ( m tham số thực) Tìm tổng tất giá trị m cho max f ( x)  f ( x)  10 0;1 0;1 A Câu 46 B 3 C D Cho hàm số f  x   x  x2  m Tìm tất giá trị m thỏa mãn max f  x   f  x   17 1;3 1;3 A m  9; 5; 29 Câu 47  5  B m  9; 5;  3  C m  9; 5 D m  9; 5; 5 Cho hàm số y  f  x   x  3x  m Tích tất giá trị tham số m để f  x   max f  x   0;2  A 16  0;2  B 9 C 16 D 144 Câu 48 Cho hàm số f  x   xm ( m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị m cho x2 max f  x   f  x   Số phần tử S 0;1 0;1 A Câu 49 B C D Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên đoạn 4;  sau Có giá trị tham số m  4;  để giá trị lớn hàm số 11 g  x   f x  x  f  m  đoạn   1;1 A B C D  Câu 50  Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ   2m   2m  Đặt g  x   f  x    x  f   Với giá trị m giá trị nhỏ  2   hàm số g  x  A  B C D Không tồn Câu Chọn C Xét g  x   x  x  liên tục đoạn   3;  Ta có g  x   x  , g  x    x  2    3;  Bảng biến thiên hàm số đoạn   3;  Dựa vào bảng biến thiên hàm số suy M  max g  x   max  8 ; 9 ; 5   , -3;0    m  g  x   8 ; 9 ; 5  Vậy M  m  14 -3;0  Câu Chọn B Xét hàm số f  x   x  x  liên tục đoạn  0;   x   0;  Ta có: f   x   x  x , f   x    3x  x     x   0;  Ta có: f    7 , f    11 , f    Bảng biến thiên hàm số f  x  đoạn  ;  Khi max f  x   , f  x   11 Suy max f  x   11  0;4  0;4  0;4  Câu Chọn B Xét hàm số y  x4  16 x  liên tục  0;   x   0;   Ta có f   x   x  32 x ; f   x     x  2  0;    x  2  0;  Có bảng biến thiên   Từ bảng biến thiên suy ra: f  x   f    f    7; max f  x   f 2  71 0;4  0;4  Vậy M  2m  57 Câu Chọn D Xét hàm số g  x   g  x    x  2 2x  liên tục đoạn   1;1 x2  , x    1;1 Do hàm số y  g  x  đồng biến đoạn   1;1 g     3 ; g    Ta có bảng biến thiên g  x  f  x  đoạn   1;1 :  1 Suy M  max f  x   max g  x   max  3 ;   x  1  1;1  1;1  1;1 3   1 Và m  f  x   g  x    3 ;0;   x  3  1;1  1;1  1;1  Câu Vậy M  3m  2.3  3.0  Chọn D Đặt y  f  x   x  3x   1 Hàm số xác định liên tục D   2;  x 1   Ta có f   x   x   D , f  x    x   D  x  1 x2  2x Bảng biến thiên Ta có f  2    13 1 , f     , f    3 2 Suy max f  x   3 x  , f  x    1  2;     1  2;    Từ ta có, M  max f  x    1  2;    Câu 13 x  2 13 x  2 , m  f  x   x   1  2;   2 Vậy M  m  16 Chọn C Đặt e x  t Ta có  x  ln  e  e x  e ln   t  Khi hàm số f  x  đoạn 0; ln  trở thành g  t   t  4t  4t  10 , với t  1;  Xét hàm số h  t   t  4t  4t  10 Hàm số xác định liên tục đoạn 1;  t   1;  h '  t   3t  8t  ; h '  t     ; h  1  9 , h    10 , h    t   1;     Khi max h  t   , h  t   10 1;4  1;4  Suy max f  x   max h  t   10 t   x  ln 0;ln4  1;4  Vậy giá trị lớn hàm số f  x  đoạn  ; ln  10 Câu Chọn B Xét u  x   ln x  2ln x  1; e  ; u  x  xác định liên tục 1; e  Ta có u  x   2ln x  , u  x    ln x   x  e  1; e x x     Ta có u  1  3, u  e   4, u e  3      x  e M  max f  x   max u  x   max u 1 , u  e  , u e 2 1; e    1; e         x  m  f  x   u  x   u  1 , u  e  , u e 2 1; e    1; e    Vậy M  m    Câu Chọn B  3  Xét hàm số u  x   cos x  sin x  với x  0;  u  x  liên tục    3   0;    +) u  x   -2sin x  cos x cos x  u  x    -2sin x  2cos x   cos x  sin x  1     2sin x   +)    x   k   3    3  5   ; ;    x   k 2  k    Mà x   0;  nên x   ;    2 6    x  5  k 2   3 +) u    2 , u         5    , u    2 , u     , u   2 6     Khi đó: max u  x    , u  x   6  3π  0 ; 3  0 ;      Suy ra: M  max u  x   x   3π  0 ;      5  3 , m  u  x   x   ;   3  2 6   0;    Vậy M  4m  Câu Chọn D Tập xác định: D    3;  Đặt t   x , t  0;      Khi hàm số cho trở thành: y  t  t   t  t  Xét g  t   t  t  liên tục đoạn  0;  ta có: g  t   2t    t    Bảng biến thiên y  g  t  y  g  t  đoạn  0;    1 Từ bảng biến thiên ta có: M  g    ; m  g 2  3  1  Mm   a  ; b  ; c  Vậy T  a  bc   1.3  Câu 10 Chọn A Tập xác định: D    x  x  Ta có f  x   x   x  5x     x  x  x  x  Với x  : Ta có f  x   x  x  Đạo hàm: f   x   x  ; f   x    x  (nhận) Với x  : Ta có f  x   x  x  Đạo hàm: f   x   x  ; f   x    x  (loại) f  2   20 ; f    2 ; f    Bảng biền thiên hàm số f  x   x   x  x  đoạn   2;  Ta có M  max f  x   f  2   20 ; m  f  x   f    2 Vậy T  M  m  18 x 2;4  x 2;4  Câu 11 Chọn D Tập xác định: D   2 x  x  x   ;1   3;   4 x  x   ;1   3;   Ta có: y    y'   x   1;  x  1;  4 x  4 Có y '  (Vô nghiệm) Bảng biến thiên  y  4   50  Ta có:  y 1  Suy max y  50 x  4 ; y  x   4;2   4;2   y     Vậy  max y   y    4;2    4;2  Câu 12 Chọn B  x  x  x  3   x  x    x  Ta có y  x  3x   x     x  x   x   x  x  x   Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy giá trị nhỏ hàm số  a   a  Câu 13 Chọn D  3x  x2  x       x   x   x Ta có y    x    x  x     x   x  x   3 Xét đoạn 0;   2    x  3x    x2  3x   ta có: y    x2  3x   x  3x    x  3  x  3  x   x   3 Bảng biến thiên hàm số đoạn 0;   2 Từ bảng biến thiên hàm số suy M  max y   3  0;    Vậy 26 14 ; m  y   3 9  0;   2 M 13  hay a  13; b   T  a  b  20 m Câu 14 Chọn A Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy đồ thị hàm số y  f  x  sau: Giữ nguyên phần đồ thị trục hồnh phía trục hồnh  C  ( ứng với f  x   ) , lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị phía trục hồnh C  ( ứng với f  x   ) Bỏ phần đồ thị phía trục hồnh C  Dựa vào đồ thị ta suy M  max f  x   , đạt x  x  0;  m  f  x   , đạt x  x  Vậy M  2m  0;  Câu 15 Chọn C Xét hàm số g  x   f  x  1 Ta có bảng biến thiên     Khi hàm số p  x   g x  f x  hàm chẵn nên có bảng biến thiên sau     Xét hàm số h  x   f x    g x   p  x   Ta có bảng biến thiên Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  1   h  x  Từ bảng biến thiên suy giá trị lớn hàm số y  f  x  1  đoạn   2;  x  Câu 16 Chọn C Đặt g  x   x  x  m Ta có: g ,  x   x   g ,  x    x    x   g  1  m   Ta có:  g  1  m  Suy   g    m min g  x   m   1;2   g  x  m  max  1;2 Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: m    m  suy f  x   m   m    m  ( thoả mãn)  1;2  Trường hợp 2: m    m  3 suy f  x   m   m    m  8 (tm)  1;2  Trường hợp 3: m    m   3  m  suy f  x   mà theo f  x    1;2   1;2  nên khơng có m thỏa mãn Vậy có hai giá trị tham số m thỏa mãn Câu 17 Chọn C Xét hàm số f  x   x3  x  x  m liên tục đoạn  0;   x    0; 3 Ta có f   x   x  12 x  ; f   x    x  12 x      x   0;  Mặt khác: f    m; f  1  10  m; f     m; f     m 3     max f  x   max f   ; f  1 ; f   ; f    f    m   0;3 Khi    f  x   f   ; f  1 ; f   ; f    f    m min  0;3 Suy y  0 ; m ; m    0;3  Trường hợp m  suy y  m  m  18 (thỏa mãn) 0;3  Trường hợp m    m  6 suy y   m    m   18  m  24 (tm) 0;3  Trường hợp m  m     6  m   y  (loại) 0;3 Kết luận: tích số thực m thỏa mãn yêu cầu toán là: 24.18  432 Câu 18 Chọn A Xét hàm số g  x   x  x  m  liên tục đoạn  0;  có g  x   x  x  x  1 0;   g  x     x    0;  ; g    m  , g 1  m  , g    m    x  1 0;     g  x   m  , max g  x   m   f  x   0, m  , m  x 0;  x0;  x0;  Trường hợp 1: m  suy f  x   m   m   18  m  20 ( nhận) x 0; 2 Trường hợp 2: m    m  7  f  x    m    m   18  m  25 (nhận) x 0; 2 Trường hợp 3:  m   m     7  m   f  x   (loại) x0;  Suy m  20;  25 Vậy tổng tất phần tử S 5 Câu 19 Chọn B Tập xác định: D  \{1} 2x  Với m  Ta có f  x    2 nên f  x   Vậy m  (nhận) 1 x  2;  2m Với m  Khi đó, f   x   , x  1  x  Ta có f  2   m  m , f     m ; f ( x)   x  m  x  Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ thuộc   2;  m   4  m  Khi f  x   (loại)  2;  Trường hợp 2: Đồ thị hàm số y  f ( x ) khơng cắt trục hồnh cắt trục hoành điểm tức 2  m   2  m  4 có hồnh độ nằm đoạn  , tức (*) 2;      m  m    m    m4  Khi đó: f  x   f  2  ; f     ; m    ; m  2;      2 m4 Nếu  m  m   m   m     3m     m  m      m  m4  (**) f  x    2;   m  1 Ta có Nếu m    m  (loai, m  2) m4 2  (do điều kiện (*) (**))  m   6  m  10 (nhan) m4  m  1  m  f  x   m  2;   m  (loai) Ta có m    Suy S  {2;  10} Vậy tổng phần tử S 8  m  2 (loai) Câu 20 Chọn B x2  2x x2 Hàm số y  f  x    m liên tục đoạn  2;  có f   x   x 1  x  1 x  Ta có f   x     ; x  0, x    2;  f    m  , f    m  x  Nếu f   f       m  4 f  x   Trường hợp không thoả yêu cầu  2;  toán  m  Ta xét trường hợp f   f       m  4  9 Khi f  x   f   ; f     m  ; m   2  2;   m     m  9 m4    Trường hợp 1: f  x   m        m   19  m  (thoả mãn)  2;  m   2   m       m    19  19 m  Trường hợp 2: f  x   m     (thoả mãn)  m    m   2;  2   m4      m  9 m   Vậy có giá trị m thỏa mãn toán Câu 21 Chọn B Từ đồ thị hàm số y  f  x   ax  bx  c ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  trục đối xứng, mà f     f    Suy ra:  f  x   5, x   0;  Xét hàm số g  x   f  x   m , x  0;  Ta có: max g  x   max  m  ; m    0;4   m  3  m1  m    m  3 Trường hợp 1:      m   m  10 max g x     m    0;4   m  10   m  3 m1  m5    m  3 Trường hợp 2:    m   m  max g x     m    0;4    m  14 Vậy tổng tất giá trị nguyên m là: 10    Câu 22 Chọn C Đặt t  sin x  t  0;  , y  f  sin x  1  m  f  t   m  t  3t  m Xét hàm số u  t   t  3t  m liên tục đoạn  0;  có u  t   3t    t   0;  u  t    3t     t  1   0;  Ta có u    m; u  1  m  2; u    m   max u  x   m  , u  x   m   0;2 Khi max y  max m  ; m  Trường hợp   0;2 1:  m   m       m    m  2    m   m  m  m   m    Trường hợp 2:     m  6  m  m   m   m   Vậy S  2; 2  2   Câu 23 Chọn B Đồ thị hàm số f  x   ax  bx  c có ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành gốc toạ độ, suy f     c   I  Ta có f   x   ax  2bx  f  1  1 a  b  c  1 Theo giả thiết    II   a  2b   f  1  Từ  I   II  suy a  1; b  2; c   f  x   x  x Xét hàm số y  x  x2  m đoạn  0;  Dễ thấy hàm số cho liên tục đoạn  0;  có  x   0;   y   x  x    x   0;    x  1  0;   max y  m   0;2 Khi y     m ; y  1   m  ; y     m      y  m    0;2  Theo    m   12     m    m  x  x  m  12, x  0;   max   m  ; m    12      m   12     m    m   4  m  20    m  4  m     2  4  m  11 Suy S có 11 phần tử   13  m  11   m  11       m   Câu 24 Chọn A Hàm số f  x  xác định với x  m Nếu m  2020 f  x   1, x  2020 không thỏa mãn yêu cầu toán Nếu m  2020 f  x  đơn điệu khoảng  ; m   m;   nên yêu cầu toán  m  0; 2019  m  0; 2019     2020  max f  x   2020   4039 0;2019  ; max f   ; f  2019   2020  max   m m  2019    xét hai trường hợp sau:  m    m  0; 2019    m  2019  2020   Trường hợp 1:   2020   m  1  m  1  m  4039  4039   2020   m  2019  2020  m  2019  Ta   2020  m      m  2019    m  0; 2019  4082419 m   2021  4039 4082419   2020 Trường hợp 2:   2020    m  2021 2020  m  2019   m  4074341  2017  2020   2020   2020  2020  m   2020  m  Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 25 Chọn B Tập xác định D  R \2 Xét hàm số g  x   x  mx  4m đoạn   1;1 Hàm số xác định liên tục   1;1 x2 Ta có g  x   x2  4x  x  2  x   1;1 g  x    x  x     x  4  1;1 Ta có g    m ; g  1  m  ; g  1  2m   max g  x   m  ; g  x   m  1;1  1;1   m     m1  2m   2m Suy max f  x   max m  ; m Ta có max f  x        1;1  1;1 m     m    m  m       3 Suy S  1;   Vậy tổng phần tử thuộc tập S  2  Câu 26 Chọn A Cách 1: Xét hàm số f  x   x   m  1 x  m liên tục  2; m  1 với m  Ta có: f   x   x   m  1 ; f   x    x  m1   2; m  1  m  1 ; f m    m  m 1 Khi đó: f     m; f       Vì   m  1   m  , m  nên    m1 max f  x   max  f   ; f   ; f  m  1    m ;     [2; m  1]    m  1  m1 f  x    f   ; f  ; f  m  1     [2; m-1]     2  m  1   Do đó: y    m ;  [2; m-1]      2m  Theo yêu cầu toán:  m  2020  2020   m  2020  2018  m  2022 Vì m   m  nên m  7; 8; 9; ; 2021 Vậy tổng tất giá trị nguyên tham số m là: 2021 n    2021 2015  2043210 n 7 Cách 2: Xét hàm số f  x   x   m  1 x  m liên tục  2; m  1 với m  m 1 2  x   f  x    x   m  1 x  m    Do m  nên ta có:  x  m m   m 1   m  1 ; f m    m  m 1 f     m; f       Từ bảng biến thiên suy ra: f  x   m  [2; m-1] Theo ta có: f  x   2020  m   2020  m  2022 [2; m-1] Kết hợp với điều kiện m  suy m  7;8; ; 2021 Vậy tổng tất giá trị nguyên tham số m là: 2021 n    2021 2015  043 210 n 7 Câu 27 Chọn D Xét hàm số f  x   x  x  x   m liên tục đoạn  0;   x   0; 3 Ta có f   x   x  x  ; f   x      x   0;  f    3  m ; f  1    m ; f    1  m ; f     m 2 Suy max f  x   0;3  m ; f  x   3  m 0;3 3  Trường hợp 1:   m   3  m   Khi giá trị nhỏ hàm số y đoạn  0;  2  (loại) 3  3  Trường hợp 2:   m   3  m   Khi đó: y    m ; 3  m   0;3  2  2  Giá trị nhỏ hàm số đoạn  0;  không bé   m        m  3  m m      m  2   3  m   m        m    m   13     m  3  m        m     m      13     m    Suy giá trị m  10;10  thỏa mãn yêu cầu toán S  10; 9; 8; 7; 8; 9;10 Vậy tổng giá trị m cần tìm 7 Câu 28 Chọn C Xét hàm số f  x   x  x  x  m liên tục đoạn   1;  Ta có f   x   x  x  x  x   1;   f   x    x  3x  x    x     1;    x     1;  f  1   m; f    m; f  1   m; f    m 4  f  x   max f  1 ; f   ; f  1 ; f    f  1  m   max Khi  1;2   f  x   f  1 ; f   ; f  1 ; f    f    f    m  1;2        m   11     m   m    Vậy max y  max  m  , m  , theo yêu cầu toán max y  11    0;3  0;3      m  11   m  m      53 35    m  4   35  m     m  35      11  m    11  m  11 11  m         m    Vì m nguyên nên m  11;  10; ; 8 Kết luận: tổng số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán là: 11  10     30 Câu 29 Chọn D   Ta có: y  4cos x  2sin x  m    cos x  sin x  m  4sin x  sin x  m   Đặt t  sin x , x  0;  nên suy t  0;1  2 Ta tìm giá trị nhỏ hàm số y  4t  2t  m đoạn 0;1 Xét hàm số f  t   4t  2t  m liên tục đoạn 0;1 , ta có: f   t   8t  ; f   t    t     0;1 f    m ; f  1  m  Trường hợp 1: Nếu m   y  m Kết hợp với giả thiết ta có  m   1 0;1 Trường hợp 2: Nếu m    m  6  y   m  Kết hợp với giả thiết ta có  0;1 m    10  m  6    m  6 Trường hợp 3: Nếu m  m     6  m   y   Trường hợp thỏa mãn   0;1 Từ  1 ,     ta m  10;  Vì m số nguyên nên m  10, 9, 8, ,2,3,4 Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 30 Chọn A Ta có giá trị lớn f  x  đoạn 1;  không lớn 3, tức max f  x   1;2  2 m  max  x   1 2 m  x , x  1;  1;   x  mx   3, x  1;         x2   x2  x  mx    3,  x   1;  , x  1;  2  2m  2 m       x  x  1;    1  2m   m  Xét hàm g  x   x2  6  x  với x  1;  có g  x    x x x Suy ra: g  x   0, x  1;   g  x   g    Do    m  1;  Vậy  m  , mà m   nên m  1; 2 Câu 31 Chọn B Xét hàm số f  x   x  x  x  m liên tục đoạn   ;  Ta có f   x   x  x   x  1 f   x    3x  x     Có f  2   m  2; f  1  m  5; f    m  27 x  Suy max f  x   m  ; f  x   m  27  2;3  2;3  Do M  max y  max  m  ; m  27   2;3   m   m  27  2 m  22     m  11; 45    m   50 50  m   50 M  50       m   23; 45  2 m  22  m   23;11      m   m  27     50  m  27  50     m  27  50 Do S  22; 21; 20; ; 1; 0;1; 2; ; 44 Vậy tổng phần tử M 737 Câu 32: Chọn A Xét u  x  x  x  a liên tục đoạn   1;  có u '  x  x  x   x  0 1;   Giải phương trình u '    x     1;    x   1;        1 u  max u  1 , u   , u   , u  1 , u     u  1  u    a   M  max  1;  2    Suy   m  u  u 1 , u , u   , u , u   u  u  a                 1;  2     a   a  100 100  a  2 Vậy max y  max  a  , a   100     1;   a  a   100  2  a  96 Vậy a  100,  99, , 96 có 197 số nguyên thỏa mãn Câu 33 Chọn B Xét hàm số f  x   sin x  cos x  m , có tập xác định: D   Ta có:   m  sin x  cos x  m   m , x   Suy   m  f  x    m , x   Vậy: max y  m  max y  m  D D  m     m  Yêu cầu toán     m     m    2  2   m     m m   2  2   m    m     m 0  m     2   m      m   Do m    m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán Câu 34 Chọn B Xét f  x   x  x  m liên tục   2;1 Ta có: f   x   x  ; f   x    x  1   2;1 ; f  2   m ; f  1  m  ; f  1  m  ; Trường hợp 1:  m  1 m     3  m  , lúc M  y   2;1  m  3 Trường hợp 2:  m  1 m      (*) m  Do đó: M  y   m  ; m    2;1 Khi m   m    m  1   m    m  1 , kết hợp với điều kiện (*) ta m  , 2 lúc đó: M  y  m   2;1 Khi m   m   m  1 , kết hợp với điều kiện (*) ta m  3 , lúc đó: M  y  m   2;1 Xét giá trị m  3;  0   m  0   m  M   m   m  m   m  Dễ dàng nhận thấy M đạt giá trị lớn m  Câu 35 Chọn B Xét f  x   x  x  m    1;1  x     1;1 Ta có: f   x   x  x ; f   x      x  2  1;1 f  1   m  ; f    m  ; f    m  ; Trường hợp 1:  m  1 m     3  m  , M  y   1;1 m  Trường hợp 2:  m  1 m      (*)  m  3 Do đó: M  y   m  ; m    1;1 Khi m   m    m  1   m    m  1 , kết hợp với điều kiện (*) ta m  , 2 lúc đó: M  y  m   1;1 Khi m   m   m  1 , kết hợp với điều kiện (*) ta m  3 , lúc đó: M  y  m   1;1 Xét giá trị m  4;  :  m    m  3  M  0   m   m   m   Dựa vào đồ thị, M đạt giá trị lớn m  Câu 36 Chọn B Tập xác định: D   Xét u  x   x  x  x  m liên tục  0;  x     Ta có u  x   x  12 x  x , u  x     x  Ta có:  x  u    m  u 1  m   u    m min u  x   m  [0;2] Suy ra:  u x  m  max [0;2]   f  x   ; m ; m  f  x   , với m  3;  (*) 0 ;  0;  Trường hợp 1: m  m  1   1  m  suy f  x   0 ;  Trường hợp 2: m  kết hợp với (*) ta có:  m  suy f  x   m  0;  Trường hợp 3: m    m  1 kết hợp với (*) ta có 3  m  1 suy f  x   m   0;  m , m   0;   Khi đó: f  x    m  , m  3;  1 [0;2]  , m    1;0  0 Dựa vào đồ thị ta thấy f  x  đạt giá trị lớn m  [0;2] Câu 37 Chọn D Xét hàm số y  f  x   x  x  m  liên tục đoạn 1;  f   x   x  ; f   x    x   1;  ; f  1  m  , f    m  , f    m  Khi max f  x   max  m  ; m    M 1;3   M  m   M  2m    2m  2m    m   M  Ta có:   M  m    m  13  2m   2m   Dấu "  " xảy   m  m    m    13  b  P  2b  a  Do M   a m  Câu 38 Chọn D   Xét hàm số f  x   x  x  m2  x  27 liên tục đoạn   3; 1 Ta có f   x   3x  x  m   với x  3; 1 Ta có f  3    3m ; f  1  26  m   Khi max f  x   max  3m2 ; 26  m  M  3; 1  M   3m  M   3m2     M  72  M  18 Lại có  2  M  26  m 3 M  3m  78   3m  26  m  18 m  2   m    Dấu xẩy  2  m m  78   m  2     m  2 Vậy với  giá trị lớn hàm số đoạn   3; 1 có giá trị nhỏ  m  2   Khi tích giá trị 2 2  8 Câu 39 Chọn D 19 Xét hàm số f  x   x  x  30 x  m liên tục đoạn  0;   x  5  0;   Ta có f   x   x  19 x  30 ; f   x     x   0;    x    0;  Ta có : f    m; f    m  26 Khi max f  x   max m; m  26  m  26 ; f  x   m; m  26  m 0;   0;  Suy max f  x   max  m ; m  26   M  0;   M  m  m  m  m  26  m  m  26 Ta có   M   m  m  26  M    13 2  M  m  26  m  m  26  13 Dấu xảy   m  13  m  m  26   Do giá trị lớn hàm số y  19 x  x  30 x  m đoạn  0;  đạt giá trị nhỏ 13 m  13 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 40 Chọn A Xét u  x  x  m liên tục trên đoạn  0;  Ta có: u  x  ; u   x    x    0;  u    m , u  1  m  1, u    m Khi đó: max u  max u   , u  1 , u    max m , m  1, m  m 0;2    u  u   , u  1 , u    m , m  1, m  m   0;2  m     m    m  3   m  m    m  m   Suy max y  max m  , m      m  3, m  2  0;2   m    m         m  2   m   m    m   m   Vậy số phần tử S Câu 41 Chọn B Đặt f  x   x  mx  x  m Dễ thấy f  x   , dấu "  " xảy phương  2;2  trình f  x   có nghiệm x  2;  x   Ta có: f  x   x  x  m    x  m   x   x  m  ; f  x     x  3  x  m  2  Do điều kiện cần đủ để f  x   có nghiệm x  2;  m  2;  Mà m   nên m  2; 1; 0;1; 2 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 42 Chọn D   Ta có y  f  x    x  x2  m = x  x  m  x   16  m   2 Đặt t  x  , x  1;  , suy t  0; 25  Khi y  g  t   t  16  m Ta có f  x   g  t    m  , m  16   1;3   0 ; 25 Nếu m    m  , f  x  = m   ,  f  x    , m   1;3   1;3  Nếu m  16   m  16 , f  x  = m  16  ,  f  x    , x 1;3   1;3  m  16 Nếu  m   m  16    16  m  , f  x  = ,  f  x    x 1;3   1;3  Vậy  f  x    , 16  m   1;3  Vì m   , nên có 26 số ngun m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 43 Chọn D Xét hàm số u  x  x  x  a liên tục đoạn   1;  có u  x  x  x   x   1;   u    x     1;    x   1;        1 u  max u  1 , u   , u   , u   , u  1   u  1  u    a   M  max  1;2  2        m  u  u 1 , u , u , u   , u  u  u  a                 1;2  2    Trường hợp 1: Nếu m   a   y  m; max y  M  1;2   1;2  a   a  ( thoả mãn) Ta có điều kiện  a  a   10 Trường hợp 2: Nếu M   a  4 Khi đó: y   M ; max y  m  1;2   1;2  a  4 Ta có điều kiện   a  7 ( thoả mãn)   a    a  10 Trường hợp 3: m   M  4  a  Khi đó: y  0; max y  max  a  , a   max a  4;  a  10  1;2   1;2  Suy y  max y   10  10 ( loại)  1;2   1;2  a  Vậy có giá trị tham số a thỏa mãn đề   a  7 Câu 44 Chọn B x  ax  Xét hàm số g  x   liên tục đoạn 1;  x x2  Ta có g  x   0 x  1;   Hàm x2 số đồng biến min g  x   g  1  a   1;4     g  x  g  4  a  max  1;4 Trường hợp 1: a    a  m  g  x   a   a   a   1;4  Ta có    g  x  a   a   a   M  max 1;4   Khi M  2m   a    a     a  10 (thỏa mãn) Trường hợp 2: a    a  3 m  g  x    a   a   a   1;4  Ta có    a    a  M  max g x   a      1;4   Khi M  2m    a     a     a   10 (thỏa mãn) Trường hợp 3: a    a   3  a  m  g  x    a   a   1;4  Ta có   g  x   max a  3; a  3  a   a   M  max 1;4    a   2.0   a    a   a  a   Khi M  2m       a  4 (không thỏa mãn) a   2.0  a  4    a   a   a  Vậy có giá trị a thỏa mãn yêu cầu toán là: a   Câu 45 Chọn C 10 1;  Ta xét f ( x)  x4  x3  m liên tục đoạn 0 ;1 , f '( x)  x3  x2  x    0;1 f '( x)     x   0;1    f (0)  m; f (1)  m  Ta xét trường hợp sau: Nếu m  max f ( x)   m; f ( x)  m 0;1 0;1 Khi đó: max f ( x)  f ( x)  10  (1  m)  2( m)  10  m  3 ( thỏa điều kiện) 0;1 0;1 Nếu m  max f ( x)  m; f ( x)  m  0;1 0;1 Khi đó: max f ( x)  f ( x)  10  m  2( m  1)  10  m  (thỏa điều kiện)  0;1 0;1 Nếu  m  max f ( x)  m; f ( x)   0;1 0;1 Khi đó: max f ( x)  f ( x)  10  m  10 ( không thỏa điều kiện)  0;1 0;1 Nếu  m  max f ( x)   m; f ( x)  0;1 0;1 Khi đó: max f ( x)  f ( x)  10   m  10  m  9 ( không thỏa điều kiện) 0;1 0;1 Do có hai giá trị m  3 m  thỏa mãn yêu cầu toán Vậy tổng tất giá trị m cho max f ( x)  f ( x)  10 0;1 0;1 Câu 46: Chọn C Hàm số f  x   x3  x2  m liên tục đoạn 1;  Xét hàm số y  x3  x2  m  x   1;  Ta có y  x2  x ; y     x   1;  Khi      y  y 1 ; y   ; y    m  2; m; m  4  m   1;3  y  max y  1 ; y   ; y    max m  2; m; m  4  m  max  1;3 min f  x   m   1;3 Nếu m    m      max f x  m    1;3   Ta có max f  x   f  x   17  3m   m    17  m  (thoả mãn) 1;3  1;3  min f  x   m  1;3 Nếu m      f  x   m max  1;3 Ta có max f  x   f  x   17    m   m  17  m  5 ( thoả mãn) 1;3  1;3  min f  x    1;3 Nếu  m      f  x   m max  1;3 Ta có max f  x   2min f  x   17    m   17  m  1;3 1;3 5 ( không thoả mãn) min f  x    1;3 Nếu  m      f  x  m max  1;3 Ta có max f  x   2min f  x   17  3m  17  m  1;3 1;3 Vậy m  9; 5 17 (không thoả mãn) Câu 47 Chọn B Xét hàm số: f  x   x  x  m 0;  Ta có: f   x   x  x  Khi f   x      x  1  f 0  m  Ta có:  f 1  2  m suy   f     m min f  x   2  m  0;2  f  x   m max  0;2  m  2 Trường hợp 1:  2  m   m     m  Khi đó: f  x   max f  x    2  m   m   0;2  0;2  Nếu m  2 ta có:  m   m   m  3 (thỏa) Nếu m  ta có: 2  m   m   m  (thỏa) Trường hợp 2:  2  m   m    2  m  (*) Khi đó: f  x    0;2  f  x   max f  x    max f  x    0;2 0;2  0;2    m   2  m   m   2  m     m   m   m   m  8    (không thỏa (*))   m   2  m  m  4   m   2  m   m  4  m  2  m      Vậy tích giá trị tham số m thỏa yêu cầu toán là: 3.3  9 Câu 48 Chọn B xm m m1 liên tục đoạn 0;1 , f    ; f  1  đồ thị hàm x2 số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x   m Ta thấy hàm số f  x    m m1  max f  x   max  ;  ;  0;1  Trường hợp 1: Nếu  m   1  m  f  x   0;1  m  m  6 6 2  Do max f  x   3min f  x     (không thỏa mãn)  m  0;1 0;1  m1  m  10 6 2  Trường hợp 2: m   m  Nếu  m m  1 max f  x   max  ;  0;1  2  m m  1 f  x    ;    0;1 2 m m 1   m    m  m   m   m m1 m2 Ta có   suy Với m  , ta có max f  x   3min f  x    m  m    m  0;1 0;1 ( thỏa mãn) Với  m  , ta có max f  x   3min f  x    0;1 0;1 m1 m 32    m  ( không thỏa mãn) 13 Trường hợp 3: Nếu m   m  1  m m  1  m m  1 max f  x   max  ;  f  x    ;   ;   0;1  0;1       m m  m  m m1    0, m  1 suy    m  1 Do đó: m m  max f  x   f  x       m   ( thỏa mãn) 0;1 0;1 Vậy có giá trị m thỏa mãn toán Câu 49 Chọn C Ta có  Xét hàm số y  g  x  đoạn   ;   x  4;    x  4;  Ta có    y  g  x  hàm số chẵn   ;   g   x   g  x  Do đó: max g  x   max g  x    1;1 0;1 11   Xét x  0 ;1 đó: g  x   f x3  3x  f  m  Đặt u  x  3x , u  3x   0, x   0;1 Suy u    u  u  1   u  ; Hàm số trở thành h  u   f  u   f  m  với u  0;  max g  x   max h  u   f    f  m    f  m  0;1 0 ;  Mà max g  x   0 ;1 11 11   f m   f  m  2 Từ bảng biến thiên hàm số y  f  x  suy có giá trị m Câu 50 Chọn A 1  1 Với m    ;  điều kiện xác định g  x  là:  x     x  2  2  1 Trên tập D    ;  hàm số f  x  có đồ thị  2 Do đồ thị hàm số y  f  x  có dạng :  1 Ta có  f  x   1, x    ;    x   1    x   2  1  f  x    x    2m   2m  Do g  x   1  f   vị trí x    2  1    ;   2   2m   2m  Theo yêu cầu toán g  x    f      2  1    ;    2 Đặt t   2m   2m 2 t   1 , m   ;   2   1  1     0, m    ;   t 2   2m  2m   2 Ta có  1 t 2 đồng 1  2m   2m Khi f  t    t     m 2 2 Vậy m   thỏa mãn yêu cầu toán biến  1  ;    Câu 1: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 hình vẽ bên Người ta chia elip parabol có đỉnh B , trục đối xứng B1B2 qua điểm M , N Sau sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ m trang trí đèn led phần cịn lại với giá 500.000 đồng/ m Hỏi kinh phí sử dụng gần với giá trị đây? Biết A1 A2  4m, B1 B2  2m, MN  2m M B2 N A1 A2 B1 A 2.341.000 đồng Câu 2: B 2.057.000 đồng C 2.760.000 đồng Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian quy luật s  t   t  4t  12 , t khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động Vận tốc chất điểm đạt giá trị bé t bao nhiêu? A B C Câu 3: D Tính diện tích lớn hình chữ nhật ABCD nội tiếp nửa đường trịn có bán kính 10cm A 160cm2 Câu 4: D 1.664.000 đồng B 100cm2 C 80cm2 D 200cm2   Người ta muốn xây bể hình hộp đứng tích V  18 m3 , biết đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng bể khơng có nắp Hỏi cần xây bể có chiều cao h mét để nguyên vật liệu xây dựng nhất? A  m  B  m  C  m  D  m  2 Câu 5: Một cốc hình trụ có bán kính đáy 2cm , chiều cao 20cm Trong cốc có nước, khoảng cách đáy cốc mặt nước 12cm Một quạ muốn uống nước cốc mặt nước phải cách miệng cốc khơng q 6cm Con quạ thông minh mổ viên đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc để mực nước dâng lên Để uống nước quạ cần thả vào cốc viên đá? A 30 B 27 C 28 D 29 Câu 6: Một sợi dây có chiều dài 28m cắt thành hai đoạn để làm thành hình vng hình trịn Tính chiều dài đoạn dây làm thành hình vng cắt cho tổng diện tích hình vng hình tròn nhỏ nhất? 56 112 84 92 A B C D     Câu 7: Để chuẩn bị cho đợt phát hành sách giáo khoa mới, nhà xuất yêu cầu xưởng in phải đảm bảo yêu cầu sau: Mỗi sách giáo khoa cần trang chữ có diện tích 384cm2 , lề lề cm , lề trái lề phải cm Muốn chi phí sản xuất thấp xưởng in phải in trang sách có kích thước tối ưu nhất, với u cầu chất lượng giấy mực in đảm bảo Tìm chu vi trang sách A 82 cm B 100 cm C 90 cm D 84 cm Câu 8: Với nhơm hình chữ nhật có kích thước 30cm; 40cm Người ta phân chia nhôm hình vẽ cắt bỏ phần để gấp lên hộp có nắp Tìm x để thể tích hộp lớn A Câu 9: 35  13 cm B 35  13 cm C 35  13 cm D 35  13 cm Ông A dự định sử dụng hết 6,5m kính để làm bể cá kính có dạng khối hình hộp chữ nhật chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu? A 2,26 m B 1,01m C 1,33m D 1,50 m Câu 10: Một vật chuyển động theo quy luật s   t  6t với t khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 243 B 144 C 27 D 36 Câu 11: Một bác nông dân cần xây dựng hố ga khơng có nắp dạng hình hộp chữ nhật tích 3200 cm , tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy Hãy xác định diện tích đáy hố ga để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? A 1200cm B 120cm C 160cm D 1600cm Câu 12: Ông An có khu đất hình elip với độ dài trục lớn 10 m độ dài trục bé m Ông An muốn chia khu đất thành hai phần, phần thứ hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá cảnh phần lại dùng để trồng hoa Biết chi phí xây bể cá 1000000 đồng 1m2 chi phí trồng hoa 1200000 đồng 1m2 Hỏi ông An thiết kế xây dựng với tổng chi phí thấp gần với số sau đây? A 67398224 đồng B 67593346 đồng C 63389223 đồng D 67398228 đồng Câu 13: Một hồ rộng có hình chữ nhật Tại góc nhỏ hồ người ta đóng cọc vị trí K cách bờ AB m cách bờ AC m , dùng sào ngăn góc nhỏ hồ để thả bèo Tính chiều dài ngắn sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K A 65 B 5 C D 71 Câu 14: Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  25 m , chiều rộng AD  20 m chia thành hai phần vạch chắn MN ( M , N trung điểm BC AD ) Một đội xây dựng làm đường từ A đến C qua vạch chắn MN , biết làm đường miền ABMN làm 15m làm miền CDNM làm 30 m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C A B 10  725 30 C 20  725 30 D Câu 15: Để thiết kế bể cá nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm , thể tích 96.000cm , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/ m loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/ m Chi phí thấp để làm bể cá A 283.000 B 382.000 đồng C 83.200 đồng D 832.000 đồng Câu 16: Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật tích 48 chiều dài gấp đôi chiều rộng Chất liệu làm đáy mặt bên hộp có giá thành gấp ba lần giá thành chất liệu làm nắp m hộp Gọi h chiều cao hộp để giá thành hộp thấp Biết h  với m , n n số nguyên dương nguyên tố Tổng m  n A 12 B 13 C 11 D 10 Câu 17: Một cổng có hình dạng Parabol  P  có kích thước hình vẽ, biết chiều cao cổng m, AB  m Người ta thiết kế cửa hình chữ nhật CDEF , phần cịn lại dùng để trang trí Biết chi phí để trang trí phần tơ đậm 1.000.000 đồng/ m2 Hỏi số tiền dùng để trang trí phần tơ đậm gần với số tiền đây? A 4.450.000 đồng B 4.605.000 đồng C 4.505.000 đồng D 4.509.000 đồng Câu 18: Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật tích 48 chiều dài gấp đơi chiều rộng Chất liệu làm đáy mặt bên hộp có giá thành gấp ba lần giá thành chất liệu làm nắp m hộp Gọi h chiều cao hộp để giá thành hộp thấp Biết h  với m , n n số nguyên dương nguyên tố Tổng m  n A 12 B 13 C 11 D 10 Câu 19: Một trang trại rau ngày thu hoạch rau Mỗi ngày, bán rau với giá 30000 đồng/kg hết rau sạch, giá bán rau tăng 1000 đồng/kg số rau thừa tăng thêm 20 kg Số rau thừa thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg Hỏi tiền bán rau nhiều trang trại thu ngày bao nhiêu? A 32400000 đồng B 34400000 đồng C 32420000 đồng D 34240000 đồng Câu 20: Hình vẽ bên mơ tả đoạn đường vào GARA Ơ TƠ nhà Hiền Đoạn đường có chiều rộng x (m) , đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng 2,6 (m) Biết kích thước xe tơ 5m  1,9m Để tính tốn thiết kế đường cho ô tô người ta coi ô tô khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài (m) , chiều rộng 1,9 (m) Hỏi chiều rộng nhỏ đoạn đường gần với giá trị giá trị bên để tơ vào GARA được? A x  3,7 (m) B x  2,6 (m) C x  3,55 (m) D x  4,27 (m) 2x có đồ thị C  điểm J thay đổi thuộc  C  hình vẽ bên Hình chữ x1 nhật ITJV có chu vi nhỏ bằng: Câu 21: Cho hàm số y  A 2 B C D Câu 22: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai  Biết f     , f     2018 bảng xét dấu f   x  sau: Hàm số y  f  x  2017   2018 x đạt giá trị nhỏ điểm thuộc khoảng sau đây? A  ;  Câu 23: Cho hàm số y  B   ;  2017  C  2017 ;0  D S   2017 ;    ax  b với a  a , b số thực Biết max y  y  2 Giá x xR x2  trị biểu thức P  a2 b A 7680 B 1920 C 3840 D 1920 Câu 24: L;,Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ hàm số 34 f  x  đoạn  0;  Tổng tất phần tử S x  3x  2m    A B 8 C 6 D 1 Câu 25: Cho hai hàm số y  f  x  y  g  x  hai hàm số liên tục  có đồ thị hàm số y  f   x  đường cong nét đậm, đồ thị hàm số y  g  x  đường cong nét mảnh hình vẽ Gọi ba giao điểm A , B, C y  f   x  y  g  x  hình vẽ có hồnh độ a , b , c Tìm giá trị nhỏ hàm số h  x   f  x   g  x  đoạn  a; c ? A h  x   h   B h  x   h  a   a ; c   a ; c  C h  x   h  b   a ; c  D h  x   h  c   a ; c  Câu 26: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m  0; 20  cho giá trị nhỏ hàm số g  x   f  x   m   f  x   đoạn   2;  không bé 1? A 18 C 20 B 19 D 21 Câu 27: Cho hàm số f ( x)  x  2m ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m x1 cho max f ( x)  f ( x)  Số phần tử S [0 ; 1] A [0 ; 1] B C D Câu 28: Cho hàm số y  x  x2  3m với m tham số Biết có hai giá trị m1 , m2 m để giá trị nhỏ hàm số đoạn   1;  2021 Tính giá trị m1  m2 A B Câu 29: Cho hàm số f  x   f  x    1;1 A 4052 D 4051 x  mx  Gọi S tập hợp giá trị nguyên m cho x2 Số phần tử S B Câu 30: Cho hàm số f  x   C D C log x  m ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị m log x  cho f  x   max f  x   Tổng số phần tử S 1   10 ;1   A  1   10 ;1   B C D 10 Câu 31: Cho hàm số f ( x)  3e x  e x  24 e x  48e x  m Gọi A , B giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho  ; ln  Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc   23;  10  thỏa mãn A  B Tổng phần tử tập S A 33 B C 111 D 74 Câu 32: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn   4;  có biến thiên hình vẽ bên Có tất giá trị thực tham số m  4;  để hàm số g( x)  f ( x3  x)  f ( m) có giá trị lớn đoạn   1;1 ? A 12 B 11 Câu 33: Cho a , b , c Giá trị nhỏ biểu thức H  5  A A  ;  6   13  B  ;   18  C D 10 3a  12b  25c   a  2b  c 2  C  ;  3   thuộc tập hợp đây?  1 D 0;   3 Câu 34: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y mx  x  2019 tập D  x  |1  x  2018 không vượt Số phần tử x  2020  S là: A 2110 B 2108 Câu 35: Cho hàm số f  t   C 1054 D 1009 2t  x , y số thực thỏa mãn 5x2  xy  y  Giá trị lớn t2  6x   f    4x  y   A B 3    C 3 D 1 Câu 36: Cho hàm số y  x  x  m Tổng tất giá trị thực tham số m để y  A  23 B   2;2  31 C 8 D Câu 1: Chọn A y M N x -2 -1 O B1 -1 Phương trình đường Elip là: x2 y   Diện tích hình Elip S E    a.b  2  m2   x  1  x  1   Tọa độ giao điểm M , N nghiệm hệ:  x  y 1 y    4   3  3 Vậy M  1;  , N  1;      Parabol  P  đối xứng qua Oy có dạng y  ax  c  a   c  1    3    P  : y    1 x  Vì B1  0; 1 , N  1;    P    1     a    x2    Diện tích phần tơ đậm là: S1        1 x  1 dx      • Tính I1   x2 x dx  dx Đặt  sin t   cos tdx Đổi cận 2 x   t      x   t    6 Suy I1    1  sin t cos tdt   cos tdt   1  cos 2t  dt   t  sin 2t    0 2        x3  • Tính I       x  dx     x                    1        3 2       Vậy S1     m 3 6   Tổng số tiền sử dụng là: S1.200000  S E   S1 500000  2.341.000 đồng Câu 2: Chọn D v  t   s  t   3t  8t v  t   6t  Có v  t    t  4 16 Dựa vào bảng biến thiên ta có v  v     0 ;   3   Vậy vận tốc chất điểm đạt giá trị bé t  Câu 3: Chọn B Đặt OA  x   x  10  Suy ra: AB  x; AD  OD  OA  100  x Khi đó: SABCD  S  AB.AD  x 100  x  100 x  x x   Suy ra: S '   S '   200 x  x3    x   x  2 100 x  x   x  5 200 x  x Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy diện tích lớn hình chữ nhật ABCD 100 cm x  cm Câu 4: Chọn D Gọi x  x   chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy chiều dài hình chữ nhật đáy bể 3x V  h.x.3x  h.3x  18 x  0 18  , 3x x2 Gọi P diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy bể hình hộp chữ nhật Ngun vật liệu P nhỏ 6 48 P  2hx  2.h.3x  3x2  2 x  2 3x  3x   3x2 x x x 48 Đặt f  x    3x2 ,  x   x 48 48 Ta có f   x    x , f   x     x   x   x  x x Bảng biến thiên: h Suy vật liệu h  Câu 5: 6    m x2 Chọn C Gọi bán kính hình trụ r , bán kính viên đá hình cầu R 4 Thể tích viên đá  R3    0,6  3 Gọi n số viên đá quạ thả vào cốc, n nguyên dương Thể tích nước cần đổ thêm vào cốc để mực nước cách miệng cốc 6cm  r 2  8 Để quạ uống nước lượng đá bỏ vào cốc phải làm mực nước dâng lên cách miệng 250 24 cốc không 6cm nên ta phải có: n .  0,6   8  n  n 3  0,6  Do n nguyên dương nên suy n  28 Vậy quạ cần thả vào cốc 28 viên đá Câu 6: Chọn B Gọi l1 , l2  m  chu vi hình vng hình trịn   l1 , l2  28  Gọi a , R  m  cạnh hình vng bán kính hình trịn Khi ta có: l1 l 28  l1 ; l2  2 R  R   2 2 Tổng diện tích hình vng hình trịn là: l1  l2  28 ; l1  4a  a  l2  28  l1  S  a   R      16  2  2 ,  l1  28 u cầu tốn tương đương với tìm l1   0, 28  để S đạt giá trị nhỏ Ta có: S'  l1  28  l1  112     l1   2   4 Lập bảng biến thiên ta S đạt giá trị nhỏ l1  Câu 7: 112  4 Chọn B Ta thấy muốn chi phí sản xuất nhỏ kích thước tối ưu diện tích trang sách phải nhỏ đồng thời bảo đảm yêu cầu đề Gọi x , y thứ tự chiều dài chiều rộng trang sách, đơn vị cm , điều kiện: x  6; y  Diện tích phần chữ trang là:  x   y    384  xy  4x  y  360  Khi x.6 y  360 xy  xy  360   xy  10  xy  600 , dấu “=”  xy  600  x  30   4 x  y  y  20 Vậy chu vi trang sách sản xuất theo kích thước tối ưu  x  y   100  cm  Câu 8: Chọn C Khối hộp chữ nhật thu có kích thước 30  2x ; 20  x ; x với x  0;15   35  13  Khi V  x  30  x  20  x   f  x   max 0;15 f  x   f        Dấu "  " đạt x  Câu 9: 35  13 Chọn D y x 2x xảy Gọi chiều rông bể cá x  m  , chiều cao y  m  x , y   , chiều dài bể cá x  m    Diên tích kính sử dụng S  x  xy  xy m Theo ta có: x  xy  xy  6,  y  6.5  x 13  x  6x 12 x  13  x x 13  x Thể tích bể cá V  x   x  12 x Ta xét hàm số V  x   Suy V '  x    x 13  x   m   13  với x   0;     39 13  12 x  V  x   x  6 Ta có V ( x) đổi dấu từ dương sang âm qua x  x 39 nên hàm số đạt cực đại điểm 39  13  Trên khoảng  ;  hàm số V  x  có điểm cực đại nên hàm số đạt giá trị lớn    x 39  39  13 39 Thể tích bể cá có giá trị lớn max V  x   V   1,50 m      13 54  0;          Vậy bể cá có dung tích lớn 1,50 m Cách 2: Xử lý tìm giá trị lớn V ( x) bất đẳng thức Cauchy Theo cách 1, ta tính V  x   Ta có V  x    x 13  x  x 13  x   13  với x   ;     1 x (13  x )(13  x ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  x  13  x2  13  x  26 x (13  x )(13  x )     27   2 Suy V ( x)  26 13 39   1,50 8.27 54 Dấu “  ” xảy x  13  x2  x  13 39  12 Vậy bể cá có dung tích lớn 1,50 m3 Câu 10: Chọn D   Ta có v  t   s  t     t  6t   t  12t Tập xác định D     Vì t  12t    t    36  36 với t  Suy max v  t   36 Dấu xảy  t     t  t 0 Vậy khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt 36 Câu 11: Chọn C Gọi x , y chiều rộng chiều dài đáy hố ga; h chiều cao hố ga  x , y , h   Ta có: h  x V  xyh  x y  3200  y  1600 x2 Diện tích bề mặt sử dụng hố ga không nắp S  xy  xh  yh  x2  5xy  x  Đặt f  x   x  8000 8000 Ta có f   x   x  ; f   x    x  10 x x Bảng biến thiên Vậy S nhỏ x  10  y  16 Diện tích đáy hố ga 160cm Câu 12: Chọn A 8000 x Gắn mảnh vườn hình elip ông An vào hệ trục tọa độ hình vẽ Độ dài trục lớn 10m độ dài trục bé 8m nên ta có a  b  x2 y   25 16 Diện tích elip là: S E   ab  20 Phương trình elip là:  E  : Hình chữ nhật ABCD nội tiếp elip Đặt AB  2x   x    AD   Diện tích hình chữ nhật ABCD là: SABCD  16x  x2 25 x2 25 Diện tích phần lại trồng hoa là: Shoa  20  16 x  x2 25 Tổng chi phí xây dựng là: T  16000000.x   x2 x2  x2   24000000  3200000 x   1200000  20  16x    25 25 25   x2 x2 1 x x 25  8000000  16000000 25 Mặt khác ta có: 16000000  25 2  T  24000000  3200000x  Dấu "  " xảy x2  24000000  8000000  67398223.69 25 x x2  1 x 25 Vậy tổng chi phí thiết kế xây dựng thấp gần với số 67398224 Câu 13: Chọn B B P E A K F Q C Đặt AP  a , AQ  b  a , b   Gọi E F hình chiếu vng góc K xuống AB AC Suy KE  , KF  Ta có: KE PK KF QK KF KE ;      hay   a b AQ PQ AP PQ AP AQ Cách 1: Ta có: PQ  a  b2 Vì 8k k  1   k k  a b a b  8k   k  4k 4k   k k  k2 a2  b2  k   a2     b2     a2     b     3 16 k  3 a   b  a a   2b 2b    4k a  a  k  250    k 2 Suy PQ nhỏ  a  b nhỏ  b   a  10 2b b    8   a b  Vậy giá trị nhỏ PQ a  b  125  5 Từ suy chiều dài ngắn sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K 5 Cách 2: Vì a  a   1b với a  Khi PQ  a  b2  a    với a  a b a8  a8  a  Xét hàm số f  a   a    với a   a8 2a 8 Ta có f   a   a   a   a  2 a  a       ; f  a   a  10    a  8 Bảng biến thiên f  a  : Vậy giá trị nhỏ f  a  125 a  10 Từ suy chiều dài ngắn sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K Câu 14: Chọn A 125  5 Do cần thời gian xây ngắn nên đường làm miền phải đường thẳng Gọi AE EC đoạn đường cần làm Với NE  x  m   EM  25  x  m   AE  AN  EN  100  x  Ta   EC  MC  EM  100   25  x   Thời gian để làm đoạn đường từ A đến C là:  25  x   100 AE EC 100  x t  x     h 15 30 15 30 x 25  x  t  x    15 100  x 30  25  x   100 Xét t  x     2x  25  x  x 15 100  x  25  x 30  25  x   100 0     100   25  x  100  x  x  25  x   100   25  x  100  x 2   x  25  x   400 x  100  25  x    25  x  x  2      25  x  x  25  x 20   25  x    0   x    25  x   x    x  45  x    x    29  t 0    Ta  t       29 t  25    Vậy thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C  h Cách 2: 10  x Xét t  x    15 Lại có 20   x    25  x   10 30  25  x   10  20   x     25  x  30  45  x    x  10  2  10     do u  v  u  v   20   x   Do t  x   Vậy t  x min   25  x   10   x    2000  x    2000 2 30  2000  30  h  x   m  Vậy thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C h Câu 15: Chọn C Gọi x  m  chiều dài hình chữ nhật đáy  x   Khi chiều rộng là: 0,096  0,6 x 25 x   Khi diện tích mặt xung quanh là: 1,2  x   25 x       Chi phí để làm mặt xung quanh là: 70.1,2  x    84  x   25 x  25 x    4  Diện tích mặt đáy là: x 25x 25 Cho phí để làm mặt đáy là: 100  16 25 Chi phí để làm bể cá thấp chi phí làm mặt bên thấp 4 25x  Xét hàm số f x  x  , x  0; f   x     25 x 25 x 25 x 2 f   x    25x    x  Bảng biến thiên Khi chi phí thấp là: 84  16  83.200 đồng Câu 16: Chọn C Gọi chiều rộng hộp x ( x  )  Chiều dài hình hộp 2x Thể tích hộp V  x.2 x.h  48  h  24 x2 Tổng diện tích mặt đáy mặt bên hộp x  xh  x  x 24 144  2x2  x x Diện tích nắp hộp 2x2  144  Giá thành hộp thấp  f  x    x    x đạt giá trị nhỏ với x  x   Ta có f  x   x  432 216 216 216 216  8x2    3 x  216 x x x x x Vậy f  x   216 xảy 8x2   0;   216 24   x3  27  x   h  x Vậy m  ; n   m  n    11 Câu 17: Chọn D Xét  P  : y  ax  bx  c  a   có toạ độ đỉnh  0;  qua điểm có toạ độ  2;0  Ta có hồnh độ đỉnh: b   b  ;  P  qua điểm  0;   c   P  qua điểm  2;  2a  a  1 Suy ra:  P  : y   x    Xét đường thẳng qua E , D : y  m Khi E   m ; m D    m ; m giao điểm  P  đường thẳng y  m Suy ra: ED   m , EF  m Yêu cầu toán đạt diện tích hình chữ nhật CDEF phải lớn Ta có: SCDEF  ED.EF   m m Đặt t   m  t   m  m   t   Khi đó: SCDEF  f  t   2t  t  2t  8t ; f   t   6t    t   Suy ra: MaxSCDEF  32 t  m Mặt khác diện tích cổng: S   x 2 4  32 ( m2 ) Suy diện tích nhỏ phần dùng để trang trí là: S  MaxSCDEF  32 32   4,5083 ( m2 ) Vậy số tiền dùng để trang trí phần tô đậm: 4,5083  1.000.000  4.508.300 Câu 18: Chọn C Gọi chiều dài, chiều rộng hộp 2x x ( x  0) Khi đó, ta tích hộp V  x2 h  x h  48  x h  24 Do giá thành làm đáy mặt bên hộp 3, giá thành làm nắp hộp nên giá thành làm hộp   L  x2  xh  xh  x2 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số không âm, ta   L  x2  xh  xh  3 x xh.9 xh  3 648 x h  9h x  8 x  xh  x   Dấu xảy     x h  24 h   h  24   Vậy m  , n  m  n  11 Câu 19: Chọn C Gọi số lần tăng giá y  y   Giá bán rau sau lần tăng giá 30000  1000y đồng/kg Số rau thừa thu mua cho chăn nuôi 20 y  y  50  kg  216 Số rau bán trước thu mua cho chăn nuôi 1000  20y kg Tổng số tiền bán rau thu ngày là: P   1000  20 y  (30000  1000 y)  20 y.2000  P  20000 y  440000 y  30000000 P  32420000  20000  y  11 Ta có: 32420000  20000  y  11  32420000  P  324200000 y  11 N  max  P  32420000 Câu 20: Chọn A Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Khi M  2,6 ; x    Gọi B   a ;  suy A ; 25  a2 Phương trình AB : Do CD // AB nên phương trình CD : y x  1 a 25  a y x  T  a 25  a Mà khoảng cách AB CD 1,9( m) nên T 1  1   a       25  a     1,9  T   9,5 a 25  a Điều kiện để ô tô qua M , O nằm khác phía bờ đường thẳng CD Suy ra: 2,6 x 9,5 9,5 2,6  25  a  1   x  25  a   a a a 25  a a 25  a Để cho nhanh, dùng chức TABLE máy tính Casio570ES PLUS f (X)  25  X  9,5 2,6  25  X  với STEP = ; START = 0; END = 29 X X Thấy giá trị lớn f  X   25  X  9,5 2,6  25  X  xấp xỉ 3,698 X X Vậy chiều rộng nhỏ đoạn đường gần với giá trị câu A Câu 21: Chọn C Đồ thị  C  có tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y   2x  2x với J  x; 2     C   TJ  d  J ; TCD   x  , JV  d  J , TCN   x  x  x1   Khi đó, chu hình chữ nhật ITJV là:   P  2(TJ  JV )   x   4   2.2 x    x  x       J  2;  x   2   x  1     Dấu "  " xảy khi: x    x 1  x    J  2;    Vậy hình chữ nhật ITJV có chu vi nhỏ Câu 22: Chọn B Ta có y  f   x  2017   2018 ; y   f   x  2017   2018 , ta có bảng biến thiên  x  2017  t  t    x  t  2017 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f   x  2017   2018     x  2015  x  2017  Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  2017   2018 x Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ x0  t  2017  2017 Vậy x0    ;  2017  x0 Câu 23: Chọn B Xét phương trình ẩn x : y  ax  b  yx2  ax  y  b   1 x2  b Trường hợp 1: y   phương trình  1 trở thành: x   a Trường hợp 2: y   phương trình  1 có nghiệm    a  y  y  b    16 y  4by  a   y  b a2 y  *  16 Vì max y  5,min y  2 nên 2  y    y   y     y  y  10   *  xR xR b   b  12  Từ  *   *  suy    P  a b  1920 a  160  a  10  16 Câu 24: Chọn B 34 Hàm số f  x   đạt giá trị nhỏ đoạn  0;  x  3x  2m    hàm số y  x  x  m đạt giá trị lớn đoạn  0;  16   Xét hàm số g  x   x  x  m đoạn  0;  , ta có g  x   x  Ta có bảng biến thiên: Suy max g  x   max  m  , m  18   0;3   2m   16    2m  18  16  m  7 Do max g  x   16     Vậy S  7; 1 0;3   2m   16  m  1  2m  18  16   Câu 25: Chọn C x  a  Ta có: h  x   f   x   g  x  Theo ta có: h  x     x  b  x  c Bảng biến thiên hàm số h  x  : Suy ra: h  x   h  b   a ; c  Câu 26: Chọn B Dựa vào đồ thị, ta có 2  f  x   2, x    2;   *   f  x    0, x    2;  Vì m  0; 20  nên f  x   m    f  x   m   f  x   m  4, x    2;  Khi g  x   f  x   m   f  x    f  x   m   f  x    f  x   m  Với m   g  x   f  x   , x    2;   *   1  f  x      f  x      g  x   3, x    2;   ming  x    m  không thỏa mãn yêu cầu đề  2;2  Với m  1; 20   f  x   m    g  x   f  x   m  Từ (*) ta có f  x   m   m   g  x   m   2;2  Yêu cầu toán  g  x    m    m   m   2; 20   2;2  Vậy có 19 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 27: Chọn A Với m  : ta có f  x   1, x   0; 1 Do max f  x   f  x    max f  x   f  x   (không thỏa mãn đề bài)  0; 1  0; 1  0; 1 0; 1 2m  1  2m Với m  , ta có: f   x    0, x  0; 1 Có f    m; f  1  2  x  1 m  Nếu m  m  1    Khi max f  x  f  x  giá trị 0;1 0;1 m    2m ; 2m  2m  Khi đó: max f  x   f  x    m    2m  2m   0;    0;  2     Xét m  : phương trình  m  m    m  (thỏa mãn) 7 Xét m   : phương trình  4m   2m  1   m  (thỏa mãn) Nếu m  m  1     m   2m   Khi đó: max f  x    ; 2m  f  x   0; 1 0; 1    m    2m    Ta xét  m  Ta thấy giá trị không thỏa mãn   m   m   2 3    m     5 Vậy, ta có tập S   ;  , số phần tử tập S  6 Câu 28: Chọn D Xét hàm số f ( x)  x4  x2  3m Ta có: f ( x)  x  x  f ( x)   x   x  1  Max f ( x)   3m  A; Min f ( x)  3m   a  1;2   1;2   m  Yêu cầu toán  A.a    3m  1  3m     m    Khi đó: Min f ( x)   1;2    6m  Câu 29: Chọn C Aa  Aa  2021  4044 m  4051  2021   m  4051   (t / m)  m1  m2   m   4058   x  mx   , x     1;1  1 x   Ta có f  x     1;1  x  mx  3  , x  1;1    x2 1  m   1 không thỏa với    8x x   mx  3x  10   *  , x  1;1  10 m  x   , x   0;1  x Nhận xét x  thỏa (*) nên      3 10 4 m  x   , x  1;    x Xét g  x   x   4m  1 10 10 , x  1;1 \0 có g  x   24 x   0, x  x x  3  4m    m  Do m    Câu 30: Chọn C suy m  1  Đặt t  log x , x   ;1 nên miền giá trị t   1;   10  tm thỏa max f  t   f  t    1;0   1;0  t2 Khi tốn trở thành tìm m để hàm số y  Tập xác định D  \2 ta có f   x   2m t   Trường hợp 1: m  Ta có f  t   , max f  t   f  t   (thỏa mãn)  1;0   1;0  Trường hợp 2: m   hàm số đơn điệu khoảng tập xác định nên đơn điệu m   1;  Ta có f    , f  1  m  đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm   m;   m f t    max m  1;0  Khi  m  1    m  , ta có f  t   0,   1;0   max f  t    m  1;0  m  m  2 m  4  Khi max f  t   f  t     ( không thỏa mãn  m  )  m   1;0   1;0   m 1     m  1 Khi m  m m  m  1    max f  t   f  t     m 1   1;0   1;0  m  2  Với m  , ta có m m  m       m   3m   m   2 Với m  1, m  , ta có m m  m     m    3m   m  (không thỏa mãn 2 m  1, m  )  Kết hợp trường hợp trường hợp ta có S    ;   2  Tổng số phần tử S    3 Câu 31: Chọn A Đặt t  e x t  1;  Khi f ( x)  g(t )  3t  4t  24t  48t  m Xét h(t )  3t  4t  24t  48t  m , t  1;  có h(t )  12t  12t  48t  48 t  h(t )    h(t ) nghịch biến 1;  ; g(1)  m  23 , g(2)  m  16  t  t  1;  Nếu  m  16  m  23   g  t   , suy  max g(t )  g(t )  hay g(t )  t  1;  (vô lý)  m  16   m  16 Nếu   m  23  Khi max g(t )  g(t )  m  23  3( m  16)  m  12,5  m  12,5 (1) m  16   m  23 Nếu  m  23  Ta không cần xét tiếp trường hợp đề yêu cầu tìm m  23 Từ (1) m      23;10  ta có m  12; 11; 10; 9; ; 8; 9;10 Vậy tổng giá trị m thỏa 33 Câu 32: Chọn B Đặt t  u( x)  x  x ta có t  u( x)  x   0, x t  x  x hàm số tăng x  1;1 t  3;  Dựa vào bảng biến thiên hàm số f ( x) đoạn   3;  ta có max f (t )   3;3 f (t )  6  3;3  Từ ta có max g( x)  max f (t )  f ( m) max g( x)  f (t )  f ( m)  1;1  3;3   1;1  3;3   f (t )  f ( m )   max  3;3   f ( m)  Trường hợp 1:    max f (t )  f ( m)  f (t )  f ( m)   f ( m)  6  f ( m)   3;3    3;3         f ( m)   13     f ( m)    f ( m)    f ( m)   Từ bảng biến thiên phương trình f ( m)  có nghiệm, trường hợp có giá trị thực m thỏa mãn  f (t )  f ( m)    6  f ( m)   3;3  Trường hợp 2:    f (t )  f ( m)  max f (t )  f ( m)  6  f ( m)   f ( m)  3;3 -3;3     f ( m)     14    f ( m)   f ( m)   3     f ( m)   Từ bảng biến thiên phương trình f ( m)   có nghiệm, trường hợp có giá trị thực m thỏa mãn Vậy có tất 11 giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 33: Chọn C Ta có: 3a4   a  a  a   4 a a a  a 12b4   4b  4b4  4b   4 4b4 4b4 4b4   2b  Suy H 4 3a  12b  25c  a  2b  c    4a3    a     a  2b  a  2b a  2b      a  2b  c    Đặt x   2b  c         a  2b  a  2b  ab   25c    a  2b  c      a  2b    25c  25    a  2b  25c  c      3  a  2b  a  2b  c  1   c       x  25 a  2b , x  Xét f  x   với x   0;   c  x  1  x  x  1   x  1 x  25 f  x  2b  25c  x  1   x  x  1   x  x  1 f  x    x  Dựa vào bảng biến thiên ta có f  x    0;   25 36  25   3x  25  x  1  Vậy giá trị nhỏ biểu thức H 25    ;2 36   Câu 34: Chọn A Xét hàm số f  x   mx  x  2019 với D  x  |1  x  2018 x  2020   Đặt t  x  2019  t  1; 2018    2020; 4037      Ta hàm số mới: h  t     m t  2019  t t2    t1  2020 m   h  t   cho ta hai nghiệm  t2  2020 m   Trường hợp 1: m   t1  0; t2   h  x   t  4040 mt   2020m  1  2020m  t 1  1 2020 m   2020m  1 1 Ta có bảng biến thiên sau: Theo đề, giá trị nhỏ h  t  không vượt  m  2018  2019    m  2018  2019  h t       m  1055  m  2020  m  2020  2021    2  2021 Kết hợp điều kiện:  m  1055 (1) Trường hợp 2: m  1  t1  0; t2  4037 Ta có bảng biến thiên sau: Theo đề, giá trị nhỏ h  t  không vượt   m  2018  2019  m   2018    2019 2  m  1054  h t      2021   m  2020  m  2020     2021  Kết hợp điều kiện: 1054  m  1 (2) Từ (1) (2) ta 1054  m  1055 Do tập nghiệm tổng cộng 2110 phần tử Câu 35: Chọn A Ta có: x  xy  y    x  y    x  y   2 Đặt x  y  3sin t , x  y  3cos t với t  2 ; 2   x  sin t  cos t y  sin t  2cos t K 6x  6sin t  cos t  6 sin t  cos t    x  y  4(sin t  cos t )  sin t  2cos t  3sin t  cos t    3K   sin t   K   cos t  K  Điều kiện để phương trình có nghiệm  3K     K     K    1  K  Xét hàm số f (t )  Ta có: f '(t )  2t    1;1 t2 5 t    0, t  Suy Max f (t )  f ( 1)   1;1 Câu 36: Chọn A   Đặt t  x  x , x    2;   t    ;      Khi y   t  m  , t    ;   y   t  m  Ta có y   t   m   Biện luận theo tham số m :   Trường hợp : m   m  6 , y nghịch biến   ;  nên    m  8 2 y  y      m  Ta có   m     Nhận m  8   m  2    ;6    1 Trường hợp 2:  m    m  , y đồng biến 4     ;  nên    m   1     Nhận m  y  y        m  Ta có    m        4     m     ;6     2 1 Trường hợp 3:   m   6  m  , y đồng biến   m;  nghịch biến 4     ;  m  , nên y  y  m   Do khơng y  g  x  có giá trị m thỏa y         ; 6   ;6      Vậy tổng giá trị tham số m thỏa y  8   2;  23  4 LÝ THUYẾT  Đường tiệm cận ngang  Cho hàm số y  f ( x) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng  a;   ,   ; b   ;   ) Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y  f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x)  y0 , lim f ( x)  y0 x  x   Đường tiệm cận đứng  Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x)   , lim f ( x)   , lim f ( x)   , lim f ( x)   x  x0  x  x0 x  x0 x  x0 Lưu ý:  Với đồ thị hàm phân thức dạng y  ax  b  c  0; ad  bc   ln có tiệm cận ngang y  ac cx  d d tiệm cận đứng x   c  Dấu hiệu nhận biết đường tiệm cận đồ thị hàm số  Hàm phân thức mà nghiệm mẫu khơng nghiệm tử có tiệm cận đứng  Hàm phân thức mà bậc tử  bậc mẫu có TCN  Hàm thức dạng: y  f  x  g  x , y  f  x  g  x , y  g  x  ngang (dùng liên hợp)  Hàm y  a x ,   a  1 có tiệm cận ngang y   Hàm số y  log a x ,   a  1 có tiệm cận đứng x   Cách tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số  Tiệm cận đứng: ta tìm nghiệm mẫu khơng nghiệm tử  Tiệm cận ngang: tính giới hạn: lim y lim y x   Một số ý trình tìm tiệm cận  Nếu x    x   x  x  x  Nếu x    x   x  x   x x  f  x  có tiệm cận VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  có lim f  x    lim f  x   Mệnh đề sau đúng? x 1 x 1 B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận Lời giải Chọn B Vì lim f  x    nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x  x 1 VÍ DỤ Cho hàm số y  A 2x2  x Số đường tiệm cận đồ thị hàm số là: x  5x  B C D Lời giải Chọn C  x  1 Xét phương trình x  5x     , hai nghiệm không nghiệm tử số nên  x  4 hai đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2x2  x Mặt khác: lim  , nên đường y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  x  x  Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận VÍ DỤ Cho hàm số y  A x3 2 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận x  3x  B C D 2 Lời giải Chọn D Ta có: x3 2 x 1   , x  x  x   x  1 x   x    x  2 x       Khi ta thấy x  đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Mặt khác: lim  , nên đồ thị hàm số nhận y  làm tiệm cận ngang x   x  2 x     Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận VÍ DỤ Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số f ( x)  A y  2; y  2 B y  2; y   Lời giải Chọn B 2 x  5x  x  x C y  D y  5  2x2  5x  x2  3x Tập xác định D   ;    ;   Ta có lim f ( x)  lim  x  x  2 x 2  Và lim f ( x)  lim x  x  x2  5x  x2  3x  2 x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y   VÍ DỤ Cho hàm số y  f ( x)  ax  bx2  cx  d có đồ thị hình bên Hỏi đồ thị hàm số y  g  x   A 2x có đường tiệm cận đứng? f  x B C D Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: f ( x)  Từ đồ thị ta thấy f ( x)  x  4 , x  1 x  Khi f ( x)  a( x  4)( x  1)( x  2) có nghiệm Do đồ thị hàm số y  g  x  có đường tiệm cận đứng VÍ DỤ Biết đồ thị hàm số y  A 8 3x   ax  b  x  2 khơng có tiệm cận đứng Khi 4a  b bằng: B 10 C 4 Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số y  3x   ax  b  x  2 khơng có tiệm cận đứng  f  x   3x   ax  b  có nghiệm kép x  1  a  b    f     a      a0  b   f       2.3   3 Vậy a  b       8  2 D VÍ DỤ Tìm tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y   x  1  x  3x  mx  x   có đường tiệm cận   A m    ;      B m    ;       C m    ;      D m    ;    Lời giải Chọn A   Ta có  x  1 x2  x    x  Trường hợp 1: Nếu m  đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Do đồ thị hàm số khơng thể có ba đường tiệm cận Trường hợp 2: Nếu m  đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  Do đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận  mx  x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thuộc nửa khoảng 1;     1  3m   '  m         1   x1  1 x2  1       m     m  Vậy m    ;     m  m  1  x1  1   x2  1  1  m    m  VÍ DỤ Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C  , gọi d tiếp tuyến với  C  điểm có hồnh độ x2 m  Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng  C  điểm A  x1 ; y1  cắt tiệm cận ngang C  điểm B  x ; y  Gọi S tập hợp số m cho x2  y1  5 Tính tổng bình phương phần tử S A B C 10 Lời giải Chọn C Ta có y   x  2 Với x  m   y    3 : A  m  2;1    m   m m   Phương trình tiếp tuyến d  C  : y  3 x  m  2    m m Đồ thị  C  có tiệm cận ngang y  tiệm cận đứng x  2 D  3  6 y   x  m  2   y   Tọa độ điểm A nghiệm hệ:  m  m nên y1   m m  x  2  x  2    3 y  y   x  m  2    Tọa độ điểm B nghiệm hệ:  nên x2  m  m m  x  2m  y   Suy x2  y1  2m  m    5  m  m     m  m  3 Vậy tổng bình phương phần tử S 12   3   10 Câu 1: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A Câu 2: Đồ thị hàm số y  A Câu 4: C D x 9 3 x2  x C D 2x 1  x2  x  x2  5x  C x  3 x  2 D x  3 B B x  16  x2  x C D x42 x2  x C D Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A Câu 9: B x  Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A Câu 8: B Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A Câu 7: x2 có tiệm cận x2  B D Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x  x  Câu 6: B x  5x  x2 1 C Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A Câu 5: C Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y  A Câu 3: B x  x 1 x 1 D Cho hàm số y  A B x2  2x  x  3x  B Câu 11: Đồ thị hàm số y  A Câu 12: Đồ thị hàm số y  B x2 D C là? Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? C Câu 10: Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A x 4x  6  C D x  1 x  3x  D 2 x  x2  x có tất đường tiệm cận? 3x  B C 5x   x  có tất đường tiệm cận? x2  x D B A C Câu 13: Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  A B x2  x  Câu 14: Cho hàm số y  x  3x  B A Câu 15: Đồ thị hàm số y  A D x 1 3x   3x  C D Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? C D x2  x   x có đường tiệm cận? x 1 B C Câu 16: Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y  cận đứng Số phần tử S A vô số B 12 D x2 x  x  2m C 14 D 13 Câu 17: Có giá trị nguyên dương tham số m để đồ thị hàm số y  tiệm cận? A 14 Câu 18: Cho hàm số y  B C 15 có hai đường tiệm x 1 có đường x  8x  m D 16 x3 Có giá trị nguyên tham số m thuộc x  3mx   2m  1 x  m đoạn  2020; 2020 để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A 4039 B 4040 C 4038 D 4037 Câu 19: Có số nguyên m thuộc đoạn  100;100 để đồ thị hàm số y  có hai đường tiệm cân? A 200 B C 199 Câu 20: Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y  tiệm cận A m  1 Câu 21: Cho hàm số y  f  x   B m{1;4} C m   x  m D x2  m có hai đường x  3x  D m  {  1; 4} x 1 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị có ba đường x  mx  tiệm cận A m  2x  x2  m  2  B   m    m    m  2 C     m    m  2 D   m2 Câu 22: Biết đồ thị hàm số y   n  3 x  n  2017 ( m , n số thực) nhận trục hoành làm xm3 tiệm cận ngang trục tung tiệm cận đứng Tính tổng m  n A B 3 C D Câu 23: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  đường tiệm cận? A B x 1 mx  x  2 C có bốn D Vô số Câu 24: Với giá trị hàm số m để đồ thị hàm số y  x  mx  3x  có tiệm cạn ngang A m  B m  1 Câu 25: Cho hàm số y  C m  1 D Khơng có m ax  1 Tìm a, b để đồ thị hàm số có x  tiệm cận đứng y  tiệm bx  2 cận ngang A a  1; b  B a  4; b  C a  1; b  D a  1; b  2 Câu 26: Có giá trị nguyên m   10;10 cho đồ thị hàm số y  đường tiệm cận đứng? A 19 B 15 x 1 có hai 2x  6x  m  D 18 C 17 Câu 27: Có giá trị nguyên m để tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm mx  mx  3? x2 số y  A B D C Vô số Câu 28: Tổng giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x 1 có x   m  1 x  m2  2 tiệm cận đứng A  B Câu 29: Cho hàm số y  C 3 D x 3 Có giá trị nguyên thuộc đoạn 6;6 x  3mx  2 m  1 x  m tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận? A 12 B C Câu 30: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  cận đứng A m  B m  C m  m  D 11 x  3x  m tiệm xm D m  Câu 31: Có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn   2017; 2017  để đồ thị hàm số y x2 x  4x  m A 2019 có hai tiệm cận đứng B 2021 C 2018 D 2020 Câu 32: Cho hàm số y  f (x ) thỏa mãn lim f (x )  2019m , lim f (x )  2020m Hỏi có tất bao x  x  nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số y  f (x ) có tiệm cận ngang? A B C D 1 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ  x   2m  1 x  2m  x  m thị hàm số có đường tiệm cận 0  m  m  0  m     A  B  C m  D  1 m  m  m  Câu 33: Cho hàm số y  Câu 34: Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y  đường tiệm cận? A B 6x  có  mx  x  3 x  6mx  1 C D Vô số Câu 35: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số: y  x  mx  có tiệm cận ngang A  m  B m  C m  1 D m  x2 Có tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số có mx  x  hai đường tiệm cận? A B C D Câu 36: Cho hàm số y  Câu 37: Gọi S tập giá trị nguyên m cho đồ thị hàm số y  tiệm cận Tính số phần tử tập S A Vơ số B C 2019 x 17 x   m x có bốn đường D Câu 38: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số x f ( x)  nhận trục tung làm tiệm cận đứng Khi tổng phần x3  mx   x  x   m2 x tử S 1 1 A B  C D  2 3 Câu 39: Có giá trị m nguyên thuộc khoảng 10;10 để đồ thị hàm số y  ba đường tiệm cận? A 12 B 11 Câu 40: Cho hàm số y  C x ( x  m ) 1 có x2 D 10 với m tham số Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm x  3x2  m  số cho có đường thẳng tiệm cận A  m  B 1  m  C m  m  D m  m  1 Câu 41: Hàm số y  A x   ax  b  x  1 tiệm cận đứng Khi hiệu a  b bằng: B  C  Câu 42: Có giá trị nguyên tham để m đồ thị hàm số y  tiệm cận đứng? A vô số B C 2017 D   x  2016 x  2017  24 có xm D 2019 Câu 43: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số x f ( x)  nhận trục tung làm tiệm cận đứng Khi tổng phần x3  mx   x  x   m2 x tử S 1 1 A B  C D  2 3 Câu 44: Có giá trị m nguyên thuộc khoảng 10;10 để đồ thị hàm số y  ba đường tiệm cận? A 12 B 11 C Câu 45: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số y  cận A   m  B   m  C m  1 x ( x  m ) 1 có x2 D 10 mx  có đường tiệm x 1 D m  Câu 1: Chọn C Tiệm cận ngang:   x2     5  5x  4x 1 x x  x x  Ta có: lim y  lim  lim  lim  nên đồ thị hàm 1  x x x x  x 1 1 x 1   x  x  số có tiệm cận ngang y  Tiệm cận đứng: x 1 Cho x     x  1 Ta có: lim y  lim x1 x 1 5x2  x 1 x 1  x  1 x  1  lim x    nên x1  x  1 x  1 x 1 x   lim x  không tiệm cận đứng lim  y  lim  x 1 x 1 5x2  x  x2   5x2  x   5x2  x   lim   lim      x   x 1  x  1 x  1 x 1   x 1     xlim    1 x   x  x   lim  4   x 1 x 1 Khi đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 Tổng cộng đồ thị hàm số có tiệm cận Câu 2: Chọn A Tập xác định: D   \ 1 1  x2  5x  x x   y  đường tiệm cận ngang Ta có: lim y  lim  lim x  x  x  x2 1 1 x Mặc khác:  x  1 x    lim  x     x2  5x  lim y  lim  lim x 1  x  1 x  1 x 1  x  1 x 1 x 1 x 1  x  không đường tiệm cận đứng lim  y  lim   x  1 x    lim  x     x2  5x   lim  x 1  x  1 x  1 x   1  x  1 x 1 lim  y  lim   x  1 x    lim  x     x2  5x   lim   x   1  x  1 x  1 x   1  x  1 x 1 x   1 x   1 x   1 x   1  x  1 đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Câu 3: Chọn C Ta có x    x  2  x2  lim    nên đường thẳng x  tiệm cân đứng đồ thị hàm số x 2 x    1  x2   x2  lim   lim   , lim    lim    , nên đường thẳng x  2   x 2  x   x 2 x  x  2   x   x  2  x  tiệm cân đứng đồ thị hàm số  x2  lim    nên đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  x    Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận Câu 4: Chọn A Tập xác định hàm số: D   9;   \ 0; 1 Ta có: lim  y  x9 3   lim  y  lim  x  1 x   1 x2  x lim  x  1 x  1 x 9 3   x2  x  TCĐ: x  1 lim y  lim x9 3 x  lim  lim  x0 x x  x  x  x   x0  x  1 x   lim y  lim x9 3 x 1  lim  lim  2 x  x  x x  x  1 x    x  x x   x 0  x 0 x 0   x  0       x  không đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Câu 5: Chọn B Tập xác định D   \ 2;3  x  1   x  x  3 x   x2  x  lim  lim x2 x  2 x2  5x   x2  x   x   x2  x    lim x2  lim x2  x  1 x 2    x  x  3  5x   x   x2  x  (3 x  1)  x  3  x   x  x3     x 1  x2  x    Suy đường thẳng x  không tiệm cận đứng x 2 x  5x  6 đồ thị hàm số cho Tương tự lim x   x2  x  x   x2  x    ; lim   Suy đường thẳng x  tiệm x 3 x 3 x2  5x  x2  5x  cận đứng đồ thị hàm số cho lim Câu 6: Chọn C Tập xác định hàm số D   16;   \ 1;0 Ta có x  16  x  lim  lim x  x 0  x  1 x x  x  1 x  16   x  1 lim y  lim x 0  x 0 lim  y  lim  x  1 x  1    x  16   lim  x  1 x x 1  x  1   x  16   1  x  16      x  16   15   , lim   x  1  x   1 x  1  x   lim  x   1  x  1 Tương tự lim  y  lim  x  1 x  1  x  1  x  16     Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x  1 Câu 7: TXĐ: D   4;   \ 1;0 Ta có: lim  y  lim  x  1 x  1 x4 2   x2  x Nên đường thẳng x  1 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho lim y  lim x 0 x0 x4 2  lim x 0 x2  x  x4 2 x  x  1   x42 x42    lim x0  x  1  x4 2   Nên đường thẳng x  không tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x  1 Câu 8: Chọn C lim x  lim x  lim x 2 x  4x  6  x2  x x 2 1 x 4  lim x  x 4x  6  x2  lim x  x  x  6  x2  x x  2 1 x  4  lim x 2  x   x    lim x  x x        x2  Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y  2 Câu 9:   Điều kiện: x  ;    1;1    2;  4x  x  x  6   5  x x   y  đường tiệm cận  lim x  x  x    x2 x4 Do lim y  lim y  lim x  x  1 x2  x  x  ngang đồ thị hàm số Có lim y   nên đường thẳng x  đường tiệm cận đứng x 1 Có lim  y  lim  x   1 x  1  x  1 x    x  1  x    x  1  x    lim  x   1 x   x  1  x     x  1  x    nên đường thẳng x  1 không đường tiệm cận đứng Có lim  y   nên đường thẳng x  đường tiệm cận đứng x   lim  y   nên đường thẳng x   đường tiệm cận đứng   Có x  Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ( tiệm cận ngang, tiệm cận đứng) Câu 10: Chọn D x   x   x2 Đkxđ:   x  2, x   x  3x    x  1  Ta có: lim     nên đường thẳng x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2  x  3x      x  1  lim    nên đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số  x  3x   x  Câu 11: Chọn A Xét hàm số y  x  x2  x  1 có tập xác định D   ;0  1;   \   3x   3 Ta có 3x  x x x  x2  x  ;  lim  lim 1 2 3x  x   x  1 x  x  x  x  x x x x 3 lim1 lim x 0   2x  x2  x x  x2  x  lim  nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng x 1 3x  3x  2 x  x2  x lim  lim x  3x  x  1  1 x  lim x 1, 1 3x  x  3 x 2x  x  x  x2  x lim  lim x  3x  x  1  1 x  lim x  nên đồ thị có hai tiệm cận ngang 1 3x  x  3 x 2x  x  y  Vậy đồ thị hàm số có tất hai đường tiệm cận y  Câu 12: Chọn C Tập xác định hàm số D   1;0    2;   Ta có lim y  lim x0 x0 x 25 x2  x   x  5x   x   25 x  9   x  2 5x   x   lim  x0  lim y   x  2 1  2 3 x x  lim y  lim x x x  x  1 x Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình x  y  Câu 13: Chọn A   Tập xác định: D    ;   \ 1   + Ta có: lim x 1    x  1 3x   3x  x 1 3x   3x   lim  lim   x  x  9  x  1 3x   3x  9  x  1 đường thẳng x  đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1 x 1 x + lim  lim   đường thẳng y   đường x  x   x  x  3  3 x x x tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Câu 14: Chọn B   Tập xác định D  ;    1;1    2;  lim  y  lim  y  lim  y  lim y   x  1 x 1 x     x   Các đường tiệm cận đứng đồ thị x   , x  1 lim y  lim y   đồ thị có tiệm cận ngang y  x  x  Câu 15: Chọn C  1   x  4 x  x     4x2  2x 1  x   Hàm số y  xác định   1  x 1 x 1   x    x  1   1    1  Tập xác định hàm số cho D   ; 1   1; ;         lim y  lim x  x  x2  x   x  lim x  x 1  x x x2 x 1 x 4 2  x    1 x x x x  lim  lim  1 x  x  x 1 1 x  y  1 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x   x  lim y  lim x  x  x2  x   x  lim x  x 1  x x x2 x 1 x 4 2  x   1 x x x x  lim  lim  x  x  x 1 1 x đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x    y3 x 4 lim y  lim x 1 x 1  x  1 3x  1 x2  x   x 4x2  x   x2  lim  lim  2 x  x  x 1  x  1 x  x   x  x  1 x2  x   x   Vậy đồ thị hàm số y    x2  x 1  x có đường tiệm cận x 1 Câu 16: Chọn B x   Điều kiện xác định   x  x  2m  Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình x  x  2m  có hai nghiệm       2m  m     m  phân biệt x1 , x2 lớn 2   x1  x2  2  3  2   4  12  2m  m  8  2     2   2m    Do tập S  7; 6; 5; ; 4 có 12 giá trị Câu 17: Chọn A x 1 x 1  lim  nên hàm số có tiện cận ngang y  x  x  m x  x  x  m Hàm số có đường tiệm cận hàm số có hai đường tiệm cận đứng  phương trình Δ  16  m  m  16 x  x  m  có hai nghiệm phân biệt khác    m   m  Ta có lim x  Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có m  1;2;3; ;6;8; ;15 Vậy có 14 giá trị m thỏa mãn đề Câu 18: Chọn D Ta có lim y  0, lim y   đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang x  x  Do đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận có tiệm cận đứng * Có x  3mx   m  1 x  m   x  m   x  mx  1 x  m x3  3mx   2m  1 x  m     x  2mx    *   2 x  3mx   2m  1 x  m  có nghiệm phân biệt khác  m   2 có nghiệm phân biệt khác m khác m   m  3, m    m  2m.m      m 1 3  2m.3        m     m  1  Do tập tất giá trị nguyên m thỏa ycbt 2020; 2019; ; 2; 2;4;5; ; 2020 Vậy có 4037 giá trị m thỏa ycbt Câu 19: Chọn A  x  m Ta có điều kiện xác định  , đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang  x   0;  Ta có lim y  , lim y   x 0 x 2 Suy x  0, x  hai đường tiệm cận đứng m  Vậy để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận  , theo m thuộc đoạn  100;100 m  Vậy có 200 số nguyên m thỏa mãn đầu Câu 20: y x2  m x2  m  x  x   x  1 x   lim y   y  đường tiệm cận ngang x  x2  m có hai đường tiệm cận  đồ thị hàm số có tiệm x  3x  cận đứng  pt x  m  nhận nghiệm x  x   m  1 Khi đó:   m  4 Với m  1 có tiệm cận đứng x  Với m  4 có tiệm cận đứng x  Vậy m  {  1; 4} Đồ thị hàm số y  Câu 21: Chọn C Để đồ thị có ba đường tiệm cận x  mx   có hai nghiệm phân biệt  1  m   0    m  2     1  2m  1    m    Câu 22: Chọn A Theo cơng thức tìm nhanh tiệm cận đồ thị hàm số y  Đồ thị hàm số nhận x   Đồ thị hàm số nhận y  ax  b ta có cx  d d  m   làm TCĐ  m  3 c a  n   làm TCN  n  c Vậy m  n  Câu 23: Trường hợp 1: m  suy tập xác định hàm số D   x1; x2  , ( x1; x2 nghiệm phương trình mx  x   ) Do m  khơng thỏa u cầu toán x 1 Trường hợp 2: m   y  suy tập xác định hàm số D   ;  8 x  lim y  ; lim y   Khi ta có x  4 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  x4 Do m  khơng thỏa yêu cầu toán Trường hợp 3: m  suy tập xác định hàm số D   ; x1    x2 ;   ( x1; x2 nghiệm phương trình mx  x   ) Do đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận phương trình có hai nghiệm phân biệt khác mx  x   16  2m  m     m  0; m    m  0; m    m  1; 2;3; 4;5; 7 Suy có tất giá trị nguyên m    m    tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 24: Chọn A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang  Hàm số xác định miền  ; a  ,  ; a  ,  a,    a;  m0 Trường hợp 1: m   y  x  3x  7, lim y   đồ thị khơng có tiệm cận ngang x  Trường hợp 2: m  0, y  x  mx  3x    Khi lim y  lim  x  x m     đồ thị hàm số có tiệm cận ngang m  x   x x  x   Vậy m  Cách trắc nghiệm: Thay m   y  x  x  x   lim x  x  3x   đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x       lim x  x  x    khơng có tiệm cận ngang x    Thay m  1  y  x   x  x   lim x   x  x  không xác định   x  lim x   x  x  không xác định Vậy m  x  Câu 25: Chọn C + b   đồ thị hàm số y  ax  tiệm cận 2 + b  , tập xác định hàm số y  ax  D  R \   bx  b  a ax  x a lim y  lim  lim x  x  bx  x  b b x ax  a a có tiệm cận ngang đường thẳng y     b  2a  đồ thị hàm số y  bx  b b ax    lim y  lim  2 bx    x x b b ax  2 có tiệm cận đứng đường thẳng x     b   a  bx  b b  đồ thị hàm số y  Vậy a  1; b  Câu 26: Chọn C x 1 có hai đường tiệm cận đứng phương trình 2x  6x  m  15  32    m  3  m    x  x  m   có hai nghiệm phân biệt khác   2 2.1  6.1  m   m  Ta có đồ thị hàm số y  m thỏa mãn 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4, 6, 7,8,9,10 Vậy có 17 giá trị nguyên m thỏa mãn Từ ta suy tập giá trị nguyên Câu 27: Chọn B Đồ thị hàm số y  mx  3mx  có nhiều tiệm cận đứng hai tiệm cận ngang x2 Điều kiện để đồ thị hàm số y  mx  3mx  có tiệm cận có tiệm cận đứng x2 tiệm cận ngang Xét điều kiện tồn lim y lim y x   x   m  16  0m Trường hợp 1: g  x   mx  3mx   với x     m     9m2  16m   Trường hợp 2: g  x   mx  3mx   với x   ; x1    x2 ;   với x1 ; x2 nghiệm m  16 m g  x      9m  16m  Vậy m  tồn lim y lim y x   y  lim Khi đó: xlim  x  x   mx  3mx   lim x   x2 3m  x x  m 1 x m mx  3mx   lim x  x2 lim y  lim x   x  3m  x x  m 1 x  m Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang m  Xét trường hợp x  2 nghiệm tử số  x  2 nghiệm g  x   mx  3mx   g  2    m  Khi y  2x2  6x   lim y  x  x2  x  1 x   x2   x  1   lim      x  2 x     Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2  m  thỏa mãn Xét trường hợp x  2 không nghiệm tử số, để x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm  g  2   số   g  2     m   m   g  2    đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2 với m   0;2 Vậy điều kiện để đồ thị hàm số y  mx  3mx  có tiệm cận m   0;2 x2 Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn đề m  ; m  Câu 28: Chọn A Đặt f  x   x   m  1 x  m2  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng f  x   có nghiệm phân biệt có nghiệm x  f  x   có nghiệm kép     m  12   m     m  m           1   m  1  m     f 1       m  1; m  3   m  3       3  m  m   m  2   Vậy tổng giá trị m thỏa mãn là:  Câu 29: Chọn B lim y  lim y  nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường thẳng y  x  x  Do đó, đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận phương trình x  3mx  2 m  1 x  m  có nghiệm phân biệt x  Xét phương trình x  3mx  2 m  1 x  m  ta có x  m x  3mx  2 m  1 x  m    x  m  x  2mx  1     x  2mx   Phương trình có ba nghiệm phân biệt x  m  phương trình   m  m     m  m    x  2mx   có hai nghiệm phân biệt x        m  1 3  2.3.m     m   Do m nguyên m  6;6 nên m  6; 5; 4; 3; 2; 2; 4;5;6 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn đề Câu 30: Chọn C Tập xác định: \ m  x2  3x  m 2m  2m   lim  x  m    xm xm xm xm   Có lim x  3x  m , xm xm Để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng phải tồn lim m   2m  2m    m  Câu 31: Chọn D Để đồ thị hàm số y  x2 có hai tiệm cận đứng phương trình x  x  m  có x  4x  m hai nghiệm phân biệt khác  2017  m     4m       m  12  m  2017;  2016; ;3 \ 12    12  m     m   Do số giá trị nguyên tham số m thỏa đề là:  ( 2017)    2020 giá trị Câu 32: Chọn B Đồ thị hàm số y  f  x  có tiệm cận ngang m   2019m  2020m    m  2019  2020 Vậy có giá trị m thỏa toán Câu 33: Chọn A Điều kiện x  m Ta có lim y   y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  x  m Xét phương trình  x   2m  1 x  2m x  m     x   2m  1 x  2m  0(*) Để hàm số có đường tiệm cận phương trình (*) có nghiệm phân biệt m  x1  x2 1    2m  12  m  m      m  2   x1  m  x2  m     x1 x2  m  x1  x2   m   m  m     x  x  2m  m   2m 1  0  m       Câu 34: Chọn C Đặt f  x   mx  x  g  x   x  6mx  Ta xét trường hợp: Trường hợp 1: m  ta có y  6x  đồ thị hàm số có đường tiệm cận  6 x  3  x  1 ngang đường thẳng y  m  thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: m  hai tam thức f  x  g  x  vô nghiệm  ' f  9  3m  m      m  9m    1  m   'g  13 1 Trường hợp 3: Tam thức g  x  nhận x  làm nghiệm g     m   f  x  12 2 ln có nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cho có nhiều đường tiệm cận Vậy có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y  6x  có  mx  x  39 x2  6mx  1 đường tiệm cận Câu 35: Chọn B Điều kiện cần đủ để đồ thị hàm số: y  x  mx  có tiệm cận ngang tồn số thực k   lim ( x  mx  1)  k  x cho:   lim ( x  mx 1)  k  x  x  Hiển nhiên m  giới lim ( x  mx 1) không hữu hạn Nếu m  ta có x lim ( x  mx 1)   x x lim y  lim ( x  mx 1)  lim  lim x  x x  x  x  mx  1 m  x Để giới hạn hữu hạn m=1 x (1 m) 1 x(1 m)  Câu 36: Chọn D x2  2  Không thỏa mãn yêu cầu toán 2 x  x2 Với m  , ta có: lim   y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  mx  x  Với m  ; ta có hàm số y  Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận  đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  mx  x   có nghiệm mx  x   có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x  mx  x   có nghiệm      4m   m      m   mx  x   có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x     4m   m   m  không thỏa mãn điều kiện Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 37: Chọn C lim y  x  2019 2019 , lim y  x  m  17 17  m 2019 2019 , y m  17 17  m Khi đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận phương trình Với m  17 đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y  17 x   m x  1 có hai nghiệm phân biệt khác  m  m  Ta có: 1  17 x   m x     2 2 17 x   m x 17  m  x    Phương trình có nghiệm phân biệt khác phương trình có hai nghiệm phân biệt m    m  17 khác   17  m  Suy S  0,1, 2,3, 4 Câu 38: Chọn B Ta có: lim f ( x)  lim x 0 x 0 x3  mx   x  x   m2 x x x  mx   x  x   m x Mà lim x 0 x  x  mx    lim   x 0 x  x4  x   m2 x    x x    x  mx x4  x  lim    m2  4 x 0  x ( x  mx   1) x ( ( x  x  1)  x  x   1)  Đồ thị hàm số f ( x ) nhận trục tung làm tiệm cận đứng  lim( x 0 ( x  m) ( x  mx   1)  m  3m   Vậy Câu 39: Chọn A  ( x  1) ( x  x  1)  x  x   m1  m2    m2 )   m   m2  Xét g  x  x  x  m 1 x ( x  m) 1 x( x  m) 1  lim  1 Nên đồ thị hàm số ln có hai x  x2 x2 đường tiệm cận ngang y  y   Ta có lim x Trường hợp 1: m  hàm số y  x 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 x2 Vậy m  thỏa mãn yêu cầu đề Trường hợp 2: m  Hàm số g  x có tập xác định D   ;0   m ;   x  2  D g (2)  2 m  2 1  nên x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy m  , m  , m  thỏa mãn Nên có giá trị m Trường hợp 3: m  Hàm số g  x có tập xác định D   ; m  0;   Để x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số trước hết x  2  D hay m  2 Nên có m  2 , m  1 thỏa mãn Với m  1 ta có g ( x)  x  x 1 1 , g ( 2)  1  nên x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Với m  2 ta có g ( x)  x  x  2 1 , g (2)  x  x  2 1  1  nên x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu Câu 40: Ta có lim y  lim  , lim y  lim x  x  3x  m  y  đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  x  x  x  3x2  m  không tồn Suy Do đó, để đồ thị hàm số cho có đường thẳng tiệm cận phương trình x  x  m   có nghiệm phân biệt Xét hàm số g  x   x  3x  m  Tập xác định D   x  g   x   3x  x ; g   x     x  Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình x  x  m   có nghiệm phân biệt m    m    m  Câu 41: Chọn A Do hàm số khơng có tiệm cận đứng nên f  x   x   ax  b   x  1 g  x   a  b    a    f 1    Suy     a  b   đáp án A a   b    f ' 1   Chú ý: Với f  x    x  x0  g  x  ta ln có f  x0   f '  x0   f ''  x0    f  n 1  x0   n Câu 42: Chọn C  x  2016 x  2017 có nghĩa  x  2016 x  2017   1  x  2017 Biểu thức: Đặt f  x    x  2016 x  2017 Xét x  m   x  m Vậy đồ thị có tiệm cận đứng x  m , điều kiện 1 1  x  2017 m   1; 2017  là:   f  m    m  2016m  2017  24 * m  Ta có *  m  2016m  2015    2 m  2015 m  có 2019   2017 số nguyên m thỏa mãn Từ 1 ,  2  m  1;2017 \ 1;2015  toán  đáp án C Câu 43: Chọn B Ta có: lim f ( x)  lim x 0 x 0 x  mx   x  x   m2 x x 3 x  mx   x  x   m x x Mà lim x 0  x  mx   x  x   m x   lim     x 0 x x x     x  mx x4  x  lim    m2  x 0  x ( x  mx   1) x ( ( x  x  1)  x  x   1)  Đồ thị hàm số f ( x ) nhận trục tung làm tiệm cận đứng  lim( x 0 ( x  m) ( x  mx   1)   m  3m   Vậy ( x  1) ( x  x  1)  x  x   4  m2 )   m   m2  m1  m2   Câu 44: Chọn A Xét g  x  x  x  m 1 x ( x  m)  x( x  m) 1  lim  1 Nên đồ thị hàm số ln có hai x x x2 x2 đường tiệm cận ngang y  y   Ta có lim Trường hợp 1: m  hàm số y  x 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 x2 Vậy m  thỏa mãn yêu cầu đề Trường hợp 2: m  Hàm số g  x có tập xác định D   ;0   m ;   x  2  D g (2)  2 m  2 1  nên x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy m  , m  , m  thỏa mãn Nên có giá trị m Trường hợp 3: m  Hàm số g  x có tập xác định D   ; m  0;   Để x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số trước hết x  2  D hay m  2 Nên có m  2 , m  1 thỏa mãn Với m  1 ta có g ( x)  x  x 1 1 , g (2)  1  nên x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Với m  2 ta có g ( x)  x  x  2 1 , g (2)  x  x  2 1  1  nên x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu Câu 45: Chọn A Nếu m  y  Hàm số có tập xác định D   \ 1 x 1  nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  x  x  1 lim    nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 x  1 x  Vậy với m  đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Ta có lim Nếu m  mx   với x tập xác định hàm số D   \ 1 lim x  1 m  m 2 mx  mx  x  m , lim x   m Suy đồ thị  lim  lim x  x  x  1 x 1 x  1 1 x x hàm số có hai tiệm cận ngang y  m y   m mx    nên x  1 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  1 x 1 Vậy m  không thỏa mãn lim   1 Nếu m  tập xác định hàm số D     ;   \ 1 m m  Trường hợp đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đồ thị hàm số phải có tiệm cận đứng Điều xảy 1  1        m  1 m m m Vậy với 1  m  đồ thị hàm số có đường tiệm cận   Câu 1: Cho hàm số y  x3 Có giá trị nguyên thuộc đoạn x  3mx  (2m2  1) x  m  2020; 2020 tham số A 4039 Câu 2: Cho hàm số y  B 4040 20  x  x x  x  2m đường tiệm cận đứng A m   6;8 Câu 3: m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? D 4037 Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số có hai C m  12;16  B m   6;8  D m   0;16  Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số A Câu 4: C 4038 B x y    x  3  x  1 f  f  x   1 C D Cho đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d hình vẽ đây: Đồ thị hàm số g  x   A 3x  x  có đường tiện cận đứng f  x  f  x B C D Câu 5: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có bảng biến thiên hình bên Đồ thị hàm số g  x   2x   4x  có tất đường tiệm cận đứng tiệm cận f  x 1 ngang A Câu 6: x  3x  x  có đường tiệm cận? x  f  x   f  x   A B C D Cho hàm trùng phương y  ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y x   x2  x Biết đồ thị hàm số y  A   f  x    f  x   A Câu 8: D Cho hàm số bậc ba f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g  x  Câu 7: C B 4841 152 có tổng cộng tiệm cận đứng? C B x   ax  b  x  5 B 4814 152 D khơng có tiệm cận đứng Tính a2  b3 C 4841 152 D 4814 152 Câu 9: a a c   x c Biết tích phân I     x   e x dx  3.e b  e d , phân số ; tối giản b d x  1 Hãy xác định phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A y  25 B y  25 53 25 C y  ax  b cx  d D y  Câu 10: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Tổng giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g  x   tiệm cận A 15  Câu 12: A B Câu 13: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị sau x   mx  m  có x  14 x  20 x  C D Vô số   x  ln  x  1 có đường D 11 Câu 11: Có giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x)  hai đường tiệm cận? A B  f f  x   m C 13 B  Số đường tiệm cận đồ thị hàm số: f  x   2020 x x C là: D Gọi M , m số tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số x y   x  x  x x  17 x  16  f  x   x2  3x A M  3m Câu 14: Đồ thị hàm số y   Khi mệnh đề đúng? B M  3m  2x  3  x   1  ngang A C M  2m x2  2x  4x2  x   2x B  D M  m có tổng số đường tiệm cận đứng, tiệm cận C D  x2  x  x   Câu 15: Đồ thị hàm số y  f  x    x  x   có tất đường tiệm cận?   x  x   x x  A B C D Câu 16: Cho hàm số y  f  x   x  20 x   m  24  x  m 20 x  14 x    14 x  11 x  có đồ thị  C  Gọi S tập hợp giá trị m để  C  có tiệm cận đứng Tổng giá trị S B 3 A 1 C 5 D 7 Câu 17: Cho đồ thị hàm số y  f  x  liên tục  có hai đường tiệm cận ngang y  5, y  Tìm giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y  f  x   m có đường tiệm cận ngang A m  B m  2 Câu 18: Cho hàm số f  x   x cận ngang y  A  5; 3   C m  D m   ax3  bx   x  x  Biết đồ thị hàm số có đường tiệm Giá trị a  b thuộc khoảng khoảng sau? B  3;0  C  0;  D  3;  Câu 19: Cho hàm số bậc ba f  x   ax  bx  cx  d  a , b , c , d    có đồ thị hình vẽ sau đây: Đồ thị hàm số g  x   A x ( x  2) f  x  f  x có đường tiệm cận đứng? B C D Câu 20: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x 1 có đường x  2mx  tiệm cận A m  B 2  m  m    m  2 C    m  Câu 21: Gọi S tập giá trị m cho đồ thị hàm số y  đường tiệm cận Số phần tử S là: A B m  D   m  2 x 1 có hai x  2mx  m  2m  C D Câu 22: Cho hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d  a   có đồ thị hình Gọi S tập giá trị nguyên m thuộc khoảng  2019; 2020  để đồ thị hàm số g  x   x  1  f  x   2  x f  x  2mx  m   Số phần tử tập S A 2016 B 4034 có đường tiệm cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang) C 4036 D 2017 Câu 23: Cho hàm số bậc ba f  x   ax3  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g  x  A x  2x  1 x  x  3  f  x   f  x   B có đường tiệm cận đứng? C D Câu 1: Chọn B Ta có lim y  lim y  0, suy y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  x  Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đồ thị hàm số có đường tiệm cận 2 đứng, hay x  3mx  (2m  1) x  m  1 có nghiệm phân biệt khác Ta có x  3mx  (2m  1) x  m    x  m   x  mx  1  x  m   f  x   x  2mx     Để phương trình 1 có nghiệm phân biệt khác phương trình   có nghiệm phân m     m  1    m2       m  1 biệt khác m  f  3   32  6m    m   m    m  2m      f m   m  1   Vì m số nguyên thuộc đoạn  2020; 2020 nên có 4038 giá trị tham số m Câu 2: Chọn B Ta có tập xác định hàm số phải thỏa mãn x  x    x  Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng phương trình x  x  2m  có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2  Ta có: x  x  2m Đặt f  x   x  x Ta có bảng biến thiên hàm f  x  đoạn  0;6 Yêu cầu toán  16  2m  12   m  Câu 3: Chọn A Hàm số bậc bốn có dạng y  ax  bx  cx  dx  e  a   Ta có: y  4ax3  3bx2  2cx  d Từ đồ thị hình vẽ cho ta thấy: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  1;0  ,  x0 ; y0  ,  2;0  với  x0  1; y0  Ngoài đồ thị hàm số qua điểm  2;3 ,  3;3  y  1  4a  3b  2c  d   a  32a  12b  4c  d   y     b  2   y 1      a  b  c  d  e     Từ ta có:   c  3 16 a  b  c  d  e  y      d   y 2  16a  8b  4c  2d  e       e  81a  27b  9c  3d  e   y  3   Suy bậc bốn y  f  x   x  x  3x  x  Ta có: f  x   x  x  x  x    x  1  x   Từ ta có hàm    x  3  x  1 f  f  x   1  x  1  x     x  1  x    3 2 2 f    x  3  x  1  x  1  x  2  1 2 2  x    x    x  3 x  1  x  x  1  x  1  x     x  1  x   4  y  g  x  3   x  1  x   4  x2  x    Xét  x  1  x   x  x    x    x    x  3 x  1  x  x  1 4  x Ta có: lim g  x    ; lim g  x   x 1 x 2 2  x2  x    x2  94  x1 9  x2 94  x3 94  x4 256 ; lim g  x    ; lim g  x    ; lim g  x    ; x  x1 x  x2 x  x3 81 x  Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Chọn C   x  1 x    x  1     x  1    1 x    1 x   lim g  x    ; lim g  x   x  x4 Câu 4: x  y 4  y số  x    x    x  3 x  1  x  x  1  y x y  f  x  Xét phương trình f  x   f  x      f  x   Dựa vào đồ thị ta suy ra:  x  2 Phương trình f  x     , với x  2 nghiệm đơn x  nghiệm kép x  Suy ra: f  x   a  x   x  1 ,  a   x   Phương trình f  x     x  m  2  m  1 , nghiệm nghiệm đơn x  n n 1    Suy f  x    ax  x  m  x  n  ,  a    x  1 3x     x  1 3x   f  x   f  x    3a  x   x  12 x  x  m  x  n   3x    ,  a  0 3a x  x   x  1 x  m  x  n  Vậy đồ thị hàm số g  x  có đường tiệm cận đứng Cách 2: Chọn hàm số f  x  Ta có f  x   ax  bx  cx  d Đồ thị hàm số qua điểm A  2;0  , B  1;  , C  0;2  , D 1;  Khi đó: g  x   a  b   suy  hay f  x   x  3x  c    d   Khi đó: g  x   3x  x  3x  x  3x  x    f  x   f  x  f  x   f  x     x3  x   x  3x   x  1 3x    x   x  1 x  x  3 Vậy đồ thị hàm số g  x  có đường tiệm cận đứng Câu 5: Chọn B  x   Hàm số g  x  xác định   f  x   1  Ta có y  f  x  hàm bậc ba dựa vảo bảng biến thiên ta có y   a  x  1 y a x  ax  b  a  ab 3 a   y  1      y  x  3x   y   a b        a  b  1   3  2x   4x  x x x 0 lim g  x   lim  lim x x  x  x  1 x  3x   1   x x x  y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số g  x         x  1   x  1 x x    f  x   1  f  x   1  f  x   1  x   4x   f  x   1  x    x   x  1  x      f  x 1   x x  x    x    x     x x  x   x  2 2x   4x    x2  8x  f  x   2x   4x   f  x 1 f  x  1 2x   4x  4x     x0 (vì x   4x    x    lim g  x     x 0  x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số  g  x     xlim  0  lim g  x     x  x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số  g x      xlim   3 Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang y  tiệm cận đứng y  Câu 6: Chọn C Điều kiện xác định hàm số g  x  x  x   Xét phương trình x  f  x   f  x     x f  x   f  x   1    f  x    f x 1    Xét phương trình f  x   có nghiệm kép x  nghiệm đơn x   x  a,  a  Xét phương trình f  x   có ba nghiệm đơn  x  b,  b  2, b  a Ta thấy   x  c, c   lim f  x     x  f  x     xlim  Nên khơng tính tổng quát, ta có + f  x   + f  x    x  1 x     x  a  x  b  x  c   Do đó: g  x  x2  3x  x  x  3x  x   x  f  x   f  x   x  x  1 x    x  a  x  b  x  c  Khi  lim g  x   x0 +  không tồn giới hạn  x  không tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x  lim g x    x 0 + lim g  x   lim  x  a  x  b  x  c  x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x  x 1  x  3x  x  x 1 x  x  1 x      x  3x  x  lim g x  lim    x     x  2 x x  x  x  a x  b x  c         +  x  3x  x   lim g x  lim      x  2 x  2 x x  x  x  a x  b x  c          x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x   x  3x  x  g x  lim      xlim  x a  x x  x      x  a  x  b  x  c   a +  x  3x  x   lim g x  lim  x a   x a  x x  x  2 x  a x  b x  c           x  a tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x   x  3x  x  lim g x  lim      x b x b  x x  x      x  a  x  b  x  c   +  x  3x  x   lim g x  lim      x b x b x x  x      x  a  x  b  x  c    x  b tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x   x  3x  x  g x  lim      xlim  x c  x x  x      x  a  x  b  x  c   c +  x  3x  x   lim g x  lim  x c   x c x x  x  2 x  a x  b x  c            x  c tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x  + lim g  x   lim x  x  x  3x  x  x  x  1 x    x  a  x  b  x  c  0  y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số g  x  Vậy đồ thị hàm số g  x  có đường tiệm cận Câu 7: Chọn D Ta có: x    x   x   x  x     x   x   x y  2  f  x    f  x    f  x    f  x    f  x    f  x    x2  2x  x  m, m  2  x0   f  x    x  n, n  Xét  f  x    f  x        f  x   3 x2   x  2 Dựa vào đồ thị ta thấy nghiệm x  0; x  2 nghiệm kép (nghiệm bội 2) Do đa thức  f  x    f  x   có bậc  x   x   x  y 2 2 a x  x    x    x  m  x  n  a x  x   x  m  x  n  Suy Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  0, x  2, x  m, x  n Câu 8: Chọn A Xét hàm số f  x   3x   ax  b có f   x   3x  a Để hàm số tiệm cận đứng: f  x    x   g  x    3.5   a.5  b  5a  b  4  f    b        3 a0  a  a   f       3.5   17 3  1   3  4814 Nên a  b        2 152     Câu 9: Chọn B Ta có I   e x x2 3 x   x   x 2 dx    x  .e x dx  I1  I , với I1   e x dx ; I    x  .e x dx x  x  1 1 3    x  x2  x x du     e dx   Tính I1   e x dx Đặt u  e x   dv  dx v  x  x Ta có I1  x.e x x2 3 25   x    x  .e x dx  3e  e x  1 53  I2 25 53 Do I  I1  I  3e  e Ta có a  25; b  ; c  53; d  Suy hàm số y  Khi đồ thị hàm số y  25x  53x  25x  25 có phương trình đường tiệm cận ngang y  53x  53 Câu 10: Chọn D Ta thấy đồ thị hàm số g  x  có đường tiệm cận ngang y  Để đồ thị hàm số g  x  có đường tiệm cận phương trình f  f  x   1  m  có nghiệm phân biệt Đặt h  x   f  f  x   1 Khi đó, h  x   f   x  f   f  x   1  f  x   f  x   x  1,2  f  x      h  x       f  x      f  x     x  x1 ; x2 ; x3   f  f  x        f  x     f  x    x  x4 ; x5 ; x6   x   x   x  x   x  x6  Ta có h  x1   h  x2   h  x3   f  f  x1   1  ;       h  x4   h  x5   h  x6   f f  x4    1 ; h  1  f f  1   14 ; h    f f     13 Bảng biến thiên: Căn vào bảng biến thiên để phương trình f  f  x   1  m  có ba nghiệm phân biệt thì:   m  14   13  m  1 Câu 11: Chọn B  x   x   mx  m   với m   Điều kiện xác định:  x  Ta có xlim  x  14 x  20 x   x   Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  Ta có y  f ( x)  x   mx  m   x    3x   Yêu cầu toán trở thành, tìm m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2 x  3 Nếu x   mx  2m  nhận x  nghiệm m   Khi 3 6x   x 3 lim  lim  2   32 x  x    3x   x 3 4x  2  6x   x    6x   x 3 lim  lim   x x2   x  x      x    6x   x    Suy x  đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Nếu   6 x   mx  m    x     m  nhận x  nghiệm kép m  1  6x    Khi lim  2 x  3 lim x 2 6x   x   x    3x   6x   x   x    3x   Suy x  2  lim x2  lim  2 x   3  3x     3x    1 6x   x  1 6x   x       24 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số  3 Vậy có hai giá trị m   1;   thỏa mãn toán 2  Câu 12: Chọn C Tập xác định: D   1;   \0;1 Ta có : 3    x   ln  x  1    lim x x x 3  3  2   x   ln  x  1   x   ln  x  1     lim   239 lim x x x x 1 x0 x0 3  3  2   x   ln  x  1   x   ln  x  1     lim   239 lim x x x x 1 x0 x0   3   x ln  x  1   x   ln  x  1    lim lim x     x x 1 x 1 x  x   x2   x             ln  x  1   lim      x 1 x   x2   x2         3    x   ln  x  1    lim lim  x  x x1 x1 1  x2  ln  x  1    x2  1 x    x2   23  x2      ln  x  1  lim  ln  12 x1  3 x  x2   x2         3    x   ln  x  1   Tương tự lim  ln 12 x x x1 Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận y  x  1 Câu 13: ChọnC Từ giả thiết, ta có f  x   x  x  Gọi  C  đồ thị hàm số y  g  x  x    x  x  x x  17 x  16  x  3x  x  x   x2  x   x  4   Điều kiện xác định:  x  17 x2  16    1  x     x  2  x  x  x  x        17 16    x    x   x  x x  lim g  x   lim   x   x   3         x x x     Ta có:    1 17 16    x      x     x  x x    lim g  x   lim  x  x                x x  x    đường thẳng y  x lim g  x   lim x0  x 0  tiệm cận ngang  C    x   x x  17 x  16 x    3x2   x  x      đường thẳng x  tiệm cận đứng  C  lim  g  x   lim  x  1   x  1 x    x  x  x x  17 x  16  x  x2  x  3x      đường thẳng x   tiệm cận đứng  C  Vậy M  2; m  nên M  2m Câu 14: Chọn A Gọi  C  đồ thị hàm số y  f  x     Ta có x     2x  3  x  1 x2  2x  4x2  x   2x   x   1  x  1 x2 1   4x  x   2x      x  3  x   x  x   2 x x    x  4   Suy tập xác định hàm số y  f  x  là: D    ; 4    2;   lim  y  lim  +) x   4  x  4   2x    x    x    4x  x   2x   lim     x  3  x    2x  3 x   4x  x   2x   lim      x  3 x  Suy đường thẳng x  4 tiệm cận đứng  C   2x  3  x   1  x2  2x  x2  x   x  x  4  x  4  +) lim y  lim x  x   3 2  x  1 x  x    lim  x    1  4x  x   2x   x    x    x     2x  3 x2  2x   x  1    x  3 x  x   lim  x   lim y  lim  x  3. x  x   2x  +) x  x  x          2        x x  x x       lim  x     x           x  x        tiệm cận ngang  C  Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Suy đường thẳng y  Câu 15: Chọn C x2  x   x2  x   2x  x   x    1 2  x 2 x2 x x x 0 Gọi  C  đồ thị hàm số y  f  x  ; lim y  lim  lim 2 x  x  x  x  x  2  2 1  x    Suy  C  nhận đường thẳng y  đường tiệm cận ngang lim y  lim x  x    x1 x  x   x  lim x  4x  x   2x 1  lim x   4 x 1  2 x x2  tiệm cận ngang x4   x   x2  x  x3  x2  4x  lim y  lim  lim  lim   2 x x 2 x 2 x 2 x  x   x2  x  x x  2 x  x   x2  x  Suy  C  nhận đường thẳng y       Suy  C  nhận đường thẳng x  tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Câu 16: Chọn C Ta có 20 x  14 x   14 x  11 x    1  350 x  245x  315 35   14 x  11 x   2  35   35  35 1225 315 35   14 x     14 x   x2   2x2   x2  2x2   0   16 8      35 35  315 35   14 x   x2    x2  x2    2 4 8   Nhận thấy phương trình (2) vơ nghiệm nên phương trình (1) vơ nghiệm Do 20 x  14 x    14 x  11 x  x  56 x3  118 x  5x  40 20 x  14 x    14 x  11 x  2  20x 1   2 y 2    x   x  12 x   20 x  14 x    14 x  11 x   x    x  12x  m   y  f  x   20 x  x    x  12 x    x  12 x  m  20 x  14 x   14 x  11 x  2 Khi hàm số   14 x    14 x  11 x  2  14 x    14 x  11 x     20 x  14 x    14 x  11 x     x   x  12 x       14  Hàm số y  f  x  có TXĐ D   \ 2;    Dễ thấy để đồ thị  C  hàm số y  f  x  có tiệm cận đứng phương trình x  12 x  m   1 phải có hai ba nghiệm 2;  14 Nếu  1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1  x2    Do đó,  1 phải có hai nghiệm  14 , suy m  5 Do S  5 Vậy tổng giá trị S 5 Câu 17: Chọn C Đồ thị hàm số y  f  x  có hai đường tiệm cận ngang y  5, y   Đồ thị hàm số y  f  x   m có hai đường tiệm cận ngang y  5  m , y   m Do đồ thị hàm số y  f  x   m có đường tiệm cận ngang hai đường thẳng y  5  m, y   m đối xứng qua trục Ox  5  m   m   m  Câu 18: Chọn D Trường hợp 1: lim f  x   x   lim  x  x    b 1  lim x  a       x  x x x  Suy lim  x  x        a    a  Thay lại ta    x  bx   x  x      lim  x  x      lim  x     ax  bx   x  x      3  x  bx    x  1   x  1  x  x     x  bx    b  12  x   x  1 3  x2      2x  1  4x2  4x    3 x x  bx    x  1   3 3 x  Do lim  lim f  x   nên x   x   4   x  1  x  x     lim  x     x  bx    b  12  x   x  1    phải hữu han x  bx    x  1    x2 Do  b  12    b  12 thay lại ta   lim  x      1  2 3 3 x  12 x    x  1 x  12 x    x  1   Thay lai lim f  x    không thỏa mãn x  5 Trường hợp 2: Xét lim f  x    lim  x ax  bx   x  x      x  x    4   6 x   b 1  lim x  a       x  x x x       Suy a    a  8 Thay lại ta lim  x  x    lim x  x      lim  x      8 x  bx2   x2  x      3  8 x  bx2    x  1   x  1  x2  x     8 x  bx    b  12  x   x  1 3  x2 8 x  bx    x  1      x  1  x2  x    3x   3x    lim f  x   Do lim  x   x   4   x  1  x  x     nên lim  x     8 x  bx    b  12  x   x  1    hữu han 8 x  bx    x  1    6x2 Do  b  12    b  12 thay lại ta   lim  x        2 3 8 x  12 x    x  1 8 x  12 x    x  1    Từ suy lim f  x   x  x2 thỏa mãn Vậy ta a  b    3;  Câu 19: Chọn C  f  x   x  Điều kiện:  Xét phương trình: f  x   f  x      f  x   f  x    f  x    x  1 Từ đồ thị  phương trình f  x     x  x  1 không tiệm cận đứng đk x  x  nghiệm kép tử số có nghiệm x   x  đường tiệm cận đứng x  a  Từ đồ thị  phương trình f  x     x   x  b (b  2) x  a không tiệm cận đứng (vì x  ) x  1, x  b hai đường tiệm cận đứng Vậy tổng số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x  Câu 20: Chọn C lim y  0, lim y  nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  , m x  x  Do đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận  phương trình x  mx   có hai nghiệm phân biệt khác  m      m        m2   m  m      m  2 Câu 21: Chọn B 1  x x2 Ta có lim y  lim  x  x  2m m  m  1  x x2 Nên đồ thị hàm số ln có đường tiệm cận ngang y  Do để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận phương trình: x  2mx  m  2m   có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt có nghiệm  m  3  2m   m  3  m  3      m  1 Khi  2m      m  1  m  4m     m      m  Vậy S  3;  1;5 Nên tập S có phần tử Câu 22: Chọn A  f  x   Điều kiện  f  x     x  2mx  m   Nếu f  x    x  2 x  Nếu f  x     ( x  nghiệm kép)  x  1  x  2 Nếu f  x     ( x  nghiệm kép) x 1 x  a  x  2  x  1 a  x   x  1 Khi g  x     a  0 2 a  x   x  1  x  2mx  m   a  x   x  1  x  2mx  m   Ta có lim g  x   , nên hàm số có tiện cận ngang y  x  lim g  x    , nên hàm số có tiện cận đứng x  x 2 lim g  x    , nên hàm số có tiện cận đứng x  1 x1 Để hàm số g  x  có đường tiệm cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang) Thì phương trình h  x   x  2mx  m   có nghiệm phân biệt lớn 2 x  1;1; 2   m  1  '    m  m   a h   m     h x     S 5m   m       m  1   2 m  2   2    m    m  m    h  1     m  1  3  m   m   h 1   6  3m  m   h    m  Do m có giá trị nguyên m thuộc khoảng  2019; 2020  Vậy có 2016 giá trị nguyên m thuộc khoảng  2019; 2020  4;5; ; 2019 Câu 23: x   x   Điều kiện:  x     f  x   f  x    f x 3f x       x   L  Ta có  x  3  f  x   f  x      f  x   Dựa vào đồ thị ta có  f x  3     x  x1   1;0   f ( x)    x  x2   0;1 (loại x3  ), có tiệm cân đứng x  x1 , x  x2  x  x  2;      x  x4 , x4  f ( x)  3   , có tiệm cận đứng x  x4 (L) x  Vậy đồ thị hàm số g  x  có đường tiệm cận đứng LÍ THUYẾT  Khảo sát số hàm đa thức phân thức a  0 Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d  Trường hợp 1: phương trình y'  có hai nghiệm phân biệt Với a   Với a  ' Trường hợp 2: phương trình y  có nghiệm kép Với a   Với a  ' Trường hợp 2: phương trình y  vô nghiệm y y O x 1 O x Với a  Với a  Hàm số trùng phương y  ax  bx  c   a  0 x  Đạo hàm: y '  ax  2bx  x 2ax  b , y '     ax  b  Để hàm số có cực trị: ab       a  Nếu  hàm số có cực đại cực tiểu b  a  Nếu  hàm số có cực đại cực tiểu b  Để hàm số có cực trị ab   a  Nếu  hàm số có cực tiểu khơng có cực đại b   a  Nếu  hàm số có cực đại khơng có cực tiểu b   Trường hợp 1: phương trình y'  có nghiệm phân biệt  ab   y y 1 O x x Với a   O Với a  Trường hợp 2: phương trình y'  có nghiệm y y 1 O O x Với a  Hàm số bậc y       ax  b cx  d x Với a   c  0, ad  bc    d Tập xác định: D  R \     c Đạo hàm: y  ad  bc  cx  d  Nếu ad  bc  hàm số đồng biến khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư Nếu ad  bc  hàm số nghịch biến khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư d a Đồ thị hàm số có: TCĐ: x   TCN: y  c c  d a Đồ thị có tâm đối xứng: I   ;   c c  Các phép biến đổi đồ thị   Dạng 1: Từ đồ thị C  : y  f  x  suy đồ thị C   : y  f x  f  x  x  Ta có: y  f x    f   x  x      y  f x hàm chẵn nên đồ thị  C   nhận Oy làm trục đối xứng  Cách vẽ  C   từ  C  : Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị C  : y  f  x  Bỏ phần đồ thị bên trái Oy  C  , lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy Dạng 2: Từ đồ thị C  : y  f  x  suy đồ thị C   : y  f  x   f  x  f  x   Ta có: y  f  x     f  x  f  x    Cách vẽ  C   từ  C  : Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị (C): y  f  x  Bỏ phần đồ thị phía Ox (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Dạng 3: Từ đồ thị C  : y  u  x  v  x  suy đồ thị C   : y  u  x  v  x  u  x  v  x   f  x  u  x   Ta có: y  u  x  v  x    u  x  v  x   f  x  u  x    Cách vẽ  C   từ  C  : Giữ nguyên phần đồ thị miền u  x   đồ thị C  : y  f  x  Bỏ phần đồ thị miền u  x    C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox VÍ DỤ 1: Từ đồ thị C  : y  f  x   x  x suy đồ thị C   : y  x  x  Bỏ phần đồ thị  C  bên trái Oy , giữ nguyên  C  bên phải Oy  Lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy y y -1 -1 O -2 O x x -2 C   : y  x 3 x BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y  ax4  bx  c có đồ thị hình bên y 2 1 O x 2 Mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  Câu 2: Câu 3: Tìm a , b , c để hàm số y  D a  0, b  0, c  ax  có đồ thị hình vẽ sau: cx  b A a  1; b  1; c  1 B a  1; b  2; c  C a  1; b  2; c  D a  2; b  2; c  1 Hàm số y  ax  bx  c ,  a   có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a  , b  , c  Câu 4: C a  0, b  0, c  Cho hàm số y  đúng? B a  , b  , c  C a  , b  , c  D a  , b  , c  bx  c ( a  a , b , c   ) có đồ thị hình bên Khẳng định xa y O x A a  , b  , c  ab  B a  , b  , c  ab  D a  , b  , c  ab  c  ab  Câu 5: Cho hàm số y  C a  , b  , ax  có đồ thị hình vẽ bên xb Mệnh đề sau đúng? A a   b Câu 6: Cho hàm số y  B a  b  C a  b  D a   b ax  b có đồ thị hình x 1 y x O 1 2 Khẳng định đúng? A b   a B  b  a Câu 7: C b  a  D  a  b Cho hàm số y  ax3  bx  cx  d có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? A a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  Câu 8: B a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Cho hàm số f  x   ax  bx  c (với ab  ) Chọn điều kiện a , b để hàm số cho có dạng đồ thị hình bên a  A  b  Câu 9: Cho hàm số y  a  B  b  a  C  b  a  D  b  ax  b có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? cx  d A ab  , cd  B bc  , ad  C ac  , bd  D bd  , ad  Câu 10: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a  , b  , c  , d  C a  , b  , c  , d  B a  , b  , c  , d  D a  , b  , c  , d  Câu 11: Cho hàm số y  ax4  bx  c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề A a  0, b  0, c  Câu 12: Cho hàm số y  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  ax  b có đồ thị hình bên với a , b , c   Tính giá trị biểu thức xc T  a  3b  c ? A T  9 B T  7 D T  10 C T  12 Câu 13: Cho hàm số y  f ( x)  ax  bx  cx  d  a , b , c , d   , a   có đồ thị C  Biết đồ thị C  qua gốc tọa độ đồ thị hàm số y  f '( x) cho hình vẽ bên Tính giá trị H  f (4)  f (2) ? A H  64 B H  51 C H  58 D H  45 Câu 14: Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm cấp hai  Đồ thị hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  đường cong hình bên? A  C  ,  C  , C1  B C1  ,  C  ,  C  C  C3  ,  C1  ,  C  D  C1  ,  C  ,  C  Câu 15: Cho hàm số y  f  x  Biết f  x  có đạo hàm f '  x  hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ sau Kết luận sau đúng? A Hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị B Đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị chúng nằm hai phía trục hồnh C Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  ;  D Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  1;  Câu 16: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A f  x  đạt cực đại x  B f  x  đạt cực đại x  1 C f  x  đạt cực đại x  2 D f  x  đạt cực đại x  Câu 17: Hình vẽ bên phần đồ thị hàm số nào? A y  x  x 1 Câu 18: Cho hàm số y  B y  x1 x 1 C y  x1 x1 D y  x x 1 x2 có đồ thị hình Đồ thị hình đồ thị hàm số sau đây? 2x  A y  x2 2x  B y  x2 2x  C y  x 2 x 1 D y  x2 2x  Câu 19: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y  ln  x  1  ln B y  ln x C y  ln x   ln D y  ln x Câu 20: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục đoạn   2;  có đồ thị đường cong hình vẽ bên Các giá trị tham số m để phương trình f  x   m có nghiệm thực phân biệt A  m  B m  C m  Câu 21: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y  đề đúng? D  m  ax  b với a , b , c , d số thực Mệnh cx  d A y  0, x  B y  0, x  C y  0, x  D y  0, x  Câu 22: Cho hàm số y  f  x  xác định  có đồ thị hình vẽ Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f  x   m có nghiệm phân biệt A  m  B  m  Câu 23: Cho đồ thị (C ) có phương trình y  C 4  m  3 D  m  x2 , biết ĐTHS y  f ( x) đối xứng với (C ) qua trục x 1 tung Khi f ( x) A f ( x)  x2 x1 B f ( x)   x2 x 1 C f ( x)   x2 x 1 D f ( x)  x2 x1 Câu 24: Cho đồ thị ba hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  vẽ mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số y  f  x  , y  f   x  y  f   x  theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào? A C  ; C  ; C1  B C  ; C1  ;  C3  C C  ; C  ; C1  D C1  ;  C3  ;  C2  Câu 25: Cho đồ thị ba hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  vẽ mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số y  f  x  , y  f   x  y  f   x  theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào? A C  ; C  ; C1  B C  ; C1  ;  C3  C C  ; C  ; C1  D C1  ;  C2  ;  C3  Câu 26: Cho hàm số y  f  x  xác định R hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Đặt g  x   f  x  m  Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x  có điểm cực trị? A B C D Vô số Câu 27: Cho hàm số y  f  x  xác định R hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Đặt g  x   f  x  m Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x  có điểm cực trị? A B C D Vô số Câu 28: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Đồ thị hàm số g  x   f  x  2018  m2 có điểm cực trị A B C Câu 29: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên D Với m  1 hàm số g  x   f  x  m  có điểm cực trị? A B C D Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số g  x   f  x  m có điểm cực trị A m  1 B m  1 C m  Câu 31: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên D m  Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h  x   f  x   f  x   m có điểm cực trị A m  Câu 32: Cho hàm số y  B m  C m  D m  ax  ( với a, b, c tham số) có bảng biến thiên sau: bx  c Xét bốn phát biểu sau: 1 c    a  b   3 a  b  c    a  Số phát biểu bốn phát biểu nêu A B C ax  Câu 33: Cho hàm số f  x   ,  a , b , c    có bảng biến thiên sau: bx  c D Trong số a , b c có số âm? A B C ax  b Câu 34: Cho hàm số f  x    a, b, c    có đồ thị hình vẽ: cx  Trong số a , b , c có số dương? A B D C D BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.D 9.B 10.B 11.C 12.A 13.C 14.C 15.D 16.A 17.B 18.C 19.B 20.A 21.A 22.A 23.D 24.A 25.D 26.D 27.B 28.B 29.C 30.A 31.B 32.C 33.B 34.B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A Do đồ thị cắt Oy M  0; c  nằm trục Ox nên c  Vì lim y   nên a  x  Hàm số có ba điểm cực trị nên ab   b  Câu 2: Chọn B b Để đường tiệm cận đứng x     b  2c c a Để đường tiệm cận ngang y    a  c c cx  Khi y  Để đồ thị hàm số qua điểm  2 ;  c  Vậy ta có a  1; b  2; c  cx  2c Câu 3: Chọn D a  a    Dựa vào đồ thị ta có a.b   b  c  c    Câu 4: Chọn A Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  b  , tiệm cận đứng x  a  Hàm số nghịch biến khoảng tập xác định nên c  ab  , đáp án B Câu 5: Chọn A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  b Theo hình vẽ b  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  a Theo hình vẽ a  Do ta có a   b Câu 6: Chọn C Nhìn vào đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  a tiệm cận đứng x  Đồ thị b cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x   Ta có: a Câu 7: Chọn B a  1   b  a  1   b   a Đồ thị cho hàm bậc Vì x   , y    a  (hay phía bên phải đồ thị hàm bậc đồ thị lên nên a  ) Xét y  3ax2  2bx  c , y  có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên suy a.c   c  Loại đáp án C D Xét y  6ax  2b   x   Câu 8: Câu 9: b , dựa vào đồ thị ta thấy hoành độ điểm uốn dương 3a b   b  Suy a  0, b  0, c  0, d  3a Chọn D Hàm bậc trùng phương có hướng quay lên a  Đồ thị có cực trị nên phương trình x  y'    có nghiệm, ab   b   ax  b  Chọn B Vì hàm số nghịch biến khoảng xác định nên ad  bc  , với x   d nên ad  bc c b  b  Mặt khác  C   Ox  A   ;    nên ab   1  Loại A a a   b  b Và C   Oy  B  0;   nên bd     Loại C d  d Từ  1   ta có ad   Loại D d Mặt khác, phương trình đường tiệm cận đứng x    nên cd  Suy bc  c Câu 10: Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy nhánh cuối bên phải hướng lên suy a  Đồ thị cắt trục tung điểm x   d   2b Hàm số có điểm cực trị x1   , x2    x1  x2      b  3a c x1 x2     c  Vậy a  , b  , c  , d  3a Câu 11: Chọn C Do đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lim f  x     a  0, b  x  Mặt khác điểm cực đại đồ thị hàm số có tung độ dương  c  Câu 12: Chọn A Đồ thị hàm số có x  tiệm cận đứng nên c  1 Đồ thị hàm số có y  1 tiệm cận ngang nên a  1 Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ 2 nên Vậy T  a  3b  2c  1  3.2   1  9 b  2 b  c Câu 13: Chọn C Theo y  f ( x)  ax  bx  cx  d  a , b , c , d   , a   y  f   x  hàm bậc hai có dạng y  f   x   ax  bx  c c   a    Dựa vào đồ thị ta có: a  b  c   b   y  f   x   x  a  b  c  c     Gọi S diện tích phần hình phẳng giới hạn đường y  f   x  , trục Ox , x  4, x    4 2 Ta có S   x  dx  58 Lại có: S   f   x  dx  f  x   f    f   2 Do đó: H  f    f    58 Câu 14: Chọn C Gọi hàm số đồ thị (C1 );(C2 );(C ) tương ứng f1  x  , f  x  , f3  x  Ta thấy đồ thị  C  có điểm cực trị có hồnh độ nghiệm phương trình f1  x   nên hàm số y  f1  x  đạo hàm hàm số y  f3  x  Đồ thị  C1  có điểm cực trị có hồnh độ nghiệm phương trình f2  x   nên hàm số y  f1  x  đạo hàm hàm số y  f  x  Vậy, đồ thị hàm số y  f ( x) , y  f ( x) y  f ( x) theo thứ tự, tương ứng với đường cong (C3 );(C1 );(C2 ) Câu 15: Chọn D Vì y  có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị Do loại hai phương án A D Vì  ;  f   x  nhận dầu âm dương nên loại phương án C Vì 1;  f   x  mang dấu dương nên y  f  x  đồng biến khoảng  1;  Câu 16: Chọn A Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực đại x  Câu 17: Chọn B Từ đồ thị, ta có tập xác định hàm số D   nên loại phương án B Đồ thị hàm số qua điểm  1;0  nên loại phương án C, D Câu 18: Chọn C   Sử dụng cách suy đồ thị hàm số y  f x từ đồ thị f  x  Câu 19: Chọn B ln x, x  Ta có y  ln x    ln x, x  Câu 20: Chọn A y -2 -1 O x Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta có phương trình f  x   m có nghiệm thực phân biệt  m  Câu 21: Chọn A Hàm số giảm  ;   2;   nên y  0, x  Câu 22: Chọn A Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy đồ thị hàm số y  f  x  hình bên Dựa đồ thị suy để phương trình f  x   m có nghiệm phân biệt  m  Câu 23: Chọn D Gọi M ( x; y )  f ( x)  N (  x; y )  (C ) , ta có y  x  x   x  x  Câu 24: Chọn A Trong khoảng  0;    C  nằm trục hoành  C  “đi lên” Trong khoảng  ;0   C  nằm trục hoành  C  “đi xuống” Đồ thị C1  nằm hoàn toàn trục hoành  C  “đi lên” Hoặc: Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  C  cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số C  Đồ thị  C  đồng biến  mà đồ thị C1  lại nằm hoàn toàn trục hoành Câu 25: Chọn D Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  C  cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số C1  Đồ thị  C  cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số  C  Câu 26: Chọn D Từ đồ thị hàm số f   x  ta thấy f   x  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ dương (và điểm có hồnh độ âm)   f  x  có điểm cực trị dương   f  x  có điểm cực trị   f  x  m  có điểm cực trị với m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị hàm số) Chọn D Chú ý: Đồ thị hàm số f  x  m  có cách lấy đối xứng trước tịnh tiến Đồ thị hàm số f  x  m có cách tịnh tiến trước lấy đối xứng Câu 27: Chọn B  x  2  Từ đồ thị f   x  ta có f   x     x  Suy bảng biến thiên f  x  x   Yêu cầu tốn  hàm số f  x m có ta đồ thị hàm số f  x  m có điểm cực trị dương (vì lấy đối xứng qua Oy điểm cực trị) Từ bảng biến thiên f  x , suy f  x m ln có điểm cực trị dương  tịnh tiến f  x  (sang trái sang phải) phải thỏa mãn  m  Tịnh tiến sang trái nhỏ đơn vị  Tịnh tiến sang phải không vượt đơn vị   m  2 m m  2;1;0 Suy 2  m 1  Câu 28: Chọn B Vì hàm f  x cho có điểm cực trị nên f  x  2018  m2 ln có điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị) Do u cầu tốn  số giao điểm đồ thị f  x  2018  m2 với trục hoành Để số giao điểm đồ thị f  x  2018  m2 với trục hoành 2, ta cần Tịnh tiến đồ thị f  x xuống tối thiểu Hoặc tịnh tiến đồ thị f  x lên tối thiểu đơn vị   m2  2 : vô lý đơn vị phải nhỏ đơn vị  2m m     m      m  2; 2   m   Câu 29: Chọn C Đồ thị hàm số f  x  m  suy từ đồ thị hàm số f  x  cách lấy đối xứng trước tịnh tiến Lấy đối xứng trước ta đồ thị hàm số f  x  hình bên  f  x  m  có điểm cực Dựa vào đồ thị hàm số f  x  ta thấy có điểm cực trị  trị (vì phép tịnh tiến khơng làm ảnh hưởng đến số cực trị) Chọn C Câu 30: Chọn A  x  Nhận xét: Hàm g  x   f  x  m hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy  điểm cực trị hàm số Ta có g   x   x f   x  m với x  x  x m 1  x  1 m theo thi f  x    g   x    f   x  m        *  x  m  1  x  1  m Để hàm số g  x  có điểm cực trị   1 m       m  1 1  m      1  m  1  m * có nghiệm phân biệt khác Cách Đồ thị hàm số f  x  m suy từ đồ thị hàm số f  x  cách tịnh tiến trước lấy đối xứng Để hàm số f  x  m có điểm cực trị  hàm số f  x m có điểm cực trị dương Do ta phải tịnh tiến điểm cực đại đồ thị hàm số f  x  qua phía bên phải trục tung nghĩa tịnh tiến m 1 đồ thị hàm số f  x  sang phải lớn đơn vị  Câu 31: Chọn B  g   x   f   x  2 f  x  1 Xét g  x   f  x   f  x   m  x    f x   theo thi f  x   g x       x  Ta tính  2 f  x   1  x  a a   Bảng biến thiên hàm số g  x      g 1  f 1  f 1  m  m      g 3  m     g a   m      Dựa vào bảng biến thiên, suy đồ thị hàm số g  x  có điểm cực trị   1  Suy đồ thị hàm số h  x   f  x   f  x   m   f  x     m  đồ thị hàm số g  x  nằm hồn tồn phía trục  m  Ox có điểm cực trị (kể tiếp xúc) Chọn B Câu 32: Chọn C ax  ax  có tiệm cận đứng x  , tiệm cận ngang y  Hàm số y  đồng biến bx  c bx  c khoảng xác định   2b  c  y   a  b  xlim  2 a    Suy  lim y    1  c  2b x   b  ac  b b 2b  b  ac  b   y     0, x    c  bx  c   Đồ thị y       b    b  a  b      ,  3  c  2b  a  b  a  b   c  2b  a  b  c    b    c  Câu 33: Chọn B ax  Theo bảng biến thiên ta có lim f  x   lim  lim x  x  bx  c x  x  a  2  a  2b  c b b x a c Theo bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 nên suy   2  c  2b b 2 Mặt khác hàm số đồng biến khoảng xác định nên y  ac  5b  bx  c   hay ac  5b   3 Thay  1 ,   vào   ta có: 4b2  5b    b  Từ ta có c  , a  Câu 34: Chọn B ax  b có tính chất: cx  a a Đường tiệm cận ngang y     a  c c c 1 Đường tiệm cận đứng x     c  c c Cắt trục tung điểm có tung độ y  b  b   b  Đồ thị hàm số y  Vậy có a , c  b  tức số a , b , c có hai giá trị dương LÍ THUYẾT  Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số:  Phương pháp: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  có đồ thị C   C   Lập phương trình hồnh độ giao điểm C   C  : f  x   g  x   Giải phương trình tìm x từ suy y tọa độ giao điểm  Số nghiệm (*) số giao điểm C   C  *   Tương giao đồ thị hàm bậc  Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị)  Lập phương trình hồnh độ giao điểm dạng F  x , m   (phương trình ẩn x tham số m )  Cơ lập m đưa phương trình dạng m  f  x   Lập bảng biến thiên cho hàm số y  f  x   Dựa giả thiết bảng biến thiên từ suy m  Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên m độc lập với x  Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc  Lập phương trình hồnh độ giao điểm F  x , m    Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x  x0 nghiệm phương trình    x  x0 Phân tích: F  x , m     x  x0  g  x     (là g  x   phương trình bậc  g  x   hai ẩn x tham số m ) Dựa vào yêu cầu toán xử lý phương trình bậc hai g  x    Phương pháp 3: Cực trị  Nhận dạng: Khi tốn khơng lập m không nhẩm nghiệm  Quy tắc:  Lập phương trình hồnh độ giao điểm F  x , m   1 Xét hàm số  Để 1 có nghiệm đồ thị y  F  x , m  cắt trục hồnh điểm  Hoặc hàm số ln đơn điệu   hàm số khơng có cực trị  y '  vô nghiệm có nghiệm kép   y '   Hoặc hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ) y  F  x, m   Để 1 có nghiệm đồ thị y  F  x , m  cắt trục hoành điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ)  Để 1 có nghiệm đồ thị y  F  x , m  cắt trục hoành điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ)  Tương giao hàm số phân thức  Cho hàm số y   C   d  : ax  b C  đường thẳng d : y  px  q Phương trình hồnh độ giao điểm cx  d ax  b  px  q  F  x , m   (phương trình bậc ẩn x tham số m ) cx  d  Các câu hỏi thường gặp:  d Tìm m để d cắt  C  điểm phân biệt   1 có nghiệm phân biệt khác  c  Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C)  1 có d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn :   x1  x2 c  Tìm m để d cắt  C  điểm phân biệt thuộc nhánh trái C    1 có d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2   c  Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc hai nhánh  C   1 có nghiệm d phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1    x2 c  Tìm m để d cắt  C  điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:  Đoạn thẳng AB  kS  Tam giác ABC vng  Tam giác ABC có diện tích S0  Quy tắc:  Tìm điều kiện tồn A, B  (1) có nghiệm phân biệt  Xác định tọa độ A B (chú ý Vi ét)  Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từ suy m  Chú ý: Cơng thức khoảng cách: x   A  x A ; y A  , B  xB ; y B  : AB   xA   y B  y A   M  x0 ; y0  Ax0  By0  C  d M,    : Ax0  By0  C  A  B2 B    Tương giao hàm số bậc Nghiệm phương trình bậc bốn trùng phương: ax  bx  c  1  Nhẩm nghiệm:    Nhẩm nghiệm: Giả sử x  x0 nghiệm phương trình   x   x0 Khi ta phân tích: f  x , m   x  x02 g  x      g  x    Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai g  x     Ẩn phụ - tam thức bậc 2:  Đặt t  x ,  t   Phương trình: at  bt  c     t   t Để  1 có nghiệm   có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1  t   t   t Để  1 có nghiệm   có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  0  t1  t2  Để  1 có nghiệm   có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1  t2  Để  1 có nghiệm   có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1  t2 Bài toán: tìm m để C  : y  ax  bx  c  1 cắt Ox bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng  Đặt t  x ,  t   Phương trình: at  bt  c  (2)  Để  1 cắt Ox điểm phân biệt   phải có nghiệm dương t1 , t2  t1  t2  thỏa mãn t2  9t1  Kết hợp t2  9t1 vơi định lý vi – ét tìm m VÍ DỤ MINH HỌA Lời giải VÍ DỤ 1: Gọi m số thực dương cho đường thẳng y  m  cắt đồ thị hàm số y  x4  3x  hai điểm phân biệt M , N thỏa mãn tam giác OMN vuông O ( O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng?  11 15  A m   ;   4  1 3 B m   ;  2 4 7 9 C m   ;  4 4 3 5 D m   ;  4 4 Chọn D Ta có y  m   d  y  x4  3x   C  Xét phương trình tương giao: x4  3x   m   x  3x   m     1 Đặt t  x  0, phương trình  1 trở thành: t  3t   m      Phương trình   có tích a.c  m   m số thực dương Suy phương trình   ln có hai nghiệm trái dấu t1   t2 Từ suy phương trình  1 có hai nghiệm đối x1   t2 , x2  t2 đồng thời  d   C     cắt hai điểm phân biệt đối xứng qua Oy M  t2 ; m  , N    t2 , m  Mặt khác tam giác OMN vng O OM.ON   t2   m  1 Thay t2   m  1 vào phương trình   ta được:  m  1   m  1   m      m  1   m  1   m  1   Đặt a  m   ta phương trình   a4  3a2  a     a   a3  2a2  a    a  (do a  nên a3  2a  a   ) Từ ta m    m  (thỏa mãn m  ) Vậy m  VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định \{1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ sau: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f  x    m có ba nghiệm thực phân biệt A  4;  B   ;  C   4;  Lời giải Chọn D D  3;  Phương trình f  x    m  f  x   m  có ba nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng y  m  cắt ba điểm phân biệt Căn vào bảng biến thiên hàm số y  f  x  ta 4  m    3  m  Vậy m   3;  VÍ DỤ 3: Cho hàm số f  x   x  x  mx  Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  f  x  cắt đường thẳng y  ba điểm phân biệt A  0;1 , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  B , C vng góc với Gía trị S A B C D 11 Lời giải Chọn C Phương trình hồn độ giao điểm y  x  3x2  mx  y  là: x  x  x2  mx    x x  x  m     x  x  m   *    Để đồ thị hàm số y  f  x  cắt đồ thị hàm số y  ba điểm phân biệt A  0;1 , B  x1 ; y1  , C  x2 ; y2  phương trình  *  có hai nghiệm phân biệt khác m  m     Theo hệ thức Viet ta có    4m  m    x1  x2  3   x1 x2  m Để tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  B, C vng góc với    f   x1  f   x2   1  x12  x1  m 3x22  x2  m  1    x12 x22  18 x1 x2  x1  x2   3m x12  x22  6m  x1  x2   36 x1 x2  m2     65 m   65  65  4m  9m     S    8  65 m   VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  C  hai điểm phân biệt A m  1 x 1 x C  điểm A  1;1 Tìm m để đường thẳng d : y  mx  m  cắt M , N cho AM  AN đạt giá trị nhỏ B m  C m  2 Lời giải D m   Chọn A x  mx  m  (đk: x  ) 1 x Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d là:  x    x  mx  m  1  x  mx  m   mx  mx  x  mx  mx  m   (*) Để  C  d cắt hai điểm phân biệt M , N (*) phải có nghiệm phân biệt khác m     '  m2  m  m  1   m   m  m  2m  m    Giả sử M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  Theo hệ thức viét : x1  x2  2; x1 x2  m1 m  y  y  m  x1  x   m   m  m    y1 y2   mx1  m  1 mx2  m  1  m2 x1 x2  m  m  1 x1  x2    m  1  m( m  1)  m  m  1   m  1  m  Ta có: AM  AN   x1  1   y1  1   x2  1   y  1 2 2   x1  x2     x1  1 x2  1   y1  y2     y1  1 y  1 2     x1  x2     x1 x2  x1  x2  1   y1  y2    y1 y2   y1  y2   2 2  m1   2  2  2      2    m    2    m     m 1    18    ( m)  16  2.2  20 (BĐT Cauchy)   m  18    m  16   m  m   m  Suy ra: AM  AN đạt giá trị nhỏ 20 m  1  m  m2    m  m  1 Vậy m  1 (vì m  ) VÍ DỤ 5: Cho hàm số y  x  x có đồ thị (C ) , có đường thẳng d có điểm chung với đồ thị (C ) điểm chung có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x13  x2  x3  1 A B C D Lời giải Chọn B Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C ) điểm phân biệt nên đường thẳng d đường thẳng có hệ số góc dạng y  ax  b Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x4  x  ax  b Mà phương trình phương trình bậc nên phương trình muốn có nghiệm phân biệt có nghiệm kép gọi x1 , hai nghiệm lại x2 , x3 Suy đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị (C ) , khơng tính tổng quát giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C ) x1 Gọi d tiếp tuyến (C ) điểm có hoành độ x1 , d cắt (C ) điểm phân biệt có hồnh độ x2 , x3 (  x1 ) thỏa mãn x13  x2  x3  1 Ta có: d : y  (4 x13  x1 )( x  x1 )  x14  x12 Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x4  x  (4 x13  x1 )( x  x1 )  x14  x12 (1) u cầu tốn  (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13  x2  x3  1  x  x1 (1)  ( x  x1 )2 ( x  x1 x  3x12  2)    2  f ( x)  x  x1 x  3x1   Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13  x2  x3  1 phương trình  x  x3  2 x1 f ( x)  phải có nghiệm phân biệt x2 , x3 khác x1 thỏa mãn định lí Vi – ét:  2  x2 x3  x1   '  x12  x12    Ta có:  x12  x12  x12     x  ( x  x )  x x ( x  x )  1 3   x1  1  x1   3x1    x  ( 2 x )3  3(3 x  2).( 2 x )  1 1  11  165 Vậy có đường thẳng thỏa mãn u cầu tốn 22 VÍ DỤ 6: Có số thực tham số m để đường thẳng y   m   x  cắt đồ thị hàm số y  x  x2  x  ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn A B 1    y1  y2  y3  C D Lời giải Chọn D Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm bậc ba cho x  x  x    m   x   x  x    m  x    1 Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phân biệt phương trình  1  x1  x2  x3  1  Theo hệ thức viet phương trình bậc ba ta có :  x1 x2  x2 x3  x3 x1   m  x x x  3  Nhận thấy tung độ ba giao điểm thỏa mãn phương trình y   m   x  nên ta có y1    m   x1 , y2    m   x2 y3    m   x3 Khi  1     y1  y2  y3  1     m   x1  m   x2  m   x3 3m x1 x2  x2 x3  x3 x1   m    m  3 m6 x1 x2 x3 Thử lại với m  suy phương trình hồnh độ giao điểm x3  x2  x   có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn giả thiết cho (Dùng casio để kiểm tra) Vậy có số thực m thỏa mãn VÍ DỤ 7: Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y  x  x2 bốn điểm phân biệt có hồnh độ , , m n Tính S  m2  n2 A S  B S  C S  D S  Lời giải Chọn D Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y  x  x2 điểm có hồnh độ nên phương trình đường thẳng có dạng y  ax Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng y  ax với đồ thị hàm số y  x  x :   x4  x  a x  x4  x  a x   x x3  x  a  Do phương trình có bốn nghiệm , , m , n nên ta có :     x x  x  a  x  x  1 x  m  x  n   x  x  a  x  mx  x  m  x  n   x  x  a  x  nx2  mx  mnx  x  nx  mx  mn  x  x  a  x    n  m  1 x   m  n  mn  x  mn m  n   m  n  1   m  n  mn  2    S  m  n2   m  n   mn  mn  1 mn  a    VÍ DỤ 7: Cho phương trình x  3x  m  x  x  2m  Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn   20; 20  để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 19 B 18 D 20 C 17 Lời giải Chọn B       2 Ta có x2  3x  m  x  x  2m    x  x  m  x   x2  x  m             x2  x  m x2  x  m  x2  x  m   x2  x  m x2  x  m   x2  4x  m    x  x  m   1 2 Yêu cầu tốn  phương trình  1   có nghiệm phân biệt khơng trùng Phương trình  1   có nghiệm phân biệt   4  m  m      m  1 2  1  m   m  1 Giả sử phương trình  1   có nghiệm x0 trùng  x  x  m   Hệ sau có nghiệm    x  x  m     1  2   x0  x0  m  x0  x0  m    x0  1 Với x0  1 thay vào  1 ta m  5  Với m  5 phương trình  1   khơng có nghiệm trùng Kết hợp m số nguyên thuộc đoạn   20; 20   m  20; 1 \5 Vậy có 18 số nguyên m thoả mãn yêu cầu toán Câu 1: Câu 2: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực phân  biệt phương trình f  A 24 B 14 Cho hai hàm số u  x    x2  x2   x3 x2  2021 C 12 D 10 f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên Hỏi có số ngun m để phương trình f  u  x    m có nghiệm phân biệt? A Câu 3: B C D Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm cấp hai R có đồ thị y  f '( x ) đường cong hình vẽ bên Đặt g ( x )  f ( f '( x )  1) Gọi S tập nghiệm phương trình g '( x )  Số phần tử tập S A B C 10 D Câu 4: Cho hàm số f ( x) liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị  3sin x  cos x   f  2  f  cos x  sin x   A Câu 5: B  nguyên tham số m để phương trình  (m  2)  có nghiệm? C D Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên dưới.Gọi  C1   C  đồ thị hai hàm số y  f   x  f  x    f   x   y  2021x Số giao điểm  C1   C  A Câu 6: B C D Biết hàm số f  x   ax3  bx  cx  d đạt cực trị x  x  2021 Có số ngun m để phương trình f  x   f  m  có ba nghiệm phân biệt? Câu 7: A 4037 B 2019 C 4001 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun tham số m để phương trình f   x   0;   2 D 2021    f  cos x   m có nghiệm A Câu 8: B C D Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: Có số nguyên m để phương trình f  x  x    m  có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;2 ? A Câu 9: B C D Cho hàm số y  f  x liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình f  f  x   A B C D Câu 10: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị  C  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x    m   f  x   m   có nghiệm phân biệt? A B C D Câu 11: Biết đồ thị hàm số bậc bốn y  f  x  cho hình vẽ bên Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục hoành: B A C D Câu 12: Cho hàm số f ( x)  x   x Số giá trị nguyên tham số m để phương trình xf ( x)   4x  m 1  f 1  x  m    có hai nghiệm phân biệt B A C D Câu 13: Cho hàm số f  x   1  m3  x  3mx   3m  2m   x  m3  2m với m tham số Có số nguyên m   2020; 2021 cho f  x   với x   2020; 2021 ? A 2023 B 2022 C 2021 D 2020 Câu 14: Cho hàm số y  f  x   x  3x  Tập hợp giá trị m để phương trình   sin x    ff    f  m  có nghiệm đoạn  a ; b  Khi giá trị 4a  8b thuộc khoảng    sau đây?  23  A  7;    Câu 15: Cho hàm số f  x    43 39  C  ;    B  2;5   37 65  D  ;    x2  5x  Có tất giá trị nguyên dương tham số m để bất 2x 1 phương trình 2021 f   x  18 x  28  m 3x  18 x  28  m  4042 nghiệm với x thuộc đoạn  2;  A 673 B 808 C 135 Câu 16: Cho hàm số y  f ( x) liên tục  có bảng biến thiên sau:  Số nghiệm phương trình f 23 x A B  x2  D 898    C D Câu 17: Cho hàm số f  x  có đồ thị bên   Số nghiệm phương trình f x   x   A B C D Câu 18: Cho hàm số f  x   x  mx  m  8, x   với m số khác Biết phương trình f  x   có hai nghiệm phân biệt Hỏi có giá trị nguyên k thỏa mãn phương trình f  x   k có nghiệm phân biệt ? A B 34 C D 34 Câu 19: Cho hàm đa thức y  f  x  có đồ thị hình vẽ Đặt g  x   f  x  Số nghiệm phương trình g  x   g  x   1  A 11 B 10 C 13 D 12 Câu 20: Hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ Phương trình f  x  3   có nghiệm? A B C D Câu 21: Cho hai hàm y  f  x  y  g  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Khi tổng số nghiệm phương trình f  g  x    g  f  x    A 25 B 22 C 21 D 26 Câu 22: Cho f  x  hàm số bậc ba Hàm số f   x  có đồ thị sau: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f  e x  1  x  m  có hai nghiệm thực phân biệt A m  f   B m  f    C m  f 1  ln D m  f 1  ln Câu 23: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x3 f  x     A B C D Câu 24: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  e với ( a, b, c, d , e   ) Biết hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m  5;5 để phương trình f   x  x  m   e có bốn nghiệm phân biệt A C B D Câu 25: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun tham số m để phương trình f A      f  cos x   m có nghiệm x   0;   2 B C D Câu 26: Cho hàm số f  x   x3  x  2m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  f  x    x có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 A B C D Câu 27: Cho hàm số y  f ( x)  ax  bx  cx  d có đồ thị hình Có tất giá trị nguyên tham số m   5;5 để phương trình f ( x)  (m  4) f ( x)  2m   * có nghiệm phân biệt A B C D Câu 28: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x f  x     A B 12 C D Câu 1: Chọn D y  g ( x)  f    x  x  với g ( x )  2021   Ta đặt: t   x , x   2; 2 suy y  g (t )  f t  t  , t   0; 2 t  t  3, t   0;     Suy ra: h(t )  t  t    t  t  3, t   3; 2 Từ ta có BBT hàm số h(t ) hình vẽ bên: Đặt u  t  t  ta có BBT u sau: x 2 t t t2 3 t t2 3 3 3 3 0 Nhìn vào đồ thị y  f ( x) ta có được:  f ( x)  ax  bx  cx, a   a 0  f (1)  f (2)  0, f "(1)  Như ta suy f ( x )  suy f  x0   x  x0 nên x  x  1 x   Mà hàm số có cực trị  4 3  x0  Như vậy: f (3)  4, f        0, 2, f  3   49 Từ đó, ta phác họa đồ thị y  f  u  với u  t  t  sau: Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình g ( x )  Câu 2: có tất 10 nghiệm phân biệt 2021 Chọn C Đặt t  u  x   x3 x2  ; u ' x  x2   x  x  3 x2   x2  3  3x x   x  3 ; u ' x   x  Dựa vào bảng biến thiên, ta có u  x    1;2 Phương trình f  u  x    m trở thành f  t   m , t   1; 2 Dựa vào đồ thị cho ta có: t   phương trình f  u  x    m có nghiệm phân Khi m  : phương trình f  t     t  biệt Khi m  : phương trình f  t   có nghiệm t1   1;0  , t2   0;1 , t3  1;   phương trình f  u  x    m có nghiệm phân biệt Khi m  0; 1; 2 : phương trình f  t   m có nghiệm t1   0;1 , t2  1;   phương trình f  u  x    m có nghiệm phân biệt Khi m  3 : phương trình f  t   m có nghiệm t   phương trình f  u  x    m có nghiệm Vậy m  0; 1; 2 Câu 3: Chọn C Ta có: g ( x )  f ( f '( x )  1)  g '( x )  f "( x ) f '( f '( x )  1)  f '( x )  Phương trình g '( x )      f '( f '( x )  1)   f ''( x )   f ''( x)   f '( x )   1   f '( x )     f '( x )    f '( x)  x   2  Ta có đồ thị y  f '( x ) có cực trị  x    x  x0  (1;2)  f "(1)     2    f "    f ''( x )  có nghiệm     f ''( x0 )  x   2 ; x  x0 với x  nghiệm bội chẵn   x  Tại phương trình f '( x )  ta thấy có nghiệm bội lẻ x  1, x  nghiệm bội chẵn x  Tại phương trình f '( x )  ta thấy có nghiệm mà đường thẳng y  cắt đồ thị y  f ( x ) hai điểm x  x1  (; 1) x  x2  (2; ) Vậy từ ta thấy phương trình g '( x )  tổng cộng có tất 10 nghiệm Câu 4: Chọn B Ta có: 1  sin x  1,   cos x  nên suy cos x  sin x   0, x   3sin x  cos x   t (2 cos x  sin x  4)  3sin x  cos x  cos x  sin x   (2t  1) cos x  (t  3)sin x  (4t  1) Đặt t  Phương trình có nghiệm (2t  1)  (t  3)  (4t  1)  9  t 1  t   11 Nhìn vào hình ta thấy hàm số f ( x) đồng biến  2;3 nên phương trình  3sin x  cos x   f  2  f  cos x  sin x     (m  2)  hay phương trình f  t    f  (m  2)2   có nghiệm phương trình t   (m  2)2  có nghiệm t thỏa mãn điều kiện  t     (m  2)    m2  4m      m   Mà m   nên có tất giá trị m thỏa mãn Câu 5: Chọn B Số giao điểm  C1   C  nghiệm phương trình f   x  f  x    f   x    2021x * Từ đồ thị ta thấy f  x  cắt trục Ox bốn điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 ; x4 nên phương trình f  x   có bốn nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4  f  x   a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x4   x  x1 x  x Nếu f  x     thay vào * ta thấy vế trái âm,vế phải dương nên phương trình *   x  x3   x  x4 vô nghiệm Nếu f  x   nên ta có phương trình ta có phương trình * tương đương với f  ( x)  f ( x)   f  ( x)  [ f ( x)]2   f  ( x)  2021x 2021x      [ f ( x)]2  f ( x)  [ f ( x)] Ta có: f ( x)  a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x4   1 1   f  ( x )  a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x4        x  x1 x  x2 x  x3 x  x4   1 1  f  ( x) 1 1  f  ( x)  f ( x)          f ( x) x  x1 x  x2 x  x3 x  x4  x  x1 x  x2 x  x3 x  x4     f  ( x)   1 1     Khi đó:      f ( x)   x  x1 x  x2 x  x3 x  x4    1 1      0 2 2  x  x  x  x  x  x  x  x       f  ( x)  2020 x 2021x  Mà nên phương trình vơ nghiệm,do phương trình vơ    [ f ( x )]2  f ( x)  [ f ( x)] nghiệm Câu 6: Chọn A Ta có f  x   ax  bx  cx  d  f   x   3ax  2bx  cx Do hàm số có điểm cực trị là: x1  x2  2021 2b   x1  x2   3a  2022 b  3033a  Nên:  c  6063a  x x   2021  3a Xét phương trình: f  x   f  m      ax3  bx2  cx  d  am3  bm2  cm  d  a x3  m3  b x  m2  c  x  m        a x3  m3  3033a x2  m2  6063  x  m      x  m  x  mx  m2  3033x  3033m  6063  x  m   2  x  mx  m  3033x  3033m  6063  (*) Để phương trình f  x   f  m  có nghiệm phân biệt pt có nghiệm phân biệt khác m      m  30332  m2  3033m  6063    m2   m  3033 m  m2  3033m  6063   m  6063m  30332  m  4.3033m  4.6063  1009  m  3031   2 m  2021; m   m   m  3033  m  m  3033m  6063  Vậy: m   1009;3031 \ 1; 2021 có 4037 giá trị m nguyên Câu 7: Chọn A   Đặt t  cos x , với x   0;   t   0;1  2 Từ đồ thị suy f  t    2;    f  t    0;   u   f  t    0;  Ta có f  u   m với u   0;    Phương trình cho có nghiệm x   0;  phương trình f  u   m có nghiệm  2 u   0;   2  m  Do m   nên m  2; 1;0;1 Vậy có giá trị nguyên tham số m thoả mãn yêu cầu toán Câu 8: Chọn B Đặt: g  x   f  x  x   ; g   x    x   f   x  x   6 x   (1) g  x   ⇔   f   x  x    (2)  x  1 Giải: x   ⇔  x    x  2   1; 2   x  (nghiÖm k Ðp)    x  1,87   1; 2   x  0,34  x  x   2     x  1,53 2x  6x   Giải: f   x3  x    ⇔  ⇔  2x  6x     x  1,64   1; 2    x  x     x  0,16   x  1.81    x  1 (nghiÖm k Ðp)   x  Bảng biến thiên g  x  đoạn  1; 2 x 1 g x  g  x y  0.16 + m5 2  13 0.34  +  0 g  x   f  x  x   đường thẳng y  + 0   13 m  số giao điểm đồ thị hàm số m5 m  bảng biến thiên g  x  Điều kiện để đường thẳng m  cắt đồ thị hàm số g  x   f  x  x   điểm phân biệt là:  m   ⇔ 10  m  14 Vì m ⇒ m  11;12;13 Vậy có số nguyên m thỏa mãn ycbt y Câu 9: 1,81 2 Số nghiệm phương trình f  x  x    Kẻ đường thẳng y  1, 53 Chọn D  f  f  x  Ta có: f  f  x     Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:  f  f  x  2   f  x   a a   ;  4 f  f  x      f  x   b b  3;     f  x   4   f  f  x   2   f  x  d d  1;3   f  x  e e  3;      f  x   a a   ;  4 vô nghiệm; f  x   b b  3;    có nghiệm f  x  4 có nghiệm; f  x   d d  1;3 có nghiệm f  x   e e  3;    có nghiệm  f  f  x   có nghiệm Câu 10: Chọn B Xét phương trình f  x    m   f  x   m    f  x   1 Nhận thấy   m     m  3     f  x    m Từ đồ thị hàm số f  x  , suy đồ thị hàm số f  x  sau: Với f  x   1 , ta nghiệm x Để phương trình cho có nghiệm phân biệt, tức phương trình f  x    m có nghiệm phân biệt m  m  1;2;3 Hay 1   m    m   Như có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 11: Chọn B Ta có phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y  g  x  Ox là:  f   x   2  f   x    f  x  f   x    f  x  f   x    f   x       0 f x     Ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 Giả sử f  x   a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x4  , a  0, x1  x2  x3  x4 Ta có: f   x   a  x  x2  x  x3  x  x4   a  x  x1  x  x3  x  x4   a  x  x1  x  x2  x  x4   a  x  x1  x  x2  x  x3  Ta có: f  x 1 1     f  x  x  x1 x  x2 x  x3 x  x4  f   x   1 1     vơ nghiệm Ta có:   0 2 2  x  x1   x  x2   x  x3   x  x4   f  x  Vậy số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x  trục hoành Câu 12: Chọn D Ta có: f ( x )  x   x  f '( x )   x  x2  0, x   Suy hàm số f ( x)  x   x đồng biến  Mặt khác, ta lại có: f (  x)   x   x  x  1 x Nên phương trình tương đương với: xf ( x)    xf ( x)  1    x  m   f 1   4x  m 1  f ( x)  4x  m 1  f 1  x  m   0  xf ( x)   x  m  f  x  m     Đến ta xét hàm đặc trưng y  g (t )  tf (t )  t t  t   t  t t  Có g '(t )  2t  t    t2 t2 1  0, t   nên suy g (t ) đồng biến    g ( x)  g  x  m   x   x  m   x  m   x  Do  x   x  x  m   nên suy    m  x  x  4 x  m    x  1 Xét hàm y  p ( x)  x  x  2, x   p( x )  x    x  Ta có bảng biến thiên hàm p( x) sau: Dựa vào BBT để phương trình có hai nghiệm phân biệt m   p(3); p(1)   m   7; 3 Như vậy, ta kết luận có tất giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu đề Câu 13: Chọn B f  x   1  m3  x  3mx   3m  2m   x  m3  2m  x   2020; 2021   x  m    x  m    mx   2mx x   2020; 2021 (1) 3 Xét hàm số f (t )  t  2t , f '(t )  3t   0t Vậy hàm số f (t ) đồng biến  nên 1 suy x  m  mx x   2020; 2021  m  x 2021 x   2020; 2021  m  x 1 2020 Vậy đoạn  2020; 2021 có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 14: Chọn D x  Ta có: y  x  x ; y    x 1 Bảng biến thiên: Ta 2sin x  1  3  sin x     ;  2  2 có: suy  sin x   f    0;1   nên   sin x    ff     0;1     Phương trình f   2m3  3m    2sin x      f m   f  f m có nghiệm       2   2m  3m   m 2 Vậy 4a  8b    13 Câu 15: Chọn A Đặt u  3x  18 x  28  3( x  3)2    x   x    ta có với x   2; 4 u  1; 2 Biến đổi BPT ta 2021 f  u   m.u  m  4042  2021  f  u     m  u  1 Ta có f  x   x2  5x  u  5u  u2  u f u     nên   bất phương trình 2x 1 2u  2u  2021 u  u  2021u 2u  2u  2021u Lúc yêu cầu toán tương đương m  , u  1;2  m  g (u ) u1;2 2u  2021u 2021 Xét hàm số g (u )  , u  1; 2 ta có g (u )   0, u  1;  hàm số 2u   2u  1 biến đổi tiếp  m  u  1  m  2021u 2021  g 1  2u  Kết hợp với m số nguyên dương ta m  1;2;3; ;673 g  u  tăng đoạn 1; 2 Vì g (u )  u1;2 Vậy tìm 673 số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Câu 16: Chọn C Câu 17: Chọn B Đặt t  x   x  , x   Ta có t      x  Khi bảng biến thiên hàm số 6x  Phương trình cho trở thành f  t   Dựa đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm t  a   1;0   t  b  1;  t  c  2;3    Dựa vào bảng biến thiên hàm số t  x   x  ta có Phương trình t  a  x   6x   a có nghiệm phương trình t  b  x   x   b có nghiệm Phương trình t  c  x   x   c có nghiệm   Vậy phương trình f x   x   có nghiệm Câu 18: Chọn D Ta có: hệ số a   f  x   có hai nghiệm phân biệt  Đồ thị hàm số có điểm cực trị điểm thuộc trục hoành f   x   3x  m m f  x   x    m  0  m m Trường hợp :   m    m  24   m  6 m  24 : f  x   x3  12 x  16 f  x   k có nghiệm phân biệt  k   0;32  Có 31 giá trị nguyên k thỏa mãn  m m  m 6 Trường hợp :      m  m     m  : f  x   x3  3x  f  x   k có nghiệm phân biệt  k   4;  Có giá trị nguyên k thỏa mãn Vậy có 34 giá trị nguyên k thỏa mãn Câu 19: Chọn D  f  x2  g  x   Ta có g  x   g  x   1     g  x   f x      f x   0   f  x2        f  x2     1  2  3 Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy  x  a  1  +) 1   x  b   0;1 Suy phương trình có nghiệm phân biệt  x  c 1  x  d  1,  d  a   +)     x  e   0;1 ,  e  b  Suy phương trình có nghiệm phân biệt khác nghiệm   x  f  1,  f  c  phân biệt phương trình  x  m  1,  m  d , a   +)  3   x  n   0;1 ,  n  e, b  Suy phương trình có nghiệm phân biệt khác nghiệm   x  p  1,  p  f , c  phân biệt phương trình nghiệm phân biệt phương trình Vậy phương trình g  x   g  x   1  có tất 12 nghiệm Câu 20: Chọn A Gọi g  x   f  x  3  Ta có: g '  x   x f '  x  3 x   g '  x     x   1  x  2 x2    Ta có bảng biến thiên: g  x  Mà g  x     Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm  g  x   5 Câu 21: Chọn C  f  x   2 (1)  Ta có g  f  x      f  x    ,    0;1  (2)   f  x   (3) Dựa vào đồ thị hàm số g  x  suy phương trình 1 có nghiệm; phương trình   có nghiệm phương trình  3 có nghiệm Vậy phương trình g  f  x    có 10 nghiệm  g  x   3 (4)   g  x   1 (5)  Ta có f  g  x      g  x   (6)   g  x   a,  a  1;   (7)   g  x   b,  b   4;5   (8) Dựa vào đồ thị hàm số g  x  suy phương trình  4 có nghiệm; phương trình   ;   ;   phương trình có nghiệm phương trình  8 có nghiệm suy phương trình f  g  x    có 11 nghiệm Vậy tổng số nghiệm phương trình f  g  x    g  f  x    21 Câu 22: Chọn A Ta có: f  e x  1  x  m   f  e x  1  x  m 1 Đặt t  e x   t   e x  0, x   Ta có bảng biến thiên: Với t  e x   x  ln  t  1 Ta có: 1  f  t   ln  t  1  m   Khi đó, phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình   có hai nghiệm thực phân biệt lớn Xét hàm số g  t   f  t   ln  t  1 , t  ta có: g  t   f  t   1 , g  t    f  t   t 1 t 1 Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  y  1 ta có: f   t    t  x 1 t 1 Ta có bảng biến thiên hàm số g  t  : Số nghiệm phương trình   số giao điểm đồ thị hàm số g  t  đường thẳng y  m Dựa vào bảng biến thiên, phương trình   có hai nghiệm thực phân biệt lớn  m  g    m  f    ln1  m  f    x f  x   a  3  a  1  Câu 23: Phương trình f  x f  x      f  x f  x    1   x f  x   b  5  b  3   x f  x   k Xét phương trình x3 f  x   k  f  x   x Đặt g  x   k 3k , g   x    0, x  k  x x lim g  x   lim g  x   , lim g  x    , lim g  x    x  x  x0 Ta có bảng biến thiên hàm số g  x  x0 1  2  3 Dựa vào bảng biến thiên đề bài, suy khoảng  ;0   0;  phương trình f  x   g  x  có nghiệm Vì a , b  nên phương trình 1   phương trình có nghiệm phân biệt khác x  x  Xét phương trình  3 : x f  x      , với c khác nghiệm 1 f x  x  c        Vậy phương trình f  x f  x     có nghiệm Câu 24: Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  , suy hàm số y  f '  x  hàm số bậc qua không đổi dấu qua đổi dấu từ + sang - Mặt khác lim f '  x    nên k  x  Do đó, hàm số y  f '  x  có dạng f '  x   k x  x  3 1 1 Vì f '    nên k   Suy f '  x    x  x  f  x    x  x  e 4 16 Xét phương trình 1 f   x2  x  m   e     x2  x  m     x2  x  m   16  x  x  m  1 2    x  2x  m  x  2x  m  4      x  x  m     Phương trình f   x  x  m   e có bốn nghiệm phân biệt phương trình 1 ,  2 1  m  có hai nghiệm phân biệt    m  1  m   Mặt khác, m số nguyên  5;5 nên m  4;5 Vậy có giá trị nguyên m thoả yêu cầu toán Câu 25: Chọn A   Đặt t  cos x Do x  0;  nên t   0;1  f  t    2;0   2   f  cos x    f  t    0;   f Vậy phương trình f      f  cos x    2;     f  cos x   m có nghiệm x  0;   2  m   2 Do m nguyên nên m  2; 1;0;1 Vậy có bốn giá trị tham số m để phương trình f    f  cos x   m có nghiệm   x  0;   2 Câu 26: Chọn B  y  f  x   f  y   y  f  x   x  * Đặt: y  f  x  ta có hệ:   f  y   x Xét hàm số: g  t   f  t   t  t  2t  2m  g   t   3t   t    g  t  đồng biến  Từ phương trình * ta có g  y   g  x   y  x  f  x   x  x  x  2m  x  x3  m Để phương trình f  f  x    x có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 Min x  2m  Max x3 x1;2 x1;2   2m    m  , m số nguyên nên m  0;1; 2;3 Vậy Chọn B Câu 27: Chọn C Ta có f ( x)  (m  4) f ( x)  2m    f ( x)  1   f ( x)   f ( x)   m      f ( x)   m   Phương trình 1 có nghiệm phân biệt Vậy để phương trình * có nghiệm phân biệt phương trình   có nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình 1 Phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm phương 1 chi m    m  2  m     m  Vì m  Z ; m   5;5 nên m  2;3; 4   Vậy m có giá trị  x2 f  x     x f  x      0;1 Câu 28: Ta có: f  x f  x      f  x f  x    2    x f  x      2;3  x f x    3;      x  x2 f  x     Phương trình f  x   có nghiệm phân biệt khác  f  x  Xét phương trình x f  x   m với m  Rõ ràng x  không nghiệm phương trình m x2 m 2m Xét hàm số g  x   có g   x   Từ ta có BBT g  x  : x x Do ta có: x f  x   m  f  x   Suy đồ thị hàm số y  g  x  cắt đồ thị hàm số y  f  x  điểm phân biệt có hồnh độ khác khác hai nghiệm phương trình f  x   Vậy phương trình x f  x      0;1 , x f  x      2;3 , x f  x      3;  có hai nghiệm phân biệt Các nghiệm phương trình khơng trùng nhau, khác khác hai nghiệm phương trình f  x   Do phương trình f  x f  x     có nghiệm thực phân biệt Câu 1: x 1 x x 1 x  y  x   x  m ( m tham số thực) có đồ    x x 1 x  x  Cho hai hàm số y  thị  C1  ,  C2  Tập hợp tất giá trị m để  C1   C2  cắt bốn điểm phân biệt B  ;  2 A  2;    Câu 2: 11   11  m cắt điểm phân biệt? 3x   x A  ;  C  ;1 B  ;1 D  ; 2 Có cặp số thực (a; b) để bất phương trình  x  1 x    ax  bx    nghiệm với x   A Câu 4: D  ;   Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hai hàm số y   x  1 x  y Câu 3: C  2;    B D C Cho hàm số y  x  x  x  3m  y  x   x  2m ( m tham số thực) có đồ thị  C1  ,  C2  Tập hợp tất giá trị m để  C1  cắt  C2  B m   2;   A m   Câu 5: C m   ;  D m  2;   Có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn  2019; 2019 để phương trình      x  x  m   x  x  2m   x  x  có nghiệm thực? A 2019 Câu 6: B 4032 C 4039 Có m nguyên dương để hai đường cong  C1  : y   cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ dương? A 35 B 37 C 36 Câu 7:  C2  : y  x  m x  10 D 34 Cho hàm số f ( x )  ( x  1).( x  2) ( x  2020) Có giá trị nguyên m thuộc đoạn  2020; 2020 để phương trình f ( x )  m f ( x ) có 2020 nghiệm phân biệt? A 2020 Câu 8: D 4033 Cho hai hàm số y  ln B 4040 C 4041 D 2020 x2   4m  2020 , Tổng tất các giá trị nguyên y  x2 x x tham số m để đồ thị hai hàm số cắt điểm A 506 B 1011 C 2020 D 1010 Câu 9: Cho hai hàm số y   x  1 x  1 x  1  m  x  ; y  12 x  22 x3  x  10 x  có đồ thị  C1  ,  C2  Có giá trị nguyên tham số m đoạn  2020;2020 để  C1  cắt  C2  điểm phân biệt? A 4040 B 2020 C 2021 D 4041 Câu 10: Cho hai hàm số y  x  x  x  y  x m  15 x  m   15 x  có đồ thị  C1   C2  Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2019; 2019 để  C1   C2  cắt hai điểm phân biệt Số phần tử tập hợp A 2006 B 2005 C 2007 S D 2008 Câu 11: Cho hàm số y  f  x  =ax  bx3  cx  dx  e có đồ thị hình vẽ bên đây, a,b,c,d ,e hệ số thực Số nghiệm phương trình f   f  x   f  x   f  x  1  A B C D Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  x   m có ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng  0;    ? A 25 B 30 C 29 D 24 Câu 13: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  1;  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m thuộc đoạn  10;10 để bất phương trình f  x   m  m với x thuộc đoạn  1;  A B C D Câu 14: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f  sin x   m   2sin x có nghiệm thuộc khoảng  0;   Tổng phần tử S B 1 A C D Câu 15: Cho hàm số f  x   x  x  Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f  A 1750  f  x   f  x   m   x  x  có nghiệm x   1;2 ? B 1748 C 1747 D 1746 Câu 16: Cho hàm số f ( x) liên tục  2; 4 có bảng biến thiên hình vẽ bên Có giá trị nguyên m để phương trình x  x  x  m f ( x) có nghiệm thuộc đoạn  2; 4 ? A B C D Câu 17: Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm đoạn   2;  có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên tham số m để hệ phương trình 9  4 x 6 f  2 x  1  x3  x  m   có ba nghiệm phân biệt? A B 11 C 10 D Câu 1: Chọn B Xét phương trình hồnh độ giao điểm x 1 x x 1 x  x 1 x x 1 x      x2  xm      x   x  m 1 x x 1 x  x  x x 1 x  x  x 1 x x 1 x  Xét f  x       x   x, x  D   \ 3;  2;  1; 0 x x 1 x  x  x x 1 x   x 1  x  x   x   x   2, x   2;     D  D1 Ta có f  x     x   x  x   x   x  2, x   ;    D  D  x x 1 x  x  1 1   , x  D1 2  x2   x  1  x    x  3  Có f   x    1 1     2, x  D2 2  x  x  1  x    x  32  Dễ thấy f   x   0, x  D1  D2 , ta có bảng biến thiên x - f'(x) + -3 + + -2 + + + + + + + f(x) - - - - - Hai đồ thị cắt điểm phân biện phương trình 1 có nghiệm Câu 2: phân biệt, từ bảng biến thiên ta có: m   m  2 Chọn C Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x  1 x   x 1  x    4   Điều kiện:  x   x  3    x   x  Ta có: *   x  1 x 1  11   11  m 3x   x 11   11  m 3x   x  * Xét hàm số f ( x )   x  1 x   11 4    11 1;    \  ;  3x   x 3   4 4  Nhận thấy, hàm số f  x  liên tục khoảng 1;  ,  ;  ,  2;    3 3  11   Ta có, f ( x)    x  1 x     11 3x   x    x x    x  1 10 x  x  33 1 33    0   2 2 x 1 x   3x     x   3x     x  4  với x  1;    \  ;  3  4  Suy ra, hàm số f  x  đồng biến 1;    \  ;  3  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy đồ thị hai hàm số y   x  1 x  y  cắt điểm phân biệt m   ;1 Câu 3: 11   11  m 3x   x Chọn C Đặt f  x    x  1 x    ax  bx   Giả sử x  khơng phải nghiệm phương trình g  x    x    ax  bx    hàm số f  x    x  1 x    ax  bx   đổi dấu qua điểm  x  1 x    ax  bx    Do đó, để yêu cầu x  , nghĩa khơng có nghiệm với x   tốn thỏa mãn g  x    x    ax  bx    có nghiệm x  suy a  b   điều kiện cần Lí luận tương tự có h  x    x  1  ax  bx    phải nhận x  2 nghiệm, suy 4a  2b   a  b    a  1 Từ ta có hệ   4a  2b   b  1 Điều kiện đủ: a  1 2 Với  có f  x    x  1 x    x  x     x  1  x    , x   b  1   Vậy không tồn cặp số thực (a; b) thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 4: Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm: x  x5  x3  3m   x   x  2m  x  x5  x3  x   x  5m  (1) Xét hàm số f ( x)  x7  x5  x3  x   x  x  x  x  Ta có f ( x)    x  x  x  x  x   2;   x   ;  7 x  x  3x  x   2;   f ( x)   7 x  x  3x   x   ;  lim f  x    ; lim f  x    x  x  Bảng biến thiên: x ∞ + f '(x) +∞ + +∞ f(x) ∞ Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình 1 ln có nghiệm với m   Vậy để  C1  cắt  C2  Câu 5: m Chọn B Đk: x   3;1 Phương trình cho  11  x    x 1  x   m  Đặt t   x   x  g  x  , với x   3;1  11  3x  Có g   x    1 x   x    x 1  x   t  1   0, x   3;1 Suy g  x  nghịch biến khoảng  3;1 1 x  x  g  x   g 1  2 : max g  x   g  3   t   2; 4  3;1  3;1 Từ  t  mt   Nếu t     Nếu t   2; 4 \ {0} , ta có m  t  4  t   f  t  t t  t2 , f   t    t  2 t2 Bảng biến thiên Có f   t   m  Từ bảng biến thiên, suy phương trình có nghiệm thực   m  4 m   2019; 2019  m   m  2019;  2018; ;  4; 4; ; 2018; 2019 Do   m     m    Vậy có  2019   1  4032 giá trị nguyên tham số thực m Câu 6: ChọnC  x  10  Điều kiện:  m  x  Xét  0;   \ 10 , phương trình hồnh độ giao điểm  C1   C2  2  x  18   4x  m  m  4x    x  10  x  10   x  18  Đặt g  x   x    với x   0;   \ 10  x  10   x  18  4 x  34 Ta có: g   x   1   ; g   x     x  10 3   x  10    g   x  có bảng biến thiên sau  17  Suy phương trình g   x   có nghiệm    ;10  Lại có g   9, 22   nên      9, 22;10  Ta có bảng biến thiên g  x   0;   \ 10 : Từ suy phương trình m  g  x  có nghiệm dương phân biệt 81  m  g   25 4 x  40  Trên khoảng  9, 22;10    x  18  nên g  x   37  g     36;37  3   x  10     Vậy giá trị m nguyên dương thỏa mãn yêu cẩu tốn 1; 2; 3; …; 36 hay có 36 giá trị m cần tìm Câu 7: Chọn B Ta có nhận xét: f ( x )  phương trình f ( x )  m f ( x ) vô nghiệm f ( x ) Do đó: f ( x )  m f ( x)  m  f ( x) f ( x) 1 1 Xét hàm số g ( x)       f ( x) x  x  x  x  2020 1 1 1 1 Ta có g ( x)       0, x   \ 1; 2;3 ; 2020 2 2  x  1  x    x  3  x  2020  Bảng biến thiên: Dựa vào BBT, phương trình f ( x )  m f ( x ) có 2020 nghiệm phân biệt m  m  Kết hợp với điều kiện m số nguyên thuộc  2020; 2020 nên m  n   | 2020  n  2020, n  0 Vậy có tất 4040 giá trị m thỏa yêu cầu toán Câu 8: Chọn A + Phương trình hồnh độ điểm chung hai đồ thị hàm số x2 x2 ln    4m  2020  ln    4m  2020 (*) x x2 x x x2 x Đồ thị hai hàm số cho cắt điểm có nghiệm   g1 ( x)  ln( x  2)  ln x  x   x x   x2  + Xét hàm số y  ln     g ( x)  ln(2  x)  ln x    x  x x2 x  x2 x   g3 ( x )  ln(2  x)  ln(  x )  x   x x    / 1 4( x  1) g ( x )       x  x ( x  2) x x ( x  2)   1 4( x  1) Ta có  g 2/ ( x )       x x ( x  2) x x ( x  2)   / 1 4( x  1)      g3 ( x)   x x ( x  2) x x ( x  2)  bảng biến thiên hàm số sau +  x  1  x  , y    x  x  biến thiên ta có có nghiệm  m  506    4m  2020    4m  2020  ln   m  2020  ln     + Tư yêu cầu toán xãy m  506 Câu 9: Qua x  bảng Chọn C Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị  C1   C2  :  x  1 x  1 x  1  m  x   12 x  22 x  x  10 x  Để đồ thị  C1  cắt  C2  điểm phân biệt phương trình có nghiệm phân biệt 1  Với x  1;  ;   : Không nghiệm phương trình 3  1  Với x  1;  ;   ta có: 3  1  m  12 x  22 x3  x  10 x  1  x  m  2 x  x    x  x  3x   x  1 x  1 3x  1 1 1    , x   \ 1;  ;   3 x  x  3x   2x Suy ra: f   x   2     2 x  x  1  x  1  x  1 Xét hàm số f  x   2 x  x     x   0;   2  4  x  x  x         Ta có: f   x    f   x  không 1      x  ;  \ 1;  ;     x  12  x  12  x  12 3   xác định x  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm phân biệt m  Do có 2021 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 10: Chọn A Ta biết  C1  cắt  C2  hai điểm phân biệt phương trình x  x  x   x3 m  15 x  m   15 x  1 có hai nghiệm phân biệt Điều kiện: m  15 x   m  15x * Nếu x  phương trình 1 vơ nghiệm Suy x  Khi 1  x  x  x  1 1     x    3 x    x x     m  15 x  m   15 x  x3 m  15 x   m  15 x Xét hàm số f  t   t  3t Tập xác định D   f   t   3t   0, t   Suy hàm số f  t   t  3t đồng biến   m  15 x   x Nếu x   x    Phương trình  2 vơ nghiệm  x  x m  1  Khi  nên    x    m  15 x  m  x    15 x x x  x  x  Đặt g  x   x    15 x, x  g   x   x   15 x x Phương trình g   x   có nghiệm x  khoảng  0;   Bảng biến thiên Do 1  x  Suy 1 có hai nghiệm phân biệt m  55 Kết hợp với m nguyên m   2019; 2019 ta có m nguyên m  14; 2019 Khi S có 2019  14   2006 phần tử Câu 11: Chọn B Từ hình vẽ ta có dạng đồ thị hàm trùng phương nên b  d   f  x   ax  cx  e Ta có f   x   4ax3  2cx  f  1   a  2c  a     Từ đồ thị   f     e   e   f  x   x  x     a  c  e  c   f 1   f  x  x Như  x f   f  x  f  x  f  x phương f trình   f  x   f  x   f  x     f  x   f  x   f  x   f  x    với f  x   Đặt t  f  x  t   ta phương trình g  t   với g  t   t  3t  t  Nhận thấy: Hàm số g  t  liên tục đoạn  0;1 g   g 1   g  t   có nghiệm thuộc  0;1 Hàm số g  t  liên tục đoạn 1; 4 g 1 g     g  t   có nghiệm thuộc 1;  Mà g  t   phương trình bậc hai có tối hai nghiệm nên g  t   có nghiệm thuộc  0;1 Suy f   f  x   f  x   f  x    có nghiệm f  x    0;1 Suy phương trình f  x   a với a   0;1 ln có nghiệm x phân biệt Câu 12: Chọn B Ta đặt: g  x   f  x  x  g   x    x   f   x  x    x    x  x   x  x   x  x    x  2  x2  4x  2 x  x  4     Mặt khác: g    f    3 ; g   g   f  2   ; g    f  4   2 ; g    f    3 Ta có bảng biến thiên: m 2  18  m  12 Vậy có tất 30 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu toán tương đương 3  Câu 13: Chọn C Để bất phương trình f  x   m  m có nghiệm ta suy điều kiện m   f  x   3m f  x   m  m  2m  f  x   m  m    f  x   m  f  x   3m Bất phương trình f  x   m  m với x thuộc đoạn  1;     f  x   m  3m  f  x   1;4  với x thuộc đoạn  1;    f  x  m  max  1;4 Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy f  x   2; max f  x   1;4 1;4   3m  f  x    1;4  3m  2  m     m3 m3 f  x   m  max   1;4 m  Vậy đoạn  10;10 có giá trị nguyên m thỏa mãn điều kiện toán Câu 14: Chọn D Đặt t  sin x , với x   0;    t   0;1 Ta phương trình: f  t   2t  m   f  t   2t  m  Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y  f  t  đường thẳng y  2t  m  r Gọi  p  : y  x  song song với đường thẳng    : y  2t qua điểm A  0;1 Gọi q : y  x  song song với đường thẳng    : y  2t qua điểm B 1; 1 Để phương trình f  sin x   m   2sin x có nghiệm thuộc khoảng  0;   phương trình phải có nghiệm t   0;1 , suy đường thẳng r nằm miền nằm hai đường thẳng q p  3  m    1  m   m  1;0;1; 2  S  1;0;1; 2 Do tổng phần tử là: 1     Câu 15: Chọn A Xét hàm số f (t )  t  t  , ta có f (t )  3t   0, t   Do hàm số f đồng biến  Ta có f   x   f ( x)  f ( x)  m  f ( x) f ( x)  f ( x)  m  f ( x)  f ( x)  x3  m  (1) Xét h( x)  f ( x)  f ( x)  x  m đoạn [ 1; 2] Ta có h( x )  f ( x )  f ( x )  f ( x )  x  f ( x ) 3 f ( x )  1  x Ta có f ( x)  x   0, x  [1; 2]  h( x)  0, x  [ 1; 2] Hàm số h( x ) đồng biến [ 1; 2] nên h( x )  h(1)  m  1, max h( x)  h(2)  m  1748 [ 1;2] [ 1;2] Phương trình (1) có nghiệm h  x   max h  x    h  1  h   [ 1;2] [ 1;2]   m  11748  m    1748  m  Do m nguyên nên tập giá trị m thỏa mãn S  {1748; 1747; ; 0;1} Vậy có tất 1750 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 16: Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta có Min f  x   f (4)  Max f  x   f (2)   2;4  2;4 Hàm số g ( x)  x  x  x liên tục đồng biến  2; 4 Suy Min g  x   g (2)  Max g  x   g (4)    2;4  2;4 Ta có x  x  x  m f ( x)  Xét hàm số h( x)  x  x2  2x g ( x) m m f ( x) f ( x) g ( x) liên tục  2; 4 f ( x) Vì g  x Min h( x)  2;4 Vì nhỏ Min g  x  2;4 Max f  x   2;4 g  x Max h( x)  2;4 lớn Max g  x  2;4 Min f  x  2;4  f  x lớn đồng thời xảy x  nên đồng thời xảy x  nên g  2  h(2)  f  2 f  x nhỏ g  4  h(4)   2 f  4 Từ suy phương trình h( x)  m có nghiệm  m 22 Vậy có giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm Câu 17: Chọn D  9  x  9  x2   x   3 0  Ta có:     x    ;  \ 0 x x  2 x   x  Xét phương trình f  2 x  1  x3  x  m   m  f  2 x  1  8x3  x  3 Xét hàm số g  x   f  2 x  1  x3  x , với x    ;  \ 0  2 Ta có g   x   12 f   2 x  1  24 x   6  f   2 x  1  x  1  2 x   1 Từ giả thiết ta suy f   2 x  1      x ; 2  2 x   1 x     x    2 f   2 x  1       2 x     x    2  3 Bảng biến thiên hàm số g  x   f  2 x  1  x  x   ;  \ 0  2  3 Từ bảng biến thiên ta suy hệ có ba nghiệm  có ba nghiệm x    ;  \ 0  2 4  m  14  Vì m    m  5; 6; 7;8;10;11;12;13 Vậy có số nguyên m m  – LÍ THUYẾT  Viết phương trình tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số  C  : y  f  x  điểm M  x0 ; y0    C  Viết phương trình tiếp tuyến với đường  cong  C  điểm M  Bước 1: Tính đạo hàm f '  x  Tìm hệ số góc tiếp tuyến f '  x0   Bước 2: Phương trình tiếp tuyến điểm M là: y  f '  x  x  x0   y0  Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước  Bước 1: Gọi    tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k  Giả sử M  x0 ; y0  tiếp điểm Khi x0 thỏa mãn: f '  x0   k  Giải  1 tìm x0 Suy y0  f  x0   Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  k  x  x0   y0 1  Điều kiện để hai hàm số tiếp xúc  Cho hai hàm số  C  : y  f  x   C ' : y  g  x  Đồ thị  C   C   tiếp xúc  f  x   g  x  hệ phương trình:  có nghiệm  f   x   g   x  VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số y  x 1  C  Điểm M thuộc  C  có hồnh độ lớn , tiếp tuyến  C  x 1 M cắt hai tiệm cận  C  A , B Diện tích nhỏ tam giác OAB A  2 D  C B Lời giải Chọn A Tập xác định: D   \ 1 Ta có: y     x  1 , x  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  đường tiệm cận đứng x  Giả sử M  m ; yM    C   m  1  yM  Phương trình tiếp tuyến  là: y   m 1 ; y  m     1 m 1 m 1  m  1  m  1  x  m  1 m 1  x   m  1 y  m  2m   Gọi A giao điểm  đường tiệm cận ngang Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương y 1  2  x  2m   A  2m  1;1 trình:  y x  m 1   m 1  m  1  Gọi B giao điểm  đường tiệm cận đứng Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương x  m3 4    2  y  1 trình:   B  1;1   y x  m   m 1 m 1 m 1     m 1  m  1  16 2    Suy ra: AB    2m       m  1   m 1   m  1 m  d  O;     m  2m    m  1  m 1   m  1 4 m  2m  2 (vì m  )  m     m 1  m 1 m 1 m 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số m     m  1  1  m  2m   SOAB  d  O ;   AB  2   m  14 m   m  2m   m  1  42 m 1 2 2 :  m  1  m 1 m 1 4 2  m   Vậy diện tích nhỏ tam giác OAB  2  m 1  m    m  VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  3 x  x   C  Xét hai điểm A  a ; y A  B  b ; yB  phân biệt đồ 2 thị  C  mà tiếp tuyến A B song song Biết đường thẳng AB qua Phương trình đường thẳng AB A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   Lời giải Chọn D 3     Gọi A  a ; a  a   B  b ; b  b   với a  b hai điểm phân biệt thuộc đồ thị 2      C  mà tiếp tuyến A B song song với Ta có f   a   f   b   3 a  3a  b  3b  a  b2   a  b   a  b  2 ab  Gọi I  ;  a  b3    a  b    trung điểm đoạn AB     6ab   2ab      hay I 1;1 Với a  b  ta có I 1; 4       Lại có AB  b  a ;  b3  a    b  a   phương với u 2;  a  b  ab    a  b  2     Hay u  2;   ab  Nên đường thẳng AB có véc tơ pháp tuyến n   ab ;    Suy phương trình đường thẳng AB   ab  x  1   y  1  Do đường thẳng AB qua D  5;3 nên   ab     4ab  12   ab  3 Thay ab  3 vào phương trình AB ta được: x  y   Cách – trắc nghiệm: Đồ thị hàm số y  3 x  x   C  có điểm uốn I 1;1 2 Do đường thẳng AB qua D  5;3 I 1;1 có phương trình x  y   VÍ DỤ 3: Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  điểm A  0; a  Hỏi có tất giá trị nguyên x 1 a đoạn  2018;2018 để từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến đến  C  cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh? A 2020 B 2018 C 2017 Lời giải Chọn D Ta có: y '  3 , x 1 ( x  1) D 2019 3 Phương trình đường tiếp tuyến điểm x0 : y  Tiếp tuyến điểm A  0; a  là:  x  x0    x0  1 3x   x0   x0  1 a  x0  1  ( a  1) x0  2(a  2) x0  a   y'  x0  x0  3 ( x  1) 1 Để từ điểm A kẻ tiếp tuyến đến (C )  1 có hai nghiệm phân biệt   '    a     a  1 a     a  2 Theo định lí Vi-et ta có: 2(a  2)   x1  x2  a   x x  a   a  Để hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh thì: y ( x1 ) y ( x2 )   ( x1  2)( x2  2) x x  2( x1  x2 )  9a  2 0 0 0a ( x1  1)( x2  1) x1 x2  ( x1  x2 )  3 Mà a   2018;2018 ; a    a   0;2018 VÍ DỤ 4: Cho parabol  P  : y  x  px  q Biết qua A  2;1 kẻ tiếp tuyến đến  P  tập hợp tất điểm M  p; q  miền nghiệm bất phương trình ax  by  c  Biểu thức T  3a  2b  c nhận giá trị sau đây? A 10 B D 2 C 11 Lời giải Chọn C Ta có y   x  p Gọi M  x0 ; x0  px0  q  tiếp điểm, tiếp tuyến với  P M có phương trình: y   x0  p  x  x0   x02  px0  q  x02  xx0  px  q  y  Tiếp tuyến qua A  2;1 nên: x02  x0  p  q   1 Vì qua A  2;1 ln kẻ tiếp tuyến đến  P  nên phương trình 1 ln có nghiệm Do đó:    p  q     M  p; q  thuộc miền nghiệm bất phương trình ax  by  c  nên ap  bq  c   3  a  4m a b c  Từ    3 suy    m , điều kiện:  m     b   m 1 3 c  3m  81   81  T  2 m  m    m    4  Vậy T nhận giá trị 11 nên ta chọn đáp án C VÍ DỤ 5: Cho hàm số y  f  x   x  x  4m  m2 Có giá trị m để đồ thị hàm số g  x   f  f  x   tiếp xúc với Ox A B C D Lời giải Chọn D x  m Ta có f  x     x  m  x  m      x   m  x  x  4m  m  m 1  f  x  m Suy g  x    f  f  x        f  x    m  x  x  4m  m   m   Trường hợp 1: Nếu m   m  m   Từ 1 ;   suy g  x    x  x   x   0 Hai nghiệm hai nghiệm  x   kép phương trình g  x   nên đồ thị hàm số y  g  x  tiếp xúc với Ox Trường hợp 2: Nếu m   m  m  Khi 1 ;   khơng có nghiệm chung Để đồ thị hàm số y  g  x  tiếp xúc với Ox  1 có nghiệm kép   có nghiệm kép  m  3m   VN   Tức khơng có giá trị m thỏa mãn trường hợp  m  5m   VN  Vây m  thỏa mãn u cầu tốn VÍ DỤ 6: Cho hàm số y  f  x   x3  3x   C  Và A(a ;  2) Từ A kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị  C  Gọi S tập hợp giá trị a để tổng hệ số góc Tính tổng phần tử S A B C D Lời giải Chọn D Gọi  đường thẳng qua A(a ;  2) có hệ số góc k Đường thẳng  có phương trình: y  k ( x  a )   x  x   k  x  a   Vì  tiếp tuyến đồ thị  C  nên hệ sau có nghiệm:  k  3x  x Suy x  x    x  x   x  a     x    x  1   x   x  x  a  x    x   3a  1 x    *  a  Trường hợp 1: Phương trình * có nghiệm kép  9a  a  15     a  1 Với a  có hai tiếp tuyến đồ thị  C  x  x  có tổng hệ số góc hai tiếp tuyến đồ thị  C  x  x  là:  3.2  6.2    3.12  6.1  3 ( không thỏa mãn) Với a  1 có hai tiếp tuyến đồ thị  C  x  1 x  có tổng hệ số góc hai     tiếp tuyến đồ thị  C  x  1 x  là: 3.22  6.2   1  6.1  (thỏa mãn) Trường hợp : Phương trình * có nghiệm a  phương trình * có hai nghiệm phân biệt x  x  x  có tổng hệ số góc hai tiếp   2 1 tuyến đồ thị  C  x  x  là:  3.2  6.2          (không tm)   2  2 Với a  có hai tiếp tuyến đồ thị  C  x  Trường hợp : Phương trình * có nghiệm khác  a   9a  6a  15    (**)   a   a   a  2 Khi có ba tiếp tuyến đồ thị  C  x1 ; x2 x  với x1 ; x2 nghiệm phương trình * , có tổng hệ số góc ba tiếp tuyến đồ thị  C  x1 ; x2 x  là: x12  x1  x2  x2   3( x1  x2 )  6( x1  x2 )  x1 x2   3 a   3a    3a    3   6     27 a  54 a  45    2      3 a   Kết hợp điều kiện (**) ta có a  3 6 Vậy tổng phần tử S 3 14 VÍ DỤ 7: Cho hàm số y  x  x có đồ thị  C  Có điểm A thuộc  C  cho tiếp 3 tuyến  C  A cắt  C  hai điểm phân biệt M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  ( M , N khác A ) thỏa mãn y1  y2   x1  x2  ? A B C D Lời giải Chọn B 14   Gọi A  a; a  a  tọa độ tiếp điểm   28  14 4 Phương trình tiếp tuyến A d : y   a3  a   x  a   a  a  3 3 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d là: 28  28  14 x  x   a  a   x  a   a4  a2 3  3 3 x  a   x  a   x  2ax  3a  14     2  x  2ax  3a  14  1 Đồ thị  C  cắt d điểm phân biệt  Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác a       a   7; \     6a  14    28  4 Theo đề bài: y1  y2   x1  x2    a  a   x1  x2    x1  x2   3 a  28  a  a    a  1 3  a  2  a  1 Đối chiếu điều kiện:  Vậy có điểm A thỏa đề  a  2 Câu Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x  x  x  2019 điểm có hồnh độ x0  1 A y  x  2016 Câu B y  x  2007 B y  x  B y  40 x  57 Cho hàm số y  A y  x  Câu B y  x  C y  40 x  103 D y  40 x  25 C y  x  D y  x  14 x1 có đồ thị (C ) Tiếp tuyến (C ) điểm có tung độ x2 B y  3x  13 C y  3x  13 D y  3 x  có đồ thị (C ) Tiếp tuyến (C ) điểm có tung độ tạo với hai x 1 trục tọa độ Ox , Oy tam giác có diện tích Cho hàm số y  C D 2 Cho hàm số y  ln( x  1)  ln x có đồ thị (C ) , điểm M  (C ) có tung độ ln Phương trình A Câu D y  3x  Cho hàm số y  x  x2  có đồ thị C  Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  M  ;  A y  x  Câu C y  3x  Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x  x  điểm có hồnh độ x0  2 A y  40 x  80 Câu D y  x  2023 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x  – x  điểm M  ;  A y  x  12 Câu C y  x  2014 B tiếp tuyến (C ) điểm M Câu 3 3 A y   x   ln B y  x   ln C y  3x  D y  x  2 2 Cho hàm số y  x ln( x  1) có đồ thị (C ) Phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với trục hoành A y  Câu B y  x  C y  x  D y  x  Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C ) Phương trình tiếp tuyến (C ) điểm có tung độ y0  15 A y  24 x  B y  24 x  39 C y  15 D y  24 x  39 Câu 10 Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C ) Trong tiếp tuyến (C ) , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ tiếp xúc với (C ) điểm có tung độ A Câu 11 Cho hàm số y  log B 151 27 C 113 27 D x3 có đồ thị C  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm 2x đồ thị  C  với đường thẳng d : y  là: A y  5 x ln ln C y  x   ln B y  x2 ln ln D y  5 x2 ln ln Câu 12 Biết đường thẳng y  ln 4.x  m tiếp tuyến đường cong y  x giá trị tham số m A ln  B D 2ln  C Câu 13 Cho hàm số y  x3  x2  3x  có đồ thị (C) Có tiếp tuyến đồ thị (C) song song với đường thẳng  : x  y   ? A C B D Câu 14 Cho hàm số y   x  3x  x  Tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc lớn có phương trình A y  x  B y  x  C y  4 x  D y  4 x  Câu 15 Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y  ax4  bx  23 điểm A  ;   vng góc với đường thẳng x  y  2019  Tình a  b  A 15 B 23 C 23 D 15 Câu 16 Đường thẳng y  m tiếp xúc với đồ thị hàm số C  : f  x   x  x  35 hai điểm phân biệt Tìm tung độ tiếp điểm A 35 B 35 C 19 D 19 x  ln  x   có đồ thị  C  Số tiếp tuyến với đồ thị  C  hàm số vuông góc với đường thẳng y   x  Câu 17 Cho hàm số y  A B D C Câu 18 Cho hàm số y  e x  e  x có đồ thị  C  Tiếp tuyến đồ thị  C  có hệ số góc nhỏ A y  B y  x  C y  x  D y  x Câu 19 Cho hàm số y  x3  3x  x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết tiếp tuyến qua điểm N (0 ;1) A y   33 x  11 B y   33 x  12 C y   33 x1 D y   33 x2 Câu 20 Cho hàm số y  x3  x  Có tất tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A  1;  A Câu 21 Cho hàm số y  A  ;1 ? A B C D x2  x  có đồ thị  C  Có tiếp tuyến đồ thị  C  qua điểm x3 B C D Câu 22 Cho hàm số y  2x có đồ thị  C  Biết có hai tiếp tuyến đồ thị  C  qua điểm x 1 A  ;1 Tích hệ số góc hai tiếp tuyến A B 1 C 2 D Câu 23 Gọi S tập giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x  mx  x  9m tiếp xúc với trục hoành Tổng phần tử S A B C D 3 Câu 24 Xét đồ thị  C  hàm số y  x  3ax  b với a , b số thực Gọi M , N hai điểm phân biệt thuộc C  cho tiếp tuyến với C  hai điểm có hệ số góc Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN Khi giá trị lớn a2  b2 2 A B C 2 D   Câu 25 Cho hàm số f  x  thỏa mãn f x  x2   x  x  với x   Gọi  tiếp tuyến đồ thị hàm số f  x  điểm có hồnh độ x0  Giả sử  cắt Ox điểm A cắt Oy điểm B Khi diện tích tam giác OAB A B Câu 26 Cho hàm số: y  C D 2x  có đồ thị C  Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến x 1 điểm M  x0 ; y   C  thỏa mãn phương trình x0   A y   x  , y  x  14 9 C y   x  , y  x  9 B y   x  , y  x  9 D y   x  , y  4 x  14 9 Câu 27 Cho hàm số y  x   x   x C  Phương trình tiếp tuyến giao điểm  C  với parabol P : y  x A y  ; y  ; y  24 x  B y  ; y  ; y  24 x  C y  ; y  ; y  24 x  63 D y  ; y  ; y  24 x  63 2x  có đồ thị (C ) Gọi I giao điểm đường tiệm cận Gọi M  x0 , y0  , x1 x0  3 điểm (C ) cho tiếp tuyến với (C ) M cắt hai đường tiệm cận Câu 28 Cho hàm số y  A , B thỏa mãn AI  IB2  40 Khi tích x0 y0 A 1 Câu 29 Cho hàm số f ( x)  B 12 C D 12 x1 có đồ thị  H  Tìm Oy tất điểm từ kẻ x 1 tiếp tuyến tới  H  A M(0;1) B M1 (0;1) M (0; 1) C Không tồn D M(0; 1) Câu 30 Cho hàm số y  2x  có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến x 1 cắt trục hoành trục tung điểm A , B phân biệt thỏa mãn AB  82 OB 13 25 A y   x  y   x  9 9 13 C y   x  9 Câu 31 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  25 B y   x  9 17 25 D y   x  y  x  9 9 x2 điểm có hồnh độ x0 nghiệm phương trình x1 16 x2  x   x  A y  x 4 B y  x 4 C y  D y  x x 1 có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm M có hồnh x2 độ khơng nhỏ 3, biết tiếp tuyến cắt hai tia Ox ,Oy hai điểm A ,B cho tam Câu 32 Cho hàm số y  giác OAB cân A y  x  B y   x  C y  x  D y   x  3x  có đồ thị (C ) Biết y  ax  b phương trình tiếp tuyến (C ) có hệ x 1 số góc nhỏ tiếp tuyến có hồnh độ tiếp điểm số nguyên dương Tính 2a  b A 2 B C D Câu 33 Cho hàm số y  3x có đồ thị (C ) đường thẳng  :y  4 x  m Tính tổng tất giá trị x1 m thỏa mãn  tiếp tuyến (C ) Câu 34 Cho hàm số y  A 10  B  C 13 D 10 Câu 35 Cho hàm số y  x2 x  có đồ thị  C  Gọi M (0 ; b) điểm thuộc trục Oy mà từ kẻ tiếp tuyến đến  C  Giá trị b b  B  b   A  b  Câu 36 Cho hàm số y  C 1  b  D  b  x 1 có đồ thị  C  Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số a để x 1 có hai tiếp tuyến  C  qua A  a ;  với hệ số góc k1 , k2 thỏa mãn k1  k2  10 k12 k22  Tổng phần tử S A B C 7 D 5 Câu 37 Cho hàm số y  x  3x2  có đồ thị  C  Có điểm có tọa độ ngun thuộc trục hồnh cho từ kẻ đến  C  tiếp tuyến? A B C D Vô số Câu 38 Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  Tìm a để từ điểm A  ; a  kẻ đến  C  hai tiếp x 1 tuyến cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hồnh    a  2 a a    A  B C  3  a   a  a    D 2  a   Câu 39 Cho hàm số y   x3  mx  x  4m có đồ thị (C m ) A điểm cố định có hoành độ âm (C m ) Giá trị m để tiếp tuyến A (C m ) vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ A m  6 Câu 40 Cho hàm số y  B m  C m  3 D m  7 2x  có đồ thị C  Gọi M  x0 ; y0  (với x0  ) điểm thuộc  C  , biết tiếp 2x  tuyến  C  M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho SOIB  8SOIA (trong O gốc tọa độ, I giao điểm hai tiệm cận) Tính giá trị S  x0  y A S  Câu 41 Cho hàm số y  B S  17 C S  23 D S  x1 có đồ thị C  Gọi A  x A ; y A  , B  xB ; y B  x 1 hai điểm thuộc C  cho tiếp tuyến  C  A , B song song với  x A  x B  Tiếp tuyến A cắt đường tiệm cận ngang  C  D , tiếp tuyến B cắt đường tiệm cận đứng  C  C (tham khảo hình vẽ bên dưới) Chu vi tứ giác ABCD đạt giá trị nhỏ B D 12 A 16 C 20 Câu 42 Cho hàm số y  x1 có đồ thị C  Gọi A , B hai điểm thuộc hai x 1 nhánh C  tiếp tuyến  C  A , B cắt đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng C  điểm M , N , P , Q (tham khảo hình vẽ bên dưới) Diện tích tứ giác MNPQ có giá trị nhỏ A 16 B 32 D C Câu 43 Hỏi có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x  mx2  3m tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt? A B C D Vô số x  x  m2 x  m x Có giá trị m để đồ thị hàm số cho tiếp x2  xúc với trục hoành? A B C D Câu 44 Cho hàm số y  Câu 45 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  e x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  ln  x  1 B m  A m  e Câu 46 Số tiếp tuyến chung hai đồ thị  C1  : y  A B Câu 47 Cho hai hàm số y  x ( C1 ) y   x  thị  C1  , C  có hệ số góc dương A y  1 x 16 B y  1 x 16 C m  e D m  1 x4  x   C  : y  x  C D 41 ( C ) Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ 16 C y  1 x 16 D y  1 x 16 Câu 48 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f ( x) điểm có hồnh độ x  1, biết f (1  x)  x  f (1  x) đường thẳng sau đây? A 3x  y   B x  y   C x  y   D 3x  y   Câu 49 Cho hai hàm số y  f  x  y  g  x  có đạo hàm  thỏa mãn f   x   f   x   x g  x   36 x  , x   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  xo  A y  3x Câu 50 Cho hàm số y  B y  x  C y   x  D y  x 2x  có đồ thị  C  Gọi điểm I giao hai đường tiệm cận C  x1 M điểm  C  tiếp tuyến C  M cắt hai tiệm cận A , B Biết chu vi tam giác IAB có giá trị nhỏ a  b với a , b   Hỏi mệnh đề sau đúng? A a  b   B a  b  C a2  b  100 D log a b  Câu 51 Cho hàm số y  x  ( m  1)x  4m có đồ thị  Cm  Tìm tham số m để  Cm  tiếp xúc với đường thẳng  d  : y  hai điểm phân biệt m  A  m  m  B   m  16 m  C   m  13 m  D   m  13 Câu 52 Giá trị m để đường thẳng  : y  m(2  x)  cắt đồ thị (C ) : y  x  3x2  điểm phân biệt A(2 ; 2), B , C cho tích hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C ) B C đạt giá trị nhỏ là: A m  B m  2 C m  D m  1   Câu 53 Cho hàm số y  x  x  e  x có đồ thị  C  Có tiếp tuyến với đồ thị  C  cắt  trục Ox , Oy A , B (với A , B khác O ) cho cos ABO A B 26 D C Câu 54 Biết tồn giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y   x Giá trị m thuộc khoảng cho đây? A    ;   Câu 55 Cho hàm f  x  f  x x B  6 ;  y  f x số có C  ;  đạo hàm liên D  ;    tục  0;    thỏa mãn  x2  3x , x   f  1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hoành độ x  A y  16 x  20 B y  16 x  20 C y  16 x  20 D y  16 x  20 Câu 56 Cho hàm đa thức bậc bốn y  f  x  có đồ thị  C  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Gọi đường thẳng  tiếp tuyến đồ thị  C  điểm có hồnh độ Hỏi  C  có điểm chung? A Câu 57 Cho hàm số y  B C D x3 có đồ thị  C  , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y   x x 1 cho qua M có hai tiếp tuyến  C  với hai tiếp điểm tương ứng A , B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Độ dài đoạn OH 34 A B 10 C 29 D 58 Câu 58 Cho hàm số y   m  1 x   m  1 x  m  có đồ thị  Cm  , biết đồ thị  Cm  qua ba điểm cố định A , B , C thẳng hàng Có số nguyên m thuộc đoạn   10 ;10  để C  có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng chứa ba điểm m A, B, C? A 19 B C 20 D 10 Câu 59 Cho đồ thị C  : y  x  x Có số nguyên b   10;10  để có tiếp tuyến  C  qua điểm B  0; b  ? A B C 17 D 16 Câu Chọn D Với x0  1  y0  2015 Ta có y  x  x   y  1  Tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0  1 có phương trình y   x  1  2015 hay y  x  2023 Câu Chọn D Ta có y  x  – x   x  x  16 x  y  x  16 x  16 nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm là: y  1  Tiếp tuyến điểm M  ;  có phương trình y   x  1  hay y  3x  Câu Chọn B Với x0  2  y0  23 Ta có y  x  x  y  2   40 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0  2 y  40  x    23 hay y  40 x  57 Câu Chọn A Ta có y  x  x Với x0   y( x0 )  y(1)  Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  M  ;  y   x  1  hay y  x  Câu Chọn B Điều kiện x  Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình x1   x   4( x  2)  x  (thỏa mãn) x2 3 Ta có: y   y(3)  3 ( x  2)2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  3( x  3)  hay y  3x  13 Câu Chọn D Điều kiện x  Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình   x    x  (thỏa mãn) x1 Ta có: y  1  y(2)  1 ( x  1)2 Phương trình tiếp tuyến y  1( x  2)  hay y   x  Tiếp tuyến cắt Ox , Oy hai điểm A(3 ; 0); B(0 ; 3) Do diện tích tam giác OAB Câu Chọn B Điều kiện: x  Hoành độ tiếp điểm M nghiệm phương trình ln x  ln  x  1  ln ,  x    x  x   ln x  ln  x  1  ln    x1  x  y  ln x  ln  x  1  y '  1   y '  1  x x1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  Câu 3 x  1  ln hay y  x   ln  2 Chọn C Điều kiện: x  Tung độ tiếp điểm Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình x ln( x  1)   ln( x  1)   x  (do x  ) y '  ln  x  1  x  y '2  x 1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y   x   hay y  x  Câu Chọn A Gọi M  x0 ; y  tọa độ tiếp điểm, y0  15 nên hồnh độ x0 nghiệm phương trình y0  15  x03  x02  x0   15  x03  x02  x0  16   x0  1 Ta có y  x2  12 x  nên y  1  24 Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  24  x  1  15  24 x  Câu 10 Chọn B Gọi M  x0 ; y0  điểm  C  Khi tiếp tuyến  C  M có hệ số góc k  1  1 5 k  y  x0   x02  x0    x02  x0      x0     9 3 3   Do ta có k  151 đạt x0   y0  3 27 Câu 11 Chọn D Gọi M  a , b  giao điểm đồ thị  C  với đường thẳng d Ta có M  C   b  log a3 ,  3  a   M   d   b   a   M  1;  2a Phương trình cần y  y  1  x  1  Lại có y  5 5 Vậy y   y  1  x2 ln ln ln   x  x  3 ln Câu 12 Chọn C Đường thẳng y  ln 4.x  m tiếp tuyến đường cong y  x hệ phương  x  ln 4.x  m trình  x có nghiệm  2.4 ln  ln 2x 2x   ln 4.x  m   ln 4.x  m Ta có  x   m  x0  2.4 ln  ln  Câu 13 Chọn A Ta có : y  3x  x  Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng  : x  y   nên hệ số góc tiếp tuyến k  2 x  , hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình x  x   2   x   Với x   y  3 ta có phương trình tiếp tuyến y  2  x  1   y  2 x  (loại trùng với đường thẳng  ) 121   121 31 Với x   y   ta có phương trình tiếp tuyến y  2  x     y  2 x   27 27 27  Câu 14 Chọn D Ta có: y  3x2  x   3  x  1   4 Dấu "  " xảy x   y  3 Do đó, tiếp tuyến đồ thị có hệ số góc lớn 4 tiếp tuyến điểm M  ;   Phương trình tiếp tuyến y  4  x  1   y  4 x  Câu 15 Chọn D   Ta có y  4ax  2bx  x 2ax  b Đường thẳng x  y  2019  có hệ số góc k   Suy f       a  b    a  b  A  ;   thuộc đồ thị hàm số nên 16 a  b  23  5  a  b  7 8 a  b  a    2a  b   15 Ta có hệ phương trình:   4a  b  7 b   15 Câu 16 Chọn D Cách : Đường thẳng y  m tiếp xúc với đường cong C  : f  x   x  x  35 hệ sau có nghiệm  x  x2  35  m   x  x  35  m      x  x  13  m 4 x  16 x     1 2 x   Từ (2)  x  16 x    x   x  2 Với x  thay vào  1 ta m  35 Với x  thay vào  1 ta m  19 Với x  2 thay vào  1 ta m  19 Vì đường thẳng y  m tiếp xúc với đồ thị C  : f  x   x  x  35 hai điểm phân biệt, tức phương trình   có nghiệm kép Thử lại, ta có m  19 thỏa mãn Khi đó, tung độ tiếp điểm y  19 Cách 2: Dựa vào dạng đồ thị hàm trùng phương ta thấy đường thằng y  m (song song với trục Ox) tiếp xúc với đồ thị hàm số C  : f  x   x  x  35 hai điểm cực tiểu điểm cực đại Do đường thẳng y  m tiếp xúc hai điểm phân biệt nên y  m qua hai điểm cực tiểu x   Ta có f   x   x  16 x    x   x  2 Bảng biến thiên Kết luận: Đường thẳng y  19 tiếp xúc với  C  hai điểm cực tiểu hay tung độ tiếp điểm 19 Câu 17 Chọn B x  ln  x   Điều kiện x  Đường thẳng y   x  có hệ số góc k1  1 , suy hệ số góc tiếp tuyến k2  Xét hàm số f  x   Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình f   x   Ta có f   x    x    x2  x   x  (do điều kiện x  ) x 1 Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán Câu 18 Chọn D   Gọi M a ; e a  e  a tọa độ tiếp điểm Ta có y  e x  e  x Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị  C  điểm M y  a   e a  e  a Áp dụng bất đẳng thức Côsi: e a  e  a  e a e  a  Dấu đẳng thức xảy e a  e  a  a  Vậy tiếp tuyến điểm M  ;  có hệ số góc nhỏ k  Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm y  x Câu 19 Chọn C   Gọi M x0 ; x03  3x02  x0  tọa độ tiếp điểm Ta có: y  3x  x  Phương trình tiếp tuyến với  C  M có dạng: y  (3x02  x0  6)( x  x0 )  x03  3x02  x0  Tiếp tuyến N (0 ;1)   (3x02  x0  6)(  x0 )  x03  3x02  x0  qua  x03  3x02   x0  x0   Với x0  , suy phương trình tiếp tuyến: y  6 x  33 Với x0   , suy phương trình tiếp tuyến: y   x  Câu 20 Chọn A   Gọi M x0 ; x03  x02  tọa độ tiếp điểm Ta có y  x  x   Phương trình tiếp tuyến với  C  M có dạng: y  x02  x0  x  x0   x03  x02    Tiếp tuyến qua A 1;   3x02  x0   x0   x03  3x02    2 x03  x02  x0    x0  Vậy có tiếp tuyến cần tìm Câu 21 Chọn B Ta có y  x2  6x   x  3  x  x0   Gọi M  x0 ;  tọa độ tiếp điểm x0    Phương trình tiếp tuyến với  C  M có dạng: y  x0  x0  x Tiếp tuyến qua A  ;1   x0  x0  x  3   x0    3  x  x0   x0  x  x0  x0  x  x0   x0   x0  Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm    x  17 x  22 x  17   0  Câu 22 Chọn A Ta có y   x0  Gọi M  x0 ;  tọa độ tiếp điểm x0     x  1 2 Phương trình tiếp tuyến với  C  M có dạng: y  Tiếp tuyến qua A  ;1   x  1 2 x  1 2 x0 1  x   x x0 1 x  x   x x    x0  1  x0  1      2 x  x   x    x  x x    0 0    x0       Suy tích hệ số góc cần tìm là: y  y    1 1   2  1 1  Câu 23 Chọn B  x  mx  x  m  1 Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ phương trình:  2  x  mx   Giải 1   x   x   x  m   Với x  , thay vào   ta m  3 Với x  3 , thay vào   ta m  Với x  m , thay vào   ta m  3 Vậy S  3; 3 Khi tổng phần tử S Câu 24 Chọn D Giả sử M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  Ta có y  x  3a suy 3x12  3a  3x22  3a   x12  a  x22  a    Mặt khác, y1  x13  3ax1  b  x13  ax1  2ax1  b  x1 x12  a  2ax1  b   a  1 x1  b Tương tự y2   a  1 x2  b Suy phương trình đường thẳng MN  a  1 x  y  b  b Giả thiết có d  O , MN     2a  1 1   b2  4a  a    2 Vậy a2  b  3a2  4a   3  a     3 3  Giá trị lớn a2  b 2 10 2 a  ,b   3 Câu 25 Chọn B Đặt t  x  x  suy t  (   x   x với x x  x  với x )  Ta có x  x2  x  x   1 suy x  x   1 t Vậy f  t   1 1 với t  hay f  x   với x  t x Có f   x   1  f     suy tiếp tuyến đồ thị hàm số f  x  điểm có hồnh độ x 2 x0    1 đường thẳng  có phương trình: y  f    x    2   1 f    4x  2 Khi  cắt Ox điểm A  ;  cắt Oy điểm B  ;   nên diện tích OAB SOAB  1 OA.OB  4  2 Câu 26 Chọn D Hàm số cho xác định với x  Ta có: y '  4  x  1 Gọi M  x0 ; y0   C  ,  x0  1 tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến  C  : y x 4  1 x  x   x0  2x  4 với y '  x0   y0  x0  x0   x  1  2 Do x0    x0  2 , hay M  2;  , M  2;  3   2 Phương trình tiếp tuyến M  2;  y   x  3 9  Phương trình tiếp tuyến M  2;  y  4 x  14 Vậy có tiếp tuyến thỏa đề y   x  , y  4 x  14 9 Câu 27 Chọn D Ta có: y  x   x   x  x  x  x  y '  x3  12 x  x Gọi M  x0 ; y0   C  tiếp điểm   Phương trình tiếp tuyến  C  M  x0 ; y0  y  x03  12 x02  x0  x  x0   x04  x03  x0 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  parabol  P  : y  x :  x0   x  x  x  x  x ( x  x0  3)    x0   x0   2 2  x0  ta có phương trình tiếp tuyến là: y   x0  ta có phương trình tiếp tuyến là: y   x0  ta có phương trình tiếp tuyến là: y  24 x  63 Câu 28 Chọn B Ta có y  2x   y'  x1  x  1 Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị M  x0 , y0  y  x  1 x  x   x0  x0  Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận ngang y  A  x0  1;  , IA  x0   2x   Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng x  1 B  1;  , IB  x0   x0   36 Theo AI  IB2  40   x0  1   40   x0  1  40  x0  1  36   x0  1   x  1   x0   3  x0  2; x0  4        x  1  x0   1 x0  0; x0  2    Do x0  3 nên x0  4 suy điểm M  4;  Vậy x0 y0  12 Câu 29 Chọn B Ta gọi M  0; a  điểm cần tìm Phương trình đường thẳng d qua M có dạng y  kx  a x 1  x   kx  a (1)  Đường thẳng d tiếp tuyến  H    2 có nghiệm  k (2)    x  1 Thế (2) vào (1) ta có phương trình x1 2  x  a *  x   x  1 Điều kiện x  Ta có  *    a  1 x  2( a  1)x  a    g  x   (**) u cầu tốn dẫn đến phương trình (**) có nghiệm x   a    x  x  ; a         x  0; a  1  a   2       g       x  ; a    x  0; a  1 Vậy có hai điểm thõa mãn M1  0;1 M (0; 1) Câu 30 Chọn A Ta có y '  1  x  1  2a   Gọi M  a;  ,  a  1 tiếp điểm  a 1  Phương trình tiếp tuyến M y  1  a  1 ( x  a)  2a  a 1  2a2  2a   Tiếp tuyến cắt trục Ox A(2a  2a  1; 0) ; cắt trục Oy B  0;  ( a  1)2   Tam giác OAB vuông O  OA2  OB2  AB2 Mặt khác AB  82 OB  OA  OB  82.OB2  OA  9OB (1) Từ (1) ta có a  a    a  2 2a2  2a   ( a  1) a  Với a   ta có phương trình tiếp tuyến y   x  Với a  ta có phương trình tiếp tuyến y   x  Câu 31 Chọn A Điều kiện x    13 25  2 Ta có 16x  2x   2x   16x   2x  2x    4x   2x    4x   x   x   2 x    x  x  16 x2  26x  10  x2  x  y '    x  Lại có x  1 x    x  1 Với x   y  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  M  1;  x1  2 y 3  x  1   y  x  Câu 32 Chọn B 1 ( x  2)2 Ta có y  f   x   Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  x ;y  ( C ) ( x0  ) có dạng y  f   x  x  x   y Do tiếp tuyến cắt hai tia Ox,Oy hai điểm A ,B tam giác O A B cân nên tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x Suy 1 x  2 x  1  So điều kiện ta loại x0  1  x0   Với x0  ta có phương trình tiếp tuyến y  x  Câu 33 Chọn D Ta có y  f   x  2  x  1 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  x ;y  (C ) có dạng y  f   x  x  x   y Ta có f   x0   x 2 đạt giá trị nhỏ  x0  1 đạt giá trị nhỏ mà x0 phải số  1 nguyên dương khác nên x0  thỏa mãn yêu cầu Suy phương trình tiếp tuyến là: y    x     y   x  Câu 34 Chọn D Ta có y  f   x  4  x  1 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  x ;y  (C ) có dạng y  f   x  x  x   y  x0  Đường thẳng  :y  4x  m tiếp tuyến (C) suy f   x0   4    x  2 Với x0  ta có phương trình tiếp tuyến y    x     y   x  Với x   ta có phương trình tiếp tuyến y    x     y   x  13 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu m  ;m   suy tổng giá trị m  10 Câu 35 Chọn D Phương trình đường thẳng d qua M(0; b) có hệ số góc k d : y  kx  b d tiếp tuyến với  C  hệ phương trình sau có nghiệm: x  2x  kx  b  b  3x4  2x2    x  x  k  Xét hàm số: g  x    x  x x   g   x    12 x  x ; g  x     x  Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số y  b đường thẳng song song với trục hoành Qua M(0 ; b) kẻ tiếp tuyến đến  C  phương trình   có nghiệm hay đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số g  x  điểm Dựa vào bảng biến thiên suy yêu cầu toán thỏa mãn  b  Câu 36 Chọn C Đường thẳng d qua A  a ;  với hệ số góc k có phương trình y  k  x  a   d  tiếp xúc với  C  hệ phương trình sau có nghiệm:  x 1 k  x  a    x  x  2  x  a  x 1        2 x  x  a   x 1    x  k       x  1 Có tiếp tuyến  C  qua A suy phương trình   có hai nghiệm phân biệt khác    a    2a   a  *  Hệ số góc tiếp tuyến k1  x 2  1 , k2  x 2  1 với x1 , x2 nghiệm phương trình   Ta có:     x  x 2  x x   x  x    2a  10 1 2   2   k1  k2  2     x  12  x  12     a  12 x x  x  x    2     k1 k2   x1  1 x2  1    x1x2   x1  x2   1   a  1 Từ giả thiết: k1  k  10 k12 k 22   2a  10  10  a  1  a  1 0 a   a   7  a   a  14 a  22 a    Kết hợp với điều kiện  *  ta đươc: a  a  7 7 Vậy tổng phần tử S Câu 37 Chọn B Đường thẳng (d) qua A  a ;   O x , a   có hệ số góc k có phương trình y  k  x  a   d  tiếp tuyến với C  hệ phương trình sau có nghiệm x3  3x2   k  x  a   3x  6x  k I  I     x   x  x   k  x  a    x  x    k   x  2 2x2   3a  1 x  2  x     2x   3a  1 x    *  Hệ  I  có nghiệm phương trình  *  vơ nghiệm có nghiệm kép x2 Trường hợp 1: Phương trình  *  vô nghiệm       a  a  Vì a   nên  a    a  1       a  Trường hợp 2: Phương trình  *  có nghiệm kép x    a   a 2      a  Vậy tồn hai điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn A  ;  A  ;  Câu 38 Chọn C Tập xác định: D   \1 Ta có y  3  x  1  x 2 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  điểm M  x0 ;  có phương trình:  x0    y x  1 x0  1 x  x   x Tiếp tuyến qua A  ; a  nên x 3x0  1  x0  a x0   x0  x0      a  1 x0   a   x0  a    1 3x0   x0   x0  1  a  x0  1 Để từ A  ; a  kẻ đến C  hai tiếp tuyến phương trình 1  có nghiệm phân biệt khác a    a  *     '   a     a  1 a      a      a  1   a    a   Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình    Khi tọa độ tiếp điểm E  x1 ;  x1    x2   ;F x ;  x1    x   Để tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành 2a  2 a2 2 4 a1 a 1 0  0  x1 x   x1  x   a  2  a  2  1 a 1 a 1 x1  x2  0 x1  x2  x1 x   x1  x    Câu 39  9a  a     a    a   Kết hợp với điều kiện  *  suy  3 a   Chọn C Gọi A  x ; y  với x0  điểm cố định cần tìm  y   x 03  mx 02  x  m , m  ( x02  4)m  x 03  x0  y  0, m x02   x  2  x0      A( 2;10) x0  x0  y0   y0  10 Ta có y  3 x  mx   y( 2)  4 m  13 Phương trình tiếp tuyến (Cm ) A(2;10) y  (4m  13)( x  2)  10 hay y  (4m  13)x  8m  16 ( ) Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình d : y  x Vì   d   m  13    m   Câu 40 Chọn A Tập xác định:  \ 1 Tiệm cận đứng: x   d1  , tiệm cận ngang: y   d   I  1;  Ta có y  2  2x  2 Phương trình tiếp tuyến  điểm M  x ; y  có dạng y   2x 2  A    d1  A  1;   x0   ; B    d2  B  x  ;  ; x   Ta có SOIB  8SOIA   2 2x0  2  x  x   2x   IB   2x0  2;0 , IA   ;     x0     OI IA sin OI  OI IB.sin OIB A 2   OI  A  1350 )  x    IB  IA ( OIB x0    x0  1   x0  (do x0  )  y   S  x0  y0    Câu 41 Chọn D Tiệm cận đứng: x   d1  , tiệm cận ngang: y   d  2 Gọi 1 ,  tiếp tuyến  C  A , B Ta có y  1 //   y  xA   y  xB   x 2 A  1  x 2 B  1  x  1 l  x  xB  A  xA  xB   m1  m3 Đặt xA  m với m  Suy A  m ;  , B  m;  m 1   m 1  Tiếp tuyến A 1 : y  2  m  1 Tiếp tuyến B  : y  m1  x  m  m  2  m  1 m  x  m  2  m   m5 D    d2  D  m  ;  ; C    d1  C  1;   m 1     4  Ta có AB  DC    2m ;   A B C D hình bình hành m 1    2  BC   m  1;  Chu vi P hình bình hành A B C D m1   16 P   AB  BC     m  1    m      m  1   6    m  1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm  m  1 P6 Câu 42 Chọn A  m  1  m  1  12 Dấu “  ” xảy   m  1  2  m  1  m 1  m  1 2   m  1 , ta có:  m  1 Tiệm cận đứng: x    d  , tiệm cận ngang: y   d  Ta có y   x  1  a2 a2 Xét điểm A  a  1;    C  , a  Tiếp tuyến A 1 : y   x  a  1  a a a    a4 M    d2  M  a  ;  ; N    d1  N  1;  a    b2 b2 Xét điểm B  b  1;    C  , b  Tiếp tuyến B  : y   x  b  1  b b b    b4 P    d2  P  b  ;  ; Q    d1  Q  1;  b      4  MP  2b  2a ;0 , NQ   ;    a b    Ta có MP  NQ  SMNPQ  a2  b2  2ab 1 1  a  b  MP.NQ  a  b    2 a b ab ab 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a b , ta có: a  b  a b   ab  4ab  SMNPQ   16 Dấu “  ” xảy a   b ab Câu 43 Chọn B    x0 Tập xác định D   ; y  4x  4mx  4x x  m ; y     x  m Đồ thị hàm số cho tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt đồ thị có hai điểm cực trị (trong toán hai cực tiểu) thuộc trục hồnh m  Khi ta có   f  m0  m   m     m 0  m   m   m  2m  3m    Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 44 Chọn D Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành hệ sau có nghiệm  x  x3  m2 x2  m2 x 0  x2   I  x  3x  m x  m x   x  x  m x  m x x  0  x2           x4  x3  m2 x2  m2 x 0  x   Ta có  I    x  x  m x  m x  x  x  m x  m x x   0 2  x2  x2       x  x  m2 x  m2 x  1  2 4 x  3x  m x  m    1  x  x   m2  x  1   x 0;1; m      Khi x  thay vào   suy m  Khi x  thay vào   suy m   m  1 Khi x  m thay vào   suy 2m3  2m2   m  1, m  Khi x  m thay vào   suy 2m3  2m2   m  1, m  Vậy có ba giá trị m Chọn đáp án D Câu 45 Chọn D Đồ thị hàm số y  e x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  ln  x   hệ phương trình sau có nghiệm e x  m  ln  x  1  e x  m  ln  x  1     x x     e  m  ln  x  1   e  x1    1  2  Dễ thấy hàm số y  e x đồng biến  , hàm số y  1 ;    nghịch biến khoảng x1 x  nghiệm phương trình (2) nên phương trình (2) có nghiệm x0 Thay x  vào phương trình (1) ta m  1 Câu 46 Chọn D Gọi phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị y  ax  b , hoành độ tiếp điểm  C1  ,  C2   x14  x12   ax1  b    x1 , x2 Ta có  x1  x1  a  x   ax  b   x2  a Từ   ta có x2   1 2  3  4 a a2 , vào   suy b   x Thế   vào   ta b   Thế     vào  1 ta có  x1  6  5  x13  x1 x14  x1   x1 x1  x1   4   x12       x12  x12   x12  16  x14  x12  16   x1    x14  11x12  24    x1   Thế vào   ta giá trị a a  , a     x1    , a  8 Do hai đồ thị có tiếp tuyến chung Câu 47 Chọn D Gọi d phương trình tiếp tuyến chung C1  ,  C  x0  a hoành độ tiếp điểm d với C1  phương trình d y  f   x0  x  x0   y0  a  x  a   a  ax  a d tiếp xúc với  C   41 2  1   x  16  2ax  a  hệ sau có nghiệm:  x   2a 2   x 41  16 x2 x2 Đặt t   x (ĐK: t  ) 4(5  x ) Thế (2) vào (1) ta có  x2  Ta có phương trình t  t  41 t  t      45 t  80 t  20   t  2 16 t 4t   x2  x  Do điều kiện: t  nên nhận t  Với t  suy  , vào (2) ta có  x  1  y  Do C1  ,  C  có hai tiếp tuyến chung  y    a   a   1 1 x 16 Vậy phương trình tiếp tuyến chung 1 x 16 hai đồ thị C1  ,  C  có hệ số góc dương y  1 x 16 Câu 48 Chọn C Ta có: f (1  x)  x  f (1  x)  f  x  1  f 1  x   x Đạo hàm hai vế f  x  1  f   x   x , ta có f  x  1 f   x  1  f   x  f    x   Cho x  ta f  1 f   1  f  1 f  1   f 1 f   1   f 1    1 Từ f  x  1  f   x   x , cho x  ta có  f  1  f  1  f  1     f  1  1 Nếu f  1  mâu thuẫn với  1 , f  1  1 ,     f   1      f      Phương trình tiếp tuyến y   1 x  1   y   x  hay x  y    7 Câu 49 Chọn D f (2  x)  f (2  3x)  x2 g( x)  36 x  , x    1  f (2)  Vì  1 x   nên với x   f (2)  f (2)     f (2)  Lấy đạo hàm hai vế  1 ta có: 3 f (2  x) f '(2  x)  12 f (2  x) f (2  x)  x.g( x)  x g( x)  36  , x   Cho x   3 f (2) f (2)  12 f (2) f (2)  36    Ta thấy f (2)  không thỏa mãn   nên f (2)  , f (2)  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  xo  y  f    x    f    y  x Câu 50 Chọn A Ta có y  1  x  1 phương trình y  Giả sử M  x0 ; y0    C  ,  x0  1 suy tiếp tuyến  C  điểm M có x Vì lim  x1 1  1 x  x   x0  x0  2x  2x    ,lim   nên đường thẳng x  tiệm cận đứng  C  x1 x  x1 2x   nên đường thẳng y  tiệm cận ngang  C  , suy I  ;  x x  Mà lim  x0  Điểm A  ;  giao điểm tiệm cận đứng tiếp tuyến, điểm B  x0  ;  giao  x0   điểm tiệm cận ngang tiếp tuyến Ta có chu vi tam giác IAB IA  IB  AB  2  x0    x    x0   x0   Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có IA  IB  AB   4.2   x  Đẳng thức xảy x0      x0  Vậy chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ  M  ; 1 M  ;  Suy a  4, b  nên a  b   Câu 51 Chọn D C  Ta có m tiếp xúc với đường thẳng d điểm có hoành độ x0 hệ  x0  ( m  1)x0  m  (1) có nghiệm x0  (2) 4 x0  2( m  1)x0  Từ phương trình (2)  x0  x02  Nếu x0  thay vào (1) ta m  m1 m1  m   ( m  1)2 -Nếu x  thay vào (1) ta   4m    2   m   m2  14 m  13     m  13 Thử lại: Khi m  3  Cm  tiếp xúc với  d  điểm  0;  nên m  không thỏa mãn yêu 4 cầu tốn Khi m  x02   x0  1 , suy  Cm  tiếp xúc với  d  hai điểm 1;  ;  1;  Khi m  13 x02   x0   , suy  Cm  tiếp xúc với  d  hai điểm  Vậy giá trị m cần tìm m  1; m  13 Câu 52 Chọn D Ta có : y   x  3x  ; y  3x  x Phương trình hồnh độ giao điểm  (C ) :  x  ( y  2)  x3  x2   m(2  x)  (1)    x  x   m  (2) Đường thẳng  cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt A(2 ; 2), B , C  (1) có nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm phân biệt khác  4m     m      (*) (2)  (2)   m  m  m   Với điều kiện (*), phương trình (2) có nghiệm phân biệt xB xC  x  x  Theo định lý Viet, ta có:  B C  xB xC   m  Tích hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C ) B C kB kC  f ( xB ) f ( xC )  ( 3xB2  xB )( 3xC2  xC )  9( xB2  xB )( xC2  xC )   xB2 xC2  xB xC ( xB  xC )  xB xC   ( m  2)2  2( m  2)  ( m  1)2  1  9( m  1)2   9 Dấu "=" xảy m  1 (thỏa điều kiện (*)) Vậy m  1 thỏa yêu cầu toán Câu 53 Chọn B  7;3 ,  7;3  Từ 1 26   tan ABO    tan ABO 1  1    25 25 cos ABO cos ABO   hay tan OAB   (do OAB   ABO   90 )  tan ABO   5 Suy hệ số góc tiếp tuyến k   tan OAB Ta có y  x e  x  , x   Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình y   x2 e  x  x  Xét hàm số g  x   x e  x Ta có g( x)  x  x2 e  x ; g  x     x    lim g  x    ; lim g  x   x x Bảng biến thiên: Nhận thấy 4.e 2  nên suy phương trình x2 e  x  có nghiệm Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán Câu 54 Chọn D Đồ thị hàm số y  x  x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y   x hệ phương trình sau có nghiệm   x2  x2  6x  m   x2  x2  6x  m     x     2x    x  x2  x  m    5x     Phương trình (2) tương đương với Xét hàm số y  f  x   f  x    5  x2   x  x2 x  x2  1 2  x   (3)  x  xác định, liên tục khoảng   5;  Thay x  vào phương trình (1) ta m  Câu 55 Chọn B f  x x  x  3x  x f   x   f  x   x  x     x f  x   x3  x  x f  x    x  x dx  x f  x   x  x3  C    , x   ; Suy ra, hàm số y  f  x  đồng biến khoảng ; Lúc đó, phương trình (3) tương đương với f  x   f    x  Ta có f   x     Vì f  1   f  1   C    C  C  Suy x f  x   x  x  f  x   x  x Khi đó: f   x   x  x; f     16; f    12 Do phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  y  16  x    12  y  16 x  20 Câu 56 Chọn B Ta có tiếp tuyến   C  x  y  f   1 x  1  f  1 Dựa vào đồ thị hàm số f   x  , ta có f   1  Vậy  : y  f  1 Gọi a1 , a2 hai nghiệm lại f   x  Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có  : y  f  1 C  có ba điểm chung Câu 57 Chọn D Gọi M  m;1  m   d Gọi  đường thẳng qua M có hệ số góc k , phương trình đường thẳng  : y  k  x  m    m x   x   k  x  m    2m  Để  tiếp tuyến đồ thị C  hệ phương trình  có nghiệm  k    x  1 k Thay mx Qua vào  x  1  2  m x  m   *  M kẻ hai phương tiếp tuyến x3  k  x  m    2m x 1 trình với C  ta phương trình g  x   mx    m  x  m   có hai nghiệm phân biệt x  a  m   m        m   m  m      m    g  1  m   2m  m   Gọi A  x A ; y A  , B  xB ; y B  hai tiếp điểm, với x A , xB hai nghiệm phương trình  *    m  2  x A  xB  m Theo địnhlý Vi-et ta có  x x   m   A B m  m2 m3 Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB I  ;   m m 1    m  xB  x A   Mặt khác AB   xB  xA ;   vectơ pháp tuyến đường thẳng AB   m     n   m;1  m   Phương trình đường thẳng qua hai điểm AB có vectơ pháp tuyến n   2m;1  m  m2 m3 qua điểm I  ;  mx    m  y   m   m m1  Gọi H  xH ; y H  điểm cố định mà đường thẳng AB qua Khi đó, mxH  1  m  y H  m    m  xH  y H  1  y H   với m  m  2 x  y H    x  3 Suy  H  H  H  3; 7  Vậy OH   yH    y H  7  3      2  58 Câu 58 Chọn C Gọi A  x A ; y A  , B  xB ; y B  , C  xC ; yC  Ta có: A điểm cố định mà đồ thị  C m  qua nên A   C m  , m  y A   m  1 x 3A   m  1 x A  m  1, m    m x A3  x A   x A3  x A   y A  0, m  x  x A    x  x    x  x A     A 3A  A  x  xA   y A   y A  x A  x A   x A   y A  x A  A A Tương tự ta chứng minh được: y B  xB  yC  xC  Hay ba điểm A , B , C thuộc đường thẳng  : y  x  Ta lại có: y   m  1 x   m  1 gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Khi để  Cm  có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  phương trình y  xo   phải có nghiệm   m  1 x02  m   *  phải có nghiệm Xét m  1 :  *    (vơ lí) nên loại m  1 Xét m  1 :  *   x02  Để  *  có nghiệm 2m  m  1 2m   m    ;  1  0 ;     m  1 So với điều kiện m   m  10 ;10  ta m   m  10 ;  1   ;10  Hay m  10 ;  ; 8 ; 7 ; 6 ; 5; 4 ; 3; 2 ; ;1; ; ; ; ; ; ; ; ;10 Vậy có 20 số m thỏa yêu cầu toán Câu 59 Chọn C   Gọi M0 x0 ; x03  3x02 tiếp điểm   Tiếp tuyến  (C ) M có dạng y  x02  x0  x  x0   x03  x02    qua B(0; b)  b  3x02  x0   x0   x03  3x02  b  x03  3x02 (*) Có tiếp tuyến  C  qua điểm B  0; b   (*) có nghiệm x0 1  1 k x  Đặt g  x   x  x ; g  x   x  x ; g  x     x  Ta có bảng biến thiên hàm g( x)  b  b   Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình  *  có nghiệm    b  1 b  Vì b nguyên b   10;10  , suy b  9; 8; ; 1; 2; 3; ; 9 , có 17 giá trị b LÍ THUYẾT  Cơ sở phương pháp ghép trục giải toán hàm hợp g  f  u  x   Ta thực theo bước sau đây:  Bước 1: Tìm tập xác định hàm g  f  u  x   Giả sử tập xác định tìm sau: D   a1 ; a2    a3 ; a4     an1 ; an  , a1   ; an    Bước 2: Xét biến thiên hàm u  u  x  hàm y  f  x  Lập bảng biến thiên kép, xét tương quan  x; u  u  x  u; g  f  u   (Bảng biến thiên thường có dịng)  Dịng 1: Xác định điểm đặc biệt hàm u  u  x  , xếp điểm theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giải sử sau: a1  a2   an1  an (xem ý số 1)    Dòng 2: Điền giá trị ui  u   , với i  1, , n     Trên khoảng  ui ; ui1  , với i  1, n  cần bổ sung điểm kì dị b1 , b2 , bk hàm số y  f  x  Trên khoảng  ui ; ui1  , với i  1, n  , xếp điểm ui ; bk theo thứ tự, chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui 1 ui  b1  b2   bk  ui1 (xem ý số 2)  Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm g  f  u  x   dựa vào bảng biến thiên hàm y  f  x  cách hốn đổi u đóng vai trị x ; f  u  đóng vai trị f  x  Sau hoàn thiện bảng biến thiên g  f  u  x   ta thấy hình dạng đồ thị hàm số  Bước 4: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp g  f  u  x   để giải yêu cầu toán đưa kết luận  Một số ý quan trọng sử dụng phương pháp ghép trục để giải toán hàm hợp  CHÚ Ý 1:  Các điểm đặc biệt u  u  x  gồm: điểm biên tập xác định D , điểm cực trị hàm số u  u  x   Nếu xét hàm u  u  x  dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình u  x   ( hoành độ giao điểm hàm số u  u  x  với trục Ox )    Nếu xét hàm u  u x dịng điểm đặc biệt cịn có số ( hồnh độ giao điểm u  u  x  trục Oy )  CHÚ Ý 2:  Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u  u  x   Điểm đặc biệt hàm số y  f  x  gồm: điểm f  x  f   x  không xác định, điểm cực trị hàm số y  f  x   Nếu xét hàm g  f  u  x   dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình f  x      Nếu xét hàm g  f u  x  dịng điểm đặc biệt cịn có số VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau:   5  Số nghiệm thuộc đoạn   ;  hàm số f cos2 x  cosx   2  A 11 B 10 C D 12   Lời giải Chọn B Tiến hành đặt u  cos2 x  cosx Đạo hàm u  2.cos x.sin x  sin x  sin x   cos x  sin x   x  k  x  0;  ; 2 Giải phương trình: u    cos x   x     k  x    ; 5 ; 7  3 3 Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên ta có phương trình f  u   có tất 10 nghiệm phân biệt VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để phương trình f  f  x     nghiệm phân biệt Số phần tử tập S là? A 10 B 32 C m có D 34 Lời giải Chọn D Đặt u  f  x   Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực trị x  x  Sử dụng phương pháp ghép trục:  m  11   2 8  m  26  Từ bảng biến thiên, phương trình có nghiệm phân biệt     m  13  22  m  4  Vậy có 34 giá trị m thỏa mãn VÍ DỤ 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ   Hỏi phương trình f x  3x có điểm cực trị thuộc đoạn 2;  ? B 17 A 10 D 15 C 12 Lời giải Chọn B Đặt u  x  3x  x  3x  x  u  x Giải phương trình đạo hàm u  3   3x 3x  x  3x   3x 3x2  x  3x         xx  01   x   Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, suy hàm số   ;  có 17 điểm cực trị VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Hỏi A 10 giá trị nguyên tham số m để phương    f   3cos x  3m  10 có ba nghiệm phân biệt thuộc   ;   2  có  B D C 15 Lời giải   Phương trình cho tướng tương với f   3cos x  Đặt u    3cos x  u  Giải phương trình đạo hàm u  3sin x  3cos x 3sin x  3cos x 3m  10   x  Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, yêu cầu toán  3m  10  2  m   trình BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ  3  Số nghiệm thuộc khoảng   ;3  phương trình f  sin x   f  sin x      A 13 B 12 C 11 D 10 Câu 2: Cho hàm số y  f  x   ax5  bx  cx  dx  ex  f có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x      là: A Câu 3: B C 10 D Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:   Hỏi phương trình f x   x   có nghiệm thực? A 12 B C D Câu 4: Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Hỏi phương trình f  x  x  3   có nghiệm thực x tương ứng? A Câu 5: B C D Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Biết f    3; f    Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  3x    m  có nhiều nghiệm nhất? A Câu 6: B C D Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn f  1   f   có bảng biến thiên sau: Số nghiệm phương trình f A B    5  cos  x   cos x   cos x  khoảng  0;  là?   C D Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f  cos x     m  f  cos x   m  10  có    nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ;     A B C Câu 8: D Cho f ( x ) hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ Hỏi hàm số y  g ( x )  f  x  x   có điểm cực trị? A Câu 9: B C D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình  vẽ bên Hàm số g  x   f   x A  0;1 B  1;   đồng biến trên: C  1;  D  3; 1 Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình   vẽ bên Hàm số g  x   f 1   x  x nghịch biến trên: A  5;  B  1;  C  2;  D  3;5  BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ  3  Số nghiệm thuộc khoảng   ;3  phương trình f  sin x   f  sin x      A 13 B 12 C 11 D 10 Bài làm: Chọn A f   f  sin x   f Ta giải phương trình: f  sin x   f  sin x        f  sin x   f f  Bảng biến thiên: Kết hợp bảng biến thiên đồ thị tương giao:  sin x    sin x   3  sin x   2  sin x   Ta thấy: Với x   1;1 phương trình ln có nghiệm Với x   0;1 phương trình có nghiệm  3  Vậy số nghiệm phương trình thuộc khoảng   ;3  3.4   13   Câu 2: Cho hàm số y  f  x   ax5  bx  cx  dx  ex  f có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x      là: A Đặt g  x   x    B  x  5 Giải phương trình g   x   C 10 Bài làm:  x  5   g x   x  5  x  5  x  5 D 0 x Ta lập bảng biến thiên hàm số g  x  sau: u cầu tốn trở thành: tìm số nghiệm phân biết phương trình f  g  x     Kẻ đường thẳng y  lên đồ thị sau: Từ bảng biến thiên ta thấy, số nghiệm phương trình thuộc  2;   số nghiệm phương trình thuộc  ; 2 Mà  2;   phương trình có nghiệm nên  ; 2 có nghiệm Vậy phương trình có   nghiệm phân biệt Câu 3: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:   Hỏi phương trình f x   x   có nghiệm thực? A 12 C Lời giải B Chọn C D      f x 1 x 1  Điều kiện xác định: x  Ta có: f x   x      f x   x   1  Đặt u  x   x   u      x  x 1 Sử dụng phương pháp ghép trục:   Từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm phân biệt Câu 4: Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Hỏi phương trình f  x  x  3   có nghiệm thực x tương ứng? A B C Lời giải D Chọn D Đặt x   2t , đưa bảng biến thiên hàm số f   x  bảng biến thiên hàm số f  x  Ta có bảng biến thiên hàm số f  x  sau:  f u   Đặt u  x  x  , phương trình trở thành f  u       f  u   1 Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình có tất nghiệm thực x Câu 5: Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Biết f    3; f    Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  3x    m  có nhiều nghiệm nhất? A B C Lời giải D Chọn D Đưa bảng biến thiên hàm số f  x  cách đặt x   2t  f  x   f   2t  Bảng biến thiên hàm số f  x  sau:  f u   m  Đặt u  x  x  phương trình trở thành f  u   m     f  u   m  Sử dụng phương pháp ghép trục 3  m   Để phương trình có nhiều nghiệm     m   m  3; 4 0  m   Câu 6: Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn f  1   f   có bảng biến thiên sau: Số nghiệm phương trình f A  B   5  cos  x   cos x   cos x  khoảng  0;  là?   C Lời giải D Chọn A   3cos x   2  Ta đặt u  2cos  x   2cos x   2cos x  u '  sin x   2cos  x   2cos x      5   voi x 0;     sin x    x   ; 2 Giải phương trình u   3cos x      vo nghiem   2cos x  cos x     Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm phân biệt Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f  cos x     m  f  cos x   m  10  có    nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ;     A B C Lời giải Chọn B x     Đặt u  cos x  u    sin x    ( với x    ;   )   x   D  f u   2 Khi phương trình cho trở thành f  u     m  f  u   2m  10     f  u   m  Sử dụng phương pháp ghép trục: Do phương trình f  u   có nghiệm nên yêu cầu tốn tương đương với phương trình m f  u   m  có nghiệm 4  m     m    m 1;2;3;4;5;6 Câu 8: Cho f ( x ) hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ Hỏi hàm số y  g ( x )  f  x  x   có điểm cực trị? A B C Lời giải Chọn C Đặt u  x  x   u   x    x  2 Sử dụng phương pháp ghép trục: D Từ bảng biến thiên, suy hàm số có điểm cực trị Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình  vẽ bên Hàm số g  x   f   x A  0;1  đồng biến trên: B 1;  C  1;  D  3; 1 Lời giải   Đặt g  x   f   x  f  u  , u    x , với x   2;  Sử dụng phương pháp ghép trục: Suy hàm số đồng biến khoảng  2;  Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình   vẽ bên Hàm số g  x   f 1   x  x nghịch biến trên: A  5;6  B  1;   Đặt: g  x   f 1   x  x C  2;  D  3;5  Lời giải Sử dụng phương pháp ghép trục:   f u  với u  1   x  x x   2;      Vậy hàm số nghịch biến khoảng 1;3  3;3  Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  , f  2   có bảng biến thiên   Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f x    m có nghiệm thực phân biệt? A B Câu 2: C D Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x   x  1   log m có năm nghiệm phân biệt? A 990 Câu 3: B 991 C 989 D 913  a  b   Cho hàm số y  f  x   x  ax  bx  3, a, b tham số thực thỏa mãn   24   3a  b   Hỏi phương trình f  x  f ''  x    f '  x   có nghiệm? A Câu 4: B C D Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f  x3  x    A 15 B 14 C 12 D 13 Câu 5: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  ,có đồ thị f '  x  hình vẽ Có giá trị nguyên m   10;10  để hàm số  x3   g  x  f    (2m  1)( x  x  2019) đồng biến khoảng  0;    ?   A B C 11 D 10 Câu 6: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên    tham số m để phương trình f x  x   log m có năm nghiệm phân biệt ? A 990 Câu 7: B 991 C 989 D 913 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có bảng biến thiên sau   Số điểm cực đại hàm số g  x   f x  8x   x  A B C D Câu 8:   Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thuộc đoạn 2 ; 3  phương trình  f  sin x  2   A 11 Câu 9: B 15 C Cho hàm sô y  ax  bx3  cx  dx  e  a, b, c, d , e    , biết f 1  D 1 đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x  x đồng biến khoảng A  2;   B  1;1 C 1;2  D  ;  1 Câu 10: Cho hàm số bậc bốn f  x   ax  bx3  cx  dx  e  a, b, c, d , e    , biết f 1   đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x2  x đồng biến khoảng A  2;   B  1;1 C 1;2  D  ; 1 Câu 11: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f   x  x  hình vẽ Hỏi hàm số y  f  x 1  x  đồng biến khoảng nào? A 3;  2 B 1; 2 C 2; 1 D 1;0 Câu 12: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị đường cong trơn (khơng bị gãy khúc), tham khảo hình vẽ bên Gọi hàm số g  x   f  f  x   Hỏi phương trình g '  x   có nghiệm phân biệt? A 14 B 10 C 12 D Câu 13: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f    Đồ thị hàm số y  f '  x  cho hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x có điểm cực tiểu? A Câu 14: Cho hàm số y  f ( x)  B C D 9x   Tìm m để phương trình f  3m  sin x   f (cos x)  có x 3   nghiệm phân biệt thuộc  0;3  Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau:  9  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f  f  cos x      A B C D Câu 16: Cho hàm số y  f  x   ax  bx3  cx  dx  e với a  có đồ thị hình vẽ Phương trình f  f  x    log m (với m tham số thực dương), có tối đa nghiệm? A 18 B C D Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình Có số ngun m để phương trình   f 2x3  6x   2m  có nghiệm phân biện thuộc đoạn  1; 2 ? A B C D Câu 18: Cho hàm số y  f  x  , hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Hàm số  5sin x    5sin x  1 g  x  f   có điểm cực trị khoảng  0;2  ?    A B C D Câu 19: Cho f  x  hàm số bậc bốn thỏa mãn f    Hàm số f   x  có bảng biến thiên sau: Hàm số g  x   f  x3   x có điểm cực trị A B C D Câu 20: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  f  x    x A B C D Câu 21: Cho hàm số f  x  bậc bốn có đồ thị hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số g  x    , biết g   x   x  f x   A B C D 10 Câu 22: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  20; 20 để hàm số g  x   f 1  x   m có điểm cực trị? A 14 B 15 C 16 D 17 Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ   Hàm số g  x   f x  x  có điểm cực đại? A B C D Câu 24: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình bên Số giá trị nguyên tham số m cho phương trình f  2sin x   f  m  có nghiệm phân  3  biệt thuộc đoạn  0;    A B C D Câu 25: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  20;20 để hàm số g  x   f 1  x   m có điểm cực trị A 14 B 13 C 11 D 12   Câu 26: Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x Số điểm cực tiểu hàm số f  sin x  (sin x  cos x )      13    ; là?  6  A B C D Câu 27: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  , f (2)  có bảng biến thiên hình   Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f x2    m có nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu 28: Cho hàm số bậc ba y  f  x  hàm số bậc y  g  x  có đồ thị hình Hàm số h  x   f  x  g  t  dt nghịch biến khoảng đây? A  3; 2  B  2; 1 C  1;1 D 1;3  Câu 1: Đặt u  x    u '  2 x  x  1 x2  với x  1 x  Ta có: u '    x    x  1 Ghép trục ta được:   Để phương trình f x    m có nghiệm thực phân biệt 1  m  Suy m  0;1; 2;3; 4;5;6 Câu 2: Ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  Đặt u  x   x  1   x  3  x  1  x  3 x   x3  u'   x  1   x  3  2  x  3  x  3 Ta có bảng biến thiên hàm số u  u  x  Ghép trục ta được:  4  log m  f  u   log m có nghiệm phân biệt   1  log m  10 4  m  m    m  1;10;11; ;999  10  m  10 Câu 3:  lim f  x     x   f 1  a  b   Ta có   f    9a  3b  24  24   3a  b    lim f x    x    Suy f  x   có nghiệm phân biệt x1   x2   x3 Mặt khác: f  x  f ''  x    f '  x    f  x  f ''  x    f '  x    Xét g  x   f  x  f ''  x    f '  x   2  g '  x   f '  x  f ''  x   f  x  f '''  x   f '  x  f ''  x   f  x  f '''  x   12 f  x   x  x1   ;1  Khi g '  x    12 f  x    f  x     x  x2  1;3  x  x  3;     Bảng biến thiên Do g  x2   f  x2  f ''  x2    f '  x2      f '  x2    nên g  x   có hai nghiệm phân biệt 2 Câu 4:  f  x  x    f  x3  x     Ta có: f  x  x      3  f  x  x    2 f  x  x    Theo đồ thị: f  2   1 f  a     a  3   f  b     b    3 f c    c  6  4 Với 1 x3  x   2  x  x    x  2; x  (2 nghiệm) Với   x  x   a  x3  x   a  (3 nghiệm) Với  3 x3  x   b  x3  x   b  (3 nghiệm) Với   x  x   c (1 nghiệm) Vậy f  x  x    có 2+3+3+1 = nghiệm Với f  x  x    2 có trường hợp f  d   2 với d  2 ; f  e   2 với  e  f  f   2 với f  Với d  2 x3  x   d có nghiệm Với  e  x3  x   e có nghiệm Với f  x3  x   f có nghiệm Trường hợp f  x3  x    2 có 1+3+1 = nghiệm Vậy tổng cộng f  x3  x    có + = 14 nghiệm Câu 5: Chọn C Ta có g '  x   x f  x3   '   (2m  1)(4 x  x)   Hàm số đồng biến  ;    g '  x   0, x   0;     x3   '   (2m  1)(4 x  x)  0, x   ;       x3   3x  2m   f '  , x   0;    8x     x f Với x   x3   x3    f '   2   Đẳng thức xảy x3  3x 3   x  Mặt khác,    x  8( x  ) 16 x  x3    x   3 3x '  (  2)  f '    16 8x2      3 Đẳng thức xảy x  Như vậy: 2m   m 16 Vì m m   10;10  nên m  10; 9; 8;  1; 0 Có 11 giá trị Suy Câu 6: 3x f 8x2  Đặt u  x   x   x  1   x  3 x  1  x    x  3 x  1   x  3 u ' x     2  x  3  x  3   x  3 2x+2   x  3  x  3 u'  x      x  1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình cho có năm nghiệm :  104  m   m   4  log m       log m  10  m  10   m  10,11,12, ,999  Vậy có 991 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 7: Xét hàm số y  x  x   x  Tập xác định hàm số  2 x  8x  4, x   x  Ta có y  x  x   x    1 x  8 x  10,  x  3  x  1 4 x  8, x   x  y'   , 1 x  8 Đặt t  x  x   x  Khi bảng biến thiên hàm số y  f  t  Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số y  f  t  cho có điểm cực đại Câu 8: Đặt t  sin x  2,1  t  Phương trình f  sin x  2   trở thành: t  t1   0;1  PTVN  t  t2  1;2 f t     t  t3   2;3 t  t   3;4   PTVN  BBT: Dựa vào bảng biến thiên ta có: 3 + t  t2 có nghiệm phân biệt x thuộc 2 ;  2  3 + t  t3 có nghiệm phân biệt x thuộc 2 ;  2  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 9: Xét hàm số h  x   f  x   x  x  h  x   f   x   x  h  x    f   x   x  1 Vẽ đường thẳng y  x  Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y  x  cắt đồ thị hàm số  x  1 y  f   x  ba điểm Khi phương trình 1   x    x  h 1  f 1  x  x  Ta có bảng biến thiên hàm số h  x  sau: Khi ta có bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  Câu 10: Xét h  x   f  x   x  x  h ' x  f ' x  2x  h ' x   f '  x  2x    f ' x  x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y  f '  x  đường thẳng y  x  cắt điểm có hồnh độ x  1; x  1; x   x  1 Do phương trình f '  x   x    x   x  Bảng biến thiên Bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  Vậy hàm số g  x   f  x   x2  x đồng biến khoảng 1;  Câu 11: Xét hàm số g  x   f  x 1  x3  Ta có: g ' x  x f ' x 1  x  x  f ' x 1  x    x0 g ' x     f ' x 1  x 1 Xét 1 : Đặt x  t 1  t  1   t  a a  0;1 Khi ta có: f 't  2t   t    t   t  b b  2;3  x  2   x  a 1  a 1  1; 0 1    x 1   x  b 1 b 1  1; 2 Ta có: Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số g  x đồng biến khoảng 2; 1  x  a   2; 1  x0 Câu 12: Ta có f '  x      x  b  1;    x  Từ đồ thị ta có f  a   M , M  f  b   m, m   0;1 Đặt u  f  x  , ta có hàm số g  x   f  u  Số nghiệm phân biệt phương trình g '  x   số cực trị hàm số g  x   f  u  Dựa vào đồ thi hàm số y  f  x  ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g  x   f  u  có 12 cực trị Vậy phương trình g '  x   có 12 nghiệm phân biệt Câu 13: Đặt: h  x   f  x   x  h '  x   f '  x    3  Từ đồ thị hàm y  f '  x  ta có BBT: Số điểm cực trị dương hàm h  x  Do số điểm cực tiểu g  x  là: 2.2   Câu 14: Ta có f ( x)  f (1  x)  9x 91 x 9x    x  x x 1 x x 3 3 3 3 Do   f  3m  sin x   f (cos x)    1  3m  sin x  cos x   3m  sin x  sin x 4 Kết luận: 1 1  3m    m  64 192 Câu 15: Đặt u  cos x , t  f  u  Phương trình trở thành: f (t )  Ta có bảng biến thiên hàm số y  f (t ) Số nghiệm phương trình f  f  cos x    số giao điểm đường thẳng y  đồ thị hàm số y  f (t ) , từ bảng biến thiên  phương trình f (t )  có nghiệm Vậy phương trình f  f  cos x    có nghiệm Câu 16: Đặt t  f  x  Phương trình trở thành: f  t   log m Số nghiệm phương trình f  f  x    log m số giao điểm đường thẳng y  log m đồ thị hàm số y  f (t ) , từ bảng biến thiên  phương trình có tối đa 18 nghiệm Câu 17: Đặt t  2x3  6x  x  Khi t   x2  , t      x  1    m 2 Lại có m    m  Vậy có số nguyên m thoả mãn toán f 2x3  6x   2m  có nghiệm phân biệt   2m    5sin x  Suy g  t   f  t   t  Ta có g   t   f   t   2t   f   t   t Câu 18: Đặt t   t  1    t    t  3  Bảng biến thiên: Suy ra: Câu 19: Đặt t  x  x  t Ta có h  x   f  x3   x  h  t   f  t   3 t Dựa vào bảng biến thiên ta suy ta x a  h  x   f   t   t2 0t a Suy hàm số g ( x )  h  x  có cực trị Câu 20: Xét phương trình f  f  x    x 1 Nhận xét: x   f  x   x   f  f  x    f  x   x  1 khơng có nghiệm x  x  2  f  x   x  2  f  f  x    f  x   x  1 nghiệm x  2 Ta xét bảng biến thiên f  f  x   với 2  x  sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình f  f  x    x có nghiệm  x2  Câu 21: g   x     x   x  (nghiệm kép, loại)  f  x  1   x   1  l  x   a 1   x   a   a     f  x  1      x   b  Vậy g  x  có cực trị   x   b   b  1  x    x2    Câu 22: f  x  có hai cực trị x  0, x   f   x   ax  x    f  x   a x  ax  C f    2, f 1  4  a  3, c  2  f  x   x  x   f 1  x  , x   x  x  4, x  f 1  x     f 1  x     x  x  4, x   f 1  x  , x  Ta có đồ thị f 1  x  sau: Đặt h  x   f 1  x   m Ta có g  x   h  x  g  x  có cực trị  phương trình h  x   có nghiệm đơn  m  Vậy có 17 giá trị m thỏa yêu cầu toán Câu 23: Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y  f  x  có điểm cực trị x  1; x  1; x   x2  x 1, x    x  x  1,  x  Đặt u  x   x  x2 1   ; u ' x    x  x  1,   x    x2  x 1, x  1  Bảng biến thiên ghép trục  x   x    Hàm số g  x   f  u  x   có điểm cực đại điểm cực tiểu Câu 24: Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy hàm số có cực trị x  1; x  Đặt t  sin x  t '  cos x ; t '   x  Ta có bảng ghép trục   k , k   Phương trình  3  f  2sin x   f  m  có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;    3  f  m   f   Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy  m  a   2; 1  3  f  m   f     m  b   0;1 Vì m nên m    m  c  1;  Câu 25: Đặt t   x  f 1  x   f  t  Bảng ghép trục: Phương trình g  x  trở thành g  t   f  t   m YCBT trở thành: f  t   m  có nghiệm phân biệt m Để f  t   m  có nghiệm phân biệt thì:  m  8  m    có 13 giá trị m m   20;20            Câu 26: Ta có: y  f   sin(3 x   )  3sin  x     f  4sin  x    sin  x     3       Vậy hàm số có điểm cực tiểu Câu 27: Đặt u  x    u '    x x2  x2  Ta có bảng biến thiên sau x -1 -∞ +∞ +∞ -1 1 u +∞ -1 -1 -2 -2 +∞ +∞ f(-2)=7 f(-2)=7 f(u) f(0)=-1 f(0)=-1 f(1)=-2 f(-1)=-2 f(-1)=-2 f(-1)=-2 f(1)=-2 Từ bảng biến thiên để phương trình có nghiệm thực phân biệt 1  m  Suy m0,1,2,3, 4,5,6 Câu 28: Đặt g  x   k. x  2 , k   h  x   f  x  f  x  x2  g  t  dt  k   x   0  f  x   k   f  x     f  h '  x   k f '  x   f  x     h '  x      f  x  x1   2;   '  x    x  x2   0;    x    x  x3   2; x1   x  x   x ; 2  Bảng biến thiên x - h'(x) -2 _ x3 x1 + x2 _ + x4 _ - + h(x) Dưạ vào bảng biến thiên suy hàm số h(x) nghịch biến khoảng  3; 2 