Chuyên đề hàm số bùi trần duy tuấn

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna “Nơi có ý chí, nơi có đường.” Tài liệu gần 500 trang bao gồm chủ đề sau: Chủ đề Tính đơn điệu hàm số Chủ đề Cực trị hàm số Chủ đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Chủ đề Đường tiệm cận đồ thị hàm số Chủ đề Đồ thị hàm số Chủ đề Tương giao hai đồ thị Chủ đề Bài toán tiếp tuyến, tiếp xúc đồ thị hàm số Chủ đề Điểm đặc biệt đồ thị hàm số Bố cục chủ đề gồm phần sau: Kiến thức cần nắm Các dạng toán phương pháp giải (kèm theo toán minh họa) Thủ thuật Casio giải nhanh Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết) Tài liệu sưu tầm biên soạn để làm tư liệu cho em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp em ơn lại kiến thức nhanh chóng hiệu Trong tình tổng hợp biên soạn khơng tránh khỏi sai sót đáng tiếc số lượng kiến thức tập nhiều Mong đọc giả thơng cảm đóng góp ý kiến để tài liệu sau chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com Các em xem thêm chun đề luyện thi Đại học mơn Tốn Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam  02.2018 Bùi Trần Duy Tuấn Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Lời nói đầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC CHỦ ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM II CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG BỔ TRỢ III CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Xét tính đơn điệu hàm số y  f ( x) tập xác định Tìm m để hàm số tăng giảm khoảng xác định 14 Tìm m để hàm số tăng hay giảm khoảng  16 Tìm m để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) l 21 Tìm tập nghiệm phương trình 23 Tìm tập nghiệm bất phương trình 28 Giải hệ phương trình 31 B THỦ THUẬT CASIO GIẢI ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 34 I KIẾN THỨC CẦN NẮM 34 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 34 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 43 I ĐỀ BÀI 43 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 52 CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 70 A LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 70 B CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 73 I TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ 73 II TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 82   Hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d a  82 Hàm trùng phương : y  ax  bx  c  a   94 Hàm số dạng y  a  bx  c 103 mx  n C THỦ THUẬT CASIO GIẢI CỰC TRỊ 106 I KIẾN THỨC CẦN NẮM 106 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 106 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 112 I ĐỀ BÀI 112 II ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT 125 Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Mục lục Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna CHỦ ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 148 A LÝ THUYẾT 148 I ĐỊNH NGHĨA 148 II PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN 148 B CÁC DẠNG TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 150 I TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TRỰC TIẾP 150 II TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ 153 III TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN 155 IV TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ, BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 161 V ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 174 Tìm m để phương trình có nghiệm 174 Tìm m để bất phương trình có nghiệm 185 VI BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN 191 C THỦ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN MIN MAX 203 I PHƯƠNG PHÁP 203 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 203 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 211 I ĐỀ BÀI 211 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 223 CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 251 A KIẾN THỨC CƠ BẢN 251 I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 251 II ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG 251 III QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VƠ CỰC 251 B THỦ THUẬT CASIO GIẢI TIỆM CẬN 253 I KIẾN THỨC CẦN NẮM 253 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 253 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 263 I ĐỀ BÀI 263 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 270 CHỦ ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 284 A KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ 284 I SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 284 II CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 284 Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Mục lục Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III MỘT SỐ BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ 286 B MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 292 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 295 I ĐỀ BÀI 295 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 318 CHỦ ĐỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ 328 A KIẾN THỨC CƠ BẢN 328 B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP 329 I SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA 329 Kiến thức trọng tâm 329 Một số toán minh họa 330 II SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 333 Kiến thức trọng tâm 333 Một số toán minh họa 333 ax  b 337 cx  d Kiến thức trọng tâm 337 III SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  Một số toán minh họa 337 C THỦ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 340 I NHẮC LẠI KIẾN THỨC CẦN NẮM 340 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 340 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 347 I ĐỀ BÀI 347 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 360 CHỦ ĐỀ BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 394 A KIẾN THỨC CẦN NẮM 394 B CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 395 I CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP 395 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  M  xo ; y o  395 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  có hệ số góc k cho trước 308 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  biết tiếp tuyến qua điểm A  x A ; y A  401 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số  C1  : y  f  x  C  : y  g  x  403 Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Mục lục Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH VÀ TÍNH CHẤT CẦN BIẾT 404 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 408 I ĐỀ BÀI 408 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 416 CHỦ ĐỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 430 A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 430 I BÀI TỐN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 430 II BÀI TỐN TÌM ĐIỂM CĨ TỌA ĐỘ NGUYÊN 433 III BÀI TỐN TÌM ĐIỂM CĨ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG 435 IV BÀI TỐN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT KHÁC, BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 439 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 444 I ĐỀ BÀI 444 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 453 Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Mục lục Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Chủ đề       https://facebook.com/duytuan.qna TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ  A LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa : Cho hàm số   y  f ( x)  xác định trên K.  o Hàm số   y  f ( x)  đồng biến trên K nếu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )   o Hàm số   y  f ( x)  nghịch biến trên K nếu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )   Định lý :   Cho hàm số  y  f ( x)  xác định trên K.    o Nếu   f '( x)  0,  x  K  thì  hàm số  f ( x)  đồng biến trên K.  o Nếu   f '( x)  0,  x  K  thì  hàm số  f ( x)  nghịch biến trên K.  o Nếu   f '( x)  0,  x  K  thì  hàm số  f ( x)  khơng đổi trên K.  Định lý mở rộng :   Giả sử hàm số  y  f ( x)  có đạo hàm trên K.  o Nếu  f '( x)  0,  x  K   và  f '( x)   chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến  trên K.  o Nếu  f '( x)  0,  x  K   và  f '( x)   chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch   biến trên K.  o Nếu   f '( x)  0, x  K  thì  f ( x)  không đổi trên K.   Chú ý : o Nếu  K  là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số  y  f ( x)  liên  tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số  y  f ( x)  liên tục trên  đoạn   a; b   và có đạo hàm  f   x   0, x  K trên khoảng   a; b   thì hàm số đồng biến  trên đoạn   a; b    o Nếu  f   x   0, x  K ( hoặc  f   x   0, x  K ) và  f   x    chỉ tại một số điểm hữu  hạn của  K  thì hàm số đồng biến trên khoảng  K  (hoặc nghịch biến trên khoảng  K ).  Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG BỔ TRỢ Lập bảng xét dấu biểu thức P( x) Bước Tìm nghiệm của biểu thức  P( x) , hoặc giá trị của x làm biểu thức  P( x) khơng xác  định.   Bước Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.  Bước Sử dụng máy tính tìm dấu của  P( x)  trên từng khoảng của bảng xét dấu.  Một số kiến thức liên quan đến tam thức bậc hai  Cho tam thức g( x)  ax2  bx  c (a  0)   Định lí về dấu của tam thức bậc hai  g( x)  ax  bx  c ( a  0) :  a   g( x)  0, x           a   g( x)  0, x         a     g( x)  0, x         a     g( x)  0, x       So sánh các nghiệm  x1 ,  x2  của tam thức bậc hai  g( x)  ax  bx  c  với số 0:      x1  x2    P    S          0  x1  x2   P    S    x1   x2  P    So sánh các nghiệm  x1 ,  x2  của tam thức bậc hai  g( x)  ax  bx  c  với số a bất kỳ:       x2  x1  a   x1  a   x2  a       x1  x2  a            x1  x2  a   x1  a   x2  a       x1  x2  a       x1  a  x2    x1  a   x2  a   Kiến thức liên quan đến xác định tham số m    f ( x)  h  m , x  ( a; b)  max f ( x)  h  m       f ( x)  h  m , x  ( a; b)  f ( x)  h  m   ( a ;b) ( a ;b ) Đạo hàm số hàm số thường gặp     x x  1     u u  1    e   e x u    e u  ue u    x   x   x        a a x x ln a   Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học 13  sin x   cos x   14  sin u   u.cos u   15  cos x    sin x     sin x u 20  cot u      sin u 19  cot x    21  ln x     x Trang Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  u   2uu      ua 10 au https://facebook.com/duytuan.qna u ln a   16  cos u  u.sin u   u 22  ln u     u         x x 11  log a x     x.ln a 17  tan x     cos x     u       u u 12  log a u   u   u.ln a 18  tan u   u   cos u   Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:  a    b  ax  bx  c  ax  b  ad  bc                                     24 23      cx  d   cx  d   dx  ex  f x2  a    c x  d    e d    f    dx  ex  f   b    c e    f   III CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ  Xét tính đơn điệu hàm số y  f ( x) tập xác định  Phương pháp Bước 1: Tìm tập xác định D.  Bước 2: Tính đạo hàm  y  f ( x)   Bước 3: Tìm nghiệm  f ( x)   hoặc những giá trị  x  làm cho  f ( x)  không xác định.  Bước 4: Xác định dấu của  f ( x)  tại các khoảng giá trị vừa tìm được.  Bước 5: Kết luận MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Bài tốn 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:  y   x  x  x    Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên  D     x  Ta có:  y  3 x  12 x   Cho  y   3 x2  12 x       x  Bảng xét dấu của  y :  x        y       1  0    3    0           Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số nghịch biến trên    ;1  và   3;   , đồng biến  trên    1;      Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài tốn 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:  y   x  x    Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên  D     Ta có:  y  4 x  x   x  4x  x  Cho  y   4 x  x   x(  x  2)        x   x   x   Bảng xét dấu của  y :     x      y        2    0    0    0      2  0               Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số đồng biến trên:  ;   và  0; , hàm số     nghịch biến trên:    2;  và   ;    Bài tốn 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:  y   2x   x7 Lời giải: Ta có:  y   x 2 x     x7 x7 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên:  D   \7   Ta có:  y   2   1.3  17 x  7 x  7 2  0, x  D   \7   Bảng xét dấu của  y :   x  y               7                 Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số luôn nghịch biến trên:   ; 7   và   7;     Bài tốn 4: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:  y  x2  2x    x2 Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên:  D   \2   Ta có:  y  x2  4x  x  2 , x  D   Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 10 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x0   \2    x0   2; 1; 1; 2  x0  4; 3; 1; 0 x    Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ nguyên Câu 13 Chọn A     Gọi A a ; a  5a2  a  , B b ; b  5b  6b  hai điểm  C  đối xứng a  b   10a2    a   qua gốc tọa độ, ta có  3 2 a  b  a  b   a  b      Câu 14 Chọn D Gọi M( x0 ; y0 ) với x0  * , y0  *  x0   *    x0   1; 3  x0  1; 2  2x    *   M1 ( 1; 1), M2 (0; 3), M3 (1; 3) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên dương Câu 15 Chọn C Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0        3x0   4; 2; 1;1; 2; 4  x0   ; 0; ;1; ;  3    3x     Do x0    M1 (0; 2), M (1; 4) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 16 Chọn D Ta có y  x  x , y  x   x1 x2  2 2 Vậy x1 x2  3 Câu 17 Chọn D Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0    1 7    x0   6; 3; 2; 1;1; 2; 3; 6  x0   ;  ;  ; 0; ; ;1;  4  4  4x     Do x0    M1 (0; 6) M (1; 2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 18 Chọn D Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0      x0   9; 3; 1;1; 3; 9  x0  10; 4; 2; 0; 2; 8  y0   x     Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 456 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  M1 ( 10; 0), M2 ( 4; 2), M3 ( 2; 8), M4 (0;10), M5 (2; 4) M6 (8; 2) Vậy đồ thị (C ) có sáu điểm có tọa độ số nguyên Câu 19 Chọn A Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0      x0   5; 1;1; 5  x0  2; 0;1; 3 1  y        2 x0     x0  2  y0   M( 2; 0)  x0   y0   M(1; 3)  x0   y0  2  M(0; 2)  x0   y0   M(3;1) Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ số nguyên Câu 20 Chọn B Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0     10    x0   11; 1;1;11  x0  4;  ; 0;  1 11  3   y0    x         x0  4  y0   M( 4; 2)  x0   y0  2  M(0; 2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 21 Chọn D Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0    5    x0   7; 1;1; 7  x0   ;  ;  ;   4 4  y0   x     Do x0   nên đồ thị (C ) khơng có điểm có tọa độ ngun Câu 22 Chọn A a2  a2 Gọi M  a; 1  a   4   C  ; a  a  , ta có d  a    a2 a2  a2 a  Dấu "  " xảy a    a     a  Kết luận M(4; 3) Câu 23 Chọn B Gọi M  x; y  điểm đồ thị  C  , gọi N điểm đối xứng với M qua I, ta có N   x; 36  y  Vì N thuộc  C  , ta có  36  y    x 3    x 2   x  x      x     x   38  x    y  x  x  Vậy có tất cặp điểm thuộc đồ thị  C  thỏa mãn yêu cầu đề Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 457 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 24 Chọn A Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0      x0   8; 4; 2; 1;1; 2; 4; 8  x0  7; 3; 1; 0; 2; 3; 5; 9  y0   x      M1 ( 7; 2), M ( 3;1), M ( 1; 1), M (0; 5), M (2;11), M (3; 7), M7 (5; 5) M (9; 4) Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu đề Câu 25 Chọn A  a2 Gọi M  a;    C  với a  , a  ; tọa độ giao điểm tiệm cận I  1; 1 , ta có  a 1  2  a2  MI   a  1       a  1  6  a 1   a  1 2 a   Dấu "  " xảy  a  1    Vì M có hồnh độ dương  a    nên chọn a   , suy M   1;  1 nên xM  y M  Câu 26 Chọn A Gọi A( xA ; xA3  3xA  2), B( xB ; xB3  3xB  2) hai điểm (C ) đối xứng qua I (2;18) (1)  x  xB  x I  x  xB    A3 Ta có:  A  xA  3xA   xB  3xB   36 (2)  y A  yB  yI  x   xB  Thay (1) vào (2) ta x3A  3xA   (4  xA )3  3(4  xA )   36   A  x A   xB  Vậy cặp điểm cần tìm A(1; 2) , B(3; 34) Câu 27 Chọn C Gọi A( xA ; xA3  xA2  xA  4), B( xB ; xB3  xB2  xB  4) hai điểm (C ) đối xứng qua gốc tọa độ  x  xB  (1)  x  xB  xO Ta có  A   A3  xA  xA  xA   xB  xB  xB   (2)  y A  yB  yO Thay (1) vào (2) ta  x  1  xB  x 3A  x A2  x A   (  x A )3  4(  x A )2  9(  x A )     A  x A   x A  1 Vậy cặp điểm cần tìm A(1;10) , B( 1; 10) Câu 28 Chọn D     Gọi A a; a3  a , B b; b  b hai điểm (C ) đối xứng qua đường thẳng d : y   x hay d : x  y  Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 458 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  (1)  I  d Ta có:    (với I trung điểm AB ud (2; 1) vecto phương  AB.ud  (2) d) Từ (1) ta có a  a  b3  b ab  2  ( a  b)(2 a  ab  2b2  3)   a  b (3)   3  (vì a  ab  2b    a2  ab  b     a  b   b   0, a , b ) 2     Với AB  b  a; ( b  a)( a  ab  b  2) , từ (2) ta có   2(b  a)  (b  a)( a  ab  b2  1)   (b  a)( a2  ab  b2  1)   a2  ab  b2   (4) (Vì a  b )  a   b  1 Thay (3) vào (4) ta a  a2  a      a  1  b  Vậy cặp điểm cần tìm A  1;  , B  1; 2  Câu 29 Chọn C Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang y  a  a1  a1  1   1  Gọi M  a;   C  , a  Ta có  a2 a2  a2  a  1 Vậy M  5;  , M  1;  Câu 30 Chọn D Đồ thị hàm số (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0  cho y( x0 )   y(  x0 )  tồn x0  cho x03  x02  m   (  x0 )3  3(  x0 )2  m   tồn x0  cho 3x02  m  m  Câu 31 Chọn D  a3 Giao điểm hai tiệm cận I  1;1 , gọi M  a;    C  với a  1 ta có  a1 2  a3  16 MI   a  1       a  1    MI  2  a1  a    Câu 32 Chọn A Phương pháp tự luận  m1  m3 Tiệm cận x  1, y   I  1,1 Gọi M  m,  (C ) , ta tìm tọa độ A  1,  ,  m1  m 1  B  m  1,1 Diện tích S  1 m3 IA.IB   2m    2 m 1 Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 459 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Phương pháp trắc nghiệm ax  b Gọi M điểm tùy ý thuộc  C  Tiếp tuyến M cắt cx  d hai tiệm cận A , B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Khi diện tích tam giác ABI Cho đồ thị hàm số (C ) : y  số Cách tính nhanh: Chọn M  2,  thuộc  C  Viết phương trình tiếp tuyến M d : y  2 x  Khi A  1,5  , B  3,1 IA  4, IB  Tam giác ABI tam giác vuông I Diện tích SABI  IA.IB  Câu 33 Chọn D Theo giả thiết ta có: x7  vơ n  x   3x  3x  x    y  3x y 3x     x   x    x  x    x   3 x  y  3 x   x  Nhắc lại: Điểm M  (C ) : y  f  x  cho khoảng cách từ M tới Ox k lần khoảng cách từ M tới Oy có hồnh độ nghiệm phương trình  f  x   kx f  x   kx    f  x    kx Cách khác: a   a 7  a7 Gọi M  a; 3a   với a  1 Theo đề ta có: a   a1  a1   Câu 34 Chọn C  2a   Gọi M  a;    C  với a  , ta có  a2  d  a2  2a  2  a2  2 a2 a2 Vậy giá trị nhỏ d Câu 35 Chọn B Phương pháp tự luận  11   11  Gọi A  xA ;  xA3  xA2  xA   , B  xB ;  xB3  xB2  xB   hai điểm (C ) đối 3  3  xứng qua trục tung  xB   x A (1)  x A  xB   Ta có   11 11 2  y A  yB   x A  x A  x A    xB  xB  xB  (2)  Thay (1) vào (2) ta được: Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 460 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x  3  x B  11 11  x3A  xA2  3xA    (  xA )3  (  xA )2  3(  xA )    A 3 3  xA   xA  3  16   16  Vậy có hai cặp điểm cần tìm A  3;  , B  3;      Phương pháp trắc nghiệm  x  xB  Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung  A kiểm tra điểm có thuộc đồ  y A  yB thị không Câu 36 Chọn C Gọi M  x M , y M  ,  xM  3  thỏa u cầu tốn Ta có:  15   x M    y M  xM   xM     y  x  y   15 M  M  M Câu 37 Chọn C Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0      x02  x0   2; 1;1; 2    x2  x    x02  x0   2 (vô nghiệm)  x02  x0    x0  1  y0   M( 1; 2)  x02  x0   1 (vô nghiệm)  x   y0   M(0;1)  x02  x0      x0  2  y0   M( 2;1) Vậy có đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 38 Chọn B Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0  x03  3( m  1)x02  3mx0  2, m  x  x0   3( x02  x0 )m  y0  x03  3x02   0, m    y0  x0  3x0    x  1  x     y0   y0  Suy P  1;  , Q(0; 2) P  0;  , Q( 1; 4) nên yP  yQ  Câu 39 Chọn C  2x   Gọi M  x0 ;   (C ) với x0  1 Tiếp tuyến M có phương trình x0    y x0   ( x  x0 ) x0  ( x0  1)2 hay 3x  ( x0  1)2 y  x02  x0   Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 461 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Khoảng cách từ I ( 1; 2) tới tiếp tuyến d 3  2( x0  1)2  x02  x0    x0  1 Theo bất đẳng thức Côsi:   x0   ( x0  1)4   ( x0  1)2 ( x0  1)  ( x0  1)2   , d  Khoảng cách d lớn ( x0  1)  ( x0  1)2   x0  1   x0  1  ( x0  1)    Vậy: M 1  ;  , M 1  ;  Câu 40 Chọn D Đồ thị hàm số (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0  x0  cho y( x0 )   y(  x0 )  tồn x0  x0  cho x02  mx0  5m (  x0 )2  m(  x0 )  5m  x0  (  x0 )   tồn x0  x0  cho (1  2m)x02  5m  m   5m(1  m)     (1  2m).4  5m     m  (1  2m).0  5m    m   Câu 41 Chọn D   Lấy điểm M  m;    C  với m  Ta có y '  m     m2  m  2 Tiếp tuyến M có phương trình d : y   m  2  x  m    m 1   Giao điểm d với tiệm cận đứng A  2;  m    Giao điểm d với tiệm cận ngang B  m  2;      , suy AB  2 Dấu “=” xảy Ta có AB2   m     m       m  2  , nghĩa m  m  1 Câu 42 Chọn C Phương trình đường trung trực đoạn AB y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm phương trình: Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 462 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  1 x  x2  x  x2  x     2x   1 x    1 1   1 1  Hai điểm đồ thị thỏa yêu cầu toán  , , ;   2   2   Câu 43 Chọn C Gọi M  x; y  thuộc  C  , ta có 2  2    1  IM   x  1; y    IM   x  1   x       x  1   x   x 1 x         g( x ) Mà 2 g( x)   x  1   x  1   x  1 2    x  1   x  1  IM   2 Đạt  x  1   x  1 2 22  x     x  1     x    Câu 44 Chọn B Phương pháp tự luận   Gọi M  xM ,   thuộc (C) Và MH, MK khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng xM    tiệm cận ngang Khi MH  xM  MK  MH  MK  x M   Do xM  1   Cauchy  xM   x  2  yM  Suy MH  MK bé  x M  1    M  xM   y M  Phương pháp trắc nghiệm Cho đồ thị hàm số  C  : y  ax  b Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số, tổng cx  d khoảng cách từ M đến tiệm cận có độ dài nhỏ ad - bc c2 Câu 45 Chọn A Gọi A điểm thuộc thuộc nhánh trái đồ thị hàm số, nghĩa xA   với số   , đặt x A    , suy y A   Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học 6  1  1 xA  3     1 Trang 463 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Tương tự gọi B điểm thuộc nhánh phải, nghĩa xB   với số   , đặt xB    , suy y B   6  1  1 xB  3  3  Vậy AB   xB  xA    yB  y A  2 2  6                             g( ;  )      2 2 2  6 6                           36       2   2        Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có  36 g( ;  )   2  2    2     144  4.144  48   4    Vậy AB  48  Dấu đẳng thức xảy vả                144       36    Vậy độ dài AB ngắn Câu 46 Chọn D Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0  x04  mx02  m  2016, m  ( x02  1)m  x04  y0  2016  0, m  x    x   x  1    04   y0  2017  y0  2017  x0  y0  2016   M(1; 2017)   N( 1; 2017) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN  M( 1; 2017)   N(1; 2017) I (0; 2017) Câu 47 Chọn B Điểm M nằm trục Ox : M ( 2; 0)  dM  2   Điểm M nằm trục tung: dM    2  2 3 2  dM  x  y  3 2 Xét điểm M có hoành độ thỏa mãn x  ; y    y  (*) 3 2 Trường hợp:  x  Do (*) cho nên: dM  x  y  3 2 5 Trường hợp:   x  0;   y   dM   x   ; d ' M  1  3 x3  x  3 Xét điểm M có hồnh độ x  Tổng hợp chun đề luyện thi đại học Trang 464 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna x   d 'M    Khi lập bảng biến thiên,ta thấy hàm số nghịch biến với  x     x    ;  Vậy dM  dM (0)    Câu 48 Chọn D  3 Điểm M  0,  nằm trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục d =  2 3 Xét điểm M có hồnh độ lớn  d  x  y  2 Xét điểm M có hồnh độ nhỏ : 3  Với  x   y   d  x  y  2 1  Với   x  0; y   d   x  x    1 ;d'    2 x2 x2 x  2 Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy d  y    Câu 49 Chọn B x  suy  : y  2 x  m Giả sử  cắt (C ) hai điểm phân biệt A , B Khi hồnh độ A , B nghiệm Gọi đường thẳng  vng góc với đường thẳng d : y  phương trình x  x4   2 x  m  2 x  ( m  3)x  2m     x2   h( x )  Điều kiện cần: Để  cắt (C ) hai điểm phân biệt phương trình h( x)  có hai nghiệm phân biệt m   m2  10m  23      khác , tức  (*)  m   h(2)  6  Điều kiện đủ: Gọi I trung điểm AB , ta có:  m3  x A  xB xI    m  3m    xI     I ;   m     y  2x  m y  m I  I  I Để hai điểm A, B đối xứng qua d : x  y   I  d  m3 3m      m  3 (thỏa điều kiện (*)) Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 465 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x  1  y  1 Với m  3 phương trình h( x)   x      x   y  5 Vậy tọa hai điểm cần tìm  1; 5   1; 1 Câu 50 Chọn A Gọi  x , y  điểm cố định họ đồ thị  C m  : y  x  mx  m  , ta có y  x4  mx  m  1, m    x  m  x   y  0, m  x2    x   x  1   ;  x   y  y  y  Vậy họ đồ thị có hai điểm cố định  1;  ,  1;  Câu 51 Chọn B Gọi M( x0 ; y0 ) với x0   , y0    x0      x0   8; 4; 2; 1;1; 2; 4; 8  x0  9; 5; 3; 2; 0;1; 3; 7 1   y0   x0   x        Do x0   nên  x0   y0   M (0;1)  x0   y   (loại)  x0   y   (loại)  x0   y0   M(7;1) Câu 52 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0  điểm cố định cần tìm Ta có: y0   x04  2mx02  2m  1, m  x2    x  ( x0  0)  2m( x02  1)   x04  y0  0, m     A(1; 0) 1  x0  y0   y0  Lại có y  4 x3  4mx  y(1)  4m  Phương trình tiếp tuyến (C m ) điểm A(1; 0) có dạng y  (4 m  4)( x  1) hay y  (4m  4)x   4m ( ) 4 m   16 m    m  Vì  song song với d nên  4  4m  m  Câu 53 Chọn D   Gọi M  x , x    (C ) x    Khoảng cách từ M đến d h  M;d  cho h( M ; d)  3x  y  10  10 3x   x   Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học 1   x  2  x2 x2 10 Trang 466 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  Khi x   : 1  dấu xảy 4( x  2)    x  2   x   x2 x2 4 Vậy h  M;d  đạt giá trị nhỏ 10 Ta có 4( x  2)   Khi x   Ta có 4  x    4  x  2 Dấu xảy  4  x     Vậy h  M;d  đạt giá trị nhỏ 10 1  x  2   x   x2 Câu 54 Chọn C a1  a1 1  a 1  2 Gọi M  a;   C  với a  ta có d  a    a 1 a 1  a 1 Câu 55 Chọn B a   a2 a2 Gọi M  a;   C  với a  ta có a   1  a     a2 a2  a2  a  Vậy M  0; 1 , M  4;  Câu 56 Chọn A  a2  a    a  1 a3  a3 Gọi M  a;      C  với a  ta có a  a 1  a 1  a   a   Vậy M  1; 1 , M  3;  Câu 57 Chọn C  a2 Gọi M  a;    C  với a  ta có  a 1  a a2 1 a1 a    a a3  a  2a   a     1   a 1 a   a     a  2 2 Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu M  2;  ; M  2;  Câu 58 Chọn C Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định họ đồ thị  C m  , ta có y0   m   x03   m   x0  m  7, m    x03  3x0  m  x03  x0   y0  0, m  x3  3x    03 2 x0  x0   y0  Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 467 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Vì hệ có nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có điểm cố định Câu 59 Chọn B Gọi M  x , y  , N   x , y  hai điểm thuộc đồ thị  C m  đối xứng qua trục tung Ta có x   3m  1 x  mx  m    x   3m  1 x  mx  m  x   x  mx    x   m  Vậy m  Câu 60 Chọn B  '  m  72  Ta có y '  x2  2mx  12 Điều kiện    m  Vậy m  S  m  Câu 61 Chọn C  a2  a    a1  a1 Gọi M  a , với , ta có a   a    C     a2  a2  a  3a   Phương trình có nghiệm nên đồ thị có điểm cách hai trục tọa độ Câu 62 Chọn B a  3a   3a   Gọi M  a ,    C  với a  ta có a   a     a      a   a2   Vậy M  1;1 ; N  3;  Câu 63 Chọn C     Gọi A a , a  3a  , B b , b  3b  hai điểm M  –1;  C  đối xứng qua a  b  2 , ta có:  3 a  3a   b  3b   a  b  2  a  b  2 a  a  2     ab  b  2 b   a  b   3ab  a  b    a  b    Câu 64 Chọn D Ta có x   x    x   2  x  1  x x   2  y   1    x  x 1 x 1 x  x      x   1  x  Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán Câu 65 Chọn D a1  a1  Gọi M  a;   C  với a  Ta có d  a   1  a   2  a2 a2  a2 a   Dấu "  " xảy  a       a   Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 468 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna    Vậy hai điểm  3;1   3;1   Câu 66 Chọn D Tâm đối xứng đồ thị giao điểm hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm M  1;  Câu 67 Chọn B  2a   Gọi M  a;    C  với a   a 1  Ta có a    a2  a   a  a  2a    a2  4a    a 1  a  2a   2a  a  Vậy điểm cần tìm là: M  0; 1 , M  4;  Câu 68 Chọn A  a2 Gọi M  a;    C  với a   a2  Ta có a   a2 1  a   a2  4a   a2 a2   5a  20a  16   a   10  5 Vậy có hai điểm cần tìm Câu 69 Chọn A y  ( m  4)x  (6m  24) x  12mx  m  18      x  x  12 x  m  x3  24 x2  18  y  - Tọa độ điểm cố định họ đồ thị  C m  nghiệm hệ:  x  x  12 x    x  x  12 x     4 x  24 x  18  y   y  48 x  10 *  - Để chứng minh họ đồ thị  C m  có ba điểm cố định ta cần chứng minh (*) có ba nghiệm phân biệt hay cần chứng minh đồ thị hàm số f  x   x  x  12 x  có hai giá trị cực trị trái dấu x   2  Hàm số f  x  đạt cực trị Ta có: f '  x   3x  12 x  12; f '  x      x   2 x   2; x   2     Vì f  2 f  2  959   Phương trình (*) ln có ba nghiệm phân biệt Vậy họ đồ thị  Cm  qua ba điểm cố định ba điểm thuộc đường thẳng d : y  48 x  10 Câu 70 Chọn A     - Ta có: y  ( m  1)x  (2 m  1)x  m   x  x  m  x  x   y  Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 469 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna - Tọa độ điểm cố định họ đồ thị  C m  nghiệm hệ:  1 x     1  x  x   x   x  x        y  x    x  1  x  x   y      y  x  Vậy họ đồ thị  C m  qua ba điểm cố định ba điểm thuộc đường thẳng d : y  x  Tổng hợp chuyên đề luyện thi đại học Trang 470