Chuyên đề số phức của Bùi Trần Duy Tuấn

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn hình học số phức trong mặt phẳng phức, biết số phức thỏa mãn điều kiện:.. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm và có bán kính.[r]

MỤC LỤC

A CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

I LÝ THUYẾT

II CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI 14

IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 22

1 ĐỀ BÀI 22

2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 25

B CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 28

I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 28

II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 30

1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC 30

2 ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 31

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 38

IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 44

1 ĐỀ BÀI 44

2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 48

C TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC 53

I LÝ THUYẾT 53

II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH 54

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS 61

IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 64

1 ĐỀ BÀI 64

2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 69

D BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC 75

I PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC 75

II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TỐN MIN-MAX 84

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI 92

2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 96

E DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 101

I LÝ THUYẾT 101

II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH 102

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 105

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC 107

V BÀI TẬP RÈN LUYỆN 109

F TUYỂN TẬP CÁC CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO 111

I ĐỀ BÀI 111

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 118

Tài liệu sưu tầm biên soạn để làm tư liệu cho em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT

Quốc gia tham khảo, giúp em ơn lại kiến thức nhanh chóng hiệu Trong tình tổng hợp biên soạn khơng tránh khỏi sai sót đáng tiếc số lượng kiến thức bài tập nhiều Mong đọc giả thơng cảm đóng góp ý kiến để tài liệu sau tôi chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về:

Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com

Các em xem thêm chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn Website: https://toanhocplus.blogspot.com/

A CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

I LÝ THUYẾT

o Một số phức biểu thức dạng z  a bi với a b,  i2  1

o i gọi đơn vị ảo, ađược gọi phần thực bđược gọi phần ảo số phức z  a bi

Tập hợp số phức kí hiệu  abi a b/ ,  ;i2  1

o Chú ý: - Khi phần ảo b   0 z a số thực

- Khi phần thực a  0 z bi zlà số ảo - Số 0 0 0i vừa số thực, vừa số ảo

o Hai số phức nhau: a bi c di a c  b d

       

 

 với a b c d, , ,  o Hai số phức z1  a bi z;   2   a bi gọi hai số phức đối

Số phức liên hợp z  a bi với a b,  abi kí hiệu z Một số tính chất số phức liên hợp:

a) z z b)z z' z z' c) zz' z z' c) z z 'z z ' d)

' '

z z z z

          

z số thực  z z ; z số ảo   z z Ví dụ:

Số phức liên hợp số phức z  1 2i số phức z  1 2i Số phức liên hợp số phức z  5 3i số phức z  5 3i

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z  a bi với ,

a bđược biểu diễn điểm M a b ; Ví dụ:

   A 1;

  biểu diễn số phức z1  1 2i  B 0; 3 biểu diễn số phức z2 3i

   C 3;1

  biểu diễn số phức z3   3 i  D 1;2 biểu diễn số phức z4  1 2i

1 Định nghĩa

2 Số phức liên hợp

3 Biểu diễn hình học số phức

o Môđun số phức z  a bi a b  ,  z  a2 b2

o Như vậy, môđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức

 

  ,

z  a bi a b đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là:OM  a2b2  zz



o Một số tính chất mơđun:

2

1 2

1 2 1

2

   0; 0;

   ,   ,  

   +  

   ' ' '

             

z z z

z z z z z z

z z z z

z z z z z z z z z z

z z z z

            

       

 

Cho hai số phức z  a bi; z' a' b i'  với a b a b, , ', 'và số k 

o Tổng hai số phức: zz'  a a' (bb i')

o Hiệu hai số phức: z z'  a a' (bb i')

o Số đối số phức z  a bi    z a bi

o Nếu u u, '

 

theo thứ tự biểu diễn số phức z z, ' uu'

 

biểu diễn số phức zz' uu'

 

biểu diễn số phức zz'

o Nhân hai số phức:

      

' ' ' ' ' ' '

z z  abi a b i  a a b b  a b a b i

o Số phức nghịch đảo: z 12z z

 

o Chia hai số phức: Nếu z 0thì z' z z'.2

z  z , nghĩa muốn chia số phức z'cho số phức z 0 ta nhân

cả tử mẫu thương z'

z cho z  Chú ý:

i4k 1;  i4k1 i i;   4k2  1;  i4k3  i  (k)

II CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT

o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm z  a bi a b  , 

o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến môđun, biểu

thức có chứa z z z, , , ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy avà b suy số phức z cần tìm

2 MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính môđun số phứcz:

   

)  

a z   i  i  i )  2 5 

i

b z i i

i

    



Giải:

   

 a) z  24i 2 1i 3i  2 4i2i6i  2 6i  6 6i  Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z  8 6i

Môđun z  8262 10

        

        

 

 

    

2

2

4 5

b)  z 10 i 20 i i

2

8 14 93 94

        18 16

5 5

i i i

i i

i

i

i i

 Phần thực:93

5 ; Phần ảo: 94

5 ; Số phức liên hợp:

93 94

5

z   i

Môđun

2

93 94 17485

5 5

z       

   

Cho số phức z  3 2i Tìm mơđun số phức w ziz12i Giải:

1 2 (3 ) (3 )(1 )

        3

w zi z i i i i i

i i i i

       

       

Vậy w  52 72  74

Bài toán

Gọi M, N hai điểm biểu diễn số phức z z1, 2trên mặt phẳng phức Mệnh đề

sau đúng?

1 2

1 2

        B

C        D

A z z OM ON z z MN

z z OM MN z z OM MN

    

     

  

   

Giải:

M, N hai điểm biểu diễn số phức z z1, 2trên mặt phẳng phức

nên OMbiểu diễn số phức z1,ON biểu diễn số phứcz2 OM ON NM

biểu diễn số phức z1z2

1

z z NM MN

      Chọn B

Cho ba số phức z1,   ,  z2 z3 phân biệt thỏa mãn z1  z2  z3 3

1

1 1

z z  z Biết

1,   ,  2

z z z biểu diễn điểm A B C,   ,   mặt phẳng phức Tính góc

 ACB?

A 60  B 90  C 120  D 150 

Giải:

Gọi M điểm biểu diễn số phức z, N điểm biểu diễn số phức z (z số phức liên hợp z) Khi M N đối xứng qua Ox

Gọi A B',   ',   'C điểm biểu diễn số phức z1,   ,   z2 z3 Từ giả thiết        2  3

2

1

2 2

1

1

1 1 z z z

z z z

z z z z z z (do z1  z2  z3 3)

Suy    

  

' ' ' ' '

OA OB OC OA C B hình bình hành

Mà    

  

' ' ' ' '

OA OB OC OA C B hình thoi với A C B' ' '1200 Vậy ACB 1200 (do ACB A C B' ' ' đối xứng qua Ox) Chọn C

Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 1   1 i 1 i 2 1 i3   1 i20 Giải:

                        21 20 20

21 10 10

10

10 10

1

1 1

1 1 2

2 1

2

i

P i i i

i

i i i i i i

i P i i                                   

Vậy phần thực 210 phần ảo 2101

Tính S 1009 i 2i23i3  2017i2017 Giải: Cách 1:

   

   

       

2 2017

4 2016 2017

2 10 2014 11 2015

504 505 504 504

1 1

1009 2017

1009 2016 2017

2 10 2014 11 2015

1009 4 4

n n n n

S i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i i i

n i n n i n

   

      

                              

1009 509040 509545 508032 508536 2017 1009

i i

i

      

Cách 2:

Đặt f x   1 x x2x3 x2017  f x  1 2x3x2 2017x2016 xf x  x 2x2 3x3  2017x2017  1 Mặt khác:                     2017 2018 2018

2 2017

2

2017 2018

2

2018 1

1

1

1 1

2018 1

      

1

x x x

x

f x x x x x f x

x x

x x x

xf x x

x                        Thay x i vào  1  2 ta được: (1)S 1009;  (1)=(2) , nên:

                    2017 2018

2018 1 2018 2018 2

1009 1009 2017 1009

2

i i i i

S i i i

i i

Cho số phức 11 3

z   i Tính w 1z1z21z3  1z2017 Giải :

Ta có  

2

1

1

1

1 z z z i z           

Bài toán

Do với k, ta có

3

3

3 2 2

1

1

1

k k

k k

k k

z z

z z z z z

z z z z z

 

 

   

         

   

    

Vì từ đến 2017 có: 673 số chia dư 1, 672 số chia dư 2, 672 số chia hết   2 3  2017 672 672  2 673 672 2018 672 3.672 2

1 1

w  z z z z  z z   z   z 

   

672 672 672 671

2 2

2

z z  i i

        

 

Tìm số z cho: z (2i z)  3     (A,Ai 12014) Giải:

Gọi số phức z cần tìm z  a bi a b  ,  Ta có: z (2i z)  3   i

2

(2 )( ) 2

       ( )

3

      

5

a bi i a bi i a bi a bi ai bi i a b a b i i

a b a

z i

a b b

                    

        

          

 

Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: z(2i)  10và z z 25 Giải:

Gọi số phức cần tìm z  a bi a b  ,  Ta có: z z  z2 a2b2 25     (1)

Lại có: z(2i)  10 a2 2 b12 10a2 b24a2b 5 0   2  Thay (1) vào (2) ta được: 254a2b 5 10  b 2a10

Nên a2 b2 25a2  ( 2a10)2 25 40 75

3

a b

a a

a b

             

     

Vậy z 5 z  3 4i

Tìm số thực a b c, , cho hai phương trình

2 0,    16 16 0

az bz  c cz bz  a  i  có nghiệm chung z  1 2i Giải

Bài toán

Bài toán

 2      

1 2

4

a b c

a i b i c a b c a b i

a b

    

               



Tương tự phương trình cz2bz a 16 16 i 0 có nghiệm z  1 2i đó:

     

     

2

1 2 16 16 16 16

3 16

3 16 2

2

c i b i a i c i b bi a i

a b c

a b c b c i

b c                                    

Từ    1 , suy a b c, ,   1; 2;5   Cho z

_

z số phức liên hợp z Biết

 2

z z

 z z 3.Tìm z

Giải :

Gọi  

_

,

z a bi a b  z a bi

Ta có :z z  a bi   a bi   2bi 2 b2   

_ 2

z z  z z  Ta có:

       

2

3

2 2.1 2

z z z z z

z z

z z z z z

     

Mà z3 a3 3a bi2 3a bi   2  bi a3 3ab2 3a b b i2  3

2 2

2 2

3

2

3 3

a b b a b a

z

b b b

                         

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1 2i  z 3 4i z 2i z i



 số ảo

Giải : Đặtz x yi x y  ( , ) Theo ta có :

      2  2  2 2

1 4

x   y i  x  y i  x   y  x   y   y x

Số phức  

         2

2 2

2

1 1

x y i x y y x y i

z i w

x y i

z i x y

      



  

 

  

w số ảo

  

 

2

2

2 12

7

1

23

7

x y y

x x y y y x                                 

Vậy 12 23

7

z    i

Bài toán 11

Cho hai số phức z z1,   2 thỏa mãn z1 0,  z2 0,  z1z2 0  



1 2

1

z z z z Tính giá trị biểu thức 

2

z P

z

Giải:

Từ giả thiết     

 

2

1 2 2

2

1 z z

z z z z z z z z

                    

  

1 1

1 2

2 2

z z 1 2z

z z z z z z

z z z

Đặt 

2

z t

z , ta phương trình tt1 1 2t



   

           

 

2

1

2

2

2

1 2

2

t i

t t t P

t i

Nếu số phức z thỏa mãn z 1 z 1 phần thực

1z bằng? Giải:

Cách 1:

Đặt z a bi a b  ,  Từ z 1a2 b2 1 Ta có:

    2 2

1 1

1 1 1

a bi a bi

z a bi a bi a bi a b

   

  

        

Suy phần thực

1z là:  2

1

a a b



 

Ta có:

 2 2

1 1

2 2

2

1

a a a

a

a a b

a b

  

  

   

 

Cách 2:

Gọi A phần thực 1z

2

1 1 1 2

2

1 1 1 1 . 1 2

z z z z z z

A

z z z z z z z z z z z z z

      

       

         

 

1

a

 

Cho hai số phức z z1,   2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z1z2 1 Tính giá trị biểu thức      

 

 

   

2

1

2

z z

P

z z

Giải: Cách 1:

Ta có         

  

  

     

2 2

1 2

2

2

z z z z

P

z z z z  1 Mà     

1 2

2

2 2 1

z z z z z z

z z z z

z z z z  2

Theo giả thiết: 1 z1z22 z1z2.z1z2z1z2.z1z2

 

 z12  z22 z z1 2 z z2 1 z z1 2 z z2 11  3 Từ  1 ,  2  3 suy P  1

Cách 2: Chuẩn hóa

Chọn z11, cịn z2 chọn cho thỏa mãn z2 1 z1z2 1

Ta chọn sau: Đặt z2  a bi ● z2  1 a2 b2 1

● z1z2  1 z2  1 a 1 bi  1 a12b2 1

Từ giải hệ

  

     



2

1

1

2

2

3

a

z i

b

Thay z1 1 2  1

2

z i vào P bấm máy

Hoặc ta chọn 1  1

2

z i 2  1

2

z i

Cho số phức z có mơđun 2018 w số phức thỏa mãn biểu thức 1 z w  zw Môđun số phức w bằng?

Giải:

Từ giả thiết  

 

2

1 1

0 z w zw

z w

z w z w zw z w zw z w

  

      

  

2

2

2 0 2 0 3

4 4 2

i w z w zw z zw w w z w w z w                       

Từ

2

1 3

2 2

i w i

z w   z  w

                       

          

Lấy môđun hai vế, ta 2018

2

i

z    w  w  w  w 

Cho số phức z w, khác cho zw 2z  w Phần thực số phức u z w

 ?

Giải : Cách : Gọi u a bi a b  , 

Ta có :

 

2 2 2

1

1

4

1

1

z u

a b w

z w z w

z w z w a b

u w

w



   

 

   

 

      

          

 

 2 2

1

4

a a a a

        

Cách 2: Gọi w a bi a b  , 

Chọn  

 

2 2 2

4 * 1

1 1

2

1

a b

z z w w a

a b

   

          

  

 

Thay

a  vào  * 15 1 15

2 1 15 8

2

b u i

i

     



Tính mơđun số phức z biết z  z

z z có phần thực Giải:

Cách 1: Giả sử z  a bi a b,    Ta có

2

1

z z  a b  a bi

     

2 2

2 2

2 2 2 2 2

a b a bi a b a b

i

a b a b a b a b a b a b

    

  

        

Theo giả thiết:

z z có phần thực nên  

2 2

2 2

4

a b a a b a b

 

   

   

2 2

2 2 2 2

2 2

a b a a b a

a b a a b a b a b a

   

   

     

2 2

1 4 1.

8

2 a b a b z

      



Cách 2: Nếu z  a bi z  z 2a Áp dụng:

z z có phần thực 4

1

8

z z  z z 

   

2 2

2

1

8 8

z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z

   

              

   

2

2 1 1

8 8

8

2

z z z z z z

z z

z z z z z z z z

   

         

 

Nhận xét:

Trong tốn tìm thuộc tính số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, K z (tất đềuz ) z tốn giải phương trình bậc (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z z Còn chứa hai loại trở lên (z , z,z ) ta gọi

 

  ,

z  a bi a b Từ sử dụng phép tốn số phức để đưa hai số phức để giải

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI

Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm

w2

o Bấm đơn vị ảo i cách bấm phím b o Tính mơđun số phức bấm qc

o Để bấm số phức liên hợp z bấm q22để Conjg (liên hợp) Sau tốn điển hình cho dạng tính tốn số phức

1 PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA Tính z   1 i (32 ).i

Hướng dẫn: Ta bấm phím sau:

1+bp(3+2b)

Và ta kết là:

Tính z (13 )( 3i  4 ).i

Hướng dẫn: Ta bấm phím tương tự ta thu kết sau:

Tính ( i)1

i z

i

   



Hướng dẫn: Ta nhập biểu thức ( i)1

2

i z

i

   

 vào máy ta thu

được kết quả:

PP CASIO

Bài toán

Bài toán

Cho số phức z  a bi Số phức z2 có phần ảo :

A.a b2 B.2a b2 C.2ab D.ab Hướng dẫn:

 Vì đề cho dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” tốn cách chọn giá trị cho a b, (lưu ý nên chọn giá trị lẻ để tránh xảy trường hợp đặc biệt)

Chọn a 1.25 b2.1 ta có z 1.252.1i  Sử dụng máy tính Casio tính z2

1.25+2.1b)d=

Vậy phần ảo 21

 Xem đáp số có giá trị 21

4 đáp án xác Ta có :

Vậy 21

ab  Đáp án C xác

[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần năm 2017] Cho số phức z  a bi Số phức z1 có phần thực : A.ab B. 2a 2

a b C. 2

b a b



 D.ab

Hướng dẫn:

 Vì đề mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a 1;b1.25  Với z 1

z

 

Sử dụng máy tính Casio

a1R1+1.25b=

Ta thấy phần thực số phức z1 : 16

41 giá trị dương Vì ta chọn b a nên ta thấy đáp số C D sai

Thử đáp số A có 1.25 16 41

a  b   đáp số A sai  Đáp án xác B

[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017]

Cho số phức z 1i 2  1i3  1i22 Phần thực số phức z : A.211 B.2112 C.2112 D 211

Hướng dẫn:

Dãy số cấp số nhân với U1 1i2, số số hạng 21 công bội 1i Thu

gọn z ta :    

 

21

1

1 1

1 1

n i

q

z U i

q i

  

  

  

 Sử dụng máy tính Casio tính z

(1+b)dOa1p(1+b)^21R1 p(1+b)=

Vậy z  20502048i

 Phần ảo số phức z là2050 2112 Đáp số xác C

2 TÍNH MƠĐUN

Tìm mơđun số phức (12 )i z 2i  6

Hướng dẫn:

6

(1 )

1 i

i z i z z

i  

      

 Nên ta thực bấm sau:

qcap6p2bR1p2b=

Ta thu kết quả:

Tìm số phức 2 .z z1 2 Biết

3

2 2(1 )

3 (1 ) , 

1 i1 i

z i i z

i

        



Hướng dẫn: - Tính z1 4 3i (1 i)3và lưu vào biến A:

4p3b+(1pb)^3qJz

- Tính

3

2 2(1 )

2 i1 i

z

i

   

 lưu vào biến B

a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJ x

- Tính 2 .z z1 2:

2q22q22Qz)OQx)=

Bài toán

3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Tìm môđun số phức z thỏa mãn: 13i z 3i 7i2 1        4               

3

A z  B z  C z  D z 

Hướng dẫn: Ta chuyển z dạng:

1

i i

z

i

  

 tìm mơđun

Quy trình bấm máy:

Qca7bp2p3bR1p3b=

Màn hình hiển thị:

>>> Chọn C

Cho số phức z thỏa mãn (3i z)( 1)(2i z)( 3 )i  1 i Tìm môđun số phức

1

i z w

z

 



82 82 82 82

                    

4

A B C D

Hướng dẫn: Ở cho phím X đại diện cho số phức z Đây phương trình bậc số phức

Bước 1: Các em nhập lại phương trình với máy tính sau: (3i)(X 1) (2i)(C onj ( )g X 3 ) (1i  i)

(3pb)(Q)+1)+(2pb)(q2 2Q))+3b)p(1pb)

Màn hình hiển thị:

Bước 2:

Tìm số phức z  a bi nghĩa tìm a b

Ta cho trước a=10000 b=100 từ suy ngược lại mối quan hệ a b hệ phương trình ẩn theo a b, lúc tìm a b

Bài tốn

Màn hình cho kết quả:

Nghĩa là:

(3i z)(  1) (2i z)( 3 ) (1i   i) 5000519894i 5a 5 (2a b 6)i Cho nên:

     (3 )( 1) (2 )( ) (1 )

5 5

1, 8

2 6

i z i z i i

a a

a b z i

a b a b

       

 

     

 

              

 

 

Từ tính mơđun w:

>>> Chọn B

Cho số phức z  a bi thỏa mãn điều kiện 2 3 i z 4i z  1 3 i2 TìmP 2ab A.3 B.1 C.1 D Đáp án khác

Giải:  Phương trình 23i z 4i z 13i2 0

 Nhập vế trái vào máy tính Casio CALC với X 1000100i

) ))

(2p3b)Q +(4+b)q22Q

+(1+3b)dr1000+100b=

Vậy vế trái 63922194i với

6392 6.1000 4.100 8 2194 2.1000 2.100 2

a b a b

       

       

 Để vế trái 0

2

a b a b

    

   

   a 2;b5

Vậy z   2 5iP 2a b 1Đáp số xác C

4 BIỄU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Các điểm M N P, , điểm biểu diễn cho số phức 1 ;

i z

i



 z2 1i12i

;z   1 2i

A Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác Hướng dẫn:

 Rút gọn z1 Casio a4bRbp1=

Ta z1  2 2i điểm M2; 2 

 Rút gọn z2 Casio (1pb)(1+2b)=

Ta z2  3 i điểm N 3;1

Tương tự z2   1 2i điểm P1;2

 Để phát tính chất tam giác MNP ta nên biểu diễn điểm M N P, , hệ trục tọa độ

Dễ thấy tam giác MNP vuông cân P  đáp án C xác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M điểm biểu diễn số phức z  3 4i, điểm M' điểm biểu diễn số phức '

2

i

z   z Tính diện tích OMM' A. ' 25

4 OMM

S  B. ' 25 OMM

S  C. ' 15

4 OMM

S  D. ' 15

2 OMM

S 

Hướng dẫn:

 Điểm M biểu diễn số phức z1  3 4i  tọa độ M3; 4 

Điểm M' biểu diễn số phức '

i

z   z  tọa độ 7;

2

N  

 

a1+bR2$O(3p4b)=

Gốc tọa độ O 0;

 Để tính diện tích tam giác OMM' ta ứng dụng tích có hướng vecto không gian Ta thêm cao độ cho tọa độ điểm O M M, , ' xong

3; 4;0

OM  , ' 7; 1;

2

OM   

 

 1

; '

S OM OM 

       

Tính OM OM; '

 

w8113=p4=0=q51217P2= p1P2=0=Cq53q57q54=

Vậy ; ' 12.5 25 ' ; ' 25

2 OMM

OM OM S OM OM

                

   

IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 ĐỀ BÀI

Câu Cho hai số phức z1  1 ;i z2  2 3i Khi số phức w 3z1z2 z z1 2 có phần ảo bao nhiêu?

A B 10 C 9 D 10 Câu 2.Cho số phức z  3 2i, số phức w 2z3z

A  3 2i B  3 2i C  3 10i D 112i Câu Những số sau vừa số thực vừa số ảo?

A B có C có số D.khơng có số Câu (Đề thử nghiệm 2017)Tìm số phức liên hợp số phức z i i3 1

A z  3 i B z   3 i C z  3 i D z   3 i Câu (Đề thử nghiệm 2017) Tìm mơđun số phức z thỏa mãn z2 i 13i1

A z  34 B z  34 C 34

z  D 34

3

z 

Câu (Đề minh họa 2017) Cho số phức z  3 2i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực 3 phần ảo 2i

B Phần thực 3 phần ảo 2 C Phần thực 3 phần ảo 2i D Phần thực 3 phần ảo

Câu (Đề minh họa 2017)Cho hai số phức z1  1 i z2  2 3i Tính mơđun số phức

1

z z

A.z1z2  13 B.z1z2  C.z1z2 1 D.z1z2 5 Câu (Đề minh họa 2017)Cho số phức z  2 5i Tìm số phức w izz

A.w 7 3i B.w   3 3i C.w 3 7i D.w   7 7i Câu Môđun số phức 1 2 

1

i i

z

i

 





A.z 5 B.z  C.z  D.z 1

Câu 10 Cho số phức z thỏa điều kiện 3i z 1 2 i2  8 17i Khi hiệu phần thực phần ảo z

A.7 B.3 C.3 D.7

Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn 1 2 1 2

i

i z i

i 

   

 Môđun số phức

1 w   z i

A.3 B.5 C.4 D.13

Câu 12 Phần thực số phức 1 2 

2

i i i

z

i i

  

 

 

A.29

13 B.

11

13 C.

29 13

 D. 11 13

Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn 1 2 i z 13i2 5i Khi điểm sau biểu diễn số phức z?

A.M2; 3  B.M 2;3 C.M2;3 D.M 2; 3 Câu 14 Số phức z thỏa mãn

 2

25 1

1 i 2

z    i Khi phần ảo số phức z bao nhiêu?

A.31 B.17 C.31 D.17

Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn z13i17i Khi mơđun số phức w 6z25i

A. 29 B.13 C.2 D.5

Câu 16 Cho số phức z thỏa mãn 1 2  1 2 

1

i i i i

z

i i

   

 

  Trong kết luận sau, kết luận đúng?

A.z z B.z số ảo C.| | 4z  D.z z



Câu 17 Cho hai số phức z1  3 ,i z2  2 i Giá trị biểu thức |z1z z1 2 |là A. 130 B.10 C.2 30 D.3 10 Câu 18 Cho hai số phức z1  2 ,i z2  2 i Giá trị biểu thức

1

z z

z



A. B.5 C.13 D. 11

Câu 19 Cho số phức    

2

4 3

1

i i

z

i i

    

  Môđun số phức w z iz 1

A.w  85 B.w 4 C.w 6 D.w  56 Câu 20 Cho z số phức Xét mệnh đề sau :

(I) Nếu z z z số thực

(II) Môđun z độ dài đoạn OM với O gốc tọa độ M điểm biểu diễn số phức z

(III) z  z z

Trong mệnh đề có mệnh đề đúng?

A.0 B.1 C.2 D.3

Câu 21 Cho số phức z m1  m2i với mR.Tìm tất giá trị mđể z 5là A 1m0 B 0mhoặcm 1

C. 1 m0 D m1hoặcm 0

Câu 22 Cho Số phứcz  a bivới a b, R.Trong mệnh đề sau,mệnh đề A z  z 2bi B z z 2a C z z a2b2 D.z2  z2 Câu 23 Cho số phức z 2i Lựa chọn phương án

A

z 

C 13

i

z z

z



   D z6 64

Câu 24 Trong kết luận sau kết luận sai? A.Môđun số phứczlà số thực dương B.Môđun số phứczlà số thực

C Môđun số phứczlà số thực không âm D Môđun số phứczlà số phức

Câu 25 Số phức

2016 2018

1

1

i i

z

i i

             

 

A.1i B.0 C.2 D.2

Câu 26 Cho P   1 i i2 i2017, khẳng định sau

A.P 0 B.P 1 C.P  1 i D.P 2i

Câu 27 Đẳng thức đẳng thức sau ?

A.1i2018 21009i B.1i2018  21009i C.1i2018  21009 D.1i2018 21009 Câu 28 Số phức

2017

4 2

i i z

i

  

 có tổng phần thực phần ảo

A.1 B.2 C.3 D.4

Câu 29 Số phức  

2017 1008

1

i z

i 

 có phần thực phần ảo đơn vị ?

A.0 B.1 C.2 D.21008

Câu 30 Phần thực số phức z  1 1 i 1i21i3 1i2017 A.22016 B.21008 C.21008 1 D.21008 Câu 31 Cho A  1 i2 i4   i4k2 i4k với k* Hỏi đâu phương án

A.A2ki B.A2k C.A0 D.A1 Câu 32 Với số phức z, ta có z 12

A.z  z B.z22z 1

2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

1B 2C 3B 4D 5A 6D 7A 8B

9D 10A 11B 12A 13B 14D 15A 16D

17A 18B 19A 20D 21C 22D 23C 24B

25C 26A 27D 28B 29C 30D 31D 32D

Câu

Cách 1:Ta có w 3 1 2i23i12i23i 3 6i 2 3i   8 i 10i Suy wcó phần ảo 10

Cách : Sử dụng Casio (Để máy chế độ Mode _CMPLX)

Nhập vào máy3 1 2i23i12i23i  Casio 10i

Chọn B. Câu

Cách :Ta có w 2 3 2i3 3 2i 6 4i 9 6i  3 10i Cách : Sử dụng Casio (Để máy chế độ Mode _CMPLX)

Nhập vào máy2 3 2i3 3 2i   Casio 10i

Chọn C. Câu Gọi z  a bi số phức thỏa yêu cầu tốn a b,  Ta có z số thực b0 ; z số ảo a 0  z Chọn B Câu Ta có z i i3 13i2        i i z i Chọn D. Câu

Cách 1: 2  13 1 13 1 132 22  32 52 34

2

i i i

z i i z i z

i

  

           

 

Cách : Sử dụng Casio, Ta có 13 34

Casio i

z

i 

  

 Chọn A.

Câu Ta có z  3 2i   z 2i, suy phần thực phần ảo Chọn D. Câu Ta có z1 z2  3 2i  z1 z2  32 22  13 Chọn A.

Câu Ta có w i25i 2 5i 2i  5 5i   3 3i Chọn B. Câu

Cách 1:Ta có      

2

2

1 3 3 4

1

1 3 5 5

i i i i i

z i z

i i

                        

  

Cách 2: Dùng Casio, 1 2  1

Casio

i i i

 

 

 Chọn D.

Câu 10 Ta có  

2

8 17 cais

2

3

i i io

z i

i

  

 

Câu 11 2(1 ) : 2  w 42 32

1 i

z i i i z i i z

i

  

 

                



 

Chọn B Câu 12 (1 )(2 ) 29 11

2 13 13

i i i

z i

i i

  

   

  Chọn A.

Câu 13 Ta có z 5i 1 3i 2: 2 i 2 3i N 2; Chọn B. Câu 14 Ta có

 2

1

25 : 31 17

1 2

z i z

i i

      

        

    

có phần ảo 17 Chọn D.

Câu 15 Ta có 1 2  1 2  2

1

i i i i

z z

i i

   

      

  Chọn A.

Câu 16 Ta có

171  w 25 2  25 12 w 122 52 13

i

z i z i i i i

i



              



Chọn D Câu 17 Ta có |z1z1 2z | 32i32i2i  130. Chọn A.

Câu 18 Ta có

1

z

| |

2

i

z i

i z

     

 Chọn B.

Câu 19 Ta có    

2

4 3

2 4

1

i i

z i z i

i i

  

        

   

w  z iz 1 24i i 24i  1 76i  4936  85 Chọn A. Câu 20 Gọi z  a bi với a b, R

1.z z a a b z a

b b

  

       

 ĐÚNG

2.z  a bi OM  a2b2  z ĐÚNG

3.z  z z  abi a bi a2b2  z ĐÚNG Chọn D

Câu 21 Ta cóz  5 m1 2 m22  5 m2m   0 m0. Chọn C. Câu 22 Ta có

 

   2

2

z z a bi a bi a z z a bi a bi bi z z a bi a bi a b

     

     

    

Nên A B C, , sai Nên Chọn D.

Câu 23 Ta có  2 13

2 2

i i i i i i

i

        Chọn C.

Câu 25

Ta có        

2016 2018

1008 1009

2016 2018 2 2

1 1 1 0

1

i i

A i i i i

i i

     

   

           

 

    Chọn C.

Câu 26

Cách 1: P  1 i i2 i3 i2017

2 2018

iP   i i i  i

 2 1009 2018

2018 1

1

1 1

i i

P iP i P i

i i i

 

           

Cách 2:Do P la tổng cấp số nhân2018Phần tử

2018

1

1

1

i

z i i

i



   

 Chọn A.

Câu 27 Ta có          

1009 504

2018 1009 1009 2 1009

1i  1i   2i 2 i i 2 i

  Chọn D.

Câu 28 Ta có  

2017 504

2017 . 4 1 2

2

i i i i

i i i i z i

i i

   

      

  Chọn B.

Câu 29 Ta có          

1008

2017 1008 1008

1i  1i 1 i   2i 2 1i

 

 2017 1008 

1008 1008

1 1

1

2

i i i

z i

i

i i

  

     Vậy phần thực phần ảo 2. Chọn C.

Câu 30 Ta có          

 

2017

2 2016 1

1 1

1

i

z i i i i

i  

          

 

 2017    2 1008  1008 1008 

1i  1i 1 i   2i 2 1i

 

 

 

2017

1008 1008 1008

1 1

2 2

1 i i z i i i          

  Phần thực

1008

2

 Chọn D.

Câu 31 Do A tổng cấp số nhân (gồm 2k1số hạng) với u1 1;q i2

Suy    

 

2

2

2 4

2

1 1

1 1

1 1

k k

k k i

A i i i i

i

 

   

        

   Chọn D.

Câu 32 Gọi z  a bi a b; ,    z a bi

2

2

z z a b z z a

           

2 2 2 2 2

1 1

B CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 1 LÝ THUYẾT

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w gọi thức bậc củaw Mỗi số phức w0 có hai bậc hai hai số phức đối z z  – 

o Trường hợp w số thực (w a )

+ Khi a 0thì w có hai bậc hai a  a

+ Khi a 0 nên a  ( a i)2, w có hai bậc hai a i  a i Ví dụ: Hai bậc 1 i –i

Hai bậc a2 (a 0) ai ,ai

o Trường hợp w  a bi a b  ( , ;b 0) Cách 1:

Gọi z  x yi x y  ( , )là bậc w z2 w, tức là:

2 2

    ( )

;

x yi a bi x y a

x y

xy b

      

    



Mỗi cặp số thực x y;  nghiệm hệ phương trình cho bậc hai z  x yi số phức w  a bi

Cách 2:

Có thể biến đổi w thành bình phương tổng, nghĩa wz2 Từ kết luận bậc hai w z -z

2 MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Tìm bậc  5 12i

Giải:

o Cách 1:

Tìm bậc  5 12i, tức tìm số phức x yi   ( ,x y ) cho

2

(x yi) = 5 12i nên ta cần giải hệ phương trình

2 5

     2 12

x y xy

    

  

Nội dung lý thuyết

            

  

  

  

  

            

4 2

2

36 5 36 0 4

5

6

6                  

x x x

x x

y y

y x x

x

Hệ có nghiệm: (2;3) ( 2; 3) 

Vậy có bậc hai  5 12i 23ivà 2 3i

o Cách 2:

Ta có:  5 12i  4 2.2.3i  9 2.2.3i 3i (23 ) i

Từ dễ dàng suy hai bậc hai  5 12i 23ivà  2 3i

Tìm bậc hai số phức sau:w  4 5i Giải:

o Cách 1:

Gọi z  x yi x y ,  bậc hai Khi ta có: 

2

2

4

2

x y

x yi i

xy    

    

 

Giải hệ phương trình tìm nghiệm:

3

3 x

y x y     

   

    

Vậy số phức cho có hai bậc hai là: z1  3 i 5;  z2   3 i

o Cách 2:

Ta có:  

2

2

4 2.3 5 (3 )

w   i   i i   i

Suy 3i 5là bậc w  4 5i Nên  3 i bậc củaw  4 5i Vậy số phức cho có hai bậc hai là: z1  3 i 5;z2   3 i

II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Cho phương trình bậc 2: Az2BzC 0 (1) A B C, , số phứcA 0 Xét biệt thức  B24AC

o Nếu  0thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt: 1 ;         2

2

B B

z z

A A

 

     

Trong là bậc 

o Nếu  0thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2    

B z z

A

  

CHÚ Ý:

o Mọi phương trình bậc n: A z0 n A z1 n1 A zn1 An 0 ln có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt)

o Hệ thức Vi-ét phương trình bậc số phức hệ số thực:

Cho phương trình bậc :Az2 BzC 0  ( , ,A B C ;A0)có nghiệm phân biệt (thực phức) Ta có:

1      

B S z z

A C P z z

A

      



   

MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Giải phương trình bậc hai sau: z22z  3 Giải:

Biệt thức  224.1.3  8 8i2 Phương trình có nghiệm phân biệt là:

1

2 4

1 ;        

2

i i

z      i z       i

Giải phương trình bậc hai sau: z2 2z 4i 2 Giải:

Biệt thức:  224.1.(4 i 2)  4 16i 8 1216i 162.4.2i4i2 (42 )i Chọn  4 i Phương trình có hai nghiệm :

2 2

1 i;   

B i B i

z         z         i

Phương pháp giải

Bài toán

2 ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 Bước 1:

Để đưa phương trình thành nhân tử ta phải nhẩm nghiệm phương trình Có cách nhẩm nghiệm sau:

o Tổng hệ số phương trình nghiệm phương trình x 1

o Tổng hệ số bậc chẳn tổng hệ số bậc lẻ nghiệm phương trình x  1

o Định lý Bézout:

Phần dư phép chia đa thức f x  cho xa giá trị đa thức f x( ) x a Tức f x   xa g x  f a 

Hệ quả: Nếu f a  0 f x   xa Nếu f x    xa f a 0

o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm: - Nhập phương trình vào máy tính

- Bấm phím r nhập giá trị X bất kỳ, máy tính cho nghiệm phương trình Sau dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử

o Sơ đồ Hoocne:

Với đa thức f(x) = a xn n a xn-1 n-1a xn-2 n-2  a x1 a0 chia cho x - a thương g(x) = b xn-1 n-1 b xn-2 n-2b xn-3 n-3  b x1 b0dư r

Nếu r 0 f x g x    , nghĩa là: f x   xa g x   Ta tìm hệ số bn-1,bn-2,bn-3 ,b b1 0bằng bảng sau

n

a an-1 an-2 a2 a1 a0

a

1

    n

n b a





2

1 -1

    n

n n

b

ab a

 

 

3

2 -2

    n

n n

b

ab a

 

 

1 2

   b ab a

 

0 1

   b ab a

  0

   r ab a

 

 Bước 2: Giải phương trình bậc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Giải phương trình: z3270 Giải:

  

3

2,3

1

– 27 – 3 3

2

z

z z z z i

z

 



        

 

Vậy p/t cho có nghiệm

a) Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Giải phương trình sau: z33 1 2i z    8i z  5 2i0 Giải:

Nhẩm nghiệm: Ta thấy tổng hệ số phương trình nên phương trình có nghiệm 1

z Khi đó:

       

3 3 1 2 3 8 5 2 0 1 2 1 3 2 5 0

       1        v  

z i z i z i z z i z i

z v z i z i

 

                    

Vậy nghiệm phương trình cho : z 1 ; z i  ; z  2 i

Cho phương trình sau: z3 2 – 2i z 25 – 4i z – 10i0 1  biết phương trình có nghiệm ảo

Giải: Đặt z yi với y Phương trình (1) trở thành:

  iy  2i 2  yi  4 i yi – 10i 0  iy3 – 2y2 2iy2 5iy 4 – 10y i 0  0 i Đồng hoá hai vế ta được:

2

3

2

2 10

y y

y y y

   

 

    

 

Giải hệ ta nghiệm y 2 Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i

 vế trái (1) phân tích dạng:

      

3 2 – 2 5 – 4 – 10 – 2   ( , )

z  i z  i z i  z i z az b a b đồng hoá hai vế ta giải a 2 b 5

    

2

2

1 – 2

2

1

z i z i

z i z z z i

z z

z i

  



 



        

  

    

 



 

Vậy phương trình (1) có nghiệm

Giải z33i z 22i z 162i 0 biết phương trình có nghiệm thực Giải :

Gọi nghiệm thực z0 ta có:

   

3

0 0

3

2

0 0

0

3 16

3 16 2

2 o

z z z

z i z i z i z

z z

     

              

Bài toán

Bài toán

Khi ta có phương trình z2z25i z   8 i

Tìm nghiệm phương trình z  2 ;z 2i ;z 3 2 i

Giải phương trình z323i z 23 1 2i z 9i 0 biết phương trình có nghiệm ảo

Giải: Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi b,     Thay vào phương trình ta được:

       

 

3

2

2

3

    3

2

2 3 3

3

bi i bi i bi i

b b

b b b b b i b z i

b b b

     

   

                   

2

Phương trình phân tích thành z3i z 22z 30 Các nghiệm phương trình z  3i ; z  1 2i

Gọi z z z z1; ; ;2 3 4 nghiệm phức phương trình z4 4m z 4m 0  (1) Tìm tất giá trị m để z1  z2  z3  z4 6

Giải:

       

        

   

1,2

4 2

3,4

2

4 4 z i

z m z m z z m

z m Nếu m0 (1) có nghiệm

   

   

1,2 3,4

2

z i

z m Khi           

  

1

6

1

z z z z m

m

m

Nếu m0 (1) có nghiệm      

1;2 3;4

2

z i

z i m

Khi         

  

1

6

1

z z z z m

m

m Kết hợp lại m  1 thỏa mãn toán

Cho phương trình 4z4 mz2 40 tập số phức m tham số thực Gọi

1, , ,2

z z z z nghiệm phương trình cho Tìm tất giá trị m để

    

1 4 4 324

z  z  z  z  

Giải:

Bài toán

Bài toán

Cách 1:

Đặt t z2, phương trình trở thành: 4t2 mt 40 có nghiệm t t1,

Ta có: 2

4

m t t

t t



   



 



Do vai trị bình đẳng, giả sử ta có: z12 z22 t z1, 32 z42 t2

Yêu cầu toán t14 2 t2 42 324  t t1 2 4t1t2162 324

 

 172 182 17 18 1.

17 18 35

m m

m

m m

      



      

    

 

 Cách 2:

Đặt f z  4z z1z z2z z3z z4

Do z12 4 z1 2i z 12i nên  12 4 22 4 32 4 42 4   2    * 

4

f i f i

z  z  z  z   

Mà f 2i  f2i 2 i m i 2 4 68  m

Vậy    

2

68

* 324

35 4.4

m m

m

   

   

Cho pt bậc 4: Ax4Bx3 Cx2DxE 0 với A B C D E, , , , ;A0

Tìm nghiệm phương trình Biết phương trình có nghiệm phức z1  a bi * Lưu ý:

Nếu phương trình có nghiệm z2  a bi có nghiệm z  a bi.Khi

2 2

1 2

z z x  axa b nên Ax4Bx3Cx2Dx E (x22ax a2 b g x2) ( ) Dùng phép chia đa thức cho đa thức học lớp để tìm g x( )

Tiếp tục giải phương trình bậc hai : g x( )0để tìm nghiệm cịn lại phương trình BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Tìm phương trình bậc 4: z42z3z22z 100 Tìm nghiệm phương trình Biết phương trình có nghiệm phức z   2 i

Hướng dẫn :

Phương trình có nghiệm z1   2 i có nghiệm z2   2 i.Khi z z1, 2 nghiệm phương trình: zz1zz2z2 4z5

Nên (z4 2z3z22z10)z2 4z5g z 

Dùng phép chia đa thức cho đa thức học lớp tìm g z z22z2 Phương trình z22z  2 có nghiệm 1i;   1i

Vậy phương trình có nghiệm :  2 i  ; 2 i;   1i;   1i

b) Phương pháp tìm nghiệm phương trình bậc hệ số thực

o Bước 1: Phân tích phương trình thành đại lượng giống

o Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện (nếu có)

o Bước 3: Đưa phương trình ban đầu phương trình bậc bậc theo ẩn

o Bước 4: Giải kết luận nghiệm

MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Giải phương trình sau: (z2z)2 4(z2 z) 12 0 Giải: Đặt tz2 z, phương trình cho có dạng:

2

2

6

 4

2

– 12

0

t z z

t t t

z z



       

    

   

   

1 23 23

2

i z

i z

z z

     

     



 

   

Vậy p/t cho có n0

Giải phương trình sau tập số phức: z2  3  z 62 2z z 2 3  z 6   –  3 z2  0 Giải:

Đặt tz2 3z6 phương trình cho có dang:

+ Với t  z z23z6 –z 0  z22z  6 0         

1

1

z i

z i

+ Với                

    

2 3

3 6

3

z

t z z z z z z

z

Vậy phương trình cho có nghiệm

Giải phương trình (z2z z)( 3)(z 2)10 Giải:

PTz z( 2)(z1)(z3)10(z2 2 )(z z2 2z3)0 Đặt tz22z Khi phương trình (8) trở thành:

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài toán

Bài toán

10

5

z i

t t t

t z



       

       

   

 

Vậy phương trình có nghiệm: z   1 6;z   1 i

Giải phương trình sau tập số phức

2

4 1 0

2

z

z z    z Giải:

Nhận xét: z 0 không nghiệm phương trình (1) vậyz 0 Chia hai vế PT (1) cho z2ta được: ( 12) ( 1)

2

z z

z z

     (2)

Đặtt  z

z Khi

2 2

1

t z z

   2

1

2

z t

z

   

Phương trình (2) có dạng: – 5

t t (3) 4.5 9

2 i

     

PT (3) có nghiệm t1

i



, t1

i



+ Với t1

2

i



ta có 1 2 (1 ) 2

i

z z i z

z



       (4)

Có  (13 )i 216 8 6i  9 6ii2 (3i)2 PT (4) có nghiệm: z (1 ) (3 )

4

i i

i

  

  ,z  (1 ) (3 )

4

i i i

    

+ Với t1

i



ta có 1 2 (1 ) 2

i

z z i z

z



       (5)

Có  (13 )i 216 8 6i  9 6ii2 (3i)2 PT(5) có nghiệm: z  (1 ) (3 )

4

i i

i

  

  ,z (1 ) (3 )

4

i i i

     

Vậy PT cho có nghiệm:z  1 i ; z  1 i; z 

i

; z 

i

 

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI

Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm

w2

o Bấm đơn vị ảo i cách bấm phím b

o Bấm q2 lựa chọn chức năng:

o Chọn 1 để bấm acgumen z   arg  z 

o Chọn 2 để bấm số phức liên hợp củaz  Conjg z 

o Chọn 3 để chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác

o Chọn 4 để chuyển từ dạng lượng giác sang dạng đại số

o Bấm dấu bằng cách bấm: qz

Sau cách giải tốn điển hình cho dạng tốn tìm bậc hai số phức; giải phương trình bậc hai với hệ số thực dạng tốn liên quan máy tính casio 1 BÀI TỐN TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ PHỨC

Xây dựng công thức bấm:

Cho số phức z  a bi , có dạng lượng giác z = r(cos +isin)r 0 Với

2

r  a b  z  góc thoả mãn : os sin

a c

r b r

 

  



  

 gọi acgument z, kí hiệu arg z Khi z có hai bậc hai là: os isin

2

r c   

  - r cos2 isin2

 

 

  

 

 

 

Hay viết gọn là:

2

r 

  hay arg 

2 z z

 

Như để tìm bậc hai số phức z  a bi, ta làm sau:

o Nhập số phức z lưu vào biến A (cái đơn giản)

o Bấm theo công thức sau:

sqcQz$$qzaq21Qz)R2=

o Ta thu kết thức z, suy bậc hai lại

Một số lưu ý

Tìm bậc hai số phức z   3 4i Hướng dẫn: Quy trình bấm :

o Nhập số phức z   3 4i lưu vào biến A: p3+4bqJz

o Bấm theo công thức :

sqcQz$$qzaq21Qz)R2 =

o Màn hình cho kết quả:

Nên 12i  1 2i bậc hai số phức z   3 4i

o Nhập hàm X2 : Q)d

o Sử dụng phímr,nhập giá trị vào, giá trị cho số phức z ta chọn đáp án

Tìm bậc hai số phức z   3 4i

.1 ;           2 ;    2 ;           ;  

A i i B i i

C i i D i i

            

Hướng dẫn:

o Q)d

o r Nhập số phức đáp án vào

r1+2b= hình cho kết quả:

Nên 12ilà bậc hai số phức z   3 4i Vì số phức có hai bậc đối nên  1 2icũng bậc hai số phức z   3 4i

>>> Chọn C

Ví dụ

Cách

Tìm bậc hai số phức z  a bi

o w1

o Nhấp Shift + (Pol), ta nhập Pol(a,b)

o Dấu phẩy (a,b) bấm cách q)

o Nhấp Shift - (Rec), ta nhập Rec(X,Y), ta thu kết X= ;Y= o Kết luận bậc cần tìm

Tìm bậc hai số phức z  1216i Hướng dẫn:

o w1

o q+p12q)16)= hình kết

o qpsQ)$q)QnP2)= thu kết quả:

Suy bậc hai số phức z  1216i 24  ; 4i   i

Cách

2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a) Phương trình bậc hai với hệ số thực:

Giải phương trình bậc hai sau: z24z 100 Hướng dẫn:

Quy trình bấm: w531=p4=10==

Thu kết quả:

Gọi z z1, nghiệm phương trình :

2 1 0

z   z Tính P z12018 z22018 Hướng dẫn :

Quy trình bấm sau:

o Tìm nghiệm z z1, 2

w531=1=1==

Thu kết quả:

o Lưu nghiệm vào X Y: qJ)RqJn

o Màn hình hiển thị lưu biến X thành công, tương tự biến Y

o Tính P

o Sau vào w2 và nhập P thu kết quả:

Sau Bài toán tương tự Bài toán giải theo dạng lượng giác số phức Cách giải với số mũ lớn bất kỳ, cách giải theo Bài toán khơng giải với số mũ lớn

Biết z nghiệm phương trình z 1

z

  Tính giá trị biểu thức P z2009 20091 z

 

A.P 1 B.P 0 C.

P   D.

P

Bài toán

Bài toán

Hướng dẫn:  Quy đồng phương trình z

z

  ta phương trình bậc hai z2  z Tính nghiệm phương trình với chức MODE

w531=p1=1==

 Ta thu hai nghiệm z hai nghiệm có vai trị nên cần lấy nghiệm z đại diện

Với

2

z   i ta chuyển dạng lượng giác cos sin

3

z   i 

    

 

a1R2$+as3R2$bq23=

Vậy 2009 12009 cos 2009 sin 2009 cos 2009 sin 2009

3 3

z   i    i 

      

   

Tính z2009 lưu biến A

Wk2009OaqKR3$ +bj2009

OaqK

) )

R3$ =qJz

Tổng kết P A 1 A

  

Qz+a1RQz=

b) Phương trình bậc hai với hệ số phức:

Giải phương trình : z28(1i z) 6316i  Hướng dẫn:

o Tính  B24AC máy tính , ta được:

o Sau gán kết  vào A

o Dùng công thức tìm bậc học trên, thu bậc 16 i

o Gán kết cho X

o Nên nghiệm phương trình :



IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 ĐỀ BÀI

Câu Trong , phương trình z4  1 có nghiệm là:

A  1; 2i B  2; 2i C  3; 4i D  1; i

Câu Trong , bậc hai 121 là:

A 11i B 11i C 11 D 11i 11i

Câu Phương trình 8z24z  1 có nghiệm là: A 1 1 ; 2

4 4

z   i z   i B 1 1 ; 2

4 4

z   i z   i

C 1 1 ; 2 1

4 4

z   i z   i D 1 ; 2 1

4 4

z   i z   i

Câu Biết z z1; 2 hai nghiệm phương trình 2z2 3z 3 Khi giá trị z12z22 là:

A 9

4 B 9 C 4 D

9



Câu Phương trình z2az b có nghiệm phức z  1 2i Tổng số avà bbằng:

A 0 B 3 C D 4

Câu Gọi z z1; 2 hai nghiệm phức phương trình z24z  5 Khi phần thực

2 2

z z là:

A B C D

Câu Gọi z z1; 2 hai nghiệm phức phương trìnhz22z  4 Khi A|z1|2 |z2|2 có giá trị

A 7 B – C 4 D

Câu Phương trình z3 8 có nghiệm phức với phần ảo âm?

A B C D

Câu Biết z z1, 2 hai nghiệm phương trình 2z2 3z 3 Khi giá trị z12z22 là:

A B 9

4 C D

9



Câu 10 Phương trình sau có nghiệm thực: z22z 2

A B C D Vơ số nghiệm

Câu 11 Tìm bậc hai 9

A 3i B C 3i D 3

Câu 12 Trong , phương trình z4 4 có nghiệm là:

A z  1 2i B. z  1 6i C z  1 2i D z  1 7i

Câu 14 Căn bậc hai số phức 46 5i là:

A 3 5i B 3 5i C 3 5i D

Câu 15 Gọi z bậc hai có phần ảo âm 3356i Phần thực z là:

A B.7 C D –4

Câu 16 Tập nghiệm  phương trình z3z2   z là:

A i; i;1; 1  B i i; ;1 C  i; 1 D i i; ; 1 

Câu 17 Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm  4 ;i   2 i là: A z2 24i z  112i0 B z224i z  112i0 C. z224i z 112i0 D z224i z 112i0 Câu 18.Có số phức thỏa mãn điều kiện z2 | |z z?

A B C D

Câu 19 Phương trình 2i z 2az b ,a b có hai nghiệm 3i 12i Khi ?

a 

A  9 2i B 155i C 92i D 155i

Câu 20 Cho số phức z thỏa mãn z26z 130 Tính z z i 



A 17 4 B. 17 C 17 D 17

Câu 21 Gọi z z1, 2 nghiệm phức phương trình z213i z 2 1 i0 Khi

2

1

w z z  z z số phức có mơđun là:

A B 13 C 2 13 D 20

Câu 22 Số nghiệm phương trình với ẩn số phức z: 4z2 8 | z |2  3 0 là:

A B C D

Câu 23 Tìm số phức z để z z z2

A z 0;z  1 i B z 0;z  1 i C z  0;z  1 i z;  1 i D z  1 i z;  1 i

Câu 24 Với số ảo z, số z2| z |2 là:

A Số thực âm B.Số

C Số thực dương D Số ảo khác

Câu 25 Trong trường số phức phương trình z3 1 có nghiệm?

A B.3 C D

Câu 26 Giá trị số thực b, c để phương trình z2bz c nhận số phức z  1 i làm nghiệm là:

A 2

b c

     

 B

2

b c

      

 C

2

b c

     

 D

2

b c

Câu 27 Trên tập hợp số phức, phương trình z27z 150 có hai nghiệm z z1, 2 Giá trị biểu thức z1z2z z1 2 là:

A –7 B.8 C 15 D 22

Câu 28 Tìm số nguyên x, y cho số phức z  x yi thỏa mãn z3 1826i A

1

x y

     

 B

3

x y

     

 C

3

x y

    

 D

3

x y

       

Câu 29 Trên tập số phức, cho phương trình sau: zi4 4z2 0 Có nhận xét số nhận xét sau?

1 Phương trình vơ nghiệm trường số thực  Phương trình vơ nghiệm trường số phức  Phương trình khơng có nghiệm thuộc tập số thực Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức Phương trình có hai nghiệm số phức Phương trình có hai nghiệm số thực

A B C D

Câu 30 Phương trình z69z3 8 có nghiệm tập số phức?

A B.4 C D

Câu 31 Giả sử z z1, 2 hai nghiệm phương trình z22z  5 A, B điểm biểu diễn z z1, 2 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là:

A I 1;1 B I1; 0 C I 0;1 D I 1;0

Câu 32 Cho phương trình z2mz6i0 Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm m có dạng m  a bi a b ,  Giá trị a2b là:

A B C 2 D 1

Câu 33 Gọi z z z z1, , ,2 2 4 nghiệm phức phương trình

4

1

z z i

           

  Giá trị

    

1

P z  z  z  z  là: A 17

8 B.

17

9 C

9

17 D

17

i

Câu 34 Trong tập số phức, giá trị m để phương trình bậc hai z2mz i có tổng bình phương hai nghiệm 4i là:

A  1 i B 1i C  1 i D  1 i

Câu 35 Cho phương trình z2mz2m 1 m là tham số phức Giá trị m để phương trình có hai nghiệm z z1, 2 thỏa mãn z12 z22  10 là:

Câu 36 Gọi z z1, 2 hai nghiệm phương trình z22z 8 0, z1 có phần ảo dương Giá trị số phức w2z1z z2 1 là:

A 126i B.10 C D 126i

Câu 37 Tổng bình phương nghiệm phương trình z4 1 tập số phức bao nhiêu?

A B C D

Câu 38 Gọi z z1, 2 hai nghiệm phương trình z22z 6 Trong z1 có phần ảo âm Giá trị biểu thức M |z1|| 3z1z2| là:

A 62 21 B. 2 21 C 4 21 D 64 21

Câu 39 Phương trình x4 2x224x720 tập số phức có nghiệm là: A 2i 2hoặc  2 2i B 2i 2hoặc 12 2i C 12 2i  2 2i D  1 2i  2 2i

Câu 40 Gọi z z1, 2 nghiệm phức phương trình z2  3z 7 Khi Az14z24 có giá trị là:

2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

1.D 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.D 10.A

11.A 12.D 13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.A 19.A 20.B 21.D 22.C 23.C 24.B 25.B 26.C 27.B 28.C 29.D 30.D 31.D 32.D 33.B 34.A 35.A 36.C 37.D 38.B 39.A 40.A

Câu    

2

1

1 1 1

1

z z

z z z z z z

z i z

                     

        

Chọn D. Câu

Ta có: z  121 z  11i Do z có hai bậc hai z 11 ;i z  11i Chọn D. Câu ' '2 1,2 2

8 4

i i

b ac z 

            Chọn C.

Câu 4.Theo Viet, ta có:

1

3

2

b S z z

a c P z z

a



       



    

2 2

1

3

2

4

z z S P

        Chọn D.

Câu 5.Vì z  1 2i nghiệm phương trình z2az b nên ta có:

 2  

12i a 12i     b a b 2ai  3 4i   a b Chọn C.

Câu 6.Theo Viet, ta có:

1

4

b S z z

a c P z z

a

      



    

2 2

1 2 16 2.5

z z S  P    Chọn B.

Câu 7.z2 2z   4 z 12     3 z 3iA|z1|2 |z2 |28 Chọn D. Câu

      2

3 8 2 2 4 0 2 1 3 0

1

z

z z z z z z

z i

 

  

             

  

  

Do phương trình có nghiệm phức có phần ảo âm Chọn A.

Câu Áp dụng định lý Viet, ta có:

1

3

2

b S z z

a c P z z

a



       



    

2 2

1

3

2

4

z z S  P     Chọn D

    2

z i z i

z

z i z i

                     Chọn D.

Câu 13 z22z  7 z12     6 z 6i Chọn B. Câu 14 Giả sử w bậc hai 46 5i Ta có:

 2  

2 4 6 5 3 5 3 5

w   i w   i w    i Chọn C.

Câu 15 Ta có: 3356i 74i2  z 4i Do phần thực z Chọn B Câu 16 z3 z2 z z 1z2 1 z

z i

               

 Chọn D

Câu 17 Áp dụng định lý Viet, ta có:

11

S i P i                

Do  , hai nghiệm phương trình: z2Sz P  0 z224i z  112i0 Chọn B.

Câu 18 Gọi z  a bi a b ,  số phức thỏa mãn điều kiện Ta có:

 2    

2 2 2

2

| | 2 2

0

2

1

2 0

2

2 1

1

2 2

z z z a bi a b a bi a b bi abi a b b ab i a b

a b

a b b a

b ab a b                                                                   

Vậy có số phức thỏa mãn u cầu tốn Chọn A. Câu 19 Theo Viet, ta có:

  

1 2 4

a

S z z i a i i a i

i

             

 Chọn A.

Câu 20

 2

2 6 13 0 3 4 0 3 2

z  z    z     z i +) Nếu z  3 2i:

6 3 2 15 18 72 1 4

3 3 18

6

1 17

i i

z i i

z i i i

z i z i                      

+) Nếu z  3 2i:

6 3 2 13 30 40 3 4 3 4 5

3 10

i i

z i i z i

z i i i z i

 

            

    Chọn B.

Câu 21 Theo Viet, ta có:

 

1 2

1

b

S z z i

a c

P z z i

 2  

2 2

1 10 | | 16 20

w z z  z z S  P    i    i i  w    Chọn D

Câu 22 Gọi z  a bi a b ,  nghiệm phương trình Ta có:

 2  2 2  2 2   2 2

2

4 a

12

a bi b a b abi a b

a b abi

                

2 2

12 4

0

a b a b

ab ab                      

 2

2

0

2 1

4

0 1

0

0

0

a

a b b

a ab b

a ab a b b                                                    

Vậy phương trình có nghiệm phức Chọn C.

Câu 23.Gọi z  a bi a b ,  số phức thỏa mãn đẳng thức Ta có:

  2 2 2 1

2

0 a a b b a b a z z z a bi a bi a bi

ab b a

b b                                                   1 z z i z i            Chọn C.

Câu 24.Do z số ảo nên z có dạng: z bi b  Ta có: z2| |z 2 bi 2b2   b2 b2 0 Chọn B. Câu 25.   

1

1 1 1 3

2

z

z z z z i

z                 

Vậy phương trình có ba nghiệm trường số phức Chọn B. Câu 26.Do z  1 i nghiệm z2bz c nên ta có:

 2  

1

2

b c b

i b i c b c bi i

b c                             

Chọn C.

Câu 27.Theo Viet, ta có:

1

7 15

b S z z

a c P z z

a              

1 2 15

z z z z S P

         Chọn B. Câu 28        

3 2

3 2

2

3

2 2

18 26 18 26 3 18 26

( ) 18 26

3 18

3 18

3 26 26

z i x yi i x x yi xy y i i

x xy x y y i i

x x y x xy

x y y y x y

                                      

    2 2 2 3 18 6 loai 11 3 x x y x y

x x y

x x y x y                                 

Mà y x3 2y226 x 3;y 1 Chọn C. Câu 29

   

 

     

4 2 2

2 2

2

2

4

1

2

2

4

2

z i z z i z

z z

z i iz z

z i

z iz z i

z i iz

                                               

Do phương trình có nghiệm thực nghiệm phức Vậy nhận xét 4, Chọn D. Câu 30.Ta có:

    

6 2

3

1

9 2

1

1

z z

z z z z z z z z

z i                           Chọn D.

Câu 31. z22z  5 z12     4 z 2i A  1;2 ;B 1; 2  Do tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB I 1; Chọn D.

Câu 32.Gọi z z1, 2 hai nghiệm phương trình cho Theo Viet, ta có:

1

b

S z z m

a c

P z z i

a               

Theo cho, tổng bình phương hai nghiệm Ta có:

 

 

2

2 2 2

1 2 12 5 12

3

z z S P m i m i m i

m i

           

   

3; 2

a b a b

          Chọn D.

Câu 33.Với

i

z  , ta có:

4

1

1

1

1 2 3

1

1

2

2

0

z i

z z i

z z i

z i

z i i z

z i z                                                              2

2 2

1

1

1 1 1 1

9 25

i i

P z z z z i

                                          

1 29 13 16 425 17

9 25 9.25

i i

i  

Câu 34.Gọi z z1, 2 hai nghiệm phương trình Theo Viet, ta có:

1

b

S z z m

a c

P z z i

a              

2 2

1 2

z z S P m i

     

Ta có: m22i  4i m2  2i m2 1i2 m  1 i Chọn A. Câu 35.Theo Viet, ta có:

1 2

b

S z z m

a c

P z z m

a                  

2 2 2

1

2

10 10 2 10 12

       2

z z S P m m m m

m m i

               

       Chọn A.

Câu 36.  2

2

1

2 7

1

z i

z z z z i

z i                      

2 2 2      

      

w  z z z    i   i   i    i   i

 

  

Chọn C.

Câu 37. z4 z

z i

   

     

Do tổng bình phương nghiệm phương trình 1 0 Chọn D. Câu 38

 2

1

1

2 5

1 ;

| | | | 5 84 21

z z z z i

z i z i

M z z z i i

                           Chọn B. Câu 39       

4 2

2

2

2 24 72 12

4 2 2

4 12 2 8 0 2 2 2

x x x x x x x

x x x x i

x x x x i

                                           Chọn A

Câu 40.Theo Viet, ta có:

1

3

b S z z

a c P z z

a              

 2  2

4 2

1 2 2.7 2.49 23

C TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC

I LÝ THUYẾT

Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức Khi ta giải tốn sau:

1 Phương pháp tổng quát:

Đặt z x yi   ,(x y) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm  ;

M x y Biến đổi điều kiện tốn thành để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M

2 Giả sử điểm M, A, B điểm biểu diễn số phức z, a, b

o |z    a| |z b| MAMB  M thuộc đường trung trực đoạn AB

o |z    a| |z b| k k( ,k0,k |a b|)MAMB k M ( )E nhận A, B hai tiêu điểm có độ dài trục lớn k.

3 Giả sử M M’ điểm biểu diễn số phức z w = f(z) Đặt z = x + yi w = u + vi ( , , ,x y u v)

Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ x, y, u, v

o Nếu biết hệ thức x, y ta tìm hệ thức u, v và suy tập hợp điểm M’

o Nếu biết hệ thức u, v ta tìm hệ thức x, y và suy tập hợp điểm M’

1 Các dạng phương trình đường thẳng

- Dạng tổng quát: ax by c - Dạng đại số: y ax b - Dạng tham số:

0

x x at y y bt

   

  

 - Dạng tắc:

0

x x y y

a b

 



- Phương trình đoạn chắn x y a b 

- Phương trình đường thẳng qua điểm M x y0 0; 0 biết hệ số góc k: y k x( x0)y0 2 Phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính R:

2 2

(xa) (yb) R x2 y22ax2by c 0

với c a2 b2R2

Lưu ý điều kiện để phương trình: x2 y2 2ax 2by c phương trình đường trịn:

2 0

a b  c có tâm I a b,  bán kínhR  a2 b2c 3 Phương trình (Elip):

2

2

x y a b 

Với hai tiêu cự F1( ;0), ( ;0),c F c2 F F1 2 2c Trục lớn 2a, trục bé 2b và a2 b2c2

Lý thuyết tập hợp điểm số phức

II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z

Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau đây: a) =2 b) z  1 3i 4 c)

Giải:

Đặt z x yi x y ( , ) biểu diễn điểm M x y ;  a) Xét hệ thức: z  1 i

   

   

   

             

2

2

– 1

1

1

x y i

x y

x y

 Tập hợp điểm M z  mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường trịn có tâm I1; 1  bán kínhR2

b) Xét hệ thức :z  1 3i  4 x 1  y3i 4           x 12 y12 4

       x12 y12 16

Vậy tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z hình trịn có tâm 1;1; bán kính r 4

Nhận xét: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1 3i 4 tập hình điểm nằm nằm ngồi đường trịn có tâm là1;1 ; bán kính r 4

c) Xét hệ thức: 2z  zi

   

 2 2  2

2

2

4

x yi x y i

x y x y

x y

    

    

   





Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x 2y 3

Nhận xét: Đường thẳng 4x 2y3  đường trung trực đoạn AB

z i 2z  1 i

Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 1 

z i i z

Giải: Đặt z x yi x y  ,( )

Ta có:

       

     

         

 2    2 

    1

1

z i i z x y i x y x y i

x y x y x y

 2

2 2 1 0 1 2

x y xy x y

        

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có phương trình  2

2 1 2

x  y 

Cho số phức z1,   ,  z2 z3 có biểu diễn mặt phẳng phức ba đỉnh tam giác có phương trình đường trịn ngoại tiếp x 2017 2 y20182 1 Tổng phần thực phần ảo số phức w z1z2 z3 bằng?

Giải:

Đường trịn cho có tâm I biểu diễn số phức z  20172018i Gọi A B C,   ,   điểm biểu diễn số phức z1,   ,  z2 z3 Ta có OAOBOC 3OG 3OI

    

(do tam giác ABC nên G I ) Suy z1z2z3 320172018i 60516054i

Nên tổng phần thực phần ảo số phức w

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u z 3i z i

  

 số ảo

Giải : Đặt z x yi x y ( , ), đó:

   

 

     

 2

2

2

1 1

x y i x y i

x y i

u

x y i x y

                  

   

   

 

2

2

2 2

      

1

x y x y x y i

x y

       

 

Bài toán

u số ảo 

       

2

2 2

2 1 1 5

1 ; 0;1

x y x y x y

x y x y



 

            

 

     

 

 

 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I( 1; 1)  , bán kính trừ điểm (0;1)

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) 2z   i z z 2i b) z   1 z

Giải:

Đặt: z  x yi x y( , R)  z có điểm biểu diễn mặt phẳng phức M x; y   a)

2

2 2 ( 1) (1 )

4 x z   i z z i  x y i  y i  y

Vậy tập hợp điểm M đường parabol (P) có phương trình

2

4 x y  b) z    1 z x12y2  x 12 y2 4 (*) Đặt F1( 1; 0) ; (1; 0) F2

1

(*)MF MF 4 F F1 2 2

Suy tập hợp M elíp (E) có tiêu điểm F F1, 2 Gọi (E) có phương trình

2

2 2

2 (0 ; )

x y

b a b a c

a b     

Ta có 2 2

1

2

3

2

MF MF a a

b a c

F F c c

      

       

       

Vậy (E) có phương trình

2

1

4

x y

 

Trong tập số phức , gọi z1 z2 nghiệm phương trình z22z100 Gọi M, N, P điểm biểu diễn z1, z2 số phức k  x iy mặt phẳng phức Để tam giác MNP số phức k là?

Giải:

Ta có z22z 100  z1,2  1 3i Gọi M, N, P điểm biểu diễn z1,

2

z số phức k  x iy mặt phẳng phức Khi M 1; , N1; 3 , P x y ; Để MNP  MN MP

MN NP

    

 

2

2

MN MP MN NP

  

 

 (1)

Bài toán

Ta có MN 0; 6  

, MP x1;y3 

, NP x1;y3 

(2)

Từ (1) (2)     

   

2

2

1 36

1 36

x y x y              27 x y      

  k  1 27

Trong mặt phẳng phức, cho m M theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z x yi  

 z Z

z i Tìm tập hợp điểm m cho: Z số thực Giải:

Ta có:  

                                      1

2 2 2

x yi x y i x yi

z x yi

Z

z i x yi i x y i x y i x y i

     

 

     

 

 

2

1 2

2

x x y y y x i

Z

x y

Z số thực y 2x 2 0

Tập hợp điểm m biểu diễn số phức z x yi đường thẳng y 2x 2 0 y 2x 2

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z   i z i là? Giải:

Ta có z    i z i x2y12  x2 y 12 4

            2 2 2

2 2

2 2

1

1

1 16

x y

x y x y

x y x y x y

                                       2 2 2 2

2 2 2

2

1 16

1 16

1 16

4

2 4 3 12

3 x y x y x y y y

x y y x y x y

                                             

Tập hợp điểm thỏa mãn  3 thỏa mãn  1  2 Vậy tập hợp điểm M elip  

2

:

3

x y

E  

Bài toán

(ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)

Cho số phức z  thỏa mãn z  Biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức 3 

w   i z i đường tròn I, bán kính R Khi

A I 0;1 ,R 2 B I 1; ,R20 C I 0;1 ,R20 D I1; ,  R 22

Giải: Đặt w a bi với a b c; ; 

       

    2 2

1

1

3 25

3 4

3

3 4

25 25 25

a b i i

a b i

w i z i z

i

a b b a

b a a b

z i z

              



      

 

    

Mà

   

   

2

2 2

2

3 4

4 4 4 100

25

       399        

a b b a

z a b b a

a b b

    

         

   

 2

2

      a  b1 20

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I 0;1 ,R20

Có số phức z thỏa mãn:

 

3

1 12 15

z i

i z i

   

 

   

 

?

Giải:

Gọi M điểm biểu diễn số phức z, M thỏa mãn phương trình z 3 6 i  nên thuộc đường tròn tâm A 3;6 , bán kính R 

Ta có: 1  12 15 12 15 5

1 2

i

i z i z z i

i i



          

 

 M thuộc đường trịn tâm B 5;2 , bán kính R 3

Nhận thấy AB  5 3  2  6 2 2 R'R

Vậy đường trịn tiếp xúc M, hay có số phức z thỏa mãn toán

Bài toán

Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 

w   i z  đường trịn Tính bán kính đường trịn

Giải: Cách 1:

Ta có: 1  2 3

1 3

w w i

w i z z z

i i

  

       

 

Suy

3 3

3

1 3

2

1 3

w i w i

w i

z w i

i i

   

 

        

 

Như bán kính đường trịn Cách 2:

Ta có: w 1 3i z 2 w  1 3i z 13 3i w3 3i  1 3i z 1 Lấy môđun hai vế ta được: w 3 3i  1 i z 1 2.2

Cho số phức z thỏa mãn z 1 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w với 32i w iz 2 đường trịn Tìm tọa độ tâm I bán kính r đường trịn

Giải:

Ta có 3 2 2

3 13 13 13 13

i

i w iz w z w i z i

i i

 

 

            

   

   

2 1 7 1

13 13 13 13 13 13 13 13

w  i z i w  i  i z                

     

Lấy môđun, hai vế ta



3

13

4 3

13 13 13 13 13

w  i   i z 

  

Vậy tập hợp số phức w thuộc đường tròn tâm 7; 13 13 I 



 , bán kính

3 13

r 

Nhận xét: Bài có nhiều cách giải tự luận cách tối ưu Quý thầy cô nên nghiên cứu kỹ phương pháp giải để truyền đạt cho học sinh

Bài toán 11

Cho hai số phức z1,  z2 thỏa mãn z1  3, z2 2 biểu diễn mặt phẳng phức điểm M N,   Biết góc tạo hai vectơ OM ON 300 Tính giá trị biểu thức

1 z z A z z    Giải: Cách 1:

Dựng hình bình hành OMPN mặt phẳng phức,

1

z z OP z z MN    

  



Ta có

2 0

1 2

2 0

1 2

2 cos 30 13

2 cos150

z z z z z z

z z z z z z

               2

1 2

13

z z z z

z z z z

 

    

Nhận xét: Thầy nên giải thích rõ cho học sinh hiểu tại lại góc

0

30 góc 150 Cách 2:

Giả sử  

   

1 1 1 1

2 2 2 2 2

; ;

, ;

z a b i M a b OM a b z a b i N a b ON a b

                             

Theo giả thiết, ta có

2 1 2 2 a b a b       



  2

1 2

2 2

1 2

cos OM ON, cos 30 a a b b a a b b

a b a b



      

 

Ta có    

   

   

   

2

1 2 2

1

2

1 2

1 2

a a b b i a a b b

z z A

z z a a b b i a a b b

                            

2 2

1 2 2

2 2

1 2 2

2 3 4 2.3

13 2.3

2

a b a b a a b b a b a b a a b b

                 O P N M y x

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS

Đây tốn điển hình dùng máy tính CASIO để giải tốn tìm tập hợp điểm số phức Các toán khác ta làm tương tự

Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện |zi– 2 i|2

A x 2y 1 B x 1 2 y – 22  C x 1 2  y 22 4 D 3x 4y 2 0

Hướng dẫn:

Ta giả sử: z ABi

Nên điều kiện toán viết lại là: ABi i   – 2 i 2

o w2 nhập điều kiện vào:

 Thử đáp án A x 2y 10x 1 2 y Cho y 1 ta x  1

Nhập rp1=1=thu kết khác

>>> Loại đáp án A

 Thử đáp án B x 1 2  y – 22  Cho x  1 ta y 5 hoặcy  1

rp1=5=ra kết khác

>>> Loại đáp án B

 Thử đáp án C x 1 2  y 22 4 Cho x 1 ta y  y  4

r1=0= r1=p4= kết

Vậy đáp án C

[Đề minh họa GD-ĐT lần 1-2017]

Cho số phức z thỏa mãn z 4 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức 3 

w   i z i đường trịn Tính bán kính r đường trịn A.r 4 B.r 5 C.r 20 D.r 22

Hướng dẫn:

 Để xây dựng đường tròn ta cần điểm biểu diễn w , z sinh w nên ta chọn giá trị đại diện z thỏa mãn z 

 Chọn z  4 0i (thỏa mãn z 4 ) Tính w1 34i40ii

(3+4b)O4+b=

Ta có điểm biểu diễn z1 M12;17

 Chọn z  4i (thỏa mãn z 4 ) Tính w2 34i 4i i

(3+4b)O4b+b=

Ta có điểm biểu diễn z2 N16;13

 Chọn z  4i (thỏa mãn z 4 ) Tính w3 34i 4i i

(3+4b)(p4b)+b=

Ta có điểm biểu diễn z3 P16; 11 

Vậy ta có điểm M N P, , thuộc đường tròn biểu diễn số phức w

 Đường tròn có dạng tổng quát x2 y2 ax by c Để tìm a b c, , ta sử dụng máy tính Casio với chức MODE

w5212=17=1=p12dp17d=p16= 13=1=p16dp13d=16=p11=1= p16dp11d==

Vậy phương trình đường trịn biễu diễn số phức w là:

 2

2 2 399 0 1 202

x y  y  x  y 

Bán kính đường trịn tập hợp điểm biểu diễn số phức w 20  Đáp án xác C

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2z   1 z z 2i Parabol có dạng: A y 3x26x 2 B

2

2

x

y  x C.

2

4

x

y   D 2

y x  x 

Hướng dẫn:  Đặt số phức z  x yi

 Nếu đáp số A với z  x yi thỏa mãn y 3x26x 2 Chọn cặp  x y; thỏa y 3x26x 2ví dụ A 0;2  z 2i Xét hiệu 2z   1 z z 2i

2qc2bp1$pqc2bp(p2b)+2b=

Vậy 2z   1 z z 2i   6 0 2z z z 2i

      Đáp số A sai

 Tương tự với đáp số B chọn 1

z   i Xét hiệu2z    1 z z 2i

2qc1pabR2$p1$pqc1pab R2$p(1+abR2$)+2b=

Vậy 2z   1 z z 2i 02z   1 z z 2i  Đáp số B xác

IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 ĐỀ BÀI

Câu Cho số phức z  6 7i Số phức liên hợp zcó điểm biểu diễn là:

A 6;  7 B 6;  7 C 6;  7 D 6;  7 Câu Điểm biểu diễn số phức

1

z

i





A 1; 3  B 3; 5

 

 

 

 

  C 3; 2  D 4; 1  Câu Số phức

2

i

z   có điểm biểu diễn là:

A 3; 2

 

  

 

 

  B  3; C  3; 4 D 3; 4 Câu Cho số phức z  3i2 có điểm biểu diễn hình học là:

A 2; 3 B  3;2 C 2; 3 D  2; 3 Câu Biểu diễn dạng z  a bi số phức

2016

(1 )

i z

i 

 số phức nào? A

2525i B

3

25 25i

  C

2525i D

3

25 25i

 

Câu Điểm M biểu diễn số phức z 20194i i



 có tọa độ

A M(4;3) B M3; 4  C M 3; D M4; 3 Câu Điểm biểu diễn số phức (2 )(4 )

3

i i z

i

  

 có tọa độ

A 1; 4  B  1; 4 C  1; D 1; 4 Câu Điểm biểu diễn hình học số phức z  a ai nằm đường thẳng:

A y x B y 2x C y  x D y  2x

Câu Gọi Alà điểm biểu diễn số phức 58ivà Blà điểm biểu diễn số phức  5 i Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Hai điểm A Bđối xứng với qua trục hoành B Hai điểmA Bđối xứng với qua trục tung C Hai điểmA Bđối xứng với qua gốc toạ độ O D Hai điểmA Bđối xứng với qua đường thẳng y x

Câu 10 Gọi Alà điểm biểu diễn số phức z  2 5ivà Blà điểm biểu diễn số phức

z    i Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành B Hai điểm A B đối xứng với qua trục tung

Câu 11 Gọi Alà điểm biểu diễn số phức z  3 2ivà Blà điểm biểu diễn số phức

z   iTìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành B Hai điểm A B đối xứng với qua trục tung C Hai điểm A B đối xứng với qua gốc toạ độ O

D Hai điểm A B đối xứng với qua đường thẳng y x

Câu 12 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z  x yix y, các điểm biểu diễn z z đối xứng qua

A trục Ox B trục Oy

C gốc tọa độ O D đường thẳng y x

Câu 13 Điểm biểu diễn số phức z  7 bi với b, nằm đường thẳng có phương trình là:

A x 7 B y 7 C y x D y  x Câu 14 Điểm biểu diễn số phức z  n ni với n, nằm đường thẳng có

phương trình là:

A y 2x B y  2x C y x D y  x

Câu 15 Cho số phức z  a a i2 với a  Khi điểm biểu diễn số phức liên hợp z nằm trên:

A Đường thẳngy 2x B Đường thẳng y   x 1 C Parabol y x2 D Parabol y  x2

Câu 16.Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện

z i là:

A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng D Một hình vuông

Câu 17 Trong mặt phẳng phức, gọi A B C, , điểm biểu diễn số phức

1

z    i, z2  1 5i, z3  4 i Số phức với điểm biểu diễn D cho tứ giác ABCD hình bình hành là:

A 23i B 2i C 23 i D 35 i

Câu 18 Gọi z1và z2là nghiệm phức phương trình z24z 9 Gọi M N, điểm biểu diễn z1và z2trên mặt phẳng phức Khi độ dài MN là:

A MN 4 B MN 5 C MN  2 D MN 2

Câu 19 Gọi z1và z2là nghiệm phương trình z24z  9 Gọi M N P, , điểm biểu diễn z z1, 2và số phức k  x yi mặt phẳng phức Khi tập hợp điểm P mặt phẳng phức để tam giác MNP vng P là:

A đường thẳng có phương trình y  x

B đường trịn có phương trình x22xy2 8

Câu 20 Giả sử A B, theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z z1, 2 Khi độ dài véctơ AB bằng:

A z1  z2 B z1  z2 C z2z1 D z2z1 Câu 21 Biết z i 1i z , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trinh

A x2   y2 2y 1 B x2 y2 2y 1 C x2 y22y 1 D x y2 22y 1 Câu 22 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết 3zi4 

A điểm B đường thẳng C đường tròn D elip

Câu 23 Trong mặt phẳng phức cho ABC vuông C Biết A, B biểu diễn số phức z1  2 2i, z2   2 4i Khi đó, C biểu diễn số phức:

A z  2 4i B z   2 2i C z  2 4i D z   2 2i

Câu 24 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện số phức zi2i 2 là:

A 3x4y 2 B x1 2  y22 9 C x1 2 y22 4 D x 2y 1

Câu 25 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

 

1

z  i z là:

A Đường trịn có tâm I(0; 1) , bán kính r  B Đường trịn có tâm I(0;1), bán kính r  C Đường trịn có tâm I(1; 0), bán kính r  D Đường trịn có tâm I( 1; 0) , bán kính r 

Câu 26.Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện

1

z  i  là:

A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng D Một hình vng

Câu 27 Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z2 số thực âm là:

A Trục hoành (trừ gốc O) B Đường thẳng y x (trừ gốc O) C Trục tung (trừ gốc O) D Đường thẳng y  x(trừ gốc O)

Câu 28 Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tập hợp điểm Mthoả mãn điều kiện sau đây: z  1 i đường tròn:

Câu 29 Giả sử M z  điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tập hợp điểm  

M z thoả mãn điều kiện sau đây: 2z  1 i đường thẳng có phương trình: A 4x 2y 3 B 4x 2y 3 0

C 4x2y 3 D 2x  y

Câu 30 Tập hợp điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức zthoả mãn điều kiện sau đây: z z 4 hai đường thẳng:

A

x  

x   B

2

x 

x   C

2

x 

x  D

2

x  

x 

Câu 31 Tập hợp điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: z   z i hai đường thẳng:

A

y  

y   B

2

y   

y  

C

y  

y    D

y  

y    Câu 32 Cho số phức z  x y i x y ( , ) Tập hợp điểm biểu diễn zsao cho z i

z i

 

một số thực âm là:

A Các điểm trục hoành với   1 x B Các điểm trục tung với   1 y C Các điểm trục hoành với

1

x x

      

D Các điểm trục tung với 1

y y

      

Câu 33 Gọi M N P, , điểm biểu diễn cho số phức z1 1 5i, z2  3 i,

z  M N P, , đỉnh tam giác có tính chất:

A Vuông B Vuông cân C Cân D Đều

Câu 34 Gọi A B C D, , , điểm biểu diễn cho số phức z1  7 3i, z2  8 4i,

3

z   i, z4  2i Tứ giác ABCD là:

A hình vng B hình thoi C hình chữ nhật D hình bình hành Câu 35 Gọi A B C, , điểm biểu diễn cho số phức

1 ; ;

z    i z    i z  i Chọn kết luận sai:

A Tam giác ABC vuông cân B Tam giác ABC cân C Tam giác ABC vuông D Tam giác ABC

A

2

1

4

x y 

B

2

1 16

x y  C

2

1 16

x y

  D

2

1

4

x y

 

Câu 37 Gọi A B C, , điểm biểu diễn số phứcz1  3 ,i z2  2 ,i z3  5 4i Chu vi tam giác ABC :

A 22 2 58 B 26 2 58 C 222 2 56 D. 262 2 58

Câu 38 Cho điểm A B C, , mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số: 1i;24 ;6i 5i Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành:

A 78i B 52i C 3 D  3 8i

Câu 39 Cho A B M,   ,   điểm biểu diễn số phức 4; ;i x3i Với giá trị thực củax A B M,   ,   thẳng hàng :

A x 1 B x  2 C x  1 D x 2

Câu 40 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phứcz1 1 2i, B điểm thuộc đường thẳng y 2 cho tam giác OAB cân O B biểu diễn số phức sau đây:

A z   1 2i B z  2 i

C z  1 2i D z   1 2i

Câu 41 Cho số phức z1  1 ;i z2  2 +2 ;i z3   1 i biểu diễn điểm A B C,   ,   mặt phẳng Gọi M điểm thỏa mãn: AM ABAC Khi điểm M biểu diễn số phức:

A z  6i B z 2 C z  2 D z 6i

Câu 42 Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A 4; , B0; 3  Điểm C thỏa mãn: OC OA OB  Khi điểm C biểu diễn số phức:

A z  4 3i B z   3 4i

C z   3 4i D z  4 3i

Câu 43 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiệnz34i 2là:

A x 5 B x3 2  y42 4 C y  2 D x2y2 4

Câu 44 Cho A B C, , ba điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số: i; i i;2

C – D –

Câu 45 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức  thỏa mãn điều kiện  12i z 3, biết z số phức thỏa mãn z  2

A x1 2 y42 125 B x5 2 y42 125 C x 1 2 y22 125 D x 2

2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

1A 2B 3A 4A 5D 6D 7B 8A 9B 10B 11D 12A 13A 14D 15C 16B 17A 18D 19D 20C 21B 22C 23A 24C 25D 26B 27C 28A 29A 30B 31A 32B 33A 34A 35D 36A 37D 38A 39C 40A 41D 42A 43B 44D 45A

Câu Chọn A.

Câu Ta có

1 5

z i

i

  

 Chọn B.

Câu Số phức

2

i

z     icó tọa độ điểm biểu diễn 3; 2

 



 

 

Chọn A. Câu Số phức có tọa độ điểm biểu diễn là2; 3 Chọn A.

Câu Ta có

2016

3

25 25 (1 )

i

z i

i

   

 (Dùng Casio) Chọn D.

Câu i2019 i4.504 3 i3 i z, 3i

       Suy điểm biểu diễn có tọa độ 4;3 Chọn D. Câu Ta có (2 )(4 )

3 i i

z i

i

 

   

 Chọn B.

Câu Ta có: M a a ;  biểu diễn nên z a ai Chọn A.

Câu Tọa độ điểmA  5; ,B 5; 8ta thấy hai điểm đối xứng qua trục tungOy Chọn B. Câu 10 Ta có:   2;5 & 2;5 biểu diễn số phức đối xứng qua Oynên Chọn B.

Câu 11 z  2 i A 3;2 ; z 2 3 i B 2;

5 ; 2 M 

  trung điểm AB nằm y xvà AB d y: x Chọn D.

Câu 12 Số phức z x yix y, có điểm biểu diễn M x y ; Số phức z x yix y, có điểm biểu diễn M x y' ;   M M, ' đối xứng qua Ox Chọn A.

Câu 13 Điểm biểu diễn số phức z  7 bi với b M 7;b nằm đường thẳng

Câu 14 Điểm biểu diễn số phức z n ni với n điểm Mn, n  nằm đường thẳng có phương trình là: y  x Chọn D.

Câu 15 Điểm biểu diễn số phức z  a a i2 với a điểm M a a , 2 nằm đường có phương trình là: y x2 Chọn C.

Câu 16 Chọn B.

Câu 17 Gọi D x y z ; ;  điểm biểu diễn số phức z x yi;x y,  Ta có A1; ;    B 1;5 ;C 4;1

ABCD hình bình hành, nên 2

1

x x

AB CD z i

y y

        

          

   

Chọn A Câu 18 Hai nghiệm phức phương trình cho z1 2 ;i z2 2 5i

Nên M2; , N 2; 5MN 2 5.Chọn D.

Câu 19 M  2; ,N 2; 5; P x y ;  Tam giác MNP vuông P, nên

 2 2

MP NP   x  y   x  x y    

Chọn D. Câu 20 Giả sử:A x y 1; 1 ;B x y2; 2 điểm biểu diễn hai số phức

1 1; 2 2; 1, , ,2

z x y i z  x y i x x y y 

 

 

   

   

2

2

2

2

2 2

2 2

; AB x x y y

AB x x y y

z z x x y y i z z x x y y



        





 

    

 

     



 

Chọn C.

Câu 21 Gọi M x y ;  điểm biểu diến số phức z  x yi x y; ; 

          

 2   2 2

2 2

1 1

1

z i i z x y i i x yi x y i x y x y i

x y x y x y x y y

               

           

Chọn B. Câu 22 Gọi M x y ;  điểm biểu diến số phức z x yi;x y; 

 

 

2

2 2 2

3 4 3

4

4

3

zi i x yi y xi

y x x y

         

 

        

 

Chọn C.

Câu 23 A2; ;  B 2;4 ; C x y; ;

vuông nên AC BC   x 2x 2  y 2y4

 

.Chọn A. Câu 24 Gọi M x y ;  điểm biểu diến số phức z x yi;x y; 

2  2  1  1 2 22

zi  i    y x  i   x   y   Chọn C

Câu 25 Gọi điểm M x y ; điểm biểu diễn cho số phức z x yi x y, , 

Ta có:z 1  1i z  x yi 1  1i x yi  x 1yi  x y  x y i

 2 2   2 2 2 2  2 2

1 1

x y x y x y x y x x y

               

Gọi điểm M x y ;  điểm biểu diễn cho số phức z  x yi x y, ,  

Ta có:z i 1 x yi i 1 x y1i 1 x2y 12 1  2

2 1 1

x y

    đường tròn Chọn D.

Câu 26 Gọi điểm M x y ;  điểm biểu diễn cho số phức z x yi x y, ,  Ta có:z 1 2 i   x yi 1 2 i   x 1  y 2i 4

x 1 2 y 22 x 1 2 y 22 16

          đường tròn Chọn B.

Câu 27 Đặt z a bi a b  ,  Điểm biểu diễn số phức zlà M a b ; Khi z2 a bi 2 a2 b2 2abi

2

z số thực âm    

2 0 0

0; ,

0

a a b

M b b b

a b

    

 

  

 



 

 



Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z trục tung (trừ gốc tọa độ O) Chọn C.

Câu 28 Xét hệ thức: z  1 i 2 (1) Đặt z x yi x y , z   1 i x 1  y 1i Khi (1)  (x 1)2 (y 1)2 2 x1 2  y12 4. Tập hợp điểm M mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) đường trịn có tâm I1; 1  bán kính

2

R Chọn A.

Câu 29 Xét hệ thức 2z  z i z ( 2)  z i (*)

Gọi A điểm biểu diễn số -2, Blà điểm biểu diễn số phức i:A2; ,  B 0;1 Đẳng thức (*) chứng tỏ M z A M z B( )  ( )

Vậy tập hợp tất điểm M z chính đường trung trực củaAB Chú ý: Ta giải cách khác sau:

Giả sử z x yi, đó:

(2)  x 2yi    x 1 y i x22y2 x2  1 y2  4x2y 3 Vậy tập hợp điểm M z là đường thẳng 4x 2y30 Chọn A.

Nhận xét: Đường thẳng 4x 2y 30 phương trình đường trung trực đoạn AB Câu 30 Xét hệ thức: z z 3  (1)

Đặt z xyi x y , z  x yi,  x yi  x yi3 4

1

2

2

x x

    

Vậy tập hợp tất điểm M hai đường thẳng song song với trục tung

x 

x   Chọn B.

Câu 31 Xét hệ thức: z z 1i 2 Đặtz x yiz x yi Khi đó: (2)  12y 1i 212y 12 42y2 2y1 0



2

y  

2

y   Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng song song với trục

hoành

2

y   Chọn A.

Câu 32  

              2

2 2

2 2

1 1

1 2

1 1 1 1

x y i x y i x y x y i

z i x

i

z i x y i x y x y x y

                               z i z i 

 số thực âm

      2 2 2 0 1 1 x y x x x y y y x x y                                    

Chọn B.

Câu 33 z1 1 5 i M 1;5 ;z2  3 i N3; ;  z3 6P 6;  Ta có MN 2; ,  NP  3;1

 

2.3 6.1 0, 36 40, 10

MN NP MN NP MN

          

 

Vậy MNP tam giác vuông N Chọn A.

Câu 34 z1 7 3 i A7; 3 ; z2 8 4 i B 8;  

3 1;5

z   i C ; z4  2i D0; 2  Ta có  1;7 ,  7;1

AB BC AB BC AB BC               

Vậy ABCD hình vng Chọn A.

Câu 35 z1   1 3i A1; ; z2   3 2i B 3; ; z3   4 i C 4;1 Suy  2; , 5; 2

AB AC AB AC AB AC                 

Vậy tam giác ABC vuông cân A Chọn D.

Câu 36 Đặt z x yi x y ,  Suy M x y ;  biểu diễn dố phức z Ta có: z i  z i 4 x yi i   x yi i  4

 1  1 4  12  12 4 (*)

x y i x y i x y x y

Đặt F10; ,  F2 0;1 Thì (*)MF2 MF1  42F F1 2 Suy tập hợp điểm M elip

 E có tiêu điểm F1, F2 Phương trình tắc  E có dạng

 

2

2 2

2 0;

x y

a b b a c

a b     

Ta có : F F1 2 2c  2 c 1, MF2 MF1  2a a 2b  a2 c2  Vậy  

2

:

4

x y

E   Chọn A.

Câu 37 z1 3 2 i A 3;2 ;z2 2 3 i B2; ;  z3 5 4 i C 5; Suy ta AB    1; , BC  3;7 ,AC  2;2

  

2 2 2

1 26, 58, 2 2

AB BC AC

         

Vậy ChuViABC  26 2  58 Chọn D. Câu 38.Theo giả thiết ta có A     1;1 ,B 2; ,C 6;5 Gọi D x y ; , AB  1; ,CD x 6;y 5

 

Tứ giá ABDC hình bình hành AB CD  13xy65xy 87

  

 

 

 

Chọn A Câu 39:Theo giả thiết ta có A4;0 ,    B 0;4 ,C x; Ta có AB  4;4 ,AC x 4;3

 

, ,

A B M thẳng AB AC,  

phương

4

x

AB k AC k    x  

 

Chọn C. Câu 40

Cách

Theo giả thiết A   1;2 ,B x;2 ,x 1 B biểu diễn số phức z x 2i

Tam giác OAB cân OOB2 OA2 x2 22 12 22 x 1 (loại) x  1 (nhận) Vậy z   1 2i

Cách

Dễ thấy A B, nằm d y: 2 nên tam giác OAB cân O A B, đối xứng qua Oy Vậy B1;2 z   1 2i Chọn A.

Câu 41 Gọi M x y x y ; , ,  M biểu diễn cho số phức z x yi Theo giả thiết A  1; ,B 2;2 , C  1; 1

Từ AM AB AC AM CB yx 13 31yx 60

  

 

 

    

Vậy z 6i Chọn D. Câu 42 Gọi C x y x y ; , ,  C biểu diễn cho số phức z x yi

 4;0 OA



, OB 0; 3  

Suy OA OB 4; 3 

 

Theo giả thiết OC OA OB OC 4; 3 C4; 3 

   

Câu 43:Gọi M x y x y ; , ,  M biểu diễn cho số phức z x yi Ta có

3   3  4  3 2 42  3 2 42

z  i   x   y i   x   y    x   y   Chọn B

Câu 44 Ta có A1;1 , B  1; ,  C 0;2 Suy AB 0; ,  BC  1;3

 

Do AB BC        0  2  6

 

Chọn D.

Câu 45 Gọi M x y x y ; , ,  M biểu diễn cho số phức x yi

1  3

1 5

x yi x y x y

i z z i

i

             



Theo giả thiết  7 2 62 625

5

x y x y

z         i   x  y   x y  

D BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

I PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC

Bài toán: Trong số phức z thoả mãn điều kiện T Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn

Phương pháp tổng quát: Đặt z  x yi x y ; 

Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn vào biểu thức P để hàm biến Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu tốn hàm số biến vừa tìm

Sử dụngcác tính chất bất đẳng thức môđun số phức sau để giải toán min-max:

 

  ' '

  ' '

  ' '  

' '

z z

z z z z z z z z z z z z

z z z z

 

       

 

    

 

2

1 2

1 2 1

2

   0; 0;

   ,   ,  

   +  

   ' ' '

             

z z z

z z z z z z

z z z z

z z z z z z z z z z

z z z z

            

       

 

Kết hợp sử dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, BĐT Bunhia- Cốpxki

 Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho số thực a b x y, , , ta ln có  2  2 2 2 2

ax by  a b x y Dấu = xảy a b x y

 

 Bất đẳng thức Vectơ : Cho vecto u x y ; 

v x y '; ' 

ta ln có u v  uv

  

  2 2

2 '2 '2 ' '

x y x y x x y y

       

Dấu = xảy

' '

x y x y

  

Phương pháp

MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Trong số phức z thoả mãn điều kiện z  1 5i  z 3 i , tìm số phức z có mơđun nhỏ

Giải: Gọi z  x yi x y; 

2 2

1 ( 1) ( 5) ( 3) ( 1)

z   i  z   i x  y  x  y

 x 3y  4 x  4 3y

2

2 (4 3 )2 10 24 16 10 10

5 5

z  x y   y y  y  y  y   

 

Đẳng thức xảy

5

y   x

Vậy z đạt giá trị nhỏ 10

2 5

z   i Vậy 5

z   i số phức cần tìm

Cho số phức z thỏa mãn z m22m5, với m tham số thực Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 34i z 2i đường trịn Bán kính nhỏ đường trịn bằng?

Giải : Cách : Gọi w  x yi

Từ giả thiết, ta có 3   2

3 25 25

x y i x y x y

x yi i z i z i

i

             



  2 2

3

25

x y x y

z     

 

Mà z m22m 5 3x4y8 2  4x3y62 252m2 2m25

 2  2  2

2 4 4 25 1 4 2 25 1 4 400 20 2

x y y m  x y  m 

                  

   

Vậy bán kính nhỏ đường trịn 20 Dấu '''' xảy m  1 Cách 2: Từ giả thiết, ta có w2i 34i z

Lấy mơđun hai vế, ta w2i  3 i z 5.m22m55m12420

 

Bài toán

Trong số phức z có phần thực, phần ảo không âm thoả mãn: 1

z

z i

   

Tìm số phức z cho biểu thứcP  z2z2 z2z2 (1i z  i) z(1i) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ

Giải: Điều kiện: z  1 2i Gọi z  x yi x y; *



                   

  

2 2

3

1 ( 3) ( 1) ( 2)

1 2

       

z z

z z i x y x y

z i z i

x y

(ln thoả mãn điều kiện x 1;y  2 khơng thoả mãn phương trình)

2 4 2 4

z  x yi z z  xy i  z z  xy(vì x y; không âm)

(1 ) (1 ) 2

z  i z i  x y

Do P 16x y2 24 (2xy x 2 )y 16x y2 28xy Đặt

2

1

2

x y txy   t    

  , ta có

2

16 ; 0;

4

P  t  t t    

 

+ Xét hàm số f t( )16t28t liên tục 0;1

       

1 '( ) 32 ; '( ) 0

4

f t  t t f t      t t (loại)

1

0; 0;

4

1 33 33

(0) 0; max ( ) ; ( ) 0

4 16 16

f f f t t f t t

   

   

   

   

   

            

Khi 1; Khi 0;

1;

2

x y

t x y t

x y

   

         

Vậy P đạt giá trị lớn 33 1 16 z  2 2i P đạt giá trị nhỏ khiz   1 z

Nhận xét: Bài tập giải cách rút y  1 x vào biểu thức P ta hàm số g x( )16 (1x2 x)28 (1x x) tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g x( )trên 0;1

Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ

Giải:

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z  x yi   ,(x y ) biểu diễn điểm M(x;y)

Bài toán

Ta có x 2 (y4)i  x(y2)i (1)

2 2

(x 2) (y 4) x (y 2)

      

4

y x

   

Mặt khác z  x2y2  x2 x28x 16  2x28x16

Hay z  2x22 8 2 Do zmin    x y Vậy z  2 2i

Trong số phức z thỏa mãn z 1 Tìm số phức z để 1 z 1z đạt giá trị lớn Giải:

Giả sử z  x yi x y, , 

Vì z  1 x2 y2  1 x2 y2 1 Khi đó:

   

     

2 2 2

2 2 2

1 1

       1 1

z z x y x y

x x x x x x

        

           

Xét hàm số f x  2 1 x 1x đoạn 1;1 ta có:          

      

1

' ; '

5

2

f x f x x

x x

Ta có:       

4

1 6; 10

5

f f

Vậy



           

  

      

      

max 2 2

4

4 ;

4 5 5

2 10 4 3

5 1 ;

5

x y

x f f

y x x y

Vậy   4 ,   4

5 5

z i z i

Trong số phức z thỏa: z 3 4i  z , biết số phức z  a bi a b, ,  có modul nhỏ Khi đó, giá trị P a2b ?

Giải:

Ta có z 3 4i  z  a  bi 4i  abi

  2 2 2 2 25

3 25

8

a

a b a b a b b 

           

2

2 2 25 6a 25 2 75 625 15 25 25

z a    a a  a 

           

Bài toán

Dấu "  " xảy 2

a  b

Khi

4

P a  b

Cho số phức thỏaz 1 Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ

1

P z  z  z

Giải : Đặt z a bi a b  ; a2 b2 1

 2  

   z a b a

      

       

   

   

2 2 2

2

2

2 2 2

   2

        2        

z z a abi b a bi a b a a a bi

a a a b

a a b

             

   

    2a1

Vậy P  2a 1 2a 1

Xét

 

max

1

;1 1

2

2 P P a

P P

  

  

   

   

  

  

Xét

7 13 max

1

1;

1

min

2

P P a

P P

  

 

  

    

    

 

    

 

  



Kết luận

1

13 15

 

4 8

1

 

2

z

z

Max P z i

Min P z i







     

 

    

 

Số phức z 0 thỏa mãn z 2 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

  z i

P

z

Giải:

Ta có 1 i  1 i  1 i  1  1 i  1

z z z z z z

Mặt khác  2 1

z

z suy  

1

P Suy giá trị lớn giá trị nhỏ 1,

2 Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P

Bài toán

Cho số phức z thỏa mãn z 2 3 i 1 Tìm giá trị lớn P  z  1 i Giải:

Ta có: z 2 3 i  z 2 3 i  z 2 3 i  z 2 3 i 1

  1  2 3 3 2  2 3  2 1 13

P z i z i i z i i Vậy Pmax  1 13

Trong số phức z thoả mãn z 3 4i 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z xảy z bao nhiêu?

Giải: Ta có : z 3 4i  z (34 )i  z  3 4i  z 5

4 z z z

           maxz 9 minz 1 Đặt z x yi  ( ;x y)

 TH maxz 9

       

  

 

  

 

   

   

  



2 2

2

81

9 81

3 45

( 3) ( 4) 16

3 4

x y

z x y

x y

x y

z i

Giải hệ phương trình ta thu  27; y 36

5

x   27  36

5

z i

Vậy maxz 9   27  36

5

z i  TH minz 1

       

  

 

  

 

   

   

  



2 2

2

1

1

3 45

( 3) ( 4) 16

3 4

x y

z x y

x y

x y

z i

Giải hệ phương trình ta thu  3; y  4

5

x   

5

z i

Vậy minz 1   5

z i

Cho số phức zthỏa mãn 2i z  1 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ

z ?

Giải:

Ta có    

2 1 1 2 1

2i z   1 i z   z  z i 

Bài toán

Bài toán 10

1 1 1

1 2 2

5 z z 5 z

               

max

1 2

z  z 

Cho số phức zthỏa mãn z 1 2i  10 Giá trị lớn giá trị nhỏ

z   i ?

Giải:

Ta có z 1 2i   z 2i   z (1 )i   z 2i   z 2i  10

Lại có : z 1 2i  z 1 4i  22i z 1 4i  2 2i  z 1 4i 2

10 2 10 2 10

       10 2 10 2

z i z i

z i

          

      

Vậy

max

1 10 2;    10 2

z  i   z  i  

Trong số phức z có mơđun 2 Tìm số phức z cho biểu thức

P  z  z i đạt giá trị lớn

Giải: Gọi z  x yi x y; 

2 2

2 2

z   x y  x y 

2 2

1 ( 1) ( 1)

P     z z i x y  x  y 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai số 1;1 (x1)2 y2; x2 (y1)2 , ta có:

2 2 ( 1)2 2 ( 1)2 4(9 )

P   x y x  y   x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai số 1;1 x y; , ta có:  2

2

x y x y 

2 52 2 13

P P

    Đẳng thức xảy x  y Vậy P đạt giá trị lớn 13 z  2 2i

2 7

1 1

5 5 5

i i i

z       z    z     z   

Bài toán 12

Cho số phức z thỏa mãn z  3 z 8 Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M m ?

Giải: Gọi z  x yi với x y; 

Ta có 8   z z    z z  2z  z 4 Do M max z 4

Mà z    3 z x 3 yi   x yi  8 x32 y2  x 32y2 8 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

 2 2  2 2  2 2 2 2  2 2

81 x3 y 1 x3 y  1  x3 y  x 3 y 

 

 

 2   2 

8 2x 2y 18 2x 2y 18 64

       

2 7 2 7 7

x y x y z

       

Do M min z  Vậy M m  4

Cho số phức z thỏa mãn z  4 z 10 Giá trị lớn nhỏ z bằng? Giải:

Cách 1: Giả sử z  x yi x y  ; 

Ta có 10   z z    z z  2z  z 5

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 100z4 1 z 1 2  z4 2 z 42.2

   

 2 2  2 2  2 2

4 50

a b a b a b z

            Cách 2: Giả sử z  x yi x y  ; 

Từ giả thiết, ta có x42y2  x 42y2 10  *

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi M x y ; F14;0, F24;0  * có dạng

1 2.5

MF MF  Vậy tợp hợp điểm M x y ; biểu diễn số phức z Elip có độ dài trục lớn

a  , tiêu cự F F1 2   8 c Suy độ dài trục bé b a2c2 3

Bài toán 14

Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn z 1  z 1  Gọi z z1, 2 T

các số phức có mơđun nhỏ lớn Tìm số phức z12z2 Giải:

Áp dụng bất đẳng thức: z1  z2  z1 z2  z1 z2 Ta có:

 1  2

3

2

1

z i z i z

z

z z z

      

 

   

 

    

 

 

Dấu ”=” thứ xảy z i  3, kết hợp với z 1 5 ta hệ:

1

1

1

1

1

2

z

z z i

z

   

     

 



Dấu ”=” thứ hai xảy z i 5, kết hợp với z 1 3 ta hệ:

2

2

2

1

1

6

z

z z

z

   

   



 



Suy ta z1 2z2 12 6 i

II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TỐN MIN-MAX 1 PHƯƠNG PHÁP:

Để giải lớp tốn này, chúng tơi cung cấp cho học sinh bất đẳng thức hình học số tốn cơng cụ sau:

Cho đường trịn ( )T cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường tròn ( )T Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ

Giải: TH1: A thuộc đường trịn (T)

Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A

AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A khơng thuộc đường trịn (T)

Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sử AB < AC.

+) Nếu A nằm ngồi đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM AI IM AI IBAB

Đẳng thức xảy M B

AM AI IM AI IC AC Đẳng thức xảy M C

+) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có:

AM IM IAIBIAAB Đẳng thức xảy M B

AM AI IM AI IC AC Đẳng thức xảy M C

Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn

Cho hai đường trịn ( )T1 có tâm I, bán kính R1; đường trịn ( )T2 có tâm J, bán kính R2 Tìm

vị trí điểm M ( )T1 , điểm N ( )T2 cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Giải:

Gọi d đường thẳng qua I, J; d cắt đường tròn ( )T1 hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt ( )T2 hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC)

Với điểm M bất khì ( )T1 điểm N ( )T2

Bài tốn cơng cụ 1

Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D

1

MN  IMIN  IJ IM JN  IJ R R BC Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với

C

Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn

khi M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ

Cho hai đường trịn ( )T có tâm I, bán kính R; đường thẳng  khơng có điểm chung với ( )T Tìm vị trí điểm M ( )T , điểm N  cho MN đạt giá trị nhỏ

Giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn ( )T J

Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường tròn ( )T , ta có: MN IN IM IH IJ JH const

Đẳng thức xảy M H N; I

Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ 2 MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Trong số phức z thoả mãn z 3 4i 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Giải:

 Cách

Gọi z  x yi x y; M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy

2 2

3 4 ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) 16

z  i   x  y   x  y 

Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I(3; 4) , bán kính R =

2

z  x y OM;OI  5 R nên O nằm ngồi đường trịn (T) z lớn OM lớn nhất, nhỏ OM nhỏ

(Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 1- Trường hợp 2)

Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) hai điểm phân biệt

3 27 36

; ; ; 1;

5 5

A   B  OA OB     

Với M di động (T), ta có: OAOM OB  1 OM 9 1 z 9

 OM nhỏ M trùng với A; OM lớn M trùng với B

Bài tốn cơng cụ 3

Vậy z nhỏ 5

z   i; z lớn 27 36

5

z   i  Cách

Gọi z  x yi x y; 

M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy 4i

  A(3; 4) biểu diễn cho số phức 

;   5  

z OM  OA  z  AM;

Theo giả thiết z 3 4i  4 z  4 AM 4

Ta có: OM OA AM   4 OM OA   4 OAOM  4 OA 1 OM 9

1 z

   ;z 1 5

z   i;z 9 27 36

5

z   i Vậy z nhỏ

5

z   i; z lớn 27 36

5

z   i Nhận xét: Ngồi tốn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki phương pháp lượng giác hoá

Trong số phức z thoả mãn điều kiện z z(  2 )i số ảo, tìm số phức z cho

z i

   có mơđun lớn

Giải: Gọi z  x yi x y; 

M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy

( ) ( ) ( 2) ( 4) ( 2) ( 4) ( 4) ( 2)

z z  i  xyi x   y ix x  y y x y y x  i

( )

z z  i số ảo

2 2

( 2) ( 4) ( 1) ( 2)

x x y y x y x y x y

                M biểu diễn cho z thuộc đường trịn (T) có tâm I( 1;2) , bán kính R

2

1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

z i x y i x y AM

             với A(1;1)

5 ( )

IA A T (Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ - trường hợp 1) Vì M điểm di động (T) nên AM lớn

AM đường kính (T)

 M đối xứng với A qua I

I trung diểm

Vậy lớn

AM M( 3; 3)    z 3i    4 2i

 z   3 3i

Trong số phức thoả mãn: , tìm số phức cho đạt giá trị lớn

Giải:

Gọi số thực); biểu diễn điểm ;

được biểu diễn điểm mặt phẳng toạ độ Oxy

M thuộc đường trịn tâm I(1; 1), bán kính R =

M thuộc đường tròn tâm , bán kính

(Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 2)

Đường thẳng IJ có phương trình Đường thẳng IJ cắt đường trịn tâm I hai điểm

Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J điểm

Vậy đạt giá trị lớn

Cho số phức thoả mãn: số thực Tìm số phức cho đạt giá trị nhỏ

Giải: Gọi

biểu diễn cho hệ toạ độ Oxy

M thuộc đường tròn có tâm O, bán kính R =

số thực

1,

z z z1  1 i ;z2 6 6i  z z1, 2

1

z z

1 ;   ;  ( , , ,

z  a b i z  c d i a b c d z1 M a b ;

2

z N c d ;

2

2

1 1 1 ( 1) ( 1)

z    i z  i   a  b 



2

2

2 6 6 36 ( 6) ( 6) 36

z   i   z   i   c  d 

 J 6;6 R'6

2

1 ( ) ( )

z z  ca  db MN

 y x

1

2 2 2 2

; ; ;

2 2

M     M        

   

   

1 2;6 ; 2;6

N   N  

2 1

M N MN M N 5 2 7 z1z2 5 27

    

1 2

max z z 7 khi M  M N, N

 

1

2 2

; 6

2

z     i z     i z1z2

1;

z z z1 1 ;z z2 2 (1 i) 6 2i

1;

z z P z2 2z z1 2 z z1 2

 

1 ;   ;   , , ,

z  a bi z  c di a b c d 

( ; ), ( ; )

M a b N c d

 z z1; 2

2 2

1 1

z   a b  a b   ( )T

   

2 ;

1 ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

z c di

z z i i c di c d i i

c c d d c d d c i

  

   

             

 

          

 c d(  1) d c(       1) c d

Bài toán

N thuộc đường thẳng

Ta có nên khơng có điểm chung

(vì )

(Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 3) Gọi H hình chiếu vng góc O Đoạn OH cắt đường tròn

Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường trịn , ta có:

Đẳng thức xảy

Đẳng thức xảy

Vậy P đạt giá trị nhỏ

Trong số phức có mơđun Tìm số phức cho biểu thức đạt giá trị lớn

Giải: Gọi

Xét Khi đó:

Đẳng thức xảy hướng

Với ngược hướng (khơng thoả mãn) Với hướng (thoả mãn) Vậy P đạt giá trị nhỏ

 :x   y ( ; )

d O    ( )T

1

1 2

( ) ;

( ) 2( )

z z ac bd bc ad i

z z ac bd bc ad i z z z z ac bd

   

        

2 2( ) ( )2 ( )2 1 1

P c d  acbd  ca  bd  MN  a2b2 1

:x y H(3;3)

    

( )T 2; 2

I

           

 ( )T

       3

MN  ONOM  OHOI IH   ;

M I N H  2

3 1 18

P

     

1

2 ; 3 3

2

z   i z   i

183

1

2 ; 3 3

2

z   i z   i

z z

1

P     z z i

 ; 

z  x yi x y

2 2

2

z   x y  x y 

2 2

1 ( 1) ( 1) ( 7)

P    z z i  x y  x  y

 1; , 1 ;  0; 7

u x  y v   x y uv 

7

P u v  uv  u v , (x 1)( y) y(1 x) x

          y

1;

x  y  u v ,

1;

x  y   u v ,

1

z  i

Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn giá trị

nhỏ Tính giá trị

Giải :

Gọi Ta có :

thuộc đường trịn có tâm bán kính

Mặt khác :

Vậy thuộc đường thẳng

Ta có : Để

Trong số phức thoả mãn điều kiện Tìm số phức z có mơđun lớn

Giải: Gọi

biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy

(với )

có tâm O, trục lớn 10; tiêu cự lớn

Vậy lớn

Biết số phức thỏa mãn số thực Tìm giá trị nhỏ

Giải:

Đặt ta có

Ta có:

z z3 4 i  M m,

2

2

P z  zi AM2m2

 , 

z a bi a b  z 3 4 i   a3 2  b42 5

z

  C I 3;4 R 5

   

2 2

2

2

P  z  z i  a  b a  b  a  b P 

z   : 4a2b3P 0

    z C z   

 

   

z

    C     d I ;   R 23

5 13 33

2

P

P



     A1258

z z  3 z 10

 ; 

z  x yi x y

M x y( ; )

2 2

1

3 10 ( 3) ( 3) 10

       10

z z x y x y

MF MF

          

   F1( 3; 0);    (3; 0) F2

( )

M E

  ( ) : 2

25

x y

M E

   

;

z OM OM OM   a M(5; 0)M( 5; 0)

z z    5 z

z u z  3 i z  1 3i z

     ,( )

z x yi x y

 3  1  1  3 2 4 4 6 2 4

u  x   y i x      y i x y  x y  x  y i

4

uR    x y

Bài toán

Bài toán

Tập hợp điểm biểu diễn đường thẳng

điểm biểu diễn , có mơđun nhỏ độ dài OM nhỏ

Tìm suy

Tìm số phức có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Giải:

Gọi

Gọi điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có tâm bán kính Gọi d đường thẳng qua O I

Gọi hai giao điểm d (C)

Ta thấy

Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn hay

Cho số phức thỏa mãn đạt

giá trị nhỏ Tính

Giải :

Ta có :

Xét mặt phẳng phức , xét điểm với điểm biểu

diễn số phức

Ta có :

Vậy ta tìm cho

Do thuộc phía so với đường thẳng

Gọi điểm đối xứng qua Ta có :

Dấu xảy

z d x:   y  ;

M x y z z

OM d

  M2;2 z   2 2i

z 1  13

2

z   i i 

   ( , )

z  x yi x yR z  x yi

2

13 39

(1 )

2

z   i i  x y  x y 

 ;

M x y z

( )

M C

  5; 2

I   

26

R

:

d y x

 

1,

M M 1 15;

4

M     

 

1 ; 4

M    

1

1 ( ( ))

OM OM

OM OI R OM M C

  

     

 M1 15

4

z   i

 , 

z  a bi a b z 1i  z 2i P   z 3i  z

2 P a b

1

z  i z  i   a b

  2 2  2 2

2 3

P  z i   z a  b  a b

Oab M a b A    ; , 2;3 , B 1;0 M

 :

z M  d a  b

  2 2  2 2

2

MAMB  a  b  a b

M d  

min

MA MB

xAyA1xB yB 1 0 A B, d

 A' A d MAMB MA'MBA B'

" " M A B d'  M3 1; P  a 2b

Bài toán

Cho hai số phức z1,  z2 thỏa mãn z12i 3 z2  2 2i  z2 2 4i Giá trị nhỏ biểu thức P  z1z2 bằng?

Giải: Đặt z1 x1y i1 z2 x2 y i2 với x1,   ,   ,  x2 y1 y2 

● z12i  3 x12 y122  9 tập hợp số phức z1 đường tròn  C :x2y22 9

● z2 2 2i  z2  2 4i

  2  2  2 2

2 2 2 2

x y x y y

          

tập hợp số phức z2 đường thẳng d y:  3

Ta có P  z1z2  x2x1 2 y2y12 khoảng cách từ điểm B x y 2; 2d đến điểm A x y 1; 1   C Do 2 1 min

min

z z AB Dựa vào hình vẽ ta tìm ABmin 2 0; ,   0; 3

A  B  Vậy P  z1z2 z1  i z;   2  3i

Nhận xét: Ở đường thẳng đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình nhận hai điểm A & B, khơng viết phương trình đường thẳng qua tâm C vng góc với d, sau tìm giao điểm với C d loại điểm

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI

Trong số phức có mơđun Tìm số phức cho biểu thức đạt giá trị lớn

Hướng dẫn:

o Chuyển qua chế độ số phức: w2

o Nhập biểu thức P :

qcQ)p1$+ qcQ)p1+7b

Màn hình hiển thị:

o Gán X cho đáp án, dùng phím: r

o So sánh kết ta tìm giá trị lớn

Trong số phức thoả mãn điều kiện Tìm số phức z có mơđun lớn

Hướng dẫn:

o Chuyển qua chế độ số phức: w2

o Nhập biểu thức: vào máy tính:

qcQ)p3$ qcQ)+3$p10

Màn hình hiển thị:

o Dùng phím r để nhập đáp án, đáp án cho kết thỏa mãn điều kiện Ta thấy đáp án A,B,C thỏa mãn điều kiện đề đáp án B có mơđun lớn Chọn B

z z

1

P     z z i

.1 i                           

A  B i C i D  i

z z  3 z 10

9 12

.4        5              i

5

A  i B C  i D 

3 10

z   z

3 10

z  z 

Bài toán

V BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 ĐỀ BÀI

Câu 1. Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn giá trị nhỏ

A B C D

Câu 2. Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ

A B C D

Câu 3. Trong số phức thỏa mãn: số phức có modul nhỏ

A B C D

Câu 4. Trong số phức thỏa mãn: số phức có modul nhỏ

A B C D

Câu 5. Trong số phức thỏa: biết số phức có modul nhỏ Khi đó, giá trị

A B C D

Câu 6. Trong số phức thỏa mãn: , biết số phức có modul nhỏ Khi đó, tỉ số

A B C D

Câu 7. Cho số phức thỏa mãn điều kiện Giá trị lớn

A B C D

Câu 8. Cho số phức thỏa mãn Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ

A B C D

Câu 9. Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn

A B C D

Câu 10. Cho số phức thỏa mãn Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ Giá trị

A B C D

Câu 11 Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn đường trịn Diện tích S đường tròn bao nhiêu?

z z 2 2i 1 z

2 21;2 21 21; 21 2;1 31; 31

z z 1 2i 4 z

5 5 5

z z 3 4i  z z

11

z  i

2

z   i 5

2

z    i

z    i z z 2 4i  z 2i z

2

z    i z   2 2i z  2 2i z  2 2i z z 3 4i  z, z  a bi a b, ,  

2

P a b

1

P 

2

P 

4

P  

2

P  

z z  1 5i   z i

 

, ,

z  a bi a b a

b

3

3

2

3 P  

z z  2 i z1

21 21

z 2i z  1 1

z 

3 2

5

z z 1 2i  10 z  1 4i

10 10 3 10 10

z z 1 2i 

z i T M2 m2

50

T T 64 T 68 T 16

2

0 z   z z

A B C D

Câu 12. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa hình vành khăn Chu vi P hình vành khăn bao nhiêu?

A B C D

Câu 13. Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn Tập hợp điểm M là?

A B

C D

Câu 14. Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức thỏa Nếu số phức có mơđun nhỏ phằng ảo bao nhiêu?

A B C D

Câu 15. Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức thỏa Tìm số phức biểu diễn điểm M cho MA ngắn với

A B C D

Câu 16. Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức thỏa Nếu số phức có mơđun lớn số phức có phần thực bao nhiêu?

A B C D

Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn : Gọi A B giá trị lớn nhỏ Khi có giá trị

A 20 B 18 C 24 D 32

Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn : Gọi A B giá trị lớn nhỏ Khi có giá trị C

A 10 B -10 C 12 D -12

Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn : Gọi A B giá trị lớn nhỏ Khi có giá gần

A 20 B 18 C 64 D 32

Câu 20: Xét số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn

A B C D

Câu 21: Xét số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ

A B C D

Câu 22: Cho số phức thoã mãn Gọi giá trị lớn nhỏ

S   S 2 S 3 S 

1   z i

4

P   P  P 2 P 3

2

z    z

 : 2

16 12

x y

E    

2

:

12 16

x y

E  

    2 2

: 2 64

T x   y    T : x2 2 y22 8 z z5i 3 z

0

z z 2i 1 zi z

 1;

A

3i 13i 23i  2 3i

z z   1 i z z

2 2

  2

 2

 2



1

z  i

2

z A2B2

1 2

z  i 

z i A B

1  2

z   i i 

1

z  i 2A2B2

z z 2 3i 1 z  i

1 13 2 13

z z   i z 4i2 z2i1 98

102

7 10.

470.

A B C D

Câu 23: Cho số phức thoã mãn Gọi giá trị lớn nhỏ Giá trị biểu thức gần

A B C D

Câu 24: Cho số phức thoã mãn Giá trị lớn

A B C D

Câu 25: Trong tất số phức thỏa mãn tìm số phức có mođun nhỏ

A B C D

Câu 26: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn

A B C D.

Câu 27: Cho số phức thoã mãn điều kiện Gọi số phức thoã mãn điều kiện Giá trị nhỏ biểu thức là:

A B C D.

Câu 28: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Tổng

A B C D

Câu 29:Gọi nghiệm phương trình Gọi điểm

biểu diễn mặt phẳng phứC. Khi độ dài

A B C D

Câu 30 :Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện biết số phức thỏa mãn

A B

C D

43

P  P 80 P 8 P48

z z  1 i A B

z i P 2AB2

z 1

1

i

z i

i



  

 A  z i

2 52 2

z 1 

1

i z i



 

 z

min

z 

min 2

z   zmin 0

min

z 

z z 2 3i 1 z 1 i

13 2. 13 1.

z z2i   z 2i w

1 

w  i z P  w

min

1

P  min

34

P  min

41

P  min

3

P 

 , 

z  x yi x y z     1 i z 3i 

,

M m P x z M 2m

54

 27 18 9

1

z z2 z24z 9 M N,

1,

z z MN

4

MN MN 5 MN 2 MN 

,

Oxy M w

1  3,

w  i z z z z2 5

 2  2

1 125

x  y  x52y42 125

2 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1A 2B 3B 4D 5A 6B 7A 8B 9C 10C 11D 12C 13A 14C 15A

16A 17C 18A 19C 20A 21C 22A 23C 24D 25A 26D 27B 28A 29C 30A

Câu Ta có

Lại có Chọn A

Câu 2. Ta có Chọn B

Câu 3. Ta có

Chọn B

Câu 4. Ta có

Chọn D

Câu 5. Ta có

Chọn A

Câu 6. Ta có

Chọn B

Câu Đặt ,

Chọn A

Câu Ta có

Đặt ,

2 2 2 2

z  i     z z i z  z  

2 2 2 2 2

z   i  i   z i i  z  z  

4   z 2i  z  1 2i  z   z 3

  2 2 2 2 25

3 4 25

6

b a  bi i  abi  a  b a b   a b  a 

2

2 25 2 25 2 100 625 10 25 25

2

6 9 36 3 4

b

z    b b b  b  b a

                

   

  2 2 2  2

2 2

a  bi i  a bi i  a  b a  b

20 4a 8b 4b 4a 4b 16 b a

          

   

2 2 2

4 16 2 2

z a a a a a a b

             

  2 2 2 2 25

3 4 25

8

a a  bi i  abi  a  b a b   a b  b 

2

2 2 25 25 2 75 625 15 25

2

8 16 16 64

a

z a    a a  a  a b

              

   

  2  2  2 2

1 5

a  bi i     a bi i a  b  a  b

26 2a 10b 10 6a 2b 4a 12b 16 a 3b

           

 

2 2 2 12

4 10 24 16 10

5 5

10

z b b b b b  b a

                

1

w    z z w

2 max

2 1 1 1

z  i w   i w     

2  1 2  1

2 5

2 5

i z i

i z z z

i

i i

 

           

 

1

w    z z w 

2

max

2 7 1

2

5 5 5 5 5 5

i i

Và Vậy Chọn B

Câu Ta có

Đặt ,

Vậy giá trị lớn Chọn C

Câu 10 Đặt ,

Suy Chọn C

Câu 11 Đặt , ta có Khi đó, giả thiết

Suy tập hợp biểu diễn số phức đường tròn tâm , bán kính Chọn D Câu 12. Đặt , ta có

Tập hợp điểm biểu diễn số phức nằm bên ngồi hình trịn có tâm , bán kính

Tập hợp điểm biểu diễn số phức nằm bên hình trịn có tâm , bán kính

Vì hai đường trịn đồng tâm nên chu vi hình vành khăn

Chọn C Câu 13 Xét điểm , ta có

Tập hợp điểm Elip Chọn A Câu 14 Giả sử M điểm biểu diễn số phức Xét điểm

Tập hợp điểm điểm khơng nằm ngồi đường trịn tâm bán kính Chọn C.

Câu 15 Xét điểm Tập hợp điểm đường thẳng trung

2

max

7 1

2

5 5 5

w        

    wmin  wmax 2

2

1 10 10

z  i   z  i  z 1 i z  1 2i 10

z i z 2i 10

       z 1 i z 1 2i 10  z 2i  10

1 4

w   z i  z w  i z 1 2i  w 2 6i  10

2

max 10 10 max 10

w       z i 

2

w       z i z w i

1 2 3

z  i  w   i i  w  i 

2

2

max

2

3 4

68

3 4

M w

M m

m w

      

          



 , 

z  x yi x y z  x yi z  x2y2

 

2 2 2 2

0 1

z    z z x y  x yi x yi  x y 

z I1; 0 R  1 S C 

 , 

z  x yi x y

    2 2   2 2

1 1 1 1 1

z   i x   y i  x  y   x   y  

z I1 1;1 R1 1

    2 2   2 2

1 1 1 1

z   i x  y i  x   y   x  y  

z I2 1;1 R2 2

P P C2C2 2R2R12 

 

1 2;0

F F22;0 MF1MF2  8 2a a

2 2

1 2 12

F F   c  c b a c    : 2

16 12

x y

E  

z A 0;5 AM 3

M A R3

5

OM AO AM

     

1; , 0; 1

B  C  MBMC  M

Ta có: trung điểm Phương trình đường trung trực là:

Lại có:

Dấu hình chiếu lên

Khi đó:

Chọn A

Câu 16 Giả sử M điểm biểu diễn số phức Xét điểm

Tập hợp điểm điểm không nằm ngồi đường trịn tâm bán kính Dấu giao điểm

(chọn điểm xa O hơn)

Chọn A Câu 17 Giả sử M điểm biểu diễn số phức Xét điểm Tập hợp điểm điểm khơng nằm ngồi đường trịn tâm bán kính

Ta có: Chọn C

Câu 18 Giả sử M điểm biểu diễn số phức Xét điểm Tập hợp điểm điểm khơng nằm ngồi đường trịn tâm bán kính

Ta có: Chọn A

Câu 19. Ta có

Giả sử M điểm biểu diễn số phức Xét điểm Tập hợp điểm điểm khơng nằm ngồi đường trịn tâm bán kính

Ta có:

Chọn C Câu 20: Giả sử

Ta có

Chọn A  BC :x   y BC 1;

2

H    

BC

:x y

    AM d A ,  2

M A 

  2 2   2 2

2 M M M M

AM   x   y    x   x  

 2  

xM xM M 3;1

     

z A1;1AM 1

M  C A R1

2

OM AO AM

     M  C OA y:  x

  2 2

2 2

2

1 1

M M

M M

M M

x y

x x

x y

       

        



z F2; 0 E1; 1  EM 

M  C E R

2

10 10 24

FEEM MF FEEM   MF   A B 

z F0; 1  E1;2EM 2

M  C E R2

2 10 10 10

FEEM MF FEEM   MF   AB

1  2

1 2

i i

z i i z z

i

               

  

z F 1; 3 3; 2

E   EM   

M  C E R

2

3 10 10

2 2 64

2

FEEM MF FEEM   MF    A B 

  2 2 sin

2 3

3 cos

a x

a bi i a b

b x

   

          

   

       

2 2 2

1 1 sin cos

z  i    a bi i  a  b   x   x

   2 2 

14 sinx cosx 14 sin x cos x 14 13 z i 1 13

Câu 21: Ta có

Khi

Chọn C Câu 22: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm bán kính

Khi ;

Suy Chọn A

Câu 23: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm bán kính

Gọi ;

Do Chọn C

Câu 24: Ta có:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm bán kính

Gọi suy Chọn D

Câu 25:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm bán kính

Ta có: Chọn A

Câu 26: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm bán kính

Gọi Gọi

Do Chọn D

Câu 27: Ta có:

Gọi suy nên tập hợp điểm

M trung trực AB có PT là:

Ta có: Chọn B

Câu 28: Đặt suy

Từ giả thiết ta có

thuộc đường thẳng với

  2  2  2 2

1 1

abi    i a bi i  a  b  a  b

2 2a 2b 20 4a 8b 2a 6b 18 a 3b

             

       

2 2 2

2 1

z i  a bi i  a  b   b  b

2

2 22 98 98 10

10 44 68 10

5 5

10

b b b  z i

            

 

z I3; 4  R2

max

A z OI    R

min

B  z OIR  43

P 

z I 1;1 R 

2; 1

K 

max

2

A  z i IK R   B  5

2

2

P  AB 

1

1 2 2

1

i

z i iz i i z i z i

i



               

z I 1; 1 R2

2; 1

K  Amax IK R 5

1  1 1 

2 1

1 1

i z i i

z z i

i i i

  

          

z I 0;2 R1

min

z OI R 

z I 2; R1

   

1 1

z  x yi  z   i x yi  i x  y i K1;1

max

1 13

z i IK R  

   

2 2 1

z  i   z i  i z  i  i z  i

4

w i w i

      A4; ;   B 1; M w  MAMB  

3x5y 5 d  

min

5 ;

34

w OM OM d O d 

 ,   z  ;

z  x yi x y  M  x y A  1;1 ,B 2;3 AB    2 2   2 2

1 1

z     i z i  x  y  x   y MAMB AB

M

  AB : 2x      y y 2x1 x    2; 1

Khi Đặt

Xét hàm số đoạn , có

Suy hàm số đồng biến Chọn A

Câu 29 :Ta có Suy

Chọn C Câu 30 :Gọi với điểm biểu diễn cho số phức

Ta có

Theo giả thuyết

Suy Chọn A

 

2 2 3 2

P x z x x  x   x  x x

   

3

5

f x  x  x x

 

f x  2; 1 f x' 15x28x  1 0;    x  2; 1

 

 

 

f x  2; 1  

 

1

2 54

2 26

M f

M m

m f

     

         

1

2

2

4

2

z i

z z

z i

   

    

  

    

2; , 2;

M  N MN 2

 ;

M x y x y,  M w  x yi

1 

w   i z  3 1 2

1 5

x yi i

x yi x y x y

z i

i

    

       

    



  2 2

2

2 5 625

5

x y x y

z         i   x y  x  y 

  2 2

1 125

E DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

I LÝ THUYẾT

Gọi điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu , tia cuối gọi acgumen

Như  acgumen , acgumen có dạng: +2k,kZ

Xét số phức z = a + bi 

Dạng lượng giác có dạng:

Để chuyển số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r ;

o Ta có :

o  số thực thoả mãn :

Nếu z = r(cos +isin) ; z' = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: ’

z z = r.r[cos( +’) +isin( +’)]

[z = r(cos +isin)]n = rn(cos n +isin n)

Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0)

Khi z có hai bậc hai là:

- =

M z

Ox OM z

z



( ,a b )

 

 (cos  sin )

z r i r 0



r z

os sin

a c

r b r

 

  



  

     

os ' + sin ' ;

' '

z r c i khi r

z r    

 

     

os isin

2

r c    

os isin

2

r c   

  r cos isin

 

 

                          

 

1 Acgumen số phức

2 Dạng lượng giác số phức

3 Nhân chia số phức dạng lượng giác

4 Công thức Moivre

II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Viết số phức sau dạng lượng giác:

a b c

Giải:

a) Ta có:

Chọn  số thực thoả mãn

b) Ta có =

Chọn  số thực thoả mãn

c)Ta có:

Chọn  số thực thoả mãn

Viết số phức sau dạng lượng giác:

a) b) c)

Giải:

a) Ta có: ;

Áp dụng cơng tthức nhân, chia số phức ta được:

b) =

 

1 6

z i z2 

4 i

  z3  5 2i

2

1 6

r   

1 os 2 sin c          

1 2( )

4 z cos i is n4

         r 2

1

4

                        os sin c           2

2 ( )

3

3 z 12cos isin



  

    

2 2

3

5

5

2

r              os sin c          

3 cos sin

6 z i

                  

(1 i) i

1 i i   22i



1 i 2 os isin

3

c  

                      

1 i os i sin

4

c  

        



(1 i ) 1 i2 os isin

12 12

c  

                   i i   7 os isin 12 12

c  

              

 

 

Bài toán

c) = = =

Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) b)

Giải: a) Xét số phức:

Vậy: phần thực bằng: phần ảo b) Xét số phức:

Vậy: phần thực bằng: phần ảo 128

Tính số phức sau: z =

Giải:

2 2i

1 (1 ) i

1

2 os isin

4 c 4

                     os isin

2 c 4

                       10 (1 ) i i  

os i sin (1 )

3

c   i i

              10 10 9 5

2 os- i sin os- i sin

4 12 12

(1 )

3

3 2 os i sin os i sin

2

6

      

c c

i

i c c

                                                         1       16 ( osc  i sin )

    16 

os i sin (1 )

3

c   i i

            7 7

os i sin os i sin

3 3

7

2 os i sin os i sin

3 3

2 os2 i sin 2

c i c

c i c

c i i

                                                                                10 10

(1 )

1 i i i      z

 10 10

5 10 10

2 os i sin os i sin

4 6

4

2 os isin

3 c c c                                                       

Bài toán

10

10

10 10 5

2 os i sin os i sin

4 6

40 40

  15

2 os isin

3

5

os i sin

3

( )    ( )

40 40    

os isin

3

cos p isin p

c c

c c

c

   

 

 

 

                                

 

 

             

                 

      

III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI

Đưa máy tính dạng rađian qw4

Để chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, chế độ CMPLX ta bấm

q2 chọn 3

Để chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, chế độ CMPLX ta bấm q2 chọn 4

Viết số phức dạng lượng giác Hướng dẫn:

o Đưa máy tính dạng rađian qw4

o Vào chế độ CMPLX w2

o Nhập số phức z: 7+7b

o Nhấn q23 để chuyển sang dạng lượng giác

o Kết thu là:

Số phức z chuyển sang dạng lượng giác với acgument

Viết số phức z= (cos + isin ) dạng đại số

Hướng dẫn:

o Đưa máy tính dạng rađian qw4

o Vào chế độ CMPLX w2

o Nhập số phức z dạng lượng giác chuyển số phức qua dạng đại số sau:

s2$qzpaqKR4$q24=

o Màn hình cho kết là:

7

z   i

7

r 

4

 

7 os isin

4

z c  

                                

2

4



       

 



         

PP CASIO

Bài toán

Số phức 3

i z

i

 

 có Acgument :

A.



B.



C.

2



D.8



Hướng dẫn:  Thu gọn z dạng tối giản    z 3i

a5+3bs3R1p2bs3=

 Tìm Acgument z với lệnh SHIFT

q21p1+s3$b)=

Vậy z có Acgument



Tuy nhiên so sánh kết ta lại khơng thấy có giá trị

3



Khi ta nhớ đến tính chất “Nếu góc  Acgument góc 2 Acgument”

 Đáp số xác D 2

2

 



 

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC

Giải phương trình: z5 z4 z3 z2 z 10 1  Giải: Ta có: (1)  z z4 1z z2 1  z 10

 z 1z4 z2 10 

Xét phương trình: z4 z2 1  z2 =



Từ z2 = 

Từ z2 = 

Tóm lại phương trình cho có tất nghiệm:

z   ; z  ; z  ; z  ; z 

Cho z1 z2 hai số phứ xác định z1 1i z2 1 –i Xác định dạng đại số dạng lượng giác Từ suy giá trị xác của: cos sin

Giải:

Ta có: = =

Ta có: z1 = 2(cos + isin ); z2 = (cos + isin ) = (cos + isin ) 

cos = sin =

4 1 z z z          i   2

1 2

os i sin

2 3

1 2

os i sin

2 3

z i c

z i c

                                 2

os i sin

3

c   os3 i sin3

os -i sin

3 z c z c                2

os i sin

3

c        

os i sin

3

os -i sin

3 z c z c                                       

2  i

1

2 i

 

2 i

1

2 i

  z z 12  12  z z i i  

1 3

2 i

                2         

 

           z z 12  12 



2





2



Bài toán

Nhận xét: Qua tập ta thấy ứng dụng quan trọng số phức, ta tính sin, cos góc công cụ số phức thông qua liên hệ dạng đại số dạng lượng giác số phức

Giải phương trình:

Giải: Ta có: : z6 64 0 z6  64

Giả sử z x yi r(cosisin) Ta có: 64 64 cos(  isin)

Và cos6  + isin6  = cos  + isin   =  +2k  (k  Z)  =

Với k  0z1 2 = +i

Với k   1 z1 2 = -i

Với k 1z1 2 = 2i

Với k   2 z1 2 = -2i

Với k   3 z1 2 = - - i

Tìm n số nguyên dương cho số phức số thực Giải:

Ta có: + i =  z = 2n

Để z  R  2n.sin =  sin =

 n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  [3;6;9]

6 64 0

z  

2 k

 



os isi

6

c  n 

          

os - isi

6

c  n 

                          

os isi

2

c  n 

          

os - isi

2

c  n 

                          

5

os - isi

-6

c  n 

                        

  3

1,10

n    z 1i 3n

3 os i sin

3

c  

        

  os i sin

n n

c  

          

3

n

3

n

Bài toán

V BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1:Số phức z = -1 + i viết dạng lượng giác là:

A z = B z =

C z = D z =

Câu 2:Số phức z = 8i viết dạng lượng giác là:

A z = B z =

C z = D z =

Câu 3:Dạng lượng giác số phức z = là:

A z = B z =

C z = D

Câu 4:: Số phức z = 8i viết dạng lượng giác là:

A B

C D

Câu 6:Cho số phức z = - - i Argumen z (sai khác k2) bằng:

A B C D

Câu 7:Điểm biểu diễn số phức z = có toạ độ là:

A (1; -1) B (-1; 1) C (2; 2) D (-2; 2)

Câu 8:Cho , Tích z1.z2 bằng:

A 12(1 - i) B C D

Câu 9:Cho , Tích z1.z2 bằng:

A 6(1 - 2i) B 4i C 6i D 6(1 - i)

Câu 10:Cho , Thương bằng:

A + i B C - i D 2(1 + i)

Câu 11:Cho , Thương bằng:

A 2i B -2i C 2(1 + i) D 2(1 - i)

Câu 12:Tính (1 - i)20, ta được:

2 cos sin

6 i

 

        

  cos4 isin

             3

2 cos sin

4 i

 

        

  cos6 isin6

             3

8 cos sin

2 i

 

        

  cos2 isin2

              

8 cos 0isin cos isin

2 cos sin

6 i

             11 11

2 cos sin

6 i

             7

2 cos sin

6 i

             5

2 cos sin

6 i

             13 13

2 cos sin

6 i

            

8 cos sin

6 i

 

        

  cos4 isin4

            

6 cos sin

5 i

 

          

  cos7 isin7

                

 0

2 cos 315 isin 315

 0

1 cos15 sin15

z  i  0

2 cos 30 sin 30

z  i

 

6 1i 2  i 2 i

 0

1 cos 20 sin 20

z  i  0

2 cos110 sin110

z   i

 0

1 cos100 sin100

z  i  0

2 cos 40 sin 40

z  i

2

z z

3 1 i 3

 0

1 cos10 sin10

z  i  0

2 cos 280 sin 280

z   i

2

A -1024 B 1024i C 512(1 + i) D 512(1 - i) Câu 13:Đẳng thức đẳng thức sau đúng?

A (1+ i)8 = -16 B (1 + i)8 = 16i

C (1 + i)8 = 16 D (1 + i)8 = -16i

Câu 14:Cho số phức z  Biết số phức nghịch đảo z số phức liên hợp Trong kết luận đúng:

A z  R B z số ảo

C D

Câu 15:Cho số phức z = cos + isin kết luận sau đúng:

A B

C D

Đáp án:

1. C 2. B 3. D 4. B 5. 6. C 7. A 8. B 9. C 10.A 11.B 12.A 13.C 14.C 15.B

z  z 2

  cos

n n

z  z n  zn  zn 2 cosn

  cos

n n

F TUYỂN TẬP CÁC CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO

I ĐỀ BÀI

Câu 1.Cho số phức z z1, khác thỏa mãn: z1  z2 Chọn phương án đúng:

A 2

0

z z z z

 

 B

1 2

z z z z



 số phức với phần thực ảo khác

C

1

z z z z 

 số thực D

1 2

z z z z 

 số ảo

Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2 Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w2z 1 i hình trịn có diện tích

A S 9 B S 12 C S 16 D S 25

Câu 3.Trong số phức thỏa mãn điều kiện z 3i  z 2 i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất?

A z  1 2i B 5

z    i C 5

z   i D z   1 2i

Câu 4.Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn z 1 i A 132 B 4 C 6 D 131

Câu 5.Cho z1,   ,  z2 z3 số phức thỏa mãn z1z2z3 0 z1  z2  z3 1 Khẳng định sai ?

A z13z23 z33  z13  z23  z33 B z13 z23z33  z13  z23  z33 C z13 z23 z33  z13  z23  z33 D z13 z23z33  z13  z23  z33

Câu 6.Cho z z z1, ,2 3 số phức thỏa z1  z2  z3 1 Khẳng định đúng? A z1z2 z3  z z1 2 z z2 3 z z3 1 B z1z2 z3  z z1 2 z z2 3 z z3 1 C z1z2 z3  z z1 2 z z2 3 z z3 1 D z1z2 z3  z z1 2 z z2 3z z3 1 Câu 7.Cho P z  đa thức với hệ số thực.Nếu số phức z thỏa mãn P z 0

A P z 0 B P z         

  C

1 0.

P z         

  D P z 0 Câu 8.Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt

2

z i A

iz

 

 Mệnh đề sau đúng?

A A 1 B A 1 C A 1 D A 1

Câu 9.Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A 5i z  

Câu 10.Gọi M điểm biểu diễn số phức 22 z z i

z

  

 , z số phức thỏa mãn 2i z i  3 i z Gọi N điểm mặt phẳng cho Ox ON, 2

 

,  Ox OM, 

 

góc lượng giác tạo thành quay tia Ox tới vị trí tia OM Điểm N nằm góc phần tư nào?

A Góc phần tư thứ (I) B Góc phần tư thứ (II) C Góc phần tư thứ (III) D Góc phần tư thứ (IV)

Câu 11.Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn Mmax giá trị nhỏ Mmin biểu thức M  z2  z z3 1

A Mmax 5;  Mmin 1 B Mmax 5;  Mmin 2 C Mmax 4;  Mmin 1 D Mmax 4;  Mmin 2

Câu 12.Cho số phức z thỏa z 2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức z i

P z 



A

4 B C D

2

Câu 13.Gọi z1,   ,   ,  z2 z3 z4 nghiệm phương trình

4

1

1

z z i

           

  Tính giá trị biểu thức

    

1

P  z  z  z  z 

A P 2 B 17

9

P  C 16

P  D 15

P 

Câu 14.Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm mơđun lớn số phức z2 i A 266 17 B 266 17 C 268 17 D 264 17

Câu 15.Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P   1 z 1z

A 15 B C 20 D 20

Câu 16.Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   z z2 z Tính giá trị M m

A 13

4 B

39

4 C 3 D

13

Câu 17.Gọi điểm A B,   biểu diễn số phức z ;   0

i

A Tam giác OAB B Tam giác OAB vuông cân O C Tam giác OAB vuông cân B D Tam giác OAB vuông cân A Câu 18.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Khẳng định sau đúng?

A B

C D

Câu 19.Cho số phức thỏa mãn Tìm mơđun lớn số phức

A B C D

Câu 20.Cho bốn điểm mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn số phức Biết tứ giác nội tiếp tâm Tâm biểu diễn số phức sau đây?

A B C D

Câu 21.Trên mặt phẳng tọa độ lấy điểm điểm biểu diễn số phức gọi góc tạo chiều dương trục hồnh vectơ Tính

A B C D

Câu 22.Cho hai số phức liên hợp thỏa mãn Tính mơđun số phức

A B C D

Câu 23.Cho số phức nguyên dương Có giá trị để số ảo?

A 24 B 26 C 25 D 50

Câu 24.Nếu

A lấy giá trị phức B số ảo

C D lấy giá trị thực

Câu 25.Cho số phức thỏa mãn Tìm mơđun lớn số phức

A B C D

2 4 2

z   z

3

6 z

 

  5 1 z  51

6 1 z  61 2

3 z

   

z z 1 2i 2 z

94 114 64 56

,   ,   ,   A B C D

12 ;  1i  i;  1 3i;  1 2 i ABCD I I

3

z  z  1 i z 1 z  1

,

Oxy M z 2i 2 4i

 OM cos2 

425 87

 475 87

475 87

 425 87

1,  

z z

2

z

z   z1z2 2

z

1

z  z1 3 z1 2 1

2

z 

2 ,

m

i z

i

        

  m m 1;50      z

1

z  z2

z



z 1i z  6 2i  10 z

Câu 26.Gọi số phức thỏa mãn hai điều kiện đạt giá trị lớn Tính tích

A B C D

Câu 27.Có số phức thỏa

A B C D

Câu 28.Gọi điểm biểu diễn số phức ; mặt phẳng tọa độ ( không thẳng hàng) Với gốc tọa độ, khẳng định sau đúng?

A Tam giác B Tam giác vuông cân C Tam giác vng cân D Diện tích tam giác khơng đổi Câu 29.Trong số phức thỏa mãn điều kiện Tìm mơđun nhỏ

số phức

A B C D

Câu 30.Tìm điều kiện cần đủ số thực để phương trình khơng có nghiệm thực

A B

C D

Câu 31.Nếu

A lấy giá trị phức B số ảo

C D lấy giá trị thực

Câu 32.Cho số phức thỏa mãn Tìm mơđun nhỏ số phức

A B C D

Câu 33.Gọi điểm biểu diễn số phức , số phức thỏa mãn Gọi điểm mặt phẳng cho ,

 

  ,

z  x yi x y z22 z 22 26

3

2

z  i xy

9

xy  13

2

xy  16

9

xy 

2

xy 

z z 1

i z 



 1?

z i z 

 

,  

A B z1 z2;  z z1 2 0

,   ,  

A B C A B C,   ,    2

1 2

z z z z O

OAB OAB O

OAB B OAB

2

z  i  z i

z i

5 3

,  

m n z4 mz2 n 0

2 4 0.

m  n m24n0

2 4 0

0

m n

m n

   

     

2 4 0

0

0

m n

m n

   

     

2 4 0

m  n

2 4 0

0

m n

m n

   

     

 

;  

z a a z2 a

z



z z 1 2i 3 z 1 i

4 2 2

M 2z 2z i

z i

   

 z

đó góc lượng giác tạo thành quay tia tới vị trí tia Điểm nằm góc phần tư nào?

A Góc phần tư thứ (I) B Góc phần tư thứ (II) C Góc phần tư thứ (III) D Góc phần tư thứ (IV)

Câu 34.Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện biểu thức đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức

A B

C D

Câu 35.Các điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ ( không thẳng hàng) Biết

, khẳng định sau đúng? A Hai tam giác

B Hai tam giác có trực tâm C Hai tam giác có trọng tâm

D Hai tam giác có tâm đường trịn ngoại tiếp Câu 36.Trên mặt phẳng tọa độ lấy điểm điểm biểu diễn số phức

và gọi góc tạo chiều dương trục hồnh vectơ Tính

A B C D

Câu 37.Cho số phức Tìm mơđun lớn

A B C D

Câu 38.Cho số phức có Với tìm phần thực số phức

A B C D

Câu 39.Cho số phức thỏa mãn , biểu diễn mặt phẳng phức điểm Biết , tính giá trị biểu thức

A B C D

Ox OM, 

   Ox OM

N

z z 3 4i 

2

2

M  z  z i zi

2 41

z  i z  i

5

z  i z i 41

,   ,  

A B C A B C,   ,   

1,   ,  2

z z z z1,   ,  z2 z3

,   ,  

A B C A B C,   ,   

1 3

z z z zzz

ABC A B C   ABC A B C  

ABC A B C  

ABC A B C  

,

Oxy M z 23 1i i

 OM sin 

5 12

 12

12

12



 ,

1

m i

z m

m m i

 

 

   z

1

z z m;  m0 z m;  

mz

m

m

1 4m

1 2m

1,

z z z1  z2 2

,

M N  , 

6

OM ON 

   

1

z z z z

 

13

2

Câu 40.Cho thỏa mãn thỏa mãn Biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức đường trịn , bán kính Khi

A B

C D

Câu 41.Trong số phức thỏa , gọi số phức có mơ đun nhỏ Khi A Không tồn số phức B

C D

Câu 42.Tìm tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức mặt phẳng phức, biết số phức thỏa mãn điều kiện:

A Tập hợp điểm cần tìm đường trịn có tâm có bán kính B Tập hợp điểm cần tìm đường elip có phương trình

C Tập hợp điểm cần tìm điểm mặt phẳng thỏa mãn phương trình

D Tập hợp điểm cần tìm đường elip có phương trình

Câu 43.Trong mặt phẳng phức , số phức thỏa Tìm số phức biểu diễn điểm cho ngắn với

A B C D

Câu 44.Trong mặt phẳng phức , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa hình vành khăn Chu vi hình vành khăn ?

A B C D

Câu 45.Trong mặt phẳng phức , tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn hai đường thẳng Khoảng cách đường thẳng ?

A B C D

Câu 46.Cho số phức thỏa mãn Tính , với

A B C D

z  2 i z 10 2i z

   

3 

w   i z  i I R

 1; 2,

I   R  I 1;2 ,R

 1;2 ,

I  R I1; ,  R 5

z z  3 4i 2 z0

0

z z0 2

0

z  z0 3

M z

z z   4 z 10

 0;

O R4

2

1 25

x y

 

 ;

M x y Oxy

 2 2  2 2

4 12

x  y  x y 

2

1 25

x y 

Oxy z z 2i 1 zi z

M MA A 1,

3i 13i 23i  2 3i

Oxy 1   z i

P

4

P   P  P 2 P 3

Oxy Z

 2 2

2 2 16

z  z  z  d d1, 2 d d1, 2

 1, 2

d d d  d d d 1, 24 d d d 1, 21 d d d 1, 26

z z2 2z5  z 1 2 i z 3i 1 |w | 2

w z   i

3 | |

2

w  |w| 2 |w | 1 | |

2

Câu 47.Giả sử theo thứ tự điểm biểu diễn số phức , Khi độ dài

A B C D Câu 48.Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn

A B C D

Câu 49.Trên mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn

điều kiện

A Đường tròn B Elip C Đường tròn D Elip

Câu 50.Tìm nghiệm phức thỏa mãn hệ phương trình phức:

A B C D

,

A B z1 z2 AB

2

z z z2 z1 z1  z2 z1  z2

z z 1

2

T  z    i z i

maxT 8 maxT 4 maxT 4 maxT 8

Oxy z

2 10

z   z

  2 2

2 100

x  y 

2

1 25

x y 

  2 2

2 10

x  y 

2

1 25 21

x y

 

z

1

1

z z i

z i z i

    

      

2

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

1D 2C 3C 4D 5D 6A 7D 8A 9C 10A 11A 12A 13B 14A 15D 16A 17C 18B 19A 20C 21D 22C 23C 24B 25B 26D 27A 28A 29C 30D 31B 32C 33B 34D 35C 36A 37A 38D 39B 40C 41D 42D 43A 44C 45B 46C 47B 48B 49D 50D

Câu

Phương pháp tự luận:

Vì nên hai số phức khác

Đặt , ta có

Từ suy số ảo Phương pháp trắc nghiệm:

Số phức khác thỏa mãn nên chọn , suy số ảo Chọn D.

Câu

Giả sử ,

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức hình trịn tâm , bán kính Vậy diện tích cần tìm Chọn C.

Câu

Phương pháp tự luận Giả sử

1

z  z z1 z2

1 2

z z w

z z

 

 z1  z2 a

2

2

1 2 2

1 1 2

1

1

a a

z z z z z z z z

w w

z z z z a a z z

z z



      



      

      

w

1,

z z z1  z2 z1 1;z2 i

1

1

z z i

i

z z i

 

 

 



1

2

2

w i

w  z    i z  

 

1

3 4

2

w i

z  i       i   w   i i   w  i 

 , 

w  x yi x y   1  x7 2 y92 16

w I7; 9  r 4

2

.4 16

S    

 ,  z  x yi x y 

      2   2  2 2

3 3

z i    z i x y i  x  y i x  y  x   y

6y 4x 2y 4x 8y x 2y x 2y

                

 2

2 2 1 5 4 1 5

5 5

Suy Vậy Chọn C. Phương pháp trắc nghiệm

Giả sử

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện đường thẳng

Phương án A: có điểm biểu diễn nên loại A Phương án B: có điểm biểu diễn nên loại B Phương án D: có điểm biểu diễn nên loại B Phương án C: có điểm biểu diễn

Câu Gọi ta có

Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm đường trịn tâm bán kính

Ta có

Gọi

Do chạy đường tròn, cố định nên lớn giao với đường trịn

Phương trình , giao đường tròn ứng với thỏa mãn:

nên

Tính độ dài ta lấy kết Chọn D Câu

Cách 1: Ta có:

Mặt khác nên Chọn D.

Cách 2: thay thử vào đáp án, thấy đáp án D bị sai

min

5

z 

5

y    x 5

z   i 

 , 

z  x yi x y 

      2   2  2 2

3 3

z i    z i x y i  x  y i x  y  x   y

6y 4x 2y 4x 8y x 2y

             

z z 3i  z  2 i

:

d x y 

1

z   i 1; 2 d

5

z    i 2;

5 d

 

 

 

 

 

1

z    i 1;2d

1 5

z   i 1;

5 d

          

z  x yi z 2 3i x yi 2 3i   x y3i

  2 2

2

x  y  M z

 2;

I R1

    2 2

1 1 1

z  i xyi  i x   y i  x  y

 ;

M x y H1;1 HM  x1 2  y12

M H MH M HI

2 :

3

x t

HI

y t

   

  

 HI t

2

9

13

t  t    t ; , ;

13 13 13 13

M    M   

 

   

MH HM  131

1 3

z z z  z z  z

 3 3 3 3     

1 3 3 3 3

z z z z z z  z z z z z z z  z z z z

3 3

1 3

z z z z z z

    3

1 3

z z z z z z

   

3 3

1 3 3 3

z z z z z z z z z

     

1

z  z  z  z13 z23 z33 3

1

Câu

Cách 1: Kí hiệu : phần thực số phức

Ta có (1)

(2)

Từ suy

Các h khác: B C suy D đúngLoại B, C Chọn  A D sai Chọn A.

Cách 2: thay thử vào đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 7.Giả sử có dạng

Chọn D.

Câu Đặt Có (do )

Ta chứng minh

Thật ta có

Dấu “=” xảy Vậy Chọn A.

Câu Ta có: Khi Chọn C.

Câu 10 Ta có:

Lúc đó: Chọn A.

Câu 11 Ta có: ,

Mặt khác:

Re

2

1

z z z  z12 z22  z322 Rez z1 2 z z2 3 z z3 1 3 Rez z1 2 z z2 3 z z3 1

2 2 3

z z z z z z  z z1 22  z z2 32  z z3 12 2 Rez z z z1 2 3 z z z z2 3 1z z z z3 1 2

2 2 2 2 2

1 2 3 Re 3

z z z z z z z z z z z z z z z 

       

 3 2  3 1 Re z z z z z z Re z z z z z z

       

 1  2 z1z2 z3  z z1 2 z z2 3z z3 1

1

z z z 

1

z z z  ( 3; 3; 0)

A     

0 0; ;1 2; ; ;

n

n n n

P z a a z a z  a z a a a a  a 

  2

0 2

0 n n

n n

P z  a a z a z  a z  a a z a z  a z 

 

2

0 0

n n

a a z a z a z P z

        

  2

, ,

a a bi a b  a b  z 1

   

 

2

2 2

2

2

2 2

a b i a b

z i A

iz b ai b a

                 2 2

4

1 a b b a              2 2

2 2

2 2

4

1 2

2

a b

a b b a a b

b a

 

           

2 1

a b  A 1

5 5

1 i i

A

z z z

       z  i A6.

2   5 1; tan

4 4

i z i i z z i w i M  

              

 

2

2

2 tan tan 12

sin 0;   cos

13 13

1 tan tan

               

1

M  z  z   z   z  1 M  5 Mmax 5

3 3 3

3

1 1 1

1 1,

2 2

1

z z z z z

M z

z

            

Câu 12 Ta có Mặt khác:

Vậy, giá trị nhỏ , xảy giá trị lớn xảy Chọn A.

Câu 13 Ta có phương trình

Suy ra: Vì

Mà Vậy từ Chọn B.

Câu 14 Gọi Ta có:

Đặt

Chọn A. Câu 15 Gọi Ta có:

Ta có:

Xét hàm số Hàm số liên tục với

ta có:

Ta có: Chọn D.

Câu 16 Gọi Ta có: Đặt , ta có

Ta có

Suy

Xét hàm số Bằng cách dùng đạo hàm, suy Chọn A.

1

1

| |

i P

z z

     1 1

| |

i

z z

   

  P

2 z  2 ; i P

3 2

z  i 

    4 4

2

f z z i z

     

  15 1 2 3 4

f z  zz zz zz zz

        

2

1 1

1  

225

f i f i z   z i z i P  

  4  4     4 4

1 5;   85

f i i  i  f   i i  i   1 17

9

P

  

   

;   ; 2

z  x yi x  y  z i  x y i

  2 2

1 9

z  i   x  y 

1 sin ;   cos ;   0;2

x   t y    t t   

         

2 2

2 sin cos 26 sin cos 26 17 sin ;  

z i t t t t t  

             

max

26 17 z 2i 26 17 z 2i 26 17

          

 

;   ;

z  x yi x  y 

2 2

1 1 1;1

z   x y  y  x   x  

 2 2  2 2    

1 1 3

P   z  z x y  x y  x  x

  1  1 ;   1;1

f x  x  x x    1;1  1;1

x    

     

1

0 1;1

5

2

f x x

x x

          

    max

4

1 2;   6;   20 20

5

f  f   f  P 

  

 

;   ;

z  x yi x  y  z  1 z z 1

t z  0 z    1 z z      1 t 0;2 

  

2 1 1 1 . 2 2 2.

2

t t  z z  z z    z z x  x 

 2

2 1 . 1 2 1 2 1 3

z   z z  z z z  z z z  x  x  t    3 , 0;2

f t  t t  t   

  13   13

max ;

4

Câu 17 Ta có:

Ta có:

Suy ra: tam giác vng cân Chọn C.

Câu 18 Áp dụng bất đẳng thức ta

Vậy, nhỏ lớn

Chọn B. Câu 19 Gọi Ta có:

Đặt

Lúc đó:

đạt Chọn A.

Câu 20 Ta có biểu diễn số phức biểu diễn số phức Mặt khác

nên Tương tự (hay lí đối xứng qua ), Từ suy đường kính đường trịn qua

Vậy Chọn C.

Câu 21 Ta có:

Ta có: Chọn D.

Câu 22 Gọi Khơng tính tổng qt ta gọi Do

Do hai số phức liên hợp nên , mà

Ta có:

1

;

2 2

i i

OA z OB  z   z   z  z

1

2 2

i i

BAOA OB BA z z  z  z   z  z

2 2

OA OB AB AB OB OAB B.

, 

u  v  uv

2

2

2z   4 z    4 z  z 2 z   4 z  51

2 2 2

2z  z  z   4 z  4 z 2z   4 z  51

z 51,  z   i i z 51,  z  i i



 

;   ;

z  x yi x  y  z 1 2i  2 x1 2 y22 4

1 sin ; 2 cos ;   0;2

x   t y    t t   

         

2 2 2 2

1 sin 2 cos sin cos sin ;  

z   t    t   t t    t 

 

2

9 sin 5;

z t  z  

             

max

z

   5 10

5

z     i 

AB 3i;DB 3i

3 3 i i i  

 AB DB 0  

Ox DC AC  0

AD A B C D,   ,   ,  

 1;

I  z 

  2    13

2 16 13 16;13 tan

16

z  i  i  i M  

2

1 tan 425

cos

87 tan          

1 ;   ;  

z  a biz  a bi a  b  b0

1 2 2 3

z z   bi   b

1,  

z z z z1 2 

  3 1 2

2 1 2

z z

z z  z z   

 3    

3 2 3

2

0

3 3

3

b

z a bi a ab a b b i a b b a

Vậy Chọn C. Câu 23 Ta có:

số ảo (do )

Vậy có 25 giá trị thỏa yêu cầu đề Chọn C.

Câu 24 Ta có: số ảo Chọn B.

Câu 25 Gọi

Ta có:

Đặt

Lúc đó:

đạt Chọn B.

Câu 26 Đặt Thay vào điều kiện thứ nhất, ta Đặt Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Dấu xảy Chọn D.

Câu 27 Ta có:

Chọn A.

Câu 28 Ta có: Do

(1)

2

1

z  a b  

2

(2 )

m

m m m

i

z i i

i             

z m 2k1,k  z 0;  m *

m 

2

2

1

z z z

z z z z z

z z z z z



        

 

;   ;

z  x yi x  y 

   

  2 2

6

1 10 10

1

2

i

i z i i z z i

i x y                    

2 sin ; cos ;   0;2

x   t y   t t   

   

         

2

2

2

2 sin cos

    25 sin cos 25 sin ;  

z t t

t t t  

   

       

 

2

25 20 sin 5;

z t  z  

       

 

max

z

  z  3 i 

 

  ,

z  x iy x y x2 y2 36.

3 cos ,  sin

x  t y  t

3

  18 18 sin

4

2

P z  i   t  

3 3

sin

4 2

t  t  z i

                    3 1 3 .

4 3

2 2

1

2

z

x

z i z x y

i z

z i

x y

z i z i z y

z                                                            

 

2 2

1 2 1 ;   1

z z z z z z z z z  z z z

2

1

1

0 z ;  

z z z

z

Mặt khác: (do ) (2)

Từ (1) (2) suy ra: Vậy ta có:

Chọn A. Câu 29 Gọi

Ta có: Ta có:

Chọn C.

Câu 30 Phương trình khơng có nghiệm thực trường hợp: TH 1: Phương trình vơ nghiệm, tức

TH 2: Phương trình có hai nghiệm âm

Chọn D. Câu 31 Ta có: số ảo Chọn B.

Câu 32 Gọi Ta có:

Đặt

, Chọn C.

Câu 33 Ta có:

Lúc đó: Chọn C.

Câu 34 Gọi Ta có: :

tâm Mặt khác:

 

2

2 1

2

1 2 2

2

z

z z z z z z z z z z

z

        z2 0

2 2 1 2 z z z z

z  z   z1  z2  z2z1 OAOB AB



 

;   ;

z  x yi x  y 

  2 2 2  2

2 2 4

z  i  z i  x  y  x  y       x y y x

     

2 2 2 2

2 12 36 18 18

z i x  y x  x  x  x  x  

min

2 18

z i

    z  3 i.

4 0

z mz  n

2 4 0.

m  n

 

4 0;  

t mt  n t z

2

0

0

0 m n S m P n                            

2 2

2

z a a a z a z

z z z z z

z z z z z



        

     

;   ; 1

z  x yi x  y     z i x  y i

  2 2

1 9

z  i   x  y 

1 sin ;   cos ;   0;2

x   t y    t t   

   

2 2

min

1 sin cos 10 cos 2

z i t t t z i z i

                

1

z  i 

1   19 ; 19 tan 19

82 82 82 82

i z i i z z i w i M  

                 

2

2

2 tan 133 tan 156

sin 0;   cos

205 205

1 tan tan

                   ;   ;

z  x yi x  y  z 3 4i    C : x3 2  y42 5

 3;

I R 

     

2 2 2 2

2 :

M  z  z i  x y x  y   x y d x  y M 

 

Chọn D.

Câu 35 Gọi

Khi đó: , gọi trọng tâm

Tương tự, gọi

Khi đó: ,

gọi trọng tâm Do

Chọn C. Câu 36 Ta có:

Ta có: Chọn A.

Câu 37 Ta có:

Chọn A. Câu 38 Gọi phần thực số phức

Ta xét:

Chọn D.

Câu 39 Dựng hình bình hành mặt phẳng phức, biểu diễn :

Chọn B. Câu 40 Đặt , với

 ; 23 23 10 13 33

2 M

d I d R  M M

         

  2 2 max

4 30 5

33 41

5

3

x y x

M z i i z i

y x y                                

1 1;   2 2;   3 3;   k;   k ;   1;

z x y i z x y i z x y i x y  k 

 1; 1 ;   2; 2;    3; 3

A x y B x y C x y G

1 3; .

3

x x x y y y ABC G            

 

1 1;   2 2;   3 3;   k;   k ;   1;3

zxy i z  xy i z  x y i x y  k 

 1; 1;    2; 2;    3; 3

A x y   B x y   C x y  

G 3; .

3

x x x y y y A B C   G              

       

1 3 3 3

z z z zzz  x x x  y y y i  xxx  yyy i

1 3

1 3

x x x x x x

G G y y y y y y

                         

2 1  5; 1 tan

z   i i   i M    

2

2 tan

sin

12 tan        

  2 max

1

1 ;  

1 1

1

m i m i

z z z z i m

m m m

m m i

                    

Re z z

  

1 1

m z m z m z z

m z m z m z m z m z m z m z z mz mz

                          

2 1

Re

2

2

m z z m z z

m m z m

m mz mz m m z z

                       OMPN 2

z z OP z z MN

            

2 0

1 2

2 0

1 2

2 cos 150

2 cos 30

z z z z z z

z z z z z z

               2

1 2

1

z z z z

z z z z

 

    

Lại có

Gọi với

Khi

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn

Khi có đáp án C có khả theo Thử vào phương trình (1) thỏa mãn Chọn C.

Câu 41 Cách 1:

Đặt Khi

Suy biểu diễn hình học số phức đường trịn tâm bán kính Gọi điểm biểu diễn số phức Ta có:

Vậy bé Cách 2:

Đặt

Chọn D

Câu 42 Ta có: Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi điểm biểu diễn số phức

Gọi điểm biểu diễn số phức

Khi đó: (*)

Hệ thức chứng tỏ tập hợp điểm elip nhận tiêu điểm Gọi phương trình elip

Từ (*) ta có:

Vậy quỹ tích điểm elip: Chọn D

3  2

3

w i

w i z i z

i

       



w  x yi x y; 

1 2

1

3 4

w i

w i

z c c c x yi i c

i i

   

         

 

  2 2   2 2 2

1 25

x y c x y c

         

w I1;2

5 5

R  c  c

1

c 

  ( , )

z  a bi a b  z 3 4i  2 (a3)2 (b4)2 4

z  C I 3; 4 R5

 

M z z M z    C

3

z OM OI R 

z M z    C IM

3 cos cos

4 sin sin

a a

b b

 

 

 

        

 

        

 

2 (2 cos 3)2 (2 sin 4)2 29 12 cos 16 sin

z a b    

         

3

29 20 cos sin 29 20 cos( )

5    

   

         

0

z

  

 ;

M x y z  x yi

 4;

A z 4

 4; 0

B  z  4

4 10 10

z  z  MAMB 

M A B,

 

2

2 2

2 1, 0,

x y

a b a b c a b      2a10 a

2 2

2

AB c   c  c b a c 

M  : 2 25

x y

E   

Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi điểm biểu diễn số phức

Ta có: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trung

trục

Để ngắn => Chọn A.

Câu 44 Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi điểm biểu diễn số phức

Tập hợp điểm biểu diễn hình vành khăn giới hạn

đường trịn đồng tâm có bán kính

=> Chọn C. Lưu ý cần nắm vững lý thuyết hình vẽ dạng học lớp tránh nhầm lẫn sang tính diện tích hình trịn.

Câu 45 Gọi điểm biểu diễn số phức Ta có:

Chọn B.

Ở lưu ý hai đường thẳng x = x = -2 song song với nhau.

Câu 46 Ta có

Trường hợp :

Trường hợp 2:

Gọi (với ) ta

Suy

Từ , suy Chọn C.

Câu 47.Giả sử , ,

Theo đề ta có: ,

Chọn B.

Câu 48

1, 2

E  12i

0, 1

F  i

2

z i  z i ME MF  z

:

EF x  y

MA MAEF M M 3,1   z i

 ,

M x y z  x yi x y , R

 1,1

A   1 i

1   z i  1 MA2

1 2,

R  R  P P1P2 2R1R22

 ,

M x y z  x yi x y , R

 2 2

2 2 16 2 2 2 2 2 16

z  z  z   x  xyiy x  xyiy  x  y 

2

4x 16 x

      d d d 1, 24 

        

2 2 5 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1

z  z   z   i z  i   z   i z   i  z   i z  i

   

1

1

z i

z i z i

   

 

    



1 z 1 2 i 0w  1 w 1  1

1

z   i  z  i 

z abi a b, 

       2  2

1 3

2

a  b i  a  b i  b  b b    2

3

2 2

2

w z   i a  i  w  a     2  1  2 |w| 1 

1

z a bi z2 c di a b c d, , , 

 ;

A a b B c d ; AB  ca 2  db2

   

2

z z  ac  db i  z2z1  ca 2  db2 

       

2 1 1

Đặt Ta có

Đặt Khi

Vậy Chọn B

Câu 49 Gọi điểm biểu diễn số phức , Gọi điểm biểu diễn số phức

Gọi điểm biểu diễn số phức

Ta có:

Ta có Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức Elip với tiêu điểm , , tiêu cự , độ dài trục lớn , độ dài trục bé

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện Elip có

phương trình Chọn D.

Câu 50 Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi điểm biểu diễn số phức

Gọi điểm biểu diễn số phức

Ta có: với thuộc đường trung trực

với thuộc đường trung trực

giao điểm thỏa hệ: => Chọn D.

1

w  z w 1 T  w 1i w 1 i

w  x y i w2  2 x2y2

       

       

         

 

2 2

2 2

2

2

1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 4

T x y i x y i

x y x y

x y x y

x y

               

 



              

maxT 4   ;

M x y z  x yi x y, 

A

B 2

2 10 10

z   z MBMA

4

AB M z A 2;

 2; 0

B  AB  4 2c 102a

2

2b2 a c 2 25 4 21

z z   2 z 10

2

1 25 21

x y

    , 

M x y z  x yi x y , R

,

A B i

,

C D i 3i

1

z  z i MAMB A1, ; B0,1  M 1 AB

3

1

z i

z i z i MC MD

z i 

      

 C0, ;  D0,3 M

2

 CD

M  1; 2 M

1

y x

y

  



  

1,1

M