chuyên đề số phức- lê bá trần phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM LỚP TOÁN VB2-K2 LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 06. Số phức Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) n , biết rằng n  N thỏa mãn phương trình log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3 Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: 5 7 9 2009 4 5 6 2010 i i i i P i i i i          Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức zi zi     trong đó 12zi Bài 4: Cho số phức 13zi . Tìm số nghịch đảo của số phức: 2 .z z z   Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 5z  và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 06. Số phức Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) n , biết rằng n  N thỏa mãn phương trình log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3 Giải: Điều kiện: 3 nN n      Phương trình log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3  log 4 (n – 3)(n + 9) = 3  (n – 3)(n + 9) = 4 3  n 2 + 6n – 91 = 0 7 13 n n       Vậy n = 7. Khi đó z = (1 + i) n = (1 + i) 7 =       3 2 3 1 . 1 1 .(2 ) (1 ).( 8 ) 8 8i i i i i i i            Vậy phần thực của số phức z là 8. Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: 5 7 9 2009 4 5 6 2010 i i i i P i i i i          Giải:   1003 2 5 7 9 2009 5 2 4 2004 2 1 (1 ) . 1 i i i i i i i i i i i i              4 5 6 2010 2 3 4 2010 2 3 2011 (1 ) (1 ) 1 (1 1 ) 1 1 i i i i i i i i i i i ii i                      11 1 2 2 i Pi i      Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức zi zi     trong đó 12zi Giải: BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. (thoả mãn) (không thoả mãn) Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 06. Số phức Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - 1 2 1 2z i z i     Ta có: 2 2 1 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 1 6 9 4 3 1 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 1 9 5 5 z i i i i i i i i i i i i i i i zi                         Vậy phần thực của  là 4 5  , phần ảo của  là 3 5 . Bài 4: Cho số phức 13zi . Tìm số nghịch đảo của số phức: 2 .z z z   Giải: Với 13zi , ta có 2 2 2 2 . (1 3 ) (1 3 )(1 3 ) 1 6 9 1 9 1 6z z z i i i i i i i                1 1 2 6 1 3 2 6 (2 6 )(2 6 ) 10 10 i i i i i          Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 5z  và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. Giải: Giả sử : z = a + bi (a- phần thực, b- phần ảo) Ta có: 22 2 2 5 2 5 5 5 2 5 2 55 ab aa z ab ab b ab bb                                        Kết luận: Có hai số phức thoả yêu cầu bài toán: 2 5 5 ; 2 5 5z i z i     . Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 06. Số phức Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - I. Lý thuyết cơ sở: Gọi z là một số phức, khi đó z có dạng: x = a + bi ( ,a b R ) Trong đó a gọi là phần thực, b là phần ảo, i là một số thỏa mãn 2 1i  , i được gọi là đơn vị ảo. + Nếu b = 0 thì z là số thực. + Nếu a = 0 tức là z = bi thì z được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo) + Tập hợp các số phức được kí hiệu là C. 2. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi, khi đó số phức z a bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z. 3. Modul của số phức: Cho số phức z = a + bi, modul của z là một số và kí hiệu là ||z . ||z được tính theo công thức: 22 | | | |z a bi a b    1 2 1 2 11 22 . | || |; || || z z z z zz zz   4. Các phép toán về số phức: Cho 2 số phức: z = a+ bi ; z’ = a’ + b’i ' ' ' ' ' ' ( ') ( ') ' ' ' ( ') ( ') aa zz bb z z a bi a b i a a b b i z z a bi a b i a a b b i                             Khi nhận 2 số phức với nhau ta nhân bình thường như nhân 2 đa thức, sau đó chỗ nào có i 2 = -1. Khi chia 2 số phức cho nhau ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của số phức ở dưới mẫu. II. Các dạng bài tập: Dạng I: Biến đổi số phức: Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết: 1. ĐHKA 2010: 2 ( 2 ) (1 2 )z i i   67 21 11 2. (1 ) (3 2 )(3 2 ) 1 i z i i i ii             3. ĐHKB 2011: 3 13 1 i z i        BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 06. Số phức Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - 2012 1 4. 1 i z i       2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 5. i i i i i z i i i i i          2 2012 2 6. 1 (1 ) (1 ) (1 ) 7. (2 3 ) (4 ) (1 3 ) z i i i i z i z i               Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn Khóa h ọ c LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Số phức Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12 - Trang | 1 - Tìm số phức z th ỏa mãn ñiều k iện: Bài 1. ) . 3 (2 ) 19 3 a z z z z i − + = − + )| 1| | 2 | b z z i − = + và 1 1 z i z i + = + − Bài 2. | 1 2 | | 3 4 | z i z i + − = + + và 2 z i z i − + là số thuần ảo. Bài 3. ( ) 3 2 8 z z i + = Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: | 3| | 2 | iz z i − = − − và modul z nhỏ nhất. Bài 5: | 1 2 | 1 z i + + = và |z| là nhỏ nhất . Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocm ai.vn CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khóa h ọ c LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Số phức Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12 - Trang | 1 - Tìm số phức z th ỏa mãn ñiều k iện: Bài 1. ) . 3 (2 ) 19 3 a z z z z i − + = − + Gọi z = a + bi ( , ) a b R ∈ Ta có: [ ] 2 2 2 2 . 3 (2 ) 19 3 ( )( ) 3 2 2 19 3 9 3 19 3 4, 5 4 9 19 1 5 3 3 z z z z i a bi a bi a bi a bi i a b a bi i a a z i a b a b z i b − + = − + ⇔ + − − + + − = − + ⇒ + − − = − + = = = −  + − = −   ⇔ ⇔ ⇒    = − = − − =    )| 1| | 2 | b z z i − = + và 1 1 z i z i + = + − Gọi ( , ) z a bi a b R = + ∈ , ta có: 2 2 2 2 | 1| | 2 | | 1 | | ( 2) | ( 1 ) ( 2) 4 2 3 0 ( 1 ) z z i a bi a b i a b a b b a − = + ⇔ − + = + + ⇔ − + = + + ⇔ + + = | | | 1 | 1 1 z i z i z i z i z i z i + + = ⇔ + = + − + − + − Biến ñổi như tr ên ta có pt : 2a – 4b + 1 = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra a = -1; b = -1 nên z = -1 – i Bài 2. | 1 2 | | 3 4 | z i z i + − = + + và 2 z i z i − + là số thuần ảo. Giải: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 2) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khóa h ọ c LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Số phức Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12 - Trang | 2 - Gọi z = a + bi ( , ) a b R ∈ | 1 2 | | 3 4 | | 1 ( 2) | | 3 (4 ) | z i z i a b i a b i + + − = + + ⇔ + + − = + + − Biến ñổi ta có pt: a – b + 5 = 0 suy ra b = a+ 5 (1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 ( 2) ( 1 ) ( 1 ) ( 2)( 1 ) 2 2 ( 1 ) ( 1 ) a b i a b i z i a b i a b i a b i z i a b b ab a i a b a b + − − − − + − + = = + − − − + + − − − − = + + − + − Vì 2 z i z i − + là số thuần ảo nên ta có: 2 2 2 2 ( 2)( 1 ) 0 ( 2)( 1 ) 0 (2) ( 1 ) a b b a b b a b + − − = ⇔ + − − = + − Thay (1) vào (2) ta có: 2 ( 3 )( 4) 0 12 7 23 7 a a a a b + + − − =  = −  ⇔   =   Vậy: 12 23 7 7 z i = − + Bài 3. ( ) 3 2 8 z z i + = Giải: Gọi z = a + bi ( , ) a b R ∈ Ta có: ( ) [ ] 3 3 2 8 2( ) 8 z z i a bi a bi i + = ⇔ + + − = 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 (3 ) 8 27 27 8 27 9 ( 27 ) 8 27 9 0 27 8 a bi i a ab i b i i a ab b a b i i a ab b a b ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − + − =  − =  ⇔  − =   Giải hệ pt trên ta suy ra: 3 0; 8 1 ; 1 3 a b a b  = =   = ± = −   Khóa h ọ c LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Số phức Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12 - Trang | 3 - Vậy: 3 8 1 3 1 3 z i z i z i   =   = −    = − −   Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: | 3| | 2 | iz z i − = − − và modul z nhỏ nhất. Giải: Giả sử: ( , ) z a bi a b R = + ∈ Ta có: 2 2 2 | 3| | 2 | | 3 | | 2 ( 1 ) | ( 3 ) ( 2) ( 1 ) 2 1 iz z i b ai a b i b a a b a b − = − − ⇔ − − + = − + − ⇔ + + = − + − ⇔ = − − Do ñó: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 | | (2 1 ) 5 4 1 5 ( ) 5 5 5 z a b b b b b b b R = + = + + = + + = + + ≥ ∀ ∈ Suy ra |z| nhỏ nhất bằng 2 2 2 0 1 5 5 1 5 2 1 3 b b a a b   = −    + =    ⇔ ⇔       = − = − −    Vậy 1 2 5 5 z i = − − Bài 5: | 1 2 | 1 z i + + = và |z| là nhỏ nhất . Giải: Gọi z = x + yi ( , ) x y R ∈ M(x,y) là ñiểm biểu diễn số phức z . Ta có: 2 2 | 1 2 | 1 ( 1 ) ( 2) 1 z i x y + + = ⇔ + + + = ðường tròn (C): 2 2 ( 1 ) ( 2) 1 x y + + + = có tâm I(-1;-2) ðường thẳng OI có phương trình: y = 2x Số phức z có modul nhỏ nhất khi và chỉ khi ñiểm biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa ñộ O nhất, ñó chính là 1 trong 2 giao ñi ểm của OI và (C) . Khi ñó nó thỏa mãn hệ: [...]... Th y Lê Bá Tr n Phương S ph c  z = −1/ 2 2 z + 1 = 0 ⇔ 2 ⇔ z = 2 − i   z − 3z + 3 + i = 0 z = 1+ i  Giáo viên: Lê Bá Tr n Phương Ngu n: Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 4 - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 06 Số phức BÀI 4 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN... Giáo viên: Lê Bá Tr n Phương Ngu n: Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 4 - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 06 Số phức BÀI 3 CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 3) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3 Các dạng liên quan đến số phức (Phần... Tốn - Th y Lê Bá Tr n Phương   x = −1 −  y = 2x ⇒  2 2 ( x + 1) + ( y + 2) = 1  x = −1 +   Ch n z = −1 + 1 ; y = −2 − 5 1 ; y = −2 + 5 S ph c 2 5 2 5 1  2  +  −2 + i 5  5 Giáo viên: Lê Bá Tr n Phương Ngu n: Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 4 - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 06 Số phức BÀI... 2 + (3 + 2i ) z + 3 + i = 0 Giáo viên: Lê Bá Tr n Phương Ngu n: Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa h c LTĐH mơn Tốn - Th y Lê Bá Tr n Phương S ph c GI I PHƯƠNG TRÌNH TRÊN T P S PH C HƯ NG D N GI I BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PHƯƠNG Bài 1: G i z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghi m ph c c a phương trình: z 4 + 3 z 2 + 4 = 0 4 4...  3.KA2011: z 2 | z |2  z 4.KD 2010 : | z | 2 và z2 là số thuần ảo Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa h c LTĐH mơn Tốn - Th y Lê Bá Tr n Phương S ph c CÁC D NG TỐN LIÊN QUAN ð N S BÀI T P T LUY N PH C (Ph n 3) Giáo viên: LÊ BÁ TR N PHƯƠNG Bài 1: Tìm modul c a s ph c z bi t: a ) z = 4 − 3i... đề 06 Số phức BÀI 2 CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 2) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2 Các dạng liên quan đến số phức (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 2 Các dạng liên quan đến số phức (Phần 2) Bạn cần kết hợp xem tài liệu... liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4.Giải phương trình trên tập số phức thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 4.Giải phương trình trên tập số phức Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này a) Cách tính căn bậc 2 của số thực âm và số phức: VD1: Tính căn bậc 2 của: 1) z  5 2) z  16 VD2: Tính... 3 = 18 + 26i Tính T = ( z − 2 ) 2009 + (4 − z) 2009 Giáo viên: Lê Bá Tr n Phương Ngu n: Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa h c LTĐH mơn Tốn - Th y Lê Bá Tr n Phương S ph c CÁC D NG TỐN LIÊN QUAN ð N S PH C (Ph n 3) HƯ NG D N GI I BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PHƯƠNG Bài 1: Tìm modul c a s ph c z bi t: a ) z = 4 − 3i + (1... tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 1 ĐHKD 2009: | z  (3  4i) | 2 2 ĐHKB 2010: | z  i || (1  i) z | 3) z i 1 z  3i 4)z 2  | z | 0 5)| z  3| 10 | z  3| Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa h c LTĐH mơn Tốn - Th y Lê Bá Tr n Phương S ph c GI I PHƯƠNG TRÌNH TRÊN T P S BÀI... học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 3 Các dạng liên quan đến số phức (Phần 3) Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này Bài 5: Tìm modul của số phức z biết: 5) | z  (2  i ) | 10 và z.z  25 6) ( z  1)( z  2i) là số thực và |z| nhỏ nhất 7)z  0, |z+1-2i|=| z  1  2i | và z 2  3iz là số thuần ảo 8)|z-2|=2 và (2+i)( . viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocm a i.vn GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khóa h ọ c LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Số phức Ho. Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocm ai.vn CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khóa h ọ c LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Số phức Ho. LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 06. Số phức Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò