Chuyên đề Hình Học Giải Tích Không Gian Oxyz - Bùi Trần Duy Tuấn

Thí dụ: Những dạng bài tập của phương trình mặt cầu (thuộc chủ đề 2) có thể có những kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng (thuộc chủ đề 4) hoặc có kiến thức liên quan đến p[r]

“Nơi có ý chí, nơi có đường.”

Tài liệu gồm 280 trang bao gồm chủ đề sau: Chủ đề Hệ trục tọa độ không gian Chủ đề Phương trình mặt cầu

Chủ đề Phương trình mặt phẳng Chủ đề Phương trình đường thẳng

Chủ đề Thủ thuật Casio giải nhanh chuyên đề Oxyz Chủ đề Bài tập vận dụng cao Oxyz

Bố cục chủ đề gồm phần sau: 1 Kiến thức cần nắm

2 Các dạng toán phương pháp giải (kèm theo toán minh họa) 3 Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết)

Tài liệu sưu tầm biên soạn để làm tư liệu cho em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp em ơn lại kiến thức nhanh chóng hiệu Trong tình tổng hợp biên soạn khơng tránh khỏi sai sót đáng tiếc số lượng kiến thức bài tập nhiều Mong đọc giả thơng cảm đóng góp ý kiến để tài liệu sau tôi chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về:

Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com

Các em xem thêm chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn Website: https://toanhocplus.blogspot.com/

Xin chân thành cảm ơn!!!

Quảng Nam – 26.03.2018

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

II TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

IV TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

B CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN 11

I TÌM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ, CỦA ĐIỂM 11

1 Kiến thức vận dụng 11

2 Một số toán minh họa 11

II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 13

1 Kiến thức vận dụng 13

2 Một số toán minh họa 13

III VẬN DỤNG CÔNG THỨC TRUNG ĐIỂM VÀ TRỌNG TÂM 16

1 Kiến thức vận dụng 16

2 Bài toán minh họa 16

IV CHỨNG MINH HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, KHÔNG CÙNG PHƯƠNG 17

1 Kiến thức vận dụng 17

2 Một số toán minh họa 17

V TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 18

1 Kiến thức vận dụng 18

2 Một số toán minh họa 18

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 20

I ĐỀ BÀI 20

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 28

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 36

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 36

I ĐỊNH NGHĨA 36

II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 36

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG 36

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG 37

B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP 38

I TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU 38

2 Một số toán minh họa 38

II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 39

1 Phương pháp 39

2 Một số toán minh họa 39

II SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC 45

1 Phương pháp 45

2 Một số toán minh họa 45

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 50

I ĐỀ BÀI 50

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 62

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 80

A KIẾN THỨC CẦN NẮM 80

I VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 80

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 80

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG 81

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 81

V GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 81

B MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 82

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến 82

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M x y z song song với mặt phẳng 0 0; 0; 0   :Ax By Cz D   0cho trước 82

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm A , B , C không thẳng hàng 82

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M vng góc với đường thẳng  83

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng , vng góc với mặt phẳng   83

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng   84

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng  song song với  (, chéo nhau) 84 Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  điểm M 85

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng cắt   86

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng   chứa song song   86

Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng  qua điểm Mvà song song với hai đường thẳng   chéo cho trước 87

Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   cách

  :Ax By Cz D   0 khoảng k cho trước 88

Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   :Ax By Cz D   0 cho trước và cách điểm M khoảng k cho trước 88

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S 89

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  tạo với mặt phẳng   :Ax By Cz D   0cho trước góc  cho trước 89

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 91

I ĐỀ BÀI 91

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 102

CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 119

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 119

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 119

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 119

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 121

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 121

V GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 121

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐỂN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 122

I XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 122

1 Phương pháp 122

2 Một số toán minh họa 122

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 124

1 Phương pháp 124

2 Một số toán minh họa 124

III XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 130

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 135

1 Phương pháp: 135

2 Một số toán minh họa 135

V HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 138

1 Phương pháp 138

2 Bài toán minh họa 138

VI HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG 139

1 Phương pháp 139

VII KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI

ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 143

1 Kiến thức vận dụng 143

2 Một số toán minh họa 143

VIII GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 145 1 Kiến thức vận dụng 145

2 Một số toán minh họa 145

IX XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG 147

1 Phương pháp 147

2 Một số toán minh họa 147

HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 148

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 150

I ĐỀ BÀI 150

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 167

CHỦ ĐỀ 5: THỦ THUẬT CASIO GIẢI NHANH CHUYÊN ĐỀ OXYZ 190

A TÍNH NHANH THỂ TÍCH CHĨP, DIỆN TÍCH TAM GIÁC 190

I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 190

II MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA 190

B TÍNH NHANH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG – MẶT 198

I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 198

II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 198

C TÌM HÌNH CHIẾU VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 205

I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 205

II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 205

D TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 215

I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 215

II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 215

E TÍNH NHANH GĨC GIỮA VECTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT 226

I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 226

II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 227

CHỦ ĐỀ 6: BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO OXYZ 236

A ĐỀ BÀI 236

LƯU Ý TRƯỚC KHI ĐỌC TÀI LIỆU

Tài liệu chia thành chủ đề:

Chủ đề 1: Hệ trục tọa độ không gian Chủ đề 2: Phương trình mặt cầu Chủ đề 3: Phương trình mặt phẳng Chủ đề 4: Phương trình đường thẳng

Chủ đề 5: Thủ thuật Casio giải nhanh chuyên đề Oxyz Chủ đề 6: Bài tập vận dụng cao

Cuốn sách phân chia kiến thức theo chủ đề nhằm hệ thống kiến thức khoa học và đầy đủ Nhưng chủ đề đầu có kiến thức chủ đề phía sau, nên bạn đọc xem trước KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM mục A của chủ đề 1, 2, 3, một cách song song để tiện làm dạng tập chủ đề từ đầu

Thí dụ: Những dạng tập phương trình mặt cầu (thuộc chủ đề 2) có kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng (thuộc chủ đề 4) có kiến thức liên quan đến phương trình mặt phẳng (thuộc chủ đề 3) nên bạn đọc học KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM của chủ đề cách song song để dễ làm tập từ chủ đề đầu

Chủ đề 1   HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN



   

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trong khơng gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz, ,  vng góc với nhau từng đơi một và chung  một điểm gốc O. Gọi  , ,  i j k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox Oy Oz, ,  Hệ ba trục  như vậy gọi là hệ trục tọa độ vng góc trong khơng gian.

Chú ý:    i2 j2 k2 1  và    i j i k  k j 0      

. 

       

II TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 1 Định nghĩa

 ; ; 

u x y z u  xi y j zk 

    

  2 Tính chất

Cho a( ; ; ),a a a1 2 3 b( ; ; ),b b b1 2 3 k 

     a b  (a1b a1; 2b a2; 3b3)        ka (ka ka1; 2; ka3)        

1

2

3

a b

a b a b

a b

     

    

 

     0 (0; 0; 0), i (1; 0; 0), j(0;1; 0), k(0; 0;1) 

     a cùng phương  (b b  0)  akb k(  )

 

  

  

      

  

1

3

2 2

1

3

, ( , , 0)

a kb

a

a a

a kb b b b

b b b

a kb

 

     a b.a b1 1a b2 2a b3 3     ab  a b1 1a b2 2a b3 30        2 2

1

a a a a         2

1 2 a  a a a  

      1 2 3

2 2 2

1 3

cos( , )

a b a b a b

a b a b

a b a a a b b b

 

 

   

   



 (với a b,  0) 

O j



k

i

y z

III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM 1 Định nghĩa:

( ; ; ) M x y z OM  x i y j z k 

   

 (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)  Chú ý:  MOxyz0;MOyzx0;MOxzy0

 M Ox yz0;M Oy x z 0;M Oz xy0.  2 Tính chất:

Cho  (A xA; yA; zA), B x( B; yB; zB)  AB(xBx yA; By zA; BzA)



   

 AB (xBxA)2(yByA)2(zBzA)2  

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:  ; ;

2 2

A B A B A B

x x y y z z

M    

  

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:  ; ;

3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G       

  

 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: 

        ; ;

4 4

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

G          

  

IV TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1 Định nghĩa

Trong không gian Oxyzcho hai vectơ a( ; ; )a a a1 2 3 

, b( ; ; )b b b1 2 3 

. Tích có hướng của hai  vectơ a và  ,b



 kí hiệu là a b, 

 

 

, được xác định bởi

 

2 3 1

2 3 1 2

2 3 1

, a a ; a a ; a a ; ;

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

      

   

 

 

 

Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số 2 Tính chất

  [ , ]a b  a; [ , ]a b  b

     

    a b,  b a, 

   

   

       

  i j,  k; j k, i; k i,  j

  

     

       [ , ]a b a b .sina b, 

     

  (Chương trình nâng cao)            ,a b

 

 cùng phương  [ , ]a b 

  

3 Ứng dụng tích có hướng: (Chương trình nâng cao) 

      Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a b ,  và c đồng phẳng  [ , ].a b c0   

        Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD  AB AD, 

 

 Diện tích tam giác ABC: ,

ABC

S  AB AC

 

 

 Thể tích khối hộp ABCDA B C D   : VABCD A B C D ' ' ' '  [AB AD AA, ] 

  

 Thể tích tứ diện ABCD: 1[ , ]

ABCD

V  AB AC AD

  

 

Chú ý: – Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng 

góc, tính góc giữa hai đường thẳng

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích  khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng,  chứng minh các vectơ cùng phương. 

 

 

a b a b

 

vµ

a b phương a b,0



 

, ,

a b c đồng phẳng a b c,.0 B

A

C

B

A D

C

A

B C

D



A



B C



D

A B

B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

I TÌM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ, CỦA ĐIỂM 1 Kiến thức vận dụng

 Định nghĩa: aa1.ia2.ja3.kaa a1; ;2 a3,       

   

; ;

OM x i y j z k M x y z  

 Tính chất: Cho   

 

1 3 ( ; ; ); ( ; ; )

a a a a b b b b  Ta có:

      

 

1 2 3

( ; ; )

a b a b a b a b   



1 ( ; ; )

ka ka ka ka  

 

     

  

  1

2

3

a b

a b a b

a b

  AB(xBx yA; By zA; BzA) 

2 Một số toán minh họa

Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ a    i j ,k  b3; 0;1 ,   ,

c i j  d5; 2; 3 .  

a) Tìm tọa độ của các vectơ: a b, 3a2c.   b) Tìm tọa độ các vectơ: a b c  ;3a2c3d  c) Phân tích vectơ d theo 3 vectơ a;b;c 

Lời giải:

a) Ta có: 

 a  1;1; ,  b3; 0;1  a b 2;1; 2 . 

 3a  3; 3; , 2  c4; 6; 0 3a2c  7; 3; 9  .  b) Ta có: 

 a  1;1; ,  b3; 0;1 , c2; 3; 0 

 

        

 

0; 2;

a b c  

 3a  3; 3; , 2  c4; 6; 0,3d15; 6; 9  

 3a2c3d8; 3; 18  

 

. 

c) Giả sử dma nb pc   

5

2

3

m n p

m p

m n      

       

  19, 24,

11 11 11

m n p

      

Vậy  19 24

11 11 11

d a b c 

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A1; 3;1 ;B2; 5; 1 và  vectơ OC 3i2j5k.  

a) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.  

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA;BE vàOA2BE.   c) Tìm tọa độ điểm M sao cho   

Lời giải:

a) Gọi D x y z ; ; . Ta có: 

     



5; 3; ,

BC   



4; 5;

AC  

 

 

5

4  

  ,

BC AC không cùng phương. 

      



1; 3;

AD x y z  

ABCD là hình bình hành 

      

 

        

    

 

 

3

1

x x

AD BC y y

z z

. Vậy 4; 6;   

b) Gọi E x y z ; ; . Ta có: 

      

 

1; 3;1 , 2; 5;1

OA OB  

 

1

2  

  ,

OA OB không cùng phương. 

      



2 ; ;

EB x y z  

Từ đề cho ta suy ra: 

   

        

  2 10

1 2 x

OA EB y

z

 3, 13, 

2 2

x y z  

Vậy   

 

3 13 ; ; 2

E  

c) Gọi M x y z ; ; . Ta có: 

     

 

1; 8; 3; 24;

AB AB  

 

   



1; 3;

AM x y z       



2AM 2x 2; 2y 6; 2z  

 3; 2; 5

   



CM x y z       



3CM 3x 9; 3y 6; 3z 15  

   

   3AB 2AM 3CM 

     

    

     

3 2 24 6 2 15

x x

y y

z z

     

  

8 36 13 x y z

 

Vậy M8; 36;13. 

Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết 

1; 0; ,

A B2;1; , D1; 1; ,  C' 4; 5;     Xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của hình hộp  ABCD.A’B’C’D’. 

Lời giải:

 Gọi C x y z ; ; . Ta có:   



1;1;1

AB ; 

 

   



1; 1;

DC x y z  

B

A D

C

B

A

Tứ giác ABCD là hình bình hànhAB DC  

   

1

1 2; 0;

1

x x

y y C

z z                    

 Gọi D x y z ; ; . Ta có:         



4 ; ;

D C x y z ;   



1;1;1

DC  

Tứ giác DCC D  là hình bình hànhD C DC     5 x y z               

4 3; 4; x y D z              

 Gọi A x y z ; ; . Ta có:        



' ; ;

A D x y z ;    



0; 1;

AD  

Tứ giác ADD A  là hình bình hành    

A D AD   

    

  

       

     

 

3

4 3; 5;

6

x x

y y A

z z

 

 Gọi B x y z ; ; . Ta có:        



3; 5;

A B x y z ; D C  1;1;1.  Tứ giác A B C D    là hình bình hành    

 

A B D C    

    

  

      

     

 

3

5 4; 6;

6

x x

y y B

z z

 

 

II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1 Kiến thức vận dụng

Cho      



1; 2; ; 1; ;2

a a a a b b b b  Ta có:

      

 

1 2 3

a b a b a b a b        a  a12a22a32  

   ab a b.0a b1 1a b2 2a b3 3 0  

    

 

cos( , )a b     

   

 



 2 12 22 2 32 2 3 a b a b a b a b

a b a a a b b b         

 B A 2 B A 2 B A

AB x x y y z z  

2 Một số toán minh họa

Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ a1; 2; ,  b3; 1; ,  

 

4; 1; ,

c    d3; 3; ,   

1; ; ,  

u m m  

a) Tính      

  

,

a b b a c ,  a2b    d) Tìm m để ubd.  b) So sánh a b c. .  và  a b c. .   e) Tìm m để u a , 60. 

Lời giải:

a) Tính a b b a ,  2c,  a2b  

 a1; 2; , b3; 1; 2  a b.1.3 2.  1 1.23. 

 c4; 1; 3  2c8; 2; 6    a 2c9; 0; 5  

         

  

3.9 17

b a c  

 2b6; 2; 4   a 2b7; 0; 5  a2b  720252  74.  b) So sánh a b c .   và  a b c . . 

 b c  3.4    1 1 2. 3 7 a b c .  7;14;7 

 a b.1.3 2.  1 1.23       

 

12; 3;

a b c  

Vậy a b c .     a b c .  

c) Tính các góc   a b, , a b a,32c. 

 a1; 2; , b3; 1; 2      

 2

2 2 2

1.3 1.2 3 cos ,

2 21

a b   

  

    

 

 a b, 70 54 

     

 ab4;1;3, 3a2c  5; 8; 9cosa b a,32c  

 

  



   2 

2 2 2

4 1.8 3.9

 

  15

26 170    

  a b a, 32c 76 57' 

d) Tìm m để ub d  . 

        

6; 4;

b d , u1; ; 2m . 

 ub d  u b d.  0  6 4m 6 0m0.  e) Tìm m để   

  

, 60

u a  

    

  

   

, 60 cos ,

2

u a u a    



2

2

m m

  6m2304m6  

 

  

  

  

 

2

4

6 30

m

m m  

     

   



3

10 48 m

m m

  12 129

5

m  

Bài toán 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a và b sao cho      

, 120 a b ,  a 2, b 3. Tính a b  và a2b  

Lời giải:

 Ta có:  a b2a b2  a2b22 a b .cos ;  a b         

1 2.2.3

Vậy a b  7 

 Ta có:  a2b2 a2b2  a24b24 a b .cos ; a b         

1 36 4.2.3 52

2  

Vậy a2b 2 13. 

Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A2; 1;1 ,  B3; 5; ,

8; 4; ,

C  D2; 2m1; 3 .  a) Tính AB BC AC, ,  

b) Chứng minh tam giác ABC là là tam giác vng. 

c) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hồnh sao cho MA MB   d) Tìm m sao cho tam giác ABD vng tại A. 

e) Tính số đo góc A của tam giác ABC. 

Lời giải:

a) Tính AB BC AC, ,  

       



2 2 1; 6;1 38

AB AB  

          

 2

2

5; 1;1 1 3

BC BC  

        

 2

2

6; 5; 65

AC AC  

b) Chứng minh tam giác ABC là là tam giác vuông.   

    

 

1.5 1.1

AB BC   

 

AB BC  ABC vng tại B.  c) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hồnh sao cho MA MB  

Ta có: M Ox M x ; 0; 0 



MA MB  2x  2 1 212  3x25222  

x24x 6 x26x38 x16. Vậy M16; 0; 0.  d) Tìm m sao cho tam giác ABD vng tại A. 

   

    

 

1; 6;1 , 4; 2;

AB AD m  

ABD vuông tại A  AB AD 0   4 12m12 0     1

3

m  

e) Tính số đo góc A của tam giác ABC. 

   

 

 

1; 6;1 , 6; 5;

AB AC ,    

 

cosA cos AB AC,     

 

1.6 6.5 1.2

38 65

AB AC

AB AC  

  

A40  

Chú ý: Vì ABD vng B nên dùng hệ thức lượng tam giác vuông

  3

tan

38 BC A

AB

  

A40 B

C

III VẬN DỤNG CÔNG THỨC TRUNG ĐIỂM VÀ TRỌNG TÂM 1 Kiến thức vận dụng

 M là trung điểm AB      

 

; ;

2 2

A B A B A B

x x y y z z

M  

 G là trọng tâm ABC         

 

; ;

3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G  

2 Bài toán minh họa

Bài tốn : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A1; 3; ,

3; 5; 6 

B , C2;1; 3. 

a) Tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của cạnh AB. 

b) Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC lên trục Ox.  c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C. 

d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho      

FA FB FC  nhỏ nhất. 

e) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B qua trục tung. 

Lời giải:

a) Tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của cạnh AB. 

Ta có điểm M là trung điểm của cạnh AB      

 

1 3 ; ;

2 2

M  hay M2; 1; 4 .  b) Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC lên trục Ox. 

 G là trọng của tam giác ABC         

 

1 3

; ;

3 3

G  hay    

 

1 11 2; ;

3

G  

 Hình chiếu của của G lên trục Ox là H2; 0; 0.  c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C. 

Gọi N x y z ; ; , ta có: N đối xứng với điểm A qua điểm C C là trung điểm của AN 



 

21 ,1 , 32

2 2

y

x z

 x3,y 1,z4. Vậy N3;1; 4.  d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho   

  

FA FB FC  nhỏ nhất. 

     

   

3

FA FB FC FG FG. 

 Do đó      

FA FB FC  nhỏ nhất FG nhỏ nhất F là hình chiếu của G lên mp Oxz .  Vậy  2; 0;11

3

 

 

 

F  

e) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B qua trục tung. 

 Hình chiếu của B lên trục Oy là H0; 5; 0 . 

IV CHỨNG MINH HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, KHÔNG CÙNG PHƯƠNG 1 Kiến thức vận dụng



a cùng phương b   k :akb b   0      

1

, , a

a a

b b b

b b b  

2 Một số toán minh họa Bài tốn 1:

Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ a3; 2; , b3m2; 3; 6n. Tìm  ,

m n để a b,  cùng phương. 

Lời giải:

Ta có: a3; 2; , b3m2;3;6n  

 ,

a b cùng phương khi 3 2 36

3

m n

   5,  3

6

m n  

Bài toán 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A1; 2; , B2;1;1 ,

0; 2; 4

C  

a) Chứng minh A B C, ,  là 3 đỉnh của một tam giác. 

b) Tìm tọa độ điểm Mmp Oyz  sao cho 3 điểm A B M, ,  thẳng hàng. 

Lời giải:

a) Ta có:        

 

1; 1; , 1; 0;1

AB AC  

  

1

1  

  ,

AB AC khơng cùng phương.  Vậy A B C, ,  là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ điểm Mmp Oyz  sao cho 3 điểm A B M, ,  thẳng hàng.  Ta có Mmp Oyz M x ; 0;z 

 

   



1; 2;

AM x z ,     



1; 1;

AB  

, ,

A B M thẳng hàng  AB AM,  cùng phương      

 

1

1

x z

 x3,z 1.  Vậy M3; 0; 1 . 

V TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1 Kiến thức vận dụng

Định nghĩa: Cho     

 

1; ;2 ; 1; ;2

a a a a b b b b  Ta có: 

    

  ,

a b       

 

 

3

2 1

2 3 1 2 3 1

, , ; ;

a a

a a a a

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

Tính chất:

     

   

     

, ; ,

a b a a b b    

   

   

, ,

a b b a  

  a và b cùng phương     

 

 ,

a b  a b c  , , đồng phẳng     



 

,

a b c

Ứng dụng:

  Diện tích hình bình hành ABCD:    

 



  ,

ABCD

S AB AD  

  Diện tích tam giác ABC:     

 

 

1 ,

ABC

S AB AC   

  Thể tích khối hộp ABCD A D C D.    :          

 

  

,

ABCD A B C D AB AD AA

V   

  Thể tích khối tứ diện ABCD:      

 

  

1

,

6

ABCD

V AB AC AD   

  2 Một số toán minh họa

Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: A1; 0;1 ,  B1;1; ,  

 1;1; ,

C   D2; 1; 2  . 

a) Chứng minh rằng: A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. 

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A. 

Lời giải:

a) Chứng minh rằng: A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. 

     

       

  

2;1;1 , 2;1; , 1; 1;

AB AC AD  

 

 

   

 

 

, 2; 4;

AB AC     

 

  

,

AD AB AC   

   , ,

AB AC AD không đồng phẳng 

Vậy  , , ,A B C D là 4 đỉnh của một tứ diện. 

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A. 

           

  

2;1;1 , 2;1; , 1; 1;

AB AC AD  

B

A

C

B

A D

C

A

B C

D 

A 

B C

 D

A B

 

   

      

   

  1    1

, 2; 4; ,

6

ABCD

AB AC V AD AB AC  (đ.v.t.t) 

 Ta có:        

 

0; 0; , 3; 2;

BC BD  

  

   

      

   

  1  

, 4; 6; , 13

2

BCD

BC BD S BC BD  

 

     



1d ; d ; 3  13

3 13

ABCD

ABCD BCD

BCD

V

V A BCD S A BCD

S  

Bài toán 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A3; 5;15 ,  B0; 0; ,  

2; 1; , 

C  D4; 3; 0 . Chứng minh AB và CD cắt nhau. 

Lời giải:

 Ta có:     



3; 5; ,

AB      



5; 6; 11 ,

AC      



7; 8; 15 ,

AD      



2; 2;

CD  

 

   

     

   

       

, 7; 7; , , ,

AB AC AD AB AC AB AC AD đồng phẳng 

 A B C D, , ,  cùng thuộc một mặt phẳng  1  

      

 

    

, 4; 4; ,

AB CD AB CD không cùng phương.  2  

Từ  1  và  2  suy ra: AB và CD cắt nhau. 

Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, cho hình hộp ABCD EFGH  với A1;1; ,  

2;1; ,

B  E1; 2; ,   D3; 1; 2. Khoảng cách từ A đến mp DCGH  bằng  A.    B. 

3   C.    D.  3.  

Lời giải:

Chọn B.  

   

   

 

  

 

  

  



 

 1; 0;1 , 0;1;

2; 0;1 AB

AB AD

AD ,     



2;1;

AE  

   

 

  

,

AB AD AE    ,  1

   ABCD EFGH

V AB AD AE  

   

   

 

  

  

  

  

 



 

 1; 0;1 , 1;1;1

2;1; AB

AB AE

AE  

,

 

SABFE   AB AE  SDCGH. 

 VABCD EFGH. d A DCGH S ,  DCGH   ,   3

ABCD EFGH DCGH

V d A DCGH

S  

   

B A

C D

F E

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I ĐỀ BÀI

Câu 1. Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b, với a và b khác  0, khi đó  cos bằng 

A.

a b a b

 

  B.

a b a b

 

  C.

a b a b 

 

  D.

a b a b      .

Câu Gọi  là góc giữa hai vectơ a1; 2; 0



 và b2; 0; 1 



, khi đó  cos bằng 

A B.

5 C.

2

5 D.

2

 .

Câu Cho vectơ a1; 3; 4



, tìm vectơ b cùng phương với vectơ a  A. b    2; 6; 



B. b   2; 6; 



C. b  2; 6; 



D. b2; 6;   



Câu Tích vơ hướng của hai vectơ a  2; 2; , b0;1; 2

 

 trong không gian bằng  A. 10.  B 13.  C. 12.  D. 14 Câu Trong không gian cho hai điểm A1; 2; , B 0;1;1, độ dài đoạn ABbằng 

A. 6. B. 8. C. 10. D. 12

Câu Trong không gian Oxyz, gọi  , ,  i j k là các vectơ đơn vị, khi đó với M x y z ; ;  thì OM  bằng 

A. xi y j zk 

  

B. xi y j zk 

  

C. x j yi zk 

  

D. xi y j zk 

  

Câu Tích có hướng của hai vectơ a( ; ; )a a a1 2 3 ,b( ; ; )b b b1 2 3 là một vectơ, kí hiệu  a b, , được  xác định bằng tọa độ  

A. a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 B. a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 C. a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 D. a b2 2a b a b3 3; 3 3a b a b1 1; 1 1a b2 2 Câu Cho các vectơ uu u u1; 2; 3



 và vv v v1; 2; 3



,  u v0  

 khi và chỉ khi 

A. u v1 1u v2 2u v3 3 1 B. u1v1u2v2u3v3 0 C. u v1 1u v2 2u v3 3 0 D. u v1 2u v2 3u v3 1 1     Câu Cho vectơ a1; 1; 2 



, độ dài vectơ a là 

A. B C.  D 4. 

Câu 10 Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M nằm trên trục Oxsao cho M khơng trùng với gốc  tọa độ, khi đó tọa độ điểm Mcó dạng 

A. M a ; 0; , a0 B. M0; ; ,b  b0 C. M0; 0;c c, 0 D. M a ;1;1 , a0. Câu 11 Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxysao cho M khơng 

trùng với gốc tọa độ và khơng nằm trên hai trục Ox Oy, , khi đó tọa độ điểm M là (

, ,

A. 0; ;b a. B. a b; ;  C. 0; 0;c. D. a;1;1 Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho a0; 3; 4



 và  b 2 a

 

, khi đó tọa độ vectơ b 

có thể là  A. 0; 3;  B. 4; 0;  C. 2; 0;1  D. 8; 0;   Câu 13 Trong khơng gian Oxyz cho hai vectơ u

  và v



, khi đó u v,   

 bằng  A. u v .sin u v,

   

B. u v .cos u v,

   

C. u v .cos u v,

   

D. u v .sin u v,

   

Câu 14 Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a1; 1; ,  b3; 0; ,  c  2; 5;1

  

, vectơ  m a b c  

   

 có tọa độ là 

A. 6; 0; 6  B. 6; 6; 0 C. 6; 6; 0  D. 0; 6; 6  Câu 15 Trong không gian Oxyzcho ba điểm A1; 0; ,  B 2; 4; ,  C 2; 2; 0 . Độ dài các cạnh 

, ,

AB AC BC của tam giác ABC lần lượt là 

A. 21, 13 , 37 B. 11, 14 , 37 C. 21, 14 , 37 D. 21, 13 , 35. Câu 16 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 0; ,  B 2; 4; ,  C 2; 2; 0 . Tọa độ trọng tâm 

G của tam giác ABC là  A. 2; ;

3 3

 



 

  B.

5 ; ; 3

 

 

  C. 5; 2; 4 D.

;1; 2

 



 

 .

Câu 17 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2; , B 1; 1; , C 0; 2; 5 . Để 4 điểm  , , ,

A B C D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là  

A. D2; 5; 0 B. D1; 2; 3 C. D1; 1; 6  D. D0; 0; 2. Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a(1; 2; 3),b ( 2; 0; 1),c ( 1; 0;1)

  

. Tìm tọa độ của  vectơ n a b  2c3i

    

   A. n6; 2; 6



B. n6; 2; 6 



C. n0; 2; 6



D. n  6; 2; 6



. Câu 19 Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 2), ( 2;1; 3), (3; 2; 4)B C  Tìm tọa độ 

trọng tâm G của tam giác ABC   A. 2;1;

3 G 

  B. G2; 3; 9 C. G 6; 0; 24

 D. 2; ; 31 G 

 . Câu 20 Cho 3 điểm M2; 0; ,  N0; 3; ,  0; 0;   P   Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ 

của điểm Q là  

A. Q2; 3; 4  B. Q2; 3; 4 C. Q3; 4; 2 D. Q  2; 3; 4    Câu 21 Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M1;1;1 , N2; 3; , P 7; 7; 5. Để tứ giác 

MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là 

C. tam giác vng đỉnh A.  D. tam giác đều. 

Câu 23 Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A1; 2; , B 0;1; , C 3; 4; 0. Để tứ giác  ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là 

A. D4; 5; 1 .  B. D4; 5; 1 .  C. D4; 5; 1  .  D. D4; 5;1  Câu 24 Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a 2;b 4

 

. Khi đó  a b  

 bằng 

A. 20. B. 7. C. D. 2.

Câu 25 Cho điểm M1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm Mđến mặt phẳng Oxy bằng 

A B. 3 C D 3.

Câu 26 Cho điểm M2; 5; 0, hình chiếu vng góc của điểm Mtrên trục Oy là điểm  A. M2; 5; 0 B. M0; 5; 0  C. M0; 5; 0 D. M  2; 0; 0. Câu 27 Cho điểm M1; 2; 3 , hình chiếu vng góc của điểm Mtrên mặt phẳng Oxylà điểm 

A. M1; 2; 0 B. M1; 0; 3  C. M0; 2; 3  D. M1; 2; 3. Câu 28 Cho điểm M2; 5; 1, khoảng cách từ điểm M đến trục Oxbằng 

A.  29   B.   C. 2.  D.  26

Câu 29 Cho hình chóp tam giác S ABC  với I là trọng tâm của đáy ABC. Đẳng thức nào sau đây  là đẳng thức đúng 

A. IAIB IC   

B. IA IB CI  0    

C. IA BI IC  0    

D. IA IB IC  0    

Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ a  1;1; 0 

  ; b 1;1; 0 

 ; c 1;1;1 

  Trong các  mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: 

A. bc

 

B. a  

C. c  

D. ab

 

Câu 31 Cho điểm M3; 2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxylà điểm  A. M3; 2;1 .  B. M3; 2; 1  .  C. M3; 2;1.  D. M3; 2; 0

Câu 32 Cho điểm M3; 2; 1 , điểm M a b c ; ;  đối xứng của M qua trục Oy, khi đó a b c   bằng 

A. 6.  B. 4.  C. 0.  D.

Câu 33 Cho u1;1;1



 và v0;1; m



. Để góc giữa hai vectơ  ,u v  có số đo bằng 450 thì mbằng 

A.  3.  B. 2 3.  C. 1 3.  D.

Câu 34 Cho A1; 2; ,  B 3; 3; , C 1; 2; , D3; 3;1. Thể tích của tứ diện ABCD bằng 

A 5.  B 4.  C.3.  D 6.

Câu 35 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện  ABCD cho bởi công thức nào sau đây: 

A.  

,

3 .

AB AC AD h

AB AC

 

 



 

 

  

    B.

 

,

1

3 .

AB AC AD h

AB AC

 

 



  

C.  

 

 



    ,

AB AC AD h

AB AC    D.

 

,

AB AC AD h

AB AC

 

 



 

 

      

Câu 36 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1; 2; ,  B 3; 3; , C 1; 2; , D3; 3; 1.  Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là 

A.

7 2.  B.

9

7.  C.

9

2.  D.

9 14

Câu 37 Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCDcó A(1; 0; 2), ( 2;1; 3), (3; 2; 4), (6; 9; 5)B C D    Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD  

A. 9;18; 30 G  

  B. G8;12; 4 C.

14 3; 3;

4

G 

  D. G2; 3; 1.

Câu 38 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1), (2; 1; 2)B   Điểm M trên trục Oxvà cách  đều hai điểm  ,A B có tọa độ là  

A. 1 3; ; 2

M 

  B.

1 ; 0;

M 

  C.

3 ; 0;

M 

  D.

1 0; ;

2

M 

 .

Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1), (3; 1; 2)B   Điểm M trên trục Ozvà cách  đều hai điểm  ,A B có tọa độ là  

A. M0; 0; 4 B. M0; 0; 4  C. 0; 0;3 M 

  D.

3 ; ; 2

M 

 .

Câu 40 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 1; 2; 3), (0; 3;1), (4; 2; 2)  B C  Cosin của góc BAC  là 

A.

2 35 B.

9

35 C.

9 35

 D.

35

 .

Câu 41 Tọa độ của vecto n vng góc với hai vecto a(2; 1; 2), b(3; 2;1)

 

 là  A. n3; 4;1



B. n3; 4; 1 



C. n  3; 4; 1 



D. n3; 4; 1  



. Câu 42 Cho a 2;b 5,

 

 góc giữa hai vectơ a và b bằng 2



, uka b v ;  a b

     

 Để u vng 

góc với v thì k bằng  A. 

45

   B. 45

6    C. 

6

45    D. 

45

  

Câu 43 Cho u2; 1;1 ,  vm; 3; ,  1; 2;1

  

w  Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng  phẳng 

A.

8 B.

3

 C.

3 D.

8

 .

Câu 44 Cho hai vectơ a1; log 5;3 m,b3; log 3; 45 

 

. Với giá trị nào của m thì ab

 

  

Câu 45 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 5; 3), (3;7; 4), ( ; ; 6)B C x y  Giá trị của x y,  để ba  điểm  , ,A B C thẳng hàng là 

A. x5;y11 B. x 5;y11 C. x 11;y 5 D. x11;y5. Câu 46 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 0; 0), (0; 0;1), (2;1;1)B C  Tam giác ABC là  

A. tam giác vng tại A.  B. tam giác cân tại A.   C. tam giác vng cân tại A.  D. Tam giác đều

Câu 47 Trong khơng gian Oxyzcho tam giác ABCcó A(1; 0; 0), (0; 0;1), (2;1;1)B C  Tam giác ABC  có diện tích bằng 

A. 6 B.

3 C.

6

2 D.

1 2.

Câu 48 Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là1; 1; , 2; 3; , 7; 7;  Diện tích của hình      bình hành đó bằng 

A. 83 B. 83 C. 83 D. 83

2 .

Câu 49 Cho 3 vecto a1; 2;1 ;



 1;1; 2 b 



 và cx x x; ; 2



. Tìm x để 3 vectơ  , ,a b c   

 đồng  phẳng  

A. 2.  B. 1.   C. 2.  D. 1

Câu 50 Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a3; 2; , 



5;1; 6

b 

 , c  3; 0; 2 

   Tìm vectơ x    sao cho vectơ x đồng thời vng góc với  , ,a b c

    

A. 1; 0;  B. 0; 0;1  C. 0;1;  D. 0; 0; 

Câu 51 Trong không gianOxyz, cho 2 điểm B(1; 2; 3) ,C(7; 4; 2)  Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng  thức CE2EB thì tọa độ điểm E là 

A. 3; ;8 3

 



 

  B.

8 3; ;

3

 

 

  C.

8 3; 3;

3

 



 

  D.

1 1; 2;

3

 

 

 

Câu 52 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1) , B(2; 1; 3) ,C( 2; 3; 3)   ĐiểmM a b c ; ;  là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM, khi đó P a 2b2c2 có giá trị  bằng 

A.43. B. 44. C. 42. D. 45

Câu 53 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho ba điểm A(1; 2; 1) , B(2; 1; 3) ,C( 2; 3; 3)   Tìm tọa độ điểmD là chân đường phân giác trong góc A của tam giácABC 

A. D(0;1; 3) B. D(0; 3;1) C. D(0; 3;1) D. D(0; 3; 1) .

Câu 54 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm  ,  ,   Tìm 

tọa độ điểm I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC  A. ( ; ; )8

3 3

I B. ( ; ; )5 8

3 3

I C. ( 8; ; )

3 3

I  D. ( ; ; )8

3 3

I .

Câu 55 Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ a  1;1; ,  b1;1; ,  c1;1;1

  

. Cho hình hộp 

OABC O A B C    thỏa mãn điều kiện OAa OB b OC,   ,  'c      

. Thể tích của hình hộp nói  trên bằng: 

A.

3 B 4  C.

2

3 D

Câu 56 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A2; 1;1 ,  1; 0; ,  B   

3;1; ,  0; 2; 1

C D  Cho các mệnh đề sau:   1) Độ dài AB 2. 

2) Tam giác BCD vng tại B. 

3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6.  Các mệnh đề đúng là:  

A. 2).  B. 3).  C. 1); 3).  D. 2), 1) Câu 57 Trong không gianOxyz, cho ba vectơ a  1,1,0 ; b(1,1,0);c1,1,1

  

. Trong các mệnh  đề sau, mệnh đề nào đúng: 

A. cos , 

3 b c 

 

    B. a b c     0.   

C.  , ,a b c   đồng phẳng D. a b 1  

Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD, biết A(1; 0;1),B( 1;1; 2) ,  ( 1;1; 0)

C  , D(2; 1; 2)   Độ dài đường cao AHcủa tứ diện ABCD bằng: 

A.

13 B.

1

13 C.

13

2 D.

3 13 13

Câu 59 Cho hình chóp tam giác S ABC  với I là trọng tâm của đáy ABC. Đẳng thức nào sau đây  là đẳng thức đúng 

A. 1 

2

SI SA SB SC 

   

B. 1 

3

SI SA SB SC 

   

C. SISA SB SC 

   

D. SI SA SB SC   0

    

Câu 60 Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0;1), ( 2;1; 1)B C D    Thể tích của tứ diện ABCD bằng 

A.

2 B. 3 C. 1 D.

1 2.

Câu 61 Cho hình chóp S ABC  có    

, , 60 , 90

SA SB a SC a ASB CSB  CSA  Gọi G là trọng  tâm tam giác ABC. Khi đó khoảng cách SG bằng 

A. 15

3 a

. B.

3 a

C.

3 a

D. a 3

Câu 62 Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A2; 5;1 , B 2; 6; ,  C 1; 2; 1  và điểm 

 ; ; 

M m m m , để MB2AC  

Câu 63 Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A2; 5;1 , B 2; 6; ,  C 1; 2; 1  và điểm 

 ; ; 

M m m m , để MA2MB2MC2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng 

A B 4. C. 2 D. 1. 

Câu 64 Cho hình chóp S ABCDbiết  A2; 2; , B 3;1; , C 1; 0; , D1; 2; 3. Gọi H là trung  điểm của CD, SHABCD. Để khối chóp S ABCD có thể tích bằng 27

2  (đvtt) thì có hai  điểm S S1, 2 thỏa mãn u cầu bài tốn. Tìm tọa độ trung điểm I của S S1 2  

A. I0; 1; 3   B. I1; 0; 3 C. I0; 1; 3 D. I1; 0;   Câu 65 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;7), (4; 5; 2) B   Đường thẳng ABcắt mặt 

phẳng (Oyz) tại điểm M. Điểm Mchia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào  A.

2.  B.   C.

1

3.  D.

2

Câu 66 Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), (3; 0;1),C(2; 1; 3) B   và D thuộc  trục Oy. Biết VABCD 5 và có hai điểm D10;y1; , D20;y2; 0 thỏa mãn yêu cầu bài  tốn. Khi đó y1y2 bằng  

A. 0.  B. 1.  C. 2.  D.

Câu 67 Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1; 2; 4), (3; 0; 2),C(1; 3;7) B   Gọi D là  chân đường phân giác trong của góc A. Tính độ dài OD.  

A. 207

3   B.

203

3   C.

201

3   D.

205

3  

Câu 68 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC, biết A(1;1;1), B(5;1; 2) , (7; 9;1)

C  Tính độ dài phân giác trong ADcủa gócA  A. 74

3 B.

3 74

2 C. 74 D. 74

Câu 69 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; 1) ,B(1; 4; 1) , C(2; 4; 3)  (2; 2; 1)

D   Biết M x y z ; ; , đểMA2 MB2 MC2 MD2

    đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z    bằng 

A.

 7.  B. 8.  C. 9.  D. 6

Câu 70 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 3;1), B( 1; 2; 0) ,C(1;1; 2)   H là trực tâm tam giác ABC, khi đó, độ dài đoạn OH bằng 

A. 870

12 B.

870

14 C.

870

16 D.

870 15

A. 177 17; 177 ; , 0; 0;3 177

4

B    C  

   

B. 177 17; 177 ; , 0; 0;3 177

4

B    C  

   

C. 177 17; 177 ; , 0; 0;3 177

4

B    C  

   

D. 177 17; 177; , 0; 0;3 177

4

B    C  

   

Câu 72 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, B(3; 0; 8), D( 5; 4; 0)    Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB     bằng: 

A. 10 B. 10. C. 10 D. 10

Câu 73 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC, biết A(5; 3; 1) ,B(2; 3; 4) ,  (3;1; 2)

C   Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC bằng:  

A. 6. B. 6. C. 6. D. 6.

Câu 74 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M3; 0; , N m n , ,0 , P 0; 0;p.  Biết MN 13 ,MON600, thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức 

2 2

Am n p  bằng 

A. 29.   B. 27.   C. 28.   D. 30. 

Câu 75 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 3;1),B( 1; 2; 0) ,C(1;1; 2)   Gọi I a b c ; ;  là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức 

15 30 75

P a b c  

A. 48.  B. 50.  C. 52.  D. 46. 

   

 

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1A 2B 3A 4C 5A 6D 7A 8C 9A 10A

11B 12D 13A 14C 15C 16A 17A 18D 19A 20B

21B 22A 23A 24B 25D 26C 27A 28D 29D 30A

31C 32C 33B 34C 35D 36A 37D 38C 39A 40A

41B 42D 43D 44C 45A 46A 47C 48A 49A 50D

51A 52B 53A 54C 55D 56A 57A 58B 59B 60D

61A 62A 63B 64C 65A 66B 67D 68A 69A 70D

71A 72B 73B 74A 75B

Câu 1. Chọn A.

Câu Chọn B.

Câu Chọn A

Câu Chọn C.

Câu Chọn A.

Câu Chọn D.

Câu Chọn A.

Câu Chọn C.    

Câu Chọn A.

Câu 10 Chọn A.

Câu 11 Chọn B.

Câu 12 Chọn D.

Câu 13 Chọn A.

Câu 14 Chọn C.

Câu 15 Chọn C.

Câu 16 Chọn A.

Câu 17 Chọn A. 

Cách 1:Tính AB AC AD,  0

 

     

Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.  Câu 18 Chọn D.

Câu 19 Chọn A.

Câu 20 Chọn B.

  Gọi Q x y z( ; ; ), MNPQ là hình bình hành thì MNQP  



2 x y z   

     

 

Câu 21 Chọn B.

Điểm Q x y z ; ;    1; 2; 3

MN



, QP7x; 7y; 5z



  Vì MNPQ là hình bình hành nên MN QP Q6; 5; 2

 

Câu 22 Chọn A. 

(0; 2; 1); ( 1; 3; 2) AB   AC   

 

. Ta thấy AB AC 0  

ABC

 không vuông. 

AB  AC

 

  ABCkhông cân.          Câu 23 Chọn A.

Điểm D x y z ; ;    1; 1;1

AB 



, DC   x; 4y;z



Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC D4; 5; 1 

 

  Câu 24 Chọn B.

Ta có a b 2 a2 b22a b.cos , a b  4 16 28   a b 2

         

  Câu 25 Chọn D.

Với M a b c ; ; d M Oxy ,  c   Câu 26 Chọn C.

Với M a b c ; ;  hình chiếu vng góc của Mlên trục Oy là M10; ; 0b    Câu 27 Chọn A.

Với M a b c ; ;  hình chiếu vng góc của Mlên mặt phẳngOxy là M a b1 ; ; 0   Câu 28 Chọn D.

Với M a b c ; ; d M Ox ,  b2c2   Câu 29 Chọn D.

Câu 30 Chọn A.

Vì  b c2 0.  

Câu 31 Chọn C.

Với M a b c ; ;  điểm đối xứng của Mqua mặt phẳng Oxy là M a b c ; ;   Câu 32 Chọn C.

Với M a b c ; ;  điểm đối xứng của Mqua trục Oy là M  a b c; ;   

 3; 2;1

M a b c

       

Câu 33 Chọn B.

 

   

2

2

2

1 1.0 1.1 1

cos

3

2

2 m m

m m

m m

m

m



  

  

       

  

 

  

 

Câu 34 Chọn C.

Tính AB2; 5; , AC  2; 4; , AD2; 5;1

  

  

,

V  AB AC AD 

  

Sử dụng Casio

w811 (nhập vectơ AB) 

q5222 (nhập vectơ AC) 

q5231 (nhập vectơ AD



) 

C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V) Câu 35 Chọn D.

Vì  1 ,

3

ABCD

V  h AB AC  AB AC AD

   

    

 nên 

,

AB AC AD h

AB AC

 

 



 

 

    

Câu 36 Chọn A.

Tính AB2; 5; , AC2; 4; , AD2; 5;1

  

  

,

6

V  AB AC AD 

 

  

  

V  B h, với  , 2

ABC

B S   AB AC 

 

 

, h d D ABC  ,   

3 3.3

7

V h

B

   

Câu 37 Chọn D.

Câu 38 Chọn C.

 ; 0; 0

M Ox M a  

M cách đều hai điểm  ,A B nên MA2 MB2 1a22212 2a22212  

2

2

a a

     

Câu 39 Chọn A.

Câu 40 Chọn A.

Câu 41 Chọn B.

Câu 42 Chọn D.

      

2

50 cos

3

6 45

u v ka b a b k k a b

k



      

  

       

Câu 43 Chọn D.

Ta có: u v,   2;m2;m6 , u v,  3m8

   

    

w   

, , u v   

w đồng phẳng  ,

u v m

 

    

 

  

w  

Câu 44 Chọn C.

Câu 45 Chọn A.

1; 2;1 ,  2; 5; 3

AB AC x y

 

, ,

A B C thẳng hàng AB AC,  

 cùng phương 5; 11

1

y x

x y

 

       

Câu 46 Chọn A. 

1; 0; ,  1; 1; ,  2; 1; 0

BA  CA    CB  

  

  

BA CA 

 

tam giác vuông tại A, ABAC Câu 47 Chọn C. 

 1; 0;1 , 1;1;1

AB  AC

 

. 

2

ABC

S  AB AC 

 

 

Câu 48 Chọn A.

Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là  , ,A B C   1; 2; , 6; 6; 4

AB AC

 

 

 2  2

, 10 14 83

hbh

S  AB AC      

 

 

  Câu 49 Chọn A.

  a b c, ,

  

 đồng phẳng thì a b c,  0x2 

 

Câu 50 Chọn D.

Dễ thấy chỉ có x(0; 0; 0) 

thỏa mãn  x ax b x c  0      

Câu 51 Chọn A.

( ; ; ) E x y z , từ 

3

2

3 x

CE EB y

z     

  

 

     

Câu 52 Chọn B.

( ; ; )

M x y z , ABCM là hình bình hành thì   2

2 ( 3; 6; 1) P 44 3

x

AM BC y M

z

     

         

    

 

Câu 53 Chọn A.

Ta có AB 26 ,AC  26 tam giác ABCcân ở A nên D là trung điểm BC  (0;1; 3)

D

 Câu 54 Chọn C.

Ta có:      đều. Do đó tâm I của đường trịn ngoại tiếp   là trọng tâm của nó. Kết luận: 

Câu 55 Chọn D.

  OAa, A( 1;1; 0), OBbB(1;1; 0), OC'cC'(1; 1; 1)

     

 

3

ABBCCA ABC

ABC

 8; ;

3 3

I 

(2; 0; 0) ' ( 1;1;1) '

AB OC C CC   OO

   

' ' ' ' , '

OABC O A B C

V OA OB OO

 

 

  

Câu 56 Chọn A.

Câu 57 Chọn A.

cos( , )

b c b c

b c 

   

 

Câu 58 Chọn B.

Sử dụng công thức 

, 1

13

AB AC AD h

AB AC

 

 

 

    

Câu 59 Chọn B.

 

3

SI SA AI

SI SB BI SI SA SB SB AI BI CI

SI SC CI



 

 

        



  

   

         

  

Vì I là trọng tâm tam giác  1 

ABCAI BI CI   SI  SA SB SC 

       

  Câu 60 Chọn D. 

Thể tích tứ diện:  ,

ABCD

V  AB AC AD

 

  

     

Câu 61 Chọn A.

Áp dụng cơng thức tổng qt: Cho hình chóp S ABC  có SA a SB b SC ,  , c và có 

 , ,

ASB BSC CSA  Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó  

2 2

2 cos cos

3

SG a b c  ab  ac  bc    Chứng minh: 

Ta có:  1 

SG SA SB SC 

   

  

 2 2

2

SA SB SC  SA SB SC  SA SB SA SC SB SC

           

Khi đó  2 2 cos cos

SG a b c  ab  ac   bc  

Áp dụng cơng thức trên ta tính được  15 a

SG

Câu 62 Chọn A.

 1; 3; ,  ; ; 

AC    MB  m  m m

 

 2  2

2 2

2 12 36 24

MB AC  m m  m  m  m  m 

 

  Để  MB2AC

 

2 ; ;1 ,  ; ; , 1 ; ;  MA m m m MB  m  m m MC m m  m

  

  

 2

2 2

3 24 20 28 28

MA MB MC   m  m   m    

Để MA2MB2MC2đạt giá trị lớn nhất thì m4  Câu 64 Chọn C.

Ta có   1; 1; , 1; 2;1 , 3

2

ABC

AB   AC  S  AB AC 

 

   

  

 2; 2; ,  1; 1; 2

DC   AB   DC AB

   

 ABCD là hình thang và 

3

2

ABCD ABC

S  S    

Vì  . 3

3

S ABCD ABCD

V  SH S SH   

Lại có H là trung điểm của CDH0;1; 5  

Gọi S a b c ; ; SH   a; 1b; 5cSHk AB AC , k3; 3; 3  ; ; 3k k k

 

   

   Suy ra 3 3 9k29k29k2 k 1  

+) Với k 1 SH3; 3; 3S 3; 2; 2



   +) Với k  1 SH    3; 3; 3S3; 4; 8



   Suy ra I0; 1; 3

Câu 65 Chọn A.

Đường thẳngABcắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm MM(0; ; )y z   (2; ; ), (4; ; )

MA y z MB y z

        

 

  

Từ MAkMB  

 ta có hệ   

 

2

1

1

2

7

k

y k y k

z k z

   

     

 

    



 

Câu 66 Chọn B.

(0; ; 0)

D Oy D y   

Ta có: AB1; 1; ,  AD  2;y1;1 , AC0; 2; 4 

  

 

0; 4;

AB AC AB AC AD y

   

       

   

    

1

5 7;

6

ABCD

V    y  y  y D10; 7; ,  D20; 8; 0y1y21 Câu 67 Chọn D.

Gọi D x ; y; z   14

2 14

DB AB

Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên 

 

 

 

5

3 3

2

4 2

x

x x

DB DC y y y

z

z z

 

     

 



        

  

    

 





 

  

Suy ra  5; 2; 205

3

D  OD 

 



Câu 68 Chọn A.

( ; ; )

D x y z  là chân đường phân giác trong góc A của tam giácABC. 

Ta có (17 11; ; 1) 74

2 3

DB AB

DC DB D AD

DC AC        

 

Câu 69 Chọn A.

Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có:  14; ; 3

G 

 .  

Ta có: MA2MB2MC2MD24MG2GA2GB2GC2GD2 

 GA2GB2GC2GD2. Dấu bằng xảy ra khi M 14; ; 3

G x y z  

 

Câu 70 Chọn D.

( ; ; )

H x y z  là trực tâm của ABC BHAC CH, AB H, (ABC) 

2 29

; ;

15 15

,

BH AC

CH AB x y z

AB AC AH

 

 



      

    



   

     

2 29 870

; ;

15 15 15

H  OH

 

Câu 71 Chọn A.

Giả sử B x y( ; ; 0) ( Oxy C), (0; 0; )z Oz. 

H là trực tâm của tam giác ABC  

, ,

AH BC

CH AB

AB AC AH đồng phẳng

 

 

    

   

     

 

,

AH BC CH AB

AB AH AC

 

 

 



  

 



   

    

 

0

2

3

x z y

y yz z   



   

    



x x

   177 ; 17 177 ; 177

4

x   y  z   

  177 17; 177 ; , 0; 0;3 177

4

B    C  

   

Câu 72 Chọn B.

Ta có trung điểmBD là I( 1; 2; 4)  ,BD12và điểmAthuộc mặt phẳng (Oxy) nên  ( ; ;0)

ABCD là hình vng  

2

2

2

AB AD

AI BD

 



  



  

 



2 2 2

2 2

( 3) ( 5) ( 4) ( 1) ( 2) 36

a b a b

a b

       

  

    

 

 

2

4

( 1) (6 ) 20

b a

a a

     

   

 

1 a b

   

 

 hoặc 

17

14 a b 

   

    

  

 A(1; 2; 0) hoặc  17; 14; 5

A  

 

(loại).  Với A(1; 2; 0) C( 3; 6; 8) 

Câu 73 Chọn B.

Ta có AC2BC2   9 AB2 tam giác ABC vng tại C. 

Suy ra: 

 

1

CA.CB 3.3 2

2 9 6

1 3 2 3 3

2

ABC

S r

p AB BC CA

    

 

 

Câu 74 Chọn A.

  OM3; 0; , ONm n; ; 0OM ON 3m

   

  

 

2

1

cos 60

2

OM ON m

OM ON OM ON

OM ON m n

    

  

   

    

  MN m32n2  13     Suy ra m2;n 2 3  

  , 16 3

6

OM ON OP p V p p

        

 

  

  

  Vậy A 2 2.12 29.   

Câu 75 Chọn B.

( ; ; )

I x y z  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AIBI CI I , (ABC) 

 

2

2

,

AI BI

CI BI

AB AC AI

 

  

   

    

14 61 14 61

; ; ; ; 50

15 30 15 30

x y z I P

  

         

  

Chủ đề 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU



A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I ĐỊNH NGHĨA

Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: S I R ; S I R ;   M IM/ R

II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng : Phương trình tắc

Mặt cầu (S) có tâm I a b c ; ; , bán kính R0   S : x a  2 y b  2 z c 2R2

Dạng : Phương trình tổng quát

2 2

( ) :S x y z 2ax2by2cz d 0

(2)

 Điều kiện để phương trình (2) phương trình

mặt cầu: a2b2c2 d 0

 (S) có tâm I a b c ; ; 

 (S) có bán kính: R a2b2c2d III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu S I R ;  mặt phẳng  P Gọi H hình chiếu vng góc I lên  P d IH

là khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P Khi : + Nếu d R : Mặt cầu

mặt phẳng khơng có điểm chung

+ Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc đó:  P mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H

là tiếp điểm.

+ Nếu d R : Mặt phẳng  P cắt mặt cầu theo thiết diện

đường trịn có tâm I' bán

kính r R2IH2

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính và thiết diện lúc gọi đường trịn lớn.

P

M2

M1

H I R

R I

H P

d

r I'

α

R I

R

I B

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho mặt cầu S I R ;  đường thẳng  Gọi H hình chiếu I lên  Khi : + IH R:  không cắt mặt

cầu

+ IH R:  tiếp xúc với mặt cầu

 tiếp tuyến (S) H là tiếp

điểm.

+ IH R:  cắt mặt cầu hai điểm phân biệt

* Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau:

+ Xác định: d I ;  IH + Lúc đó:

2

2 2

2 AB

R IH AH  IH   

 

V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu   S : x a–  2 y b–  2 z c– 2 R2 tâm I a b c ; ;  bán kính R mặt phẳng

 P :Ax By Cz D   0

o Nếu d I P , R mp  P mặt cầu  S khơng có điểm chung

o Nếu d I P , R mặt phẳng  P mặt cầu  S tiếp xúc Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm

o Nếu d I P , R mặt phẳng  P mặt cầu  S cắt theo giao tuyến đường tròn có

phương trình :      

2 2 2

0

x a y b z c R

Ax By Cz D

      

 

   

 

Trong bán kính đường trịn r R2d I P( ,( ))2 tâm H

của đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu  S lên mặt phẳng  P

R

I



H

H



I R

H B A

I R

Δ

R' I'



B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP

I TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU 1 Kiến thức vận dụng

 Phương trình: x a  2 y b–  2 z c– 2R2 phương trình mặt cầu có tâm I a b c ; ; , bán kính R

 Phương trình x2y2z2– 2ax– 2by– 2cz d 0 thỏa điều kiện a2b2c2–d0, phương trình trình mặt cầu tâm I a b c ; ; , bán kính R a2b2c2d

2 Một số toán minh họa

Bài toán 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình mặt cầu, phương trình mặt cầu tìm tâm bán kính mặt cầu

a) x2 2 y32z25 b) x2y2z22x4y6z 1 c) 3x23y23z26x3y21 0

Lời giải:

a) Phương trình x2 2 y32z25 có dạng x a–  2 y b  2 z c 2R2 nên phương trình mặt cầu có tâm I2; 3; 0  bán kính R

b) Phương trình x2y2z22x4y6z 1 có dạng x2y2z22ax2by2cz d với

1,  2, 3, 1

a b c d a2b2c2 d 13 0

Vậy phương trình cho phương trình mặt cầu có tâm I1; 2; 3 và bán kính R 13 c) Phương trình 3x23y23z26x3y21 0 x2y2z22x y 70 có dạng

     

2 2 2 2 2

x y z ax by cz d với 1,  1, 0, 7

2

a b c d  2 2 2  230

a b c d

Vậy phương trình cho khơng phải phương trình mặt cầu

Bài tốn 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm m để phương trình sau phương trình mặt cầu

a) x2y2z22mx2m1y4z 1 b) x2y2z22m3x4mz80

Lời giải:

a) Phương trình x2y2z22mx2m1y4z 1 có dạng

     

2 2 2 2 2

x y z ax by cz d với am b,  m1 , c2,d1

b) Phương trình x2y2z22m3x4mz80 có dạng

     

2 2 2 2 2

x y z ax by cz d với a m 3,b0,c2 ,m d8 ĐK: a2b2c2 d m3 2 2m2 8 5m26m 1

   

  

1

m m

Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị thực tham số m để phương phương trình x2y2z22m2x– 2m3z m 210 phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ

A. m B. m0 C. m2 D. m1

Lời giải:

Chọn D.

Phương trình x2y2z22m2x– 2m3z m 210 có dạng:

      

2 2

2 – 2

x y z ax by cz d với a m2 , b0,cm3,dm21 ĐK để pt cho pt mặt cầu: a2b2c2 d m2 2 m32m210

m22m14 0 m

Khi bán kính mặt cầu R m22m14 m1213 13 Do minR 13 m1

II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1 Phương pháp

Thuật toán 1:

Bước 1: Xác định tâm I a b c ; ; 

Bước 2: Xác định bán kính R (S)

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I a b c ; ;  bán kínhR là: x a  2 y b  2 z c 2R2 Thuật tốn 2:

Gọi phương trình 2

( ) :S x y z 2ax2by2cz d 0

Phương trình (S) hồn tồn xác định biết , , , a b c d (a2 b2 c2 d 0     )

2 Một số toán minh họa

Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu trường hợp sau:

b) Có tâm C3; 3;1  qua điểm A5; 2;1 

c) Có tâm thuộc mặt phẳng Oxy qua điểm A1; 1; , B2; 1; 3 , C1; 0; 2 d) Có tâm A2; 4;5 tiếp xúc với trục Oz

Lời giải:

a) Có đường kính AB với A4;3; , B2; 1; 3

 Tâm I mặt cầu trung điểm AB I3; 1; 5 

 Bán kính mặt cầu   2 4  2 3  2 7 2 3

2

R AB

Vậy phương trình mặt cầu là: 2  2  2

–  1  – 9

x y z

b) Có tâm C3; 3;1  qua điểm A5; 2; 1 

 Tâm mặt cầu C3; 3;1 

 Bán kính mặt cầu R CA  5 3  2  2 3 2 1 2 

Vậy phương trình mặt cầu là:x– 3 2 y3 2 z– 125

c) Có tâm thuộc mặt phẳng Oxy qua điểm A1; 1; , B2; 1;3 , C1; 0; 2

 Gọi phương trình mặt cầu dạng:x2y2z2– 2ax– 2by– 2cz d 0, a2b2c2 d

 Mặt cầu có tâm I a b c ; ; mp Oxy  c  1

 Mặt cầu qua điểm A1; 1; , B2; 1; 3 , C1; 0; 2, suy ra:

     



    



    



3 2

14

5

a b c d

a b c d

a c d

 2 Từ  1  2 ta tìm được:  ,  12, 0,  32

10 5

a b c d

 Vậy PTMC là: 2 2 27 24 320

5 5

x y z x z

d) Có tâm A2; 4;5 tiếp xúc với trục Oz

 Tâm mặt cầu A2; 4;5

 Gọi H hình chiếu A lên trục Oz H0; 0; 5 

Bán kính mặt cầu RAH 0 2  2 4  2  5 52  20

 Vậy PTMC là: x– 2 2 y4 2 z52 20

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A1;1; , B1;1; ,  C1; 0;1 Phương trình mặt cầu qua điểm , ,A B C có tâm nằm mp Oxz 

A. 2 2 23  50

2

x y z x z B. 2 2 23 1 50

4 2

C. 2 2 23  50

2

x y z x z D. 2 2 23  50

2

x y z y z

Lời giải:

Chọn A.

 Gọi phương trình mặt cầu dạng:x2y2z2– 2ax– 2by– 2cz d 0, a2b2c2 d

 Mặt cầu có tâm I a b c ; ; mp Oxz b0  1

 Mặt cầu qua điểm A1; 1; , B 1;1; ,  C 1; 0;1, suy ra:

     



    



    



6 2

3 2

2 2

a b c d

a b c d

a c d

 2 Từ  1  2 ta tìm được:  3, 0,  1,  5

4 2

a b c d

 Vậy PTMC là: 2 2 23  50

2

x y z x z

Bài toán 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

a) (S) qua bốn điểm A1; 2; ,  B1; 3;1 ,  C2; 2; , D1; 0; 4

b) (S) qua A0; 8; , B4; 6; , C0;12; 4 có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz)

Lời giải:

a) Cách 1: Gọi I x y z ; ;  tâm mặt cầu (S) cần tìm

Theo giả thiết:

2

2

2

1

7

4

IA IB

IA IB y z x

IA IC IA IC x z y

IA ID IA ID y z z

 

        



  

        

   

        

   

Do đó: I2; 1; 0 RIA 26 Vậy (S) : x2 2 y12z226

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x2y2z22ax2by2cz d 0,  2 

0

a b c  d

Do A1; 2; 4    S  2a4b8c d  21 (1) Tương tự: B1; 3;1    S  2a6b2c d  11 (2) C2; 2; 3   S  4a4b6c d  17 (3) D1; 0; 4   S  2a8c d  17 (4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có , , ,a b c d , suy phương trình mặt cầu (S) :

x 2 2 y 12 z2 26

    

b) Do tâm I của mặt cầu nằm mặt phẳng (Oyz)I0; ;b c Ta có:

2

2

7

IA IB b

IA IB IC

c

IA IC

   



   

 

 



Bài toán 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : x t y

z t

      

   

(S) tiếp xúc

với hai mặt phẳng   : x2y2z3 0   : x2y2z70

Lời giải:

Gọi I t ; 1;   t tâm mặt cầu (S) cần tìm

Theo giả thiết:  ,   ,  5

1

3

t t t t

d I d I t

t t

            

   

Suy ra: I3; 1; 3    , 

3

Rd I   Vậy (S) :  3 2 1 2 32

x  y  z 

Bài tốn 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A2; 6; , B4; 0; 8 có tâm thuộc d:

1

1

y

x z

 



Lời giải:

Ta có

1

:

5

x t

d y t

z t

   

 

    

Gọi I1t t; ; 5 td tâm mặt cầu (S) cần tìm

Ta có: IA1t; ; 5 t t, IB3 t; ;13t t

 

Theo giả thiết, (S) qua A, BAI BI

  2  2 2  2  2

1 t 2t t t 4t 13 t

          

29

62 32 178 20 12 116

3

t t t t

         

32 58 44

; ;

3 3

I 

    

  R IA 233

 

Vậy (S):

2 2

32 58 44

932

3 3

x y z

     

     

     

     

Bài tốn 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I2; 3; 1  cắt đường thẳng : 1

1

y

x  z

  



tại hai điểm A, B với AB16

Lời giải:

Chọn M1;1; 0  IM   3; 2;1 

Đường thẳng  có vectơ phương u 1; 4;1 

Ta có: , 2; 4;14  ,  ,

IM u

IM u I

u

 



 

 

      

 

   



Gọi R bán kính mặt cầu (S) Theo giả thiết :  

2

, 19

4 AB

R d I    

Vậy (S): x2 2 y3 2 z1276

Bài toán 7: Cho hai mặt phẳng  P : 5x4y z  6 0,  Q : 2x y z  70 đường thẳng

1

:

7

y

x z

  

 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P)  cho (Q)

cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20

Lời giải:

Ta có

1

:

1

x t

y t

z t

      

   

Tọa độ I nghiệm hệ phương trình:

1

5

x t

y t

z t

x y z

   

  

  

    



(1) (2) (3) (4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 7  t4 3  t  2 t 6 0 t 0I1; 0; 1 Ta có :  , 

3

d I Q 

Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến (S) mặt phẳng (Q) Ta có: 20 r2r2 5.

R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm

Theo giả thiết:  ,  2 330

3

R d I Q  r 

  Vậy (S) :    

2 2 110

1

3

x y  z 

Bài toán 8: Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 đường thẳng : 2

x t

d y t

z t

   

 

    

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính

Lời giải:

Gọi It t; 1;t2d: tâm mặt cầu (S) R bán kính (S) Theo giả thiết : R d I P ; 2r2  4 9  13

 

Mặt khác:   

1

2 2 6

; 2 6

11 4

6 t

t t t

d I P t

t

  

     

       

    



* Với

6

t : Tâm 1 1; 13;

6

I   

 , suy  

2 2

1

1 13

: 13

6

S x  y  z  

     

* Với 11

6

t  : Tâm 2 11; 1;

6

I   

 , suy  

2 2

2

11 : 13

6

     

     

     

     

Bài toán 9: Cho điểm I1; 0; 3 đường thẳng : 1

2

y

x z

d      Viết phương trình mặt

cầu (S) tâm I và cắt d hai điểm A, B cho IAB vuông I

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ phương u2;1; 2 P1; 1; 1 d Ta có: IP0; 1; 2  



 

, 0; 4;

u IP

 

   

 

 

Suy ra:  ;  , 20

3 u IP I d

u

 

 

 

 



d

Gọi R bán kính (S) Theo giả thiết, IAB vuông I

 

2 2

1 1 40

2 ,

3

R IH I d

IH IA IB R

 2       d 

Vậy (S) :  12  32 40

x y  z 

Bài toán 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x2y2z24x4y4z0 điểm A4; 4; 0 Viết

phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB

Lời giải:

(S) có tâm I2; 2; , bán kính R2 Nhận xét: điểm O và A thuộc (S) Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp /

3

OA

R  

Khoảng cách :  ;   / 2

d I P  R  R 

Mặt phẳng (P) qua O có phương trình dạng : ax by cz  0 a2b2c2 0  *

Do (P) qua A, suy ra: 4a4b 0 b a

Lúc đó:     

2 2 2 2

2 2 2

;

3

2

a b c c c

I P

a b c a c a c

 

   

   

d

2 2

2

1

c a

a c c

c

 

    

  

Theo (*), suy  P :x y z  0 x y z  0

Chú ý:Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian.

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C)

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P)

Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P)

Bước 3: Gọi r bán kính (C): r R2d I P ; 2

 

Bài toán 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( ) :S x2y2z22x 3 0 cắt mặt phẳng (P): x 2 0

theo giao tuyến đường trịn (C) Xác định tâm bán kính (C)

* Mặt cầu (S) có tâm I1; 0; 0 bán kính R2

Ta có : dI P,  1 2Rmặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đ.p.c.m) * Đường thẳng d qua I1; 0; 0 vng góc với (P) nên nhận nP 1; 0; 0 làm vectơ

phương, có phương trình

1

:

0

x t

d y

z

   

    

+ Tọa độ tâm /

I đường tròn nghiệm hệ : / 

1

2

0 2; 0;

0

0

x t

x y

y I

z

z x

  

  



 

  

 



  

    

+ Ta có: d I P , 1 Gọi r bán kính (C), ta có : r R2d I P , 2 

 

II SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC 1 Phương pháp

Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng là tiếp tuyến (S) d I ;  R + Mặt phẳng( ) tiếp diện (S)  d I ;  R

* Lưu ý dạng toán liên quan tìm tiếp điểm, tương giao

2 Một số toán minh họa

Bài toán 1: Cho đường thẳng  :

2 1

y

x  z

  

 và mặt cầu  S :

2 2 2 4 1 0

x y z  x z  Số điểm chung    S :

A. 0 B.1 C.2 D.Vô số

Lời giải:

Đường thẳng  qua M0;1; 2và có vectơ phương u2;1; 1  

Mặt cầu  S có tâm I1; 0; 2 và bán kính R2

Ta có MI1; 1; 4   

và u MI,    5; 7; 3 

 

 

 ,  , 498

6

 

 

   

   u MI d I

u

Bài toán 2: Cho điểm I1; 2; 3  Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là:

A. x1 2 y2 2 z32  10 B. x1 2 y2 2 z32 10

C. x1 2 y2 2 z3210 D. x1 2 y2 2 z32 9

Lời giải:

Gọi M hình chiếu I1; 2; 3  lên Oy, ta có : M0; 2; 0 

 1; 0; 3  ,  10

IM   R d I Oy IM 

là bán kính mặt cầu cần tìm Phương trình mặt cầulà : x1 2 y2 2 z3210

Lựa chọn đáp án B

Bài toán 3: Cho điểm I1; 2; 3 và đường thẳng d có phương trình

2 1

y

x  z

 

 Phương

trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là:

A.x1 2 y2 2 z32 50 B x1 2 y2 2 z325

C. x1 2 y2 2 z32 5 D x1 2 y2 2 z32 50

Lời giải:

Đường thẳng  d qua I1; 2; 3 và có VTCP u2;1; 1  

 ,  ,

u AM d A d

u

 

 

  

  

Phương trình mặt cầu :  2   2 2 50

    

x y z

Lựa chọn đáp án D

Bài toán 4: Mặt cầu  S tâm I2; 3; 1  cắt đường thẳng : 11 25

2

y

x z

d    

 điểm A, B

cho AB16 có phương trình là:

A.x2 2 y3 2 z12 17 B.x2 2 y3 2 z12 289

C x2 2 y3 2 z12 289 D.x2 2 y3 2 z12280

Lời giải:

Đường thẳng  d qua M11; 0; 25 và có vectơ phương u2;1; 2  

Gọi H hình chiếu I (d) Ta có:

 ,  , 15

 

 

  

   u MI

IH d I AB

u

2

2 17

2 AB

R IH  

    

 

Vậy  S : x2 2 y3 2 z12 289

Lựa chọn đáp án C

I

B

A d

R

Bài toán 5: Cho đường thẳng :

2

 

 



x y z

d điểm I(4;1; 6) Đường thẳng d cắt mặt cầu

 S có tâm I, hai điểm A, B cho AB6 Phương trình mặt cầu  S là:

A.x4 2 y1 2 z62 18 B x4 2 y1 2 z62 18

C x4 2 y1 2 z62 9 D x4 2 y1 2 z6216

Lời giải:

Đường thẳngd qua M( 5;7; 0) có vectơ phương u(2; 2;1) Gọi H là hình chiếu I trên (d) Ta có :

 ,  ,

u MI IH d I AB

u

 

 

  

  

2

2 18

2 AB

R IH  

    

 

Vậy  S : x4 2 y1 2 z62 18 Lựa chọn đáp án A

Bài toán 6: Cho điểm I1; 0; 0và đường thẳng : 1

1

y

x z

d      Phương trình mặt cầu  S

có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là:

A  12 2 20

3

x y z  B  12 2 20

3

x y z 

C.  12 2 16

4

x y z  D  12 2

3

x y z  Lời giải:

Đường thẳng  qua M1; 1; 2 và có vectơ phương u1; 2;1 

Ta có MI0; 1; 2  

và u MI,  5; 2; 1  

 

 

Gọi H hình chiếu I (d) Ta có :

 ,  ,

u MI IH d I AB

u

 

 

  

 



Xét tam giác IAB, có 2 15

2 3

IH

IHR R 

Vậy phương trình mặt cầu là:  12 2 20

   

x y z

Lựa chọn đáp án A

Bài toán 7: Cho mặt cầu 2

( ) :S x y z 4x2y6z5 0 Viết phương trình tiếp tuyến mặt cầu (S) quaA0; 0; 5 biết:

a) Tiếp tuyến có vectơ phương u1; 2; 2.

I

B

A d

R H

I

B

A d

R

Lời giải:

a) Đường thẳng d qua A0; 0; 5và có vectơ phương u1; 2; 2, có phương trình d:

2 x t

y t

z t

  

     

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP 3; 2; 2 

Đường thẳng d qua A0; 0; 5và vng góc với mặt phẳng (P) nên có vectơ phương

3; 2; 2 P

n   , có phương trình d:

2

2

x t

y t

z t

  

  

   

Bài toán 8: Cho ( ) :S x2y2z26x6y2z30 hai đường thẳng 

 

1: 1 1 1;

3 2

y

x z

2

1

:

2

y

x  z

  

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 2 đồng thời tiếp xúc với (S)

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I3; 3; ,  R4

Ta có: 1 có vectơ phương u13; 2; 2 2 có vectơ phương u22; 2; 1 Gọi n vectơ pháp mặt phẳng (P)

Do: 1

2

( ) / / ( ) / /

P n u

P n u

   

 

 

 

 

 

  chọn nu u 1, 2  2; 1; 2 

Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : 2x y 2z m 0

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)  ;( )

3

m

d I P R 

    12

17

m m

m

 

    

  

Kết luận: Vậy tồn mặt phẳng : 2x y 2z 7 0, 2x y 2z17 0

Bài tốn 9: Viết phương trình tiếp diện mặt cầu   2

:

S x y z  x y z  , biết tiếp diện:

a) qua M1;1;1

b) song song với mặt phẳng (P) : x2y2z 1 0.

b) vng góc với đường thẳng :

2

y

x z

d     

 Lời giải:

a) Để ý rằng, M S Tiếp diện M có vectơ pháp tuyến IM2; 1; 2   

, có phương trình

  : 2x1  y12z102x y 2z 1 b) Do mặt phẳng     / / P nên   có dạng : x2y2z m 0

Do   tiếp xúc với (S)  ,  3

12

m m

I R m

m

    

        

 

d

* Với m 6 suy mặt phẳng có phương trình : x2y2z 6

* Với m12 suy mặt phẳng có phương trình : x2y2z12 0.

c) Đường thẳng d có vectơ phương ud 2;1; 2 

Do mặt phẳng   d nên   nhận ud 2;1; 2  làm vectơ pháp tuyến Suy mặt phẳng   có dạng : 2x y 2z m 0

Do   tiếp xúc với (S)  ,  6

15

m m

d I R m

m

    

        

 

* Với m 3 suy mặt phẳng có phương trình : x2y2z 3

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I ĐỀ BÀI

Câu 1. Phương trình sau phương trình mặt cầu ?

A. 2

2

x y z  x B. 2

2

x y z  x y  

C. 2x22y2 x y 2z22x1 D. x y 2 2xy z 21

Câu 2. Phương trình sau khơng phải phương trình mặt cầu ?

A. x2y2z22x0. B. 2  2

2x 2y  x y z 2x1.

C. x2y2z22x2y 1 0. D. x y2 2xy z2 1 x

    

Câu 3. Phương trình sau khơng phải phương trình mặt cầu ?

A. x1 2 2y1 2 z12 6 B. x1 2 y1 2 z12 6

C. 2x1 2 2y1 2 2z12 6 D. x y 2 2xy z 2 3 x

Câu 4. Cho phương trình sau: x12y2z21; x22y12z24;

   

2 2 1 0;

x y z 2x1 2 2y124z216

Số phương trình phương trình mặt cầu là:

A. 4 B. 3 C. D.

Câu 5. Mặt cầu   S : x1 2 y22z29 có tâm là:

A. I1; 2;   B. I1; 2;  C. I1; 2;  D. I 1; 2; 

Câu 6. Mặt cầu  S :x2y2z28x2y 1 có tâm là:

A. I8; 2;   B. I4;1;  C. I8; 2;  D. I4; 1;  

Câu 7. Mặt cầu  S :x2y2z24x 1 0 có tọa độ tâm bán kính R là:

A. I2; 0; , R 3. B. I2; 0; , R3

C. I0; 2; , R 3. D. I2; 0; , R

Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm I1; 2; 3 , bán kính R3 là:

A. x1 2 y2 2 z32 9 B. x1 2 y2 2 z32 3

C. x1 2 y2 2 z32 9 D. x1 2 y2 2 z32 9

Câu 9. Mặt cầu   S : x y 22xy z 2 1 4x có tâm là:

A. I2; 0;  B. I4; 0;  C. I4; 0;  D. I2; 0; 

Câu 10. Đường kính mặt cầu  S x: 2y2z12 4 bằng:

A.4 B.2 C.8 D.16

A. x2y2z22x2y0. B. x2y2z22x2y 1 0.

C. 2x22y2 x y 2z22x 1 2xy D. x y 2 2xy z 2 1 x

Câu 12. Mặt cầu  S : 2

3x 3y 3z 6x12y20 có bán kính bằng:

A.

3 B.

2

3 C.

21

3 D.

13

Câu 13. Gọi I là tâm mặt cầu  S :x2y2z22 4 Độ dài

OI



(O gốc tọa độ) bằng:

A. 2 B. 4 C. 1 D. 2.`

Câu 14. Phương trình mặt cầu có bán kính tâm giao điểm ba trục toạ độ?

A. x2y2z26z0. B. x2y2z26y0.

C. x2y2z2 9. D. x2y2z26x0.

Câu 15. Mặt cầu  S : x2y2z22x10y3z 1 0 qua điểm có tọa độ sau đây?

A. 2;1;  B. 3; 2;    C. 4; 1;   D. 1; 3;  

Câu 16. Mặt cầu tâm I1; 2; 3  qua điểm A2; 0; 0 có phương trình:

A. x1 2 y2 2 z32 22 B. x1 2 y2 2 z32 11

C. x1 2 y2 2 z32 22 D. x1 2 y2 2 z3222

Câu 17. Cho hai điểm A1; 0; 3  B3; 2;1 Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. x2y2z24x2y2z0. B. x2y2z24x2y2z0.

C. x2y2z22x y z  60. D. x2y2z24x2y2z60.

Câu 18. Nếu mặt cầu  S qua bốn điểm M2; 2; , N4; 0; , P4; 2; 0 Q4; 2; 2 tâm I

của  S có toạ độ là:

A.  1; 1;  B. 3; 1;  C. 1;1;1  D. 1; 2;1 

Câu 19. Bán kính mặt cầu qua bốn điểm M1; 0; , N1; 0; , P2; 1; 0 Q1;1;1 bằng:

A.

2 B. C D.

3

Câu 20. Cho mặt cầu   2

:

S x y z   điểm M1; 2; , N0;1; , P1;1;1, Q1; 1; 2 

Trong bốn điểm đó, có điểm không nằm mặt cầu  S ?

A. điểm B. điểm C. điểm D. điểm

Câu 21. Mặt cầu  S tâm I1; 2; 3  tiếp xúc với mặt phẳng  P :x2y2z 1 có phương

trình:

A.  1 2 2 2 32

9

x  y  z  B.  1 2 2 2 32

9

x  y  z 

C.  1 2 2 2 32

3

x  y  z  D.  1 2 2 2 32 16

3

Câu 22. Phương trình mặt cầu có tâm I2;1; 3 tiếp xúc với mặt phẳng

 P :x2y2z20?

A. x2 2 y1 2 z32 16 B. x2 2 y1 2 z124

C. x2 2 y1 2 z1225 D. x2 2 y1 2 z129

Câu 23. Mặt cầu ( )S tâm I3; 3; 1  qua A5; 2;1 có phương trình:

A.x3 2 y3 2 z125 B.x5 2 y2 2 z125.

C.x3 2 y3 2 z12 D.x5 2 y2 2 z12

Câu 24. Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A1; 3; , B3; 5; 0 là:

A.(x2)2(y4)2(z1)23. B.(x2)2(y4)2(z1)22.

C. 2

(x2) (y4) (z1) 2 D. 2

(x2) (y4) (z1) 3

Câu 25. Cho I1; 2; 4 mặt phẳng  P : 2x2y z  1 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt

phẳng  P , có phương trình là:

A.x1 2 y2 2 z42 4 B.x1 2 y2 2 z421.

C.x1 2 y2 2 z42 4 D.x1 2 y2 2 z423.

Câu 26. Cho đường thẳng : 1

1

y

x z

d    

 điểm A5; 4; 2  Phương trình mặt cầu qua

điểm A có tâm giao điểm d với mặt phẳng Oxy là:

A.  S : x1 2 y22z264 B.  S : x1 2 y12z2 9

C.  S : x1 2 y12z265 D.  S : x1 2 y12(z2)265

Câu 27. Cho ba điểm A(6; 2; 3) , B(0;1; 6), C(2; 0; 1) , D(4;1; 0) Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD có phương trình là:

A.x2y2z24x2y6z30. B.x2y2z24x2y6z3 0.

C. 2

2 3

x y z  x y  z  D. 2

2 3

x y z  x y  z 

Câu 28. Cho ba điểm A2; 0;1 , B 1; 0; , C 1;1; 1 mặt phẳng  P :x y z  20 Phương trình

mặt cầu qua ba điểm , ,A B C có tâm thuộc mặt phẳng  P là:

A. 2

2

x y z  x z  B. 2

2

x y z  x y 

C. 2

2

x y z  x y  D. 2

2

x y z  x z 

Câu 29. Phương trình mặt cầu tâm I1; 2; 3  tiếp xúc với trục Oylà:

A. x1 2 y2 2 z32 9 B. x1 2 y2 2 z32 16

Câu 30. Cho điểm A2; 4;1 , B2; 0; 3 đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

   

  

    

Gọi  S mặt cầu

qua ,A B có tâm thuộc đường thẳng d Bán kính mặt cầu  S bằng:

A.3 B. C.3 D.2

Câu 31. Cho điểm A1; 2; 3  đường thẳng d có phương trình

2 1

y

x  z

 

 Phương

trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:

A. x– 1 2 y2 2 z– 32  50 B. x– 1 2 y2 2 z– 32 5

C. x– 1 2 y2 2 z– 32 50 D. x1 2 y2 2 z32 50

Câu 32. Cho đường thẳng d: 1 1

3 1 1

y

x  z

  mặt phẳng  P : 2x y 2z20 Phương trình mặt cầu ( )S có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với  P qua điểm A1; 1;1  là:

A.x2 2 y2 2 z121 B.x42y2z12 1

C.x 1 2 y 12 z2 1.

     D.x3 2 y1 2 z12 1

Câu 33. Phương trình mặt cầu có tâm I1; 2; 3 tiếp xúc với mặt phẳng Oxz là:

A. 2

2 10

x y z  x y z  B. 2

2 10

x y z  x y z 

C. 2

2 10

x y z  x y z  D. 2

2 10

x y z  x y z 

Câu 34. Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu tâm I1; 3; 2  điểm M7; 1; 5  có phương trình

là:

A. 6x2y3z550 B. 3x y z  22 0.

C. 6x2y3z55 0. D.3x  y z 220

Câu 35. Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y6z20 mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z10 0

Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S song song với ( ) có phương trình là: A.4x3y12z78 0.

B.4x3y12z78 0 4x3y12z26 0.

C.4x3y12z26 0.

D.4x3y12z78 0 4x3y12z26 0.

Câu 36. Cho mặt cầu ( ) :S x2 2 y12z2 14 Mặt cầu ( )S cắt trục Oz A B (zA 0)

Phương trình sau phương trình tiếp diện ( )S B:

A. 2x y 3z 9 B. 2x y 3z 9

Câu 37. Cho điềm A3; 2; ,   B3; 2; , C0; 2;1 D1;1; 2 Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

A. x3 2 y2 2 z22  14 B. x3 2 y2 2 z2214

C. x3 2 y2 2 z22 14 D. x3 2 y2 2 z2214

Câu 38. Cho mặt phẳng  P : 2x3y z 20 Mặt cầu ( )S có tâm I thuộc trục Oz, bán kính

2

14 tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình:

A. 2  32

7

x y  z  2  42 2.

7

x y  z 

B. 2  12

7

x y  z  2  22 2.

7

x y  z 

C. 2 2

7

x y z  2  42

7

x y  z 

D. 2 2

7

x y z  2  12

7

x y  z 

Câu 39. Cho đường thẳng :

2

y

x z

d    

 điểm I4;1; 6 Đường thẳng d cắt mặt cầu ( )S

tâm I hai điểm A, B cho AB6 Phương trình mặt cầu ( )S là:

A. (x4)2(y1)2(z6)2 18. B. (x4)2(y1)2(z6)212.

C. (x4)2(y1)2(z6)2 16. D. (x4)2(y1)2(z6)29.

Câu 40. Cho hai mặt phẳng  P ,  Q có phương trình  P :x2y z  1

 Q : 2x y z  3 0. Mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt phẳng

 Q điểm M, biết M thuộc mặt phẳng Oxy có hồnh độ xM 1, có phương trình là:

A. x21 2 y5 2 z102 600 B. x19 2 y15 2 z102 600

C. x21 2 y5 2 z102 100 D. x21 2 y5 2 z102 600

Câu 41. Cho hai điểm M1; 0; 4, N1;1; 2 mặt cầu  S :x2y2z22x2y20. Mặt phẳng

 P qua M, N tiếp xúc với mặt cầu ( )S có phương trình:

A.4x2y z  8 4x2y z  8 B. 2x2y z  6 2x2y z  2 C. 2x2y z  6 D.2x2y z  2

Câu 42. Cho hai điểm A1; 2; ,  B1; 0;1 mặt phẳng  P :x y z  40 Phương trình mặt

cầu ( )S có bán kính

6

AB

có tâm thuộc đường thẳng AB ( )S tiếp xúc với mặt phẳng

 P là:

A.  4 2 3 2 22

3

B.  4 2 3 2 22

x  y  z   6 2 5 2 42

3

x  y  z 

C.  4 2 3 2 22

3

x  y  z 

D.  4 2 3 2 22

3

x  y  z   6 2 5 2 42

3

x  y  z 

Câu 43. Cho đường thẳng d:

2

y

x  z

  hai mặt phẳng  P1 :x2y2z 2 0;

 P2 : 2x y 2z 1 Mặt cầu có tâm I nằm d tiếp xúc với mặt phẳng    P1 , P2 , có phương trình:

A.  S : x1 2 y2 2 z32 9

B.  S : x1 2 y2 2 z32 9  

2 2

19 16 15

:

17 17 17 289

S x  y  z  

     

C.  S : x1 2 y2 2 z329

D.  S : x1 2 y2 2 z32 9  

2 2

19 16 15

:

17 17 17 289

S x  y  z  

     

Câu 44. Cho điểm A(1; 3; 2), đường thẳng :

2

y

x z

d    

  mặt phẳng ( ) : 2P x2y z  6

Phương trình mặt cầu ( )S qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với ( )P là: A.( ) :S x1 2 y3 2 z22 4

B. 2

( ) : (S x1) (y3) (z2) 16

2 2

83 87 70 13456

( ) :

13 13 13 169

S x  y  z  

     

C.( ) : (S x1)2(y3)2(z2)2 16 hoặc

2 2

83 87 70 13456

( ) :

13 13 13 169

S x  y  z  

     

D.( ) :S x1 2 y3 2 z22 16

Câu 45. Cho mặt phẳng  P :x2y2z100 hai đường thẳng 1:

1 1

y

x z

  

 ,

2

:

1

y

x z

   Mặt cầu  S có tâm thuộc 1, tiếp xúc với 2 mặt phẳng  P , có phương trình:

A. 2

(x1) (y1) (z2) 9

2 2

11 81

2 2

x y z

     

     

     

     

B. 2

(x1) (y1) (z2) 9

2 2

11 81

2 2

x y z

     

     

     

     

C.(x1)2(y1)2(z2)2 9.

Câu 46. Cho mặt phẳng  P mặt cầu ( )S có phương trình

 P : 2x2y z m  24m 5 ; ( ) :S x2y2z22x2y2z 6 0 Giá trị

m để  P

tiếp xúc ( )S là:

A.m 1 m5 B. m1 m 5

C. m 1 D. m5

Câu 47. Cho mặt cầu   2

:

S x y z  x y z  mặt phẳng  P :x y 2z40 Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu  S A3; 1;1  song song với mặt phẳng  P là:

A.

3

x t

y t

z t

   

   

   

B.

1

x t

y t

z t

   

   

    

C.

3

x t

y t

z t

   

   

   

D.

3

1

1

x t

y t

z t

   

   

   

Câu 48. Cho điểm A2; 5; 1 mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z24 0 , H hình chiếu vng góc

A mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng  P H, cho điểm A nằm mặt cầu là:

A.x82y82z12 196 B.x8 2 y8 2 z12196

C.x16 2 y4 2 z72196 D.x16 2 y4 2 z72 196

Câu 49. Cho mặt phẳng  P : 2x y z  5 0 điểm A0; 0; , B2; 0; 0 Phương trình mặt

cầu qua ,O A B, tiếp xúc với mặt phẳng  P là:

A.x1 2 y1 2 z226 B.x1 2 y1 2 z226

C.x1 2 y1 2 z22 6 D.x1 2 y1 2 z226

Câu 50. Cho mặt phẳng  P :x2y2z20 điểm A2; 3; 0  Gọi B điểm thuộc tia Oy

cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng  P có bán kính Tọa độ điểm B là: A.0;1;  B.0; 4;   C.0; 2; 0 0; 4;   D.0; 2; 

Câu 51. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x3y z  2 0, ( ) : 2Q x y z   2 Phương trình mặt cầu ( )S

tiếp xúc với mặt phẳng ( )P điểmA1; 1;1  có tâm thuộc mặt phẳng ( )Q là: A.( ) :S x3 2 y7 2 z32 56 B.( ) :S x3 2 y7 2 z3256

C.( ) :S x3 2 y7 2 z32 14 D.  2  2  2 ( ) :S x3  y7  z3 14

Câu 52. Cho điểm I(0; 0; 3)và đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

    

     

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt

A. 2  32

x y  z  B. 2  32

3

x y  z 

C. 2  32

3

x y  z  D. 2  32

3

x y  z 

Câu 53. Cho đường thẳng :

1 1

y

x z

  

  và mặt cầu (S):

2 2 4 2 21 0

x y z  x y  Số giao điểm    S là:

A. 2 B 1 C 0 D 3

Câu 54. Cho đường thẳng : 2

2

y

x z

d      mặt cầu (S) : x2y2z229 Tọa độ giao điểm    S là:

A. A0; 0; , B2; 2;   B.A2; 3; 

C. A2; 2;   D.  (S) không cắt

Câu 55. Cho đường thẳng  

1

:

4

x t

y

z t

   

  

    

và mặt cầu  S : x2y2z22x4y6z670 Giao

điểm    S điểm có tọa độ:

A.  (S) không cắt nhau B. A1; 2; , B 2; 0;  C.A2; 2; ,  B4; 0;  D.A1; 2; ,  B2; 2; 

Câu 56. Cho điểm I1; 0; 0và đường thẳng : 1

1

y

x z

d      Phương trình mặt cầu  S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB4 là:

A.x 12 y2 z2 9.

    B.x 12 y2 z2 3.

   

C. x12y2z23 D. x12y2z2 9

Câu 57. Cho điểm I1;1; 2  đường thẳng :

1

y

x z

d      Phương trình mặt cầu  S có tâm

I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB6là:

A.x1 2 y1 2 z2227 B. x1 2 y1 2 z2227

C. x1 2 y1 2 z22 24 D.x1 2 y1 2 z2254

Câu 58. Cho điểm I1; 0; 0và đường thẳng : 1

1

y

x z

d      Phương trình mặt cầu  S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là:

A.x 12 y2 z2 12.

    B. x 12 y2 z2 10.

   

C. x 12 y2 z2 8.

    D x 12 y2 z2 16.

Câu 59. Cho điểm I1; 0; 0và đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

   

  

    

Phương trình mặt cầu  S có tâm I cắt

đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là:

A  2 2 20

1

3

x y z  B.  12 2 20

3

x y z 

C.  12 2 16

4

x y z  D  12 2

3

x y z 

Câu 60. Cho điểm I1;1; 2  đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

    

      

Phương trình mặt cầu  S có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là:

A x1 2 y1 2 z22 3 B. x1 2 y1 2 z22 9

C. x12y12z22 9 D x1 2 y1 2 z2236

Câu 61. Cho điểm I1;1; 2  đường thẳng :

1

y

x z

d      Phương trình mặt cầu  S có tâm

I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là:

A x1 2 y1 2 z22 24 B. x1 2 y1 2 z2224

C. x1 2 y1 2 z22 18 D x1 2 y1 2 z22 18

Câu 62. Cho điểm I1;1; 2  đường thẳng :

1

y

x z

d      Phương trình mặt cầu  S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho IAB30o là:

A x1 2 y1 2 z22 72 B. x1 2 y1 2 z2236

C. x1 2 y1 2 z22 66 D x1 2 y1 2 z2246

Câu 63. Phương trình mặt cầu có tâm I3; 3; 7  tiếp xúc trục tung là:

A.      

2

2

3 61

x  y  z  B      

2

2

3 58

x  y  z 

C.      

2

2

3 58

x  y  z  D      

2

2

3 12

x  y  z 

Câu 64. Phương trình mặt cầu có tâm I 5; 3; 9 tiếp xúc trục hoành là:

A.      

2 2 2

5 86

x  y  z  B.      

2 2 2

5 14

x  y  z 

C. x 52y3 2 z92 90 D. x 52y3 2 z92 90

Câu 65. Phương trình mặt cầu có tâm I ; 3; 1  tiếp xúc trục Oz là:

A.     

2 2

6

x  y  z   B.     

2 2

6

C.      

2 2

6 3

x  y  z   D.      

2 2

6 3

x  y  z  

Câu 66. Phương trình mặt cầu có tâm I4; 6; 1  cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác

IAB vuông là:

A x4 2 y6 2 z12 26 B. x4 2 y6 2 z12 74

C. x4 2 y6 2 z12 34 D x4 2 y6 2 z12 104

Câu 67. Phương trình mặt cầu có tâm I 3; 3; 0 cắt trục Oz hai điểm A, B cho tam

giác IAB là:

A x 3 2 y 32 z2 8.

     B x 3 2 y 32 z2 9.

    

C.    

2

2

3

x  y z  D.    

2

2

3

x  y z 

Câu 68. Phương trình mặt cầu có tâm I3; 6; 4  cắt trục Oz hai điểm A, B cho diện tích

tam giác IAB là:

A. x3 2 y6 2 z42 49 B x3 2 y6 2 z42 45

C. x3 2 y6 2 z42 36 D.x3 2 y6 2 z4254

Câu 69. Mặt cầu (S) có tâm I2; 1; 1  cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông

Điểm sau thuộc mặt cầu (S):

A. 2; 1;  B. 2;1;  C. 2; 0;  D. 1; 0; 

Câu 70. Gọi (S) mặt cầu có tâm I1; 3; 0  cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB

đều Điểm sau không thuộc mặt cầu (S):

A.  1; 3;  B. 3; 3; 2   C. 3; 3; 2    D. 2; 1;1  

Câu 71. Cho điểm I1; 0; 0 đường thẳng : 1

1

y

x z

d      Phương trình mặt cầu  S có tâm I tiếp xúc d là:

A. x12y2z25 B x12y2z2 5

C. x 12 y2 z2 10.

    D x 12 y2 z2 10.

   

Câu 72. Cho điểm I1; 7; 5và đường thẳng :

2

y

x z

d    

 Phương trình mặt cầu có tâm I

cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là:

A.x1 2 y7 2 z522018 B. x1 2 y7 2 z522017

Câu 73. Cho điểm A1; 3;1 B3; 2; 2 Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oz có đường kính là:

A. 14 B. 2 14 C. 10 D.2

Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2;1 B0;1;1 Mặt cầu qua

hai điểm A, B tâm thuộc trục hồnh có đường kính là:

A. B. C. D. 12

Câu 75. Cho điểm A2;1; 1  B1; 0;1 Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oy

có đường kính là:

A. 2 B. C. D. 6

Câu 76. Cho điểm A0; 1; 3 B2; 2;1 đường thẳng :

1

y

x z

d     

  Mặt cầu

qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm là: A. 13 17 12; ;

10 10

 

 

  B.

3 ; ; 2

 

 

  C.

4

; ;

3 3

 

 

  D.

6 13

; ;

5 5

 

 

 

Câu 77. Cho điểm A1; 3; 0 B2;1;1 đường thẳng :

2 1

y

x z

d    Mặt cầu  S qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm  S là:

A. 4; 5;  B.6; 6;  C. 8; 7;  D. 4;1;  

Câu 78. Cho điểm A1;1; 3 B2; 2; 0 đường thẳng :

1 1

y

x z

d    

 Mặt cầu  S

qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm  S là: A. 11 23 7; ;

6 6

 

 

  B.

5 23

; ;

6 6

 

 

  C.

5 25

; ;

6 6

 

 

  D.

1 19

; ;

6 6

 

 

 

Câu 79. Cho đường thẳng :

1 x t

d y t

z

  

   

  

Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn thẳng

vng góc chung đường thẳng d trục Ox là:

A. 12  22

2

x y  z  B. 12  22

4

x y  z 

C.  12 2 1.

2

x y z  D.

2

2

1 1

3

x y z

   

    

   

   

Câu 80. Cho hai đường thẳng

2 :

4

x t

d y t

z

  

    

và

'

' : '

0 x t

d y t

z

  

     

Phương trình mặt cầu có đường kính

đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d d’ là:

A. x2 2 y1 2 z22 4 B. x 22 y2 z2 4.

C. x2 2 y1 2 z22 2 D.x2 2 y12z2 4

Câu 81. Cho điểm A2; 4;1 B2; 0; 3 đường thẳng :

2

y

x z

d     

  Gọi  S

mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D. Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A. 1169

4 B.

873

4 C.

1169

16 D.

967

Câu 82. Cho điểm A2; 4; 1  B0; 2;1  đường thẳng

1

:

1

x t

d y t

z t

   

      

Gọi  S mặt cầu

đi qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D. Đường kính mặt cầu  S bằng:

A.2 19 B.2 17 C. 19 D. 17

Câu 83. Mặt cầu tâm I2; 4; 6 tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:

A. x2 2 y4 2 z62 16 B. x2 2 y4 2 z62 36

C. x2 2 y4 2 z62 4 D. x2 2 y4 2 z62 56

Câu 84. Mặt cầu tâm I2; 4; 6 tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình:

A. x2 2 y4 2 z62 16 B. x2 2 y4 2 z62 4

C. x2 2 y4 2 z62 36 D. x2 2 y4 2 z62 56

Câu 85. Phương trình mặt cầu tâm I2; 4; 6 sau tiếp xúc với trục Ox:

A. x2 2 y4 2 z62 20 B. x2 2 y4 2 z62 40

C. x2 2 y4 2 z62 52 D. x2 2 y4 2 z62 56

Câu 86. Mặt cầu tâm I2; 4; 6 tiếp xúc với trục Oz có phương trình:

A. x2 2 y4 2 z62 20 B. x2 2 y4 2 z62 40

C. x2 2 y4 2 z62 52 D. x2 2 y4 2 z62 56

Câu 87. Cho mặt cầu  S : x1 2 y2 2 z32 9 Phương trình mặt cầu sau

là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

A. x1 2 y2 2 z32 9 B. x1 2 y2 2 z32 9

C. x1 2 y2 2 z32 9 D. x1 2 y2 2 z32 9

Câu 88. Cho mặt cầu  S : x1 2 y1 2 z22 4 Phương trình mặt cầu sau

phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

A. x1 2 y1 2 z22 4 B. x1 2 y1 2 z224

Câu 89. Đường tròn giao tuyến   S : x1 2 y2 2 z3216 cắt mặt phẳng (Oxy) có chu vi :

A.  B.  C.  D. 14 

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1A 2B 3A 4C 5A 6D 7A 8C 9A 10A

11B 12D 13A 14C 15C 16A 17A 18D 19A 20B

21B 22A 23A 24A 25D 26C 27A 28D 29D 30A

31C 32C 33B 34C 35D 36A 37D 38C 39A 40A

41B 42D 43D 44C 45A 46A 47C 48A 49A 50D

51A 52B 53A 54C 55D 56A 57A 58B 59B 60D

61A 62A 63B 64C 65A 66B 67D 68A 69A 70D

71A 72B 73B 74A 75B 76A 77C 78A 79D 80A

81A 82A 83B 84A 85C 86A 87D 88A 89B

Câu Chọn A

Phương trình mặt cầu  S có hai dạng là: (1) x a  2 y b  2 z c 2 R2;

(2) x2y2z22ax2by2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0    

Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng

Câu Chọn B.

Phương trình mặt cầu  S có hai dạng là: (1) x a  2 y b  2 z c 2 R2;

(2) x2y2z22ax2by2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0    

Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng

Ở đáp án B, C, D thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu Tuy nhiên đáp án A phương trình: 2x22y2 x y 2z22x 1 x2y2z22xy2x 1 không dạng phương trình mặt cầu

Câu Chọn A.

Phương trình mặt cầu  S có hai dạng là: (1) x a  2 y b  2 z c 2 R2;

Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng

Phương trình đáp án B, C, D thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu Ví dụ:

C      

2 2

2 2 1

2 2

2 2

x  y  z  x  y  z  

     

D x y 2 2xy z 2 3 6xx2y2z26x 3

Câu Chọn C.

Ta có:    

2

2 2 1 2

2 16

2

x  y  z  x  y  z 

   

 2 2

1

x y z  phương trình mặt cầu

Câu Chọn A.

Phương trình mặt cầu  S có dạng x a  2 y b  2 z c 2 R2 có tâm I a b c ; ; , bán kính R

Câu Chọn D.

Phương trình mặt cầu  S có dạng 2

2 2

x y z  ax by cz d  với a2b2c2 d 0

, có tâm I a b c ; ; , bán kính R a2b2c2d

Câu Chọn A.

Phương trình mặt cầu  S có dạng x2y2z22ax2by2cz d 0 với 2

0

a b c  d

, có tâm I a b c ; ; , bán kính 2

R a b c d

Câu Chọn C.

Mặt cầu có tâm I1; 2; 3 , bán kính R3 có hương trình: x1 2 y2 2 z329

Câu Chọn A.

Biến đổi x y 22xy z 2 1 4xx2y2z24x 1 0.Vậy mặt cầu có tâm I2; 0; 

Câu 10 Chọn A.

Mặt cầu  S có bán kính R2 suy đường kính có độ dài: 2R4

Câu 11 Chọn B.

Phương trình mặt cầu  S có dạng x2y2z22ax2by2cz d 0 với 2

0

a b c  d

, có tâm I a b c ; ; , bán kính R a2b2c2d

Câu 12 Chọn D.

Biến đổi 3 12 2 2

3

x  y  z  x y  x y z  x y  có tâm I1; 2; 0 ,

bán kính 13

3

R

Mặt cầu  S có tâm I0; 0; 2OI0; 0; 2 OI 2

 

Câu 14 Chọn C.

Mặt cầu tâm O0; 0; 0 bán kính R=3 có phương trình:   2

:

S x y z 

Câu 15 Chọn C.

Lần lượt thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu Tọa độ điểm thỏa mãn phương trình điểm thuộc mặt cầu

Câu 16 Chọn A.

Ta có: IA3; 2; 3 IA 22 

Vậy   S : x1 2 y2 2 z32 22

Câu 17 Chọn A.

Ta có AB2; 2; 4AB2 

Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB nên

2; 1; 1

I  , bán kính

2

AB

R 

Câu 18 Chọn D.

Gọi phương trình mặt cầu (S): 2

2 2

x y z  ax by cz d  , a2b2c2 d 0

Do M2; 2; 2   S  4a4b4c d  12 (1)

4; 0; 2   20

N  S   a c d   (2)

4; 2; 0  

P  S  8a4b d  20 (3)

4; 2; 2   4 24

Q  S   a b c d   (4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a1, b2, c1, d 8, suy mặt cầu (S) có tâm I1; 2;1

Câu 19 Chọn A.

Gọi phương trình mặt cầu  S có dạng x2y2z22ax2by2cz d 0 với

2 2 0

a b c  d Do  S qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình:

2

2 2

1

2

2

4 1

2 2 2

2 a

a c d

a d b

a b d

c

a b c d

d

  

     

 

    

 



 

    

 



      

 

  

Vậy

2 2

3 1

2

2 2

R        

     

Câu 20 Chọn B.

Lần lượt thay tọa độ điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu  S , ta thấy có tọa độ điểm Q thỏa mãn

Câu 21 Chọn B.

Mặt cầu  S tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng    ; 

P d I P RR

 S

 :  1 2 2 2 32

Câu 22 Chọn A.

Do mặt cầu S I R ;  tiếp xúc với mặt phẳng  P d I P ; RR4

 S

 : x2 2 y1 2 z32 16

Câu 23 Chọn A.

 Bán kính mặt cầu là: RIA 221202  5

 Vậy phương trình mặt cầu là:   S : x3 2 y3 2 z125

Câu 24 Chọn A.

 Trung điểm đoạn thẳng AB I2; 4;1, AB 2222 ( 2)2 2

 Mặt cầu đường kính AB có tâm I2; 4; 1, bán kính  

AB R

 Vậy phương trình mặt cầu là: (x2)2(y4)2(z1)23 [Phương pháp trắc nghiệm]

 Ta có: 2RAB 2222 ( 2)2 2 3 R

 Các đáp án B C bị loại

 Với đáp án D thì: (1 2) 2(3 4) 2(2 1) 3673A S

 Đáp án D bị loại

Câu 25 Chọn D.

 Bán kính mặt cầu :         

 

2 2

2.1 2.2

,

2

R d I

 Phương trình mặt cầu là: (x1)2(y2)2(z4)2 3

Câu 26 Chọn C.

Mặt phẳng Oxy có phương trình z0

 Tâm I giao điểm d với mặt phẳng Oxy  I d I t ;1 ; 1 t  t

                

1 1; 1; 6; 5;

I Oxy t t I IA

 Bán kính mặt cầu là: RIA 6252 ( 2)2  65

 Vậy phương trình mặt cầu   S : x1 2 y12z2 65

Lưu ý:Để làm học sinh phải nhớ phương trình tổng quát mặt phẳng

Oxy loại đáp án  D

Câu 27 Chọn A.

 Phương trình mặt cầu ( )S có dạng: x2y2z22Ax2By2Cz D 0, ta có :

        

 

    

 



 

     

 

      

 

(6; 2; 3) ( ) 49 12 (1)

(0;1; 6) ( ) 37 12 (2)

(2; 0; 1) ( ) (3)

(4;1; 0) ( ) 17 (4)

A S A B C D

B S B C D

C S A C D

D S A B D

 Lấy    1  ;    2  ;    3  ta hệ:

      

 

         

 

     

 

12 6 12

4 14 32

4 2 12

A B C A

A B C B D

A B C C

 Vậy phương trình măt cầu là: x2y2z24x2y6z 3

Lưu ý:Ở máy tính Casio giúp giải nhanh chóng hệ phương trình bậc ba ấn

được tạo để tìm hệ số phương trình mặt cầu tổng qt (Ta dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ điểm vào đáp án tìm đáp án đúng)

Câu 28 Chọn D.

 Phương mặt cầu ( )S có dạng: x2y2z22Ax2By2Cz D 0, ta có :

      

 

    

 



 

      

 

     

 

(2; 0;1) ( ) (1)

(1; 0; 0) ( ) (2)

(1;1;1) ( ) 2 (3)

( ) (4)

A S A C D

B S A D

C S A B C D

I P A B C

 Lấy    1  ;    2  ; kết hợp (4) ta hệ:

     

 

     

 

     

 

2

2 2

2

A C A

B C B D

A B C C

 Vậy phương trình mặt cầu là: x2y2z22x2z 1

Lưu ý:Ở câu nhanh trí sử dụng máy tính cầm tay thay tọa độ tâm

của mặt cầu đáp án vào phương trình mặt phẳng  P để loại đáp án

có tọa độ tâm khơng thuộc mặt phẳng  P

Câu 29 Chọn D.

 Gọi M hình chiếu I1; 2; 3  lên Oy, ta có M0; 2; 0 

       

1; 0; 10

IM R IM bán kính mặt cầu cần tìm

 Vậy phương trình mặt cầu là: x1 2 y2 2 z32 10

Câu 30 Chọn A.

 Tâm IdI1t;1 ; 2 t  t

              

 

3 ; ; ; ;1 ;

AI t t t BI t t t

 Vì  S qua ,A B nên ta có

           

 

                  

       



2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 2 5

4 0 3; 3;

IA IB IA IB t t t t t t

t t IA

 Vậy bán kính mặt cầu  S : RIA 32    3 2 3 3

  

 

   

  

   



, 4 196 100

,

4 1 BA a

d A d

a Trong B1; 2; 3 d

 Phương trình mặt cầu tâm A1; 2; 3 , bán kính R5

  S : x– 1 2 y2 2 z– 3250.

Câu 32 Chọn C.

 Gọi Ilà tâm (S)

 

  ; 1   ;

I d I t t t Bán kính RIA 11t22t1

 Mặt phẳng  P tiếp xúc với ( )S nên ( ,( )) 3 

3 t

d I P R

 37t224t0 

   



   



0

24 77

37 37

t R

t R

Vì ( )S có bán kính nhỏ nên chọn t0,R1 Suy I1; 1; 0 

 Vậy phương trình mặt cầu (S): x1 2 y12z21

Câu 33 Chọn B.

 Gọi Mlà hình chiếu I1; 2; 3 lên mặt phẳng Oxz, ta có: M1; 0; 3

      

0; 2;

IM R IM bán kính mặt cầu cần tìm

 Vậy phương trình mặt cầu x1 2 y2 2 z324 Hay x2y2z22x4y6z10 0.

Câu 34 Chọn C.

 Mặt cầu ( )S có tâm I1; 3; 2 

 Vì mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu ( )S điểm M nên mặt phẳng  P qua

7; 1; 5 

M có vectơ pháp tuyến   

 

6; 2;

n IM

 Vậy phương trình mặt phẳng  P : 6x2y3z55 0

Lưu ý: Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm M7; 1; 5  nên điểm M thuộc mặt phẳng

cần tìm khoảng cách từ tâm I1; 3; 2  đến mặt phẳng cần tìm IM

bán kính mặt cầu Từ nhận xét để tìm đáp án ta làm sau:

B1: Thay tọa độ M vào đáp án để loại mặt phẳng khơng chứa M

B2: Tính IM d I P kết luận  ; 

Câu 35 Chọn D.

 Mặt cầu (S) có tâm I1; 2; 3 bán kính R 12223224

 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( )S   

 

   

   

   2

4.1 3.2 12.3

,

4 12

D

d I R

 

    

  

78

26 52

26

D D

D ( thỏa điều kiện)

 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z78 0 ( ) : 4 x3y12z26 0

Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học tốn ta dự đốn có mặt

phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 36 Chọn A.

 Mặt cầu (S) có tâm I2; 1; 0 

 Vì A Oz A0; 0;zA (zA 0)

 A S 0 2  2 1 2zA214zA2 9zA  3 Nên mặt cầu ( )S cắt trục Oz A0; 0; 3  B0; 0; 3 Gọi ( ) tiếp diện mặt cầu ( ) S B

 Mặt phẳng ( ) qua  B0; 0; 3 có vectơ pháp tuyến      

2;1;

n IB

 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 2 x y 3z 9

Câu 37 Chọn D.

 Mặt phẳng (BCD)đi qua B3; 2; 0và có vectơ pháp tuyến   

 

  

, 1; 2;

n BC BD

(BCD x) : 2y3z 7

 Vì mặt cầu ( )S có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)nên bán kính

 

        

  

 

2 2

3 2

, 14

1

R d A BCD

 Vậy phương trình mặt cầu   S : x3 2 y2 2 z2214

Câu 38 Chọn C.

 Vì tâmI Oz I0; 0;z

 Mặt cầu ( )S có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

 

     

   

 

2 2

2.0 3.0 2

,

14

2

z

d I R

 

 

       

  

0 0; 0;

2

4 0; 0;

z I

z

z I

 Vậy phương trình mặt cầu. : 2 2 2

S x y z  : 2 2 42 2

S x y z

Câu 39 Chọn A.

    

2; 2;1

a vectơ phương d

 Ta có :     



H d IH a

 

   5 ; ; t

H d H t t

 

    



2 9; ; t

IH t t

          

  

1; 2;

IH a t IH IH

Trong IAHvng Hcó: IA2 IH2HA2   9 18  Vậy   S : x4 2 y1 2 z62 18

Câu 40 Chọn A.

 Vì MOxy có hồnh độ nên M1; ; 0y 

 Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Q nên M Q M1; 5; 0 

 Gọi I a b c ; ;  tâm mặt cầu ( )S cần tìm

Ta có ( )S tiếp xúc với mp  Q M nên IM Q Mặt phẳng  Q có vectơ pháp tuyến   



2;1;

n

 Ta có:    

   

       

   

 



1

,

a t

IM Q MI tn t b t

c t

     

  1 2  5   1 0 10 21; 5; 10 

I P t t t t I

Bán kính mặt cầu R d I Q  ; 10

 Vậy phương trình mặt cầu   S : x21 2 y5 2 z102600

Câu 41 Chọn B.

 Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 0) bán kính R2,    

0;1;

MN

 Gọi   

, ,

n A B C với A2B2C20 vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P

 Vì  P qua M, N nên        

   

n MN n MN B C

 Mặt phẳng  P qua M1; 0; 4 nhận   

, ,

n A B C vectơ pháp tuyến nên có phương trình

 1  0  40   z 4 0

A x B y C z Ax By C A C

 Mặt phẳng  P tiếp xúc với ( )S          

 

2 2

1

; A B C A C

d I P R

A B C

   B4C 2 A2B2C2 Từ (1) (2) A24C2 0 (*)

 Trong (*), C0 A0, từ  1 suy B0 (vơ lí) Do C0

1

Với A2, C1, ta có B2 Khi  P : 2x2y z 60 Với A 2, C1, ta có B2 Khi  P : 2x2y z 20

 Vậy phương trình mặt phẳng  P : 2x2y z 60  P : 2x2y z 20

Câu 42 Chọn D.

 Ta có        



2; 2; 2 1; 1;1

AB Bán kính mặt cầu  

6

AB

R

 Tâm I mặt cầu thuộc đường thẳng AB nên tọa độ I có dạng I1t; 2 t; 3t

 Ta có: ( )S tiếp xúc với mặt phẳng  P              

6

;

7

6 3

t t

AB d I P

t

 t  5 I4; 3; 2  Mặt cầu (S) có phương trình  4 2 3 2 22 1

x y z

 t  7 I6; 5; 4  Mặt cầu (S) có phương trình  6 2 5 2 42

x y z

Câu 43 Chọn D.

I d I2t1;t2; 2t3

 Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng d I P ; 1 d I P ; 2 

 

    

      



    





0

8 9

8 9 18

8 9

17 t

t t

t t

t t t

 t0I1; 2; ; R3  S : x1 2 y2 2 z32 9

                  

       

2 2

18 19 16 15 19 16 15

; ; ; :

17 17 17 17 17 17 17 17 289

t I R S x y z

Câu 44 Chọn C.

d có phương trình tham số

    

      

1

2

x t

y t

z t

 Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I 1 ; 4t t; 2 t Theo đề bài, (S) có bán kính RIA d I P  ; 

 2  2  2     2

2 2

2 2

2

t t t

t t t      

      

  

 22 9 16

t

t t    

  

         

   

2

1

9 9 16 65 110 175 35

13 t

t t t t t

t .

 Với t 1 I1; 3; ,  R4( ) :S x1 2 y3 2 z22 16

 Với      

 

35 83 87 70 116

; ; ;

13 13 13 13 13

t I R           

     

2 2

83 87 70 13456

( ) :

13 13 13 169

Câu 45 Chọn A.             : x t y t z t

; 2 qua điểm A(2; 0; 3) có vectơ phương  

2 (1;1; 4)

a

 Giả sử I(2t t; ; 1t) 1 tâm R bán kính mặt cầu  S

 Ta có:  



( ; ; )

AI t t t      

 

, (5 4; ; 0)

AI a t t   

           2

, 5 4

;

3

AI a t

d I

a

     

 

 

2 2(1 ) 10 10

( ,( ))

3 4

t t t t

d I P

  S tiếp xúc với 2  P  d I( ,2)d I P( ,( ))  5t4  t 10         t t

 Với 7

t    

 

11

; ;

2 2

I , 

2

R            

     

2 2

11 81

:

2 2

S x y z

 Với t 1  I(1; 1; 2), R3   S : (x1)2(y1)2(z2)29

Câu 46 Chọn A.

 ( ) :S x2y2z22x2y2z 6 0có tâm I1; 1; 1  bán kính R3

  P tiếp xúc ( )S  d I P ;  R

     

     

 

2

2 2

2.1 2.( 1) 1.1

3 4

2

m m m m                        2

4

4

5

4

m m m

m m

m

m m

Câu 47 Chọn C.

 Mặt cầu  S có tâm       

1; 2; 2;1;

I IA

Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu  S

       t t

song song với mặt phẳng  P

nênđường thẳng d có vettơ phương       

 

  

, 4; 6;

d P

a n IA

Vậy phương trình đường thẳng

           

:

1

x t

d y t

z t

Câu 48 Chọn A.

 Gọi d đường thẳng qua A vng góc với  P Suy

          

:

1

x t

d y t

Vì H d nên H2 ; ;1 2 t  t  t

 Mặt khác, H( )P nên ta có: 6  t3 3  t2 2  t240  t Do đó, H4; 2; 3

 Gọi ,I R tâm bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784, suy 4R2784 R14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P H nên IH( )P  I d

Do tọa độ điểm I có dạng I2 ; ;1 2 t  t  t, với t 1

 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

     

     

      

 

 

      

     

  



    



   

 

2 2

2 2

6 2 24 1

14 ( ,( )) 14

6 ( 2)

14

2

6 14

t t t t

d I P

t t

AI

t

t t t

Do đó: I8 ; ; 1 

 Vậy phương trình mặt cầu ( ) :S x8 2 y8 2 z12 196

Câu 49 Chọn A.

 Gọi ( )S có tâm I a b c ; ;  bán kính R

 Phương mặt cầu ( )S có dạng: x2y2z22ax2by2cz d 0  (S) qua điểm O A B, , , ta có hệ phương trình:

   

 

     





     

    

  

   

    

 

      

               

 



  



a+d=-4

a 2 2 2 2

0 0

0

8 16 2

2

4 1

1

2

0

5 10

2

4 1

d d

d a

c d c

c b

a a c

b c

d

b b

b b

R

 Vậy (S): x1 2 y1 2 z22 6

Câu 50 Chọn D.

 Vì B thuộc tia Oy nên B0; b; 0 (với b0)

 Bán kính mặt cầu tâm B, tiếp xúc với  P   ,  2

b

R d B P

 Theo giả thiết            

    

 

2 2

2 2

2

3

b b b

R b

b b

Do b0 b

 Vậy B0; 2; 0

 Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với ( )P , ta có:

   

   

   

1

:

1

x t

d y t

z t

 Tâm I d I1 ; ;1 t   t t

           2 2   1  1 2 0    2  3; 7;

I Q t t t t I

 Bán kính mặt cầu R IA 2 14

 Phương trình mặt cầu ( ) :S x3 2 y7 2 z32 56

Câu 52 Chọn B.

 Gọi H 1 t t; ; 2td hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d

 

     



1 ; ;

IH t t t

 Ta có vectơ phương d:   

1; 2;1 d

a IH d

 

                 

 

  1 2 7

; ;

3 3

d

IH a t t t t t H

2 2

2 2 3 3

     

        

     

IH

 Vì tam giác IAB vuông Ivà IAIBR Suy tam giác IAB vng cân I, bán kính:

  cos 450 2   2.2 

2 3

R IA AB IH IH

 Vậyphương trình mặt cầu  : 2 2 32

S x y z

Câu 53 Chọn A.

Đường thẳng  qua M  2; 0; 3và có VTCP     

1;1;

u

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 3 và bán kính R=9 Ta có MI3; 2; 6 và       

 

 

, 4; 9;

u MI

 

 

 

   

  

, 366

;

3 u MI

d I

u

Vì d I ,  R nên   cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt

Câu 54 Chọn C.

Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình:

 

 

    

  

    

    

    



2 2

2 2

0 2; 2;

3

2

x t

y t

t A

z t

x y z

Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình:

 

 

  

    

 

  

     

 

       

 2

1

0 1; 2;

2

4 2; 2;

2 67

x t

t A

y

z t t B

x y z x y z

Câu 56 Chọn A.

Đường thẳng d qua M1; ; 1 và có vectơ phương   

1; 2;1

u

Gọi H hình chiếu I (d) Ta có:  ;  ,

 

 

  

   u MI

IH d I AB

u

 

    

 

2

2

9 AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu: x12y2z2 9

Câu 57 Chọn A.

Đường thẳng d qua M1; ; và có vectơ phương   

1; 2;1

u

Gọi H hình chiếu I (d) Ta có:  

 

 

  

  

,

; 18

u MI

IH d I AB

u

 

    

 

2

2 27

2 AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu: x1 2 y1 2 z2227

Câu 58 Chọn B.

Đường thẳng d qua M1; ; 1 và có vectơ phương   

1; 2;1

u

Gọi H hình chiếu I trên D. Ta có:  

 

 

  

  

,

;

u MI

IH d I AB

u

 

    

 

2

2 10

2 AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu là: x12y2z2 10.

Câu 59 Chọn B.

Đường thẳngđi qua M1; 1; 2 và có vectơ phương   

1; 2;1

u

Ta có   



0; 1;

MI u MI ,   5; 2; 1  

Gọi H hình chiếu I D. Ta có:  

 

 

  

  

,

;

u MI

IH d I AB

Xét tam giác IAB, có  3 2 2 15

2 3

IH

IH R R

Vậy phương trình mặt cầu là:  12 2 2 20

x y z

Câu 60 Chọn D.

Đường thẳng d qua M1; ; và có vectơ phương   

1; 2;1

u

Gọi H hình chiếu I D. Ta có:  

 

 

  

  

,

; 18

u MI

IH d I AB

u

 

    

 

2

2 36

2 AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu là: x1 2 y1 2 z22 36

Câu 61 Chọn A.

Đường thẳng d qua M1; ; và có vectơ phương   

1; 2;1

u

Gọi H hình chiếu I D. Ta có:  

 

 

  

  

,

; 18

u MI

IH d I AB

u

    2

2 3

IH

IH R R

Vậy phương trình mặt cầu là: x1 2 y1 2 z22 24

Câu 62 Chọn A.

Đường thẳng d qua M1; ; và có vectơ phương   

1; 2;1

u

Gọi H hình chiếu I D. Ta có:  

 

 

  

  

,

; 18

u MI

IH d I AB

u

RIA2 18

Vậy phương trình mặt cầu là: x1 2 y1 2 z22 72

Câu 63 Chọn B.

Gọi H hình chiếu I3; 3; 7  OyH0; 3; 0RIH 58 Vậy phương trình mặt cầu là:          

2

2

3 58

x y z

Câu 64 Chọn C.

Gọi H hình chiếu I 5; 3; 9 OxH 5; 0; 0RIH 90 Vậy phương trình mặt cầu là:          

2 2 2

5 90

x y z

Câu 65 Chọn A.

Vậy phương trình mặt cầu là:           

2 2

6

x y z

Câu 66 Chọn B.

Gọi H hình chiếu I4; 6; 1  OxH4; 0; 0IHd I Ox ;  37

 

      

 

2

2 37 37 74

2 AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu là: x4 2 y6 2 z1274

Câu 67 Chọn D.

Gọi H hình chiếu I 3; 3; 0 OzH0; 0; 0IH d I Ox ;      2

2 3

IH

IH R R

Vậy phương trình mặt cầu là:   2 2

3

    

x y z

Câu 68 Chọn A.

Gọi H hình chiếu I3; 6; 4  OzH0; 0; 4 IHd I Ox ;  45 

    

2

4

AIB AIB

S IH AB

S AB

IH

 

    

 

2

2 49

2 AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu là: x3 2 y6 2 z4249.

Câu 69 Chọn A.

Gọi H hình chiếu I2;1; 1  OxH2; 0; 0IHd I Ox , 

 

    

 

2

2 4

2 AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu là: x2 2 y1 2 z12 4    

 2; 1;1  S

Câu 70 Chọn D.

Gọi H hình chiếu I1; 3; 0  OxH1; 0; 0IHd I Ox ; 3

    2

2

IH

IH R R

Vậy phương trình mặt cầu là: x1 2 y32z212 2; 1;1    S

Câu 71 Chọn A.

Đường thẳngdđi qua I2;1;1và có vectơ phương:   

1; 2;1

u

 

 

 

  

  

,

;

u MI d I d

u Phương trình mặt cầu là:  

1 2 2 5

x y z

Gọi H hình chiếu I1; 7; 5 dH0; 0; 4 IHd I d ; 2 

    

2

8020

AIB AIB

S IH AB

S AB

IH

 

    

 

2

2

2017

AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu là: x1 2 y7 2 z52 2017

Câu 73 Chọn B.

Gọi I0; 0;t trên Oz IAIB t 3I0; 0; 3

RIA 14 đường kính là: 14.

Câu 74 Chọn A.

Gọi I t ; 0; 0 trên Ox Vì IAIB t 2I2; 0; 0

RIA 6 đường kính 6

Câu 75 Chọn B.

Gọi I0; ; 0t  trên Oy vì IAIB t 2I0; 2; 0

RIA 6 đường kính 6

Câu 76 Chọn A.

Gọi I1t; 2t; 2 t trên d vì IAIB    

 

3 13 17 12

; ;

10 10 10

t I

Câu 77 Chọn C.

Gọi I2 ; 3t t t;  trên d vì IAIB t 4I8; 7; 

Câu 78 Chọn A.

Gọi I t ; 2t; 3t trên d vì IAIB     

 

11 11 23

; ;

6 6

t I

Câu 79 Chọn D.

Gọi A t ; ; 1  t d B t;  '; 0; 0Ox      

' ;1 ; ,

AB t t t    

 

1; 3; , 1; 0; d

u i

Ta có:     

  

 

  '

d

AB u

t t

AB i

   

        

   

2

2

1 1

2

R x y z

Câu 80 Chọn A.

Gọi A2 ; ; 4t t d B t;  '; 3t'; 0d'        

' ; ' ; ,

AB t t t t     

 

'

2;1; , 1; 1;

d d

u u

Ta có:  

 

    

 



 

  

 

    

'

1 2;1;

' 2;1;

d

d

t A

AB u

t B

AB u

 

I 2;1; R2x2 2 y1 2 z22 4 Câu 81

Chọn A.

Gọi I1 ; 2 t  t; 2 t trên d vì IAIB  11  1169

4

t IA

Câu 83 Chọn B.

Mặt cầu tâm I2; 4; 6, bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z0

 

 

R d I Oxy ;

  6

R Vậy   S : x2 2 y4 2 z62 36

Câu 84 Chọn A.

Mặt cầu tâm I2; 4; 6, bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz): y0

 

 

R d I Oxz ;

  4

R Vậy   S : x2 2 y4 2 z62 16

Câu 85 Chọn C.

Mặt cầu tâm I2; 4; 6, bán kính R tiếp xúc trục OxR d I Ox  ; 

R y2I zI2  52 Vậy   S : x2 2 y4 2 z62 52

Lưu ý:Học sinh hoàn toàn sử dụng cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường

thẳng để giải quyết.

Câu 86 Chọn A.

Mặt cầu tâm I2; 4; 6, bán kính R tiếp xúc trục OxR d I Oz  ; 

R x2I yI2  20 Vậy   S : x2 2 y4 2 z62 20

Lưu ý:Học sinh hồn tồn sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường

thẳng để giải quyết.

Câu 87 Chọn D.

Mặt cầu  S tâm I1; 2; 3, bán kính R3 Do mặt cầu  S' đối xứng với  S qua mặt phẳng (Oxy) nên tâm I' của  S' đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R'R3

Ta có: I' 1; 2; 3   Vậy   S : x1 2 y2 2 z32 9

Lưu ý: Để ý thấy trung điểm II thuộc mặt phẳng  Oxy  II Oxy Cả đáp án

đều dễ dàng tìm tọa độ I nên tinh ý ta tiết kiệm thời gian việc

tìm đáp án.

Câu 88 Chọn A.

Mặt cầu  S tâm I1; 1; 2, bán kính R2 Do mặt cầu  S' đối xứng với  S qua trục Oz nên tâm I' của  S' đối xứng với I qua trục Oz, bán kính R'R2

Ta có: I' 1; 1; 2   Vậy   S : x1 2 y1 2 z22 4

Lưu ý: Sẽ vất vả nhiều học sinh không nhớ tính chất đối xứng, tọa độ

điểm đối xứng qua trục tọa độ.

Mặt cầu  S tâm I1; 2; 3, bán kính R4 Ta có: d I Oxy ;  zI 3

Gọi r bán kính đường tròn (C) giao tuyến mặt cầu  S mặt phẳng (Oxy), ta suy ra:

 

 

 

  

 

2

;

r R d I Oxy Vậy chu vi (C) bằng: 

Lưu ý: Để hiểu làm nhanh học sinh nên vẽ minh họa hình học từ rút cơng

Chủ đề 3   PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG



   

 

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG  Vectơ n0

 

 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n vng góc với mặt phẳng ( )    Chú ý:

 Nếu n



 là một VTPT của mặt phẳng ( )  thì kn



(k0) cũng là một VTPT của mặt  phẳng( )  

 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT  của nó. 

 Nếu  ,u v  có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( )  thì n u v,   

[ ] là một VTPT  của ( )

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG  Trong khơng gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình: 

0

Ax By Cz D    vớiA2B2C20 

 Nếu mặt phẳng ( )  có phương trình Ax By Cz D   0 thì nó có một VTPT là  ( ; ; )n A B C



.   Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) và nhận vectơ  ( ; ; )n A B C



 khác 0 

 là VTPT  là: A x x(  0)B y y(  0)C z z(  0) 0  

 Các trường hợp riêng

Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 với A2B2C2 0   Nếu D0thì mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O. 

 Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox.    Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy.    Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz.  

 

Chú ý: 

 Nếu trong phương trình ( )  khơng chứa ẩn nào thì ( )  song song hoặc chứa trục tương  ứng. 

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn  :x y z

a b c

     Ở đây ( )  cắt các trục tọa độ  tại các điểm a; 0; 0, 0; ; 0b , 0; 0;c với abc0. 

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Cho 2 mặt phẳng ( ) : A x B y C z D1  1  1  10 và ( ) : A x B y C z D2  2  2  2 0   ( ) ( ) //     

2 2

A B C D

A B C D         ( ) ( )      

1 1

2 2

A B C D

A B C D  

 ( )  cắt  ( )      

2 2 2

A B B C A C

A B B C A C  

Đặc biệt:  ( ) ( )   A B1 1A B2 2A B3 30 

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x ;0 y z0; 0) và mặt phẳng   :Ax By Cz D   0  Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( )  được tính:  

0 0

0 2 2 2

| |

( ,( )) Ax By Cz D

d M

A B C

    

 

 

Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt  phẳng này đến mặt phẳng kia. 

V GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Trong  không  gian  Oxyz,  cho  hai  mặt  phẳng    :A x B y C z D1  1  1  10  và    :A x B y C z D2    0. 

Góc giữa    và    bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n n ,   Tức là:     

    2

2 2 2

1 1 2

cos , cos ,

n n A A B B C C

n n

n n A B C A B C

   

 

      

   

   

   

B MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1:Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến nó. 

Phương pháp:

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 

Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P  đi qua điểm A(1; 0; 2)  và có  vectơ pháp tuyến  (1; 1; 2)n 



.  

Lời giải:

Mặt  phẳng ( )P   đi  qua  điểm  A(1; 0; 2)   và  có  vectơ  pháp  tuyến  (1; 1; 2)n  

có  phương  trình  là: 

1(x1) 1( y0) 2( z2) 0  x y 2z 3 0.  Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: x y 2z 3 0. 

Dạng 2:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M x y z song song với mặt phẳng 0 0; 0; 0   :Ax By Cz D   0cho trước

Phương pháp:

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:  1. VTPT của    là n A B C; ; 



 

2.   //   nên VTPT của mặt phẳng    là n n A B C; ; 

 

  3. Phương trình mặt phẳng   :A x x  0B y y  0C z z  00.  Cách 2: 

1.  Mặt  phẳng    //  nên  phương  trình P có  dạng:  Ax By Cz D   0(*),  với 

D D. 

2. Vì  P  qua 1 điểm M x y z0 0; 0; 0nên thay tọa độ M x y z0 0; 0; 0 vào (*) tìm được D. 

Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P  đi qua điểm M(0;1; 3)và song  song với  mặt phẳng( ) : 2Q x3z 1 0. 

Lời giải:

Mặt phẳng ( )P  song song với  mặt phẳng( ) : 2Q x3z 1 0nên mặt phẳng( )P  có phương trình  dạng: 2x3z D 0 (D1). 

Mặt phẳng ( )P  đi qua điểm M(0;1; 3) nên thay tọa độ điểm Mvào phương trình mặt phẳng phải  thỏa mãn. Ta được: 2.0 3.3 D0D9(thỏa mãn D1 ). 

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: 2x3z 9 0. 

Dạng 3:Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm A , B , C không thẳng hàng

Phương pháp:

1.  Tìm tọa độ các vectơ: AB AC,  

 

2. Vectơ pháp tuyến của  là : n AB AC,    

3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C). 

4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n 

 

Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 2), B(1;1;1), (0; 1; 2)

C   

Lời giải:

Ta có: AB(0; 1; 3),AC  ( 1; : 4)  

, (7; 3;1)

AB AC

 

  

 

 

.  Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)ta có 

n AB

n AC

   

  

 

  nên n cùng phương với AB AC,   

.  Chọn n(7; 3;1)



 ta được phương trình mặt phẳng (ABC)là: 7(x1) 3( y0) 1( z2) 0  

7x 3y z

      

Dạng 4:Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M vng góc với đường thẳng 

Phương pháp:

1. Tìm VTCP của  là u 

 

2. Vì     nên   có VTPT n u  

 

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT n 

 

Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )  đi qua  điểm O và vng góc 

với đường thẳng  : 2

x t

d y t

z t

  

   

  



 

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ud(1; 2;1) 

 

Mặt phẳng( )  vng góc với đường thẳng dnên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: n ud (1; 2;1)  

. 

Đồng thời ( ) đi qua điểm O nên có phương trình là: x2y z 0. 

Dạng 5:Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng , vng góc với mặt phẳng  

Phương pháp:

1. Tìm VTPT  của    là n

   2. Tìm VTCP của   là u. 

3. VTPT của mặt phẳng    là: n n u ; .  4. Lấy một điểm M trên . 

Ví dụ.  Trong  khơng  gian  Oxyz,  viết  phương  trình  mặt  phẳng  ( )   chứa  đường  thẳng 

:

2

x t

d y t

z t

  



   

  



 và vng góc với   :x2y z  1 0. 

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A0; 1; 2  và có VTCP là: ud ( 1; 2;1) 

   Mặt phẳng    có VTPT  là n 1; 2; 1 



. 

Mặt phẳng( )  chứa đường thẳng dvà vng góc với    nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: 

   

, 4; 0; 4 1; 0;1

d

n u n       

. 

Phương trình mặt phẳng   là: x z  2 0. 

Dạng 6:Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng  

Phương pháp:

1. Tìm VTPT  của    là n.  2. Tìm tọa độ vectơ AB. 

3. VTPT của mặt phẳng    là: n n AB,    

 

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 

Ví dụ.  Trong  khơng  gian  Oxyz,  viết  phương  trình  mặt  phẳng  ( )   đi  qua  điểm 

(1; 2; 2), (2; 1; 4)

A  B  và vng góc với   :x2y z  1 0. 

Lời giải:

Có AB1; 3; 6  

 

 Mặt phẳng    có VTPT  là n 1; 2; 1   

. 

Mặt  phẳng( )   chứa  A,  B  và  vng  góc  với      nên  ( ) có  một  vectơ  pháp  tuyến  là: 

 

, 15; 7;

n AB n

 

  

. 

Phương trình mặt phẳng   là: 15x7z 1 27 0  

Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng  song song với  (, chéo nhau)

Phương pháp:

1. Tìm VTCP của   và  là u



 và u' 

  2. VTPT của mặt phẳng    là: n u u, 

     3. Lấy một điểm M trên . 

Ví dụ Trong  khơng  gian  Oxyz,  viết  phương  trình  mặt  phẳng( )P   chứa  đường  thẳng 

1

1 :

1

x

d y t

z t

  

      

 và song song với đường thẳng  2: 1

1 2

y

x z

d      

Lời giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1; 1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1) 

.  Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1; 0;1) vectơ chỉ phương u2(1; 2; 2).  Ta có u u1, 2   ( 6;1; 2)

 

. 

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( )P , ta có:  

1

n u

n u

   

  

 

  nên n cùng phương với u u1, 2

 

    Chọn n ( 6; 1; 2)



.  

Mặt phẳng( )P  đi qua điểm M1(1;1; 1) và nhận vectơ pháp tuyến n ( 6; 1; 2) 

có phương trình: 

6(x 1) 1(y 1) 2(z 1)

        

6x y 2z

       

Thay tọa độ điểm M2vào phương trình mặt phẳng ( )P thấy khơng thỏa mãn.  Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là:6x y 2z 3 0. 

Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  điểm M

Phương pháp:

1. Tìm VTCP của  là u, lấy 1 điểm N trên. Tính tọa độ MN.  2. VTPT của mặt phẳng    là: n u MN; 

 

    

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 

Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )  chứa đường thẳng 

1 :

1

x

d y t

z t

  

     

  

và điểm M( 4; 3; 2).  

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm N(1;1;1) vectơ chỉ phương  (0; 2;1)ud  

.  5; 2; 

MN  



 

Mặt  phẳng( )   chứa  đường  thẳng  d  và  điểm  M  nên  ( ) có  một  vectơ  pháp  tuyến  là: 

 

, 4; 5; 10

d

n u MN

  

. 

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng cắt  

Phương pháp:

1. Tìm VTCP của   và  là u và u'.  2. VTPT của mặt phẳng    là: n u u; '

     3. Lấy một điểm M trên . 

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 

Ví dụ Trong  khơng  gian  Oxyz,  viết  phương  trình  mặt  phẳng( )P   chứa  đường  thẳng 

1

1 :

1

x

d y t

z t

  

      

 và  2

1 :

1

x t

d y t

z t

   

      

Lời giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1; 1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1) 

.  Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1; 1;1) vectơ chỉ phương u2(3; 2;1)



.  Ta có u u1, 2 0; 3; 6

 

 

, M M1 2 0; 0; 0



  Do M M u u1 2 1, 2 

  

 nên đường thẳng d d1, 2 cắt nhau. 

Mặt  phẳng( )   chứa  đường  thẳng  d d1, 2  cắt  nhau  nên  ( ) có  một  vectơ  pháp  tuyến  là: 

   

1, 0; 3; 0;1;

n u u  

  

. 

Phương trình mặt phẳng   là: y2z 3 0. 

Dạng 10:Viết phương trình mặt phẳng   chứa song song  

Phương pháp:

1. Tìm VTCP của   và  là u  và u



, lấy M ,N .  2. VTPT của mặt phẳng    là: n u MN; 

 

    

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 

Ví dụ Trong  khơng  gian  Oxyz,  viết  phương  trình  mặt  phẳng  ( )   chứa  đường  thẳng 

1

1 :

1

x

d y t

z t

  

      

 và  2

4

:

1

x

d y t

z t

 

       

Lời giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1; 1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1) 

.  Đường thẳng d2 đi qua điểm M24; 3;1 vectơ chỉ phương u20; 4; 2 



.  Ta có u u1, 2 

  

, M M1 23; 2; 



  Do u u1, 2 

  

Mặt  phẳng( )   chứa  đường  thẳng  d d1, 2  song  song  nên  ( ) có  một  vectơ  pháp  tuyến  là: 

   

1, 2; 3; 2; 3;

n u M M      

  

. 

Phương trình mặt phẳng   là: 2x3y6z 7 0. 

Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng  qua điểm Mvà song song với hai đường thẳng 



 chéo cho trước

Phương pháp:

1. Tìm VTCP của   và ’ là u  và u'.  2. VTPT của mặt phẳng    là: n u u; 

    

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 

Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P  đi qua điểm A(1; 0; 2) và ( )P

song song với hai đường thẳng  1

1 :

1

x

d y t

z t

  

      

 và  2: 1

1 2

y

x z

d      

Lời giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1; 1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1) 

.  Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1; 0;1) vectơ chỉ phương u2(1; 2; 2).  Ta có u u1, 2   ( 6;1; 2)

 

. 

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( )P , ta có:  

1

n u

n u

   

  

 

  nên n cùng phương với u u1, 2  

.  Chọn n ( 6; 1; 2)



 ta được phương trình mặt phẳng ( )P là: 

6(x 1) 1(y 0) 2(z 2)

        

6x y 2z 10

       

Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm Mvà vng góc với hai mặt phẳng    P , Q cho trước

Phương pháp:

1. Tìm VTPT của  P  và  Q  là nP  và nQ.  2. VTPT của mặt phẳng    là: n n nP; Q

    

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 

Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M( 1; 2; 5)    và  vng góc với hai mặt phẳng ( ) :Q x2y3z 1 0 và ( ) : 2R x3y z  1 0. 

VTPT của ( )Q là nQ(1; 2; 3) 

, VTPT của ( )R  là nR(2; 3;1). 

  Ta có n nQ, R     ( 7; 7; 7)

 

 nên mặt phẳng ( )P  nhận  (1; 1;1)n



 là một VTPT và ( )P  đi qua điểm 

( 1; 2; 5)

M    nên có phương trình là: x y z   2 0. 

Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   cách

  :Ax By Cz D   0 khoảng k cho trước

Phương pháp :

1. Trên mặt phẳng    chọn 1 điểm M. 

2. Do   //   nên    có phương trình Ax By Cz D   0 (D D).  3. Sử dụng công thức khoảng cách d    ,  d M ,  k để tìm D. 

Ví dụ Trong  khơng  gian Oxyz,  viết  phương  trình  mặt  phẳng ( )P   song  song  với  mặt  phẳng 

( ) :Q x2y2z 1 0 và cách ( )Q một khoảng bằng 3. 

Lời giải:

Trên mặt phẳng ( ) :Q x2y2z 1 0chọn điểm M( 1; 0; 0)  

Do  ( )P   song  song  với  mặt  phẳng  ( )Q   nên  phương  trình  của  mặt  phẳng    (P)  có  dạng: 

2

x y z D  với D1.  Vì d P Q(( ),( )) 3 d M P( ,( )) 3

2 2

| | ( 2)

D

 

 

   | D|

   

10

D D

    

 

 

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn: x2y2z 8 0và x2y2z10 0  

Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   :Ax By Cz D   0cho trước cách điểm M khoảng k cho trước

Phương pháp:

1. Do   //   nên    có phương trình Ax By Cz D   0 (D D).  2. Sử dụng cơng thức khoảng cách d M ,  k để tìm D. 

Ví dụ.  Trong  khơng  gian Oxyz,  viết  phương  trình  mặt  phẳng ( )P   song  song  với  mặt  phẳng 

( ) :Q x2y2z 1 0 và ( )P  cách điểm M(1; 2;1) một khoảng bằng 3. 

Lời giải:

Do  ( )P   song  song  với  mặt  phẳng  ( )Q   nên  phương  trình  của  mặt  phẳng    (P)  có  dạng: 

2

x y z D  với D1.  Vì  d M P( ,( )) 3

2 2

|1 | ( 2)

D

  

 

   | D|

   

14

D D

    

 

 

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S

Phương pháp:

1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu  S  

2. Nếu mặt phẳng    tiếp xúc với mặt cầu  S  tại M S  thì mặt phẳng    đi  qua điểm M và có VTPT là MI

  

3. Khi bài tốn khơng cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài tốn  tìm    được  VTPT  của  mặt  phẳng  và  viết  phương  trình  mặt  phẳng  có  dạng: 

0

Ax By Cz D     (D chưa biết). 

Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I ,  R để tìm D. 

Ví dụ Trong  khơng  gian Oxyz,  viết  phương  trình  mặt  phẳng ( )P   song  song  với  mặt  phẳng 

( ) :Q x2y2z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y2z3 0  

Lời giải:

Mặt cầu ( )S có tâm I( 1; 2;1)  và bán kính R ( 1) 222123 3 

Do  ( )P   song  song  với  mặt  phẳng  ( )Q   nên  phương  trình  của  mặt  phẳng    (P)  có  dạng: 

2

x y z D  với D1. 

Vì  ( )P   tiếp  xúc  với  mặt  cầu  ( )S   nên  d I P( ,( ))R3

2 2

| | ( 2)

D

   

 

  

|1 D|

  

10

D D

    

 

 

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn: x2y2z10 0 và x2y2z 8 0. 

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  tạo với mặt phẳng

  :Ax By Cz D   0cho trước góc  cho trước. 

Phương pháp:

1. Tìm VTPT của    là  n.  2. Gọi n A B C( ; ; ). 

3. Dùng phương pháp vô định giải hệ:  (n n; ) n

n u

 

 





 



 

  

 



   

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 

Ví dụ.Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng  P  và đường thẳng d lần lượt có phương trình   P :x2y z 5 0   và  : 1

2

x

d  y  z   Viết  phương  trình  mặt  phẳng  Q   chứa  đường  thẳng d và tạo với mặt phẳng  P  một góc 600. 

Giả sử mặt phẳng ( )Q  có dạng Ax By Cz D   0A2B2C2 0    Chọn hai điểm M 1; 1; , N1; 0; 4d. 

Mặt phẳng  Q  chứa d nên M N,  Q  1  1

7 4

A B C D C A B

D A B

A B C D

          



 

 

   

 



 

Suy  ra  mặt  phẳng  có  phương  trình  là  Ax By   2A B z  7A4B0  và  có  VTPT   ; ; 

Q

n  A B  A B 

 

 Q tạo với mặt phẳng  P  một góc 600 2

0

2 2

2 1

cos(60 ) (2 ) ( 1)

(4 3) B

A B A B

A B A B

A

  

  

     

  

 

Cho B1 ta đượcA(4 3).   Vậy có 2 phương trình mặt phẳng  

 

 

(4 3) 32 14

(4 3) 32 14

x y z

x y z

       

       

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I ĐỀ BÀI

Câu Chọn khẳng định sai

A Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  ( )P  thì kn k(  ) 

  cũng là một vectơ  pháp tuyến của mặt phẳng ( )P  

B Một mặt phẳng hồn tồn được xác định nếu biết một  điểm nó đi qua và một vectơ  pháp tuyến của nó. 

C Mọi  mặt  phẳng  trong  khơng  gian  Oxyz  đều  có  phương  trình  dạng: 

2 2

0 ( 0)

Ax By Cz D    A B C    

D Trong khơng gian Oxyz, mỗi phương trình dạng: Ax By Cz D   0 (A2B2C20)  đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó. 

Câu Chọn khẳng định đúng

A Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song  song. 

B Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương. 

C Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau. 

D Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng  nhau. 

Câu Chọn khẳng định sai

A Nếu hai đường thẳngAB CD,  song song thì vectơ AB CD, 

 

 

 là một vectơ pháp tuyến  của mặt phẳng (ABCD). 

B Cho ba điểm  , ,A B C không thẳng hàng, vectơ AB AC, 

 

 

 là một vectơ pháp tuyến của  mặt phẳng (ABC). 

C Cho hai đường thẳng AB CD,  chéo nhau, vectơ AB CD, 

 

 

 là một vectơ pháp tuyến của  mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD. 

D Nếu hai đường thẳng AB CD,  cắt nhau thì vectơ AB CD, 

 

 

 là một vectơ pháp tuyến  của mặt phẳng (ABCD)

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   :Ax By Cz D   0. Tìm khẳng  định sai trong các mệnh đề sau: 

A A0,B0,C0,D0 khi và chỉ khi    song song với trục Ox. 

B D0 khi và chỉ khi    đi qua gốc tọa độ. 

C A0,B0,C0,D0 khi và chỉ khi    song song với mặt phẳng Oyz 

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A a ; 0; 0, B0; ; 0b , C0; 0;c, abc0. Khi  đó phương trình mặt phẳng ABC là: 

A x y z

a bc    B

y

x z

b ac    C

y

x z

a cb   D

y

x z

cba  

Câu Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  mặt  phẳng   : 3x z 0.  Tìm  khẳng  định  đúng trong các mệnh đề sau: 

A   / /Ox.  B    / / xOz.  C   / /Oy.  D   Oy. 

Câu Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) là  x 3z 2 0 có phương trình  song song với: 

A Trục Oy.  B Trục Oz.  C Mặt phẳng Oxy.  D Trục Ox

Câu Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  mặt  phẳng  (P)  có  phương  trình 

3x2y z  1 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: 

A n(3; 2;1).  B n( 2; 3;1) 

.  C n(3; 2; 1) 

.  D n(3; 2; 1)  

Câu Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  mặt  phẳng  (P)  có  phương  trình 

2x 2y z

      Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: 

A n(4; 4; 2) 

.  B n( 2; 2; 3)  

.  C n( 4; 4; 2) 

.  D n(0; 0; 3) 

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1 , B1; 3; 3, C2; 4; 2 . Một  vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng ABC là: 

A n9; 4; 1  

.  B n9; 4;1



.  C n4; 9; 1  

.  D n  1; 9; 4



. 

Câu 11 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz.  Điểm  nào  sau  đây  thuộc  mặt  phẳng  (P) 

2x y

     

A ( 2;1; 0)   B ( 2; 1; 5)    C (1; 7; 5)   D ( 2; 2; 5) 

Câu 12 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm  ( 1; 2; 0)A    và nhận n( 1; 0; 2)



 là VTPT có phương trình là: 

A  x 2y 5 0  B  x 2z 5 0  C  x 2y 5 0  D  x 2z 1 0  

Câu 13 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  ba  điểm  A3; 2; 2  , B3; 2; 0, C0; 2;1.  Phương trình mặt phẳng ABC là: 

A 2x3y6z0.  B 4y2z 3 0.  C 3x2y 1 0.  D 2y z  3 0. 

Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm  ( 1; 0; 1), ( 2;1;1)A  B   Phương trình  mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: 

A x y  2 0.  B x y  1 0.  C x y  2 0.  D    x y

Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) đi qua các điểm  ( 1; 0; 0)A  ,  (0; 2; 0)B

,  (0; 0; 2)C   có phương trình là: 

Câu 16 Trong  không  gian  với  hệ  trục  toạ  độ Oxyz,  cho  điểm  A1; 2; 1  và  hai  mặt  phẳng    : 2x4y6z 5 0 và   :x2y3z0. Tìm khẳng định đúng?  

A Mặt phẳng    đi qua điểm A và song song với mặt phẳng   ; 

B Mặt phẳng    đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng   ; 

C Mặt phẳng    không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng   ; 

D Mặt phẳng    không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng   ;

Câu 17 Trong  không  gian  với  hệ  trục  toạ  độ Oxyz,  cho  điểm  M2; 1; 3   và  các  mặt  phẳng:    :x20,   :y 1 0,   :z 3 0. Tìm khẳng định sai. 

A   / /Ox.  B    đi qua M.  C    / / xOy.  D        

Câu 18 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng qua A2; 5;1 và song  song với mặt phẳng Oxy là: 

A 2x5y z 0.  B x 2 0.  C y 5 0.  D z 1 0. 

Câu 19 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Mặt phẳng đi qua M1; 4; 3 và vng góc với  trục Oy có phương trình là: 

A y 4 0.  B x 1 0.  C z 3 0.  D x4y3z0. 

Câu 20 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 6x3y2z 6 0. Khẳng  định nào sau đây sai? 

A Mặt phẳng    có một vectơ pháp tuyến là u6,3, 2



. 

B Khoảng cách từ O đến mặt phẳng    bằng 6

8.  

C Mặt phẳng    chứa điểm A1, 2, 3 . 

D Mặt phẳng    cắt ba trục Ox Oy Oz, ,

Câu 21 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Biết  , ,A B C là số thực khác 0, mặt phẳng chứa  trục Ozcó phương trình là: 

A Ax Bz C  0.  B Ax By 0   C By Az C  0.  D Ax By C  0. 

Câu 22 Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz,  cho  các  điểm 

(5; 1; 3), (1; 2; 6), (5; 0; 4), (4; 0; 6)

A B C D   Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song  với mặt phẳng (ABC). 

A x y z  10 0   B x y z   9 0.  C x y z   8 0.  D x2y z 10 0  

Câu 23 Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz,  cho  các  điểm 

(5; 1; 3), (1; 2; 6), (5; 0; 4), (4; 0; 6)

A B C D  Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song  với CD. 

Câu 24 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi  ( )P là mặt phẳng chứa trục Ox và vng  góc với mặt phẳng ( ) :Q x y z   3 0. Phương trình mặt phẳng ( )P  là: 

A y z 0. B y z 0.  C y z  1 0.  D y2z0

Câu 25 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và  qua điểm I2; 3;1  là: 

A 3y z 0.  B 3x y 0.  C y3z0.  D y3z0

Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2; 1; ,  B 1; 0; 4và C0; 2; 1  .  Phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với đường thẳng BC là: 

A 2x y 2z 5 0.  B x2y3z 7 0.  C x2y5z 5 0.  D x2y5z 5 0. 

Câu 27 Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz,  cho  mặt  phẳng    đi  qua  A2; 1; 4 ,  3; 2; 1

B    và  vng góc  với  mặt  phẳng  Q :x y 2z3 0  Phương trình mặt phẳng     là: 

A 5x3y4z 9 0. B x3y5z21 0  C x y 2z 3 0.  D 5x3y4z0. 

Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng    đi qua M0; 2; 3 , song song  với  đường  thẳng  :

2

y x

d    z

   và  vng  góc  với  mặt  phẳng   :x y z  0  có  phương trình: 

A 2x3y5z 9 0. B 2x3y5z 9 0. C 2x3y5z 9 0. D 2x3y5z 9 0. 

Câu 29 Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz.  Tọa  độ  giao  điểm  Mcủa  mặt  phẳng   P : 2x3y z 40 với trục Ox là ? 

A M0, 0, 4.  B 0, ,04

M 

 .  C M3,0,0.  D M2, 0,0

Câu 30 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  gọi   là  mặt  phẳng  qua  các  hình  chiếu  của  5; 4; 3

A lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng   là: 

A 12x15y20z60 0    B 12x15y20z60 0  

C

5

y

x z

       D 60

5

y

x z

   

Câu 31 Trong không gian  với hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  mặt phẳng   đi  qua  hai  điểm A5; 2; 0 ,   3; 4;1

B   và có một vectơ chỉ phương là a1;1;1. Phương trình của mặt phẳng    là: 

A 5x9y14z0.    B x y  7 0.   

C 5x9y14z 7 0.   D 5x9y14z 7 0. 

Câu 32 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt  phẳng ( ) :P x y z   6 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 12

   ? 

Câu 33 Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ Oxyz,  cho  4  mặt  phẳng  P :x2y4x3 0 ,   Q 2x4y8z5 0 ,   R : 3x6y12z100,   W : 4x8y8z120.  Có  bao  nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau. 

A 2.  B 3.  C 0.  D 1

Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 3xm1y4z20 ,   :nxm2y2z40. Với giá trị thực của  ,m n bằng bao nhiêu để    song song 

    

A m3;n 6.  B m3;n6.  C m 3;n6  D m 3;n 6

Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P :x my m1z20 ,  Q : 2x y 3z40. Giá trị số thực m để hai mặt phẳng    P , Q  vng góc  

A m1  B

2

m     C m2   D

2

m  

Câu 36 Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ Oxyz.  Cho  hai  mặt  phẳng   :x2y2z3 0 ,    :x2y2z80. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng     ,   là bao nhiêu ? 

A    , 

3

d       B    ,  11

3

d      C d    ,  5  D    , 

3

d   

Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y z  1 0. Gọi mặt  phẳng  Q  là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng  P  qua trục tung. Khi đó phương trình  mặt phẳng  Q  là ? 

A x2y z  1 0  B x2y z  1 0  C x2y z  1 0   D x2y z  1 0 

Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x3y5z40. Gọi  mặt phẳng  Q  là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng  P  qua mặt phẳng  (Oxz). Khi đó  phương trình mặt phẳng  Q  là ? 

A  P : 2x3y5z40  B  P : 2x3y5z40  

C  P : 2x3y5z40  D  P : 2x3y5z40 

Câu 39 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz,   là mặt phẳng đi qua điểm A2; 1; 5  và  vng góc với hai mặt phẳng  P : 3x2y z 70 và  Q : 5x4y3z 1 0. Phương  trình mặt phẳng    là: 

A x2y z  5 0.    B 2x4y2z10 0  

C 2x4y2z10 0    D x2y z  5 0. 

Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,tọa độ điểm M nằm trên trục Oy và cách đều hai  mặt phẳng:  P :x y z   1 0 và  Q :x y z  5 0  là: 

Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi    là mặt phẳng qua G1; 2; 3 và cắt các trục 

, ,

Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm  , ,A B C (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác 

ABC. Khi đó mặt phẳng    có phương trình: 

A 3x6y2z18 0   B 6x3y2z18 0  

C 2x y 3z 9 0.    D 6x3y2z 9

Câu 42 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  gọi   là  mặt  phẳng  song  song  với  mặt  phẳng    : 2x4y4z3 0  và cách điểm A2; 3; 4  một khoảng k3. Phương trình của mặt  phẳng    là: 

A 2x4y4z 5 0 hoặc 2x4y4z13 0  

B x2y2z25 0  

C x2y2z 7 0. 

D x2y2z25 0  hoặc x2y2z 7

Câu 43 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d1, 2lần lượt có phương trình 

1

2

2

:

2

y

x z

d      ,  2:

2

y

x z

d     

  Phương trình mặt phẳng    cách đều hai  đường thẳng d d1, 2 là: 

A 7x2y4z0.    B 7x2y4z 3 0. 

C 2x y 3z 3 0.    D 14x4y8z 3

Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A1; 0; 0, B0; ; 0b , C0; 0;c, b0,c0 và  mặt phẳng  P :y z  1 0. Xác định b và c biết mặt phẳng ABC vng góc với mặt  phẳng  P  và khoảng cách từ O đến ABC bằng 1

3. 

A ,

2

b c   B 1,

2

b c   C 1,

2

b c   D 1,

2

b c

Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,mặt phẳng  

 đi qua điểm M5; 4; 3và cắt các tia  ,

Ox Oy,Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là: 

A x y z  12 0     B x y z  0   

C 5x4y3z50 0    D x y z  0 

Câu 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi  ( )P là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với  mặt phẳng y z  1 0 góc 600. Phương trình mặt phẳng ( )

P  là: 

A

0

x z x z

   

  

  B

0

x y x y

   

  

  C

0

x z x z

    

  

  D

0

x z

x z

   

  

Câu 47 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  hình  cầu   S : x1 2 y2 2 z321.  Phương trình mặt phẳng    chứa trục Oz và tiếp xúc với  S  

Câu 48 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giácABC cóA1, 2, 1 ,B2,1,0,C2, 3, 2.  Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng OGB bằng  bao nhiêu ?   

A 3 174

29   B

174

29   C

2 174

29   D

4 174 29

Câu 49 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình cầu   S : x1 2 y2 2 z3216.  Phương trình mặt phẳng    chứa Oycắt hình cầu  S  theo thiết diện là đường trịn có  chu vi bằng 8 

A   : 3x z 0  B   : 3x z 0  C   : 3x z 20  D   :x3z0 

Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi ( )P là mặt phẳng song song với mặt phẳng 

Oxz và cắt mặt cầu (x 1)2 (y 2)2 z2 12

     theo đường trịn có chu vi lớn nhất. Phương  trình của ( )P  là: 

A x2y 1 0.  B y 2 0.  C y 1 0.  D y 2

Câu 51 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Gọi ( )  là mặt phẳng chứa  trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất. Phương trình của ( )  là: 

A x3z0.  B x2z0.  C x3z0.  D x0

Câu 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x1 2 y2 2 z32 9 , điểm A0; 0; 2. Phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và cắt mặt cầu  S  theo thiết diện  là hình trịn  C có diện tích nhỏ nhất ?

A  P :x2y3z 6 0.  B  P :x2y z 2 0    

C  P : 3x2y2z40.  D  P :x2y3z 6

Câu 53 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N1; 1;1. Viết phương trình mặt phẳng   P  cắt các trục Ox Oy Oz, ,  lần lượt tại  , ,A B C (khơng trùng với gốc tọa độO) sao cho N  là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 

A  P :x y z   3 0.  B  P :x y z   1 0. 

C  P :x y z   1 0.   D  P :x2y z 4 0

Câu 54 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua hai điểm  (1;1;1)

A , B0; 2; 2 đồng thời cắt các tia Ox Oy,  lần lượt tại hai điểm M N,  (không trùng  với gốc tọa độO) sao cho OM2ON 

A  P : 2x3y z 40.  B  P :x2y z 20. 

Câu 55 Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ Oxyz,  cho  tứ  diện  ABCD  có  các  đỉnh  A1; 2;1,   2;1; 3

B  , C2; 1; 3  và D0; 3; 1. Phương trình mặt phẳng    đi qua  ,A B đồng thời  cách đều  ,C D 

A  P1 : 4x2y7z15 0;  P2 :x5 y z 100. 

B  P1 : 6x4y7z 5 0; P2 : 3x y 5z100. 

C  P1 : 6x4y7z 5 0; P2 : 2x3z 5 0. 

D  P1 : 3x5y7z200; P2 :x3y3z100

Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2; 1; ; B 3; 0; ; C 0; 2;1 . Phương  trình mặt phẳng  P  đi qua  ,A B và cách C một khoảng lớn nhất ? 

A  P : 3x2y z 11 0   B  P : 3x y 2z13 0  

C  P : 2x y 3z120.  D  P :x y 3 0

Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   đi qua điểm M1; 2; 3 và cắt các  trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B ,C ( khác gốc toạ độ O) sao cho M là trực tâm tam giác 

ABC. Mặt phẳng   có phương trình là: 

A x2y3z14 0.  B

1

y

x z

      C 3x2y z 10 0  D x2y3z14 0  

Câu 58 Trong không gian  với  hệ trục  tọa  độ Oxyz, cho điểm  (1; 4; 3)G   Viết  phương  trình  mặt  phẳng cắt các trục Ox Oy Oz, ,  lần lượt tại  , ,A B C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC? 

A

4 16 12

y

x z

     B

4 16 12

y

x z

     C

3 12

y

x z

     D

3 12

y

x z

  

Câu 59 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Mặt phẳng ( )P  qua Mcắt  các  tia Ox Oy Oz, ,  lần  lượt  tại  A B C, ,   sao  cho thể tích  khối  tứ diện OABC nhỏ  nhất  có  phương trình là: 

A 6x3y2z0.    B 6x3y2z18 0  

C x2y3z14 0     D x y z   6

Câu 60 Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ Oxyz,  cho  hai  mặt  phẳng  có  phương  trình  P

2

x y z   Q :x2y z  3 0 và mặt cầu     2 2

:

S x  y z  Mặt phẳng     vuông với mặt phẳng    P , Q  đồng thời tiếp xúc với mặt cầu  S  

A 2x y  1 0; 2x y  9 0.  B 2x y  1 0; 2x y  9 0. 

C x2y 1 0;x2y 9 0.  D 2x y  1 0; 2x y  9

Câu 61 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 1 0, 2 điểm  1; 0; , ( 1; 2; 0)

vuông với mặt phẳng  P , song song với đường thẳng AB, đồng thời cắt mặt cầu  S  theo  đường trịn có bán kính bằng r2

A 2x2y3z11 0; 2 x2y3z23 0   B 2x2y3z11 0; 2 x2y3z23 0  

C 2x2y3z11 0; 2 x2y3z23 0   D 2x2y3z11 0; 2 x2y3z23 0  

Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 3điểm A1;1; 1 ,B1; 1; 2,C1; 2; 2  và  mặt phẳng  P :x2y2z 1 0. Lập phương trình mặt phẳng    đi qua A, vng góc  với mặt phẳng  P  cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB2IC biết tọa độ điểm I là số  ngun 

A   : 2x y 2z 3 0.  B   : 4x3y2z 9 0. 

C   : 6x2y z  9 0.  D   : 2x3y2z3 0

Câu 63 Trong  không  gian  với  hệ  trục  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  mặt  phẳng   P x y z   3 0,   Q : 2x3y4z 1 0. Lập phương trình mặt phẳng    đi qua A1; 0; 1 và chứa giao  tuyến của hai mặt phẳng    P , Q ? 

A   : 2x3y z  3 0.  B   : 7x8y9z16 0    

C   : 7x8y9z170.  D   : 2x2y z 3 0

Câu 64 Trong  không  gian  với  hệ  trục  toạ  độ  Oxyz,cho  2  đường  thẳng  1:

2 1

y

x z

d   



2

1

:

1

y

x z

d     Viết phương trình mặt phẳng    vng góc với d1,cắt Oz tại A và  cắt d2 tại B ( có tọa ngun) sao cho AB3. 

A   : 10x5y5z 1 0.  B   : 4x2y2z 1 0. 

C   : 2x y z   1 0.  D   : 2x y z  20

Câu 65 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm A1;1;1 , B 2; 0; 2 ,C 1; 1; , D0; 3; 4.  Trên  các  cạnh AB AC AD, ,  lần  lượt  lấy  các  điểm  ', ', 'B C D   thỏa: 

4

' ' '

AB AC AD

AB AC  AD   Viết phương trình mặt phẳng B C D' ' ' biết tứ diện AB C D' ' ' có thể 

tích nhỏ nhất ? 

A 16x40y44z39 0   B 16x40y44z39 0  

C 16x40y44z39 0   D 16x40y44z39 0

Câu 66 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,cho  P :x4y2z 6 0, Q :x2y4z 6 0.  Lập phương trình mặt phẳng    chứa giao tuyến của   P , Q  và cắt các trục tọa độ tại  các điểm  , ,A B C sao cho hình chóp O ABC  là hình chóp đều. 

Câu 67 Cho  mặt  phẳng ( ) : 2 x y  2z1 0; ( ) : x 2y 2z 3 0.  Cosin  góc  giữa  mặt  phẳng ( ) và mặt phẳng( )  bằng: 

A 4

9   B

4

   C

3   D

4 3

  

Câu 68 Cho  mặt  phẳng ( ) : 3P x 4y  5z 20  và  đường  thẳng d  là  giao  tuyến  của  hai  mặt  phẳng ( ) : x 2y1 0; ( ) : x 2z 3 0. Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt  phẳng (P). Khi đó: 

A 60.  B 45.  C 30.  D 90. 

Câu 69 Cho mặt phẳng ( ) : 3 x2y 2z 5 0. Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi  qua A và tạo với mặt phẳng ( )  một góc 45    

A Vô số.  B 1.  C 2.  D 4. 

Câu 70 Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc 60 

A ( ) : 2P x 11y 5z  30 và ( ) :Q x 2y z 2 0. 

B ( ) : 2P x 11y 5z  30 và ( ) :Q x 2y z 5 0. 

C ( ) : 2P x11y  5z 21 0  và ( ) : 2Q x y  z 2 0. 

D ( ) : 2P x 5y 11z 6 0 và ( ) :Q x 2y z 50. 

Câu 71 Trong không gian với hệ tọa độ 

2 2

y

x y z

  

    

Oxyz cho điểm M1; 0; 0 và N0; 0; 1  , mặt phẳng  P  qua điểm M N,  và tạo với mặt phẳng  Q : x y 40 một góc bằng 45O  Phương trình mặt phẳng  P  là 

A

2 2

y

x y z

  

    

. B

2 2

y

x y z

  

    

C 2

2 2

x y z

x y z

     

    

. D 2

2 2

x z

x z

    

   

Câu 72 Trong  không  gian  Oxyz  cho  mặt  phẳng   P :x y z   3 0  và  mặt  phẳng  Q :x y z   1 0. Khi đó mặt phẳng  R  vng góc với mặt phẳng  P  và  Q  sao cho  khoảng cách từ O đến mặt phẳng  R  bằng  , có phương trình là 

A 2x2z2 20.    B x z 2 20 . 

C x z 2 0.    D 2

2

x z x z

    

    

. 

Câu 73 Tập  hợp  các  điểm  M x y z ; ;   trong  không  gian  Oxyz  cách  đều  hai  mặt  phẳng   P x y:  2z 3 0 và  Q x y:  2z5 0  thoả mãn: 

A x y 2z 1 0 .    B x y 2z 4 0. 

Câu 74 Tập  hợp  các  điểm  M x y z ; ;   trong  không  gian  Oxyz  cách  đều  hai  mặt  phẳng   P x: 2y2z70 và mặt phẳng  Q :2x y 2z 1 0 thoả mãn: 

A x3y4z 8 0.    B

3

x y z

x y

     

   

 . 

C 3x y  6 0.    D 3x 3y 4z 0.   

Câu 75 Trong  không  gian  Oxyz  cho  điểm  M  thuộc  trục  Ox  cách  đều  hai  mặt  phẳng   P :x y 2z 3 0 và Oyz. Khi tọa độ điểm M là 

A ; 0;

1

 

 



 

và  ; 0;

 

 



 

  B ; 0;

1

 

 



 

 và  ; 0;

1

 

 



 

 

C 1; 0;

  

 

 

 

 và  1; 0;

  

 

 

 

   D 6; 0;

  

 

 

 

 và  ; 0;

  

 

 

 

  

Câu 76 Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh A1; 2;1,B2; 1; 3,C2; 1;1  và  0; 3; 1

D  Phương trình mặt phẳng  P  đi qua 2 điểm  ,A B sao cho khoảng cách từ C đến   P  bằng khoảng cách từ D đến  P  là   

A

2

x y z

x z

     

   

  B 2x3z 5 0.  

C 4x2y7z15 0.    D 15

2

x y z

x z

     

   

 

Câu 77 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M0;1; , N1; 1; 3. Gọi  P  là  mặt phẳng đi qua M N,   và tạo với mặt phẳng  Q :2x y 2z 2 0 góc có số đo nhỏ nhất.  Điểm A1; 2; 3 cách mp P  một khoảng là 

A 3.  B 5

3    C

7 11

11    D

4   

Câu 78 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A1; 0;1 ; B 3;  2; ;  C 1; 2;  2 . Gọi   P  là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến  P  lớn nhất biết  rằng  P  khơng cắt đoạn BC. Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng  P ? 

A  G2; 0; 3    B F3; 0;      C   1; 3;1 E    D  H0; 3;1.   

Câu 79 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm A1; 0; , B 0; ; ,b  C 0; 0;c trong  đó b c,  dương và mặt phẳng  P y z:   1 0. Biết rằng mp ABC  vng góc với mp P   và   , 

3

d O ABC  , mệnh đề nào sau đây đúng? 

A b c 1.   B 2b c 1.  C b3c1.   D 3b c 3.    

Điểm  M P x y z:   20sao  cho  giá  trị  của  biểu  thức T MA2 2MB2 3MC2

     nhỏ 

nhất. Khi đó, điểm M cách  Q :2x y 2z3 0  một khoảng bằng 

A 121

54   B 24.   C

2

3    D

101 54  

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1A 2B 3A 4C 5A 6D 7A 8C 9A 10A

11B 12D 13A 14C 15C 16A 17A 18D 19A 20B

21B 22A 23A 24B 25D 26C 27A 28D 29D 30A

31C 32C 33B 34C 35D 36A 37D 38C 39A 40A

41B 42D 43D 44C 45A 46A 47C 48A 49A 50D

51A 52B 53A 54C 55D 56A 57A 58B 59B 60D

61A 62A 63B 64C 65A 66B 67A 68A 69A 70B

71A 72D 73A 74B 75B 76D 77A 78C 79A 80D

Câu Chọn A.

Câu Chọn B.

Câu Chọn A.

Câu Chọn C.

Câu Chọn A.

Câu Chọn D.

Câu Chọn A.

Câu Chọn C.

Câu Chọn A.

Câu 10 Chọn A.

Phương pháp tự luận

Ta có AB  2; 5; 2



, AC1; 2;1  

 

 

, 9; 4;

n AB AC

   

 

  

. 

Phương pháp trắc nghiệm

Sử dụng MTBT tính tích có hướng.  Có AB  2; 5; 2



, AC1; 2;1  

.  Chuyển sang chế độ Vector: Mode 8. 

Ấn tiếp 1 – 1: Nhập tọa độ AB vào vector A. 

Sau đó ấn AC.  Để nhân AB AC, 

 

 ấn Shift – 5 –3 – X Shift - 5 – 4 - =

Câu 11 Chọn B.

Phương pháp tự luận

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu điểm nào làm cho vế trái bằng 0  thì đó là điểm thuộc mặt phẳng. 

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính dạng sau: 2X Y 0A 5 0, sau đó  dùng hàm CALC và nhập tọa độ ( ; y; )x z của các điểm vào. Nếu bằng 0 thì điểm đó thuộc  mặt phẳng

Câu 12 Chọn D.

Mặt  phẳng  (P)  đi  qua  điểm  A( 1; 2; 0)   và  nhận  ( 1; 0; 2)n  

  là  VTPT  có  phương  trình  là: 

1(x 1) 0(y 2) 2(z 0)

          x 2z0   x 2z 1 0.  Vậy  x 2z 1 0. 

Phương pháp trắc nghiệm (nên có)

Từ tọa độ VTPT suy ra hệ số B=0, vậy loại ngay đáp án  x 2y 5 0 và  x 2y 5 0   Chọn 1 trong 2 PT còn lại bằng cách thay tọa độ điểm A vào

Câu 13 Chọn A.

Phương pháp tự luận

0; 4; 2

AB 

, AC  3; 4;3 

ABC qua A3; 2; 2   và có vectơ pháp tuyến AB AC,  4; 6;12 2 2; 3; 6  

 

 

  ABC: 2x 3y 6z

     

Phương pháp trắc nghiệm

Sử dụng MTBT tính tích có hướng. 

Hoặc thay tọa độ cả 3 điểm A, B, C vào mặt phẳng xem có thỏa hay khơng?

Câu 14 Chọn C.

Phương pháp tự luận  +) AB ( 1; 1; 0)



. 

+) Trung điểm I của đoạnAB là  ( 1; ;1) 2 I   

Mặt phẳng trung trực của đọan AB là ( 3) ( 1)

2

x y

      hay x y  2 0. Phương pháp trắc nghiệm 

Do    là mặt phẳng trung trực của AB nên   AB  Kiểm tra mặt phẳng    nào có n k AB

 

và chứa điểm I   Cả 4 đáp án đều thỏa điều kiện n kAB

Cả 4 PT đều chung dạng: x–y+0z+D=0, nên để kiếm tra PT nào thỏa tọa độ điểm I ta bấm  máy tính: trong đó nhập A, B, C là tọa độ I, cịn D là số hạng tự do từng PT, nếu cái nào 

làm bằng 0 thì chọn. 

Câu 15 Chọn C.

Phương pháp tự luận

Theo cơng thức phương trình mặt chắn ta có: 

1 2

y

x z

  

   2x y z   2 0 Vậy 2x y z   2 0. 

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính, sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ 

( ; y; )x z của các điểm vào.  Nếu tất cả các điểm đều cho kết quả bằng 0 thì đó đó là mặt  phẳng cần tìm. Chỉ cần 1 điểm làm cho phương trình khác 0 đều loại

Câu 16 Chọn A.

Có n 2; 4; 6  

, n 1; 2; 3  

     / /   Và A   

Câu 17 Chọn A.

Câu 18 Chọn D.

Phương pháp tự luận

Mặt phẳng qua A2; 5; 1 và có vectơ pháp tuyến k0; 0;1



 có phương trình: z 1 0. 

Phương pháp trắc nghiệm

Mặt phẳng qua A và song song với Oxy có phương trình zzA

Câu 19 Chọn A.

Phương pháp tự luận

Mặt phẳng qua M1; 4; 3 và có vectơ pháp tuyến j0;1; 0



 có phương trình y 4 0. 

Phương pháp trắc nghiệm

Mặt phẳng qua M và vng góc với trục Oy có phương trình yyM

Câu 20 Chọn B.

Do   ,  6 36

d O   

  .

Câu 21 Chọn B.

Trục Oz là giao tuyến của 2 mặt phẳng Ozx , Oyz nên mặt phẳng chứa Oz thuộc chùm  mặt phẳng tạo bởi 2 mặt Ozx , OyzAx By 0. 

Câu 22 Chọn A.

Phương pháp tự luận 

+)AB ( 4;1; 3),AC(0; 1;1)  

AB AC,  (4; 4; 4)

 

 

.  +) Mặt phẳng đi qua Dcó VTPT n(1;1;1)



+) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn.  Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn là: x y z  10 0  

Phương pháp trắc nghiệm 

Gọi phương trình mặt phẳng(ABC) có dạng Ax By Cz D   0.  

Sử dụng MTBT giải hệ bậc nhất 3 ẩn, nhập tọa độ 3 điểm , ,A B Cvào hệ, chọn D1 ta được 

1 1

, ,

9 9

A B C  (Trong trường hợp chọn D1 vơ nghiệm ta chuyển sang chọn D0

). 

Suy ra mặt phẳng(ABC) có VTPT n(1;1; 1) 

   Mặt phẳng đi qua Dcó VTPT n(1; 1;1)



có phương trình: x y z  10 0   Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn.  Vậy chọn A. 

Câu 23 Chọn A.

Phương pháp tự luận 

+) AB ( 4;1; 3),CD ( 1; 0; 2)  

 AB CD, (2; 5;1)

 

 

.  +) Mặt phẳng đi quaA có VTPT n(2; 5;1)



có phương trình là: 2x5y z 18 0   +) Thay tọa độ điểm Cvào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn. 

Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn là: 2x5y z 180 

Phương pháp trắc nghiệm 

+) Sử dụng MTBT kiểm tra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình hay khơng? thấy đáp án  B, C khơng thỏa mãn. 

+) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng cần tìm vng góc với véctơ CD ta loại được  đáp D. 

Vậy chọn A.   

Câu 24 Chọn B.

Phương pháp tự luận 

+) Trục Ox véctơ đơn vị i(1; 0; 0) 

.  Mặt phẳng ( )Q  có VTPT n( )Q (1;1;1)



. 

Mặt  phẳng ( )P chứa  trục Ox  và  vng  góc  với ( ) :Q x y z   3 0nên  ( )P   có  VTPT 

( )

, Q (0; 1;1)

ni n  

 

  

. 

Phương trình mặt phẳng ( )P  là: y z 0. 

Phương pháp trắc nghiệm 

+) Mặt phẳng ( )P chứa trục Ox nên loại đáp án C. 

+) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng ( )Q vng góc với VTPT của ( )P  ta loại tiếp  được đáp án B, D. 

Vậy chọn A. 

Trục Ox đi qua A1; 0; 0 và có i1; 0; 0



 

Mặt phẳng đi qua I2; 3; 1  và có vectơ pháp tuyến ni AI, 0; 1; 3

 

  

 có phương trình 

3

y z  

Câu 26 Chọn C.

Ta có: CB1; 2; 5

Mặt phẳng qua A và vng góc với đường thẳng BCcó một VTPT là CB1; 2; 5



nên có  phương trình là: x2y5z 5 0. 

Câu 27 Chọn A.

Phương pháp tự luận

1; 3; 5

AB 



, nQ1;1; 2 

Mặt  phẳng      đi  qua  A2; 1; 4   và  có  vectơ  pháp  tuyến 

   

, Q 10; 6; 5; 3;

AB n

       

 

 

 có phương trình: 5x3y4z 9 0.  Vậy 5x3y4z 9 0. 

Phương pháp trắc nghiệm

Do      Q n n Q 0

 

, kiểm tra mp   nào có n n Q0

    Vậy chọn A. 

Câu 28 Chọn D.

Phương pháp tự luận

Ta có ud 2; 3;1  

, n 1;1; 1  

 

Mặt phẳng    đi qua M0; 2; 3  và có vectơ pháp tuyến n u nd, 2; 3; 5   

     : 2x 3y 5z

      

Phương pháp trắc nghiệm

Do     

   

/ /

Q

Q

d n kn

Q n n



 





 

 



 

 

 

 

 

   kiểm tra mp   nào thỏa hệ  

Vậy chọn A. 

Câu 29 Chọn D.

Gọi M a ,0, 0 là điểm thuộc trục Ox. Điểm M P 2a40a2.  Vậy M2,0, 0 là giao điểm của  P Ox,  

Phương pháp trắc nghiệm

Giải hệ PT gồm PT của (P) và của (Ox): 

2

0

x y z

y z

    

     

; bấm máy tính

Câu 30 Chọn A.

Ta có: M5; 0; 0, N0; 4; 0, P0; 0; 3. 

Phương trình mặt phẳng    qua M5; 0; 0, N0; 4; 0, P0; 0; 3là:  

1 12 15 20 60

5

y

x z

x y z

         

Câu 31 Chọn C.

Ta có: AB8; 6;1



. 

Mặt  phẳng   đi  qua  hai  điểm  A5; 2; 0 ,  B3; 4; 1  và  có  một  vectơ  chỉ  phương  là  1;1;1

a



 nên có một VTPT là: nAB a, 5; 9; 14 

 

  

. 

Mặt phẳng   đi qua điểm A5; 2; 0  và có một VTPT n5; 9; 14  

 có phương trình là:  

5x9y14z 7 0. 

Câu 32 Chọn C.

Phương pháp tự luận 

+) Mặt phẳng ( )Q  song song với mặt phẳng ( )P  có dạng: x y z D   0 (D 6). 

+) Do mặt phẳng ( )Q tiếp xúc với mặt cầu ( ) :S x2y2z2 12 nên d I Q( ;( ))R với Ilà 

tâm cầu, R là bán kính mặt cầu. 

Tìm được D6 hoặc D 6(loại) Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn

Câu 33 Chọn B.

Hai mặt phẳng song song khi 

' ' ' '

a b c d

a  b  c d   

Xét  P  và  Q : 

2

 

  

     P  Q   Xét  P  và  R : 1

3 12 10

 

  

     P  R      Q R

   

Xét  P  và  W : 1

4 8

  

  

Xét  Q  và  W : 

4 8

 

 

  

Xét  R  và  W : 3 12

4 8

  

   Vậy có 3 cặp mặt phẳng song song

Câu 34 Chọn C.

Để    song song   4 3;

2 2

m

m n

n m



       

   

Vậy m 3;n6

Câu 35 Chọn D.

Để 2 mặt phẳng    P , Q  vng góc  1.2 1   0 p Q

n n m m m

         

 

Vậy 

2

m

Câu 36 Chọn A.

Lấy M1, 0,1 thuộc mặt phẳng   Ta có        

 2

5

, ,

3

1 2

d   d M   

  

. 

Vậy     , 

3

d   

Câu 37 Chọn D.

Gọi   là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng   Điểm   là điểm đối xứng  của  qua trục tung   là mặt phẳng đi qua   và là mặt phẳng  đối xứng của   

Vậy 

Câu 38 Chọn C.

Gọi   là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng   Điểm   là điểm đối xứng  của  qua trục tung   là mặt phẳng đi qua   và là mặt phẳng  đối xứng của   

Vậy 

Câu 39 Chọn A.

Mặt phẳng (P) có một VTPT là    Mặt phẳng (Q) có một VTPT là  

Mặt phẳng  vng góc với   mặt phẳng  ,

 nên có một VTPT là  

Phương trình mặt phẳng   là: 

Câu 40 Chọn A.

Ta có   

Giả thiết có   Vậy   

Câu 41 Chọn B.

Gọi  ,  ,   là giao điểm của mặt phẳng   các trục    Phương trình mặt phẳng  :    

( , , )

M x y z  P M'x y, ,z

M  Q : x 2y z  1 M'

 P

2

x y  z

( , , )

M x y z  P M x' ,y z, 

M  Q : 2x3y5z40 M'

 P

 P : 2x3y5z40

3; 2;1

P

n  



5; 4; 3

Q

n  



   P : 3x2y z 70

 Q : 5x4y3z 1 ,  2; 4; 2

P P Q

n n n    

 

     x2y z  5

0; ; 0

M Oy M m

 

 ,   , 

d M P d M Q

3

m m

  m 3 M0; 3; 0 

 ; 0; 0

A a B0; ; 0b  C0;0;c   Ox Oy Oz, ,

  x y z

Ta có   là trọng tâm tam giác    

Câu 42 Chọn D.

Vì   

Giả thiết có   

Vậy  , 

Câu 43 Chọn D.

Ta có   đi qua   và có  ,   đi qua   và có    ; 

 nên   chéo nhau. 

Do   cách đều   nên   song song với   

 có dạng   

Theo giả thiết thì   

Câu 44 Chọn C.

Phương trình mặt phẳng   có dạng   

Theo giả thiết: 

 

Câu 45 Chọn A.

Gọi  là giao điểm của mặt phẳng và các tia 

Phương trình mặt phẳng  qua A, B, C là:   Mặt phẳng   qua điểm   

G ABC 3 3 a a b b c c                    

 : 18

3

y

x z

x y z



        

    / /    : 2x4y4z m 0 m3  

 , 

d A   32

6

m



  14

50 m m           :x2y2z70   :x2y2z25 0

1

d A2; 2; 3 ud1 2;1; 3



2

d B1; 2;1 ud2 2; 1; 4  

 1; 1; ; d1; d2 7; 2; 4

AB   u u   

 

  

1;

d d

u u AB

 

   

 

  

1,

d d

  d d1, 2   d d1, 2  

1; 7; 2;

d d n u u 

    

 

    

 7x2y4z d 0

 

 ,   , 

d A  d B 

2 69 69 d d d      

  : 14x 4y 8z

    

ABC

1

y

x z

bcx cy bz bc

b c                  

2 2 2 4 2

0

1 1

1

, 3 3

3

c b b c

ABC P

bc b

d O ABC

bc c b b b

                            

2

3b b 2b

   2

2

b b b

   

2

c

 

 ; 0; , 0; ; , 0; 0; 

A a B a C a a0   Ox,Oy,

Oz

  x y z

a aa

Ta có 

Câu 46 Chọn A.

Phương pháp tự luận 

+) Mặt phẳng  chứa trục   nên có dạng:   

+) Mặt phẳng   tạo với mặt phẳng   góc  nên   

    

Phương trình mặt phẳng   là:   

Phương pháp trắc nghiệm 

+) Mặt phẳng  chứa trục   nên loại đáp án B, C. 

+)Cịn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện về góc đối với  phương trình thứ nhất của đáp án A thấy thỏa mãn. 

Câu 47 Chọn C.

Mặt phẳng   chứa trục   có dạng:   

Ta có:   

. Chọn 

Câu 48 Chọn A.

Do   là trọng tâm tam giác   

Gọi   là một vtpt của mặt phẳng   

Phương trình mặt phẳng 

Câu 49 Chọn A.

Phương trình mặt phẳng   

Ta có:   Mà   có tâm   

Do   

Chọn 

Câu 50 Chọn D.

Phương pháp tự luận 

Mặt phẳng   cắt mặt cầu   theo đường trịn có chu vi lớn nhất  nên mặt phẳng   đi qua tâm   

1 12

12 12 12

y

x z

x y z

       

( )P Oy Ax Cz 0 (A2C20)

( )P y z  1 600 ( ) ( )

( ) ( )

cos 60

P Q

P Q

n n

n n



   

2

2

1

2

2 2

C

A C C

A C

    



2 0 A C

A C

A C

      

  

( )P

0

x z x z

   

  

( )P Oy

  Oz Ax By 0 2 

0

A B   

 ,  A2 2B2

d I

A B

    



2

4AB B 4A B

      A3,B  4   : 3x4y0

G 1, 2,1

3

ABC G 

   

 

n OGB 1, 13,

3 3

n OG OB  

      

 

  

OGB:x2y13z0   ,  174 29

d A OGB 

  :Ax Cz 0A2C2 0 2r8  r  S I1,2, , R4

 

4

R   r I  A C   

3, :

A C    x z 

( )P 2

(x1) (y2) z 12

Phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   có dạng:    Do   đi qua tâm  có phương trình dạng:   

Phương pháp trắc nghiệm 

+) Mặt phẳng   song song với mặt phẳng   nên lọai đáp án D. 

+) Mặt phẳng  đi qua tâm  nên thay tọa độ điểm  vào các phương trình loại  được đáp án B,C

Câu 51 Chọn A.

+)  Gọi  lần  lượt  là  hình  chiếu  vng góc của  trên mặt phẳng   và trục   

Ta có:     

Vậy  khoảng  cách  từ    đến  mặt  phẳng  lớn nhất khi mặt phẳng qua   và vng góc với   Phương trình mặt phẳng:   

 

Câu 52 Chọn B.

Mặt cầu   có tâm    

Ta có   nên điểm  nằm trong mặt cầu. 

Ta có:   

Diện tích hình trịn   nhỏ nhất  nhỏ nhất   lớn nhất.  

Do   Khi đó mặt phẳng  đi qua   và nhận   làm 

vtpt 

Câu 53 Chọn A.

Gọi   lần lượt là giao điểm của   với các trục   

Ta có:

Câu 54 Chọn C.

Gọi   lần lượt là giao điểm của   với các tia   

( )P Oxz Ay B 0

( )P I(1; 2; 0) y 2

( )P Oxz

( )P I(1; 2; 0) I

,

H K

M ( )

Oy

(0; 2; 0)

K

( ,( ))

d M  MHMK

M

( ) ( )

K MK

3

x z

Oy M

K

H

 S I1,2, , R3

IAR A

 

  2

,

d I P  R r

 C  r d I P , 

   , 

d I P IAmaxd I P , IA  P A IA

 P :x 2y z

    

 ; 0; , 0; ; , 0; 0; 

A a B b C c  P Ox Oy Oz, ,

 P : x y z , ,a b c 0

a bc  

  1 1

1 3

1

N P a b c

NA NB a b a b c x y z

NA NC a c



  

  

 

             

 

     

 



 ; 0; , 0; ; 0

M a N b  P Ox Oy, a b, 0

Gọi   là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    Phương trình măt phẳng 

Câu 55 Chọn D.

Trường hợp 1:  

 

Trường hợp 2:  đi qua trung điểm   của     

Câu 56 Chọn A.

Gọi   lần lượt là hình chiếu   của lên mp  và doạn  thẳng   

Ta có:   lớn nhất khi   

Khi đó mặt phẳng   đi qua   và vng với mặt phẳng   

Ta có   

Câu 57 Chọn A.

Cách 1:Gọi  là hình chiếu vng góc của  trên  , là hình chiếu vng góc   trên   là trực tâm của tam giác   khi và chỉ khi   

Ta có:   (1) 

Chứng minh tương tự, ta có:   (2).  Từ (1) và (2), ta có:   

Ta có:   

Mặt phẳng  đi qua điểm và có một VTPT là   nên có phương trình 

là:    

Cách 2:

n  P nu AB,   1; 2; 1

 

    P :x2y z 2 0

 

CD P

 6; 10; 14 3; 5; 7 

P

n AB CD      

  

 P : 3x 5y 7z 20

    

 P I1; 1; 2 CD

1; 3; 3  : 3 10 P

n AB AI   P x y z 

  

P P

C

D

C

D

I

,

H K C  P

AB

   , 

CHd I P CK d C P ,  HK

 P A B, ABC

 

, 9, 6,

p

n AB ACAB   

 

     P : 3x 2y z 11

    

H C AB K B

AC M ABC MBKCH

  (1)

AB CH

AB COH AB OM

AB CO

 

   

  

ACOM

 

OM ABC

1; 2; 3

OM

  M1; 2; 3 OM1; 2; 3 x12y23z30 x2y3z140

P

K A

B C

H

M C

O A

B

K

+) Do   lần lượt thuộc các trục  nên  ( ). 

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:   

+) Do   là trực tâm tam giác   nên   Giải hệ điều kiện trên ta được  

Vậy phương trình mặt phẳng:

Câu 58 Chọn B.

+) Do   lần lượt thuộc các trục  nên   

+) Do   là trọng tâm tứ diện   nên    

suy ra  

+) Vậy phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là: 

Câu 59 Chọn B.

+) Mặt phẳng  cắt các tia   lần lượt tại  nên 

( ). 

Phương trình mặt phẳng    +) Mặt phẳng  qua   nên   

Ta có   

+) Thể tích khối tứ diện   bằng   

Thể tích khối tứ diện   nhỏ nhất khi  suy ra   

Phương trình mặt phẳng hay 

Câu 60 Chọn D.

Mặt cầu   có tâm   và bán kính   

Gọi   là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   

Ta có:   

, ,

A B C Ox Oy Oz, , A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )B b C c a b c, , 0

(ABC) x y z

a bc 

M ABC

( )

AM BC BM AC

M ABC

 

 

 

 

 

   

, ,

a b c

2 14

x y z 

, ,

A B C Ox Oy Oz, , A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )B b C c

G OABC

4 4

O A B C

G

O A B C

G

O A B C

G

x x x x

x

y y y y

y

y y y y

z

   

  

  

   

  

    4, 16, 12

a b c

(ABC)

4 16 12

y

x z

  

( )P Ox Oy Oz, , A B C, , A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )B b C c

, ,

a b c

( )P x y z

ab c 

( )P M

a bc 

1

1 abc 162

a b c abc

     

OABC 27

6

V  abc

OABC

3

a b c  a3,b6,c9

( )P

3

y

x z

   6x3y2z18 0

    2 2

:

S x  y z  I1; 2; 0  R

n 

   6; 3; 0 2; 1; 0 

Q P

n n n n        n

Lúc đó mặt phẳng   có dạng:  

Do mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu   

Vậy phương trình mặt phẳng  : hoặc 

Câu 61 Chọn A.

Mặt cầu   có tâm   và bán kính   

Gọi   là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   

Ta có:   

Lúc đó mặt phẳng   có dạng:   Gọi   là hình chiếu của   lên mặt phẳng   

Ta có: hoặc   

Vậy phương trình mặt phẳng  : hoặc 

Câu 62 Chọn A.

Do   thẳng hàng và   

Vì tọa độ điểm   là số nguyên nên   

Lúc đó mặt phẳng   đi qua   và vng góc với mặt phẳng   

Câu 63 Chọn B.

Gọi   là các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng     thỏa hệ phương trình:  

Cho   

Cho   

Lúc đó mặt phẳng   chứa 3 điểm 

Câu 64 Chọn C.

Do mặt phẳng   vng góc với    Mặt phẳng   cắt   tại  , cắt  tại 

.    2x y m  0

   S  ,  5

5

m

d I  

   

9

m m

 

       2x y  1 2x y  9

    2 2

:

S x  y z  I1; 2; 0 R

n



 

   

, 4; 4; 2; 2;

P

n n ABn    n

 

       2x2y3z m 0

J I  

2 2 17

R r IJ IJ  d I ,   17  6m 17m11 m 23

  2x2y3z11 0 2x2y3z23 0

, ,

I B C IB2IC

 3; 3; 6

1 ; ;

3 3

I

IB IC

I

IB IC

  

  

   

 

 

  

 

 

    

I I3; 3; 6 

  A I, 3; 3; 6   P

  : 2x y 2z

    

,

M N    P , Q

,

M N

2

x y z

x y z

    



   



4

7

3 13

y z y

x

y z z

      

  

    

  M(7; 3; 1)

  

3

3 11

y z x

y z

   

  

  



1

y z

    

 

  

6; 1;

N

  

  A N M, ,   : 7x8y9z16 0

  d1 2x y z m   0

  Oz A0; 0;m d2 B m 1, ,m m1  1, ,2 1

AB m m m

   



2

9 2 1,

9

m m m m m m

Vậy mặt phẳng 

Câu 65 Chọn A.

Áp dụng bất đẳng thức   ta có:   

 

Để   nhỏ nhất khi và chỉ khi   

Lúc đó mặt phẳng   song song với mặt phẳng  và đi qua   

Câu 66 Chọn B.

Chọn   thuộc giao tuyến của  

Gọi   lần lượt là giao điểm của   với các trục     

 chứa   

Hình chóp   là hình chóp đều  

Vậy phương trình  

Câu 67 Chọn A.  Gọi n



,  n lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  ( )  và  ( )   Ta có n(2; 1; 2);n(1; 2; 2)

 

.  Áp dụng công thức: 

2 2 2

2.1 1.2 2.2 4

cos(( ),( )) cos( , )

9

( 1) (1 ( 2)

n n

n n

n n

   

 

       

     

   

    

Câu 68 Chọn A. 

Đường thẳng d có phương trình: 

2

,

3

x t

y t t R

z t

    

  

  

  

 

 . Suy ra VTCP của d  là ud(2; 1; 1) 

Ta có     

2 2 2

2.3 1.4 1.5 3

sin ,( ) cos ,

2

1

d d

u n

d P u n

u n

 

   

   

   

  : 2x y z   1

AM GM 4 33

' ' ' ' ' '

AB AC AD AB AC AD

AB AC AD AB AC AD

   

' ' ' 27

64

AB AC AD AB AC AD

   ' ' ' ' ' ' 27

64

AB C D ABCD

V AB AC AD

V  AB AC AD  ' ' '

27 64

AB C D ABCD

V V

 

' ' '

AB C D

V ' ' '

4

AB AC AD

AB  AC  AD 

3 7

' ' ; ;

4 4

AB AB B  

    

 

 

B C D' ' ' BCD ' 7; ;

4 4

B  

 

B C D' ' ' : 16 x 40y 44z 39

    

6; 0; , 2; 2; 2

M N    P , Q

 ; 0; , 0; ; , 0; 0; 

A a B b C c   Ox Oy Oz, ,

 :x y z , ,a b c 0

a b c

    

  M N,

6 2

1

a

a b c



 

  

    



O ABC OA OB OC   a  b  c

6

( ,( ))d P 60

  . 

Câu 69 Chọn A. 

[Phương pháp tự luận]

Gọi  n a b c ; ; 



  là  vectơ  pháp  tuyến  của  mặt  phẳng  ( )   cần  lập. 

   

2 2 2

3.a 2. 2.c 2

cos ( ),( ) cos ,

2

( 2) a c

n n b

n n

n n b

   

 

       

    

   

   

2 2

2(3a 2b )c 17(a b c )

        

Phương trình trên có vơ số nghiệm. 

Suy ra có vơ số vectơ n a b c( ; ; ) là véc tơ pháp tuyến của  ( )  Suy ra có vơ số mặt phẳng  ( ) thỏa mãn điều kiện bài tốn 

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dựng hình.  

Giả sử tồn tại mặt phẳng ( )  thỏa mãn điều kiện bài tốn. (Đi qua A và tạo với mặt phẳng  ( )  một góc 45). Gọi  là đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng  ( )  Sử  dụng phép quay theo trục  với mặt phẳng ( )  Ta được vơ số mặt phẳng ( ')  thỏa mãn  điều kiện bài tốn.  

Câu 70 Chọn B. 

Áp dụng cơng thức tính góc giữa hai mặt phẳng. 

 

cos ( ),( ) cos 60

2

P Q

P Q

n n P Q

n n

   

 

   

Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị vào biểu thức để  tìm giá trị đúng. 

Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính tốn nhanh nhất. 

Câu 71 Chọn A.

Gọi  vectơ  pháp  tuyến  của  mp P   và   Q   lần  lượt  là  n a b cP ; ;   a2b2c2 0,  nQ

 P quaM1; 0; 0  P :a x1by cz 0    P  qua N0; 0; 1    a c 0 

 P  hợp với  Q  góc  O

45     O

2

0

, 45

2

2

P Q

a b a

cos n n cos

a b

a b

  

     

 

 

 

   Với a  0 c 0 chọn b1 phương trình  P :y0  

Với a 2b chọn b   1 a 2 phương trình mặt phẳng  P : 2x y 2z2 0  

Câu 72 Chọn D.

1;1;1 , 1; 1;1 , 2; 0; 2

P Q P Q

n n  n n  

 

Mặt phẳng  : 2  , 

8

D D

R x z D d O R

D

 

       

   

   Vậy phương trình mp  R x z:  2 20; x z 2 20 

Câu 73 Chọn A.

 ; ; 

M x y z Ta có   ,   , 

6

x y z x y z

d M P d M Q          

2

x y z x y z x y z

              

Câu 74 Chọn B. 

Cho điểm M x y z ; ; ,   ,   ,  2 2

3

x y z x y z

d M P d M Q             

3

3

x y z

x y

      

   

. 

Câu 75 Chọn B. 

Điểm M m ; 0; 0Ox;   ,   , 

m

d M P d M P    m     

3

3 1 6

3

3

1

m

m m

m m m

  

   



 



   

  

 

  

Câu 76 Chọn D. 

Trường hợp 1:  P  qua AB và song song với CD, khi đó:   P  có vectơ pháp tuyến là AB CD,      8; 4; 14

 

 

và C P   P : 4x2y7z15 0.  

Trường hợp 2:   P   qua  AB  cắt  CD  tại  trung  điểm  I  của  đoạn  CD.  Ta  có 1;1;1 0; 1; 0

I AI 



, vectơ pháp tuyến của  P  là AB AI,  2; 0; 3

 

 

 nên phương trình   P : 2x3z5 0  

Câu 77 Chọn A. 

 P  có VTPT n vng góc với MN1; 2;1



 nên n b c b c2  ; ; 



.  Gọi  là góc tạo bởi  P  và  Q ,  nhỏ nhất khi cos lớn nhất.  Ta có cos

2

5

b

b c bc



 

  Nếu b0 thì cos = 0.   Nếu b0 thì cos

2

1 c

b



 

 

 

 

. Khi đó, cos lớn nhất khi c

Câu 78 Chọn C. 

Gọi  I  là  trung  điểm  đoạn  BC;  các  điểm  ,  , 

B C I   lần lượt là hình chiếu của  ,  ,B C I trên   P   

Ta  có  tứ  giác  BCC B   là  hình  thang  và  IIlà  đường trung bình.  

 

 ,    ,  

d B P d C P BB CC II

      

Mà II IA (với IA không đổi) 

Do vậy, d B P ,  d C P ,   lớn nhất khi I A    P

  đi qua A và vng góc  IA với I2; 0;       P :  x 2z E1; 3; 1  P

        

Câu 79 Chọn A. 

Ta có phương trình mp(ABC) là  1

y

x z

b c

     

ABC  P 1 b c(1)

b c

        

Ta có     2 2

2

1 1 1

, 8(2)

3 1

1

d O ABC

b c

b c

     

 

  

Từ (1) và (2)  1

b c b c

       

Câu 80 Chọn D. 

Gọi M x y z ; ; . Ta có T6x26y26z28x8y6z31  

2 2

2 145

6

3

T x  y  z  

                  

 

  

2 145

6

6

T MI

    với  2; ; 3

I  

   

T

  nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất Mlà hình chiếu vng góc của I trên  P   5 13

; ; 18 18

M 

    

 . 

P

B

C

B' C'

A I'

Chủ đề 4   PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 

   

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ phương đường thẳng

Vectơ   là 1 vectơ phương của đường thẳng  nếu giá của  

vectơ   song song hoặc trùng với đường thẳng   

2 Phương trình tham số - Phương trình tắc đường thẳng

Đường thẳng d đi qua   và có 1 vectơ chỉ phương    

+  Phương trình tham số của đường thẳng d là:    (1) 

+  Phương trình tắc của đường thẳng d là: 

    (2)   

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho hai đường thẳng   và   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương 

1 Xét vị trí tương đối d1 d2 theo chương trình bản:

Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của   và   

Bước 2: Nhận xét:  

+   Nếu   và   cùng phương thì:   

+   Nếu   và   khơng phương thì hoặc  cắt  hoặc   và   chéo nhau. 

 TH1:  cắt  

Điều kiện 1:  

a và 



b không cùng phương . 

0

a d

a d

 

0 0; 0;

M x y z aa a a1; ;2 3

0

( )

x x a t

y y a t t R

z z a t

  



  



   

0 0

1

d: x x y y z z

a a a

  

  a a a1 .2 30 

0

1

0

:

x x a t

d y y a t

z z a t

   

  

   

/

0

/

2

/

0

:

x x b k

d y y b k

z z b k

  



 



   

1

d aa a a1; ;2 3

2

d  



1; ;2

b b b b

a b

a b

1

/ /

d d

d d

 

 

a b d1 d2 d1 d2

1

d d2

d a'

a

M0

M0

d2

d1

M0

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:   (*) có nghiệm duy nhất   

Kết luận:   cắt   tại điểm   

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra   và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì  , ngược lại thì khơng). 

 TH2:   và   chéo nhau 

Điều kiện 1:   và   không cùng phương . 

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:  (*) vơ nghiệm. 

 TH3:   song song với   

Điều kiện 1:   và   cùng phương . 

Điều kiện 2: Chọn điểm   Cần chỉ rõ   

 TH4:   và   trùng nhau 

Điều kiện 1:   và   trùng nhau. 

Điều kiện 2: Chọn điểm   Cần chỉ rõ   

Đặc biệt:

2.Xét vị trí tương đối d1 d2 theo chương trình nâng cao sơ đồ sau:

- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương   

- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương   

-                                           (1) (2) (3)

0 1

0 2

0 3

x a t x b k

y a t y b k

z a t z b k

0

( ,t k )

1

d d2 M x0 0a t y1 0; 0a t z2 0; 0a t3 0 t k0; 0 t k0; 0

1

d d2

a b

                 (1) (2) (3)

0 1

0 2

0 3

x a t x b k

y a t y b k

z a t z b k

1

d d2

a b

0( ;0 0; 0)

M x y z d M0d2

1

d d2

a b

 

0 0; 0;

M x y z d M0d2

1 1 2 3

d d a b a b a b a b 

0

vµ d

u M d

 vµ / / . d

u M d



Tính  

  ;

d d

u u  

        ; 0 d d u u                     0 ; 0 ; 0 d d d u u u M M

Trùng nhau          ; 0 d d u u                     0 ; 0 ; 0 d d d u u u M M

                    0 ; 0 ; 0 d d d u u u M M

                    0 ; 0 ; 0 d d d u u u M M

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng: 

0

0

0

:

x x a t

d y y a t

z z a t

   

  

   

 và mp ( ) : Ax By Cz D   0  

Xé hệ phương trình: 

0

0

0

(1) (2)

(*) (3) (4)

x x a t

y y a t

z z a t

Ax By Cz D

   

  



  

    



 

o (*) có nghiệm duy nhất    d cắt  ( )  

o (*) có vơ nghiệm    d //  ( )  

o (*) vô số nghiệm    d  ( )  

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

o Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng  d  qua điểm Mo có vectơ chỉ phương u

 : 

M M u d M d

u

0 ;

( , )

 

 



 

  

o Khoảng cách  giữa hai đường  thẳng  song song  là  khoảng cách từ  một điểm thuộc  đường 

thẳng này đến đường thẳng kia. 

o Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 

d  đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương uvà d’  đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương  'u 

là:       

u u M M

d d d

u u ; '

( , ')

; '

 

 



 

 

  

   

o Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm 

thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến  đường thẳng. 

V GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

o Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương u( ; ; )a b c



và u' ( '; '; ') a b c



là : 

2 2 2

' ' '

cos

' ' '

aa bb cc

a b c a b c

  

   

   (0o 90 ).o   Đặc biệt:  ( )d ( ')d aa'bb'cc' 0.  

o Góc  giữa  đường  thẳng d  có  vectơ  chỉ  phương u( ; ; )a b c



  và  mp( ) có  vectơ  pháp  tuyến

 

( ; ; )

n A B C  là:      sin  cos( , )n u  Aa Bb Cc   

B MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐỂN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1 Phương pháp

o Vectơ   là 1 vectơ phương của đường thẳng   nếu giá của vectơ   song song hoặc 

trùng với đường thẳng   

o Nếu  là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng  thì   cũng là 1 vectơ chỉ phương của 

. 

o Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng   Nếu có 2 vectơ   khơng cùng phương 

và   thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng  là   hoặc   

2 Một số tốn minh họa

Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm  ; 

các đường thẳng  ,  ; các mặt phẳng 

,   Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau: 

a) Đường thẳng     

b) Đường thẳng   đi qua   và song song với   

c) Đường thẳng  .   

d)Đường thẳng  qua B và song song với  

e) Đường thẳng  qua   và vng góc với   

f) Đường thẳng  qua , vng góc với   và   

g) Đường thẳng  qua   và vng góc với   

h) Đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   

i) Đường thẳng   qua   vng góc với  và song song với mặt phẳng   

j)Đường thẳng   qua , cắt và vng góc với trục   

Lời giải:

a)   Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là    

b)   Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là   Ta có:   nên   cũng là 1 

vectơ chỉ phương của   

c)   Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là   

d)  Đường thẳng   nên có 1 vectơ chỉ phương là   

0

a d a

d a



d ka k,( 0) d

u



d a b,

 

u a

u b

   

  

  

 d ua b, 

    

0

, ,

uk a b  k

  

 

1 2; ; , 2 1; ; , 4 0; ; 

A  B C

 

1

1 3 :

x

y t t R

z t

  

    

   

2

1

3

:x y z

  

 ( ) :P x3y2z 1

3

( ) :Q x z 

1



1

d A 2

AB

d Oy

3

d C ( )P

4

d B Ox 1

5 ( )

d  Q O 2

6

d ( ),( )P Q

7

d B 2 (Oxy)

8

d A Oz

1

 a( ;0 4 ; )

2

 b( ;3 3 2; )



1/ /

d  b( ;3 3 2; ) 

1

d

AB AB( ; ;1 1 )



2/ /

d Oy j( ; ; )0

e)   Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến là   Đường thẳng   nên có 1 vectơ chỉ 

phương là   

f)   Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng    

Ta có:  ,   chọn   

g)   Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến là   Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của đường 

thẳng   Ta có:  ,   chọn   

h)   Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng   Ta có:  ,  

 chọn   

i)   Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng   Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến là 

.Ta có:  ,   chọn   

j)  Gọi   Ta có   là hình chiếu của   lên   Vậy   có 1 vectơ 

chỉ phương là   

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   và 

. Tìm   để giao tuyến của   

a) vng góc với mặt phẳng   

b) song song với mặt phẳng   

Lời giải:

Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là giao tuyến của   

Mặt phẳng của   có 1 vectơ pháp là   

Mặt phẳng của   có 1 vectơ pháp là   

Ta có:  chọn   

a)   Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến   Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

 cùng phương   (vơ nghiệm). 

Vậy khơng tồn tại giá trị   thỏa u cầu bài tốn. 

( )P n1( ; ;1 2 )



3 ( )

d  P

1 ( ; ;1 2)

n  

4

u d4

0 3

, ; ;

i a

      

  4

4 u i u a          

  u4 0 3; ; 



( )Q n23 0; ;1



5

u

5

d n b2,     ( 9; ; 9)

 





4 u n u b           

 u5( ; ; )1 3



6

u d6 n n1, 2      3; 5; 9

  6 u n u n          

  u6 3 9; ; 

7

u d7 (Oxy)

0 1; ;  k



 

2, 3 0; ;

n k

   

 





7 u n u k           

 u71 0; ; 



8

Hd Oz

8 d Oz H A d        

A OzH0 2; ;  d8

1 0; ; 

OA 



  : x3ky z  2   : kx y 2z 1 k     , 

 P : x y 2z 5  Q :   x y 2z 1

u     , 

  n 1 3; k;1 

  n k;1 2;   u n u n            

   

6

, ; ;

un n  k  k  k 

  

1 2; ; 

P

n   

, P

u n

    u n , P0

2

3 11

Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  Q : 

   

     

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1 Phương pháp

Bước 1:  Xác định   

Bước 2:  Xác định 1 vectơ chỉ phương   của đường thẳng   

Bước 3:  Áp dụng cơng thức, ta có: 

o Phương trình tham số của  

o Phương trình chính tắc của  

2 Một số toán minh họa

Bài toán 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng   và 

. Viết phương trình:  

a) tham số của đường thẳng           b) chính tắc của đường thẳng   

Lời giải:

a) Đường thẳng   qua   và có 1 vectơ chỉ phương  , có phương trình tham số 

là:   

b) Đường thẳng   qua   và có 1 vectơ chỉ phương  , có phương trình chính tắc 

là:   

Chú ý: Nếu đề yêu cầu viết phương trình đường thẳng ta viết phương trình tham số hay phương trình tắc đường thẳng

0

P

u n

    2

0

6 3 7

3

k

k k k k k

k

  

           

  

 

0 0; 0;

M x y z d

 1; ;2 3

a a a a d

0

: ( )

x x a t

d y y a t t R

z z a t

  



  



   

 

0 0

1

1

0

d: x x y y z z ; a a a, ,

a a a

  

  

1

2

1

: x y z

  



2

2 :

x t

y t

z t

   

    

  

1

 2

1

 M1 0; ;  u1 2; ; 

1 2

x t

y t

z t

   

   

  

1

 N2;1 0;  u2;1 3; 

1

2

y

x  z

 

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm  ,  ,  , 

;  đường thẳng thẳng  ;  mặt  phẳng    Viết phương 

trình của đường thẳng   trong mỗi trường hợp sau: 

a) Qua   và có 1 vectơ chỉ phương    b) Qua 2 điểm     

c) Qua  và song song với trục tung.  d) Qua   và song song với     

e) Qua   và vng góc với    f) Qua   và vng góc với   

Lời giải:

a) Đường thẳng d qua   và có 1 vectơ chỉ phương  , có phương trình tham số 

là:   

b) Đường thẳng d qua   và có 1 vectơ chỉ phương  , có phương trình tham 

số là:   

c) Đường thẳng   qua   và song song với trục Ox nên nhận   làm 1 vectơ 

chỉ phương, có phương trình tham số:   

d) Đường thẳng   đi qua điểm   Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   Ta 

có:    có  1  vectơ  chỉ  phương  là    Vậy  phương  trình  chính  tắc  của  đường 

thẳng   là:   

e) Đường thẳng   đi qua điểm   Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến là   

Đường thẳng   vng góc với   nên nhận   làm 1 vectơ chỉ phương. Vậy phương 

trình tham số của đường thẳng   là:   

f) Đường thẳng   đi qua điểm   Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến là   

Đường thẳng   vng góc với   nên nhận   làm 1 vectơ chỉ phương. Vậy phương 

trình chính tắc của đường thẳng   là:   

2 0; ; 1

A  B2 3; ;3 C1 4; ; 

 1; ; 

D  1

2 :

x t

y t

z t

  

    

  

  : 3x5y z  1

d

A u  5; ;  B C,

 

0 3; ;

M C 1

B Oxz D  

2 0; ; 1

A  u  5; ; 

2

1

x t

y t

z t

   

 

    

2 3; ; 3

B  BC   1 7; ; 



2

3

x t

y t

z t

   

  

    

d M01 3; ; Ox i1 0; ; 

1

x t

y z    

    

d C1 4; ;  1 u1 2; ; 



1

/ /

d   d u1 2; ; 

d

1

y

x  z

 



d B2 3; ;3 Oxz j 0 0; ; 

d Oxz j( ; ; )0

d

2 3

x

y t

z   

      

d D1 1; ;    n3 5; ;1

d   n3 5; ;1

d

3

y

x  z

 

Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm  ,  ,  , 

;  các  đường  thẳng  thẳng  ,  ;  các  mặt  phẳng 

,    Viết  phương  trình  của  đường  thẳng    trong  mỗi 

trường hợp sau: 

a) Qua   và vng góc với các đường thẳng   

b) Qua B và vng góc với đường thẳng  và trục    

c) Qua O và song song với 2 mặt phẳng   

d) Qua  , song song với   và vng góc với   

e)   là giao tuyến của hai mặt phẳng   

Lời giải:

a) Đường thẳng   qua   Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương  ; 

. Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của   Ta có:   chọn   

Vậy phương trình chính tắc của   là    

b) Đường thẳng   qua  ;   Gọi   là 1 vectơ chỉ 

phương của   Ta có:  chọn    

Vậy phương trình tham số của   là    

c) Đường thẳng   qua  ;   là 1 vectơ pháp tuyến của     là 1 vectơ 

pháp tuyến của  Ta có:   

Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của   Ta có:   chọn   Vậy phương trình tham số 

của   là    

d) Đường thẳng d qua  ;   là 1 vectơ pháp tuyến của     là 1 vectơ 

chỉ  phương  của  Ta  có:  Gọi    là  1  vectơ  chỉ  phương  của    Ta  có: 

 chọn   Vậy phương trình chính tắc của   là    

1 1; ; 

A  B2;1 3;  C1 2; ; 

 1; ; 

D   1

2 : x t y t z t             1

2 1

:x y z

  

  : x2y z  1   : x y 2z 3 d

A 1,AB

AC Oz

   , Oyz

C   2

d     , 

d A1 1; ;  1 u11 1; ;  AB1 4; ; 



 1

; ; ; u AB           

u d u u1

u AB           

 u2 1; ; 

d 1

2

y

x  z

 

d B2;1 3;  AC0 3; ; ; k0 1; ; AC k, 1 0; ; 

 

   

u

d u AC

u k           

 u1 0; ; 

d x t y z          

d O0 0; ;  n11 2; ;1   ; i 1 0; ;  

Oyz; n i1,  0; 1 2; 

 

u d u n1

u i           

 u0 2; ; 

d x y t z t        

1 2; ; 

C n21 2; ; 



  ; u2 2 1; ; 

2;

 n u 2, 2   ( 3; ;1) u d

2 u n u u        

  u ( ; ;1 1 ) d 2

1

y

x  z

 

e) Chọn điểm trên giao tuyến  : 

Xét hệ phương trình:   Cho  , giải được:   

Xác  định vectơ chỉ phương của  : Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của d. Ta có:   chọn 

. Vậy phương trình tham số của  :   

Bài tốn 4: Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ    viết  phương  trình  đường  thẳng    đi  qua 

 cắt và vng góc với đường thẳng   

Lời giải:

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

Gọi   Ta có:   

Suy ra:   Đường thẳng   đi qua   và có 1 vectơ chỉ phương là   nên 

có phương trình tham số là:   

Bài tốn 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ   cho điểm   và d:  

và mặt phẳng (P):  Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song 

với (P) và cắt đường thẳng d. 

Lời giải:

Cách 1:

Bước 1: Xác định điểm   

Ta có:   Gọi   

Lúc đó:   Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp   

 

Bước 2: Đường thẳng   

Vì vậy   

d

2

2 (I)

x y z

x y z

     

    

0

z

2 x y        

5 0; ;

A d

  

d u

2 u n u n            

1, 5; 3;

un n     d

5 x t y t z t             , Oxyz d

2; 1; 

A  :

x t y t z t           

 u1 1; ; 

Bd  B  B t( ; 1 t t; ); AB(t2;t t; 1); uABu AB 0 t

   

1 1; ; 

B  d A2;1 1;  AB1 0; ; 

 1 x t y t z            ,

Oxyz A3 2; ;4

3 2

y

x  z

 



3x2y3z 7

mp

: / / ( )

B d   AB P

2 2 :

x t

d y t

z t            

2 ; 2; 

B  t   t  t d

3 2; 2; 5 AB t  t t



3; 2; 3

P

n   

     

3 2

7

mp

/ / ( ) P

AB P  AB n  t   t  t   t   t

AB  

32 40 19 ; ;

B  

 

11 54 47 ; 11;

AB  

N M

d1

d2

d

P

Đường thẳng   đi qua A và có 1 vectơ chỉ phương là   nên có phương 

trình tham số:   

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua   và song song với mp(P): 

Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q),   

Bài tốn 6: (Khối A- 2007) Trong khơng gian với hệ tọa độ  viết phương trình đường thẳng 

d  vng  góc  với  mp(P),  đồng  thời  cắt  cả  hai  đường  thẳng  ,    với 

Lời giải:

Cách 1:

Bước 1: Viết phương trình mp    chứa d1 và vng góc với  P  

Bước 2: Viết phương trình mp    chứa d2 và vng góc với  P  

Bước 3: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của mp    và mp     

Kiểm tra sự cắt nhau. (mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương)   

Cách 2:

Bước 1: Viết phương trình mp    chứa d1 và vng góc với  P  

Bước 2: Xác định giao điểm A của d2 và mp    

Bước  3: Đường thẳng cần tìm đi qua A và vng góc với mp P  

Kiểm tra sự cắt nhau. (Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương). 

Cách 3:

Sử dụng kỹ khái niệm “thuộc” (Tìm giao điểm M, N)

 Ta có:   

Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là   

Gọi   Ta có:  

.  

AB

  u11 54 47; ; 

3 11 54 47

x t

y t

z t

   

  

    

A

AB  

,

Oxyz

1

d d2

1

1

1

1

2 1

3

;

: : ; ( ) :

x t

y

x z

d d y t P x y z

z    

  

       



  

1

2

1

2

2

; d

: :

x m x t

d y m y t

z m z

     

 

   

 

     

 

7 4; ; 

P

n  

1,

N d d M d d N2m;1m; 2 md1, M 1 1t; t;3d2

2 1; ;5 

NM t m t m m

     



B Q

P A

P



 d

d2

d1

d1

d2 d

A



Lúc đó ta có   và  cùng phương   

. 

Đường thẳng  , qua   và có 1 vectơ chỉ phương là  , có phương trình 

tham số:   

Bài tốn 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp  và mặt cầu   có 

phương trình như sau:   

  a) Chứng minh:   cắt   theo một đường trịn có tâm   

  b) Gọi   là tâm mặt cầu   Viết phương trình đường thẳng   

Lời giải:

a) Mặt cầu   có tâm  , bán kính   Ta có:   cắt   theo một 

đường trịn có tâm   

b) Đường thẳng   đi qua   và nhận VTPT của   là   làm vectơ chỉ phương nên 

có phương trình chính tắc:   

     

NM

 P

n

4

2

0 15 31

1

5

, P

t m

t

AB n t m

m

t m

   

   

 

      

  



   



  

2 0; ; 1,  5; 3; 

N M

   

dNM N2 0; ;1 nP 7 4; ; 

2

1

x t

y t

z t

   

 

    

  ( )S

  5 0  2 2 12 25

:x y z , ( ) :S x y z

         

  ( )S H

I ( )S IH

( )S I( ;2 0 ; ) R5

3 ( ,( ))

d I   R   ( )S H

IH I( ;2 0 ; )   n( ; ; )1 1

1

1 1

y

x  z

III XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Dùng cách phần lý thuyết

 

Bài toán 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: 

a)      b)   

   

Lời giải:

a) Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Ta có:  , ,  

b) Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Ta có:  , ,  

c) Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Ta có:  , ,  chéo nhau. 

d) Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Ta có:  , ,  cắt nhau. 

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ   xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng 

sau theo m với  và   

Lời giải:

Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

Ta có:   do ( ) và   

1

2

2

3

; / / / : : x t x t

y t y t

z t z t

                       2 5

1

3 ; : : x t y x z y t z t                     2 2

1

1

c) : ; :

x t y x z y t z t                    

1 2

1

d) ;

/ / / : : x t x t

y t y t

z t z t

                       

 M1 3; ;  a1 2; ;1

2

 N2 5; ;  b2 4; ;2  , a b        

1 2; ; 

MN



7 1

, ; ; / / a MN             

 M3 5; ;  a  1 2; ; 

2

 N2 3; ;  b  3; ;6  , a b        

 1 2; ; 

MN  

 , a MN            

 M1 2; ;3 a1 3; ;1

2

 N2;2 1;  b  3; ; 

10 7

, ; ; a b          

1 4; ; 

MN 



1

35

, ,

a b MN

           

 M0;1 0;  a2 1; ; 

2

 N1 1; ;  b3 2; ;  

4 5

, ; ; a b           

1 1; ; 

MN 



1

0

, ,

a b MN

           , Oxyz : m x mt

d y m t

z m t

            / / / / : m

x m t

d y mt

z m t

           m

d A1; ;m1m d2

/ m

d B m ; ;0 1m u2   2; ;m1

 

1, 2 ;6 ;

u u m m m

      

 



 

4

m   m ABm 1; m;0

Xét   

TH 1:   và   cắt nhau. 

TH 2:   và   chéo nhau. 

Bài tốn 3: Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ    cho  hai  đường  thẳng    và 

. Xác định a để:  

  a)   vng góc với          b)   song song với   

 

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

a)   vng góc với   

b)   song song với   cùng phương  

Kiểm tra lại: Với   thì   và   

Chọn  , thấy   (do hệ phương trình   vơ nghiệm) 

Vậy khi   thì   song song với   

Bài tốn 4: Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ    cho  hai  đường  thẳng    và 

. 

  a) Chứng minh   và   cùng thuộc một mặt phẳng. 

  b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa   và   

    

1,

u u AB m m m m m m

               2

, 1

4

m

u u AB

m                  m d d/m

1

2

, 1

4

m

u u AB

m                  m d d/m

, Oxyz 1 : x t

d y at

z t           / / / : 2 x t

d y a t

z t           

d d2 d1 d2

1

d u11; ; 1a  

2

d u2 2; 4; 2 

1

d d2 u1u2u u 1 202 4 a20a 1

1

d d2u u1, 2  u u 1, 2   2a4; 0; 00a2

2

a 1

5

:

2

x t

d y t

z t           / / /

:

2

x t

d y t

z t           

5; 0; 2

A d A d 2

/ / / 2 2

t t t           

a d1 d2

, Oxyz 1 : x t y t z t            / / / 2

:

5 x t y t z t            

 2

1

Lời giải:

Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

a) Ta có:   và   

Xét   Từ đó suy ra,   và   song song, tức là   và   cùng thuộc một 

mặt phẳng. 

b) Gọi   là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.  

Ta có:  chọn   

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua   và có 1 vectơ pháp tuyến là   

(P):   

Bài tốn 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ   cho hai đường thẳng:   

và   

  a) Chứng minh   và   chéo nhau. 

  b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa   và song song với   

Lời giải:

Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

a) Ta có:   và   

Xét   Từ đó suy ra,   và   chéo nhau. 

b) Gọi   là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.  

Ta có:  chọn   

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua   và có 1 vectơ pháp tuyến là   

(P):   

Bài tốn 6: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ    cho  2  đường  thẳng  và 

. 

1

 A1; 0; 3 u11; 2; 1 

2

 B2; 3; 5 u2 2; 4; 2 

1,

u u

  

 

  

1; 3; 2

AB 

 

1

, 7; 3;

AB u

     

 

  

1

 2 1 2

P n P P n AB n u          

  nP AB u, 1  7; 3;  



 

1; 0; 3

A   nP  7; 3;  

     

7 x y z 7x 3y z 10

            

,

Oxyz 1:3 1

7

y

x  z

 

  

2

8

:

8 x t y t z t            

 2

1

 2

1

 A3;1;1 u1  7; 2; 3

2

 B8; 5; 8 u2 1; 2; 1 

 

1, 8; 4; 16

u u

      

 

  

5; 4; 7 AB



1, 40 16 112 168

u u AB

        

 

  

1

 2 P n P P n u n u        

  nP  u u1, 2    8; 4; 16   

  

3;1;1

A   nP    8; 4; 16 

     

8 x y 16 z 2x y 4z 11

           

,

Oxyz

8

:

8

x t

d y t

z t            :

7

y

x z

  a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng   chéo nhau. 

  b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với  và   

  c) Viết phương trình đường vng góc chung của 2 đường thẳng   và   

Lời giải:

Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

a) Ta có:   và   

Xét   Từ đó suy ra,   và   chéo nhau. 

b) Gọi   là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.  

Ta có:  chọn   

Lúc đó,  mặt phẳng (P) đi qua   và có 1 vectơ pháp tuyến là  có phương 

trình: 

(P):   

c) Gọi   là đường vng góc chung của  và  ,   

Ta có:  , 

. 

 

. 

Vậy  đường  thẳng    đi qua  điểm  và  có  1  vectơ  chỉ phương   nên có 

phương trình chính tắc là   

Bài tốn 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ   cho 4 đường thẳng:  

.  a) CMR: Hai đường thẳng   cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Viết phương trình   mặt phẳng đó.  b) CMR: Tồn tại một đường thẳng   cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Viết phương trình   chính tắc của đường thẳng    Lời giải:

a) Đường thẳng   qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương là   

1, d d

1

d d2

1

d d2

1

d A8; 5; 8 u11; 2; 1 

2

d B3;1;1 u2   7; 2; 3

 

1, 8; 4;16

u u

   

 

  

 5; 4; 7

AB   



1, 40 16 112 168

u u AB

        

 

  

1

d d2

P n P P n u n u        

  nP  u u1, 2  8; 4;16 

  

0; 0; 0

O nP 8; 4; 16 ,

     

8 x0 4 y0 16 z0 02x y 4z0

d d1 d2 dd1 M d, d2 N

  

 1 (8 ; ; 8  ),  2 (3 ;1 ;1 )  

M d M t t t N d N t t t

 5; 2 4; 7

MN  t t t t t t

                                         

1 1

2

4

49 35 4 21

u MN u MN t t t t t t

t t t t t t

u MN u MN

     

6 6

7; 3; , 3;1;1 4; 2;

62 6

t t t

M N MN

t t t

                        

d MN N3; 1;1 u2;1; 4

     :

2

y x z d , Oxyz , , ,

1

2

1 2

: : : :

1 2 4 1 2

y y y y

x z x z x z x z

d     d     d    d    

  

1, d d





1

d A1; 2; 0 u11; 2; 2 

Ta có:   và   Xét   Từ đó suy ra,   và   song song, 

tức là   và   cùng thuộc một mặt phẳng. 

Gọi   là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm. Ta có:   chọn   

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua   và có 1 vectơ pháp tuyến là   

(P):   

b) Ta có   

o Tọa độ giao điểm C của   và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:   

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

o Tọa độ giao điểm D của   và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:   

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa u cầu bài tốn là đường thẳng   

Đường thẳng   qua   và có 1 vectơ chỉ phương là  , có phương trình 

 

Bài tốn 8: Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ    cho  điểm    và  2  đường  thẳng 

;   Chứng minh A,   và   cùng thuộc một mặt phẳng. 

Lời giải:

o Lập phương trình mp(P) chứa A và  : 

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

1,

u u

  

 

  

1; 0; 0 AB



 

1, 0; 2;

u AB           

d d2

1

d d2

P

n P

P n u n AB           

 nP u AB1, 0; 2;   



 

1; 2; 0

A   nP 0; 2;   

     

0 x1 2 y2 2 z0 0y z 20

,

3

2 2

: :

1

x m x n

d y m d y n

z m z n

                   d (1) (2) (3) (4) 2 x m y m z m y z              

1

2 1; ;

2 2

m  m C 

  d (1) (2) (3) (4) 2 2 x n y n z n y z                 

1 4; 2;

n  n D

CD

 

 D4; 2; 0 2; 1; 1

3

u CD 

 

4

:

x t y t z t             ,

Oxyz A1; 1;1 

d1: x t y t z t            d : 5 x t y t z t                 

d d2

1 d

Chọn   Ta có:   

Gọi   là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.  

Ta có:  chọn   

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua   và có 1 vectơ pháp tuyến là   

(P):   

o Chỉ rõ   Ta có   và   

Từ đó suy ra   

Kết luận: Mặt phẳng (P):   là mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán. 

   

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1 Phương pháp:

Cho đường thẳng   và mặt phẳng   

Xét hệ phương trình  (1) 

o Nếu (1) vơ nghiệm thì   

o Nếu (1) có nghiệm duy nhất  thì  cắt   tại   

o Nếu (1) có vơ số nghiệm thì   

Chú ý: Nếu VTCP phương với VTPT . 

2 Một số toán minh họa

Bài tốn 1: Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ    và  3  đường  thẳng  ; 

;  và mặt phẳng   

Xét vị trí tương đối của: 

a)  và        b)   và       c)   và   

0; 1; 0

B  d AB  1; 0; 1 

 P n P P n AB n u          

  nP u AB, 2; 4;  

 



 

1; 1;1

A  nP2; 4;  

     

2 x1 4 y1 2 z1 0x2y z 20

 

mp

2

d  P 4; 3; d2 mp( )

5

C   C P

 

d mp

1

; ; ( )

5

D  C P

 

 

mp

2

d  P

2

x y z  

0

0

0

: ( )

x x a t

d y y a t t R

z z a t

               

(P):Ax By Cz D

     

0

0

0

0

0

x x a t

y y a t

A x a t B y a t C z a t D

z z a t

Ax by Cz D

                         / /( ) d P  0

t t d ( )P M x 0a t y1 0; 0a t z2 0; 0a t3 0

( )

d P

d ( )P d( )P

,

Oxyz d1:

3 x t y t z t                     

d :

x t y t z t      d3:

1

y

x z ( ) :P x y z   5 0

a) Xét hệ phương trình:  , ta thấy hệ vơ nghiệm. Suy ra   

b) Xét hệ phương trình:  , Suy ra  cắt   tại điểm   

c) Xét hệ phương trình:  , ta thấy hệ có vơ số nghiệm. Suy ra   

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  :   và đường 

thẳng   

  a) Xác định giao điểm A của đt   và mặt phẳng   

  b) Viết phương trình đường thẳng   qua A nằm trong mp  và vng góc với   

Lời giải:

 a) Ta có:   

Tạo độ giao điểm A của   và   là nghiệm của hệ phương trình:   

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

b) Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến là   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của d. Ta có:  chọn   

Đường thẳng d qua   và có 1 vectơ chỉ phương là  , có phương trình: 

d:                     x t y t z t

x y x

d1/ /( )P

                             

1

5

5

x t t

y t x

z t y

x y x z

d2 ( )P M3; 5; 3 

                   x t y t z t

x y x

 d3 ( )P

  2x y 3z 4

3 : y x z        

d   

1

:

x t y t z t                 (1) (2) (3) (4)

2

x t

y t

z t

x y z

                       

2  1 2t   3 4t 3t403t 3 0  t A 1;1;1

  n 2; 1; 3 



 u 2; 4; 1

d

u d

d u n u u          

  ud  n u,     13; 4;10

  

1;1; 1

A ud   13; 4;10

Bài tốn 3: (DỰ BỊ D-2006) Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ    cho  mặt  phẳng  (P):   và 2 đường thẳng 

  a) Chứng minh:   và   chéo nhau. 

  b) Viết phương trình đường thẳng   nằm trên mp(P), đồng thời cắt   và   

Lời giải:

Bước 1: Xác đinh giao điểm A d mp 1  P

Bước 2: Xác định giao điểm B d mp 2  P Kết luận: Đường thẳng  cần tìm đường thẳng AB

Trình bày:

Ta có:   

o Tọa độ giao điểm C của   và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:   

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

o Tọa độ giao điểm D của   và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:   

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa u cầu bài tốn là đường thẳng   

Đường thẳng   qua   và có 1 vectơ chỉ phương là  , có phương trình 

 

,

Oxyz

4x3y11z26 0 1: 1; 2:

1 1

y y

x z x z

d     d    



1

d d2

 d1 d2

1

4

: ; :

1 3

x t x m

d y t d y m

z t z m

     

 

  

 

      

 

1 d

(1) (2) (3) (4)

1

4 11 26

x t

y t

z t

x y z

   

   

   

    



 

23t46 0  t 2C 2; 7;

2 d

(1) (2) (3) (4)

3

4 11 26

x m

y m

z m

x y z

   

  

  

    



 

23m23 0 m  1 D 3; 1;1

CD

 

 C2; 7; 5 CD5; 8; 4  



2

:

5

x t

y t

z t

    

   

V HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1 Phương pháp

Cho điểm   và đường thẳng   

Cách 1:

Gọi  là hình chiếu của   lên   Ta c ó   

Tính  ;  

Cách 2:

Gọi   là hình chiếu của   lên   

o Viết phương trình mặt phẳng   qua   và vng góc với   

o Khi đó tìm tọa độ điểm   thỏa   

2 Bài tốn minh họa

Bài tốn : Trong  khơng  gian  với  hệ  tọa  độ    cho  điểm    và  đường  thẳng 

. 

  a)Tìm tọa độ điểm   là hình chiếu vng góc của điểm   lên đường thẳng   

  b)Tìm tọa độ điểm   đối xứng với   qua đường thẳng   

Lời giải:

a) Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

Gọi   là hình chiếu vng góc của điểm   lên đường thẳng    

Ta có:   

   

b) Ta có: 

 đối xứng với   qua đường thẳng   là trung điểm của đoạn thẳng   

. 

Vậy   

   

 A; A; A

A x y z

0

0

0

: ( )

x x a t

d y y a t t R

z z a t

  



  



   

H A d H d H x 0a t y1 ; 0a t z2 ; 0a t3 



AH      

   

? ?

d d

AH u u AH t H

H A d

( )P A d

H  H  d ( )P

,

Oxyz A1; 0; 0

   

   

  

2

:

x t

y t

z t

H A 



A A 

 u1; 2;1

H A 

2 ;1 ; ; 1 ;1 ; 

H  H t  t t AH t  t t



1 3 1

. 0 ; 0;

2 2 2

u AHu AH   t H  

 

 

 



A A  H AA



 

  

 

 

 





 

   

   

 



 

 

1 3

2 2 2

0

0 0

2

1 0

1

2 2

A

A A

A A A

x

x y

y z z

2; 0; 1

A 

A





u



A H

A H

d

 d

u

A H

 d

u d

VI HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG 1 Phương pháp

Cho điểm   và mặt phẳng   

Gọi   là hình chiếu của   lên   

o Viết phương trình đường thẳng   qua   và vng góc với   

o Khi đó tìm tọa độ điểm   thỏa   

2 Một số toán minh họa

Bài toán 1: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ    cho  điểm    và  mặt  phẳng   

  a)Tìm tọa độ điểm   là hình chiếu vng góc của điểm   lên mặt phẳng   

  b)Tìm tọa độ điểm   đối xứng với   qua mặt phẳng   

Lời giải:

a) Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến là   

Gọi   là hình chiếu vng góc của điểm   lên mặt phẳng   

o Đường thẳng   qua   và vng góc với   nhận   làm vectơ chỉ phương 

nên có phương trình   

o ; 

. Vậy   

b) Ta có:   đối xứng với   qua   là trung điểm của đoạn thẳng   

Áp dụng cơng thức tọa độ trung điểm  

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ   mặt phẳng   và mặt cầu    

  a) Chứng minh mặt phẳng   cắt mặt cầu   theo một đường tròn   

  b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường trịn   

Lời giải:

a) Mặt cầu   có tâm  , bán kính   

 cắt   theo một đường trịn   

b) Gọi   lần lượt là tâm và bán kính của đường trịn   

o Áp ụng định lý Pitago ta được   

 M; M; M

M x y z ( ) :P Ax By Cz D   0

H A mp P( )

d A mp P( )

H  H  d ( )P

,

Oxyz M1; 4; 2

   

( ) :P x y z 1 0

H M ( )P



M M ( )P

( )P n1;1;1

H M ( )P

d M1; 4; 2 ( )P n1; 1;1

   

      

1

x t

y t

z t

1 ; 4 ; 2 

H d H t t t

( )       1 4 2 1 0  2

H P t t t t H1; 2; 0



M M ( )P H MM

 3; 0; 2 M

  

,

Oxyz ( ) :P x y z  5 0

      

2 2

( ) :S x y z 2x 4y 2x 10 0

( )P ( )S ( )C

( )C

( )S I1; 2;1  R4

 

 ; 

d I P  R P ( )S ( )C

,

H r ( )C

 

 

2 , 13

r R d I P  

 

M H



( )P

n d

P



M

R I

r H

( )C ( )S

P

M H



( )P

n d

o Tìm tọa độ tâm đường tròn

Phân tích: Ta thấy hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng

Trình bày:  

Đường thẳng   đi qua   và nhận VTPT của   là   làm vectơ chỉ phương 

nên có phương trình tham số là:   

;   Vậy   

Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ   mặt phẳng   và mặt cầu    

  a) Chứng minh mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu   

  b) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng   và mặt cầu   

Lời giải:

a) Mặt cầu   có tâm  , bán kính   

Ta có:   cắt   theo một đường trịn   

b) Gọi   tiếp điểm của mặt phẳng   và mặt cầu   

Phân tích: Ta thấy hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng Trình bày:

Đường thẳng   đi qua   và nhận VTPT của   là   làm vectơ chỉ phương 

nên có phương trình tham số là:   

;   Vậy   

Bài tốn 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết các phương trình hình chiếu vng góc của 

đường  thẳng    trên  mỗi  mặt  phẳng  sau:  mp(Oxy),  mp(Oyz),  mp(Oxz)  và 

. 

Lời giải: 

Ta có:   

* Trên mặt phẳng (Oxy):

o Ta chọn   

o Hình chiếu vng góc của A trên mp(Oxy) là   

H ( )C

H I ( )P

IH I1; 2;1   P n1; 1; 1 

   

   

   

1

x t

y t

z t

1 ; ;1 

HIHH t  t t H( )P        1 t t t 0  t H0; 3; 2 

,

Oxyz ( ) :P x y z   1 0

      

2 2

( ) :S x y z 2x 4y 2x 10 0

( )P ( )S

( )P ( )S

( )S I1; 2;1  R4

 

 ; 

d I P  R   ( )S ( )C

H ( )P ( )S

H I ( )P

IH I1; 2;1   P n1;1; 1 

   

   

   

1

x t

y t

z t

1 ; ;1 

HIHH t  t t H( )P          1 t t t t H2; 1; 0 

2

:

2

y x

d     z

  :x y z  70

1

:

3

x t

d y t

z t

   

   

   

1; 2; 3 , 3;1; 4

A  d B d

 

1 1; 2;

A 

I

H

( )S

Hình chiếu vng góc của B trên mp(Oxy) là   

Lúc đó, hình chiếu   của d trên mp(Oxy) là đường thẳng   

Đường thẳng   qua   và có 1 vectơ chỉ phương là  , có phương trình: 

   

Hồn tồn tương tự, độc giả tự giải yêu cầu mp(Oxz), mp(Oyz)

* Trên mặt phẳng :

- Ta chọn   (Sử dụng thuật tốn hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng) 

o Đường thẳng d đi qua  , vng góc với   nên d nhận   làm 1 vectơ chỉ 

phương, có phương trình   

o Tọa độ hình chiếu   của A là nghiệm của hệ phương trình:   

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

- Để ý rằng, d khơng song song với mp  nên tọa độ giao điểm  là nghiệm của hệ phương trình: 

 

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

Lúc đó, hình chiếu   của d trên mp  là đường thẳng   

Đường thẳng   qua   và có 1 vectơ chỉ phương là  , có phương trình 

. 

 

1 3;1;

B /

d A B1 1

/

d A11; 2; 0  A B1 12; 3; 0



/

1

:

0

x t

d y t

z           

  :x y z  70

1; 2; 3

A  d

1; 2; 3

A    n 1;1;1



1

:

3

x t

d y t

z t             / A (1) (2) (3) (4) x t y t z t

x y z

                 

 

1

3

t t t t t

             / 8; 14;

3 3

A  

   

 

  B/

(1) (2) (3) (4) 2 3 x t y t z t

x y z

                 

 

1 2 3

6

t t t t t

             / 23; ;

B  

  

 

/

d   A B/ /

/

d / 8; 14;

3 3

A   

 

/ / 0; ;5

6

A B   

   / : 14 x

d y t

Nhận xét: Trong cách giải trên, lấy thêm giao điểm (trong trường hợp cắt nhau) d cho nhanh gọn, cịn thơng thường (và dễ hiểu) chọn điểm giải tương đối dài dịng! Thuật tốn sau:

o Xác định A’ là hình chiếu của A trên   

o Xác định B’ là hình chiếu của B trên   

o Đường thẳng   

 

 

Bài tốn 5: (HVBCVT-2000) (Bài tốn hình chiếu theo phương bất kì) 

 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  và hai đường thẳng: 

     và   

Viết phương trình hình chiếu của   theo phương   lên mặt phẳng   

Lời giải:

Phân tích: Thực hồn tồn tập trên, khác dựng đường thẳng d song song với mà thơi!

Ta có:   và    

+ Chọn   

-  Đường  thẳng  d  đi  qua  , song song với nên d nhận    làm  1  vectơ  chỉ 

phương, có phương trình   

- Tọa độ hình chiếu   của A là nghiệm của hệ phương trình:   

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

. 

-  Đường  thẳng  d  đi  qua  , song song với nên d  nhận    làm  1  vectơ  chỉ 

phương, có phương trình   

 

 

 

/ / /

d A B

d'

A' B'

B A

d



  : x y z  3 0

1

1

3

:

7

y

x  z

  



3

7

:

1

y

x  z

  



2

 1   .

1



1

3

:

1

x t

y t

z t

   

   

   

2

7

:

9

x t

y t

z t

   

   

   

7; 3; 9 2, 5; 1;11

A   B   

7; 3; 9

A 1 u1   7; 2; 3



7

:

9

x t

d y t

z t

   

      

/

A

(1) (2) (3)

(4) 7

3

3

x t

y t

z t

x y z

   

   

  

     

 

7 7 t 2 t  9 3t3 0  2t220 t 11

 

/ 70; 25; 42

A

 

5; 1; 11

B  1  

1 7; 2;

u  



5

:

11

x t

d y t

z t

   

   

  

- Tọa độ hình chiếu   của A là nghiệm của hệ phương trình:   

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   

. 

Lúc đó, hình chiếu   của   trên mp  là đường thẳng   

Đường thẳng   qua   và có 1 vectơ chỉ phương là  , có phương trình 

. 

             

VII KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH

GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1 Kiến thức vận dụng

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Cho điểm   và đường thẳng     đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Ta có:   

 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:

Cho 2 đường thẳng chéo nhau   

o  đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

o  đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

 

Ta có:   

Đặc biệt: Nếu thì ;

2 Một số toán minh họa /

A

(1) (2) (3) (4)

1 11

3

x t

y t

z t

x y z

   

   



  

     

 

5 7 t  1 2t 11 3 t3 0  2t180 t

 

/ 58;17; 38

B

 

/

d 2   A B/ /

/

d A/70; 25; 42 A B/ / 12; 8; 4  

/

70 12

: 25

42

x t

d y t

z t

   



 



  



A  A  M u

 

,

;

u AM d A

u

 

 

 

 



,

d d

d M u



d M u

 

,

;

,

u u MM d d d

u u

 

 

 

 



 

 

  

 

/ / '

  d ; 'd A ; '  A 

A





u

M

M



d



u d



Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm  hai đường thẳng: 

   và   

a) Chứng minh 2 đường thẳng   và   chéo nhau.  b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng   và   

c) Tính khoảng cách từ điểm   đến đường thẳng   

Lời giải:

a) Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

;  ;   

Suy ra:   và   chéo nhau. 

b)   

c) Ta có:  ;   

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng  ,   và mặt cầu   có phương 

trình  ;   và   

a) Chứng minh đường thẳng   tiếp xúc với mặt cầu   tại tiếp điểm   Tìm tọa độ điểm   

b) Chứng minh đường thẳng   cắt mặt cầu   tại 2 điểm phân biệt   Tính độ dài đoạn AB 

và tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng   

Lời giải:

Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   đi qua điểm   và có 1 vectơ chỉ phương   

Mặt cầu   có tâm   và bán kính   

a) 

 +)   

Suy ra   tiếp xúc với mặt cầu   tại tiếp điểm   

 +)   

3; 1; 2 A          

: 2

3

x t

d y t

z t             

:

1

x t

d y t

z

d d

d d

A d

d M1; 2; 0 u1; 2; 3



d M1; 3;1 u 1; 2; 0 

 

, 6; 3; 0

u u

   

 

  

0;1;1 MM 

          

,

u u MM

d d

 ;  ,

5 ,

u u MM d d d

u u                   

 2;1; 2

AM  



 

, 7; 8;

u AM

    

 

 

 ;  , 122 427

14 14

u AM d A d

u           

d d ( )S

         

: 2

2

x t

d y t

z t              

:

x t

d y t

z t

 2 2 20

( ) :( 1)

9

S x y z

d ( )S H H



d ( )S A B,

AB

d M1; 2; 0 u1; 2; 2



d M1;1; 0 u 2; 2;1 

( )S I1; 0; 0 

3

R

0; 2; ; ,  4; 0; 2  ;  20

3

IM u IM   d I d   R

 

  

d ( )S H

1 ; 2 ; ;  ; 2 ; 

H d H t  t t IH t  t t



I

H ( )S

d

Ta có:   Vậy    b) 

+)   

Suy ra   cắt mặt cầu   tại 2 điểm   

 

+) Gọi   là trung điểm của đoạn   

. 

Ta có:   Vậy   

   

VIII GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1 Kiến thức vận dụng

 Góc hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng   có các vectơ chỉ phương lần lượt 

là  ,  

Ta có:  ,  

 Góc đường thẳng mặt phẳng

Cho đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương   

Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến   

Ta có:  ,  

2 Một số toán minh họa

Bài toán 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng  ,   và mặt phẳng   có 

phương trình  ;  và   

a) Tính góc giữa hai đường thẳng  ,   

b) Tính góc giữa đường thẳng   và mặt phẳng   

Lời giải:

     

 

 

9

u IH u IH t 10; ;

9 9

H  

 

0;1; ; ,  1; 0; 2  ; 

3

IM u IM   d I d  R

 

  

d ( )S A B,

2 2 2 2 15

3

AB AK R IK

K ABIK d

1 ;1 ; ; 2 ;1 ; 

K d K  t  t t  IK t  t t 



       

 

9

u IK u IK t 13 2; ;

9 9

K 

 

 ,

d d  ; ; 

u a b c ua b c  ; ; 

    2 2 2 2 2 2

cos ; ' cos ,

a a b b c c

d d u u

a b c a b c

              

 

0 d d; ' 90

d ua b c; ; 

( )P nA B C; ; 

 

    2 2 2 2 2 2

sin ; cos ,

a A b B c C

d P u n

a b c A B C

 

 

   

 

 

 

0 d P; 90

d d ( )P

          : x t

d y t

z t               : x t

d y t

z t

   

( ) :2P x 3y z

d d

d ( )P

I

K ( )S

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương   

Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến   

a)   

b)   

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng  ,   và mặt phẳng   có 

phương  trình  ;    Viết  phương  trình  đường  thẳng    đi  qua  điểm 

, vng góc với đường thẳng   và tạo với đường thẳng   một góc   

Lời giải:

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương   

Gọi   là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng   

Ta có   

 

+) Với   Chọn   

Khi đó phương trình tham số của   là   

+) Với   Chọn   

Khi đó phương trình tham số của   là   

 

   

d u1;1; 1



d u 2; 1; 1 

( )P n2; 3;1

     

2 2 2

1.2 1.( 1) 1.1 2

cos ; ' cos , ; ' 61 52

3

( 1) 1 ( 1)

d d  u u        d d  

     

 

 

    42   

sin ; cos , ; 17 59

21 14

d P  u n        d P  

d d ( )P

   

     

1

:

x t

d y t

z t

  

     

  

1

:

2

x

d y t

z t



3; 2; 2

A d d 600

d u1; 1; 1 



d u 0; 2; 2

   2 

; ; ,

v a b c a b c  

          

   

0

u v u v a b c a b c

  22 22 2 22 22 2

cos ; '

0

2

b c b c b

d

c

a b c a b c

   

     



    

0  

b a c a1,c  1 v1; 0; 1 



   

     

3 2

x t

y

z t

0  

c a b a1,b  1 v1; 1; 0 



   

     

3 2

x t

y t

IX XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG 1 Phương pháp

o Điểm   nằm trên đường thẳng   thì   

o Từ điều kiện ta tìm được   

2 Một số tốn minh họa

Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm  , đường thẳng 

, và mặt phẳng   

a) Tìm tọa độ điểm   thộc đường thẳng   sao cho   

b) Tìm tọa độ điểm   thộc đường thẳng   sao cho   

Lời giải:

a)  

Vậy   hoặc   

b)   

Vậy   hoặc   

Bài toán 2: (Đại học khối B – 2008) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm     

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm   

b) Tìm tọa độ điểm   thộc mặt phẳng   sao cho   

Lời giải:

a)  

Gọi   là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   T có:  chọn   

Vậy phương trình mặt phẳng  :   

b) Ta có:   

Do đó:   vng tại   

M

   

  

   

0

0

0

:

x x a t

d y y a t

z z a t

 ; ;  M x a t y a t z a t

 ? ?

t M

2; 1; 3 A

   

     

1

:

x t

d y t

z t

   

( ) : 2P x y 2z

M d AM 11

N d  ,( )

3

d N P 

 

             

 

2 2

(1 ; ; ); 11 ( 1) ( 1) ( 3) 11

2

t

M d M t t t AM t t t

t (1; 2; 0)

M M(3; 4; 2)

1 ; ; ; ( ,( ))

4

t

N d N t t t d N P t

t   

         

  

 1; 0; 2

N   M  3; 2; 4

0;1; , A

2; 2;1 ,  2; 0; 1

B  C 

, ,

A B C

M ( ) : 2P x2y z 30 MAMBMC

2; 3; ,  2; 1; , , 2; 4; 8

AB   AC    AB AC 

 

   



n (ABC)   

  

 

 

n AB

n AC  



(1; 2; 4)

n

(ABC) 1(x0) 2( y1) 4( z2)0x2y4z60

           



2 2

4 14, 1 6, ( 4; 2; 0) 20

AB AC BC BC

   

2 2

Vì   nên   nằm trên đường thẳng vng góc với   tại tâm   đường trịn 

ngoại tiếp   

Ta có   là trung điểm của   

Đường thẳng   đi qua điểm   và nhận   

làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình tham số:    

 

Nhận xét: Câu b làm sau: M(x;y;z) thuộc (P) nên ; MA = MB = MC ta thêm phương trình theo x, y, z Giải hệ phương trình ta tìm x, y, z Cách dễ hiểu Độc giả làm thử

HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng   đi qua điểm A và   

Phương pháp:

+ Đường thẳng   đi qua A 

+ Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

  Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng   đi qua điểm A và   

Phương pháp:

+ Mặt phẳng   đi qua A 

+ Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

* Đặc biệt: Khi    

+ Mặt phẳng   đi qua A 

+ Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

 

Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng   đi qua điểm A và  ,  ,  không song, không trùng với  

Phương pháp:

+ Đường thẳng   đi qua A 

+ Ta có:   

 

 

MA MB MC M ABC I

ABC

I BCI0; 1; 1 

MI I0; 1;1  n1; 2; 4 

  

   

   

1

x t

y t

z t

 ; ;1 ; ( ) 2  2; 3; 

MMIM t   t  t M P  t   t   t   t M 

   

2x 2y z

d d 

d

d n



d



A

d d/ /

 

d ud



Ox

 

 

d u1 0; ; 

A

d 2

1 x

O

d d/ / P d/ / Q  P

 Q

 

d P

d Q

u n

u n

   

  

   

P Q

d

A

M

B

A

C I



Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

Bài tốn 4: Lập phương trình đường thẳng   là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q). 

Phương pháp:

+ Đường thẳng   đi qua A (giải hệ phương trình

mp(P) (Q) với ) 

+ Ta có:   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

 

Bài tốn 5: Lập phương trình đường thẳng   đi qua A và    khơng song song, không trùng với   

Phương pháp:

+ Đường thẳng   đi qua A. 

+ Ta có:   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là   

  Bài tốn 6: Lập phương trình đường thẳng   đi qua A và   

Phương pháp:

+ Đường thẳng   đi qua A. 

+ Ta có:   

Đường thẳng   có 1 vectơ chỉ phương là 

   

Bài tốn 7: Lập phương trình đường thẳng   là hình chiếu vng góc của   trên mp  

Phương pháp:

+ Xác định A’ là hình chiếu của A trên   

+ Xác định B’ là hình chiếu của B trên   

+ Đường thẳng   

 

d

,

d P Q

u  n n  

  

d

d

0

x

d P

d Q

u n

u n

   

  

   

d

,

d P Q

u  n n  

A d

Q P

d dd d1, d2, d1

d

d

1

d

d

u u

u u

   

  

   

d ud  u u1, 2

  

d2

d1 d

A

d d/ / P , dd/

d /

d P

d

u n

u u

   

  

   

d /

,

d P

u  n u  

  

d'

d A

P

/

d d  

 

 

/ / /

d A B d'

A' B'

B A

d

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I ĐỀ BÀI

Câu Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  phương  trình  chính  tắc  của  đường  thẳng 

:

1

x t

d y t

z t              là: 

A. 

2

y

x  z

 

       B. 

3

2

3

y

x  z

 

    

C. 

3

y

x  z

 

     D  

5

3

2

y

x  z

 

   

Câu Trong không gian với hệ toạ độOxyz, đường thẳng  : 2

x t

d y t

z           có 1 vectơ chỉ phương  là: 

A. u1;1; 2.  B. u1; 2; 2 



.  C  u1; 2; 0 



.  D. u0; 1; 2. 

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng  

0

:

1

x

d y t

z           là giao tuyến của hai 

mặt phẳng    P , Q  Phương trình của    P , Q  là:  

A  P :x0, Q :z1     B.  P :x0, Q :y z 20  C.  P :x0, Q :y3    D.  P :x0, Q :y z 0 

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau theo giao 

tuyến là đường thẳng 

1

:

3

x t

d y t

z t            

 Biết  P //Ox Q, //Oy. Hãy chọn cặp mặt phẳng  P , 

 Q  thoả mãn điều kiện đó ? 

A   P :y2z 8 0, Q : 2x z 5 0   B.  P : 2x z 5 0,  Q :y2z 8 0.  C.  P : 2x y  5 0, Q :y2z 8 0.  D.  P : 2x z  5 0, Q :y2z80.  Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P :x2y3z40 và 

 Q : 3x2y5z40. Giao tuyến của  P  và  Q  có phương trình tham số là: 

A  

2 x t y t z t           

.  B. 

2 x t y t z t            

.  C. 

2 x t y t z t          

.  D. 

2 x t y t z t            

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M1; 2; 0  và có 

véctơ chỉ phương u0; 0; 



A   x y z t         

.  B. 

1 2 x t y t z t           

.  C. 

1 x t y t z         

.  D. 

1 2 x t y t z             

Câu Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  đoạn  thẳng  AB  với  hai  đầu  mút  lần  lượt  là 

2; 3; 1

A   và B1; 2; 4 có phương trình tham số là: 

A.   

1

2

4

x t

y t t

z t             

.    B    

2

3

1

x t

y t t

z t                 

C.   

1

2

4

x t

y t t

z t             

.    D.   

2

3

1

x t

y t t

z t                

Câu Trong không gian với hệ toạ độ O i j k, , ,  , hãy viết phương trình của đường thẳng  đi 

qua điểm M2; 0; 1  đồng thời nhận véctơ a2i4j6k

   

 làm véctơ chỉ phương ? 

A. 

1

y

x  z

 

     B. 

2

2

y

x z

 

  

C. 

1

y

x z

 

       D  

2

1

y

x z

 

  

Câu Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  phương  trình  của  đường  thẳng  đi  qua  điểm 

 2; 1; 2

M   và song song với trục Ox là: 

A.  2 x t y t z t         

.  B. 

2 x y t z          

.  C  

2 x t y z          

.  D. 

2 x t y t z t            

Câu 10 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, hãy viết phương trình của đường thẳng  đi qua 

điểm  M1; 2; 1   và  song  song  với  hai  mặt  phẳng   P :x y z  3 0,  

 Q : 2x y 5z40 ?  A.  12 x t y t z t            

.      B  

1 x t y t z t                

C. 

4

y

x  z

 

       D. 

2

1

4

y

x  z

 

  

Câu 11 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  là đường thẳng đi qua điểm M2; 0; 3  và 

vng góc với mặt phẳng   : 2x3y5z40. Phương trình chính tắc của  là: 

A. 

1

y

x z

 

       B. 

2

2

y

x z

 

  

C  

2

y

x z

 

       D. 

2

2

y

x z

Câu 12 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  là đường thẳng đi qua điểm M1; 2; 3  và  vng góc với hai đường thẳng  1 1 : 1 x t

d y t

z t             ,  2 2 : x t

d y t

z t         

,  có phương trình là: 

A   x t y t z           

.      B. 

3 x y z t           

C. 

1

y

x  z

       D. 

1

y

x  z

 

  

Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (Δ) đi qua điểm M1;1; 2 , song 

song  với  mặt  phẳng   P :x y z   1 0  và  cắt  đường  thẳng   : 1

2

y

x z

d     

 , 

phương trình của (Δ) là: 

A.  1

2

y

x  z

 

       B  

1

1

2

y

x  z

 

   

C.  1

2

y

x  z

 

       D. 

3

2 1

y

x  z

 

   

Câu 14 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (Δ) đi qua điểm M0;1;1, vng 

góc với đường thẳng  1 :

1

x t

d y t

z          

 và cắt đường thẳng  2 :

2 1

y

x z

d     Phương trình 

của (Δ) là:  A.  x y z t         

  B. 

4 x y z t          

  C. 

0 1 x y t z         

  D  

0 1 x y z t           

Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (Δ) là đường thẳng song song với  d1  và cắt 

đồng  thời  hai  đường  thẳng   d2   và   d3 ,  với   1 :

1

y

x z

d     , 

 2

2

1

:

2

y

x z

d      ,  3 :

1

y

x z

d   

  Phương trình đường thẳng    là: 

A  

1

y

x  z

        B. 

1

y

x  z

     

C. 

3

y

x  z

       D. 

1

y

x z

    

Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  1 : 1

1

y

x  z

  

   và 

 2

2

:

A     1 / / 2       B.    1  2    

C.    1  2       D.  Δ

1  và  Δ2  chéo nhau 

Câu 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 3x2y z 120 và đường 

thẳng  Δ : 

3

x t

y t

z t

  

     

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 

A.         B          C.     / /    D.   cắt    

Câu 18 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  1

1 :

1

x mt

d y t

z t

   

 

    

  và 

2

1

: 2

3

x t

d y t

z t

   

      

 Với giá trị nào của m thì d1 và d2 cắt nhau ? 

A. m 1  B. m1  C  m0  D. m2 

Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi   là đường thẳng đi qua giao điểm M của 

đường thẳng  d  và mặt phẳng   , vng góc với  d đồng thời nằm trong   , trong 

đó  

2 11

: 27

4 15

x t

d y t

z t

   

   

   

;   : 2x5y z 170. Phương trình của    là: 

A.  48 41 109

2

y

x  z

 

   B

5

2

48 41 109

y

x  z

 

     

C.  48 41 109

2

y

x  z

 

   D  

5

2

48 41 109

y

x  z

 

   

Câu 20 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  d1 ,  d2  cắt nhau có phương 

trình  1

3 :

10

x t

d y t

z t

    

 

   

,  2 :

1

y

x z

d    

  Mặt phẳng   chứa  d1 và  d1 có phương 

trình là: 

A  6x9y z 80      B.  2x3y z 80    C. 6x9y2z60      D. 6x9y z 80 

Câu 21 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  d1 ,  d2 có phương trình 

 1

1

2

:

3 1

y

x z

d     

  ,  2

3 :

4

x t

d y t

z t

    

     

    Mặt  phẳng   chứa  d1 và  d2 có  phương 

Câu 22 Trong  khơng  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  d1 và  d2 chéo  nhau  có 

phương trình:  1 :

1

y

x z

d      ,  2

1 :

1

x t

d y t

z t           

. Mặt phẳng   song song và cách 

đều  d1 và  d2 có phương trình là: 

A. x4y  3z 0      B. x4y3z100    C  x4y3z 1 0      D. 2x y 3z 1 0 

Câu 23 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  d1 và  d2 chéo  nhau  có 

phương trình  1

1

: 10

x

d y t

z t         

,  2

3

:

2

x t

d y t

z          

. Gọi   là đường thẳng vng góc chung 

của  d1 và  d2  Phương trình của   là: 

A   177 98 17 49 x t y t z t               

  B. 

7 46 147 246 x t y t z t            

  C. 

1 2 3 x t y t z t           

  D. 

1 2 x t y t z t             

Câu 24 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi   là đường vng góc chung của hai đường 

thẳng:  1

2 :

1 x

d y t

z t          

 và  2

4 : 11 x t

d y t

z t              

. Phương trình của   là: 

A   2 x t y t z t           

      B. 

1 x t y t z t               

C. 

1

y

x  z

       D. 

1 2

y

x  z

 

  

Câu 25 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  điểm  M1; 2; 0 và  mặt  phẳng 

  : 2x4y3z190. Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên    Tọa độ H là: 

A. 1; 2;   B. 1; 2; 3   C.   1; 2; 2  D  1; 2; 3  

Câu 26 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng   và mặt phẳng   có phương  trình   : 2x2y  z 0. Tọa độ giao điểm của   và    là: 

Câu 27 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  đường  thẳng  :

1 1

y

x z

     và  điểm 

2; 1; 5

M   Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên    Tọa độ của H là: 

A. H4;1; 2  B. H2; 0;1  C  H4; 0; 2  D. H4; 0; 2 

Câu 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A7; 4; 4, B6; 2; 3và mặt phẳng 

  : 3x y 2z190. Gọi M là điểm thuộc   sao cho MA MB  nhỏ nhất. Tọa độ của 

Mlà: 

A   13; 2;

 



 

   B. 13; 2;   C. 

13 ; 2; 2

 

 

   D. 

13 ; 2;

 



 

  

Câu 29 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A0; 0; ,  B 2; 0; 1  và mặt phẳng 

  : 3x8y7z 1 0. Gọi C là điểm thuộc   sao cho tam giác ABC đều. Tọa độ của 

C là: 

A. C2; 2; 3  hay  2; 2;

3 3

C   

   B  C2; 2; 3

   hay  2; 2;

3 3

C   

    

C. C2; 2; 3  hay  2; ;

3 3

C  

 

  D. C2; 2; 3 hay  2 1; ;

3 3

C 

 

 

Câu 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B 4; 4; 5. Gọi M là điểm 

thuộc mặt phẳng Oxysao  MA MB  có giá trị lớn nhất. Tọa độ của M là:  

A   7; 1;

2

M  

 .  B. 

7 ;1;

M 

 .  C. 

7 ;1;

M 

 .  D. 

7 1; ;

2

M 

 . 

Câu 31 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  điểm  M2; 3; 1   và  đường  thẳng 

 :

2

y

x z

d     Gọi   là đường thẳng qua M và vng góc với  d đồng thời cắt  d  

Phương trình của    là: 

A. 

6 32

y

x  z

       B. 

6 32

y

x  z

     

C. 

6 32

y

x  z

 

      D  

3

2

6 32

y

x  z

 

  

Câu 32 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A1;1; , B 3; 1; 4  và đường thẳng 

 : 1

1

y

x z

d     

  Gọi Mlà điểm thuộc  d sao cho MAMB nhỏ nhất. Tọa độ của 

Mlà: 

A  M1; 1; 2 .  B. M2; 2; 4 .  C. M1;1; 2 .  D. M2; 2; 4 . 

Câu 33 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  đường  thẳng  

1

:

1

x t

d y t

z t

   

  

    

A. 45o.  B. 30o.  C  60o.  D. 90o. 

Câu 34 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  số  đo  của  góc  tạo  bởi  hai  mặt  phẳng 

  : 3y z 90 và   : 2y z  1 0 là: 

A  45o.  B. 30o.  C. 60o.  D. 90o. 

Câu 35 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  số  đo  của  góc  tạo  bởi  hai  đường  thẳng 

 1

1

:

2

x t

d y

z t

    

     

 và  2

8 :

2

x t

d y t

z t

   

    

 là: 

A  90o.  B. 60o.  C. 30o.  D. 45o. 

Câu 36 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng   1

1

:

2

x t

y t

z t

    

      

và 

 2

2

:

2

x t

y t

z mt

       

   

. Với giá trị nào của m thì  1 và  2 hợp với nhau một góc 60o? 

A. m1.  B  m 1.  C. 

m   D. 

2

m   

Câu 37 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  đường  thẳng 

 1

2

3

:

4 1

y

x  z

  

 ,  2

1

:

6

y

x  z

  

  Khoảng cách giữa  1 và 2 là: 

A. 9.  B. 3.    C. 14.  D  3. 

Câu 38 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  tứ  diện  ABCD  với 

2; 3;1 , 4;1; , 6; 3; ,

A B  C  D5; 4; 8 . Độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ 

đỉnh D là: 

A. 14.  B. 12.  C. 2 3.  D  11. 

Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 

 

 

 

1

:

1

x m t

d y m t

z m

   



 

 

  

 

.  Với giá trị 

nào của m thì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng Oyz? 

A. m 1.      B  m1.   

C. m1 hoặc m 1.      D. m2. 

Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A2;1; 4và đường thẳng 

1

:

1

x t

y t

z t

       

   

. 

Điểm H thuộc  có tọa độ bằng bao nhiêu thì độ dài đoạn AH nhỏ nhất? 

Câu 41 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  :

2

y

x z

m m



 

  

  và mặt 

phẳng   :x3y2z 5 0. Với giá trị nào của m thì  vng góc với   ? 

A. m3.  B. m 1.  C  m1.  D. m 3. 

Câu 42 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  1:

3

y

x z

d     

 , 

2

4 18

:

3

y

x z

d    

  Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là: 

A. 20.  B  25.  C. 15.  D.  15. 

Câu 43 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  1: 1

2

y

x z

d     

   và 

2

2

:

1

y

x z

d    

   Mặt phẳng   chứa d1 và song song với d2 có phương trình là: 

A  x y z  30.  B. x y z  30.  C. x y z  30.  D. x y 30.  Câu 44 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  mặt  phẳng   :x y 2z 6 0  và  điểm 

1;1;1

M  Tọa độ điểm Nđối xứng với Mqua    là: 

A  N3; 3; 3 .  B. N3; 3; 3.  C. N3; 3; 3.  D. N2; 2; 1 . 

Câu 45 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  d1 và  d2   cắt  nhau  có 

phương trình  1 :

2

y

x z

d       và  2

6

:

2

x t

d y t

z t

   

   

    

. Tọa độ giao điểm của  d1 và 

 d2  là: 

A. 3; 5; 5   B. 3; 5; 5   C. 3; 2; 5   D  3; 5; 5  

Câu 46 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng:   1 :

2

y

x z

d

m

 

   và 

 2

5

:

3

y

x z

d      Với giá trị nào của m thì  d1  và  d2  cắt nhau? 

A. m2  B. m 1  C  m1  D. m3 

Câu 47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi    là mặt phẳng qua hai điểm A2; 0;1 và 

 2; 0; 5

B   đồng thời hợp với mặt phẳng Oxz một góc 

45  Khoảng cách từ O tới  

là:  A  3

2  B. 

3

2   C. 

1

2  D. 

2  

Câu 48 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  đường  thẳng   

3

:

7

x t

y t

z t

       

    

  và  điểm 

1; 0; 1

A. 9; 3;11   B  9; 6; 11   C. 3; 2;11   D. 9; 6;11  

Câu 49 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng   1

3

:

1

x t

d y t

z t

   

   

    

  và 

 2

6 '

: '

2 '

x t

d y t

z t

   

      

. Độ dài đoạn vng góc chung của  d1 và  d2  là: 

A.  3   B. 6  C  3  D.  17 

Câu 50 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  1 : 1

2

y

x z

d     

  và 

 2

2

:

3

y

x z

d    

   Đường vng góc chung của  d1  và  d2  có vectơ chỉ phương là: 

A  a3; 3;1  

  B. a3; 3; 3 



  C. a1; 0; 1 



  D. a1; 3; 2 



  Câu 51 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  1 : 3

1

y

x z

d      : và 

 2

2

4

:

2

y

x z

d       Đường thẳng    vng góc với mặt phẳng Oxyvà cắt  d1 , 

 d2  lần lượt tại A và B.Khi đó, độ dài đoạn ABlà: 

A. 2  B. 6  C  4  D. 3 

Câu 52 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 3, B1; 2; 3 và đường thẳng 

 

1

:

1

x t

y t

z t

       

    

. Điểm Mthuộc    có tọa độ bằng bao nhiêu thì MA MB

 

 đạt giá trị nhỏ 

nhất? 

A. M  2; 1; 4  B. M1; 0; 3   C. M2; 3; 0  D  M1; 2; 1  

Câu 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  là đường thẳng đi qua điểm A3; 2; 4   , 

song  song  với  mặt  phẳng    : 3x2y3z70  và  cắt  đường  thẳng 

4

2

d :

3 2

y

x  z

 

  tại điểm M. Tọa độ điểm M là: 

A. M8; 4; 5 .  B  M8; 8; 5 .  C. M2; 3;1.  D. M8; 8; 5. 

Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  

11

:

7

x t

y t

z t

  

       

 và mặt phẳng 

  : 5x my 3z2 0  Để    cắt   tại điểm có hồnh độ bằng 0 thì giá trị thích hợp 

của m là: 

Câu 55 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  tam  giác  OAB,  biết 

0; 0; , 4; 2;1 , 2; 4; 3

O A  B   Phương trình đường cao của tam giác OAB kẻ từ O là: 

A   22 x t y t z t         

.  B. 

4 14 13 x t y t z t            

.  C. 

11 x t y t z t           

.  D. 

3 14 13 x t y t z t          

Câu 56 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  mặt  phẳng  P : 2x y 3z 1 0  và  đuờng 

thẳng d có phương trình tham số: 

3 2 x t y t z            , trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:  

A. d vng góc với  ( )P     B. d cắt  ( )P  

C. d song song với ( )P     D  d thuộc  ( )P  

Câu 57 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  số  đo  của  góc  giữa  2  đuờng  thẳng 

2

:

1 1

y

x  z

     và  : 1 x t

d y t

z t              là  

A. 

0   B. 

30   C

90   D. 

60  

Câu 58 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  1:

4

y

x z

d    

    và 

2

2

:

6 12

y

x z

d    

  Vị trí tương đối giữa d1 và d2 là: 

A. Trùng nhau.  B  Song song.  C. Cắt nhau.  D. Chéo nhau. 

Câu 59 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng 

1

2

:

4

y

x z

d    

   và 

2

:

6 12

y

x z

d    

  là: 

A.  35

17   B. 

35

17   C. 

854

29   D   30. 

Câu 60 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A1; 2; ,  B2;1; 3  có phương trình: 

A  

1

y

x  z

       B. 

1

y

x  z

 

  . 

C. 

1

y

x  z

  .     D. 

1

y

x  z

   

Câu 61 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,  toạ độ giao điểm của  :

1

y

x z

d    

  và mặt 

phẳng ( ) : 2P x y z  70 là: 

Câu 62 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 

2

:

x t

d y t

z t

   

     

, phương trình nào 

sau đây là phương trình chính tắc của d? 

A. 

1 1

y

x z

 

        B. 

4

2

1 1

y

x  z

 

    

C. x2yz3.      D  

1 1

y

x  z

 

  

Câu 63 Trong  không  gian  với  hệ toạ  độ Oxyz,  cho  hai  điểm A1; 2; 3   và B3; 1; 1 .  Phương 

trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B ? 

A. 

3 1

y

x  z

 

      B  

2

1

2

y

x  z

 

    

C.  1

1

y

x  z

 

      D. 

2

1

2

y

x  z

 

  

Câu 64 Trong không gian  với hệ toạ độ Oxyz,  cho  đường  thẳng  : 12

4

y

x z

d        và mặt 

phẳng  P : 3x5y z 20. Tọa độ giao điểm H của d và ( )P  là 

A. H1; 0; 1.  B  H0; 0; 2 .  C. H1;1; 6.  D. H12; 9; 1. 

Câu 65 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  đường  thăng 

1

:

1

x t

d y t

z t

   

      

  và  mặt  phẳng 

 P :x3y z  1 0 . Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ? 

A  d// P   B. d cắt  P   C. d P   D. d P  

Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 

1

:

3

x t

d y t

z t

   

      

 và 

1

:

2

x t

d y t

z t

    

          

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? 

A. d cắt d'  B. dvà d' chéo nhau C. d d '  D  d d// ' 

Câu 67 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng 

3

:

6

x t

d y t

z t

    

   

   

  và 

5

' :

20

x t

d y t

z t

    

    

    

. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d và d' là 

Câu 68 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng 

1 :

1

x mt

d y t

z t

   

 

    

  và 

1 '

' : 2 '

3 '

x t

d y t

z t

   

      

 

Giá trị của tham số m để hai đường thẳng d và d' cắt nhau là 

A. m 1  B. m1  C  m0  D. m2 

Câu 69 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M2; 0; 1 và đường thẳng d có phương 

trình 

1

y

x z

   Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d bằng 

A.  12  B.  3  C   2  D. 12

6 

Câu 70 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau 

1

:

1

x t

d y t

z

   

   

  

 và 

2

2

' :

1 1

y

x z

d     

  Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là 

A.  6  B  

2   C. 

1

6  D.   

Câu 71 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M1; 3; 2  và đường thẳng  có phương 

trình 

1

x y z

   Tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M trên đường thẳng  là 

A  0; 2;1   B. 1;1; 1   C. 1; 0;   D. 2; 2;  

Câu 72 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M2; 3;1 , N5; 6; 2 . Đường thẳng 

MN cắt mặt phẳng Oxz tại điểm A.Điểm A chia đoạn thẳng MN theo tỉ số: 

A. 2  B. –2   C. 

2

   D  1

2 

Câu 73 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A1; 4; , B 1; 2; 4 và đường thẳng 

2

:

1

y

x  z

  

  Điểm M  mà 

2

MA MB  có giá trị nhỏ nhất có toạ độ là: 

A  1; 0; 4  B. 0; 1; 4   C. 1; 0;   D. 1; 0; 4  

Câu 74 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  A3; 3;1 , B 0; 2;1  và  mp  P :x y z  70. 

A   x t y t z t         

  B. 

2 x t y t z t         

  C. 

2 x t y t z t          

  D. 

2 x t y t z t           

Câu 75 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  1:

1

y

x z

d     

   và 

2

1

3

:

7

y

x z

d     

  Phương trình đường vng góc chung của d1 và d2 là: 

A.  1

1

y

x  z

 

        B  

3

7

2

y

x  z

   

C. 

2

y

x  z

 

      D. 

3

7

2

y

x  z

 

  

Câu 76 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  1:

2

y

x z

d     

   và 

2:

2

x t

d y t

z         

. Đường thẳng  đi qua điểm A0;1;1,  vng  góc  với d1  và cắt d2có phương 

trình là: 

A.  1

1

y

x  z

 

       B. 

1

1

y

x  z

 

    

C.  1

1

y

x z

 

        D  

1

1

y

x  z

 

   

Câu 77 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M2; 0; 1  và có 

vectơ chỉ phương là a4; 6; 2 



. Phương trình đường thẳng Δlà: 

A.  x t y t z t            

  B. 

2 x t y t z t            

  C  

2 x t y t z t            

  D. 

4 x t y t z t              

Câu 78 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δđi qua điểm A1; 2; 3 và vng 

góc với mặt phẳng   : 4x3y7z 1 0. Phương trình của đường thẳng Δ là: 

A.  3 x t y t z t              

  B  

1 3 x t y t z t           

  C. 

1 x t y t z t           

  D. 

1 14 x t y t z t                

Câu 79 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  1

1

:

3

x t

d y t

z t              và 

3 '

: '

7 '

x t

d y t

z t           

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 

C  d1d2       D. d1 và d2 chéo nhau. 

Câu 80 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  mặt  phẳng   : 2x y 3z 1 0  và  đường 

thẳng 

3

: 2

1

x t

d y t

z           

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? 

A. d    B. d cắt     C. d/ /    D  d   

Câu 81 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  hai  đường  thẳng  1:

1

y

x z

d       và 

2

1

:

2

y

x z

d      Khẳng định nào sau đây là đúng ? 

A. d1cắt d2  B. d1 trùng d2  C  d1/ /d2  D. d1 chéo d2 

Câu 82 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  đường  thẳng 

1

:

2

x t

d y t

z t           

  và  mặt  phẳng 

 P :x3y z  1 0. Toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là:  

A. 3; 0;   B. 3; 4; 0   C. 3; 0; 4  D  3; 0; 4  

Câu 83 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 

2

:

2

x t

d y t

z t            Phương trình nào  sau đây là phương trình đường thẳng d?  A.  2 x t y t z t           

  B  

4 x t y t z t            

  C. 

4 x t y t z t           

  D. 

2 x t y t z t            

Câu 84 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho hai  điểm A2; 3; ,  B 1; 2; 4  và  ba  đường 

thẳng       

2

3

2

: : :

1

1 5

x t x t

y

x z

I y t II III y t

z t z t

                            

.  Mệnh  đề  nào  sau  đây  là 

đúng ? 

A. Chỉ có (I) là phương trình đường thẳng AB    

B. Chỉ có (III) là phương trình đường thẳng AB    

C. Chỉ có (I) và (II) là phương trình đường thẳng AB    

D Cả (I), (II) và (III) đều là phương trình đường thẳng AB  

Câu 85 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  3  điểm  A1; 3; , B 1; 2; , C 1;1; 3.  Viết 

phương trình đường thẳng Δ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vng góc với mặt 

phẳng ABC. 

Bước 2:Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: nAB AC,   3;1; 0

 

  

 

Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng  là: 

1 2 x t y t z            

Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai bước nào? 

A. Đúng  B. Sai ở bước 1.  C  Sai ở bước 2.  D. Sai ở bước 3. 

Câu 86 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua gốc toạ độ , vng góc 

với trục Ox và vng góc với đường thẳng 

1 : x t y t z t              Phương trình của d là: 

A. 

x t y t z t         

  B. 

1 x y t z t          

  C. 

1

y

x z

 

   D  

0 x y t z t           

Câu 87 Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ Oxyz,  cho  đường  thẳng 

3

:

4

x t

d y t

z t            

  và  mặt  phẳng 

 P :x2y z 3 0  trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? 

A. d song song với mặt phẳng  P   B. d cắt mặt phẳng  P    

C. d vng góc với mặt phẳng  P   D  d nằm trong mặt phẳng  P  

Câu 88 Cho hai đường thẳng  1

2

:

3

x t

d y t

z             và  2 : 2 x t d y z t           

. Góc giữa hai đường thẳng d1 và 

d2 là: 

A 30.  B 120.  C 150.  D 60.  Câu 89 Cho  đường  thẳng  :

1

y

x z

  

   và  mặt  phẳng  (P):  5x11y 2z 40.  Góc  giữa 

đường thẳng  và mặt phẳng (P) là: 

A 60.  B 30.  C 30.  D  60. 

Câu 90 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm 

các cạnh BB CD A D', , ' '. Góc giữa hai đường thẳng MP và C’N là: 

A 30o.  B 120o.  C 60o.  D 90o. 

Câu 91 Cho hình chóp A BCD có các cạnh AB, AC, AD đơi một vng góc. ABCcân, cạnh bên 

bằng a, AD  2a. Cosin góc giữa hai đường thẳng BD và DC là: 

A 4

5   B

2

   C

5   D

1  

A

17   B

2

11   C

4

22   D

2 22  

Câu 93 Cho mặt phẳng ( ) :3P x 4y 5z  8 0. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 

( ) : x 2y 10; ( ) : x 2z 3 0. Góc giữa d và (P) là: 

A 120    B 60    C 150   D 30   

Câu 94 Trong không gian Oxyz cho điểm A3; 2; 4  và đường thẳng  :

2

y

x z

d     

  Điểm

M  thuộc đường thẳng d sao cho Mcách A một khoảng bằng  17  Tọa độ điểm M là 

A 5;1; và  6; 9;    B 5;1;  và   1; 8;    

C 5; 1; 2  và 1; 5;     D 5;1; 2 và 1; 5;    

Câu 95 Trong  không  gian  với  hệ  trục  toạ  độ Oxyz,gọi  P   là  mặt  phẳng  chứa  đường  thẳng 

2

:

1

y

x z

d    

   và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc 

  mp P ? 

A E3; 0;    B M3; 0;    C N 1; 2;     D F1; 2;1   

Câu 96 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho  P x: 2y2z 1 0 và 2 đường thẳng 

1

3

1 1

: ; :

1 2

y y

x z x  z

     

  

Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1, M có toạ độ là các số nguyên, M cách đều 2 và 

 P  Khoảng cách từ điểm M đến mp Oxy  là 

A 3.   B 2    C 3 2.  D 2.  

Câu 97 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A1; 5; ; B 3; 3; 6 và đường thẳng 

1 :

2

y

x z

d    

  Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC 

nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là 

A 29.  B 29.  C 33.   D 7.  

Câu 98 Trong  không  gian  với  hệ  trục  toạ  độ Oxyz,  cho  điểm  A10; 2;1  và  đường  thẳng 

1

:

2

y

x z

d      Gọi  P  là mặt phẳng đi qua điểm A, song song với đường thẳng d 

sao cho khoảng cách giữa d và  P  lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M1; 2; 3 đến mp

 P  là  A 97

15    B

76 790

790    C

2 13

13    D

3 29

Câu 99 Trong  không  gian  với  hệ  trục  toạ  độ  Oxyz,  cho  điểm  A2; 5; 3  và  đường  thẳng 

1

:

2

y

x z

d      Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A 

đến  P  lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm M1; 2; 1  đến mặt phẳng  P  

A 11 18

18    B 3 2.   C

11

18    D

4   

Câu 100 Trong  không  gian  với  hệ  trục  toạ  độ Oxyz,  cho  mặt  phẳng  P x y z:   20  và  hai 

đường thẳng 

1 :

2

x t

d y t

z t

   

     

; 

3

' :

1

x t

d y t

z t

   

 

  

    

  

Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với  P ; cắt  , d d và tạo với d góc 

30 O

 Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.  A

5   B

1

2    C

2

3    D

II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1D 2C 3A 4A 5A 6A 7B 8D 9C 10B

11C 12A 13B 14D 15A 16A 17B 18C 19D 20A

21C 22C 23A 24A 25D 26B 27C 28A 29B 30A

31D 32A 33C 34A 35A 36B 37D 38D 39B 40A

41C 42B 43A 44A 45D 46C 47A 48B 49C 50A

51C 52D 53B 54A 55A 56D 57C 58B 59D 60A

61C 62D 63B 64B 65A 66D 67B 68C 69C 70B

71A 72D 73A 74A 75B 76D 77C 78B 79C 80D

81C 82D 83B 84D 85C 86D 87D 88D 89C 90D

91A 92C 93B 94D 95C 96A 97B 98A 99A 100D

Câu Chọn D

Đường thẳng d đi qua điểm A3; 5;1 ,  nhận u2; 3; 4  



 làm một véc tơ chỉ phương 

nên có phương trình chính tắc: 

2

y

x  z

 

    

Câu Chọn C.  Câu Chọn A.

Dễ thấy đường thẳng d đi qua hai điểm A0;1;1 , B 0; 3;1 . 

Tọa độ của hai điểm ,A B thỏa mãn phương trình x0 và phương trình z1 nên d là 

giao 

tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x0 và z1 . 

Câu Chọn A.

Do  P  song song với Ox nên nhận véc tơ dạng np0; ;a b làm véc tơ pháp tuyến. 

 Q  song song với Oy nên nhận véc tơ dạng nQa'; 0; 'c 



 làm véc tơ pháp tuyến.  Trong 4 đáp án chỉ đáp án A thỏa mãn điều này. 

Câu Chọn A.

Cách 1: Xét hệ  ( )

3

x y z

x y z

    

 

   

  

Cho x0 thay vào ( )  tìm được y 8,z 4 . Đặt  (0; 8; 4)A     Cho z0 thay vào ( )  tìm được x2,y 1 . Đặt  (2; 1; 0)B   

 

2; 7; 4 AB

 



 là một VTCP của    P  Q  

Như vậy, PTTS của    P  Q  là 

2

x t

y t

z t

   

   

  

Cách 2: Xét hệ  ( )

3

x y z

x y z

    

 

   

  

Cho z0 thay vào ( )  tìm được x2,y 1 . Đặt  (2; 1; 0)B    

 P :x2y3z40 có VTPT nP (1; 2;3)  

 Q : 3x2y5z40 có VTPT nQ(3; 2; 5)   

 

, 4;14;

P Q

n n

 

   chọn u(2; 7; 4) là một VTCP của giao tuyến    P  Q   

Như vậy, PTTS của    P  Q  là 

2

x t

y t

z t

   

   

  

.  

Cách 3: (kỹ máy tính cầm tay)

Xem như phím A,B,C (trên máy) là x y z, ,  (trong phương trình), nhập cùng lúc 2 biểu thức 

A 2B 3C  4 3A 2B 5C:   4 

 

Rút toạ độ điểm ( ;x y z0 0; 0) từ trong các PTTS của các câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy. 

KQ ứng với câu nào cho 2 đáp số cùng bằng 0 thì nhận (ở bài này tạm thời nhận A và B) 

Tiếp tục cho t1 (ngồi nháp) vào mỗi PTTS được nhận để có bộ số ( ; ; )x y z  lại thay vào 

2 biểu thức đã nhập trên màn hình 

Lại tìm bộ số cho 2 đáp số cùng bằng 0 (ở bài này câu A đảm bảo nên đáp án là A)  Câu Chọn A.

Học thuộc lịng cơng thức 

0 0

x x at

y y bt

z z ct

   

  

   

 và thay số vào nhé 

1

2

0

x t x

y t y

z t z t

    

 

     

 

    

 

 

Câu Chọn B.

Phương pháp: Để tìm toạ độ các điểm đầu mút của một đoạn thẳng có phương trình tham 

số có điều kiện kèm theo ta thay giá trị (đầu mút) của tham số vào phương trình tìm x y z, ,  

  a) Với phương án A, thay t1 vào PTTS ta được toạ độ điểm là 2; 3; 1   

    nhưng t2 thì ta lại được điểm 3; 4; 6  khác toạ độ điểm A và điểm B 

  b) Với phương án B, thay t 1 ta được toạ độ điểm B1; 2; 4 

    và t0 ta được toạ độ điểm A2; 3; 1 . 

Lưu ý 1:

  - Để viết phương trình tham số của đoạn thẳng AB ta viết phương trình tham số của 

đường thẳng AB, tìm giá trị t tA, B để từ PTTS đó ta tìm lại được toạ độ của điểm  ,A B 

  - Tuy nhiên phương pháp này chậm và rất khó để chọn phương án như cách cho đề  bài này. 

Lưu ý 2:

  - Nếu HS nào dùng phương pháp thay toạ độ của mỗi điểm A và B vào PTTS của từng 

phương án (A,B,C,D) để tìm giá trị t thì chỉ khi tìm được t tA, B là 2 đầu mút của đoạn điều 

kiện được cho kèm theo PTTS, đó mới là phương án đúng.  Câu Chọn D.

Lưu ý: ux y z; ; ux i.y j.z k.   Do a2i4j6k

   

 nên a2; 4;  



 Chọn u1; 2; 3  là một VTCP của   

Ngồi ra, M2; 0; 1   nên  có phương trình: 

1

y

x  z

 

  

Câu Chọn C.

Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị i(1; 0; 0) làm một VTCP 

Đường thẳng d song song với trục hoành cũng phải nhận i(1; 0; 0) làm VTCP ln. 

Ngồi ra M2;1; 2d nên viết PTTS của d ta chọn được phương án C 

Câu 10 Chọn B.

 P :x y z  3 0  có một VTPT nP 1; 1; 1   

 Q : 2x y 5z40 có một VTPT nQ2; 1; 5   

Suy ra n n P, Q 4; 7; 3   là một VTCP của đường thẳng   

Ngoài ra, M1; 2; 1   nên PTTS của 

1

:

1

x t

y t

z t

       

    

 .  

Câu 11 Chọn C.

  : 2x3y5z40 có VTPT n 2; 3; 5  

  

Do  ( )  nên  nhận n



 làm một VTCP. 

Ngoài ra, M2; 0; 3   nên PTCT của  :

2

y

x z

  

  

Câu 12 Chọn A.

1

d  có VTCP u11; 1; 3  ; d2 có VTCP u2   1;1;1  

Do  d1, d2 nên  có VTCP là u u 1, 2   4; 4; 0  hay u 1; 1; 0 

Đến quan sát phương án ta chọn A phương án

Tuy nhiên nếu muốn viết ln phương trình của  ta sử dụng thêm M1; 2; 3   

Câu 13 Chọn B.

Gọi M1 là giao điểm của  và dM1 1 ;1t t;1 3 t. Suy ra MM1   2 ; ; 3t t  t



 

Vì  //    nên  1 2 3 1 1; 1;

6

MM n t t t t MM

    

             

 

  

  Suy ra u 2; 5; 3 



. Phương trình đường thẳng  là  1

2

y

x  z

 

  

Câu 14 Chọn D.

Gọi M1 là giao điểm của  và d2M12 ; 1t t t; . Suy ra MM12 ; ; 1t t  t



 là VTCP của  . 

Vì  d2 nên  1 02  0  0 10; 0; 1 

  

d

MM u t t t MM  

Phương trình đường thẳng  là 

0 1

x y

z t

  

     

.  

Câu 15 Chọn A.

Phương trình đường thẳng  3  

2

x t

d y t I

z t

     

  

 

Giao điểmM của d2 và d3: Thay ( I ) vào d3 ta được   

0

0 0;1;

0

x

t y M

z

  

      

. 

Phương trình mặt phẳng    song song d1 chứa d2 có VTPT n u u1, 2  5; 2;1

  

qua 

0;1; 0

M : 5x2y z  2 0. 

Phương trình mặt phẳng    song song d1 chứa d3 có VTPT n u u1, 35;1; 2 

 

  

qua 

0;1; 0

M : 5x y 2z 1 0. 

Ta có      : 2

5

x y z

x y z

      

     

   



 hay  :

1

y

x  z

     

Câu 16 Chọn A.

Ta có 

1 2

,

,

u u

u u M M

  

 



  

  

  

    nên    1 / / 2    Câu 17 Chọn B.

 có VTCP u1; 3; 3 



 qua M0;6;0. Mặt phẳng    có VTPT n3; 2;1



.  Ta có u n 1.3 3.2 3.1 0   un / / 

   

 mà M        Câu 18 Chọn C.

1

d có VTCP u1m;1; 2



 qua M11; 0; 1 ,d2có VTCP u2  1; 2; 1 



 qua M21; 2; 3. 

1

d  cắt d2 khi 

 

1 2

1

, 2.( 5) 2( 2) 4(2 2) 0

0

5; 2; 2

,

u u M M m m

m

m m

u u

         

    

 

   

   

  



  



Câu 19 Chọn D.

Tìm giao điểm M: Thay 

2 11 27 15

x t

y t

z t

   

   

   

 vào    ta được  

2

2(2 11 ) 5( 27 ) (4 15 ) 17 0 (2; 5; 4)

4

x

t t t t y M

z

  

              

  

. 

Ta có 

  ,  48; 41; 109

d

d d

d u u

u u n

u n





 



    

 

    

  

      

  

  . 

Phương trình đường thẳng  là 

48 41 109

y

x  z

 

    

Câu 20 Chọn A.

Mặt phẳng   cóVTPT nu u1, 26,9,1

 

  

 qua M3; 0;10 , Md1.  Phương trình  mặt 

phẳng   : 6(x3) 9( y0) ( z10) 0 6x9y z  8 0.   Câu 21 Chọn C.

Mặt  phẳng   cóVTPT  nu u1, 20, 1,1 

 

  

  qua  M2;1; , Md1.  Phương  trình  mặt 

phẳng   : (y1) ( z5) 0 y z  4 0. ( đề này  d1 , d2  khơng song song )  Câu 22 Chọn C.

 d1  có VTCP là u11; 2; 3



 , qua điểm M11;2;3. 

 d2  có VTCP là u11; 1; 1  



 , qua M21; 0;1. 

Mặt phẳng    có VTPT là n u u 1, 2  1; 4; 3  nên có dạng x3y4z D 0.  

Ta có   1,   2, 

26 26

D D

d M  d M      D  . 

Câu 23 Chọn A.

 d1  có VTCP là u10; 2;1



 ,  d2  có VTCP là u13; 2; 0  .  Gọi M1;10 ; t t1 1   d1  , N3 ; ; 2t2  t2     d2   

Suy ra MN3t21; 2 t27; t1 2



  

Ta có: 1

1

2

2

164

16 49

4 13 11

49

t

MN u t t

t t

MN u t

  

      

 

 

  

  

 

 

 

   

   

Do đó:  1;162 164; ,

49 49

M 

   

27 129

; ;

49 49

N  

 ,   

11

2; 3; 49

MN  



  

Từ đó suy ra phương trình của MN. 

   có VTCP là u u u 1, 2  2; 3; 6 .  Câu 24 Chọn A.

Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi   là đường vng góc chung của hai đường 

thẳng:  d1  có VTCP là u10; 1;1  , d2  có VTCP là u14; 1; 1.  Gọi M2;t1; 1t1   d1  ,  ;2 2;11 2  2

4

N t t t  d

    

Suy ra  2 2; 2 1 7; 2 1

4

MN t  t t  t t  

 



.  Ta có:

1

2

0

1

4

t MN u

t MN u

 

 

 



 

 

 

 

 

   

Do đó: M2; 0;1 ,  N1; 2; 3, MN  1; 2; 2 1; 2; 2  



  

Từ đó suy ra phương trình của MN. 

Cách làm trắc nghiệm:

   có VTCP là u u u 1, 2   2; 4; 4 2 1; 2; 2   . Chọn A hoặc D. 

Để loại A hoặc D, ta cần xét thêm nó có cắt với  d1  hay khơng bằng cách giải hệ. Kết quả 

chọn A  Câu 25 Chọn D.

Phương trình   

1

: ; ;

3

x t

MH y t H t t t

z t

   

      

   

. 

Từ H  2 2  t4 2 4t3.3t190   t H1; 2; 3 .  Câu 26 Chọn B.

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: 

1

1 2

1

1

2

5

2

y x

x

y x

y z

x y z

  

 

   

 

 

   

 



  

     

 

 . 

Câu 27 Chọn C.

Gọi H4t t; ; 2t     Ta có: MHt2;t1;t3



. 

0

MH u   t

 

 . Suy ra H4; 0; 2.  Câu 28 Chọn A.

Thế tọa độ  ,A B vào phương trình mặt phẳng   , thấy có giá trị ngược nhau. Suy ra  ,A B 

nằm cùng phía đối với     

Gọi H là hình chiếu của A lên   , suy ra H4; 3; 2.   Gọi  'A  đối xứng với A qua   , suy ra A'1; 2; 0.  

 , ' '

M  MA MB MA MB A C

     

Từ đó tìm được  13; 2;

M 

  . 

Cách làm trắc nghiệm:

Tính MA MB  với điểm M cho trong đáp án. Kết quả câu A có tổng nhỏ nhất. 

Câu 29 Chọn B.

Gọi C a b c ; ; , suy ra  2

2 2

2

3

2

1

3

4 1

3

a

a b c a

a b c c b b

c

a b c a

c

   

       

  

          

  

         



 

   

 .  

Câu 30 Chọn A.

Phương trình (Oxy z) : 0 

Hai điểm A và B nằm về cùng một phía đối với (Oxy z z) A B 0 

Ta có:  M (Oxy MA), MBABMax MA MB AB MAB(Oxy) 

Phương trình đường  :

3 2

y

x z

AB       Vậy điểm Mcần tìm:  7; 1;

2

M  

 .Chọn 

A. 

Lưu ý:có thể tính /MA MB / với điểm M cho đáp án Kết câu A có hiệu nhỏ

Câu 31 Chọn D.

Gọi N   d N2 ; ; 3t t t; Véctơ chỉ phương của d u: (2; 4;1) 

(2 2; 3; 4)

MN t t t



; 

7

d MN u t

       

Khi đó  6; 32; 16; 5; 32

7 7

MN     

 



 

Vậy phương trình  :

6 32

y

x  z

  

  

Câu 32 Chọn A.

Véctơ chỉ phương của d u:(1; 1; 2) ; AB2; 2; 4 2u

 

 và A d AB d//  

Gọi Hlà hình chiếu vng góc của A lên đường thẳng d, C là điểm đối xứng với A 

qua d 

Tìm được  (0; 0; 0), (1; 1; 0)H C  ; M d MA MB ,  MC MB BC   

Min MA MB BC M BC d

      Phương trình 

1

:

x t

BC y

z t

    

     

 

Vậy điểm Mcần tìm: M(1; 1; 2)  

Cách 2:

 ;1 ; 2 

 2  2   2 2

6 2 2

MA MB  t   t       

1

4 2

3

t

Min MA MB khi t

t 

    

  Chọn A. 

Lưu ý: sử dụng cách cho trắc nghiệm nhanh tính MA MB với điểm M cho đáp án (điểm Mphải thuộc d) Kết câu A có tổng nhỏ

Câu 33 Chọn C.

Véctơ chỉ phương của  :d u(2;1;1); Véctơ pháp tuyến của  ( ) : n(3; 4; 5) 

Gọi  là góc giữa d và  ( ) ; Ta có: sin cos , 

2

u n

    ; Do đó:  o

60

  

Câu 34 Chọn A.

Véctơ pháp tuyến của ( ) : n(0; 3; 1)



; Véctơ pháp tuyến của   : ' (0; 2;1)n 



 

Góc  là góc giữa ( )  và   ; Ta có: cos cos ; '

2

n n

 

 

;Do đó: 45o  Câu 35 Chọn A.

Véctơ chỉ phương của d u1: 1(1; 0;1)



; Véctơ chỉ phương của d2:u2 ( 2;1; 2)



   

Ta có: u u1 2 0d1d2

 

; Vậy số đo của góc tạo bởi d1 và d2 là:  o

90   Câu 36 Chọn B.

Véctơ chỉ phương của 1:u1(1; 2;1); Véctơ chỉ phương của 2:u2 (1; 2; )m  

Ta có:   

1

cos 60o  cos u u ,  m3  m 3 m 1 

Câu 37 Chọn D.

1

  qua điểm  (3; 2; 1)A    và có véctơ chỉ phương u1( 4;1;1)



 

2

  qua điểm  (0;1; 2)B  và có véctơ chỉ phương u2( 6;1; 2)



 

1

( 3;3;3), , (1; 2; 2)

AB u u

  

     Khi đó   1 2

1

,

,

,

u u AB

d

u u

 

 

   

 

 

 

    Câu 38 Chọn D.

Ta có AB2; 2; 3  



, AC4; 0; 6



 suy ra AB AC,    12; 24; 8  4 3; 6; 2  

 

 

 

Mặt phẳng ABC: 3x6y2z22 0 ,   ,  3. 5 6. 4 2.8 22 11

9 36

d D ABC       

   

Câu 39 Chọn B.

Do dOyz nên x0m1t0m1. 

Câu 40 Chọn A.

Để độ dài đoạn AH nhỏ nhất khiAH vng góc với . 

Gọi mặt phẳng   qua A2; 1; 4 và vng góc với  nhận VTCP ad 1;1; 2



Xét PT: 1t  2t2 2  t11 0   t H2; 3; 3.  Câu 41 Chọn C.

Do    a n  01.m3 2 m12.2 0 m1

 

.  Câu 42 Chọn B.

Gọi  M7; 5; 9d1, H0; 4; 18  d2.  Ta  có  MH7; 9; 27  



,  ad2 3; 1; 4  

suy  ra 

 

2

, d 63; 109; 20

MH a

    

 

 

. Vậy     

2

1 2

,

, , d 25

d

MH a

d d d d M d

a            

Câu 43 Chọn A.

Ta thấy d d1, 2 khơng cùng phương. d1có VTCP a12; 1; 3 



, d2 có VTCP a2   1; 2; 3 



, 

 1;1; 1

M  d   suy  ra  a a1, 2   3; 3; 3 3 1; 1; 1   

 

 

.  Mặt  phẳng    qua  M  nhận 

1; 1; 1

n  



làm VTPT có phương trình   :x y z  3 0  

Câu 44 Chọn A.

Gọi d là đường thẳng qua M và vng góc với   có phương trình  ,t

1 1

x t

y t R

z t              

Gọi d  H1t; 1t; 2 t. Xét phương trình 1t  1t2 2  t 6 0 t 1  2; 2; 1

H

  , mà Hlà trung điểm MN nên N3; 3; 3 . 

Câu 45 Chọn D.

Phương trình tham số của đường thẳng  1  

1

: ;

3

x s

d y s s

z s                Xét hệ phương trình:

2 (1)

2 (2)

4 (3)

s t s t s t                Từ (1) và (2) ta có:  s t       

 thỏa mãn (3), tức là  d1  và  d2  cắt nhau.  Khi đó thế t 3 vào phương trình  d2  ta được 3; 5; 5 . 

Câu 46 Chọn C.

Phương trình tham số của  1  

2

: ,

x s

d y s s

z ms          

  và  2  

1

: ,

x t

d y t t

z t                

Để  d1  và  d2  cắt nhau thì hệ phương trình sau có nghiệm: 

3 (1)

2 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 

1

t s   

 

. Thế 

1

t s   

 

 vào (3) ta được m1. 

Câu 47 Chọn A.

Cách 1:

Gọi  ;K H lần lượt là hình chiếu vng góc điểm O lên đường thẳng AB và mặt phẳng 

   

Ta có: A B, Oxz     OxzAB .  

 

OH HK AB

OK AB

OK AB



   





 

 

 

      



 Oxz ,   KH OK,  OKH

    

Suy ra tam giác OHK vng cân tại H. Khi đó:   , 

2

OK

d O  OH  

Mặt khác:   , 

2

OA AB

OK d O AB

AB 

  

 

   Khi đó:   , 

2

OK

d O  OH   

 

Cách 2:

Gọi nA B C, , 



 là VTPT của mặt phẳng   , với A2B2C20. 

Ta có: AB  4; 0; 4



. VTPT của mặt phẳng Oxz là j0;1; 0



   Vì A B,    nên AB n 0A C nA B A, , 

  

  Theo giả thiết, ta có phương trình: 

2

1

2

2

B

B A

A B

   



 

Khi đó mặt phẳng    đi qua A2; 0;1 nhận n1; 2;1



 làm VTPT nên có phương 

trình x 2y z  3 0. Vậy   , 

2

d O    

Câu 48 Chọn B.

Gọi H3 ; 4 t t; 7 t là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng     Ta có:  AH2 ; 4 t   t; t



 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng    là n2; 1;1  



 

450

H K



Vì H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng    nên AH    AH u 0 t

 

  Với t1 ta có H5; 3;    

Khi đó A là điểm đối xứng với A qua    khi H là trung điểm của đoạn AA. 

Vậy: tọa độ điểm H là   

2

2 9; 6; 11

2

A H A

A H A

A H A

x x x

x y y A

z z z

  

  





   



  



 

Câu 49 Chọn C.

Gọi M3 ; 2 t  t; 1 t( )d1  và N6 ';1t t'; 2 ' t    d2   Ta có: MN   4t6 ; 3t  t t; 3 t 2t



 

Vec tơ chỉ phương của  d1  và  d2  lần lượt là: u1  4;1;1 ;



 

2 6;1;

u  



 

Khi đó MN là đoạn vng góc chung của  d1  và  d2  khi  1

2

MN u MN u

MN u MN u

   

 



 

 

 

 

         

18 27 18

27 41 27

t t t

t t t



    



 

 

  

 

 

Với 

0

t t   

  

, ta có MN1; 2; 2MN3



  Câu 50 Chọn A.

Ta có: Vec tơ chỉ phương của  d1  và  d2  lần lượt là: u12; 1; ; 



 

2 3; 2;

u   



 

Gọi    là đường vng góc chung của  d1  và  d2

 

       

1

d d      

   

  Khi đó: vectơ chỉ phương của    là u u 1u2   3; 3;1 

  

  Câu 51 Chọn C.

Gọi A3t; ; 2  t t   d1 ; B4 ; ; 6 t   t t   d2   Ta có: AB1 t ;1 2t  t3 ; 4t  t t



 

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy là k0; 0;1 



 

Khi đó    vng góc với mặt phẳng Oxy khi và chỉ khi AB m k

   

2 1

4

2 1

t t t

AB

t t t



     

   

 

   

 

  Câu 52 Chọn D.

Cách 1: Gọi I0; 2; 0 là trung điểm của đoạn thẳng AB. 

Ta có:  MA MB  2MIIA IB  2MI

    

 

Khi đó  MA MB

 

Mà Mthuộc    nên MI ngắn nhất khi MI   . 

Hay nói cách khác M là hình chiếu vng góc của điểm I lên    

Mặt khác: IM1t t; ; 1 t



; vectơ chỉ phương của    là u1;1;1 



 

vì M là hình chiếu vng góc của điểm I lên    nên  u IM0 t

 

  với t0 ta có M1; 2;    

Cách 2: Gọi M1t; 2t; 1 t      Ta có  MA   t t; ; 4t



; MB      t t; ; t



  

 2 ; ; 2 

MA MB    t  t  t

 

 

2

12 2

MA MB t

    

 

  Do đó: 

min 2

MA MB

  

 

 khi t0M1; 2; 1 .  Câu 53 Chọn B.

  có vec tơ pháp tuyến n(3; 2; 3) 



;dcó vec tơ chỉ phương u(3; 2; 2)



  Ta có:M   d M(2 t; t; t)     ; AM( t; 2 t; t)    



 

Vì song song với    nên: 

       

t 2 t t

AM n             t



 . Vậy:M(8; 8; 5)    Câu 54 Chọn A.

Gọi M    M(11 ; ; )t   t t  .Hoành độ của điểm M bằng 0 nên: 11t0 t 0 

 

(0; 1; 0) 5.0 ( 1) 3.0 2

M  m m

            

Câu 55 Chọn A.

Ta có: AB( 2; 6; 4) 



,đường thẳng 

4

:

1

x t

AB y t

z t

   

   

   

  

Gọi H là hình chiếu của O lên AB 

(4 ; ;1 ) (4 ; ;1 )

H AB H t t t OH t t t

           



 

Lại có:  (4 )( 2) ( )(6) (1 )( 4) t

7

OHABOH AB    t     t   t      

22 1

; ; (22; 4; 5)

7 7 7

OH   u

    

 

 

 

Đường cao OH đi qua  (0, 0,0)O  nhận vec tơ u(22; 4; 5)



 làm vec tơ chỉ phương nên có  phương 

trình:

22

5

x t

y t

z t

  

    

  

. 

Xét hệ phương trình: 

3 2

2

x t

y t

z

x y z

    

   

 

    



 

     

2 t 2t 1 0

          (ln đúng) 

Do đó hệ phương trình có vơ số nghiệm .Vậy:d thuộc (P).   Câu 57 Chọn C.

có vec tơ chỉ phương u( 1;1;1)



; dcó vec tơ chỉ phương

 

(2; 1; 3) d

u   

d ( 1)2 1.( 1) 1.3

u u         nên ,d900. 

Câu 58 Chọn B.

1

d có vec tơ chỉ phương u1(4; 6; 8) 



;d2 có vec tơ chỉ phương u2( 6; 9;12) 

 

Ta có:

6 12

 

 

  nên u1



 và u2 cùng phương d1 và d2 song song hoặc trùng nhau. 

Chọn A(2; 0; 1) d1.Thay vào phương trình đường thẳng d2:2

6 12

  

 

 (vô 

nghiệm) 

Do đó:A(2; 0; 1) d2. Vậy d1 song songd2.  Câu 59 Chọn D.

1

d có vec tơ chỉ phương u1(4; 6; 8) 



;d2 có vec tơ chỉ phương u2( 6; 9;12) 

 

Ta có: 

6 12

 

 

  nên nên u1



 và u2 cùng phương d1 và d2 song song hoặc trùng 

nhau. 

Chọn A(2; 0; 1) d1,B(7; 2; 0)d2.Ta có: AB(5; 2;1);AB u, 2 (15; 66; 57)

 

 

 

Khi đó: 

2 2

2

1 2 2 2 2

2

AB, (15) ( 66) (57)

(d , ) (A, ) 30

( 6) (9) (12)

u

d d d d

u

 

  

 

   

  

 

  . 

Câu 60 Chọn A.

Đường  thẳng  AB  đi  qua  A1; 2;1   và  nhận  AB(1; 3; 2)  làm  vec  tơ  chỉ  phương  nên  có 

phương trình:

1

y

x  z

   

Câu 61 Chọn C.

Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và (P). M d M(3t; 1 t t; )  

     

M ( ) : 3 P t   1 t  2t 70 t 0. Vậy: M(3; 1; 0)  

Câu 62 Chọn D.

:

d  có VTCP u( 1;1;1)



 và đi qua  M(2; 1; 0)  nên có phương trình chính tắc:

1 1

y

x  z

 

[Phương pháp tự luận] 

Gọi d là đường thẳng đi qua 2 điểm A1; 2; 3  và B3; 1; 1 . Đường thẳng d đi qua 

(1; 2; 3)

A   và có vectơ chỉ phương udAB(2; 3; 4)

 

 nên có phương trình chính tắc là: 

2

1

2

y

x  z

 

  

[Phương pháp trắc nghiệm] 

Đường thẳng đi qua A1; 2; 3  và B3; 1;1  có vectơ chỉ phương AB(2; 3; 4)



 nên loại 

phương án A và C. Xét thấy điểm  (1; 2; 3)A   thỏa mãn phương trình chính tắc ở phương 

án B nên chọn B là đáp án đúng.  Câu 64 Chọn B.

Đường thẳng d có phương trình tham số là: 

12

x t

y t

z t

   

      

. 

Vì H d ( )P  suy ra H d H(12 ; ; 1 t  t t). Mà H P : 3x5y z 20 nên ta  có:  3(12 ) 5(9 ) (1 t   t  t) 2 026t780  t 3. 

Vậy H0; 0; 2 .   Câu 65 Chọn A.

Đường thẳng 

1

:

1

x t

d y t

z t

   

      

 có VTCP u(1; 1; 2)



.  

Mặt phẳng  P :x3y z  1 0 có VTPT n(1; 3;1)



.  Ta có: u n 1.1 ( 1).3 2.1 0   

 

 nên un

 

. Từ đó suy ra d//( )P  hoặc d( )P   

Lấy điểm M1; 2;1d, thay vào  P :x3y z  1 0 ta được: 1 3.2 1 0      nên  ( )

M P  Suy ra d//( )P   Câu 66 Chọn D.

Đường thẳng 

1

:

3

x t

d y t

z t

   

      

 có VTCP u(1;1; 1)



.  

Đường thẳng 

1

:

2

x t

d y t

z t

    

          

 có VTCP u' (2; 2; 2) 



.  

Ta thấy  ' 2u  u

 

 nên  , 'u u

 

 là hai vectơ cùng phương. Suy ra d d// ' hoặc d d '.  

' 1

3

2

2

3 2 1

2

t t

t t

t

t

   

   

   

    

 

    

 

    

 (vô nghiệm). Suy ra M(1; 2; 3)d'. 

Từ đó suy ra d d// '.  Câu 67 Chọn B.

Xét hệ phương trình: 

3 (1)

2 (2)

6 20 (3)

t t

t t

t t

     

      

     

 

Từ phương trình (1) và (2) suy ra t3 và t' 2. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó 

thỏa mãn. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm là t3, 't  2. 

Suy ra d cắt d' tại điểm có tọa độ 3; 7;18   Câu 68 Chọn C.

Xét hệ phương trình: 

1 (1)

2 (2)

1 ' (3)

mt t

t t

t t

     

   

    

 

Để đường thẳng d và d' cắt nhau thì hệ phương trình trên phải có nghiệm duy nhất. 

Từ phương trình (2) và (3) suy ra t2 và t' 0  Thay vào phương trình (3) suy ra m0.  

Câu 69 Chọn C. 

[Phương pháp tự luận] 

Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng d thì H d H(1t t; ; 2t). 

Ta có: MH(t1; ;t t1)



 và u(1; 2;1)



 là một VTCP của d. 

Vì MH d MH u MH u    0 t 4t t    1 t

   

 nên  (1; 0; 2)H  

Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d bằng độ dài đoạn MH. 

Ta có MH MH ( 1)2 02 12 2

     



.  [Phương pháp trắc nghiệm] 

Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ M tới d là: 

,

M M u h

u

 

 



 

  , với M0d.  

Câu 70 Chọn B.

Gọi MN là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d và d' (M d N d ,  '

). 

Vì M d M(1 ; 1 t  t;1) và Nd'N(2t'; 2 t'; 3t').  Suy ra MN(1 2 t t '; 1  t t'; 2t')



. 

Đường thẳng d và d' lần lượt có VTCP là ud (2; 1; 0)



 và ud'  ( 1;1;1) 

Ta có: 

'

3

2(1 ') ( ') 2

' . 0 (1 ') ( ') (2 ')

' d

d

t MN u

MN d t t t t

MN d MN u t t t t t

t

 

  

           

  

   

           

     

   

    

Từ đó suy ra  1; 1;1

2

MN   

 



 và 

2

MN MN 



. 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' bằng 

2  

[Phương pháp trắc nghiệm] 

Áp dụng cơng thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d và d' là: 

'

'

, '

,

d d

d d

u u MM

h

u u

 

 



 

 

  

   , (với M d M , 'd'). 

Câu 71 Chọn A.

Gọi  (1H t t; ; 2t)  là hình chiếu vng góc của M trên đường thẳng . 

Ta có MH( ; 2t t3; )t



 và u (1; 2;1) 

 là VTCP của đường thẳng . 

Vì MH  MH u  0 t 2(2t3) t 06t 6 0  t  

 nên  (0; 2;1)H    Câu 72 Chọn D.

A chia MN theo tỉ số k nếu AM kAN

 

. Ta có A a ; 0;c  Oxz. 

 ; 3; ; 5 ; 6; 

AM  a c AN a  c

 

. Ta có  1

5 2

a c

a c

  

 

    do đó 

9

a c

   

 

. 

7; 3; ; 14; 6; 6

AM  AN 

 

. Vậy 

2

AM AN

    Câu 73 Chọn A.

Do  M   nên  M1t; 2 t t; .  MA2 6t220t40,MB26t228t36.  Do  đó 

 2

2 12 48 76 12 2 28 28

MA MB  t  t  t     Dấu  bằng  xảy  ra  khi  t2  nên 

 1; 0; 4

M   

Câu 74 Chọn A.

Theo giả thiết d nằm trên mặt phẳng trung trực  Q  của AB . Tọa độ trung điểm của AB là 

3 ; ;1 2

I 

 , BA 3;1; 0

 

là vec tơ pháp tuyến của  Q  Phương trình của  Q : 3x y 70

. Đường thẳng d là giao tuyến của  P và Q   

Ta có ud nPnQ 1; 3; 2    

, M0; 7; 0     P  Q  Phương trình của d là

2

x t

y t

z t

  

     

.  

Gọi  A, B là  đoạn  vng  góc  chung  của  d1  và  d2.  A7m; 3 ; 9 m md1   và 

3 ;1 ;1 

B  n  n  n d  AB    n m; 2  n2 ; 3m   n n  

. 

Do 

2

0

20 0

AB n m m

n m n

AB n

     



 

  

  

  

 

 

   nên A7; 3; , B 3;1; , AB  4; 2; 8   

. Đường 

thẳng AB đi qua A có phương trình 

2

y

x  z

   

Câu 76 Chọn D.

Đường thẳng đi qua điểm A0; 1;1 cắt d2tại B. Ta có B t t ; ; 2, ABt; t 1;1 

do d1  

nên  1

4

u AB   t



 . Vậy  1; ;

4

B 

 

,  1; 3;1

4

AB   

 



. Phương trình đường thẳng 

AB:  1

1

y

x  z

 

   

Câu 77 Chọn C.

Vec tơ chỉ phương của Δlà u2; 3;1 



và Δqua M2; 0; 1  nên chọn đáp án C. 

Câu 78 Chọn B.

Vec  tơ  chỉ  phương  của  đường  thẳng  Δchính  là  vec  tơ  pháp  tuyến  của      nên 

4; 3; 7

u  



 và Δđi qua A1; 2; 3 nên chọn đáp án B. 

Câu 79 Chọn C.

Do các vectơ chỉ phương của d1 và d2là u12; 3; 4 

 và u24; 6; 8 

cùng phương với nhau nên 

//

1

d d hoặc d1d2. Mặt khác M1; 2; 3d1 và M1; 2; 3 cũng thuộc d2 nên d1 d2.  Câu 80 Chọn D.

Phương pháp tự luận

  Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương  (1; 2; 0)u   và đi qua điểm  ( 3; 2; 1)A   

  Mặt phẳng    có véc tơ pháp tuyến  (2;1; 3)n  

  Dễ thấy: 

2 0

A A A

x y z

u n

         

 

    



   . Vậy d nằm trong mặt phẳng    

Phương pháp trắc nghiệm

  Xét hệ gồm phương trình d và phương trình   : 

2

3 2

x y z

x t

y t

z

    



   

 

     

hệ vơ số 

nghiệm 

  Từ đó suy ra d nằm trong mặt phẳng    

Câu 81 Chọn C.

Vậy u2 2.u1

 

. Mặt khác A1(1; 0; 3)d1 nhưng khơng thuộc d2. Từ đó suy ra d1/ /d2.  Câu 82 Chọn D.

Phương pháp tự luận

  Xét hệ gồm phương trình d và phương trình (P): 

3

1

2

2

x y z x

x t y

y t z

z t t

      

 

  

 



 

   

 

    

 

 

  Từ đó suy ra d cắt mặt phẳng  P  tại điểm M(3; 0; 4 . 

Phương pháp trắc nghiệm

Dễ thấy tọa độ các điểm A3; 0; ;  B3; 4; 0 ; C3; 0; 4 khơng thỏa mãn phương trình 

mặt phẳng (P). 

Kiểm tra M(3; 0; 4  thỏa mãn phương trình 

1

:

2

x t

d y t

z t

   

      

 và phương trình mặt phẳng 

 P :x3y z  1 0. Vậy suy ra d cắt mặt phẳng  P  tại điểm M(3; 0; 4 .  Câu 83 Chọn B.

Đường thẳng 

2

:

2

x t

d y t

z t

  

      

 đi qua  (0;1; 2)A  và có véc tơ chỉ phương  (2; 1;1)u   

Từ đó loại đáp án A, C (do tọa độ của A khơng thỏa mãn) và đáp án D (do hai véc tơ chỉ  phương khơng cùng phương). 

Câu 84 Chọn D.

Ta có: AB( 1; 1; 5)   là một véc tư chỉ phương của đương thẳng AB.  

Kiểm tra thấy tọa độ điểm A thỏa mãn cả ba phương trình (I); (II); (III) 

Từ đó suy ra cả (I), (II) và (III) đều là phương trình đường thẳng AB. 

Câu 85 Chọn C.

Dễ thấy AB(0; 1; 1);  AC(0; 2;1) AB AC;  ( 3; 0; 0)

 

   

. Vậy sai ở bước 2.  Câu 86 Chọn D

Phương pháp tự luận

Đường thẳng  có véc tơ chỉ phương u(1; 1; 3) 



. 

Đường thẳng chứa trục Ox có véc tơ chỉ phương  (1; 0; 0)i



. 

Theo giả thiết ta có đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là: u u i; (0; 3; 1)

 

  

 

Từ đó dễ dàng suy ra được phương trình đường thẳng d là: 

0

x

y t

z t

  

     

. 

Kiểm tra các đường thẳng có phương trình:  x t y t z t          ;  x y t z t           ; 

1

y

x z

 

  đều khơng 

vng góc với . 

Kiểm tra đường thẳng có phương trình  x y t z t           thấy thỏa mãn u cầu bài tốn; đó là:    +/ Tọa độ điểm O (0;0;0) thỏa mãn phương trình 

  +/ Véc tơ chỉ phương  (0; 3;1)u 



 vng góc với hai véc tơ  (1; 0; 0)i  và u(1; 1; 3)  

.  Câu 87 Chọn D

Phương pháp tự luận

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương  (4; 1; 2)u 



 và đi qua điểm  (3; 1; 4)A   

Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến  (1; 2; 1)n 



. 

Dễ thấy:  3

2

A A A

x y z

u n                 

   . Vậy d nằm trong mặt phẳng  P  

Phương pháp trắc nghiệm

Chuyển phương trình d về dạng phương trình chính tắc: 

4

y

x  z

 

  

Xét hệ gồm phương trình d và phương trình (P): 

2

1

4

3

4

x y z

y x x z                      

Dễ thấy hệ vơ số nghiệm (x;y;z). Từ đó suy ra d nằm trong mặt phẳng  P  

Câu 88 Chọn D. 

Gọi u u 1; 2 lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2. 

1 (1; 1; 0); ( 1; 0; 1)

u  u  

 

  

Áp dụng cơng thức ta có   1 2  1 2

1

1 1

cos , cos ,

2

1 1

u u

d d u u

u u                

d d1, 2 60

  . 

Câu 89 Chọn C.

Gọi  ;u n  lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng  và mặt phẳng (P). 

1; 2; ; 5; 11; 2

u  n

 

  

Áp dụng cơng thức ta có     

2 2 2

1.5 11.2 1.2 1

sin ,( ) cos ,

2

11

u n

P u n

 

 , P  30

     

Câu 90 Chọn D. 

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A O(0; 0; 0)  

Suy ra B a( ; 0; 0); ( ; ; 0);C a a D(0; ; 0)a  

'(0; 0; ); '( ; 0; ); '( ; ; ); '(0; ; )

A a B a a C a a a D a a  

; 0; ; ; ; ; 0; ;

2 2

a a a

M a  N a  P a

      

Suy ra  ; ; ; ' ; 0; '

2 2

a a a

MP  a  NC  aMP NC 

   

   

  

(MP NC, ') 90

   

Câu 91 Chọn A. 

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A O(0; 0; 0)  

Suy ra B a( ; 0; 0); (0; ; 0);C a D(0; 0; )a   Ta có DB a( ; 0; 2 );a DC(0; ; )a  a  

4

cos( , ) cos( ; )

5

DB DC

DB DC DB DC

DB DC

  

   

    

Câu 92 Chọn C. 

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD AC2 CD2 1

     

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A O(0; 0; 0)  

Suy ra B(0; 2; 0); (1; 2; 0);C D(1; 0; 0) 

0; 0; ; 1; 0;

2

S K 

 

 

 

Suy ra  1; 2; ; 0; 2; 0

2

CK   AB

 

 

  

   

cos , cos ;

22

CK AB

CK AB CK AB

CK AB

  

   

   

Câu 93 Chọn B. 

Ta có nP(3; 4; 5)  

, (2; 1; 1)

d

n  n n

 

  

  

Áp dụng công thức 

3

sin(( ), )

2

P d

P d

n u P d

n u

 

 

   

Câu 94 Chọn D. 

Cách 1: M5 ; ; 2 t  t  td; AM2 ; 3 ; 2 m  m   m



  

P

N M

B' A'

A D

C'

B C

z

x

y D'

D

A

B

C

x

z

y

C D

A B

S z

x

   

 

2 5;1;

17 17 17

2 1; 5;

M m

AM m

m M



 

       

   

 

  

Cách 2: Kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng d có 2 cặp điểm trong đáp án B và C thuộc 

đường thẳng d . Dùng cơng thức tính độ dài AM suy ra đáp án C thỏa mãn. 

Câu 95 Chọn C. 

Gọi n a b c n ; ; ; 0

  

 là VTPT của  P ;  là góc tạo bởi  P và Oy,  lớn nhất khi sin lớn 

nhất. Ta có n vng góc với ud



 nên n b 2 ; ;c b c



  

  2

sin cos ,

2

b n j

b c bc

  

 

 

   Nếu b0thì sin = 0.  

Nếu b0thì 

2

1 sin

5

5

c b

 

 

 

 

 

 

. Khi đó, sin lớn nhất khi 

5

c

b    

 chọn b5;c 2  

Vậy, phương trình mp P  là x5y2z 9 0. Do đó ta có N P  

Câu 96 Chọn A. 

Gọi M t 1; ; 6t t9 , t. 

Ta có   2      

,

, , ,

M M u

d M d M P d M P

u

 

 

   

 

   

2 11 20

29 88 68

3

t

t t 

    với M01; 3; 1 2  

 

1

1 53

35 t

t

t t



  

  

  



  

Vậy, M0; 1; 3 d M ,(Oxy)3.   Câu 97 Chọn B. 

Ta có 2 đường thẳng AB và d chéo nhau. 

Gọi C là điểm trên d và H là hình chiếu  vng 

góc của C trên đường thẳng AB. 

Vì  11

2

ABC

S  AB CH  CH  nên  SABC  nhỏ  nhất 

khi CH nhỏ nhất CH là đoạn vng góc chung 

của 2 đường thẳng AB và d. 

Ta có C1; 0; 2AC 29. 

Câu 98 Chọn A. 

C A

 P  là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với 

đường thẳng d nên  P  chứa đường thẳng dđi qua 

điểm A và song song với đường thẳng d. 

Gọi H là hình chiếu của A trên d, K là hình chiếu 

của H trên  P   

Ta có d d P ,  HK AH   (AH không đổi) 

 GTLN của d d P( , ( )) là AH 

 d d P ,   lớn nhất khi AH vng góc với  P  

Khi đó, nếu gọi  Q  là mặt phẳng chứa A và d thì  P  vng góc với  Q  

 

    

, 98;14; 70

97

:7 77 ,

15

P d Q

n u n

P x y z d M P

 

   

 

      

  

  

Câu 99 Chọn A. 

Gọi H  là  hình  chiếu  của A  trên d;  K  là  hình 

chiếu của A trên  P   

Ta có d A P ,  AK AH   (Khơng đổi)   GTLN của d d P( , ( )) là AH  

⟹ d A P ,   lớn nhất khi K H    Ta có H3;1; 4,  P  qua H và  AH 

 P x: 4y z

       

Vậy   ,  11 18

18

d M P    

Câu 100 Chọn D. 

Gọi  là đường thẳng cần tìm, nP là VTPT của mặt phẳng  P  

Gọi M1t t; ; 2 t là giao điểm của  và d; M3t;1t; 2 t là giao điểm của   và d'. 

Ta có: MM' 2  t t;1   t t; 2t2t



  

MM //     4 ; ; 

P

M P

P t MM t t t

MM n

 

  

        

  





    

Ta có cos O cos 

2

6

3

30 ,

1

2 36 108 156

d

t t

MM u

t

t t

   



    

 

  

 

  

P

d' A

K H P

d' d H

Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là  1 2

: ; :

10

x x t

y t y

z t z t



   

 

       

     

 

.  

Khi đó, cos 1, 2

2

     

Chủ đề 5 THỦ THUẬT CASIO GIẢI NHANH CHUYÊN ĐỀ OXYZ



A TÍNH NHANH THỂ TÍCH CHĨP, DIỆN TÍCH TAM GIÁC

I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Ứng dụng tích có hướng tính diện tích tam giác

 Cho tam giác ABC có diện tích tam giác ABC tính theo cơng thức ;

2

S AB AC

 

 

 Ứng dụng tính chiều cao AH tam giác ABC :

;

2.SABC AB AC

AH

BC BC

 

 

 

  

2 Ứng dụng tích có hướng tính thể tích hình chóp

 Thể tích hình chóp ABCDđược tính theo công thức ;

6

ABCD

V  AB AC AD 

 

  

 Ứng dụng tính chiều cao AH hình chóp ABCD :

;

;

ABCD BCD

AB AC AD V

AH

S BC BD

 

 

 

 

 

    

3 Lệnh Caso

 Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE

 Nhập thông số vecto MODE 1

 Tính tích vơ hướng vecto : vectoA SHIFT vectoB

 Tính tích có hướng hai vecto : vectoA x vectoB

 Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP

 Lệnh tính độ lớn vecto SHIFT HYP

 Lệnh dị nghiệm bất phương trình MODE

 Lệnh dị nghiệm phương trình SHIFT SOLVE

II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài toán 1: Cho điểm A1; 0;1 , B2; 2; 2 , C5; 2;1 , 4; 3; 2  Tính thể tích tứ diện ABCD

A.6 B.12 C.4 D

Lời giải:

o Nhập thông số ba vecto AB AC AD, ,

  

w8112p1=2p0=2p1=w8215p1= 2p0=1p1=w8314p1=3p0=p2p1=

o Áp dụng cơng thức tính thể tích ;

6

ABCD

V  AB AC AD  

 

  

Wqcq53q57(q54Oq55))P6=

 Đáp số xác C

Bài toán 2: Cho A2;1; 1 , B3; 0;1, C2; 1; 3  Điểm D nằm trục Oy thể tích tứ diện

ABCD Tọa độ D :

A.0; 7; 0  B  

 

0; 7; 0; 8;

 

 

C.0; 8; 0 D  

 

0;7; 0; 8; 

   Lời giải:

o Ta có : ; ; 30

6

V  AD AB AC   AD AB AC  

   

     

o Tính  AB AC;  Casio ta AB AC;  0; 4; 2  

 

 

w8111=p1=2=w8210=p2=4=W q53Oq54=

o Điểm D nằm Oy nên có tọa độ D0; ; 0y AD2;y1;1 

Nếu   AD AB AC ;   30

w10O(p2)p4(Q)p1)p2O1p30

qr1=

Ta thu y  7 D0; 7; 0  Nếu   AD AB AC ;    30

Ta thu y8D0; 8; 0  Đáp số xác B

Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A1; 2; 0, B3; 1;1 , C1;1;1 Tính diện

tích S tam giác ABC

A.S B.S C

2

S D.4

3 S

Lời giải:

o Nhập vecto AB AC,

 

vào máy tính Casio

w8112=p3=1=w8210=p1=1=

o Diện tích tam giác ABC tính theo công thức: ; 1.732

2

ABC

S  AB AC  

 

 

Wqcq53Oq54)P2=

 Đáp số xác A

Bài tốn 4: Cho hai điểm A1; 2; 0, B4;1;1 Độ dài đường cao OH tam giác OAB :

A

19 B

86

19 C

19

86 D

54 11 Lời giải:

o Tính diện tích tam giác ABC theo cơng thức ;

2

OAB

S  OA OB

 

 

w8111=2=0=w8214=1=1=Wqc q53Oq54)P2=

o Gọi h chiều cao hạ từ O đến đáy AB ta có cơng thức

OAB

S  h AB h 2S

AB

 

o Tính độ dài cạnh AB AB



w8113=p1=1=Wqcq53)=

Giá trị lẻ ta lại lưu vào biến B

qJx

2

2.2156

A h

B

   

2QzPQx=

 Đáp số xác D

Bài tốn 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có

2; 3;1 , 4;1; , 6; 3; ,

A B  C D 5; 4; 8 Độ dài đường cao kẻ từ D tứ diện là:

A.11 B.45

7 C

5

5 D

4 3 Lời giải:

o Ta tính thể tích tứ diện ABCD theo cơng thức ; 154

6

V  AB AC AD  

 

  

 

w8112=p2=p3=w8214=0=6= w831p7=p7=7=Wqcq53

q57 q54Oq55 )P6=

o Gọi h khoảng cách từ D

3 ABC

V h S

  154

ABC ABC

V h

S S

   :

o Tính SABC theo cơng thức ; 14

2

ABC

S  AB AC 

 

 

Khi 154 11 14

h 

 Đáp số xác A

Bài tốn 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A1; 5; 0, B3; 3; 6 : 1

2

y

x z

d    



Điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ có tọa độ :

A.M1;1; 0 B.M3; 1; 4  C.M3; 2; 2  D.M1; 0; 2 Lời giải:

o Diện tích tam giác ABM tính theo cơng thức ; ;

2

S AB AM  S AB AM

   

   

o Với M1;1; 0 ta có 2S29.3938

w8112=p2=6=w821p2=p4=0=Wqc q53Oq54)=

o Với M3; 1; 4  ta có 2S29.3938

w8212=p6=4=Wqcq53Oq54)=

o Với M3; 2; 2  ta có 2S32.8633

w821p4=p3=p2=Wqcq53 Oq54)=

o Với M1; 0; 2 ta có 2S28.1424

w8210=p5=2=Wqcq53Oqc4 ooq54)=

Bài toán 7: Cho A2; 1; 6  , B  3; 1; 4 , C5; 1; 0  , D1; 2;1 Thể tích tứ diện ABCDbằng :

A 30 B 40 C 50 D.60

Lời giải:

Thể tích tứ diện ABCD tính theo cơng thức ; 30

6

V  AB AC AD  

 

  

 

w811p5=0=p10=w8213=0=p6= w831p1=3=p5=Wqcq53q57

q54Oq55 )P6=

Vậy đáp số xác A

Bài tốn 8: Cho bốn điểm A a ; 1; 6  , B  3; 1; 4 , C5; 1; 0  , D1; 2;1 thể tích tứ diện ABCD 30 Giá trị a :

A.1 B.2 C 32 D.32

Lời giải:

o Vì điểm A chứa tham số nên ta ưu tiên vecto BA tính sau Cơng thức tính thể tích

ABCD ta xếp sau : ;

6

V  BA BC BD 

 

  

o Tính BC BD;    12; 24; 24 

 

 

w8118=0=4=w8214=3=5= Wq53Oq54=

o Ta có ; 30 ; 180

6

V  BA BC BD   BA BC BD  

   

     

Với BA BC BD ; 180BA BC BD ; 180 0

   

     

2

a

 

w1p12 Q( )+3)p24O0+24 6+4( )

p180qr1=

Với BA BC BD ;  180BA BC BD ; 180 0

   

     

32

a

 

 Đáp án xác C

Bài tốn 9: Viết phương trình mặt phẳng  P qua M1; 2; 4 cắt tia Ox Oy Oz, ,

tại A B C, , cho VOABC 36

A

3 12

y

x z

   B

4

y

x z

   C

6 12

y

x z

   D Đáp án khác

Lời giải:

o Trong đáp án có mặt phẳng đáp án A qua điểm M1; 2; 4 ta kiểm tra tính sai đáp án A

o Theo tính chất phương trình đoạn chắn mặt phẳng  :

3 12

y

x z

P    cắt tia

, ,

Ox Oy Oz điểm A3; 0; , B 0; 6; , C 0; 0;12 Hơn điểm , , ,O A B C lập

thành tứ diện vuông đỉnh O

o Theo tính chất tứ diện vng 1.3.6.12 36

6

OABC

V  OA OB OC   (đúng)

 Đáp án xác A

Bài tốn 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A0;1; 0, B2; 2; 2, C2; 3;1 đường

thẳng :

2

y

x z

d     

 Tìm điểm M thuộc d cho thể tích tứ diện MABC

A 3; 1; ; 15 9; ; 11

2 2

   

   

   

    B

3 15 11

; ; ; ; ;

5 2

   

  

   

   

C 3; 1; ; 15 11; ;

2 2

   



   

   

D 3; 1; ; 15 11; ;

5 2

   



   

   

Lời giải: o Điểm M thuộc d nên có tọa độ M1 ; 2 t  t; 2 t

o Thể tích tứ diện MABC tính theo cơng thức ;

6

V  AM AB AC 

 

  

Tính  AB AC;      3; 6; 6

w8112=1=2=w821p2=2=1= Wq53Oq54=

o Ta có ; ; 18

6

V  AM AB AC   AM AB AC  

   

Với AM AB AC ; 18AM AB AC ; 18 0

   

     

w1p3 1+2Q p6 p2pQ p1

+6 3+2Q p1

(

8 )

q )

r

( ) )

( )) 1=qJz

Ta 3; 1;

4 2

t  M  

 

Với AM AB AC ;  18AM AB AC ; 18 0

   

     

Rõ ràng có đáp số A chứa điểm M A đáp số xác

Bài tốn 11: Cho A0; 0; 2 , B3; 0; 5 , C1;1; 0, D4;1; 2 Độ dài đường cao tứ diện

ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC :

A 11 B

11 C.1 D 11

Lời giải:

o Tính thể tích tứ diện ABCD theo cơng thức ; 0.5

6

V  AB AC AD  

 

  

w8113=0=3=w8211=1=p2= w8314=

(

1=0=Wqcq53q57 q54Oq55))P6=

o Gọi h chiều cao cần tìm Khi

3

ABCD ABC

ABC

S

V h S h

S

  

Tính diện tích tam giác ABC theo công thức ;

2

ABC

S  AB AC

 

 

Wqcq53Oq54)P2=qJz

Vậy 0.3015

11

ABC

V h

S

B TÍNH NHANH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG – MẶT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Vị trí tương đối đường thẳng

 Cho hai đường thẳng d 'd có hai vecto phương ud

 ud'



và có hai điểm M M, ' thuộc hai đường thẳng

 d d ' udk u d'  

và có khơng có điểm chung

 d d ' ud k u d'  

có điểm chung

 d cắt 'd nếuud



không song song ud'



vàMM u u' d, d' 

  

 d chéo 'd ud



không song song ud'



MM u u' d, d' 

  

2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

 Cho đường thẳng d mặt phẳng  P có vecto phương ud



vecto pháp tuyến nP



 d P ud

  nP



khơng có điểm chung

 d P ud  nP có điểm chung

 d P udk n P  

3 Lệnh Caso

 Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE

 Nhập thông số vecto MODE 1

 Tính tích vơ hướng vecto : vectoA SHIFT vectoB

 Tính tích có hướng hai vecto : vectoA x vectoB

 Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP

 Lệnh tính độ lớn vecto SHIFT HYP

 Lệnh dò nghiệm bất phương trình MODE

 Lệnh dị nghiệm phương trình SHIFT SOLVE

II MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA

Bài tốn 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzđường thẳng 1: 1

2

y

x z

d     

 đường

thẳng 2: 2

2

y

x z

d     

 Vị trí tương đối d d1, :

A.Cắt B.Song song C.Chéo D Vng góc

Lời giải:

o Ta thấy  

1 2;1;

d

u 



không tỉ lệ  

2 2; 2;

d

u 



   d1 , d2 không song song trùng

Xét tích hỗn tạp

1

1 d ; d

M M u u 

  

máy tính Casio theo bước : Nhập thơng số vecto

1

1 2, d , d

M M u u

  

vào vecto A, vecto B, vecto C

w811p2=p3=p1=w8212=1=p3=w83 12=2=p1=

Tính

1

1 d ; d

M M u u 

  

Wq53q57(q54Oq55)=

Ta thấy

1

1 d ; d

M M u u  

  

 hai đường thẳng    d1 , d2 đồng phẳng nên chúng cắt  Đáp số xác A

Bài tốn 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối hai đường thẳng

r

1

:

5

x

d y t

z t

   

   

   

7

' : 2

1

x m

d y m

z m

  



   

   

A Chéo B Cắt C Song song D Trùng

Lời giải: o Ta có hai vecto phương ud2; 3; 4 



và ud'3; 2; 2  

không tỉ lệ với  Không song song trùng  Đáp án C D sai

o Chọn hai điểm M1; 2; 5  thuộc d M' 7; 2;1   thuộc 'd Xét tích hỗn tạp M M1 2ud1;ud2

  

máy tính Casio theo bước : Nhập thông số vecto

1

1 2, d , d

M M u u

  

vào vecto A, vecto B, vecto C

w8117p1=p2p(p2)=1p5=w8212=p 3=4=w8313=2=p2=

o Tính

1

1 d ; d

M M u u 

  

Ta thấy

1

1 d ; d 64

M M u u    

 

  

 hai đường thẳng    d , d' không đồng phẳng nên chúng chéo

 Đáp số xác A

Bài tốn 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng  :

1

y

x z

d    

  mặt

phẳng  P : 3x3y2z6 0 Mệnh đề ?

A d cắt khơng vng góc với  P B d P

C. dsong song với P D d nằm  P

Lời giải:

o Ta có ud1; 3; 1   nP3; 3; 2  Nhập hai vecto vào máy tính Casio w8111=p3=p1=w8213=p3=2=

o Xét tích vơ hướng u nd P 10  

d

u

 

khơng vng góc với nP



 

,

d P

 song song

trùng  Đáp số A B Wq53q57q54=

o Lại thấy ud,nP

 

không song song với d vuông góc với  P  Đáp số B sai Vậy đáp án xác A

Bài tốn 4: Xét vị trí tương đối đường thẳng :

8

y

x z

d      đường thẳng

  :x2y4z 1

A. d cắt khơng vng góc với  P B. d P

C. dsong song với P D. d nằm  P

Lời giải:

o Ta có ud8; 2; 3 nP1; 2; 4  Nhập hai vecto vào máy tính Casio w8118=2=3=w8211=2=p4=

o Xét tích vơ hướng u nd  0  

d

u

 

vng góc với nP



 

,

d P

 song song d thuộc