Hình học giải tích không gian

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Bài 1.[r]

CHUYÊN ĐỀ

12:

HÌNH H

Ọ

C GI

Ả

I TÍCH TRONG KHƠNG

CÁC CƠNG THỨC CẦN NHỚ

Tích vô hướng hai véc tơ v1( ,x y z1 1, )1 véc tơ v2 ( ,x y z2 2, 2)là số

1 2 2

v v x x y y z z



Tích có hướng hai véc tơ véc tơ xác định

1 1 1

1

2 2 2

, y z ,z x , x y

v v

y z z x x y

 

      

 



Có v1v v 1, 2;v2v v1, 2  ; v v1, 2  v 1.v2.sin

Diện tích tam giác tạo ba điểm A B C, , không thẳng hang

1 ,

ABC

S   AB AC

Tích hỗn tạp ba véc tơ ( ,  v v v1 2, )3 sốvà ký hiệu





1 1

1 2

3 3 , ,

x y z D v v v x y z x y z



  

Ba véc tơ đồng phẳng D v v v



  1, 2, 3



0

Thể tích tứ diện tạo đỉnh A B C D, , , tính cơng thức

1

( , , ) ,

6

ABCD

V  D AB AC AD      AB AC AD

Thể tích hình hộp dựng ba véc tơ v v v  1, 2, 3được xác định công thức

1 3

( , , ) ( , ) V  D v v v    D v v  v

Cho đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương u( , , )a b c 

và mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp

tuyến n( , , )A B C 

, góc tạo

   

d , P xác định

2 2 2

sin =

u n Aa Bb Cc u n A B C a b c

   

   

 

 

Cho hai đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u



a b c, ,





và đường thẳng

 

d2 có véc tơ

chỉphương v( ', ', ')a b c , góc 

   

d1 , d2 xác định

2 2 2

' ' '

os

' ' '

u v aa bb cc c

u v a b c a b c

    

   

 

 

 



;



0,

MM u d M d

u

    

 

 ( lưu ý tử thức độdài véc tơ trị tuyệt đối)

Khoảng cách hai đường thẳng chéo

 

d1 qua điểm M , có véc tơ chỉphương u đường thẳng

 

d2 qua điểm N, có véc tơ chỉphương vđược xác định

   





, ,

, u v MN

d d d

u v

    

   

  

  ( lưu ý mẫu độdài véc tơ, tử thức giá trị tuyệt đối) Tất công thức áp dụng tính trực tiếp thi

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Cho đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương avà mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến nvà cặp véc tơ chỉphương a a 1, 2

+ Đường thẳng

 

d mặt phẳng

 

P điểm chung ta nói

   

d / / P Vậy

   

d / / P xảy thỏa mãn điều kiện:

(i) Hệphương trình tạo đường thẳng

 

d mặt phẳng

 

P vô nghiệm (ii) anvà tồn điểm A

 

d ,A

 

P

(iii) alà véc tơ chỉphương

 

P tồn điểm A

 

d không thuộc

 

P

+ Đường thẳng

 

d mặt phẳng

 

P có hai điểm chung phân biệt ta nói

   

d  P , xảy thỏa mãn điều kiện:

(i) Hệphương trình tạo đường thẳng

 

d mặt phẳng

 

P vô số nghiệm (ii) Mặt phẳng

 

P qua hai điểm phân biệt A B, 

 

d

(iii) Mặt phẳng

 

P qua điểm A

 

d nhận a



làm véc tơ chỉphương

+ Đường thẳng

 

d có điểm chung với

 

P ta nói

 

d cắt

 

P , xảy hệ phương trình tạo đường thẳng

 

d mặt phẳng

 

P có nghiệm

Đường thẳng

   

d  P a/ /n

Cho hai đường thẳng

   

d1 , d2 phân biệt theo thứ tựcó véc tơ chỉphương a a 1, 2 Lấy

hai điểm A

 

d1 ,B

 

d2 ;AB

Khi xét tích hỗn tạp véc tơ D a a AB( , , 1 2 )

+ Giữa hai đường thẳng song song

   

d1 , d2 khơng gian có dạng tốn sau: (i) Viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa hai đường thẳng song song

   

d1 , d2

(ii) Viết phương trình đường thẳng

 

d song song, cách

   

d1 , d2 thuộc mặt phẳng chứa

   

d1 , d2

(iii) Tính khoảng cách hai đường thẳng

   

d1 , d2

+ Giữa hai đường thẳng cắt

   

d1 , d2 khơng gian có dạng tốn sau: (i) Viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa

   

d1 , d2

(ii) Viết phương trình đường phân giác tạo

   

d1 , d2

+ Giữa hai đường thẳng chéo

   

d1 , d2 không gian có dạng tốn sau: (i) Viết phương trình đường vng góc chung

   

d1 , d2

(ii) Tính khoảng cách hai đường thẳng

   

d1 , d2 (iii) Viết phương trình mặt phẳng cách

   

d1 , d2

(iv) Viết phương trình hai mặt phẳng

   

P , Q song song với chứa

   

d1 , d2

(v) Viết phương trình mặt phẳng

 

P cách

   

d1 , d2

(vi) Viết phương trình đường thẳng

 

d qua điểm M cho trước cắt

   

d1 , d2

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho mặt phẳng

 

P đường thẳng

 

d có phương trình

 

P : 4x3y7z 7 0và

 

: 5

2

x y z

d

x y z

    



    

Chứng minh

   

d  P

Lời giải:

Cách 1: Xét hệphương trình tạo

 

d

 

P

5 5

5

2

9

4 7 18 10 14

x y z x y z

x y z

x y z x y

x y

x y z x y

       

 

    

 

        

  

   

        

 

hệ vô số nghiệm,

đó

   

d  P đpcm

Cách 2: Lấy hai điểm phân biệt 7, 0,5 ; 0, 2,

 

9 5

A  B   d

    thay tọa độ A B, vào

phương trình

 

P ta được:

7

4 3.0 7

9

7

4.0 7

5



    

 

 

       

   

Bài 2. Biện luận theo tham số m vịtrí tương đối mặt phẳng

 

P đường thẳng

 

d , biết:

 

P :m x2 2y z 1 3m 0

     ,

 

: ,

3

x t d y t t

z t

  

   

   

 Lời giải:

Thay x y z, , từphương trình

 

d vào phương trình

 

P ta phương trình:





4 6(*)

m  t m

+ Nếu

4

m   m 

- Với m2(*)vơ số nghiệm,

   

d  P - Với m  2 (*)vô nghiệm,

   

d / / P

+ Nếu m  2 (*)có nghiệm nhất,

   

, 1,

2 2

m m

d P A

m m m



 

   

  

 

Bài 3.Cho đường thẳng









0

: ,

1

m

x mz m d

m x my

   

 

   



m tham số

Chứng minh



dm



luôn qua điểm cốđịnh nằm phẳng cốđịnh

Lời giải:

Giả sửđiểm M x y z



0, 0, 0



là điểm cốđịnh mà



dm



ln qua,













0

0 0

0

0 0 0

0

0

, ,

1 0

1

x

x mz m x z m

m m y

m x my x m x y

z

        



  

    

  

     

 

   



Vậy



dm



luôn qua điểm cốđịnh M



0, 0,1



Từphương trình đường thẳng



dm



, ta suy

 

0 :

mxmymz m   x y  z  P xy  z mặt phẳng mà



dm



luôn thuộc

 

P

Bài 4. Cho mặt phẳng

 

P : 2xmy  z 0,

 

:

2

x y z

d

x y z

    



    

Tìm giá trị m để:

a

   

d / / P

b

   

d  P

Lời giải:

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương 2 31, ,



4, 4, 4



12 21 1

a   

 

 



Mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến n



2, ,1m



b

   

/ /

4 4

m

d  P a n  

 

 

vô lý Vậy không tồn m để

   

d  P

Bài 5.Cho đường thẳng

 

: 27

6

x y z

d

x y z

    



    

và mặt phẳng

 

P : 2x5y z 170

Xác định phương trình đường thẳng qua giao điểm Acủa

 

d

 

P vng góc với

 

d , nằm mặt phẳng

 

P

Lời giải:

+ Xét hệphương trình tạo

 

d

 

P

   





2 27

6 2, 5,

2 17

x y z x

x y z y d P A

x y z z

    

 

 

          

 

      

 

+ Gọi alà véc tơ chỉphương

 

d , ta a 



11, 27,15



Gọi

 

Q mặt phẳng qua Avà vng góc với

 

d ,

 

Q nhận alàm véc tơ pháp

tuyến, nên

 

Q : 11



x2



27



y5



15



z4



0

 

Q : 11 x27y15z970

Khi đó, đường thẳng cần tìm giao hai mặt phẳng

 

P

 

Q Vậy đường thẳng cần tìm

 

: 17

11 27 15 97

x y z

z y z

    

 

     

Bài 6.Cho hai đường thẳng

 

1

2

:

3

x t d y t

z t

  

   

   

 

2

2

:

3

x u

d y u

z u

   

   

   

Chứng minh

 

d1

 

d2 chéo xác định phương trình mặt phẳng

 

P song song

và

   

d1 , d2

Lời giải:

+

 

d1 có véc tơ chỉphương a1



2,1, 3





và

 

d2 có véc tơ chỉphương a2 



1, 2, 3





Lấy điểm A



1, 2, 3

  

 d1 ;B



2, 3,1

  

 d2 suy AB



1, 5, 4



Ta có



1 2



21

, , 12 24

1

D a a AB    

  

Vậy

 

d1

 

d2 chéo + Gọi Ilà trung điểm 3, 1,

2

ABI   

 khi mặt phẳng cần tìm qua Ivà có cặp

véc tơ chỉphương

 





1

1 2

1

3 2

1

, : ,

2 3

x t t

a a P y t t t t

z t t



   

 

       

    

 

 

Bài 7. Viết phương trình đường thẳng

 

d song song, cách hai đường thẳng

 

1

2

:

3

x y z

d     

 ,

 

2

3

:

3

x y z

d    

 thuộc mặt phẳng chứa

   

d1 , d2

Lời giải :

+

   

d1 / / d2 ,

 

d1 có véc tơ chỉphương a



3, 1, 4



Lấy điểm A



2,5,9

  

 d1 ;B



0; 3; 7 

  

 d2 suy trung điểm ABlà I



1,1,1



Khi

đó đường thẳng cần tìm qua Ivà có véc tơ chỉphương a

Vậy

 

: 1

3

x y z

d     



Bài 8.Cho hai đường thẳng

 

1

0

:

1

x d y

z t

  

     

và

 

2

2

:

0

x u d y

z

  

     

Chứng mỉnh

 

d1

 

d2 cắt Xác định tọa độgiao điểm chúng Viết phương

trình đường phân giác tạo

   

d1 , d2

Lời giải :

+ Xét hệphương trình tạo

   

d1 , d2 , ta có

   

1





0 2

1

1 0,1,

1

1

u

u

d d I

t t

  

  

    

 

    



+ Lấy điểm A



0,1, 2

  

 d1 ,B



2u2,1, 0

  

 d2 cho





2

2

4 2

IA IB   u u u

+ Với u 0 B1



2,1, 0



, ta có tọa độtrung điểm AB1là I1



1,1,1



II1 



1, 0,1



,

khi đường phân giác cần tìm qua Ivà có véc tơ chỉphương II1 :

 

1 :

x t y z t

      

  

+ Với u2B2



2,1, 0



tương tựta có đường phân giác



2



:

x t y z t

     

  

Bài 9.Cho hai đường thẳng

 

1 :

4

x y z

d    

 

 

2

7

:

6 12

x y z

d    



Chứng minh

 

d1 song song với

 

d2 , viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa

   

d1 , d2

và tính khoảng cách

   

d1 , d2

+ Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u



4, 6, 8 



và đường thẳng

 

d2 có véc tơ phương v 



6, 9,12





, suy u / /v Lấy điểm A



2, 0, 1 

  

d1 thay vào phương trình

 

2

2

6 12

d     

 vơ lý Từđó suy

   

d1 / / d2 Ta có đpcm

+ Lấy điểm B



7, 2, 0

  

 d2 Mặt phẳng

 

P chứa

   

d1 , d2 nên

 

P qua điểm Avà có cặp véc tơ chỉphương u AB,

 

nên

 

2

:

1

x u v

P y u v

z u v

   



  

     

+ Do

   

d1 / / d2 nên



   

1 2





 

2



, 854

, ,

29

AB v d d d d A d

v

   

  

  

Bài 10.Cho hai đường thẳng

 

1 :

2

x y z

d     



 

2

1 :

2

x t

d y t

z t

   

   

    

Chứng minh

 

d1

 

d2 cắt xác định tọa độgiao điểm Icủa chúng Viết

phương trình mặt phẳng chứa

   

d1 , d2

Lời giải :

+ Thay x y z, , ởphương trình

 

d2 vào phương trình

 

d1 ta

1 2

2

2

t t t

t

       

   

 , thay vào phương trình

 

d2 I



1, 2, 4



Vậy

   

d1  d2 I



1, 2, 4



Ta có đpcm

+ Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u 



2,1, 3



và

 

d2 có véc tơ chỉphương



1, 1, 3



v 



Khi mặt phẳng

 

P chứa

   

d1 , d2 qua điểm Ivà có véc tơ pháp tuyến





1 3 21

, , , 6,9,1

13 31 1

nu v   

 

 

  

Vậy

  

P : x1



9



y2

 

 z4



0

 

P : 6x9y  z

Bài 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

 

1 :

x y z d

y z

    



   

 

2

2

:

1

x y z

d

y z

    



   

Viết phương trình đoạn vng góc chung

   

d1 , d2

Lời giải :

Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương 11 11 1, ,



0, 1,1



11 10 01

u  

 

Đường thẳng

 

d2 có véc tơ chỉphương 2, 21 2,



4,1,1



1 01

v       

 



Gọi

 

d đương vng góc chung

   

d1 , d2

 

d có véc tơ chỉphương a thỏa mãn , 11 10 1, ,



2, 4, 4



1 14 41

au v    

 

  

, chọn a 



1, 2, 2



+ Gọi

 

P mặt phẳng chứa

   

d , d1 ,

 

P có véc tơ pháp tuyến





11 0

, , , 4, 1,

2 2 12

nu a        

 

  

, lấy điểm A



2,1, 0

  

 d1 Khi

 

P : 4



x2

 

 y1



  z

 

P : 4 x   y z

+ Gọi

 

Q mặt phẳng chứa

   

d , d2 ,

 

Q có véc tơ pháp tuyến





1 1 4

' , , , 0, 9,9

2 2 12

n v a    

 

  

, lấy điểm B



3, 2,1

  

 d2 Khi

 

Q :



y2

 

 z1



0

 

Q :   y z

Và

 

d giao tuyến hai mặt phẳng

   

P , Q

Vậy phương trình đoạn vng góc chung

   

d1 , d2

 

:

1

x y z

d

y z

     



    

Bài 12.Cho hai đường thẳng

 

1

2

:

3

x t d y t

z t

  

   

   

 

2

2

:

3

x u

d y u

z u

   

   

   

Viết phương trình đường vng góc chung

   

d1 , d2

Lời giải :

Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u



2,1, 3





và đường thẳng

 

d2 có véc tơ phương v



1, 2, 3



Lấy điểm A



2t1,t2, 3t3

  

 d1 ;B u



2, ,3  u u1

  

 d2 suy



1, 5, 3 4



AB u t u t u t

       , ABlà đoạn vng góc chung

   

1

,

AB u d d

AB v

    

  

  

















25

2 2 3 9

29

2 2 3

9

u

u t u t u t

u t u t u t

t

            

 

 

        

 

 

 

Từđó suy 67 47 20, , ; 43 23 84, , ; 24, 24 24, 24



1, 1,1



9 9 9 9 9

A  B  AB    

     

Vậy phương trình đoạn vng góc chung

   

d1 , d2 qua Avà có véc tơ chỉphương



 1, 1,1



Vậy

67 47 :

9 20

3

x t

AB y t

z t



  

 

  

 

  



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Cho đường thẳng









4

:

1

m

x mz m d

m x my

   

 

   



Chứng minh



dm



luôn thuộc mặt phẳng cố định qua điểm cốđịnh

Bài 2.Cho đường thẳng

 

:

2

x y z

d    

 mặt phẳng

 

P : 2x  y z

Xác định phương trình đường thẳng qua giao điểm Acủa

 

d

 

P vng góc với

 

d , nằm mặt phẳng

 

P

Bài 3. Trong không gian Oxyzcho mặt phẳng

 

P : 2x y 20và đường thẳng

















2 1

:

2

m

m x m y m d

mx m z m

      

 

     



Xác định m để



dm

  

/ / P

Bài 4. Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng

 

1 : 5

2 1

x y z

d     

 

Và

 

2

3

:

1

x t

d y t

z t

   

   

   

Chứng minh

   

d1 / / d2 Viết phương trình đường thẳng song song, cách nằm mặt phẳng chứa

   

d1 , d2

Bài 5.Cho hai đường thẳng

 

1

3

:

6

x t

d y t

z t

   



   

   

 

2 : 19 15

x y

d

x z

   



   

Chứng minh

 

d1 cắt

 

d2 Viết phương trình đường phân giác tạo góc nhọn

   

d1 , d2

Bài 6.Cho hai đường thẳng

 

1 : 23 10

x z

d

y z

   



   

 

2 :

2

x z

d

y z

   



Chứng minh

 

d1

 

d2 chéo Viết phương trình mặt phẳng

 

P song song

đều

   

d1 , d2

Bài 7.Cho hai đường thẳng

 

1 :

1

x y z

d     

 

2 :

3

x y

d

x z

   



  

Chứng minh

 

d1 song song với

 

d2 Viết phương trình tổng quát mặt phẳng

 

P

chứa

   

d1 , d2 Viết phương trình đường thẳng

 

d nằm

 

P

   

d1 , d2 Tính khoảng cách

   

d1 , d2

Bài 8.Cho hai đường thẳng

 

1 : 1

x y

d

x y z

   



    

 

2 : 3

2

x y z

d

x y

    



   

Chứng minh

 

d1

 

d2 cắt nhau, xác định tọa độgiao điểm chúng Viết phương

trình mặt phẳng chứa

   

d1 , d2

Bài 9.Cho điểm A



1, 1,1



và hai đường thẳng

 

1 : 3

2

x y z

d

x y

    



   

 

2 :

x t

d y t

z t

  

   

   

Chứng minh

   

d1 , d2 ,Acùngg thuộc mặt phẳng

Bài 10. Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng

 

d1 :x    y z

 

d2 :  x y 1 z

Tìm tọa độđiểm A

 

d1 điểm B

 

d2 cho đường thẳng ABvuông góc với

   

d1 , d2

Bài 11.Cho hai đường thẳng

 

1 :

x y z

d

x y z

   



    

 

2

2

:

2

x t

d y t

z t

   

       

Chứng minh

   

d1 , d2 chéo Tính khoảng cách

   

d1 , d2 Viết phương trình

đoạn vng góc chung

   

d1 , d2 Viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa

 

d1 song song với

 

d2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M



1,1,1



và cắt

   

d1 , d2

ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Xét dạng toán sau

Dạng 1:Đường thẳng cắt cảhai đường thẳng

   

d1 , d2 thỏa mãn điều kiện cho trước

(i). Viết phương trình đường thẳng qua điểm Avà cắt cảhai đường thẳng

   

d1 , d2

Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua Avà chứa

 

d1 Viết phương trình mặt phẳng

 

Q qua Avà chứa

 

d2 + Nếu

   

P  Q , toán có vơ số nghiệm

+ Nếu

   

P / / Q , tốn vơ nghiệm

+ Nếu

     

P  Q  d , đường thẳng cần tìm

Cách 2:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua Avà chứa

 

d1

Xác định giao điểm Bcủa

 

P

 

d2

+ Nếu vơ nghiệm tốn vơ nghiệm

+ Nếu có vơ số nghiệm tốn có vơ số nghiệm

+ Nếu có nghiệm phương trình đường thẳng

 

d cần tìm AB, qua A có véc tơ chỉphương AB

Cách 3:

Áp dụng cảhai đường thẳng cho dạng tham số

Giả sửđường thẳng cần tìm cắt

 

d1 Bvà cắt

 

d2 C, với tọa độ B C, cho dạng tham số

Xét điều kiện A B C, , thẳng hàng

(ii). Viết phương trình đường thẳng

 

d song song với đường thẳng

 

 cắt cảhai đường thẳng

   

d1 , d2

Phương pháp:

(iii). Viết phương trình đường thẳng

 

d vng góc với mặt phẳng

 

P cắt cảhai đường thẳng

   

d1 , d2

Phương pháp:

BÀI TẬP MẪU Bài

Dạng 2:Đường thẳng qua điểm vng góc với cảhai đường thẳng cho trước

(i). Viết phương trình đường thẳng

 

d qua điểm Avà vng góc với cảhai đường thẳng

   

d1 , d2

Cách 1:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua A vng góc

 

d1 Viết phương trình mặt phẳng

 

Q qua A vng góc

 

d2

Khi

 

d giao tuyến

   

P , Q

Cách 2:

Xác định véc tơ chỉphương u v,

 

   

d1 , d2 , véc tơ chỉphương acủa

 

d thỏa mãn au a ,  v au v , 

Đường thẳng

 

d sẽđi qua điểm Avà có véc tơ chỉphương a

Dạng 3:Đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng căt đường thẳng

(i). Viết phương trình đường thẳng

 

d qua điểm Avà vng góc với đường thẳng

 

d1 cắt đường thẳng

 

d2

Phương pháp: Cách 1:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua Avà vng góc với

 

d1 Viết phương trình mặt phẳng

 

Q qua Avà chứa

 

d2

Khi đường thẳng

 

d cần tìm giao

   

P , Q

Cách 2:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua Avà vng góc với

 

d1

Xác định giao điểm Bcủa

 

P

 

d2 , đường thẳng

 

d cần tìm AB, qua Avà có véc tơ chỉphương AB

BÀI TẬP MẪU Bài

Dạng 4: Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng

(i). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc Hcủa điểm Alên mặt phẳng

 

P

Phương pháp:

Viết phương trình đường tham số đường thẳng

 

d qua điểm Avà vng góc với mặt phẳng

 

P

Tọa độ hình chiếu Hchính giao điểm

 

d

 

P

(ii). Tìm điểm đối xứng điểm Aqua mặt phẳng

 

P

Phương pháp:

Tìm tọa độ hình chiếu Hcủa Atrên

 

P Tìm điểm A1 đối xứng với Aqua H

(iii).Xác định phương trình đường thẳng

 

 đối xứng với đường thẳng

 

d qua mặt phẳng

 

P

Phương pháp:

Lấy hai điểm phân biệt A B, 

 

d

Tìm tọa độhai điểm A B1, 1lần lượt đối xứng với A B, qua mặt phẳng

 

P

Khi đường thẳng

 

 cần tìm đường thẳng qua hai điểm A B1, 1

BÀI TẬP MẪU

Bài Cho điểm A



2,3, 1



và mặt phẳng

 

P : 2x   y z Xác định tọa độđiểm A1 đối xứng với Aqua

 

P

Lời giải:

Đường thẳng

 

d qua Avà vng góc với

 

P nhận véc tơ pháp tuyến n



2, 1, 1 



 

2

:

1

x t

d y t

z t

   

  

    

Thay tọa độ x y z, , từphương trình

 

d vào phương trình

 

P ta



 

 



   

2 2 3, ,

2 2

t t t t d P H 

                 

Tọa độđiểm A1sẽđối xứng với Aqua H, suy A1



4, 2, 2



Bài 2. Cho mặt phẳng

 

P : 3x6y  z 0và đường thẳng

 

: 14

x y z

d

x y z

    



    

Xác định tọa độgiao điểm Acủa

   

d , P Viết phương trình đường thẳng

 

 đối xứng với

 

d qua

 

P

Lời giải:

Xét hệ tạo

   

d , P , ta có:

   





7 14 0

2 0 0, 0,

3 2

x y z x

x y z y d P A

x y z z

    

 

 

         

 

       

 

Lấy điểm B



3, 6, 0

  

 d , ta tìm tọa độđiểm B1đỗi xứng với Bqua

 

P , đường thẳng

 

 cần tìm AB1

Tìm 1 10, 210 58, 1 10, 210 104,



5, 105, 52



23 23 23 23 23 23 23

B   AB    

   



Vậy

 

5

: 105

2 52

x t

y t

z t

      

    

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng

 

Q qua A



2, 4, 3



và song song với mặt phẳng

 

P : 2x3y6z190 Tính khoảng cách hai mặt phẳng

   

P , Q Hạ AH

 

P ,

Xác định tọa độđiểm H

Lời giải :

Mặt phẳng

 

Q nhận véc tơ pháp tuyến n



2, 3, 6



của

 

P làm véc tơ pháp tuyến, nên

  

Q : x2



3



y4



6



z3



0

 

Q ; 2x3y6z 2

Đường thẳng

 

d qua Avà vng góc với

 

P nhận nlàm véc tơ chỉphương nên,

 

2

:

3

x t

d y t

z t

   

       

20

2 7

4 37 20 37

, ,

3 7 7

3

2 19

7

x

x t

y t

y H

z t

x y z z

 

    



   



   

  

     

 

 

     

 

 

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Cho bốn điểm A



4,1, ;



B



3,3,1 ;



C



1,5,5 ;



D



1,1,1



Xác định tọa độ hình chiếu Dtrên mặt phẳng



ABC



, tính thể tích tứ diện ABCD Viết

phương trình đường vng góc chung AC BD,

Bài 2. Cho bốn điểm A a



, 0, ;



B



0, , ;b



C



0, 0,c a b c



, , , 0 Dựng hình hộp chữ nhật nhận O A B C, , , làm bốn đỉnh gọi Dlà đỉnh đối diện với Ocủa hình hộp

(i) Tính khoảng cách từ Cđến mặt phẳng



ABD



(ii) Tính tọa độ hình chiếu vng góc C xuống mặt phẳng



ABD



Tìm điều kiện

, ,

a b cđể hình chiếu nằm mặt phẳng



xOy



Bài 3.Cho điểm A



2,3,5



và mặt phẳng

 

P : 2x3y z 170 (i) Lập phương trình đường thẳng

 

d qua Avà vng góc với

 

P (ii) Chứng minh

 

d cắt trục Oz, tìm giao điểm M chúng

(iii) Xác định tọa độđiểm A1đối xứng với Aqua

 

P

Dạng 5: Hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt phẳng

(i).Xác định phương trình hình chiếu vng góc

 

 đường thẳng

 

d lên mặt phẳng

 

P

Phương pháp:

Viết phương trình mặt phẳng

 

Q chứa

 

d vng góc với

 

P

Khi đường thẳng

 

 giao tuyến hai mặt phẳng

   

P , Q

BÀI TẬP MẪU Bài Cho đường thẳng

 

:

3 15

x y z

d

x y z

    



    

mặt phẳng

 

P : 2 x3y  z Viết phương trình hình chiếu vng góc

 



 

d mặt phẳng

 

P

Lời giải:

Mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến n  



2, 3,1



Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương 11 ,1 1 1,



3, 4,1



13

u       

 



Lấy điểm A



25, 30, 0

  

 d

Gọi

 

Q mặt phẳng chứa

 

d vng góc với

 

P ,

 

Q qua Avà có véc tơ





31 2

' , , , 7,5,1

4 13

n n u      

 

  

Vậy

 

Q : 7



x25



5



y30



 z 0

 

Q : 7 x5y z 250

Khi đường thẳng

 

 cần tìm giao tuyến

   

P , Q

 

: 25

2

x y z

x y z

     

 

     

Bài 2.Cho đường thẳng





:

1

m

x my z m

d

mx y mz

    



    

(i). Viết phương trình hình chiếu vng góc

 





dm



trên mặt phẳng



xOy



(ii). Chứng minh m thay đổi, đường thẳng

 

 tiếp xúc với đường tròn cố địnhnằm mặt phẳng



xOy



Lời giải:

(i). Khử ztừhai phương trình



dm



ta được2mx



m21



ym21

Khi hình chiếu vng góc



dm



trên mặt phẳng



xOy



là

 





2

2 1

:

mx m y m z

      

    

(ii). Trong mặt phẳng



xOy



, Ta có



 







2

2

2

1

,

4

m d O

m m

 

  

 

Từđó suy đường thẳng

 

 tiếp xúc với đường trịn tâm O



0, 0



bán kính R1nằm mặt phẳng



xOy



(đpcm)

Bài 3.Cho đường thẳng

 

: 1

1 2

x y z

d     

 mặt phẳng

 

P : 2x2y  z

(i). Tìm tọa độgiao điểm Acủa

   

d , P Tính góc

   

d , P

(ii). Viết phương trình hình chiếu vng góc

 



 

d lên mặt phẳng

 

P Lấy điểm B

thuộc đường thẳng

 

d cho ABa0 Xét tỷ số AB AM BM



với Mdi động mặt phẳng

 

P Chứng minh tồn vị trí Mđể tỷ sốđó đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn

Lời giải:

(i). Tọa độgiao điểm A

   

d  P nghiệm hệphương trình





2

2

1 2, 1,

1

5

1 2

x x y z

y A

x y z

z

      



 

          

 

  

  

Góc

   

d , P xác định

 

2 2 2

1.2 2 2.1 4 sin

9 2 2

      

(ii).Xác định

 

: 21

2

x y z

x y z

    

 

    

Lấy điểm B

 

d ;ABa0và điểm M

 

P

Xét tam giác ABM, ta có sin sin sin sin

2 sin sin

AB AM R M R B M B

BM R A A

  

 

2sin os os 1 1

2 2

2 sin os sin sin sin

2 2 2

M B M B M B

c c

A A A A

c 

  

   

Dấu xảy

cos

2

,

2 sin sin

2

M B

A M B

A

  



 



 



    

   

Vậy giá trị lớn AB AM

BM



bằng sin



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Cho đường thẳng

 

:

2

x z d

y z

   



  

mặt phẳng

 

P :x   y z

Lập phương trình hình chiếu vng góc

 



 

d

 

P

Bài 2. Cho ba mặt phẳng

 

P : 3x   y z 0;

 

Q :x4y 5 0;

 

R : 2x  z

Viết phương trình đường thẳng

 

 hình chiếu vng góc đường thẳng

 

d mặt phẳng

 

R ,

 

d giao tuyến hai mặt phẳng

   

P , Q

Bài 3. Cho mặt phẳng

 

P :xy  z hai đường thẳng

 

1 :

2

x z

d

x y

   



  

 

2

3 12

:

2

y z

d

x z

   



   

(i). Viết phương trình mặt phẳng

 

Q chứa

 

d1 vng góc với mặt phẳng

 

P

(ii). Viết phương trình hình chiếu vng góc

  

1 , 2



lần lượt

   

d1 , d2 mặt phẳng

 

P Tìm tọa độgiao điểm Icủa

  

1 , 2



Bài 4.Cho hai đường thẳng

 

1 :

2

x y z

d     

 

2 : 11

5

x y

d

x y z

   



    

Chứng minh

   

d1 , d2 đồng phẳng Viết phương trình mặt phẳng

Viết phương trình tắc đường thẳng

 

 hình chiếu song song

 

d2 theo

phương

 

d1 mặt phẳng

 

P : 3x2y2z 1

Bài 5. Cho tứ diện có đỉnh O



0, 0, ;



A



6,3, ;



B



2, 9,1 ;

 

S 0,5,8



(ii). Chứng minh hình chiếu cạnhSBtrên mặt phẳng



OAB



vng góc với cạnh OA

Gọi Klà giao điểm hình chiếu với OA Xác định tọa đôk điểm K

(iii). Gọi P Q, trung điểm cạnh SO AB, Tìm tọa độđiểm M SBsao cho PQvà KMcắt

Dạng 6: Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng

(i). Tìm tọa độ hình chiếu Hcủa điểm Alên đường thẳng

 

d

Phương pháp: Cách 1:

Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua Avà vng góc với

 

d Khi tọa độgiao điểm Hcủa

   

d , P điểm cần tìm

Cách 2:

Lấy điểm Hthuộc

 

d , tọa độdưới dạng tham số Hlà hình chiếu Atrên

 

d AH 

 

d  AH u 0 H

(ii). Tìm điểm A1đối xứng với Aqua

 

d

Phương pháp:

Tìm tọa độ hình chiếu vng góc Hcủa Atrên

 

d Điểm A1cần tìm đối xứng với Aqua H

(iii). Viết phương trình đường thẳng

 

 đối xứng với đường thẳng

 

d1 qua đường thẳng

 

d2 cho trước

Phương pháp:

Lấy hai điểm phân biệtA B, 

 

d1

Tìm tọa độđiểm A B1, 1lần lượt đối xứng với A B, qua

 

d2

Khi đường thẳng

 

 vần tìm đường thẳng qua hai điểm A B1, 1

(iv). Viết phương trình đường thẳng

 

 qua Avng góc với đường thẳng

 

d cắt

 

d

Phương pháp:

Xác định tọa độ hình chiếu vng góc Hcủa Atrên

 

d

Đường thẳng

 

 cần tìm đường thẳng qua hai điểm A H,

BÀI TẬP MẪU

Bài Cho điểm A



1, 2, 1



và đường thẳng

 

d có phương trình

 

:

1

x y z

d

y z

    



   

Xác định tọa độ hình chiếu vng góc Alên đường thẳng

 

d tạo độđiểm A1đối xứng với Aqua

 

d

Lời giải:

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương 11 11 1, ,



0, 1,1



11 10 01

u  

 

Gọi

 

P mặt phẳng qua Avà vng góc với

 

d

 

P nhận ulàm véc tơ pháp

tuyến, nên

 

P :



y2

 

 z1



0

 

P :   y z

Xét hệ tọa

   

d , P :

3

1

3

x y z x

y z y

y z z

    

 

 

    

 

      

 

Vậy tọa độ hình chiếu Atrên

 

d điểm H



2, 2, 1



Điểm A1đối xứng với Aqua

 

d nhận Hlàm trung điểm AA1nên A1



3, 2, 1



Bài 2.Cho điểm A



1, 2, 1



và đường thẳng

 

1 :

1

x t d y t

z

   

     

Xác định tọa độ hình chiếu vng góc Alên đường thẳng

 

d

Lời giải:

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương u 



1,1, 0



Gọi Hlà hình chiếu vng góc điểm Alên

 

d ,

 



1 , , 1





, 2, 0



H d H t t  AH  t t Do

  







0,1,

AH u AH u  t   t    t H 

   

Bài 3.Cho điểm M



1, 2, 1



và đường thẳng

 

: 2

3 2

x y z

d     



Gọi Nlà điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng

 

d Tính độdài đoạn MN

Lời giải:

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương u



3, 2, 2



Phương trình

 

d dạng tham số

 

1

: 2

2

x t

d y t

z t

   

       

Gọi H



 1 , 2 , 2t  t  t

  

 d hình chiếu vng góc M

 

d , ta có



3 2, , 3



MH  t  t t



Do MH u MH u  0

















3 3t 2 2t 2t t MH 2, 0,

          

Điểm N đối xứng với Mqua Hnên MN 2MH 2 13

Bài 4.Cho điểm A



2,3, 1



và đường thẳng

 

:

2

x y z

d   

Viết phương trình đường thẳng

 

 qua Avng góc với

 

d cắt

 

d

Lời giải:

Đường thẳng

 

d dạng tham số

 

2

:

3

x t d y t

x t

  

     

Gọi H



2 , ,3t t t

  

 d hình chiếu vng góc Atrên

 

d , ta có











 



2 2, 3, 4

2 2 4

7

AH t t t

t t t t

AH u

     

         

  

  

Suy 6, 32,

7 7

AH    

 



Vậy đường thẳng

 

 cần tìm qua điểm Avà có véc tơ chỉphương AHnên

 

6

7

:

7 32

7

x t

y t

z t

         

 

   



Bài 5.Cho hai đường thẳng

 

1 : 1

x y

d

x y z

   



    

 

2 :

x t

d y t

z t

  

      

Gọi B C, điểm đối xứng A



1, 0, 0



qua

   

d1 , d2 Tính diện tích tam giác

ABC

Lời giải:

Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương 0 21, ,



1, 2, 3



11 1 1

u   

 

 



Đường thẳng

 

d2 có véc tơ chỉphương v



1, 2, 5



+ Gọi H1là hình chiếu vng góc Atrên

 

d1

Gọi

 

P mặt phẳng đia qua Avà vng góc với

 

d1 

 

P có véc tơ pháp tuyến u, nên

  

P : x1



2y3z0

 

P :x2y3z 1

1 1

14

2

12 12 15 12

1 , , , ,

14 14 14 14 14 14 14

2

3 14

x x y

x y z y H AH

x y z

z

      

 

     

             

     

   

     

 

  



+ Gọi



  

2 ,1 ,

H t  t  t  d hình chiếu vng góc Atrên

 

d2 ,





2

1,1 ,

AH t t t

AH v

     

   

  













7 17

1 2 5 , ,

10 10 10 10

t t t t AH  

               

 

 Các điểm B C, đối xứng với Aqua H H1, 2

Ta có

1 2

5904

4 ,

35

ABC AH H

S  S  AH AH  

Bài 6.Cho đường thẳng

 

: 0

x z

d y

   

 

(i). Với điểm M x y z



0, 0, 0



trong khơng gian viết phương trình mặt phẳng

 

P0 qua M

và vng góc với

 

d Tính khoảng cách từ Mđến

 

d

(ii). Chứng minh quỹtích điểm mặt phẳng Oxymà khoảng cách từđiểm đến

 

d elip Xác định tọa độtiêu điểm elip

Lời giải :

(i) Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương 1, 11 0,



1, 0,1



0 01

u   

 



Mặt phẳng

 

P0 cần tìm nhận ulàm véc tơ pháp tuyến, nên

  

P0 : xx0

 

 zz0



0

 

P :x z x0z0 0

Khi tọa độgiao điểm Hcủa

   

P0 , d nghiệm hệphương trình

0

0 0

0 0

0 2

0 , 0,

2

0

2

x z x

x z

x z x z

y y H

x z x z x z

z

 

   



  

  

   

   

 

      

  



Khoảng cách từ Mđến

 

d





2

2

0

2

0 0

0 0

2 2

x z

x z x z

MH    x  y   z     y

   

Theo đề áp dụng câu ta có,

 





 

2 2 2

2

, :

2 8

x x y x y

d M d   y     M E   (đpcm)

Ta có tọa độtiêu điểm F1



2, ,



F2



2, 0



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.Cho điểm A



1, 2,3



và đường thẳng

 

: 2

x y z d

y z

    



   

Xác định tọa độ hình chiếu vng góc Hcủa Atrên

 

d Xác định đọđộđiểm A1đối xứng với Aqua

 

d Tính độdài đoạn AA1

Bài 2.Cho đường thẳng

 

:

2

y z

d

x y z

   



    

(i). Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua điểm A



2, 1,1



và vng góc với

 

d

(ii). Viết phương trình đường thẳng

 

 qua Avà vng góc, cắt

 

d

(iii).Xác định tọa độđiểm A1đối xứng với Aqua

 

d

Bài 3.Cho điểm A



2,1, 3



và đường thẳng

 

:

1

x y z

d     



(i). Tính khoảng cách từ Ađến

 

d

(ii).Xác định tọa độđiểm A1đối xứng với Aqua

 

d Tính độdài đoạn thẳng AA1

(iii). Viết phương trình đường thẳng

 

 qua Avà vng góc , cắt đường thẳng

 

d

Bài 4. Cho bốn đường thẳng

 

1

 

2

 

3

 

4

0 0

: mx y , : mx y , : mx y , : mx y

d d d d

z h z h z h z h

       

   

   

     

   

Chứng minh bốn điểm A A A A1, 2, 3, 4đối xứng với Alần lượt qua

       

d1 , d2 , d3 , d4 đồng phẳng Viết phương tình mặt phẳng qua bốn điểm

BÀI TỐN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

- Thường xác định mặt phẳng dạng tổng quát

2 2

0,

AxByCzD A B C 

- Sau dựa vào giả thiết tốn, biểu diễn C D, theo A B,

- Cuối giải phương trình với hai ẩn A B, BÀI TẬP MẪU

Bài Trong không gian với hệ toạđộ Oxyzcho điểm A



1, 2, 3



và B



2, 1, 6 



và mặt phẳng

 

P :x2y  z Viết phương trình mặt phẳng

 

Q chứa ABvào tạo với mặt phẳng

 

P góc thỏa mãn os

6

c  

Giả sửphương trình mặt phẳng cần tìm

 

Q :ax by czd 0



a2b2c2 0



Mặt phẳng

 

Q chứa AB nên A B, 

 

Q , từđó suy

2

(*)

2

a b c d c a b

a b c d d a b

      

 



 

     

 

Mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến n



1, 2,1



Từđó suy góc hai mặt phẳng





2



2 2 2



2 2 2

2

os 2

6

a b c

c a b c a b c

a b c

         

   

Ta thay c d, hệ(*) vào phương trình ta suy ra:





2



2





2



2 2a3b  a b  a b 3a 11ab8b 0

0,

8 29

,

3 3

a b c d b

b b

a c b d

      

 

        

Vậy có hai phương trình mặt phẳng cần tìm

 

Q1 : x y 3 0;



Q2



: 8x3y5z290

Bài 2.Cho hai điểm A



2, 1,1 ,



B



0,1, 2



và đường thẳng

 

:

1

x y z

d    

 Viết

phương trình đường thẳng

 

 qua giao điểm

  

d , OAB



và nằm mặt phẳng



OAB



hợp với đường thẳng

 

d góc  thỏa mãn os c  

Lời giải:

Ta có OA



2, 1,1 ;



OB



0,1, 2



suy mặt phẳng



OAB



có véc tơ pháp tuyến





11 2

, , 1, 4,

1 2 01

n     

 



Vậy



OAB



:x4y2z0 Gọi M giao điểm

  

d , OAB



khi tọa độđiểm M nghiệm hệ





10

3

13 10,13, 21

1

4 21

x x y z

y M

x y z z

     

 

 

     

 

      

 

Giả sửđường thẳng

 

 cần tìm có véc chỉphương v



a b c, ,



, điều kiện 2

0 a b c  Do

  

  OAB



n v a4b2c0(1)

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương u



1, 1, 2



Yêu cầu toán tươngđương với

 









2 2

2

2 2 2

2

cos 25 (2)

6

1

a b c

a b c a b c

a b c

          

Rút a 4b2c từ(1) thay vào (2) ta được: 2

6

11 16 5 42

11 11

b c a c

b bc c

b c a c

    

    

     

Vậy có hai phương trình

 

 cần tìm là:

 

1

10

: 13

21

x t

y t

z t

   



        



2



42 10

11

: 13

11 21

x t

y t

z t



   

 

    

   

 

Bài 3. Trong khơng gian Oxyz Viết phương trình đường thẳng

 

 qua điểm A



0,1, 2



vng góc với đường thẳng

 

:

1 1

x y z

d    

 tạo với mặt phẳng

 

P : 2xy  z góc 300

 

Lời giải:

Giả sửđường thẳng

 

 có véc tơ chỉphương u



a b c, ,



với a2b2c2 0

Đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương v



1, 1,1



mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến



2,1, 1



n 

Theo đề ta có

2 2 2

0

sin

2

2 1

u v a b c

u n a b c

a b c u n



      

 

  

 

  

 

    

 

    

Bài 4. Cho hai đường thẳng

 

1 :

1

x y z

d  



 

2

1 1

:

1

x y z

d     



(i). Chứng minh hai đường thẳng

   

d1 , d2 chéo

(ii). Viết phương trình mặt phẳng

 

P chứa đường thẳng

 

d2 tạo với đường thẳng

 

d1

một góc 300

Lời giải:

(i).Đường thẳng

 

d1 qua điểm O



0, 0,0



và có véc tơ chỉphương u



1, 2,1



Đường thẳng

 

d2 qua điểm A



1, 1,1



và có véc tơ chỉphương v



1, 1, 3



Ta có , 21 11 2, ,



5, 2,1



31 1

u v    

         

 

 

OA



1, 1,1



Suy u v OA  ,   

 

5 1 

   

2 1 1.1  2 Từđó suy

   

d1 , d2 chéo

(ii). Giả sử mặt phẳng

 

P :ax by czd0có véc tơ pháp tuyến n



a b c, ,





với

2 2

0 a b c 

Do

   

d2  P nên

 





, (*) 2 b a c a b c d

A B P

b a c d d                      

Đường thẳng

 

d1

 

P tạo với góc

30 nên

 









2

0 2

2

2 2 2

2

sin 30 2

2

a b c

a b c a b c a b c

               Thay b a

c  từ (*) vào biểu thức ta : 2

2

11 17 10 5

11

a b

a ab b

a b           

Với a 2b c b d, 2b Từđó suy

 

P1 : 2 xy  z

Với ,

11 11 11

a b c b d b Từđó suy

 

P2 : 5x11y2z 4 Vậy có hai mặt phẳng cần tìm thỏa mãn :

 

P1 : 2 x y  z

 

P2 : 5x11y2z 4

Bài 5. Cho tứ diện ABCDcó A



1, 2,1 ;



B



2,1,3 ;



C



2, 1,1 ;



D



0,3,1



Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua hai điểm A B, cho khoảng cách từđiểm Cđến

 

P khoảng cách từ Dđến

 

P

Lời giải:

Giả sử mặt phẳng

 

P :ax by czd0,a2b2c20 Do A B, 

 

P nên (*)

2

a b c d

a b c d

    



     

Theo giả thiết ta có:

 



,





,

 



2a b c2 2 d2 3b c2 2 d 2

d C P d D P

a b c a b c

            a b

a b c d b c d

a b c d

          

    

(i). Với ab, kết hợp với (*) ta có hệphương trình:

 

 

2

0

2 : :

a b c d

a b

a b c d P cz c P z

d c a b                             

(ii). Với a  b c d 0, kết hợp với (*) ta có hệphương trình:

 

 

2 0

2 : :

0

a b c d b

a b c d c a P ax az a P x z

a b c d d a

Bài 6. Trong không gian Oxyzcho đường thẳng

 

:

1

x y z

d    

 hai điểm



2, 1,1 ,





0,1, 2



A  B  Tìm tọa độđiểm M

 

d cho tam giác ABMcó diện tích nhỏ

nhất

Lời giải:

Giả sửđiểm M t



, 3t t, 1

  

 d điểm cần tìm

Ta có:









2, , 2 , ,

AM t t t BM t t t

     



   



 





4 2 2 2

, , , 8, 2,

2 2

t t t t t t

AM BM t t

t t t t t t

       

 

     

   

 

 

Khi ,



8



2



2



2 16 2



5



2 34 34

2 2

ABM

S   AM BM  t  t   t  

Dấu xảy t  5 M



5, 8, 11



Vậy M



5,8, 11



là điểm cần tìm

Bài 7.Cho hai điểm A



4, 9, ,



B



10,13,1



và mặt phẳng Tìm tọa độđiểm

 

:

M P x y z  cho MA2MB2 nhỏ

Lời giải:

Giả sửđiểm M x y z



, ,

  

 P  x 5y7z 5 0,





2





2





2





2





2





2

2

4 9 10 13

MA MB  x  y  z  x  y  z





2





2





2 2 x y 11 z  156

      

 

Ta có x5y7z 5 0



x3



5



y11



7



z4



 75

Theo bất đẳng thức Cauchyshar ta có:



75



2 





x3



5



y11



7



z4





2



1 25 49 

 



x3



2



y11



2



z4



2







2





2





2

3 11 75

x y z

      

Từđó suy MA2MB22.75 156 306 Dấu xảy

3 11 50 192 75 50 192 75

; ; , ,

1 17 17 17 17 17 17

x y z

x y z M

    

           

  

Là điểm cần tìm

Bài Cho ba điểm A



4,1,5 ;



B



3, 0,1 ;



C



1, 2, 0



Tìm tọa độđiểm M thuộc mặt phẳng

 

P : 3x3y2z370 để biểu thức MA MB      MB MC MC MA đạt giá trị nhỏ

Lời giải:

Gọi M x y z



, ,

  

 P 3x3y2z370 Khi



4, 1, ;





3, , ;





1, 2,



MA x y z MB x y z MC x y z

  





2





2





2 3 x y z 5

      

 

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchyshart ta có:





2

















2



 



2





2





2

44 x y z 9  x y z 

              

 

Suy



x2



2



y1



2



z2



288 Suy





88 249

MA MBMB MCMC MA  

     

Dấu xảy





2

4; 7; 4,7,

3

x y z

x y z M

  

        

 điểm cần tìm

Bài 9.Cho hai điểm A



0,1, ;



B



1,1, 0



Tìm điểm M thuộc mặt phẳng

 

P :x  y z

sao cho tam giác MAB vuông cân B

Lời giải:

Giả sửđiểm M x y z



, ,

  

 P điểm cần tìm suy x  y z 0(*)

Ta có: BA



1, 0, ;



BM



x1,y1,z



Tam giác MABvuông cân Bkhi





2





2

2

1

1

BA BM x y z

BA BM y z



      

 



 

   

 

 

 

kết hợp với (*) ta có hệphương trình:





2





2

1 10 10

3

5 1

4 10 10

1

6

0

2 10 10

6

x x

x y z

y z y y

x y z

z z

     

 

 

       

      

  

      

  

     

  

    

 

 

 

 

Bài 10.Cho hai đường thẳng

 

1 : 1

1 1

x y z

d     

 

 

2

1

:

x t

d y z t

   

     

Đường thẳng

 

 qua điểm I



0,3, 1



cắt

 

d1 Avà cắt

 

d2 B Tính IA

IB

Lời giải:

Do A

 

d1 A



 1 t', 1 t',3t'



B

 

d2 B



 1 ,1,t t



Ta có: IA  



t t', ' 4, 4 t' ;



IB  



, 2,t  t1



Do , ,A I Bthẳng hàng nên









1 '

' '

5

4 '

t k t t

IA

IA k IB t k t k

IB k

t k t

    

  

 

                

 

 

Bài 11. Cho mặt phẳng

 

P :x2y  z đường thẳng

 

: 3

x

d   y  z

điểm A



2,3, 4



Gọi

 

 đường thẳng nằm

 

P qua giao điểm

   

d , P

và vuông góc với

 

d Tìm điểm M 

 

cho khoảng cách AMnhỏ

Giả sử

   

d  P B, tọa độ Blà nghiệm hệ





1

1

0 1, 0,

2

x x

y z

y B

x y z z

   



   

 

   

 

      

 

Mặt phẳng

 

P có véc tơ pháp tuyến n



1, 2, 1





và đường thẳng

 

d có véc tơ chỉphương



2,1,1



u

Ta có: , 1, 11 2,



3, 3, 3



1 21

n u    

       

 

 

Do

   

  P vng góc với

 

d nên có véc tơ chỉphương u/ /n u ,    u



1, 1, 1 



Vậy

 

 có véc tơ chỉphương u qua điểm B

Vậy

 

1 :

4

x t

y t z t

   

    

   

Giả sửđiểm cần tìm M



  1 t, t, 4t

  

  ,













2

2 2 26 26

2

3 3

MA t  t  t  t     

Dấu xảy 2, 11,

3 3

t M  

  điểm cần tìm

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.Cho hai điểm A



1,5, ,



B



3,3, 6



và đường thẳng

 

: 1

2

x y z

d    

 Tìm tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng

 

d để tam giác MABcó diện tích nhỏ

Bài 2.Cho điểm A



1, 4, ;



B



1, 2, 4



Tìm điểm M thuộc đường thẳng

 

:

1

x y z

d    

 cho

2

28

MA MB 

Bài 3.Cho ba điểm A



0,1, ;



B



2, 2,1 ;



C



2, 0,1



Viết phương trình mặt phẳng



ABC



và tìm điểm M thuộc mặt phẳng

 

P : 2x2y  z cho MAMBMC

Bài 4.Cho điểm A



1, 0, 1



đường thẳng

 

:

x t d y t

z

  

    

Tìm tọa độhai điểm M N, thuộc

 

d cho tam giác AMNđều

Bài 5.Cho mặt phẳng ( ) : 2P  x3y  z Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua (1;1;0)

A B( 1; 2;7) vuông góc với mặt phẳng ( )P

Bài 6. Trong không gian Oxyz, xác định mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng : y

d x  z



và tạo với đường thẳng ':

2

x z

d   y  

 góc

0

Bài 7. Trong khơng gian Oxyzviết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng

:

2

x y

d

x z

   



   

sao cho giao tuyến mặt phẳng ( )P mặt cầu

2 2

( ) :S x y z 2x2y2z 1 đường tròn có bán kính

Bài 8. Trong khơng gian Oxyzcho ba điểm A(1; 2; 0), (0; 4;0), (0; 0;3)B C Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa OAsao cho khoảng cách từ Bđến ( )P khoảng cách từ C đến ( )P

BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN Dưới dây xin đề cập số toán cực trị lien quan đến phương trình tổng quát mặt phẳng

Phương pháp:

Giả sử phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: 2

0,

AxByCzD A B C 

Khi dựa vào điều kiện tốn để tìm mối lien hệ A B C D, , , Thường thỉ biểu diễn A D, theo B C,

BÀI TẬP MẪU

Bài Trong không gian Oxyzcho hai điểm M



0; 1; ;



N



1;1;3



Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M N, cho khoảng cách từ K(0; 0; 2)đến mặt phẳng ( )P lớn Lời giải:

Giả sử mặt phẳng ( )P có dạng: AxByCzD0,A2B2C20 Do ( )P qua M N, nên ta có:

2

( ) : (2 )

3

B C D A B C

P B C x By Cz B C

A B C D D B C

     

 

       

 

      

 

Khi khoảng cách từ Kđến mặt phẳng ( )P





2

, ( )

4

B d K P

B C BC



 

 Nếu B 0 d K P



,( )



0

 Nếu





2

1

0 , ( )

2

2

B d K P

C B

   

       

Dấu xảy C B, chọn C1;B 1;A 1;D 3

Vậy mặt phẳng cần tìm ( ) :P xy  z

Bài 2. Trong không gian Oxyzcho đường thẳng ( )d mặt phẳng ( )P có phương

trình: : 1

x

d   y  z ( ) :P x2y  z Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng ( )d tạo với mặt phẳng ( )P góc nhỏ

Lời giải:

- Giả sử mặt phẳng 2

( ) :Q AxByCzD0,A B C 0 - Chọn hai điểm M( 1; 1;3);  N(1; 0; 4)( )d

- Mặt phẳng ( )Q chứa ( )d nên , ( )

4

A B C D C A B

M N Q

A C D D A B

       

 

  

    

Suy mặt phẳng ( )Q có véc tơ pháp tuyến nQ ( ; ; 2A B  AB) mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp tuyến nP (1; 2; 1) Khi góc  hai mặt phẳng ( ),( )P Q

2

3

cos

6

A B

A B AB

  

 

 Nếu cos

2

A   

 Nếu

2

0 cos

6

5

B A A

B B

A A



   

     

 

, đặt x B A

 xét hàm số

2

9

( )

6

x x f x

x x

  

  , dễ thấy

2

cos  f x( ) Góc lớn ứng với cosnhỏ Khảo sát tính đơn điệu hàm số suy ( ) ( 1)

x f x  f   Suy

cos

min

2



 



   

Vậy



  A0 chọn B 1 C1;D4

Vậy mặt phẳng cần tìm ( ) :Q y  z

Bài 3. Trong không gian Oxyzcho đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

   

   

  

Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng dvà tạo với trục Oymột góc lớn Lời giải:

- Giả sử mặt phẳng 2

( ) :P AxByCzD0,A B C 0 - Chọn hai điểm M(1; 2; 0); N(0; 1; 2) d

- Mặt phẳng ( )P chứa dnên , ( ) 2

2

2 A B

A B D C

M N P

B C D

D A B

 

   

 

      

    

- Suy mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp tuyến ( ; ; )

P

A B

n  A B 



Gọi là góc mặt phẳng ( )P trục Oy, ta có

2 2

2

2 sin

5

2

B B

A B AB A B

A B

 

  

       

Góc 0;

   

  lớn ứng với sin lớn

 Nếu

2

2

0 sin

6

1 24

5 5

5

B

A A A

B B B



    

   

   

   

   

Dấu xảy A

B  , chọn

1; 2; ( ) :

A B C  D  P x y z  mặt phẳng cần tìm

Bài 4. Trong không gian Oxyzcho điểm A(2;5;3)và đường thẳng :

2

x y z

d     Viết

phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng dsao cho khoảng cách từ Ađến ( )P lớn

Lời giải:

- Giả sử mặt phẳng ( ) :P AxByCzD0,A2B2C2 0có véc tơ pháp tuyến ( ; ; )

P

n  A B C



- Đường thẳng dđi qua điểm M(1; 0; 2)và có véc tơ phương ud (2;1; 2) Do ( )P chứa dnên ta có

2

2

2

2

( )

P d

A B

A B C C

n u

A C D

M P D A B

 

       

 

 

  

   

 

   



Suy mặt phẳng ( ) : 2P Ax2By(2AB z) 2A2B0

 Nếu B 0 ( ) :P x   z d A P



, ( )



0

 Nếu B0, chọn B1, ( ) : 2P Ax2y(2A1)z2A 2

Khi





2

9

, ( )

8

2

2

d A P

A A

A

  

         

Dấu xảy 1;

4 4

A  C  D

Vậy mặt phẳng cần tìm ( ) :P x4y  z

Bài 5. Trong không gian Oxyzcho đường thẳng

1 :

1

x t

d y t

z t

   

     

Viết phương trình mặt phẳng

( )P chứa điểm A(10; 2; 1) song song với dvà cách dmột khoảng lớn Lời giải:

- Giả sử mặt phẳng 2

( ) :P AxByCzD0,A B C 0có véc tơ pháp tuyến ( ; ; )

P

n  A B C



2

10 3

2 32

3

A B C

A B C D

A B C A B

D

 

      

 



 

   

  

 

Khi mặt phẳng ( ) : 3P Ax3By(2A B z ) 32A7B0 ta có









2

33 , ( ) , ( )

13 10

A B

d d P d M P

A B AB



 

 

 Nếu



, ( )



33 13 13

B d d P 

 Nếu





2 33 , ( )

13 10

A B B d d P

A A

B B



  

       

, đặt x A B

 xét hàm số

2 (33 6) ( )

13 10

x f x

x x

 

  suy mxax f x ( ) f(7) Từ chọn A7,B 1 C 5;D 77

Vậy mặt phẳng cần tìm ( ) : 7P xy5z770

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.Trong mặt phẳng qua hai điểm A(1; 2; 1) B( 1;1; 2) Tìm mặt phẳng tạo với mặt phẳng (xOy)một góc nhỏ

Bài 2.Trong mặt phẳng qua A(1;1; 1) vng góc với mặt phẳng ( ) : 2P xy  z Tìm mặt phẳng tạo với Oymột góc lớn

Bài 3.Trong mặt phẳng qua điểm A(2; 1;0) song song với đường thẳng

1

:

1 1

x y z

d     

 Xác định mặt phẳng tạo với mặt phẳng (xOy)một góc nhỏ

Bài 4.Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng : 1

2

x y z

d      cho

khoảng cách từ A(5;1; 6)đến ( ) lớn

TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN BÀI TẬP MẪU

Bài Cho tam giác ABC, đỉnh A



1, 2,5



phương trình hai đường trung tuyến:

3

2

x y z

 



4 2

1

x y z

  

(i). Viết phương trình tắc cạnh tam giác ABC

(ii). Viết phương trình tắc đường phân giác góc A

Lời giải:

(i). Nhận thấy Akhông thuộc hai đường trung tuyến, nên ta giả sửđó là:





:

2

x y z

BN     







4 2

:

1

x y z

CP     

Từđó suy B



2t3, 2t6,t1 ;



C u



4, 4 u2,u2



Tọa độ trọng tâm G



BN

 

 CP



là nghiệm hệ:





3 3

2 6 3, 6,1

4 2

1

1

x y z x

y G

x y z

z

  

  

  

  

  

 

  

      

 

Ta có GA  



2, 4, ;



GB 



, ,t t t



;GC



u 1, 4u4,u1



Do

2

2

0 4

3

4

t u

t

GA GB GC t u

u t u

     

   

                 



   

















7, 2, 6, 0, 1,14, 0,12, 6

B AB

C AC



  



 

 

  

 

 

 

Cạnh ABđi qua Avà có véc tơ chỉphương





:

1

x y z

AB AB     





Một cách tương tự, ta có:





: 5;





:

0 1

x y z x y z

AC      BC     

 

(ii) Lấy điểm C1



1, 2v2, v 5

 

 AC



AC1



0, ,v v



sao cho AC1k AC k, 0 Và

AB AC Điều tương đương với

1

2 12

6 6 10 10 12 10 25 10

1, ,

0 5 5 5

5

v k v k

v C

k v

    

   



    

   

 

   

Tọa độtrung điểm M BC1là M

 

4,

Đường phân giác góc Achính đường thẳng AM

Bài 2.Cho hai điểm A



0, 0, ,



B



2, 0, 1



và mặt phẳng

 

P : 3x8y7z 1

(i). Tìm tọa độgiao điểm Icủa đường thẳng qua hai điểm A B, với mặt phẳng

 

P

(ii). Tìm tọa độđiểm Cnằm mặt phẳng

 

P cho tam giác ABCđều

Lời giải:

(i).Đường thẳng



AB



đi qua Avà có véc tơ chỉphương AB



2, 0, 2



, nên





2

:

3

x t AB y

z t

  

 

    

Thay x y z, , từphương trình



AB



vào phương trình

 

P , ta được:





11



  

11

3.2 8.0 , 0,

10 5

t    t    t  AB  P I  

(ii). Gọi C x y z



, ,

  

 P cho tam giác ABCđều,

















2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

3

3

3

3 2

x y z x y z

AC BC x y z x y z

AC AB x y z

        





 

         

 

  

    

 

2

2

3

1

x x

y y

z

z

    

 

 

         

 

   

Vậy có hai điểm 1



2, 2, ;



2 2, 2,

3 3

C   C    

 thỏa mãn yêu cầu toán

Bài 3. Cho tam giác ABC có đỉnh C



3, 2,3



và phương trình đường cao

2 3

:

1

x y z

AH     

 đường phân giác

1

:

1

x y z

BM     



Tính độ dài cạnh tam giác ABC

Lời giải:

Ta có



 





 







2 , ,

1 , , 2, 2,

A t t t AH

B u u u BM BC u u u

     



         





Do AHBC BC AH 0



u

 

2 2u



2u u B



1, 4,3



          Ta có BA



1   t, t, ;t



BM 



1, 2,1 ;



BC



2, 2, 0



Vì BMlà đường phân giác góc B,

























 

2 2

0

1 2 1.2 2 1.0

os , os ,

1 4

1

t

t t t

c BA BM c BM BC

t

t t t

         

    

 

 

    

   

+ với t 0 A



2,3,3



A B C, , thẳng hang, nên loại

+ Với t  1 A



1, 2,5



, ABACBC2

Bài 4 Cho ba điểm A



1, 4,5 ;



B



0,3,1 ;



C



2, 1, 0



mặt phẳng

 

P : 3x3y2z150 Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủđểđiểm M

thuộc mặt phẳng

 

P có tổng bình phương khoảng cách đến điểm A B C, , nhỏ

điểm M phải hình chiếu vng góc Gtrên mặt phẳng

 

P Xác định tọa độđiểm Lời giải:

Ta có 2



 

2

 

2



2

MA MB MC  MG GA   MG GB   MG GC













2 2 2 2

3MG GA GB GC 2MG GA GB GC 3MG GA GB GC

              Từđó

suy 2

MA MB MC nhỏ nhất, MGnhỏ nhất, điều tương đương với

Dễ thấy G



1, 2, 2



Đường thẳng

 

d qua Gvà vuông góc với mặt phẳng

 

P nhận véc tơ pháp tuyến



3, 3, 2



n  



của

 

P làm véc tơ chỉphương, nên

 

1

:

2

x t

d y t

z t

   

      

Khi điểm M cần tìm giao điểm

   

d , P M



4, 1, 0



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài

MẶT CẦU

Phương trình tắc mặt cầu

 

S có tâm I a b c



, ,



và bán kính Rlà

  

S : xa



2



yb



2



zc



2 R2

Phương trình tổng quát mặt cầu

 

S :x2y2z22ax2by2czd0 Các dạng toán

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện có tâm thỏa mãn

điều kiện

(i). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Phương pháp:

Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDcó phương trình

 

2

: 2

S x y z  ax by czd

Từđiều kiện A B C D, , , thuộc

 

S , ta thay tọa độ A B C D, , , vào phương trình

 

S , giải hệ ẩn a b c d, , ,

(ii). Mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD

(iii). Mặt cầu có đường kính đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo

   

d1 , d2

Phương pháp:

Tìm tọa độtrung điểm đoạn vng góc chung

   

d1 , d2 độdài đoạn vng góc chung

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A



0,1, ,



B



1, 0, ,



C



0, 0,1



và có tâm I

nằm mặt phẳng

 

P :xy  z

Lời giải:

Giả sử mặt cầu

 

S có phương trình:

 

S :x2y2z22ax2by2czd0

Điểm A



0,1, 0

  

 S  1 2b d 0(1)

Tương tự có :

1 0(2)

1 0(3)

3 0(4)

a d c d a b c

   



   

     

Vậy

 

S :x2y2z22x2y2z 1

Bài 2.Cho hai đường thẳng

 

1

2

:

3

x t d y t

z t

  

   

   

 

2

2

:

3

x u

d y u

z u

   

   

   

Viết phương trình đường vng góc chung

   

d1 , d2 Và viết phương trình mặt cầu

 

S có đường kính đoạn vng góc chung

   

d1 , d2

Lời giải :

(i).Đường thẳng

 

d1 có véc tơ chỉphương u



2,1, 3



và đường thẳng

 

d2 có véc tơ phương v



1, 2, 3



Lấy điểm A



2t1,t2, 3t3

  

 d1 ;B u



2, ,3  u u1

  

 d2 suy



1, 5, 3 4



AB u t u t u t

       , ABlà đoạn vng góc chung

   

1

,

AB u d d

AB v

    

  

  

















25

2 2 3 9

29

2 2 3

9

u

u t u t u t

u t u t u t

t

            

 

 

        

 

 

 

Từđó suy 67 47 20, , ; 43 23 84, , ; 24, 24 24, 24



1, 1,1



9 9 9 9 9

A  B  AB    

     



Vậy phương trình đoạn vng góc chung

   

d1 , d2 qua Avà có véc tơ chỉphương



 1, 1,1



Vậy

67 47 :

9 20

3

x t

AB y t

z t



  

 

  

 

  



(ii). Tọa độtrung điểm I AB 55 35, ,8 9

I 

 

8 3

AB

Khi mặt cầu cần tìm

 





2

2

55 35 48

:

9 9

S x  y   z 

   

Dạng 2: Vịtrí tương đối điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu với mặt cầu toán liên quan

(i). Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

(ii). Mặt cầu cắt mặt phẳng

(iii). Mặt cầu cắt, tiếp xúc với đường thẳng

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng

 

:

4 14

x y z

d

x y z

    



    

tiếp xúc với hai mặt phẳng

 

P :x2y2z 2

 

Q :x2y2z 4

Bài 2.Cho đường thẳng

 

:

3 1

x y z

d     mặt phẳng

 

P : 2x y 2z 2 Viết phương trình mặt cầu

 

S có tâm nằm

 

d , tiếp xúc với

 

P có bán kính

Bài 3.Cho đường thẳng

 

:

3

x y z

d

x y z

    



    

hai mặt phẳng

 

P : 5x4y  z

 

Q : 2x   y z

Viết phương trình mặt cầu

 

S có tâm giao điểm

   

d , P , biết

 

Q cắt

 

S theo thiết diện hình trịn có diện tích 20



Bài 4. Viết phương trình mặt cầu

 

S có tâm I



3, 2, 4



và tiếp xúc với đường thẳng

 

:

2

x y z

d   

Bài 5. Viết phương trình mặt cầu tâm I



1,1,1



cắt đường thẳng

 

:

2

x y z

d

y z

    



   

hai

điểm phân biệt A B, cho độ dài AB16

Bài 6. Cho mặt cầu

 

S :x2 y2 z2 2x 2z 2 0

      mặt phẳng

 

P : 2x2y  z Tìm điểm M

 

S cho khoảng cách từ M đến

 

P đạt giá trị nhỏ

Bài 7. Chứng minh mặt cầu x2y2z24x6y6z170cắt mặt phẳng

2

x y z  theo giao tuyến đường tròn

 

C Viết phương trình mặt cầu

 

S

chứa

 

C có tâm thuộc mặt phẳng

 

P :xy  z

Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng

 

P tiếp xúc với mặt cầu

 

2

: 10 26 113

S x y z  x y z  , đồng thời song song với hai đường thẳng

 

1

5 13

:

2

x y z

d     



 

2

7

:

3

x y z

d     



Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng

 

: 11 30

2

x y z

d

x y z

    



   

tiếp xúc với mặt cầu

 

S :x2 y2z22x6y4z150

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1.Cho hai điểm A



2,1,1 ;



B



0, 1,3



đường thẳng

 

: 11

3

x y

d

y z

   



   

(i). Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua trung điểm Icủa ABvà vng góc với AB Gọi

Klà giao điểm

   

d , P Chứng minh IKvng góc với

 

d

Bài 2.Cho hai đường thẳng

 

1 :

1 2

x y z

d  

 

2

1 :

1

x t

d y t z t

   

      

(i). Chứng minh

   

d1 , d2 chéo

(ii). Tìm điểm M

 

d1 ,N

 

d2 cho MNsong song với mặt phẳng

 

P :x  y z 0và

độ dài MN

Bài 3. Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có A



0, 0, ;



B



2, 0, ;



D1



0, 2, 2



Gọi M

trung điểm BC Chứng minh tỷ số khoảng cách từđiểm NAC N1,  Atới hai mặt phẳng



AB D1 1

 

, AMB1



không phụ thuộc vào vị trí điểm N

Bài 4.Cho hai điểm A



4, 0, ;



B



0, 4, 0



mặt phẳng

 

P : 3x2y  z Gọi Ilà

trung điểm AB Tìm điểm Kcách gốc tọa độ mặt phẳng

 

P cho IK

 

P

Bài 5.Cho hai đường thẳng

 

1

:

2

x t

d y t

z

   

   

  

 

2 :

1

x y z

d    



Tìm điểm A

 

d1 ,B

 

d2 cho độ dài ABnhỏ

Bài 6.Cho đường thẳng

 

:

2 1

x y z

d     

 mặt phẳng

 

P :xy  z

Xác định giao điểm M

   

d , P Viết phương trình đường thẳng

 

 nằm mặt phẳng

 

P , vng góc với

 

d cho khoảng cách từ M đến

 

 42

Bài 7.Cho hai đường thẳng

 

1 :

2

x y z

d    



 

2

5

:

6

x y z

d    

 mặt phẳng

 

P :x2y2z 1 Tìm tọa độđiểm M

 

d1 ,N

 

d2 cho MNsong song với

 

P

và cách

 

P khoảng

Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng

 

P qua điểm M



 4, 9,12



và cắt trục tọa độ , ,

Ox Oy Ozlần lượt A B C, , cho 4 1 1

OC OA OB

OC OA OB

  

 

  



Bài 9.Cho điểm I



0,1,3



và hai đường thẳng

 

1 : 3

2

x y z

d     

 

2

5 6 13

:

6

x y z

d

x y z

    



    

(i). Chứng minh

   

d1 , d2 chéo

Bài 10.Cho điểm A



0,1, 2



và hai đường thẳng

 

1 : 1

2 1

x y z

d    



 

2

1

:

2

x t

d y t

z t

   

   

   

Tìm tọa độđiểm M

 

d1 ,N

 

d2 cho A M N, , thẳng hàng

Bài 11.Cho điểm A



0,1, ;



B



2, 2, ;



C



2, 3,1



và đường thẳng

 

:

2

x y z

d     



(i). Tìm điểm M

 

d để thể tích tứ diện MABC

(ii). Tìm điểm N

 

d diện tích tam giác NABnhỏ

Bài 12. Cho mặt phẳng

 

P : 2x   y z Viết phương trình mặt phẳng

 

Q qua giao

tuyến

 

P mặt phẳng



xOy



và

 

Q tạo với ba mặt phẳng tọa độ tứ diện

tích 125

36

Bài 13. Tìm đường thẳng Oxđiểm Acách đường thẳng

 

:

1 2

x y z

d    

mặt phẳng

 

P : 2x y 2z0

Bài 14.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho mặt cầu

 

2

: 4

S x y z  x y  mặt phẳng ( ) :P x2y2z 9 Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu

 

S , nằm ( )P cắt trục hoành

Bài 15.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho điểm A(3; 2;1), điểm B D, nằm

đường thẳng : 2

1

x y z

  

 , điểm Cnằm mặt phẳng ( ) : 2P xy  z

Tìm tọa độ điểm Bbiết tứ giác ABCDlà hình chữ nhật

Bài 16.Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho hai mặt phẳng

   

P1 , P2 có

phương trình tuuowng ứng 2x y 2z 1 0và 2x y 2z 5 0và điểm A



1;1;1



nằm khoảng hai mặt phẳng Gọi

 

S mặt cầu qua Avà tiếp xúc với hai mặt phẳng

   

P1 , P2 Gọi Ilà tâm mặt cầu

 

S Chứng tỏ Ithuộc đường tròn cố định Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn

MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1cạnh a

(i). Tính theo a khoảng cách A B1 B D1

(ii). Gọi M N P, , theo thứ tựlà trung điểm cạnh BB CD A D1, , 1 1 Tính góc MPvà

C N

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1cạnh a Gọi M N, theo thứ tựlà trung điểm cạnh AD CD, Lấy điểm PBB BP1, 3PB1 Tính diện tích thiết diện mặt phẳng

Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D 1 1 1 1 có ABa AD, 2 ,a AA1a

(i). Tính theo a khoảng cách AD B C1, 1

(ii). Gọi M điểm chia đoạn ADtheo tỷ số AM

MD  Tính khoảng cách từ Mđến mặt

phẳng



AB C1



(iii). Tính thể tích tứ diện AB D C1 1

Bài 4. Cho tứ diện ABCDcó ADvng góc với mặt phẳng



ABC



Và có

4, 3,

AC AD AB BC Tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng



BCD



Bài 5. Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1cạnh a Gọi M N, trung điểm BC DD, 1

(i). Chứng minh MN/ /



A BD1



(ii). Tính khoảng cách BDvà MNtheo a

Bài 6. Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1cạnh Lấy M N P, , theo thứ tự thuộc 1, , 1

BB CD A Dsao cho B M1 CN D P1 a(0a1)

Chứng minh MNa AB AD



a1



AA1 AC1vng góc với mặt phẳng



MNP

