Đang tải... (xem toàn văn)
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. • Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Theo công thức. b) Tính thể tích tứ diệ[r]
(1)TỦ SÁCH LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
MỞ ĐẦU
OXYZLý thuyết áp dụng
(2)(3)Lời giới thiệu
Chủ đề hình học giải tích khơng gian Oxyz khơng phải khó không
hẳn dễ với bạn học sinh bắt đầu chủđề Ebook nhỏ nhằm mang tới cho bạn đọc nhìn khái quát vấn đề chủ đề thơng qua lý thuyết ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết phần giúp bạn dễ tiếp cận Nội dung Ebook khơng q đè nặng tốn khó lắt léo nhiên có tốn đủđể khiến bạn đau đầu tốn nhiều công sức để giải Bên cạnh phần trình bày hình vẽ đầu tư
nhiều cơng sức với mong muốn bạn đọc hiểu, tưởng tượng suy luận hướng mà lời giải giải tốn Kì thi THPT Quốc Gia ngày tới gần, có lẽ lúc thích hợp để bạn nhìn lại ơn tập kiến thức qua đồng thời cung cấp thêm cho số kinh nghiệm
để giải toán hay xuất đề thi, tập thể tác giả mong sách giúp ích cho bạn phần q trình ơn luyện Nội dung ebook tham khảo từ nhiều nguồn, bạn xem cuối tài liệu Dù cố gắng để biên soạn nhiên tránh khỏi thiếu sót, ý kiến phản hồi vui lòng gửi vềđịa
(4)Mục lục
Chương 1. Mở đầu hình học tọa độ không gian
Chương 2.Lý thuyết vềphương trình đường thẳng 32 Chương 3.Các tốn vềphương trình mặt phẳng 107
Chương 4.Các tốn vềphương trình mặt cầu 171 Chương 5.Các toán cực trị hình học khơng gian Oxyz 261
(5)(6)(7)Tóm tắt nội dung
Trong chương sẽđi tìm hiểu khái niệm cơng thức bản, qua
tìm hiểu dạng tốn liên quan tới công thức nhằm giúp bạn học sinh nắm vững lý thuyết đểđi sâu vào dạng tập khó
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , vng góc với đôi chung điểm gốc O Gọi i j k, , vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox Oy Oz, , Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vuông góc khơng gian.
Chú ý i2 = j2 =k2 =1 i j =i k =k j =0 II TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
1 Định nghĩa
Ta có vecto u =(x y z; ; ) =u xi+y j+zk
2 Tính chất
Cho a=(a a a1; 2; 3),b=(b b b1; 2; 3),k
• a =b (a1b a1; 2b2;a3b3)
Chương
1 Mở đầu hình học tọa độ
không gian
O j k
i
y z
(8)• ka = (ka ka1; 2;ka3)
•
1 2 3
a b
a b a b
a b
=
= =
=
• 0=(0; 0; ,) i =(1; 0; ,) j =(0;1; ,) k =(0; 0;1)
• a phương b b( 0)a=kb k( ) ( )
1
3
2 2
1 3
, , , a kb
a
a a
a kb b b b
b b b
a kb
=
= = =
=
• a b =a b1 1+a b2 2+a b3 3
• a⊥b a b1 1+a b2 2+a b3 3 =0
• 2 2
a =a +a +a
• 2 2
a = a +a +a
• ( ) 1 2 3 2 2 2 3
cos ,
a b a b a b a b
a b
a b a a a b b b
+ +
= =
+ + + + (với a b, 0)
III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Cho điểmA x( A;yA;zA) (,B xB;yB;zB)
• ( ) (2 ) (2 )2
B A B A B A
AB= x −x + y −y + z −z
• Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB ; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z
M + + +
• Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC ; ;
3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G + + + + + +
• Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD
; ;
4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G + + + + + + + + +
IV TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1 Định nghĩa
Trong không gian Oxyzcho hai vectơ a=( ;a a a1 2; 3), b=( ;b b b1 2; 3) Tích có hướng hai vectơ a b, kí hiệu a b, , xác định
( )
2 3 1
2 3 1 2 3 1
, a a ; a a ; a a ; ;
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
= = − − −
Chú ý Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số
2 Tính chất
(9)• a b, = −b a,
• i j, =k;j k, =i;k i, = j
• a b, = a b .sin( )a b,
• a b, phương a b, = (chứng minh điểm thẳng hàng)
3 Ứng dụng tích có hướng
• Điều kiện đồng phẳng vecto a b, c a b c, =0
• Diện tích hình bình hành ABCD SABCD = AB AD,
• Diện tích tam giác ABC , ABC
S = AB AC
• Thể tích khối hộp ABCDA B C D VABCD A B C D ' ' ' ' = AB AD AA,
• Thể tích tứ diện ABCD ,
6 ABCD
V = AB AC AD Chú ý
• Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng
• Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương
• a⊥ b a b =0
• a b, phương a b, =0
• a b c, , đồng phẳng a b c, =0
B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng Tìm tọa độ vecto, điểm
Định nghĩa a=a i1 +a j2 +a k3 =a (a1;a a2; 3), OM =x i +y j +z k M x y z( ; ; )
Tính chất Cho a=(a a a1; 2; 3);b =(b b b1; 2; 3) Ta có
• a =b (a1b a1; 2b a2; 3b3)
• ka=(ka ka ka1; 2; 3)
•
1 2 3
a b
a b a b
a b
=
= =
=
(10)CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vectơ thỏa mãn a= − + −i j ,k b=(3; 0;1 ,) ,
c= i + j d =(5; 2; 3− )
a) Tìm tọa độ vectơ a+b, 3a−2c b) Tìm tọa độ vectơ a+ −b c;3a−2c+3d
c) Phân tích vectơ d theo vectơ a;b ;c
Lời giải a) Ta có
• a= −( 1;1; ,− ) b=(3; 0;1) + =a b (2;1; 2− )
• 3a= −( 3;3; , 2− ) c =(4; 6; 0) 3a−2c = − − −( 7; 3; 9) b) Ta có
• a= −( 1;1; ,− ) b=(3; 0;1 ,) c=(2;3; 0) + − =a b c (0; 2; 2− − )
• 3a= −( 3;3; , 2− ) c =(4; 6; 0),3d =(15; 6; 9− )3a−2c+3d =(8;3; 18− )
c) Giả sử d =ma+nb+pc
5
2
3
m n p
m p
m n
= − + +
= +
− = − +
19 24
, ,
11 11 11
m n p
= = =
Vậy 19 24
11 11 11
d = a+ b+ c
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 3;1− );B(2;5;1) vectơ
3
OC= − +i j+ k
a) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
b) Tìm tọa độ điểm E cho tứ giác OABE hình thang có hai đáy OA;BE vàOA=2BE c) Tìm tọa độ điểm M cho 3AB+2AM =3CM
Lời giải a) Gọi D x y z( ; ; ) Ta có BC= − −( 5; 3; ,) AC= −( 4;5; 4)
Mà
4
− −
− BC AC, không phương
( 1; 3; 1)
AD= x− y+ z− ABCD hình bình hành
1
3
1
x x
AD BC y y
z z
− = − = −
= + = − = −
− = =
Vậy (− −4; 6;5) b) Gọi E x y z( ; ; ) Ta có OA=(1; 3;1 ,− ) OB=(2;5;1)
Mà
2
−
(11)1
2 10
1 2 x
OA EB y
z
= −
= − = −
= −
3 13
, ,
2 2
x y z
= = =
Vậy 13 1; ; 2 E
c) Gọi M x y z( ; ; ) Ta có
• AB=(1;8; 0)3AB=(3; 24; 0)
• AM =(x−1;y+3;z−1) 2AM =(2x−2; 2y+6; 2z−2)
• CM =(x+3;y−2;z−5) 3CM =(3x+9;3y−6;3z−15)
3AB+2AM =3CM
3 2 24 6 2 15
x x
y y
z z
+ − = +
+ + = −
+ − = −
8 36 13 x y z
= −
=
=
Vậy M(−8;36;13)
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1; 0;1 ,) (2;1; ,)
B D(1; 1;1 ,− ) ' 4;5; C ( − ) Xác định đỉnh cịn lại hình hộp ABCD.A’B’C’D’
Lời giải Gọi C x y z( ; ; ) Ta có AB=(1;1;1);DC=(x−1;y+1;z−1)
Tứ giác ABCD hình bình hànhAB=DC ( )
1
1 2; 0;
1
x x
y y C
z z
− = =
+ = =
− = =
Gọi D x y z( ; ; ) Ta có D C =(4−x;5− − −y; z); DC=(1;1;1) Tứ giác DCC D hình bình hànhD C =DC
4
5
5
x y z
− =
− =
− − =
( )
3
4 3; 4;
x
y D
z
=
= −
= −
Gọi A x y z( ; ; ) Ta có A D '=(3−x; 4− − −y; z); AD=(0; 1; 0− )
Tứ giác ADD A hình bình hành A D = AD ( )
3
4 3;5;
6
x x
y y A
z z
− = =
− = − = −
− − = = −
Gọi B x y z( ; ; ) Ta có A B =(x−3;y−5;z+6); D C =(1;1;1)
Tứ giác A B C D hình bình hànhA B =D C ( )
3
5 4; 6;
6
x x
y y B
z z
− = =
− = = −
+ = = −
Dạng Tích phân vơ hướng vecto tứng dụng
Cho a=(a1;a a2; 3);b =(b b b1; 2; 3) Ta có
(12)• 2 2
a = a +a +a
• a⊥b a b = 0 a b1 1+a b2 2+a b3 =0
• ( ) 1 2 3 2 2 2 3
cos a b, a b a b a b a b
a b a a a b b b
+ +
= =
+ + + +
• ( ) (2 ) (2 )2
B A B A B A
AB= x −x + y −y + z −z
CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vectơ a=(1; 2;1 ,) b =(3; 1; ,− ) (4; 1; ,)
c= − − d =(3; 3; ,− − ) u =(1; ; ,m ) (m ) a) Tính a b b a , ( +2c), a+2b
b) So sánh a b c.( ) ( )a b c
c) Tính góc ( ) (a b, , a+b a,3 −2c) d) Tìm m để u⊥(b+d)
e) Tìm m để (u a, )=60
Lời giải a) Tính a b b a , ( +2c), a+2b
(1; 2;1 ,)
a= b =(3; 1; 2− ) a b =1.3 2.+ ( )− +1 1.2=3 (4; 1; 3) (8; 2; 6)
c = − − c= − − +a 2c =(9; 0; 5− )
( ) ( ) ( )
3.9 17 b a+ c = + − + − =
( )
2b = 6; 2; 4− +a 2b =(7; 0;5) +a 2b = 72+ + =02 52 74 b) So sánh a b c.( ) ( )a b c
( ) ( ) ( )
3.4
b c= + − − + − = a b c.( ) =(7;14; 7)
( )
1.3 1.2
a b= + − + = ( )a b c =(12; 3; 9− − ) Vậy a b c.( ) ( ) a b c
c) Tính góc ( ) (a b, , a+b a,3 −2c)
(1; 2;1 ,)
a= b =(3; 1; 2− ) ( ) ( )
( )2
2 2 2
1.3 1.2
cos ,
2 21
a b + − +
= =
+ + + − + ( )a b, 70 54
(4;1;3)
a+ =b , 3a−2c = −( 5;8;9) cos(a+b, 3a−2c) ( )
( )2
2 2 2
4 1.8 3.9
− + +
=
+ + − + +
15
= ( ) '
,3 76 57
a b a c
(13)d) Tìm m để u⊥(b+d)
(6; 4; 3)
b+ =d − − , u =(1; ; 2m )
( ) ( )
u ⊥ b+d u b+d = −6 4m− = 6 m=0 e) Tìm m để (u a, )=60
( ) ( )
, 60 cos ,
2 u a = u a =
2
2
2
6
m m
+
=
+
2
6m 30 4m
+ = +
( )2
4
6 30
m
m m
+
+ = +
3
10 48
m
m m
−
+ + =
12 129
m − +
=
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a b cho ( )a b, =120, a =2,
3
b = Tính a+b a−2b
Lời giải
Ta có a+b2 =(a+b)2 = a2+ b2+2a b .cos( )a b; 2.2.3
= + + − =
Vậy a+ =b
Ta có a−2b2 =(a−2b)2 = a2+4b2−4 a b .cos( )a b; 36 4.2.3 52
= + − − =
Vậy a−2b =2 13
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1 ,− ) B(3;5; ,) C(8; 4;3 ,) ( 2; 1; 3)
D − m+ − a) Tính AB BC AC, ,
b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
c) Tìm tọa độ điểm M nằm trục hồnh cho MA=MB d) Tìm m cho tam giác ABD vng A
e) Tính số đo góc A tam giác ABC
Lời giải a) Tính AB BC AC, ,
( ) 2
1; 6;1 38
AB= AB= + + =
( ) 2 ( )2 2
5; 1;1 1 3
BC= − BC= + − + =
( ) 2 ( )2 2
6;5; 65
AC= AC= + + =
b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
( )
1.5 1.1
(14)MA=MB ( ) ( )2 2 ( )2 2
2 x 1 x
− + − + = − + +
2
4 6 38
x x x x
− + = − + =x 16 Vậy M(16; 0; 0) d) Tìm m cho tam giác ABD vuông A
(1; 6;1 ,) ( 4; 2; 4)
AB= AD= − m+ −
ABD
vuông A AB AD =0 − +4 12m+12− =4
3 m
= − e) Tính số đo góc A tam giác ABC
(1; 6;1 ,) (6;5; 2)
AB= AC = , cosA=cos(AB AC, ) 1.6 6.5 1.2
38 65
AB AC AB AC
+ +
= = A 40 8 Chú ý Vì ABD vng B nên dùng hệ thức lượng tam giác vng
3 tan
38 BC
A AB
= = A 40 8
Dạng Vận dụng công thức trung điểm trọng tâm
M trung điểm AB ; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z
M + + +
G trọng tâm ABC ; ;
3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G + + + + + +
CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC cóA(1;3; ,) B(3; 5; 6− ), C(2;1;3)
a) Tìm tọa độ điểm M trung điểm cạnh AB
b) Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G tam giác ABC lên trục Ox c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C
d) Tìm tọa độ điểm F mặt phẳng Oxz cho FA FB+ +FC nhỏ e) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B qua trục tung
Lời giải a) Tìm tọa độ điểm M trung điểm cạnh AB
Ta có điểm M trung điểm cạnh AB 3 6; ;
2 2
M + − +
hay M(2; 1; 4− )
b) Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G tam giác ABC lên trục Ox
G trọng tam giác ABC 3 3; ;
3 3
G + + − + + +
hay 2; 11;
3 G −
Hình chiếu của G lên trục Ox H(2; 0; 0)
c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C
Gọi N x y z( ; ; ), ta có N đối xứng với điểm A qua điểm C C trung điểm AN
1
2 ,1 ,3
2 2
x y z
+ + +
(15)d) Tìm tọa độ điểm F mặt phẳng (Oxz) cho FA FB+ +FC nhỏ
3
FA FB+ +FC = FG = FG
Do FA FB+ +FC nhỏ FG nhỏ F hình chiếu G lên mp Oxz( ) Vậy 2; 0;11
3 F
e) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B qua trục tung Hình chiếu B lên trục Oy H(0; 5; 0− )
B đối xứng với điểm B qua trục tung H trung điểm đoạn BB '( )
3; 5; B
− − −
Dạng Chứng minh vecto phương, không phương
Chú ý a phương b k :a=kb (b 0) ( ) 3
, , a
a a
b b b
b =b = b
CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vectơ a=(3; 2;5 ,) b=(3m+2;3; 6−n) Tìm
,
m n để a b, phương
Lời giải Ta có a=(3; 2;5 ,) b =(3m+2;3; 6−n)
Ta thấy a b, phương 3
3
m+ −n
= = 5,
6
m n
= = −
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3 ,) B(2;1;1 ,) C(0; 2; 4) a) Chứng minh A B C, , đỉnh tam giác.
b) Tìm tọa độ điểm Mmp Oyz( ) cho điểm A B M, , thẳng hàng Lời giải
a) Ta có AB=(1; 1; ,− − ) AC= −( 1; 0;1) Ta có
1
−
− AB AC, không phương
Vậy A B C, , đỉnh tam giác
b) Tìm tọa độ điểm Mmp Oyz( ) cho điểm A B M, , thẳng hàng Ta có Mmp Oyz( )M x( ; 0;z), AM =(x− −1; 2; z−3), AB=(1; 1; 2− − ) Ta có A B M, , thẳng hàng AB AM, phương
1
x− − z−
= =
− − =x 3, z= −1
(16)Dạng Tích có hướng hai vecto ứng dụng
Ta cần ý tính chất sau
• a b, ⊥a; a b, ⊥b a b, = −b a,
• a b phương a b, = a b c, , đồng phẳng a b c, =0
• Diện tích hình bình hành ABCD SABCD = AB AD,
• Diện tích tam giác ABC , ABC
S = AB AC
• Thể tích khối hộp ABCD A D C D VABCD A B C D = AB AD AA,
• Thể tích khối tứ diện ABCD ,
ABCD
V = AB AC AD
CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0;1 ,) B(−1;1; ,) C(−1;1; ,) (2; 1; 2)
D − −
a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện
b) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy độ dài đường cao tứ diện qua đỉnh A Lời giải
a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện
( 2;1;1 , ) ( 2;1; , ) (1; 1; 3)
AB= − AC= − − AD= − −
( )
, 2; 4;
AB AC
= − − AD AB AC. , = 2 0 AB AC AD, , không đồng phẳng Vậy A B C D, , , đỉnh tứ diện
b) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy độ dài đường cao tứ diện qua đỉnh A
( 2;1;1 , ) ( 2;1; , ) (1; 1; 3)
AB= − AC= − − AD= − −
( ) 1
, 2; 4; ,
6
ABCD
AB AC V AD AB AC
= − − = = (đ.v.t.t) Ta có BC=(0; 0; , − ) BD=(3; 2; 4− − )
( )
, 4; 6; , 13
2 BCD
BC BD S BC BD
= − − = =
( )
( ) ( ( ))
1 13
d ; d ;
3 13
ABCD
ABCD BCD
BCD V
V A BCD S A BCD
S
= = =
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(−3;5;15 ,) B(0; 0; ,) C(2; 1; ,− ) (4; 3; 0)
D − Chứng minh AB CD cắt Lời giải
Ta có AB=(3; 5; ,− − ) AC=(5; 6; 11 ,− − ) AD=(7; 8; 15 ,− − ) CD=(2; 2; 4− − )
( )
, 7; 7; , , ,
AB AC AD AB AC AB AC AD
(17) A B C D, , , thuộc mặt phẳng ( )1
( )
, 4; 4; ,
AB CD AB CD
= −
không phương ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy AB CD cắt
Câu
Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz, cho hình hộp ABCD EFGH với A(1;1;1 ,) B(2;1; ,) ( 1; 2; ,)
E − − D(3;1; 2) Khoảng cách từ A đến mp DCGH( ) bằng? Lời giải
Ta có ( )
( ) ( )
1; 0;1
, 0;1; 2; 0;1
AB
AB AD AD
=
=
=
, AE= −( 2;1; 3− )
,
AB AD AE
=
VABCD EFGH = AB AD AE, =1
( )
( ) ( )
1; 0;1
, 1;1;1
2;1; AB
AB AE AE
=
= −
= − −
SABFE = AB AE, = 3=SDCGH
( )
( )
,
ABCD EFGH DCGH
V =d A DCGH S ( ,( ))
3 ABCD EFGH
DCGH V d A DCGH
S
(18)MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Câu
Cho hai vectơ a=(2;3; 1− ) ; b=(0; 2;1− )
Tính 2a+2b ; b+5a ; a b ; a b; ; a+2 ;5b a−3b Lời giải Ta có
• 2a+2b=2 2;3; 1( − +) (2 0; 2;1− ) (= 4; 2;0)
• b+5a=(0; 2;1− ) (+5 2;3; 1− =) (10;13; 4− )
• a b =2.0 3+ − −( )2 1.1= −7
• a b; = (1; 2; 4− − )
• a+2 ;5b a−3b
Ta có a+2b=(2;3; 1− +) (2 0; 2;1− ) (= 2; 1;1− )
( ) ( ) ( )
5a−3b=5 2;3; 1− −3 0; 2;1− = 10; 21; 8−
Suy a+2 ;5b a−3b= −( 13; 26;52)
Câu
Cho vectơ a=(2 ; 1; 4− ) Tìm vectơ b phương với a biết a b =20 Lời giải
Giả sử b=(x y z; ; )
Vì vectơ b phương với a nên tồn số k cho x=2 2k ; y= −k ; z=4k Lại có a b =20 Suy 8k+ +k 16k =20 Suy
5 k= Vậy 2; 16;
5 5 b= −
Câu
Cho vectơ a=(1;1;1); b=(1; 1;3− ) tìm vectơ c có độ dài , vng góc với hai vectơ a, b
và tạo với tia Oz góc tù
Lời giải
Gọi tọa độ vectơ c=(x y z; ; ) Theo giả thiết ta có
3 b j c a c
c c
= =
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3
x y z
x y z x y z z
+ + =
+ + =
− + =
(19)Kết hợp điều kiện ( )4 ta có
6
6 x y z
= = −
= −
Vậy 6; 6;
2
c= − −
Cách Do c⊥a, c⊥b nên tồn số p cho c= p a. ; b=(4 ; -2 ; -2p p p)
Vì 24
4 c = p = = p Từ ; ;
2
c= −
6
6; ;
2
c= − −
Mặt khác c tạo với Ozmột góc tù nên c k 0 Vậy ; - ; -
2
c=
Câu
Xét đồng phẳng ba vectơ a , b , c sau a) a=(2; 6; 1− ), b=(4; 3; 2− − ), c= − −( 4; 2; 2) b) a=(2; 4;3− ), b=(1; 2; 2− ), c=(3; 2;1− )
Lời giải
Để xét đồng phẳng ba vectơ a, b , c ta xét tích hỗn hợp T = a b c, Nếu T =0 ba vectơ a, b, c đồng phẳng
Nếu T 0 ba vectơ a, b, c khơng đồng phẳng
a) Ta có a ; b = − ( 15; 0; 30− )a b c, = − ( 15 ) ( )− +4 0.( ) (− + −2 30 2) =0 Vậy ba vectơ a , b , c đồng phẳng
b) Ta có a b, = (2; 7;8)a b c; = 2.3 7.+ ( )− +2 8.1 0= Vậy ba vectơ a , b , c đồng phẳng
Câu
Cho ba điểm A(2; 5; 3); B(3;7; 4);C x y( ; ; 6) Tìm x;yđể A,B,C thẳng hàng? Lời giải
Ta có AB=(1; 2; 1) ; AC =(x−2; y 5; 3− )
Ta có
1
x− y−
= =
2
3 x
y
− = −
=
5 x y
= =
Câu
Cho bốn đỉnh A(1; 1; 1− ),B(1; 3; 1),C(4; 3; 1),D(4; 1; 1− )
a) Chứng minh A,B,C,D đồng phẳng tứ giác ABCD hình chữ nhật b) Tính độ dài đường chéo góc hai đường chéo
(20)a) AB=(0; 4; 0);AC =(3; 4; 0);AD=(3; 0; 0)
( )
, 0; 0; 12
AB AC
= −
; AB AC AD, =0.3 0.0 0.+ + (−12)=0
Vậy A,B,C,D đồng phẳng
( )
, 0; 0; 12
AB AC
= −
nên A,B,C không thẳng hàng
(0; 4; 0)
DC = nên DC= AB hay tứ giác ABCD hình bình hành Mặt khác AB AD =0.3+4.0+0.0=0 nên tứ giácABCD hình chữ nhật b) Ta cóAC= 32 +42 =5; BD= AC=5
( ) 3.3 4( )4
cos ,
5.5
AC BD = + −
25
= (AC BD, )=73 44'
Câu
Cho điểm A(2; 1; ,− ) (B − − −3; 1; ,) (C 5; 1; 0− ) D(1; 2;1)
a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Lời giải
a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
• Chứng minh tam giác ABC tam giác vng Ta cóAB= −( 5; 0; 10− ),AC=(3; 0; 6− ), BC =(8; 0; 4)
Xét AB AC =24 24+ − =0 nên AC ⊥BC nên ABC vuông C Vậy ABC vng C
• Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giácABC
Theo công thức ABC
ABC ABC
ABC S
S P r r
P
= = Ta có AB=5 5,AC=3 5,BC=4 5,
Khi ABC tam giác vuông Cnên 1.3 5.4 30
2
ABC
S = AC BC= =
Chu vi tam giác ABC 5 5
2
ABC
AB AC BC P
+ + + +
= = =
Vậy 30
6 ABC
ABC S r
P
= = = b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Theo cơng thức ,
6
ABCD
V = AB AC AD
Ta có AB= −( 5; 0; 10− ), AC=(3; 0; 6− ), AD= −( 1;3; 5− )
Với AB AC, = (0; 60; 0− ), AB AC AD, = −0 60.3 0+ =180
Vậy , 1.180 30
6
ABCD
(21)Câu
Cho ba điểm A(1; 0; 0); B(0; 0;1); C(2;1;1)
a) Chứng minh ba điểm A,B, C không thẳng hàng b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC
c) Tìm toạ độ điểm D biết ABCD hình bình hành d) Tính độ dài đường cao tam giác ABC
e) Tính góc tam giác ABC f) Xác định toạ độ tực tâm ABC
g) Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải a) Ta có AB(−1; 0;1); AC(1;1;1) suy ABk AC
Do AB; AC khơng phương suy A,B, C khơng thẳng hàng b) Ta có AB(−1; 0;1); AC(1;1;1); BC(2;1; 0) AB= 2; BC= 5;
3
AC = ;AB AC; = − ( 1; 2; 1− )
Chu vi tam giác ABC p= 2+ 3+ ;
ABC
S = AB AC 1
= + +
2
= c) Gọi D a b c( ; ; ) cho A,B, C, D bốn đỉnh hình bình hành
Ta có AB=DC
1 1
a b c
− = −
= −
= −
3 a b c
= =
=
(3;1; 0)
D
d) Ta có
ABC a
S = a h 2b hb
=
2c hc
=
5 a h
= ; hb = 2; hc= e) Áp dụng công thức hàm số cosin cho tam giác ABCta có
+ cos
2
A= + − = = A 90
+ cos
2 5
B= + − = = B 51
+ cos
2 5
C= + − = = C 39
Cách khác dùng công thức cosA=cos(AB AC, ) AB AC AB AC
= f) Gọi H a b c( ; ; ) toạ độ trực tâm tam giác ABC
Ta có
;
AH BC BH AC
AB AC BH
= =
=
2
1
2
a b a b c
a b c
+ − =
+ + − = − + − + =
1 0 a b c
= =
=
(1; 0; 0)
H
(22)Ta có
;
IA IB IB IC
AB AC BI
= =
=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2
1
1 1
a b c a b c
a b c a b c
− + + = + + −
+ + − = − + − + −
2
4
2
a c
a b
a b c
− + =
+ = − + + − =
1 a b c
=
=
=
1 1; ;1
2
I
Cách khác Tam giác ABC vng A nên tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm
1; ;1 I
BC
Câu
Trong không gian Oxyzcho điểm A(2; 1; ,− ) (B − − −3; 1; ,) (C 5; 1; 0− ) D(1; 2;1) a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Lời giải a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông
+) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng
Ta có AB= −( 5; 0; 10− ),AC=(3; 0; 6− ), BC=(8; 0; 4)
Xét AB AC =24 24+ − =0 nên AC ⊥BC nên ABC vuông C Vậy ABC vuông C
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Theo công thức ,
6 ABCD
V = AB AC AD
Ta có AB= −( 5; 0; 10− ), AC=(3; 0; 6− ), AD= −( 1;3; 5− )
Với AB AC, = (0; 60; 0− ), AB AC AD, = −0 60.3 0+ =180
Vậy , 1.180 30
6
ABCD
V = AB AC AD = =
Câu 10
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3; ,− ) (B −1; 0; ,) (C 1; 2; 0− ) a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tìm tọa độ điểm Dtrên Oz cho tứ diện ABCDcó thể tích c) Tìm tọa độ điểm E (Oyz) cho AE/ /BC
d) Tìm tọa độ điểm Htrên Ox cho DH ⊥AC
e) Cho BFlà phân giác tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F
Lời giải a) Ta có AB= − −( 3; 3;3 ,) AC= − −( 1; 5;1)AB AC, =(12; 0;12) Khi diện tích tam giác ABC , 2.122
2
ABC
(23)b) Gọi D(0; 0; z) Ta có
(3;3; z 3) , 12.3 0.3 12.( 3) 12 0
AD − AB AC AD = + + z− = z z
1
4 , 12
6
ABCD
V AB AC AD z z
= = = =
Vậy điểm D(0; 0; 2)hoặc D(0; 0; 2− )
c) Gọi E(0; y; z) Ta có AE= −( 2; y 3; z ,− + ) BC=(2; 2; 2− − )
Ta cóAE/ /BCkhi AE BC; phương 5;
2 2
y z
y z
− − +
= = = = − −
Vậy E(0;5;1)
d) Gọi H x( ; 0; 0) Ta có
( ; 0; 2)
DH x − DH x( ; 0; 2)
2
2
x x
DH AC DH AC
x x
− − = = −
⊥ = − + = =
e) Gọi F x( ; y; z) BFlà phân giác tam giác ABC ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
3 3 3
2
2 2
AF BA
CF BC
− + − +
= = =
+ − + −
Mà F nằm
3
2
7
3
1
3
3
,
3
2 1
2
1
2
3
1 x
A C FA FC y
z
− −
= =
+
− − −
−
= = =
+
− − −
−
= =
+
Vậy 7; 0;
5
F −
Câu 11
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 0;3 ,) (B 1;1;5 ,) (C −3; 0; ,) (D 0; 3; 0− )
Chứng minh điểm A B C D, , , đồng phằng tính diện tích ACD
Lời giải Ta có AB(1;1; ;) AC(−3; 0; ;− ) AD(0; 3; 3− − )
( )
3 3 0
, ; ; 9;9;
0 3 3
AD AC − − − −
= = −
− − − −
( )
, 1.9 1.9
AB AD AC
= + + − =
, , AB AC AD
(24)Diện tích ACD , 92 92 ( )9
2 2
ACD
S = AD AC = + + − =
Câu 12
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 0;1), B(−1;1; 2), C(−1;1; 0),
(2; 1; 2)
D − −
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính độ dài đường cao DK tam giác BCD
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD, từ suy dộ dài đường cao AH tứ diện d) Xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC
e) Tìm mặt phẳng (Oxy) điểm M cho MA=MB=MC Lời giải a) Ta có AB= −( 2;1;1),AC= −( 2;1; 1− ), AD=(1; 1; 3− − )
( )
, 2; 4;
AB AC
= − −
, AD AB AC. , = Do đó, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
b) Ta có BC=(0; 0; 2− ), BD=(3; 2; 4− − ), BC BD, = − − ( 4; 6; 0), BC=2
, BCD
S = BC BD 42 62 13
= + = Mặt khác, ta có
2 BCD
S = DK BC 2S BCD 13
DK
BC
= = Vậy DK = 13
c) Thể tích khối tứ diện ABCD ,
6
ABCD
V = AB AC AD =
Lại có
3
ABCD BCD
V = AH S ABCD
BCD
V AH
S
=
13
=
Vậy
13 AH =
d) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC
1
3
2
3
1
A B C G
A B C G
A B C G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +
= = −
+ +
= =
+ +
= =
1 ; ;1 3
G
−
Giả sử trực tâm K tam giác ABC K a b c( ; ; ) Ta có
( 1; ; ,) ( 1; 1; ,) ( 1; 1; )
AK = a− b c− BK = a+ b− c− CK = a+ b− c
5
1
4
; ;1
5 5
2
, 1
a
AK BC c
BK AC a b c b K
a b
AK AB AC c
− =
= =
−
= − + = − =
+ − =
= =
(25)e) Giả sử M x y( ; ; 0) ( Oxy), ta có
( )2
2
1
AM = x− +y + , BM2 =(x+1) (2+ y−1)2+4, CM2 =(x+1) (2+ y−1)2
MA=MB=MC MA2 =MB2 =MC2 4
4
x y
x y
− = −
− =
Hệ vơ nghiệm dẫn đến tốn khơng có điểm M thỏa mãn
Câu 13
Cho hình chóp SABC có SC=AC= AB=a 2, SC⊥(ABC), tam giác ABC vuông A Trên
,
SA BC lấy điểm M N, cho AM =CN =t 0 t 2a a) Tính độ dài đoạn MN
b) Tìm t để \ ngắn
c) Tìm t để MN đoạn vng góc chung SA BC Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, ta có
(0; 0; ;) ( 2; 0; ;) (0; 2; ;) (0; a 2; 2)
AO B a C a S a
Ta tính tọa độ điểm 0; ; ; ; ; (0 )
2
2 2
t t t t t
M N a− − t a
( ) ( )2 2 2
; ;
2
2
t t t t
MN a t− − MN = MN = + a t− + = t − at+ a
Tìm t để MN ngắn
MN ngắn 3t2−4at+2a2 nhỏ
Ta có ( )
2
2
2 2
3
3 , 0;
3
3
4 t a a a t a
t at+ a = − +
−
Dấu xảy
2
2
3
3
a a
t t
− = =
(0; 2; 2)
S a a z
M
(0; 2; 0)
C a
AO
( 2; 0; 0) B a
N
x
(26)Vậy MN ngắn
3
a a
MN = =t
Tìm t để MN đoạn vng góc chung SA BC Cách
MN đoạn vng góc chung SA BCkhi MN ngắn
6
3
a a
MN t
= =
Cách 2.MN đoạn vng góc chung SA BCkhi
( ) ( )
2
3
2
a a t at
MN SA a
t at a a t
MN BC
= − − + =
=
− + − =
=
Vậy MN đoạn vng góc chung SA BCkhi
3 a t=
Câu 14
Cho bốn điểm S(3;1; 2), A(5;3;1), B(2;3; 4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA⊥(SBC), SB⊥(SAC), SC ⊥(SAB)
b) Gọi M , N , P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP tứ diện
Lời giải a) Ta có SA=(2; 2; 1− ), SB= −( 1; 2; 2), SC= −( 2;1; 2− ) Ta có SA SB = − + − =2 0, SA SC = − + + =4 2 SA SB
SA SC
⊥ ⊥
Vậy SA⊥(SBC)
Chứng minh tương tự ta có SB⊥(SAC), SC⊥(SAB) b) Ta có 5; ;
2 M
,
5 3; ;
2 N
,
7
;3;
2
P
Suy 3; 0; 3
2 2
MN = − MN =
,
1
2; ;
2 2
MP= MP=
1
; ;
2 2
NP= NP=
,
3 3
; ;
2 2
SM = − SM =
3 3
0; ;
2 2
SN = − SN =
,
1
; 2;
2 2
SP= SP=
Do MN=MP=NP=SM =SN =SP nên SMNP tứ diện (Hiển nhiên S đồng phẳng với (MNP))
Câu 15
Cho hai điểm A(2;3;1),B(3; 4;1− ) Tìm điểm M thuộc trục Oy cho biểu thức
2
2
(27)Điểm M thuộc trục Oynên tọa độ điểm M(0; ; 0)y MA(2;3−y;1 ;) MB(3; 4− −y;1)
Ta có 2 ( )2 2 ( )2 2
2 2 3 4 54
T = MA +MB = + −y + + + − −y + = y − y+
2
2 185 185
3 3
y
= − +
Để T đạt giá trị nhỏ 0; ; 02
3
y= M
Câu 16
Cho hai điểm A(−1; 6; 6), B(3; 6; 2− − ) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho biểu thức
T =MA+MB đạt giá trị nhỏ ?
Lời giải Cách
Vì z zA B 0 nên A, B khác phía mặt phẳng (Oxy)
Gọi N giao điểm AB (Oxy) Lấy M( )P ta có MA + MBAB=NA+NB Dấu “=” xảy khiN M
Suy T =MA+MB nhỏ N M hay điểm A, B, M thẳng hàng Cần tìm điểm M thỏa mãn
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 3 2
;
6
;
0
x x x
d A Oxy
MA MB MA MB y y y
d B Oxy
z z
− − = − −
=
= − = − − = − − − = −
= =
Vậy M(2; 3; 0− ) Cách
Phương trình mặt phẳng (Oxy) z=0
Xét vị trí tương đối A, B mặt phẳng (Oxy) ta có
( )
12
A B
T T = − = − Vậy A, B khác phía mặt phẳng (Oxy)
Đường thẳng AB quaA(−1; 6; 6) nhận AB=4 1; 3; 2( − − ) làm véc tơ phương, suy AB có phương trình
1 6
x t
y t
z t
= − +
= − = −
Gọi N giao điểm AB (Oxy), suy tọa độ điểm N nghiệm hệ
1 6
x t
y t
z t
z
= − +
= − = − =
2 x y z
=
= −
=
Ta chứng minh T =MA+MB nhỏ N M
(28)Câu 17
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2018; 0; ,) (B 0; 2018; ,) (C 0; 0; 2018 ) Có điểm hình tứ diện OABC mà tọa độ số nguyên
A C20163 B C20183 C C20173 D C20193
Lời giải Phương trình mặt phẳng (ABC) x+ + =y z 2018
Theo giả thiết toán điểm hình tứ diện OABCcó tọa độ ngun điểm (x y z; ; )với
0, 0, 2018 , ,
x y z
x y y x y z
+ +
Đặt x= +x' 1,y= +y' 1,z= + + + z' x' y' z' 2015 + + x' y' z' 2014
Vậy x'+ + =y' z' 2014−t t, 0,t + + + =x' y' z' t 2014
Số nghiệm nguyên không âm (x y z t'; '; '; ) phương trình 2014 2017
C − + − =C tương ứng với nghiệm nguyên dương (x y z; ; )của bất phương trình x+ + y y 2018
Chọn đáp án C
Câu 18
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có tọa độ đỉnh
( ) ( )
0; 0; , 0; ; , ; ; 2
a a
A B a C
A1(0; 0; 2a) Gọi D trung điểm cạnh BB1 M di động
trên cạnh AA1 Diện tích nhỏ Smincủa tam giác MDC1
A
2
3 a
S = B
2
5 a
S = C
2
6 a
S = D
2
15 a
S =
Lời giải Theo giả thiết, ta có 1 1 1 3; ; a , (0; ; )
2
a a
CC =AA C D a a
M(0; 0; t)(0 t 2a)
Ta có 1 3; ; a , (0; ; )
2
a a
DC − DM = −a t−a
Vì
1
2
1
1 12 15
2
MDC
a t at a
S = DC DM = − + ( )
2 2
2
min
2 6 6
4 4
a t a a a a
S
− +
= =
Chọn đáp án C
Câu 19
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có tọa độ đỉnh
(1; 0; , B 2;1; ,) ( ) (3; 2; 2)
A C − A1(1; 2;3) Gọi M điểm mặt phẳng (A B C1 1) Diện
tích tồn phần Stpcủa tứ diện MABCcó giá trị nhỏ gần với giá trị sau đây?
A 10 B 12 C 11 D 13
Lời giải
(29)Gọi Hlà hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (ABC) Theo pytago cơng thức diện tích ta có Stp =SABC+SMAB+SMCB+SMCA
( ) ( )
2 2
2 2
2
6 14
2
2
6 18 14 42 24
2
2
6 14 18 42 24
2
2
a b c
a b c
a b c
+ + + + +
= +
+ + + + +
= +
+ + + + +
+
Trong a b c, , khoảng cách từ H đến cạnh AB BC CA, ,
6a+ 14b+ 8c=2SABC =4
Chọn đáp án B
Câu 20
Cho tứ diện S ABC có SC=CA=AB=a 2,SC⊥ ABC, tam giác ABC vuông A Các điểm ,
MSA NBC cho AM =CN =t(0 t 2a) Độ dài nhỏ lmin đoạn thằng MN A min
3 a
l = B min
3 a
l = C min
3 a
l = D min
3 a l = Lời giải
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho O trung vớiA, tia Oxchứa AC, tia chứa ABvà tia Ozcùng hướng với CS Khi đó, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
A 0; 0; ,B 0;a 2; ,C a 2; 0; ,S a 2; 0;a
Và 2; 0; , 2; 2;
2 2
t t t t
M N a −
Ta có 2( ); 2;
2
t t
MN = a t− −
Độ dài đoạn thằng MN
( )2 2 2 2 2
min
2 6
2
2 3 3
t t a a a a
l= a t− + + = t − at+ a = t− + l =
Chọn đáp án C
Câu 21
Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Xét hai điểm M, N điểm di động đoạn thẳng AD DB', cho AM =DN =k(0 k a 2) Tìm độ dài nhỏ lmin đoạn thằng MN
A min
3 a
l = B min
2 a
l = C min
3 a
l = D min
6 a l =
Lời giải
(30)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0; , ' 0;0; , 0; ;0 , ' ;0; 0; ;0 , ' 0; ; , ; ;0 , ' ; ;
A A a B a B a a
D a D a a C a a C a a a
Và 0; ; , ; ;
2 2
k k k k
M N a−
Khi
2
2
min
2 3
3 2
3 3
a a a a
MN = k − a k+a = k− + l =
Chọn đáp án A
Câu 22
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4; 0; 2), B(0;3; 2),C(1; 0; 2− ) Bán kính đường trịn nội tiếp
A 3
2 B
10 26 10
+
C 12 26
5
−
D. 481
10+ 26 Lời giải
Ta có AB= −( 4, 3, 0);AC= −( 3, 0, 4) AB=AC=5; có BC = 26
Diện tích tam giác ABC , 481
2
ABC
S = AB AC =
Ta lại có cơng thức 481 481
2 26 10 26
ABC ABC
S AB BC AC
S r r
AB BC AC
+ +
= = = =
+ + + + +
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 23
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 0), B(2;1; 2), C( 1;3;1)− Bán kính đường trịn ngoại tiếp
A.2 B
10 C
10
D.
Lời giải
Ta có AB=(1; 1; 2− ) ; AC= −( 2;1;1) AB= AC=3; có BC= 14
Diện tích tam giác ABC , 35
2
ABC
S = AB AC =
Ta lại có cơng thức 3.3 14
4 35 10
4
ABC ABC
ABC BC
AB AC BC AB AC BC
S R
R S
= = = =
(31)
Câu 24
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;1), B(−1; 0; 2), C(3; 0; 0) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABCcó tọa độ (a b c; ; ) bắn kính đường trịn ngoại tiếp RABC
Giá trị biểu thức T = + + +a b c RABC nằm khoảng đây?
A ( )0; B 2;7
C
13 5;
2
D
7 ;5
Lời giải
Cặp VTCP mặt phẳng (ABC) AB= − −( 2; 2;1) AC=(2; 2; 1− − ) Suy VTPT mặt phẳng (ABC) (ABC)n(ABC) =[AB AC; ]=(4; 0;8)=4 1; 0; 2( )
Suy phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC):x+2z− =3 Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
( ; ; ) ( )
K ABC
K a b c KA KB KA KC
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
1
1
a c
b c b c
b c
a
b c
a
a a
+ − =
− + − + − = + + − + −
+ − + +
− − = − + − −
1
1
4 1; ;1
4
4
1 a a c
a b c b K
a b c
c
=
+ =
+ − = = − −
− + + = −
=
Suy bán kính đường trịn ngoại ABC ( ) ( )
2
2
1 1
4
ABC
R =KA= − + − − + −
9
=
Suy 1
4
ABC
T = + + +a b c R = − + + =
Câu 25
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vng A B Ba đỉnh
(1;2;1)
A , B(2;0; 1− ), C(6;1;0) Hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D a b c( ; ; ), tìm mệnh đề đúng?
A a+ + =b c B a+ + =b c C a+ + =b c D a+ + =b c
Lời giải
Ta có AB=(1; 2; 2− − ) AB =3; BC=(4;1;1) BC =3
Theo giả thiết ABCD hình thang vng A B có diện tích nên
( )
1
6
2AB AD+BC = ( )
1
.3
2
AD+ = AD=
3
AD= BC Do ABCD hình thang vuông A B nên
3
=
(32)Giả sử D a b c( ; ; ) ta có
4
3
3 1
3
− = − = − =
a b c
7
=
=
=
a b c
6
+ + =a b c
Chọn ý A
Câu 26
Trong không gian cho mặt phẳng điểm Gọi điểm thuộc tia Gọi hình chiếu lên Biết tam giác cân Diện tích tam giác
A B C D
Lời giải
Gọi Đường thẳng qua vng góc với có phương trình
hình chiếu lên nên tọa độ thỏa mãn hệ suy
Tam giác cân nên
• Nếu tọa độ trùng nhau, loại
• Nếu tọa độ ,
Diện tích tam giác
Chọn ý B
Câu 27
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm tạo thành tứ giác lồi A(2;1; 1− ), B(1; 2; 2− )
, C(3;1;1), D(5;3; 7) Diện tích tứ giác lồi có giá trị bằng?
A 3 B 3
2
C 7
2 D 2
Lời giải
Oxyz ( ) :x− − =z M(1;1;1) A
Oz B A ( ) MAB M
MAB
6 3
2
3 123
2 3
(0; 0; )
A a AB A ( )
x t y z a t
= = = −
B A ( ) B
3 x t
y z a t x z
= = = −
− − =
3
; 0;
2
a a
B + −
MAB M
( )2
1 1
3
2
a
a a
MA MB a
a
=
+ −
= + + − = + + = −
3
a= − A(0; 0; 3− ) B(0; 0; 3− )
a= A(0; 0;3) B(3; 0; 0)
MAB , 3
12
(33)Có AB= −( 1;1; ,− ) AC=(1; 0; ,) AD=(3; 2;8)
Ta có cos 15 140, 76
AB AC
BAC BAC
AB AC
= = − ,
• cos 126,3
231
AB AD
BAD BAD
AB AD
= = − ,
• cos 19 14, 46
385
AC AD
CAD CAD
AC AD
= =
Suy BAD+DAC =BAC, điểm tạo thành tứ giác ABDC
Do cos sin 50
231 71
BAD= − BAD= , cos 19 sin 24
385 385
CAD= CAD=
Diện tích cần tìm S=SACD+SABD sin sin 2AC AD CAD 2AD AB BAD
= + =
Câu 28
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm tạo thành tứ giác lồi A(0; 0; 4),
(2; 1; 0)
B , C(4; 1; ,− ) (D 1;−2; 7) Tính diện tích tứ giác lồi
A 13
2 B 6
C 11
2 D 9
Lời giải
Ta có AB=(2; 1; ,− ) AC=(4; 1;− −2 ,) AD=(1;−2;3)AB= 21;AC= 21;AD= 14 A
B
C
D A
B
C
(34)Với
15
cos 44,
21
cos 134,
cos 90
AB AC
BAC BAC
AB AC AB AD
BAD BAD BAD DAC BAC
AB AD AD AC
DAC DAC
AD AC
= =
−
= = = +
= = =
Suy tứ giác lồi ABCD 1( , , ) 13
2
ABCD ABC ACD
S S S AB AC AC AD
= + = + =
Câu 29
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm tạo thành hình chóp có đáy tứ giác
với A(0; 0; 3), B(2; 1; 0− ), C(3; 2; 4), D(1; 3; 5), E(4; 2; 1) Đỉnh hình chóp tương ứng
A Điểm C B Điểm A
C Điểm B D Điểm D
Lời giải
Xét đáp án A chọn điểm C đỉnh ta có
(2; 1; ,) (1; 3; ,) (4; 2; 2)
AB= − − AD= AE= − , AC=(3; 2; 1) Với AB AD, = (7; 7; 7− )
, 4.7 2.7 2.7
, 3.7 2.7 1.7 14
AB AD AE AB AD AC
= − − =
= − + =
Suy A B D E; ; ; đồng phẳng Vậy điểm C đỉnh hình chóp
Câu 30
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho năm điểm tạo thành hình chóp tứ giác có tọa độ
(3; 1;1 ,) (2;3;1 ,) (1; 2; ,) (4; 2; ,) (2;3; 1)
A − B C D − E − Thể tích hình chóp tương ứng
A 2 B 4
3
C 1 D 8
3 Lời giải Ta có AC= −( 2;3;1 ,) AD=(1; 1; ,− − ) AE= −( 1; 4; 2− )
A
B
D
(35)( )
, 2; 1; , , , , ,
AC AD AC AD AE A C D E
= − − − = − + =
đồng phẳng
Phương trình mặt phẳng (ADC): 2x+ + − =y z
Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (ADC)ta 2.2 6+ + − =0 vô lý Vậy B
không thuộc mặt phẳng (ADC)
Mặt khác
cos 157,8
42
12
cos 45,
cos 112,
o
o
o
AD AC
CAD CAD
AD AC AE AC
CAE CAE
AE AC AD AE
DAE DAE
AD AE
−
= =
= =
−
= =
CAE DAE CAD
+ = Tứ giác qua bốn điểm A C D E, , , tứ giác lồi ACED
Do hình chóp có đỉnh B mặt đáy tứ giác lồi ACED
Ta có ( ,( ))
6 h=d B ACED =
• , ,
2
ACED ACE ADE
S =S +S = AC AE + AD AE =
• . ( ,( )) 1.4
3
B ACED ACED
V = S d B ACED = =
Câu 31
Trong không gian Oxyz cho hai ba điểm A(3;1; ;) (B 0; 3; ;− ) (C −1;1;3).Gọi I a b c( ; ; )là tâm đường tròn nội tiếp ABC Giá trị biểu thức T = + +a b c nằm khoảng
A ( )0;1 B 3; 2
C 1;3
D ( )2;
A
D
E C
(36)Kỹ phân giác cho ta cách xác định tọa độ điểm D Giao chân đường phân giác góc BAC Được xác định
Tương tự, tâm đường tròn nộp tiếp I lại chân đường đường phân giác góc ABD
Ta có 5; 26
2 BA= BD=
( )
5 26 10 26 15
0 ; ; ; ;
5 26 10 26 10 26 10 26
2
IA ID IA ID
I a b c
BA BD
− + − + + = + = =
+ + +
Vậy 26 1,35 1;3
2
10 26
T = + + =a b c
+
Câu 32
Trong không gian Oxyz, tập hợp điểm thỏa mãn x + y + z 2 x− +2 y + z 2 khối đa diện tích
A 3 B 4
3
C 2 D 8
3 Lời giải Phương pháp
Từ giả thiết cho, xác định điểm đầu mút Tính thể tích
Có 0 x + y + z 2 0 − +x y + z 2 nên tìm điểm đầu mút
A
' B
C '
C
B
O
x y
z
B
D
C A
(37)( )
0 0; 0;
x + y + z = = = = x y z O
( )
2 2; 2; 0;
x− + y + z = =x y= = z A
Xét hệ phương trình 2
2
x y z
x x x x x
x y z
+ + =
= − = − =
− + + =
0;
1
1;
y z
y z
y z
= =
+ =
= =
B(1; 0;1 ,) (B' 1; 0; ,− ) (C 1;1; ,) (C' 1; 1; 0− )
Dựng hình suy tập hợp điểm thỏa mãn bát diện B OCAC B ' '
Ta có 2
1
OB= + = , hình bát diện B OCAC B ' ' có cạnh
Vậy thể tích bát diện ( )
3
2 4
3
V = =
Câu 33
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz tập hợp điểm M x y z( ; ; ) thoả mãn x + y + z =3
là hình đa diện ( )H . Tính thể tích khối đa diện tạo ( )H
A 3 B 4
3
C 2 D 8
3 Lời giải
Theo giả thiết ta có
3 3
3
3 3
3 x y z x y z x y z x y z
x y z
x y z x y z x y z x y z
+ + =
+ + = −
+ − = + − = −
+ + = − + =
− + =
− + + =
− + + = −
8 mặt phẳng chứa mặt hình bát
diện có độ dài cạnh a=3
Vậy thể tích hình cần tính ( )
3 3 2
2
36
3
a
(38)Tóm tắt nội dung
Tiếp sau chương đầu tiên, chương sau tìm hiểu lý thuyết đối tượng đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu mối liên hệ chúng Ta bắt đầu với lý thuyết vềphương trình đường thằng
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I Góc hai đường thẳng
Cho đường thẳng d có vtcp u=(a b c; ; ) đường thẳng d' có vtcp u'=(a b c'; '; ') Gọi góc hai đường thẳng ta có:
( 0)
2 2 2
'
' ' '
cos 90
' ' ' '
→ → → →
+ +
= =
+ + + +
u u
a a bb cc
a b c a b c
u u
II Góc đường thẳng với mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vtcp u=(a b c; ; ) mặt phẳng ( ) có vtpt n=(A B C; ; ) Gọi góc hợp đường thẳng d mặt phẳng ( ) ta có:
2 2 2
sin
→ → → →
+ + = =
+ + + +
u n
Aa Bb Cc
A B C a b c
u n
III Khoảng cách từ điểm M1(x y z1; 1; 1) đến đường thẳng có vtcp
→
u
• Cách 1
+ Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M1 vng góc với
Chương
2 Lý thuyết về phương trình
(39)+ Tìm tọa độ giao điểm H mặt phẳng ( ) d M( 1; =) M H1
• Cách 2 Sử dụng công thức: ( 1 )
, ,
= M M u
d M
u
(với M0 )
IV Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Cho hai đường thẳng chéo qua M0(x y0; 0;z0), có vtcp
→
u đường thẳng ' qua
( )
0 0
' ' ; ' ; '
M x y z , có vtcp '
→
u
• Cách 1
+ Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa song song với
+ Tính khoảng cách từ M'0 đến mặt phẳng ( ) d( =, ') d M( ' ,0 ( ) )
• Cách 2 Sử dụng công thức: ( )
' 0
, ' , '
, '
=
u u M M d
u u
V Phương trình đường phân giác
Đây dạng toán xuất kì thi THPT Quốc Gia 2018 làm trái tim tan vỡ , hôm ngồi nhắc lại lần
Xét tam giác ABC, đường phân giác góc A có véctơ phương
1
= +
u AB AC
AB AC
Và ngược lại đường phân giác ngồi góc A có vecto phương
1
= −
u AB AC
AB AC
Đối với hình thoi ABCD cạnh a ta có AC a AB AD
AB AD
= +
B CÁC DẠNG TOÁN.
Dạng Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt A B, Cách giải: Xác định vectơ phương AB
Dạng Đường thẳng qua điểm M song song với d Cách giải:
Trong trường hợp đặc biệt:
• Nếu song song trùng bới trục Ox có vectơ phương a = =i (1;0;0)
• Nếu song song trùng bới trục Oy có vectơ phương a = =j (0;1;0)
• Nếu song song trùng bới trục Oz có vectơ phương a = =k (0;1;0)
Các trường hợp khác có vectơ phương a =ad , với ad vectơ phương d
(40)Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) Cách giải: Xác định vectơ phương a =n, với n vectơ pháp tuyến ( ) Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d d1, 2
(hai đường thẳng không phương)
Cách giải: Xác định vectơ phương a = a a1, 2, với a a1, 2 vectơ phương d d1, 2
Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )
Cách giải: Xác định vectơ phương a = a nd, , với ad vectơ phương d,
n vectơ pháp tuyến ( )
Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm A song song với hai mặt phẳng ( ) ( ) ,
; (( ) ( ) , hai mặt phẳng cắt nhau)
Cách giải: Xác định vectơ phương a = n n, , với n n, vectơ pháp
tuyến ( ) ( ) ,
Dạng Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) Cách giải:
• Lấy điểm , cách cho ẩn số tùy ý
• Xác định vectơ phương a = n n, , với n n, vectơ pháp tuyến
của ( ) ( ) ,
Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng
( )
1, 1,
d d Ad Ad
Cách giải: Xác định vectơ phương a = n n1, 2, với n n1, 2 vectơ pháp tuyến mp A d( , 1),mp A d( , 2)
Dạng Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) cắt hai đường thẳng d d1, 2
Cách giải: Xác định vectơ phương a = AB, với A=d1( ) ,B=d2( ) Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt d
Cách giải:
• Xác định B= d
• Viết phương trình đường thẳng qua A B,
Dạng 11 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc với d1 cắt d2, với Ad2
Cách giải:
• Xác định B= d2
(41)Dạng 12 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )
Cách giải:
• Xác định B= d
• Viết phương trình đường thẳng qua A B,
Dạng 13 Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( ) cắt vng góc đường thẳng
d
Cách giải:
• Xác định A= d ( )
• Đường thẳng qua A có vectơ phương a = a nd, , với ad vectơ phương d, n vectơ pháp tuyến ( )
Dạng 14 Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A đường thẳng dvà mặt phẳng
( ) , nằm ( ) vng góc đường thẳng d(ở dkhơng vng góc với ( ) ) Cách giải:
• Xác định A= d ( )
• Đường thẳng qua A có vectơ phương a = a nd, , với ad vectơ phương d, n vectơ pháp tuyến ( )
Dạng 15 Viết phương trình đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d d1, 2
Cách giải:
• Xác định A= d B1, = d2 cho
2
AB d AB d
⊥ ⊥
• Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B,
Dạng 16 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng
1,
d d Cách giải:
• Xác định A= d B1, = d2 cho AB a, d phương, với ad vectơ phương d
• Viết phương trình đường thẳng qua điểm Avà có vectơ phương ad =a
Dạng 17 Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ) cắt hai đường thẳng
1,
d d Cách giải:
• Xác định A= d B1, = d2 cho AB n, phương, với n vectơ pháp tuyến ( )
• Viết phương trình đường thẳng qua điểm Avà có vectơ phương ad =n
(42)• Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d vng góc với mặt phẳng ( )
• Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( )
Dạng 19 Viết phương trình hình chiếu song song d lên mặt phẳng ( ) theo phương d'
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d có thêm véc tơ phương ud'
• Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( )
CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0; 0; ,− ) (B 2; 0; 1− ) mặt phẳng
( )P : 3x−8y+7z− =1
a) Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với ( )P b) Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng ( )P
c) Tìm tọa độ điểm C nằm mặt phẳng ( )P cho ABC tam giác d) Tìm điểm M có hồnh độ cho AM +BM đạt giá trị nhỏ e) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng ( )P cho AN2+BN2 đạt giá trị nhỏ
Lời giải
a) ( )P : 3x−8y+7z− = 1 ( )P có VTPT n=(3; 8; 7− )
Do d⊥( )P d nhận n=(3; 8; 7− ) làm VTCP
Đường thẳng d qua A(0; 0; 3− ), có VTCP (3; 8; 7− ), có phương trình:
8 x t
y t
z t
= = −
= − +
b) Ta có: AB(2; 0; 2) Đường thẳng AB có VTCP (1; 0;1)
Đường thẳng AB qua A(0; 0; 3− ), có VTCP (1; 0;1), có phương trình: x t y
z t
= =
= − +
IAB Giả sử tọa độ điểm I t( ; 0; 3− +t)
( ) ( ) 11
3 8.0 10 22
5
I P t− + − + − = t t− = =t 11; 0;
5
I
−
c) ABC tam giác CA=CBC nằm mặt phẳng ( )Q , mặt phẳng trung trực
AB
Mà C( )P =C ( ) ( )P Q
Gọi J trung điểm ABJ(1; 0; 2− )
Mặt phẳng ( )Q qua J(1; 0; 2− ) có VTPT n1=(1; 0;1) có phương trình là:
( ) ( )
(43)3 :
1
x y z
x z
− + − =
+ + =
có VTCP ( )
1
; 2; 1;
4
u=− n n= − −
Cho 1
1
y z y
x
z z
− + − = = −
= + = = −
N(0; 1; 1− − )
Phương trình đường thẳng
2
:
1 x t
y t
z t
=
= − −
= − −
Do C Giả sử C(2 ; 1t − − − −t; 2t)
Khi đó, ABC tam giác AC=AB AC2 =AB2
( ) (2 ) (2 )2 2 2 2 2
1
2 2 2 1
3 t
t t t t t
t
= + + + − = + + − − =
= −
Với t= 1 C(2; 2; 3− − )
Với 2; 2;
3 3
t= − C− − −
d) M có hồnh độ M( ) :x=1
Ta thấyA(0; 0; 3− ) B(2; 0; 1− ) nằm hai phía so với mặt phẳng ( ) Khi đó, gọi giao điểm đoạn thẳng AB với ( ) M0
Ta cóAM +BM AB, dấu “=” xảy M trùng M0 (AM BM)min AB
+ = M trùng M0
Ta có 0 :
3 x t
M AB y
z t
=
=
= − +
Giả sử M0(t; 0; 3− +t)
( ) ( )
0 : 1 1; 0;
M x= = t M −
Vậy, M(1; 0; 2− )
e) Ta có: (3.0 8.0 7.− + ( )− −3 3.2 8.0 7)( − + − − = −( )1 1) ( 22 ) ( )− 2
A(0; 0; 3− ) B(2; 0; 1− ) nằm phía so với mặt phẳng ( )P : 3x−8y+7z− =1
Ta có: ( ) ( )
2
2 2
AN +BN = AN +BN = AJ+JN + BJ+JN
( )
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2.0 2
AJ AJ JN JN BJ BJ JN JN AJ BJ AJ BJ JN JN
AJ BJ JN JN AJ BJ JN
= + + + + + = + + + +
= + + + = + +
Mà
2 AB
AJ =BJ = : không đổi
2
AN BN
+ đạt giá trị nhỏ JN nhỏ
Gọi H hình chiếu vng góc J lên ( )P Đường thẳng IH có VTCP (3; 8; 7− ), qua
(1; 0; 2)
J − , có phương trình:
1
x t
y t
z t
= + = −
(44)Giả sử H(1 ; ; 2+ t − − +t 7t), ta có: H( )P 3 3( + t)−8.( )−8t +7.(− +2 7t)− =1
6 79 48 80
122 12 ; ;
61 61 61 61
t t H
− = = − −
min
JN =JH N trùng 79; 48; 80 61 61 61 H − −
Vậy 79; 48; 80 61 61 61 N − −
Câu
Cho hai điểm A(1; 4; 2), ( 1; 2; 4)B − , đường thẳng :
1
x− y+ z
= =
−
a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB)
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA2+MB2 nhỏ Lời giải
a) Do G trọng tâm tam giác OABG( 0; 2; 2)
Ta có: OA=(1; 4; 2),OB= −( 1; 2; 4)OA OB; =(12; 6; 6− )
Do đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB)
đường thẳng d có véctơ phương ; (2; 1;1)
u= OA OB= −
Ta có
2
: ,
2 x t
d y t t
z t
=
= −
= +
b)
1
1
: : ,
1
2
x t
x y z
y t t
z t
= −
− +
= = = − +
− =
Do M thuộc đường thẳng suy ta giả sử M(1− − +t; t; 2t) Ta có: MA=(t; 6−t; 2 ,− t) MB= − +( t; 4−t; 2− t)
( )2
2 2
12 48 76 12 28 28 MA +MB = t − t+ = t− + Dấu đẳng thức xảy =t
Suy M(−1; 0; 4)
Câu
Cho đường thẳng 1 giao hai mặt phẳng x−2y+ − =z x+2y−2z+ =9 Đường
thẳng 2:
1
x− y− z−
= =
a) Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng 1 song song với đường thẳng 2
b) Cho điểm M( 2;1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
Lời giải
(45)Suy 1
5 2 13
: ,
4
x t
y t t
z t
= − +
= − +
=
Ta có 1 qua 5; 13; M− −
có VTCP u1=(2;3; 4)
Ta có 2 qua N(1; 2;1) có VTCP u2 =(1;1; 2)
Do mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng 1 song song với đường thẳng 2 Suy VTPT mặt phẳng ( )P nP =u u1; 2=(2;0; 1− )
Mặt phẳng ( )P qua 5; 13; M− −
có VTPT nP =(2; 0; 1− ) ( )P : 2x− + =z b) Để MH có độ dài nhỏ MH ⊥ 2
Giả sử H(1+t; 2+t;1 2+ t)MH = − +( t;1+ − +t; 2t)
Ta có MH u = 0 1( + +t) 1.(− + +1 t) 2.(− +3 2t)= = 0 t M(2;3;3)
Câu
Cho đường thẳng d: 3
1
x− y+ z−
= =
− mặt phẳng ( )P :2x+ −y 2z+ =9
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P
2
b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng ( )P Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng ( )P , biết qua A vng góc với d
Lời giải a) Ta có I d I = − − +(1 t; ;3t +t)
( )
( , )
d I P = ( ) ( ) ( )
( )2 2
2 2
2
2
t t t
− + − + − + +
= + + −
2 2
t
−
=
2 t t
= = −
Với t= −4 I( 3;5; 7)
Với t= − 2 I(3; 7;1− )
b) DoA d A= − − +(1 t; ;3t +t)
( ) 1( ) ( ) (2 ) 2
A P − + − +t t − + + = − = =t t t =A (0; 1; 4− ) Có n=(2;1; 2− ) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P
( 1; 2;1)
u= − véc tơ phương đường thẳng d Gọi v véc tơ phương đường thẳng d
(46)Phương trình tham số đường thẳng là x t y
z t
= = − = +
Câu
Cho đường thẳng d:
2 1
x+ = =y z−
mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z+ =5 0và điểm
(1; 1; 2)
A − Viết phương trình đường thẳng cắt dvà ( )P M N, cho A trung điểm đoạn thẳng MN
Lời giải Do M d M = − +( ; ; 2t t +t)
Vì A trung điểm đoạn thẳng MN nên tọa độ điểm N
2
2
2
N A M
N A M
N A M
x x x t
y y y t
z z z t
= − = −
= − = − −
= − = −
Vì N( )P 2− + − − −t ( t) (2 2− + =t) =t M =(3; 2; 4) ,AM =(2;3; 2) Đường thẳng đi qua A nhận AM làm véc tơ phương có phương trình là:
1
2
x− = y+ = z−
Câu
Cho đường thẳng d: 3,
1
x− = y = z+
− mặt phẳng ( )P : 2x+ −y 2z− =1 Tìm tọa độ giao điểm
của d ( )P Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với ( )P Lời giải
Phương trình tham số đường thẳng d : ( )
2 3
x t
y t t
z t
= +
= −
= − +
Gọi M = d ( )P Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình:
3 2
7
3
; 3;
2 2
3
2
3 t
x t
z t x
M
y t
y x y z
z
= = +
= − + =
−
= −
= −
+ − − =
=
Gọi ( )Q mặt phẳng chứa d vng góc với ( )P
Đường thẳng d có vectơ phương u=(1; 2;3− ), ( )P có vectơ pháp tuyến n=(2;1; 2− ) Gọi
( )Q
n vectơ pháp tuyến ( )Q Khi ( ) ( )
Q
Q
n u
n n
⊥
⊥
., chọn n( )Q =u n, =(1;8;5)
Ta có A(2; 0; 3− ) d A ( )Q
(47)( ) ( ) ( )
1 x− +2 y− +0 z+3 = +0 x 8y+5z+13=0
Câu
Cho đường thẳng d: 1
2
x− y+ z
= =
− điểm A(1; 0; 1− ) Viết phương trình mặt phẳng qua A
và vng góc với d Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A d Lời giải
Đường thẳng d có vectơ phương
u=(2; 2; 1− ) Gọi ( )P mặt phẳng qua A vng góc với
d ( )P ⊥d, chọn n= =u (2; 2; 1− ) vectơ pháp tuyến ( )P
Phương trình mặt phẳng ( )P : 2(x− +1) (2 y− −0) (1 z+ = 1) 2x+2y− − =z Phương trình tham số đường thẳng d : ( )
1 2
x t
y t t
z t
= +
= − +
= −
Gọi H hình chiếu vng góc A dH d H(1 ; ;+ t − + t −t)
(2 ; ;1 )
AH = t − + t −t Ta có 2( 1) (1 )
3
AH ⊥ u AH u= t+ t− − − = =t t
Vậy 5; 1; 3 H − −
Câu
Cho đường thẳng : 1
2 1
− = + =
−
x y z
d hai điểm A(1; 1; 2− ), B(2; 1; 0− ) Xác định tọa độ M
thuộc d cho tam giác ABM vuông M Lời giải Điểm M thuộc đường thẳng : 1
2 1
− = + =
−
x y z
d M(1 ; 1+ t − −t t; ) Vectơ AM(2 ;t − −t t; 2), BM(2t− −1; t t; )
Tam giác ABM vuông M AM ⊥BM AM BM =0
( ) ( ) (2 ) 2
0
2 2 2
3 t
t t t t t t t
t
=
− + − + − = − =
=
+ Với t=0M(1; 1; 0− )
+ Với
3
=
t 7; 2;
3 3
−
M
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán
Câu
Cho mặt phẳng ( )P : x− +y 2z− =3 hai điểmA(1; 2;1− ), B(2;1;3) Viết phương trình đường thẳng AB tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng ( )P
(48)Đường thẳng AB có véc tơ phương AB=(1;3; 2)và qua điểm A(1; 2;1− ) có phương trình tham số là:
1
= +
= − +
= +
x t
y t
z t
Tọa độ giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng ( )P nghiệm hệ phương trình
1
2
= +
= − +
= +
=
+
− −
x t
y t
z t
x y z
( ) ( )
1 t 3t 2t
+ − − + + + − =
2t t
= − = − ( )
0
5 0; 5; 1
x
y I
z
=
= − − −
= −
Vậy tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng ( )P I(0; 5; 1− − )
Câu 10
Cho điểm A(1; 2;3)và hai đường thẳng 1: 2 3,
2 1
x y z
d − = + = −
−
1 1
:
1
x y z
d − = − = +
−
a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
b) Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với d1 cắt d2
Lời giải
a) Mặt phẳng ( ) quaA(1; 2;3) vng góc với d1 có phương trình là:
( ) ( ) ( )
2 x− −1 y− + − = 2 z 2x− + − =y z
Toạ độ giao điểm Hcủa d1 ( ) nghiệm hệ:
( )
0
2
1 0; 1;
2 1
2 2
x
x y z
y H
x y z z
=
− + −
= =
= − −
−
− + − = =
Vì A' đối xứng với A qua d1 nên H trung điểm AAA( 1; 4;1)− −
b) Vì qua A vng góc với d1 cắt d2, nên qua giao điểm B d2 ( ) Toạ độ giao điểm B d2 ( ) nghiệm hệ:
( )
2
1 1
1 2; 1;
1
2 2
x
x y z
y B
x y z z
=
− − +
= =
= − − −
−
− + − = = −
Vectơ phương u =AB=(1; 3; 5− − ) Vậy phương trình
1
x− = y− = z−
− −
(49)Cho điểm A(1;2; 1− ), mặt phẳng ( )P : x− +y 2z− =5 0, đường thẳng : 1
2
x y z
d − = − =
− − −
a) Viết phương trình đường thẳng d1 qua A, cắt vng góc với d b) Viết phương trình đường thẳng d2 qua A, cắt d song song với ( )P
c) Viết phương trình đường thẳng d3 qua A, cắt d mặt phẳng ( )P M , N cho A trung điểm đoạn thẳng MN
d) Viết phương trình đường thằng d4 qua A, cắt d mặt phẳng ( )P M , N cho 3AM = AN
Lời giải
Mặt phẳng ( )P qua K(5;0;0) có vec tơ pháp tuyến nP =(1; 1; 2− )
Đường thẳng d qua E(1;1;0) có vectơ phương u= − − −( 2; 1; 2) Đường thẳng d có phương trình tham số
1
2
x t
y t
z t
= − = − = −
(t tham số) a) Viết phương trình đường thẳng d1 qua A, cắt vng góc với d Cách
Gọi H(1 ;1− t − −t; 2t) giao điểm đường thẳng d với đưởng thẳng d1 Vì đường thẳng d1
đi qua A, cắt vng góc với dnên ta có
( ; ;1 )
AH = − t − −t − t ⊥u AH u =0 − −2( ) (2t − − − −1 t) (2 2− t)=0
9 t
= Do 2; 10 7;
9 9
AH = − −
, nên u1 = − −( 2; 10;7) vectơ phương đường thẳng d1
Vậy d1 có phương trình tắc 1:
2 10
x y z
d − = − = +
− −
Cách
Gọi ( )Q mặt phẳng chứa A d, mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến ;
Q
n = u AE = −( 3; 2; 2)
Đường thẳng d1 nằm mặt phẳng ( )Q cắt vng góc với d nên có vectơ phương u1= u n; Q =(2;10; 7− )
Vậy d1 có phương trình tắc 1:
2 10
x y z
d − = − = +
−
Nhận xét: Trong thực hành giải toán trắc nghiệm cần dùng máy tính cầm tay bấm trực
tiếp u1=u;u AE; cho vec tơ phương d1
b) Viết phương trình đường thẳng d2 qua A, cắt d song song với ( )P Cách
Gọi ( )Q mặt phẳng chứa A d, mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến ;
Q
(50)Vì d2 ( )Q d2 ( )P nên d2 có vectơ phương u2 = nP;nQ = − − −( 6; 8; 1) Do d2 có phương trình tắc
6
x− y− z+
= = Cách
Gọi H(1 ;1− t − −t; 2t) giao điểm đường thẳng d với đưởng thẳng d2 Vì đường thẳng d1
song song với mặt phẳng ( )P nên ta có
( ; ;1 ) P
AH = − t − −t − t ⊥n AH n P =0 −1( ) (2t − − − +1 t) 2( − t)=0
3 t
=
Do 6; 8;
5 5
AH = − − −
, nên d2 có vectơ phương u2 =(6;8;1)
Do d2 có phương trình tắc
6
x− y− z+
= =
c) Viết phương trình đường thẳng d3 qua A, cắt d mặt phẳng ( )P M , N cho
A trung điểm đoạn thẳng MN Cách
Vì M =d3d nên tọa độ điểm M có dạng M(1 ;1− t − −t; 2t) Vì A trung điểm đoạn MN nên
2 2
N A M
N A M
N A M
x x x
y y y
z z z
= −
= −
= −
1
2
N
N
N
x t
y t
z t
= +
= +
= − +
(1 ;3 ; 2 )
N t t t
+ + − +
Vì N =d2( )P nên tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình mặt phẳng ( )P ,
( ) ( )
1 2+ t− 3+ +t − +2 2t − =5 11
5 t
=
Khi 22; 16; 17
5 5
AM = − − −
, nên d3 có vectơ phương u3=(22;16;17)
Vậy d3 có phương trình tắc
22 16 17
x− y− z+
= = Cách
Vì M =d3d nên tọa độ điểm M có dạng M(1 ;1− t − −t; 2t)
Gọi ( )P mặt phẳng đối xứng với ( )P qua A
Lấy B x y z( ; ; ) điểm tùy ý ( )P , gọi B x y z ( ; ; ) điểm đối xứng với B qua A Ta có
2
2
2z
A
A
A
x x x x
y y y y
z z z
= − = −
= − = −
− − = − −
(2 ; ; ) B x y z
− − − −
Vì B( )P nên ta có (2−x) (− 4−y)+2(− −2 z)− =5 − +x y 2z+11=0 ( )*
Vì B điểm tùy ý ( )P B đối xứng với B qua A có tọa độ B thỏa mãn phương trình ( )*
nên mặt phẳng ( )P có phương trình x− +y 2z 11+ =0
(51)(1 2− t) (− − +1 t) 2( )−2t +11=0 11
5 t
= 17; 6; 22
5 5
M
− − −
Khi 22; 16; 17
5 5
AM = − − −
, nên d3 có vectơ phương u3=(22;16;17)
Vậy d3 có phương trình tắc
22 16 17
x− = y− = z+
d) Viết phương trình đường thằng d4 qua A, cắt d mặt phẳng ( )P M , N cho
3AM = AN
Vì M =d4d nên tọa độ điểm M có dạng M(1 ;1− t − −t; 2t) AM = −( ; 1t − −t;1 2− t) Xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: 3AM = AN
( )
( )
( )
1 2 1
N N N x t y t z t − = − − = − − + = − 6 N N N x t y t z t = − = − − = −
(1 ; ; )
N t t t
− − − −
Vì N( )P nên ta có
(1 6− t) (− − −1 3t) (+2 2−6t)− =5
15 t
= ; 16 13;
15 15 15
AM
= − −
Do d4 có vectơ phương u4 =(2;16; 13− ) Vậy d3 có phương trình tắc
2 16 13
x− = y− = z+
−
Trường hợp 2: −3AM =AN
( )
( )
( )
1 2 1
N N N x t y t z t − = − − − = − − − + = − − 6 N N N x t y t z t = + = + = − +
(1 ;5 ; )
N t t t
+ + − +
Vì N( )P nên ta có
(1 6+ t) (− +5 3t)+2(− +4 6t)− =5 17
15 t
= 34; 32; 19
15 15 15
AM
= − − −
Do d4 có vectơ phương u4 =(34;32;19) Vậy d3 có phương trình tắc
34 32 19
x− = y− = z+ Kết luận: Có hai trường hợp đường thẳng d4
1
2 16 13
x− y− z+
= =
−
1
34 32 19
x− y− z+
= =
Câu 12
Cho điểm A(0;1; 2)và hai đường thẳng 1: 1
2 1
x y z
d = − = +
− ,
1
:
1
x y z
d − = + = −
−
(52)Lời giải a) Ta có u1=(2;1; 1− ), u2 =(1; 2;1− ) VTCP d1 d2 Có u u1; 2 = − − − ( 1; 3; 5)
Mặt phẳng ( )P song song với d1 d2 n( )P =(1;3;5)
Phương trình ( )P là: 1(x− +0) (3 y− +1) (5 z−2)= +0 x 3y+5z−13=0
Vậy phương trình ( )P : x+3y+5z−13=0
b) M d1 M(2 ;1m +m; 1− −m);Nd2 N(1+ − −n; ; 2n +n)
Để ba điểm A M N, , thẳng hàng AM =k AN (k 0;AN 0)
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 ; ; ; 2 ;
2 3
2
0
m m m k n n n
m k n k
m k n n TM
m m kn
− − = + − −
= +
=
= − − = −
− − = =
Vậy M(0;1; ,− ) (N 0;1;1)
Câu 13
Cho điểm A(1; 2;3) đường thẳng :
2
x y z
d + = = −
− Viết phương trình đường thẳng
qua A, vng góc với đường thẳng d cắt trục Oz Lời giải
Đường thẳng cắt trục Oz B(0; 0;b)BA=(1; 2;3−b) VTCP đường thẳng Vì ⊥ d BA u d = + −0 2 3( −b)= = 0 b BA=(1; 2; 2)
Vậy phương trình :
1 2
x y z
d − = − = −
Câu 14
Cho điểm A(2;1; , ) (B 1; 2; , ) (C 1;1; 0) ( )P :x+ + −y z 20=0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( )P
Lời giải Ta có AB= −( 1; 1; 2) Phương trình đường thẳng AB là:
2
x t
y t
z t
= − = + =
Điểm D thuộc đường thẳng AB nên D(2−t, 1+t, t)CD= −(1 t t, , t )
Đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( )P CD⊥n( )P
1 t t t
− + + = t
2
−
= 5; 1; 2
D
−
Vậy 1; ; 2 D −
(53)Câu 15
Cho điểm A(1; 2;1− ) hai đường thẳng 1: 1 ,
1
x y z
d − = + =
− −
1
:
1
x y z
d = − = +
−
a) Viết phương trình đường thẳng d3 qua A cắt hai đường thẳng d1, d2 b) Viết phương trình đường thẳng d4 qua A cắt d1 vng góc với d2
Lời giải
a)Gọi giao điểm đường thẳng d3 với hai đường thẳng d1, d2 M N, Ta có: M(1− − +t, , ,t − t) N(−u,1 , 1+ u − +u)
( , 1, ,)
AM t t t
= − + − − AN = − −( u 1, 2u+3,u−2)
Có A M N, , thẳng hàng nên
( )
( )
( )
1
2
3
t k u
t k u
t k u
− = − −
+ = +
− − = −
0
2
3
t ku k t ku k
t ku k
− + + =
− − = −
− − + =
1
1 t
k ku
=
=
= −
1
, 2,
2
AM −
= −
( )
1
1; 4;
= − −
Phương trình đường thẳng d3 qua A có VTCP u3 = −( 1; 4; 5− ) là:
1
1
x− = y+ = z−
− −
b) Gọi giao điểm đường thẳng d4 với đường thẳng d1 M Ta có: M(1− − +t, , ,t − t) AM = −( t, 2t+ − −1, 3t 1)
2
d có VTCP u2 = −( 1; 2;1 )
1
d ⊥d AM u 2 =0
2 t
= − 1; 0;1 1(1; 0;1 )
2 2
AM
= =
Phương trình đường thẳng d4 qua A có VTCP u4 =(1; 0;1) là:
1
x v
y
z v
= + = − = +
Câu 16
Cho điểm A(− −4; 2; 4) đường thẳng : 1
2
x y z
d + = − = +
− Viết phương trình đường thẳng ∆
đi qua A , cắt vuông góc với d
Lời giải Đường thẳng d có VTCP u(2; 1; 4− )
Gọi M = d Ta có ( )
3
: ;1 ;
1
x t
M d y t M t t t
z t
= − +
= − − + − − +
= − +
Có AM(1 ;3+ t − − +t; 4t)
Ta có ⊥ d AM u = 0 2( + t) (− − + − +3 t) (4 4t)= =0 t
(3; 2; 1)
(54)4 2
x t
y t
z t
= − +
= − +
= −
Câu 17
Cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y− − =z A(3;5; 0) Viết phương trình đường thẳng d qua A
và vng góc với mặt phẳng ( )P Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua ( )P Lời giải
Mặt phẳng ( )P có VTPT n(2;3; 1− )
Do d qua A vng góc với mặt phẳng ( )P nên d nhận n(2;3; 1− ) VTCP Phương trình đường thẳng d
3
x t
y t
z t
= + = + = −
Tọa độ hình chiếu H A lên ( )P nghiệm (x y z; ; ) hệ
( )
3
5
1; 2;1
2
x t x
y t y
H
z t z
x y z t
= + =
= + =
= − =
+ − − = = −
Gọi A x y z'( '; '; ') điểm đối xứng A qua ( )P , suy H trung điểm AA' Vậy A'(− −1; 1; 2)
Câu 18
Cho đường thẳng :
2
x+ y− z−
= = −
hai điểm A(1; 1;1− ), B(−1; 2;3) Viết phương trình đường thẳng d qua A , vng góc với hai đường thẳng AB
Lời giải Ta có AB= −( 2;3; 2)
Vectơ phương đường thẳng : u= −( 2;1;3)
Do đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng AB nên d có vectơ phương
( )
; 7; 2; v=AB u = Mặt khác d qua A Vậy phương trình d : 1
7
x− y+ z−
= =
Câu 19
Cho mặt phẳng ( )P x: + + − =y z hai điểm A(− − −1; 1; 2), B(0;1;1) Tìm tọa độ hình chiếu
vng góc A ( )P Viết phương trình mặt phẳng qua A B, vng góc với ( )P Lời giải
(55)Ta có n=(1;1;1)là vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P AH ⊥( )P nên đường thẳng d qua A H,
có phương trình là:
1
x t
y t
z t
= − +
= − +
= − +
Do H d H t( −1;t−1;t−2 )
Mà H( )P 1 5
3
t t t t t
− + − + − − = − = = Suy 2; ; 3 H −
Gọi ( )Q mặt phẳng qua A B, vng góc với ( )P Ta có AB=(1; 2;3) n=(1;1;1)
Do vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )Q : u'=AB u; = −( 1; 2; 1− ) Phương trình mặt phẳng ( )Q (x+ −1) (2 y+ + + = −1) (z 2) x 2y+ + =z
Câu 20
Cho điểm A(2;5;3) đường thẳng d :
2
x− y z−
= =
a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d
b) Viết phương trình măt phẳng ( ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn Lời giải
a) PTTS d:
1 , 2
x t
y t t
z t
= +
=
= +
Gọi H hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d
(1 ; ; 2 )
H d H + t t + t ,AH(2t−1;t−5; 2t−1) Đường thẳng d có VTCP u=(2;1; 2)
AH ⊥ d AH u= 2 2( t− +1) (1 t− +5) (2 2t− = =1) t H(3;1; 4) b) Gọi K hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( )
Ta có d A( ,( ) )= AK AH =3 maxd A( ,( ) )=3 2, đạt K H Khi mặt phẳng ( ) qua H nhận AH =(1; 4;1− ) làm VTPT
Phương trình mặt phẳng ( ) : 1(x− −3) (4 y− +1) (1 z−4)=0 −x 4y+ − =z
Câu 21
Cho đường thẳng :
1
x− y+ z
= =
− − mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z Gọi I giao điểm
của ( )P Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P cho MI vng góc với MI =4 14 Lời giải
Ta có
2
2
: :
1
x t
x y z
y t
z t
= +
− +
= = = − − − − = −
(56)
Mà I( )P Tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình: 2+ − − − − =t 2t t − = = −2t t Suy I(1;1;1)
Gọi M a b c( ; ; ) MI = −(1 a; 1−b;1−c) Vì M thuộc ( )P a+ + − =b c 1( )
Vì MI vng góc với MI ⊥u MI u =0
( ) ( ) ( ) ( )
1 a b 1 c a 2b c 2
− − − − − = − − + =
Vì ( ) (2 ) (2 )2 ( )
4 14 224 1 224
MI = MI = a− + b− + −c =
Từ ( ) ( )1 ; và( )3 ta có hệ phương trình:
( ) (2 ) (2 )2 ( ) (2 ) (2 )2
3 2a
2 3a
1 1 224 2 3a 224
a b c b
a b c c
a b c a a
+ + − = = −
− − + = = − +
− + − + − = − + − + − − =
2
2a 2a
3a 3a
14a 28a 210
3
b b
c c
a a
= − = −
= − + = − +
− − = =
= −
Với (5;9; 11)
11 b
a M
c
=
= = − −
Với ( 3; 7;13)
13 b
a M
c
= −
= − = − −
Vậy M(5;9; 11− ) M(− −3; 7;13)
Câu 22
Cho đường thẳng :
1
x+ y− z+
= =
− hai điểm A(−2;1;1), B(− −3; 1; 2) Tìm điểm M
thuộc cho tam giác MAB có diện tích Lời giải
Ta có M M(− +2 t;1 ; 2+ t − − t ), AM =(t;3 ; 2t − − t), AB= − −( 1; 2;1)
( ) (2 )2 2
1
3 ; 12 180
2
MAB
S = AM AB = +t + +t + =t
2
12
t t
+ =
12 t t
= = −
Vậy M(−2;1; 5− ) M(−14; 35;19− ) thỏa yêu cầu toán
Câu 23
Cho đường thẳng : 1
2 1
x− y+ z
= =
− hai điểm A(1; 1; , B 2; 1; 0− ) ( − ) Tìm tọa độ điểm M
(57)Phương trình tham số đường thẳng
1 :
x t
y t
z t
= +
= − −
=
Gọi M(1 ; 1+ t − −t t; ) Khi ta có MA(−2 ; ; 2t t −t); MB(1 ; ;− t t −t)
Tam giác MAB vng M nên ta có
( ) ( )
0
2 2
3 t
MA MB t t t t t t t
t
=
= − − + + − = − =
=
Với t = 0 M(1; 1; 0− )
Với 7; 2;
3 3
t = M −
Vậy M(1; 1; 0− ) 7; 2; 3 M −
Câu 24
Cho điểmA(1; 1; 0− ) mặt phẳng ( )P : 2x−2y+ − =z Viết phương trình tham số đường thẳng qua Avà vng góc với ( )P Tìm tọa độ điểm M( )P cho AM vng góc với OA
và độ dài đoạnAM ba lần khoảng cách từ A đến ( )P Lời giải
Phương trình tham số đường thẳng qua Avà vng góc với ( )P ( )
1 :
x t
y t
z t
= +
= − −
=
Ta có ( ( ))
( )2
2
2
,
2
d A P = + + − =
+ − + Do độ dài đoạnAM ba lần khoảng cách từ A đến ( )P
Suy AM =3 1( )
Gọi M a b c( ; ; ) ( ) P 2a−2b+ − =c 2( )
Lại có OA(1; 1; ; − ) AM a( −1;b+1;c) mà AM vuông góc vớiOA nên
( )
1
OA AM = − − − = = −a b b a
Từ ( ) ( )2 ; ta có hệ 2 2( 2)
2
b a
a a c c
a b c
= −
− − + − = = −
− + − =
Khi M a a( ; − −2; 3)
( ) (2 )2 2
3 1 1
AM = a− + a− + = − = =a a
Vậy M(1; 1; 3− − )
Câu 25
Cho đường thẳng :
2
x y− z
= = Xác định tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng cách từ M đến OM
(58)Đường thẳng qua điểm A(0;1; 0) có vecto phương v=(2;1; 2) Do M thuộc trục hồnh, nên M có tọa độ (x, 0, 0), suy ra: AM =(x; 1; 0− )
( )
, 2; ;
v AM x x
= − − ( )
2
, 5 4 8
,
3
v AM x x
d M
v
+ +
= =
Ta có ( )
2
5
,
3
x x
d M =OM + + = x
2
x x x
− − = = − x=2
Suy ra: M(−1; 0; 0)hoặc M(2; 0; 0)
Câu 26
Cho đường thẳng :
3
x− y+ z+
= =
− − điểm A(1; 7;3).Viết phương trình mặt phẳng ( )P
qua A vng góc với Xác định tọa độ điểm M thuộc cho AM =2 30 Lời giải
Đường thẳng có vecto phương v= − −( 3; 2;1)
Vì ( )P qua A(1; 7;3)và nhận v làm vecto pháp tuyến, nên ( )P có phương trình:
( ) ( ) ( )
3 x y z 3x 2y z 14
− − − − + − = + − − =
M thuộc nên M(6 ; ; 2− t − − t − +t) Ta có: AM =(5−3 ; 8t − −2 ; 5t − +t)
( ) (2 ) (2 )2
2 30 120
AM = − t + − − t + − +t =
2
7t 4t
− − = =t
7 t = − Suy M(3; 3; 1− − ) 51; 1; 17
7 7
M − −
Câu 27
Cho mặt phẳng ( )P : - 2x y+2 - 5z =0 hai điểm A(−3; 0;1) B(1; 1;3− ) Trong đường
thẳng qua A song song với ( )P , viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B
đến đường thẳng nhỏ
Lời giải
Gọi đường thẳng cần tìm; nằm mặt phẳng ( )Q qua A song song với ( )P Phương trình ( )Q :x−2y+2z+ =1
Gọi K H, hình chiếu B , ( )Q Ta có BK BH nên AH đường thẳng cần tìm
Tọa độ H =(x y z; ; ) thỏa mãn:
1
1 11 ; ;
2 2
9 9
2
x y z
H
x y z
− + −
= =
= −
−
− + + =
(59)26 11 ; ; 9 AH = −
Vậy phương trình
3
:
26 11
x+ y z−
= =
−
Câu 28
Cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0;8) điểm C cho AC =(0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA
Lời giải
Từ AC =(0; 6; 0) A(2; 0; 0) suy C(2; 6; 0), I(1;3; 4) Phương trình mặt phẳng ( ) qua I vng góc với OA là: x− =1
Tọa độ gia điểm ( ) với OA K(1; 0; 0)
Khoảng cách từ I đến OA IK = (1 1− ) (2 + 3− ) (2 + 0−4)2 =5
Câu 29
Cho hai đường thẳng 1: 2; 2: ; ;
2 1
x y z
d = − = + d x= − + t y= +t z=
−
a) Chứng minh d d1; 2 chéo
b) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )P : 7x+ −y 4z=0 cắt hai đường thẳng d1và d2
Lời giải
a) Ta có ( )
( )
( )
( )
1
1
1 2
2
: 0; ; :
2; 1;1 2;
1, 1;1,
1; M
d d
u u
d M d
− −
−
Ta có u u1; 2 (= −1; 2; ;) M M1 2(−1; 0;5)u u1; 2.M M1 2 =210
Vậy d d1; 2 chéo
b) Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )P : 7x+ −y 4z= =0 u nP(7;1; 4− )
Gọi( )Q mặt phẳng chứa d1và d: 1 ( ) ( )
1
; 3; 15; 1;5;3
Q
Q Q
n u
u u n
n u
⊥
= − − − =
⊥
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1;5;3 0;
: :
1,
Q
M Q
n
Q Q x+ y+ z+ =
−
Đường thẳng d2cắt ( )Q A: 2− + +t 1( + +t) 3.3 1+ = = − 0 t A(− −5; 1;3) Để d cắt d d1; 2thì dphải qua A(− −5; 1;3)
( )
( )
5;1;3 5 1 3
: :
7
7;1;
A d x y z
d d
u
−
+ + −
= =
−
= −
Câu 30
Cho đường thẳng 1: 1;
3
x y z
d − = + = +
− d2 giao tuyến ( )Q :x+ − − =y z mặt phẳng
( )R :x+3y−12=0
a) Chứng minh d1 d2song song với Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa
(60)b) Mặt phẳng Oxz cắt hai đường thẳng d1 d2lần lượt A B; Tính diện tích tam giác OAB Lời giải
a) d2là giao tuyến hai mặt phẳng ( )Q :x+ − − =y z 0;( )R :x+3y−12=0, d2đi qua M2;N2, với tọa độ M2;N2là nghiệm hệ phương trình
3 12
x y z
x y
+ − − =
+ − =
Lấy x=0, hệ phương trình có nghiệm (0; 4; 2)M2(0; 4; 2) Lấy x=3, hệ phương trình có nghiệm (3;3; 4)N2(3;3; 4)
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
0; 4; 1; 2;
;
3; 1; 3; 1;
M M
d d
u M N u MN
− −
= − = −
Ta có u1 =u M2; 2 d1 d1 d2
( )P chứa d1 d2: ( )
( ) ( )
1
1 2
3; 1;
; 15;11; 17 1; 6;3
P
p P
n u
n u M M
n M M
⊥ −
= = −
⊥ −
Có ( ) ( )
( ) ( )
2
15;11; 17
: :15 11 17 10
0; 4;
p
n
P P x y z
M
−
+ − − =
b) Vì A B, (Oxz) nên yA = yB =0
Vì Ad1 nên A(−5; 0; 5− ), Bd2B(12; 0;10)
OA= −( 5; 0; ,− ) OB=(12; 0;10)OA OB, =(0; 10; 0− )
, 1.10
2
OAB
S = OA OB = = (đvdt)
Câu 31
Cho đường thẳng :
2 1
x− y z+
= =
− mặt phẳng ( )P :x−2y+ =z Gọi C giao điểm
với ( )P , M điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến ( )P biết MC= Lời giải
Đường thẳng có vectơ phương v=(2;1; 1− )và mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến n=(1; 2;1− )
Gọi H hình chiếu M ( )P , ta có cosHMC = cos( )v n,
( )
( ) ( ) 2 1
, cos cos ,
6 6
d M P =MH =MC HMC=MC v n = − − =
Câu 32
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− =1 hai đường thẳng
1
1
:
1
x+ y z+
= = ; 2:
2
x− y− z+
= =
− Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P
Lời giải
(61)( )
1 1; ;
M M t− t t−
(2 ;3 ;8 )
MA= −t −t − t , MA u, =(8t−14; 20 14 ;− t t−4) MA u, =3 29t2 −88t+68 Khoảng cách từ M đến 2: ( 2)
, ,
MA u d M
u
=
( )
2
2 2
3 29 88 68
2
t − t+
=
+ + −
2
29t 88t 68
= − +
Khoảng cách từ M đến ( )P :d M( ;( )P )
( )2
2
1 12 18
1 2
t t t
− + − + − −
=
+ − +
11 20 t−
=
2 11 20
29 88 68
3 t
t − t+ = −
1
35 88 53 53
35 t
t t
t
=
− + =
=
Với t = 1 M(0;1; 3− ) Với 53 18 53 3; ;
35 35 35 35
t = M
(62)BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu Trong không gian Oxyz, cho A(1; 7; 0) B(3; 0;3) Phương trình đường phân giác
của AOB là?
A ( ):
4= =5
x y z
d B ( ):
3= =5
x y z
d C ( ):
6 = =7
x y z
d D ( ):
5= =7
x y z
d
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ − + =y z 0, đường thẳng
3
:
1
− − = =
x y z
d điểm A(1; 2; 1− ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A cắt d song song với mặt phẳng ( )P
A
1
− = − = +
− −
x y z
B
1
− = − = + −
x y z
C
1
− = − = +
x y z
D
1
− = − = + −
x y z
Câu Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y+ − =z
đường thẳng :
2
+ = = +
x y z
d Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( )P , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d
A. 1
5
− − − = =
− −
x y z
B. 1
5
− + − = =
−
x y z
C. 1
5
− − − = =
x y z
D.
5
x+ y+ z−
= = −
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
2 :
4 = − = + = − x t
d y t
z t
4
:
1 2
− + = =
−
x y z
d Phương trình phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa
d d đồng thời cách hai đường thẳng
A.
3
− = − = − −
x y z
B. 2
1 2
+ = + = + −
x y z
C
1 2
− = = − −
x y z
D. 2
1 2
+ = − = +
− −
x y z
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( ): 1
1
− = − = −
x y z
d mặt phẳng
( )P :x+3y+ =z Đường thẳng ( ) qua M(1;1; 2), song song với mặt phẳng ( )P đồng thời cắt đường thẳng ( )d có phương trình
A
1
− = + = − −
x y z
B
1
+ = + = − −
x y z
C 1
1
− = − = − −
x y z
D 1
1
− = − = − −
x y z
Câu Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng 1: 1
2
− +
= = −
x y z
d ;
2
:
1 2
+ − = =
−
x y z
d ;
3
3
:
3
+ − + = = − −
x y z
(63)A 1
3
− = = + − −
x y z
B
3
+ = − = − −
x y z
C
3
− = − = − −
x y z
D 1
3
− = = − − −
x y z
Câu Trong khơng gian Oxyz, đường vng góc chung hai đường thẳng
1 : = + = = − + x t d y z t
:
5 = = − = + x
d y t
z t
có phương trình
A
1
− +
= = −
x y z
B
2
− −
= = − −
x y z
C
2
+ −
= = −
x y z
D
2
− +
= = −
x y z
Câu Trong không gian , cho điểm , đường thẳng có phương trình mặt phẳng có phương trình Đường thẳng qua điểm , cắt song song với mặt phẳng có phương trình
A B
C D
Câu Trong không gian , cho điểm hai đường thẳng , Phương trình đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng ,
A B
C D
Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác biết điểm , đường trung tuyến đường cao có phương trình tương ứng
Viết phương trình đường phân giác góc
A B
C D
Câu 11 Trong không gian , cho tam giác với , , Phương trình phương trình đường thẳng qua trực tâm tam giác vng góc với mặt phẳng
A B
C D
Oxyz A(1; 2; −1) d
3
1
x− = y− = z ( )
x+ − + =y z
A d ( )
1
1
x− = y− = z+
− −
1
1
x− = y− = z+
1
1
x− = y− = z−
1
x− = y− = z+
− −
Oxyz A(1; 1; 1− ) :
2 1
x− y z−
= =
−
1
:
1
x y+ z−
= =
− A
1 1
6
x− = y+ = z−
−
1 1
6
x+ = y− = z+
− −
1 1
6
x− = y+ = z−
− −
1 1
6
x− = y+ = z−
Oxyz ABC A(1; 2; 3)
BM CH x t y z t = = = +
4
16 13
x− = y+ = z−
−
A
1
7 10
x− = y− = z−
−
1
4 13
x− = y− = z−
1
2
x− = y− = z−
− −
1
2 11
x− = y− = z−
− −
Oxyz ABC A(3; 0; 0) B(0; 6; 0) C(0; 0; 6) ABC
(ABC)
1
2 1
x+ = y+ = z+ 1
2 1
x− = y− = z−
3 6
(64)Câu 12 Trong không gian , cho hai đường thẳng Đường thẳng qua điểm , vng góc với cắt có phương trình
A. B.
C. D.
Câu 13 Cho hai đường thẳng ; điểm Đường thẳng qua , vng góc với cắt có phương trình
A. B.
C. D.
Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vng góc chung hai
đường thẳng :
2
− = − = + −
x y z
d : 4
3
+ − − = =
− −
x y z
d
A.
1 1
− = =
x y z
B. 2
2
− = − = −
x y z
C. 2
2 2
− = + = −
x y z
D.
2
− − = =
−
x y z
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y+ − =z đường thẳng
1
:
2
+ +
= =
x y z
d Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( )P , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d
A. 1
5
− = − = − − −
x y z
B. 1
5
− = − = − −
x y z
C. 1
5
− = + = − −
x y z
D.
5
+ = + = − −
x y z
Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3
1
− = − = + − −
x y z
d ;
2
5
:
3
− + − = = −
x y z
d mặt phẳng ( )P :x+2y+3z− =5 Đường thẳng vng góc với ( )P , cắt
1
d d2 có phương trình
A. 1
1
− + = =
x y z
B.
1
− − − = =
x y z
C. 3
1
− − + = =
x y z
D. 1
3
− + = =
x y z
Oxyz 1: 2
2 1
x y z
d − = + = −
−
1
:
1
x t
d y t
z t = − = + = − +
A( 1; 2; 3) d1 d2
1
1
x− = y− = z−
− − −
1
1
x− = y− = z−
1
1
x− = y− = z−
−
1
1
x− = y− = z−
− −
1
2
:
2 1
x y z
d − = + = −
−
1 :
1
x t
d y t
z t = − = + = − +
(1; 2;3) A
A d1 d2
1
1
x− = y− = z−
1
x− = y− = z−
− − −
1
1
x− = y− = z−
1
x− = y− = z−
(65)Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), 8; ; 3
−
B Đường thẳng qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình
A.
1 2
+ = − = + −
x y z
B.
1 2
+ = − = − −
x y z
C.
1 11
3
1 2
+ − −
= =
−
x y z
D
2
9 9
1 2
+ − +
= =
−
x y z
Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(−1; 2; 0), C(2; 3; 2− ) Tập hợp tất điểm M cách ba điểm A, B, C đường thẳng d Phương trình tham số đường thẳng
d là:
A 15 = − − = = + x t y t z t B 15 = − + = = − x t y t z t C 15 = − + = − = − − x t y t z t D 15 = − + = = + x t y t z t
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(a; 0; ,) (B 0; b;0 ,) (C 0; 0; ) Gọi I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Biết a b thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2a+ =b 4thì tâm I thuộc đường thẳng cố định Phương trình đường thẳng tương ứng
A x t y t z = − = =
B 2 x t y t z = = + = C 2 x t y t z = − = + = D x t y t z = − = =
Câu 20 Trong không gian , cho ba đường thẳng có phương trình
, Đường thẳng song song
, cắt có phương trình
A. B.
C. D
Câu 21 Trong không gian , cho đường thẳng mặt phẳng Trong đường thẳng sau, đường thẳng nằm mặt phẳng , đồng thời vuông góc cắt đường thẳng ?
A. B.
C. D
Câu 22 Trong không gian tọa độ , cho tam giác biết , ,
Phương trình đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng góc với mặt phẳng
Oxyz
1
3
:
2
x y z
d − = + = −
−
1
:
3
x y z
d + = = +
− −
3
:
4
x y z
d + = − =
−
3
d d1 d2
3
4
x− y+ z−
= =
4
x− y+ z−
= =
− −
1
4
x+ y z−
= =
−
1
4
x− y z+
= =
−
Oxyz :
1
x y z
d − = − = −
( ) :x+ − − =y z ( ) d
2
2 4
:
1
x− y− z−
= =
−
1
:
3
x− y− z
= =
−
3
5
:
3
x− y− z−
= =
−
2 4
:
3
x+ y+ z+
= =
− −
Oxyz ABC A(1; 0; 1− ) B(2;3; 1− ) C(−2;1;1) ABC
(66)A.
B C D.
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng qua , cắt vng góc với
A B C D
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm mặt phẳng , đường thẳng qua điểm , song song với mặt phẳng , đồng thời cắt trục Viết phương trình tham số đường thẳng
A B C D
Câu 25 Trong không gian , cho điểm hai đường thẳng
, Phương trình phương trình đường thẳng qua điểm , cắt vng góc với ?
A B C D
Câu 26 Trong không gian , Cho mặt phẳng đường thẳng Đường thẳng nằm mặt phẳng đồng thời cắt vng góc với đường thẳng có phương trình
A B C D
Câu 27 Trong không gian , cho đường thẳng mặt phẳng Đường thẳng nằm , cắt vng góc với có phương trình
A. B.
C. D
3
3
x− y− z−
= =
−
2
3
x y− z
= = 1
1 2
x− y z+
= =
−
3
3
x− y− z−
= =
−
Oxyz M(2; 1; 0)
1
:
2 1
x− y+ z
= =
− d M
2
:
2
x t
d y t
z t = + = − = − : x t
d y t
z t = − = + =
:
2
x t
d y t
z t = + = − − = 2 : x t
d y t
z t = + = + = −
Oxyz A(1; 2;3)
( )P :2x+ −y 4z+ =1 d A ( )P
Oz d x t y t z t = + = − = + 2 x t y t z t = = = + 2 x t y t z t = + = + = + x t y t z t = − = + = +
Oxy M(−1;1; 2) :
3
x y z
d − = + = −
1 :
1
x y z
d + = =
− M d
d 7 x t y t z t = − − = + = + x t y t z = − + = − = x t y t z = + = − = x t y t z = − + = + =
Oxyz ( )R :x+ −y 2z+ =2
1
1 :
2 1
x y z−
= =
− 2 ( )R
1 x t y t z t = = − = − x t y t z t = = − = + x t y t z t = + = − = x t y t z t = + = − =
Oxyz :
1 1
x y z
d − = = −
−
( )P : 2x− −y 2z+ =1 ( )P d
2
3
x+ = y− = z+
3
x− = y+ = z−
−
2
3
x− = y+ = z− 1
3
(67)Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD biết A(1; 0;1), B(1; 0; 3− ) điểm D có hồnh độ âm Mặt phẳng (ABCD) qua gốc tọa độ O Khi đường thẳng d trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có phương trình
A : = − = = − x d y t
z B : = = = − x d y t
z C : = − = = x d y t
z
D :
= = = x t d y z t
Câu 29 Trong không gian Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có H(2; 2;1), 8; ; 3
−
K , O hình chiếu vng góc A, B, C cạnh BC, AC, AB Đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình
A. : 1
1 2
+ = + = − −
x y z
d
B.
8 2
3 3
:
1 2
− − +
= =
−
x y z
d
C.
4 17 19
9 9
:
1 2
+ − −
= =
−
x y z
d D
6
:
1 2
− − = =
−
x y z
d
Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , , , đường thẳng cách ba điểm , , có phương trình
A 26 22 27 x t y t z t = + = + = + B 26 22 27 x t y t z t = + = + = + C 11 22 27 x y t z t = = + = D 26 38 27 x t y t z t = + = + = +
Câu 31 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng , mặt phẳng điểm Viết phương trình đường thẳng qua cắt song song với mặt phẳng
A
1
− = − = +
x y z
B
1
− = − = + − −
x y z
C
1
− = − = + − −
x y z
D
1
− = − = +
− −
x y z
Câu 32 Trong không gian , cho hai đường thẳng có phương trình Đường thẳng cắt hai đường thẳng , song song với
đường thẳng có phương trình
A. B. C. D.
Oxyz A(3; 2; 4− ) B(5;3; 2− ) C(0; 4; 2)
d A B C
Oxyz : 3
1
x y z
d − = − =
( ) :x+ − + =y z A(1; 2; 1− ) A d
( )
Oxyz d1 d2
1
1
x = y+ = z 1
1
x = y− = z−
− d d1 d2
4
:
1
x− y− z−
= =
−
1
1
x+ y+ z+
= =
−
1
1
x− y+ z−
= =
−
1
1
x+ y− z+
= =
−
1
1
x− y− z−
= =
(68)Câu 33 Trong không gian , cho hai đường thẳng chéo Phương trình phương trình đường thẳng vng góc chung ?
A B C D.
Câu 34 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; 4− ), B(5;3; 2− ), C(0; 4; 2), đường thẳng d cách ba điểm A, B, C có phương trình
A 26 22 27 x t y t z t = + = + = + B 26 22 27 x t y t z t = + = + = + C 11 14 22 27 x t y t z t = + = + = D. 26 38 27 x t y t z t = + = + = +
Câu 35 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1− ), B(2; 0;1), C(−2; 2;3) Đường thẳng nằm mặt phẳng (ABC) qua trực tâm H ABC tạo với đường thẳng AB, AC
một góc 45 có vectơ phương u=(a b c; ; ) với a số nguyên tố giá trị biểu thức ab+bc+ca
A −67 B 23 C −33 D.−37
Câu 36 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1− ), B(2; 0;1), C(−2; 2;3) Đường thẳng nằm mặt phẳng (ABC) qua trực tâm H ABC tạo với đường thẳng AB, AC
một góc 45 có vectơ phương u=(a b c; ; ) với a số nguyên tố giá trị biểu thức ab+bc+ca
A −67 B 23 C −33 D.−37
Câu 37 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
3 3
:
2
x y z
d − = − = −
2
5
:
6
x y z
d + = + = cắt điểm I(1;1; 2) Viết phương trình đường thẳng phân giác góc nhọn tạo d1 d2
A. : 1 32 23 13 x− y− z−
= = B. : 1
8
x− y− z−
= =
C. : 1
4
x− y− z−
= =
− D.
1
:
4 1
x− y− z−
= =
Câu 38 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
3 3
:
2
x y z
d − = − = −
2
5
:
6
x y z
d + = + = cắt điểm I(1;1; 2) Viết phương trình đường thẳng phân giác góc tù tạo d1 d2
A. : 1 32 23 13 x− y− z−
= = B. : 1
8
x− y− z−
= =
Oxyz :
4 1
x y z
d − = + = +
−
1
:
6
x y z
d = − = −
−
d d
1
1 2
x+ = y+ = z 1
1 2
x− = y− = z 1
1 2
x+ = y− = z 1
1 2
(69)C. : 1
4
x− y− z−
= =
− D.
1
:
4 1
x− y− z−
= =
Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng
( )P :x+my−mz+ =1 0;( )Q :mx+ + + =y z m Đường thẳng ' qua gốc tọa độ O song song với đường thẳng Ba điểm , ,A B C di động Oz, , ' Giá trị nhỏ
AB+BC+CA
A.1 B.2 2
C.2 D. 2
Câu 40 Trong không gian Ox ,yz với m số thực thay đổi mặt phẳng
( ) ( ) ( ) ( )
: 2 2
P m + x− m − m+ y+ m+ z−m + m= chứa đường thẳng cố định Viết phương trình đường thẳng
A
1
:
x t
y t
z t
= − −
= − −
=
B. x t
y t
z t
=
= − −
= − −
C.
1
:
x t
y t
z t
= − +
= − −
=
D.
1
x t
y t
z t
= − −
= − −
=
Câu 41 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; ) Biết có hai điểm M N, phân biệt thuộc trục
Ox cho đường thẳng AM AN, tạo với đường thẳng chứa trục Ox góc 45 Tổng hoành độ hai điểm M N,
A 4 B 2 C 1 D.5
Câu 42 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A a( ; 0; ,− ) (B 2; ; 0b ) Gọi ( ) mặt phẳng chứa
A trục Oy;( ) mặt phẳng chứa Bvà trục Oz Biết ( ) ( ) , cắt theo giao tuyến đường thẳng có vecto phương u(2;1; 2) Tính độ dài đoạn thẳng AB
A 21 B C 2 D.2
Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
1
2
x y− z−
= =
− − Hai điểm M
và N di động các mặt phẳng ( ) :x=2; ( ) :z=2 cho trung điểm K
MN thuộc đường thẳng Giá trị nhỏ độ dài MN
A 8
5 B
4
5 C
3
5 D.
9 5
Câu 44 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
1
2
x y− z−
= =
− − Hai điểm M ,
N di động các mặt phẳng ( ) :x=1; ( ) :z=0 cho trung điểm K MN
luôn thuộc đường thẳng Giá trị nhỏ độ dài MN
A
2 B
3
10 C
2
5 D.
(70)Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− =1 hai đường
thẳng 1:
3
1
x y z
d − = − =
− ;
4
5 :
5
6
x y z
d = = +
− −
Biết có hai điểm ,A B thuộc d1 hai điểm ,
C D thuộc d2 cho AC BD, song song với ( )P đồng thời cách ( )P khoảng bằng2 Tính AC+BD
A 6 2+ B 5 C 5 2+ D.6
Câu 46 Trong mặt phẳng ( )P vng góc với d đồng thời cách điểm I khoảng 42 Gọi A B, hình chiếu vng góc I lên hai đường thẳng Tính 2
OA +OB
A 104 B 102 C 106 D.100
Câu 47 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;3 ,) M(−1; 2;3 ,) (N −1; 0; 2) mặt phẳng
( )P :x−2y+3z+ =2 Điểm C a b c( ; ; ) thuộc mặt phẳng ( )P cho tồn điểm B thuộc tia AM , điểm D thuộc tia AN cho tứ giác ABCD hình thoi Giá trị biểu thức a+ +b c bằng?
A −14 B −10 C −12 D.−13
Câu 48 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(0;1; 2) đường thẳng : 2
2 1
x− y− z−
= = Mặt
phẳng ( )P thay đổi song song với , cách khoảng 2 Khoảng cách từ điểm M đến
( )P có giá trị lớn bằng?
A 11
6 + B
11 2
6 + C
5
2 + D.
5 2 +
Câu 49 Trong khơng gian Oxyz, cho hình thoi ABCD biết A(1;1;1) điểm C thuộc mặt phẳng
( )P x: + + + =y z Các điểm M(−1;0;3), N(5;1; 2− ) thuộc tia AB, AD Độ dài cạnh
hình thoi ABCD bằng?
A 15 B 60 C 30 D.45
Câu 50 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 :
1
= + = + =
x t
d y t
z
Gọi đường thẳng qua điểm
(1;1;1)
A có vec tơ phương u= −( 2;1; 2) Đường phân giác góc tù tạo d có phương trình
A
1 27 : 1
1
= + = + = +
x t
d y t
z t
B
18 19
:
11 10
= − +
= − +
= − −
x t
d y t
z t
C
1 : 17
1 10
= − = + = +
x t
d y t
z t
D.
18 19
:
11 10
= − +
= − +
= −
x t
d y t
z t
Câu 51 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng :
1
− − − = =
x y z
d ,
2
:
1
− − − = =
−
x y z
d hai điểm A a( ; 0; 0), A(0; 0;b) Gọi ( )P mặt phẳng chứa d d;
H giao điểm đường thẳng AA mặt phẳng ( )P Một đường thẳng thay đổi ( )P qua H đồng thời cắt d d B, B Hai đường thẳng AB, A B cắt điểm M Biết điểm M thuộc đường thẳng cố định có véctơ phương
(15; 10; 1)
= − −
(71)A T =8 B T =9 C T = −9 D T =6
Câu 52 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1; ,− ) (B 2; 2; 2− ), điểm M di động đường thẳng :
1
x y z−
= = Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA+MB
A 46 1855
3
+
B 46 1855
2
+
C 46 1855
6
+
D 46 1855
12
+
Câu 53 Trong không gian cho ba điểm , , tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Tính
A B C D
Câu 54 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm hai đường thẳng , Đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng , hai điểm , Độ dài đoạn thẳng
A B C D
Câu 55 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
Trên đường thẳng lấy hai điểm , thỏa mã Trên đường thẳng lấy hai điểm , thỏa mãn Tính thể tích tứ diện
A B C D
Câu 56 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng Đường thẳng qua điểm cắt , , Tính tỉ số
A B C D
Oxyz A(1; 2;3) B(3; 4; 4) C(2; 6; 6) I a b c( ; ; ) ABC a b c+ +
63
31
46
5 10
Oxyz M(2; 1; 6− − )
1
1 1
:
2 1
x y z
d − = − = +
−
2
:
3
x y z
d + = + = − M
1
d d2 A B AB
38 10 12
Oxyz
1
: 2
3
x t
d y t
z t
= +
= −
= − −
2
4
:
1
x t
d y t
z t
= + = + = −
1
d A B AB=3 d2
C D CD=4 V ABCD
7
V = V =2 21 21
3
V = 21
6 V =
Oxyz 1: 1
1 1
− = − = +
x y z
d
2
1
:
2
x y z
d + = − =
− M(1;1;1) d1 d2 A B
MA MB
3 MA MB =
2 MA MB =
1 MA
MB = =2
MA MB B
B d d
A
A M
H
(72)Câu 57 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2
x y z
m
− = − = +
−
đường thẳng 2:
2
x y z
m
− − +
= =
− − cắt điểm C Gọi A B hai điểm nằm
1
2, cho AB=6 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC đạt giá trị lớn bằng:
A 4 B 3 C 2 D.2
Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1; 1− ) đường thẳng
1
:
x a at
y t
z b bt
= − + = − = − +
, với a b tham số thực Khi khoảng cách từ A đến đường thẳng đạt giá trị lớn biểu thức 2
4 2019
T =a +b + b+ a+ đạt giá trị nhỏ tương ứng bằng:
A 2014 B 2015 C 2016 D 2020
Câu 59 Trong không gian , cho mặt phẳng , đường thẳng điểm Gọi đường thẳng nằm mặt phẳng , song song với đồng thời cách khoảng Đường thẳng cắt mặt phẳng điểm
Độ dài đoạn thẳng
A B C D
Câu 60 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4đường thẳng có phương trình
1
2 :
2
x t
d y t
z t = − = + = − +
, 2
2 : x t d y z t = − = = − +
, 3
1
:
3
x t
d y t
z t = + = − = −
, 4
1
:
2
x t
d y t
z t = + = − = +
Đường thẳng cắt đường thẳng có vectơ phương tương ứng
A (2; 13;11− ) B (4; 26; 23− ) C (12; 21;11− ) D (−2;1;3)
Câu 61 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình
1
3
:
1
x t
d y t
z t = − = + = − +
, 2
3
:
1
x t
d y t
z t = − = + = +
, 3
4
:
2
x t
d y t
z t = + = − = −
, 4
1 : 2 x t d y z t = + = = −
Đường thẳng cắt đường thẳng có phương trình tắc tương ứng là:
A
1 13 18
x− = y− = z−
− B
1
1
x− = y− = z
C
2
x− = =y z−
− D
2
3 12
x− = y− = z
−
Câu 62 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình
1
1
:
2
x t
d y t
z t = − = + =
, 2
2 :
2
x t
d y t
z t = − = = − +
, 3
4
:
3
x t
d y t
z t = + = + = − −
, 4
4
:
1
x t
d y t
z t = + = + = +
Đường thẳng cắt đường
thẳng cắt mặt phẳng (Oyz) điểm có cao độ
A 3 B 1
Oxyz ( ) : 2x+ −y 2z− =2
1
:
1 2
x y z
d + = + = + 1;1;1
2 A
( )
d d (Oxy)
(73)C −4 D 2
Câu 63 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1: 3
2
x− y+ z−
= =
−
đường thẳng 2: 2
2
x+ y− z−
= =
− Gọi Alà giao điểm 1 2, điểm B 1 C 2,
điểm D(Oxy)có tọa độ nguyên, cho tứ giác ABCDlà hình thoi Khoảng cách từ Dđến gốc tọa
đọo O bằng:
A 20 B 9 C 6 D 8
Câu 64 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1:
2
x y z−
= =
− đường
thẳng 2:
1 2
x− y− z+
= =
− Gọi Alà giao điểm 1 2, điểm B 1, C 2và
( ): 0,
D x− + =y cho tứ giác ABCDlà hình thoi với BAC90 Đường thẳng BCcắt mặt phẳng ( ) :x+ − =y điểm E cách gốc tọa độ O khoảng OEbằng:
(74)HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu Trong không gian Oxyz, cho A(1; 7; 0) B(3; 0;3) Phương trình đường phân giác
của AOB là?
A ( ):
4= =5
x y z
d B ( ):
3 = =5
x y z
d C ( ):
6 = =7
x y z
d D ( ):
5 = =7
x y z
d Lời giải
Ta có
( )
( )
( )
1; 7; 3; 0;3
2; 7;3 62
= =
= =
= − =
OA OA
OB OB
AB AB
Gọi I a b c( ; ; ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Lại có AB OI +OB AI +OA BI =0 62(a b c; ; )+3 2(a−1;b−7;c)+5 2(a−3; ;b c−3)=0
( ) ( )
( )
( )
62 62 62
+ − + − =
+ − + =
+ + − =
a a a
b b b
c c c
18 62
21 62
15 62
=
+
=
+
=
+
a
b
c
18 21 15
; ;
62 62 62
+ + +
I 18 ; 21 ; 15
62 62 62
=
+ + +
OI
Đường thẳng OI nhận OI VTCP nên nhận u=(6; 7;5) VTCP Kết hợp với OI qua O(0; 0; 0) :
6
OI x= =y z Chọn ý C
Nhận xét Trước tiên nói ln với bạn lời giải theo phương pháp truyền thống, thi trắc nghiệm ta tương ln cơng thức vào tốn giải nhanh nhiều!
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ − + =y z 0, đường thẳng
3
:
1
− − = =
x y z
d điểm A(1; 2; 1− ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A cắt d
và song song với mặt phẳng ( )P
A
1
− = − = +
− −
x y z
B
1
− = − = + −
x y z
C
1
− = − = +
x y z
D
1
− = − = + −
x y z
Lời giải
(75)Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( )P nên ta có
=0
AB n + + + − − =2 t 3t 2t = −t
Với t = −1 AB=(1; 2; 1− − )Một véc tơ phương đường thẳng u= −( 1; 2;1) Vậy phương trình đường thẳng
1
− = − = + −
x y z
Chọn ý A
Câu Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y+ − =z
và đường thẳng :
2
+ +
= =
x y z
d Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( )P , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d
A.
1 1
5
− = − = − − −
x y z B. 1
5
− + − = =
−
x y z C.
1 1
5
− = − = −
x y z
D.
1
5
+ = + = − −
x y z
Lời giải Gọi A= d = A d ( )P
Tọa độ A thỏa mãn hệ ( )
1
1
1 1; 1;
2
2
=
+ +
= =
=
+ + − = =
x
x y z
y A
x y z z
Do ( )P ⊥d nên nhận u=nP;ud (= 5; 1;− −3) véctơ phương
Đường thẳng qua A(1; 1; 1) nên có dạng 1
5
− = − = − − −
x y z
Chọn ý A
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
2
:
4
= − = + = −
x t
d y t
z t
4
:
1 2
− + = =
−
x y z
d Phương trình phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa
d d đồng thời cách hai đường thẳng
A.
2
3
− − − = =
−
x y z B. 2
1 2
+ + + = =
−
x y z
C
1 2
− −
= = −
x y z
D. 2
1 2
+ − + = =
− −
x y z
Lời giải
Đường thẳng d qua A(2;1; 4)và có véc tơ phương u1 = −( 1; 2; 2− )
d qua B(4; 1; 0− ) có véc tơ phương u2 =(1; 2; 2− ) Ta có u1= −u2
2 1
1 2
− +
(76)Đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d dđồng thời cách hai đường thẳng ( ) ( ) // // , , = d d
d d d d hay qua trung điểm I(3; 0; 2) có véc tơ phương u=(1; 2; 2− ) Khi phương trình :
1 2
− = = − −
x y z
Chọn ý C
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( ): 1
1
− − = =
−
x y z
d mặt phẳng
( )P :x+3y+ =z Đường thẳng ( ) qua M(1;1; 2), song song với mặt phẳng ( )P đồng thời cắt đường thẳng ( )d có phương trình
A
1
− = + = − −
x y z
B
1
+ = + = − −
x y z
C 1
1
− = − = − −
x y z
D 1
1
− = − = − −
x y z
Lời giải Phương trình tham số ( )
1
: ,
3 = + = − = x t
d y t t
z t
Mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp tuyến n=(1;3;1) Gọi =d A(1+t;1−t t;3 )
( ; ;3 2)
MA= t −t t− véc tơ phương MA n = − + − = =0 t 3t 3t t
(2; 2; 4) 1; 1; 2( )
MA= − = − Vậy phương trình đường thẳng : 1
1
− − − = =
−
x y z
Chọn ý D
Câu Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng
1
:
2
− +
= = −
x y z
d ;
2
:
1 2
+ − = =
−
x y z
d ;
3
3
:
3
+ = − = + − −
x y z
d Đường thẳng song song với d3, cắt d1 d2 có phương trình
A 1
3
− = = + − −
x y z
B
3
+ = − = − −
x y z
C
3
− = − = − −
x y z
D 1
3
− = = − − −
x y z
Lời giải
Gọi d đường thẳng song song với d3, cắt d1 d2 điểm A, B
Gọi A(1 ;3 ; 1+ a a − −a) B(− +2 b;1 ; 2− b b) AB=(b−2a− − −3; 2b 3a+1; 2b+ +a 1) Đường thẳng d3 có véc-tơ phương u= − −( 3; 4;8)
Đường thẳng d song song với d3nên AB=ku
2 3
2
2
− − = − − − + = − + + =
b a k
b a k
b a k
(77)Như A(1; 0; 1− ) 1; 2;3 = − − B
Phương trình đường thẳng d là: 1
3
− +
= = − −
x y z
Chọn ý A
Câu Trong không gian Oxyz, đường vuông góc chung hai đường thẳng
1 : = + = = − + x t d y z t
:
5 = = − = + x
d y t
z t
có phương trình
A
1
− +
= = −
x y z
B
2
− −
= = − −
x y z
C
2
+ −
= = −
x y z
D
2
− +
= = −
x y z
Lời giải
Giả sử AB đường vng góc chung d d với Ad , Bd Ta có ud =(1; 0;1), ud =(0; 2;3− ),
( )
( ) ( )
1; 0;
1; 4; 10 0; ;3
+ −
= + − − −
− +
A a a
BA a b a b
B b b
Khi ( ) ( )
( ) ( )
1 10
1 2 3 10
= + + − − = ⊥ = ⊥ = − − − + − − = = d d
a a b
u BA
d AB a
d AB u BA b a b b
( )
( ) ( ) ( )
4; 0;
4; 6; 2;3; 0; 6;
− = − − = − A BA u
B VTCP AB
Kết hợp với AB qua A(4; 0; 2− ) :
2
− +
= =
−
x y z
AB
Chọn ý D
Câu Trong không gian , cho điểm , đường thẳng có phương trình mặt phẳng có phương trình Đường thẳng qua điểm , cắt song song với mặt phẳng có phương trình
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi giao điểm Đường thẳng nhận làm vec tơ phương
Vì nên Suy
Suy điểm
Vec tơ phương đường thẳng :
Phương trình đường thẳng :
Oxyz A(1; 2;−1) d
3
1
x− = y− = z ( )
3
x+ − + =y z
A d ( )
1
1
x− = y− = z+
− −
1
1
x− = y− = z+
1
x− = y− = z−
1
x− = y− = z+
− −
(3 ; 3 ; )
B +t + t t d AB=(2+t; ; t 1+ t + ) ( )
//
AB n =0 (2+ + +t) (1 3t) (− 2t+ =1) +2 2t=0 = −t (2; 0; 2)
B −
AB=(1; −2;−1)
1
x− = y− = z+
(78)Chọn ý A
Câu Trong không gian , cho điểm hai đường thẳng , Phương trình đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng ,
A B
C D
Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm
Gọi ,
,
Có , , thẳng hàng nên
Đường thẳng cần tìm qua nhận véc tơ phương nên có phương trình
Chọn ý C
Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác biết điểm , đường trung tuyến đường cao có phương trình tương ứng
Viết phương trình đường phân giác góc
A. B. C.
D
Lời giải
Giả sử ,
Tọa độ trung điểm
Oxyz A(1; 1; 1− ) :
2 1
x− y z−
= =
−
1
:
1
x y+ z−
= =
− A
1 1
6
x− = y+ = z−
−
1 1
6
x+ = y− = z+
− −
1 1
6
x− = y+ = z−
− −
1 1
6
x− = y+ = z−
d
(1 ; ; )
B + t t − = t d C t( ; ; 2− − t +t)= d
(2 ; 1; )
AB t t t
= + − AC t( − −1; ; 1t +t)
A B C
( ) ( )
3
2
13
1 2
4
2
1 13 t
t k t t kt k
AB k AC t kt t kt k
t kt k t k t
t
= −
= −
− + =
= + = − + = − =
− = + + + =
=
1 3; ;
2
AB
= − −
A u =2AB= − −( 6; 1; 7)
1 1
6
x− y+ z−
= =
− −
Oxyz ABC A(1; 2; 3)
BM CH
5 x t y
z t
= = = +
4
16 13
x− y+ z−
= =
− A
1
7 10
x− = y− = z−
−
1
4 13
x− = y− = z−
2
x− = y− = z−
− −
1
2 11
x− = y− = z−
− −
(5 ; 0; )
B b + b BM C(4 16 ;+ c − −2 13 ; 5c + c)CH
M AC 16 ; 13 ;
2 2
c c c
M + − +
(79)
Gọi vecto
Vectơ phương là:
Do nên
,
Đặt , ,
Chọn vectơ phương đường phân giác góc Vậy phương trình đường phân giác góc là: Chọn ý D
Câu 11 Trong không gian , cho tam giác với , , Phương trình phương trình đường thẳng qua trực tâm tam giác vng góc với mặt phẳng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có trực tâm tam giác nên ta có
Ta có ; ; ; ;
Ta có
Đường thẳng qua trực tâm tam giác vng góc với mặt phẳng có
vecto phương có phương trình
Chọn ý B
M BM
5 16 13 c t c c t + = − = + = + c t = =
C(4;−2; 3)
(5 1; 2; 2)
AB= b− − b−
CH w=(16; −13; 5)
AB⊥CH AB u =0 16 5( b− −1) 13( ) (− +2 4b−2)=0 =b 0B(0; 0; 1)
( 1; 2; 2)
AB= − − − AC =(3;−4; 0)
1
1 2
; ;
3 3
AB u
AB
= = − − −
3
; ;
5
u = −
4 22
; ;
15 15
u= +u u = − −
(2; 11; 5)
v= − − A
A
2 11
x− y− z−
= =
− −
Oxyz ABC A(3; 0; 0) B(0; 6; 0) C(0; 0; 6) ABC (ABC)
1
2 1
x+ y+ z+
= = 1
2 1
x− y− z−
= = 6
2 1
x− y− z−
= = 3
2 1
x− y− z−
= =
( ; ; )
H a b c ABC
,
AH BC BH AC
AB AC AH
= = =
( 3; ; )
AH = a− b c BH =(a b; −6;c) BC=(0; 6; 6− ) AC= −( 3; 0; 6) AB= −( 3; 6; 0)
( ) , 36;18;18 AB AC =
,
AH BC BH AC
AB AC AH
= = = ( )
6
3
36 18 18 b c
a c
a b c
− + =
− + =
− + + =
6
3
2
b c a c a b c
− + = − + = + + = 1 a b c = = =
(2;1;1) H
→
(2;1;1)
H ABC (ABC)
( )
1
, 2;1;1 18
u= AB AC= 1
2 1
x− y− z−
(80)Câu 12 Trong không gian , cho hai đường thẳng
Đường thẳng qua điểm , vng góc với cắt có phương trình
A. B.
C. D.
Lời giải
Vectơ phương ;
Theo yêu cầu toán: nên
Đường thẳng qua điểm nhận làm vectơ phương nên
Chọn ý D
Câu 13 Cho hai đường thẳng ; điểm Đường thẳng qua , vng góc với cắt có phương trình
A. B. C.
D.
Lời giải
Gọi giao
Ta có
Đường thẳng vng góc với suy Suy
Vậy đường thẳng qua , vng góc với cắt có phương trình
Chọn ý D
Oxyz 1: 2
2 1
x y z
d − = + = −
−
1
:
1
x t
d y t
z t
= − = +
= − +
A( 1; 2; 3) d1 d2
1
1
x− = y− = z−
− − −
1
1
x− = y− = z−
1
1
x− = y− = z−
−
1
1
x− = y− = z−
− −
2
1
:
1
x t
M d y t
z t
= −
= +
= − +
(1 ; ; )
M t t t
− + − +
1
d u(2; 1; 1− ) AM(−t; 2t− − +1; t)
u AM = − −2t (2t− − + =1) t = −t AM(1; 3; 5− − )
A( 1; 2; 3) AM(1; 3; 5− − )
1
:
1
x− y− z−
= =
− −
1
2
:
2 1
x y z
d − = + = −
−
1
:
1
x t
d y t
z t
= − = +
= − +
(1; 2;3) A
A d1 d2
1
1
x− y− z−
= =
1
x− y− z−
= =
− − −
1
1
x− y− z−
= =
1
x− y− z−
= =
− −
(1 ;1 ; )
B −t + t − +t d2
( ;2 1; 4)
AB= −t t− t−
d1 AB d 1= − + − − + = = −0 2t 2t t t
(1; 3; 5)
AB= − −
A d1 d2
1
x− y− z−
= =
(81)Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vng góc chung hai
đường thẳng :
2
− = − = + −
x y z
d : 4
3
+ − − = =
− −
x y z
d
A
1 1
− = =
x y z B.
2
2
− − − = =
x y z
C.
2
2 2
− + − = =
x y z D
2
− − = =
−
x y z
Lời giải
Ta có Md suy M(2+2 ;3 ; 5m + m − − m) Tương tựNdsuy N(− +1 ; ; 4n − n −n) Từ ta có MN = − +( 3n−2 ;1 2m − n−3 ;8m − +n 5m)
Mà MN đường vng góc chung d d nên ⊥
⊥
MN d
MN d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 3
3 3 2
− + − + − − − − + =
− + − − − − − − + =
n m n m n m
n m n m n m
38 43
5 14 19
− + =
− + =
m n
m n
1
= − =
m
n
Suy M(0; 0;1), N(2; 2;3)
Ta có MN =(2; 2; 2) nên đường vng góc chung MN
1 1
− = =
x y z
Chọn ý A
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y+ − =z đường
thẳng :
2
+ +
= =
x y z
d Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( )P , đồng
thời cắt vng góc với đường thẳng d
A.
1 1
5
− − − = =
− −
x y z B. 1
5
− − − = =
−
x y z C.
1 1
5
− + − = =
−
x y z
D.
1
5
+ + − = =
−
x y z
Lời giải Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P n( )P =(1; 2;1) Vectơ phương đường thẳng dlà ud =(2;1;3)
Phương trình tham số đường thẳng
1 :
2
= − +
=
= − +
x t
d y t
z t
Xét phương trình: − + + − + − = 1 2t 2t 3t 7t− = =7 t
Suy giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( )P A(1;1;1) Ta có: A Vectơ phương đường thẳng u =n( )P ,ud=(5; 1; 3− − )
Phương trình tắc đường thẳng : 1
5
− − − = =
− −
x y z
(82)Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3
1
− = − = + − −
x y z
d ;
2
5
:
3
− = + = − −
x y z
d mặt phẳng ( )P :x+2y+3z− =5 Đường thẳng vng góc với ( )P , cắt d1 d2 có phương trình
A 1
1
− + = =
x y z B.
2
1
− − − = =
x y z
C.
3
1
− − + = =
x y z D 1
3
− + = =
x y z
Lời giải
Gọi M N giao điểm đường thẳng ( )P : x+ + =y z
a b c cần tìm với d1 d2, M(3−t;3 ; 2− t − +t), N(5 ; ; 2− s − + s +s)MN =(2 3− s+ − +t; 2s+2 ; 4t + −s t)
Đường thẳng ( )P :x+ + =y z
a b c vng góc với ( )P suy MN phương với nP =(1; 2;3) Do
đó 2
1
− +s t = − + s+ t = + −s t
= =
t
s M(1; 1; 0− ) Vậy đường thẳng cần tìm qua
(1; 1; 0− )
M có vectơ phương u=(1; 2;3) 1
1
− + = =
x y z
Chọn ý A
Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), 8; ; 3
−
B Đường thẳng qua
tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình
A.
1 2
+ − + = =
−
x y z
B.
1 2
+ − − = =
−
x y z
C.
1 11
3
1 2
+ − −
= =
−
x y z
D
2
9 9
1 2
+ − +
= =
−
x y z
Lời giải
Xét toán: Cho ABC, gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi a ,b, c độ dài các cạnh Khi ta có a IA b IB + +c IC =0
Chứng minh Gọi D E chân đường phân giác ABC kẻ từ B C Dựng tia Ax song song BD cắt CE M Dựng tia Ay song song CE cắt BD N
C
D N
A
M E
x
B I
(83)Ta có: AI = AM+AN Mặt khác EAM EBI, suy EA= AM EB BI Hơn nữa, EA= AC =b
EB BC a Do AM = b AM =bIB
BI a a Tương tự: =
c
AN IC
a Từ suy AI = bIB+cICa IA b IB c IC + + =0
a a
Gọi I a b c( ; ; ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Áp dụng toán cho OAB, ta AB IO +OB IA OA IB + =0 ( )* Ta có OA=3, OB=4, AB=5; IO= − − −( a; b; c),
(2 ; ;1 )
= − − −
IA a b c , ;4 ;8
3 3
−
= − − −
IB a b c
Từ ( )* ta có
( ) ( ) ( )
8
5
3
0
5
3
1
5
3
− + − + − − =
=
− + − + − = =
=
− + − + − =
a a a
a
b b b b
c
c c c
Do I(0;1;1)
Mặt khác, ta có: OA OB, = (4; −8; 8)
Suy vec tơ phương đường thẳng cần tìm u=(1; −2; 2) Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình 1
1 2
− − = =
−
x y z
Nhận xét: Điểm K(−1;3 1− ) d nên phương trình đường thẳng d viết lại
1 2
+ = − = + −
x y z
Chọn ý A
Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(−1; 2; 0), C(2; 3; 2− ) Tập hợp tất điểm M cách ba điểm A, B, C đường thẳng d Phương trình tham số đường
thẳng d là:
A
8
15
= − −
=
= +
x t
y t
z t
B
8
15
= − +
=
= −
x t
y t
z t
C
8
15
= − +
= −
= − −
x t
y t
z t
D
8
15
= − +
=
= +
x t
y t
z t
Lời giải Ta có AB= −( 2;1; 1− ); BC =(3; 5; 2− )
Ta thấy AB BC không phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng
M cách hai điểm A, B nên điểm M nằm mặt trung trực AB
M cách hai điểm B, C nên điểm M nằm mặt trung trực BC
(84)Gọi ( )P , ( )Q mặt phẳng trung trực AB BC
0; ; 2
K trung điểm AB; 1; 1;1
2
−
N trung điểm BC
Mặt phẳng ( )P qua K nhận AB= −( 2;1; 1− ) làm véctơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng
( )
:
2
− + − − − =
P x y z hay ( )P : 2x− + + =y z
Mặt phẳng ( )Q qua N nhận BC=(3; 5; 2− ) làm véctơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng
( ) 1 ( )
:
2
− − + + − =
Q x y z hay ( )Q : 3x−5y+2z− =6
Ta có :
3
− + + =
− + − =
x y z d
x y z
Nên d có véctơ phương u=AB BC, = −( 3;1; 7)
Cho y=0 ta tìm x= −8, z=15 nên (−8; 0;15)d Vậy
8
15
= − −
=
= +
x t
y t
z t
Chọn ý A
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(a; 0; ,) (B 0; b; ,) (C 0; 0; ) Gọi
I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Biết a b thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2a+ =b 4thì tâm I thuộc đường thẳng cố định Phương trình đường thẳng tương ứng
A
1
x t
y t z
= − = =
B 2 x t
y t
z
= = + =
C
2
x t
y t
z
= − = + =
D
1
1
x t
y t z
= − = =
Lời giải
tứ diện OABClà tứ diện vuông biết tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông đỉnh Olà:
; ;1 ; ;1 ; ;1
2 2 2
A B C a b a a a
I = + + = = − = −a
Đặt a=2tI t( ; 2 ;1− t )
Suy tâm I thuộc đường thẳng cố định có phương trình
1
:
1
x t
y t z
= −
=
=
(85)Câu 20 Trong không gian , cho ba đường thẳng có phương trình
, Đường thẳng song
song , cắt có phương trình
A. B.
C D
Lời giải
Ta có ,
Gọi đường thẳng cần tìm
Gọi ,
song song nên với
Đường thẳng qua có vtcp nên
Chọn ý B
Câu 21 Trong không gian , cho đường thẳng mặt phẳng Trong đường thẳng sau, đường thẳng nằm mặt phẳng , đồng thời vng góc cắt đường thẳng ?
A. B.
C. D
Lời giải Phương trình tham số đường thẳng
Ta có Mặt khác
Vectơ phương Vectơ pháp tuyến
Oxyz
1
3
:
2
x y z
d − = + = −
−
1
:
3
x y z
d + = = +
− −
3
:
4
x y z
d + = − =
−
3
d d1 d2
3
4
x− = y+ = z−
4
x− = y+ = z−
− −
1
4
x+ = y = z−
−
1
4
x− = y = z+
− : 2 x u
d y u
z u = + = − + = − : x v
d y v
z v = − + = − = − − d
A=d d A(3 ; 1+ u − +u; 2− u) B=d4d2B(− +1 ; ; 4v − v − −v)
( ;1 ; )
AB= − + v− u − v u− − − +v u
4
d d3 AB=ku3 u3 =(4; 1; 6− )
3
4
1
6
v u k v
AB ku v u k u
v u k k
− + − = = = − − = − = − − + = = −
d A(3; 1; 2− ) u3 =(4; 1; 6− ) 4:
4
x y z
d − = + = −
− −
Oxyz :
1
x y z
d − = − = −
( ) :x+ − − =y z ( ) d
2
2 4
:
1
x− y− z−
= =
−
1
:
3
x− y− z
= =
−
3
5
:
3
x− y− z−
= =
−
2 4
:
3
x+ y+ z+
= =
− −
1
: 2
3
x t
d y t
z t = + = + = +
(1 ; 2 ;3 )
I d I +t + t +t
( ) 2 (3 )
I + + + − + − = = t t t t I(2; 4; 4)
(86)Ta có Đường thẳng cần tìm qua điểm , nhận VTCP
nên có phương trình tham số
Kiểm tra , thấy thỏa mãn phương trình Vậy chọn C Chọn ý C
Câu 22 Trong không gian tọa độ , cho tam giác biết , , Phương trình đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng góc với mặt phẳng
A.
B C
D.
Lời giải
Ta có: ; ,
, , vng
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm
Đường thẳng cần tìm qua nhận vectơ làm véc tơ
phương Phương trình tắc đường thẳng Chọn ý A
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng qua , cắt vng góc với
A B C D
Lời giải
Gọi Do nên Suy
Ta có có vectơ phương
( )
, 3; 2; u n
= − −
I(2; 4; 4)
( )
, 3; 2; u n = − − 4 x t y t z t = − = + = −
(5; 2;5)
A A(5; 2;5) ( )*
Oxyz ABC A(1; 0; 1− ) B(2;3; 1− )
( 2;1;1)
C − ABC
(ABC)
3
3
x− y− z−
= =
−
2
3
x y− z
= = 1
1 2
x− y z+
= =
−
3
x− y− z−
= =
−
(1;3; 0)
AB= BC= − −( 4; 2; 2) AC= −( 3;1; 2)
2
10 AB
=
24
BC = AC2 =14 ABC A
I BC I(0; 2; 0)
d I(0; 2; 0) ,
2
u= AB AC =(3; 1;5− )
d
3
x− = y− = z−
−
Oxyz M(2; 1; 0)
1
:
2 1
x− y+ z
= =
− d M
2
:
2
x t
d y t
z t = + = − = − : x t
d y t
z t = − = + =
:
2
x t
d y t
z t = + = − − = 2 : x t
d y t
z t = + = + = −
I = d I I(2t+1;t− −1; t) MI =(2t−1; t−2; −t)
u =(2;1; 1− )
d
M u
(87)Ta có
Suy , từ suy có vectơ phương qua
nên có phương trình Chọn ý A
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm mặt phẳng , đường thẳng qua điểm , song song với mặt phẳng , đồng thời cắt trục Viết phương trình tham số đường thẳng
A B C D
Lời giải Gọi giao điểm đường thẳng trục
Ta có Vì đường thẳng song song với mặt phẳng nên:
Suy
Chọn ý B
Câu 25 Trong không gian , cho điểm hai đường thẳng , Phương trình phương trình đường thẳng qua điểm , cắt vng góc với ?
A B C D
Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm , giao
Khi đó: ,
Do vng góc với nên:
Khi , hay vectơ phương
Vậy phương trình :
Chọn ý B
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
d ⊥ MI ⊥ u MI u= t− + −t + −t − = t− = =t
1
; ;
3 3
MI = − −
d ud =(1; 4; 2− − )
(2; 1; 0)
M
2
:
2
x t
d y t
z t = + = − = −
Oxyz A(1; 2;3)
( )P :2x+ −y 4z+ =1 d A ( )P
Oz d x t y t z t = + = − = + 2 x t y t z t = = = + 2 x t y t z t = + = + = + x t y t z t = − = + = +
(0; 0; )
B b d Oz
( 1; 2; 3)
d
u =AB= − − b− d ( )P
P
AB n = − − −2 4(b− =3) =b
( 1; 2; 1) 1; 2;1( )
d
u =AB= − − − = −
Oxy M(−1;1; 2)
2
:
3
x y z
d − = + = − :
1
x y z
d + = =
−
M d d
1 7 x t y t z t = − − = + = + x t y t z = − + = − = x t y t z = + = − = x t y t z = − + = + =
A d
(2 ; ;1 )
A + t − + t +t MA= +(3 ; ; 1t − + t − +t)
d MA u 2 =07t− = =7 t
(6; 2; 0)
MA= − (3; 1; 0− )
(88)Câu 26 Trong không gian , Cho mặt phẳng đường thẳng Đường thẳng nằm mặt phẳng đồng thời cắt vng góc với đường thẳng có phương trình
A B C D
Lời giải Phương trình tham số đường thẳng
Gọi giao điểm
Khi tọa độ thỏa mãn
Mặt phẳng có VTPT ; Đường thẳng có VTCP
Khi
Đường thẳng nằm mặt phẳng đồng thời cắt vng góc với đường thẳng Do qua nhận làm VTCP
Vậy phương trình Chọn ý A
Câu 27 Trong không gian , cho đường thẳng mặt phẳng Đường thẳng nằm , cắt vng góc với có phương trình
A. B.
C. D
Lời giải
Phương trình tham số Gọi
Khi nên ; nên
Vậy đường thẳng cắt mặt phẳng
Oxyz ( )R :x+ −y 2z+ =2
1
1 :
2 1
x y z−
= =
− 2 ( )R
1 x t y t z t = = − = − x t y t z t = = − = + x t y t z t = + = − = x t y t z t = + = − = x t y t z t = = = − ( ; ; )
I x y z 1 ( )R
I 0 1 2
x t x y t y z t z x y z
= = = = = − = + − + =
(0; 0;1)
I
=
( )R n=(1;1; 2− ) 1 u=(2;1; 1− )
n u, =(1; 3; 1− − )
2
( )R 1
2
I =(0; 0;1) n u,
2 x t y t z t = = − = −
Oxyz :
1 1
x y z
d − = = −
−
( )P : 2x− −y 2z+ =1 ( )P d
2
3
x+ = y− = z+
3
x− = y+ = z−
−
2
3
x− = y+ = z− 1
3
x− = y+ = z−
1 :
2
x t
d y t
z t = + = − = + ( ) M = d P
Md M(1+ −t; t; 2+t) M ( )P 1( + − − −t) ( ) (t 2+ + = =t) t
(89)Gọi vectơ phương vectơ pháp tuyến mặt phẳng
Khi vectơ phương đường thẳng cần tìm Vậy phương trình đường thẳng cần tìm
Chọn ý C
Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD biết A(1; 0;1), B(1; 0; 3− )
và điểm D có hồnh độ âm Mặt phẳng (ABCD) qua gốc tọa độ O Khi đường thẳng d trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có phương trình
A
1 :
1
= − = = −
x d y t
z
B
1 :
1
= = = −
x d y t
z
C
1 :
1
= − = =
x d y t
z
D :
= = =
x t d y
z t
Lời giải
Ta có AB=(0; 0; 4− = −) 0; 0;1( ) Hay AB có véc-tơ phương k =(0; 0;1)
Mặt phẳng (ABCD) có véc-tơ pháp tuyến: OA OB; =(0; 4; 0) (=4 0;1; 0), hay j=(0;1; 0) véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABCD)
Vì
( )
⊥
AD AB
AD ABCD nên
⊥
⊥
AD k AD j
Đường thẳng AD có véc-tơ phương j k; = (1; 0; 0) Phương trình đường thẳng AD
1
= + = =
x t
y z
Do D(1+t; 0;1)
Mặt khác 02 (1 1)2 4
4
= = + + − =
= −
t
AD AB t
t Vì điểm D có hồnh độ âm nên D(−3; 0;1)
Vì tâm I hình vng ABCD trung điểm BD, nên I = −( 1; 0; 1− )
Đường thẳng d trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có véc-tơ pháp tuyến j=(0;1; 0)
, nên phương trình đường thẳng d
1 :
1
= − = = −
x d y t
z
Chọn ý A
(1; 1;1)
d
u = − n=(2; 1; 2− − ) d
( )P
( )
, 3; 4;1
d
u=u n=
2
3
(90)Câu 29 Trong không gian Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có H(2; 2;1), 8; ; 3
−
K , O lần
lượt hình chiếu vng góc A, B, C cạnh BC, AC, AB Đường thẳng d qua A
và vng góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình
A. : 1
1 2
+ + − = =
−
x y z
d
B.
8 2
3 3
:
1 2
− − +
= =
−
x y z
d
C.
4 17 19
9 9
:
1 2
+ − −
= =
−
x y z
d D
6
:
1 2
− − = =
−
x y z
d Lời giải
Ta có tứ giác BOKC tứ giác nội tiếp đường trịn (vì có hai góc vng K, O nhìn BC góc vng) suy OKB=OCB ( )1
Ta có tứ giác KDHC tứ giác nội tiếp đường trịn (vì có hai góc vng K, H nhìn DC góc vng) suy DKH =OCB ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy DKH =OKB Do BK đường phân giác góc OKH AC đường phân giác ngồi góc OKH
Tương tự ta chứng minh OC đường phân giác góc KOH AB đường phân giác ngồi góc KOH
Ta có OK =4; OH =3; KH =5
Gọi I , J chân đường phân giác ngồi góc OKH KOH Ta có I =ACHO ta có
5
= =
IO KO
IH KH
4
IO= IH I(− − −8; 8; 4) Ta có J =ABKH ta có
3
= =
JK OK
JH OH ( )
4
16; 4;
JK = JH J − Đường thẳng IK qua I nhận 16 28 20; ; 4(4;7;5)
3 3
= =
IK làm vec tơ phương có phương trình
( ): 48
= − +
= − +
= − +
x t
IK y t
z t
I J
A
O K
D
B C
(91)Đường thẳng OJ qua O nhận OJ =(16; 4; 4− )=4 4;1; 1( − ) làm vec tơ phương có phương trình ( ) : = = = − x t OJ y t
z t
Khi A=IKOJ, giải hệ ta tìm A(− −4; 1;1)
Ta có IA=(4; 7;5) IJ =(24;12; 0), ta tính IA IJ, = −( 60;120; 120− )= −60 1; 2; 2( − )
Khi đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) có véc tơ phương u=(1; 2; 2− )
nên có phương trình 1
1 2
+ + − = =
−
x y z
Nhận xét
• Mấu chốt tốn chứng minh trực tâm D tam giác ABC tâm đường trịn nội tiếp tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với I tâm đường trịn nội tiếp, ta có a IA b IB + +c IC =0, với a=BC,
=
b CA, c= AB” Sau tìm D, ta tìm A với ý ADH OA⊥DA
• Ta tìm tọa độ điểm A cách chứng minh A tâm đường trịn bàng tiếp góc H tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với J tâm đường trịn bàng tiếp góc A, ta có
−a JA b JB+ +c JC = , với a=BC, b=CA, c= AB”
Chọn ý A
Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , , , đường thẳng cách ba điểm , , có phương trình
A 26 22 27 x t y t z t = + = + = + B 26 22 27 x t y t z t = + = + = + C 11 22 27 x y t z t = = + = D 26 38 27 x t y t z t = + = + = + Lời giải
Gọi trung điểm suy mặt phẳng trung trực đoạn Mặt phẳng qua nhận làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:
Gọi trung điểm suy mặt phẳng trung trực đoạn Mặt phẳng qua nhận làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:
.Khi
Oxyz A(3; 2; 4− ) B(5;3; 2− ) C(0; 4; 2)
d A B C
I AB 4; ;11
2 I
( )P AB
( )P I AB=(2;5; 6− )
( ) ( )
2 10 12
2
x− + y− − z− = x+ y− z− =
J AC 3;1;3
2 J
( )Q AC
( )Q J AC= −( 3; 6; 2− )
( ) ( )
3
3 6 12
2
x y z x y z
− − + − − − = − + − =
(92)Ta có có vectơ phương qua nghiệm hệ
, ta chọn suy Vậy
Phương trình tham số là:
Chọn ý B
Câu 31 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng , mặt phẳng điểm Viết phương trình đường thẳng qua cắt
song song với mặt phẳng
A
1
− − + = =
x y z
B
1
− − + = = − −
x y z
C
1
− = − = + − −
x y z
D
1
− = − = +
− −
x y z
Lời giải
Gọi
Mặt phẳng có VTPT
Vậy
Chọn ý C
Câu 32 Trong không gian , cho hai đường thẳng có phương trình Đường thẳng cắt hai đường thẳng , song song
với đường thẳng có phương trình
A. B. C. D.
Lời giải Gọi mặt phẳng chứa hai đường thẳng
Khi qua có cặp véctơ phương ,
Gọi VTPT Khi Phương trình
d u =AB AC; =(26; 22; 27) M
4 10 12
6 12
x y z
x y z
+ − − =
− + − =
x=4 y=2
9
z= 4; 2;9
4 M
d
4 26 22
27
x t
y t
z t
= +
= +
= +
Oxyz : 3
1
x y z
d − = − =
( ) :x+ − + =y z A(1; 2; 1− ) A
d ( )
M = d Md M(3+t; 3 ; 2+ t t)AM =(2+t;1 ; 2+ t + t)
( ) n=(1; 1; 1− )
( ) //
AM AM n =0 + + + − −2 t 3t 2t=0 = −t 1AM =(1; 2; 1− − )
1
:
1
x− y− z+
= =
− −
Oxyz d1 d2
1
1
x = y+ = z 1
1
x= y− = z−
− d d1 d2
4
:
1
x− y− z−
= =
−
1
1
x+ y+ z+
= =
−
1
1
x− y+ z−
= =
−
1
1
x+ y− z+
= =
−
1
1
x− y− z−
= =
−
( )P d1 d
( )P M(0; 1; 0− ) u1=(1; 2;1) u=(1; 4; 2− )
n ( )P n=u u1, = −( 8;3; 2)
(93)Gọi giao điểm đường thẳng
Đường thẳng qua có VTCP có phương trình:
Chọn ý B
Câu 33 Trong không gian , cho hai đường thẳng chéo Phương trình phương trình đường thẳng vng góc chung ?
A B C D.
Lời giải
Gọi cho
Ta có ; ; ;
, ,
Vậy phương trình đường thẳng vng góc chung Chọn ý A
Câu 34 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; 4− ), B(5;3; 2− ), C(0; 4; 2), đường thẳng d cách ba điểm A, B, C có phương trình
A 26 22 27 x t y t z t = + = + = + B 26 22 27 x t y t z t = + = + = + C 11 14 22 27 x t y t z t = + = + = D. 26 38 27 x t y t z t = + = + = + Lời giải Tọa độ trung điểm AB 4; ;11
2
M
Ta có AB=(2;5; 6− ) nên phương trình mặt phẳng trung trực AB 2( 4) 6( 1)
2
x− + y− − z− =
hay
9
2
2
x+ y− z− =
H d2 ( )P
8 3
1
x y z
x t y t z t − + + + = = = − = + 1 x y z = = − =
(1; 1; 4)
H
−
d H u=(1; 4; 2− ) 1
1
x− = y+ = z−
−
Oxyz :
4 1
x y z
d − = + = +
−
1
:
6
x y z
d = − = −
−
d d
1
1 2
x+ = y+ = z 1
1 2
x− = y− = z 1
1 2
x+ = y− = z 1
1 2
x− = y− = z+
( )
( )
3 ; ; ;1 ; 2 b
A a a a d
B b b d
− − + − + − + + AB d AB d ⊥ ⊥
(4 3; 3; 3)
AB= a− b− b a− + b a− + ud = −( 4;1;1) ud= −( 6;1; 2)
d
d
AB u AB u
= = ( ) ( ) ( )
4 3
6 3 2
a b b a b a
a b b a b a
− − − + − + + − + = − − − + − + + − + = a b = =
( 1; 1; 0) A
− − B(0;1; 2) AB=(1; 2; 2)
d d' 1
1 2
(94)Tọa độ trung điểm AC 3;1;3
N
Ta có AC= −( 3;6; 2− ) nên phương trình mặt phẳng trung trực AC 3 6( 1) (2 3)
2
x y z
− − + − − − =
hay
9
3
2
x y z
− + − + =
Các điểm thuộc đường thẳng d có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
9
2
2
3
2
x y z
x y z
+ − − =
− + − + =
Ta thấy 4; 2;9
D
thỏa mãn hệ phương trình nên Dd Đường thẳng d có véc-tơ phương
là n=AB AC, =(26; 22; 27) Do đó, phương trình đường thẳng d
4 26 22
27
x t
y t
z t
= +
= +
= +
Câu 35 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1− ), B(2;0;1), C(−2; 2;3) Đường thẳng nằm mặt phẳng (ABC) qua trực tâm H ABC tạo với đường thẳng
AB, AC góc 45 có vectơ phương u=(a b c; ; ) với a số nguyên tố giá trị biểu thức ab bc ca+ +
A −67 B 23 C −33 D.−37 Lời giải
Ta có AB=(1; 2; 2− ), AC= −( 3; 0; 4) AB AC = − + = 3 BAC 90
Đường thẳng cần tìm song song với phân giác góc A có vectơ phương xác định
( ) ( ) ( )
1 1 22
1; 2; 3;0; ; ; 2; 5;11
3 15 15 15
u AB AC AB AC
= + = − + − = − − = − −
Suy
2 11 a b c
= − = − =
Vậy ab bc+ +ca= −67
Câu 36 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1− ), B(2;0;1), C(−2; 2;3) Đường thẳng nằm mặt phẳng (ABC) qua trực tâm H ABC tạo với đường thẳng
AB, AC góc 45 có vectơ phương u=(a b c; ; ) với a số nguyên tố giá trị biểu thức ab bc ca+ +
A −67 B 23 C −33 D.−37 Lời giải
Ta có:AB=(1; 2; 2− ), AC= −( 3; 0; 4)AB AC = − + = 3 BAC 90
Đường thẳng cần tìm song song với phân giác ngồi góc A có vectơ phương xác định
( ) ( ) ( )
1 1 14 2
1; 2; 3;0; ; ; 7; 5;
3 15 15 15
u AB AC AB AC
= − = − − − = − − = − −
(95)Suy
7 a b c
= = − = −
Vậy ab bc+ +ca= −37
Câu 37 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3
2
x y z
d − = − = −
2
5
:
6
x y z
d + = + = cắt điểm I(1;1; 2) Viết phương trình đường thẳng phân giác góc nhọn tạo d1 d2
A. : 1
32 23 13
x− y− z−
= = B. : 1
8
x− y− z−
= =
C. : 1
4
x− y− z−
= =
− D.
1
:
4 1
x− y− z−
= =
Lời giải Ta có u1=(2; 2;1), u2(6;3; 2) u u1 2 0
Suy phân giác góc nhọn tạo hai đường thẳng có vectơ phương
( ) ( ) ( )
1 2 2 2 2 2
1
1 1 32 23 13
2; 2;1 6;3; ; ; 32; 23;13 21 21 21 21
2
u u u
u u
= + = + = =
+ + + +
Vậy đường thẳng cần tìm : 1
32 23 13
x− y− z−
= =
Câu 38 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3
2
x y z
d − = − = −
2
5
:
6
x y z
d + = + = cắt điểm I(1;1; 2) Viết phương trình đường thẳng phân giác góc tù tạo d1 d2
A. : 1
32 23 13
x− y− z−
= = B. : 1
8
x− y− z−
= =
C. : 1
4
x− y− z−
= =
− D.
1
:
4 1
x− y− z−
= =
Lời giải Ta có u1=(2; 2;1), u2(6;3; 2) u u1 2 0
Suy phân giác góc tù tạo hai đường thẳng có vectơ phương
( ) ( ) ( )
1 2 2 2 2 2
1
1 1 1
2; 2;1 6;3; ; ; 4;5;1
21 21 21 21
2
u u u
u u
= − = − = − = −
+ + + +
Vậy đường thẳng cần tìm : 1
4
x− y− z−
= =
(96)Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng
( )P :x my mz+ − + =1 0;( )Q :mx+ + + =y z m Đường thẳng ' qua gốc tọa độ O song song với đường thẳng Ba điểm A B C, , di động Oz, , ' Giá trị nhỏ
AB+BC+CA
A.1 B.2
C.2 D.
Lời giải
Ta có ( 2)
; ; 1;1
P Q
u =n n = m −m − −m qua M(−1;0;0)
Mặt khác:AB+AC+BCBC+BC=2BC2d( ; ) Vì qua O song song với
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 4
2
2
2 2
; 1 2 1
; ;
1
4 1
OM u m m m
d d O
m
u m m m
− + + +
= = = =
+
+ + + −
Dấu đạt
1
m = m= , lúc A trùng C trùng O B hình chiếu vng góc O lên
Câu 40 Trong không gian Oxyz, với m số thực thay đổi mặt phẳng
( ) ( ) ( ) ( )
: 2 2
P m + x− m − m+ y+ m+ z−m + m= chứa đường thẳng cố định Viết phương trình đường thẳng
A
1
:
x t
y t
z t
= − −
= − − =
B. x t
y t
z t
=
= − −
= − −
C.
1
:
x t
y t
z t
= − +
= − − =
D.
1
x t
y t
z t
= − −
= − −
=
Lời giải Ta tìm đường thẳng cố định cách:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2 2 0,
2 2 0,
2 1 4
2
2 1 :
2
2
m x m m y m z m m m
m x y m y z x y z m
x y x t x t
x y
y z y t y t
y z
x y z z t z t
+ − − + + + − + = − − + + + + − + =
− − = = − − = − −
− − =
= + = = − − − = − − + + =
− + = = =
Câu 41 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;6 ) Biết có hai điểm M N, phân biệt thuộc trục Ox cho đường thẳng AM AN, tạo với đường thẳng chứa trục Ox góc
45 Tổng hồnh độ hai điểm M N,
A 4 B 2 C 1 D.5
Lời giải
(97)Vậy theo giả thiết có
( ) ( )
0
2
1 1 1 5
cos 45
7
1 36 1 36
AM i m m m
m
AM i m m
= − − − = = = = − + − +
Vậy tổng hoành độ hai điểm 7− + =2
Câu 42 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A a( ; 0; ,− ) (B 2; ; 0b ) Gọi ( ) mặt phẳng chứa
A trục Oy;( ) mặt phẳng chứa B trục Oz Biết ( ) ( ) , cắt theo giao tuyến đường thẳng có vecto phương u(2;1; 2) Tính độ dài đoạn thẳng AB
A 21 B 5 C 2 6 D.2
Lời giải
Trục Oy Oz, có vecto phương j(0;1; ,) (k 0; 0;1)
Có ( )
( ) , ( 2; 0; 2)
Oy
n u j = = −
( ) qua gốc tọa độ O(0;0;0)Oy nên ( ) :x z− =0
Có ( )
( ) , (1; 2; 0)
Oz
n u k = = −
( ) ua gốc tọa độ O(0;0;0)Oz nên ( ) :x−2y =0
Vì A( ) + = = −a a 2;B( ) −2 2b= =0 b Vậy A(−2;0; ,− ) (B 2,1, 0)AB= 21
Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
1
2
x y− z−
= =
− − Hai điểm
M N di động các mặt phẳng ( ) :x=2; ( ) :z=2 cho trung điểm K
của MN thuộc đường thẳng Giá trị nhỏ độ dài MN
A 8
5 B 5 C 5 D. 5 Lời giải
Gọi M(2; ; )a b ( ) , N c d( ; ; 2)( ) Khi 2; ;
2 2
c a d b K + + +
Vì K thuộc nên 2
4 2
c a d b
t + = + − = = − − 2
a d t
b t c t + = − = − = −
Khi
( ) (2 ) (2 )2 ( ) (2 ) (2 )2
2 4 2
= − + − + − = − + − + +
MN c a d b t a d t
( )2
2
20 24 20
5
= t − t+ + −a d
Dấu đạt
2 2
4
0
a d t
b t c t a d t + = − = − = − − = = 5 a d b c = = = − =
2 2 2; ; , ; ;
5 5
M N
−
(98)Câu 44 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
2
x y− z−
= =
− − Hai điểm
M , N di động các mặt phẳng ( ) :x=1; ( ) :z=0 cho trung điểm K
MN thuộc đường thẳng Giá trị nhỏ độ dài MN
A
2 B 10 C 5 D. Lời giải
Gọi M(1; ;a b) ( ) , N c d( ; ; 0) ( ) Khi 1; ;
2 2
c a d b
K + +
Vì K thuộc nên
1 2 2 c t a d t b t + = + = − = − 2 2
a d t
b t c t + = − = − = −
Khi
( ) (2 )2 2 ( ) (2 ) (2 )2
1 2
MN = c− + a−d +b = t− + − t + a−d
( ) (2 )2 2
4 2 20 24
5
t t t t
− + − = − +
Dấu đạt
2 2
a d t
b t c t a d t + = − = − = − − = = 5 a d b c = = = =
1; ;2 , 2; ;
5 5
M N
Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− =1 hai đường
thẳng 1:
3
1
x y z
d − = − =
− ;
4 : 5
x y z
d = = +
− −
Biết có hai điểm A B, thuộc d1 hai điểm
,
C D thuộc d2 cho AC BD, song song với ( )P đồng thời cách ( )P khoảng
2 Tính AC+BD
A 6+5 B 5 C 5+5 D.6
Lời giải Lấy A(1 ;3 ; 2+ a − a a)d C1; (5 ; ; 5+ c c − − c)d2
Có AC=(6c−2a+4; 4c+3a− − −3; 5c 2a−5) theo giả thiết
( ) ( ) ( )
0 4 3 5
= − + − + − + − − − = = −
p
n AC c a c a c a c a
Mặt khác AC ( )P nên
( )
( , )= ( ,( ))= 2
d AC P d A P ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 3 2 2
+ − − + −
=
+ +
a a a
1 a a = =
(99)Câu 46 Trong mặt phẳng ( )P vng góc với d đồng thời cách điểm I khoảng
42 Gọi A B, hình chiếu vng góc I lên hai đường thẳng Tính OA2+OB2
A 104 B 102 C 106 D.100 Lời giải
Giả sử đường thẳng cần tìm Có ( )P u n up; d ( 2;3; 1)
d
= = − − ⊥
Ta cần tìm điểm thuộc , mà sử dụng giả thiết khoảng cách từ I lên Vậy ta gọi điểm
( ; ; )
A a b c hình chiếu vng góc I lên Vì
( ) ( )
( ) 2 ; ; 1; 3;
A P + + + = = − − − a b c c a b A a b − − − a b IA= a− b+ − − −a b Theo điều kiện vng góc ta có
( ) ( ) 13
2( 1) 3 (1)
4
a
IA u = − a− + b+ − − − −a b = =b −
Mặt khác IA=d I( , =) 42(a−1) (2+ b+3) (2+ a+ +b 2)2 =42 (2)
Từ (1) (2) ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
; 3; ; 5; 3; 4;5 ; 5; 2; 104
a b = − − − A − − B − − OA +OB =
Câu 47 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;3 ,) M(−1; 2;3 ,) (N −1;0; 2) mặt phẳng
( )P :x−2y+ + =3z Điểm C a b c( ; ; ) thuộc mặt phẳng ( )P cho tồn điểm B thuộc tia AM, điểm D thuộc tia AN cho tứ giác ABCD hình thoi Giá trị biểu thức a+ +b c bằng?
A −14 B −10 C −12 D.−13 Lời giải
Vì ABCD hình thoi nên AC phân giác góc BAD phân giác góc MAN Vì đường thẳng AC có véc-tơ phương
1
; ;
3 3
AC
u AM AN
AM AN
= + = − − −
( )
1 5; 2;1
= −
Vậy
1
: 2
3
x t
AC y t
z t
= + = + = +
Ta có C= AC( )P nên tọa độ C nghiệm hệ phương trình
( )
2
1
9; 2;1 2
3
x y z
x t
C
y t
z t
− + + =
= +
− −
= +
= +
(100)
Câu 48 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(0;1; 2) đường thẳng : 2
2 1
x− y− z−
= = Mặt phẳng ( )P thay đổi song song với , cách khoảng 2 Khoảng cách từ điểm
M đến ( )P có giá trị lớn bằng?
A 11
6 + B
11 2
6 + C
5
2 + D.
5 2 + Lời giải
Cách
Đường thẳng qua điểm A(3; 2; 2) , véctơ phương u(2;1;1) Gọi H hình chiếu vng góc M lên ;K hình chiếu vng góc H lên ( )P
Theo giả thiết ta có ( )
, 1 1 11
,
6 1 u MA
MH d M
u
+ +
= = = =
+ +
Và / /( )P HK =d(,( )P )=2 Do theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
( )
( ) 11
, 2
6
d M P MKMH+HK = +
Dấu xảy khiM H K, , thẳng hàng thỏa mãn
11
2 MH
MH HK HK
HK
= = ( )P
qua Kvng góc với đường thẳng MH Cách
Mặt phẳng ( )P :ax by+ +cz+ =d Vì / /( )P n uP =0
Do 2a+ + = = −b c c 2a b− ( )P :ax by+ −(2a+b z) + =d Có điểm
(3; 2; 2) / /( ) ( ,( )) ( ,( )) 2
A P d A P =d P =
Vậy ( )
( )2 ( )2
2 2
3 2
2 2
2
a b a b d d a
a b a b a b a b
+ − + + −
= =
+ + + + + +
Khi ( ( )) ( )
( )2 ( )2
2 2
2
,
2
b a b d d a b
d M P
a b a b a b a b
− + + − −
= =
+ + + + + +
Đặt x d,y b
a a
= = ta có điều kiện
( )
( )
( )2 ( )2
2
4
, 2 , 2
1
1 2
x y x y x
d M P
x
y y y y
− − − − −
= = =
−
+ + + + + +
Đến ta dùng điều kiện có nghiệm để tìm giá trị lớn d M( ,( )P )
Câu 49 Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD biết A(1;1;1) điểm C thuộc mặt phẳng
( )P x: + + + =y z Các điểm M(−1;0;3), N(5;1; 2− ) thuộc tia AB, AD Độ dài cạnh
hình thoi ABCD bằng?
(101)Lời giải Ta có AM = − −( 2; 1; 2), AN =(4; 0; 3− ) cos 14
15
MAN = − Gọi F giao điểm AC MN
Ta có AF tia phân giác góc
MAN FM = − AM FN AN
( ) ( )
( )
( ) ( )
5
5
5 3
− − = − − − = − − − = − − − x x y y z z 10 8 = = = x y z
10 ; ; 8
F
Ta có 2; 1; 1(2; 5;1)
8 8
= − = −
AF , nên đường thẳng AF có phương trình 1
2
− − − = =
−
x y z
Ta có C= AF( ) nên tọa độ C nghiệm hệ
1 1
2
1 − − − = = − + + + =
x y z
x y z
5 = = − = x y z
(5; 9;3)
C −
Đặt AB= a Ta có AC2 =BA2+BC2−2BA BC .cosABC
2
120 2 cos
= a + a BAD 120 2 2 14
15
−
= a + a =a 30 Vậy độ dài cạnh hình thoi 30
Câu 50 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng
1 :
1 = + = + = x t
d y t
z
Gọi đường thẳng qua điểm A(1;1;1) có vec tơ phương u= −( 2;1; 2) Đường phân giác góc tù tạo d có phương trình
A
1 27 : 1
1 = + = + = + x t
d y t
z t
B
18 19
:
11 10 = − + = − + = − − x t
d y t
z t
C
1 : 17
1 10 = − = + = + x t
d y t
z t
D.
18 19
:
11 10 = − + = − + = − x t
d y t
z t
Lời giải
Ta có A(1;1;1)= d Đường thẳng d có vec tơ phương u1 =(3; 4; 0) Đường thẳng d có vec tơ phương u2 = −( 2;1; )
Có u u1 = − 2 cos( )u u1, 0 ( )u u1, 90
Do phân giác góc tù tạo d qua A(1;1;1) có vec tơ phương
( ) ( ) ( )
1
1
1 1 1 17
3; 4;0 2;1; ; ; 1;17;10
5 15 15 15
−
= + = + − = = −
u u u
u u
Vậy phương trình đường phân giác góc tù tạo d
1 : 17
1 10 = − = + = + x t
d y t
z t
(102)Câu 51.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng :
1
− = − = −
x y z
d
, : 2
1
− − − = =
−
x y z
d hai điểm A a( ; 0; 0), A(0; 0;b) Gọi ( )P mặt phẳng chứa d d
; H giao điểm đường thẳng AA mặt phẳng ( )P Một đường thẳng thay đổi ( )P
nhưng qua H đồng thời cắt d d B, B Hai đường thẳng AB, A B
cắt điểm M Biết điểm M ln thuộc đường thẳng cố định có véctơ phương
(15; 10; 1)
= − −
u Tính T = +a b?
A T =8 B T =9 C T = −9 D T =6
Lời giải Nhận xét A a( ; 0; 0)Ox A(0; 0;b)Oz
Gọi ( ) mặt phẳng chứa d AB ( ) mặt phẳng chứa d A B Ta có M thuộc đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( )
Theo giả thiết, có véctơ phương u=(15; 10; 1− − ) Mặt phẳng ( ) qua M1(2;5; 2)
và có cặp véctơ phương u1=(1; 2;1) u=(15; 10; 1− − ) ( ) có véctơ pháp tuyến
1= 1;
n u u =(8;16; 40− )=8 1; 2; 5( − )
Phương trình ( ) x+2y−5z− =2 Mặt phẳng ( ) qua M2(2;1; 2) có cặp véctơ phương u2 =(1; 2;1− ) u=(15; 10; 1− − )( ) có véctơ pháp tuyến
2 = 2;
n u u =(12;16; 20)=4 3; 4;5( )
Phương trình ( ) 3x+4y+5z−20=0 Khi A= ( ) Ox nên A(2; 0; 0) A = ( ) Oz
nên A(0; 0; 4) Vậy T = +a b =6 Chọn ý D
B
B d d
A
A M
H
(103)Câu 52 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1; ,− ) (B 2; 2; 2− ), điểm M
di động đường thẳng :
1
x y z−
= = Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA MB+
A 46 1855
3
+
B 46 1855
2
+
C 46 1855
6
+
D 46 1855
12
+
Lời giải Gọi M t( ; ;1t + t) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1 2 6
1 2
MA t t t t t
MB t t t t t
= − + − + + = − +
= − + + + − = + +
Suy MA MB+ = 6t2− + +2t 6t2+ +2t
2
2
1 35 53
6
6
6
t t
= − + + + + +
2
1 35 53
6
6
6
t t
− + + + + +
Chọn đáp án A
Câu 53 Trong không gian cho ba điểm , , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính
A B C D
Lời giải
Ta có ,
Phương trình mặt phẳng
Do tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên
Vậy
Chọn ý C
Oxyz A(1; 2;3) B(3; 4; 4) C(2; 6; 6) I a b c( ; ; )
ABC a+ +b c 63
5
31
46
5 10
(2; 2;1)
AB= BC= −( 1; 2; 2) AB BC, =(2; 5; 6− )
(ABC) 2x−5y+6z−10=0
( ; ; )
I a b c ABC
( )
I ABC IA IB IA IC
= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 10
1 3 4
1 6
a b c
a b c a b c
a b c a b c
− + − =
− + − + − = − + − + −
− + − + − = − + − + −
3
2 10 10
4 27
2 62 49
10 a
a b c
a b c b
a b c
c
=
− + =
+ + = =
+ + =
=
(104)Câu 54 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm hai đường thẳng , Đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng , hai điểm , Độ dài đoạn thẳng
A B C D
Lời giải
Vì thuộc nên
Vì thuộc nên
Suy ,
Ta có, , , thẳng hàng
Từ ( ) ( )1 , ta có
Thay vào ( )3 ta ,
Với , ta , suy thỏa mãn
Chọn ý A
Câu 55 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
Trên đường thẳng lấy hai điểm , thỏa mã Trên đường thẳng lấy hai điểm , thỏa mãn Tính thể tích tứ diện
A B C D
Lời giải
Ta có qua điểm có vtcp
Đường thẳng qua điểm có vtcp
Khi
Do nên hai đường thẳng cho chéo
Oxyz M(2; 1; 6− − )
1
1 1
:
2 1
x y z
d − = − = +
−
2
:
3
x y z
d + = + = − M
1
d d2 A B AB
38 10 12
A
1 1
:
2 1
x y z
d − = − = +
− A(1 ;1+ t − − +t; t)
B 2: 2
3
x y z
d + = + = − B(− +2 ; 1t − +t; 2+2t)
(2 1; ;5 )
MA= t− −t +t MB= − +( ; ;8 2t t + t)
A B M
;
MA MB
=
2
2
0
0
t t t t t t t t t t t t − − = − + − + = + + − = + − +
5 (1) 16 (2) 20 17 14 (3) tt t t
tt t t
tt t t
− − + = − − − + = − + + − =
5
2
tt t t
t t − − + = = − +
3 2 t t t t − + = = − + 1, 2, t t t t = = = = t= t =2
t= t =2 A(3; 0; 0) B(4;1; 6) AB= 38
Oxyz
1
: 2
3
x t
d y t
z t = + = − = − −
:
1
x t
d y t
z t = + = + = −
d A B AB=3 d2
C D CD=4 V ABCD
7
V = V =2 21 21
3
V = 21
6 V =
1
d M(1; 2; 3− ) u1=(1; 2; 1− − )
2
d N(4;3;1) u2 =(3; 2; 1− )
( )
1, 4; 2;8
u u
= −
MN =(3;1; 4)
1, 12 32 42
u u MN
= − + =
(105)
Mặt khác, nên
Vậy
Chọn ý B
Câu 56 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng Đường thẳng qua điểm cắt , , Tính tỉ số
A B C D
Lời giải
Ta có qua có vectơ phương ; qua có vectơ
phương
Vì nên , chéo
Gọi mặt phẳng qua song song với , đó: Khi
Chọn ý D
Câu 57 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2
x y z
m
− = − = +
−
và đường thẳng 2:
2
x y z
m
− − +
= =
− − cắt điểm C Gọi A B hai điểm nằm
trên 1và 2, cho AB=6 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC đạt giá trị lớn bằng:
A 4 B 3 C 2 D.2
Lời giải Dễ thấy =1 2 C(1; 2; 3− )
sinACB ( ( ))
2
1 cos u ,u
= −
2 2
1 u u
u u = − 2 m m − = − +
Xét hàm số ( ) ( ) ( )( )
( )
2
2
2 2
1
2
' 0; 1;
5 5
m m
m m
f m f m m m m
m m m
+ − − − = = = = = − = + + +
Lập bảng biến thiên ta có
( )
1
1
, 42
;
16 64 ,
u u MN d d d
u u = = + + 21 =
1
u u = d1 ⊥d2
( ) ( )
1
; sin ,
ABCD
V = AB CD d AB CD AB CD =2 21
Oxyz 1: 1
1 1
− = − = +
x y z
d
2
1
:
2
x y z
d + = − =
− M(1;1;1) d1 d2 A B
MA MB MA MB = MA MB = MA
MB = =2
MA MB
1
d I(1;1; 1− ) u1 =(1;1;1) d2 J(−1;1; 0)
( )
2 2; 1;
u = −
( )
1, 3; 0;3
u u
= −
u u1, 2.IJ 0 d1 d2
( )P M(1;1;1) d1 d2 ( )P :x− =z
MA MB
( )
( )
( )
( 12 )
, , d d P d d P
= ( ( ))
( )
( )
, , d I P d J P
=
1
(106)( ) 2 ( )
1
max sin 1
4
m
f m ACB f m
m
−
= = − = − − =
+
Suy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là:
AABC
6
2sinA 2sin B
AB R
CB AC
= = 3 max
3 sin
2
ABC
R
ACB −
= = =
Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1; 1− ) đường thẳng
:
x a at
y t
z b bt
= − +
= − = − +
, với a b tham số thực Khi khoảng cách từ A đến đường thẳng đạt giá trị lớn biểu thức 2
4 2019
T =a +b + b+ a+ đạt giá trị nhỏ tương ứng bằng:
A 2014 B 2015 C 2016 D 2020 Lời giải
Nhận thấy nhanh:
( ) ( )
1
:
1
x a t
y t
z b t
= − +
= −
= −
, qua điểm B(1;1; 0) với t=1 Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng Suy ra:
( ; ) ( ; )max
d A = AH AB= d A = AB= Xảy B hình chiếu vng góc A lên đường thẳng
( ) ( )
0 2; 0;1 ; 1; 2
ABu a b a b b a
= − − − = + = = −
Thay vào : T =a2+b2+4b−2a+2019=a2+4a2−8a−2a+2019=5a2−10a+2019
( 2 ) ( )2
5 2014 2014 2014
T = a − a+ + = a− + Dấu “=” xảy khi: a= −1;b=2 Vậy ta chọn đáp án A
Câu 59 Trong không gian , cho mặt phẳng , đường thẳng điểm Gọi đường thẳng nằm mặt phẳng , song song với đồng thời cách khoảng Đường thẳng cắt mặt phẳng điểm Độ dài đoạn thẳng
A B C D
Lời giải Cách
Oxyz ( ) : 2x+ −y 2z− =2
1
:
1 2
x y z
d + = + = + 1;1;1
2 A
( )
d d (Oxy)
B AB
7
21
7
(107)Ta có: nên
qua có véctơ phương Ta có: nên song song với nằm mặt phẳng
Gọi
Gọi , suy thỏa hệ
Do qua có VTCP
Gọi Ta có:
Gọi hình chiếu lên Ta có
Ta có nên
Vậy
Cách2: Ta có: qua có VTCP
Ta có: , nên
Ta có: nên
Ta có: ;
Do
Vậy
BOxy B( ) B a( ; 2 ; − a )
1
:
1 2
x y z
d + = + = + M(− − −1; 2; 3) u=(1; 2; 2)
( )
d d ( )
( )
C= d Oxy
1
: 2
0
x y z
C z
+ + + = =
=
1 ;1;
C
( ) ( )
d = Oxy d ( )
( )
: 2
: x y z Oxy z
+ − − =
=
d 1;1; C
ud =(1; 2; 0− )
( ,d ) (d d, )
= = cos cos( , )
5 d d
u u
= =
H C CH =3
sin
CH BC
= =
(0; 0; 1)
AC= − AC⊥(Oxy) AC⊥BC
2 45
1
4
AB= AC +BC = + =
1
:
1 2
x y z
d + = + = + M( 1; 2; 3)− − − u=(1; 2; 2)
( )
B= Oxy ( ) B(Oxy) ( ) B a( ; 2 ; − a )
//d
d(,d)=3 d B d( ; )=3
;
3 u MB
u
=
( 1; ;3)
MB= a+ − a u MB; = (4a−2; 2a−1; 4− a) ;
3 u MB
u
= (2 1)2 ( )2
3
3 a
a
−
= − =
( )
2
2
1
1
2
AB= a− + − a + = + + =
A d
H B
(108)Chọn ý A
Câu 60 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4đường thẳng có phương trình
1
2 :
2
x t
d y t
z t
= − = +
= − +
, 2
2
:
1
x t
d y
z t
= − =
= − +
, 3
1
:
3
x t
d y t
z t
= + = − = −
, 4
1
:
2
x t
d y t
z t
= + = − = +
Đường thẳng cắt đường thẳng có vectơ phương tương ứng
A (2; 13;11− ) B (4; 26; 23− ) C (12; 21;11− ) D (−2;1;3) Lời giải
Với dạng tốn này, ta phải tìm đường thẳng cho có hai đường thẳng đồng phẳng với nhau.Hai đường thẳng song song với cắt Trường hợp song song dễ tìm, trường hợp cắt khó nhìn u cầu phải thử cặp (tối đa phải thử lần)
Ở toán ta dễ dàng nhận thấy hai đường thẳng d1 d3 Suy tồn mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng d1 d3 Ta lập mặt phẳng ( ) sau:
• Chọn điểm M1(2;1; 2− ) d1 điểm M3(2;1; 2− ) d3 Cặp VTCP mặt phẳng
( ) u1 = −( 1; 2;1) M M1 = − −( 1; 1;5) Suy VTPT mặt phẳng ( )
( )
( ) 1, 11; 4;3
u =u M M =
• Suy phương trình tổng qt mặt phẳng ( ) :11 x+4y+3z−20=0
Ta dễ dàng tìm giao điểm đường thẳng d2 với mặt phẳng ( ) là:
( )
2
1
; 4;
3
A=d =
Giao điểm đường thẳng d4 với mặt phẳng ( ) là: 4 ( ) ;10;
7 24
9
B=d =
Đường thẳng cắt đường thẳng d1, d2, , d3 d4 bắt buộc phải cắt đường thẳng d2 điểm
A cắt d4 điểmB Suy phải qua hai điểm A B Suy VTCP đường thẳng là:
( )
4 26 23
; ; 4; 26; 23
9 9
AB= − = −
1
d
3
d
2
d d4
A
B
(109)Chú ý VTCP phải không song song với hai đường thẳng d 1 d Chỉ cần song song 3
với đường thẳng 4 đường thẳng cho không thỏa mãn Ở tốn dễ thấy khơng song song với đường thẳng
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 61 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình
1
3
:
1
x t
d y t
z t = − = + = − +
, 2
3
:
1
x t
d y t
z t = − = + = +
, 3
4
:
2
x t
d y t
z t = + = − = −
, 4
1 : 2 x t d y z t = + = = −
Đường thẳng cắt đường thẳng có phương trình tắc tương ứng là:
A
1 13 18
x− y− z−
= =
− B
1
1
x− y− z
= =
C
2
x− y z−
= =
− D
2
3 12
x− y− z
= = −
Lời giải
Trong đường thẳng cho có đường thẳng đồng phẳng Nhận thấy khơng có hai đường thẳng song song với nên ta phải tìm cặp đường thẳng cắt tạo nên mặt phẳng chứa chúng Về lý thuyết phải thử tối đa phép thử để tìm hai đường thẳng cắt
Ta tìm hai đường thẳng cắt d2d4 =(4; 2; 1− ) Ta lập phương trình mặt phẳng
( ) chứa hai đường thẳng
Cặp véctơ phương mặt phẳng là: u2 = −( 1;1; 2), u4 =(3; 0; 2− ) Suy VTPT n( ) =u u2, 4= −( 2; 4; 3− )
Khi phương trình mặt phẳng là: ( ) − +: 2x 4y−3z− =3
Gọi ( )
11 ; ;
5 5
A= =d −
; B=d3 =( ) (2; 4;3)
Đường thẳng cắt đường thẳng nên phải qua AB Khi 13 18; ; 1( 1;13;18)
5 5
AB= − = −
Phương trình đường thẳng qua B có VTCP a= −( 1;13;18) là:
1 13 18
x− = y− = z−
−
Câu 62 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình
1
1
:
2
x t
d y t
z t = − = + =
, 2
2 :
2
x t
d y t
z t = − = = − +
, 3
4
:
3
x t
d y t
z t = + = + = − −
, 4
4
:
1
x t
d y t
z t = + = + = +
Đường thẳng cắt đường
thẳng cắt mặt phẳng (Oyz) điểm có cao độ
A 3 B 1
C −4 D 2 Lời giải
Nhận thấy hai đường thẳng d1//d2 Suy tồn mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng d1
2
(110)Chọn điểm M1(1; 2; 0)d1 điểm M2(2; 0; 2− ) d2 Cặp vec tơ phương mặt phẳng
( ) u1 = −( 1;1; 2) M M1 2 =(1; 2; − − ) Suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )
( )
1; 2; 0;1
u =u M M =
Suy phương trình mặt phẳng ( ) : 2x+ − =z
Ta dễ dàng tìm giao điểm đường thẳng d3 với mặt phẳng ( ) A=d3 =( ) (2;3; 2− ) Giao điểm đường thẳng d4 với mặt phẳng d4 với mặt phẳng ( ) B=d4 =( ) (1;3; 0)
Đường thẳng cắt đường thẳng d d d d1, 2, 3, 4 hì bắt buộc phải cắt đường thẳng d3 điểm A
và cắt d4 điểm B Suy đường thẳng phải qua A B
Vec tơ chi phương đường thẳng AB= −( 1; 0; ) Suy phương trình tham số
1
:
2
x t
y z t
= −
=
=
Suy (Oyz) (= 0;3; )
Câu 63 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1: 3
2
x− y+ z−
= =
−
đường thẳng
1 2
:
2
x+ y− z−
= =
− Gọi Alà giao điểm 1 2, điểm B 1 C 2
, điểm D(Oxy)có tọa độ ngun, cho tứ giác ABCDlà hình thoi Khoảng cách từ Dđến gốc
tọa đọo O bằng:
A 20 B 9 C 6 D 8 Lời giải
Dễ dàng tìm giao điểm A= =1 2 (1; 0;1)
tứ giác ABCDlà hình thoi, nên suy Dnằm đường phân giác góc BAC VTCP hai đường thẳng là: u1 =(2; 1; 2− )và u2 = −( 2; 2;1)
sẽ có hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2
Trường hợp Ứng với đường phân giác có VTCP
( ) ( ) ( )
1 2
2; 1; 2; 2;1 1 0; ;1 0;1;3
3 3
d
u u
u
u u
− −
= + = + = =
d
B 1
2
C A
(111)Suy ra, phương trình tham số đường phân giác
1 :
1 x d y t
z t
= = = +
Suy ( ) 1; 1;0
3 D= d Oxy = −
Không thỏa mãn tọa độ D khơng ngun
Trường hợp Ứng với đường phân giác có VTCP
( ) ( ) ( )
1 2
2; 1; 2; 2;1 1
; 1; 4; 3;1
3 3 3
d
u u
u
u u
− −
= − = − = − = −
Suy ra, phương trình tham số đường phân giác
1 ' :
1
x t
d y t
z t
= + = − = +
Suy ra: D'= d' (Oxy) (= −3;3; 0)OD'=9 Vậy ta chọn đáp án B
Câu 64 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1:
2
x y z−
= =
− đường
thẳng 2:
1 2
x− y− z+
= =
− Gọi Alà giao điểm 1 2, điểm B 1, C 2và
( ): 0,
D x− + =y cho tứ giác ABCDlà hình thoi với BAC90 Đường thẳng BCcắt mặt phẳng ( ) :x+ − =y điểm E cách gốc tọa độ O khoảng OEbằng:
A 6 B 4 10 C 3 13 D 2 19
Lời giải
Dễ dàng tìm giao điểm A= =1 (2;1; 0)
tứ giác ABCDlà hình thoi với BAC90 , nên suy Dnằm đường phân giác góc tù BAC VTCP hai đường thẳng là: u1=(2;1; 2− )và u2 =(1; 2; 2− )
ta kiểm tra góc tạo hai VTCP: u u1 2 = − 4 góc tạo hai vecto góc tù
Ghi nhớ: Nếu tích vơ hướng dương góc tạo hai véc tơ góc nhọn ta phải sử dụng VTCP đường phân giác góc tù là:
1
d
u u
u
u u
= −
Đường phân giác góc tù BAC có VTCP
d
B 1
2
C A
(112)( ) ( ) ( )
1 2
2;1; 1; 2; 1
1; ; 3; 1;
3 3
d
u u
u
u u
− −
= + = + = − = −
Suy ra, phương trình tham số đường phân giác
2
:
0
x t
d y t
z
= + = − =
Suy D= = −d ( ) ( 1; 2; 0)
Ta có điểm A(2;1;0 ,) (D −1; 2; 0), B 1 B(2 ; ; 2t t1 −2t1),C 2 C(1+t2;3 ; 2− t2 − +2t2)
Tứ giác ABCDlà hình thoi suy
( ) ( )
1 1 2
2
0 2; 1; 2 2; 1; 2
0 t
AB CD t t t t t t
t
=
= − − − = − − − −
=
Suy ra: B(0; 0; ,) (C 1;3; 2− ) Suy đường thẳng : x t BC y t
z t
= = = −
Suy ra: ( ) ( 0) (2; 6; 6)
2 x t
E BC y t x y
z t
=
= = = + − = = −
= −
(113)Tóm tắt nội dung
Tiếp tục với nội dung ta tìm hiểu phần trước, chủ đề lần ta
tìm hiểu vềcác tốn phương trình mặt phẳng
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
Vectơ n0 vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với mặt phẳng ( ) Chú ý:
• Nếu n VTPT mặt phẳng ( ) k n (k 0) VTPT mặt phẳng
( ) Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT
• Nếu u v, có giá song song nằm mặt phẳng ( ) n= u v, VTPT ( ) II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
• Trong khơng gian Oxyz, mặt phẳng có dạng phương trình:
0
+ + + =
Ax By Cz D vớiA2 +B2+C2 0
• Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax+By+Cz+ =D có VTPT n A B C( ; ; )
• Phương trình mặt phẳng qua điểm M0(x y z0; 0; 0) nhận vectơ n A B C( ; ; ) khác
VTPT là: A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=0
• Các trường hợp riêng
Xét phương trình mặt phẳng ( ) :Ax+By+Cz+ =D với A2+B2+C2 0
▪ Nếu D=0thì mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O
▪ Nếu A=0,B0,C0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Ox
Chương
3 Các toán về phương
(114)▪ Nếu A0,B=0,C0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oy
▪ Nếu A0,B0,C=0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oz
▪ Nếu A= =B 0,C 0 mặt phẳng ( ) song song trùng với (Oxy)
▪ Nếu A= =C 0,B0 mặt phẳng ( ) song song trùng với (Oxz)
▪ Nếu B= =C 0,A0 mặt phẳng ( ) song song trùng với (Oyz) Chú ý
Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) :x+ + =y z
a b c Ở ( ) cắt trục tọa độ điểm (a; 0; 0), (0; ; 0b ), (0; 0;c) với abc0
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng ( ) :A x1 +B y1 +C z1 +D1=0 ( ) :A x2 +B y2 +C z2 +D2 =0
• ( ) ( ) // 1 1 2 2
= =
A B C D
A B C D
• ( ) ( ) 1 1 2 2
= = =
A B C D
A B C D
• ( ) cắt ( ) 1 1 1 2 2 2
A B B C A C
A B B C A C
• ( ) ( ) ⊥ A B1 1+A B2 2+A B3 =0
IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x y z0; 0; 0) mặt phẳng ( ) :Ax+By+Cz+ =D
Khi khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) tính: ( )
( ) 0
0, 2 2 2
+ + + =
+ +
Ax By Cz D
d M
A B C
Chú ý Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng
V GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ) :A x1 +B y1 +C z1 +D1 =0 ( ) :A x2 +B y2 +C z2 +D2 =0
Góc ( ) ( ) bù với góc hai VTPT n n, Tức là:
( ) ( )
( ) ( ) 2
2 2 2 1 2
cos , cos ,
+ +
= = =
+ + + +
n n A A B B C C
n n
n n A B C A B C
(115)B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phương pháp Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A(1; 0; 2− ) có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2− )
Lời giải
Mặt phẳng ( )P qua điểm A(1; 0; 2− ) có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2− ) có phương trình là:
( ) ( ) ( )
1 x− −1 y− +0 z+2 =0 − +x y 2z+ =3 Vậy phương trình mặt phẳng ( )P x− +y 2z+ =3
Dạng Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M0(x y z0; 0; 0)và song song với mặt phẳng cho trước
Phương pháp
Cách Thực theo bước sau:
• VTPT ( ) n =(A B C; ; )
• ( ) //( ) nên VTPT mặt phẳng ( ) n =n=(A B C; ; )
• Phương trình mặt phẳng ( ) :A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=0
Cách
• Mặt phẳng ( ) //( ) nên phương trình ( )P có dạng: Ax+By+Cz+D=0( )* , với D D
• Vì ( )P qua điểm M0(x y z0; 0; 0)nên thay tọa độ M0(x y z0; 0; 0) vào ( )* tìm D
Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(0;1;3)và song song với mặt phẳng ( )Q : 2x−3z+ =1
Lời giải
Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng( )Q : 2x−3z+ =1 0nên mặt phẳng ( )P có phương trình dạng 2x−3z+ =D 0(D1)
Mặt phẳng ( )P qua điểm M(0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải
thỏa mãn Ta được: 2.0 3.3− +D= 0 D=9(thỏa mãn D1 ) Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: 2x−3z+ =9
Dạng Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm A, B, C không thẳng hàng Phương pháp
• Tìm tọa độ vectơ: AB AC,
• Vectơ pháp tuyến của( ) : n = AB AC,
• Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C)
(116)Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; ,− ) B(1;1;1) ,
(0; 1; 2− )
C
Lời giải
Ta có AB=(0;1;3 ,) AC= − −( 1; 1; 4) AB AC, =(7; 3;1− ) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) ta có ⊥
⊥
n AB n AC
nên n phương với
,
AB AC
Chọn n=(7; 3;1− ) ta phương trình mặt phẳng (ABC)là
( ) ( ) ( )
7 x− −1 y− +0 z+2 =0 7x−3y+ − =z
Dạng Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M vuông góc với đường thẳng Phương pháp
• Tìm VTCP u
• Vì ( ) ⊥ nên ( ) có VTPT n =u
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n
Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm O vng góc với đường thẳng :
2
=
= − +
= +
x t
d y t
z t
Lời giải Đường thẳng d có vectơ phương là: ud =(1; 2;1)
Mặt phẳng ( ) vng góc với đường thẳng dnên ( ) có vectơ pháp tuyến n=ud =(1; 2;1) Đồng thời ( ) qua điểm O nên có phương trình là: x+2y+ =z
Dạng Viết phương trình mặt phẳng( ) chứa đường thẳng , vng góc với mặt phẳng ( )
Phương pháp
• Tìm VTPT ( ) n
• Tìm VTCP u
• VTPT mặt phẳng ( ) là: n = n u;
• Lấy điểm M
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng : 2
= −
= − +
= +
x t
d y t
z t
và vuông góc với ( ) :x+2y− + =z
Lời giải
(117)Mặt phẳng ( ) có VTPT n =(1; 2; 1− )
Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng dvà vng góc với ( ) nên ( ) có vectơ pháp tuyến
( ) ( )
, 4; 0; 4 1; 0;1
= d = − − = −
n u n
Phương trình mặt phẳng ( ) là: x+ − =z
Dạng Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng ( )
Phương pháp
• Tìm VTPT ( ) n
• Tìm tọa độ vectơ AB
• VTPT mặt phẳng ( ) là: n = n AB,
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm A(1; 2; 2− )
( )
,B 2; 1; 4− vng góc với ( ) :x−2y− + =z
Lời giải
Có AB=(1; 3; 6− ) Mặt phẳng ( ) có VTPT n=(1; 2; 1− − )
Mặt phẳng ( ) chứa A, B vng góc với ( ) nên ( ) có vectơ pháp tuyến
( )
, 15; 7;1
= =
n AB n
Phương trình mặt phẳng ( ) là: 15x+7z+ −1 27=0
Dạng Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng song song với (, chéo nhau)
Phương pháp
• Tìm VTCP u u'
• VTPT mặt phẳng ( ) là: n = u u,
• Lấy điểm M
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P chứa đường thẳng 1
1 :
1
= = − = +
x
d y t
z t
và song song với đường thẳng
1
:
1 2
− −
= =
x y z
d
Lời giải
Đường thẳng d1 qua điểm M1(1;1;1) vectơ phương u1(0; 2;1− ) Đường thẳng d2 qua điểm M2(1; 0;1) vectơ phương u2(1; 2; 2)
Ta có u u1, 2 = − ( 6;1; 2)
Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P , ta có
2
⊥
⊥
n u n u
(118)Chọn n= −( 6;1; 2)
Mặt phẳng ( )P qua điểm M1(1;1;1) nhận vectơ pháp tuyến n= −( 6;1; 2)có phương trình:
( ) ( ) ( )
6 1
− x− + y− + z− = − + +6x y 2z+ =3 Thay tọa độ điểm M2vào phương trình mặt phẳng ( )P thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là:− + +6x y 2z+ =3
Dạng Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng điểm M
Phương pháp
• Tìm VTCP u, lấy điểm N trên Tính tọa độ MN
• VTPT mặt phẳng ( ) là: n = u MN;
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng
1 :
1
= = − = +
x
d y t
z t
và điểm M(−4;3; 2)
Lời giải
Đường thẳng d qua điểm N(1;1;1) vectơ phương ud(0; 2;1)− Ta có MN =(5; 2; − − )
Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d điểm M nên ( ) có vectơ pháp tuyến là:
( )
, 4;5;10
= d =
n u MN
Phương trình mặt phẳng ( ) là: 4x+5y+10z−19=0
Dạng Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng cắt .
Phương pháp
• Tìm VTCP u u'
• VTPT mặt phẳng ( ) là: n = u u; '
• Lấy điểm M
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1
1 :
1
= = − = +
x
d y t
z t
2
1 :
1
= + = − = +
x t
d y t
z t
Lời giải
Đường thẳng d1 qua điểm M1(1;1;1) vectơ phương u1(0; 2;1− )
(119)Ta có u u1, 2 =(0;3; 6), M M1 2 =(0; 0; 0)
Do M M1 2u u1, 2 = nên đường thẳng d d1, cắt
Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d d1, cắt nên ( ) có vectơ pháp tuyến là:
( ) ( )
1, 0;3; 0;1; = = =
n u u
Phương trình mặt phẳng ( ) là: y+2z− =3
Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa song song
Phương pháp
• Tìm VTCP u u, lấy M ,N
• VTPT mặt phẳng ( ) là: n = u MN;
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng 1
1 :
1
= = − = +
x
d y t
z t
và 2
4
:
1
=
= −
= +
x
d y t
z t
Lời giải
Đường thẳng d1 qua điểm M1(1;1;1) vectơ phương u1(0; 2;1− )
Đường thẳng d2 qua điểm M2(4;3;1) vectơ phương u2(0; 4; 2− )
Ta có u u1, 2 = 0, M M1 2 =(3; 2; )
Do u u1, 2 = nên đường thẳng d d1, 2 song song
Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d d1, 2 song song nên ( ) có vectơ pháp tuyến là:
( ) ( )
1, 2;3; 2; 3; = = − = − − −
n u M M
Phương trình mặt phẳng ( ) là: 2x−3y−6z+ =7
Dạng 11 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M song song với hai đường thẳng
chéo cho trước Phương pháp
• Tìm VTCP ’ u u'
• VTPT mặt phẳng ( ) là: n = u u;
(120)Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P qua điểm A(1; 0; 2− )và song song với hai đường thẳng 1
1 :
1 x
d y t
z t
= = − = +
2: 1
1 2
x y z
d − = = −
Lời giải
Đường thẳng d1 qua điểm M1(1;1;1) vectơ phương u1(0; 2;1− )
Đường thẳng d2 qua điểm M2(1; 0;1) vectơ phương u2(1; 2; 2) Ta có u u1, 2 = − ( 6;1; 2)
Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P , ta có
2
n u n u
⊥
⊥
nên n phương với u u1, 2
Chọn n= −( 6;1; 2) ta phương trình mặt phẳng ( )P là:
( ) ( ) ( )
6 x 1 y z
− − + − + + = − + +6x y 2z+10=0
Dạng 12 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng
( ) ( )P , Q cho trước
Phương pháp
• Tìm VTPT ( )P ( )Q nP nQ
• VTPT mặt phẳng ( ) là: n = n nP; Q
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(− −1; 2;5) vng góc với hai mặt phẳng ( )Q :x+2y−3z+ =1 ( )R : 2x−3y+ + =z
Lời giải
VTPT ( )Q n( )Q (1; 2; 3− ), VTPT ( )R nR(2; 3;1− )
Ta có n nQ, R = − − − ( 7; 7; 7) nên mặt phẳng ( )P nhận n(1;1;1) VTPT ( )P qua điểm
( 1; 2;5)
M − − nên có phương trình là: x+ + − =y z
Dạng 13 Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) cách
( ) :Ax+By+Cz+ =D khoảng k cho trước Phương pháp
• Trên mặt phẳng ( ) chọn điểm M
• Do ( ) //( ) nên ( ) có phương trình Ax+By+Cz+D=0 (D D)
• Sử dụng công thức khoảng cách d(( ) ( ) , =) d M( ,( ) =) k để tìm D
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng
(121)Trên mặt phẳng ( )Q :x+2y−2z+ =1 0chọn điểm M(−1; 0; 0)
Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình mặt phẳng ( )P có dạng:
2
x+ y− z+ =D với D1 Vì d(( ) ( )P , Q )=3 d(( )P ,M)=3
( )2 2
1
3
1 2
D
− +
=
+ + − − +1 D =9
8 10 D D
= − =
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x+2y−2z− =8 0và x+2y−2z+10=0
Dạng 14 Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) :Ax+By+Cz+ =D 0cho trước cách điểm M khoảng k cho trước
Phương pháp
• Do ( ) //( ) nên ( ) có phương trình Ax+By+Cz+D=0 (D D)
• Sử dụng cơng thức khoảng cách d M( ,( ) =) k để tìm D
Ví dụ. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng
( ) :Q x+2y−2z+ =1 ( )P cách điểm M(1; 2;1)− khoảng Lời giải:
Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình mặt phẳng ( )P có dạng:
2
x+ y− z+ =D với D1 Vì d(( )P ,M)=3
( )2 2
1
3
1 2
D
− − +
=
+ + − − +5 D =9
4 14 D D
= − =
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán x+2y−2z− =4 0và x+2y−2z+14=0
Dạng 15 Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( )S Phương pháp
• Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu ( )S
• Nếu mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( )S M( )S mặt phẳng ( ) qua điểm
M có VTPT MI
• Khi tốn khơng cho tiếp điểm ta phải sử dụng kiện tốn tìm VTPT mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+ =D (D chưa biết)
• Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I( ,( ) =) R để tìm D
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng
( )Q :x+2y−2z+ =1 tiếp xúc với mặt cầu ( )S :x2+y2+z2+2x−4y−2z− =3
Lời giải
Mặt cầu ( )Q có tâm I(−1; 2;1) bán kính R= ( )−1 2+22+ + =12 3
Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình mặt phẳng ( )P có dạng:
2
(122)( )
( , )
d I P = =R
( )2 2
1
3
1 2
D
− + − +
=
+ + − +1 D =9
10 D D
= − =
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x+2y−2z−10=0và x+2y−2z+ =8
Dạng 15 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng tạo với mặt phẳng
( ) :Ax+By+Cz+ =D 0cho trước góc cho trước Phương pháp
• Tìm VTPT ( ) n
• Gọi n(A B C ; ; )
• Dùng phương pháp vơ định giải hệ: (n n; ) n
n u
=
⊥
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
Ví dụ Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng ( )P đường thẳng d có phương trình
( )P :x+2y− + =z : 1
x
d + = + = −y z Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng ( )P góc 600
Lời giải
Giả sử mặt phẳng ( )Q có dạng Ax+By+Cz+ =D 0(A2+B2+C2 0 )
Chọn hai điểm M(− −1; 1;3 ,) (N 1; 0; 4)d
Mặt phẳng ( )Q chứa d nên M N, ( )Q ( )1 ( )1
7
.1
A B C D C A B
D A B
A B C D
− + − + + =
= − −
= +
+ + + =
Suy mặt phẳng có phương trình Ax+By+ −( 2A B z− ) +7A+4B=0 có VTPT
( ; ; ) Q
n = A B − A B−
( )Q tạo với mặt phẳng ( )P góc 600
( ) ( ) ( ) ( )
0
2
2 2
2
cos 60
2
2
A B A B
A B
A B A B
+ + +
= = =
+ + + + + −
Cho B=1 ta đượcA=(42 3)
Vậy có phương trình mặt phẳng
( ) ( )
( ) ( )
4 32 14
4 32 14
x y z
x y z
− + + − + + − =
(123)MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu
Cho mặt phẳng ( )P :x+ + =y z Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua M(1; 0; 1− ), chứa giá vectơ u(2; 2; 1− ) vng góc với mặt phẳng ( )P
Lời giải
Ta có vectơ pháp tuyến ( )P n(1;1;1), n u, = − ( 3;3; 0)
Mặt phẳng ( )Q chứa giá vectơ u(2; 2; 1− ) vng góc với mặt phẳng ( )P có VTPT (1; 1; 0− )
và qua M(1; 0; 1− ) nên có phương trình
( ) ( ) ( )
1 x− −1 y− +0 z+ =1 − − =x y
Câu
Lập phương trình mặt phẳng ( )Q qua M(4;9; 12− ) cắt tia Ox Oy Oz, ,
, ,
A B C cho OC=OA OB+ 1
OC =OA+OB
Lời giải
Gọi A a( ; 0; 0), B(0; ; 0b ),C(0; 0;c),(a b c, , 0) Phương trình mặt phẳng ( )Q qua A B C, , có dạng
1 x y z
a+ + =b c (phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn)
Từ giả thiết ta có
4 12
4 1 a b c c a b
c a b
+ − =
= +
= +
( )
2
4 12 12
1
4 1 0
a b a b a b a b
c a b c a b
a b a b a b
+ = + + = +
+ +
= + = +
− =
= +
+
13
7
14 a a
a b
c a
c a b
− =
= =
= =
=
Vậy mặt phẳng ( )Q 7 14 x+ +y z =
2x 2y z 14
+ + − =
Câu
Lập phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(− −4; 9;12), A(2; 0; 0) cắt tia Oy, Oz B, C cho OB= +1 OC (B, C không trùng gốc O)
Lời giải
Gọi B(0; ; 0b ), C(0; 0;c) (b0;c0 mặt phẳng ( )P cắt tia Oy, Oz B, C ) Khi phương trình mặt phẳng ( ):
2
x y z P
b c
+ + = Có b= +1 c Có M(− −4; 9;12) ( ) P 12
2 b c
− −
+ + = ,
Ta có hệ phương trình:
0;
3
4 12
1
2
1
b c
b c
b c
b c
− − = + + =
=
= +
(124)Suy phương trình mặt phẳng ( ): x y z
P + + =
Câu
Cho hai điểm A(2; 0;1), B(0; 2;3− ) mặt phẳng ( )P :2x− − + =y z Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P cho MA=MB=3
Lời giải Gọi M(x; ;y z), điểm M thuộc ( )P cho MA=MB=3
Ta có ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 2 4 0 2 2
2
7 11
2
2
x y z x y z x y
x y z x y z z y
y y
x y z
x y z
− − + = − − + = = −
− + + − = + − + = =
− + =
− + + − =
+ + + − =
Suy (x y z; ; ) (= 0;1;3) ( ; ; ) 12; ; 7 x y z = −
Do M(0;1;3) 12; ; 7 M−
Câu
Cho điểm A(−1;3; 2− ) mặt phẳng ( )P :x−2y−2z+ =5 Tính khoảng cách từ A đến ( )P Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với ( )P
Lời giải Khoảng cách từ A đến ( )P : ( ,( ))
3 4
− − + +
= =
+ +
d A P
Gọi ( )Q mặt phẳng cần tìm
Mặt phẳng ( )Q qua A có vectơ pháp tuyến n=(1; 2; 2− − ) Vậy phương trình ( ) (Q :1 x+ −1) (2 y− −3) (2 z+2)= −0 x 2y−2z+ =3
Câu
Cho A(0; 0;3), M(1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A cắt trục Ox Oy, B C, cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM
Lời giải Ta có BOxB b( ; 0; ,) COyC(0; ; 0c ) Mặt phẳng ( )P có dạng:
3 x y z
b+ + =c trọng tâm ABC 3; ;1 b c G
Có AM =(1; 2; 3− ) Phương trình đường thẳng :
1
x y z
AM = = −
−
Vì GAMnên
3
b = =c −
− =b 2,c=4
Vậy phương trình ( )P : 12
x y z
x y z
(125)Câu
Cho ba điểmA(0;1; 2), B(2; 2;1− ), C(−2; 0;1)
• Viết phương trình mặt phẳng qua A B C, ,
• Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng2x+2y+ − =z cho MA=MB=MC Lời giải
• ( )
( ) ( )
2; 3;
2; 4; 2; 1;
AB
n AB AC AC
= − −
= = −
= − − −
,
Mặt phẳng qua A B C, , có vectơ pháp tuyến n=(2; 4; 8− ) hay u=(1; 2; 4− )
Suy phương trình mặt phẳng (ABC)là 1(x− +0) (2 y− −1) (4 z−2)=0 hay x+2y−4z+ =6
• M thuộc mặt phẳng 2x+2y+ − = z M a b c( ; ; )thỏa mãn 2a+2b+ − =c 0( )1
VìMA=MB=MCnên
2 2
MA MB
MA MC
=
=
hay
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2
2
1 2
1 2
a b c a b c
a b c a b c
+ − + − = − + + + −
+ − + − = + + + −
( )2
Từ ( )1 ( ) ( )
2
2 2;3;
4 2
a b c a
a b c b M
a b c c
+ + = =
− − = = −
+ + = = −
Câu
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2; 4)− cho ( )P cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , cho M trọng tâm tam giác ABC
Lời giải Gọi A a( ; 0; 0), B(0; ; 0b ) ,C(0; 0;c) với abc0
Phương trình mặt phẳng ( )P x y z a+ + =b c
M trọng tâm tam giác ABC suy
0
0
2 3; 6; 12
3 0
4
a b
a b c
c
+ +
=
+ +
= − = = − =
+ +
=
Phương trình mặt phẳng ( )P 12
x y z
+ + =
− hay 4x−2y+ −z 12=0
Câu
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M(1; 2;3) cho ( )P cắt tia Ox Oy Oz, , điểm A B C, , tứ diện OABC tích lớn
Lời giải
Giả sử mặt phẳng ( )P cắt tia Ox Oy Oz, , điểm khác gốc tọa độ
( ; 0; , ) (0; ; , ) (0; 0; )
(126)Khi phương trình ( )P có dạng: x+ + =y z a b c
Vì ( )P qua M nên ta có: 1+ + =2 a b c (1)
Thể tích khối tứ diện OABC là:
6
=
V abc
Từ (1), áp dụng BĐT Cơ si ta có: 1= + + 1 33 abc27.6
a b c abc
Suy V 27 Đẳng thức xảy 3, 6,
= = = =a b= c=
a b c
Vậy phương trình ( )P : 6x+3y+2z−18=0
Câu 10
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1;1;1) cho ( )P cắt trục Ox Oy Oz, , ba điểm phân biệt A B C, , choM trực tâm tam giác ABC
Lời giải
Giả sử mặt phẳng ( )P cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ
( ; 0; ,) (0; ; ,) (0; 0; )
A a B b C c với a b c, , 0
Phương trình mặt phẳng ( )P có dạng x+ + =y z a b c
Mặt phẳng ( )P qua điểm M(1;1;1) nên 1+ + =1 1 (1) a b c
Ta có:AM = −(1 a;1;1 ,) BC=(0;−b c BM; ), =(1;1−b;1 ,) CA=(a; 0;−c) Điểm M trực tâm tam giác ABC
( )
=
=
M P
AM BC BM CA
1 1
3; 3;
+ + =
= = = =
=
a b c
b c a b c
a c
Phương trình mặt phẳng ( )P cần tìm x+ + − =y z
Câu 11
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A(1;1;1 ,) (B 0; 2; 2) cho ( )P cắt trục tọa độ
,
Ox Oy hai điểm phân biệt M ,N cho OM =2ON Lời giải
Giả sử ( )P :ax by+ + + =cz d 0, a2+b2+c2 0
• mp P( ) qua A(1;1;1 :) a b c+ + + =d 1( )
• mp P( ) qua B(0; 2; : 2) a+2c+ =d 2( )
Ta có M ( )P Ox M d;0;0 ;N ( )P Oy N 0; d;0
a b
= − = −
0
2
2 d
d d
OM ON
b a
a b
=
= =
(127)Với d = + = =0 b c a ( )l
Với 2
2
b a
b a
b a
= =
= −
Khi b=2a, chọn ( )
2
1 :
1 b
a c P x y z
d
=
= = + + − = = −
Khi b= −2a, chọn ( )
2
1 :
2 b
a c P x y z
d
= −
= = − + − = = −
Câu 12
Cho điểm A(1; 0; ,) (B 0; ; ,b ) (C 0; 0;c), b c, dương mặt phẳng ( )P :y− + =z
Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng ( )P khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)
3
Lời giải Mặt phẳng (ABC) có phương trình
1
x y z b c
+ + =
Vì (ABC) ( )P 1 b c ( ) b c
⊥ − = =
Ta có: ( ( )) 2 2 ( )
2
1 1 1
,
3 1
1 d O ABC
b c
b c
= = + = + +
Từ (1), (2) b c, 0 suy ra: b= =c
Câu 13
Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2;1), B(−2;1;3), C(2; 1;1− ), D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A B, cho khoảng cách từ C đến ( )P khoảng cách từ D đến ( )P
Lời giải
Giả sử ( )P có véc tơ pháp tuyến n=(a b c; ; ) ( 2 )
0
a +b +c AB= − −( 3; 1; 2) Vì ( )P qua A B, nên ta có n AB = −0 3a− +b 2c= = −0 b 3a+2c
Phương trình mặt phẳng ( ) (P :a x− +1) (b y− +2) (c z− = 1) ax by+ + − −cz a 2b c− =0 Mặt khác: ( ( )) ( ( ))
2 2 2
2
; ; a b c a b c b c a b c
d C P d D P
a b c a b c
− + − − − + − − −
= =
+ + + +
3
3
3
a b b a a b
a b b a
a b b a b
− = − =
− = − − = − + =
Trường hợp
c
(128)Trường hợp a=2b Chọn a b
c
= = =
Vậy ( )P : 4x+ +2y+7z−15=0
Câu 14
Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(0; 2; 0), B(2; 0; 0) tạo với mặt phẳng (yOz) góc 60
Lời giải
Giả sử ( )P có véc tơ pháp tuyến n=(a b c; ; ) (a2+b2+c2 0) AB=(2; 2; 0− ) Mặt phẳng (yOz) có véc tơ pháp tuyến i=(1; 0; 0)
Vì mặt phẳng ( )P qua hai điểm A B, nên n AB = 0 2a−2b= =0 a b ( )1 Mặt khác: (( ) ( ))
2 2
1 1
cos ; cos 60
2
n i a
P yOz
n i a b c
= = =
+ + ( )2
Thay ( )1 vào ( )2 ta được: 2 2
2
1
4 2
2
a
a a c c a c a
a c
= = + = =
+
Chọn
1 c a
b
= =
=
Vậy phương trình mặt phẳng ( )P :x+ y 2z− =2
Câu 15
Cho điểm A(0; 0;1 ,) (B 3; 0; 0) Lập phương trình mặt phẳng ( )P qua hai điểm A B, tạo với mặt phẳng (Oxy)góc 600
Lời giải Mặt phẳng (Oxy):z=0 có véc tơ pháp tuyến n=(0; 0;1)
Mặt phẳng ( )P qua A(0; 0;1) có véc tơ pháp tuyến v=(a b c; ; ) nên có dạng
( ) ( ) ( ) ( 2 )
0 0,
a x− +b y− +c z− = ax by+ + − =cz c a +b +c
Mà B( )P 3a c− = =0 c 3a
Suy ra, v=(a b a; ;3 ) véc tơ pháp tuyến mp ( )P
Theo giả thiết ta có
( )
( )
2 2
2
3 26
1 1
cos ; 26
2 . 3 26
n v a b a
n v a b
n v a b a b a
=
= = = =
= −
+ +
Với b=a 26: chọn b= 26 =a 1,c=3 Phương trình ( )P1 :x+ 26y+3z− =3 Với b= −a 26: chọn b= − 26 =a 1,c=3 Phương trình ( )P2 :x− 26y+3z− =3
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề
(129)Câu 16
Cho hai mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z 0và ( )Q :x− + − =y z Viết phương trình mặt phẳng
( )R vng góc với ( )P ( )Q cho khoảng cách từ Ođến ( )R Lời giải
Mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp tuyến nP =(1;1;1) Mặt phẳng ( )Q có véc tơ pháp tuyến nQ =(1; 1;1− ) Gọi nRlà véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )R , đó:
( ) ( )
( ) ( ) , (2; 0; 2)
R P
R P Q R Q
R P n n
n n n
R Q n n
⊥
⊥
= = −
⊥
⊥
chọn (1; 0; 1− )
Khi đó, phương trình mp( )R có dạng: x− + =z D
Mà ( ;( )) 2 2
2 D
d O R = = D=
Vậy, tồn hai mặt phẳng ( )R1 :x− +z 2=0,( )R2 :x− −z 2 =0 thỏa yêu cầu đề
Câu 17
Cho ba điểm A(−1;1; ,) (B 0; 0; ,− ) (C 1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A B, cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( )P
Lời giải
Gọi n=(a b c; ; ) (đk a2 +b2 +c2 0) vecto pháp tuyến mặt phẳng ( )P
Phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A(−1;1; 0) có vecto pháp tuyến n=(a b c; ; )là
( 1) ( 1) 0 1( )
a x+ +b y− +cz= ax by+ + + − =cz a b Điểm B(0; 0; 2− ) thuộc mặt phẳng ( )P nên − + − = = −2c a b b a 2c ( )2 Khoảng cách từ điểm C(1;1;1) đến mặt phẳng ( )P nên
2 2 2
| |
3 | |
a b c a b
a c a b c
a b c
+ + + − = + = + +
+ + ( )3
Thế ( )2 vào ( )3 bình phương hai vế ta
( )2 2 ( )2 2 2 2
2 2 16 14
7 a c
a c a a c c a ac c
a c
=
+ = + − + − + = = • Với a=c , chọn
1 a c
= =
vào ( )2 ta b= −1
Phương trình mặt phẳng ( )P1 x− + + =y z
• Với a=7c , chọn a c
= =
vào ( )2 ta b =5
(130)( )P1 :x− + + =y z ( )P2 :7x+5y+ + =z
Câu 18
Cho đường thẳng :
1
x y z
d = = − điểm A(0;3; 2− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A song song với đường thẳng d khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng ( )P
bằng
Lời giải Gọi n=(a b c; ; ) (đk 2
0
a +b +c ) vecto pháp tuyến mặt phẳng ( )P
Phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A(0;3; 2− ) có vecto pháp tuyến n=(a b c; ; )
3
ax+by+cz− b+ c=
Ta có :
1
x y z
d = = − nên đường thẳng d qua M(0; 0;1) có VTCP ud =(1;1; 4) Theo giả thiết ta có:
• Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )P nên n u d = + +0 a b 4c= = − −0 a b 4c
( )1
• Khoảng cách từ đường thẳng d đến mặt phẳng ( )P nên khoảng cách từ điểm
(0; 0;1)
M đến mặt phẳng ( )P
( )
( ; )
d d P = d M( ;( )P )=3
2 2
3
c b c
a b c
− +
=
+ +
( )2 2 2
4
c b b c b c
− = − − + + 2
10 16
b bc c
+ + =
8
b c
b c
= − = −
• Với b= −2c , chọn
2 c b
= − =
, vào ( )1 ta a=2 Phương trình mặt phẳng ( )P1
2x+2y− − =z
• Với b= −8c , chọn c b
= = −
, vào ( )1 ta a=4 Phương trình mặt phẳng ( )P2
4x−8y+ +z 26=0
Vậy có hai mặt phẳng ( )P cần tìm ( )P1 :2x−2y− − =z ( )P2 :4x−8y+ +z 26=0
Câu 19
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A(0; 1; 2− ), B(1; 1;3− ) cho khoảng cách từ điểm M(0;3; 1− ) đến ( )P đạt giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất)
Lời giải
Trường hợp Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị nhỏ
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị nhỏ ( )P qua M Khi mặt phẳng ( )P mặt phẳng (ABM)
(1; 0;1)
(131)
Mặt phẳng ( )P qua điểm A(0; 1; 2− ) nhận n= −( 4;3; 4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: −4.(x− +0) 3.(y+ +1) 4.(z−2)= − +0 4x 3y+4z− =5
Trường hợp Khoảng cách từ M đến ( )P đạt giá trị lớn
Gọi H K; hình chiếu M đường thẳng AB mặt phẳng ( )P
Ta có mp ( )P chứa A B; nên MK MH Do khoảng cách từ M đến mp ( )P lớn K
trùng H, hay ( )P mp qua điểm A B; nhận MH làm vectơ pháp tuyến Gọi ( )Q mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng AB
Khi mặt phẳng ( )Q qua điểm M(0;3; 1− ) nhận AB=(1; 0;1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: (x−0)+0.(y− +3) (z+ = + + =1) x z
Đường thẳng ( )AB qua điểm A(0; 1; 2− ) nhận AB=(1; 0;1) làm vectơ phương nên có phương trình: ( )
2 x t
y t
z t
=
= −
= +
Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình 3; 1;1
2 2
1 x t y
H
z t
x z
=
= − −
−
= +
+ + =
Vậy mặt phẳng ( )P qua điểm A(0; 1; 2− ) nhận 3; 4;3
2
MH =− −
làm vectơ pháp tuyến nên
có phương trình:
( ) ( ) ( )
3
0
2 x y z
− − − + + − =
3x 8y 3z 14
+ − + =
Câu 20
Cho ba điểm A(1; 2; ,) (B 0; 4; ,) (C 0; 0;3) Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa OA cho khoảng cách từ B C đến mặt phẳng ( )P
Lời giải
Nhận xét: Khoảng cách từ B C đến mp ( )P phát biểu thành mp ( )P cách điểm B C Điều xảy mp ( )P qua trung điểm E đoạn BC mp ( )P / /BC
Trường hợp mp ( )P qua trung điểm 0; 2;3 E
đoạn BC
Khi mp ( )P mp qua ba điểm O A E; ;
(1; 2; 0)
OA= ; 0; 2;3
2 OE=
; ( )
3
, 3; ;
2 P
n =OA OE= −
Pt mặt phẳng ( )P : 3 2
(132)Trường hợp ( )P / /BC Ta có: BC =(0; 4;3− )
Mặt phẳng ( )P nhận n( )P =OA BC, =(6; 3; 4− − ) làm VTPT Phương trình mp( )P : 6x−3y−4z=0
Vậy có hai mặt phẳng ( )P cần tìm ( )P : 6x−3y+4z=0 ( )P : 6x−3y−4z =0
Câu 21
Cho hai điểm A(− −1; 1; 3), B(1; 0; 4) mặt phẳng ( )P :x+2y− + =z Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua cho góc tạo hai mặt phẳng ( )P ( )Q có số đo nhỏ
Lời giải
Gọi n=(A B C; ; ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )Q ; (( ) ( )P ; Q )=
Vì A, B( )Q nên n AB = 0 2A+ + = B C C= −2A−B Ta có ( )
2 2 2
2 3
cos
A B C A B
A B C A B AB
+ − +
= =
+ + + +
Trường hợp A=0
2
3
cos 30
2
6
B B
= = =
Trường hợp A0 Ta có
2
1
cos
6
2
B A
B B
A A
+
=
+ +
Đặt x B A
= f x( )=cos2 Xét ( )
2
9
6
x x
f x
x x
+ + =
+ +
Có ( ) ( )
( 2 )2
9
2
x f x
x x
+
=
+ + , f( )x = = −0 x
Lập bảng biến thiên, ta thấy f x( )= 0 cos = = 0 90 30
Do có TH1 thỏa mãn, tức A=0 Khi chọn B=1, C=1( )Q :y− + =z
Câu 22
Cho ba điểm A(10; 2; 1− ), B(1; 0; 1), C(3; 1; 4) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A, song song với BC khoảng cách từ B đến ( )P đạt giá trị lớn
Lời giải Gọi n=(a b c; ; ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P
( ) (P :a x 10) (b y 2) (c z 1)
− + − + + =
(133)( )
( ) 92 22 22 2 2 ,
5 12 10
a b c a c
d B P
a b c a ac c
− − + − +
= =
+ + + +
Trường hợp ( ( ))
2
8
0 ;
10 10
c
a d B P
c
= = =
Trường hợp a 0 ( ( ))
2
5 ,
5 12 10 c c d B P
c c
a a
− + =
+ +
Đặt x a c
= f x( )=d2(B P;( )) Xét ( )
2
25 80 64
5 12 10
x x
f x
x x
− + =
+ +
Có ( )
( )
2
2
1568 140 700 12 10
x x
f x
x x
+ −
=
+ + ( )
5
5 x f x
x
=
=
= −
Lập bảng biến thiên, ta thấy max ( ) 75 ( ;( )) 75 10
f x = d B P =
Do có trường hợp thỏa mãn, tức
7 c
a = − Khi chọn a=7, b=1; C= −5
( )P : 7x y 5z 77
+ − − =
Câu 23
Cho hai điểm A(1; 2;−2) mặt phẳng ( )P : 2x+2y+ + =z Tìm điểm B thuộc Ox cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( )P BA
Lời giải Ta có BOxB x( ; 0; 0)
Yêu cầu toán ( ;( )) ( 1)2
x
d B P BA + x
= = − +
28
5 38 56
2 x
x x
x
=
− + − =
=
Vậy 28; 0;
B
(134)CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Câu Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;1;1), B(2; 0; 2), C(− −1; 1; 0)
(0;3; 4)
D Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm B, C, D cho thể tích khối tứ diện AB C D nhỏ + + =4
AB AC AD
AB AC AD Tìm phương trình mặt phẳng (B C D )?
A 16x+40y−44z+39=0 B 16x−40y−44z+39=0
C 16x+40y+44z+39=0 D 16x+40y−44z−39=0
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2; 1; 2− − ) đường thẳng ( )d có phương
trình 1
1 1
− − − = =
−
x y z
Gọi ( )P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng ( )d khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng ( )P lớn Khi mặt phẳng ( )P vng góc với mặt phẳng sau đây?
A x− − =y B.x+3y+2z+10=0 C x−2y−3z− =1 D 3x+ + =z 2 0
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;5) Số mặt phẳng ( ) qua
M cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho OA=OB =OC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O)
A 8 B 3 C 4 D 1
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng
( )P : 2x−2y+ −z 17=0 Biết mặt phẳng ( )Q cắt mặt cầu ( )S :x2+(y+2) (2+ −z 1)2 =25 theo đường trịn có chu vi 6 Khi mặt phẳng ( )Q có phương trình
A 2x−2y+ + =z 0 B.2x−2y+ +z 17=0 C x− +y 2z− =7 D.2x−2y+ −z 17=0
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S : ( ) (2 )2
1 11
− + + + =
x y z hai
đường thẳng d1:
5 1
1
− + − = =
x y z
, d2:
1
1
+
= =
x y z
Viết phương trình tất mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )S đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2
A 3x− − + =y z
B 3x− − −y z 15=0
C 3x− − − =y z
D 3x− − + =y z 0hoặc 3x− − −y z 15=0
Câu Trong không gian , cho đường thẳng mặt phẳng
( )P : 2x−3y+ − =z Phương trình phương trình đường thẳng nằm mặt
phẳng , cắt vng góc với ?
A B
C D
Oxyz :
3 1
x y z
d − = + = +
−
( )P ( )d
8
2 11
x− y− z+
= = 3
2 11
x− y− z−
= =
8
2 11
x+ y+ z−
= = 3
2 11
x+ y+ z+
(135)Câu Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu , mặt phẳng Gọi mặt phẳng vng góc với , song song với giá vectơ tiếp xúc với Phương trình mặt phẳng là:
A ; B ;
C ; D ;
Câu Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng chứa cắt tia , , , , cho
A B C D
Câu Trong khơng gian , phương trình mặt phẳng song song cách hai đường thẳng
là?
A B
C D
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho điểm M(3; 2;1) Mặt phẳng ( )P qua M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ cho
M trực tâm tam giác ABC Trong mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
( )P
A.3x+2y+ +z 14=0 B 2x+ +y 3z+ =9 C.3x+2y+ −z 14=0 D 2x+ + − =y z
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( )S có phương trình
( ) (2 ) (2 )2
1 1
− + − + + =
x y z Phương trình mặt phẳng ( )Q chứa trục hồnh tiếp xúc với mặt cầu ( )S là:
A 4y+3z=0 B 4y+3z+ =1 C 4y−3z+ =1 D 4y−3z=0
Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C (khác O) Viết phương trình mặt phẳng ( )P cho M trực tâm tam giác ABC
A.6x+3y−2z− =6 0 B.x+2y+3z−14=0 C.x+2y+3z− =11 0 D 1+ + =2 x y z
Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(2; 1; 1) Gọi ( )P mặt phẳng qua H cắt trục tọa độ A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( )P
A 2x+ + − =y z B x+2y+ − =z C x+2y+2z− =6 0 D 2x+ + + =y z
Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ( )S :x2+y2+z2−2x+6y−4z− =2 0, mặt phẳng ( ) :x+4y+ − =z 11 Gọi ( )P mặt phẳng vng góc với ( ) , ( )P song song với giá véctơ v=(1; 6; 2) ( )P tiếp xúc với ( )S Lập phương trình mặt phẳng ( )P
A 2x− +y 2z− =2 x−2y+ −z 21 0=
B x−2y+2z+ =3 x−2y+ −z 21 0=
C 2x− +y 2z+ =3 2x− +y 2z−21=0
Oxyz ( )S :x2+y2+ −z2 2x+6y−4z− =2
( ) :x+4y+ −z 11=0 ( )P ( ) ( )P
(1;6; 2)
u= ( )S ( )P
2x− +y 2z+ =5 2x− +y 2z− =2 x−2y+2z+ =3 x−2y+ −z 21=0 2x− +y 2z− =2 x−2y+ −z 21=0 2x− +y 2z+ =3 2x− +y 2z−21=0
Oxyz M(1;3; 2− )
Ox Oy Oz A B C
1
OA=OB=OC
2
x+ y+ z+ = 4x+2y+ − =z 4x+2y+ + =z 2x− − − =y z
Oxyz ( )P
1
2 :
1 1
x y z
d − = =
−
1
:
2 1
x y z
d = − = −
− −
( )P : 2y−2z+ =1 ( )P : 2x−2z+ =1
(136)D 2x− +y 2z+ =5 2x− +y 2z− =2
Câu 15 Trong không gian Oxyz cho điểm M(3; 2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua M cắt trục x Ox , y Oy , z Oz điểm A, B, C cho M trực tâm tam giác
ABC
A.3x+ +y 2z−14=0 B.3x+2y+ −z 14=0 C 9+ + =3 x y z
D
12+ + =4
x y z
Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng chứa điểm , cắt tia , , , , cho
A B C D
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , , Phương trình mặt phẳng qua , gốc tọa độ cách hai điểm ?
A. B. C. D.
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1; 2), B(2; 2; 0− ), C(−2; 0;1) Mặt phẳng ( )P qua A, trực tâm H tam giác ABC vng góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình
A 4x−2y− + =z 0 B 4x−2y+ + =z 0 C 4x+2y+ − =z 0 D 4x+2y− + =z
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu đường thẳng Phương trình mặt phẳng qua điểm song song với đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
A B. C. D.
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng mặt cầu Mặt phẳng chứa , tiếp xúc với cắt trục điểm có cao độ lớn có phương trình
A B C D
Câu 21 Trong không gian Oxyz, gọi ( )P mặt phẳng chứa đường thẳng :
1
− = − = −
x y z
d
cắt trục Ox, Oy A B cho đường thẳng AB vng góc với d Phương trình
của mặt phẳng ( )P
A x+2y+5z− =5 B x+2y+5z− =4 C x+2y− − =z D 2x− − =y
Oxyz ( )P
(1;3; 2)
M − Ox Oy Oz A B C
1
OA OB OC
= =
2x− − − =y z x+2y+4z+ =1 4x+2y+ + =z 4x+2y+ − =z Oxyz A(− −1; 2; 0) B(0; 4; 0− ) C(0; 0; 3− )
( )P A O B C
( )P : 2x− +y 3z=0
( )P : 6x−3y+5z=0
( )P : 2x− −y 3z=0
( )P : 6− +x 3y+4z=0
Oxyz ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9
6 2
:
3 2
x− y− z−
= =
− ( )P M(4;3; 4)
( )S
2
x− y+ z− = 2x+2y+ −z 18=0 2x− −y 2z−10=0 2x+ +y 2z−19=0
Oxyz :
10
x y z
d = + = −
( ) 2
: 15
S x +y +z + x− y+ z− = d ( )S Oz
(137)Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(3;5; ,− ) (B 0; 1;8 ,− )
( 1; 7;3 ,) (0;1; 2)
C − − D điểm M(1;1;5) Biết mặt phẳng ( )P :x+ay+bz+ =c qua điểm D M, cắt cạnh AC ( )P chia khối tứ diện ABCDthành hai phần thể tích Tính S = + +a b c
A
3
S = B
3
S = − C
3
S= − D
3 S =
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm A(1; 0; ,) (B 0; 2; ,) (C 0; 0;3 ) Mặt cầu ( )S thay đổi qua , ,A B Ccắt ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , điểm M N P M, , ( A N, B P, C)
Gọi H trực tâm tam giác MNP Tọa độ H thỏa mãn phương trình phương trình sau
A x−2y−3z=0 B x+2y−3z=0 C 4x+ −y 2z=0 D − + −4x y 2z=0
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a( ; 0; ,) (B 1; ; ,b ) (C 1; 0;c),với , ,a b c số thực thay đổi cho H(3; 2;1)là trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng
( )P :mx+ny+pz− =11 0đi qua , ,A B C Tính S= + +m n p
A S =5 B S =6 C S = −5 D S = −6
Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2;1)và cắt trục ' , ' , '
x Ox y Oy z Oz A a( ; 0; ,) (B 0; ; , C 0; 0;b ) ( c)sao cho 12 42 92
OA +OB +OC đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức a+ +b c
A 12 B 14 C 76
3 D
73
Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm S(1; 4;9) Mặt phẳng ( )P qua điểm Svà cắt tia Ox,Oy Oz, điểm , ,A B C cho OA OB+ +OC nhỏ Hỏi điểm thuộc mặt phẳng ( )P ?
A M(6; 2; 3− ) B N(2;3; 6− ) C P(2;3; 6) D Q(6; 3; 2− )
Câu 27 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm 1; 0; , 0; ; , 0; 0;
1
A B C
m m m
+ +
với
m số thực dương thay đổi Biết mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng cố định m
thay đổi Viết phương trình đường thẳng
A
1
x t
y t
z t
= − +
= − =
B
1
x t
y t
z t
= −
= − +
= −
C
1
x t
y t
z t
= −
= − +
=
D 1 x t
y t
z t
= − = −
= − +
Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1;1) hai đường thẳng 1
2
:
2
x t
d y
z t
= − =
= − +
và 2
5
:
3
x s
d y
z s
= + = = −
Gọi ,B Clần lượt điểm di động d d1, Tìm giá trị nhỏ biểu
(138)A 2 29 B 2 985 C 5+ 10+ 29 D 5+ 10
Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2; 0; ,) (B 0;3; ,) (C 0; 0; ) Các điểm
, ,
M N P tia OA OB OC, , cho
1 1
, , OP
2
OM OA ON OB OC
m m m
= = =
+ +
Với mlà số thực dương thay đổi Biết m thay đổi, mặt phẳng (MNP) ln chứa đường thẳng d cố định Tính khoảng cách h từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d
A 3
2 B
3 646
19 C
3 646
34 D
2 3
Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+2y−2z− =3 0và hai điểm
(1; 2;3 ,) (3; 4;5)
A B Gọi M điểm di động ( )P Tìm giá trị lớn biểu thức
MA MB
+
A 3 6+ 78 B 3 3+ 78 C 3 54 78+ D 3
Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình ( )P :
3
x+ +y z− = ( )Q : 3x− + − =y z Mặ phẳng ( )R chứa tất điểm cách hai mặt phẳng ( )P ( )Q có phương trình tổng quát là:
A 4x+4y− =3 B x−2y−2z=0 C 3x+ − − =y z D.2x−2y−2z− =1
Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3; ,) (B −2;1; 4) đường thẳng
:
3 2
x− = y− = z+
− Mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng khoảng cách từ A đến ( )P gấp ba
lần khoảng cách từBđến ( )P Số mặt phẳng ( )P thỏa mãn là:
A 2 B. vô số C 0 D.1
Câu 33 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 1
1 2
x− = y− = z+
− mặt phẳng ( )P :
6
x+ − − =y z Gọi ( ) mặt phẳng qua d tạo với ( )P góc nhỏ Khi dạng phương trình tổng quát ( ) có dang: ax+by+ + =z d Khi giá trị (a b d+ + ) bằng:
A 6 B −7 C 5 D −3
Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;1), B(−1; 0; 2), C(3; 0; 0) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCcó tọa độ (a b c; ; ) bắn kính đường trịn ngoại tiếp RABC Giá trị biểu thức T = + + +a b c RABC nằm khoảng đây?
A ( )0; B 2;7
C
13 5;
2
D
7 ;5
Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )P :mx+(2m−1)y m z− + =3 Điểm cố định mà mặt phẳng ( )P qua với tham số thực m A a b c( ; ; ) Giá trị biểu thức
( )
T = a b c+ + bằng:
(139)Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( ) (P : m−1) (x+ 2m−1)y+mz− =2 qua đường thẳng d cố định Biết VTCP đường thẳng d có dạng ud =(a; 2;b) Giá trị
(a b+ ) bằng:
A 0 B −4 C −2 D 6
Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2;1;1), B(2; 0;3), C(0;1;3),
(0; 2; 0)
D mặt phẳng ( )P :ax by+ +2z+ =d Biết ( )P qua ba điểm B, C, D phía so với ( )P Khi tổng khoảng cách từ B, C, D đến( )P lớn giá trị biểu thức (a b+ +2d) bằng:
A 4 B 5 C 6 D.7
Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu ( )S :x2+(y−3) (2+ +z 2)2 =16
( ) ( ) (2 ) (2 )2
' :
S x− + y− + z− = Gọi điểm M a b c( ; ; )nằm mặt cầu ( )S điểm
( ; ; )
N m n p nằm mặt cầu ( )S' cho khoảng cách MN lớn Giá trị biểu thức
T = + + + + +a b c m n p tương ứng bằng:
A 38
5 B
18
5 C
26
3 D
23
−
Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = = −
− mặt
cầu ( ) (S : x−2)2 +y2+(z−1)2 =1 Gọi ( )P ( )Q hai mặt phẳng chứa đường thẳngd tiếp xúc với mặt cầu ( )S M N Độ dài dây cung MN có giá trị bằng:
A 4 B
2
C D 1
Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x−2y z 6+ − =0 mặt cầu
( ) 2 ( )2 2
: 24
S x + y− +z = Gọi d đường thẳng song song với u=(1; 2;1) cắt ( )P ( )S M N cho MN đạt giá trị lớn Nếu tọa độ điểm N a b c( ; ; ) giá trị biểu thức
(a−2b c+ ) bằng:
A 9 B C 7 D.
Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
( 1)
x t y m mt
z m m t
=
= −
= − + −
Biết tồn mặt cầu cố định ( )S qua B(5; 4;3) tiếp xúc với đường thẳng d m thay đổi Bán kính R mặt cầu ( )S bằng:
A 4 B 2 3 C 2 5 D
Câu 43 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0;1 ,) (B 3;1; ,) (C 1;3; ,− ) (D −2; 0;3) Hai điểm P Q di động thỏa mãn PA=QC PB, =QD PC, =QA PD, =QB Khi mặt
phẳng trung trực PQ qua điểm cố định N Điểm N nằm đường thẳng tương ứng là:
(140)Câu 44 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 0), B(3; 2;1− ), C(0;1;1), D(−1; 0; 2) Gọi
P Qlà hai điểm di động thỏa mãn hệ thức:
2 2 2 2
2
PA +PB + PC −PD =QA +QB + QC −QD
Gọi ( ) mặt phẳng trung trực PQ Khi ( ) ln qua điểm cố định có tọa độ(a b c; ; ) Giá trị biểu thức (a b c; ; ) bằng:
A 1 B C D.
Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;3 ,) (B 2; 1;1 ,− ) (C 0; 2;3) Mặt phẳng ( )P có phương trình là: ax+2y+cz+ =d qua C, cho A B phía so với ( )P , đồng thời tổng khoảng cách từ A B đến ( )P đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức T =(a c d+ + ) tương ứng bằng:
A 0 B −8 C 12 D −10
Câu 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; ,− ) (B 1; 1; ,− ) (C 1; 2; 2− ) Mặt phẳng ( )P qua gốc tọa độ O, cho A B C, , phía so với ( )P Tổng khoảng cách từ
(1; 2; ,) (1; 1; ,) (1; 2; 2)
A − B − C − đạt giá trị lớn bằng:
A 3 B 3 C 3 10 D.3
Câu 47 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0;1 ,) (B 3; 2; 0− ) ,C(0; 0; 5− ),
( 3;1;3)
D − Mạt phẳng ( )P qua D cho A, B C phía so với mặt phẳng ( )P Giá trị lớn biểu thức T =d A P( ;( ))+2d B P( ;( ))+d C P( ;( )) tương ứng bằng:
A 12 B 16 C 12 D 8
Câu 48 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2;1;1 ,) (B 1; 3; ,− ) (C −2; 2; 4), D(−3;1;3) Mặt phẳng ( )P qua góc tọa độ O cho A, B, C, D nằm phía so với ( )P Khi biểu thức
( )
( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))
T =d A P + d B P +d C P + d D P đạt giá trị lớn phương trình mặt phẳng ( )P tương ứng ( )P :x by cz+ + + =d Giá trị biểu thức T =(b c d+ + ) bằng:
A 3 B −3 C 2 D −2
Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y− − =z điểm
(3;1; 3)
A − , B(2;3; 1− ), C(4; ; 2m −m2) Số giá trị nguyên m để mặt phẳng ( )P cắt hai cạnh ABC
A 4 B −2 C 5 D 0
Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1; ,− ) (B a; 1; 2− ) Gọi M giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng ( )P :x+3y− − =z cho AB=3AM Tổng giá trị thực a thỏa mãn toán là?
A −13 B 24 C 6 D −29
Câu 51 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 3; ,− − ) (B a b c; ; ) Gọi M N P, , giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxy) (, Oyz) (, Ozx) cho
AM =MN =NP=PB Giá trị biểu thức T = + +a b c tương ứng bằng?
(141)Câu 52 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 0;3 ,) (B a b c; ; ) Gọi M N P, , giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (Oyz) (, Ozx) (, Oxy) cho AM =3NP=PB
Giá trị biểu thức T =3a+8b−11c
A 5 B −21 C 7 D 12
Câu 53 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 0− ),B(a; b; c).Gọi M N P, , giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng ( )P :x−2y− =2 ,( )Q :y+ + =z
( )
, R :x+ −y 2z− =1 0sao cho AM =2MN=NP=PB Giá trị biểu thức T = + +a b c tương ứng
A −5 B 28
5
− C 17
5 D
31
−
Câu 54 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;a) (,B m n p; ; ) Gọi M N, giao điểm đường thẳng ABvới trụ tọa độ Ox Oy, cho AM =MN =NB Gía trị biểu thức T = + +m n p tương ứng
A 11
2
− B 2 C −3 D
2
−
Câu 55 Trong không gian với hộ tọa độ Oxyz, cho bốn mặt phẳng ( )a :x+ +y 5z− =7 0,
( ) : x +y − − =z 0;( ) :x− − − =y z 0;( ) :x− −y 3z+ =1 Thể tích cùa khối tứ diện giới hạn bốn mặt phẳng có giá trị tương ứng
A 1
2 B 2 C 1 D
1
Câu 56 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1: 1
2 1
x y z
d = − = +
−
3
: 2
1
x t
d y t
z t
= −
= − +
= − +
Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng hai mặt phẳng
A ( ) :x+ − =y z 0; ( ) : 3x−3y−2z− =6 B ( ) :x+ − =y 0; ( ) : 3x−3y−2z− =6
C ( ) : 3x+ − =y 0; ( ) : 3x+3y− − =z D ( ) :x+ − =y 0; ( ) : 2x−3y−2z− =7
Câu 57 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2
x y z
d = − = −
− −
2
1
:
1 2
x y z
d − = − =
− Mặt phẳng ( )P cách hai đường thẳng d1 d2 có phương trình là? A 6x+2y+5z− =2 B 6x+2y+5z− =11
C 3x+ +y 2z− =3 D x+3y− =8
Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm có tọa độ A(1; 1; 0− ),B(3; 0;1),
(4;1;1)
C , D(3; 2; 2− − ), E(− − −1; 2; 1) Số mặt phẳng tạo thành từ điểm tương ứng
A 4 B 7
C 6 D 5
Câu 59 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+2y−2z−10=0 hai điểm
(1; 2; ,) ( 1;3;1)
(142)nhất Biết phương trình tổn quát ( )Q : 2x by+ + + =cz d 0, với , ,b c d số thực Khi giá trị tổng (b c+ +d)bằng:
A 10 B 12 C 18 D −8
Câu 60 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt ( )P :mx+(2m+1)y− −z 4m+ =2 0và điểm
(1; 2; 0)
A Khi khoảng cách từ Ađến mặt phẳng ( )P lớn hình chiếu vng góc A lên
( )P H a b c( ; ; ) Giá trị (a b c+ + )bằng:
A 5 B 6 C 7 D 8
Câu 61 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( ) ( )
: m
P m + x+my+m z− = điểm
(0;1; 0)
B Khoảng cách lớn từ B đến mặt phẳng( )P nằm khoảng
A ( )1; B 1;1
C
5 2;
2
D
1 0;
2
Câu 62 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; 0; 1− ) mặt phẳng
( )P : 2x+ − − =y z mặt phẳng ( )Q :x−3y− =4 Gọi M điểm nằm ( )P N điểm nằm ( )Q cho Alà trung điểm MN Khi M chạy mặt phẳng ( )P quỹ tích điểm N đường thẳng d có phương trình tương ứng
A
4
7
x t
y t z t
= + = =
B
3 x t y t
z t
= = = −
C
1
x t
y t
z t
= + = + =
D x t y t z
= = =
Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(a; 0; ,) (B 0; b;0 ,) (C 0; 0; c ) Gọi I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Biết a c, b thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2
a+ b− =c tâm I thuộc mặt phẳng cố định ( )P Phương trình mặt phẳng ( )P tương ứng
(143)HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;1;1), B(2; 0; 2), C(− −1; 1; 0)
(0;3; 4)
D Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm B, C, D cho thể tích khối tứ diện AB C D nhỏ + + =4
AB AC AD
AB AC AD Tìm phương trình mặt phẳng
(B C D )?
A 16x+40y−44z+39=0 B 16x−40y−44z+39=0
C 16x+40y+44z+39=0 D 16x+40y−44z−39=0 Lời giải
Ta có
=
ABCD AB C D
V AB AC AD
V AB AC AD
3
1 64
27 27
+ + =
AB AC AD
AB AC AD
Dấu "=" xảy
= = =
AB AC AD
AB AC AD
3
AB = AB 7; ; 4
B Suy (B C D ) qua 7; ;
4 4
B song song (BCD) nên (B C D )có véctơ pháp tuyến
( )
; 4;10; 11
= = −
n BC BD
Vậy phương trình (B C D ) 16x+40y−44z+39=0 Chọn ý A
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2; 1; 2− − ) đường thẳng ( )d có
phương trình 1
1 1
− = − = − −
x y z
Gọi ( )P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng ( )d khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng ( )P lớn Khi mặt phẳng
( )P vng góc với mặt phẳng sau đây?
A x− − =y B.x+3y+2z+10=0 C x−2y−3z− =1 D 3x+ + =z 2 0 Lời giải
Gọi K x y z( ; ; ) hình chiếu vng góc A lên d Tọa độ Klà nghiệm hệ
A
'
B D'
D B
(144)1 1
1 1
1
− + = − =
− = − + =
− + − = =
x y x
y z y
x y z z
(1;1;1)
K
Ta có d(( ) ( )d , P )=d K P( ,( ))=KH KA= 14 Nên khoảng cách từ d đến ( )P đạt giá trị lớn 14 mặt phẳng ( )P qua A vuông góc với KA Khi chọn VTPT ( )P KA Vậy ( )P vng góc với mặt phẳng A
Chọn ý D
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;5) Số mặt phẳng ( ) qua
M cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho OA=OB =OC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O)
A 8 B 3 C 4 D 1
Lời giải
Gọi A a( ; 0; 0), B(0; ; 0b ), C(0; 0;c), ( ) có dạng x+ + =y z
a b c , M ( )
1
1
+ + =
a b c Do OA=OB =OC a = b = c
Xét trường hợp + a= =b c =8
a =a 8 ( ): x+ + − =y z + a= = −b c−2=1
a = −a ( ):x+ − + =y z + a= − = −b c −6 =1
a = −a 6 ( ):x− − + =y z + a= − =b c =4
a =a 4 ( ):x− + − =y z Vậy có mặt phẳng ( ) thỏa yêu cầu toán Chọn ý C
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng
( )P : 2x−2y+ −z 17=0 Biết mặt phẳng ( )Q cắt mặt cầu ( )S :x2+(y+2) (2+ −z 1)2 =25 theo đường tròn có chu vi 6 Khi mặt phẳng ( )Q có phương trình
A 2x−2y+ + =z 0 B.2x−2y+ +z 17=0 C x− +y 2z− =7 D.2x−2y+ −z 17=0 Lời giải
Mặt cầu ( )S có tâm I(0; 2;1− ) bán kính R=5
2 r
= =
S =r =h R2−r2 = 25 9− =4
( )Q song song với ( )P nên phương trình mặt phẳng ( )Q có dạng ( )Q : 2x−2y+ + =z d
( )
( ) 2.0 2.( )2 1.1
, 12
17
− − + + =
= = = + =
= −
d d
h d I Q d
d + Với d = −17 ( ) ( )Q P
(145)Chọn ý A
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S : ( ) (2 )2
1 11
− + + + =
x y z hai
đường thẳng d1: 1
1
− = + = −
x y z
, d2:
1
+ = =
x y z
Viết phương trình tất mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )S đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2
A 3x− − + =y z
B 3x− − −y z 15=0
C 3x− − − =y z
D 3x− − + =y z 0hoặc 3x− − −y z 15=0
Lời giải Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 1; 0− ), bán kính R= 11
• d1 qua A(5; 1; 1− ) có vectơ phương u1=(1; 1; 2)
• d2 qua B(−1; 0; 0) có vectơ phương u2 =(1; 2; 1)
Mặt phẳng ( )P cần tìm song song với hai đường thẳng d1, d2 nên ( )P có vectơ pháp tuyến
( )
1, 3; 1;
= = −
n u u
Phương trình mặt phẳng ( )P có dạng: 3− + + + =x y z d
( ) 15
A P d ; B( )P −d Mặt khác mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S nên ta có:
(0; 0;1)
N 11
9 1
− − + +
=
+ +
d
4 11
− + =d 15
7
= = −
d
d
• d =15loại
• d = −7, ta có phương trình mặt phẳng ( )P 3− + + − =x y z 3x− − + =y z Chọn ý A
Câu Trong không gian , cho đường thẳng mặt phẳng
( )P : 2x−3y+ − =z Phương trình phương trình đường thẳng nằm
mặt phẳng , cắt vng góc với ?
A B
C D
Lời giải Phương trình tham số
Ta có nên
VTCP u =u nd; ( )= − − −( 2; 5; 11)= −1 2;5;11( )
Oxyz :
3 1
x y z
d − = + = +
−
( )P ( )d
8
2 11
x− y− z+
= = 3
2 11
x− y− z−
= =
8
2 11
x+ = y+ = z− 3
2 11
x+ = y+ = z+
2
:
5
x t
d y t
z t
= +
= − +
= − −
( )
M = d P 2 3( + t) (− − + − − − = = 3 t) t t M(8;1; 7− )
(146)đi qua có VTCP nên có phương trình: .
Chọn ý A
Câu Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu
, mặt phẳng Gọi mặt phẳng vng góc với , song song
với giá vectơ tiếp xúc với Phương trình mặt phẳng là:
A ; B ;
C ; D ;
Lời giải Mặt phẳng có vtpt
Do song song với giá vectơ vng góc với
nên có vtpt
Suy phương trình mặt phẳng có dạng : Mặt khác mặt cầu có tâm bán kính
Do tiếp xúc với nên
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán
Chọn ý D
Câu Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng chứa cắt tia , , , , cho
A B C D
Lời giải Gọi mặt phẳng cần tìm
Vì cắt tia , , , , nên ta có , ,
Phương trình theo đoạn chắn
Vì nên ta có
Ta có
Từ ta có
Vậy :
Chọn ý B
M a=(2;5;11)
2 11
x− y− z−
= =
Oxyz ( )S :x2+y2+z2−2x+6y−4z− =2
( ) :x+4y+ −z 11=0 ( )P ( ) ( )P
(1;6; 2)
u= ( )S ( )P
2x− +y 2z+ =5 2x− +y 2z− =2 x−2y+2z+ =3 x−2y+ −z 21=0 2x− +y 2z− =2 x−2y+ −z 21=0 2x− +y 2z+ =3 2x− +y 2z−21=0
( ) n =(1; 4;1)
( )P u(1; 6; 2) ( )
( )P n=n u, =(2; 1; 2− )
( )P 2x− +y 2z+ =d
( )S I(1; 3; 2− ) R=4
( )P ( )S ( ( ))
( )2
2
2
,
2
d
d I P = + + + =
+ − +
3 21 d d
= = −
( )P
2x− +y 2z+ =3 2x− +y 2z−21=0
Oxyz M(1;3; 2− )
Ox Oy Oz A B C
1
OA=OB =OC
2
x+ y+ z+ = 4x+2y+ − =z 4x+2y+ + =z 2x− − − =y z
( )
( ) Ox Oy Oz A B C A a( ;0;0) B(0; ;0b ) C(0;0;c)
(a b c, , 0)
( ) x y z
a+ + =b c
( )
M
a+ − =b c ( )1
1 4
a b c
OA=OB=OC = = = =a b c ( )
2 ( )1 ( )2
2
a b c
= = =
( )
2
x y z
x y z
(147)Câu Trong khơng gian , phương trình mặt phẳng song song cách hai đường
thẳng là?
A B
C D
Lời giải
Ta có
Mặt phẳng song song cách hai đường thẳng nên:
• có véc tơ pháp tuyến suy
• Và
Vậy
Chọn ý A
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho điểm M(3; 2;1) Mặt phẳng ( )P qua M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz điểm A, B , C không trùng với gốc tọa độ cho M trực tâm tam giác ABC Trong mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ( )P
A.3x+2y+ +z 14=0 B
2x+ +y 3z+ =9 C.3x+2y+ −z 14=0 D 2x+ + − =y z
Lời giải Gọi A a( ;0;0 ;) (B 0; ;0 ;b ) (C 0;0;c)
Phương trình mặt phẳng ( )P có dạng: x+ + =y z 1(a b c 0)
a b c
Vì ( )P qua M nên 3+ + =2 1 1( )
a b c
Ta có: MA=(a− − −3; 2; ;) MB= −( 3;b− −2; ;) BC=(0;−b c; );AC= −( a; 0;c) Vì M trực tâm tam giác ABC nên: ( )2
3
= =
=
=
MA BC b c
a c MB AC
Từ ( )1 ( )2 suy 14; 14; 14
3
= = =
a b c Khi phương trình ( )P : 3x+2y+ −z 14=0
Vậy mặt phẳng song song với ( )P là: 3x+2y+ +z 14=0
Chọn ý A
Oxyz ( )P
1
2 :
1 1
x y z
d − = =
−
1
:
2 1
x y z
d = − = −
− −
( )P : 2y−2z+ =1 ( )P : 2x−2z+ =1
( )P : 2x−2y+ =1 ( )P : 2y−2z− =1
( )
( )
1
1
qua 2; 0; :
vtcp 1;1;1 A
d
u
= −
( )
( )
2
2
qua 0;1; :
vtcp 2; 1; B
d
u
= − −
( )P 1:
1 1
x y z
d − = =
−
1
:
2 1
x y z
d = − = −
− −
( )P n=u u1, 2=(0;1; 1− ) ( )P :y− + =z D
( )
( , ) ( ,( ))
d A P =d B P D = D−1 D
=
(148)Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( )S có phương trình
( ) (2 ) (2 )2
1 1
− + − + + =
x y z Phương trình mặt phẳng ( )Q chứa trục hồnh tiếp xúc với mặt cầu ( )S là:
A 4y+3z=0 B 4y+3z+ =1 C 4y−3z+ =1 D 4y−3z=0
Lời giải Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 1− ) bán kính R=1
Gọi vec tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )Q n A B C( ; ; ) với 2
0
+ +
A B C
Ta có n⊥ i A=0 Mặt khác ( )Q chứa trục hồnh nên ( )Q có phương trình dạng
( )Q :By Cz+ =0 Do loại đáp án B, C. Lại có ( )Q tiếp xúc mặt cầu ( )S nên ( ( ))
2
2
, = 1 − =1
+
B C d I Q
B C ( )
2 2
2
B C− =B +C
2
3
B − BC= B(3B−4C)=0 = B 3B−4C=0 Với 3B−4C=0, chọnB= =4 C Vậy ( )Q : 4y+ =3z Do A Chọn ý A
Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2;3) cắt trục Ox , Oy, Oz điểm A, B, C (khác O) Viết phương trình mặt phẳng ( )P cho
M trực tâm tam giác ABC
A.6x+3y−2z− =6 0 B.x+2y+3z−14=0 C.x+2y+3z−11=0 D 1+ + =2
x y z
Lời giải Gọi A a( ; 0; 0), B(0; ; 0b ) C(0; 0;c) với abc0
Phương trình mặt phẳng ( )P qua ba điểm A, B, C x+ + =y z a b c Vì M(1; 2;3) ( ) P nên ta có: 1+ + =2
a b c
Điểm M trực tâm ABC
⊥ =
⊥ =
AM BC AM BC
BM AC BM AC
Ta có: AM = −(1 a; 2;3), BC=(0;−b c; ), BM =(1; 2−b;3), AC= −( a; 0;c)
Ta có hệ phương trình:
3
2 2
3
1 3
1
3
2
=
− + =
− + = =
+ + = + + =
b c
b c
a c a c
a b c c c
c
14 14
3
=
=
=
a b c
Phương trình mặt phẳng ( )P 14+ +7 14 =
x y z
2 14
(149)Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(2; 1; 1) Gọi ( )P mặt phẳng qua H cắt trục tọa độ A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( )P
A 2x+ + − =y z B x+2y+ − =z C x+2y+2z− =6 0 D 2x+ + + =y z Lời giải
Cách
Giả sử A a( ; 0; 0)Ox, B(0; ; 0b )Oy, C(0; 0;c)Oz Khi mặt phẳng ( )P có dạng: x+ + =y z
a b c
Ta có AH =(2−a;1;1), BH =(2;1−b;1), BC=(0;−b c; ), AC = −( a; 0;c)
Do H trực tâm tam giác ABC nên:
2 1
3
0
2
+ + =
=
− + = =
− + = =
a a b c
b c b
a c c
Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: 3+ + =6
x y z
2
x+ + − =y z Cách
Vì tứ diện OABC có cạnh đơi vng O H trực tâm tam giác ABC nên
( )
⊥
OH ABC (tham khảo tập 4, trang 105 SGK HH11) Suy n(ABC) =OH =(2;1;1)
Khi phương trình mặt phẳng ( )P có dạng: 2x+ + + =y z D
( )
H P nên: 2.2 1+ + +D= 0 D= −6 Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: 2x+ + − =y z
Chọn ý A
Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ( )S :x2+y2+z2−2x+6y−4z− =2 0, mặt phẳng ( ) :x+4y+ − =z 11 Gọi ( )P mặt phẳng vng góc với ( ) , ( )P song song với giá véctơ v=(1; 6; 2) ( )P tiếp xúc với ( )S Lập phương trình mặt phẳng ( )P
A 2x− +y 2z− =2 x−2y+ −z 21 0=
B x−2y+2z+ =3 x−2y+ −z 21 0=
C 2x− +y 2z+ =3 2x− +y 2z−21=0
D 2x− +y 2z+ =5 2x− +y 2z− =2
Lời giải
Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 3; 2− ) bán kính R=4 Véc tơ pháp tuyến ( ) n =(1; 4;1) Suy VTPT ( )P nP = n v, =(2; 1; 2− )
Do ( )P có dạng: 2x− +y 2z+ =d
(150)Hay
( )2
2
2
4
2
+ + + =
+ − +
d 21
3
= − =
d
d
Vậy phương trình mặt phẳng ( )P : 2x− +y 2z+ =3 2x− +y 2z−21=0 Chọn ý C
Câu 15 Trong không gian Oxyz cho điểm M(3; 2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua M cắt trục x Ox , y Oy , z Oz điểm A, B, C cho M trực tâm tam giác
ABC
A.3x+ +y 2z−14=0 B.3x+2y+ −z 14=0 C 9+ + =3 x y z
D
12+ + =4
x y z
Lời giải Giả sử A a( ; 0; 0), B(0; ; 0b ), C(0; 0;c) với , ,a b c0
Phương trình mặt phẳng ( )P qua A, B, C có dạng: x+ + =y z a b c Vì ( )P qua M(3; 2;1) nên ta có: 3+ + =2 1
a b c ( )1
( 3; 2; 1)
= − − −
MA a , BC=(0;−b c; ), MC = − −( 3; 2;c−1), AB= −( a b; ; 0)
M trực tâm tam giác ABC
2
2
3
3
=
= − =
− = =
=
c b
MA BC b c
b
a b a
MC AB ( )
2
Thay ( )2 vào ( )1 ta được:
14
9
1
2
14
=
+ + = = =
=
a b
b b b b
c
Vậy phương trình mặt phẳng ( ):3 14
14+ +7 14= + + − =
x y z
P x y z
Chọn ý B
Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng chứa điểm , cắt tia , , , , cho
A B C D
Lời giải
Phương trình mặt chắn cắt tia , cắt tia , cắt tia
có dạng (với , , )
Theo đề:
Vì nằm mặt phẳng nên ta có:
Khi ,
Oxyz ( )P
(1;3; 2)
M − Ox Oy Oz A B C
1
OA=OB=OC
2x− − − =y z x+2y+4z+ =1 4x+2y+ + =z 4x+2y+ − =z
Ox A a( ; 0; 0) Oy B(0; ; 0b ) Oz C(0; 0;c)
( )P :x y z
a+ + =b c a0 b0 c0
1
OA OB OC
= =
1 a b c
= =
2 b a
c b
=
=
(1;3; 2)
M − ( )P
2
b b b
−
+ + =
b
= =b
(151)Vậy phương trình mặt phẳng Chọn ý D
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , ,
Phương trình mặt phẳng qua , gốc tọa độ cách hai điểm ?
A. B. C. D.
Lời giải Cách 1: Ta có ,
Trường hợp nằm phía với , có giá song song với Phương trình
mặt phẳng qua có vtpt nên
Trường hợp nằm khác phía với , trung điểm thuộc
Có Phương trình mặt phẳng qua có vtpt nên
Cách 2: Gọi vtpt mặt phẳng
Ta có:
Phương trình mặt phẳng qua có dạng:
Vì nên
Suy có hai mặt phẳng thỏa mãn ycbt Chọn ý D
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1; 2), B(2; 2; 0− ), C(−2; 0;1)
Mặt phẳng ( )P qua A, trực tâm H tam giác ABC vng góc với mặt phẳng (ABC)
có phương trình
A 4x−2y− + =z 0 B 4x−2y+ + =z 0 C 4x+2y+ − =z 0 D 4x+2y− + =z Lời giải
Ta có AB=(2; 3; 2− − ), AC= − − −( 2; 1; 1) nên AB AC, = (1; 6; 8− ) Phương trình mặt phẳng (ABC) x+6y−8z+10=0
Phương trình mặt phẳng qua B vng góc với AC 2x+ + − =y z
( )P
2 x y z
+ + = 4x+2y+ − =z
Oxyz A(− −1; 2; 0) B(0; 4; 0− ) C(0; 0; 3− )
( )P A O B
C
( )P : 2x− +y 3z=0
( )P : 6x−3y+5z=0
( )P : 2x− −y 3z=0
( )P : 6− +x 3y+4z=0
(1; 2; 0)
AO= BC=(0; 4; 3− )
B C ( )P BC ( )P
( )P O n=BC AO, = −( 6;3; 4) ( )P : 6− +x 3y+4z=0
B C ( )P 0; 2;
2 I − −
BC ( )P
3 0; 2;
2 IO=
( )P O n= IO AO,
3 3; ;
2
= −
( )P : 6x−3y+4z=0
( ; ; )
n= a b c ( )P
( 1; 0)
OA= − − −
n OA= − −a b= = −a 2b = −n ( ; ;b b c)
( )P O −2bx+by+cz=0
( )
( ; ) ( ;( ))
d B P =d C P
4
3
4
c b
c b
c b
= =
− =
(152)Phương trình mặt phẳng qua C vng góc với AB 2x−3y−2z+ =6
Giao điểm ba mặt phẳng trực tâm H tam giác ABC nên 22 ; 70 176; 101 101 101
−
H
Mặt phẳng ( )P qua A, H nên 22; 31 ; 26 (22;31; 26) 101 101 101 101
⊥ = − − − = −
P
n AH
Mặt phẳng ( ) (P ⊥ ABC) nên nP ⊥n(ABC) =(1; 6; 8− )
Vậy n(ABC);uAH = (404; 202; 101− − ) vectơ pháp tuyến ( )P
Chọn nP =(4; 2; 1− − ) nên phương trình mặt phẳng ( )P 4x−2y− + =z
Chọn ý A
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu
và đường thẳng Phương trình mặt phẳng qua điểm song song với đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
A B. C. D.
Lời giải
Gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng ,
Phương trình mặt phẳng
Do nên
Mặt phẳng tiếp xúc với nên
Thay vào (*) ta được:
Trường hợp , chọn ; (thỏa)
Trường hợp , chọn ; (L ) Chọn ý D
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng mặt cầu Mặt phẳng chứa , tiếp xúc với cắt trục điểm có cao độ lớn có phương trình
A B C D
Lời giải
Mặt cầu có tâm bán kính
Oxyz ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9
6 2
:
3 2
x− y− z−
= =
− ( )P M(4;3; 4)
( )S
2
x− y+ z− = 2x+2y+ −z 18=0 2x− −y 2z−10=0 2x+ +y 2z−19=0 ( )P n=(a b c; ; ) a2+b2 +c2 0
( ) (P :a x−4) (+b y− +3) (c z−4)=0 ( )P // − +3a 2b+2c=03a=2(b+c)
( )P ( )S
2 2
3
3 a b c
a b c
− − − =
+ + ( ) ( ) ( )
2 2
9 a b c 3a b c *
+ + = + +
( ) 3a=2 a+b
( )2 ( 2 2) ( )2 2 2
4 b c+ +9 b +c =9 b c+ 2b −5bc+2c =0 (2b c b− )( −2c)=0 2b− =c b=1 c=2 =a 2( )P : 2x+ +y 2z−19=0
2
b− c= c=1 b=2 =a 2( )P : 2x+2y+ −z 18=0 ( )P
Oxyz :
10
x y z
d = + = −
( ) 2
: 15
S x +y +z + x− y+ z− = d ( )S Oz
2x−3y+4z−10=0 2x−3y+4z−12=0 3x−4y+2z−12=0 3x−4y+2z−10=0
(153)Mặt phẳng chứa có dạng
với
tiếp xúc với nên
Trường hợp 1: , phương trình mặt phẳng :
Khi giao điểm có tọa độ (nhận)
Trường hợp 2: , phương trình mặt phẳng : Khi giao điểm có tọa độ (loại)
Chọn ý A
Câu 21 Trong không gian Oxyz, gọi ( )P mặt phẳng chứa đường thẳng :
1
− = − = −
x y z
d
và cắt trục Ox, Oy A B cho đường thẳng AB vng góc với d Phương
trình mặt phẳng ( )P
A x+2y+5z− =5 0 B x+2y+5z− =4 C x+2y− − =z D 2x− − =y Lời giải
Ta có ud =(1; 2; 1− ), ( )
( ) ( )
; 0;
; ; 0; ;
= −
A Ox A a
AB a b
B Oy B b
Theo đề AB⊥ d AB u d = − +0 a 2b= =0 a 2bAB= −( ; ; 0b b )
( 2;1; 0)
= −u VTCP AB
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
2;1;
; 1; 2; 1; 2;5 1; 2;
= −
= − − − =
= −
d d
u
u u n
u
VTPT ( )P
Kết hợp với ( )P qua M(2;1; 0) d ( ) (P : x− +2) (2 y− +1) 5z= +0 x 2y+5z− =4 Chọn ý B
Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(3;5; ,− ) (B 0; 1;8 ,− )
( 1; 7;3 ,) (0;1; 2)
C − − D điểm M(1;1;5) Biết mặt phẳng ( )P :x+ay+bz+ =c qua điểm ,D M cắt cạnh AC ( )P chia khối tứ diện ABCDthành hai phần thể tích Tính S = + +a b c
A
3
S = B
3
S = − C
3
S= − D
3 S = Lời giải
2
:
10
x y z
d = + = − 10
8 10
x y
y z
− − =
− + =
( )P d m(4x−5y−10) (+n y−8z+10)=0
( )
4mx n 5m y 8nz 10n 10m
+ − − + − = 2
0 m +n
( )P ( )S d I( ,( )P )=R
( )2
2
29 29
29
16 64
m n
m n m n
− +
=
+ − +
2
12m 48mn 36n
+ + =
3
m n
m n
= − = −
m= −n ( )P 2x−3y+4z−10=0
( )P Ox 0; 0;5
2
3
m= − n ( )P x−2y+6z−10=0
( )P Ox 0; 0;5
3
(154)Theo giải thiết M thuộc cạnh ABthỏa mãn AM
AB = Giả sử ( )P cắt cạnh ACtại N , ta có
( )
2
0; 4;
3
A MDN ABCD ABCD ABCD
AM AN AN AN
V V V V N
AB AC AC AC
= = = = −
Vì ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0;1;
: 1;1;5 12; 3;1
0; 4;
P
D
P M n DM DN
N
= = −
−
Do ( ):12 x 14 1
4 12
P − y+ −z = −x y+ z− =
Suy 1
4 12
S = + + = − +a b c − = − Chọn đáp án C
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 0; ,) (B 0; 2; ,) (C 0; 0;3 ) Mặt cầu ( )S thay đổi qua A B C, , cắt ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , điểm
( )
, , , ,
M N P M A N B PC Gọi Hlà trực tâm tam giác MNP Tọa độ Hthỏa mãn phương trình phương trình sau
A x−2y−3z=0 B x+2y−3z=0 C 4x+ −y 2z=0 D − + −4x y 2z=0 Lời giải
Phương trình ngoại tiếp tam giác ABC giao hai mặt phẳng trung trực cạnh AB AC, có
phương trình ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
1 3
2
1
4 3 x t
x y z x y z t
y
x y z x y z
t z
=
− + + = + − +
= +
− + + = + + −
= +
Do tâm mặt cầu ( )S điểm ; 3; 4 3
t t
I t + +
thuộc trục ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi D E F, , hình chiếu vng góc I trục tọa độ Ox,Oy Oz, , ta có
A
M
N
C
(155)( ) ; 0; , 0; ; , 0; 0;
2 3
t t
D t E + F +
Mặt khác D E F, , trung điểm AM BN CP, , nên dễ có
( ) 2
2 1; 0; , 0; ; , 0; 0;
2
t t
M t− N − P −
Phương trình mặt phẳng (MNP) x+2y+3z− + =2t Từ tọa độ Hlà nghiệm hệ
2
1 3
; ;
7 14 7 14
0,
2 3
x y z t
t t t
H
y z z
x
+ + − + =
− − −
− = − =
Thay tương ứng vào đáp án suy chọn C
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a( ; 0; ,) (B 1; ; ,b ) (C 1; 0;c),với , ,
a b clà số thực thay đổi cho H(3; 2;1)là trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng
( )P :mx+ny+pz− =11 0đi qua , ,A B C Tính S= + +m n p
A S =5 B S =6 C S= −5 D S= −6
Lời giải
Tìm điểm I x y z( ; ; )sao cho tứ diện IABClà tứ diện vng I Khi IH ⊥( )P
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1
1
0
0
1 0
x a x y y b z
IA IB x
IA IC x a x y z z c y
z
IC IB x y y b z z c
= − − + − + = =
= − − + + − = =
= =
− + − + − =
Do I(1; 0; ,) (H 3; 2;1)nP =IH =(2; 2;1) ( ) P : 2x+2y+ − =z 11 Chọn đáp án A
Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2;1)và cắt trục ' , ' , '
x Ox y Oy z Oz A a( ; 0; ,) (B 0; ; , C 0; 0;b ) ( c)sao cho 12 42 2
OA +OB +OC đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức a+ +b c
A 12 B 14 C 76
3 D
73 Lời giải
Mặt phẳng có phương trình x y z a+ + =b c
Vì M(1; 2;1)thuộc mặt phẳng nên 1 a+ + =b c Do 12 42 92 12 42 92
OA +OB +OC =a +b +c
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có
2
2
2 2
1 1 1
.1 1
3
a b c a b c a b c
+ + = + + + + + +
(156)Do 12 42 92
1 19 1
9 a +b +c + + =
Dấu đạt
1
.1
19 38 76
3
, , 19
1 9
1
a b c
a b c a b c
a b c
= =
= = = + + =
+ + =
Chọn đáp án C
Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm S(1; 4;9) Mặt phẳng ( )P qua điểm S
và cắt tia Ox,Oy Oz, điểm , ,A B C cho OA OB+ +OC nhỏ Hỏi điểm thuộc mặt phẳng ( )P ?
A M(6; 2; 3− ) B N(2;3; 6− ) C P(2;3; 6) D Q(6; 3; 2− )
Lời giải
Giả sử A a( ; 0; ,) (B 0; ; ,b ) (C 0; 0; c) với , ,a b c0 điểm thuộc tia Ox,Oy Oz, Phương trình mặt phẳng x y z
a+ + =b c Vì S( )P nên
1
1 a+ + =b c
Khi OA OB+ +OC= + +a b cvà sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có
( )2
1
1
1 a b c 36
a b c a b c
+ +
= + + + + + +
Dấu đạt
1
6, 12, 18
1 a b c
a b c
a b c
= =
= = =
+ + =
Khi
6 12 18 x+ y + z = Chọn đáp án A
Câu 27 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm ; 0; , 0; ; , 0; 0;
1
A B C
m m m
+ +
với m số thực dương thay đổi Biết mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng cố định m thay đổi Viết phương trình đường thẳng
A
1
x t
y t
z t
= − +
= − =
B
1
x t
y t
z t
= −
= − +
= −
C
1
x t
y t
z t
= −
= − +
=
D 1 x t
y t
z t
= − = −
= − +
Lời giải Phương trình mặt phẳng (ABC)
1 1
1
x y z
m m m
+ + =
+ +
( 1) ( 2) ( ) ( 1)
mx m y m z m x y z y z
+ + + + = + + + + − =
(157)( ) ( )
1
2 0,
2
x t
x y z
m x y z y z m y t
y z
z t
= − +
+ + =
+ + + + − = = −
+ − =
=
Chọn đáp án A
Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1;1) hai đường thẳng
1
2
:
2
x t
d y
z t
= − =
= − +
và 2
5
:
3
x s
d y
z s
= + = = −
Gọi ,B Clần lượt điểm di động d d1, 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=AB+AC+BC
A 2 29 B 2 985 C 5+ 10+ 29 D 5+ 10
Lời giải
Gọi A A1, điểm đối xứng Aqua d d1, 2, ta có BA=BA CA1, =CA1do 1 2 29
P= A B+A C+BCA A =
Dấu xảy = B d1 A A C1 2, =d2A A1
Trong A1(−1;1; ,− ) (A2 3;1; ,) A A1 =2 29
Chọn đáp án A
Kiểm tra dấu bằng, dễ có 1 1 2 1;1; , 2 1 2 31;1;69
6 12 17 17
d A A =B− − d A A =C
Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2; 0; ,) (B 0;3; ,) (C 0; 0; ) Các điểm M N P, , tia OA OB OC, , cho
1 1
, , OP
2
OM OA ON OB OC
m m m
= = =
+ +
Với mlà số thực dương thay đổi Biết m thay đổi, mặt phẳng (MNP) ln chứa đường thẳng d cố định Tính khoảng cách h từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d
A 3
2 B
3 646
19 C
3 646
34 D
2 3
Lời giải Ta có 2; 0; , N 0; ; , P 0; 0;
2
M
m m m
+ +
Suy ( ): (2 1) (3 2)
2
m y m z
mx
MNP + + + + =
( ) ( )
( ) ( )
6 2
3 2
1
3
3 34
: 3
2 19
mx m y m z
m x y z y z
x t
x y z
d d y t h
y z
z t
+ + + + − = + + + + − =
= − +
+ + =
= − = + − =
=
(158)Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+2y−2z− =3 0và hai điểm
(1; 2;3 ,) (3; 4;5)
A B Gọi M điểm di động ( )P Tìm giá trị lớn biểu thức
2 MA
MB
+
A 3 6+ 78 B 3 3+ 78 C 3 54 78+ D 3 Lời giải
Theo giả thiết hệ thức lượng cho tam giác ta có
2 sin sin
2 sin
MA MA AB R B R M
P
MB MB R A
+ + +
= = =
( )
2 sin cos
sin sin 2 2
sin 2 sin cos
2
cos
1
2 54 78
, sin sin
sin
2
2
B M B M
B M
A A
A B M
A A AB P
+ −
+
= =
−
= = +
Trong sin( ,( )) 1.2 2.2 2.2 sin ,( ) 18 78
9
3.2
AB P AB P
− + −
= = =
Chọn đáp án C
Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình ( )P :
3
x+ +y z− = ( )Q : 3x− + − =y z Mặ phẳng ( )R chứa tất điểm cách hai mặt phẳng ( )P ( )Q có phương trình tổng qt là:
A 4x+4y− =3 B x−2y−2z=0 C 3x+ − − =y z D.2x−2y−2z− =1
Lời giải
Gọi tọa độ điểm M nằm ( )R là: M x y z( 0; 0; 0) Khi ta có: d M( ;( )P )=d M Q( ;( ))
0 3 0
1 9 1
x +y + z − x −y + −z
=
+ + + +
0 0 0
0 0 0
3
3
x y z x y z
x y z x y z
+ + − = − + −
+ + − = − + − +
0
0
2 2
4
x y z
x y
− − − =
+ − =
Vì loại mặt phẳng song song với trục Oz, nên ta suy mặt phẳng ( )R là: 2x−2y−2z− =1
(159)Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3; ,) (B −2;1; 4) đường thẳng
:
3 2
x− = y− = z+
− Mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng khoảng cách từ A đến ( )P gấp
ba lần khoảng cách từBđến ( )P Số mặt phẳng ( )P thỏa mãn là:
A 2 B. vô số C 0 D.1
Lời giải
Để khoảng cách từ A đến ( )P gấp ba lần khoảng cách từ Bđến ( )P ta có hai trường hợp sau
Mặt phẳng ( )P chứa qua điểm M thỏa mãn: MA+3MB=0 Hoặc mặt phẳng ( )P chứa qua điểm N thỏa mãn: NA−3NB=0
Nhận thấy nhanh AB= − −( 3; 2; 2) AB/ /, tức mặt phẳng chứa điểm M trùng với mặt phẳng chứa điểm N Tức tồn mặt phẳng ( )P thỏa mãn
Chọn ý D
Câu 33 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 1
1 2
x− y− z+
= =
− mặt phẳng ( )P :
6
x+ − − =y z Gọi ( ) mặt phẳng qua d tạo với ( )P góc nhỏ Khi dạng phương trình tổng qt ( ) có dang: ax+by+ + =z d Khi giá trị (a b d+ + ) bằng:
A 6 B −7 C 5 D −3 Lời giải
VTPT mặt phằng ( ) là: n( ) =( ; ;1)a b Từ giả thiết đường thẳng d nằm mặt phẳng ( ) suy ra: n( ) = 0 (1; 2; 2− ) (a b; ;1)= +a 2b− =2 ( )1
Góc tạo mặt phẳng( ) mặt phẳng ( )P nhỏ cosin góc lớn
( )
cos , P
p
P
n n n n
n n
= =
2 2 2 ( 2 )
1 1, 1.1 | 1|
1 1 ( 1)
a b a b
a b a b
+ − + −
=
+ + + + − + + đạt giá trị
Từ ( )1 suy ra: a= −2 2b vào biểu thức cosin ta được:
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
cos ,
3
3 (2 )
1
b b b b
n n
b b
b b
b
b b
−
− + − − +
= = =
− +
− + + − +
Khảo sát hàm số ta nhận giá trị lớn
9 b= −1 = −a 2b=4 A
M
B
( )P
A
B
(160)Suy mặt phẳng ( ) : 4x− + − =y z d
Lấy M(2;1; 1− ), suy M nằm ( ) , ta có: 4.2 1− + − + = = −( )1 d d Suy phương trình mặt phẳng ( ) : 4x− + − =y z 0(a b d+ + ) (= 6− − )= −3 Chọn ý D
Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;1), B(−1; 0; 2), C(3; 0; 0) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCcó tọa độ (a b c; ; ) bắn kính đường trịn ngoại tiếp
ABC
R Giá trị biểu thức T = + + +a b c RABC nằm khoảng đây?
A ( )0; B 2;
2
C
13 5;
2
D
7 ;5
Lời giải
Cặp VTCP mặt phẳng (ABC) là: AB= − −( 2; 2;1) AC=(2; 2; 1− − ) Suy VTPT mặt phẳng (ABC) là: (ABC)n(ABC) =[AB AC; ]=(4; 0;8) (=4 1; 0; 2)
Suy phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC):x+2z− =3 Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
( ; ; ) ( )
K ABC
K a b c KA KB KA KC
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
1
1
a c
b c b c
b c
a
b c
a
a a
+ − =
− + − + − = + + − + −
+ − + +
− − = − + − −
1
1
4 1; ;1
4
4
1 a a c
a b c b K
a b c
c
=
+ =
+ − = = − −
− + + = −
=
Suy bán kính đường trịn ngoại ABC là: ( ) ( )
2
2
1 1
4
ABC
R =KA= − + − − + −
9
=
Suy ra: 1
4
ABC
T = + + +a b c R = − + + =
Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )P :mx+(2m−1)y m z− + =3 Điểm cố định mà mặt phẳng ( )P qua với tham số thực m A a b c( ; ; ) Giá trị biểu thức
( )
T = a b c+ + bằng:
A 1 B −3 C 2 D 0
Lời giải
Ta biến đổi: ( )P :−m z2 +m x( +2y) (+ −3 y)=0 với m R Suy ra:
0
2
3 0
z x
x y y
y z
= = −
+ = =
− = =
( 6;3 0) ( ; ; ) ( )
A a b c a b c
− − = + + = −
(161)Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( ) (P : m−1) (x+ 2m−1)y+mz− =2 qua đường thẳng d cố định Biết VTCP đường thẳng d có dạng ud =(a; 2;b) Giá trị (a b+ ) bằng:
A 0 B −4 C −2 D 6
Lời giải
Ta biến đổi: ( )P : m x( +2y+ + − − +z) ( x y 2)=0 với m R
Suy ra:
2
x y z
x y
+ + =
− − − =
Đây phương trình tổng quát đường thẳng cố định d
Dễ dàng suy VTCP đường thẳng d là: u= −( 1;1; 1− ) Chọn VTCP (−2; 2; 2− )=(a; 2;b) Suy ra: a b+ = −4
Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2;1;1), B(2; 0;3), C(0;1;3),
(0; 2; 0)
D mặt phẳng ( )P :ax by+ +2z+ =d Biết ( )P qua ba điểm B,C,D phía so với ( )P Khi tổng khoảng cách từ B, C, D đến( )P lớn giá trị biểu thức (a b+ +2d) bằng:
A 4 B 5 C 6 D.7
Lời giải
Điểm A nằm ( )P suy ra: 2a b+ + + =2 d ( )1
Ba điểm B, C, D phía so với ( )P nên biểu thức: (2a+ +6 d) (; b+ +6 d) (; 2b d+ ) dấu với Khi 2a+ + + + + +6 d b d 2b d+ = 2a+3b+3d+12
Tổng khoảng cách từ ba điểm B, C, D đến mặt phẳng ( )P là:
( )
( ; ) ( ;( )) ( ;( ))
T =d B P +d C P +d D P
2 2 2 2
2 3 12
4 4
6
b d b
a d a b d
a b a b
d
a b a b
+ + + +
= + + + = +
+ + + +
+ +
+ + + +
Từ ( )1 suy ra: d = − − −2a b Thay vào biểu thức T ta được:
2
4 a T
a b
− =
+ +
Ta có: ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
2 (2
4 3)
2
6
;
4
4
4 a a
T f a f a
a a
a
a b a
a −
− − −
= = = =
+ +
+ + +
Dấu “=” xảy b=0 Khảo sát hàm số ( ) ( )
2
2
4 a f a
a
− =
+ ; thấy max ( )
25
f a =
3 a= −
Suy ra: ( ) 25
4
T f a = max
0
10
T 8
3
b
d a
=
= → =
= −
(162)Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu ( ) ( ) (2 )2
: 16
S x + y− + +z =
và ( ) (S' : x−4) (2+ y−3) (2+ −z 1)2 =9 Gọi điểm M a b c( ; ; )nằm mặt cầu ( )S điểm
( ; ; )
N m n p nằm mặt cầu ( )S' cho khoảng cách MN lớn Giá trị biểu thức
T = + + + + +a b c m n p tương ứng bằng:
A 38
5 B
18
5 C
26
3 D
23
−
Lời giải
Mặt cầu ( )S có tâm I(0;3; 2− ) bán kính R=4 Mặt cầu ( )S' có tâm I(4;3;1)và R'=3 Suy khoảng cách hai tâm II'=5 nhận thấy: R−R' II' +R R' hai mặt cắt
Ta có: MI =4;MI'=9;NI'=3;NI =8
Mà ' 16;3; 22 ( ; ; );
4 5
MI = MI M− − = a b c
từ ( )
3 32 14
' ;3; ; ;
8 5
NI = NI N = m n p
Suy ra: 38
5 T = + + + + + =a b c m n p Chọn ý A
Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = = −
− mặt
cầu ( ) (S : x−2)2+y2+(z−1)2 =1 Gọi ( )P ( )Q hai mặt phẳng chứa đường thẳngd tiếp xúc với mặt cầu ( )S M N Độ dài dây cung MN có giá trị bằng:
A 4 B
2
C D 1
Lời giải
Nếu gọi H hình chiếu vng góc tâm I(2; 0;1) lên đường thẳng d, ta có hình vẽ minh họa hai mặt phẳng ( )P ( )Q qua d, tiếp xúc với mặt cầu ( )S sau:
N
'
I I
3
( )S
(163)Phương trình tham số đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
= + = − = +
; VTCP d: ud =(2; 1; 2− ) Gọi H(1 ; 2; 2+ t − + t) Suy ra: IH =(2t− −1; t; 2t+1)
Có IH ⊥u( )d IH u ( )d = 0 2( t− − − +1) ( ) (1 2t+ = = 1) t H =(1; 0; 2)
Độ dài đoạn ( )2 2 ( )2
0
2 1
IH = − + + − =
Áp dụng định lí Pythago suy ra: ( )
2 2
HM=HN= IH −IM = − =1
Suy ra: 2 1.1
2 HM IM
MN MK
IH
= = = = Chọn ý C
Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x−2y z 6+ − =0 mặt cầu
( ) 2 ( )2 2
: 24
S x + y− +z = Gọi d đường thẳng song song với u=(1; 2;1) cắt ( )P ( )S M N cho MN đạt giá trị lớn Nếu tọa độ điểm N a b c( ; ; ) giá trị biểu thức (a−2b c+ ) bằng:
A 9 B C 7 D.
Lời giải
Gọi đường thẳng qua tâm I(0;1; 0) mặt cầu ( )S vng góc với mặt phằng ( )P Điểm M giao điểm mặt cầu ( )S Qua M lập đường thẳng song song với vec tơu=(1; 2;1) Khi đường thẳng d cắt mặt phẳng ( )P điểm N Ta chứng minh MN đạt giá trị lớn Giả sử có điểm M’ khác M (bao gần mặt phẳng ( )P M) Đường thẳng d qua M’ song song với vec tơ u=(1; 2;1) cắt mặt phẳng ( )P N’ hình vẽ Từ M’ kẻ đường thẳng song song với mặt phẳng ( )P cắt MN K Khi KNN’M’ hình bình hành, quan sát hình thấy
’ ’
M N =KN MN Vậy qua cách dựng MN đạt giá trị lớn
H
M
N
I K
(164)Đường thẳng có VTCP VTPT ( )P : uA =n( )P =(1; 2;1− )
Suy phương trình tham số :
0
x t
y t
z t
= +
= − =
Thay đường thằng vào mặt cầu ( )S , ta được: 2
4 24
t + t + =t → = t
Suy tọa độ hai giao điểm: M1(2; 3; 2)− M2(−2;5; 2− )
Để xác định xem điểm xa ( )P ta tính khoảng cách chúng tới ( )P :
( )
( ) ( ( ))
2 ( 3) 2.(5) 20
, ; ,
1 6
d M P = − − + − = d M P = − − − − =
+ + + +
Vậy điểm xa ( )P M =M2 = −( 2;5; 2− )
Để tìm điểm N ta lập phương trình đường thẳng d qua M nhận VTCP là: u=(1; 2;1) Phương trình tham số d:
2
2
x t
y t
z t
= − +
= +
= − +
( )
N = d P Thay d vào ( )P ta được: (− +2 t) (−2 2+ t) (+ − + − = = −2 t) t 10 Thay vào đường thẳng d suy ra: N(−12; 15; 12− − ) Suy ra: (a−2b c+ =)
Chọn ý D
' N N
I
' M K
(165)Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
( 1)
x t y m mt
z m m t
=
= −
= − + −
Biết tồn mặt cầu cố định ( )S qua B(5; 4;3) tiếp xúc với đường thẳng d m thay đổi Bán kính R mặt cầu ( )S bằng:
A 4 B 2 3 C 2 5 D
Lời giải
Điểm cố định mà đường thẳng d qua với m A(1; 0; 1− ) tham số t=1
Mặt cầu cố định ( )S tiếp xúc với d điểm cố định A Gọi tâm mặt cầu ( )S I a b c( ; ; ) ta phải có: IA⊥d với m IA u d =0 với m Có: IA=(a−1; ;b c+1 ;) ud =(1;−m m; −1)
Suy ra: 1(a− −1) m b( ) (+ m−1)(c+ =1) với m m c b( − + + − −1) (a c 2)=0 với m
2
1
a c a c
c b b c
− − = = +
− + = = +
( )1
Bán kính mặt cầu: R=IA=IB= (a−1)2+b2+ +(c 1)2 = (a−5) (2+ b−4) (2+ c−3)2 ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy ra: a=3;b=2;c= =1 R IA=2
Chọn ý B
Câu 43 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0;1 ,) (B 3;1; ,) (C 1;3; ,− ) (D −2; 0;3) Hai điểm P Q di động thỏa mãn PA=QC PB, =QD PC, =QA PD, =QB Khi mặt
phẳng trung trực PQ qua điểm cố định N Điểm N nằm đường thẳng tương ứng là:
A x+2y− − =z B 2x−3y+ + =z C 2x+ + − =y z D.3x− +y 2z−12=0
Lời giải
Từ giả thiết suy ra: PA2 =QC PB2, =QD PC2, =QA PD2, =QB2 Suy ra:
2 2 2 2
PA +PB +PC +PD =QC +QD +QA +QB ( )1 Đây biểu thức tỉ cự
Gọi N tâm tỉ cự biểu thức ( )1 , tức là: NA+NB+NC+ND=0 Từ suy tọa độ tâm tỉ cự
N xác định nhanh (1;1;1)
4
A B C D
N = + + + =
Đã biết biểu thức tỉ cự rút gọn sau:
( ) (2 ) (2 ) (2 )2
2 2
PA +PB +PC +PD = PN+NA + PN+NB + PN+NC + PN+ND
( )
2 2 2 2 2
4
PA PB PC PD PN NA NB NC ND PN NA NB NC ND
+ + + = + + + + + + + +
2 2 2 2 2
4
PA PB PC PD PN NA NB NC ND
+ + + = + + + + ( )2
Tương tự: 2 2 2 2
4
QA +QB +QC +QD = QN +NA +NB +NC +ND ( )3
(166)Câu 44 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 0), B(3; 2;1− ), C(0;1;1), D(−1; 0; 2) Gọi P Qlà hai điểm di động thỏa mãn hệ thức:
2 2 2 2
2
PA +PB + PC −PD =QA +QB + QC −QD
Gọi ( ) mặt phẳng trung trực PQ Khi ( ) ln qua điểm cố định có tọa độ(a b c; ; ) Giá trị biểu thức (a b c; ; ) bằng:
A 1 B C D.
Lời giải
Biểu thức cho dạng biểu thức tỉ cự Tọa độ tâm tỉ cự N xác định:
2
1; ;
1 3
A B C D
N = + + − =
+ + −
Khi giả thiết suy được: 2
3PN =3QN PN =QN N nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng PQ.Tức mặt phẳng trung trực đoạn thẳngPQ qua điểm cố định N
Suy 1; ;2 ( ; ; ) (2 ) 3
N = = a b c a b c+ + =
Chọn ý D
Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;3 ,) (B 2; 1;1 ,− ) (C 0; 2;3) Mặt phẳng ( )P có phương trình là: ax+2y+cz+ =d qua C, cho A B phía so với ( )P , đồng thời tổng khoảng cách từ A B đến ( )P đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức
( )
T = a c d+ + tương ứng bằng:
A 0 B −8 C 12 D −10 Lời giải
Ta có: d A( ;( )P )+d B( ;( )P )=2d M( ;( )P )=2MH
Với M trung điểm AB, H hình chiếu ⊥ M lên ( )P , suy raM(2; 0; 2)MC=3 Ta có: d A P( ;( ))+d B P( ;( ))=2d M( ;( )P )=2MH 2.MC=6 Suy tổng khoảng cách từ A B đến mặt phẳng ( )P lớn MH MCH C MC ⊥( )P
Suy mặt phẳng ( )P qua C nhận vec tơ MC= −( 2; 2;1) làm VTPT
Suy phương trình mp ( )P : −2x+2y+ − = =z ax+2y+cz+ = −d a 2;c=1;d = −7
Suy T =(a b d+ + )= −8 Vậy ta chọn đáp án B
A
M
B
H C
(167)Câu 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; ,− ) (B 1; 1; ,− ) (C 1; 2; 2− ) Mặt phẳng ( )P qua gốc tọa độ O, cho A B C, , phía so với ( )P Tổng khoảng cách từ
(1; 2; ,) (1; 1; ,) (1; 2; 2)
A − B − C − đạt giá trị lớn bằng:
A 3 B 3 C 3 10 D.3 Lời giải
Ta có: T =d A( ;( )P )+d B( ;( )P )+d C( ;( )P )=3d G( ;( )P )=3GH
Với G trọng tâm ABCvà H hình chiếu vng góc G lên ( )P Suy GO(1;1; 1− ) GO=
Ta có: T =d A P( ;( ))+d B P( ;( ))+d C P( ;( ))=3d G P( ;( ))=3GH 3.GO=3 Suy tổng khoảng cách từ A B đến mặt phẳng ( )P lớn GH GOH O GO⊥( )P
Suy giá trị lớn tổng khoảng cách ba điểm A, B, C tới mặt phẳng ( )P là:Tmax =3 Chọn ý A
Câu 47 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0;1 ,) (B 3; 2; 0− ) ,C(0; 0; 5− ),
( 3;1;3)
D − Mạt phẳng ( )P qua D cho A, B C phía so với mặt phẳng ( )P Giá trị lớn biểu thức T =d A P( ;( ))+2d B P( ;( ))+d C P( ;( )) tương ứng bằng:
A 12 B 16 C 12 D 8 Lời giải
Gọi điểm N thỏa mãn hệ thức tỉ cự NA+2NB+NC= 0 N =(2; 1; 1− − )
Ghi nhớ: Nếu điểm N thỏa mãn hệ thức véc tơ tỉ cự: NA+NB+NC=0 ba điểm A, B, C
nằm phía so với ( )P giá trị biểu thức:
( )
( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ) ( ;( )) ( )
T =d A P +d B P +d C P = + + d N P = + + NH Với H hình chiếu vng góc N lên mặt phẳng ( )P
Áp dụng vào tốn này, ta có:
Ta có: T =d A( ;( )P )+2d B( ;( )P )+d C( ;( )P )=4 d A( ;( )P )=4NH
( )
( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( )) 4 12
T =d A P + d B P +d C P = d N P = NH ND= Dấu “=” xảy khi: NH NDH D ND⊥( )P
A G B
C H O
(168)Suy giá trị lớn biểu thức T là: Tmax =12 Chọn ý A
Câu 48 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2;1;1 ,) (B 1; 3; ,− ) (C −2; 2; 4),
( )
D −3;1;3 Mặt phẳng ( )P qua góc tọa độ O cho A, B, C, D nằm phía so với ( )P Khi biểu thức T =d A( ;( )P )+2d B( ;( )P )+d C( ;( )P )+3d D( ;( )P ) đạt giá trị lớn phương trình mặt phẳng ( )P tương ứng ( )P :x by cz+ + + =d Giá trị biểu thức
( )
T = b c d+ + bằng:
A 3 B −3 C 2 D −2
Lời giải
Gọi điểm N thỏa mãn hệ thức tỉ cự: NA+2NB+NC+3ND= 0 N = −( 1; 0; 2)
( )
( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( )) 7
T =d A P + d B P +d A P + d D P = d N P = NH NO= Dấu “=” xảy NHNOH O NO⊥( )P VTPT ( )P ON = −( 1; 0; 2)
Suy phương trình mặt phẳng ( )P là: − +x 2z= −0 x 2z= =0 b 0;c= −2;d=0
( )
T b c d
= + + = − Vậy ta chọn đáp án D
Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y− − =z điểm
(3;1; 3)
A − , B(2;3; 1− ), ( 2)
4; ;
C m −m Số giá trị nguyên m để mặt phẳng ( )P cắt hai cạnh ABC
A 4 B −2 C 5 D 0
Lời giải Thay tọa độ hai điểm A B vào mặt phẳng ( )P ta được:
1.3 2.1 A
P = + + − = ; PB =1.2 2.3+ − − − = ( )1
Suy hai điểm A B phía so với mặt phẳng ( )P vì: PA 0, PB 0 Suy ta thay tọa độ điểm C vào mặt phẳng cho kết quả:
( 2)
1.4 2
C
P = + m− −m −
Để mặt phẳng ( )P cắt hai cạnh ABC
A N B
C H D
( )P
( )P O H
(169)0 C
P m2+2m− 5 −3, 45 − −1 6 − +m 61, 45 Vì m − − −m 3; 2; 1; 0;1
Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1; ,− ) (B a; 1; 2− ) Gọi M giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng ( )P :x+3y− − =z cho AB=3AM Tổng giá trị thực a thỏa mãn toán là?
A −13 B 24 C 6 D −29
Lời giải
Trường hợp 1:
2
1
; ;
3 3 3
4
M
M
M
a x
a
AM AB y M
z
+
=
+ −
= =
−
=
Vì M ( )P nên 3.1 15
3 3
a
a
+ + − − − = =
Trường hợp 2:
4
1 5 14
; ;
3 3 3
14
M
M
M
a x
a
AM AB y M
z
−
=
− −
= − =
−
=
Vì M ( )P nên 3.5 14
3 3
a
a
− + − − − = =
Do tổng giá trị a 24
Câu 51 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 3; ,− − ) (B a b c; ; ) Gọi M N P, , giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxy) (, Oyz) (, Ozx) cho
AM =MN =NP=PB Giá trị biểu thức T = + +a b c tương ứng bằng?
A −13 B 24 C 6 D −29
Lời giải
Ta thấy 0 1
2
A B N
x x a
NA+NB= x = + = = + = −a
Ta có 3MA MB+ = 0 3(zA−zM) (+ zB−zM)= 0 zB = −3zA+4zM = −3zA = =3 c
Ta có 1( ) ( ) 1
3PA PB+ = 3 yA−yP + yB−yP = yB = −3yA+3 yP = −3yA = =b Vậy ta có T = + + = − + + =a b c 1 3
A
M N P
B
M
(170)Câu 52 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 0;3 ,) (B a b c; ; ) Gọi M N P, , giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (Oyz) (, Ozx) (, Oxy) cho
3
AM = NP=PB Giá trị biểu thức T =3a+8b−11c
A 5 B −21 C 7 D 12
Lời giải
Ta đặt AM =2MN =3NP=PB=6dAM =PB=6 ,d MN =3 ,d NP=2d
Ta thấy 11 11( ) (6 )
11 A M B M
MA d
MA MB x x x x
MB MN NP PB d
=
+ = − + − = = + + =
Lại có 11( 0) (6 0) 011.2 11
3
M A B
x = x − + x − = + a= = −a
Tương tự ta có 9 8( ) (9 )
8 A N B N
NA NM MA d
NA NB y y y y
NB NP PB d
= + =
+ = − + − = = + =
Lại có yN = 0 8(yA− +0) (9 yB−0)= 0 8.0 9+ b= =0 b
Ta có 11 11 6( ) 11( )
6 A P B P
PA d
PA PB z z z z
PB d
=
+ = − + − = =
Lại có 6( 0) 11( 0) 6.3 11 18
11
P A P
z = z − + z − = + c= = −c
Vậy ta có 11 11 8.0 11 18
3 11
T = a+ b− c= − + − − =
Câu 53 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 0− ),B(a; b; c).Gọi M N P, , giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng ( )P :x−2y− =2 ,( )Q :y+ + =z
( )
, R :x+ −y 2z− =1 0sao cho AM =2MN =NP=PB Giá trị biểu thức T = + +a b c tương ứng
A −5 B 28
5
− C 17
5 D
31
−
Lời giải
Ta đặt AM =2MN =NP=PB=2dAM =NP=PB=2 ,d MN =d
Nhận thấy
5 2
5
2 2
5
5
5 2
5
A B M
A B
M
A B M
x x a
x
MA d y y b
MA MB y
MB d
z z c
z
+ +
= =
+
=
+ = = + = −
= +
+
= =
+
Lại có ( ) 2 2.2 2
7
M M
a b
M P x − y − = + − − − = a− b+ =
A
M N P
B
M
x = yN =0 zP =0
(1; 1; 0)
A −
M N P
( ; ; )
(171)Tương tự:
4 3
4
3 3
4
4
4 3
4
A B N
A B N
A B N
x x a
x
NA d y y b
NA NB y
NB d
z z c
z
+ +
= =
+
=
+ = = + = −
= +
+
= =
+
Lại có ( ) 3 10
7
N N
b c
N Q y +z + = − + + = b+ c+ =
Tương tự:
3 4
3
4 4
3
3
3 4
3
A B P
A B P
A B P
x x a
x
PA d y y b
PA PB y
PB d
z z c
z
+ +
= =
+
=
+ = = + = −
= +
+
= =
+
Lại có ( ) 4 2.4 4
7 7
P P P
a b c
P R x +y − z − = + + − − − = a+ b− − =c Giải hệ ( ) ( ) ( )1 , , suy ra: 34; 53; 49
15 60 20
a= − b= − c= −
Suy 28
5 T = + + = −a b c
Câu 54 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;a) (,B m n p; ; ) Gọi M N, giao điểm đường thẳng ABvới trụ tọa độ Ox Oy, cho AM =MN =NB Gía trị biểu thức T = + +m n p tương ứng
A 11
2
− B 2 C −3 D
2
−
Lời giải
Nhận thấy 2MA MB+ = 0 2(yA−yM) (+ yB −yM)= 0 2 0( − +) (n−0)= = −0 n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
1
2 2 0
2
A M N M
M N B N
A N B N
MA MN z z z z a a
MM NB z z z z p p
NA NB x x x x m m
+ = − + − = − + − = =
+ = − + = − + − = =
+ = − + − = − + − =
−
= −
Suy ra:
2
T = + + = − − + = −m n p
Câu 55 Trong không gian với hộ tọa độ Oxyz, cho bốn mặt phẳng ( )a :x+ +y 5z− =7 0,
( ) : x +y − − =z 0;( ) :x− − − =y z 0;( ) :x− −y 3z+ =1 Thể tích cùa khối tứ diện giới hạn bốn mặt phẳng có giá trị tương ứng
A 1
2 B 2 C 1 D
1 Lời giải
(172)Cứ ba mặt phẳng cho ln có điểm chung đỉnh tứ diện (nếu điểm chung có giao tuyến đường thẳng chung, chúng đôi cắt tạo ba giao tuyến ba đường thẳng song song với nhau)
Cách tìm tọa độ đỉnh tứ diện tạo mặt phẳng cho
• Tọa độ đỉnh A nghiệm hệ
( ) ( ) ( )
( )
:
:
0
;
0;1 :
2 x y z
x y z
A y z
x
+ + − =
+ − − =
−
− − =
• Tương tự, ta cho mặt phẳng giao suy B(3; 1;1− ) (;C 4;3; ) (;D 1; ;0 0)
Suy thể tích tứ diện cần tính: ,
ABCD
V = AB AC AD =
Câu 56 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d = − = +
−
3
: 2
1
x t
d y t
z t
= −
= − +
= − +
Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng hai mặt phẳng
A ( ) :x+ − =y z 0; ( ) : 3x−3y−2z− =6 B ( ) :x+ − =y 0; ( ) : 3x−3y−2z− =6
C ( ) : 3x+ − =y 0; ( ) : 3x+3y− − =z D ( ) :x+ − =y 0; ( ) : 2x−3y−2z− =7
Lời giải
Giao điểm hai đường thẳng d1d2 =A(2; 0; 0) Suy tồn hai mặt phẳng chứa tất điểm cách hai đường thẳng Các mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng
1,
d d chứa hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng d d1,
Chọn hai VTCP hai đường thẳng d d1, u1 =(2; 1; ,− − ) u2 = −( 1; 2;1)
Có hai VTCP hai đường phân giác
( )
( )
1 2 2
1 1
; ; 1;1;
6 6
3
; ; 3; 3;
6 6
u u
u
u u
u u
v
u u
= + = =
− −
= − = = − −
Hai mặt phẳng chứa điểm cách hai đường thẳng hai mặt phẳng nhận hai VTCP hai đường phân giác làm VTPT
• Trường hợp Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng mặt phẳng ( ) có VTPT (1;1; qua điểm ) A(2; 0; 0) Phương trình tổng quát ( ) là:x+ − =y
A
( ) ( )
(173)• Trường hợp Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng mặt phẳng ( ) có VTPT (3; 3; 2− − ) qua điểm A(2; 0; 0) Phương trình tổng quát ( ) là:
3x−3y−2z− =6
Câu 57 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2
x y z
d = − = −
− −
2
1
:
1 2
x y z
d − = − =
− Mặt phẳng ( )P cách hai đường thẳng d1 d2 có phương trình là? A 6x+2y+5z− =2 B 6x+2y+5z− =11
C 3x+ +y 2z− =3 D x+3y− =8 Lời giải
Đường thẳng d1 qua M1(0;1; 2), nhận u1=(2; 1; 2− − ) véc tơ phương Đường thẳng d2 qua M2(1; 2; 0), nhận u1=(1; 2; 2− ) véc tơ phương
Có M M1 2 =(1;1; 2− ), u u1; 2=(6; 2;5) Do u u1; 2.M M1 2 0 nên d1, d2 hai đường thẳng chéo
Do đó, mặt phẳng cần tìm mặt phẳng qua trung điểm 3; ;1 2 I
M M1 2, nhận 1; 2 (6; 2;5)
n= u u = véc tơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng cần tìm 5( 1) 11
2
x y z x y z
− + − + − = + + − =
Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm có tọa độ A(1; 1; 0− ),B(3; 0;1),
(4;1;1)
C , D(3; 2; 2− − ), E(− − −1; 2; 1) Số mặt phẳng tạo thành từ điểm tương ứng
A 4 B 7
C 6 D 5
Lời giải Phương trình mặt phẳng (ABC):x− − − =y z
Ta thấy điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC) điểm E thuộc mặt phẳng (ABC) Như vậy,
(174)Chú ý mặt phẳng (ABD) ( EBD) Suy có tất mặt phẳng tạo thành
Câu 59 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+2y−2z−10=0 hai điểm A(1; 2; ,) (B −1;3;1) Gọi ( )Q mặt phẳng qua ,A B đồng thời tạo với ( )P góc nhỏ Biết phương trình tổn quát ( )Q : 2x by+ + + =cz d 0, với , ,b c d số thực Khi giá trị tổng (b c+ +d)bằng:
A 10 B 12 C 18 D −8
Lời giải
Vecto pháp tuyến mặt phẳng ( )P là: n( )P =(1; 2; 2− ); mặt phẳng ( )Q là: (2; ;b c) Phương trình tổng quát mặt phẳng ( )Q là: 2(x− +1) (b y− +2) (c z−0) ( )= 0
Thay điểm Bvào ( )Q , ta được: 2(− − +1 1) (b 2− +) (c 0− )= = −0 c b( )1
Góc tạo hai mặt phẳng góc khơng tù tạo hai véc tơ pháp tuyến tương ứng Nếu gọi góc hai mặt phẳng ( )P ( )Q , ta có
( ) ( )
( ) 1.2 2.2 2 2 2 2 ( )
cos cos ;
1 4 4
P Q
b c
b c
n n
b c b c
+ −
+ −
= = =
+ + + + + +
Thay c từ ( )1 vào ( )2 ta được: ( )
2
2
2 2
cos
3 10
3
b c b
b b
b c
+ − −
= =
− +
+ +
Khảo sát hàm số căn, cho ta GTLN cos là: ( )
max
21
cos 4,
9 b c
= = − =
Lưu ý cosđạt giá trị lớn góc tương ứng nhỏ
Thay b c vào phương trình tổng quát ( )Q ( ) , ta được:
( ) (Q : x− −1) (4 y− +2) (8 z−0)=2x−4y+8z+ = 6 (b c+ +d)=10
Chọn ý A
Câu 60 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt ( )P :mx+(2m+1)y− −z 4m+ =2 0và điểm A(1; 2; 0) Khi khoảng cách từ Ađến mặt phẳng ( )P lớn hình chiếu vng góc
A lên ( )P H a b c( ; ; ) Giá trị (a b c+ + )bằng:
A 5 B 6 C 7 D 8
A B
C
(175)Phương trình mặt phẳng ( )P :mx+(2m+1)y− −z 4m+ =2
Mặt phẳng ( )P qua đường thẳng cố định với m Đường thẳng dcó phương trình
Tổng qt : x y d y z + − = − + =
Phương trình tham số ( )
2
:
3
x t
d y t
z t = + = − = −
Gọi K hình chiếu vng góc A lên ( )d , dễ dàng tìm K(2;1;3)
Gọi H hình chiếu vng góc A lên ( )P , ta có: d A P( ;( ))= AH AK = 11 Suy AHmax = AK Htrùng K(2;1;3) ( a b c+ + )=6
Chọn ý B
Câu 61 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( ) ( )
: m
P m + x+my+m z− = điểm
(0;1; 0)
B Khoảng cách lớn từ B đến mặt phẳng( )P nằm khoảng
A ( )1; B 1;1
C
5 2;
2
D
1 0; Lời giải Ta tính khoảng cách ( ( ))
( 2 )2 2 4
2
2
;
1
2 2 5
m d B P
m m m m
m
−
= =
+ + + + +
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 2 12 2 ( ;( )) 0.71 2
m d B P
m
+
+
Chọn ý B
Câu 62 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; 0; 1− ) mặt phẳng
( )P : 2x+ − − =y z mặt phẳng ( )Q :x−3y− =4 Gọi M điểm nằm ( )P N điểm nằm ( )Q cho Alà trung điểm MN Khi M chạy mặt phẳng ( )P quỹ tích điểm N đường thẳng d có phương trình tương ứng
A x t y t z t = + = = B x t y t z t = = = − C x t y t z t = + = + =
D x t y t z = = = Lời giải
Sử dụng phép biến hình Gọi ( )R mặt phẳng đối xứng với ( )P qua A Khi ta nhận thấy hai mặt
phẳng ( )P và( )R song song với nhau, có VTPT: n( )R =n( )P =(2;1; 1− ) lấy điểm Bthuộc
( )P có tọa độ B(1; 0; 0)→tọa độ điểm B' đối xứng với Bqua Alà B' 3; 0; 2( − )
Mặt phẳng ( )R qua B'nên có phương trình tổng quát : 2(x− +3) (1 y− −0) (1 z+2)=0
( )R : 2x y z
+ − − =
quỹ tích điểm N đường thằng giao tuyến hai mặt phẳng ( )R ( )Q , suy phương trình
tổng quát đường thằng ( )
( ) ( )
4 :
: :
:
7
x t
Q x y
d d y t
R x y z
(176)Chọn ý A
Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(a; 0; ,) (B 0; b;0 ,) (C 0; 0; c ) Gọi
I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Biết a c, b thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2
a+ b− =c tâm I thuộc mặt phẳng cố định ( )P Phương trình mặt phẳng ( )P tương ứng
A 2x− − − =y z B x+2y− − =z C x− − =y D 3x+ + − =y z Lời giải
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông gốc O là: ; ; (z; ; ) 2
a b c
I = = y z
Thay tọa độ tâm I vào biểu thức (a+2b c− =6)ta : 2x+4y−2z− = +6 x 2y− − =z Suy tâm I nằm mặt cầu thuộc mặt phẳng cố định ( )P có phương trình x+2y− − =z
(177)Tóm tắt nội dung
Ở chương thứ tìm hiểu đối tượng cuối mặt cầu Chủ đề có nhiều ứng dụng dạng tập đề thi THPT Quốc Gia nên cần nắm vững kiến thức phần
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I ĐỊNH NGHĨA
Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R
Kí hiệu: S I R( ; )S I R( ; ) = M IM/ =R
II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng Phương trình tắc Mặt cầu ( )S có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R0
( ) ( ) (2 ) (2 )2
:
S x−a + y b− + −z c =R
Dạng Phương trình tổng quát
( ) 2
2 2
:x +y +z − ax− by− cz+ =d
S
Như ta suy điều kiện để phương trình phương trình mặt cầu 2
0 a +b + − c d
• ( )S có tâm I a b c( ; ; )
• ( )S có bán kính R= a2+b2+c2−d
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S I R( ; ) mặt phẳng ( )P Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( )P =d IH
là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P Khi :
• Nếu d R: Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung
Chương
4 Các toán về phương
(178)• Nếu d =R: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc ( )P mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm
• Nếu dR:Mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I' bán kính
2
= −
r R IH
( )S I
R
H r
( )S I R
( )P H
( )P
(179)Lưu ý Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn
IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu S I R( ; ) đường thẳng Gọi H hình chiếu I lên Khi :
• IH R: khơng cắt mặt cầu
• IH =R: tiếp xúc với mặt cầu tiếp tuyến ( )S H tiếp điểm
• IH R: cắt mặt cầu hai điểm phân biệt
Lưu ý Trong trường hợp cắt ( )S điểm A, B bán kính R ( )S tính sau: + Xác định d I( ; =) IH
+ Lúc
2
2 2
= + = +
AB
R IH AH IH
V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu ( ) (S : x–a) (2+ y–b) (2+ z–c)2 =R2 tâm I a b c( ; ; ) bán kính R mặt phẳng
( )P :Ax+By Cz+ + =D
• Nếu d I P( ,( ))R mp ( )P mặt cầu ( )S khơng có điểm chung
• Nếu d I P( ,( ))=R mặt phẳng ( )P mặt cầu ( )S tiếp xúc Khi ( )P gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm
• Nếu d I P( ,( ))R mặt phẳng ( )P mặt cầu ( )S cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình ( ) ( ) ( )
2 2 2
0
− + − + − =
+ + + =
x a y b z c R
Ax By Cz D
Trong bán kính đường trịn ( ( ))2
,
= −
r R d I P tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu ( )S lên mặt phẳng ( )P
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Tìm tâm bán kính mặt cầu
• Phương trình ( ) (2 ) (2 )2 2
– –
− + + =
x a y b z c R phương trình mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R
• Phương trình 2
– – –
+ + + =
x y z ax by cz d thỏa điều kiện a2+b2+c2–d 0, phương trình trình mặt cầu tâm I a b c( ; ; ), bán kính R= a2+b2+ −c2 d
(180)Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình mặt cầu, phương trình mặt cầu tìm tâm bán kính mặt cầu
a) ( ) (2 )2
2
− + + + =
x y z
b) x2+y2+z2−2x+4y−6z+ =1 c) 3x2+3y2+3z2−6x+3y+21=0
Lời giải a) Phương trình ( ) (2 )2 2
2
x− + y+ +z = có dạng ( – ) (2+ − ) (2+ − )2 =
x a y b z c R nên phương
trình mặt cầu có tâm I(2; 3; 0− ) bán kính R= b) Phương trình 2
2
+ + − + − + =
x y z x y z có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d với
2 2
1, 2, 3, 13
= = − = = + + − =
a b c d a b c d
Vậy phương trình cho phương trình mặt cầu có tâm I(1; 2;3− )và bán kính R= 13 c) Phương trình 2
3x +3y +3z −6x+3y+21=0 x2+y2+z2−2x+ + =y có dạng
2 2
2 2
+ + − − − +
x y z ax by cz d
với 1, 1, 0, 2 23
2
= = − = = + + − = −
a b c d a b c d
Vậy phương trình cho khơng phải phương trình mặt cầu
Câu
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm m để phương trình sau phương trình mặt cầu
a) x2+y2+z2−2mx+2(m+1)y−4z+ =1 b) x2+y2+z2−2(m−3)x−4mz+ =8
Lời giải
a) Phương trình 2 ( )
2
+ + − + + − + =
x y z mx m y z có dạng
2 2
2 2
+ + − − − +
x y z ax by cz d với a=m b, = −(m+1 ,) c=2, d =1 Điều kiện 2
0
+ + −
a b c d ( )2
1
m + m+ + − 2m2+2m+ 4 m
b) Phương trình 2 ( )
2
+ + − − − + =
x y z m x mz có dạng
2 2
2 2
+ + − − − +
x y z ax by cz d với a= −m 3,b=0, c=2 ,m d =8 Điệu kiện 2
0
+ + −
a b c d (m−3) ( )2+ 2m 2− 8 5m2−6m+ 1
1
m m
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị thực tham số m để phương
phương trình 2 2( 2) – 2( ) 0
1
+ + + + − + − =
x y z m x m z m phương trình mặt cầu có bán
kính nhỏ
Lời giải
Phương trình 2 2( 2) – 2( ) 0
1
+ + + + − + − =
x y z m x m z m có dạng:
2+ 2+ 2−2 – 2 −2 + =0
(181)Điều kiện để phương trình cho cho phương trình mặt cầu: 2
0
+ + −
a b c d
( ) (2 )2 ( )
2
m+ + m− − m −
2 14
m − m+ m
Khi bán kính mặt cầu 2 ( )2
2 14 13 13
= − + = − +
R m m m
Do minR= 13 m=1
Dạng Viết phương trình mặt cầu
Cách
• Xác định tâm I a b c( ; ; )
• Xác định bán kính R ( )S
• Mặt cầu ( )S có tâm I a b c( ; ; ) bán kínhR là: (x−a) (2+ y b− ) (2+ −z c)2 =R2
Cách
Gọi phương trình ( )S :x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+ =d
Phương trình ( )S hồn tồn xác định biết , , , .a b c d (a2+b2+ − c2 d 0) CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Có đường kính AB với A(4; −3; 7), B(2; 1; 3)
b) Có tâm C(3; 3;1− ) qua điểm A(5; 2;1− )
c) Có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy) qua điểm A(1; 1; , ) (B 2; − −1; , ) (C −1; 0; 2) d) Có tâm A(2; 4;−5) tiếp xúc với trục Oz
Lời giải a) Có đường kính AB với A(4; −3; , ) (B 2; 1; 3) Tâm I mặt cầu trung điểm AB I(3; 1;5− )
Bán kính mặt cầu 1 (2 4) (2 3) (2 7)2
2
= = − + + + − =
R AB
Vậy phương trình mặt cầu là:(x– 3) (2+ y+1) (2+ z– 5)2 =9 b) Có tâm C(3; 3;1− ) qua điểm A(5; 2;1− )
Tâm mặt cầu C(3; 3;1− )
Bán kính mặt cầu R=CA= (5 3− ) (2+ − +2 3) (2+ −1 1)2 = Vậy phương trình mặt cầu là:(x– 3) (2+ y+3) (2 + z–1)2 =5
(182)Mặt cầu qua điểm A(1; 1; , ) (B 2; − −1; , ) (C −1; 0; 2), suy ra:
3 2
14
5
− − − + =
− + + + =
+ − + =
a b c d
a b c d
a c d
( )2
Từ ( )1 ( )2 ta tìm được: , 12, 0, 32
10 5
= = − = = −
a b c d
Vậy phương trình mặt cầu 2 24 32
5 5
+ + − + − =
x y z x z
d) Có tâm A(2; 4; −5) tiếp xúc với trục Oz Tâm mặt cầu A(2; 4; −5)
Gọi H hình chiếu A lên trục Oz H(0; 0; 5− )
Bán kính mặt cầu R= AH = (0 2− ) (2+ −0 4) (2+ − +5 5)2 = 20 Vậy phương trình mặt cầu là: (x– 2) (2+ y−4) (2+ z+5)2 =20
Câu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;1; ,) B(1;1; ,− ) C(−1; 0;1) Phương trình mặt
cầu qua điểm , ,A B C có tâm nằm mp Oxz( )
A. 2
2
+ + − − − =
x y z x z B. 2
4 2
+ + − + + =
x y z x z
C. 2
2
+ + − + − =
x y z x z D. 2
2
+ + − − − =
x y z y z
Lời giải
Gọi phương trình mặt cầu dạng:x2+y2+z2– 2ax– 2by– 2cz+ =d 0, a2+b2+ − c2 d Mặt cầu có tâm I a b c( ; ; )mp Oxz( ) =b ( )1
Mặt cầu qua điểm A(1;1; ,) (B 1;1; ,− ) (C −1; 0;1), suy ra:
6 2
3 2
2 2
− − − + =
− − + + =
+ − + =
a b c d
a b c d
a c d
( )2
Từ ( )1 ( )2 ta tìm được: 3, 0, 1,
4 2
= = = = −
a b c d
Vậy phương trình mặt cầu là: 2
2
+ + − − − =
x y z x z
Câu
Viết phương trình mặt cầu ( )S biết :
a) ( )S qua bốn điểm A(1; 2; , − ) (B 1; 3;1 , − ) (C 2; 2;3 , ) (D 1; 0; 4)
b) ( )S qua A(0;8; , ) (B 4; 6; , ) (C 0;12; 4) có tâm I thuộc mặt phẳng (Oxz) Lời giải
(183)Theo giả thiết:
2 2 2
1
7
4
=
= − + = − = −
= = + = − =
= = − = =
IA IB
IA IB y z x
IA IC IA IC x z y
IA ID IA ID y z z
Do I(−2;1; 0) R=IA= 26 Vậy (S) : (x+2) (2+ y−1)2+z2 =26
Cách Gọi phương trình mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+ =d 0,( 2 )
0
+ + −
a b c d
Do A(1; 2; 4− ) ( )S −2a−4b+8c+ = −d 21 ( )1 Tương tự B(1; 3;1− ) ( ) S − +2a 6b−2c+ = −d 11 ( )2
C(2; 2;3) ( ) S −4a−4b−6c+ = −d 17 ( )3
D(1; 0; 4) ( ) S − −2a 8c+ = −d 17 ( )4
Giải hệ ( ) ( ) ( ) ( )1 , , , ta có , , , a b c d, suy phương trình mặt cầu
( )S : (x+2) (2+ y−1)2+z2 =26 b) Do tâm I mặt cầu nằm mặt phẳng (Oyz)I(0; ;b c) Ta có
2 2
7
= =
= = = =
IA IB b
IA IB IC
c
IA IC
Vậy I(0; 7;5) R= 26 Vậy ( )S :x2+(y−7) (2+ z−5)2 =26
Câu
Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I thuộc đường thẳng :
=
= −
= −
x t y z t
( )S tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) : x+2y+2z+ =3 ( ) :x+2y+2z+ =7
Lời giải Gọi I t( ; 1;− − t) tâm mặt cầu ( )S cần tìm
Theo giả thiết ( ,( )) ( ,( )) 5
1
3
− = − − −
= = − = − =
t t
t t
d I d I t
t t
Suy raI(3; 1; 3− − ) ( ,( ))
= =
R d I Vậy ( )S : ( 3) (2 1) (2 3)2
− + + + + =
x y z
Câu
Lập phương trình mặt cầu ( )S qua điểm A(2; 6; , ) (B 4; 0;8) có tâm thuộc đường thẳng
d:
1
− = = + −
x y z
Lời giải
Ta có
1
:
5
= − =
= − +
x t
d y t
z t
Gọi I(1−t; ; 5t − + t) d tâm mặt cầu ( )S cần tìm Ta có: IA= +(1 t; ;5− t −t), IB= + −(3 t; ;13t −t)
(184)( ) (2 ) (2 )2 ( )2 ( )2
1 13
+t + − t + −t = +t + t + −t 29
62 32 178 20 12 116
3
− t= − t t= − = −t
32 58 44 ; ;
3 3
− −
I R=IA=2 233
Vậy ( )S :
2 2
32 58 44
932
3 3
− + + + + =
x y z
Câu
Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(2;3; 1− ) cắt đường thẳng : 1
1
+ − = =
−
x y z
hai điểm A, B với AB=16
Lời giải Chọn M(−1;1; 0) IM = − −( 3; 2;1)
Đường thẳng có vectơ phương u =(1; 4;1− )
Ta có ( ) ( )
,
, 2; 4;14 d ,
= = =
IM u
IM u I
u
Gọi R bán kính mặt cầu ( )S Theo giả thiết ( )
2
d , 19
4
= + AB =
R I
Vậy ( )S : (x−2) (2+ y−3) (2+ +z 1)2 =76
Câu
Cho hai mặt phẳng ( )P : 5x−4y+ − =z 0, ( )Q : 2x− + + =y z đường thẳng
1
:
7
− −
= = −
x y z
Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I giao điểm ( )P cho
( )Q cắt ( )S theo hình trịn có diện tích 20 Lời giải
Ta có
1
:
1
= +
=
= −
x t
y t
z t
Tọa độ I nghiệm hệ phương trình:
( ) ( ) ( )
( )
1 2
= +
=
= −
− + − =
x t
y t
z t
x y z
Thay ( ) ( ) ( )1 , , vào ( )4 ta có: 7( + t) ( ) (−4 3t + −1 2t)− = = 6 t I(1; 0;1) Ta có ( ,( ))
3
=
d I Q
Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến ( )S mặt phẳng ( )Q Ta có: 20 = =r2 r R bán kính mặt cầu ( )S cần tìm
Theo giả thiết ( ,( )) 2 330
= + =
R d I Q r Vậy ( )S : ( 1)2 ( 1)2 110
− + + − =
(185)Câu
Cho mặt phẳng ( )P : 2x− −y 2z− =2 đường thẳng : 2
= −
= −
= +
x t
d y t
z t
Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I thuộc d I cách ( )P khoảng ( )S cắt
( )P theo giao tuyến đường trịn có bán kính Lời giải
Gọi I(−t; 2t−1;t+ 2) d: tâm mặt cầu ( )S R bán kính ( )S Theo giả thiết ( ( )) 2
; 13
= + = + =
R d I P r
Mặt khác ( ( ))
1
2 2 6
; 2 6
11 4
6
= − − + − − −
= = + =
+ + = −
t
t t t
d I P t
t
Với
=
t , tâm 1 1; 13; 6
− −
I , suy ( )
2 2
1
1 13
: 13
6
+ + + + − =
S x y z
Với 11
6
= −
t , tâm 2 11; 1; 6
−
I , suy ( )
2 2
2
11
: 13
6
− + + + − =
S x y z
Câu
Cho điểm I(1; 0;3) đường thẳng : 1
2
− + − = =
x y z
d Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm I cắt d hai điểm A, B cho IAB vuông I
Lời giải
Đường thẳng d có vectơ phương u=(2;1; 2) P(1; 1;1− )d Ta có IP=(0; 1; 2− − )u IP, =(0; 4; 2− − ) ( ( ))
, 20
;
3
d I d = u IP =
u
Gọi R bán kính ( )S Theo giả thiết, IAB vuông I
( )
( )
2 2
1 1 40
2 ,
3
= + = =R IH = d I d =
IH IA IB R
Vậy ( )S :( 1)2 ( 3)2 40
− + + − =
x y z
Câu 10
Cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−4x−4y−4z=0 điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng
(186)Nhận xét Điểm O A thuộc ( )S
Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp '
3
=OA=
R
Khoảng cách ( ;( )) ( )' 2
= − =
d I P R R
Mặt phẳng ( )P qua O có phương trình dạng ax by+ +cz=0 (a2+b2+c2 0 *) ( )
Do ( )P qua A, suy 4a+4b= = −0 b a
Lúc ( ( )) ( )
2 2 2 2
2 2
;
3
2
+ +
= = =
+ + + +
a b c c c
d I P
a b c a c a c
2 2
2
1
= + =
= −
c a
a c c
c Theo ( )* , suy ( )P :x− + =y z x− − =y z Chú ý Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian
Cho mặt cầu ( )S tâm I bán kính R Mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo đường tròn ( )C
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng ( )P
Bước 2: Tâm I’ đường tròn ( )C giao điểm d mặt phẳng ( )P
Bước 3: Gọi r bán kính ( )C : ( ( ))
;
= −
r R d I P
Câu 11
Chứng minh rằng: Mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x− =3 cắt mặt phẳng ( )P :x− =2 theo giao tuyến đường tròn ( )C Xác định tâm bán kính ( )C
Lời giải Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 0; 0) bán kính R=2
Ta có d I P( ,( ))= = 1 R mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn
Đường thẳng d qua I(1; 0; 0) vng góc với ( )P nên nhận nP =(1; 0; 0) làm vectơ phương, có phương trình
1
:
0
= + = =
x t
d y z
Tọa độ tâm I' đường tròn nghiệm hệ : ( )
1
2
0 ' 2; 0; 0
0
= +
= =
=
=
=
− =
x t
x y
y I
z
z x
Ta cód I P( ,( ))=1 Gọi r bán kính ( )C , ta có r= R2−d I P( ,( ))2 =
Dạng Sự tương giao tiếp xúc
Các điều kiện tiếp xúc
(187)+ Mặt phẳng( ) tiếp diện ( )S d I( ;( ) =) R Lưu ý dạng tốn liên quan tìm tiếp điểm, tương giao CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Cho đường thẳng ( ):
2 1
− − = =
−
x y z
và mặt cầu ( )S : x2+y2+z2−2x+4z+ =1 Số điểm chung ( ) ( )S bao nhiêu?
Lời giải
Đường thẳng( ) qua M(0;1; 2)và có vectơ phương u=(2;1; 1− ) Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 0; 2− )và bán kính R=2
Ta có MI =(1; 1; 4− − )và u MI, = − ( 5; 7; 3− ) ( )
, 498
,
6
d I = u MI =
u
Vì d I( , ) R nên ( ) không cắt mặt cầu ( )S
Câu
Cho điểm I(1; 2;3− ) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là?
Lời giải
Gọi M hình chiếu I(1; 2;3− ) lên Oy, ta có : M(0; 2; 0− )
( 1; 0; 3) ( , ) 10
= − − = = =
IM R d I Oy IM bán kính mặt cầu cần tìm Phương trình mặt cầulà : (x−1) (2+ y+2) (2 z−3)2 =10
Câu
Cho điểm I(1; 2;3− )và đường thẳng d có phương trình
2 1
+ = − = + −
x y z
Viết phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d
Lời giải
Đường thẳng ( )d qua I(−1; 2; 3− )và có VTCP u=(2;1; 1− ) ( )
,
,
d A d = u AM =
u
Phương trình mặt cầu : ( ) (2 ) (2 )2
1 50
− + + − =
x y z
Câu
Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm I(2;3; 1− ) cắt đường thẳng : 11 25
2
− = = + −
x y z
d điểm
A, B cho AB=16?
(188)Đường thẳng ( )d qua M(11; 0; 25− )và có vectơ phương u=(2;1; 2− ) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có:
( ) , 2
, 15 17
2
= = = = + =
u MI AB
IH d I AB R IH
u
Vậy ( )S : (x−2) (2+ y−3) (2+ +z 1)2 =289
Lựa chọn đáp án C
Câu
Cho điểm I(1; 0; 0)và đường thẳng : 1
1
− − + = =
x y z
d Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB
Lời giải
Đường thẳng( ) qua M =(1;1; 2− )và có vectơ phương u=(1; 2;1) Ta có MI =(0; 1; 2− )và u MI, = (5; 2; 1− − )
Gọi H hình chiếu I (d) Ta có ( )
,
,
= = u MI =
IH d I AB
u
Xét tam giác IAB, có 2 15
2 3
= = IH =
IH R R
Vậy phương trình mặt cầu là: ( 1)2 2 20
+ + + =
x y z
Câu
Cho đường thẳng :
2
x− y− z
= = mặt phẳng ( )P : 2x− +y 2z=0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng ( )P
Lời giải I
B
A d
R
H I
B
A d
R
(189)Gọi I a b c( ; ; ) tâm mặt cầu Do I I(1 ;3 ;+ t + t t) Do mặt cầu có bán kính tiếp xúc với ( )P nên ta có
( )
( ) ( )
( )2
2
2 2
; 1
2
2
t t t t t
d I P t
t t
+ − − + − = =
= = − =
− = − = −
+ − +
Với t= 2 I(5;11; 2) nên phương trình mặt cầu (x−5) (2+ y−11) (2 + −z 2)2 =1
Với t= − 1 I(− − −1; 1; 1) nên phương trình mặt cầu (x+1) (2+ y+1) (2+ +z 1)2 =1
Câu
Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = =
− hai điểm
(2;1; ,) ( 2;3; )
A B − Viết phương trình mặt cầu qua A B, có tâm thuộc đường thẳngd Lời giải
Gọi I tâm mặt cầu Do I I(1 ; ; 2+ t t − t) Do mặt cầu qua hai điểm A B, nên ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1 2 3 2
20 20 1; 1; ; 17
IA IB t t t t t t
t t I R IA
= − + − + = − − + − + +
+ = = − − − = =
Vậy phương trình mặt cầu là: (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =17
Câu
Cho d giao tuyến hai mặt phẳng ( )P :x−2y+ − =z 0,( )Q : 2y+ + =z Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;1;1) cắt d hai điểm phân biệt A,B cho AB =16
Lời giải Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến n1(1;−2;1)
, ( )Q có vectơ pháp tuyến n2(0;2;1)
nên d có vectơ phương u=n1;n2=(−4;−1;2)
Đường thẳng d qua điểm N(14; 0; 5− )IN =(13; 1; 6− − )IN u, =(8; 2;17)
Khoảng cách từ I đến d
( ) ( )4 17 17
2 ,
2 2
2 2
= + − + −
+ + =
=
u u IN
h
Gọi M hình chiếu I d M trung điểm AB IM =h,AM =8 Bán kính mặt cầu R=IA= h2+AM2 = 17+82 =9
Phương trình mặt cầu cần tìm ( ) (2 ) (2 )2
1 1 81
− + − + − =
x y z
Câu
Cho đường thẳng d:
3 1
x− y+ z
= = mặt phẳng ( )P : 2x+ −y 2z+ =2 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với ( )P có bán kính
(190)Gọi I tâm mặt cầu Do Id nên I(3t+1;t−2;t), với t tham số thực Mặt khác, mặt cầu tiếp xúc với ( )P có bán kính nên d I( ; (P))=1
2 2
2(3 1) 2
1 ( 2)
t+ + − − +t t
=
+ + − 5t+ =2
1
5
1
t t
t
t
+ = =
+ = −
= −
Với
5
t= , ta có 8; 1;
5 5
I −
Với t= −1, ta có I(− − −2; 3; 1)
Như có hai phương trình mặt cầu thỏa mãn u cầu tốn
2 2
8
1
5 5
x y z
− + + + − =
; ( ) ( ) ( )
2 2
2 1
x+ + y+ + +z =
Câu 10
Cho ba điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1;1;1)và mặt phẳng ( )P : x+ + − =y z Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A B C, , có tâm thuộc mặt phẳng ( )P
Lời giải Gọi ( )S mặt cầu có phương trình tổng qt: 2
0
x +y +z +ax by+ + + =cz d với a b c d, , , số thỏa mãn 2
0
a +b +c − d Suy ( )S có tâm ; ;
2 2
a b c
I− − −
Theo ta có hệ phương trình
5
1
3
2
2 2
a c d a d
a b c d a b c
+ + + =
+ + =
+ + + + =
− − − − =
Giải hệ ta
2
2 a b c d
= − = = − =
Vậy phương trình ( )S thỏa mãn yêu cầu toán x2+y2+z2−2x−2z+ =1
Câu 11
Cho hai mặt phẳng có phương trình ( )P :x+ −y 2z+ =5 0, ( )Q : 2x− + + =y z
đường thẳng : 1
2
x y z
d = − = + Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) ( )P , Q
Lời giải Gọi tâm bán kính mặt cầu I R,
Vì tâm Id nên I(2 ;t t+1; 2t−1)
(191)Có ( ,( )) 2 2( 1)
1
t t t t
d I P = + + − − + = − +
+ + ( ( ))
4 2
,
4 1
t t t t
d I Q = − − + − + =
+ +
4
8
8
8
2
t t t t
t t
t t t
t
− + = = =
− + =
− + = − − =
= −
Với 5; ; ; 10
3 3
t t= I R= =
Phương trình mặt cầu
2 2
8 200
3 3 27
x y z
− + − + − =
Với ( 4; 1; ;) 5
3 t t= − − − −I R= =
Phương trình mặt cầu ( ) (2 ) (2 )2 50
4
3 x+ + y+ + +z =
Câu 12
Cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2 −4x−4y−4z=0 điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng
(OAB), biết điểm B thuộc ( )S tam giác OAB
Lời giải Mặt cầu ( )S có tâm I(2; 2; 2) bán kính R=2 Nhận xét O A, thuộc ( )S
Xét OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp
3
OA
r= =
Khoảng cách ( ,( )) 2 12 32
3
d I P = R −r = − =
Phương trình mặt phẳng ( )P qua O có dạng: ax+by+cz=0, a2+b2 +c2 0 Vì( )P qua Anên 4a+4b= = −0 b a ( ( ))
2 2 2
2 2 2
,
3
a b c c
d I P
a b c a c
+ +
= = =
+ + +
2 2
2a c 3c
+ = = c a
Vớic= −a, chọna= = −1 b 1;c= −1( )P :x− − =y z Vớic=a, chọna= = −1 b 1;c=1( )P :x− + =y z
Vậy phương trình mặt phẳng ( )P thỏa mãn là: x− − =y z 0 x− + =y z
Câu 13
Cho điểm A(0;0; 2− )và đường thẳng : 2
2
x+ y− z+
= = Tính khoảng cách từ điểm A đến
Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt hai điểm phân biệt B C cho BC=8 Lời giải
(192)Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( )
, 49 100
,
4 u MA
d A
u
+ +
= = =
+ +
Gọi ( )S mặt cầu tâm A, cắt hai điểm phân biệt B C cho BC=8 ta có bán kính mặt cầu ( )S ( )
2
2 2
,
4 BC
R= d A + = + =
Vậy phương trình mặt cầu ( )S :x2+y2+(z+2)2 =25
Câu 14
Cho mặt phẳng ( )P : 2x−2y− − =z mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x−4y−6z− =11 Chứng minh mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn đó?
Lời giải
Ta có ( )S :x2+y2+z2−2x−4y−6z− = 11 (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =25Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) bán kính R=5
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( )P ( ( ))
( )2
2
2.1 2.2
,
2
d I P = − − − =
+ − + nên mặt phẳng
( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường tròn ( )C
Gọi H hình chiếu I mặt phẳng ( )P ta có IH =d I P( ,( ))= 3 bán kính đường trịn ( )C r= R2−IH2 = 52−32 =4
Gọi đường thẳng qua I(1; 2;3) vng góc với mặt phẳng ( )P nhận vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P n=(2; 2; 1− − ) làm vectơ phương
Phương trình đường thẳng
1
: 2
3
x t
y t
z t
= +
= − = −
Tọa độ điểm H x y z( ; ; ) nghiệm hệ phương trình
2
3
0 2
2
x y z
x
x t
y
y t
z
z t
− − − =
=
= +
=
= −
=
= −
Vậy H(3;0; 2)
A
M
B
C
(193)Câu 15
Cho mặt phẳng ( )P : 6x+3y−2z− =1 mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−6x−4y−2z− =11 Chứng minh mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo đường tròn Xác định tọa độ tâm đường trịng
Lời giải Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 2;1) bán kính R=5 Ta thấy ( ( ))
( )2 2
6.3 3.2 2.1
;
6
+ − −
= =
+ + −
d I P R
Do mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo đường tròn ( )C tâm H
Do IHvng góc với mặt phẳng ( )P nên phương trình đường thẳng :
6
x y z
IH − = − = −
− suy
(3 ; ;1 2+ + − )
H t t t H thuộc mặt phẳng ( )P nên
( ) ( ) ( )
6 3 2
7
−
+ t + + t − − t − = =t 13; ; 7
H
Câu 16
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A(0; 1; 2− ), B(1; 0;3) tiếp xúc với mặt cầu ( )S :
( ) (2 ) (2 )2
1 2
x− + y− + +z =
Lời giải
Gọi phương trình mặt phẳng ( )P có dạng: Ax+By+Cz+D=0, khơng tính tổng qt ta chọn A, B, C thỏa mãn 2
2
A +B +C = D0
Do ( )P qua A(0; 1; 2− ), B(1; 0;3) tiếp xúc với ( )S có tâm I(1; 2; 1− ), bán kính nên
2 2
2 2 2
B C D
A C D
A B C D
A B C
− + + = + + = + − + = + + =
2 2
2 2
2 2 2 2
B C D
A C D
A B C D
A B C
B C D
A C D
A B C D
A B C
− + + = + + = + − + = + + = − + + = + + = + − + = − + + =
2 2
2 2
2 2
B C D
A C D
D
A B C
B C D
A C D
D
A B C
= + = − − = + + = = + = − − = − + + =
Do D0nên
2 2
2
2
B C D
A C D
D
A B C
= + = − − = + + = C C
B C D
A C D
D = = − = + = − − =
Khi
1 1 A B C D = − = = = 7 A B C D = = − = − =
(194)Câu 17
Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A(1;1; 2), vng góc với mặt phẳng ( )Q :
2x+ −y 6z+ =5 tiếp xúc với mặt cầu ( )S : x2+y2+z2−2x+4y−4z+ =5 Lời giải
Gọi M a b c( ; ; ) tiếp điểm ( )P với mặt cầu ( )S suy M( )S hay
2 2
2 4
a +b +c − a+ b− c+ = (a−1) (2+ b+2) (2+ −c 2)2 =4 ( )1
Ta lại có IM (với I(1; 2; 2− ) tâm mặt cầu ( )S ) vector pháp tuyến ( )P nên IM ⊥AM
hay (a−1) (2+ +b 2)(b− + −1) (c 2)2 =0 ( )2
Mặt khác ( ) ( )P ⊥ Q nên IM ⊥n (n=(2;1; 6− ) vector pháp tuyến ( )Q ) hay
( ) ( ) ( )
2 a− + + −1 b c−2 =0 ( )3
Từ ( )1 , ( )2 , ( )3 ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2
1 2
2
a b c
a b b c
a b c
− + + + − =
− + + − + − =
− + + − − =
2 26 15
17
3 b
c c
a c
= − =
=
= −
Suy 7; 8;
3 3
M −
7 26
; ;
15 15
M− −
Từ đó, ta có phương trình mặt phẳng ( )P ( 1) 2 ( 1) ( 2)
3 x y z
− − + − + − + − − =
hoặc ( 1) 2 ( 1) 26 ( 2)
15 x y 15 z
− − − + − + − + − − =
Hay 2x+2y+ − =z 11x−10y+2z− =5
Câu 18
Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 với A(0; 3; 0− ), B(4; 0; 0), C(0;3; 0), B1(4; 0; 4)
)
a Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC B1 1)
b) Gọi M trung điểm A B1 1 Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng ( )P cắt đường thẳng A C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN
Lời giải a) Ta có, BB1 =(0; 0; 4) AC =(0; 6; 0)
Các mặt bên lăng trụ hình bình hành nên AA1 =BB1 AC= A C1 1 A1(0; 3; 4− )
( )
1 0;3;
C
(195)Mặt phẳng (BCC B1 1) nhận vtpt , 1 (3; 4; 0)
n= BC BB = nên ptmp (BCC B1 1) là:
( )
3 x− +4 4y= 0 3x+4y−12=0 Mặt cầu ( )S qua A, tiếp xúc với (BCC B1 1) nên có bán kính
( )
( 1 ) 2 2
12 12 24 ,
5
3
R=d A BCC B = − − =
+ Phương trình mặt cầu ( )S là: ( 3)2 576
25 x + y+ +z = b) Ta có, 2; 3;
2 M −
,
3 2; ;
2 AM =
, BC1= −( 4;3; 4)AM BC, 1= − −( 6; 24;12)
Mặt phẳng ( )P qua hai điểm A, M song song với BC1 nên có vecto pháp tuyến
( )
1
1
, 1; 4;
P
n = − AM BC = −
( )P : x+4(y+ −3) 2z= +0 x 4y−2z+12=0 (thỏa mãn B( )P ) Phương trình tham số A C1 1:
0 ; x
y t t
z
=
= − +
=
Gọi NA C1 1N(0; 3− +t; 4) Do N( )P nên 4+ − + − +( t) 12= =0 t
( ) ( )2 2 17
0; 1; 2; ;0
2 2
N MN MN
− = − = − + + =
Câu 19
Cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y+ − =z 11 mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x+4y−2z− =8 Chứng minh ( )P tiếp xúc với ( )S Tìm tọa độ tiếp điểm ( )P ( )S
Lời giải
Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;1− ) bán kính R= 12+ −( )2 2+ − − =12 ( )8 14 Ta có, khoảng cách từ I đến ( )P là: ( ( )) ( )
2
2.1 11
, 14
2
d I P = + − + − = =R
+ +
Vậy ( )P tiếp xúc với ( )S
Gọi d đường thẳng qua điểm I vng góc với ( )P Suy đường thẳng d có vtcp u=(2;3;1) :
2
x y z
d − + −
= =
(196)BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(2;5;3)cắt đường thẳng
1
:
2
− −
= =
x y z
d hai điểm phân biệt A, B với chu vi tam giác IAB 14+2 31 có phương trình
A (x−2) (2+ y−3) (2+ −z 5)2 =49 B (x−2) (2+ y−3) (2+ −z 5)2 =196
C (x−2) (2+ y−3) (2+ −z 5)2 =31 D (x−2) (2+ y−3) (2+ −z 5)2 =124
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC nhọn có H(2; 2;1), 8; ; 3
−
K
, O hình chiếu vng góc A, B, C cạnh BC, AC, AB Gọi I trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt cầu ( )S tâm A, qua điểm I là?
A ( ) (S : x+4) (2+ y+1) (2+ −z 1)2 =20 B ( ) (S : x−2)2+y2+ −(z 1)2 =5
C ( )S :x2+(y−1) (2+ −z 1)2 =20 D ( ) (S : x+2)2+y2+ −(z 1)2 =5
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0;3),
(2; 2; 0− )
D Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D?
A 7 B 5 C 6 D 10
Câu Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; 0), B(5; 4; 4), 11 22; ; 16
3 3
−
C Gọi ( )S1 , ( )S2
, ( )S3 mặt cầu tâm A, B, C có( ) (S : x a– ) (2+ y b– ) (2+ z–c)2 =R2cùng bán kính 13
5 Xác định số tiếp diện chung ba mặt cầu ?
A 6 B 7 C 8 D 9
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( )S1 , ( )S2 , ( )S3 có bán kính r=1
và có tâm điểm A(0;3; 1− ), B(−2;1; 1− ), C(4; 1; 1− − ) Gọi ( )S mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu Mặt cầu có bán kính nhỏ
A R=2 1− B R= 10 C R=2 D R= 10 1−
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( ) (S1 : x−1) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =16 ( ) (S2 : x+1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =9 cắt theo giao tuyến đường tròn ( )C Tìm tọa độ tâ
Jcủa đường trịn ( )C
A 1; ; 4
−
J B 1; ;
3 4
J C 7; ;
3 4
− −
J D 7; ;
2 4
− −
J
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
( )
1 3a
:
2 3a
x at
y t
x a t
= + +
= − +
= + + +
(197)A 5 B C D 3
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( ) 2
: + + −4 +10 −2 − =6
S x y z x y z
Cho m số thực thỏa mãn giao tuyến hai mặt phẳng y=m x+ − =z tiếp xúc với mặt cầu ( )S Tích tất giá trị mà m nhận
A −11 B −10 C −5 D −8
Câu Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng có phương trình
1
: 1, :
= =
= =
= = +
x x
d y d y t
z t z t
1
:
1 1
− −
x = =y z Gọi ( )S mặt cầu có tâm thuộc tiếp xúc với hai đường thẳng d d, Phương trình ( )S
A.(x−1)2+y2+ −(z 1)2 =1 B (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =1
C
2 2
3
2 2
− + − + − =
x y z D
2 2
5
4 4 16
− + − + − = x y z
Câu 10 Trong không gian Oxyz, gọi ( )S mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng
2
− = =
x y z
qua điểm M(0;3;9) Biết điểm I có hồnh độ số ngun cách hai mặt phẳng
2 2
− + + =
x y z , 3x− =2 Phương trình ( )S
A.(x−6) (2+ y−9) (2+ −z 13)2 = 88 B (x−4) (2+ y−6) (2+ −z 9)2 =5
C (x−6) (2+ y−9) (2+ −z 13)2 =88 D x2+y2+ −(z 1)2 =73
Câu 11 Trong không gian , cho điểm đường thẳng Phương trình mặt cầu có tâm cắt hai điểm , cho diện tích tam giác 12
A
B.
C D
Câu 12 Trong không gian , mặt cầu tâm cắt đường thẳng
tại hai điểm phân biệt , với chu vi tam giác Phương trình sau phương trình mặt cầu ?
A B
C D
Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 4− ), B(1; 3;1− ), C(2; 2;3) Tính đường kính l mặt cầu ( )S qua ba điểm có tâm nằm mặt phẳng (Oxy)
Oxyz I(3; 4; 0) :
1
x− y− z+
= =
−
( )S I A B IAB
( ) (2 )2 2
3 25
x+ + y+ +z =
( ) (2 )2 2
3
x− + y− +z =
( ) (2 )2 2
3
x− + y+ +z =
( ) (2 )2
3 25
x− + y− +z =
Oxyz ( )S I(2; 5; 3) :
2
x y z
d − = = −
A B IAB 10+2
( )S ( ) (2 ) (2 )2
2 100
x− + y− + −z = (x−2) (2+ y−5) (2+ −z 2)2 =7
( ) (2 ) (2 )2
2 25
(198)A l=2 13 B l=2 41 C l=2 26 D l=2 11
Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu ( )S có tâm nằm đường
thẳng :
1 1
− − = =
x y z
d tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )P :2x− − =z 0, ( )Q :x−2y− =2
A ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =5 B ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =
C ( ) (S : x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =5 D ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =3
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 1
:
2
+ + + = =
x y z
d
2
2
:
1
− = = −
x y z
d Mặt cầu có đường kính đoạn thẳng vng góc chung d1 d2 có phương trình
A ( )
2
2
16
14
3
− + − + − =
x y z B ( )
2
2
8
7 12
3
− + − + − =
x y z
C ( )
2
2
8
7
3
− + − + − =
x y z D ( )
2
2
16
14 12
3
− + − + − =
x y z
Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1− ), mặt phẳng ( )P :x+ − − =y z Mặt cầu
( )S có tâm I nằm mặt phẳng ( )P , qua điểm A gốc tọa độ O cho chu vi tam giác
OIA 6+ Phương trình mặt cầu ( )S
A (x+2) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =9 (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 2)2 =9
B (x−3) (2+ y−3) (2+ −z 3)2 =9 (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 1)2 =9
C (x−2) (2+ y−2) (2+ −z 1)2 =9 x2+y2+ +(z 3)2 =9
D (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 2)2 =9 (x−2) (2+ y−2) (2+ −z 1)2 =9
Câu 17 Trong không gian , cho hai điểm , Viết phương trình mặt cầu có tâm tâm đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với mặt phẳng
A B
C D
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 2)2 =9 hai điểm M(4; 4; 2− ), N(6; 0; 6) Gọi E điểm thuộc mặt cầu ( )S cho EM +EN đạt giá trị lớn Viết phương trình tiếp diện mặt cầu ( )S E
A x−2y+2z+ =8 B 2x+ −y 2z− =9 C 2x+2y+ + =z D 2x−2y+ + =z
Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x+ + =y z hai điểm
(1; 2; 0)
A ,B(2;3;1) Mặt cầu ( )S qua hai điểm A ,B tiếp xúc với ( )P điểm C Biết
C ln thuộc đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn
Oxyz M(2; 2;1) 8; ;
3 3 N−
OMN (Oxz)
( ) (2 )2
1 1
x + y+ + z+ = x2 +(y−1) (2+ z−1)2 =1
( ) (2 )2 2
1 1
x− + y− +z = ( )2 ( )2
1 1
(199)A R=2 B R=12 C R=6 D R=
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng hai điểm
(1;1;1)
A , B( 3; 3; 3)− − − Mặt cầu qua A, B tiếp xúc với ( )P C Biết C ln thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính R đường trịn
A R=4 B 33
3
=
R C 11
3
=
R D R=6
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
2 1
− + = =
− −
x y z
d điểm
(1;1;1)
A Hai điểm B, C di động đường thẳng d cho mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC).Gọi điểm B hình chiếu vng góc điểm B lên đường thẳng AC Biết quỹ tích điểm B' đường trịn cố định, tính bán kính r đường trịn
A 60
10
=
r B
5
=
r C 70
10
=
r D
10
=
r
Câu 22 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x+1) (2+ y+2)2+z2 =4 điểm (−2; 0; 2− )
A , B(− −4; 4; 0) Biết tập hợp điểm M thuộc ( )S thỏa mãn
2
16
+ =
MA MO MB đường tròn Tính bán kính đường trịn
A 3
4 B
3
2 C
3
4 D
5
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu
( ) ( ) (2 ) (2 )2
: −3 + −3 + −2 =9
S x y z ba điểm A(1; 0; 0), B(2;1;3);C(0; 2; 3− ) Biết quỹ tích điểm M thỏa mãn MA2+2MB MC =8 đường trịn cố định, tính bán kính r đường tròn
A r= B r=6 C r=3 D r=
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1; 2) B(5; 7; 0) Có tất giá trị thực tham số m để phương trình
( )
2 2
4 2
+ + − + − + + + + =
x y z x my m z m m
Là phương trình mặt cầu ( )S cho qua hai điểm A, B có mặt phẳng cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính
A 1 B 4 C 3 D 2
Câu 25 Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình ( ) :x−my+ +z 6m+ =3
( ) :mx+ −y mz+3m− =8 (với m tham số thực); hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến đường thẳng Gọi hình chiếu lên mặt phẳng Oxy Biết m thay đổi đường thẳng ln tiếp xúc với mặt cầu cố định có tâm I a b c( ; ; ) thuộc mặt phẳng Oxy Tính giá trị biểu thức P=10a2−b2+3c2
A P=56 B P=9 C P=41 D P=73
Câu 26 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :x2+y2+ −(z 3)2 =8 hai điểm A(4; 4;3),
(1;1;1)
B Gọi ( )C tập hợp điểm M( )S để MA−2MB đạt giá trị nhỏ Biết ( )C
là đường trịn bán kính R Tính R
( ) :P x+ − − =y z
(200)A B C 2 D
Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ − − =y z hai điểm
(1;1;1)
A , B(− − −3; 3; 3) Mặt cầu ( )S qua hai điểm A B, tiếp xúc với ( )P điểm C Biết C thuộc đường trịn cố định Tính bán kính đường trịn
A R=4 B R=6 C. 33
3
=
R D 11
3
=
R
Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6) Điểm M thay đổi mặt phẳng (ABC) N điểm tia OM cho OM ON =12 Biết
M thay đổi, điểm N thuộc mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu
A 7
2 B 3 C 2 D
5
Câu 29 Trong không gian cho điểm , , (không trùng ) thay đổi trục , , thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác thể tích khối tứ diện Biết mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu
A B C D
Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(5; 0; 0)và B(3; 4; 0) Với C điểm nằm trục Oz, gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn
A
4 B
3
2 C
5
2 D
Câu 31 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10; 6; 2− ), B(5;10; 9− ) mặt phẳng
( ) : 2x+2y+ −z 12=0 Điểm M di động ( ) cho MA, MB ln tạo với ( ) góc Biết M ln thuộc đường trịn ( ) cố định Hồnh độ tâm đường trịn ( )
A −4 B 9
2 C 2 D 10
Câu 32 Trong không gian Oxyz, cho tám điểm A(− −2; 2; 0), B(3;−2; 0), C(3; 3; 0),
(−2; 3; 0)
D , M(− −2; 2; 5), N(3;3;5), P(3; 2;5− ), Q(−2;3;5) Hình đa diện tạo tám điểm
cho có mặt đối xứng?
A 3 B 9 C 8 D 6
Câu 33 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1; 2) Hỏi có mặt phẳng ( )P qua M
và cắt trục x Ox , y Oy , z Oz điểm A,B,C cho OA=OB=OC0?
A 3 B 1 C 4 D 8
Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C(0; 0;1),
(0; 0; 0)
D Hỏi có điểm cách mặt phẳng (ABC), (BCD), (CDA), (DAB)
A 4 B 5 C 1 D 8
,
Oxyz A B C O
Ox Oy Oz ABC
OABC
2 (ABC)