nhập môn archimedes geo3d 1 1 giới thiệu chung archimedes geo3d là phần mềm hình học động trong không gian ba chiều với các nét đặc trưng sau di chuyển các đối tượng tự do di chuyển tùy ý nhờ trỏ chuộ

 Dựng giao điểm của đường thẳng này với một mặt phẳng nào đó rồi tạo vết cho giao điểm này sẽ được quỹ tích là đường conic.. 11.1 Properties of locus lines and surfaces: thuộc tính của[r]

NHẬP MÔN ARCHIMEDES GEO3D 1.1 Giới thiệu chung

Archimedes Geo3D phần mềm hình học động không gian ba chiều với nét đặc trưng sau:

 Di chuyển: Các đối tượng tự di chuyển tùy ý nhờ trỏ chuột thao tác kéo – thả

 Quỹ tích (đường hay mặt): điểm di chuyển tạo vết quỹ tích đường hay quỹ tích mặt

 Macro: Các thao tác thường dùng tạo thành cơng cụ tiện dụng  Các cơng thức: tính tóan số vectơ

Archimedes Geo3D giống phần mềm hình học động Geometers Sketchpad, Euklid …

1.2 Cách dùng thông thường

Nếu bạn thành thạo, bạn thiết kế nhanh, đặc biệt kết hợp với việc sử dụng phím tắt Ví dụ như: để dựng điểm tự ‘nháy kép chuột phải’ khung hình thay phải chọn nút “Point” chọn “Free point”

Các nút lệnh trực quan, dễ sử dụng Tuy nhiên lần bấm nút lệnh dùng lần 1.3 Hướng dẫn nhanh

Khi bắt đầu nên thường xuyên dùng ’Help - Tutorials’ để quen thao tác 1.3.1 Điều hướng

Khi trỏ chuột khoảng trống bạn điều hướng thiết kế cách sau: - Giữ phím trái chuột kéo – thả: quay thiết kế

- Giữ phím phải chuột kéo – thả: phóng lớn thu nhỏ đối tượng

- Giữ hai phím trái, phải chuột kéo – thả: di chuyển khung hình đến vị trí khác 1.3.2 Chọn đối tượng

1.3.3 Bỏ việc chọn đối tượng

Khi bấm chuột đối tượng đối tượng khác khơng chọn Nếu giữ thêm phím Ctrl Shift đối tượng chọn thêm bỏ bớt 1.3.4 Dựng điểm tự

 Nháy kép chuột phải khung hình

 Chọn nút “Point” chọn “Free Point” đưa chuột vào khung hình bấm chuột trái

 Nhập từ dịng lệnh ví dụ: P=(1,2,3) nhấn phím Enter

Chú ý: Nếu mặt phẳng, mặt cầu, đường thẳng, đoạn thẳng hay đường tròn chọn điểm tự nằm đối tượng

1.3.5 Dựng đối tượng hình học khác

Chọn đối tượng phù hợp trước chọn nút dựng hình Ví dụ: chọn điểm trước chọn nút dựng ‘mặt phẳng qua điểm’

1.3.6 Đo lường tính tốn

Bạn dùng lệnh để tính tốn dựa vào biểu thức toán học đối tượng điểm, vectơ hay biểu thức tốn khác

Cũng dùng phép đo lường phức tạp thông qua ‘Macro’ Ví dụ: Để tính góc hai mặt phẳng:

 Dựng hai mặt phẳng PL1 PL2  Dựng giao tuyến s

 Dựng điểm A s

 Dựng mặt phẳng PL3 qua A vng góc với s

 Dựng giao tuyến s2, s3 PL3 với PL1 PL2  Dựng điểm C s2 điểm D s3

 Dựng vectơ V1 V2 từ A đến C từ A đến D  Gõ biểu thức: acos(V1*V2/(abs(V1)*abs(V2))) Mặc định số đo góc radian

Các phép toán, hàm số thường dùng:

Phép nhân: số với số; số với vectơ; tích vô hướng vectơ Phép chia: số với số; vectơ với số

Phép lũy thừa “^”: số với số; tích có hướng hai vectơ

Các hàm số thường dùng: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, abs, vec, x, y, z (x: trả hoành độ điểm hay vectơ)

Các số: pi, e 1.3.7 Con trượt

Dùng ‘Extras – Slider’ gõ ‘s=SL(1,-5,5)’ để tạo trượt từ -5 đến có bước nhảy Các trượt giúp cho việc tạo quỹ tích mặt Ví dụ:

 Enter: x=Slider(1,-6,6)  Enter: y=Slider(1,-6,6)  Enter: a=Slider(0.2,-1,1)  Enter: X=(x,y,a*x*y)

1.3.8 Tạo hàm số

Có thể tạo hàm số từ biểu thức cho sẵn phép tính định nghĩa 1.3.9 Macro

Tất hình dựng sẵn dùng macro Macro giúp người dùng tránh thao tác lập lập lại phép dựng

2 Các ví dụ mở đầu

2.1 Dựng hình hộp

Đây ví du quan trọng để làm quen với phần mềm

Có hai cách để dựng hình hộp: dùng cơng cụ cho sẵn dựng tám điểm theo tọa độ chúng sau:

 Dựng tám điểm khung hình

 Chỉnh sửa tọa độ điểm cách nháy chuột phải vào điểm chọn ‘setting’ sau đặt lại tọa độ điểm vào hộp thoại để điểm sau: (0, 0, 0), (5, 0, 0), (0, 5, 0), (5, 5, 0), (0, 0, 5, (5, 0, 5), (0, 5, 5), (5, 5, 5)

 Đến đây, phải dựng mặt hình hộp cơng cụ ‘hình bình hành’ Chọn cơng cụ chọn điểm P2, P1, P3 theo thứ tự sau:

 Sau dựng mặt hình hộp sau:

2.3 Dựng tứ diện đều

Để dựng tứ diện ta cần thiết kế theo bước sau:  Dựng tam giác làm sở

 Dựng tâm tam giác  Dựng đỉnh tứ diện

Trước hết, dựng mặt phẳng qua ba điểm sở: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) cho ẩn điểm sở

Để dựng đỉnh thứ ba tam giác ta dùng cơng ‘đường trịn có tâm qua điểm mặt phẳng’ Sau dựng hai đường trịn hình vẽ

Ta chọn cơng cụ giao điểm đường tròn, giao điểm Có thể xố bớt giao điểm Dùng công cụ ‘đoạn thẳng’ để dựng tam giác

Đỉnh lại tứ diện nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng qua tâm có khoảng cách đến đỉnh khác cạnh tam giác

3 Màn hình chính

1 Khung hình

2 Khung đối tượng Thanh công cụ Các công cụ

5 Phần nhập công thức Công cụ bổ sung

4.1 File

4.1.1 New: Xoá vẽ hành nhớ bắt đầu vẽ 4.1.2 Load: Mở vẽ có sẵn

4.1.3 Save: Lưu vẽ

4.1.4 Save as: Lưu vẽ tên khác

4.1.5 Save as model: Lưu vẽ định dạng khác

4.1.6 Save as bitmap: Lưu vẽ dạng hình ảnh (.png, jpg bmp) 4.1.7 Quit: Thoát

4.2 Edit

4.2.1 Undo: Trả thao tác vừa làm 4.2.2 Redo: Tìm tới thao tác làm

4.2.3 Delete selection: Xoá đối tượng chọn

4.2.4 Hide / show selection: ẩn/ đối tượng chọn 4.2.5 Select all: Chọn tất đối tượng

4.2.6 Name object: Đặt tên cho đối tượng 4.2.7 Show hidden: Hiện đối tượng ẩn 4.2.8 Copy: chép vào clipboard

4.2.9 Attach: chuyển điểm (tự do) đến đối tượng khác như: đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu điểm khác

4.2.10 Detach: Tách điểm khỏi đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu điểm khác

4.3 Dựng đối tượng mới

Tất phép dựng thực từ nút công cụ

Khi dựng đối tượng cần lưu ý đối tượng cần dựng dựa vào đối tượng nào, có chưa

4.4 Macro

4.4.1 Mark as given: đánh dấu đối tượng sở 4.4.2 Recurse on: đệ quy

Nếu bạn muốn dựng hình lập lập lại theo phong cách đó, dùng chức Ví dụ:

Cho tam giác Hãy dựng tam giác có đỉnh trung điểm tam giác trước

 Dựng điểm  Dựng cạnh  Dựng trung điểm

Nếu bạn muốn việc dựng thành macro ta làm sau:  Chọn đỉnh chọn ‘Macro – as given’

 Chọn trung điểm chọn ’Macro - recurse on’  Lưu vẽ ‘Macro tam giac trung diem.geosave’

4.4.3 Mark as final: Chọn bước cuối

Đơi hình đệ quy chọn hình cuối sau số bước Ví dụ:Để vẽ đường Koch’s snowflake Có thể làm theo cách sau:

 Dựng mặt phẳng PL  Dựng đoạn PP1

 Dùng công cụ chia ba đoạn thẳng để dựng điểm A, B

 Dựng điểm C giao điểm đường tròn tâm A, B bán kính AB nằm PL

 Ẩn đối tượng không cần thiết tên điểm hình vẽ

 Chọn P, P1 PL chọn ‘Mark as given’

 Chọn PL, P, A chọn ‘Recurs on’; tương tự cho cặp điểm A, C; C, B; B, P1  Nếu làm tốt, chạy macro với số bước đệ quy sau:

Có thể chọn độ dày, mỏng đối tượng để hình rõ ràng

4.4.4 Enter description and help-texts: Nhập mô tả macro văn trợ giúp 4.4.5 Play: Chạy macro tạo sẵn

4.4.6 Select a macro-directory: Có thể chọn macro thư mục tạo sẵn, macro xuất hình popup bấm chọn ‘macro’

4.5 Refresh macro-directory: Tái nhập macro mới.

4.6 Measure and calculate: đo lường tính tốn.

4.6.1 Length: chiều dài Dùng để đo chiều dài đoạn thẳng hay vectơ Cũng dùng macro có sẵn người trước để tính khoảng cách điểm đến mặt phẳng, đến đường thẳng, đến điểm v.v…

4.7 Typical tasks: Các phương trình bản

4.7.1 Enter line in parametric form: Dựng đường thẳng qua điểm nhận vectơ phương Ví dụ:

4.7.3 Sphere: Dựng mặt cầu qua điểm bán kính

4.7.4 Parametric curve: đường cong tham số ví dụ: = đường xoắn ốc 4.7.5 Parametric surface: mặt phẳng tham số

4.7.6 Co-ordinate axes: Hệ trục tọa độ (thêm vectơ đơn vị) 4.7.7 Co-ordinate planes: ẩn mặt tọa độ không gian 4.8 Extras: phần mở rộng.

4.8.1 Stereo: xem hình dạng khó khăn cho việc chỉnh sửa đối tượng 4.8.2 Stereo-mode

4.8.3 Projection: phép chiếu: thay đổi phép chiếu song song phép vị tự chuyển sang hình phẳng

4.8.4 Import / Export: nhập xuất: nhập xuất định dạng khác 4.8.5 Optimize: biểu diễn

4.8.6 Slider: Con trượt để tạo tham số cho đối tượng 4.8.7 Light: chiếu sáng đối tượng

4.8.8 Shadow: tạo bóng cho đối tượng từ nguồn sáng lên đối tượng khác 4.8.9 Activate shadows globally: tạo bóng tất đối tượng

4.8.10 New Animation: tạo hoạt hình (nên chọn điểm bắt đầu kết thúc cho biểu diễn) 4.8.11 Start / stop animations: bắt đầu dừng hoạt hình

4.8.12 Fly around: chuyển động vòng vòng

4.8.13 Convert hidden objects to auxiliary objects: chuyển đối tượng ẩn thành đối tượng phụ thuộc

4.8.14 Group objects: kết nhóm đối tượng

4.8.15 Make selected objects blink: tránh việc nhấp nháy chọn đối tượng trình chiếu 4.8.16 Lock selected objects into position: neo đối tượng vào vị trí cố định

4.8.17 Choose language: chọn ngơn ngữ hiển thị

4.8.18 Settings: thiết đặt lại chuẩn mực cho loại đối tượng màu, độ dày, cách xuất hiện, đường dẫn v.v…

4.9 Help: trợ giúp

4.9.1 Documentation: hướng dẫn dạng PDF 4.9.2 Key word: phím tắt

4.9.3 Tutorials: hướng dẫn chức thường dùng 4.9.4 Register: quyền

4.9.5 About: thơng tin chương trình

Dựng điểm tự do, điểm thuộc đối tượng khác, giao điểm

Dựng đường thẳng qua điểm, giao tuyến, đường song song, đường vng góc Dựng đoạn thẳng qua điểm

Dựng mặt phẳng qua điểm, qua điểm vectơ pháp tuyến, qua điểm vectơ phương

Dựng tam giác qua điểm Dựng hình bình hành qua điểm Dựng dạng đường tròn Dựng mặt cầu

Quỹ tích mặt Quỹ tích đường Vectơ Dựng dạng vectơ

Giao tuyến mặt cong mặt phẳng Giao điểm đường thẳng mặt Các phép biến hình (đối với điểm) Các định dạng: osg; ive; 3ds lwo

Trực giao (hay pháp tuyến), vng góc Song song

Giao điểm Con trượt

Chuyển (nhập) điểm vào đối tượng khác Tách điểm khỏi đối tượng khác Kết nhóm đối tượng lại với

7 Possible interactions: tính tương tác.

7.1 Selection of objects: chọn đối tượng.

Có thể chọn đối tượng hai cách: chọn khung hình khung biểu thức tương ứng

7.2 Keyboard-shortcuts: phím tắt.

Hầu hết lệnh nút lệnh thực phím tắt: Phím tắt Chức

Alt + E Dựng mặt phẳng Alt + R Dựng hình bình hành Alt + D Dựng tam giác Alt + V Dựng vectơ Alt + P Dựng điểm

Alt + S Dựng đoạn thẳng Alt + K Dựng mặt cầu Alt + C Dựng đường tròn Alt + M Chọn model Alt + N Dựng vuông góc Alt + O Dựng quỹ tích Alt + [+] Vectơ tổng Alt + [-] Vectơ hiệu Alt + A Phép biến hình Alt + F Chọn màu Alt + X Chọn kiểu tô Ctrl + H Ẩn /

Ctrl + X Cắt chép clipboard Ctrl + del Xóa

Ctrl + F Chế độ tồn hình Ctrl + C Copy vào clipboard

8 The command-line: dòng lệnh

8.1 Points and vectors: điểm vectơ

Lệnh ’A=(1,2,3)’ để dựng điểm có tọa độ (1|2|3)

8.2 Overview of all commands: tổng quát lệnh

Lệnh Đối số Ví dụ

Điểm Ba tọa độ số biểu thức P=(1,2,3); P=(x,y,z); P=(1,sin(2),3+4) Đường thẳng Điểm/ điểm điểm/ vectơ g=Line(P1,P2); g=(P1, V)

Vectơ Biểu thức, điểm đầu; biểu

thức, điểm đầu; điểm v=Vector(V1+V2,P); v=Vector(1,2+3,s,P); v=(P1,P2) Mặt phẳng điểm; điểm, vectơ Pl=Plane(P1,P2,P3); Pl=(P1,V1,V2) Con trượt

(SL) số: bước, min, max s=Slider(0.1,-5,5); s=SL(); t=SL(0) Biểu thức Chuỗi biểu thức T=Expression(x+y); t=Expression(pi)

9 Constructions: dựng hình

Các phép dựng hình thực qua việc chọn đối tượng sở để dựng hình

10 Locus surfaces: quỹ tích mặt

10.1 The general idea: ý tưởng chung

Một thuận lợi phần mềm hình học động giúp cho việc tìm quỹ tích xác, nhẹ nhàng nhiều so với việc tìm giấy bút

10.1.1 The parabola as a locus: Parabol dạng quỹ tích

Thực chất parabol biết dạng đồ thị hàm số f(x) = x2, xây dựng

quỹ tích điểm Px có khoảng cách đến điểm P (tiêu điểm) khoảng cách đến đường

thẳng l (đường chuẩn) Có thể dựng parabol theo bước sau:

 Cho đường thẳng l điểm P  Dựng điểm X l

 Vẽ đường thẳng d qua X vng góc với l  Vẽ đường trung trực h đoạn XP

10.2 Locus surfaces in 3 : quỹ tích mặt khơng gian

Khái qt hố quỹ tích 2 quỹ tích 3:

Rất dễ để dựng quỹ tích mặt vết điểm mặt phẳng Ví dụ việc khái qt hố parabol lên mặt phẳng: Cho mặt phẳng PL1(mặt trực chuẩn) điểm P1(tiêu điểm) gọi điểm Px điểm có khoảng cách đến P1 đến PL1

Có thể dựng theo bước sau:  Dựng điểm P5 PL1

 Dựng mặt trung trực đoạn P5P1

 Dựng đường thẳng l1 qua P5 vng góc với PL1  Gọi X giao điểm l1 PL2

Mặt Paraboloid thay đổi thay đổi đối tượng sở

11 Locus lines: quỹ tích đường

Hình nón quỹ tích mặt (dựng đường thẳng, điểm đường thẳng làm đỉnh đường trịn)

Có thể dựng giao tuyến conic sau:  Dựng đường trịn đáy hình nón  Dựng điểm đường tròn

 Dựng đường thẳng qua điểm đỉnh hình nón

 Dựng giao điểm đường thẳng với mặt phẳng tạo vết cho giao điểm quỹ tích đường conic

11.1 Properties of locus lines and surfaces: thuộc tính quỹ tích Có ba thuộc tính bản:

 Số điểm ảnh (độ mịn)  Giá trị đầu

 Khoảng cách điểm

12 Macros

12.1 Dùng tạo macro

Chúng ta thường cần mặt phẳng trung trực trình dựng hình Có thể tạo macro theo cách sau:

 Dựng điểm P1 P2

 Dựng trung điểm P1 P2  Dựng vectơ P1P2

 Dựng mặt phẳng trung điểm vectơ

Dùng P1 P2 làm sở cách chọn điểm ’Macro - mark as given’ Lưu macro (tên ’MacroBisectorPlane.geosave)

Khi khởi động vẽ chọn điểm, bạn dùng ’Macro - play’ chọn macro chuẩn bị trước Mặt trung trực dựng

Nếu bạn không muốn đối tượng phụ xuất dùng macro, bạn phải ẩn chúng trước lưu macro

12.2 Chọn thư mục chứa macro

Chúng ta nên lưu tất macro thiết kế vào chung thư mục bạn tạo thư mục thư mục Khi dùng’Macro - choose macro directory’ bạn đặt macro bạn danh sách menu

12.3 Cẩn thận dùng macros

Khi tạo macro, mối liên hệ đối tượng thay đổi Chúng phát sinh vấn đề đối tượng định đối tượng khác Nếu bạn tránh chuyện dùng macro 12.4 Macros đệ quy

Ta dùng đệ quy theo bước sau:

13 Transformations: phép biến hình

 Reflection on a point : đối xứng tâm  Reflection on a line : đối xứng đường  Rotation : quay

 translation : tịnh tiến  linear map : cộng tuyến

 Parallel- and central projection : phép chiếu song song, phép chiếu tâm

14 Textures: chọn kiểu cho đối tượng mặt 15 Measure and calculate: đo lường tính tốn

 Các phép tốn thơng thường +, -, *, /, ^ với số Đối với vectơ V1^V2 tích có hướng, V1*V2 tích vơ hướng

 Phép tính báo lỗi số + vectơ hay vectơ ^ số

 Có thể tạo vectơ từ tọa độ điểm ví dụ: v=Vector(Expr,P); vectơ v có tọa độ tọa độ điểm P tương ứng

 Các giá trị ‘pi’ ‘e’ hàm số lượng giác dùng bình thường  Đối với vectơ, hàm x(), y() z() trả tọa độ tương ứng vectơ 15.1 thiết đặt cho biểu thức toán.

Thiết đặt ’display in HUD’(heads up display) ln thấy biểu thức tốn hình Nếu bạn đánh dấu vào mục ’Display in HUD’, biểu thức đứng yên ta chuyển đối tượng Nếu khơng đánh dấu chọn biểu thức chuyển động đối tượng tự 15.2 Ví dụ

Trong ví dụ sau cho vectơ V1, V2 V3

 Biểu thức ’V1+V2’ vectơ tổng ’v1+v2’ không Chú ý chữ in khác chữ thường!  Biểu thức ’V1ˆV2*V3 ’ tích hỗn tạp ba vectơ V1, V2 V3

 Biểu thức V1 + V2*V3 khơng V2*V3 số V1 vectơ

 Biểu thức sqrt(V1*V1) cho giá trị độ dài vectơ V1 Nếu bạn cần độ dài

V1, dùng ’Measure and calculate - Length’, nhanh hơn!

Đồ thị hàm số z = sin(x + y)

16 Light and shadow: chiếu sáng bóng

16.1 Chiếu sáng

Mặc định phần mềm chiếu sáng từ xuống Chúng ta điều chỉnh hướng chiếu sáng với ‘Extras – Light’, chiếu sáng mặc định tắt

Chúng ta chọn vật phát sáng điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, mặt phẳng hay mặt cầu

Chú ý dùng nhiều vật phát sáng khung hình làm cho chương trình chạy chậm 16.2 Bóng

Phần mềm cho phép tạo bóng đối tượng theo cách sau:  Chọn nguồn sáng

 Chọn đối tượng tạo bóng  Chọn đối tượng chứa bóng Việc tạo bóng có giới hạn sau:

 Bóng xuất mặt sau đối tượng chứa bóng

17 Animations: hoạt hình

Nếu bạn chọn điểm đường (đường thẳng, đoạn thẳng, đường trịn), bạn tạo hoạt hình ’Extras - new animation’

Điểm không thiết phải nằm đường kể

Điểm đầu kết thúc cảnh hoạt hình nên định để việc biểu diễn khỏi lan man

18 Một vài ví dụ

18.1 Mặt cầu nội tiếp tứ diện đều

Có thể dựng mặt cầu nội tiếp tứ diện khơng gian hay khơng?

Vì tâm mặt cầu phải cách mặt giúp ta nghĩ đến việc tìm mặt phân giác mặt phẳng cắt

18.1.1 Macro mặt phân giác

 Dựng (A1) mặt phẳng qua P1, P2 P3; (A2) mặt phẳng qua P3, P4 P5; giao

tuyến hai mặt phẳng hình vẽ:

Dựng mặt phẳng (P) qua P1 vng góc với giao tuyến chung Dựng đường tròn tâm P1 nằm (P) hình vẽ

Như vậy, dựng mặt phân giác hai mặt phẳng (A1) (A2)

Chọn điểm ban đầu làm đối tượng ban đầu cho macro; chọn mặt phân giác làm đối tượng đích macro Lưu macro để dùng sau

18.1.2 Dựng mặt cầu nội tiếp

Dùng macro chọn năm điểm từ P2 đến P6 mặt phân giác sau:

Dựng thêm hai mặt phân giác dựng giao điểm mặt phân giác làm tâm mặt cầu nội tiếp Bán kính khoảng cách từ tâm đến mặt bên tứ diện

18.2 Hình học giải tích

Cho mặt phẳng (E): x + 2y + 2z = 18 họ đường thẳng (gp): Qua A(0,0,9) nhận v = (2, p, -p

-1) làm vectơ phương

1 Viết phương trình mặt cầu tâm P(2,1,2) tiếp xúc với (E) Tìm tọa độ tiếp điểm Chứng minh (gp) nằm (E) với giá trị p

3 Tìm p để (gp) để tiếp xúc với mặt cầu câu a

18.2.1 Giải toán phần mềm Archimedes

o Nhập mặt phẳng (E) ’Typical tasks - Plane - General form’ o Dựng điểm P(2,1,2)

o Tìm giao điểm d (E) Xác định tọa độ giao điểm

2 Ta minh họa phần mềm Archimedes o Tạo trượt ’Extras - Slider’(tên s)

o Dựng đường thẳng tham số ’Typical tasks - Line in parametric form’ với tham số s Nhớ đánh dấu chọn ’Expression contains terms’

o Khi thay đổi tham số s ta thấy đường thẳng vừa dựng nằm mặt phẳng (E)