Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz - Lê Văn Đoàn - TOANMATH.com

Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của  với ba trục tọa độ, đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với  có phương trình là.. Lập phương trình đường thẳ[r]

§iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chöông Chuyên đề: Oxyz PHƯƠNG PHÁ P TỌ A ĐỘ TRONG KHÔ N G GIAN OXYZ § HỆ TỌ A ĐỘ TRONG KHÔ N G GIAN  Định nghĩa hệ trục tọa độ Hệ gồm trục Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi và    chung điểm gốc O Gọi i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0) và k  (0; 0;1) là các véctơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi là hệ trục tọa độ vuông góc không gian hay gọi là hệ trục Oxyz       Lưu ý: i  j  k  và i j  i k  k j  Tọa độ véctơ      Định nghĩa: a  (x ; y; z )  a  x i  y.j  z k   Tính chất: Cho a  (a1; a ; a ), b  (b1 ;b2 ;b3 ), k       a  b  (a1  b1; a  b2 ; a  b3 )  k a  (ka1; ka2 ; ka ) a  b  1    a a a      Hai véctơ a  b  a  b2   a  b  a  k b      b1 b2 b3 a  b3  2   Môđun (độ dài) véctơ: a  a12  a22  a 32  a  a12  a22  a 32       Tích vô hướng: a b  a b cos(a , b )  a1b1  a2b2  a3b3   a  b  a b  a b  a b   1 2 3   a1b1  a2b2  a 3b3   a b Suy ra:    cos(a ;b )      a b a12  a22  a 32 b12  b22  b32  Tọa độ điểm     Định nghĩa: M (a;b; c)  OM  a.i  b.j  c.k  (a;b; c) M  (Oxy )  z  0, M  (Oyz )  x  0, M  (Oxz )  y  Cần nhớ:    M  Ox  y  z  0, M  Oy  x  z  0, M  Oz  x  y   Tính chất: cho hai điểm A(x A ; yA ; z A ), B(x B ; yB ; z B )   AB  (x B  x A ; yB  yA ; z B  z A )  AB  (x B  x A )2  (yB  yA )2  (z B  z A )2  x  x y  y z  z  B B B   Gọi M là trung điểm AB  M  A ; A ; A   2   x  x  x y  y  y z  z  z  B C B C B C   Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  G  A ; A ; A    3   Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, đó tọa độ điểm G là  x  x  x  x y  y  y  y z  z  z  z  B C D B C D B C D G  A ; A ; A    4  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 73 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Tích có hướng hai véctơ a  (a ; a ; a )  Định nghĩa: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho véctơ    Tích có hướng hai véctơ b  (b1;b2 ;b3 )        a , b là véctơ, ký hiệu là [a , b ] (hoặc a  b ) và xác định công thức:  a a a a a a     [a , b ]   ; ;   a2b3  a 3b2 ; a 3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1   b2 b3 b3 b1 b1 b2         Lưu ý: Nếu c  [a , b ] thì ta luôn có c  a và c  b Tính chất:           [i , j ]  k , [ j , k ]  i , [k , i ]  j            [a , b ]  a , [a , b ]  b       a  b  [a , b ]     [a ,b ]  a b sin(a ;b ) Ứng dụng tích có hướng:              Để a , b , c đồng phẳng  [a , b ].c  Ngược lại, để a , b , c không đồng phẳng thì [a , b ].c  (thường gọi là tích hỗn tạp) Do đó để chứng minh điểm A, B, C , D là bốn điểm tứ diện, ta cần chứng minh         AB, AC , AD không đồng phẳng, nghĩa là AB, AC  AD       Ngược lại, để chứng minh điểm A, B, C , D đồng phẳng, ta cần chứng minh AB, AC , AD      cùng thuộc mặt phẳng  AB, AC  AD  D C        Diện tích hình bình hành ABCD là S ABCD  AB, AD     A B       Diện tích ABC là S ABC   AB, AC   A         Thể tích khối hộp ABCD.A B C D  là V  AB, AD  AA   C B        Thể tích khối tứ diện ABCD là VABCD   AB, AC  AD   Phương trình mặt cầu  Phương trình mặt cầu (S) dạng 1: Để viết phương trình mặt cầu (S ), ta cần tìm tâm I (a;b;c) và bán kính R Khi đó:  Tâm: I (a;b; c ) (S ) :   (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c )2  R2  Bán kính: R   Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: Khai triển dạng 1, ta x  y  z  2ax  2by  2cx  a  b  c  R  và đặt d  a  b  c  R thì phương trình mặt cầu dạng là (S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Với a  b  c  d  là phương trình mặt cầu dạng có tâm I (a;b;c), bán kính là R  a  b2  c2  d Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 74 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 1: Bài toán liên quan đến véctơ và độ dài đoạn thẳng  Cần nhớ: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(x A ; yA ; z A ), B(x B ; yB ; z B )   AB  (x B  x A ; yB  yA ; z B  z A )       a  (x ; y; z )  a  x i  y.j  z k      M (a;b; c )  OM  a i  b.j  c.k  AB  (x B  x A )2  (yB  yA )2  (z B  z A )2      Ví dụ: a  2i  j  k  a  ( ; .; .)    Ví dụ: OM  2.i  3.k  M ( ; ; )  Điểm thuộc trục và mặt phẳng tọa độ (thiếu cài nào, cho cái đó 0) : z 0  M  (Oxy )   M (x M ; yM ; 0) x 0  M  (Oyz )    M ( ; ; ) y 0 y z 0  M  (Oxz )    M ( ; ; )  M  Ox    M ( ; ; ) x z 0  M  Oy    M ( ; ; ) x y 0  M  Oz    M ( ; ; )    A(1;2; 3) và B(2; 1; 0) Tìm Cho điểm M thỏa OM  2i  j Tìm tọa Cho hai điểm  độ điểm M tọa độ véctơ AB A M (0;2;1) B M (1;2; 0) A (1; 1;1) B (3; 3; 3) C M (2; 0;1) D M (2;1; 0) C (1;1; 3) D (3; 3; 3)   Cho hai điểm A, B thỏa OA  (2; 1; 3) và Cho hai điểm M , N thỏa OM  (4; 2;1),     OB  (5;2; 1) Tìm tọa độ véctơ AB ON  (2; 1;1) Tìm tọa độ véctơ MN     A AB  (3; 3; 4) B AB  (2; 1; 3) A MN  (2; 1; 0) B MN  (6; 3;2)     C AB  (7;1;2) D AB  (3; 3; 4) C MN  (2;1; 0) D MN  (6; 3; 2) Cho hai điểm A(2; 3;1), B(3;1;5) Tính độ Cho hai điểm M (3; 0; 0), N (0; 0; 4) Tính độ dài đoạn thẳng AB dài đoạn thẳng MN A AB  21 B AB  13 C AB  D AB  A MN  10 B MN  C MN  D MN  Cho hai điểm A(1;2; 3) và M (0; 0; m) Tìm Cho A(1; 3; m), B(1; 4; 2), C (1; m;2) Tìm m để ABC cân B m, biết AM  A m  3 C m  B m  D m  2 A m  7/12 B m  27/12 C m  7/12 D m  27/12 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 75 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 2: Bài toán liên quan đến trung điểm, tọa độ trọng tâm  Cần nhớ:  x  x y  y z  z  AB A B B B   ; A ; A   Nhớ M   2 2   M là trung điểm AB  M   x  x  x y  y  y z  z  z  A  B C A B C B C B C   ; A ; A   Nhớ G   3 3   G là trọng tâm ABC  G   Gọi G1 là trọng tâm tứ diện ABCD, đó tọa độ điểm G1 là  x  x  x  x y  y  y  y z  z  z  z  A  B C  D B C D B C D B C D  G1  A ; A ; A   Nhớ: G1   4 4  Cho hai điểm A(3; 2; 3) và B(1;2;5) Tìm Cho hai điểm M (1; 2; 3) và N (3; 0; 1) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB tọa độ trung điểm I đoạn MN A I (2;2;1) B I (1; 0; 4) A I (4; 2;2) B I (2; 1;2) C I (2; 0; 8) D I (2; 2; 1) C I (4; 2;1) D I (2; 1;1) Cho hai điểm M (3; 2; 3) và I (1; 0; 4) Tìm Cho hai điểm A(2;1; 4) và I (2;2;1) Tìm điểm điểm N để I là trung điểm đoạn MN B để I là trung điểm đoạn AB A N (5; 4;2) B N (0;1;2) A B(2; 5;2) B B(2; 3; 2) C N (2; 1;2) D N (1;2;5) C B(2; 1;2) D B(2;5;2) Cho ba điểm A(1; 3;5), B(2; 0;1), C (0;9; 0) Cho điểm A(2;1; 3), B(4;2;1), C (3;0;5) và G(a;b; c) là trọng tâm ABC Tìm abc Tìm trọng tâm G tam giác ABC A G(3;12;6) B G(1;5;2) A abc  B abc  C G(1; 0;5) D G(1; 4;2) C abc  D abc  Cho tứ diện ABCD có A(1; 0;2), B(2;1; 3), Cho tứ diện ABCD có A(1; 1;1), B(0;1;2), C (3;2; 4), D(6;9; 5) Tìm tọa độ trọng tâm C (1; 0;1), D(a;b;c) và G(3/2;0;1) là trọng tâm tứ diện Tính S  a  b  c G tứ diện ABCD A G(8;12; 4) B G(9;18; 30) A S  6 B S  C G(3; 3;1) D G(2; 3;1) C S  D S  4 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 76 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 3: Bài toán liên quan đến hai véctơ    Cần nhớ: Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a  (a1; a ; a ), b  (b1 ;b2 ;b3 ), k      a  b  (a1  b1; a  b2 ; a  b3 )   k a  (ka1; ka2 ; ka )  Hai véctơ và hoành  hoành, tung  tung, cao  cao, nghĩa là: a  b  1      a  b  a2  b2  Để ABCD là hình bình hành thì AB  DC  a  b3  Cho A(1;2; 1), B(2; 1; 3), C (3;5;1) Tìm Cho A(1;1;3), B(2;6;5), C (6; 1;7) Tìm điểm D cho ABCD là hình bình hành điểm D để ABCD là hình bình hành A D(4; 8; 3) B D(2;2;5) A D(7; 6;5) B D(7; 6; 5) C D(2; 8; 3) D D(4; 8; 5) C D(7;6;5) D D(7; 6; 5) Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải Gọi D(x ; y; z ) là đỉnh hình bình hành   AB  ( ; ; ) Ta có:   DC  ( ; ; )    Vì ABCD là hình bình hành nên AB  DC 1  3  x x     3   y  y   D( ; ; )   4   z z    Cho A(1;1;1), B(2; 3; 4), C (6;5;2) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành Cho A(1;2; 1), B(2; 1; 3), C (2; 3; 3), M (a;b;c) Tìm a  b  c để ABCM là hình bình hành A D(7;7;5) B D(5; 3; 1) A 42 B 43 C D(7; 6;5) D D(7;6; 5) C 44 D 45 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 77 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Cho hai điểm A(1;2; 3) và B(1; 0;2) Tìm Cho hai điểm B(1;2; 3), C (7; 4; 2) Tìm tọa     độ điểm M , biết CM  2MB tọa độ điểm M thỏa mãn AB  2MA  7 A M 2; 3;      7 B M 2;  3;      8 A M 3; ;    3   8 B M 3; ;     3  C M (2; 3;7) D M (4;6;7) C M (3; 3;7) D M (4;6;2) Cho A(2; 0; 0), B(0; 3;1), C (3;6; 4) Gọi M Cho A(0;1;2), B(1;2; 3), C (1; 2; 5) Điểm M là điểm nằm trên đoạn BC cho MC  2MB Tính độ dài đoạn AM nằm đoạn thẳng BC MB  3MC Tính độ dài đoạn AM A AM  B AM  29 A AM  11 B AM  C AM  3 D AM  30 C AM  D AM  30 cho     Cho u  (2; 5; 3), v  (0;2; 1), w  (1; 7;2) 10 Biểu diễn véctơ a  (3; 7; 7) theo các véctơ        u  (2;1; 0), v  (1; 1;2), w  (2;2; 1) là Tìm véctơ a  u  4v  2w          A a  (7;2; 3) B a  (0;27; 3) A u  3v  2w B a  2u  3v  w          C a  (0; 27; 3) D a  (7; 2; 3) C 2u  3v  w D a  u  2v  3w Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 78 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 11 Cho tam giác ABC có A(1;1;1), B(5;1; 2) 12 Cho ABC có A(1;2; 4), B(3; 0; 2) và C (1; 3;7) Gọi D là chân đường phân giác và C (7;9;1) Tính độ dài đường phân giác góc A Tính độ dài đoạn OD, AD góc A A AD  74  B AD  74  A OD  C AD  74  D AD  74  C OD  Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải Ta có: A(1;1;1) AB    AC 10 Theo tính chất phân giác:  205  B OD  D OD  B(5;1;-2) D(x;y;z) C(7;9;1)   DB AB    2BD  DC DC AC   BD  2(x  5; y  1; z  2)  Gọi D(x ; y; z ) thì    DC  (7  x ;  y;1  z )          D       ;  ;   74  Do đó độ dài đoạn AD   Nhận xét Nếu tỉ số thì tam giác ABC là tam giác cân A Khi đó chân đường phân giác D góc A chính là trung điểm cạnh BC 13 Cho ABC có A(1;2; 1), B(2; 1; 3) và 14 Cho ABC có A(1;2; 1), B(2; 1; 3) và C (2; 3; 3) Tìm tọa độ điểm D là chân C (4;7;5) Tìm tọa độ điểm D là chân đường đường phân giác góc A tam giác phân giác góc B A D(0;3; 1) B D(0; 3;1) A D(2;2; 1) B D(2/3; 11/3; 1) C D(0; 3;1) D D(0;1; 3) C D(2;3; 1) D D(3; 11;1) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 79 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 4: Hai véctơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng    Cần nhớ: Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a  (a1; a ; a ), b  (b1 ;b2 ;b3 ), k    Hai véctơ cùng phương  Tung Cao Hoµnh    Nghĩa là: Tung Cao Hoµnh    a a a    a  b  a  k b     k Khi k  thì a và b cùng phương và chiều b1 b2 b3    Ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB  AC    A, B, C là ba đỉnh tam giác  A, B, C không thẳng hàng  AB  AC     Cho u  (2; m  1; 4) và v  (1; 3; 2n) Biết Cho hai véctơ u  (1; 3; 4), v  (2; y; z ) cùng   phương Tổng y  z u cùng phương v , thì m  n A B C D Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải     m 1 Vì u  v        2n  A  B C D m     m  n  Chọn A n      Cho hai vécơ u  (1;a;2), v (3;9;b) cùng Cho véctơ a  (10  m; m  2; m  10) và  phương Giá trị tổng a  b b  (7; 1; 3) cùng phương Giá trị m A 15 B C D  A B  C  D Cho A(2;1; 3) và B(5; 2;1) Đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;6;6), B(3; 6; 2) Tìm điểm M  (Oxy ) AB cắt mặt phẳng (Oxy ) M (a;b;c) Tính giá trị tổng a  b  c để AM  MB ngắn ? A a  b  c  B a  b  c  11 A M (2; 3; 0) B M (2; 3; 0) C a  b  c  D a  b  c  C M (3;2; 0) D M (3;2; 0) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 80 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 5: Nhóm bài toán liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ  Hình chiếu: “Thiếu cái nào, cho cái đó 0” Nghĩa là hình chiếu M (a;b;c) lên:  Ox là M 1( ; ; )  Oy là M ( ; ; )  Oz là M ( ; ; )  (Oxy ) là M ( ; ; )  (Oxz ) là M ( ; ; )  (Oyz ) là M ( ; ; )  Đối xứng: “Thiếu cái nào, đổi dấu cái đó” Nghĩa là điểm đối xứng N (a;b;c) qua:  Ox là N ( ; ; )  Oy là N ( ; ; )  Oz là N ( ; ; )  (Oxy ) là N ( ; ; )  (Oxz ) là N ( ; ; )  (Oyz ) là N ( ; ; )  Khoảng cách: Để tìm khoảng cách từ M đến trục (hoặc mp tọa độ), ta tìm hình chiếu H M lên trục (hoặc mp tọa độ), từ đó suy khoảng cách cần tìm là d  MH Cho điểm A(3; 1;1) Hình chiếu vuông góc Trong không gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H là A trên mặt phẳng (Oyz ) là điểm hình chiếu M (1;2; 4) lên (Oxy ) A M (3; 0; 0) B N (0; 1;1) A H (1;2; 4) B H (0;2; 4) C P(0; 1; 0) D Q(0; 0;1) C H (1;0; 4) D H (1;2; 0) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: Hình chiếu vuông góc A(3; 1;1) trên Trong không gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H là hình chiếu M (4;5;6) lên trục Ox (Oxz ) là A(x ; y; z ) Khi đó x  y  z A  B A H (0;5;6) B H (4;5; 0) C D C H (4; 0; 0) D H (0; 0;6) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: Trong không gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H là hình chiếu M (1; 1;2) lên trục Oy Trong không gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H là hình chiếu M (1;2; 4) lên trục Oz A H (0; 1; 0) B H (1; 0; 0) A H (0;2; 0) B H (1; 0; 0) C H (0; 0;2) D H (0;1; 0) C H (0; 0; 4) D H (1;2; 4) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: Tìm tọa độ M  là điểm đối xứng điểm Tìm M  là điểm đối xứng M (1; 2; 0) qua M (1;2; 3) qua gốc tọa độ O điểm A(2;1; 1) A M (1;2; 3) B M (1; 2; 3) A M (1; 3; 1) B M (3; 3;1) C M (1; 2; 3) D M (1;2; 3) C M (0; 5;1) D M (3; 4; 2) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 81 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Tìm tọa độ điểm M  là điểm đối xứng 10 Tìm tọa độ M  là điểm đối xứng điểm M (2; 3; 4) qua trục Oz điểm M (3;2;1) qua trục Ox A M (3; 2; 1) B M (3;2;1) A M (2; 3; 4) B M (2; 3; 4) C M (3; 2; 1) D M (3; 2;1) C M (2; 3; 4) D M (2; 3; 4) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: 11 Tìm điểm M  là điểm đối xứng điểm 12 Tìm điểm M  là điểm đối xứng điểm M (1;2;5) qua mặt phẳng (Oxy ) M (1; 2; 3) qua mặt phẳng (Oyz ) A M (1; 2;5) B M (1;2; 0) A M (1; 2; 3) B M (1;2; 3) C M (1; 2;5) D M (1;2; 5) C M (1;2; 3) D M (0; 2; 3) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: 13 Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ 14 Trong không gian Oxyz , hãy tính khoảng cách điểm M (a;b;c) đến mặt phẳng (Oxy ) từ điểm M (a;b;c) đến trục hoành Ox A a  b2 C b B a A a  b2 B b2  c2 D c C a  c2 D a 15 Tính khoảng cách d từ điểm M (1; 2; 3) đến mặt phẳng (Oxz ) 16 Trong không gian Oxyz , hãy tính khoảng cách d từ điểm M (3;2; 4) đến Oy A d  B d  A d  B d  C d  D d  C d  D d  17 Cho hình hộp ABCD.A B C D  có A(0; 0; 0), 18 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D  có A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0), D (0; 3; 3) C (3; 4;5) và điểm B thuộc trục hoành Tìm tọa độ tâm I hình chữ nhật CDD C  Tìm tọa độ trọng tâm G A B C  A I (3/2; 2; 5/2) B I (3/2; 4; 5/2) A G(2;1; 1) B G(1;1; 2) C I (3/2; 2; 5) D I (3;2;5) C G(2;1; 3) D G(1;2; 1) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 82 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz  Tâm tỉ cự: Cho ba điểm A, B, C  x  .x A  .x B  .xC  I        y  .yB  .yC  A  Tìm điểm I thỏa mãn .IA  .IB  .IC   yI      z  .z B  .zC A z   I     Công thức (1) tương tự điểm điểm (1)  Với điểm M , ta có:      .MA  .MB  .MC  (     ).MI (2)  .MA2  .MB  .MC  (     ).MI  const (3) Nếu       thì I là trọng tâm ABC Để chứng minh (1),(2), ta sử dụng quy tắc chèn điểm I và sử dụng (1) 19 Cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(3;2; 4), C (0;5; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng    (Oxy ) cho T  MA  MB  2MC nhỏ A M (1; 3;0) B M (1; 3; 0) C M (3;1;0) D M (2;6; 0)     Giải Gọi I thỏa IA  IB  2IC  và theo công thức (1) có I (1; 3; 3)     Theo công thức (2)  T  MA  MB  2MC  4MI  4MI I(1;3;3) Để Tmin  4MI  M là hình chiếu I (1; 3; 3) lên (Oxy ) Suy M (1; 3;0) Chọn đáp án A M' Oxy M(1;3;0) 20 Cho ba điểm A(2; 3;7), B(0; 4; 3) và C (4;2; 3) Biết điểm M (x  ; y  ; z  )  (Oxy ) thì biểu thức    T  MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Giá trị x   y   z  A  B C D 21 Cho ba điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C (3;6; 5) Tìm tọa độ điểm M  (Oxy ) cho biểu thức T  MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ ? A M (1;2; 0) B M (0; 0; 1) C M (1; 3; 1) D M (1; 3;0) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 83 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, véctơ nào là véctơ đơn vị trục Ox ?     A i  (0;1;1) B i  (1; 0; 0) C j  (0;1; 0) D k  (0; 0;1)    Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa OM  2i  j Tọa độ điểm M A M (0;2;1) Câu Câu Câu A (3; 3; 1) B (1; 1; 3) A A(1;0;3) B A(1;0; 5) D A(1;0;5) B OA  C OA  D OA  (Đề thử nghiệm Bộ GD & ĐT năm 2017) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(3; 2; 3) và B(1;2;5) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB B I (1; 0; 4) C I (2; 0; 8) D I (2; 2; 1) Cho ba điểm A(1;3;5), B(2; 0;1), C (0;9; 0) Tìm trọng tâm G tam giác ABC B G(1;5;2) C G(1;0;5) D G(1; 4;2) Cho hai điểm A(1;2; 3) và M (0; 0; m) Tìm m, biết AM  A m  3 Câu C A(3;2;5) (Đề thi THPT QG năm học 2017 – Mã đề 110) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;2;1) Tính độ dài đoạn thẳng OA A G(3;12;6) Câu D M (2;1;0) C (3;1;1) D (1;1; 3)  Trong không gian Oxyz , cho điểm B(2;1; 4) và véctơ AB  (1;1;1) Tìm tọa độ điểm A A I (2;2;1) Câu C M (2;0;1) (Đề thi THPT QG năm học 2018 – Mã đề 102) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 2)  và B(2;2;1) Véctơ AB có tọa độ là A OA  Câu B M (1;2;0) B m  C m  D m  2 (Đề tham khảo Bộ GD & ĐT năm 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3; 1;1) Hình chiếu vuông góc điểm A trên mặt phẳng (Oyz ) là điểm A M (3; 0; 0) B N (0; 1;1) C P(0; 1; 0) D Q(0; 0;1) Câu 10 Tìm tọa độ điểm M  là điểm đối xứng điểm M (3;2;1) qua trục Ox A M (3; 2; 1) B M (3;2;1) C M (3; 2; 1) D M (3; 2;1) Câu 11 Cho tứ diện ABCD có A(1; 0;2), B(2;1; 3), C (3;2; 4), D(6;9; 5) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD A G(9;18; 30) B G(8;12; 4) C G(3; 3;1) D G(2; 3;1) Câu 12 (THPT Yên Định – Thanh Hóa năm 2018) Cho ba điểm A(0; 1;1), B(2;1; 1) và C (1; 3;2) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành A D(1;1; 4) B D(1; 3; 4) C D(1;1; 4) D D(1; 3; 2)  1  A b   ; 2; 1       B b   ;2;1     1  C b   ;  2;1       D b   ;2; 1      Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a  (3; 0;2), c  (1; 1; 0) Tìm tọa      độ véctơ b thỏa mãn đẳng thức véctơ 2b  a  4c  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 84 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A B C D  Biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1; 1;1), C (4;5; 5) Tìm tọa độ đỉnh A A A(3; 5; 6) B A(5; 5; 6) C A(5;5; 6) D A(5; 5; 6) Câu 15 (Sở GD & ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2018) Trong không gian Oxyz , điểm M thuộc trục hoành Ox và cách hai điểm A(4;2; 1), B(2;1; 0) là A M (4; 0; 0) B M (5; 0; 0) C M (4; 0; 0) D M (5; 0; 0) Câu 16 Cho A(2;5; 3), B(3;7; 4), C (x ; y;6) Tìm x  y để ba điểm A, B, C thẳng hàng A x  y  14 B x  y  C x  y  D x  y  16 Câu 17 (Đề thử nghiệm Bộ GD & ĐT năm học 2017) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 3;1) và B(5;6;2) Đường thẳng AB cắt mặt (Oxz ) M Tính tỉ số A AM   BM B AM  BM C AM   BM D AM  BM AM  BM Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(1;2; 3), C (1; 2; 5) Điểm M nằm đoạn thẳng BC cho MB  3MC Tính độ dài đoạn AM A AM  11 B AM  C AM  D AM  30 Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;2; 4), B(3; 0; 2) và  C (1; 3;7) Gọi D là chân đường phân giác góc A Tính OD  207  B OD   201  D OD  A OD   205   203  Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 0; 0), B(2; 3; 1), C (0;6;7) và gọi M    là điểm di động trên trục Oy Tìm tọa độ điểm M để P = MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ C OD  A M (0; 3; 0) B M (0; 3; 0) C M (0;9; 0) D M (0; 9; 0) ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.B 7.D 8.C 9.B 10.A 11.D 12.C 13.B 14.A 15.C 16.D 17.A 18.D 19.B 20.A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 85 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Câu Câu Câu Câu Câu (Đề tham khảo Bộ GD & ĐT năm học 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 1)  và B (2; 3;2) Véctơ AB có tọa độ là A (1;2; 3) B (1; 2; 3) C (3; 5;1) D (3; 4;1)   Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M , N thỏa mãn OM  (4; 2;1), ON  (2; 1;1) Tìm  tọa độ véctơ MN   A MN  (2; 1; 0) B MN  (6; 3;2)   C MN  (2;1; 0) D MN  (6;3; 2) (Đề thi THPT QG năm học 2018 – Mã đề 101) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 4; 3) và B(2;2;7) Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ là A (1; 3;2) B (2;6; 4) C (2; 1;5) D (4; 2;10) Cho tam giác ABC có A(1;2; 3), B(2;1; 0) và trọng tâm G(2;1; 3) Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC A C (1;2; 0) B C (3; 0;6) C C (3; 0; 6) D C (3;2;1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1; 1;1), B(0;1;2) và C (1;0;1) 3  Biết đỉnh D(a;b;c) và G  ; 0;1 là trọng tâm tứ diện Tính S  a  b  c   A S  6 B S  C S  D S  4 Cho tam giác ABC biết A(2; 4; 3) và trọng tâm G tam giác có toạ độ là G(2;1; 0) Tìm    tọa độ véctơ u  AB  AC  A u  (0; 9;9)  C u  (0; 4; 4) Câu  B u  (0; 4; 4)  D u  (0;9; 9) Cho ba điểm A(1;2; 1), B(2; 1; 3) và C (2; 3; 3) Biết M (a;b;c) là đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM , hãy tính giá trị biểu thức P  a  b  c A P  42 B P  43 C P  44 D P  45 Câu   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ m  (5; 4; 1), n  (2; 5; 3) Tìm     tọa độ véctơ x thỏa mãn m  2x  n       A x   ;  ; 2  B x   ;  ;2   2    2   3  3  C x   ;  ; 2  D x   ; ;2    2  2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 86 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Câu Chuyên đề: Oxyz Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A B C D  có A(2; 1; 3), B(0;1; 1), C (1;2; 0), D (3;2; 1) Tìm tọa độ đỉnh B  A B (1; 0; 4) B B (2; 3; 6) C B (1; 0; 4) D B (2; 3; 6)   Câu 10 Cho hai điểm A(1;2; 3) và B(1; 0;2) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AB  2MA  7 A M 2; 3;     B M (2; 3;7)  7 C M 2;  3;     D M (4;6;7) Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; 1;2) Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc đoạn AB cho MA  2MB 2  A M  ;  ;1  3  1 1 B M  ;  ;   2 2  C M (2; 0;5) D M (1; 3; 4) Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ABC có A(3;1; 0), B(0; 1; 0), C (0; 0; 6)        Giả sử tam giác A B C thỏa A A  B B  C C  Tìm trọng tâm G  A B C  A G (1; 0; 2) B G (2; 3; 0) C G (3; 2; 0) D G (3; 2;1) Câu 13 (Đề tham khảo Bộ GD & ĐT năm học 2017) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(3; 4; 0), B(1;1; 3), C (3;1; 0) Tìm điểm D trên trục hoành cho AD  BC A D(2;1; 0), D(4;0; 0) B D(0; 0; 0), D(6; 0;0) C D(6; 0; 0), D(12; 0; 0) D D(0; 0; 0), D(6; 0; 0) Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4;2; 3) Tìm mệnh đề sai ? A Hình chiếu điểm A lên mặt phẳng (Oxy) là điểm M 1(4;2; 0) B Hình chiếu điểm A lên trục Oy là điểm M (0;2; 0) C Hình chiếu điểm A lên mặt phẳng (Oyz ) là điểm M (0;2; 3) D Hình chiếu điểm A lên trục Oz là điểm M (4;2; 0) Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1) và B(3; 1;2) Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz cho nó cách hai điểm A và B  3 A M 0; 0;     B M (1; 0; 0) C M (0;0;4) D M (0; 0; 4) A m  B m  4 C m  2 D m    Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a  (10  m; m  2; m  10) và b  (7; 1; 3) Tìm   tất các tham số thực m để a cùng phương với b Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 87 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho A(1; 3; 2), B(3;5; 12) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) BN  AN N Tính tỉ số A BN  AN B BN  AN BN BN D   AN AN Câu 18 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;1;1), B(5;1; 2) và C (7;9;1) Tính độ dài đường phân giác AD góc A C B AD  A AD  74 C AD  74  3 74  D AD  74 Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1; 3; 3), B(2; 6;7), C (6; 4; 3), D(0; 1; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy ) cho biểu thức     P  MA  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ ? A M (1; 2; 3) B M (0; 2; 3) C M (1; 0; 3) D M (1; 2; 0) Câu 20 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2; 3;1), B(1;1; 0) và M (a;b; 0), với a, b thay đổi   cho biểu thức P = MA  2MB đạt giá trị nhỏ Tính S  a  2b A S  B S   C S  D S   ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 02 1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.A 11.A 12.A 13.D 14.D 15.A 16.B 17.D 18.C 19.D 20.B Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 88 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 6: Nhóm bài toán liên quan đến tích vô hướng hai véctơ    Cần nhớ: Trong không gian Oxyz, cho a  (a1; a ; a ), b  (b1 ;b2 ;b3 ), k        Tích vô hướng: a b  a b cos(a , b )  a1b1  a2b2  a 3b3 (hoành  hoành, cộng tung  tung, cộng cao  cao)   a1b1  a2b2  a 3b3   a b (góc véctơ có thể nhọn tù) cos(a ;b )     a b a12  a22  a 32 b12  b22  b32    Và a  b  a b   a1b1  a2b2  a 3b3  (2 véctơ vuông góc thì nhân  0)    a  a12  a 22  a 32  a  a12  a 22  a 32    2 2  2 2  2    2  a  a hay AB  AB và a  b  a  b  2a b  a  b  a b cos(a , b ) Cho A(2; 1;1), B(1; 3; 1), C (5; 3; 4)   Tính tích vô hướng AB.BC     A AB.BC  48 B AB.BC  48     C AB.BC  52 D AB.BC  52 Cho A(2;1; 4), B(2;2; 6), C (6; 0; 1) Tính   tích vô hướng AB.AC     A AB.AC  67 B AB.AC  65     C AB.AC  67 D AB.AC  33   Cho hai véctơ u  (1; 3;2) và v  (x ; 0;1)  Tìm giá trị x để u v     Cho u  (2; 3;1), v  (5;6; 4) và z  (a;b;1)     thỏa z  u và z  v Giá trị a  b A x  B x  C x  D x  A 2 B C 1 D   Cho hai véctơ a  (2;1; 0), b  (1; 0; 2)   Cho hai véctơ u  (1; 0; 3), v  (1; 2; 0)   Tính cos(u, v )   Tính cos(a ,b ) A  25 B   C  2  D  25 A  10 B  10 10  C  D   10 10 10 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 89 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Trong không gian Oxyz, gọi  là góc Cho u  (0; 1; 0) và v  ( 3;1; 0) Gọi  là     u  (1; 2;1) và v  (2;1;1) Tìm  góc u và v , hãy tìm  A 5  B   C   D 2  A   B   C 2  D     Cho hai véctơ u  (1;1;1) và v  (0;1; m )   Tìm m để góc u và v 45 10 Cho u  (1; log3 5; m), v  (3; log5 3; 4)   Tìm m để u  v   A m   B m   A m  2 B m  C m   D m   C m  D m  1   11 Cho hai véctơ u và v tạo với góc 60     Biết u  và v  Tính u  v   12 Cho u và v tạo với góc 120 Tính     u  v , biết u  và v  A B A 2 B C D C D 13 (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 104 câu 12) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M (2; 3; 1), N (1;1;1) và P (1; m  1;2) Tìm m để tam giác MNP vuông N A m  6 B m  C m  4 D m  14 Cho tam giác ABC có các đỉnh A(4;1; 5), B(2;12; 2) và C (m  2;  m; m  5) Tìm tham số thực m để tam giác ABC vuông C A m   39 15  39  B m   2 C m  1  D m  15  39  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 90 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 7: Nhóm bài toán liên quan đến tích có hướng hai véctơ a  (a ; a ; a )  Cần nhớ: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ    b  (b1;b2 ;b3 )   a a a a a a     Tích có hướng [a , b ]   ; ;   a 2b3  a 3b2 ; a 3b1  a1b3 ; a1b2  a 2b1   b2 b3 b3 b1 b1 b2  (Hoành che hoành, tung che tung – đổi dấu; cao che cao) Ứng dụng:              a , b , c đồng phẳng  [a , b ].c   a , b , c không đồng phẳng  [a , b ].c           A, B, C , D đồng phẳng  AB, AC , AD đồng phẳng  AB, AC  AD             A, B, C , D là các đỉnh tứ diện  AB, AC , AD không đồng phẳng  AB, AC  AD         Diện tích ABC là S ABC   AB, AC          Diện tích hình bình hành ABCD là S ABCD  AB, AD          Thể tích khối tứ diện ABCD là VABCD   [AB, AC ].AD       Thể tích khối hộp ABCD.A B C D  là V  AB, AD  AA       Biết ba véctơ u  (2; 1;1), v  (1;2;1) và Biết ba véctơ u  (1;2;1), v  (1;1;2) và   w  (m; 3; 1) đồng phẳng Tìm m w  (m; 3m; m  2) đồng phẳng Tìm m A m  3/8 B m  3/8 A m  B m  C m  8/3 D m  8/3 C m  2 D m  1 Tìm m để bốn điểm A(1;1; 4), B(5; 1; 3), C (2;2; m ), D(3;1; 5) đồng phẳng ? Tìm m để bốn điểm A(1;2; 0), B(1;1; 3), C (0; 2;5), D(m;5; 0) đồng phẳng ? A m  B m  A m  B m  C m  4 D m  6 C m  2 D m  4 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 91 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Cho hai điểm A(1;2; 1), B(0; 2; 3) Tính Tính diện tích tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; 0;1) và C (2;1;1) diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ A 29  B 29  C 78  D  2 Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải     OA  (1;2; 1)   Có    OA,OB   ( ; ; ) OB  (0; 2; 3)         S  OA,OB    (3)2  (2)2   B 42 C 42 D B  C  D  Tính diện tích tam giác ABC với A(1;1;1), B(4; 3;2) và C (5;2;1) 42  29   Chọn đáp án B A A 42  Tính diện tích tam giác ABC với A(7; 3; 4), B(1; 0;6), C (4;5; 2) A 49  B 51  C 53  D 47  Cho A(1;2; 1), B(0; 2; 3) Tính đường cao 10 Cho tam giác ABC có A(1; 0; 3), B(2; 2; 0) và C (3;2;1) Tính chiều cao AH AH hạ từ đỉnh A tam giác OAB 29 377  D  13     OA,OB        AH BO   S  OA,OB    AH     OB     OA  (1;2; 1)   Có   OA,OB   (4; 3; 2)   OB  (0; 2; 3)        Suy ra: OA,OB   29 và OB  13       OA,OB    29  377  Do đó AH   OB 13 13 A 13  B Chọn đáp án D 29  13 C A 65  B 651  C 651 651  D  21 21 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 92 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 11 Cho tam giác ABC có A(1; 0;1), B(0;2; 3) và 12 Tính diện tích hình bình hành ABCD với A(2;1; 3), B(0; 2; 5), C (1;1; 3) C (2;1; 0) Tính chiều cao CH A 26 B 26  C 26  D 26 A 87 B 349 C 87 D   AB  (2; 3; 8)  Ta có:    AC  (1; 0;6)      Suy AB , AC   (18; 4; 3)     349      Diện tích hình bình hành S ABCD  AB , AC   (18)2  42  (3)2  349 Chọn B 13 Tính diện tích hình bình hành ABCD với 14 Diện tích hình bình hành ABCD : A(2; 4; 0), A(1;1;1), B(2; 3; 4), C (6; 5;2) B(4; 0; 0), C (1; 4; 7), D(3; 8; 7) A 83 B 83 C 83 D 83 A 281 B 181 C 281 D 181 15 Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 0;1), D(2;1; 1) 16 Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 0;1), D(4; 5;6) A 1/2 B C D 1/3     AB  (1;1; 0)    Ta có:   AB, AC   (1;1;1) và AC  (1; 0;1)     AD  (3;1; 1)     [AB, AC ].AD  1.(3)  1.1  1.(1)  3  VABCD    1  [AB, AC ].AD   3   6 17 Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1;2;1), B(0; 0; 2), C (1; 0;1), D(2;1; 1) A 1/3 B 2/3 C 4/3 D 8/3 A 8/3 B C 14/3 D 7/3 18 Tính thể tích tứ diện ABCD với A(1; 0;1), B(2; 0; 1), C (0;1; 3), D(3;1;1) A 2/3 B C D 4/3 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 93 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 19 Cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 0), B(3; 3;2), 20 Cho tứ diện ABCD có A(0; 0;2), B(3; 0;5), C (1;2;2), D(3; 3;1) Tính độ dài đường cao C (1;1; 0), D(4;1;2) Tính độ dài đường cao h hạ từ đỉnh D xuống mặt (ABC ) DH tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D A  B  14 C  14 D      AB  (2;5;2)   Có    AB, AC   (2; 8;18) AC  (2; 4;2)       [AB, AC ]  22  (8)2  182  14     Lại có: AD  (2; 5;1)  [AB, AC ].AD  18  h 3VABCD S ABC    [AB, AC ].AD      14 [AB, AC ] A 11 B C 11 11  D  11 Chọn đáp án B 21 Cho A(1; 2; 4), B(4; 2; 0),C (3; 2;1), D(1;1;1) là bốn đỉnh tứ diện ABCD 22 Cho A(a; 1; 6), B(3; 1; 4), C (5; 1; 0) và D(1;2;1) Hãy tìm a để thể tích tứ diện Tình đường cao DH tứ diện ABCD A DH  B DH  ABCD 30 A a  {1; 32} C DH  5/3 D DH  9/2 C a  {2; 32} B a  {1; 2} D a  {32} Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 94 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 8: Xác định các yếu tố mặt cầu  Phương trình mặt cầu (S) dạng 1: Để viết phương trình mặt cầu (S ), ta cần tìm tâm I (a;b; c) và bán kính R Khi đó:  Tâm: I (a;b; c ) (S ) :   (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c )2  R2  Bán kính: R   Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: (S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Với a  b  c  d  là phương trình mặt cầu dạng có tâm I (a;b; c), bán kính: R  a  b  c  d  Lưu ý: Để f (x ; y; z )  là phương trình mặt cầu thì phải thỏa mãn hai điều kiện:  Hệ số trước x , y , z phải  R  a  b  c  d  (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  Tìm I và bán kính R mặt cầu (S ) A I (1;2;1), R  B I (1; 2; 1), R  C I (1;2;1), R  D I (1; 2; 1), R  Giải Theo dạng 1, tọa độ tâm lấy đổi dấu, nghĩa là I (1;2;1) và R   Chọn đáp án A (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã 103 Câu 13) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  3)2  (y  1)2  (z  1)2  Tâm (S ) có tọa độ là A (3;1; 1) B (3; 1;1) C (3; 1;1) D (3;1; 1) (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã 104 Câu 11) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi mặt cầu (S ) : (x  5)2  (y  1)2  (z  2)2  có bán kính A C B D Tìm tâm I và bán kính mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  10  A I (1; 2; 3), R  B I (1;2; 3), R  C I (1;2; 3), R  D I (1; 2; 3), R  R  12  22  32  10  Chọn A Xác định tâm I và bán kính R mặt cầu (S ) : x  y  z  4x  2y  4z  16  A I (2; 1;2), R  B I (2; 1;2), R  C I (2;1; 2), R  Giải Theo dạng 2, lấy hệ số x, y, z chia cho 2 I (1; 2; 3) và bán kính: D I (4;2; 4), R  13 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R mặt cầu x  y  z  2x  4y   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 95 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz A I (2; 4; 0), R  B I (2; 4; 0), R  C I (1;2; 0), R  D I (1; 2; 0), R  Tìm độ dài đường kính d mặt cầu (S ) : x  y  z  2y  4z   A d  B d  C d  D d  (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110) Trong không gian Oxyz, tìm tất các giá trị m để phương trình x  y  z  2x  2y  4z  m  là phương trình mặt cầu A m  B m  C m  D m  Giải Ta có: a  1, b  1, c  2, d  m Điều kiện: a  b  c  d   12  12  22  m   m  Tìm m để x  y  z  2x  4y  m  là phương trình mặt cầu A m  B m  5 C m  D m  5 10 Tìm m để x  y  z  2mx  2y  4z  2m  4m  là phương trình mặt cầu A 5  m  B m  C 5  m  D m  11 Cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  4z  m  có bán kính R  Tìm m A m  16 B m  16 C m  D m  4 12 Cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  4z  m  có bán kính R  Tìm m A m  16 B m  16 C m  D m  4 13 Cho mặt cầu (S ) : x  y  z  4x  8y  2mz  6m  có đường kính 12 thì tổng các giá trị tham số m A 2 B C 6 D Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 96 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 9: Viết phương trình mặt cầu loại   Phương trình mặt cầu (S) dạng 1: Để viết phương trình mặt cầu (S ), ta cần tìm tâm I (a;b; c) và bán kính R Khi đó:  Tâm: I (a;b; c ) (S ) :   (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c )2  R2  Bán kính: R   Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: (S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Với a  b  c  d  là phương trình mặt cầu dạng Tâm I (a;b; c), bán kính: R  a  b  c  d  BÀI TẬP VẬN DỤNG Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 0), bán kính R  là B (x  1)2  (y  2)2  z   Tâm: I (1;2; 0) Lời giải Ta có (S ) :    Bán kính: R   C (x  1)2  (y  2)2  z   (S ) : (x  1)2  (y  2)2  z  32  A (x  1)2  (y  2)2  z  D (x  1)2  (y  2)2  z  Chọn đáp án B Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 0; 2), bán kính R  là A (x  1)2  y  (z  2)2  B (x  1)2  y  (z  2)2  16 C (x  1)2  y  (z  2)2  D (x  1)2  y  (z  2)2  16 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 3), bán kính R  là A x  y  z  2x  4y  6z  10  B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  C x  y  z  2x  4y  6z  10  D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  22 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 2; 3), đường kính là A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 C (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 97 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 0; 1) và qua điểm A(2;2; 3) là A (x  1)2  y  (z  1)2  B (x  1)2  y  (z  1)2  2  Tâm: I (1; 0; 1) Giải (S ) :    Bán kính: R  IA   C (x  1)  y  (z  1)  Suy (x  1)  y  (z  1)  D (x  1)2  y  (z  1)2  Chọn đáp án C 2 R I A Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 3;2) và qua điểm A(5; 1; 4) là A (x  1)2  (y  3)2  (z  2)2  24 B (x  1)2  (y  3)2  (z  2)2  24 C (x  1)2  (y  3)2  (z  2)2  24 D (x  1)2  (y  3)2  (z  2)2  24 Cho tam giác ABC có A(2;2; 0), B(1; 0;2), C (0; 4; 4) Mặt cầu (S ) có tâm A và qua trọng tâm G tam giác ABC có phương trình là A (x  2)2  (y  2)2  z  2 B (x  2)  (y  2)  z  C (x  2)2  (y  2)2  z  D (x  2)2  (y  2)2  z  Phương trình mặt cầu (S ) có đường kính AB với A(2;1;1), B(0; 3; 1) là B (x  1)2  (y  2)2  z   Tâm: I (1;2; 0) là trung điểm AB  Giải (S ) :   Bán kính: R  IA   C (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2   (x  1)2  (y  2)2  z  A x  (y  2)2  z  2 D (x  1)  (y  2)  z  9 B I R A Chọn đáp án B Phương trình mặt cầu (S ) có đường kính AB với A(1;2; 3), B(1; 4;1) là A (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  12 B (S ) : x  (y  3)2  (z  2)2  C (S ) : (x  1)2  (y  4)2  (z  1)2  12 D (S ) : x  (y  3)2  (z  2)2  12 10 Phương trình mặt cầu (S ) có đường kính AB với A(3; 0; 1), B(5; 0; 3) là A (S ) : (x  2)2  y  (z  2)2  B (S ) : x  y  z  8x  4z  18  C (S ) : (x  4)2  y  (z  2)2  D (S ) : x  y  z  8x  4z  12  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 98 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) 11 Cho mặt cầu (S ) có tâm I (1; 4;2) và thể tích A (x  1)2  (y  4)2  (z  2)2  16 B (x  1)2  (y  4)2  (z  2)2  C (x  1)2  (y  4)2  (z  2)2  D (x  1)2  (y  4)2  (z  2)2  Chuyên đề: Oxyz 256  Phương trình (S ) là 4 256 R  R  3  Tâm: I (1; 4;2)  R  Khi đó (S ) :   Bán kính: R   Giải Ta có: V   (S ) : (x  1)2  (y  4)2  (z  2)2  16 Chọn A 12 Cho mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 4) và thể tích 36 Phương trình (S ) là A (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  B (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  C (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  D (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  13 Cho mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 3) và diện tích 32 Phương trình (S ) là A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 C (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  14 Cho mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 0) Một mặt phẳng (P ) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) Biết diện tích lớn (C ) 3 Phương trình (S ) là A x  (y  2)2  z  B (x  1)2  (y  2)2  z  C (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  D (x  1)2  (y  2)2  z   Cần nhớ: Mặt phẳng (P ) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) và diện tích (C ) lớn (P ) qua tâm I (S ) 15 Cho mặt cầu (S ) có tâm I (1;1;1) Một mặt phẳng (P ) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) Biết chu vi lớn (C ) 2 Phương trình (S ) là A (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  2 B (x  1)  (y  1)  (z  1)  C (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  2 D (x  1)  (y  1)  (z  1)  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 99 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 16 Tìm tâm I và bán kính mặt cầu (S ) qua bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C (0; 0;6), D(2; 4; 6) (cách hỏi khác: phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ) Giải Gọi phương trình mặt cầu có dạng là: A I (1;2; 3), R  (S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d   A(2; 0; 0)  (S )  22  02  02  2.a.2  2.b.0  2.c.0  d  B I (1;2; 3), R   B(0; 4; 0)  (S )  02  42  02  2.a  2.b.4  2.c.0  d   C (0; 0; 6)  (S )  02  02  62  2.a.0  2.b.0  2.c.6  d  C I (1;2; 3), R  14  D(2; 4;6)  (S )  22  42  62  2.a.2  2.b.4  2.c.6  d  D I (1; 3;1), R  11 4a  d  4 a    I (1;2; 3) 8b  d  16 b        12c  d  36 c  R  14    4a  8b  12c  d  56 d  17 Tìm bán kính R mặt cầu qua bốn điểm M (1; 0;1), N (1; 0; 0), P (2;1; 0) và Q(1;1;1)  A R  B R  C R  D R     18 Tìm bán kính R mặt cầu (S ) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết tọa độ các đỉnh tứ diện là A(2; 0; 0), B(0;2; 0), C (0; 0;2), D(2;2;2) A R  B R  3   C R  3  D R  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 100 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 19 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(3; 1;2), B(1;1; 2) và có tâm I thuộc trục Oz là A x  y  z  2z  10  Giải Vì I  Oz nên gọi I (0; 0; z ) Do (S ) qua A, B nên IA  IB B (x  1)2  y  z  11    (z  2)2    (z  2)2  z  C x  (y  1)2  z  11 Suy I (0; 0;1)  R  IA  11 2 D x  y  z  2y  11  Do đó (S ) : x  y  (z  1)2  11  (S ) : x  y  z  2z  10  Chọn A 20 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(1;2; 3), B(2;1;5) và có tâm I thuộc trục Oz là A (S ) : x  y  (z  4)2  B (S ) : x  y  (z  4)2  14 C (S ) : x  y  (z  4)2  16 2 D (S ) : x  y  (z  4)  21 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(1;2; 3), B(4; 6;2) và có tâm I thuộc trục Ox là A (S ) : (x  7)2  y  z  B (S ) : (x  7)2  y  z  36 C (S ) : (x  7)2  y  z  D (S ) : (x  7)2  y  z  36 22 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(2; 0; 2), B(1;1;2) và có tâm I thuộc trục Oy là A (S ) : x  y  z  2y   B (S ) : x  y  z  2y   C (S ) : x  y  z  2y   2 D (S ) : x  y  z  2y   23 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(3; 1;2), B(1;1; 2) và có tâm I thuộc trục Oz là A x  y  z  2z  10  B (x  1)2  y  z  11 C x  (y  1)2  z  11 2 D x  y  z  2y  11  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 101 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 24 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(1;2; 4), B(1; 3;1), C (2;2; 3) và tâm I  (Oxy ) là IA  IB  Giải Vì nên gọi Ta có: I  ( Oxy ) I ( x ; y ; 0)  A (x  2)2  (y  1)2  z  26 IA  IC  B (x  2)2  (y  1)2  z  C (x  2)2  (y  1)2  z  26 D (x  2)2  (y  1)2  z   2 2 2  (x  1)  (y  2)   (x  1)  (y  3)    (x  1)2  (y  2)2  42  (x  2)2  (y  2)2  32  10y  10 x  2      I (2;1; 0)  R  IA  26 2x  4 y     (x  2)2  (y  1)2  z  26 Chọn đáp án A 25 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(3; 0; 1), B(6; 4; 2),C (7; 1;2) và tâm I  (Oxy ) là A (x  7)2  (y  2)2  z  25 B (x  5)2  (y  2)2  z  2 C (x  5)  (y  1)  z  36 D (x  7)2  (y  8)2  z  49 26 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(2; 4; 3), B(6; 9; 6), C (3; 5;9) và tâm I  (Oyz ) là A x  (y  1)2  (z  2)2  B x  (y  7)2  (z  3)2  49 C x  (y  2)2  (z  5)2  16 D x  (y  6)2  (z  1)2  36 27 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(1; 1;2), B(1; 3; 0), C (3;1; 4) và tâm I  (Oxz ) là A (x  5)2  y  (z  1)2  11 B (x  7)2  y  (z  6)2  11 C (x  2)2  y  (z  1)2  11 2 D (x  2)  y  (z  1)  11 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 102 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 28 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 3) và tiếp xúc với trục hoành là A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  13 B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  2 C (x  1)  (y  2)  (z  3)  D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  25 Lời giải tham khảo Hình chiếu I (1;2; 3) trên Ox là H (1; 0; 0)  Tâm: I (1;2; 3)  Khi đó (S ) :  nên  Bán kính: R  IH  13  (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  13 Chọn A  Nhận xét: Bài toán viết phương trình mặt cầu biết tâm I và tiếp xúc với các trục (hoặc các mặt phẳng tọa độ), thì bán kính chính là khoảng cách từ tâm I đến I(1;2;3) trục (hoặc mặt phẳng tọa độ), tức R  IH , với H là hình chiếu I Do đó ta x cần thành thạo bài toán hình chiếu O H(1;0;0) 29 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 1; 3) và tiếp xúc với trục hoành là A (x  1)2  (y  1)2  (z  3)2  10 2 B (x  1)  (y  1)  (z  3)  C (x  1)2  (y  1)2  (z  3)2  10 D (x  1)2  (y  1)2  (z  3)2  30 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 2; 3) và tiếp xúc với trục tung là A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  10 B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  10 C (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  10 D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  31 Phương trình mặt cầu (S ) có I (2;1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz ) là A (x  2)2  (y  1)2  (z  1)2  B (x  2)2  (y  1)2  (z  1)2  C (x  2)2  (y  1)2  (z  1)2  D (x  2)2  (y  1)2  (z  1)2  32 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy ) là A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  14 C (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  14 D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 103 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 33 Cho phương trình mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 Phương trình mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) qua mặt phẳng (Oxy ) là A (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 Giải (S ) có tâm I (1;1; 1) và bán kính R  B (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 Vì (S ) đối xứng với (S ) qua (Oxy ) nên (S ) có tâm I (1;1;1) đối xứng với I (1;1; 1) qua (Oxy ) và bán kính R   R  Do đó: C (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 D (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 Chọn B  Cần nhớ: Khi mặt cầu đối (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) qua trục (hoặc mặt phẳng tọa độ) thì bán kính không thay đổi, nghĩa là luôn có R  R  và có tâm I  đối xứng qua trục (hoặc mặt phẳng) với I Do đó học sinh cần nhớ: “Đối xứng: thiếu cái nào đổi dấu cái đó” 34 Cho phương trình mặt cầu (S ) : (x  5)2  (y  2)2  (z  1)2  Phương trình mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) qua mặt phẳng (Oxy ) là A (x  5)2  (y  2)2  (z  1)2  2 B (x  5)  (y  2)  (z  1)  C (x  5)2  (y  2)2  (z  1)2  D (x  5)2  (y  2)2  (z  1)2  35 Cho phương trình mặt cầu (S ) : (x  2)2  (y  2)2  (z  3)2  Phương trình mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) qua mặt phẳng (Oyz ) là A (x  2)2  (y  2)2  (z  3)2  B (x  2)2  (y  2)2  (z  3)2  C (x  2)2  (y  2)2  (z  3)2  D (x  2)2  (y  2)2  (z  3)2  36 Cho phương trình mặt cầu (x  6)2  (y  1)2  (z  8)2  10 Phương trình mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) qua trục hoành Ox là A (x  6)2  (y  1)2  (z  8)2  10 B (x  6)2  (y  1)2  (z  8)2  10 C (x  6)2  (y  1)2  (z  8)2  10 D (x  6)2  (y  1)2  (z  8)2  10 37 Cho phương trình mặt cầu (x  3)2  (y  4)2  (z  5)2  12 Phương trình mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) qua trục tung là A (x  3)2  (y  4)2  (z  5)2  12 B (x  3)2  (y  4)2  (z  5)2  12 C (x  3)2  (y  4)2  (z  5)2  12 D (x  3)2  (y  4)2  (z  5)2  12 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 104 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 38 Mặt cầu (S ) có tâm I (5; 6; 8), cắt trục Ox A, B cho tam giác IAB vuông I có phương trình là A (x  5)2  (y  6)2  (z  8)2  200 Giải Ta có: H (5; 0; 0) là hình chiếu I lên Ox B (x  5)2  (y  6)2  (z  8)2  20 Do đó: IH  HB  10  R  IB  10 C (x  5)2  (y  6)2  (z  8)2  100 Suy (S ) : (x  5)2  (y  6)2  (z  8)2  200 D (x  5)2  (y  6)2  (z  8)2  10 Chọn đáp án A  Mở rộng bài toán: Đề bài có thể cho mặt cầu cắt trục Oy, Oz và tạo thành tam giác có góc  Khi đó ta cần nhớ IAB luôn cân I và sử dụng   IH  R  IH sin IBH  sin IBH R I(5;6;8) R 10 10 O A H(5;0;0) x B 39 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 4; 3) và cắt trục tung hai điểm B, C cho tam giác IBC vuông là A (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  50 B (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  34 C (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  16 D (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  20 40 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (3; 3; 4) và cắt trục Oz hai điểm B, C cho tam giác IBC là A (x  3)2  (y  3)2  (z  4)2  16 B (x  3)2  (y  3)2  (z  4)2  C (x  3)2  (y  3)2  (z  4)2  D (x  3)2  (y  3)2  (z  4)2  25 41 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;1;1) và cắt trục Ox hai điểm B, C cho tam giác IBC có góc 120 là A (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  B (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  16 C (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  D (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 42 Mặt cầu (S ) có tâm I (1; 4; 3) và cắt trục Ox hai điểm B, C cho BC  có phương trình là A (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  28 2 B (x  1)  (y  4)  (z  3)  34 C (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  26 D (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  19 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 105 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 43 Mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 cắt mặt phẳng (Oxy ) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi Giải Mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 3), bán kính R  A 2 Hình chiếu I (1;2; 3) lên (Oxy ) là H (1;2; 0)  IH  B  I C 7 Trong IHA có r  IA  R2  IH  R D 14 H r A Chu vi đường tròn là 2r  26 Chọn A 44 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (2; 3; 4), cắt mặt phẳng (Oxz ) theo hình tròn có diện tích 16 là A (x  2)2  (y  3)2  (z  4)2  25 B (x  2)2  (y  3)2  (z  4)2  C (x  2)2  (y  3)2  (z  4)2  16 D (x  2)2  (y  3)2  (z  4)2  45 Phương trình mặt cầu (S ) qua A(1; 2; 3) và có tâm I  Ox , bán kính là A (x  5)2  y  z  49 B (x  7)2  y  z  49 C (x  3)2  y  z  49 D (x  7)2  y  z  49 46 Cho A(1;2; 3), B(4;2; 3), C (4;5; 3) Phương trình mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn lớn là 2   5 7 A x    y    (z  3)2        B (x  3)2  (y  3)2  (z  3)2  18 C (x  3)2  (y  3)2  (z  3)2   7 D (x  4)  y    (z  3)2  18   47 Cho A(2; 0; 0), B(0;2; 0), C (0; 0;2) Tìm bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC A C 3  62 B  D 32 62   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 106 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Câu   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u  (2;2;5), v  (0;1;2) Tính tích vô  hướng u v   A u v  12 B u v  13   C u v  10 D u v  14   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u  (1; 0;2) và v  (x ; 2;1) Biết   u v  4, đó v A C Câu Câu B D 21 (Đề thi THPT QG năm học 2017 – Mã đề 104) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M (2; 3; 1), N (1;1;1) và P (1; m  1;2) Tìm m để tam giác MNP vuông N A m  6 B m  C m  4 D m  (Đề thi THPT QG năm học 2017 – Mã đề 105) Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ     a  (2;1; 0) và b  (1; 0; 2) Tính cos(a ,b )     2 A cos(a , b )    B cos(a , b )    25     2 C cos(a , b )  D cos(a , b )    25 Câu Câu   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u và v tạo với góc 120 Tính     u  v , biết u  và v    A u  v  2   B u  v    C u  v    D u  v    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u và v tạo với góc 60 Tìm số đo      góc  hai véctơ v và véctơ u  v , biết u  và v  A B C D Câu Câu   30   45   60   90     Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ u  (2; 5; 3), v  (4;1; 2) Tính [u, v ]   A [u , v ]  216   B [u , v ]  405   C [u , v ]  749   D [u , v ]  708   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véctơ u  (1;2;1), v  (1;1;2) và     w  (m; 3m; m  2) Hãy tìm tham số thực m để ba véctơ u, v , w đồng phẳng ? A x  B x  C x  2 D x  1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 107 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Câu Chuyên đề: Oxyz (THPT Mộ Đức – Quãng Ngãi năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 1), B(0; 2; 3) Tính diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ A 29  B 78  D 29   Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(1;1;1), B(2; 3; 4), C (6;5;2) Tính diện tích S hình bình hành ABCD C A S  83 B S  83 C S  83 D S  83 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 0;1), D(4; 5; 6) Tính thể tích V khối tứ diện ABCD A V  C V  14   B V  D V    Câu 12 (Đề minh họa Bộ GD & ĐT năm học 2017) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R (S ) A I (1;2;1) và R  B I (1; 2; 1) và R  C I (1;2;1) và R  D I (1; 2; 1) và R  Câu 13 (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất các giá trị m để phương trình x  y  z  2x  2y  4z  m  là phương trình mặt cầu A m  B m  C m  D m  Câu 14 (Đề thi THPT QG 2017 – Mã đề 123) Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3) Gọi I là hình chiếu vuông góc M trên trục Ox Phương trình nào đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? A (x  1)2  y  z  13 B (x  1)2  y  z  13 C (x  1)2  y  z  17 D (x  1)2  y  z  13 Câu 15 (Sở GD & ĐT Cần Thơ năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;2; 3) và N (1;2; 1) Mặt cầu đường kính MN có phương trình là A x  (y  2)2  (z  1)2  20 B x  (y  2)2  (z  1)2  C x  (y  2)2  (z  1)2  D x  (y  2)2  (z  1)2  20 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 108 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 16 (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2018) Trong không gian Oxyz, gọi (S ) là mặt cầu qua điểm A(1; 2; 3) và có tâm I thuộc tia Ox và bắn kính Phương trình mặt cầu (S ) là A (x  5)2  y  z  49 B (x  7)2  y  z  49 C (x  3)2  y  z  49 D (x  7)2  y  z  49 Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1; 2; 3) Hỏi phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và tiếp xúc với trục tung A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  10 B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  10 C (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  10 D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0) và C (0; 0;1) Hãy viết phương trình mặt cầu (S ) ngoại tiếp tứ diện OABC , với O là gốc tọa độ A (S ) : x  y  z  x  y  z  B (S ) : x  y  z  x  y  z  C (S ) : x  y  z  x  y  z  D (S ) : x  y  z  x  y  z  Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0;2) và mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  Gọi d1 là khoảng cách ngắn từ A đến điểm thuộc (S ) và d2 là khoảng cách dài từ điểm A đến điểm thuộc (S ) Tính d1  d2 A d1  d2  B d1  d2  C d1  d2  D d1  d2  Câu 20 Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  5)2  16 và điểm A(1;2; 1) Tìm tọa độ điểm B  (S ) cho AB có độ dài lớn A B(3; 6;11) B B(1;2;9) C B(1; 2;1) D B(1;2;9) ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.A 2.B 3.B 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B 10.C 11.D 12.A 13.C 14.B 15.C 16.D 17.B 18.D 19.A 20.D Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 109 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Câu Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1; 4), B(2;2; 6), C (6; 0; 1) Tính   AB.AC   A AB.AC  67   C AB.AC  67 B AB.AC  65 A S  2 B S  C S  1 D S    Trong không gian Oxyz, gọi  là góc u  (1;  2;1) và v  ( 2;1;1) Tìm  5  B     D   A m   B m   C m   D m     Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a và b tạo với góc 120, đồng thời           có a  và b  Gọi hai véctơ u , v thỏa u  k a  b và v  a  2b Hãy tìm số thực k   để u  v A k   Câu 45  6  45 45  D k   A AH  651  21 B AH  651  21 C AH  651  D AH  651  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính thể tích V tứ diện ABCD với A(2; 3;1), B(4;1; 2), C (6; 3;7) và D(1; 2;2) A V  70  B V  140 140  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(0; 1; 3), B(2;1; 0), C (1; 3; 3), D(1; 1; 1) Tính chiều cao AH tứ diện C V  70 Câu B k   45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 3), B(2; 2; 0) và C (3;2;1) Hãy tính độ dài đường cao AH kẻ từ đỉnh A tam giác ABC C k  Câu   2    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u  (1;1;1) và v  (0;1; m ) Hãy tìm tất   các tham số thực m để góc véctơ u và v có số đo 45 C   Câu   D AB.AC  33   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u  (2; 3;1) và v  (5; 6; 4) Tồn véctơ      z  (a;b;1) thỏa mãn z  u và z  v Tính S  a  b A   Câu   D V  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 110 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) A AH  29  C AH  29 Câu B AH  D AH  14 29 29 Chuyên đề: Oxyz   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1;1), B(3;1;2) và C (1; 0; 3) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  1 A I 1;  ;    2   1 C I 2; ;     2   5 B I 1; ;    2   5 D I 2; ;    2  Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hãy xác định tâm I và bán kính R mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  10  A I (1; 2; 3), R  B I (1;2; 3), R  C I (1;2; 3), R  D I (1; 2; 3), R  Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất các giá trị tham số m cho x  y  z  2mx  2(m  2)y  2(m  3)z  8m  37  là mặt cầu A B C D m  2 hay m  m  4 hay m  2 m  2 hay m  m  4 hay m  Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào đây là phương trình mặt cầu tâm I (1;2; 4) và thể tích khối cầu tương ứng 36 A (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  B (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  C (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  D (x  1)2  (y  2)2  (z  4)2  Câu 13 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu (S ) có tâm I (1;2; 3) bán kính R  Viết phương trình mặt cầu (S ) A x  y  z  2x  4y  6z  10  B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  C x  y  z  2x  4y  6z  10  D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  22 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm I (1;2;1) và qua điểm A(0; 4; 1) ? A (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  B (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  C (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  D (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 111 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 15 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 0; 1) và B(5; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S ) đường kính AB A (S ) : (x  2)2  y  (z  2)2  B (S ) : x  y  z  8x  4z  18  C (S ) : (x  4)2  y  (z  2)2  D (S ) : x  y  z  8x  4z  12  Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm I (1;2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz ) ? A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  C (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  25 Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S ) qua hai điểm A(1;2; 3), B(4; 6;2) và có tâm nằm trên trục hoành Ox A (S ) : (x  7)2  y  z  B (S ) : (x  7)2  y  z  36 C (S ) : (x  7)2  y  z  D (S ) : (x  7)2  y  z  49 Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy tìm bán kính R mặt cầu qua bốn điểm M (1; 0;1), N (1; 0; 0), P (2;1; 0) và Q(1;1;1) A R   B R  C R  D R   Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu (S ) có tâm A(1; 4; 3) và cắt trục Ox hai điểm B, C cho BC  A (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  28 B (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  34 C (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  26 D (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  19 Câu 20 Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 Hỏi (S ) cắt mặt phẳng (Oxy ) theo đường tròn có chu vi C bao nhiêu ? A C  2 B C   C C  7 D C  14 ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.D 2.C.D 3.D 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B 9.B 10.A 11.C 12.A 13.A 14.A 15.B 16.B 17.D 18.A 19.B 20.A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 112 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz § PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚ N G  KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ Véctơ pháp tuyến – Véctơ phương    Véctơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng (P ) là n  (P ), n   Véctơ phương (VTCP) u mặt phẳng (P ) là véctơ có giá song song nằm (P )      Nếu mặt phẳng (P ) có cặp VTCP là u , v thì (P ) có VTPT là n  [u , v ]    Nếu n  là véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) thì k n, (k  0) là véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P )     n  Chẳng hạn:  n(P )  (2; 4; 8)  2.(1; 2; 4) thì  n  (1; 2; 4) là véctơ pháp tuyến (P ) v u P Phương trình tổng quát mặt phẳng  Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ) : ax  by  cz  d  có véctơ pháp tuyến là   n  (a ; b; c ) Chẳng hạn: (P ) : 2x  3y  z    VTPT n(P )  (2; 3;1)  Để viết phương trình mặt phẳng (P ), cần xác định điểm qua và VTPT  Qua M (x ; y ; z )     (P ) : a(x  x  )  b(y  y )  c(z  z  )  (P ) :    VTPT : n(P )  (a;b; c)  Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Nếu mặt phẳng (P ) cắt ba trục tọa độ các điểm A(a; 0; 0), B(0;b; 0), C (0; 0; c) với x y z    gọi là phương trình mặt phẳng đoạn chắn a b c  Chứng minh: z      AB  (a;b; 0)      AB Ta có:    , AC   (bc; ac; ab)    C(0;0;c) AC  (a; 0;c)     Qua A(a; 0; 0)     (P ) :    VTPT : n(P )  AB, AC   (bc; ac; ab)    O (abc  0) thì (P ) : y B(0;b;0) Suy (P ) : bc.(x  a )  ac.(y  0)  ab.(z  0)   (P ) : bc.x  ac.y  ab.z  abc A(a;0;0) x chia abc      (P ) : x y z    a b c Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 113 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Các mặt phẳng tọa độ (thiếu cái gì, cái đó 0)    Mặt phẳng (Oxy ) : z  nên (Oxy ) có VTPT n(Oxy )  k  (0; 0;1)    Mặt phẳng (Oyz ) : x  nên (Oyz ) có VTPT n(Oyz )  i  (1; 0; 0)    Mặt phẳng (Oxz ) : y  nên (Oxz ) có VTPT nOxz  j  (0;1; 0) Khoảng cách  Khoảng cách từ điểm M (x M ; yM ; z M ) đến mặt phẳng (P ) : ax  by  cz  d  xác định ax M  byM  cz M  d công thức: d(M ;(P ))  2 a b c   Khoảng cách hai mặt phẳng song song có cùng véctơ pháp tuyến: Cho mặt phẳng song song (P ) : ax  by  cz  d  và (Q ) : ax  by  cz  d   Khoảng cách hai mặt phẳng đó là d (Q ),(P )  d d a  b2  c2  Góc Cho hai mặt phẳng () : A1x  B1y  C 1z  D1  và ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2    n1.n2 A1A2  B1B2  C 1C  Ta luôn có: cos (),( )     n1 n2 A12  B12  C 12 A22  B22  C 22  Cần nhớ: Góc mặt phẳng là góc nhọn, còn góc véctơ có thể nhọn tù Vị trí tương đối a) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P ) : A1x  B1y  C 1z  D1  và (Q ) : A2x  B2y  C 2z  D2   (P ) cắt (Q )   (P )  (Q )  A1 A2 A1 A2   B1 B2 B1 B2   C1 C2 C1 C2   D1 D2 D1 D2    (P )  (Q )  A1 A2  B1 B2  C1 C2  D1 D2   (P )  (Q )  A1A2  B1B2  C 1C  b) Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu S (I ; R) và mặt phẳng (P ) Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên (P ) và có d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ) Khi đó: Nếu d  R : Mặt cầu và Nếu d  R : Mặt phẳng tiếp Nếu d  R : Mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng không có xúc mặt cầu Lúc đó (P ) là mặt cầu theo thiết diện là đường điểm chung mặt phẳng tiếp diện (S ) tròn có tâm I  và bán kính và H là tiếp điểm r  R2  IH Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 114 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz M1 R I I I d R R M2 r P H P I' H α Lưu ý: Chu vi đường tròn giao tuyến C  2r , diện tích đường tròn S  r Nếu d I ;(P )    thì giao tuyến là đường tròn qua tâm I và gọi là đường tròn lớn Lúc này (P ) gọi là mặt phẳng kính mặt cầu (S ) Các trường hợp đặc biệt mặt phẳng Phương trình mặt phẳng (P ) Các hệ số Tính chất mặt phẳng (P ) D0 (P ) : Ax  By  Cz  (H 1) (P ) qua gốc tọa độ O A0 (P ) : By  Cz  D  (H 2) (P )  Ox (P )  Ox B0 (P ) : Ax  Cz  D  (H 3) (P )  Oy (P )  Oy C 0 (P ) : Ax  By  D  (H 4) (P )  Oz (P )  Oz AB 0 (P ) : Cz  D  (H 5) (P )  (Oxy ) (P )  (Oxy ) A C  (P ) : By  D  (H 6) (P )  (Oxz ) (P )  (Oxz ) B C  (P ) : Ax  D  (H 7) (P )  (Oyz ) (P )  (Oyz ) z z z z P P P P y O x x (H1) y y O O x (H2) x (H3) z z O (H4) z P O y y y O O y P P x (H5) x (H6) x (H7) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 115 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 1: Xác định các yếu tố mặt phẳng Cho mặt phẳng (P ) : 3x  z   Véctơ nào là véctơ pháp tuyến (P ) ?  A n  (1;  1)  B n1  (3; 1;2)  C n  (3; 1; 0)  D n2  (3; 0; 1)  Cần nhớ: Mặt phẳng (P ) : ax  by  cz  d  có  véctơ pháp tuyến là n  (a ; b; c ) Cho mặt phẳng (P ) : 3x  2z   Véctơ nào là véctơ pháp tuyển (P )  A n  (3;2; 1)  C n  (3; 0;2)  B n  (3;2; 1)  D n  (3; 0;2)  Cần nhớ: Cho mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   Véctơ nào là véctơ pháp tuyến (P )  A n  (2; 1;  1)  C n  (2;1; 1)  B n  (2;1;  1)  D n  (1;1; 1)  Cần nhớ:  Trong không gian Oxyz, véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến (P ) Biết u  (1;  2; 0),  v  (0;2; 1) là cặp véctơ phương (P )  A n  (1;2; 0)  C n  (0;1;2)  B n  (2;1;2)  D n  (2; 1;2)    Cần nhớ: Nếu a , b là cặp véctơ phương mặt    phẳng (P ) thì VTPT là n(P )  [a , b ]   Tìm VTPT mặt phẳng (P ) biết cặp véctơ phương là u  (2;1;2), v  (3;2;  1)  A n  (5; 8;1)  C n  (1;1;  3)  B n  (5; 8;1)  D n  (5; 8; 1) Trong không gian Oxyz, véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến (P ) Biết   a  (1; 2; 2), b  (1; 0; 1) là cặp véctơ phương (P )  A n  (2;1;2)  C n  (2;1; 2)  B n  (2; 1;  2)  D n  (2;1; 2) Cho mặt phẳng (P ) : x  2y  z  Điểm nào đây thuộc (P ) A Q(2; 1;5) B P (0; 0; 5) C N (5; 0; 0) D M (1;1; 6) Tìm m để điểm M (m;1; 6) thuộc mặt phẳng (P ) : x  2y  z   A m  B m  1 C m  D m  Tìm m để điểm A(m; m  1;1  2m ) thuộc mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   A m  1 B m  C m  2 D m  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 116 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 2: Khoảng cách, góc và vị trí tương đối Khoảng cách  Khoảng cách từ điểm M (x M ; yM ; z M ) đến mặt phẳng (P ) : ax  by  cz  d  xác định công thức: d (M ;(P ))  ax M  byM  cz M  d 2 a b c   Khoảng cách hai mặt phẳng song song có cùng véctơ pháp tuyến: Cho mặt phẳng song song (P ) : ax  by  cz  d  và (Q ) : ax  by  cz  d   Khoảng cách hai mặt phẳng đó là d (Q ),(P )  d d 2 a b c  Lưu ý Bản chất là lấy điểm M  (Q ) Khi đó d ((P );(Q ))  d (M ;(P )) Góc Cho hai mặt phẳng () : A1x  B1y  C 1z  D1  và ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2    n1.n2 A1A2  B1B2  C 1C  Ta luôn có: cos (),( )     2 2 2 n1 n2 A1  B1  C A2  B2  C  Cần nhớ: Góc mặt phẳng là góc nhọn, còn góc véctơ có thể nhọn tù Vị trí tương đối a) Vị trí tương đối hai điểm M, N với mặt phẳng (P) Xét hai điểm M (x M ; yM ; z M ), N (x N ; yN ; z N ) Và mặt phẳng (P ) : ax  by  cz  d   Nếu (ax M  byM  cz M  d )(ax N  byN  cz N  d )  thì M , N nằm bên so (P )  Nếu (ax M  byM  cz M  d )(ax N  byN  cz N  d )  thì M , N nằm bên so (P ) b) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P ) : A1x  B1y  C 1z  D1  và (Q ) : A2x  B2y  C 2z  D2   (P ) cắt (Q )   (P )  (Q )  A1 A2 A1 A2   B1 B2 B1 B2   C1 C2 C1 C2   D1 D2 D1 D2    (P )  (Q )  A1 A2  B1 B2  C1 C2  D1 D2   (P )  (Q )  A1A2  B1B2  C 1C  M1 c) Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu R Cho mặt cầu S (I ; R) và mặt phẳng (P ) Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên (P ) I M2 H P và có d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ) Khi đó: I  Nếu d  R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung  Nếu d  R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu R P H Lúc đó (P ) là mặt phẳng tiếp diện (S ) và H là tiếp điểm  Nếu d  R : mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm H và bán kính r  R2  IH Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 117 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Khoảng cách từ điểm A(1; 2; 3) đến mặt Khoảng cách từ điểm M (1;2; 3) đến mặt phẳng (P ) : 3x  4y  2z   phẳng (P ) : x  2y  2z   A  B Ta có: d A;(P )     29 C 29  D  29 A B C 13  D 11  3x A  4yA  2z A  32  42  22  3.1  4.(2)  2.3  29  29  Chọn C 29 Gọi H là hình chiếu điểm A(2; 1; 1) Gọi H là hình chiếu điểm A(1; 2; 3) lên lên mặt (P ) : 16x  12y  15z   Độ mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   Độ dài dài đoạn AH đoạn thẳng AH A 55 A B 11/5 C 11/25 D 22/5 B C 2/3 D 1/3 Gọi B là điểm đối xứng với A(1; 2; 1) qua Gọi B là điểm đối xứng với A(2; 3; 1) qua mặt mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   Độ dài phẳng (P ) : 2x  2y  z   Độ dài đoạn đoạn thẳng AB A 16/3 B 20/3 thẳng AB C 4/3 D 8/3 A 28/3 B C D 32/3 Cho mặt cầu (S ) có tâm I (4;2; 2) và tiếp Cho mặt phẳng (P ) : 4x  3y  2z   và xúc với mặt phẳng (P ) : 12x  5z  19  điểm I (0; 2;1) Bán kính R hình cầu tâm I tiếp xúc với (P ) Bán kính R mặt cầu (S ) A 39  B 39  C 13 D A B 29 29 29  C  D  29 29 29 Cho A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C (0; 0; 6), D(2; 4; 6) Khoảng cách từ điểm D đến (ABC ) 10 Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0;2; 0) và C (0; 3; 0) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (ABC ) A 24/7 B 16/7 C 8/7 D 12/7 Ta có (ABC ) là mặt phẳng đoạn chắn nên có x y z   1  (ABC ) : 6x  3y  2z  12  dạng (ABC ) : d D ;(ABC )    6.2  3.4  2.6  12 62  32  22  A 3/7 B 6/7 C 2/7 D 1/7 27  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 118 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) 11 Cho mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   và mặt phẳng (Q ) : x  2y  2z   Khoảng cách (P ) và (Q ) A 4/9 B 4/3 C 2/3 Vì (P )  (Q ) và cùng VTPT nên ta có: d d 12 Cho mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   và mặt phẳng (Q ) : 2x  2y  z   Khoảng cách (P ) và (Q ) A 5/3 D Chuyên đề: Oxyz B 8/3 C 11/2 D 14/5  (1)  Chọn đáp án B Học sinh có thể giải cách khác: Chọn M (1; 0;2)  (P )  d  d (M ;(Q ))  4/3 13 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   và mặt phẳng (Q ) : 2x  2y  2z   Khoảng cách (P ) và (Q ) 14 Cho (P ) : x  2y  2z  m  và A(1;1;1) Có d (Q ),(P )    A a  b2  c2   B 12  22  22 C  D   hai giá trị m là m1, m2 thỏa mãn d A,(P )  Giá trị m1m2 m1  m2   A 160 B 96 C 6 D 264 15 Cho điểm M (0; 0; m )  Oz và mặt phẳng 16 Cho (P ) : 2x  3y  z – 17  Tìm điểm (P ) : 2x  y  2z   thỏa M  Oz thỏa khoảng cách từ M đến (P ) khoảng cách từ M đến A(2; 3; 4) d[M ;(P )]  Tổng các giá trị m A B 2 C D A (0; 0;1) B (0; 0;2) C (0; 0; 3) D (0; 0; 7) 17 Tính góc mặt (P ) : x  2y  z   và (Q ) : 2x  y  z   18 Tính góc mặt (P ) : x  2y  z   và (Q ) : x  y  2z   A 60 B 90 C 30 D 120   n1.n2 Cần nhớ công thức cos (P ),(Q )    n1 n   Ta có: n(P )  (1; 2; 1), n(Q )  (2; 1;1)  cos   1.2  (2).(1)  (1).1   12  22  12 22  12  12  (P ),(Q )  60 Chọn đáp án A A 30 B 90 C 60 D 45 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 119 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) 19 Tính góc mặt (P ) : 2x  y  2z   và (Q ) : x  y   A 30 B 90 C 60 D 45 Chuyên đề: Oxyz 20 Tính góc mặt (P ) : x  z   và mặt phẳng (Oxy ) A 30 B 90 C 60 D 45 21 Cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  25 và (P ) : 2x  y  2z  m  0, với m là tham số thực Tìm các giá trị m để (P ) và (S ) không có điểm chung A m  9 m  21 Hình vẽ B 9  m  21 C 9  m  21 D m  9 m  21 22 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  m   và mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   Tìm tham số m để (P ) tiếp xúc với (S ) A m  C m  53  B m  13  D m  12  Hình vẽ 11  23 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  2z   và mặt phẳng (P ) : 4x  3y  m  Tìm m để (P ) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn ? A m  19 m  11 Hình vẽ B 19  m  11 C 12  m  D m  12 m  24 Cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  m  Tìm tham số m để (S ) cắt mặt (P ) : 2x  y  2z   theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 4 A m  Hình vẽ B m  10 C m  D m  3 25 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;1;1) và cắt mặt phẳng (P ) có phương trình 2x  y  2z   theo đường tròn có bán kính r  A (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  16 B (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  C (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  D (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 120 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 26 Cho hai mặt phẳng (P ) : 2x  y  mz   và (Q ) : x  ny  2z   song song Tính tổng m  n A m  n  4,25 Hình vẽ B m  n  4,   Giải Ta có: n(P )  (2;1; m) và n(Q )  (1; n;2)   Vì (P )  (Q )  n(P )  n(Q )  C m  n  2,  m  và n  D m  n  2, 25 m 2    n nên m  n  4, Chọn B 27 Cho hai mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và (Q ) : 2x  4y  mz   Tìm m để (P ) song song với (Q ) A m  Hình vẽ B m  C m  2 D Không tồn m 28 Tìm m  n để (P ) : 2x  my  3z   song song với (Q ) : nx  8y  6z   A m  n  1 Hình vẽ B m  n  C m  n  D m  n  29 Tìm m để hai mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z  và (Q ) : x  y  mz   cắt  A m    B m  C m  1 D m    30 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () : m 2x  y  (m  2)z   và mặt phẳng ( ) : 2x  m 2y  2z   0, với m là tham số thực Tìm m để ()  ( ) A m  Hình vẽ B m  C m  D m  31 Cho mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và hai điểm A(0; 2; 3), B(2; 0;1) Điểm M (a ;b; c ) thuộc (P ) cho MA  MB nhỏ Tính a  b  c 41  A C  B  D Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 121 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x  z   Véctơ nào đây là véctơ pháp tuyến (P )     A n  (1; 0; 1) B n1  (3; 1;2) C n  (3; 1; 0) D n2  (3; 0; 1) Câu Trong không gian Oxyz, véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến (P ) Biết Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  2y  z  Điểm nào đây thuộc (P ) Câu   u  (1; 2;0), v  (0;2; 1) là cặp véctơ phương (P )   A n  (1;2; 0) B n  (2;1;2)   C n  (0;1;2) D n  (2; 1;2) A Q(2; 1;5) B P (0; 0; 5) C N (5; 0; 0) D M (1;1;6) Trong không gian Oxyz, gọi H là hình chiếu vuông góc điểm A(2; 1; 1) lên mặt phẳng (P ) : 16x  12y  15z   Tính độ dài đoạn AH A AH  55 B AH  11  11  25 D AH  22  C AH  Câu Câu Câu Câu Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) có tâm I (4;2; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) có phương trình 12x  5z  19  Tìm bán kính R mặt cầu (S ) A R  39 B R  39 C R  13 D R  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   và (Q ) : 2x  y  2z   Tính khoảng cách d (P ) và (Q ) A d  B d  C d  D d  Trong không gian Oxyz , tính số đo góc mặt phẳng (P ) : x  z   và mặt (Oxy ) A 30 B 90 C 60 D 45 Trong không gian Oxyz , gọi  là góc mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và mặt phẳng (Q ) : 2x  y  z   Tìm  A   60 B   90 C   30 D   120 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   và mặt cầu (S ) : (x  m )2  (y  2)2  (z  3)2  Tìm tất các tham số thực m để (P ) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn ? A  17 m   2 C   m  17 m   2 D 8  m  B  Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  m  Tìm m để (S ) cắt mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   theo giao tuyến là đường tròn có diện tích  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 122 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Câu 11 A m  B m  10 C m  D m   Chuyên đề: Oxyz không gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;1;1) và cắt mặt phẳng (P ) có phương trình 2x  y  2z   theo đường tròn có bán kính r  A (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  16 B (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  C (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  D (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  25 Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (2;4;6) và tiếp xúc với trục hoành A (x  2)2  (y  4)2  (z  6)2  40 B (x  2)2  (y  4)2  (z  6)2  52 C (x  2)2  (y  4)2  (z  6)2  20 D (x  2)2  (y  4)2  (z  6)2  56 Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2y  z  Chọn mệnh đề đúng ? A (P )  (Oyz ) B Ox  (P ) C (P )  Ox D (P )  Oy Câu 14 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () : m 2x  y  (m  2)z   và mặt phẳng ( ) : 2x  m 2y  2z   0, với m là tham số thực Tìm m để ()  () A m  B m  C m  D m  Câu 15 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba mặt phẳng (P ) : x  y  z   0, (Q ) : 2x  my  2z   và (R ) : x  2y  nz  Tính tổng S  m  2n, biết (P )  (R ) và (P )  (Q ) A S  B S  C S   D S  Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : 2x  3y  z   và (Q ) : mx  (m  1)y  (3  m )z  m   Tìm tham số thực m để (P )  (Q ) A m  B m  m    1 m    2 Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 3) và B(2; 0; 1) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hai điểm A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P ) : x  2y  mz   C m   D m  A m  [2; 3] B m  (;2]  [3; ) C m  (2; 3) D m  (;2)  (3; ) Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và hai điểm A(0; 2;3), B(2; 0;1) Điểm M (a;b; c) thuộc (P ) cho M A  M B nhỏ Tính a  b  c Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 123 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) A 41  B C  D Chuyên đề: Oxyz  Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 3;5), B(4; 3;2) và C (0;2;1) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC  8 A I  ; ;   3  5 8 B I  ; ;    3  8 8 C I  ; ;    3  8 5 D I  ; ;    3  Câu 20 Trong không gian Oxyz, tìm tâm đường tròn nội tiếp  OAB với A(0; 0; 3), B(4; 0; 0) A I (1; 0; 1) B P (0;1; 0) C Q(1; 0;1) D R(0; 1;1) ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.D 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.D 8.A 9.C 10.A 11.D 12.B 13.C 14.D 15.D 16.A 17.C 18.B 19.A 20.A BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x  2y   Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến (P )     A n  (3;2;2) B n  (3; 0;2) C n  (0; 3;2) D n  (3;2; 0) Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M (m;1;6) và mặt phẳng (P ) : x  2y  z   Điểm M thuộc mặt phẳng (P ) giá trị m Câu A m  B m  1 C m  D m  Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2;1) và mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   Gọi B là điểm đối xứng với A qua (P ) Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB  B AB    D AB  Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 4x  3y  2z   và điểm I (0; 2;1) Tính bán kính R hình cầu tâm I tiếp xúc với (P ) C AB  Câu A R  B R  29  C R  29  D R  29 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến  Trang - 124 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x  y  z   và (Q ) : 2x  2y  2z   Tính khoảng cách d (P ) và (Q ) A d  Câu  B 90 Câu C d   D d   C 60 D 45 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và (Q ) : x  my  (m  1)z  m   0, với m là tham số Gọi S là tập hợp tất các giá trị m cho góc (P ) và (Q ) 60 Tính tổng các phần tử S B   A Câu B d  Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và mặt phẳng (Q ) : x  y  2z   Tính số đo góc (P ) và (Q ) A 30 Câu Chuyên đề: Oxyz C  D  Cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  25 và (P ) : 2x  y  2z  m  0, với tham số thực Tìm các giá trị m để (P ) và (S ) không có điểm chung A 9  m  21 B m   m  21 C 9  m  21 D m  9 m  21 m là Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  m   và mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   Tìm tham số m để (P ) tiếp xúc với (S ) A m  53  B m  12  C m  13  D m  11  Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  2z   và mặt phẳng (P ) : 4x  3y  m  Tìm m để (P ) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn ? A  19  m  11 B m   19 m  11 C  12  m  D m   12 m  Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) có tâm I (2;1;1) và mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   Biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính Viết phương trình mặt cầu (S ) A (S ) : (x  2)2  (y  1)2  (z  1)2  B (S ) : (x  2)2  (y  1)2  (z  1)2  10 C (S ) : (x  2)2  (y  1)2  (z  1)2  D (S ) : (x  2)2  (y  1)2  (z  1)2  10 Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   và mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  11  Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P ) và cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi  A (Q) : 2x  2y  z  17  B (Q) : 2x  2y  z   C (Q) : 2x  2y  z   D (Q) : 2x  2y  z  19  Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 2; 3) và tiếp xúc với trục tung A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  10 B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 C (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 125 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 14 Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 0;1) và hai mặt phẳng (P ), (Q ) có phương trình (P ) : x  y  2z   0, (Q) : 2x  2y  4z   Tìm khẳng định đúng ? A (P )  (Q ) và (P ) qua M B (P )  (Q ) và (P ) không qua M C (P )  (Q ) và (P ) qua M D (P )  (Q ) và (P ) không qua M Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : 5x  my  z   và (Q ) : nx  3y  2z   Tìm tham số m , n để (P )  (Q ) và n   10 C m   và n  A m  B m  1, và n  10 D m  và n   Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   (Q ) : (m  1)x  (m  5)y  4mz   m  Tìm tham số m để (P )  (Q) và 4 D m     3 Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 3) và B(1;1; 1) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hai điểm A và B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P ) : 5x  my  z   A m  A m   B m  1 C m  m  B m  C m    D   m  Câu 18 Biết biểu thức P  x  y  2x  6y  19  x  y  4x  8y  45 đạt giá trị nhỏ x  x  , y  y  Tính tổng 16x   8y A 5 B  D  C  8 Câu 19 Trong không gian Oxyz, tìm tâm đường tròn nội tiếp  OAB với A(2;2;1), B  ; ;    3  A I (0;1;1) B P (0;1; 0) C Q(1; 0;1) D R(0; 1;1) Câu 20 Trong không gian Oxyz, cho A(1;2; 1), B(2; 3; 4), C (3; 5; 2) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp  A BC 5  A I  ; 4;1     37  B I  ; 7; 0     27  C I  ;15;2     3 D I 2; ;     2  ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.D 12.A 13.A 14.A 15.A 16.A 17.A 18.A 19.A 20.A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 126 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 3: Viết phương trình mặt phẳng (cần tìm điểm qua + vtpt)  Qua A(x ; y ; z )    Loại Mặt phẳng (P ) :   (P ) : a(x  x  )  b(y  y )  c(z  z  )     VTPT : n(P )  (a;b; c )  Phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm Phương trình mặt phẳng qua A(1; 1;2) và  A(1; 0; 2) và có VTPT n  (1; 1;2) là (P ) : x  y  2z   (P ) : x  y  2z   (P ) : x  y  2z   (P ) : x  y  2z    Qua A(1; 0; 2) Ta có (P ) :     VTPT : n(P )  (1; 1;2)   (P ) : 1(x  1)  1(y  0)  2(z  2)   (P ) : x  y  2z   Chọn đáp án A A B C D Phương trình mặt phẳng qua M (3; 9; 1) và vuông góc với trục Ox là A x   C x  y  z  11 B y  z   D x    có véctơ pháp tuyến n  (4;2; 6) là A B C D 4x  2y  6z   2x  y  3z   2x  y  3z   2x  y  3z   Phương trình mặt phẳng qua A(1; 3; 5) và vuông góc với trục Oz là A x  2y  z  C z   B x   D y   Cho A(0;1;1) và B(1;2; 3) Viết phương trình Cho hai điểm A(5; 4;2) và B(1;2; 4) Mặt mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc với phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng đường thẳng AB AB có phương trình là A (P ) : x  y  2z   B (P ) : x  y  2z   C (P ) : x  3y  4z   D (P ) : x  3y  4z  26  A 2x  3y  z   B 3x  y  3z  13  C 2x  3y  z  20  D 3x  y  3z  25  Cho A(1;1;1), B(2;1; 0), C (1; 1;2) Mặt Cho A(2; 1;1), B(1; 0; 3), C (0; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua trọng tâm G phẳng qua A và vuông góc với BC có phương trình là ABC và vuông góc với BC A 3x  2z   B x  2y  2z   C x  2y  2z   D 3x  2z   A (P ) : x  y  z   B (P ) : x  2y  4z   C (P ) : x  y  z   D (P ) : x  2y  4z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 127 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Loại Viết phương trình mp(P ) qua A(x  ; y  ; z  ) và (P )  (Q ) : ax  by  cz  d   Qua A(x , y , z )    Phương pháp: Mặt phẳng (P ) :      VTPT : n(P )  n(Q )  (a;b; c )  (Loại 1) Q P Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua 10 Phương trình mặt phẳng (P ) qua A(2; 1;2) và A(0;1; 3) và (P )  (Q ) : 2x  3z   (P )  (Q ) : 2x  y  3z   là A (P ) : 2x  3z   B (P ) : 2x  3z   C (P ) : 2x  3z   D (P ) : 2x  3z   A 2x  y  3z   B 2x  y  3z  11  C 2x  y  3z  11  D 2x  y  3z  11   Qua A(0;1; 3) Ta có (P ) :      VTPT : n(P )  n(Q )  (2; 0; 3)   (P ) : 2(x  0)  0(y  1)  3(z  3)   2x  3z   Chọn đáp án A  Cách giải khác Sử dụng vị trí tương đối hai mặt phẳng Vì (P )  (Q ) : 2x  3z    (P ) : 2x  3z  d  Mà A(0;1; 3)  (P ) : 2x  3z  d   2.0  3.3  d   d   (P ) : 2x  3z   11 Viết phương trình mặt (P ) qua A(1; 3; 2) và (P )  (Q ) : 2x  y  3z   A (P ) : 2x  y  3z   B (P ) : 2x  y  3z   C (P ) : 2x  y  3z   D (P ) : 2x  y  3z   12 Viết phương trình mặt (P ) qua A(1; 3; 4) và (P )  (Q ) : 6x  5y  z   A 6x  5y  z  25  B 6x  5y  z   C 6x  5y  z  25  D 6x  5y  z  17  13 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua 14 Viết phương trình mặt phẳng (P ) A(3;2; 3) và (P )  (Oxy ) A(2; 4; 5) và (P )  (Oxz ) A (P ) : z   C (P ) : y   B (P ) : x   D (P ) : x  y  qua A x  2y  3z  B 2z   C z   D y    Mặt (Oxy ) có VTPT là  Mặt (Oxz ) có VTPT là Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 128 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Loại Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P ) đoạn thẳng AB với A, B đã cho trước Phương pháp Tìm I là trung điểm AB Khi đó:     Qua I  x A  x B ; yA  yB ; z A  z B  : là trung điểm AB   2  (Dạng 1) (P ) :        VTPT : n(P )  AB  (x B  x A ; yB  yA ; z B  z A )  A P I B Cần nhớ: Mặt phẳng trung trực (P ) đoạn AB là mặt phẳng vuông góc trung điểm AB 15 Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P ) đoạn AB với A(2; 0;1), B(0; 2; 3) A (P ) : x  y  z   B (P ) : x  y  z   C (P ) : x  y  z   D (P ) : x  y  z   Vì I là trung điểm AB nên I (1; 1;2)  Qua I (1; 1;2)   (P ) :   VTPT : n  AB  2(1;1; 1) (P )  16 Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(3;1;2), B(1; 5; 4) là A x  2y  z   B x  y  z   C x  y  z   D 2x  y  z   17 Phương trình mặt phẳng trung trực 18 Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(2; 0;1), B(0; 2; 3) là đoạn AB với A(2; 3; 1), B(4; 1;2) là A 2x  2y  3z   B 8x  8y  12z  15  C x  y  z  D 4x  4y  6z   A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   19 Phương trình mặt phẳng trung trực 20 Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn đoạn AB với A(1;2; 3), B(3;2;1) là AB với A(1;2; 3), B(3;2;1) là A y  z  B y  z  C x  z  D x  y  A x  y  2z   B 2x  y  z   C x  y  2z   D 2x  y  z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 129 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz   Loại Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M và có cặp véctơ phương a , b    Qua M (x  ; y ; z  )  (Dạng 1) Phương pháp (P ) :      VTPT : n(P )  [a , b ]    P 21 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua 22 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (1;2; 3) và có cặp véctơ phương là điểm M (1;2; 3) và có cặp véctơ phương     là a  (2;1;2), b  (3;2; 1) a  (2;1;2), b  (3;2; 1) A (P ) : 5x  8y  z   B (P ) : 5x  8y  z   C (P ) : 5x  8y  z   D (P ) : 5x  8y  z    Qua M (1;2; 3)  Ta có (P ) :      VTPT : n  [a , b ]  ( ; ; )  A 5x  8y  z   B 5x  8y  z   C 5x  8y  z   D 5x  8y  z   23 Phương trình mặt phẳng qua ba điểm 24 Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0;2), B(1;1;1), C (2; 3; 0) là M (3; 1;2), N (4; 1; 1), P (2; 0; 2) là A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  2z       AB  (0;1; 1)      n  AB   , AC   ( ; ; ) (P ) AC  (1; 3; 2)    A 3x  3y  z   B 3x  2y  z   C 3x  3y  z   D 3x  3y  z   25 Phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm 26 Phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (2; 2; 3) và chứa trục Ox có dạng M (2;2; 3) và chứa trục Oy có dạng A 3y  2z   B 3y  2z  C 3y  2z  D 3y  2z        OM  (2; 2; 3)    n(P )  OM , i   ( ; ; )   Ox : i  (1; 0; 0)    A (P ) : 3x  2z  B (P ) : 3x  2z  C (P ) : 3x  2z   D (P ) : 3x  2z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 130 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 27 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua hai 28 Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường điểm A(1; 0;1) và B(1;2;2), đồng thời song thẳng AB, đồng thời song song với trục tung, với A(1; 0; 0) và B(0; 0;1) song với trục Ox A (P ) : x  y – z  B (P ) : 2y – z   C (P ) : y – 2z   D (P ) : x  2z –       AB  (2;2;1)    n(P )  AB, i     Ox : i  (1; 0; 0)    A (P ) : x – z   B (P ) : x  y  2z  C (P ) : x  2z   D (P ) : x  2y   29 Cho A(1;1; 0), B(0;2;1), C (1; 0;2), D(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, B và (P ) song song với đường CD 30 Cho A(1;1; 2), B(1;2; 1), C (1;1;2) và D(1; 1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P ) A (P ) : x  y  z   B (P ) : 2x  y  z   C (P ) : 2x  y  z   D (P ) : x  y       AB  (1;1;1)       n  AB   ,CD   (P ) CD  (0;1; 1)    chứa đường AB và song song CD A (P ) : x  y  z  B (P ) : x  y  z   C (P ) : 2x  y  z   D (P ) : x  2y  2z   Loại Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q )   Q Phương pháp Tìm AB và VTPT (Q ) là n(Q ) Khi đó:  Qua A, (hay B )    (P ) :  (Dạng 1)   VTPT : n(P )  AB, n(Q )     P A B 31 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua hai 32 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua hai điểm A(1;2; 2), B(2; 1; 4) và vuông góc điểm A(1;2; 3), B(1; 4;2) và vuông góc với với mặt phẳng (Q ) : x  2y  z   mặt phẳng (Q ) : x  y  2z   A 15x  7z  z  27  B 15x  7z  z  27  C 15x  7z  z  27  D 15x  7z  z  27       AB  (1; 3; 6)    n(P )  AB, n(Q )    n  (1; 2; 1)    (Q ) A 3x  y  2z  11  B 5x  3y  4z  23  C 3x  5y  z  10  D 3x  5y  4z  25  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 131 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 33 Cho (P ) : 2x  y  2z   0, A(1; 2; 3) và 34 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt B(3;2; 1) Viết phương trình mặt phẳng phẳng (P ) chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q ) : x  2y  z   (Q ) qua A, B và vuông góc với (P ) A (Q ) : 2x  2y  3z   B (Q ) : 2x  2y  3z   C (Q ) : 2x  2y  3z   D (Q ) : x  2y  3z   A (P ) : y  2z  B (P ) : y  2z  C (P ) : x  2y  z  D (P ) : y  z  Loại Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và vuông góc với hai mặt phẳng (), ( )   Phương pháp Tìm n( ) và n(  ) Khi đó:    Qua M (x  ; y  ; z  ) (P ) :  (Dạng 1)      VTPT : n(P )  n( ), n( )       35 Cho các mặt (P1 ) : x  2y  3z   và P 36 Cho các mặt M (P1 ) : 2x  y  3z   và (P2 ) : 3x  2y  z   Viết phương (P2 ) : x  y  z   Viết phương trình mặt trình mặt phẳng (P ) qua điểm A(1;1;1), phẳng (P ) qua điểm M (1; 5; 3), vuông góc vuông góc hai mặt phẳng (P1 ) và (P2 ) hai mặt phẳng (P1 ) và (P2 ) A (P ) : 4x  5y  2z   B (P ) : 4x  5y  2z   C (P ) : 4x  5y  2z   D (P ) : 4x  5y  2z   A (P ) : 2x  y  z  B (P ) : 2x  y  z   C (P ) : 2x  y  z  10  D (P ) : 2x  y  z  10  n  (1;2; 3)     (P1 )  n(P )  n(P ), n(P )     n(P )  (3;2; 1)  37 Cho hai mặt phẳng () : x  y   và 38 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   và ( ) : 2y  z   Viết phương trình mặt (Q ) : 3x  2y  12z   Viết phương phẳng (P ) qua điểm A(1; 0; 0), đồng thời trình mặt phẳng (R) quaO, đồng thời vuông góc với () và ( ) vuông góc với hai mặt phẳng (P ) và (Q ) A (P ) : x  y  2z   B (P ) : x  2y  z   C (P ) : x  2y  z   D (P ) : x  y  2z   A (R) : x  2y  3z  B (R) : x  3y  2z  C (R) : 2x  3y  z  D (R) : 3x  2y  z  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 132 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Loại Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp Nếu mặt phẳng (P ) cắt ba trục tọa độ các điểm A(a; 0; 0), B(0;b; 0), C (0; 0; c) với (abc  0) thì (P ) : x y z    gọi là phương trình đoạn chắn a b c  VO ABC  abc   M trực tâm ABC  OM  (ABC )  1 1     2 OA OB OC OM 39 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm 40 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C (0; 0; 3) A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C (0; 0;5) A 2x  3y  6z   B 3x  6y  2z   C 6x  3y  2z   D 2x  6y  3z   Mặt phẳng qua A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C (0; 0; 3) x y z   1 2  6x  3y  2z   Chọn đáp án C có dạng A 15x  10y  6z  B 15x  10y  6z  30  C 2x  3y  5z  D 2x  3y  5z  41 Cho điểm M (1;2; 3) Gọi A, B, C 42 Cho điểm M (3;2; 4) Gọi A, B, C là là hình chiếu M trên các trục Ox , Oy, hình chiếu M trên các trục Ox , Oy, Oz Tìm mặt phẳng song song với (ABC ) Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) A 3x  2y  z   B 2x  y  3z   C 6x  3y  2z   D x  2y  3z   A 4x  6y  3z  12  B 3x  6y  4z  12  C 4x  6y  3z  12  D 6x  4y  3z  12   Cần nhớ: Nếu M là trực tâm ABC thì OM  (ABC ) với A  Ox , B  Oy, C  Oz Thật vậy: Vì M là trực tâm tam giác ABC  CH  AB và BK  AC AB  CH Ta có:   AB  (COH )  AB  OC  Suy AB  OM (1) AC  BK Tương tự:   AC  (BOK )  AC  OB  (2) Suy AC  OM Từ (1),(2)  OM  (ABC ) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 133 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 43 Cho điểm M (1;2; 5) Mặt phẳng (P ) qua 44 Phương trình mặt phẳng (P ) qua M (3;2;1) điểm M và cắt trục tọa độ Ox , Oy, Oz và cắt các trục toạ độ Ox , Oy, Oz A, B, C cho M là trực tâm tam giác A, B, C cho M là trực tâm tam giác ABC Khi đó (P ) có phương trình là ABC là A (P ) : 3x  2y  z  14  B (P ) : x  y  z   C (P ) : 2x  3y  6z   D (P ) : 2x  3y  6z  A 2x  5y  10z  B x  5y  10z  10  C x  2y  5z  30  D x  y  z      Qua M (1;2; 5) (P )  (ABC ) :       VTPT n  OM  ( ; ; )    45 Mặt phẳng (P ) qua điểm G (2; 1; 3) và 46 Trong không gian Oxyz, cho G (1; 3;2) Viết cắt các trục tọa độ các điểm A, B, C phương trình mặt phẳng (P ) cắt ba trục Ox , Oy, Oz A, B, C và G là trọng tâm (khác gốc tọa độ) cho G là trọng tâm ABC Tìm phương trình (P ) tam giác ABC A 3x  6y  2z  18  B 2x  y  3z  14  C x  y  z  D 3x  6y  2z   A (P ) : x  y  z   B (P ) : 2x  3y  z   C (P ) : x  3y  2z   D (P ) : 6x  2y  3z  18  Gọi A(a; 0;0), B(0;b;0), C (0; 0; c ) Vì G (2; 1; 3) là trọng tâm ABC nên    x A  x B  xC  a   x   2  G            y  y  y b  B C   1    yG  A    3       z  z  z c    A B C    x    G      47 Mặt phẳng qua M (1;2; 3) cắt các trục tọa độ 48 Mặt phẳng qua G (1;2; 3) cắt các trục tọa độ tại A, B, C cho M là trọng tâm A, B, C cho G là trọng tâm ABC có ABC có p/trình là 6x  3y  2z  18  phương trình ax  by  cz  18  Giá trị a  b  c Giá trị abc A 36 B 36 C 72 D 72 A B 12 C 10 D 11 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 134 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A(1;1;1) và B(0;2;2) đồng thời cắt các tia Ox , Oy hai điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) cho OM  2ON A (P ) : 2x  3y  z   Giải Gọi M (m; 0; 0), N (0; n; 0), P (0; 0; p) là giao điểm (P ) và Ox , Oy, Oz với m, n  Phương trình mặt phẳng (P ) : B (P ) : x  2y  z   C (P ) : 2x  y  z   x y z    m n p    x y z      A(1;1;1)  (P ) :       m n p  m n p Có     x y z 2  B(0;2;2)  (P ) :          m n p   m n p Theo đề có OM  2ON  m  2n D (P ) : 3x  y  2z   Giải hệ phương trình m  2, n  1, p  2  (P ) : x y z     (P ) : x  2y  z   Chọn B 2 50 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) qua M (1; 3; 2), đồng thời cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho 4OA  2OB  OC Hỏi (P ) là phương trình nào ? A 2x  y  z   B x  2y  4z   C 4x  2y  z   D 4x  2y  z   51 Cho hai điểm C (0; 0; 3) và M (1; 3;2) Mặt phẳng (P ) qua C , M , đồng thời chắn trên các nửa trục dương Ox , Oy các đoạn thẳng Phương trình (P ) là A x  y  2z   B x  y  2z   C x  y  z   D x  y  z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 135 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 52 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (1;2; 3) và cắt ba tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ A 6x  3y  2z  18  B 6x  3y  3z  21  Lời giải Ta có: (ABC ) : x y z    a b c Cauchuy Vì M (1;2; 3)  (ABC )      a b c abc D 6x  3y  2z  18   Cần nhớ: Thể tích khối tứ diện  abc  162  VOABC  abc  27 có ba cặp cạnh đôi vuông góc a  3; b  với là: Dấu "  "    và abc  162    c  a b c  OAOB OC abc VOABC    x y z 6  (ABC ) :     6x  3y  2z  18  C 6x  3y  3z  21  53 Mặt phẳng (P ) qua M (2;1;1) đồng thời cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ Viết phương trình (P ) A (P ) : 2x  y  z   B (P ) : x  2y  2z   C (P ) : x  2y  z   D (P ) : 2x  y  2z   54 Mặt phẳng (P ) qua M (2;1;2) đồng thời cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ Viết phương trình (P ) A 2x  y  2z   B 4x  y  z   C 2x  y  2z   D x  2y  z   55 Mặt phẳng (P ) qua M (1;1; 4), đồng thời cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ Tính thể tích nhỏ đó ? A 72 B 108 C 18 D 36 56 Mặt phẳng (P ) qua M (1;2; 3) và cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho T  1   đạt giá trị nhỏ dạng x  ay  bz  c  Tìm a  b  c 2 OA OB OC A 19 B C 9 D 5 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 136 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Loại Một số bài toán viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách cở Để viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách, thường sử dụng hai ý tương sau:  Ý tưởng Tìm trực tiếp VTPT n(P )  (a;b;c) dựa vào mối liên hệ song song, vuông góc Khi đó, ta cần tìm d phương trình (P ) : ax  by  cz  d  dựa vào công thức tính khoảng cách  Ý tưởng Nếu không có VTPT trực tiếp thì ta cần gọi n(P )  (a;b;c) với a  b  c  Dựa vào khoảng cách để thành lập phương trình hệ phương trình để tìm mối liên hệ a, b, c Sau đó chọn a, b c Một số bài toán thường gặp Bài toán Viết phương trình mặt phẳng (P )  (Q ) : ax  by  cz  d  và cách điểm M (x  ; y ; z  ) khoảng k cho trước Phương pháp:  Vì (P )  (Q ) : ax  by  cz  d   (P ) : ax  by  cz  d    Sử dụng công thức khoảng cách d M ,(P )  k  d   Bài toán  Viết phương trình mặt phẳng (P )  (Q ) : ax  by  cz  d  và (P ) cách (Q ) khoảng k cho trước Phương pháp:  Vì (P )  (Q ) : ax  by  cz  d   (P ) : ax  by  cz  d    Chọn điểm M (x  ; y ; z  )  (Q ) và sử dụng công thức: d (Q );(P )  d M ,(P )  k  d      Bài toán Viết phương trình mặt phẳng (P ) vuông góc với hai mặt phẳng (), ( ), đồng thời (P ) cách điểm M (x  ; y ; z  ) khoảng k cho trước Phương pháp:       Tìm n( ), n( ) Từ đó suy n(P )  n( ), n(  )   (a ;b; c )    Khi đó phương trình (P ) có dạng (P ) : ax  by  cz  d  0, (cần tìm d )  Vì d M ;(P )  k  d   Bài toán Viết phương trình mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) M (x  ; y ; z  ) (trong trường hợp này, (P ) gọi là mặt phẳng tiếp diện) Phương pháp:  Tìm tâm I và bán kính R mặt cầu  Qua M (x ; y ; z )      (dạng 1)  Khi đó (P ) :     VTPT : n  IM (P )  Bài toán Viết phương trình mặt phẳng (P )  (Q ) : ax  by  cz  d  và (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) cho trước Phương pháp:  Vì (P )  (Q ) : ax  by  cz  d   (P ) : ax  by  cz  d    Tìm tâm I và bán kính R mặt cầu  Vì (P ) tiếp xúc (S ) nên có d I ;(P )  R  d    Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 137 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 57 Viết phương trình mặt phẳng (P ), biết (P )  (Q ) : x  2y  2z   và (P ) cách điểm M (1; 2;1) khoảng (P ) : x  2y  2z   A  (P ) : x  2y  2z  14  (P ) : x  2y  2z   B  (P ) : x  2y  2z  11  (P ) : x  2y  2z   C  (P ) : x  2y  2z  14  (P ) : x  2y  2z   D  (P ) : x  2y  2z  11  Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải (P )  (Q )  (P ) : x  2y  2z  d  0, (d  1) Ta có d M ,(P )     3 (P ) : x  2y  2z     Chọn đáp án A (P ) : x  2y  2z  14  58 Cho điểm M (1; 0; 3) và mặt phẳng (P ) : x  2y  z  10  Viết phương trình mặt phẳng (Q ) song song với (P ) và (Q ) cách M khoảng (Q ) : x  2y  z   A  (Q ) : x  2y  z  10  B (Q ) : x  2y  z  10  C (Q ) : x  2y  z   (Q ) : x  2y  z   D  ( Q ) : x  y  z  10   59 Viết phương trình (P ) thỏa mãn (P )  (Q ) : 2x  3y  6z  35  0, d O ;(P )   2x  3y  6z  35  A  2x  3y  6z  35   B 2x  3y  6z  35  C 2x  3y  6z  35  2x  3y  6z  35  D  2x  3y  6z  35  60 Viết phương trình (P ) thỏa (P )  (Q ) : x  2y  2z  14  0, d M ;(P )  3, với M (1; 2;1)  A (Q ) : x  2y  2z   B (Q ) : x  2y  2z  14   C (Q ) : x  2y  2z   D (Q ) : x  2y  2z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 138 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 61 Viết phương trình mặt phẳng (P ), biết (P )  (Q ) : x  2y  2z   và d (P ),(Q )    Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải (P ) : x  2y  2z   A  (P ) : x  2y  2z  12  Vì (P )  (Q )  (P ) : x  2y  2z  d  0, (d  3) B (P ) : x  2y  2z   Ta có d (P ),(Q )   C (P ) : x  2y  2z  12  (P ) : x  2y  2z   D  (P ) : x  2y  2z  12    3 62 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   Hãy viết phương trình mặt phẳng (Q ) song song (P ) và cách (Q ) khoảng 11  (Q ) : x  y  z  10  A  ( Q ) : x  y  z  12   B (Q ) : x  y  z  10  C (Q ) : x  y  z  12  (Q ) : x  y  z  10  D  (Q ) : x  y  z  12  63 Cho mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   Hãy viết phương trình mặt phẳng (Q ) song song (P ) và cách (Q ) khoảng (Q ) : x  2y  2z   A  (Q ) : x  2y  2z  12  B (Q ) : x  2y  2z   C (Q ) : x  2y  2z  12  (Q ) : x  2y  2z   D  (Q ) : x  2y  2z  12  64 Viết phương trình mặt phẳng (P ), biết (P )  (Q ) : x  2y  2z  12  và d (P ),(Q )    A (P ) : x  2y  2z   B (P ) : x  2y  2z  12  (P ) : x  2y  2z   C  (P ) : x  2y  2z  21  D (P ) : x  2y  2z  12  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 139 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 65 Viết phương trình mặt (P ) vuông góc với () : x  y  z   0, ( ) : x  y  z   và đồng thời (P ) cách gốc tọa độ O khoảng A (P ) : x  z   B (P ) : x  z   n  (1;1;1)    ( ) Giải Ta có   n(P )  n( ), n( )   2(1; 0; 1)    n( )  (1; 1;1)   (P ) : x  z  d  Mà d O ;(P )   C (P ) : x  y   D (P ) : y  z    d    d     Do đó có hai mặt 12  (1)2 d  2 phẳng cần tìm là (P ) : x  z   Chọn đáp án A  xO  zO  d 66 Viết phương trình mặt (P ) vuông góc với () : x  2y  3z   0, ( ) : x  y  2z  0, đồng thời (P ) cách M (0;1; 0) khoảng 59 7x  y  3z  60  A   7x  y  3z  58  B 7x  y  3z  60  C 7x  y  3z  58  7x  y  3z  60  D   7x  y  3z  58  67 Viết phương trình mặt (P ) vuông góc với () : x  y  z   0, ( ) : y  z   0, đồng thời (P ) cách A(1;1;2) khoảng A 2x  y  z    B 2x  y  z    C 2x  y  z    D 2x  y  z    68 Viết phương trình mặt (P ) vuông góc với () : x  2y  z  1, ( ) : x  y  z   0, đồng thời (P ) cách M (1;1; 2) khoảng A (P ) : x  z   (P ) : x  z   B  (P ) : x  z   C (P ) : x  z   (P ) : x  z   D  (P ) : x  z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 140 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 69 Cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  3)2  và điểm M (2;1;1) thuộc mặt cầu Lập phương trình mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) M A (P ) : x  2y  z   B (P ) : x  2y  2z   C (P ) : x  2y  2z   D (P ) : x  2y  2z   Lời giải tham khảo Mặt cầu (S ) có tâm I (1; 1; 3), bán kính R  Vì (P ) tiếp xúc (S ) M  (S ) nên IM  (P )   Do đó (P ) qua M (2;1;1) có n(P )  IM  (1;2; 2)  (P ) : 1.(x  2)  2.(y  1)  2.(z  1)  I P M  (P ) : x  2y  2z   Chọn đáp án B 70 Viết phương trình mặt phẳng (P ) tiếp xúc với (S ) : x  y  z  6x  2y  4z   điểm M (4; 3; 0) A (P ) : x  2y  2z  10  B (P ) : x  2y  2z   C (P ) : x  2y  2z  10  D (P ) : x  2y  2z   71 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  11  và mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z  18  Tìm phương trình mặt phẳng (Q ) song song với mặt phẳng (P ) đồng thời (Q ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) A (Q ) : 2x  2y  z  22  B (Q ) : 2x  2y  z  28  C (Q ) : 2x  2y  z  18  D (Q ) : 2x  2y  z  12  Giải Vì (Q )  (P )  (Q ) : 2x  2y  z  d  0, (d  18) Có I (1;2; 3) và (P ) tiếp xúc (S ) nên d I ,(Q )  R  d  12    d  15   22  22  (1)2 d  18 Vì d  18  (Q ) : 2x  2y  z  12  Chọn đáp án D  2x I  2yI  z I  d 72 Cho (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 và mặt phẳng (P ) : 4x  3y – 12z  26  Tìm (Q )  (P ), đồng thời (Q ) tiếp xúc với (S ) A 4x  3y  12z  78  B 4x  3y  12z  26  C 4x  3y  12z  78  D 4x  3y  12z  26  73 Cho (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  25 và mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z  18  Tìm (Q )  (P ), đồng thời (Q ) tiếp xúc với (S ) A (P ) : 2x  2y  z  18  B (P ) : 2x  2y  z  18  C (Q ) : 2x  2y  z  12  D (Q ) : 2x  2y  z  12  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 141 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 74 Cho hai mặt phẳng () : 3x  y  4z   và ( ) : 3x  y  4z   Phương trình mặt phẳng (P ) song song và cách hai mặt phẳng () và ( ) là A (P ) : 3x  y  4z  10  B (P ) : 3x  y  4z   C (P ) : 3x  y  4z  10  D (P ) : 3x  y  4z   75 Viết phương trình mặt phẳng (P ), biết (P ) song song với mặt (Q ) : 2x  2y  z  17  và (P ) cắt mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  25 theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 6 A (P ) : 2x  2y  z   B (P ) : 2x  2y  z   C (P ) : 2x  2y  z  17  D (P ) : 2x  y  z  17  76 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua hai điểm O(0; 0; 0), A(1;2; 0), đồng thời khoảng cách từ B(0; 4; 0) đến (P ) khoảng cách từ C (0; 0; 3) đến (P ) 6x  3y  4z  A  6x  3y  4z  B 6x  3y  4z  C 6x  3y  4z  6x  3y  4z  D  6x  3y  4z  77 Cho hai điểm A, B nằm trên mặt cầu (S ) : (x  4)2  (y  2)2  (z  2)2  Biết AB song song với OI , đó O là gốc tọa độ và I là tâm mặt cầu (S ) Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P ) đoạn thẳng AB A (P ) : 2x  y  z  12  B (P ) : 2x  y  z   C (P ) : 2x  y  z   D (P ) : 2x  y  z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 142 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Loại Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và qua giao tuyến hai mặt phẳng (), ( ) Phương pháp Phương trình chùm mặt phẳng  m.()  n.( )   thu gọn & chọn n  m Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và giao tuyến d hai mặt phẳng: () : a1x  b1y  c1z  d1  và () : a2x  b2y  c2z  d2  Khi đó mặt phẳng chứa d có dạng (P ) : m(a1x  b1y  c1z  d1 )  n(a2x  b2y  c2z  d2 )  0, m  n  Vì M  (P )  mối liên hệ m và n Từ đó chọn m, n tìm (P ) Ví dụ Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm M (2; 0;1) và hai mặt phẳng () và ( ) có phương trình () : x  2y  z   0, ( ) : 2x  y  z   Hãy viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và qua giao tuyến hai mặt phẳng () và ( ) Lời giải tham khảo Phương trình (P ) : m(x  2y  z  4)  n(2x  y  z  4)  với m  n  Vì M (2; 0;1)  (P ) : m(x  2y  z  4)  n(2x  y  z  4)   m  n   m  n Chọn m   n  Khi đó: (P ) : 1.(x  2y  z  4)  1.(2x  y  z  4)   (P ) : 3x  3y  2z   BT Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và qua giao tuyến hai mặt phẳng (), ( ) a) M (2;1; 1), () : x  y  z   0, ( ) : 3x  y  z   b) M (0; 0;1), () : 5x  3y  2z   0, ( ) : 2x  y  z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 143 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz c) M (1;2; 3), () : 2x  3y  z   0, ( ) : 3x  2y  5z   BT Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua giao tuyến hai mặt phẳng () và ( ), đồng thời (P ) song song với mặt phẳng ( ) a) () : x  4y  2z   0, ( ) : y  4z   0, ( ) : 2x  y  19  b) () : 3x  y  z   0, ( ) : x  4y   0, ( ) : 2x  z   BT Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua giao tuyến hai mặt phẳng () và ( ), đồng thời (P ) vuông góc với mặt phẳng ( ) () : y  2z   0, ( ) : x  y  z   0, ( ) : x  y  z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 144 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu (Đề Tham Khảo – Bộ GD & ĐT năm 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oxz ) có phương trình là A z  Câu B x  y  z  C y  D x  (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 104) Trong không gian Oxyz, phương trình nào đây là phương trình mặt phẳng qua điểm M (1;2; 3) và có véctơ pháp tuyến  n  (1; 2; 3) Câu Câu Câu A x  2y  3z  12  B x  2y  3z   C x  2y  3z  12  D x  2y  3z   (Sở GD & ĐT Hà Nội năm 2019) Phương trình mặt phẳng qua A(1; 3; 5) và vuông góc với trục Oz là A y   B x   C z   D x  2y  z  (THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(2; 2;1), C (2; 0;1) Phương trình mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc với BC là A 2x  y   B y  2z   C 2x  y   D y  2z   (THPT Can Lộc – Hà Tĩnh 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 3) và B(3;2;1) Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là A x  y  2z   B 2x  y  z   C x  y  2z   D 2x  y  z   Câu Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3) A 2x  3y  6z   B 3x  6y  2z   C 6x  3y  2z   D 2x  6y  3z   Câu (Sở GD & ĐT Trà Vinh 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) qua A(1; 3; 4) và song song với mặt phẳng (Q ) : 6x  5y  z   Phương trình mặt phẳng (P ) là A 6x  5y  z  25  B 6x  5y  z  25  C 6x  5y  z   D 6x  5y  z  17  Câu Cho ba điểm A(2; 1;1), B (1; 0; 3) và C (0;  2;  1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua trọng tâm G tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng BC A B C D x  y  z   x  2y  4z   x  y  z   x  2y  4z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 145 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Câu Chuyên đề: Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A(3;2; 3) và (P )  (Oxy ) A (P ) : z   B (P ) : x   C (P ) : y   D (P ) : x  y  Câu 10 (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt cầu (S ) : (x  1)  (y  1)  (z  1)  Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S ) điểm M (0; 1; 3) là A y  3z   B x  2y  2z   C y  3z   D x  2y  2z   Câu 11 (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 2018) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z   và song song với mặt phẳng () : 4x  3y  12z  10   4x  3y  12z  26  A   4x  3y  12z  78   4x  3y  12z  26  B  x  y  12 z  78    4x  3y  12z  26  C   4x  3y  12z  78   4x  3y  12z  26  D  x  y  12 z  78   Câu 12 (THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) qua H (1;1; 3) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy, Oz A, B, C (khác O ) cho H là trực tâm tam giác ABC Phương trình (P ) là A x  y  3z   B x  y  3z  11  C x  y  3z  11  D x  y  3z   Câu 13 (THPT Chuyên Thái Nguyên năm 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) qua G (1;2; 3), cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho G là trọng tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng (P ) là A B C D 6x  3y  2z  18  2x  3y  6z  18  6x  3y  2z  18  3x  2y  6z  18  Câu 14 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa hai điểm A(1; 0;1), B(1;2;2) và song song với trục hoành Ox có phương trình là A y  2z   B x  2z   C 2y  z   D x  y  z  Câu 15 (THPT Chuyên Hà Tĩnh năm 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng () : x  y  2z   có phương trình là A x  y  B x  2y  C x  y  D x  y   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 146 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 16 (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và hai mặt phẳng (P ) : 2x  y  3z   0, (Q ) : y  Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với hai mặt phẳng (P ) và (Q ) A 3x  2z  B 3x  y  2z   C 3x  2z   D 3x  y  2z   Câu 17 (THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M (3, 1,2), N (4, 1, 1), P (2; 0;2) Mặt phẳng (MNP ) có phương trình là A 3x  3y  z   B 3x  2y  z   C 3x  3y  z   D 3x  3y  z   Câu 18 (THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (Q1 ) : 3x  y  4z   và (Q2 ) : 3x  y  4z   Phương trình mặt phẳng (P ) song song và cách hai mặt phẳng (Q1 ) và (Q2 ) là A (P ) : 3x  y  4z  10  B (P ) : 3x  y  4z   C (P ) : 3x  y  4z  10  D (P ) : 3x  y  4z   Câu 19 (Sở GD & ĐT Hà Tĩnh lần năm 2018) Cho mặt phẳng (P ) qua điểm M (1;2;1) và cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có công bội Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P ) A C 21  21  21 B 21  D 21 Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M (1; 0; 3) và mặt phẳng (P ) có phương trình x  2y  z  10  Viết phương trình mặt phẳng (Q ), biết (Q ) song song với (P ) và (Q ) cách M khoảng A (Q ) : x  2y  z   B (Q ) : x  2y  z  10  C (Q ) : x  2y  z  10  D (Q ) : x  2y  z   ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.A 10.D 11.C 12.C 13.A 14.A 15.A 16.C 17.C 18.B 19.C 20.A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 147 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Câu Câu Chuyên đề: Oxyz  Phương trình mặt phẳng qua M (1;2; 5), có véctơ pháp tuyến n  (1; 2; 3) là A x  2y  3z  12  B x  2y  3z  12  C x  2y  5z  12  D x  2y  3z   Phương trình mặt phẳng qua M (3; 9; 1) và vuông góc với trục Ox là A x   B y  z   C x  y  z  11 D x   Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 0;1) và B ( 1; 3;  1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc với đường thẳng AB A 3x  3y  2z   B 3x  3y  2z   C 3x  3y  2z  14  D 3x  3y  2z  14  Câu Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A(0;1; 3) và (P )  (Q ) : 2x  3z   A 2x  3z   B 2x  3z   C 2x  3z   D 2x  3z   Câu Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(2;  3; 1), B (4; 1;2) là A 2x  2y  3z   B 8x  8y  12z  15  C x  y  z  D 4x  4y  6z   Câu Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2; 3) Gọi A, B , C là hình chiếu M trên các trục Ox , Oy , Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) A 3x  2y  z   B 2x  y  3z   C 6x  3y  2z   D x  2y  3z   Câu Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng (P ) qua M (3;2;1) và cắt các trục toạ độ Ox , Oy , Oz A, B, C cho M là trực tâm tam giác ABC là A (P ) : 3x  2y  z  14  C (P ) : Câu x y z    B (P ) : x  y  z   D (P ) : x y z    Trong không gian Oxyz , cho điểm G (1; 3;2) Viết phương trình mặt phẳng (P ) cắt ba trục Ox , Oy, Oz A, B, C và G là trọng tâm tam giác ABC A (P ) : x  y  z   B (P ) : 2x  3y  z   C (P ) : x  3y  2z   D (P ) : 6x  2y  3z  18  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 148 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Câu Chuyên đề: Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (1;2;  3) và có cặp véctơ phương là   a  (2;1;2), b  (3;2; 1) A (P ) : 5x  8y  z   B (P ) : 5x  8y  z   C (P ) : 5x  8y  z   D (P ) : 5x  8y  z   Câu 10 Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0;2), B(1;1;1), C (2; 3; 0) là A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  2z   Câu 11 Phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A(2;2; 3) và chứa trục Oz có dạng A (P ) : 2x  2y   B (P ) : 2x  2z   C (P ) : x  y  D (P ) : x  y  Câu 12 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua hai điểm A(1; 0;1) và B (1;2;2), đồng thời song song với trục Ox A (P ) : x  y – z  B (P ) : 2y – z   C (P ) : y – 2z   D (P ) : x  2z –  Câu 13 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1;1; 0), B (0;2;1), C (1; 0;2), D (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, B và (P ) song song với đường thẳng CD A (P ) : x  y  z   B (P ) : 2x  y  z   C (P ) : 2x  y  z   D (P ) : x  y   Câu 14 Cho hai điểm A(2; 4;1), B (1;1; 3) và mặt phẳng (P ) : x  3y  2z   Hãy viết phương trình mặt phẳng (Q ) qua hai điểm A, B và vuông góc với (P ) A (Q ) : 2y  3z   B (Q ) : 2x  3z  11  C (Q ) : 2y  3z  12  D (Q ) : 2y  3z  11  Câu 15 Cho mặt phẳng (P1 ) : x  2y  3z   và (P2 ) : 3x  2y  z   Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A(1;1;1), vuông góc với (P1 ) và (P2 ) A (P ) : 4x  5y  2z   B (P ) : 4x  5y  2z   C (P ) : 4x  5y  2z   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 149 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz D (P ) : 4x  5y  2z   Câu 16 Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng () : x  y  z   0, ( ) : x  y  z   và đồng thời cách gốc tọa độ khoảng có phương trình là A (P ) : x  z   B (P ) : x  z   C (P ) : x  y   D (P ) : y  z   Câu 17 Phương trình mặt phẳng (P ) tiếp xúc mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  3)2  điểm M (2;1;1) là A (P ) : x  2y  z   B (P ) : x  2y  2z   C (P ) : x  2y  2z   D (P ) : x  2y  2z   Câu 18 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ), biết (P ) song song với mặt (Q ) : 2x  2y  z  17  và (P ) cắt mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  25 theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 6 A (P ) : 2x  2y  z   B (P ) : 2x  2y  z  17  C (P ) : 2x  2y  z   D (P ) : 2x  2y  z  17  Câu 19 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (1;2; 3) và cắt ba tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ A 6x  3y  2z  18  B 6x  3y  3z  21  C 6x  3y  3z  21  D 6x  3y  2z  18  Câu 20 Trong không gian Oxyz, cho (P1 ) : 3x  y  4z   và (P2 ) : 3x  y  4z   Phương trình mặt phẳng (P ) song song và cách hai mặt phẳng (P1 ) và (P2 ) là A (P ) : 3x  y  4z  10  B (P ) : 3x  y  4z   C (P ) : 3x  y  4z  10  D (P ) : 3x  y  4z   ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.A 2.A 3.B 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.A 10.A 11.D 12.C 13.C 14.D 15.A 16.A 17.B 18.A 19.D 20.B Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 150 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz § PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜ N G THẲ N G  KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ Phương trình đường thẳng   Đường thẳng d qua điểm M (x  ; y  ; z  ) và có véctơ phương (VTCP) ud  (a1; a ; a ) có phương x  x  a t   trình tham số  y  y  a t , (t  )    z  z   a 3t   Điểm M thuộc đường thẳng d  M (x   a1t ; y  a 2t ; z   a 3t )  Nếu a1a 2a  thì x  x a1  y  y a2  z  z a3 gọi là phương trình chính tắc d  Đặc biệt:   x t      Trục Ox : y  có VTCP i  (1; 0; 0)   z 0      x0     Trục Oz :  y  có VTCP k  (0; 0;1)   z t    x     Trục Oy :  y  t có VTCP j  (0;1; 0)  z   Vị trí tương đối x  x  a t x  x   a t        a) Vị trí tương đối hai đường thẳng d : y  y  a 2t và d  : y  y  a2t    z  z   a 3t z  z   a 3t    x  a t  x   a t      Phương pháp Xét hệ phương trình với hai ẩn là t và t , tức xét:  y  a2t  y   a2t   z   a 3t  z   a 3t    Nếu hệ có nghiệm thì d và d  cắt  Nếu hệ có vô số nghiệm thì d  d   Nếu hệ vô nghiệm thì d  d  d, d  chéo      ud  ud  thì d  d   Nếu ud  ud  thì d, d  chéo    Phương pháp Xét M (x  , y  , z  )  d , M (x , y , z  )  d  và ud , ud      ad  kad    d d     M  d   a ko  a d  d  d cắt d       [a , a  ].MN   a  ka d  d  d    d  M  d   d chéo d    a , a  MN   d d   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 151 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz b) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng   x  x   a1t    Cho đường thẳng d : y  y  a 2t và mặt phẳng () : Ax  By  Cz  D    z  z   a 3t      x  x   a1t (1)    (2) y  y  a2t () Xét hệ:    z  z   a 3t (3)    Ax  By  Cz  D  (4)    Lấy (1),(2),(3) vào (4)  Nếu () có nghiệm  d cắt ()  Nếu () có vô nghiệm  d  ()  Nếu () vô số nghiệm  d  () c) Vị trí tương đối đường thẳng d và mặt cầu (S) Cho mặt cầu (S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng  Để xét vị trí tương đối  và (S ) ta tính d (I , ) so sánh với bán kính R  Nếu d (I , )  R :  không cắt (S )  Nếu d (I , )  R :  tiếp xúc với (S ) H  Nếu d (I , )  R :  cắt (S ) hai điểm phân biệt A, B Khoảng cách     AM , ud    với A  d và u là VTPT d a) Khoảng cách từ M đến d là d (M , d )    d ud  u, u  AB   b) Khoảng cách hai đường chéo d ( d, d )  với A  d, B  d   u , u    Góc a) Góc hai đường thẳng   Góc hai đường thẳng d1 và d2 có VTCP u1  (a1;b1; c1 ) và u2  (a ;b2 ; c2 )   u1.u2 a1a  b1b2  c1c2 cos(d1; d2 )  cos      với 0    90 u1 u a12  b12  c12 a22  b22  c22 b) Góc đường thẳng và mặt phẳng   Cho đường thẳng d có VTCP ud  (a ;b; c ) và mặt (P ) có VTPT n(P )  (A; B;C ) thì   ud n(P ) aA  bB  cC   sin   cos(n(P ); ud )     với 0    90 2 2 2 ud n(P ) a  b  c A  B C Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 152 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 1: Xác định các yếu tố đường thẳng Cho đường thẳng d : x  y 1 z    1 Đường thẳng d có véctơ phương là  A u  (1;2;1)  C u  (2;1;1)  Cần nhớ: d : x  x a1  B u  (2;1; 0)  D u  (1;2; 0)  y  y a2  z  z a3 có Cho đường thẳng d : x z 1 y   Tìm 2 véctơ phương d   A u  (1;6;0) B u  (2;6;2) C u  (2;2; 0) D u  (2;1;2)   Cần nhớ: d : x  x a1   y  y a2  z  z a3  VTCP là ud  (a1; a ; a ) và qua M (x  ; y  ; z  )   x t    Cho đường thẳng d : y  , (t  )   z   2t    Đường thẳng d có véctơ phương là   A u  (1;2; 0) B u  (1; 0; 2)   C u  (1;2; 2) D u  (1;2; 0) x   Cho đường thẳng d :  y   3t , (t  )  z   t  Đường thẳng d có véctơ phương là   A u1  (0; 3; 1) B u  (1; 3; 1)   C u  (1; 3; 1) D u  (1;2; 5)   x  x   a1t     Cần nhớ: d : y  y  a 2t , (t  ) có   z  z   a 3t     VTCP là ud  (a1; a ; a ) và qua M (x  ; y  ; z  ) x  x  a t     Cần nhớ: d : y  y  a 2t , (t  ) có  z  z   a 3t  Cho d qua A(3; 0;1), B(1;2; 3) Đường Cho hai điểm A(5; 3; 6), B(5; 1; 5) Tìm thẳng d có véctơ phương là  A u  (1;2;1)  C u  (2; 1; 1)  B u  (2;1; 0)  D u  (1;2; 0) Véctơ phương là véctơ có giá song song nằm trên đường thẳng d Do đó:   ud  AB  (4;2;2)  2(2; 1; 1) Chọn C véctơ phương đường thẳng AB   A u  (5; 2;1) B u  (10; 4;1) C u  (0;2; 11) D u  (0;2;11)   Véctơ phương là Cho điểm M (1;2; 3) Gọi M 1, M là Cho điểm M (2; 3; 4) Gọi M 1, M là hình chiếu vuông góc M lên các trục Ox, Oy Véctơ nào đây là véctơ hình chiếu vuông góc M lên các mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ) Tìm véctơ phương phương đường thẳng M 1M   A u2  (1;2; 0) B u  (1; 0; 0)   C u  ( 1;2; 0) D u1  (0;2; 0) đường thẳng M 1M   A u  (2; 3; 0) B u  (1; 0;2)   C u  (0; 3; 4) D u1  (2; 0; 4) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 153 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Cho hai mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và (Q ) : x  y   Khi đó giao tuyến d (P ) và (Q) có véctơ phương là   Chuyên đề: Oxyz 10 Cho hai mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   0, (Q ) : x  2y  z   Khi đó giao tuyến (P ) và (Q) có véctơ phương là   A u  (1; 1; 3) B u  (1;1; 0) A u  (1; 3;5) B u  (1; 2;1) C u  (1; 2;1) D u  (1;1; 3) C u  (2;1; 1) D u  (1; 3; 5)   n  (1; 2;1)    (P )  ud  [nP , nQ ]  ( ; ; ) Có   n(Q )  (1;1; 0)    11 Cho đường thẳng d vuông góc với mặt 12 Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng phẳng (P ) : 4x  z   Tìm véctơ (P ) : 2x  y  z   Tìm véctơ chỉ phương đường thẳng d  A u  (4;1;3)  C u  (4;1; 1)  B u  (4; 0; 1)  D u  (4; 1; 3) Giải Vì d  (P ) nên (xem hình):   ud  n(P )  ( ; ; ) n   A u  (2; 1; 1) B u  (2; 1;1)  C u  (2;1;1)  D u  (2; 1;1) P B Chọn đáp án B 13 Cho đường d : A phương đường thẳng d x 1 y  z     4 14 Cho đường thẳng d: x 1 y 2 z    1 Điểm nào sau đây không thuộc d Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d A N (4; 0; 1) B M (1; 2; 3) A Q(1; 0;2) B N (1; 2; 0) C P (7;2;1) D Q(2; 4; 7) C P (1; 1; 3) D M (1;2; 0)  x   2t  x 1    y  3t 15 Cho đường thẳng d :  Điểm 16 Cho đường thẳng y    t d : (t  ) Biết      z  2  t z   11t     A(m; m  2;1)  d Tìm câu đúng ? nào sau đây thuộc đường thẳng d A M (1; 4;2) B N (1; 4; 9) A m  (; 4) B m  [4;2) C P (1;2; 7) D Q(2;2; 7) C m  (6; ) D m  [2; 6]   x   3t       17 Cho đường thẳng d : y  4t Gọi u là VTCP d thỏa mãn u  10 Tọa độ u   z 0      A u  (3; 4; 0) B u  (6; 8; 0)   C u  (6; 8; 0) D u  (6; 8; 0) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 154 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 2: Góc Góc hai đường thẳng   Góc hai đường thẳng d1 và d2 có véctơ phương u1  (a1;b1; c1 ) và u2  (a ;b2 ; c2 )   u1.u2 a1a  b1b2  c1c2 cos(d1; d2 )  cos      với 0    90 u1 u a12  b12  c12 a22  b22  c22 Góc đường thẳng và mặt phẳng  Góc đường thẳng d có véctơ phương ud  (a ;b; c ) và mặt phẳng (P ) có véctơ pháp tuyến  n(P )  (A; B;C ) xác định công thức:   ud n(P ) aA  bB  cC   sin   cos(n(P ); ud )     với 0    90 ud n(P ) a  b  c A2  B  C Tính góc  hai đường thẳng d1 : A   45 B   30 u  (1; 1;2)    d  Áp dụng cos   cos(u1, u2 )  Lời giải Ta có:   ud  (1;1;1)  C   60 D   90 x y  z 1 x 1 y z 3      và d2 : 1 1 1 cos     u1.u2    u1 u2 SHIFT cos      90 Chọn D   x  3  t   x  y 1 z   Tính góc  đường thẳng d : y   2t và d  :     1  z  1t     A   45 B   30 C   60 D   90 x   t  Tính góc  tạo hai đường thẳng d1 :  y    t và d2  z   x   t   : y  , (t, t   )  z    t   A   150  B   45 C   60 D   30 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 155 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Gọi d là đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   và mặt phẳng (Q ) : x  y  z   Tính  đường thẳng d và trục Oz A   45 B   90 C   60 D   30 x   t   Hãy tìm tham số thực m để số đo góc hai đường thẳng d : y   2t , (t  ) và  z   t  x   t    d  : y   2t  , (t   ) 60  z   mt   A m  B m   C m   D m    Cho đường thẳng () : x y z 1   và mặt phẳng (P ) : x  y  2z  Góc () và (P ) 1 B 120   u  (1;2; 1) u n(P )  Giải Ta có  Áp dụng công thức sin      n(P )  (1; 1;2) u n(P )  C 45  sin   A 30 D 60  SHIFT sin(1/2)     30 Chọn đáp án A   x   3t   Cho đường thẳng d :  y  1  4t , (t  ) và mặt phẳng (P ) : 3x  4y  5z   Góc   z   5t    d và (P ) A 30 B 45 C 60 D 90 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 156 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Cho đường thẳng  : Chuyên đề: Oxyz x y z   và mặt phẳng (P ) : 5x  11y  2z   Góc () và 2 (P ) A    30 B   30 C   60 D   45 Cho đường thẳng  : x 1 y z   và mặt phẳng (P ) : 3x  4y  5z   Góc () 1 và (P ) A   90 B   30 C   60 D   45 10 Cho mặt phẳng (P ) : 3x  4y  5z   và đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng () : x  2y   và mặt phẳng ( ) : x  2z   Hãy tính số đo góc  d và (P ) A   30 B   45 C   60 D   90 11 Gọi d1 và d2 là hình chiếu đường thẳng d : x y z   trên các mặt phẳng (Oyz ) và 1 (Oxz ) Hãy tính số đo góc  d1 và d2 A   30 B   45 C   60 D   90 12 Tính số đo góc (P ) : x  2y  z   và (Q ) : x  y  2z   A   30 B   45 C   60 D   90 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 157 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 3: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm A có véctơ phương ud xác     AM , ud    định công thức d (M , d )    ud  Khoảng cách hai đường thẳng song song là khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng  Khoảng cách đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) là khoảng cách từ điểm M thuộc đường thẳng d đến mặt phẳng (P ) Cụ thể: Vì d  (P )  d (d;(P ))  d (M ;(P ))  ax M  byM  cz M  d a  b2  c2 M  d với   (P ) : ax  by  cz  d   Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đường thẳng d qua điểm A và có véctơ phương ud và d  qua điểm B và có véctơ    [ud , ud  ].AB  phương ud  là d ( d, d )     [ud , ud  ] Khoảng cách từ M (2; 0;1) đến đường thẳng d : A B C D x 1 y z 2   Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải      A (1; 0;2)  d AM  ( ; ; )     Ta có:      M (2; 0;1) u  ( ; ; )  u     d    d      [AM , ud ]  ( ; ; )  [AM , ud ]     [AM , ud ] Áp dụng công thức d (M , d )    Chọn đáp án C  ud Khoảng cách từ M (2;1; 1) đến đường thẳng d : A B   C D x 1 y 2 z    2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 158 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x   2t  Khoảng cách từ M (0; 1; 3) đến đường thẳng d :  , (t  ) y   z  t  A B 14 C D x  t    Khoảng cách từ M với OM  k đến đường thẳng  :  y   t , (t  )  z   A B C  D Khoảng cách từ điểm A(1; 1; 0) đến đường thẳng BC với B(1; 0; 2), C (3; 1; 1) A B 21  C 2 14  D x  y 1 z 2   và điểm A(3; 2; 4) Biết M (a;b; c )  d thỏa mãn 2 b  và độ dài đoạn MA  17 Giá trị a  b  c Cho đường thẳng d : A 12 B C D 20 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 159 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 4: Vị trí tương đối x  x  a t x  x   a t      y  y  a t   1) Vị trí tương đối hai đường thẳng d :  và y  y  a t d :       z  z   a 3t z  z   a 3t    x  a t  x   a t      t   Phương pháp Xét hệ phương trình với hai ẩn là t và t , tức xét:  y  a t  y  a     z   a 3t  z   a 3t    Nếu hệ có nghiệm thì d và d  cắt  Nếu hệ có vô số nghiệm thì d  d   Nếu hệ vô nghiệm thì d  d  d, d  chéo      ud  ud  thì d  d   Nếu ud  ud  thì d, d  chéo    Phương pháp Xét M (x  , y  , z  )  d , M (x , y , z  )  d  và ud , ud  a  ka a  ka d d d   d d    d  d    d   M  d M  d   a ko  a     d  d    d cắt d        d  a d chéo  d , ad   MN  [a , a  ].MN   2) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng   x  x   a1t    Cho đường thẳng d : y  y  a 2t và mặt phẳng () : Ax  By  Cz  D    z  z   a 3t    x  x  a t  (1)     (2) y  y  a2t Xét hệ:  ()   z  z   a 3t (3)    Ax  By  Cz  D  (4)    Lấy (1),(2),(3) vào (4)  Nếu () có nghiệm  d cắt ()  Nếu () có vô nghiệm  d  ()  Nếu () vô số nghiệm  d  () 3) Vị trí tương đối đường thẳng d và mặt cầu (S) Cho mặt cầu (S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng  Để xét vị trí tương đối  và (S ) ta tính d (I , ) so sánh với bán kính R  Nếu d (I , )  R :  không cắt (S )  Nếu d (I , )  R :  tiếp xúc với (S ) H  Nếu d (I , )  R :  cắt (S ) hai điểm phân biệt A, B  Cách khác: chuyển d dạng tham số và vào (S ) Số nghiệm là số giao điểm Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 160 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Nhóm Vị trí tương đối đường thẳng & mặt phẳng  Cho đường thẳng d : x 1 y z 5   và mặt phẳng (P ) : 3x  4y  14z   Tìm khẳng 2 định đúng ? u  (2;2;1) d Lời giải Ta có:    n(P )  (3; 4;14)      Xét ud n(P )  6   14   ud  n(P ) A d  (P ) B d  (P ) Do đó d song song nằm (P ) C d  (P ) D d  (P ) Xét A(1; 0; 5)  d và vào (P ) ta Nếu A  (P )  d  (P ) 3.1   14.(5)   77   A  (P ) Có thể giải lập hệ Cho đường thẳng  : Suy d  (P ) Chọn đáp án B x 1 y 5 z 2   và mặt phẳng (P ) : 3x  4y  14z   Tìm 2 khẳng định đúng ? A   (P ) B   (P ) C   (P ) D   (P ) Cho mặt phẳng (P ) : 3x  5y  z   và đường thẳng d : x  12 y  z     Tìm khẳng định đúng ? A d  (P ) B d  (P ) C d  (P ) D d  (P ) Cho mặt phẳng (P ) : x y z    và đường thẳng d : ax  by  cz với abc  Tìm khẳng a b c định đúng ? A d  (P ) B d  (P ) C d cắt (P ) D d  (P ) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 161 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x  t  Biết d :  y  1  2t nằm mặt phẳng (P ) : mx  4y  z   Tìm câu đúng ?  z  1  A m  (; 2) B m  [2;5) C m  [5;11) D m  [11; ) Tìm m để đường thẳng d : x 1 y 1 z    nằm (P ) : x  y  6z  m  4 1 A m   20 B m  20 C m  D m   10 Cho mặt phẳng (P ) : x  2y  mz   và đường thẳng d : x 1 y 1 z     Tìm tham 4 1 số m để d  (P ) A m    B m  0, C m  D m  A B C D   x   4t    Tìm m để đường thẳng d : y   t cắt mặt phẳng (P ) : 2x  my  3z  m     z   3t    m   m   m   1 m  x  10 y  z    Tìm m để d : vuông góc (P ) : 10x  2y  mz  11  1 A m   B m  C m   52 D m  52 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 162 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) 10 Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng d : Chuyên đề: Oxyz x 2 y 1 z   song song với mặt 2 1 phẳng (P ) : 2x  (1  2m )y  m 2z    Giải Ta có d qua A(2;1; 0) và ud  (2;1;1)  (P ) có n(P )  (2;1  2m; m ) A m  {1; 3} B m       Vì d  (P )  ud  n(P )  ud n(P )  C m   m  2m    m  1 m  Mà A(2;1; 0)  (P )  2.2   2m   D Không có m Nếu A  (P )  d  (P )  m  nên giá trị cần tìm là m   x  y 1 z    và mặt phẳng (P ) : x  3y  2mz   Tìm tham 1 số m để d song song với (P ) 11 Cho đường thẳng d : A m   B m  C m  D Không có m   x  t    12 Cho đường thẳng d : y  3  t và mặt phẳng m 2x  2my  (6  3m )z   Tìm tham số   z  1t    m để d  (P ) A m  B m  {6;1} C m   D Không có m  13 Cho đường thẳng d qua điểm A(0; 0;1) có véctơ phương u  (1;1; 3) và mặt phẳng () : 2x  y  z   Khẳng định nào đúng ? A Đường thẳng d nằm () B Đường thẳng d có điểm chung với () C Đường thẳng d vuông góc với () D Đường thẳng d và mặt () không có điểm chung Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 163 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz   x  1t    14 Cho đường thẳng d : y   t , t   và mặt phẳng (P ) : x  2y  z   Tọa độ giao   z   2t    điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P ) là A A(3; 0; 1) C A(0; 3; 1) B A(0; 3;1) D A(1; 0; 3) Giải Gọi A(1  t ;2  t ;1  2t )  d  (P )  A  (P )   t  2(2  t )   2t    t  1  A(0; 3; 1) Chọn đáp án C   x  12  4t    15 Cho đường thẳng d : y   3t , t   và mặt phẳng (P ) : 3x  5y  z   Tọa độ giao   z  1t    điểm M đường thẳng d và mặt phẳng (P ) là A M (0; 0; 2) C M (0; 0;2) B M (0;2; 3) D M (0; 2; 3) 16 Trong không gian Oxyz, tìm giao điểm I đường thẳng d : x 1 y 2 z    và mặt phẳng (P ) : x  4y  9z   A I (2; 4; 1) B I (1;2; 0) C I (1; 0; 0) D I (0; 0;1) 17 Trong không gian Oxyz, tìm giao điểm M đường thẳng d : x  12 y  z    và mặt phẳng (P ) : 3x  5y  z   A M (0; 0; 2) B M (1; 0;1) C M (1;1; 6) D M (12; 9;1) x   t  18 Trong không gian Oxyz, tìm giao điểm M đường thẳng d :  y  1  t , t   và mặt phẳng  z  2t  (P ) : 2x  y  z   A M (0;2; 4) B M (3; 1; 0) C M (6; 4; 3) D M (1; 4; 2) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 164 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Nhóm Vị trí tương đối đường thẳng & mặt cầu  x 2 y z 3   và mặt cầu 1 1 (S ) : x  y  z  4x  2y  21  Số điểm chung d và (S ) là 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : A B Lời giải Xét M (2  t ; t ;  t )  d Thế vào (S ) được: C D Vô số 3t  8t  16   t  t    Lưu ý: Nếu đề yêu cầu tìm tọa độ, ta t vào M tìm tọa độ  d và (S ) có điểm chung Chọn đáp án A x 2 y 2 z    và mặt cầu (S ) : x  y  (z  2)2  Tìm tọa độ giao điểm d và (S ) 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : A A(2; 3;2) B A(2; 3;2) A(2;2; 3) C A(0; 0;2) A(2;2; 3) D A(2;2; 3) 21 Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  11 Tìm tọa độ điểm A là giao điểm mặt cầu (S ) với tia Oz A A(0; 0;1) B A(0; 0;1) A(0; 0; 5) C A(0; 0; 1) D A(0; 0;1) A(0; 0;5) 22 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1; 2; 3) và tiếp xúc với trục tung là A (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  10 B (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  16 C (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  D (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  23 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (2; 4;6) và tiếp xúc với trục hoành là A (x  2)2  (y  4)2  (z  6)2  40 B (x  2)2  (y  4)2  (z  6)2  52 C (x  2)2  (y  4)2  (z  6)2  20 D (x  2)2  (y  4)2  (z  6)2  56 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 165 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 24 Phương trình mặt cầu (S ) có tâm A(1; 4; 3) và cắt trục Ox hai điểm B, C cho độ dài đoạn thẳng BC  là A (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  28 B (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  34 C (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  26 D (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  19 25 Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (2;  1) cho mặt cầu (S ) cắt đường thẳng d: x  11 y z  25   A và B để AB  16 2 A (x  2)2  (y  3)2  (z  1)2  289 B (x  2)2  (y  3)2  (z  1)2  17 C (x  2)2  (y  3)2  (z  1)2  289 D (x  2)2  (y  3)2  (z  1)2  280 26 Phương trình mặt cầu (S ) tâm A(1; 4; 3) và cắt Oy hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông là A (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  50 2 B (x  1)  (y  4)  (z  3)  34 C (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  16 D (x  1)2  (y  4)2  (z  3)2  20 x 1 y 1 z    và điểm I (1; 0; 0) Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là 27 Cho đường thẳng d : A (S ) : 3(x  1)2  3y  3z  20 B (S ) : (x  1)2  y  z  C (S ) : (x  1)2  y  z  D (S ) : (x  1)2  y  z  x 1 y 3 z 2   và điểm I (1;1; 2) Phương trình mặt cầu (S ) có tâm  I và cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho góc IAB  30 là 28 Cho đường thẳng d : A (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  72 B (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  36 C (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  66 D (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  46 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 166 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Nhóm Vị trí tương đối đường thẳng & đường thẳng   x   2t   x   2t    y   t  với t, t    Vị trí tương đối  29 Cho đường thẳng d :  và đường thẳng y   t d :      z    z  3    d và d  là A d  d  B d  d  C d cắt d      Giải Ta có ud  (2; 1; 0), ud   (2; 1; 0) nên ud  ud  Do đó d và d  song song trùng 1  2t   2t  t  t   Xét hệ  có vô số nghiệm nên d  d     2  t   t  t  t     Chọn đáp án B D d chéo d   Lưu ý: Ta có thể giải hệ phương trình ẩn t, t  để kết luận vị trí  x   2t   x 1t      30 Cho đường thẳng d : y   t và đường thẳng d :  y  1  2t  với t, t    Vị trí tương đối    z  t  z   2t     d và d  là A d  d  B d  d  C d cắt d  D d chéo d  x  4t  x 2 y  1z   31 Cho đường thẳng d : và đường thẳng d  :  y   6t (t  ) Vị trí  2 z  1  4t  tương đối d và d  là A d  d  B d  d  C d cắt d  D d chéo d  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 167 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz   x  3  2t   x 4 y 2 z 4     Vị trí tương đối 32 Cho đường thẳng d : y   t và đường thẳng d  :  1  z  1  4t    d và d  là A Chéo và   B Cắt và  C Cắt và  D d  d    x   at   33 Cho hai đường thẳng d1 :  và d2 y  t   z  1  2t    thẳng d1 và d2 cắt A a  B a  C a  1 D a  x   t   : y   2t  với t, t    Tìm a để hai đường  z   t   1  at   t  (1)   Giải Xét hệ phương trình t   2t  (2) Từ (2), (3), ta có hệ  1  2t   t  (3)  t  2t   t   và vào (1)   2a   a  Chọn B    2t  t   t     34 Cho đường thẳng d : x 1 y  z  x 5 y 3 z 3      Hỏi giá trị tham cắt d  : m m 1 số m có đặc điểm gì ? A m   B m    C m   D m     x  1t    35 Cho đường thẳng d1 : y   t và d2   z  2  2t    x   t   : y   t  Chọn khẳng định đúng ?  z   A d1  d B d1 chéo d2 C d1 cắt d2 D d1  d2 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 168 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) 36 Cho d : Chuyên đề: Oxyz x 1 y  z  x 1 y z 2      Tìm khẳng định đúng ? và d2 : 2 1 A d1 cắt d2 B d1  d2 C d1  d D d1 chéo d2 37 Cho d1 : x 1 y 2 z x y 5 z 4   và d2 :    Tìm khẳng định đúng ? 2 2 A d1 cắt d2 B d1  d2 C d1  d D d1 chéo d2 38 Cho d1 : x 1 y 2 z  x  y  z  12      Tìm mệnh đề đúng ? và d2 : 2 1 1 A d1 chéo d2 B d1  d2 C d1 cắt d2 D d1  d2 39 Tìm tọa độ giao điểm d : x 1 y  z  x 1 y z 2      và d  : 2 1 A I (1; 2; 4) B I (1;2; 4) C I (1; 0; 2) D I (6;9;1) 40 Cho hai điểm A(1;2; 3), B(2; 3;1) Tìm tọa giao điểm đường thẳng AB và (Oyz ) A I (1;2;1) B I (0;1; 5) C I (0;1; 3) D I (0;1; 4) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 169 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Một véctơ phương đường thẳng d :  A u  (1;2;1)  B u  (2;1; 0) x 2 y 1 z   là 1   C u  (1;2; 0) D u  (2;1;1) Câu (Đề thử nghiệm Bộ GD & ĐT năm 2017) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x   d : y   3t , (t  ) Véctơ nào đây là véctơ phương d  z   t      A u1  (0; 3; 1) B u2  (1; 3; 1) C u  (1; 3; 1) D u  (1;2; 5) Câu Gọi M1, M là hình chiếu vuông góc M (2;5; 4) lên trục Oy và mặt phẳng (Oxz ) Véctơ nào đây là véctơ phương đường thẳng M 1M   A u2  (2; 5; 4) B u  (2; 5; 4)   C u  (2;5; 4) D u1  (2; 5; 4) Câu Cho đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x  y   và mặt phẳng (Q ) : x  2y  z   Đường thẳng d có véctơ phương là   A u  (1;1; 0) B u  (1; 2;1) C u  (1;1; 3) D u  (1; 1; 3)   x   t  Câu Đường thẳng d :  y   t qua điểm nào ?  z   t  A M (1;2; 3) B N (3;2;1) C P (1;2; 3) Câu Cho đường thẳng  : A 1 C D Q(0; 0; 0) x y  z 1 qua điểm M (2; m; n ) Giá trị m  n   1 B D   x  3  t   x  y 1 z   Câu Tính góc đường thẳng d : y   2t và d  :       z  1t     A 45 B 30 C 60 D 90 A 90 x y z   và mặt (P ) : 5x  11y  2z   2 B 30 C 60 D 45 Câu Góc đường thẳng d : Câu Cho mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và đường thẳng  : x 1 y  z 1    Khoảng 1 cách  và (P ) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 170 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn)  C A Chuyên đề: Oxyz  D B Câu 10 Gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m cho khoảng cách đường thẳng x m y  z 1 :   và mặt phẳng (P ) : x  2y  z   Tính tổng các 1 phần tử S A B 8 C 10 D 10 Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y z 5   2 và mặt phẳng (P ) : 3x  4y  14z   Tìm khẳng định đúng ? A   (P ) B   (P ) C   (P ) D   (P ) Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y 5 z 2   và mặt phẳng 2 (P ) : 3x  4y  14z   Tìm khẳng định đúng ? A   (P ) B   (P ) C   (P ) D   (P ) Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x y z    và đường thẳng a b c d : ax  by  cz với abc  Tìm khẳng định đúng ? A d  (P ) B d  (P ) C d cắt (P ) D d  (P ) x  t  Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  1  2t , (t  ) và mặt phẳng  z  1  (P ) : mx  4y  z   Tìm tham số m để d nằm trên (P ) A m  10 B m  10 C m  D m  8  x   t  Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  3  t , (t  ) và mặt phẳng   z   t  (P ) : m x  2my  (6  3m )z   Tìm tham số m để d  (P ) A m  1 m  B m  m  C m  m  6 D m  1 m  6 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 171 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Câu 16 Trong không gian Oxyz, tìm giao điểm M đường thẳng d : Chuyên đề: Oxyz x  12 y  z    và mặt phẳng (P ) : 3x  5y  z   A M (0; 0; 2) B M (0;2; 3) C M (0; 0;2) D M (0; 2; 3) Câu 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : x 2 y 2 x 1 và   3 2 x y 2 z 2    Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 2 A d  d  d : B d  d  C d, d  D d  d  Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z 1 và đường thẳng   3 x 3 y 2 z 2    Tìm vị trí tương đối d1 và d2 2 1 A Cắt B Song song d2 : C Chéo D Vuông góc Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x  y  z 1 và   x  y 1 z  m    Hãy tìm tham số m để d1 và d2 cắt A m   B m  C m    7  D m    x 2 y 2 z  và mặt cầu   (S ) : x  y  (z  2)2  Tìm tọa độ giao điểm d và (S ) Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : A A(2; 3;2) B A(2; 3;2) A(2;2; 3) C A(0; 0;2) A(2;2; 3) D A(2;2; 3) ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.B 10.B 11.B 12.A 13.D 14.C 15.C 16.A 17.A 18.A 19.B 20.D Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 172 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Cho hai điểm A(2; 3; 4) và B(4; 1; 2) Véctơ nào đây là véctơ phương đường thẳng AB   A u  (6;2; 3) B u  (3;1; 3) C u  (1; 2;1) D u  (1;2;1)   x  t  Câu Một véctơ phương đường thẳng d :  là y   z   2t    A u  (1; 0; 2) B u  (1;2; 0)   C u  (1;2; 0) D u  (1;2; 2) Câu Gọi M1, M là hình chiếu vuông góc M (2;5; 4) lên trục Ox và mặt phẳng (Oyz ) Véctơ nào đây là véctơ phương đường thẳng M 1M   A u  (2; 0; 4) B u2  (2; 5; 4)   C u  (0; 3; 4) D u1  (2; 0; 4) Câu Cho hai mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   0, (Q ) : x  2y  z   Khi đó giao tuyến (P ) và (Q ) có véctơ phương là   A u  (1; 2;1) B u  (2;1; 1) C u  (1; 3;5) D u  (1; 3; 5)   Câu Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ) : 4x  z   Véctơ nào đây là véctơ phương đường thẳng d   A u  (4;1; 3) B u  (4; 0; 1) C u  (4;1; 1) D u  (4; 1; 3)  Câu Cho đường thẳng d : A Q(1; 0;2) C P (1; 1; 3)  x 1 y 2 z    Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d 1 B N (1; 2; 0) D M (1;2; 0) x  n  2t  x m y z 1 Câu Cho hai đường thẳng d : và  :  với m, n   Biết điểm   y   t  z  t  M (1; 0; 1) thuộc hai đường thẳng trên Tổng m  n A 1 B C D x   t  Câu Tính góc tạo hai đường thẳng d1 :  y    t và d2  z   A 150 B 45 C 60 D 30 x   t   : y   z    t   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 173 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Câu Góc đường thẳng d : Chuyên đề: Oxyz x y z 1   và mặt phẳng (P ) : x  y  2z  1 A 30 B 120 C 45 D 60 Câu 10 Cho mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   và đường thẳng  : x 1 y  z 1    Khoảng 2 cách  và (P )  B A  D C x 1 y 4 z 2 và mặt (P ) : x  2y  z   cắt I Gọi   2 M  d thỏa IM  và x M  Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) Câu 11 Cho đường d : A B C 30 D x  y 1 z     Xét mặt phẳng 1 (P ) : x  3y  2mz   Tìm tham số m để d song song với (P ) Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : A m  C m  B m  D m  x 1 y  z     Xét mặt phẳng (P ) có 1 phương trình x  y  z  m  với m là tham số thực Tìm tất các giá trị m để đường thẳng  song song với mặt phẳng (P ) Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : A m  B m  C m   D Không có m Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 174 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x  5y  z   và đường thẳng d: x  12 y  z     Tìm khẳng định đúng ? A d  (P ) B d  (P ) C d  (P ) D d  (P ) Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  y  6z  m  và đường thẳng d: x 1 y 1 z     Tìm tham số m để d nằm trên (P ) 4 1 A m  20 B m  20 C m  D m  10 Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  2y  mz   và đường thẳng d : x 1 y 1 z     Tìm tham số m để d  (P ) 4 1 A m     C m  B m  D m  Câu 17 Trong không gian Oxyz, tìm giao điểm I đường thẳng d : x 1 y 2 z  và mặt   phẳng (P ) : x  4y  9z   A I (2; 4; 1) B I (1;2; 0) C I (1; 0; 0) D I (0; 0;1) Câu 18 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đường thẳng d : x 2 y  1z và   2 x  4t   d : y   6t (t  ) Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng d và d   z  1  4t  A d và d  song song với B d và d  trùng C d và d  cắt Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 175 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz D d và d  chéo x   mt x   t      Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y  t và d :  y   2t  với m là   z  1  2t z   t      tham số thực và t, t   Tìm m để d cắt d A m  1 B m  C m  D m  Câu 20 Trong không gian với hệ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  11 Tìm tọa độ điểm A là giao điểm mặt cầu (S ) với tia Oz A A(0; 0;1) B A(0; 0;1) A(0; 0; 5) C A(0; 0; 1) D A(0; 0;1) A(0; 0; 5) ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 02 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.C 9.A 10.B 11.A 12.A 13.A 14.D 15.A 16.A 17.D 18.A 19.C 20.A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 176 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 5: Viết phương trình đường thẳng   Loại Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) đường thẳng d , biết d qua điểm  M (x  ; y ; z  ) và có véctơ phương là ud  (a1;a2 ;a )  Qua M (x ; y ; z )     Phương pháp Ta có: d :     VTCP : ud  (a1; a2 ; a )  x  x  a t   y  y  a t  Tham số d :     z  z   a 3t   Chính tắc d : x  x a1  y  y a2  z  z a3 (a1a2a3  0) Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) đường thẳng d , biết d qua điểm  M (1;2; 3) và có véctơ phương là ud  (1; 3;5)  Qua M (1;2; 3)  Lời giải Ta có d :     VTCP : ud  (1; 3;5)  x   t   Tham số d :  y   3t , (t  )  z  3  5t   Chính tắc d : x 1 y 2 z     1 Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) đường thẳng d , biết d qua điểm  M (0; 2;5) và có véctơ phương là ud  (0;1; 4) Lời giải Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) đường thẳng d , biết d qua điểm  M (1; 3; 1) và có véctơ phương là ud  (1;2; 1) Lời giải Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 177 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(2; 4; 4), B(2; 2;2) là A B C D x   4t  y  1  2t   z  8  6t  x   y  2  2t   z   11t  x  2t  y  3  t   z  1  3t  x   3t  y  3  4t   z   t   Nhận xét: Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(1;2; 5), B(5; 4; 4) là x   4t  A  y   2t  z  1  t  x   4t  C  y   2t  z  4,5  t  x   2t  B  y   4t  z  1  2t  x   t  D  y   t  z  1  t  Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(2; 3; 4), B(0;1; 2) là x  y  z 1    1 x 2 y 3 z 4    B 1 x y 1 x     C 1 x 1 y  z 1    D 1 A Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(1;2; 3), B(3; 6;1) là x 2 y 2 z 1    1 2 x 1 y 2 z     B 1 x  y  z 1    C 4 2 x  y  z 1    D 4 A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 178 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A(2; 2;2), B(2; 5; 7),C (6; 3; 1) x 1 y 1 z     A AM : 1 3 Giải Ta có M (2; 4; 4) là trung điểm BC  Qua A(2; 2;2)   Mà AM :    VTCP : u  AM  2.(2; 1; 3)  B AM : x 1 y  z 2    2 11 C AM : x y  z 1    2 Thử đáp án A AM : D AM : x 1 y  z     1 Vì A  AM   AM : x 2 y 2 z 2    Loại B, D 1 3 x y  z 1    2 2  2     : sai 1 3 Chọn đáp án C Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A(3;1;2), B(3;2; 5), C (1;6; 3) x   t  A  y  1  3t  z   4t  x   4t  B  y  3  3t  z   1t  x   4t  C  y   3t  z   t  x   3t  D  y  3  4t  z   t  10 Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A(1; 3;2), B(2; 0;5), C (0; 2;1) A AM : B AM : C AM : x 1 y 3 z 2    4 x 1 y  z     4 x 1 y  z     2 1 x 2 y  z 1    D AM : 1 11 Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A(2; 2;2), B(2; 5; 7),C (6; 3; 1) A AM : B AM : C AM : x 1 y 1 z     1 3 x 1 y  z 2    2 11 x y  z 1    2 x 1 y  z     D AM : 1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 179 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 12 Cho ba điểm A(0; 1; 3), B(1; 0;1), C (1;1;2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với BC A x y 1 z 3    1 B x 1 y z 1    2 1 C x 1 y z 1    2 1 D x y 1 z 3    2 1  Qua A(2; 2;2)  Giải Có d :      u  BC  (2; 1;1)  x y 1 z 3 d :    Chọn C 2 1 13 Cho tam giác ABC có A(1; 4; 1), B(2; 4; 3) và C (2;2; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với BC x  x     A y   t B  y   t   z  1  2t z   2t   x  x     C y   t D  y   t   z  1  2t z  1  2t   Vẽ hình: 14 Phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; 3; 4) và song song với trục hoành là x   t  A  y   z   x   C  y   y   t  x   B  y   t  4  x   D  y   y   t  Vẽ hình: 15 Phương trình đường thẳng d qua điểm M (1;1; 2) và song song với trục Oz là x   t  A  y   z  2  x   C  y   t  z  t  x   B  y   z  t   x   D  y   z   t  Vẽ hình: 16 Phương trình đường thẳng d qua điểm M (4; 3;2) và song song với trục tung là x   t  A  y   z   x   C  y   z   t  x   B  y   t  z   x   t  D  y   z   Vẽ hình: Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 180 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 17 Phương trình đường thẳng  qua điểm M (2; 1; 0) và song song với đường thẳng d: A B C D x y 2 z 1   có dạng 2  x  y 1 z :    2 x 2 y 1 z :    5 1 x 2 y 1 z :    2 x  y 1 z :    1  Giải   d  u  ud  (1; 2; 3)  Qua M (2; 1; 0) Khi đó  :     u  (1; 2; 3)  x 2 y 1 z    2 Chọn đáp án C : 18 Phương trình đường thẳng d qua điểm M (3;1; 1) và song song với đường thẳng : x 1 y z 3   là 2 x  y 1 z 1    2 x  y 1 z     B d : 2 x  y 1 z     C d : 1 x 2 y 1 z 2    D d : 1 A d : Vẽ hình 19 Phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 3;1) và song song với đường thẳng : x 1 y  z    là 4 1 x 2 y  z 1    4 1 x 2 y  z 1    B  : x 2 y  z 1    C  : 4 1 x 2 y  z 1    D  : 1 A  : Vẽ hình 20 Phương trình đường thẳng d qua điểm A(3;5; 7) và d  d  : x   2t  A  y   3t  z   4t  x   3t  C  y   5t  z   7t  x   3t  B  y   5t  z   7t  x   2t  D  y   3t  z   4t  Vẽ hình x 1 y 2 z    là Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 181 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 21 Đường thẳng  qua M (3; 1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x  2y  z   có phương trình là x 3 y 1 z 2    2 A  : Giải Vì   (P ) (hình vẽ) nên  Qua M (3; 1;2) Ta có  :      u  n(P )  (1; 2;1)  x  y 1 z     B  : 2 C  : x 3 y 1 z 2    : D  : x  y 1 z     Chọn đáp án A x 3 y 1 z 2    2 22 Đường thẳng qua A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x  3y  z   có phương trình là   x   3t   A  y  3t   z  1t    x   t  C  y   3t  z   t  x   t  B  y  3t  z   t  x   3t  D  y  3t  z   t  Vẽ hình 23 Đường thẳng qua A(2;1; 5) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   có phương trình là   x  t    A y   2t   z  2t     x  2  t  B  y  1  2t  z   2t  x  2  t  C  y  1  2t  z   2t  x   2t  D  y  2  t  z   5t  Vẽ hình 24 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm A(1; 4; 7) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   Phương trình chính tắc đường thẳng d là A d : B d : C d : x 1 y  z     2 Vẽ hình x 1 z 7 y 4  x 1 y  z 7    2 x 1 y  z     D d : 2 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 182 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 25 Phương trình đường thẳng qua A(1;2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz ) là x   t x   t    A y   2t B  y   2t   z  3  3t z  3  3t   x   t x   t    C y  D  y   2t   z  3 z  3  3t   Vẽ hình 26 Phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz ) là x   A  y   t  z   x   C  y   t  z   x   B  y  t   z   x   t  D  y  1  z   t  Vẽ hình 27 Phương trình đường thẳng qua điểm A(2;1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy ) là x   A  y   t  z  3  x   C  y   z  t   x   t  B  y   z  3  t  x   t  D  y   z  t  Vẽ hình 28 Cho điểm A(1; 0;1) và mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P ) Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d A Q(5; 2; 3) B N (1;1; 0) C P (3; 1;2) D M (3;2;1) Vẽ hình 29 Cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P ) : 3x  4y  5z   Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P ) Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d A Q(4; 5; 2) B P (5; 10; 13) C N (4; 6; 2) D M (7; 10; 13) Vẽ hình Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 183 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz  Loại Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) đường thẳng d , biết d qua điểm   M (x  ; y ; z  ), đồng thời vuông góc với hai véctơ a và b  Qua M (x ; y ; z )     Phương pháp Ta có: d :       VTCP : ud  [a , b ]  (a1 ; a ; a )  x  x  a t   x  x y  y z  z   (a1a2a3  0)  Tham số d :   Chính tắc d : y  y  a2t  a1 a2 a3 z  z   a 3t  Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (2;1; 5), đồng thời   vuông góc với hai véctơ a  (1; 0;1) và b  (4;1; 1) a  (1; 0;1)   Ta có   [a ,b ]  (1;5;1)  b  (4;1; 1)    Vì d  a và d  b nên ta có: x 2 y 1 z     A d : 1 B d : C d : x 2 y 1 z 5    1  Qua M (2;1; 5) d :      ud  [a , b ]  (1;5;1)  x 2 y 1 z 5    5 1 x 1 y  z 1    D d : 5 d : x  y 1 z     1 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;2; 3), đồng thời vuông   góc với hai véctơ a  (2; 3; 0) và b  (3; 4; 0) x   t  A  y   t  z   t  x  t  C  y   z   t  x   B  y   z   t  x   D  y  t  z   Vẽ hình Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; 1;2), đồng thời   vuông góc với hai véctơ a  (1; 4;6) và b  (2;1; 5) x   14t x   2t    A y  1  17t B  y  1  t   z   9t z   4t   x   3t x   t   y  1  2t y    t C  D     z   4t z   3t   Vẽ hình Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 184 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Trong không gian Oxyz, cho A(1;2; 3), B(3; 5; 7), C (1; 4; 1) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC ) trọng tâm G tam giác ABC x 1 y 1 z     A d : 4 B d : x  y 1 z     C d : x 1 y 1 z     D d : x  y 1 z     4 d A C G Giải Ta có G (1;1; 3) là trọng tâm ABC    AB  (4; 3; 4)  Vì d  (ABC ) Mà     AC  (2; 6; 4)       nên ud =[AB, AC ]  6.(2;  4;5)  Qua G (1;1; 3) Suy d :     ud  (2; 4; 5)  B d : x 1 y 1 z     Chọn D 4 5 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 3), B(4; 3; 3) Viết phương trình đường thẳng  qua trọng tâm G tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB x  y 1 z     5 x  y 1 z     B  : x 1 y 1 z 2    C  : 5 x 1 y 1 z 2    D  : A  : Hình vẽ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 4;2) và B(1;2; 4) Viết phương trình d qua trọng tâm OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) x y 2 z 2    1 x y 2 z 2   B d :  1 x y 2 z 2   C d :  1 x y 2 z 2   D d :  1 A d : Hình vẽ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0;1), B(1;2;1) Phương trình đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) là x  t  A  y   t  z   t  x  t  C  y   t  z   t  x   t  B  y   t  z   t  x  1  t  D  y  t  z   t  Hình vẽ Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 185 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C (0; 0; 4) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Tìm phương trình tham số đường thẳng OH x y z    2 x y z   B x y z    C x y z    D Giải Vì H là trực tâm tam giác ABC A  OH  (ABC ) (xem bài cũ) Cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0;6; 0), C (0; 0;6) Phương trình đường thẳng qua trực tâm H và vuông góc với mặt phẳng (ABC ) x 1 y 2 z     1 x 2 y 1 z 1    B 1 x 3 y 6 z 6    C 1 x 1 y  z     D 1 A Hình vẽ x 1 y  z 1 x 1 y z   ; d2 :    Phương 1 2 trình đường thẳng qua M , đồng thời vuông góc với d1 và d2 là 10 Cho M (1;1; 3) và hai đường thẳng d1 : x  1  t x  t   y   t y   t A  B     z   3t z   t   x  1  t x  1  t    C y   t D  y   t   z   t z   t   Hình vẽ x 2 y z 1 x 1 y  z       Phương trình đường và d2 : 1 2 2 thẳng  qua A(2; 3; 1) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 là 11 Cho hai đường thẳng d1 : x  8  2t  A  y   3t B  z  7  t  x   8t  y   3t   z  1  7t  x  2  8t x  2  8t   y  3  t y    t C  D     z   7t z   7t   Hình vẽ: Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 186 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 12 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời vuông góc với hai đường thẳng x 2 y z 1 x 1 y  z       và d2 : 1 2 2 x  8  2t x   8t   Hình vẽ   A y   3t B y   3t   z  7  t z  1  7t   x  2  8t x  2  8t   y  3  t y    t C  D     z   7t z   7t   d1 : x 1 y 2 z 3    Phương trình 2 đường thẳng A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và  là 13 Cho hai điểm A(1; 1;1), B(1;2; 3) và đường thẳng  : x 7 y 2 z 4    1 x 1 y  z 1    B x 1 y 1 z 1    C 2 x 1 y 1 z 1    D A Hình vẽ 14 Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1;5), đồng thời song song với mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   và vuông góc với đường  : x 2 y 1 z 5    5 x  y 1 z     B 5 x  y 1 z     C 2 4 x 5 y 2 z 4    D 1 A x 1 y z 3    1 Hình vẽ n(P) u d A P 15 Viết phương trình đường thẳng  qua gốc tọa độ O, vuông góc với đường thẳng d: x 1 y z 2   và song song với mặt phẳng (P ) : x  y  2z   1 x y z   A  :  5 x y z   B  :  3 5 x y z   C  :  3 x y z D  :    Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 187 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 16 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A(1;1; 2), vuông góc với đường thẳng d: x 1 y 1 z 2   và song song với mặt phẳng (P ) : x  y  z   x  y 1 z     3 x 1 y 1 z     B  : 3 x 1 y 1 z     C  : x 1 y 1 z     D  : 3 A  : Hình vẽ 17 Trong không gian Oxyz, đường thẳng  qua M (1; 1;2), song song đồng thời với hai mặt phẳng (P ) : x  y  2z   và (Q ) : x  2y  3z   có phương trình là A  : x 1 y 1 z 2    1 Hình vẽ x 1 y 1 z 2    3 x  y 1 z     x 1 y 5 z 3    D  : 1 B  : C  : 18 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;2; 3), đồng thời song song với hai mặt phẳng (P ) : 2x  3y  và (Q ) : 3x  4y  x  t  A  y   z   t  x   C  y  t  z   x   B  y   z  t  x   t  D  y   t  z   t  Hình vẽ 19 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 2; 3), đồng thời song song với hai mặt phẳng (P ) : x  y  z   và (Q ) : x  y  z   x   A  y  2  z   2t  x  1  t  B  y   z  3  t  x   2t  C  y  2  z   2t  x   t  D  y  2  z   t  Hình vẽ Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 188 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 20 Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và (Q ) : 2x  2y  3z  11  d: A x 1 y 2 z     Hình vẽ d D d : Tìm M  d  (P )  (Q ) cách chọn x  vào (P ), (Q) hệ: M x 1 y 2 z     B d : 5 C d : n  (1;2;1) (P ) Giải Ta có:   n(Q )  (2; 2; 3)     Từ hình  ud  [n(P ), n(Q ) ]  (4; 5;6) n(Q) n(P) x 1 y 2 z     Q P x 1 y 2 z     5 2y  z  y      2y  3z  13 z     M (1;2; 3) nên d có dạng: d: x 1 y 2 z     Chọn B 5 21 Trong không gian Oxyz, gọi d là giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x  3y  z  và (Q ) : x  y  z    Phương trình tham số đường thẳng d là x   t x   t    B y  t A y  t   z   2t z  2  2t   x   t x  2  t    D y  t C y  t   z  2  2t z   2t   Hình vẽ 22 Trong không gian Oxyz , gọi  là giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x  y  z   và (Q ) : 2x  3y  z   Khi đó phương trình đường thẳng  là A C x y z 3    y 5 B x y z 3    2 D x y z 3    5 x y z 3    2 23 Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng () : x  y  z   và ( ) : x  2y  3z   A d : x  y 1 z 1    3 x  y 1 z 1    B d : 3 Hình vẽ C d : x  y 1 z 1    2 3 D d : x  y 1 z 1    2 3 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 189 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 24 Viết đường thẳng  nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   và vuông góc với đường thẳng d : x y 1 z     Biết  qua điểm M (0;1; 3) 3 n  (1; 1; 1) (P ) Hình Giải Ta có:     ud  (1;2; 3)   Qua M (0;1; 3)   :      u  [n(P ), ud ]  5.(1;1;1)  x y 1 z     1 x y 1 z    B  :  1 x y 1 z    C  :  1 x y 1 z    D  :  1 A  : : x y 1 z     Chọn B 1 25 Viết đường thẳng  nằm mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và vuông góc với đường thẳng d : x 1 y z 2    Biết  qua điểm M (1;1;1) x 1 y 1 z 1    1 3 x 1 y 1 z 1    B 3 x 1 y  z 1    C 1 x 1 y  z 1    D 1 A Hình vẽ 26 Viết đường thẳng  nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   và vuông góc với đường thẳng AB, với A(3;1;2), B(4; 0; 3) Biết  qua điểm M (2; 1; 3) x  y 1 z     x 2 y 1 z 3    B 1 x 2 y 1 z 3    C x 1 y  z 1    D A Hình vẽ 27 Viết đường thẳng  nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   và song song với mặt phẳng (Q ) : x  2y  2z   Biết  qua điểm M (1;1;1) A  : x 1 y 1 z 1    4 5 x 1 y 1 z 1    B  : Hình vẽ x 1 y 1 z 1    C  : x 1 y 1 z 1    4 5 D  : Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 190 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz PP  Tìm điểm cắt  Loại Viết phương trình đường thẳng liên quan đến chữ “cắt”  x y 1 z 2   , mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   Phương trình 1 1 đường thẳng d nằm (P ) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng  là u   (1;1; 1)  x  3t  x  3  t      Giải Ta có:    nP  (1;2;2) A y   2t B y   t        z   t z   t   Từ hình vẽ, ta có ud  n P , ud   (4; 3; 1)          Tìm điểm M (t;1  t;2  t )    (P )  M  (P ) x  2  4t  x  1  t     t  2(1  t )  2(2  t )   C y  3t  D y   3t    z   2t  t  2  M (2; 1; 4)  d (Xem hình vẽ) z  t      Qua M (2; 1; 4)  d :    ud  (4; 3; 1)  x  2  4t   d : y  1  3t Chọn đáp án C  z   t  Cho đường thẳng  : Viết phương trình đường thẳng d , biết d nằm (P ) : 2x  y  2z   0, đồng thời d cắt và vuông góc với đường  : x   t x   t   y  3 y   A  B     z   t z   t   x   t x   t    C y  3  t D  y    z   t z   t   x y 1 z 2    1 Viết phương trình đường thẳng d , biết d nằm (P ) : x  2y  z   0, đồng thời d x  1  2t   cắt và vuông góc với đường d :  y  t  z  2  3t  x 1 y  z 1    1 x 1 y 1 z 1    B 3 x 1 y 1 z 1    C 1 x 1 y 1 z 1    D 1 3 A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 191 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Viết phương trình đường thẳng d qua M (2;1; 0), đồng thời d cắt và vuông góc với đường x 1 y  z    1  x   t x   t    A y   4t B y   t    z  2t  z  t   thẳng  :  x   t  C y  1  4t   z  2t  x   2t  D  y   t   z  t  Giải Gọi I (2t  1; t  1; t )    d nên I  d    MI  (2t  1; t  2;  t )   Ta có  và từ hình vẽ, có MI  u    u  ( 2; 1;  1)      MI u    (2t  1).2  (t  2).1  (t ).(1)    2  t   M (2;1;0), MI   ;  ;   3  3  Qua M (2;1;0)    d  d :   2  ud  MI   ;  ;    (1; 4; 2)    3  x   t  : y   4t Chọn đáp án A   z  2t  Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;2; 3), đồng thời d cắt và vuông góc với trục hoành Ox x   A  y   z   3t  x   B  y   2t  z   3t  x   t  C  y   z   3t  x  1  D  y  2  z  3  3t  Viết phương trình đường thẳng d qua A(3; 4;7), đồng thời d cắt và vuông góc với trục tung Oy x   t x     B y  4  4t A y    z  7  7t z   7t   x   3t  C  y  4  z   7t  z   3t  D  y  4  4t  z   7t  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 192 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Cho điểm A(1; 0;2) và đường thẳng d : Chuyên đề: Oxyz x 1 y z 1    Viết phương trình đường thẳng  1 qua A, vuông góc và cắt d x 1 y z 2    1 x 1 y z 2    B 1 1 x 1 y z 2    C 2 x 1 y z 2    D 3 A Cho điểm A(1; 0;6) và đường thẳng d : x 1 y z 1    Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc và cắt d A x   y  z  x 1 y z 6    B 14 23 x 1 y z 6    C x 1 y z 6    D 14 23 Cho điểm A(1;2; 3) và đường thẳng d : x 1 y z 1    Viết phương trình đường thẳng  2 qua A, vuông góc và cắt d x 1 y  z     x 1 y  z     B 23 19 13 x 1 y  z     C 23 19 13 x 1 y 2 z     D 23 19 13 A 10 Cho điểm A(4; 2; 4) và đường thẳng d : x  y 1 z 1    Viết phương trình đường 1 thẳng  qua A, vuông góc và cắt d x 3 y 2 z 1    4 2 x 4 y 2 z     B 1 x 4 y 2 z     C 3 2 x 4 y 2 z 4    D 1 A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 193 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 11 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 1; 3), vuông góc với đường thẳng d1 : A x  y  z 1 x 2 y 1 z 1      và cắt đường thẳng d2 : 2 1 x 1 y  z     Bổ sung hình vẽ Gọi B(2  t; 1  t;1  t )  d2    AB  (t  1;  t; t  2), ud  (1; 4; 2) x 1 y  z     B 1 1 C D Giải Tìm điểm cắt B    d2     Vì d  d1  AB  ud  AB.ud  x 1 y  z     2 1   t  và AB  (2; 1; 1) x 1 y  z     4  Lưu ý: d chéo d1 và , không cắt  Qua A(1; 1; 3)    d :   Chọn B  u  AB  (2; 1; 1)  d 12 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 1; 3), vuông góc với đường thẳng d1 : x y 5 z 2 x 1 y  z 1      và cắt đường thẳng d2 : 1 1 A x 2 y 1 z 3    2 B x 2 y 1 z 3    2 2 C x  y 1 z     2 D x 2 y 1 z     2 Vẽ hình 13 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (1;1; 4), vuông góc với đường thẳng d1 : x  10 y  z  15 x 1 y 1 z      và cắt đường thẳng d2 : 3 A x 1 y 1 z     1 1 B x 1 y 1 z     4 3 C x 1 y 1 z     1 1 D x 1 y 1 z     4 3 Vẽ hình Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 194 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 14 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; 1; 4), đồng thời d song song với mặt phẳng (P ) : x  2y  2z  15  và d cắt đường thẳng  : x 1 y  z     3 7 x 1 y 1 z     B 1 1 x 1 y  z     C 1 x 1 y  z     D 7 A Vẽ hình x  y 1 z    3 15 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; 4; 2), đồng thời d song song với mặt phẳng (P ) : y  z  2019  và d cắt đường thẳng  : x 1 y  z 2    17 6 6 x 1 y  z 2    B 1 x 1 y 4 z 2    C 17 6 6 x 1 y 4 z 2    D 1 A Vẽ hình x 1 y  z 1    3 16 Viết phương trình đường thẳng d nằm (P ) : x  y  z   0, đồng thời d cắt d1 : x  y  10 z  x 1 y 2 z 3      và vuông góc với d2 : 7 3 x 4 y  z 2    x 4 y  z 2    B 62 22 25 x 4 y 3 z 2    C 4 x 4 y 3 z 2    D A Hình vẽ 17 Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C (0; 0; 4) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Phương trình tham số đường thẳng OH là x  6t x  6t   y   4t y   t A  B     z  3t z  3t   x  6t x  6t    C y  4t D  y  4t   z  3t z   3t   Hình vẽ Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 195 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ 01 Câu Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(1;2; 3), B(3; 6;1) là A x 2 y 2 z 1 x 1 y 2 z     B    1 2 1 C x  y  z 1 x  y  z 1    D    4 2 4 Câu Viết phương trình trung tuyến AM ABC với A(3;1;2), B(3;2; 5), C (1;6; 3) x   t  A  y  1  3t  z   4t  x   4t  B  y  3  3t  z   1t  x   4t  C  y   3t  z   t  x   3t  D  y  3  4t  z   t  Câu Cho ba điểm A(0; 1; 3), B(1; 0;1), C (1;1;2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với BC A x y 1 z 3    1 B x 1 y z 1    2 1 C x y 1 z 3    2 1 D x 1 y z 1    2 1 Câu Phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; 3; 4) và song song với trục hoành là x   t  A  y   z   x   B  y   t  z   x   C  y   y   t  x   D  y   y   t  Câu Phương trình đường thẳng qua điểm M (2; 1; 0) và song song với đường thẳng d: x y 2 z 1   có dạng 2 A x  y 1 z    2 B x 2 y 1 z    5 1 C x 2 y 1 z    2 D x  y 1 z    1 Câu Đường thẳng qua M (3; 1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x  2y  z   có phương trình là Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 196 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) A x 3 y 1 z 2 x  y 1 z     B    2 1 2 C x 3 y 1 z 2 x  y 1 z     D    1 Chuyên đề: Oxyz Câu Phương trình đường thẳng qua A(1;2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz ) là x   t   x  1t    A  B  y   2t y   2t    z  3  3t z  3  3t     x   t x   t    C y  D  y   2t   z  3 z  3  3t   Câu Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (2;1; 5), đồng thời   vuông góc với hai véctơ a  (1; 0;1) và b  (4;1; 1) A x  y 1 z  x 2 y 1 z 5    B    1 1 C x 2 y 1 z 5 x 1 y  z 1    D    5 1 5 Câu Trong không gian Oxyz, cho A(1;2; 3), B(3; 5; 7), C (1; 4; 1) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC ) trọng tâm G tam giác ABC A x 1 y 1 z  x 1 y 1 z     B    4 5 x 1 y 1 z  x 1 y 1 z     D    4 Câu 10 Cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C (0; 0; 4) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Tìm phương trình tham số đường thẳng OH C A x y z    2 B x y z   C x y z    D x y z    x 1 y  z 1 x 1 y z   ; d2 :    Phương 1 2 trình đường thẳng qua M , đồng thời vuông góc với d1 và d2 là Câu 11 Cho M (1;1; 3) và hai đường thẳng d1 : x  1  t  A  y   t  z   3t  x  1  t  C  y   t  z   t    x  t   B  y   t   z  t    x  1  t  D  y   t  z   t  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 197 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 12 Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1;5), đồng thời song song với mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   và vuông góc với đường  : x 1 y z 3    1 A x 2 y 1 z 5 x  y 1 z     B    5 5 C x  y 1 z  x 5 y 2 z 4    D    2 4 1 Câu 13 Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua M (1; 1;2), song song đồng thời với hai mặt phẳng (P ) : x  y  2z   và (Q ) : x  2y  3z   có phương trình A x 1 y  z 2 x 1 y  z 2    B    1 5 3 C x 1 y 1 z  x 1 y 5 z 3    D    1 Câu 14 Trong không gian Oxyz, phương trình nào đây là phương trình mặt phẳng qua điểm M (1; 3;1) và vuông góc với đường thẳng d : x 1 y  z 1    2 A 3x  2y  z   B 3x  2y  z   C 3x  2y  z  10  D 3x  2y  z  10  Câu 15 Phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d : x 1 y z 1   ; đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q ) : 2x  y  z  là A (P ) : x  2y –  B (P ) : x  2y  z  C (P ) : x  2y –  D (P ) : x  2y  z  Câu 16 Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và (Q ) : 2x  2y  3z  11  A x 1 y  z  x 1 y  z     B    5 C x 1 y 2 z  x 1 y 2 z     D    5 Câu 17 Viết đường thẳng  nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   và vuông góc với đường thẳng d : x y 1 z     Biết  qua điểm M (0;1; 3) 3 A  : x y 1 z  x y 1 z     B  :    1 1 1 C  : x y 1 z  x y 1 z     D  :    1 1 1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 198 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x y 1 z 2   , mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   Phương trình 1 1 đường thẳng d nằm (P ) cho d cắt và vuông góc với  là Câu 18 Cho đường thẳng  : x  3  t  A  y   2t  z   t    x  3t    B y   t   z   2t    x  2  4t  C  y  3t   z   t  x  1  t  D  y   3t  z   2t  Câu 19 Phương trình đường thẳng d qua A(1;2; 3), đồng thời d cắt và vuông góc với Ox là x    x 1      A y  B y   2t    z   3t z   3t     x   t x  1    C y  D  y  2   z   3t z  3  3t   Câu 20 Viết phương trình đường thẳng d nằm (P ) : x  y  z   0, đồng thời d cắt x  y  10 z  x 1 y 2 z 3      và vuông góc với d2 : 7 3 x   3t   x   62t    A  B  y  3  4t y  3  22t    z   25t z   t     x  4  2t x   3t   y  3  4t y   t C  D     z  2  t z   t   d1 : ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 01 1.A 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.C 8.A 9.D 10.C 11.D 12.A 13.A 14.D 15.C 16.B 17.B 18.C 19.B 20.D BÀI TẬP VỀ NHÀ 02 Câu Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình dạng tham số đ ường thẳng d qua điểm  M (2; 0; 1) và có véctơ phương a  (4; 6;2) x   2t  A d :  y  3t  z  1  t  x  2  2t  B d :  y  3t  z   t  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 199 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x  2  4t   x   2t      C d : y  6t D d : y  3t    z  t z   2t     Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 4; 1), B(2; 4; 3) và C (2;2; 1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và song song với BC x  x    y   t y   t A  B     z  1  2t z   2t   x  x     C y   t D  y   t   z  1  2t z  1  2t   Câu Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc đường thẳng qua hai điểm A(1;2; 3) và B(3; 6;1) A x 2 y 2 z 1 x 1 y 2 z     B    1 2 1 x  y  z 1 x  y  z 1    D    4 2 4 Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 3;2), B(2; 0;5) và C (0; 2;1) Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC C A x 1 y 3 z 2 x 1 y  z     B    4 4 x 1 y  z  x 2 y  z 1    D    2 1 1 Câu Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 3;1) và song C song với đường thẳng  : A x 1 y 1 z     4 1 x 2 y  z 1 x 2 y  z 1    B    4 1 x 2 y  z 1 x 2 y  z 1    D    4 1 1 Câu Trong không gian Oxyz , phương trình nào đây là phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x  3y  z   C x   3t  A  y  3t  z   t  x   t  C  y   3t  z   t  x   t  B  y  3t  z   t  x   3t  D  y  3t  z   t  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 200 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz ) x    x 2      A y  1  t B y   t    z  3 z      x  x   t    C y   t D  y  1  t   z  z    Câu Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng qua A(1;2; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x  2y   x  1  t   x  1t      A y  2  2t B y   2t    z  2  3t z   3t     x  1  t x   t    C y  2  2t D  y   2t   z  z  2   Câu Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 4;2) và B(1;2; 4) Viết phương trình d qua trọng tâm OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) A d : x y 2 z 2 x y 2 z 2    B d :    1 1 C d : x y 2 z 2    1 D d : x y 2 z 2    1 x 1 y  z 1 x 1 y z   ;  :    1 2 Viết phương trình đường thẳng qua M , vuông góc với  và  Câu 10 Cho điểm M (1;1; 3) và hai đường thẳng  : x  1  t   x  t    A  B  y   t y   t    z  t z   3t     x  1  t x  1  t    C y   t D  y   t   z   t z   t   Câu 11 Viết phương trình đường thẳng qua B(2; 1; 5), đồng thời song song với mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   và vuông góc với đường  : x 1 y z 3    1 A x 2 y 1 z 5 x  y 1 z     B    5 5 C x  y 1 z  x 5 y 2 z 4    D    2 4 1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 201 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 12 Trong không gian Oxyz, đường thẳng  qua điểm M (1; 1;2), song song đồng thời với hai mặt phẳng (P ) : x  y  2z   và (Q ) : x  2y  3z   có phương trình là A x 1 y  z 2 x 1 y  z 2    B    1 5 3 x 1 y 1 z  x 1 y 5 z 3    D    1 Câu 13 Trong không gian Oxyz, gọi  là giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x  y  z   và (Q ) : 2x  3y  z   Khi đó phương trình đường thẳng  là C A x y z 3    y 5 B x y z 3    2 x y z 3 x y z 3       D 2 5 Câu 14 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng  qua gốc tọa độ O, vuông góc với C d: x 1 y z 2   và song song với mặt phẳng (P ) : x  y  2z   1 A x y z    5 B x y z    3 5 x y z x y z       D 3 5 Câu 15 Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P ) để d cắt và vuông góc với đường C thẳng , với (P ) : x  2y  2z   và  : x y 1 z 2    1 1 x  3  t   x  3t      A d : y   2t B d : y   t    z   2t z   t     x  2  4t   x  1  t    C d :  D d :  y  1  3t y   3t    z   2t z   t     Câu 16 Trong không gian Oxyz, viết đường thẳng  nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   và vuông góc với đường thẳng d : x y 1 z     Biết  qua điểm M (0;1; 3) 3 A x y 1 z     1 B x y 1 z     1 C x y 1 z     1 D x y 1 z     1 x 1 y 1 z   và mặt (P ) : x  2y  2z  15  Viết 3 phương trình đường thẳng d qua điểm M , song song với (P ) và cắt  Câu 17 Cho điểm M (1; 1; 4), đường  : A x 1 y 1 z  x 1 y 1 z     B    1 1 5 3 C x 1 y  z  x 1 y  z     D    1 5 3 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 202 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C (0; 0; 4) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Phương trình tham số đường thẳng OH là x  6t  A  y  4t  z  3t  x  6t  C  y  4t  z  3t    x  6t    B y   4t   z  3t    x  6t  D  y  4t  z   3t  x 6 y 4 z 4 x 2 y 2 z      Viết phương và d2 : 4 1 2 trình đường thẳng  là đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 và d2 Câu 19 Cho hai đường thẳng d1 : A x 4 y 3 z 2 x 4 y 3 z 2    B    4 1 C x 4 y 3 z 2 x 4 y 3 z 2    D    2 x  y 1 z    Câu 20 Cho hai đường thẳng d1 : và d2 1 1 x  t  : y   Viết phương trình d là  z  2  t  đoạn vuông góc chung d1 và d2 x   3t   A  y   3t   z  2  t   x  2  3t   C  y   3t   z   t     x  2  3t    B  y   3t    z   t    x   t   D  y   2t   z   t   ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 02 1.A 2.D 3.A 4.A 5.A 6.B 7.A 8.D 9.B 10.D 11.A 12.A 13.B 14.D 15.C 16.B 17.D 18.C 19.C 20.D BÀI TẬP VỀ NHÀ 03 Mẫu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x  y  z  10  0, điểm A(1; 3;2) và đường x  y 1 z 1    Tìm phương trình đường thẳng  cắt (P ) và d 1 hai điểm M , N cho A là trung điểm đoạn MN thẳng d : A x 6 y 1 z 3    1 B x  y 1 z     1 C x  y 1 z     4 1 D x 6 y 1 z 3    4 1 Lời giải tham khảo Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 203 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x  y 1 z 1    t  N (2t  2; t  1;  t  1)  d 1 x  2x  x  M A N y  y  y Vì A là trung điểm MN nên:   M A N  z M  2z A  z N  x  2.1  (2t  2)   2t  M Suy  yM  2.3  (t  1)   t  M (4  2t;  t;  t )  (P ) : 2x  y  z  10   z M  2.2  (t  1)   t   2.(4  2t )  (5  t )  (3  t )  10   t  2  M (8;7;1) và N (6; 1; 3) Qua N (6; 1; 3) x  y 1 z 3   :    Chọn A Khi đó  :    VTCP : u  NM  (14; 8; 2)  2.(7; 4; 1) 1   Nhớ Học sinh đọc kỹ lời giải và làm lại tương tự, có thể rút ngắn cách làm Đề bài có thể mở rộng   NA  k AM đó ta sử dụng hai véctơ để tìm M , N , trường hợp k  thì A chính là trung điểm MN , cho trọng tâm hình bình hành Đặt d : Câu Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 1;2), mặt phẳng (P ) : x  y  2z   và đường x 1 y z 2    Viết phương trình đường thẳng  cắt d và (P ) M 1 và N cho A là trung điểm đoạn thẳng MN thẳng d : A x 1 y 1 z  x 1 y 1 z 2    B    1 2 3 C x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2    D    2 1 x y 1 z 2   và mặt phẳng 1 (P ) : 2x  y  2z   Viết phương trình đường thẳng  qua A(1; 0;2) và cắt d M , cắt (P ) N cho A là trung điểm MN là Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : x  2  t  A  y   3t  z   2t  x  t  C  y   3t  z   2t  x  1  2t  B  y  6t  z   4t  x  1  3t  D  y   z   3t  x 1 y  z    và (P ) : x  3y  2z   Phương trình đường 1 thẳng  qua A(2; 1;1) và cắt d M , cắt (P ) N để A là trung điểm MN là Câu Cho đường thẳng d : x   t x   t    A y  t  B  y  t   z  t z   t   x 2 y 2 z 1 x 2 y  z 1    D    C 1 1 8 2 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 204 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x y 1 z 2   và mặt phẳng (P ) : x  2y  z   Phương trình đường thẳng  qua A(2;1;2) và cắt d M , cắt (P ) N cho A là trung điểm MN là Câu Cho đường thẳng d : x   t  A  y   2t  z   t  x   t  C  y  1  2t  z   t    x  t    B y   2t   z  t    x   t  D  y   z   t    x  t  2 2   Câu Cho đường thẳng d : y   t , mặt phẳng () : x  y  z   và điểm G  ;1;     3   z 3    Phương trình đường thẳng  cắt d và () M , N cho tam giác OMN nhận G làm trọng tâm là x   A  y   t  z   4t  x   C  y  1  t  z   4t  Câu Cho đường thẳng d :   x  1t    B y   3t   z   2t      x  t   D  y   3t   z   2t    4  x 1 y 1 z 1   , mặt phẳng () : x  y  z   và G  ; 0;1    1 Phương trình đường thẳng  cắt d và () M , N cho tam giác OMN nhận G làm trọng tâm là x   t  A  y   3t  z   2t  x   C  y  1  t  z   4t  B x 2 y 1 z    2 D x 1 y 1 z 1   2   x  t   Câu Cho đường thẳng d :  y   t , mặt phẳng () : x  y  z   và hai điểm C (1; 0; 3),   z  t    D(2; 1;2) Phương trình đường thẳng  cắt d và () A, B cho tứ giác ABCD là hình bình hành là x   A  y   t  z   4t  B x 1 y 2 z 1    1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 205 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) x   t  t C  y   z   4t  D Chuyên đề: Oxyz x 3 y 2 z 5    1   x  1t    Câu Cho đường thẳng d : y   t , mặt phẳng () : x  y  z   và hai điểm C (2; 0; 7),   z   2t    D(1; 5;5) Phương trình đường thẳng  cắt d và () A, B cho tứ giác ABCD là hình bình hành là x  1  t  x 1 y 2 z 1 A  B    y  1  t  1 z   4t  x   3t  x y z 5 C  D    y   5t  z   2t  Mẫu Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (1; 2; 3) và cắt ba tia Ox , Oy, Oz A, B , C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ A 6x  3y  2z  18  B 6x  3y  3z  21  C 6x  3y  3z  21  D 6x  3y  2z  18  Lời giải tham khảo x y z Cauchuy    và M (1;2; 3)  (ABC )      a b c abc a b c a  3; b  1  abc  162  VOABC  abc  27 Dấu "  "    và abc  162   c  a b c  x y z  (ABC ) :     6x  3y  2z  18  Chọn đáp án D x y z  Cần nhớ: Phương trình mặt phẳng đoạn chắn (P ) :    a b c Ta có: (ABC ) : abc (a, b, c  0)  M trực tâm ABC  OM  (ABC )  VO ABC   1 1     2 OA OB OC OM Câu Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (9;1;1), cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ A x y z    27 3 B x y z    1 C x y z    27 3 D x y z    27 3 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 206 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng () qua điểm M (1;2;1) và cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cộng bội Tính khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng () 21  21 A 21  21 B C 21  D 21 Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  Một mặt phẳng () tiếp xúc với (S ) và cắt các tia Ox , Oy, Oz A, B, C Giá trị biểu thức A C  B D 1   2 OA OB OC  3 Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 4;9) Gọi (P ) là mặt phẳng qua M và cắt ba tia Ox , Oy, Oz các điểm A, B, C (khác O ) cho (OA  OB  OC ) đạt giá trị nhỏ Mặt phẳng (P ) qua điểm nào đây ? A (12; 0; 0) B (0; 0;12) C (6; 0; 0) D (0; 6; 0) x 1 y z   và hai điểm A(2;1; 0), B(2; 3;2) Phương trình mặt cầu 2 (S ) qua hai điểm A, B và có tâm thuộc đường thẳng d là Câu 13 Cho đường thẳng d : A (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  17 B (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  C (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  D (x  1)2  (y  1)2  (z  2)2  16 Câu 14 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) : 2x  6y  z   cắt trục Oz và đường thẳng d: x 5 y z 6   A và B Phương trình mặt cầu đường kính AB là 1 A (x  2)2  (y  1)2  (z  5)2  36 B (x  2)2  (y  1)2  (z  5)2  C (x  2)2  (y  1)2  (z  5)2  D (x  2)2  (y  1)2  (z  5)2  36 x 1 y z 2   Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng (P ), đồng thời cắt và vuông góc với d Câu 15 Cho mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và đường thẳng d : Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 207 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x 1 y  z 1    1 x 1 y 1 z 1    B 3 x 1 y 1 z 1    C 1 x 1 y 1 z 1    D 1 3 A x 1 y  z   Phương 1 trình tham số đường thẳng d qua M , cắt và vuông góc với  là Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (2;1;0) và đường thẳng  :  x   t  A  y   4t   z  2t   x   t  C  y  1  4t   z  2t  x   t  B  y   t   z  t  x   2t  D   y  1t   z  t  Câu 17 Cho điểm A(1; 0;2) và đường thẳng d : x 1 y z 1    Viết phương trình đường thẳng  1 qua A, vuông góc và cắt d x 1 y z 2 x 1 y z 2       B 1 1 1 x 1 y z 2 x 1 y z 2       C D 2 1 3 Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C (0; 0; 4) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Phương trình tham số đường thẳng OH là A   x  6t    A y  4t   z  3t      x  6t    C y  4t   z  3t      x  6t    B y   4t   z  3t      x  6t    D y  4t   z   3t    ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 03 1.C 2.A 3.A 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 11.B 12.C 13.A 14.B 15.D 16.A 17.B 18.C 9.C Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến 10.C Trang - 208 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 6: Hình chiếu, điểm đối xứng và bài toán liên quan (vận dụng, vận dụng cao)   Tìm M là giao điểm d : Đặt x  xo a1  y  yo a2  z  zo a3 x  xo a1  y  yo a2  z  zo và (P ) : ax  by  cz  d  a3  t  M (a1t  x o ; a2t  y o ; a 3t  z o )  d Vì d  (P )  M  M  (P )  t  M  Tìm hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P ), điểm M lên đường thẳng d  Cần nhớ: “Cho đường viết mặt, cho mặt viết đường và tìm giao điểm” Tìm H là hình chiếu M lên mặt (P ) Tìm hình chiếu H M lên đường d Tìm M  là điểm đối xứng với M qua (P ) Tìm M  là điểm đối xứng với M qua d Qua M  Viết đường MH :    VTCP : uMH  n(P )   Hình chiếu H là giao điểm MH và (P ) Qua M  Viết mặt phẳng (P ) :    VTPT : n(P )  ud   Hình chiếu H là giao điểm d và (P )  Điểm M  đối xứng với M qua (P ) thỏa mãn H là trung điểm MM   Điểm M  đối xứng với M qua d thỏa mãn H là trung điểm MM   ud d M  n(P ) M H P M' H P M'  Tìm phương trình mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) qua mặt (P ) và qua đường d Tìm mặt cầu (S ) đối xứng với (S ) qua (P )  Ta luôn có R   R  Tâm I  là điểm đối xứng I qua (P ) Tìm mặt cầu (S ) đối xứng với (S ) qua d  Ta luôn có R   R  Tâm I  là điểm đối xứng I qua d d (S) (S') I H (S) I' I (S') H I'  Cần nhớ: Hình chiếu và điểm đối xứng qua trục, mặt phẳng tọa độ và gốc tọa độ: “Hình chiếu thiếu cái nào cho cái đó – Đối xứng thiếu cái nào đổi dấu cái đó” Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 209 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz  Tìm phương trình hình chiếu đường thẳng liên mặt phẳng a) Tìm phương trình hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng (P) PP1 Tìm hình chiếu d  là giao tuyến mặt  Viết mặt (Q ) chứa d và vuông góc với (P ) : Qua M  d (Q ) :     VTPT : n(Q )  [ud , n(P ) ]   Hình chiếu d xuống (P ) là đường thẳng d , chính là giao tuyến (P ) và (Q ) PP2 Tìm giao điểm và hình chiếu lên (P)  Tìm A  d  (P )  Chọn M  d, (M  A)  Tìm hình chiếu B điểm A lên (P )  Hình chiếu d  qua A, B Lưu ý Nếu d  (P ) thì d   d và M  d Khi đó hình chiếu B M lên (P ) thuộc d  b) Tìm phương trình d’ đối xứng đường thẳng d qua mặt phẳng (P) Nếu d  (P )  I Nếu d  (P )  Lấy M  d  Lấy M  d  Tìm H là hình chiếu M lên (P )  Tìm H là hình chiếu M lên (P )  Tìm M  đối xứng với M qua (P )  Tìm M  đối xứng với M qua (P ) Qua M   Khi đó d  :     VTCP : ud   ud  Qua M     Khi đó d  :  VTCP : u   IM d  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 210 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Giao điểm d : Chuyên đề: Oxyz x 1 y  z 1 và mặt phẳng (P ) : 2x  y  3z  là   1 A M (2; 4;1) B M (3; 4;1) C M (2; 4; 0) D M (3; 4; 0) Lưu ý Nếu đề cho dạng tham số, ta trực tiếp vào (P )  t  M Giao điểm d : x 1 y z 2 và mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   là   3 A M (2; 1;1) B M (0; 2;1) C M (0; 2; 1) D M (2; 2; 1) Giao điểm d : x 1 y 4 z 2 và mặt phẳng (P ) : x  2y  z   là   2 A M (1;2;1) B M (1; 2;1) C M (1; 1;2) D M (1;2; 1) Hình chiếu điểm M (3; 0; 1) lên mặt phẳng (P ) : x  y  z   là A H (2; 1; 0) B H (4;1; 2) C H (2;1; 0) D H (1; 0;2) Hình chiếu điểm M (1;2; 3) lên mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   là A H (2;1; 3) B H (3; 2;1) C H (2;1; 3) D H (3;2;1) Hình chiếu điểm M (3;1; 0) lên mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   là A H (1;1; 1) B H (1; 2;1) C H (1; 1;1) D H (1;2; 1) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 211 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Điểm đối xứng với điểm M (2;1; 1) qua mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   là A M (0; 3; 3) B M (1; 1; 1) C M (1; 1;1) D M (0; 3; 3) Điểm đối xứng với điểm M (4;2;1) qua mặt phẳng (P ) : 4x  y  2z   là A M (4; 0; 3) B M (4; 4; 1) C M (4;2;1) D M (2; 0; 5) Hình chiếu điểm M (1;1; 1) lên đường thẳng d : A H (2;2; 3) B H (6; 6; 3) C H (2;1; 3) D H (1;1; 4) x 4 y 4 z 2 là   2 1 x  2t   y  2t  Ta có   t  1  z  t   2(x  1)  2(y  1)  1(z  1)   H (2;2; 3) Chọn đáp án A 10 Hình chiếu điểm M (1;1; 6) lên đường thẳng d : x 2 y 1 z   là 2 A H (1; 3; 2) B H (1;17;18) C H (3; 1;2) D H (2;1; 0) 11 Hình chiếu điểm M (1; 0; 4) lên đường thẳng d : A H (1; 0;1) B H (2; 3; 0) x y 1 z  là   1 C H (0;1; 1) D H (2; 1; 3) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 212 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) 12 Điểm đối xứng với điểm M (3;2; 0) qua đường thẳng d : Chuyên đề: Oxyz x 1 y  z 2 là   2 A M (1; 0; 4) B M (7;1; 1) C M (2;1; 2) D M (0;2; 5) 13 Điểm đối xứng với điểm M (2; 0;1) qua đường thẳng d : x 1 y  z   là A M (0;1; 3) B M (1; 3; 0) C M (0; 0; 3) D M (3; 0; 1) x   t  14 Hình chiếu vuông góc đường thẳng d :  y  3  2t lên mặt (Oyz ) là  z   3t  x   t x     A y  3  2t B  y   2t   z  z    x  t x     C y  2t D  y  3  2t   z  z   3t    Cho t   A(2; 3;1)  d  M (0; 3;1) là hình chiếu A lên mặt (Oyz )  Cho t   B(3; 1; 4)  d  N (0; 1; 4) là hình chiếu B lên mặt (Oyz )  M , N  d  là hình chiếu d lên mặt (Oyz ) x   Qua M (0; 3;1)    Cần nhớ: “Hình chiếu thiếu cái nào cho d  :   d  : y  3  2t VTCP : MN  (0;2; 3)  cái đó 0” (lên trục và mp tọa độ)  z   3t  15 Hình chiếu vuông góc đường thẳng d : x  x   2t   y  1  t y    t A  B    z  z    x  1  2t x  1  2t    D y  1  t C y   t   z  z    x 1 y 1 x 2 lên mặt (Oxy ) là   1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 213 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) 16 Hình chiếu vuông góc đường thẳng d : x   t x   2t    A y  B  y    z   2t z   t   x  3  2t x  1  3t   y  y  C  D    z   t z   t   x   2t  B  y   z   x   D  y  1  t  z  3t  x 1 y  z  lên mặt (Oxz ) là   17 Hình chiếu vuông góc đường thẳng d : x   2t  A  y   z  3t  x   2t  C  y  1  t  z   Chuyên đề: Oxyz x 1 y 1 z   lên mặt (Oyz ) là x   5t  18 Đường thẳng đối xứng d :  y  3  4t qua mặt phẳng (Oxy ) là  z  12  9t  x   5t x   5t   y  3  4t y    t A  B    z  12  9t z  12  9t   x  7  5t x  7  5t    C y   4t D  y  3  4t   z  12  9t z  12  9t   19 Đường thẳng đối xứng d : x  t  A  y   t  z   t  x  t  C  y   z   t  x y 1 z 1 qua mặt phẳng (Oxz ) là   1 1 x  t  B  y  1  t  z   t  x  t  D  y   t  z  1  t  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 214 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x  t  20 Đường thẳng đối xứng d :  y   t qua trục hoành có phương trình là  z   2t  x   t x  t     B y  1  t A y  t   z  4  2t z  2  2t   x  t x   t     C y  1  t D y  t   z  2  2t z  4  2t   x 1 y  z  21 Cho mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   và đường thẳng d :    Hình chiếu 1 d trên (P ) có phương trình là x 1 y  z     x 1 y  z  B    5 x 1 y 2 z  C    5 x 1 y 2 z  D    A 22 Cho mặt phẳng (P ) : x  z   và đường thẳng d : x  y 1 z 1    Hình chiếu d 1 trên (P ) có phương trình là x  y 1 z 1    1 x 3 y z 1 B    1 1 x  y 1 z 1 C    1 x  y 1 z 1 D    1 A 23 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  2z   và đường thẳng d : x 1 y z 2    Hình chiếu 2 d trên (P ) có phương trình là x 2 y 1 z 1    1 3 x  y  z 1 B    1 x 2 y 1 z 1 C    1 x  y  z 1 D    1 3 A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 215 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x 1 y 1 z 2 và mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   Đường   5 thẳng d  đối xứng với d qua (P ) có phương trình là 24 Cho đường thẳng d : x  t  A  y   t  z   t  x  t  B  y  6  t  z   t  x   t  C  y  1  t  z   t  x  t  D  y   t  z   t  x   2t  25 Cho đường thẳng d :  y   t và mặt phẳng (P ) : x  3y  z   Đường thẳng d  đối  z   t  xứng với d qua trục (P ) có phương trình là x   2t  A  y  5  t  z  1  t  x   2t  B  y  2  t  z  1  t  x  3  2t x   2t    D y  5  t C y   t   z   t z  1  t    x   5t  26 Cho mặt phẳng (P ) : 3x  5y  2z   và đường thẳng d :  y  7  t Đường thẳng d  đối   z   5t  xứng với d qua trục (P ) có phương trình là x  17  5t x  11  5t    A y  33  t B  y  23  t   z  66  5t z  32  5t   x  5  5t x  13  5t   y  17  t C  y  13  t D    z  2  5t z   5t   Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 216 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x  y  21 z  x  y  z 1 và d2 :      Phương trình đường thẳng  đối xứng với d1 qua d2 là 27 Cho hai đường thẳng d1 : x   2t x  9  2t    A y   t B  y   t   z  5  3t z  5  3t   x  9  2t x   2t    C y   t D  y   t   z  3  3t z   3t   x   2t  28 Cho hai đường thẳng d1 :  y   t và d2  z   2t  cho d1, d2 đối xứng qua đường thẳng  x   t  A  y   t  z   t  x  3t   B  y   3t  z   4t  x   2t  C  y   t  z   4t  x  3t   D  y   3t  z  4t  x  1  t  : y   2t Viết phương trình đường thẳng   z  2t  x 1 y  z 2 x y 4 z và d2 :      Phương trình đường 1 thẳng  đối xứng với d1 qua d2 là 29 Cho hai đường thẳng d1 : x  2t  x   2t    A y   t B  y   t   z  1  3t z   3t   x  2  t  C  y   t  z   2t  x   t  D  y   5t  z   2t  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 217 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 30 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  4)2  (y  2)2  (z  1)2  qua đường thẳng d : x 6 y 3 z 2 là   3 A (x  8)2  (y  4)2  (z  3)2  B (x  8)2  (y  4)2  (z  3)2  C (x  8)2  (y  4)2  (z  3)2  2 D (x  8)  (y  4)  (z  3)  31 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  z  81 qua đường thẳng x   2t  d : y   t là  z   t  A (x  3)2  (y  10)2  (z  4)2  81 B (x  3)2  (y  10)2  (z  4)2  81 C (x  3)2  (y  10)2  (z  4)2  81 D (x  3)2  (y  10)2  (z  4)2  81 32 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  9)2  (z  2)2  25 qua đường x   2t  thẳng d :  y   t là  z   2t  A (x  3)2  (y  1)2  (z  4)2  25 2 B (x  3)  (y  10)  (z  4)  25 C x  y  z  6x  2y  8z   2 D x  y  z  6x  2y  z  10  33 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  2)2  (y  6)2  (z  4)2  qua mặt phẳng (P ) : 2x  5y  3z  là A (x  6)2  (y  4)2  (z  2)2  B (x  3)2  (y  2)2  (z  1)2  C (x  6)2  (y  4)2  (z  2)2  D (x  3)2  (y  2)2  (z  1)2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 218 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 34 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  4)2  (y  3)2  (z  5)2  36 qua mặt phẳng (P ) : x  z   là A (x  2)2  (y  3)2  (z  7)2  2 B (x  2)  (y  3)  (z  3)  36 C (x  2)2  (y  3)2  (z  3)2  D (x  2)2  (y  3)2  (z  7)2  36 35 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  4)2  (y  9)2  (z  1)2  qua mặt phẳng (P ) : 7x  5y  8z  23  là A (x  10)2  (y  1)2  (z  5)2  2 B (x  10)  (y  1)  (z  5)  C x  y2  z  20x  4y  10z  126  D x  y2  z  20x  2y  10z  117  36 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  3)2  (y  1)2  (z  7)2  25 qua mặt phẳng (P ) : x  4y  4z   là A x  y  z  2x  18y  2z  68  2 B x  y  z  2x  18y  2z  68  C (x  1)2  (y  9)2  (z  1)2  25 D (x  1)2  (y  9)2  (z  1)2  25 37 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  3)2  (z  4)2  qua mặt phẳng (P ) : x  y  là 2 A x  y  z  6x  2y  8z  17  B x  y  z  6x  2y  8z  17  C (x  3)2  (y  1)2  (z  4)2  2 D (x  3)  (y  1)  (z  4)  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 219 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu Trong không gian Oxyz, tọa độ giao điểm đường thẳng d : x 1 y  z 1   và mặt 1 phẳng (P ) : x  2y  z   là A M (3; 0; 1) B N (0;3;1) C P (0; 3; 1) D Q(1; 0; 3) Câu Cho các điểm A(2; 1;0), B(3; 3; 1) và mặt phẳng (P ) : x  y  z   Tìm tọa độ giao điểm M đường thẳng AB với mặt phẳng (P ) A M (1;1;1) B M (4; 5; 2) C M (1; 3;1) D M (0;1;2) Câu Cho hai điểm A(1;2;1) và B(4;5; 2) và mặt phẳng (P ) : 3x  4y  5z   Đường thẳng AB cắt (P ) điểm M Tính tỷ số MB  MA A B C D Câu  x   3t  Trong không gian với Oxyz, cho đường thẳng d :  y   2t cắt các mặt (Oxy ), (Oxz ) lần  z  3  t  lượt các điểm M , N Độ dài MN A B 14 C D Câu Tọa độ giao điểm d : x 2 y 2 z    và mặt cầu (S ) : x  y  (z  2)2  A A(2; 3;2) B B(2;2; 3) C C (2; 3;2) D D(0; 0;2) Câu Hình chiếu điểm M (1;2; 3) lên mặt phẳng (P ) : x  2y  z  12  là A H (5; 6;7) B H (2; 0; 4) C H (3; 2;5) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 220 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz D H (1;6;1) Câu Hình chiếu điểm A(2; 1; 0) lên mặt phẳng () : 3x  2y  z   là A M (1; 0; 3) B N (2; 2; 3) C P(1;1; 1) D Q(1;1; 1) Câu Điểm đối xứng với điểm M (4;2;1) qua mặt phẳng (P ) : 4x  y  2z   là A M (4; 0; 3) B M (4; 4; 1) C M (4;2;1) D M (2; 0;5) Câu Điểm đối xứng với điểm A(3;5; 0) qua mặt phẳng (P ) : 2x  3y  z   là A M (1; 1;2) B M (0; 1; 2) C M (2; 1;1) D M (7;1; 2) Câu 10 Hình chiếu điểm A(1;1; 1) lên đường thẳng d : x 4 y 4 z 2 là   2 1 A N (2;2; 3) B P(6;6; 3) C M (2;1; 3) D Q(1;1; 4) Câu 11 Hình chiếu điểm M (1; 0; 4) lên đường thẳng d : x y 1 z 1   là 1 A H (1; 0;1) B H (2; 3; 0) C H (0;1; 1) D H (2; 1; 3) Câu 12 Điểm đối xứng điểm A(3;2; 0) qua đường thẳng d : x 1 y  z 2   là 2 A M (1; 0; 4) B N (7;1; 1) C P(2;1; 2) D Q(0;2; 5) Câu 13 Điểm đối xứng điểm M (2; 6; 4) qua đường thẳng d : x 1 y  z   là 2 A M (3; 6; 5) B M (4;2; 8) C M (4;2; 8) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 221 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz D M (4; 2; 0) Câu 14 Phương trình hình chiếu  : x   A  y  1  t  z   x  1  2t  C  y   t  z   x 1 y 1 z 2   lên mặt phẳng (Oxy ) là 1 x   2t  B  y  1  t  z   x  1  2t  D  y  1  t  z   Câu 15 Hình chiếu vuông góc đường thẳng d : x 1 y  z  lên mặt (Oxz ) là   x   t  A  y   z   2t  x  3  2t  C  y   z   t  x   2t  B  y   z   t  x  1  3t  D  y   z   t  x   5t  Câu 16 Đường thẳng đối xứng d :  y  3  4t qua mặt phẳng (Oxy ) là  z  12  9t  x   5t x   5t   A  B  y  3  4t y  3  4t   z  12  9t z  12  9t   x  7  5t x  7  5t    C y   4t D  y  3  4t   z  12  9t z  12  9t   Câu 17 Cho mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   và đường thẳng d : x 1 y  z     Hình 1 chiếu d trên (P ) có phương trình là A x 1 y  z     B x 1 y  z     5 C x 1 y 2 z     5 D x 1 y 2 z     Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 222 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Câu 18 Cho mặt phẳng (P ) : x  z   và đường thẳng d : x  y 1 z 1    Hình chiếu 1 d trên (P ) có phương trình là A x  y 1 z 1    1 B x 3 y z 1    1 1 C x  y 1 z 1    1 D x  y 1 z 1    1 x 1 y 1 z 2 và mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   Đường   5 thẳng d  đối xứng với d qua (P ) có phương trình là Câu 19 Cho đường thẳng d : x  t  A  y   t  z   t  x   t  C  y  1  t  z   t  x  t  B  y  6  t  z   t  x  t  D  y   t  z   t  Câu 20 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  4)2  (y  2)2  (z  1)2  qua đường thẳng d : x 6 y 3 z 2 là   3 A (x  8)2  (y  4)2  (z  3)2  B (x  8)2  (y  4)2  (z  3)2  C (x  8)2  (y  4)2  (z  3)2  D (x  8)2  (y  4)2  (z  3)2  Câu 21 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  z  81 qua đường x   2t  thẳng d :  y   t là  z   t  A (x  3)2  (y  10)2  (z  4)2  81 B (x  3)2  (y  10)2  (z  4)2  81 C (x  3)2  (y  10)2  (z  4)2  81 D (x  3)2  (y  10)2  (z  4)2  81 Câu 22 Phương mặt cầu (S ) đối xứng với mặt cầu (S ) : (x  2)2  (y  6)2  (z  4)2  qua mặt phẳng (P ) : 2x  5y  3z  là A (x  6)2  (y  4)2  (z  2)2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 223 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz B (x  3)2  (y  2)2  (z  1)2  C (x  6)2  (y  4)2  (z  2)2  D (x  3)2  (y  2)2  (z  1)2   x   5t  Câu 23 Cho mặt phẳng (P ) : 3x  5y  2z   và đường thẳng d :  y  7  t Đường thẳng d    z   5t  đối xứng với d qua trục (P ) có phương trình là x  17  5t  A  y  33  t  z  66  5t  x  5  5t  C  y  13  t  z  2  5t  x  11  5t  B  y  23  t  z  32  5t  x  13  5t  D  y  17  t  z   5t  x  y  21 z  x  y  z 1 và d2 :      Phương trình đường thẳng  đối xứng với d1 qua d2 là Câu 24 Cho hai đường thẳng d1 : x   2t  A  y   t  z  5  3t  x  9  2t  C  y   t  z  3  3t  x  9  2t  B  y   t  z  5  3t  x   2t  D  y   t  z   3t  ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A 13.D 14.B 15.C 16.B 17.B 18.C 19.B 20.D 21.A 22.C 23.C 24.B Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 224 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 7: Bài toán cực trị và số bài toán khác (vận dụng cao)  Nhóm Tâm tỉ cự Cho ba điểm A, B, C  x  .x A  .x B  .xC  I       .yA  .yB  .yC  a) Tìm điểm I thỏa mãn .IA   IB  .IC   yI     z  .z A  .z B  .zC  I    (1)  Công thức (1) tương tự điểm điểm b) Với điểm M, ta có:      .MA   MB   MC  (     ).MI (2)  .MA2  .MB  .MC  (     ).MI  const (3) Nếu       thì I là trọng tâm ABC Để chứng minh (1), (2), ta sử dụng quy tắc chèn điểm I và sử dụng (1) Ví dụ (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2019 – Câu 41) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A(2;  2; 4), B (3; 3; 1) và mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   Xét M là điểm thay đổi thuộc (P ), giá trị nhỏ 2MA2  3MB A 135 B 105 C 108 D 145 Lời giải tham khảo    Gọi điểm I thỏa mãn 2IA  3IB   I (1;1;1) Ta có: 2MA2  3MB  5MI  const nên 2MA2  3MB nhỏ M là hình chiếu điểm I (1;1;1) lên mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   x  1  2t  y   t Hình chiếu M thỏa mãn   t   M (1; 0; 3)  z   2t  2x  y  2z   Giá trị nhỏ 2MA2  3MB  135 Chọn đán án A Cho ba điểm A(2; 3;7), B(0; 4; 3) và C (4;2;5) Biết điểm M (x  ; y ; z  )  (Oxy ) cho    MA  MB  MC có giá trị nhỏ Khi đó tổng P  x   y  z  A B C D 3 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 225 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Cho hai điểm A(1;2;1), B(2; 1; 3) Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy ) cho MA2  2MB lớn 3  A M  ; ; 0  2  B M (0; 0;5) C M (3; 4; 0) 1  D M  ;  ; 0  2  Chuyên đề: Oxyz Cho hai điểm A(2; 3;2) và B(3;5; 4) Tìm toạ độ điểm M trên trục Oz so cho MA2  MB đạt giá trị nhỏ A M (0; 0; 49) B M (0; 0;67) C M (0; 0; 3) D M (0; 0; 0) Cho hai điểm A(3;2;1) và B(2; 3;6) Điểm M (x M ; yM ; z M ) thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy ) Tìm   giá trị T  x M  yM  z M MA  3MB nhỏ A   B 2 C D  Cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B (3;2; 4), C (0; 5; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng    (Oxy ) cho MA  MB  2MC nhỏ A M (1; 3; 0) B M (1; 3; 0) C M (3;1; 0) D M (2;6;0) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 226 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Cho bốn điểm A(2; 3;7), B(0; 4;1), ,C (3; 0;5) và D(3; 3; 3) Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng     (Oyz ) cho biểu thức MA  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ Khi đó tọa độ M là A (0;1; 4) B (2;1; 0) C (0;1; 2) D (0;1; 4) Cho hai điểm A( 2; 3;1), B (5; 6; 2) Điểm M (a ;b; c ) trên mặt phẳng (Oxy ) cho MA2  MB đạt giá trị nhỏ Khi đó a  b  c A 1 B C D   Cho tam giác ABC với A(2;1; 3), B(1; 1;2), C (3; 6;1) Điểm M (x ; y; z )  (Oyz ) cho MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ Khi đó x  y  z A B C D 2 Cho hai điểm A(1;2;2), B (5; 4; 4) và mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   Nếu M thay đổi thuộc (P ) thì giá trị nhỏ MA2  MB là A 60 B 50 C D 200  2968  25 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 227 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 10 Cho ba A(1;2; 3), B(0;1;1), C (1; 0; 2) điểm và mặt phẳng (P ) : x  y  z   Gọi M  (P ) cho giá trị biểu thức T  MA2  2MB  3MC nhỏ Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q ) : 2x  y  2z    A B 121  54 C 24 D 91  54 11 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   và hai điểm M1(3;1;1), M2 (7; 3;9) Điểm M (a ;b; c )  (P )   cho MM  MM đạt giá trị nhỏ Khi đó a  2b  3c A B 6 C 3 D 5 12 Cho ba điểm A(2;2; 3), B(1; 1; 3), C (3;1; 1) và mặt phẳng (P ) : x  2z   Gọi M  (P ) cho giá trị biểu thức T  2MA2  MB  3MC nhỏ Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q ) : x  2y  2z   A B C D   13 Cho các điểm A(1;2; 0), B (0;1; 5), C (2; 0;1) Gọi M  (P ) : x  2y  z   Giá trị nhỏ biểu thức MA2  MB  MC A 36 B 24 C 30 D 29 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 228 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 14 Cho ba điểm A(1;1;1), B (0;1;2), C (2; 0;1) và mặt phẳng (P ) : x  y  z   Tìm điểm N  (P ) cho S  2NA2  NB  NC đạt giá trị nhỏ  3 A N  ; ;    4  B N (3;5;1) C N (2; 0;1) 3  D N  ;  ; 2    2 15 Cho A(1;2; 0), B (1; 1; 3), C (1;  1;  1) và mặt phẳng (P ) : 3x  3y  2z  15  Gọi M (x M ; yM ; zM ) là điểm trên mặt phẳng (P ) cho 2MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức x M  yM  3z M A B C D 16 Cho A(1;  2; 1), B(5; 0;  1), C (3; 1; 2) và mặt phẳng (Q ) : 3x  y  z   Gọi M (a ;b; c )  (Q ) thỏa mãn MA2  MB  2MC nhỏ Tổng a  b  5c A 11 B C 15 D 14 x 1 y z 2 và hai điểm A(0; 1; 3), B(1; 2;1) Tìm tọa độ điểm M   1 thuộc đường thẳng d cho MA2  2MB đạt giá trị nhỏ 17 Cho đường thẳng d : A M (5;2; 4) B M (1; 1; 1) C M (1; 0; 2) D M (3;1; 3) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 229 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x 1 y 2 z 3    Tìm tọa độ điểm 2 M trên đường thẳng d để MA2  MB đạt giá trị nhỏ 18 Cho hai điểm A(3; 2; 3), B(1; 0;5) và đường thẳng d : A M (1;2; 3) B M (2; 0;5) C M (3; 2;7) D M (3; 0; 4) 19 Cho ba điểm A(1;1;1), B (1;1;2), C (2;1;1) và đường thẳng d : x 1 y 1 z    Tìm M  d cho biểu thức 2MA2  3MB  4MC đạt giá trị nhỏ A M (1;1; 0) B M (3; 5;2) C M (5; 9; 4) D M (1; 0; 1) 20 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2), B ( 2;1;2), C (5; 3; 3), D (1;1; 0) Tìm điểm M thỏa mãn ba điểm O , M , D thẳng hàng và P  MA2  3MB  2MC đạt giá trị nhỏ A M (1;2;  1)  1 B M 1; ;     1  C M  ; ; 0   2  D M (1;1; 0)  45 45 30  21 Trong không gian Oxyz, cho A(1;2; 0), B(1; 1; 3), C (1; 1; 1), D  ;  ;   Biết điểm  11 11 11  M (a ;b; c ) thỏa mãn OM  DM cho T  MB  MC  2MA2 đạt giá trị lớn Tổng 2a  3b  c A 10 B 11 C D 15 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 230 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 22 Cho bốn điểm A(2;5;1), B(2; 6;2), C (0;1; 3) và M (2a  2b  9; a; b ) với a, b   Khi MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ thì tổng a  b A a  b  2 B a  b  10 C a  b  17 D a  b  x 2 y 1 z và hai điểm A(2; 0; 3), B(2; 2; 3) Biết điểm   M (x  ; y ; z  ) thuộc d thỏa mãn MA4  MB nhỏ Tìm x  23 Cho đường thẳng d : A x   B x   C x   D x     24 Cho bốn điểm A(2;5;1), B (2; 6;2), C (1;2; 1) và D (d ; d ; d ) với d   Tìm d để DB  2AC đạt giá trị nhỏ A d  B d  C d  D d  25 Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(5; 8; 11), B(3;5; 4), C (2;1; 6) và mặt cầu (S ) : (x  4)2  (y  2)2  (z  1)2  Gọi M (x M ; yM ; z M ) là điểm trên (S ) cho biểu thức    MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Giá trị tổng x M  yM A B C 2 D Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 231 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 26 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;2), B(1; 0; 4), C (0; 1; 3) và điểm M thuộc mặt cầu (S ) : x  y  (z  1)2  Khi biểu thức MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ thì độ đài đoạn AM A B C D 27 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 4; 4), B(0; 4; 8), C (8; 0; 4) và mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  z  Điểm M  (S ) cho P  2MA2  MB  MC đạt giá trị lớn Độ dài đoạn OM A 3  66  B C 17 D 28 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1), B(3; 0; 1), C (0;21; 19) và mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  Điểm M (a;b;c) thuộc mặt cầu (S ) cho biểu thức 3MA2  2MB  MC đạt giá trị nhỏ Tổng a  b  c A 14  B C 12  D 12 29 Cho ba điểm A(0; 2;1), B (2;1;2), C (5; 3; 3) và mặt cầu (S ) : x  y  z  Gọi M  (S ) cho P  MA2  3MB  MC đạt giá trị lớn Giá trị Pmax A 16 B C 8 D 81 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 232 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 30 Cho hai điểm A(13; 3; 2), B (1; 0;1) và hai mặt cầu (S1 ) : x  y  z  25 và mặt cầu (S ) : (x  5)2  y  z  10 Gọi M nằm trên đường tròn giao tuyến (S1 ), (S2 ) thỏa mãn P  MA2  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ Giá trị Pmin A 186  36 B 36 C 16 D 18  31 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu (S1 ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  2)2  36 và (S ) : x  y  z  và các điểm A(1;1;1), B(7; 2; 8), C (2;1;1), D(1; 0; 2) Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu (S1 ) và (S2 ) cho P  2MA2  MB  3MC  3MD đạt giá tri nhỏ A M (1; 3; 1) B M (9; 0; 0) C M (1; 3; 1) D M (9;1;1) 32 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  2)2  (y  1)2  (z  2)2  và hai điểm A(2; 0; 2 2), B(4; 4; 0) Biết tập hợp các điểm M thuộc (S ) cho   MA2  MO.MB  16 là đường tròn Bán kính đường tròn đó A B C 2 D 33 Cho ba điểm A(1;1;1), B (1;1;2), C (2;1;1) và đường thẳng d : x 1 y 1 z    Tìm M  d cho biểu thức 2MA2  3MB  4MC đạt giá trị nhỏ A M (1;1; 0) B M (3; 5;2) C M (5; 9; 4) D M (1; 0; 1) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 233 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Nhóm Bài toán cực trị liên quan đến thẳng hàng a) Vị trí tương đối hai điểm A, B và mặt phẳng (P ) : ax  by  cz  d  : Tính TA  ax A  byA  cz A  d và TB  ax B  byB  cz B  d Khi đó:  TA.TB   A, B cùng phía mp(P )  TA.TB   A, B nằm hai phía mp(P ) b) Tìm điểm M  (P ) cho: (MA  MB)min MA  MB max  Nếu A, B nằm hai phía (P ) thì (MA  MB)min A, M , B thẳng hàng  Nếu A, B nằm phía (P ) thì lấy đối xứng cho cùng nằm hai phía và làm tương tự trên 34 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(1; 1; 3) và mặt phẳng (P ) : x  2y  z   Tọa độ điểm M  (P ) cho MA  MB nhỏ là A M (1; 0;1) B M (0; 0;2) C M (1;2; 3) D M (1;2; 1) 35 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1) và B (0; 3; 1) Điểm M nằm trên mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   cho MA  MB nhỏ là A M (1; 0;2) B M (0;1; 3) C M (1;2; 0) D M (3; 0;2) 36 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  2y  z   và điểm A(0; 2; 3), B(2; 0;1) Điểm M (a;b;c)  (P ) cho MA  MB nhỏ Giá trị a  b  c A B C 41    D Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 234 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0;2); B(0; 1;2) và mặt phẳng (P ) : x  2y  2z  12  Tìm tọa độ điểm M  (P ) cho MA  MB nhỏ ? A M (2;2;9)  18 25  B M  ;  ;    11 11 11   7 31 C M  ; ;    6   11 18 D M  ;  ;     15 15 15 38 Cho điểm A(3;1; 0), B(9; 4;9) và mặt (P ) : 2x  y  z   Gọi I (a;b;c)  (P ) cho IA  IB đạt giá trị lớn Khi đó tổng a  b  c A 4 B 22 C 13 D 13 39 cho hai điểm M (0;1; 3), N (10;6; 0) và mặt phẳng (P ) : x  2y  2z  10  Điểm I (10;a;b)  (P ) cho IM  IN lớn Tổng  a  b A B C D 40 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   và hai điểm A(1; 3; 0), B(5; 1; 2) Điểm M (a;b;c) nằm trên (P ) và MA  MB lớn Giá trị abc A B 12 C 24 D 24 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 235 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) 41 Cho hai điểm A(1; 1; 0), B(1; 0; 1) và điểm M  d : Chuyên đề: Oxyz x y 1 z 1    Giá trị nhỏ 1 biểu thức T  MA  MB A B 2 C D x   t  42 Cho đường thẳng d :  y   t và hai điểm A(1;2; 3), B(1; 0;1) Tìm điểm M  d cho tam  z  2  giác MAB có diện tích nhỏ A M (1;1; 2) B M (1; 1; 2) C M (1; 1;2) D M (1; 0; 2) 43 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(6; 0;6), B(8; 4; 2), C (0; 0;6), D(1;1;5) Gọi M (a;b;c) là điểm trên đường thẳng CD cho chu vi tam giác MAB nhỏ Khi đó a  b  3c có giá trị A 24 B C 10 D 26 44 Cho ba điểm A(1; 0;  2), B (3;2; 4), C (0;2; 3) Mặt phẳng (P ) thay đổi qua C và không cắt đoạn thẳng AB Gọi d1, d2 là khoảng cách từ A, B đến (P ) Phương trình mặt cầu (S ) có tâm O, tiếp xúc với (P ), ứng với d1  d2 lớn là A x  y  z   C x  y  z  12 B x  y  z  D x  y  z  32  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 236 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz Nhóm MỘT SỐ DẠNG CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP KHÁC  Phương trình đường thẳng d nằm mặt (P ) và qua M cho khoảng cách từ điểm A đến d là lớn  Ta có: d(A,d )  AB  AM  d(A,d )max  AM  d  AM      ud  AM    Do đó   nên có thể chọn u  n , AM    d P u  n   d P  Qua M   Tóm lại đường thẳng cần tìm d :     (tương tự d  d1  (P )) VTCP : ud  nP , AM      Phương trình đường thẳng d nằm mặt (P ) và qua M cho khoảng cách từ điểm A đến d là nhỏ  Ta có: d(A,d )  AB  AH không đổi  d(A,d )min  AH  AH  AB     Giao tuyến MH  (AMH )  (P ) nên ud  [nP , n(AMH ) ]         Mà n(AMH )  [AM , n P ]  ud  nP ,[AM , nP ] (tích có hướng lần)   Qua M   Tóm lại đường cần tìm d :  (tương tự d  d1  (P ))     VTCP : ud  nP ,[AM , nP ]     Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và (P ) cách B cho trước khoảng lớn B  Từ hình vẽ, nhận thấy rằng: d(B;(P ))max  AB  (P ) Qua A    Do đó (P ) :  VTPT : n  AB  P H A P  Phương trình mặt (P ) chứa đường thẳng d, đồng thời (P ) cách M khoảng lớn M  Gọi hình chiếu vuông góc M lên (P ) và d là H và K Khi đó: d(M ,(P ))  MH  MK d Do đó MH lớn  H  K Suy (P ) chứa d và vuông góc với (Q ) chứa M và d P K H  Qua A  d  (P )   Nên (P ) :      (tương tự: (P )  d hay  (Q))  VTPT : n  [ud ; AM ], ud     M Q H P d A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 237 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz  Các bài toán mặt cầu và mặt phẳng  Áp dụng r  R  d(2I ,(P )) Chẳng hạn: a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d, và cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ (diện tích, chu vi nhỏ nhất,…) Tâm I (S)  Từ công thức r  R  d(2I ,(P ))  rmin  d(I ,(P ))max  Tìm hình chiếu tâm mặt cầu I lên d là H Nên d(I ,(P ))  IK  IH  d(I ,(P ))max K  H  (P )  IH Qua M  d    Do đó (P ) :  VTPT : n  IH  M P K d H b) Cho mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P ) cắt theo giao tuyến là đường tròn (C ) Viết phương trình đường thẳng d nằm (P ), qua E cắt (C ) A, B thỏa mãn: AB ngắn nhất, AB dài nhất, tam giác IAB cho tính chất định tính hay định lượng Phương pháp: Xét vị trí điểm E, vẽ hình và lý luận dựa vào các bài toán phía trên I I B A P E H E P H A B   AB  d    (H ,AB )max    ud  IE , nP  d(H ,AB )max  IE     ABmax  d(H ,AB )min  d ) góc  Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d  (d   lớn  Lấy K  d, dựng MK  d   Gọi H , I là hình chiếu M trên (P ) và d Khi đó:     sin 90  KMH   cos KMH   MH  MI  sin d ;(P )  sin MKH KM KM    Do đó d ;(P )  H  I nên nP  IM hay (P ) chứa d và vuông góc với mặt chứa d và  d    max Qua N  d Tóm lại, mặt phẳng (P ) cần tìm có tính chất (P ) :       VTPT : nP  [ud , ud  ], ud      (P ) Viết phương trình  Cho mặt phẳng (P ), điểm A  (P ) và đường thẳng d d  (P ) và d    đường thẳng d  qua A, nằm (P ) và tạo với d góc nhỏ  Từ A, dựng AM  d  Gọi H , I là hình chiếu M trên (P ) và d   Khi đó cos(d ; d )  cos MAH MH MI   AM AM Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 238 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz  Do đó (d ; d )min  I  H nên d  qua A và song song với hình chiếu vuông góc d trên (P ) Qua A Tóm lại, đường thẳng d  cần tìm có tính chất d  :       VTCP : ud   n P ,[nP , ud ]     Đường thẳng nằm trên mặt trụ: “Viết phương trình đường thẳng d thay đổi song song với d  và cách d  khoảng r , đồng thời khoảng cách từ điểm A đến d nhỏ nhất”  Dựng mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc d   Khoảng cách d(A, d )  AH nên AH  AH  H  H   Tìm hình chiếu A trên d  là I    Tìm H  thỏa mãn IH   r IA Qua H   Khi đó d là đường thẳng qua H  và  d  Nghĩa là d :    VTCP : ud  ud    Một số bài toán khác a) Điểm chạy trên đường tròn, chẳng hạn: “Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P ) Tìm M  (P ) cho MAB vuông M và SMAB nhỏ nhất”  M  (C ) là đường tròn giao tuyến mặt cầu đường kính AB và (P ) S MAB  d (M , AB )  MH  AH HBmin b) Viết phương trình đường thẳng d  (P ) và cắt d1, d2 A, B thỏa ABmin Gọi điểm cắt trên hai đường thẳng: theo hai tham số Dùng song song: rút ẩn theo ẩn còn lại Tính AB theo ẩn và tìm giá trị nhỏ Suy ẩn thứ  đường thẳng cần tìm     c) Phương trình đường () qua A, vuông góc với d, đồng thời d (; d )max  u  ud ; AH    45 Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A(1;1; 1), nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  z  và cách B(0;2;1) khoảng lớn là A x 1 y 1 z     B x 1 y 1 z     C x 1 y 1 z     1 D x 1 y 1 z     2 46 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;1;1), A(2; 3; 0) và (P ) : x  y  z   Phương trình đường thẳng d qua M, song song với (P ) cho khoảng cách từ A đến d lớn là x 1 y 1 z 1 A    1 4 x 1 y 1 z 1 B    2 1 x 1 y 1 z 1 C    5 x 1 y  z  D    1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 239 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 47 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, vuông góc với đường thẳng d1 : x 1 y z và cách điểm M (2;1;1) khoảng lớn   1 2 A d : x y z    B d : x y z    3 C d : x y z    D d : x y z    6 48 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 0;2), song song với mặt (P ) : 2x  y  z   và cách gốc tọa độ O khoảng lớn x 1 y z 2 A    x 1 y z 2 B    2 3 C x 1 y z 2    1 D x 1 y z 2    3 49 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  z  và cách điểm M (1;2;1) khoảng nhỏ A d : x y z    13 B d : x y z    13 5 C d : x y z    12 D d : x y z    12 5 50 Trong không gian Oxyz, cho M (1;1;1), A(2; 3; 0) và (P ) : x  y  z   Phương trình đường thẳng d qua M, song song với (P ) cho khoảng cách từ A đến d nhỏ là x 1 y 1 z 1 A    1 4 x 1 y 1 z 1 B    2 1 C x 1 y 1 z 1    5 D x 1 y  z     1 51 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, song song với mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   và cách M (1; 1;2) khoảng nhỏ x y z A d :    13 x y z B d :    5 13 C d : x y z    3 13 D d : x y z    13 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 240 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 52 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1; 0; 2) và cách điểm M (2;1;1) khoảng lớn A x  y  3z   B x  y  3z   C x  y  3z   D x  y  3z   53 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d: x 2 y z 2 và (P ) cách điểm M (2;1;1) khoảng lớn   1 1 A x  y  3z   B 2x  5y  7z  10  C 2x  y  5z   D x  y  5z   x 1 y z 2    Gọi (P ) là 2 mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ điểm A đến (P ) là lớn Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P ) 54 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;5; 3) và đường thẳng d : A C 11  B D   x 3 y 1 z 4    Mặt phẳng 2 (P ) chứa d cho khoảng cách từ M đến (P ) là lớn và (P ) cắt các trục tọa độ A, B, C Thể tích khối tứ diện OABC 55 Trong không gian Oxyz , cho M (3; 1;5) và đường thẳng d : A 72 B 72  C 84 84 D  56 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) qua gốc tọa độ O, vuông góc với 1  mặt phẳng (Q ) : 2x  y  z   và cách M  ; 0;2 khoảng lớn   A 5x  8y  18z  B 5x  3y  8z  C x  3y  z  D x  y  3z  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 241 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 57 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A(1; 2;1), song song với đường thẳng d : A B C D x y 1 z   và cách gốc tọa độ O khoảng lớn 2 11x  16y  8z   11x  16y  10z  53  11x  16y  10z  53  11x  16y  8z   58 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (0; 1;2) và N (1;1; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M , N cho khoảng cách từ K (0; 0;2) đến (P ) lớn A B C D x  y  z   x  2y  z   x  y  z   x  2y  z   59 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d: x 1 y 1 z 2 x 1 y z 1 và tạo với đường d  : góc lớn     2 A x  4y  z   B x  4y  z   C x  3y  z   D x  3y  z   60 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q ) : 2x  y  z   0, đồng thời tạo với trục Oy góc lớn A 2x  5y  z  B 2x  2y  z  C 3x  2y  4z  D 3x  2y  z  x y 1 z 2    Phương trình 1 đường thẳng nằm (P ), cắt d và tạo với d góc lớn là 61 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   và đường thẳng d : A x 1 y 1 z 1    1 4 x 1 y 1 z 1    2 1 x 1 y 1 z 1 C    5 B x 1 y  z  D    1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 242 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x y 1 z 2    Phương trình 1 đường thẳng nằm (P ), cắt d và tạo với d góc nhỏ là 62 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   và đường thẳng d : x 1 y 1 z 1    1 4 x 1 y 1 z 1 B    2 1 x 1 y 1 z 1 C    5 x 1 y  z  D    1 A x 3 y 1 z 2 và hai điểm A(2;1;2),   1 B(1; 0;1) Tìm véctơ phương đường thẳng  qua B và vuông góc với d cho góc  và AB là nhỏ 63 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : A (2; 0;1) B (2;5;1) C (1; 0;2) D (1;2; 0) 64 Cho hai điểm A(1; 2;2), B(0; 0;1) Đường thẳng  qua B và vuông góc với Oy cho khoảng cách A và  là nhỏ Tính khoảng cách nhỏ đó A  B C D  65 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 0; 3); B(0;2; 1) Đường thẳng  qua A và vuông góc với đường thẳng Oz cho khoảng cách B và  là lớn Tính khoảng cách lớn đó A 3 B C D 21 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 243 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 66 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   và điểm A(1; 0;1) Mặt phẳng () qua A và vuông góc với (P ) cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến () là lớn Tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng () A (7; 4;5) B (1;2; 2) C (7; 4;5) D (0; 3;2) 67 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   và điểm A(2;1; 1), B(0; 1;1) Mặt phẳng () qua A, vuông góc với (P ) và hợp với đường thẳng AB góc lớn Tính sin góc lớn đó A  69  B C 0, 65  D 68 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0; 4; 0) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Oz và cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm nào đây ? (xem lại bài toán mặt trụ) A B C D (3; 0; 3) (3; 0; 3) (0; 3; 5) (0; 3; 5) 69 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(5; 0; 0) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Oy và cách trục Oy khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, khoảng cách từ M (3;1; 0) đến d bao nhiêu ? A B C D 70 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;0;6) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Ox và cách trục Ox khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d A (x  3)2  y  (z  6)2  B (x  3)2  y  (z  6)2  C (x  3)2  y  (z  6)2  16 D (x  3)2  y  (z  6)2  100 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 244 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 71 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0; 0;10) và mặt cầu (S ) : x  y  (z  5)2  25 Đường thẳng d thay đổi song song với trục Oy và cách trục Oy khoảng Khi đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S ) B, hãy tính độ dài AB A AB  B AB  C AB  D AB  72 Cho A(0; 4; 3) Đường thẳng d vuông góc với (Oxy ) và cách gốc tọa độ O khoảng Khoảng cách từ A đến d lớn thì d qua điểm nào sau đây ? A M (4; 0; 0) B M (0; 1;1) C M (0;1; 2) D M (1; 0;4) 73 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  4z  và điểm M (1;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ A 2x  y  z  B 2x  y  z  C 4x  2y  z  D 4x  2y  z  74 Trong không gian Oxyz , cho điểm E (0;1;2), mặt phẳng (P ) : x  y  z   và mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  3)2  (z  4)2  25 Viết phương trình đường thẳng d qua E nằm (P ) và cắt mặt cầu (S ) hai điểm có khoảng cách nhỏ x   A  y   t  z   t  x  t  C  y   t  z   t    x  1    B y   t   z  t      x  1  t    D y   t   z  t    Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 245 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 75 Trong không gian Oxyz , cho điểm E (0;1;2) và (P ) : x  y  z   và mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  3)2  (z  4)2  25 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm E nằm (P ) và cắt mặt cầu (S ) hai điểm có khoảng cách lớn   x  1  2t    A y   t B   z  t      x  1    C y   t D   z   2t      x  2t   y   t    z  t      x 0   y   t    z  t       ; 0 và mặt cầu (S ) : x  y  z  Đường thẳng  2  76 Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ;  d thay đổi, qua điểm M cắt mặt cầu (S ) hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn tam giác OAB A B C D 2 77 Trong không gian Oxyz , cho điểm E (1;1;1), mặt cầu (S ) : x  y  z  và mặt phẳng (P ) : x  3y  5z   Gọi  là đường thẳng qua E, nằm (P ) và cắt mặt cầu (S ) hai điểm A, B cho tam giác OAB là tam giác Phương trình đường thẳng  là x 1 y 1 z 1    2 1 x 1 y 1 z 1 B    1 x 1 y 1 z 1 C    1 x 1 y 1 z 1 D    1 1 A 78 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  2z  19  Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa Oz cho (P ) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ A x  y  B x  2y  C x  y  D x  2y  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 246 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz 79 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  4z  và điểm M (1;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ A 2x  y  3z  B x  3y  2z  C x  y  D 2x  y  z  80 Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S ) có tâm thuộc mặt (P ) : x  2y  z   và qua hai điểm A(1;2;1), B(2;5; 3) Bán kính nhỏ mặt cầu (S ) A 470  546  B C 763  345  D x   : y  t Mặt cầu (S )  z   qua A, có tâm I nằm trên d1, biết (S ) cắt d2 hai điểm phân biệt B, C cho x 1 y 2 z 81 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;1;1), d1 :   , d2 2   90 Tìm BAC I A I (2; 3;2) B I (3; 4; 4) ` C I (1;2; 0) D I (0; 0;2) 82 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  4x  4y  4z  và điểm A(4; 4; 0) Điểm B thuộc mặt cầu (S ) cho tam giác OAB cân B và có diện tích Phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B là A z  B z  y  z  C x  y  2z  D x  y  z  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 247 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz   5 5 83 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; , B 4;2;  Tìm hoành độ điểm M trên mặt      phẳng (Oxy ) cho ABM  45 và tam giác MAB có diện tích nhỏ A  B C  D 84 Trong không gian Oxyz , cho A(1; 2; 3), B(2;1;1) và mặt (P ) : x  y  2z   Tìm hoành độ C thuộc (P ) cho ABC cân C và có chu vi nhỏ A  C  B D  85 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng () : 3x  2y  3z  12  Gọi A, B, C là giao điểm () với ba trục tọa độ, đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với () có phương trình là x 2 y  z 2 x 2 y 3 z 2    B    3 3 A C x 2 y 3 z 2 x 2 y 3 z 2    D    3 3 x   2t  : y   t và mặt phẳng  z   t  (P ) : x  y  2z   Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P ) và cắt d1, d2 A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ x 1 y 2 z 86 Cho đường thẳng d1 :   , đường thẳng d2 x 1 y  z  A    1 B x 1 y  z     1 2 C x 1 y 2 z    1 3 x  y 1 z 1 D    1 3 Gọi A(1  a ; 2  2a ; a )  d1, B (2  2b;1  b;1  b )  d2   AB  (a  2b  3; 2a  b  3; a  b  1)   Do AB  (P )  AB  nP  (1;1; 2)  b  a   AB  (a  5)2  (a  1)2  (3)2  2a  8a  35  2(a  2)2  27  3 Suy ABmin  3  a  2, b  2  x 1 y 2 z 2    Chọn đáp án A 1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 248 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x 1 y 1 z x 1 y  z   ; d2 :   Viết phương trình mặt 1 phẳng (P ) song song với (Q ) : x  y  2z   và cắt d1, d2 theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ 87 Cho hai đường thẳng d1 : A x  y  2z  10  B x  y  2z  C x  y  2z   D x  y  2z   88 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x  y  z  và đường thẳng x 3 y 3 z    Hai mặt phẳng (P ), (P ) chứa d và tiếp xúc với (S ) A và B Đường 1 thẳng AB qua điểm có tọa độ là d: 1 4 A  ;  ;     3   4 B 1;1;       4 C 1; ;     3  1 4 D  ; ;     3  Gọi H là hình chiếu I trên d  H (1;1; 2) (hs tự tìm hình chiếu)  IH  Gọi K là trung điểm AB  K  IH   IK IK IH  IA2  R      IK  IH  (1;1; 2) IH 3 IH  AB  d 2 4     K  ; ;    Mà   uAB  ud ; IH   3(1; 1; 0)  3  AB  IH    Suy đường thẳng AB và chọn đáp án C 89 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  67  và đường thẳng x  13 y  z    Qua d dựng các tiếp diện tới (S ), tiếp xúc với (S ) A, B Đường 1 thẳng AB qua điểm nào sau đây ? d:  23  A  ; ; 6   2  B (8;1; 4) C (6; 9;6) 17  D  ; ;    2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 249 - §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Chuyên đề: Oxyz x   3t  2 90 Cho mặt cầu (S ) : x  y  z  và đường thẳng d :  y   4t Qua d dựng các tiếp diện  z  1  t  tới (S ), tiếp xúc với (S ) A, B Hai mặt phẳng (P ), (P ) chứa d và tiếp xúc với (S ) A và B Khoảng cách hai đường thẳng AB và d  13 B  16 C  14 D  A 91 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x  y  2z   và (Q ) : 2x  y  z   các điểm A, B Độ dài AB A B C D 92 Trong không gian Oxyz , cho E (2;1; 3), mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   và mặt cầu (S ) : (x  3)2  (y  2)2  (z  5)2  36 Gọi  là đường thẳng qua E , nằm (P ) và cắt (S ) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình  là A B C D x   9t  y   9t   z   8t  x   5t  y   3t   z   x   t  y   t   z   x   4t  y   3t   z   3t  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 250 -