Toa do trong khong gian

12) Tính theå tích töù dieän OABC vaø ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän aáy haï töø O. Bieát theå tích cuûa töù dieän baèng 5. Tìm toïa ñoä ñænh D. 3) Tính chieàu cao cuûa hình hoäp AB[r]

VẤN ĐỀ 1

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

I) Hệ tọa độ Đềcác vng góc không gian:

z

Oyz Oxz

k j

i O

y x Oxy

Chủ đề VI: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN

66

2 2

i j k

i j j.k k.i

                     Trục tung Trục hoành Trục cao

Mặt phẳng tọa độ

II)Toạ độ véctơ hệ toạ độ:

x;y;z

a k z j y i x

a    

Bộ ba số (x;y;z) gọi tọa độ của:

     a của độ cao :z a của độ tung :y a của độ hoành :x a    

III)Toạ độ điểm hệ toạ độ:

x;y;z OM xi yj zk Mx;y;z

OM      

Bộ ba số (x;y;z) gọi tọa độ điểm

     M của độ cao : z M của độ tung : y M của độ ồnh h : x M

IV)Các phép tốn tính toạ độ véctơ: A(xA;yA;zA);v x;y;z



R k 



B(xB;yB;zB); v ' x';y';z'



1)ABxB xA;yB yA;zB zA 2)vv'xx';yy';zz'

3)k v kx;ky;kz

4)v v'  x x ';y y ';z z '  

(Véctơ nhau)

5)vv'  xx';yy';zz'

(Véctơ đối nhau)

V) Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước: 1) M chia đoạn AB theo tỉ số k 1

MB k MA 

 

; ;

1 1

A B A B A B

x kx y ky z kz M

k k k

  

 

    

 

2) M trung điểm AB (k = - 1)

MB MA

 

; ;

2 2

A B A B A B

x x y y z z M    

 

VI) Tích vơ hướng hai véctơ Ứng dụng: a  x1;y1;z1 b x2;y2;z2



1) Định nghóa: ababcosa;b

2) Biểu thức tọa độ: abx1x2 y1y2 z1z2

3) Ứng dụng:

a) Độ dài (Môđun) véc tơ:

2 2

1 y z

x

a  

b) Điều kiện đồng phẳng véc tơ: * a,b,c đồng phẳng  [a;b]c0

 

* a,b,c không đồng phẳng  [a;b]c0

c) Tính diện tích hình bình hành:SABCD AB;AD

d) Tính diện tích tam giác: AB;AC

1 SABC 

e) Tính thể tích hình hộp:

AB;ADAA' VABCD.A'B'C'D' 

f) Tính thể tích hình tứ diện: AB;ACAD

1 VABCD  VII) Tích có hướng hai véctơ Ứng dụng

1) Định nghóa ký hiệu:

          2 1 2 1 2 1 ; ; ] ; [ y x y x z x z x z y z y b a 

2) Tính chất:a)[a;b]a; [a;b]b

b)[a;b] a bsina;b

3) Ứng dụng:

a) Điều kiện hai véctơ phương:

   a kb b

phương

a   

0] b;a[ z z y y x x kz z ky y kx x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1               

b) Khoảng cách:

     B A2

2 A B A

B x y y z z

x AB

AB      

c) Góc hai véctơ: coscosa;b

2 2 2 2 2 2 z y x z y x z z y y x x b a b a           

B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:

1 Dùng véctơ để chứng minh hệ thức véc tơ, tính thẳng hàng, song song, vng góc, đồng phẳng

2 Tính độ dài, góc, diện tích tam giác, thể tích hình hộp BÀI TẬP Bài 1: Cho điểm M có tọa độ (x;y;z).

1) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M: a) Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz b) Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz

2) Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm M: a) Qua gốc tọa độ O

b) Qua mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz c) Qua trục tọa độ: Ox, Oy, Oz

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ xác định hệ thức:

A = (2;4;-1), OB i j k     , C = (2;4;3), OD 2i j k      

Chứng minh AB  AC, AC  AD, AD  AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD (Trích Đề thi TN THPT 2002 – 2003) Bài 3: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh Chọn hệ trục tọa độ sau:

 Gốc O trùng với A

 Trục hoành Ox nhận AB làm đơn vị

 Trục tung Oy nhận AD làm đơn vị

 Trục cao Oz nhận AA' làm đơn vị

1) Trong hệ trục Oxyz đó, tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình lập phương

2) Gọi G1 G2 trọng tâm A'BDvà CB'D' Tìm tọa độ G1

G2 Suy A, G1, G2, C’ thẳng haøng

3) Gọi O1 O2 tâm ABCD A’B’C’D’.Tìm tọa độ O1 O2

suy AO2 A’O1 có chung trung điểm

Bài 4: Trong khơng gian với hệ tọa độï Đềcác vng góc Oxyz cho hình lập phương OABC.O’A’B’C’ có A(2;0;0), C(0;2;0), O’(0;0;2)

1) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình lập phương

2) Chứng tỏ AO',CB',IJ đồng phẳng (I J trung điểm OC

AB)

Chủ đề VI: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN

3) Chứng tỏ AB',OO',AC' không đồng phẳng Bài 5: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;-3),C(-4;7;-5).

1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng (ABC lập thành tam giác) 2) Tìm tọa độ trọng tâm ABC

3) Chứng tỏ ABC tam giác vng

4) Tính góc ABC

5) Tính diện tích ABC Suy độ dài đường cao hạ từ A

6) Tìm hệ thức liên hệ (x;y;z) tọa độ điểm M để M(ABC) 7) Tìm tọa độ trực tâm ABC

8) Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

9) Tìm tọa độ chân đường phân giác vẽ từ B ABC

10) Chứng tỏ bốn điểm O, A, B, C không đồng phẳng (OABC lập thành tứ diện) 11) Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện OABC

12) Tính thể tích tứ diện OABC độ dài đường cao tứ diện hạ từ O 13) Tìm tọa độ chân đường cao D tứ diện OABC hạ từ O

Bài 6: Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1); B(3;0;1); C(2;-1;3) D nằm trục tung Biết thể tích tứ diện Tìm tọa độ đỉnh D

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với: A(1;0;1); B(2;1;2); D(1;-1;1); C’(4;5;-5). 1) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại

2) Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ 3) Tính chiều cao hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Baøi 8: Cho A(0;1;0); B(2;3;1); C(-2;2;2); D(1;-1;2).

1) Chứng minh ABCD tứ diện có ba mặt vng

2) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao hạ từ A 3) Gọi G trọng tâm BCD Chứng minh AGBCD

Bài 9: Cho A(3;0;4); B(1;2;3); C(9;6;4) ba đỉnh hình bình hành ABCD Tìm: 1) Tọa độ đỉnh D

2) Tọa độ giao điểm hai đường chéo 3) Số đo góc B

4) Độ dài đường chéo AC 5) Diện tích hình bình hành

Bài 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Xác định tọa độ điểm D để ABCD tứ diện toạ độ D số dương

Chủ đề VI: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN