Chuyên đề min max lê bá bảo

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế SĐT: 0935.785.115 Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế Hoặc Trung tâm Km 10 Hng Tr Hoài niệm Tự luận: KHảO SáT HàM Số MộT Số BàI TOáN MAX MIN Huế, tháng 8/2020 Chuyờn đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Chủ đề: Luyện thi THPT Quốc gia 2016 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO BÀI TOÁN GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Kỹ thuật 1: Thế biến đưa khảo sát hàm biến Bước 1: Rút biến biểu diễn theo biến Xác định miền giá trị biến rút Bước 2: Thay biến rút vào biểu thức giả thiết Khảo sát đưa kết luận Bài tập 1: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện y  0, x  x  y  12  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy  x  y  17 Bài giải: Từ giả thiết ta có: y  x  x  12   x   4;3     Khi đó: P  x x  x  12  x  x  x  12  17  x  3x  x  x  Xét hàm số f  x   x  3x  x  7, x   4;3 , ta có: f /  x   3x  x      x  3 Ta có: f  4   13, f  3  20, f 1  12, f  3  20 Suy ra: max f  x   f  3  f  3  20 , f  x   f 1  12  4;3  4;3 Vậy giá trị nhỏ P 12 đạt  x; y   1; 10  Bài tập 2: (HSG Quốc gia 1998) Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x   y  1  x   y  3 2 Bài giải: Từ giả thiết ta có: y  x  Thay vào biểu thức P ta có: Khi đó: P  5x  x   5x  20 x  25 Xét hàm số f  x   5x  x   5x  20 x  25 , ta có: f / x  5x  5x  x   5x  10 5x  20 x  25 f /  x     5x   5x  20 x  25  10  5x  5x  x   2   5x  10  5x    x   ;2    x 5  2 2  5x   5x  20 x  25  10  5x  5x  x  24 x  16 x   2 Từ suy ra: P  f  x   f    3 2 2 Vậy giá trị nhỏ P đạt  x; y    ;   3 3 Bài tập 3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu     thức P   a2  40  9b2 Bài giải: Từ giả thiết ta có: a   b   b   0;1 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_1 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Khi đó: P   1  b   40  9b2 Xét hàm số f  b    1  b   40  9b2 , b   0;1 , ta có: f /  b   b  1 2b  4b   18b  9b  40    1  b  9b2  40  3b 2b2  4b       1  b  9b2  40  9b2 2b2  4b    b   3b   3b  10b  10   b  2 2 Từ suy ra: P  f  b   f    11 3 1 2 Vậy giá trị nhỏ P 11 đạt  a; b    ;  3 3 Bài tập 4: Cho a, b số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  3b  Tìm giá trị lớn a 3b giá trị nhỏ biểu thức P   1 a 1 b Bài giải: Ta có: a  3b   a   3b Do a, b không âm nên  b   3b 3b Khi đó: P    4   3b  b  3b  b  4 Xét hàm số f  b     , b  0;   3b  b  3 Ta có: f /  b     3b   b  2 ; f /  b      3b   1  b    1 b b  Lập BBT ta suy GTLN P a  1, b  , đạt b  0, a  ; GTNN P 2, đạt Bài tập 5: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  xy   x  3y  14 Tìm   giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  3x y  xy  x x  Bài giải:  x2   x2  y    y  x  x  Từ giả thiết suy ra:  2 x  x   14  x  1;   5 x      x2    x2   Khi đó: P  x    x   x x   5x  x  x   x    Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_2 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016  9 Xét hàm số f  x   x  , x  1;  x  5  9  x  1;  Do hàm số đồng biến x  5 Ta có: f /  x     9 1;    9 Suy ra: max f  x   f    4, f  x   f 1  4  9  9 x1;  x1;  5 5     52 Vậy GTNN P 4 đạt x  1, y  ; GTLN P đạt x  , y  15 Bài tập 6: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x   y   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x   y  Bài giải: Đặt y   b Ta có: a  b  4, a  0, b  Suy ra: b   a  a  0;  x   a, Khi đó: P  a2  a2  a2    b2     b2    2 4  a 6 a2     a   , a  0;  a 4a  , a  0;  Ta có: f /  a   2 a 1 4  a  Xét hàm số f  a     Ta có: f /  a    a   a 1  4a 4  a 6 , a  0;  a  0;   a  0;     2 2 2 a   a   6a  a    a  a  8a  12a  16  a    a  0;    a2 a  a  a  16      Ta có: f      10 34  22 , f    , f  4   2 Vậy GTNN P 10 đạt x  , y  ; GTLN P 2  22 đạt x   , y  13 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_3 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Kỹ thuật 2: Xử lý biểu thức đối xứng hai biến Bước 1: Từ điều kiện đặt t  x  y (hoặc t  xy ) rút xy theo t (hoặc x  y theo t ) Tìm miền giá trị t , giả sử t  D Bước 2: Thay biến rút vào biểu thức giả thiết hàm số theo t , với t  D Bài tập 1: Cho x , y số thực không âm thỏa mãn thay đổi thỏa mãn điều kiện   x  y  xy    x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  x  y  x  y Bài giải:  x  y xy   x  y  , x y 2 1 2  xy Khi đó: P     x  y   x  y    x  y  x  y   Đặt t  x  y , t   P   t  t 2 Từ điều kiện toán ta có:  x  y  xy     x  y    x  y    x  y    xy   x  y  Ta có: 2    3t  2t    t    ;1  t   0;1   Xét hàm số f  t    t  t, t   0;1 Ta có: f /  t   t   0, t   0;1  f  t   f 1  3 P 4  x  y  1 1   x; y    ;  Vậy giá trị lớn P đạt  2 2  x  y Bài tập 2: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện 3xy   x  y  biểu thức P  x y  Tìm giá trị lớn xy 16 x  y2  2 Bài giải: Ta có: 2  x y2   x y3   3x y  3xy  x y3  3x y  3xy   xy xy 1    xy  1 xy  1 xy     xy   ;2  , xy  2  16 1  Khi đó: P  x y  Đặt t  xy, t   ;2  đó: P  f  t   t   x y2  t 1 xy  xy  2  8 1    t  Xét hàm số f  t   t  , t   ;2  , ta có: f /  t   2t  t 1 2  t    3xy   x  y  Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_4 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 20 20 11   67 Ta có: f    , f    , f 1  suy P  f  t   f    3   12 20 Vậy giá trị lớn P đạt x  y  Bài tập 3: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ  x 1  y 1 2  4 biểu thức P      x y y x     Bài giải: Sử dụng BĐT a3  b3  ab  a  b  ,   16 x  y  x  y  x 1 y 1 x 1 y 1 2   x y   x  y2 ta có: P      2 x  x y  y  x  y 16  xy   xy  16  xy  3   xy   xy x y2 x y2 Từ giả thiết ta có:  xy  x  y  xy  xy  xy    xy   0;1  xy   0;1 Đặt t  xy, t  t   0;1 đó: P  f  t   Khảo sát GTNN f  t   16  t  3 x  y  t2 16  t  3 t2  2t , t   0;1  2t , t   0;1 , ta có: Giá trị lớn P 64  đạt Bài tập 4: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu    thức P   x   y   y  x   Bài giải: 1 2 Ta có: P   xy    Đặt t   xy  ,  x  y  xy  xy     xy   16  xy   1 t2 1  1 Khảo sát hàm f  t   t   2, t   0;  , có f /  t    0, t   0;  suy f  t  nghịch biến t t  16   16   1  0; 16     1 289 Vậy P  f  t   f    đạt x  y   1 16 16   0;    16  Bài tập 5: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức P   x y xy Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_5 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Ta có: P  Luyện thi THPT Quốc gia 2016 1 1 1      2  x  y  x  xy  y xy  x  y   3xy xy  3xy xy   Đặt t  xy ,  x  y  xy  xy  Khảo sát hàm f  t   1   xy  4 1  1  , t   0;  , có f /  t    3t t  4 1  3t   3  1   0;  t   4   0  3 t t   Lập BBT ta dễ dàng suy ra:  3  1 3  1  ; y  1 P  f  t   f    đạt x        1  2 2  0;         3     Bài tập 6: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   xy  xy Bài giải:  x  y Đặt t  xy ,  t  xy    t   0;1 Khi đó: P   t, t   0;1 1 t 1 Khảo sát hàm f  t    t, t   0;1 , ta có f /  t     0, t   0;1 1 t  t  1 Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN P , đạt x  y  Vì f  t  không tồn GTNN  0;1 nên P không tồn GTNN Bài tập 7: (CĐ 2008) Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn   giá trị nhỏ biểu thức P  x  y3  3xy Bài giải:   Ta có: P   x  y  x  xy  y  3xy   x  y   x  y   3xy   3xy   Từ giả thiết suy ra:  x  y   xy  Như ta đặt t  xy x  y chưa thể rút theo t x  y có nhận giá trị âm giá trị dương  t2   t2   t  t  6t  Do ta đặt t  x  y , đó: P  2t  t     2    Ta có: t   x  y   x  y   t   2;  t  t  2 Khảo sát hàm f  t   t  t  6t  3, t   2;2  , ta có f /  t   3t  3t     Lập BBT ta dễ dàng suy ra: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_6 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN 13 GTLN P , đạt Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x  y  1 1    x ; y     ;   xy       1 1    x; y    ;       x  y  2  x  y  1 GTNN P 7 , đạt   xy  Bài tập 8: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện y  x  x  y  12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  xy  x  y  17 Bài giải: Ta có: y  x  x  12   x   4;3 Thay y vào biểu thức P ta được: P  f  x   x  x  x  12   x   x  x  12   17  x  3x  x  7, x   4;3  x  3 x  Ta có: f /  x   3x  x     Ta có: f  4   13, f  3  20, f  3  20, f 1  12 Vậy GTLN P 20 đạt x  3, y  6 x  3, y  GTNN P 12 đạt x  1, y  10 Bài tập 9: Cho x , y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ x  xy  y  x  biểu thức P  3x  xy  Bài giải: Ta có: y   x   x  0;2  Thay y vào biểu thức P ta được: P  f x  x2  x 2  x   2  x   x  Ta có: f /  x   3x  x   x   2x2  x   x 1 Vậy GTNN P  x2  x 1 , x  0;2 x2  x 1  x  1   0;2  Ta có: f    1, f    , f 1   x  1 đạt x  y  Bài tập 10: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  1, x  y  xy  x  y  Tìm giá trị xy lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y 1 Bài giải: Ta có: x  y  xy  x  y   xy   x  y    x  y   Đặt t  x  y , ta có:  x  y   xy   x  y    x  y  2  x  y   xy     3t  4t    t   ;2    Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_7 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 t  t 1   Khi P trở thành: P  f  t   , t    ;2  t 1   t  t  2t  2 / Ta có: f  t   0    Ta có: f     , f    , f    1  t  2    ;2   3 t  2    1 Vậy GTLN P đạt x  y   x  y  1, GTNN P 1 đạt 3 x  1, y  x  1, y  1 Bài tập 11: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x, y  0, xy  x  y   x  y  x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  1  x y Bài giải: Ta có: xy  x  y    x  y   xy   x  y   t  2t  4t    t   ; 2   2;   t2 t  2t Khi P trở thành: P  f  t   , t   ; 2  2;   t t 2 t  3t  4t  / 0  Ta có: f  t   Lập BBT ta dễ dàng suy kết 2  t   t  t  2  Vậy GTLN P đạt x  y  Đặt t  x  y , ta có:  x  y   xy  Bài tập 12: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện  y  x  x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y6  x y  xy3 Bài giải: Ta có:  x  y  xy  xy  xy  xy  xy  Mặt khác:  x  y  xy   x  y   3xy   x  y    3xy   xy   Ta có: P  x  y 1  x y  xy3 6 x 2   2  y  x  y  3x y   xy   3x y  1      2 2 xy xy 1  xy  xy x  y xy x  y       Đặt t  xy, t    ;1   2t    , t    ;1 Khi P trở thành: P  f  t   t 1   2t  4t    25  Ta có: f     , f 1  Ta có: f /  t   2  3  t  1 Vậy GTLN P 25 đạt x   y   , GTNN P đạt x  y  1 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_8 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 13: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện  x  y   xy  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị x  y4 nhỏ biểu thức P  xy  Bài giải: Ta có: xy    x  y   xy    x  y   xy   4 xy  xy      xy    x  y   xy   xy  xy    Mặt khác: xy    x  y   xy    x y2 2 2 4   x  y  x y x y  Ta có: P    xy  xy  xy    7t  2t   1  1 Đặt t  xy, t    ;  Khi P trở thành: P  f  t   , t   ;   2t  1  3  3 t   t  t   1 1 / f     , f    , f 0  Ta có: f  t   Ta có: 0  1   t  1   ;   15   15  2t  1  3    Vậy GTLN P , GTNN P 15 Bài tập 14: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  1, y   x  y   xy Tìm giá trị lớn  1 nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y3     y  x Bài giải: 3a 3a (1) , a  Suy x , y nghiệm phương trình: t  at  0 4 Vì (1) có nghiệm    a2  3a   a  3a Vì x, y  nên  x  1 y  1   xy   x  y      a    a  Vậy a  3;4  1 Mặt khác từ giả thiết suy ra:   x y Đặt x  y  a  xy  1 1 16 Lúc đó: P   x  y   3xy  x  y        a3  a2   , a  3;4 a  x y  xy 16 Xét hàm số f  a   a3  a2   , a  3;4  a 3 113 94  Ta có: f /  a   3a2  a   3a  a     0, a  3;4 Ta có: f  3  , f 4  a 2 a 12   x  1, y  94 113 Vậy GTLN P đạt  , GTNN P đạt x  y  12  x  3, y  Bài tập 15: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x   0;1 , y   0;1 , x  y  xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức M  x  y  xy Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_9 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải: Đặt a  xy  x  y  4a Suy x, y nghiệm phương trình: g  t   t  4at  a  (1)    1.g    1 1 Vì (1) có nghiệm thoả mãn  t1  t2   1.g 1   a   ;   3  S 0    2 1 1 1 1 Khi đó: M   x  y   xy  16a2  9a, a   ;  Xét hàm f  t   16a2  9a, a   ;   3  3 1 1 1 11   81 1 Ta có: f /  a   32a    a    ;  Ta có: f     , f     , f     32    3 64 4  32  11 1 Vậy GTLN M  đạt xy   x  1, y  x  , y  , GTNN M 3 81 3 đạt xy   x  y  y  x   64 32 4 Bài tập 16: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  xy  x y Bài giải: Đặt t  xy Từ giả thiết suy ra:   x  y   xy   xy  xy  3  x  y  3xy  3xy  xy  Vậy t   3;1 Ta có: A   x  y   x y  xy  x y3    xy   x y  xy  x y3 2 Khi P trở thành: P  f  t   t  t  2t  9, t   3;1 Ta có: f /  t   3t  2t   0, t   3;1 Ta có: f  3  33, f 1  Vậy GTLN P 33 đạt x   y   , GTNN P đạt x  y  1 15 Bài tập 17: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện  x  y  1  3x y   x  5y Tìm giá trị x  y  3x y lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y2  Bài giải: Ta có:  x  y  1  3x y2   x  5y2   x  y    x  y2     x  3x y2 (1) 2 Đặt t  x  y  x  x y  nên từ (1) ta có: t  3t    t  1;  Khi P trở thành: P  f  t   Ta có: f /  t   t2  t  , t  1;2 t 1  t  1 t  3  0, t  1;2 Do hàm số đồng biến    t  1 1;  Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_10 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 4 Ta có: f 1  1, f    Vậy GTLN P đạt x  0; y   , GTNN P 3 đạt x  0; y  1 Bài tập  xy  1  18: Cho   x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện  xy  xy  x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  xy  xy  2 1  xy xy Bài giải: Đặt t  xy Ta có: x  y  xy   x  y   xy   12 xy     Kết hợp giả thiết suy ra: t  9t  2t  12t   2t  9t  14t  9t   1    t  1   t  2t  1   t   ;  2  Khi P trở thành: P  f  t   t  t  Ta có: f / t t     2t  t  t 1 1   , t   ;2  t t 2     t  1  ;2  Ta có: 2    24   24 f    , f    , f 1  2 24 đạt x  y  x  y  , GTNN P đạt Vậy GTLN P x  y  x   y   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị Bài tập 19: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện 64 nhỏ biểu thức P  xy  4xy Bài giải: Đặt a  x  1, b  y  Khi a  0, b  a  b  Đặt t  ab , ta có t  0; 4 a  b  16  2t Khi P trở thành:    P  a2  b2    Xét hàm số f  t   t  2t  Ta có: f  t   2t   /   64 64 32  a2 b2  a2  b2    t  2t   15, t  0;4  2 2 t 5 6 a b 6 a b   32  15, t  0; 4 t 5 32  t  5     t   t  6t   t  5    t    0;4  107 , f    23, f  3  16 Vậy GTLN P 16 đạt x  0; y  x  8, y  ; GTNN P 23 đạt x  y  Ta có: f     Lớp Tốn thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_11 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 20: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  x   y   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức F     xy x  y x y  x  y   y  x   2 xy Bài giải: Từ giả thiết suy x  2, y  1   Ta có: x   y    22  12   x   y  1  x   y    x  y  1 Nên từ x  y  x   y    x  y   x  y  1  Đặt t  x  y , ta có: t    t  1  t  1;6  2  t2   f  t  , t  1;6   x  y  xy t  0, t  1;6  Ta có: f 1  , f    18  Ta có: f /  t   t  t t Vậy GTLN F 18  đạt x  6, y  , GTNN F đạt x  2, y  1 Khi đó: F  Bài tập 21: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  x   y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức F  x  y   x  1 y  1   x  y Bài giải:    Điều kiện x  1, y  1, suy x  y  Sử dụng BĐT:  au  bv   a  b u  v ta có:  x  y   x   2y      x   y    x  y  Suy x  y  Đặt t  x  y  t  0; 3 Khi đó: P   x  y    x  y     x  y    t  2t   t  2, t  0;3 Xét hàm số f  t   t  2t   t  2, t  0;3 Ta có: f /  t   2t   4t , f // t     4t   0, t   0;3  Suy f /  t  đồng biến 0; 3 Do đó: f /  t   f /    , t   0; 3 Suy f  t  đồng biến 0; 3 Ta có: f    18, f  3  25 Vậy GTLN P 25 đạt x  2, y  , GTNN P 18 đạt x  1, y  1 Bài tập 22: Cho x , y số dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y P  1 x 1 y Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_12 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x 1 x a b Áp dụng BĐT:   a  b Lúc đó: P    x   x  f  x  , x   0;1 b a 1 x x 1 Ta có: f /  x      x    0;1 2 x 1 x 1 Lập BBT ta có kết max f  t   f    Suy GTNN P đạt x  y   0;1 2 2 Bài tập 23: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ   biểu thức M  x  y3  3xy Bài giải: Ta có: x  y    x  y  2 Mặt khác:  x  y  2  x  y  xy   xy   x  y   2 2 2  x  y   2;2  Đặt t  x  y, t   2;2    Ta có: M  x  y3  3xy   x  y  x  xy  y  3xy   x  y   xy   3xy   x  y  3  x  y    x  y    t  t  6t   f  t  , t  2;2 2 t  13 Ta có: f  2   7, f 1  , f    t  2 Ta có: f /  t   3t  3t     1 1 1 1 13 đạt x  x  , GTNN , y , y 2 2 M 7 đạt x  y  1 Vậy GTLN M Bài tập 24: (Thi thử Chuyên Quốc Học Huế 2011) Cho a, b số thực thay đổi  a   Tìm giá trị nhỏ biểu thức T   a  b    ln a  b  2 Bài giải: 2 Xét hàm số f  b    b  a    b  ln a  , b  Ta có: f /  b    b  a    b  ln a    b  a  ln a  a  ln a   a  ln a  Lập BBT f  b  ta có: f  b   f     Xét hàm số g  a   a  ln a, a   g /  a      a  a Tiếp tục lập BBT g  a   0;  ta có: g  a   g 1   g  a   1 Từ suy ra: f  b    đạt a  1, b   Vậy GTNN T 2 2 3 Bài tập 25: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức A  x  y Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_13 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016   Ta có: x  y3   y3   x  y   x Vì x, y dương nên x  y3   x  0;   Do đó: A  f  x   x    x  , x  0; Ta có: f /  x   2x  2x2 2x   2x    x3  x 2x     x    x  x 3    x   0; Lập BBT f  x  0; ta có: A  f  x   Vậy GTLN A đạt x  y  Bài tập 26: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức A  x  y   x y Bài giải: Cách 1: (Rút trực tiếp) Ta có: x  y   y   x   x   0;1 Do đó: A  f  x   x  1  1  x   , x   0;1 2 x 1  x     x  1 x  x  x  1  x  2   x  1    x  1  0 Ta có: f  x   x  1  x    3 x 1  x 3 x 1  x  x 1  x  /  x2  x 1    x  1 1     x    0;1  x 1  x   17 17 Vậy GTLN A đạt x  y  2 Lập BBT f  x   0;1 ta có: A  f  x   Cách 2: (Đổi biến vận dụng đạo hàm)   1   Ta có: A  x  y    x  y2   2   xy   2   xy  x y x y  x y  xy      1  t   0;   4 2  1  1 Xét f  t   2t  , t   0;   f /  t     0, t   0;  t t  4  4  1 1 Lập BBT f  t   0;  ta có: A  f  t   f    4  4 17 Vậy GTLN A đạt x  y  2 Đặt t  xy  ,  x  y  xy  xy  Bài tập 27: (Dự bị B 2002) Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S   x 4y Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_14 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 5  5  5 Ta có: x  y   y   x   x   0;  Do đó: S  f  x    , x   0;  4 x  4x  4  4 x  4 / Ta có: f  x       x  5  4x     x    0;  x 5  4x      4  5 Lập BBT f  x   0;  ta có: S  f  x   f 1  Vậy GTNN S đạt  4 x  4, y  Bài tập 28: Cho x , y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn x y giá trị nhỏ biểu thức A   y 1 x 1 Bài giải: Cách 1: (Rút trực tiếp) x 1 x  , x  0;1  x x 1  x    0;1 Ta có: x  y   y   x   x  0;1 Do đó: A  f  x   Ta có: f /  x   2  x    x  1 1    x  1    x  2 2 Ta có: f    f 1  1, f    2 Vậy GTLN A đạt x  0, y  x  1, y  , GTNN A đạt x  y  Cách 2: (Đổi biến vận dụng đạo hàm) x y x  x  y  y  x  y   xy   xy     Ta có: A  y  x  x  y  xy   xy  xy  1  t  0;   4  2t  1  1 Xét f  t   , t  0;   f /  t     0, t   0;  2t  4  4 2  t  Đặt t  xy  ,  x  y  xy  xy  1 suy ra: max f  t   f    1, f  t   f     1  1 4 0;  0;   4  4 Vậy GTLN A đạt x  0, y  x  1, y  , GTNN A đạt x  y  Kỹ thuật 3: Đổi biến đẳng cấp Bài tập 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  xy  y , với x  y  2 3x  xy  y Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_15 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải: + Nếu y  x  A  + Nếu y  , ta chia tử mẫu cho y Đặt t  x Khi t  y A  2t  3t  2t  2t  3t  2t  6t  t  1 t    Ta có: f /  t   lim f  t   lim f  t    t  t  t    3t  2t  Xét hàm số f  t     Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN A 1, đạt x  0, y  * ; GTNN A  , đạt x   y  Bài tập 2: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  xy  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y Bài giải: P x  xy  y Ta có:  x  xy  y + Nếu y  x  P  P t  2t  x + Nếu y  , ta chia tử mẫu cho y Đặt t  Khi t   4t  2t  y t  2t  Xét hàm số f  t   4t  2t  t  0 Ta có: f  t   lim f  t   lim f  t   t  t  t   4t  2t   Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN P 1, đạt x  y  đạt x   y  / 6t  10t    * ; GTNN P 6 , Bài tập 3: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  xy  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  3y Bài giải: Đặt f  x , y   x  xy  y + Nếu y  từ giả thiết ta có:  x  Suy P  x  0; 3 + Nếu y  , ta có  f  x , y   x  xy  y  Khi đó: P  f  x , y  Đặt x  ty , ta có P  f  x, y  x  xy  3y x  xy  y t2  t  t2  t  Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_16 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 t2  t  t2  t  t  2  t  4t  / Ta có: g  t   lim g  t   lim g  t      t  t  t  t 1 t  2  Xét hàm số g  t       3  3   g t   , t  3 Vì  f  x , y    3   P  f  x , y  g  t   3  Lập BBT ta dễ dàng suy ra:    x  2  y  Suy ra: GTLN P 3  , đạt  ; GTNN P 3  ,  x  xy  y     x  2  y  đạt   x  xy  y  Bài tập 4: Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  xy x  4y 2  , với x  0, y  Bài giải: Do y  , ta chia tử mẫu cho y Đặt t  Xét hàm số f  t   Ta có: f / t   t  t t 4  t  t t 4   0;  t   3t  x Khi t  P  y t2  t  t2     t   3t  t    0;   , đạt y  x  32 Kỹ thuật 4: Đánh giá kết hợp đổi biến Trong nhiều tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức F mà biến bị buộc điều kiện dạng BĐT, thân biểu thức F khơng có tính đối xứng, đẳng cấp; biểu thức F điều kiện tốn chứa nhiều đại lượng phức tạp cần xử lú biểu thức F thông qua số đánh giá Bài tập 1: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  xy Tìm giá trị nhỏ 3x  3y  biểu thức P     3x  y  3y  x  9y  9x2  Bài giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN P Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_17 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN     Luyện thi THPT Quốc gia 2016 2 3y   3y  1 x  x   x  1 y    3y  ;   x  4 9x2  9y  Cộng hai BĐT ta được:     2 x  3y   x  1 y   3y  1 x      3 x  y   4 9y2  x   3x  1  y   3y  1 9 x 1  3 x y 1      3x  y  3y  x  4 27 3   xy  x  y    x  y   10 xy  x  y  4 2 27 3 27   xy.6 xy  xy  10 xy   x  y   xy      xy   22 xy     4 4 2 1  t  xy  Đặt t  xy Từ x  y  xy     x y xy Suy ra: P    Xét hàm số f  t    27 1 t  22t  , t  Ta có: f /  t   27t  22  0, t  2 9   34 34 Suy f  t   f    Suy ra: P  , dấu "=" xãy x  y  1  9  ;  9  Vậy GTNN P 34 , dấu "=" xãy x  y  Bài tập 2: Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện x  y  y  x  Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  y   12  x  1 y  1  xy Bài giải: a2  b2 x2   y2 y2   x2 2 Áp dụng BĐT: ab  y  x  , a, b , ta có: x  y  2 Cộng hai BĐT ta suy ra:  x  y  y  x   x   y  x  0, y  Do đó, dấu "=" xãy    2 x  y     y   x   Đặt t  x  y Khi đó: t  x  y  Ta có: P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy  x  y   x  12   x  y   12  x  y   y2   12  x  y  t  12t  6t   t  6t  12t  2 Xét hàm số f  t   t  6t  12t  1, t  0;  Ta có: f /  t   3t  12t  12  0, t   0;  Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_18 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Suy hàm số f  t  đồng biến 0;  Do đó: max f  t   f    0;2  Vậy GTLN P , dấu "=" xảy x  y  Nhận xét: Với cách giải trên, khơng tìm GTNN biểu thức P Để tìm GTLN GTNN P, ta tiến hành sau:  x  0, y  Tương tự ta có:  Đặt t  x  y Khi đó: t  x  y   x  y  2 Mặt khác: t   x  y   x  y   t   t   2;      x  y   x Ta có: xy  2  y2 t 2   Suy ra: P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy  t2  t2 t2   x  y   12  x  y   12   1  12    t  6t  12t   1, t   ;    2   t2 Xét hàm số f  t   t  6t  12t   1, t   2;    t Ta có: f /  t   3t  12t  12   0, t  ; Suy hàm số f  t  đồng biến  ;    t 1  Do đó: max f  t   f    f  t   f 0;2  0;2      14  12 Bài tập 3: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện 3xy   x  y  biểu thức P  x y  Tìm giá trị lớn xy 16 x  y2  Bài giải: Đặt t  xy  Từ giả thiết ta có: 3xy   x  y  hay 3t   2t  2  x y2  xy xy 1   2t  3t  3t    t   ;  , t  t 2  Ta lại có: P  x y  1  16  t2  , t   ; 2 xy  t 1 2  Xét hàm số: f  t   t  (1) 1  1  8   t  1  ;  , t   ; 2 Ta có: f /  t   2t  t 1 2  2   t  1   67 20 Ta có: f    ; f    ; f 1    12 (2) Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_19 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Từ (1) (2) suy ra: P  Vậy GTLN P Luyện thi THPT Quốc gia 2016  xy  20  x  y  Dấu "=" xảy   x  y   20 , đạt x  y  Bài tập 4: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  biểu thức P   xy  Tìm giá trị lớn xy 2   2  x  y  xy Bài giải: Đặt t  xy  Từ giả thiết ta có: xy   x  y  1  x y2  xy xy 1  hay t   2t   2t  t  2t    t   ;1 , t  t 2  Với x  0, y  xy  1, ta có: 1   2  x  y  xy  x  y   xy  1  , Thật vậy: (1)  1  x 1  y2  1  xy  (1) Khi đó: P  1  4    , t   ;1  xy  xy  t  2t 2  Xét hàm số: f  t   Ta có: f / x  0, y  xy  t    (2) 1   , t   ;1  t  2t 2   1  t  1  2t  2  2 5t  2t  1  t  1  2t  2 1   0, x   ;1 2  1  Suy hàm số f  t  nghịch biến  ;1 Do đó: max f  t   1  2   ;1   1 f  2 (3)   xy  Từ (1) (2) suy ra: P  Dấu "=" xãy   xy x  y   , đạt x  y  Bài tập 5: Cho a, b số thực thuộc  0;1 , thoả mãn điều kiện: Vậy GTLN P a   b3  a  b   ab  a  1 b  1  Tìm giá trị lớn biểu thức P  1  a2  1  b2  5ab   a  b  Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_20 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN  Ta có: a  b a Vì 3   a  b   ab  a  1 b  1   b3  a  b  ab a 0   b3  a  b  ab Luyện thi THPT Quốc gia 2016  1  a 1  b  (1)  a2 b2       a  b   ab ab  4ab a   b  1  a 1  b     a  b   ab   ab  ab nên từ (1) suy ra: 4ab   ab  ab (2)  1 Đặt t  ab , (2) trở thành: 4t   t  t  3t  t    t   0;   9  a  b   ab  1  , 1  Ta có với a  0, b  , ta có:    a2  b2  ab 1  a2 1  b2  1  ab  a, b   0;1  2   2     2  ab  ab 1 a 1 b   a2  b2  1 2 2 5ab   a  b   ab   a  b   ab nên suy ra: P   ab   t, t   0;   ab 1 t  9  1  1 Xét hàm số f  t     0, t   0;   t, t   0;  Ta có: f /  t    1 t  9  9 1  t   t Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:   1 1  Suy hàm số f  t  đồng biến  0;  Do đó: max f  t   f     1 10  9 9  0;     1 ab  Suy ra: P   Dấu "=" xãy   ab 10 a  b   Vậy GTLN P  , đạt a  b  10 Bài tập 6: Cho a, b số thực dương phân biệt, thoả mãn điều kiện: ab  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    a b  a  b 2 Bài giải: a2b2  2  ab  a2 b2           16  a b   a  b 2  b a  a b  2 b a a b 1 1  t2   , t   2;   Đặt t    t  P  t   b a t2 t2 1  , t   2;   Xét hàm số f  t   t  t2 Từ giả thiết  ab   P    Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_21 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Ta có: f /  t   t    t  t     t    2;   4  t  2 Vì lim f  t   lim f  t    nên f  t   f  3   2;  t  t 2 13 ab   a   1, b   ab  13  Suy ra: P  , dấu "=" xãy   a b     a  b    a   , b      b a 13 Vậy GTNN P BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Cho a, b không âm thoả mãn điều kiện: a  b  Chứng minh ab  27 Bài tập 2: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  11 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy Bài tập 3: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  x  y Tìm GTLN, GTNN biểu thức M  x  y3  x y  xy2 Bài tập 4: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1, x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu Bài tập 5: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1,  x  y   xy Tìm GTLN, GTNN biểu  1  thức P  x  y     y  x Bài tập 6: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y   x   y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P   x  y    x  y  xy   Bài tập 7: Cho a, b số thực dương thoả mãn điều kiện: a  b  20ab   a  b  ab  3  a4 b4   a3 b3   a2 b2  Tìm GTNN biểu thức P      16     25    a  a  b b a  b a, b Bài tập 8: Cho số thực dương thoả a  2b     mãn điều kiện:  3a b  a  b a  2b  a  b  2a  5b   a  b  2a  5b    a  b 8b     Tìm GTNN biểu thức P    b3 a3 ab a  2b 3   Bài tập 9: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  xy  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy  y Bài tập 10: Cho x , y thoả mãn điều kiện: xy  0, x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức x y  4y3 P x  8y Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_22 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 11: Cho x , y số thực lớn Tìm GTNN biểu thức P x  y3  x  y  x  y  16 xy  x  1 y  1   Bài tập 12: Cho a, b số dương thoả mãn điều kiện: a  2b  12 Tìm GTNN biểu thức 4 P  4 a b 8 a  b2 GỢI Ý: Bài tập 1: Cho a, b không âm thoả mãn điều kiện: a  b  Chứng minh ab  27 Gợi ý: Rút a   b  b  0;1 Khi BĐT trở thành: 1  b  b2  4  b3  b  0 27 27 Khảo sát hàm f  b   b3  b  , b  0;1 , dễ thấy kết cần chứng minh 27 Bài tập 2: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  11 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy Gợi ý: Ta có: x  y  11  y  11  x  x    11; 11    Lúc đó: P  x  x 11  x   x  12 x , x    11; 11   Khảo sát hàm f  t    x  12 x , x    11; 11     Ta có yêu cầu toán: P  16 x  2; y   max P  16 x  2; y   Bài tập 3: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y  x  y Tìm GTLN, GTNN biểu thức M  x  y3  x y  xy2 Gợi ý:   Đặt t  x  y  t   x  y   x  y  2t  t  2t   t  0;  Ta có:  x  y   xy  x  y  xy  t2  t  t2  t  t2  t t  t Lúc đó: M   x  y  x  y  xy  xy  x  y   t  t     Khảo sát hàm f  t   t , t  0;     x  y   x  y  max M  Ta có yêu cầu toán: M   2  x  y  x  y  x  y   x  y 1  2  x  y  x  y Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_23 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 4: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1, x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu thức M  x2  y2  x2y2 Gợi ý: xy t2 Đặt t  x  y   x  y  xy  x  y      t    t  t     9 Mặt khác x  1, y    x  1 y  1   xy   x  y     x  y  Suy t   4;   2 Lúc đó: M   x  y   xy  x y  t    t   8  t   2t  14t  48 2  9 Khảo sát hàm f  t   2t  14t  48, t   4;   2 Ta có yêu cầu toán: M  24 x  y  xy2   xy  max M  51   x  y  x  1; y    2  x  ; y   xy   2  Bài tập 5: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  1, y  1,  x  y   xy Tìm GTLN, GTNN biểu  1  thức P  x  y     y  x Gợi ý: 3t Đặt t  x  y  xy  , t  từ giả thiết ta có:  x  y   xy   x  y   t  3t Mặt khác x  1, y    x  1 y  1   xy   x  y      t    t  Suy 1 t  3; 4 Mặt khác từ giả thiết:   x y 1 1 16  t  t   , t  3;  Lúc đó: P   x  y   xy  x  y       t  x y  xy 16 Khảo sát hàm f  t   t  t   , t  3; 4 t  x  1; y  65 74 Ta có u cầu tốn: M  x  y  max M   12 x  ; y   Bài tập 6: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  y   x   y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P   x  y    x  y  xy Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_24 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Gợi ý: Điều kiện x  2, y  1,  x  y  Ta có:  x  y  1   2x   y    Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x   y 1    x  y  1 Suy ra:  x  y     x  y  Đặt t  x  y  1;  Lúc đó: P  t   t  t , t  1; 4 Khảo sát hàm f  t   t   t  t , t  1; 4 Ta có yêu cầu toán: M   2 x  2; y  1 max M  33  x  4; y  Bài tập 7: Cho a, b số thực dương thoả mãn điều kiện:   a  b  20ab   a  b  ab  3  a4 b4   a3 b3   a2 b2  Tìm GTNN biểu thức P      16     25    a  a  b b a  b Gợi ý: a b ab Ta có: a2  b2  20ab   a  b  ab  3      20   a  b   15 ab b a   75  a  b  a b  ab 2  10     Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:  a  b   15 ab ab b a  a b a b  a b 10 Suy ra:     20  10     Đặt t   , ta có: 6t  20  10  t    t  b a b a b a  10 Lúc đó: P  t   16t t   25 t  , t  10 Xét hàm số: f  t   t   16t t   25 t  , t  15156 Ta có yêu cầu toán: M  a  1; b  a  3; b  27 Bài tập 8: Cho a, b số thực dương thoả mãn điều kiện:  a  2b                 3a b  a  b a  2b Tìm GTNN biểu thức P  Gợi ý:  Ta có: a2  2b  a  b 8b   b3 a  3   a  b  2a  5b   a  b  2a  5b           ab a  2b    3a b  a  b a  2b  4ab a  2b   Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_25 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016  a 2b   a 2b  a 2b Suy ra:           3 b a b a  b a   a 2b   a b   a 2b  Lúc đó: P              1 b a   b a   b a  a  2b b a  a 2b   a 2b  4      3      t  3t   , t  t b a   b a  a  2b b a Xét hàm số: f  t   t  3t   , t  t 97 Ta có u cầu tốn: M  a  b  Bài tập 9: Cho x , y thoả mãn điều kiện: x  xy  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  xy  y Gợi ý: Đặt f  x , y   x  xy  y + Nếu y  từ giả thiết ta có:  x  , suy ra: P  x  0; 3 x  xy  y + Nếu y  , ta có:  f  x , y   x  xy  y  Khi đó: P  f  x , y  x  xy  y 2 Đặt x  ty , ta có: P  f  x, y  t2  t  , t t2  t  t2  t  , t  Khảo sát g  t  , ta có kết sau: t2  t  1  1   g t   , t  3 Vì  f  x , y    1   P  f  x , y  g  t   1  Xét hàm số g  t   x 3   Suy ra, GTNN P 1  , đạt  y  2  x  xy  y  Bài tập 10: Cho x , y thoả mãn điều kiện: xy  0, x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức x y  4y3 x  8y Gợi ý: Từ giả thiết tốn ta có: y  0, x  + Với y  , ta có P  P Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_26 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x  y 4 t2  x   + Với y  , ta có: P  Đặt t   , xét hàm f  t   , t  y t 8 x  y  8   Kết toán: P  f     1 max P  f    Bài tập 11: Cho x , y số thực lớn Tìm GTNN biểu thức x  y3  x  y P  x  y  16 xy  x  1 y  1   Gợi ý: Đặt t  x  y   xy   t  t  xy  3t   Khi đó: P  t2 , x2  y2  t2 xy   t     x  y  16 xy  t3  t  t2  3t  2  t  8t t2 1 t t2  t  8, t  t2 t2 Khảo sát f  t    t  8, t  , ta có kết quả: GTNN P 8 đạt x  y  t2 Bài tập 12: Cho a, b số dương thoả mãn điều kiện: a  2b  12 Tìm GTNN biểu thức 4 P  4 a b 8 a  b2  Gợi ý:   Từ giả thiết áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 16  a   2b  4a  2b  4a.2b  ab   0; 8 4 a2b2 4 ab  a2 b2    4     Lúc đó: P    64 a 8  a  b  16  b a b 8 a  b b a  64 a b  2 b a a b 1 1 t 2   t2   , t 2 Đặt t    P  b a 16 64 t  16 64 t  1 27  , t  , ta có kết quả: GTNN P Khảo sát f  t   t  đạt 16 64 t  64 a  2; b    Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_27