BÀI TIỆM CẬN Mục tiêu Kiến thức + Nắm khái niệm đường tiệm cận đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số + Nhận biết đồ thị hàm số có tiệm cận + Nắm tính chất đường tiệm cận với đồ thị hàm số Kĩ + Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận hàm số cho công thức, cho bảng biến thiên + Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số chứa tham số + Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số ẩn + Áp dụng tính chất đường tiệm cận vào toán liên quan TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường thẳng y y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y f x lim f x y0 lim y0 x x Đường thẳng x x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y f x điều kiện sau thỏa mãn: lim f x ; lim f x ; x x0 x x0 lim f x ; lim f x x x0 x x0 TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Tiệm cận đứng Tiệm cận ngang Đường thẳng x x0 gọi Đường thẳng y y0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x y f x điều kiện sau thỏa mãn: lim y0 x x0 lim f x ; lim f x x x0 lim f x y0 x x lim f x ; lim f x x x0 TIỆM CẬN x x0 TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị Bài toán Xác định đường tiệm cận dựa vào định nghĩa Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y f x có lim f x Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận x Tiệm cận ngang Đường thẳng y y0 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x lim f x y0 x lim f x y0 lim 1 x Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x y y 1 x Ví dụ: Cho hàm số y f x có lim f x x 2 Tiệm cận đứng Đường thẳng x x0 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x điều kiện sau thỏa mãn: x2 Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x x 2 x lim f x ; lim f x x x0 lim f x x x0 lim f x ; lim f x x x0 x x0 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có lim f x 3 lim f x Mệnh đề đúng? x x A Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang y y 3 B Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang x x 3 C Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Vì lim f x 3 nên y 3 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x Vì lim f x nên y đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đồ thị đường cong C giới hạn: lim f x 1; lim f x 1; lim f x 2; lim f x Mệnh đề sau đúng? x 2 x 2 x x A Đường thẳng x tiệm cận đứng C TOANMATH.com Trang B Đường thẳng y tiệm cận ngang C C Đường thẳng y tiệm cận ngang C D Đường thẳng x tiệm cận ngang C Hướng dẫn giải lim f x x Ta có đường thẳng y tiệm cận ngang C f x xlim Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y f x xác định khoảng 2; 1 có lim f x , lim f x x 2 x 1 Mệnh đề sau đúng? A Đồ thị hàm số y f x có hai tiệm cận đứng x 2 x 1 B Đồ thị hàm số y f x có tiệm cận ngang y C Đồ thị hàm số y f x có tiệm cận đứng x 1 D Đồ thị hàm số y f x có hai tiệm cận ngang y y 1 Hướng dẫn giải Do lim f ( x) nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 x 1 Chọn C Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số Phương pháp giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số y f x xác Ví dụ: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên định phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm sau: cận ngang, số đường tiệm cận đồ thị hàm số y f x Chú ý: - Ứng với điểm x x0 bảng biến thiên dịng y phải ghi kí hiệu -∞ +∞ (khơng phải giá trị cụ thể) đường thẳng x x0 đường tiệm cận đứng đồ thị Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x x0 - Ứng với điểm -∞ +∞ bảng biến thiên tiệm cận đứng đường thẳng y y đường dịng y phải ghi giá trị cụ thể y0 (không tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x phải -∞ +∞) đường thẳng y y0 đường tiệm cận ngang đồ thị TOANMATH.com Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm \ 1 Hàm số có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận? A B C D Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên hàm số, ta có lim f x 3 y 3 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x lim f x y tiệm cận ngang đồ thị hàm số x lim f x x 1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 lim f x , lim f x x tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 x 1 Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng x 1 , hai tiệm cận ngang y 3 Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm \ 2; 1 có bảng biến thiên sau: Phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A x 2 x B khơng có tiệm cận đứng C x 2 D x Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên, ta có lim y nên x 2 đường tiệm cận đứng; x 2 lim y lim y nên x không đường tiệm cận đứng x 1 x 1 TOANMATH.com Trang Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y f x A x y 2 B x y C x 1 y 2 D x 1 y Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị, ta suy tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị đường thẳng x 1, y Chọn D Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị biết hàm số Phương pháp giải Tiệm cận đồ thị hàm số y ax b , c 0, ad bc cx d Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm 2x số y x 1 Thực theo bước sau: d Bước Tập xác định D \ c Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 1 Bước Xác định đường tiệm cận đứng, tiệm Khi lim y lim y nên đồ thị có đường x x cận ngang đồ thị tiệm cận ngang y a - lim y nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận lim y ; lim y nên đồ thị có đường tiệm x c x 1 x 1 cận đứng x TOANMATH.com Trang ngang y a c - lim y nên đồ thị hàm số có đường tiệm x d c cận đứng x d c Vậy đồ thị hàm số y Bước Kết luận Đồ thị hàm số y ax b có hai đường tiệm cận: cx d a d Tiệm cận đứng x tiệm cận ngang y c c 2x x 1 nhận đường thẳng y tiệm cận ngang nhận đường thẳng x tiệm cận đứng Chú ý: - Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm ax b d a điểm I ; tâm đối xứng cx d c c đồ thị số y ax b cx d với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y a d ad chu vi diện tích c c c Tiệm cận đồ thị hàm số hữu tỷ y f x g x Điều kiện xác định g x Tính giới hạn lim y; lim y thỏa mãn định x x x0 Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm x 1 số y x 2x Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 1; 3 nghĩa đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang Ta có lim y 0; lim y ; lim kết luận x X—>±0O X->Xg x 1 Chú ý: - Đối với hàm số phân thức hữu tỷ y f x an x n an 1 x n 1 a1 x a0 f x g x an với x 3 Suy đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng x 1; x 3 tiệm cận ngang y g x bm x m bm1 x m1 b1 x b0 bm Khi đó: + Nếu n m đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang + Nếu n m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang TOANMATH.com Trang y an bm + Nếu n m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y0 - Nếu đường thẳng x x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x x0 nghiệm phương trình g x (ngược lại nghiệm g x chưa tiệm cận đứng đồ thị) Hay nói cách khác x x0 điểm gián đoạn hàm số Tiệm cận đồ thị hàm số vô tỷ Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng để xác x2 định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận đồ thị hàm số y x2 ngang tìm tập xác định hàm số Hướng dẫn giải Bước Tập xác định D 1; 1 Không tồn giới hạn lim y; lim nên đồ thị x x hàm số khơng có tiệm cận ngang Mặt khác hàm số liên tục khoảng 1; 1 lim y f 1 ; lim y f 1 nên hàm số liên tục x 1 x 1 đoạn 1; 1 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y x 1 x2 A x 2 y B x 1; y C x 2; y D x 2; y 1 Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 2 Ta có lim x2 lim x x 1 x 1 ; lim nên x phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 2 x x2 x 1 x 1 lim nên y phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số x x2 x2 Chọn C Ví dụ 2: Đồ thị hàm số sau nhận đường thẳng x tiệm cận đứng? A y 2x x2 TOANMATH.com B y C y 2x x2 D y x x Trang Hướng dẫn giải 2x 2x 2x có tập xác định D \ 2 lim ; lim nên đồ thị x x x2 x2 x2 hàm số có tiệm cận đứng x Ta thấy hàm số y Chọn A 3x x 1 Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng đồ thị hàm số y A 1; 3 B 1; 1 C 3; 1 D 1; 3 Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 1 Ta có đường tiệm cận đứng đồ thị x tiệm cận ngang đồ thị y , tọa độ tâm đối xứng đồ thị giao hai đường tiệm cận I 1; 3 Chọn D Ví dụ 4: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y 2x tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x tiệm cận ngang y Khi hình chữ nhật tạo hai đường tiệm cận hai trục tọa độ có kích thước nên có diện tích S 1.2 (đvdt) Chọn A Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A B C x x2 D Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 2 lim y lim x2 x2 lim y lim x x lim y lim x x x x2 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x x Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x2 2x 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 1 x2 Vậy số đường tiệm cận đồ thị hàm số TOANMATH.com Trang 10 Chọn B Ví dụ 6: Đồ thị hàm số y A x 1 có đường tiệm cận? x 2x B C D Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 1; 3 Ta có lim x x 1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x 2x + lim y ; lim y Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x ; x 1 x 1 + lim y ; lim y Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 3 x 3 x 3 Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận Chọn A Ví dụ 7: Đồ thị hàm số y A x 1 x 1 có đường tiệm cận? B C D Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 1 Ta có lim y lim y Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x x lim y ; lim y Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x x 1 x 1 lim y ; lim y Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 x 1 x 1 Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y A x B 2 x sin x x3 x có đường tiệm cận đứng? C D Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 0; 2 x x sin x 02 3.0 Ta có lim y lim nên x đường tiệm cận 2 x 0 x 0 4 x x đứng TOANMATH.com Trang 11 lim y lim x2 x x sin x x 1 sin x sin x2 x x lim x 4x x 2 nên đường thẳng x không đường tiệm cận đứng lim y x 2 x lim x 2 x sin x x3 x nên đường thẳng x 2 tiệm cận đứng đồ thị Vậy hàm số có đường tiệm cận đứng x 2 Chọn A Ví dụ 9: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y A B x 9 3 x2 x C D Hướng dẫn giải Tập xác định D 9; \ 0; 1 Khi đó, ta có lim x 9 3 , lim x 1 x2 x lim x 9 3 1 lim lim x 0 x x x 1 x x0 x 1 x9 3 x 1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2 x x 0 x9 3 x2 x x tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim x x9 3 y tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2 x Chọn C Chú ý: Không tồn lim y tập xác định khơng có x tiến tới -∞ x Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y A 16 x có đường tiệm cận? x x 16 B C D Hướng dẫn giải Tập xác định D 4; 4 \ 0 Do lim y ; lim y nên đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số x0 x0 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y A TOANMATH.com B x 1 có đường tiệm cận? x 1 C D Trang 12 Hướng dẫn giải Tập xác định D 1; \ 1 Ta có : x 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x 1 lim y lim y x x lim y lim x 1 x 1 x 1 ; lim y x 1 x 1 => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x lim y lim x 1 x 1 x 1 lim x 1 x 1 x 1 => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 12: Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A y B y y C y D y x x2 x 3 Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 3 Ta có lim y lim x x 2x x lim x x3 2 1 1 x x 3 1 x y đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x x2 lim lim lim x x x x3 2 1 1 x x 1 1 x y đường tiệm cận ngang Chọn B Ví dụ 13: Biết đường tiệm cận đường cong C : y x x2 trục tung cắt tạo x5 thành đa giác H Mệnh đề đúng? A H hình chữ nhật có diện tích B H hình vng có diện tích TOANMATH.com Trang 13 C H hình vng có diện tích 25 D H hình chữ nhật có diện tích 10 Hướng dẫn giải Tập xác định ; 2; \ 5 x x2 y tiệm cận ngang C x x5 Ta có lim y lim x x x2 y tiệm cận ngang C x x 5 lim y lim x lim y ; lim x tiệm cận đứng C x 5 x 5 Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận y 5; y 7; x với trục tung tạo thành hình chữ nhật có kích thước nên có diện tích 10 Chọn D Ví dụ 14 : Cho hàm số y x x x Khi đó, đồ thị hàm số A có tiệm cận đứng khơng có tiệm cận ngang B có tiệm cận ngang khơng có tiệm cận đứng C có tiệm cận đứng tiệm cận ngang D khơng có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Tập xác định D Do hàm số liên tục nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng Ta có lim y lim x x x lim x x x 2x x2 2x x 1 y 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số lim y lim x x x x x Vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang y 1 Chọn B Ví dụ 15: Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y x x2 A y y 1 B y C y 1 D Khơng có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Tập xác định ; 1 1; TOANMATH.com Trang 14 Ta có lim y lim x x x x2 lim y lim x x x x2 1 y tiệm cận ngang đồ thị hàm số Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y f x có lim f x lim f x 2 Mệnh đề sau đúng? x x A Đồ thị hàm số cho có hai đường tiệm cận ngang đường thẳng y y 2 B Đồ thị hàm số cho khơng có đường tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số cho có hai đường tiệm cận ngang đường thẳng x x 2 Câu 2: Hàm số y f x xác định với x 1 , có lim f x , lim , lim f x , x 1 x 1 x lim f x Mệnh đề đúng? x A Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Câu 3: Cho hàm số y f x có lim f x lim f x Mệnh đề sau đúng? x 3 x 3 A Đường thẳng y tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x B Đồ thị hàm số y f x khơng có tiệm cận đứng C Đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x D Đường thẳng x tiệm cận đồ thị hàm số y f x Câu 4: Cho hàm số f x xác định liên tục \ 1 có bảng biến thiên sau Mệnh đề sau sai? A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang B Hàm số khơng có đạo hàm x 1 C Hàm số cho đạt cực tiểu x D Đồ thị hàm số tiệm cận đứng TOANMATH.com Trang 15 Câu 5: Cho hàm số y f x xác định \ 1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? A B C D Câu 6: Cho hàm số y f x xác định R \ 0 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau Hỏi đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A B C D Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C D Câu 8: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? TOANMATH.com Trang 16 A B C D Câu 9: Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x có bảng biến thiên sau A B C D Câu 10: Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A y 1 B x 1 Câu 11: Đồ thị hàm số y A C x D y x2 có đường tiệm cận? 3 x B C Câu 12: Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y A y 2 x2 1 x D 2x x 1 C y B x D x 1 Câu 13: Hàm số có đồ thị nhận đường thẳng x đường tiệm cận? A y 5x 2x B y x x 1 C y x2 Câu 14: Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y 5 A ; 2 3 B ; 2 5 C ; 2 D y x 1 5x 2x 5 3 D ; 2 2 Câu 15: Tổng khoảng cách từ điểm M 1; đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y A B Câu 16: Đồ thị hàm số y TOANMATH.com C 2x x 1 D 2x có đường tiệm cận ngang? x 1 Trang 17 A B C D Câu 17: Đường thẳng y 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau đây? A y 1 x 1 x B y x 3x x2 C y 2x x2 Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y A x D y x2 2x 2x C y B x 1 D x Câu 19: Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A y B x Câu 20: Đồ thị hàm số y A Câu 21: Cho hàm số y C y x2 1 x 2x 3x x 2x 1 D y x2 5x có đường tiệm cận đứng? x 3x B C D 2 x 3x Mệnh đề sau sai? x2 x A Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận B Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x 1 x C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y Câu 22: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y A B 2 x 2017 x 1 C D Câu 23: Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị tham số y A B C Câu 24: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y A B Câu 25: Đồ thị hàm số y A C TOANMATH.com D x2 2x có đường tiệm cận? x2 B B x Câu 27: Đồ thị hàm số y D x2 x2 x C Câu 26: Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y A x 1; y x3 x x2 x x 1 x2 D 4 x 1 x 1 C x 0; y 1 D x 1; y 1 có đường tiệm cận? Trang 18 A B C D Câu 28: Đồ thị hàm số sau có hai đường tiệm cận ngang? x2 x x 2 A y B y x2 x 2 C y x 2 D y x 1 x2 x 1 Câu 29: Gọi n, d số đường tiệm cận ngang số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y 1 x x 1 x Giá trị n, d A n 1; d B n 0; d Câu 30: Đồ thị hàm số y A 3x 2x x C n 0; d có tất đường tiệm cận? B C D Câu 31: Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A y D n d B y y 1 C y 2x 4x2 D y y 2 Câu 32: Đồ thị hàm số y x x có đường tiệm cận ngang? A B Câu 33: Đồ thị hàm số y A C 2x x2 x D có đường tiệm cận? B C D Câu 34: Đồ thị hàm số y x x x có đường tiệm cận ngang? A B Câu 35: Đồ thị hàm số y A C D x2 có đường tiệm cận? 2x2 5x B C D ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-C 4-D 5-A 6-B 7-A 8-C 9-C 10-A 11-A 12-D 13-A 14-C 15-A 16-B 17-A 18-A 19-C 20-A 21-C 22-B 23-B 24-D 25-C 26-B 27-A 28-C 29-C 30-D 31-B 32-A 33-B 34-A 35-A TOANMATH.com Trang 19 Dạng 2: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số chứa tham số Bài toán 1: Tiệm cận đồ thị hàm số y ax b cx d Phương pháp giải Để tồn đường tiệm cận đồ thị hàm số Ví dụ: Tất giá trị thực tham số m để đồ y ax b c ad bc cx d Khi phương trình đường tiệm cận 2x có tiệm cận đứng xm A m 2 d c B m 2 a c D m 2 + Tiệm cận đứng x + Tiệm cận ngang y thị hàm số y C m 2 Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận 2m m 2 Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y 2m 1 x xm có đường tiệm cận ngang y A m B m C m D m Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận m 2m 1 2m m m Phương trình đường tiệm cận ngang y 2m nên có 2m m Chọn C Ví dụ 2: Tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y A B \ 0 C \ 1 x 1 có tiệm cận đứng mx D \ 0; 1 Hướng dẫn giải m m Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận 1 m m Chọn D Ví dụ Tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y TOANMATH.com x3 khơng có tiệm cận đứng mx Trang 20 A 1 B 0; 3 1 C 3 D 0 Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng m m 1 3m m Chọn B ax b Biết đồ thị hàm số cho qua điềm A 0; 1 có đường tiệm cận x 1 ngang y Giá trị a b Ví dụ 4: Cho hàm số y A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận a b Do đồ thị hàm số qua điểm A 0; 1 nên b 1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y a a (thỏa mãn điều kiện) Vậy a b Chọn B Ví dụ 5: Biết đồ thị hàm số y a 3 x a 2019 x b 3 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang trục tung làm tiệm cận đứng Khi giá trị a b A B -3 C D Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận a 3 b 3 a 2019 Phương trình đường tiệm cận x b b b 3 (thỏa mãn điều kiện) y a a a Vậy a b Chọn D Ví dụ 6: Giá trị thực tham số m để đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y x 1 qua điểm 2x m A 1; A m B m 2 C m 4 D m Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận m m TOANMATH.com Trang 21 Đường tiệm cận đứng x m m m 2 (thỏa mãn) 2 Chọn B mx với tham số m Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm x 2m số thuộc đường thẳng đây? Ví dụ 7: Cho hàm số y A x y B x y C x y D y x Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận 2m m Phương trình đường tiệm cận x 2m; y m nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I 2m; m thuộc đường thẳng x y Chọn C Ví dụ 8: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y 4x có tiệm cận đứng nằm bên xm phải trục tung A m m B m C m m D m Hướng dẫn giải Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận 4m m Phương trình đường tiệm cận đứng x m Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung m m Vậy điều kiện cần tìm m Chọn A Bài toán 2: Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ Phương pháp giải - Tiệm cận đồ thị hàm số y A với A số Ví dụ: Cho hàm số y Giá trị f x x 2mx 3m thực khác f x đa thức bậc n tham số thực m để đồ thị hàm số cho nhận đường thẳng x tiệm cận đứng A - Đồ thị hàm số y ln có tiệm cận ngang A m f x B m TOANMATH.com Trang 22 y C m - Đường thẳng x x0 tiệm cận đứng đồ thị D m hàm số y Hướng dẫn giải A x0 nghiệm Điều kiện: x 2mx 3m f x Đặt g x x 2mx 3m f x hay f x0 Để đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho g 4m 3m m Chọn A - Tiệm cận đồ thị hàm số y f x g x với Ví dụ: Giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y f x , g x đa thức bậc khác f x - Điều kiện để đồ thị hàm số y g x A m có tiệm B m C m 0; m cận ngang bậc f x bậc g x D m 0; m 1 - Điều kiện để đường thẳng x x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x g x x 3x m khơng có tiệm cận đứng xm x0 nghiệm Hướng dẫn giải Điều kiện x m Đặt f x x x m g x không nghiệm f x Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận đứng x0 nghiệm bội n g x , đồng thời nghiệm bội m f x m n m f m 2m 3m m m Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y A m B m mx x có tiệm cận đứng 2x C m D m 8 Hướng dẫn giải 1 Tập xác định D \ Đặt g x mx x 2 Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x TOANMATH.com không nghiệm g x Trang 23 m 1 g m 8 2 Chọn D Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y x 1 (m, n tham số) nhận đường thẳng x tiệm cận x 2mx n đứng, giá trị m n A B 10 C -4 D -7 Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2mx n Đặt g x x 2mx n Do x nghiệm f x x nên đồ thị hàm số cho nhận đường thẳng x tiệm cận đứng x phải nghiệm kép phương trình g 1 2m n n 2m m g x 2 m n n 5 m 2m Vậy m n 4 Chọn C Ví dụ 3: Biết đồ thị hàm số y 2m n x mx x mx n nhận trục hoành trục tung làm hai tiệm cận Giá trị m n A B C D -6 Hướng dẫn giải Điều kiện x mx n Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y 2m n 2m n (1) Đặt f x (2m n) x mx g x x mx n Nhận thấy f với m, n nên đồ thị nhận trục tung x tiệm cận đứng g n n Kết hợp với (1) suy m Vậy m n Chọn B Ví dụ 4: Cho hàm số y C có tiệm cận ngang ax x có đồ thị C (a, b số thực dương ab ) Biết x bx y c có tiệm cận đứng Giá trị tổng T 3a b 24c A B C D 11 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 24 Điều kiện x bx Phương trình tiệm cận ngang đồ thị hàm số y a a c 4 Đồ thị C có tiệm cận đứng nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình x bx có nghiệm kép x x0 khơng nghiệm ax bx b 144 b 12 Vì b nên b 12 a 1 c 12 x x 1 Thử lại ta có hàm số y (thỏa mãn) x 12 x 1 Vậy T 12 24 11 12 Trường hợp 2: x bx có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm thỏa mãn ax x Điều khơng xảy ab Chọn D Chú ý: a; b > nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm âm, tử số hai nghiệm trái dấu Bài toán Tiệm cận đồ thị hàm số vô tỷ Cho hàm số vô tỷ y f x Ví dụ: Tất giá trị thực tham số m để đồ - Tìm tập xác định D hàm số thị hàm số y 2m 1 x - Để tồn tiệm cận ngang đồ thị hàm số x4 có đường tiệm cận y f x tập xác định D hàm số phải ngang qua điểm A 1; 3 chứa hai kí hiệu -∞ +∞ A m tồn hai giới hạn lim y B m 1 x lim y hữu hạn x C m 2 D m Hướng dẫn giải Tập xác định D Ta có lim y 2m nên đồ thị có đường x tiệm cận ngang y 2m Để tiệm cận ngang qua điểm A 1; 3 2m 3 m 2 Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y x ax bx có tiệm cận ngang y 1 TOANMATH.com Trang 25 Giá trị 2a b3 A 56 B -56 C -72 D 72 Hướng dẫn giải Điều kiện ax bx Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang a Khi đó, ta có lim y lim x ax bx x x lim y lim x ax bx lim x x a b a x a x bx ax bx x 1 a b Vậy 2a b 56 Chọn B Chú ý: Để lim y 1 bậc tử phải bậc mẫu nên phải có a Khi lim y x x Ví dụ 2: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y b a2 mx x x có đường tiệm 2x cận ngang y ? A B Vô số C D Hướng dẫn giải 1 Tập xác định D \ 2 Ta có lim y x m 1 m 1 ; lim y x 2 m 1 2 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y m 1 m m Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Biết đồ thị hàm số y ax có tiệm cận đứng x , tiệm cận ngang y 3 Khi xb a b A -1 B C Câu 2: Các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y TOANMATH.com D -2 m 1 x 2m x 1 khơng có tiệm cận đứng Trang 26 A m B m C m D m 1 ax Giá trị tham số a b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x làm bx tiệm cận đứng đường thẳng y làm tiệm cận ngang Câu 3: Cho hàm số y A a 2; b B a 2; b 2 C a 1; b Câu 4: Giá trị tham số m để đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y D a 1; b 2 mx qua điểm A 1; 2x m A m 2 B m 4 C m 5 Câu 5: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y A B D m xm khơng có đường tiệm cận đứng? mx C Câu 6: Biết đồ thị hàm số y D ax có đường tiệm cận đứng x đường tiệm cận ngang bx y , giá trị a b A B C Câu 7: Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y A m B m 2 D mx có tiệm cận đứng x 1 C m 2 D m 2mx với tham số m Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm xm số cho thuộc đường thẳng đây? Câu 8: Cho hàm số y A x y B y x C x y D x y Câu 9: Giá trị tham số m để đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y x3 qua điểm x m 1 A 5; A m 1 B m C m D m 4 mx Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành trục tung làm tiệm cận ngang x 3n tiệm cận đứng Khi tổng m n Câu 10: Cho hàm số y A B C D Câu 11: Tất giá trị thực tham số m để đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y mx x 1 qua điểm M 10; 3 A m TOANMATH.com B m 3 C m D m Trang 27 3 x có hai đường tiệm cận hai x 2m đường tiệm cận với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích Câu 12: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y A m B m C m n 3 x n 2019 Câu 13: Biết đồ thị hàm số y xm3 ngang trục tung tiệm cận đứng Tổng m 2n A B -3 Câu 14: Đồ thị hàm số f x D m (m, n tham số) nhận trục hoành làm tiệm cận C -9 D ax qua điểm M 1; có đường tiệm cận đứng đường thẳng xb x 2 Giá trị f 1 A C B -8 D Câu 15: Có giá trị thực tham số m để hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y 2x m x m2 cắt điểm thuộc đường thẳng y x ? A B -1 C D x2 có đường tiệm cận đứng x a đường tiệm cận ngang y b 3x Giá trị nguyên tham số m nhỏ thỏa mãn m a b Câu 16: Đồ thị hàm số y A m 1 B m 2 Câu 17: Biết đồ thị hàm số y C m D m 3 ax qua M 2; có đường tiệm cận đứng đường thẳng x xd tổng a d A B C Câu 18: Biết đồ thị hàm số y a 2b x bx x2 x b cận ngang đường thẳng y Giá trị a 2b A B Câu 19: Biết đồ thị hàm số y D có tiệm cận đứng đường thẳng x tiệm C 10 4a b x ax x ax b 12 D nhận trục hoành trục tung làm hai tiệm cận giá trị a b A 10 B 15 Câu 20: Biết đồ thị hàm số y A x3 ax bx c x 2 B Câu 21: Biết đồ thị hàm số y TOANMATH.com C khơng có tiệm cận đứng Giá trị b c C x ax b x 1 D -10 D khơng có tiệm cận đứng Giá trị ab Trang 28 A B -1 C -2 Câu 22: Biết đồ thị hàm số y A -2 x 1 B 11 B khơng có tiệm cận đứng Giá trị ab C x ax b Câu 23: Biết đồ thị hàm số y A x ax b x 3 D 15 16 C 39 Câu 24: Với số thực dương a, b để đồ thị hàm số y A 15 16 khơng có tiệm cận đứng Giá trị a 2b 29 Giá trị lớn biểu thức log a 1 D D 27 a bx có đường tiệm cận x2 b B C -1 D -2 ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-C 4-A 5-C 6-A 7-B 8-B 9-D 10-B 11-B 12-C 13-C 14-B 15-A 16-B 17-A 18-B 19-B 20-B 21-C 22-C 23-C 24-D Dạng Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm ẩn Bài toán 1: Biết đồ thị, bảng biến thiên hàm số y f x , xác định tiệm cận đồ thị hàm số y A với A số thực khác 0, g x xác định theo f x g x Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y f x liên tục có - Xác định tiệm cận đứng: + Số tiệm cận đồ thị hàm số y A số đồ thị hình vẽ g x nghiệm phương trình g x + Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên hàm số y f x để xác định số nghiệm phương trình g x để suy số đường tiệm cận đứng - Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận đồ thị, bảng biến thiên hàm số để xác định TOANMATH.com Trang 29 Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x 1 A B C D Hướng dẫn giải Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f x f x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có ba nghiệm nên có ba tiệm cận đứng Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình vẽ Tổng số đường tiệm cận hàm số y A B f x 1 C D Hướng dẫn giải Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f x f x 1 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y có f x 1 hai đường tiệm cận đứng Ta có lim x 1 1 1 ; lim nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận x f x 1 1 f x 1 11 ngang y 1 y TOANMATH.com Trang 30 Vậy đồ thị hàm số y có bốn đường tiệm cận f x 1 Chọn D Ví dụ Cho hàm số y f x xác định, liên tục có bảng biến thiên hình vẽ bên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y A B f x x 3 C D Hướng dẫn giải Đặt t x x , ta có x t x t Mặt khác ta có t x 0, x nên với t phương trình x3 x t có nghiệm x Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f t f t 3 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm nên đồ thị hàm số y f x x 3 có tiệm cận đứng Ta có lim x y 1 1 lim ; lim lim nên đồ thị hàm số x f x x t f t f x x t f t có tiệm cận ngang y f x x 3 Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận Chọn A Ví dụ Cho hàm số bậc ba f x ax bx cx d a, b, c, d có đồ thị hình vẽ TOANMATH.com Trang 31 Đồ thị hàm số g x có đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang? f x2 A B C D Hướng dẫn giải Đặt t x , ta có x t Khi lim g x lim x t nên y tiệm cận ngang đồ thị hàm số g x f t x 2 x Mặt khác f x f x x 4 x Đồ thị hàm số g x có ba đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số g x có bốn đường tiệm cận Chọn C Bài toán 2: Biết đồ thị, bảng biến thiên hàm số y f x , xác định tiệm cận đồ thị hàm số y x g x với x biểu thức theo x, g x biểu thức theo f x Phương pháp giải - Dựa vào đồ thị hàm số y f x tìm nghiệm Ví phương trình g x xác định biểu thức dụ: Cho hàm số bậc ba f x ax bx cx d có đồ thị hình vẽ g x - Rút gọn biểu thức x g x tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Chú ý: - Điều kiện tồn x - Sử dụng tính chất đa thức g x có nghiệm TOANMATH.com Trang 32 x x0 g x x x0 g1 x , g1 x đa thức Đồ thị hàm số g x x 3x x x 5x 4 f x có đường tiệm cận đứng? A B C D Hướng dẫn giải x Điều kiện xác định x 1; x f x 0 Với g x điều kiện trên, ta có 2x 1 x 1 x f x Khi số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g x số nghiệm phương trình f x thỏa mãn x Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình x k 0;1 (thỏa mãn điều kiện) f x x Vậy đồ thị hàm số y g x có hai đường tiệm cận đứng Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx cx d có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số g x x 3x x x f x f x có đường tiệm cận đứng? A B C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 33 x x Điều kiện xác định x f x f2 x f x 0 f x f x Xét phương trình f x f x f x 1 2 Dựa vào đồ thị ta thấy - Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 (loại) x (nghiệm kép) - Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt x , x x2 1; , x x3 Khi f x f x f x f x 1 a x x1 x x 1 x x2 x x3 Suy g x x 1 , a x x x1 x x x2 x x3 x1 , x2 1; , x3 nên đồ thị hàm số y g x có ba tiệm cận đứng x ; x x2 ; x x3 Chọn C Ví dụ Cho hàm số bậc ba f x ax bx cx d có đồ thị hình vẽ Đặt g x x2 x Đồ thị hàm số y g x có đường tiệm cận đứng? f x f x A B C D Hướng dẫn giải f x Điều kiện xác định f x f x f x f x Ta có f x f x f x TOANMATH.com Trang 34 Dựa vào đồ thị ta có f x có hai nghiệm x x1 x (nghiệm kép) x x2 x1 ; 1 f x x x x3 Vậy biểu thức f x f x f x f x a x x1 x 1 x x x2 x x3 Khi ta có g x x2 x 2 f x f x a x 1 x x1 x x2 x x3 Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng Chọn A Ví dụ Cho f x hàm đa thức bậc có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số g x x 3 x x 3 f x f x A có đường tiệm cận đứng? B C D Hướng dẫn giải f x Điều kiện f x Ta có x 3 x x 3 x 3 x 1 ; f x f x f x f x Dựa vào bảng biến thiên, ta có f x có nghiệm x ; x (nghiệm kép); x (nghiệm kép) f x a x 1 x x 3 với a x x1 f x có hai nghiệm nên f x x x1 x x2 p x với p x đa thức x x2 2;3 bậc p x 0, x TOANMATH.com Trang 35 Khi g x a x 2 x x1 x x2 p x Vậy đồ thị hàm số y g x có ba đường tiệm cận đứng Chọn A Chú ý: Do f(x) hàm đa thức bậc nên f’(x) hàm đa thức bậc Ví dụ Cho hàm số y f x hàm đa thức bậc thỏa mãn f 1 f a a 3a 0, a Đồ thị hàm số y f x hình vẽ Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g x A B x 1 f x x3 x C D Hướng dẫn giải Đặt h x f x x3 x Điều kiện h x Ta có h x f x 3x , h x f x x Đặt t x , ta f t t 4t (*) Vẽ đồ thị hàm số y t 4t vào hệ trục có đồ thị hàm số y f t ta hình vẽ sau Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm t 1; t 3; t a Suy phương trình h x có nghiệm đơn x 1; x 1; x a b Ta có bảng biến thiên h x sau TOANMATH.com Trang 36 Vì h 1 f 1 h b f a a a f a a 3a 6a 12a với a nên phương trình h x có hai nghiệm phân biệt x x1 1; x x2 1;1 Vậy đồ thị hàm số y g x có hai tiệm cận đứng Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục \ 1 có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận đứng? f x A B C D Câu 2: Cho hàm số y f x liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau Tổng số đường tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y A TOANMATH.com B C f x D Trang 37 Câu 3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A B C f x D Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục \ 1 có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận đứng? f x A B C D Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng? f 3 x A TOANMATH.com B C D Trang 38 Câu 6: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y A B C D 2020 f x 1 Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ sau Đồ thị hàm số y A 1 có tất đường tiệm cận ngang? f x 1 B C D Câu 8: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y A 1 có đường tiệm cận? f x 1 B C D Câu 9: Cho hàm số y f x xác định \ 1;1 , có đạo hàm \ 1;1 có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng tiệm cận ngang? f x 1 A B C D Câu 10: Cho hàm số y f x xác định, liên tục có bảng biến thiên sau TOANMATH.com Trang 39 Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y A TOANMATH.com B C f x 2x D Trang 40 Câu 11: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hình vẽ bên Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y x 4 x2 2x f x f x A B C D Câu 12: Cho hàm số f x x 3 x 1 có đồ g x thị hình vẽ Đồ x 1 x 3 thị hàm số x 1 có đường tiệm cận đứng f x f x tiệm cận ngang? A B C D Câu 13: Cho hàm bậc ba f x ax3 bx cx d có đồ thị hình vẽ bên Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y x4 4x2 x 1 f x f x A B C D Câu 14: Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx cx d có đồ thị g x x hình vẽ bên 2x x x 3 f x f x Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng? A B C D Câu 15: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hàm số hình g x vẽ bên x x 1 f x f x Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng? A B C D TOANMATH.com Trang 41 Câu 16: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ sau Tổng số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A B C e f x 3 D Câu 17: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ sau Hỏi đồ thị hàm số y A x4 có tiệm cận đứng? f x f x B C D Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục \ 1 có bảng biến thiên hình vẽ sau Đặt g x f x f x 1 A Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y g x B C D Câu 19: Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên sau TOANMATH.com Trang 42 Đồ thị hàm số y e f x 1 A 1 có tiệm cận ngang tiệm cận đứng? B C D Câu 20: Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên sau f x f x 1 Đồ thị hàm số y f x có tổng số tất đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang A B C D ĐÁP ÁN 1–B 2–D 3–D 4–C 5–A 6–C 7–A 8–C 9–C 10 – C 11 – D 12 – C 13 – A 14 – D 15 – A 16 – A 17 – D 18 – A 19 – C 20 – C Dạng Biện luận số đường tiệm cận đồ thị hàm số Bài toán 1: Biện số đường tiệm cận đồ thị hàm số phân thức y f x g x , với f x g x đa thức Phương pháp giải Điều kiện đề đồ thị hàm số y f x g x có tiệm cận ngang bậc f x bậc g x Khi đồ thị hàm số y f x g x Ví dụ: Xét đồ thị hàm số y f x x 1 x 3x g x Khi đó, bậc f x nhỏ bậc g x nên có đường tiệm đồ thị có đường tiệm cận ngang y cận ngang Điều kiện để đồ thị hàm số y đứng x x0 TOANMATH.com f x g x có tiệm cận Ta có x 2 nghiệm g x không nghiệm f x nên x 2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Trang 43 Trường hợp 1: x x0 nghiệm phương trình Vì x nghiệm kép g x nghiệm g x không nghiệm phương trình đơn f x nên x tiệm cận đứng f x đồ thị hàm số Trường hợp 2: x x0 nghiệm bội n phương Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận y ; x 2 ; x trình g x , đồng thời nghiệm bội m phương trình f x n m Ta có f x x x0 f1 x với f1 x khơng có m x x0 nghiệm g x x x0 g1 x với n g1 x khơng có nghiệm x x0 Khi f x x x0 f1 x f1 x y n g x x x0 g1 x x x0 n m g1 x m nên x x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi S tập giá trị nguyên dương tham số m để đồ thị hàm số y x2 có x x m 3m ba tiệm cận Tổng giá trị tập S A B 19 C D 15 Hướng dẫn giải Điều kiện x x m 3m Ta có lim y đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang y x Số đường tiệm cận đứng hàm số cho số nghiệm khác -2 phương trình x2 x x m 3m nên để đồ thị hàm số y có ba tiệm cận phương trình x x m 3m x x m 3m phải có hai nghiệm phân biệt khác -2 13 13 m 1 m 3m m 3m m 0, m Do m nguyên dương nên m 1; 2 Vậy tổng giá trị tập S Chọn C TOANMATH.com Trang 44 Ví dụ Tổng tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x2 m có hai đường x2 3x tiệm cận A -5 B C -1 D Hướng dẫn giải Điều kiện x 1; x Vì lim y nên đồ thị ln có đường tiệm cận ngang y với m x x Ta có x 3x x Xét f x x m Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận f x phải nhận x f 1 m m 1 x nghiệm hay m m 4 f Với m 1 , ta có hàm số y x2 1 x 1 nên đồ thị có hai đường tiệm cận x 2; y x 3x x (thỏa mãn) Với m 4 , ta có hàm số y x2 x2 nên đồ thị có hai đường tiệm cận x 1; y x 3x x (thỏa mãn) Vậy S 1; 4 nên tổng giá trị m -5 Chọn A Ví dụ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x2 3x khơng có x mx m đường tiệm cận đứng A -12 B 12 C 15 D -15 Hướng dẫn giải Điều kiện x mx m Đặt f x x 3x 2, g x x mx m x 1 Ta có f x nghiệm đơn tử thức x Để đồ thị khơng có tiệm cận đứng, ta có trường hợp sau Trường hợp Phương trình g x vô nghiệm m 4m 20 2 m 2 Do m nên m 6; 5; ; 2 1 m m Trường hợp f x nhận đồng thời x x làm nghiệm m 3 2m m TOANMATH.com Trang 45 Thử lại, ta có y x 3x , đồ thị hàm số y khơng có tiệm cận loại x 3x Vậy giá trị ngun m để đồ thị khơng có tiệm cận đứng m 6; 5; ; 2;3 nên tổng -15 Chọn D Ví dụ Tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y 2x 1 có mx x 1 x2 4mx 1 đường tiệm cận A 1; 0 B 0 C ; 1 0 D ; 1 1; Hướng dẫn giải mx x Điều kiện 4 x 4mx - Với m , hàm số có dạng y 1 x2 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y Do m giá trị cần tìm - Với m Ta có lim y nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y x Để đồ thị hàm số có tiệm cận + Trường hợp Hai phương trình f x mx x g x x 4mx vô nghiệm 1 m m vô nghiệm 1 m 4m + Trường hợp Phương trình mx x 1 x 4mx 1 có nghiệm x x Khi nghiệm hai phương trình f x g x m 0 m 4 m 1 1 2m Do m nên m 1 Thử lại, với m 1 hàm số y 2x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 TOANMATH.com Trang 46 Khi đó, đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x 1 2, x m 1 không thỏa mãn Vậy tập hợp tham số m cần tìm m 0 Chọn B Bài toán 2: Biện luận số đường tiệm cận đồ thị hàm số chứa thức Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số y x2 x3 3x Hướng dẫn giải Bước Tìm tập xác định hàm số Tập xác định D 1;1 Bước Xác định đường tiệm cận x2 có tập xác định x3 3x - Tiệm cận ngang Xét hàm số y + Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa thức có D 1;1 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận tiệm cận ngang tập xác định phải có khoảng ; a b; + Điều kiện đủ là: Tồn giới hạn lim a lim b đường thẳng y a x x y b tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho ngang Ngoài ra, x nghiệm mẫu khơng có lân cận tập xác định nên không tồn lim y x 2 x2 Ta có lim y lim nên đồ thị có * Tiệm cận đứng: Tồn giá trị x0 để x 1 x 1 x 1 x giới hạn lim y lim y tiệm cận đứng x x x0 x x0 x x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Chú ý: Lân cận x0 tập xác định khoảng dạng a; x0 ; x0 ; b D Ví dụ mẫu Ví dụ Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y A m B m C m mx có ba tiệm cận x3 D m Hướng dẫn giải mx Điều kiện x Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang m TOANMATH.com Trang 47 Khi tập xác định hàm số D ; ; \ 3 m m Ta có lim x Nếu m mx mx mx m ; lim m nên đồ thị hàm số x x3 x3 có hai tiệm cận ngang y m Để tồn tiệm cận đứng x Kết hợp lại ta có m m m Chọn A Ví dụ Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x x2 3x có hai x m 1 x m đường tiệm cận m B m 2 m 3 A m m 2 C m 3 m D m 2 Hướng dẫn giải x x x 3; x Điều kiện x 1; x m x m 1 x m Tập xác định D ; 3 0; \ 1; m 2 Ta có lim y 0, m D y tiệm cận ngang đồ thị hàm số x Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận phải có đường tiệm cận đứng - Với m 3 D ; 3 0; \ 1 Khi đó, ta có hàm số y x x 3x 1 2 x 2x 1 x x x x Do lim y lim y nên x tiệm cận đứng đồ thị hàm số m 3 thỏa mãn x 1 x 1 - Với m 3 , ta có lim y lim x 1 x 1 x x 3x 1 1 lim x x m 1 x m x m x x 3x m 3 x không tiệm cận đứng đồ thị hàm số m 3 m Để đường x m tiệm cận đứng m m 2 TOANMATH.com Trang 48 Khi lim x ( m 2) m y (tùy theo m) nên x m tiệm cận đứng m 2 m 3 m Kết hợp hai trường hợp, ta có m 2 Chọn D Ví dụ Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x mx có tiệm cận ngang A m B m C m D m 1 Hướng dẫn giải Trường hợp Với m hàm số y x nên đồ thị khơng có tiệm cận ngang Do m khơng phải giá trị cần tìm 1 Trường hợp Với m hàm số có tập xác định D y ; nên không tồn xlim m m lim y đồ thị khơng có tiệm cận ngang x Do m khơng phải giá trị cần tìm Trường hợp Với m hàm số có tập xác định D Xét lim x mx x Xét lim x mx lim x x 1 m x x mx Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang m m Chọn C x 1 Ví dụ Tập tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y mx 3mx có bốn đường tiệm cận phân biệt A 0; 9 B ; 8 8 C ; 9 8 D ; \ 1 9 Hướng dẫn giải Điều kiện mx 3mx (*) Trường hợp Với m , ta có y x 1 nên đồ thị khơng có đường tiệm cận Do m khơng phải giá trị cần tìm Trường hợp Với m Phương trình mx 3mx có 9m 8m 0, m nên Nếu hàm số có tập xác định TOANMATH.com Trang 49 mx 3mx x x1 ; x2 (với x1 , x2 hai nghiệm phương D trình mx 3mx ) nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang, có tối đa hai tiệm cận đứng Do m khơng phải giá trị cần tìm Trường hợp Với m Xét phương trình mx 3mx - Nếu 9m 8m m Hàm số xác định Khi mx 3mx 0, x nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng mà có hai tiệm cận ngang y 1 1 lim lim x x m m m - Nếu 9m 8m m Khi đó, hàm số trở thành y 3 x 2 x 24 x 18 3 x 2 2x nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng hai tiệm cận ngang - Nếu 9m 8m m Nếu x nghiệm phương trình Hàm số xác định khoảng ; x1 x2 ; phương trình g x Khi đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y m Để đồ thị hàm số cho có bốn đường tiệm cận đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng Vì x nghiệm tử f x x nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng x 1 khơng phải nghiệm g x , phương trình có hai nghiệm phân biệt nên phương trình g x có nghiệm x a 1 g x m x 1 x a mx 3mx m 3m m Khi hàm số có dạng m Vậy giá trị m cần tìm m y nên có tiệm cận Chọn D đứng x a Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x 1 m x 1 x a 1 x 1 x 1 m x 2m có hai tiệm cận đứng? A TOANMATH.com B C D Trang 50 Hướng dẫn giải x 1 Điều kiện x 1 m x 2m Đặt f x x 1 m x 2m Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình f x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 1 Trường hợp f x có nghiệm x 1 f 1 m 2 Khi hàm số có dạng y 1 x 1 x 3x có tập xác định D 4; nên có tiệm cận đứng Trường hợp f x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 1 x1 1 x2 1 x x 2 m 1 m 8m m 2m m 2 m 1 m 2 m 2 m Do m nên m 1; m Chọn B Bài toán 3: Biện luận số đường tiệm cận đồ thị hàm ẩn Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục y f x có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số g x A 2020 có nhiều đường tiệm cận đứng? f x m B C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 51 Điều kiện f x m Để đồ thị hàm số g x 2020 có đường tiệm cận đứng phương trình f x m phải có nghiệm f x m x a Từ bảng biến thiên hàm số y f x suy phương trình f x có hai nghiệm x b với 1 a b Từ ta có bảng biến thiên hàm số y f x sau Suy phương trình y f x có nhiều ba nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hàm số g x 2020 có nhiều ba đường tiệm cận đứng f x m Chọn C Ví dụ Cho hàm số g x 2020 với h x mx nx3 px qx m, n, p, q , m , h x m m h Hàm số y h x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g x có hai tiệm cận đứng? A B 11 C 71 D 2019 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 52 Từ đồ thị suy h x m x 1 x x 3 m x3 13x x 15 m0 nên 13 h x m x x x 15 x h Đồ thị g x có hai đường tiệm cận đứng phương trình h x m m có hai nghiệm phân biệt x4 13 x x 15 x m có hai nghiệm phân biệt Đặt f x x 13 x x 15 x Ta có bảng biến thiên f x sau 32 35 Vì m nên m ;1 m ;0 Vậy có 11 số ngun m Chọn B Ví dụ Cho hàm số y f x hàm số bậc Đồ thị hàm số y f x hình vẽ f 1 20 Đồ thị hàm số g x A m f 3 f x 20 f x m (m tham số thực) có bốn tiệm cận B f 3 m f 1 C m f 1 D f 3 m f 1 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 53 Điều kiện f x m Từ đồ thị hàm số f x , ta có bảng biến thiên hàm số f x - Nếu m 20 đồ thị hàm số khơng có đủ bốn tiệm cận - Nếu m 20 lim x f x 20 f x m Đường thẳng y tiệm cận ngang đồ thị hàm số Ta có phương trình f x 20 có nghiệm x a f 1 20 Suy đồ thị hàm số g x có bốn tiệm cận phương trình f x m có ba nghiệm phân biệt khác a f 3 m f 1 Chọn B Ví dụ Cho hàm số f x liên tục lim f x ; lim f x Có giá trị x x nguyên tham số m thuộc 2020; 2020 để đồ thị hàm số g x x2 3x x f x f x m có tiệm cận ngang nằm bên đường thẳng y 1 A B C D Hướng dẫn giải x 3; x Điều kiện 0 f x f x f x m Do lim f x nên x f x f x x f x f x nghĩa x đủ lớn Do khơng tồn lim g x x Xét lim g x x Vì lim f x nên lim x TOANMATH.com x f x f x lim f x f x ; x Trang 54 lim x Từ lim g x x x x x lim x 1 x 3 với m 1 2m Khi đồ thị hàm số g x có tiệm cận ngang đường thẳng y 3 2m Để tiệm cận ngang tìm nằm đường thẳng y 1 3 1 1 m 2m 2 Vì m nên m Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x 1 có ba đường tiệm cận mx x m B m 1 m m D m 1 m m A m m C m Câu 2: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y A B mx có hai đường tiệm cận? x 3x C Câu 3: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y A m B m m 8 D x x2 có ba đường tiệm cận x2 2x m C m m 8 Câu 4: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y D m m 8 x2 có đường tiệm cận x 4x m đứng đường tiệm cận ngang A m 4; 12 B m 4;12 C m 4 Câu 5: Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng y mx 6x x 3 x 6mx 1 A B D m 12 10;10 để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? C Câu 6: Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y D 10 1 x 1 x mx 3m có hai tiệm cận đứng TOANMATH.com Trang 55 1 A 0; 2 1 1 B ; 4 2 1 C 0; 2 D 0; Câu 7: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x B m 2 A Không tồn m m x có tiệm cận ngang C m 1 m Câu 8: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y D m m 2 2x có đường tiệm cận 1 m x 3x ngang A m B m C m Câu 9: Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y A m B m D m mx 3mx có ba đường tiệm cận x2 C m Câu 10: Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y D m x 2019 x 2mx m 2 có ba đường tiệm cận A m m 1 B m C m D m x 2019 x 2020 12 70 x m 1 x m Câu 11: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y có hai đường tiệm cận? A 2019 B 2018 C 2021 D 2020 x 1 Câu 12: Tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y mx có hai tiệm cận ngang A m Câu y 13: B m Gọi S tập tất C m giá trị D Không có m tham số m để đồ thị hàm số x x x x mx có tiệm cận ngang Tổng phần tử S A -2 B -3 C Câu 14: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y D x 1 m x 1 có hai tiệm cận đứng m A m 1 B m C m Câu 15: Tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y D m m 1 x x2 x có đường tiệm cận ngang A khơng có giá trị m thỏa mãn B m C m D m TOANMATH.com Trang 56 Câu 16: Tất giá trị tham số a để đồ thị hàm số y ax x có tiệm cận ngang A a 2 a B a C a 2 Câu 17: Tất giá trị tham số a để đồ thị hàm số y A a B a a Câu 18: Cho hàm số y 12 x x x x 2m D a 1 x x2 ax có tiệm cận ngang C a D a có đồ thị Cm Tập hợp giá trị tham số thực m để Cm có hai tiệm cận đứng A 0;9 9 C 4; 2 B 8;9 9 D 4; 2 Câu 19: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y 2m 1 x x4 có đường tiệm cận ngang qua điểm A 1;3 A m B m 1 C m 2 D m Câu 20: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y A m m B m 9 x3 x2 m m C m 9 Câu 21: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị y D m mx m x 2016 có ba tiệm cận có hai đường tiệm cận ngang A m B m C m D m Câu 22: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y mx có đường tiệm x 1 cận A 1 m B 1 m Câu 23: Cho hàm số f x C m 1 D m xm 3 có đồ thị C Có giá trị nguyên tham số m thuộc x 4x đoạn 10;10 để đồ thị C có hai đường tiệm cận? A B C D Câu 24: Cho hàm số f x liên tục có lim f x lim f x Gọi S tập hợp giá trị x tham số m để đồ thị hàm số g x x x 1 f x 3 m 1 x m 2 x có tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang Tổng phần tử S TOANMATH.com Trang 57 A B -2 C -3 D ĐÁP ÁN 1–B 2–B 3–D 4–A 5–B 6–A 7–D 8–C 9–B 10 – D 11 – A 12 – A 13 – A 14 – A 15 – C 16 – C 17 – D 18 – D 19 – D 20 – C 21 – D 22 – A 23 – D 24 – A Dạng Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đường tiệm cận Bài toán 1: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số y ax b cx d Phương pháp giải Đồ thị hàm số y ax b 2x có đường tiệm cận Ví dụ: Cho hàm số y có đồ thị C Tọa cx d x2 ad bc 0, c độ giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng x d c Phương trình đường tiệm cận ngang y a c C A 2; 2 B 2; 2 C 2; D 2; Hướng dẫn giải - Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận Ta có phương trình hai đường tiệm cận x 2 d a điểm I ; tâm đối xứng đồ y nên tọa độ giao điểm I hai đường tiệm c c cận I 2; thị Chọn C - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có kích thước d a nên có chu vi c c d a ad C diện tích S c c c Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y mx có đường tiệm cận đứng qua điểm 2x m A 1; TOANMATH.com Trang 58 A m 2 C m B m D m 1 Hướng dẫn giải Ta có ad bc m 0, m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x Để tiệm cận đứng qua điểm A 1; m m 1 m Chọn B Ví dụ Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y 2x tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Phương trình đường tiệm cận x 1; y Do hai đường tiệm cận hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích 1.2 = (đvdt) Chọn D Ví dụ Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y 2mx m có đường tiệm cận đứng, x 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích A m 2 B m C m D m 4 Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận 2m m m Khi phương trình hai đường tiệm cận x y 2m Theo cơng thức tính diện tích hình chữ nhật tạo hai tiệm cận hai trục tọa độ, ta có S 2m Theo giả thiết 2m m 4 Chọn D Ví dụ Cho đồ thị hai hàm số f x 2x ax 1 g x với a Tất giá trị thực dương x 1 x2 tham số a để tiệm cận hai đồ thị hàm số tạo thành hình chữ nhật có diện tích A a B a C a D a Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số f x 2x có hai đường tiệm cận x 1 y x 1 Điều kiện để đồ thị hàm số g x ax 1 có tiệm cận 2a a x2 Với điều kiện đồ thị hàm số g x có hai đường tiệm cận x 2 y a TOANMATH.com Trang 59 Hình chữ nhật tạo thành từ bốn đường tiệm cận hai đồ thị có hai kích thước a a Theo giả thiết, ta có a a 2 Vì a nên a Chọn A Ví dụ Cho hàm số y x 1 có đồ thị C Hai đường tiệm cận C cắt I Đường thẳng x 1 d : y x b (b tham số thực) cắt đồ thị C hai điểm phân biệt A, B Biết b diện tích tam giác AIB 15 Giá trị b A -1 B -3 C -2 D -4 Hướng dẫn giải Ta có tọa độ điểm I 1;1 Phương trình hồnh độ giao điểm C d x 1 x 2x b x 1 f x x b 3 x b * Đường thẳng d cắt đồ thị C hai điểm phân biệt f x có hai nghiệm phân biệt b 2b 17 khác b f 1 2 Gọi x1 , x2 hai nghiệm (*) Khi A x1 ; x1 b , B x2 ; x2 b Ta có IA x1 1; x1 b 1 ; IB x2 1; x2 b 1 Diện tích tam giác IAB S x1 1 x2 b 1 x2 1 x1 b 1 1 b 2b 17 b 1 x1 x2 b 2 Theo giả thiết b b2 2b 17 15 b 2 2 b 1 b 1 16 225 b 1 b 4 Do b nên b 4 Chú ý: - Với tam giác ABC có AB a; b ; AC c; d S ABC ad bc - Nếu phương trình bậc hai ax bx c có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 a Chọn D TOANMATH.com Trang 60 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C1 C2 có phương trình x 1 y x 1 y Biết đồ thị hàm số y 2 ax b qua tâm C1 , qua xc tâm C2 có đường tiệm cận tiếp xúc với C1 C2 Tổng a b c A B C D -1 Hướng dẫn giải Đường trịn C1 có tâm I1 1; ; R1 C2 có tâm I 1; ; R2 Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ac b Gọi C đồ thị hàm số y ax b xc Khi ta có đường tiệm cận C x c y a a b c 1 c Ta có I1 , I C a b a b a c c c Đường thẳng x c tiếp xúc với C1 C2 nên c0 c a b 1 Khi tiệm cận ngang C y tiếp xúc với C1 , C2 thỏa mãn toán Vậy a b 1; c a b c Chọn C Bài toán 2: Bài toán khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số y ax b đến đường tiệm cận cx d Phương pháp giải Giả sử đồ thị hàm số y cận 1 : x ax b 2x có đường tiệm Ví dụ: Xét hàm số y có hai đường cx d x 1 tiệm cận x y Khi tích d a : y c c khoảng cách từ điểm M đồ thị đến ax b Gọi M x0 ; điểm đồ thị cx0 d Khi d1 d M ; 1 x0 d2 d M ; 2 cx d d c c hai đường tiệm cận d 2 1 ax0 b a ad bc cx0 d c c cx0 d TOANMATH.com Trang 61 Vậy ta ln có d1 d ad bc K số c2 khơng đổi Khi d1 d d1d K nên d1 d K d1 d cx0 d ad bc cx0 d ad bc c c cx0 d Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi M giao điểm đồ thị y 2x với trục hồnh Khi tích khoảng cách từ điểm 2x M đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số cho A B C D Hướng dẫn giải Gọi d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Áp dụng cơng thức, ta có d1 d 62 Chọn B Ví dụ Cho hàm số y 2x x2 C Gọi M điểm C , d tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị Giá trị nhỏ d A 10 B C D Hướng dẫn giải Gọi d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Áp dụng cơng thức, ta có d1 d 4 1 Khi d d1 d d1 d Vậy d Chọn C Ví dụ Cho hàm số y 3x có đồ thị C Điểm M có hồnh độ dương, nằm C cho 3 x khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang C Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng C A TOANMATH.com B C D Trang 62 Hướng dẫn giải 3x Giả sử M x0 ; C x0 0; x0 3 x0 Đồ thị C có tiệm cận đứng 1 : x , tiệm cận ngang : y tâm đối xứng I 3;3 Khi d1 d M ; 1 x0 d d M ; Theo giả thiết d1 2d x0 x0 x0 16 x0 (do x0 ) x0 x0 1 Vậy M 7;5 IM Chọn C Ví dụ Cho hàm số y H 4x có đồ thị H Gọi M x0 ; y0 với x0 điểm thuộc đồ thị x 1 thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận H Giá trị biểu thức S x0 y0 A B C D Hướng dẫn giải Đồ thị H có tiệm cận đứng 1 : x 1 tiệm cận ngang : y 4x Gọi M x0 ; H , x0 1, x0 x0 Khi d1 d M ; 1 x0 d d M ; d1 d x0 Ta có d1 d d1 d nên d1 d d1 d x0 x0 x0 x0 4 Do x0 nên M 4; S Chọn C Bài toán 3: Bài toán liên quan tiếp tuyến tiệm cận đồ thị hàm số y ax b cx d Phương pháp giải Ta có dạng câu hỏi thường gặp sau ax b có đồ thị C có cx d Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB d a ad bc 1 đường tiệm cận 1 : x , : y S IAB IA.IB K c c 2 c2 Giả sử đồ thị hàm số y TOANMATH.com Trang 63 Câu 2: Tìm điểm M C viết phương trình d a I ; c c ax b Gọi M x0 ; điểm đồ thị cx0 d Khi tiếp tuyến C M d:y ad bc cx0 d x x0 ax0 b cx0 d Gọi A d tiếp tuyến C biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vng có a) Cạnh huyền nhỏ AB IA2 IB IA.IB K Dấu xảy IA IB b) Chu vi nhỏ Ta có d 2bc ad acx0 A ; c cx0 d c ad bc IA c cx0 d IA IB AB IA.IB IA.IB K K Dấu xảy IA IB B d 2 c) Bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ cx0 d d a B x0 ; IB c c c Ta có R Do IA.IB ad bc c2 Do IAB vuông I nên S IAB đổi AB K Dấu xảy IA IB K số khơng đổi d) Bán kính đường trịn nội tiếp lớn Ta có r S K p IA IB AB ad bc 1 IA.IB K số không Vậy r lớn IA IB AB nhỏ 2 c2 K 2K Dấu xảy IA IB x A x B xM Ngoài ra, ta có nên M ln e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn y A yB yM Gọi H hình chiếu I lên d, ta có trung điểm AB 1 2 K IH IA.IB K IH IA IB Dấu xảy IA IB Nhận xét: Các câu hỏi đẳng thức xảy IA IB nên IAB vng cân I Gọi góc tiếp tuyến d tiệm cận ngang d ; d ; Ox 45 nên hệ số góc tiếp tuyến k tan 45 1 Vậy toán câu ta quy tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y TOANMATH.com ax b biết hệ số góc k k 1 cx d Trang 64 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y 2x có đồ thị C Tiếp tuyến C điểm có hồnh độ thuộc x 1 C cắt đường tiệm cận C tạo thành tam giác có diện tích B A C 2 D Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức, ta có S 2 Chọn D Ví dụ Cho hàm số y x 1 2x C Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số C Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đồ thị C đạt giá trị lớn A B C D Hướng dẫn giải 3 1 Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I ; 2 2 Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến d M C với hai đường tiệm cận Khi ta có IA.IB ad bc c 3 Gọi H hình chiếu I d, ta có Vậy IH max 1 1 2 IH IA.IB IH IA IB Chọn A Ví dụ Cho hàm số y 2x có đồ thị C Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận C Biết x2 tiếp tuyến C M cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi đó, diện tích lớn tam giác tạo hai trục tọa độ thuộc khoảng đây? A 28; 29 B 29;30 C 27; 28 D 26; 27 Hướng dẫn giải Ta có y 3 x 2 TOANMATH.com Trang 65 Theo lý thuyết để diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ AB nhỏ Khi hệ số góc tiếp tuyến phải k 1 Do y 0, x nên k 1 Xét phương trình y k 3 x 2 x 1 x - Với x y Tiếp tuyến 1 : y x y x 42 Khi 1 cắt Ox, Oy hai điểm M 3; , N 0; SOMN - Với x y tiếp tuyến 1 : y x y x Khi 1 cắt Ox, Oy hai điểm P 3; , N 0; SOPQ 42 2 27,85 Chọn C Ví dụ Cho hàm số y x 1 , gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m x2 Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A x1 ; y1 cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B x2 ; y2 Gọi S tập hợp số m cho x2 y1 5 Tổng bình phương phần tử S A B C D 10 Hướng dẫn giải Điều kiện m m Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng : x 2 tiệm cận ngang : y Ta có y x 2 y m 2 Phương trình đường thẳng d y m3 y m m m m3 x m 2 m m m6 A d A 2; ; B d B 2m 2;1 m Do x2 y1 5 2m m m6 5 m m m m 3 Vậy S 3 12 10 Chọn D TOANMATH.com Trang 66 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y 2x với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ x 2018 nhật có diện tích A 4036 B 1009 C 2018 D Câu 2: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y 2x x 1 A B C D Câu 3: Tất giá trị thực tham số m để đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị mx hàm số y với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích 2m x A m 1; m Câu 4: Cho hàm số y B m 1; m C m 1; m D m 1; m mx m, n tham số Biết giao điểm hai đường tiệm cận đồ xn thị hàm số nằm đường thẳng x y đồ thị hàm số qua điểm A 0;1 Giá trị m n A -3 B C D -1 x2 có đồ thị C Có điểm M thuộc C cho khoảng cách từ x 3 điểm M đến đường tiệm cận ngang lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng? Câu 5: Cho hàm số y A B Câu 6: Cho hàm số y C D x 1 có đồ thị C A điểm thuộc C Giá trị nhỏ tổng x 1 khoảng cách từ A đến đường tiệm cận C A 2 B C D x2 có đồ thị C Tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc C cho x2 tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Câu 7: Cho hàm số y A 0; 1 Câu 8: Cho hàm số y B 2; C 1; 3 D 4;3 2x có đồ thị C M điểm thuộc C cho tiếp tuyến C M cắt x2 hai đường tiệm cận C hai điểm A, B thỏa mãn AB Tổng hoành độ tất điểm M thỏa mãn toán A Câu 9: Cho hàm số y B C D x2 có đồ thị C Gọi d khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đồ thị x 1 C đến tiếp tuyến C Giá trị lớn d TOANMATH.com Trang 67 A B 3 Câu 10: Cho hàm số y C D 2 x 3 có đồ thị C Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận C Các x 1 điểm M C cho độ dài đoạn IM ngắn A M 1;1 M 3; B M 1; 1 M 3;3 C M 1; 1 M 3; D M 1; 2 M 3; 3 Câu 11: Cho đồ thị C : y 2x Gọi M điểm thuộc đồ thị C Tiếp tuyến đồ thị C x 1 M cắt hai đường tiệm cận C hai điểm P Q Gọi G trọng tâm tam giác IPQ (với I giao điểm hai đường tiệm cận C ) Diện tích tam giác GPQ A B Câu 12: Cho hàm số y C D 2x có đồ thị C Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận x 1 M x0 , y0 x0 điểm C cho tiếp tuyến C M cắt hai đường tiệm cận A, B thỏa mãn AI IB 40 Khi tích x0 y0 A B C D Câu 13: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số f x đứng đường thẳng x x1 x x2 cho m A m 2 x 1 có hai đường tiệm cận x mx x12 x22 x22 x12 2 m C m 2 B 2 m Câu 14: Biết đồ thị hàm số f x 15 m D m x 1 có hai tiệm cận đứng x x1 x x2 x mx n x1 x2 cho Giá trị m n x1 x2 35 A -1 B -7 C D ĐÁP ÁN 1–A 2–C 3–A 4–B 11 – A 12 – B 13 – D 14 – C TOANMATH.com 5–B 6–A 7–D 8–B 9–A 10 – B Trang 68