Bài giảng đường tiệm cận

BÀI TIỆM CẬN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm đường tiệm cận đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số + Nhận biết đồ thị hàm số có tiệm cận + Nắm tính chất đường tiệm cận với đồ thị hàm số  Kĩ + Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận hàm số cho công thức, cho bảng biến thiên + Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số chứa tham số + Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số ẩn + Áp dụng tính chất đường tiệm cận vào toán liên quan TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y  f  x  lim f  x   y0 lim  y0 x  x  Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   ; lim f  x    ; x  x0 x  x0 lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Tiệm cận đứng Tiệm cận ngang Đường thẳng x  x0 gọi Đường thẳng y  y0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  y  f  x điều kiện sau thỏa mãn: lim  y0 x  x0 lim f  x   ; lim f  x    x  x0 lim f  x   y0 x  x  lim f  x   ; lim f  x    x  x0 TIỆM CẬN x  x0 TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị Bài toán Xác định đường tiệm cận dựa vào định nghĩa Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có lim f  x   Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận x  Tiệm cận ngang Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  lim f  x   y0 x  lim f  x   y0 lim  1 x  Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  y  y  1 x  Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có lim f  x    x 2 Tiệm cận đứng Đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: x2 Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  x  2 x  lim f  x   ; lim f  x    x  x0 lim f  x    x  x0 lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có lim f  x   3 lim f  x   Mệnh đề đúng? x  x  A Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang y  y  3 B Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang x  x  3 C Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Vì lim f  x   3 nên y  3 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  Vì lim f  x   nên y  đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đường cong  C  giới hạn: lim f  x   1; lim f  x   1; lim f  x   2; lim f  x   Mệnh đề sau đúng? x  2 x 2 x  x  A Đường thẳng x  tiệm cận đứng  C  TOANMATH.com Trang B Đường thẳng y  tiệm cận ngang  C  C Đường thẳng y  tiệm cận ngang  C  D Đường thẳng x  tiệm cận ngang  C  Hướng dẫn giải  lim f  x    x  Ta có   đường thẳng y  tiệm cận ngang  C  f  x   xlim  Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  2;  1 có lim f  x   , lim f  x    x 2 x 1 Mệnh đề sau đúng? A Đồ thị hàm số y  f  x  có hai tiệm cận đứng x  2 x  1 B Đồ thị hàm số y  f  x  có tiệm cận ngang y  C Đồ thị hàm số y  f  x  có tiệm cận đứng x  1 D Đồ thị hàm số y  f  x  có hai tiệm cận ngang y  y  1 Hướng dẫn giải Do lim f ( x)   nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 x 1 Chọn C Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số Phương pháp giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  f  x  xác Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên định phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm sau: cận ngang, số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x  Chú ý: - Ứng với điểm x  x0 bảng biến thiên dịng y phải ghi kí hiệu -∞ +∞ (khơng phải giá trị cụ thể) đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng đồ thị Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x  x0 - Ứng với điểm -∞ +∞ bảng biến thiên tiệm cận đứng đường thẳng y  y đường dịng y phải ghi giá trị cụ thể y0 (không tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  phải -∞ +∞) đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang đồ thị TOANMATH.com Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm  \ 1 Hàm số có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y  f  x  có đường tiệm cận? A B C D Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên hàm số, ta có lim f  x   3  y  3 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  lim f  x    y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  lim f  x     x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 lim f  x   , lim f  x     x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 x 1 Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng x  1 , hai tiệm cận ngang y  3 Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm  \ 2; 1 có bảng biến thiên sau: Phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A x  2 x  B khơng có tiệm cận đứng C x  2 D x  Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên, ta có lim  y   nên x  2 đường tiệm cận đứng; x   2  lim y  lim y  nên x  không đường tiệm cận đứng x 1 x 1 TOANMATH.com Trang Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x  A x  y  2 B x  y  C x  1 y  2 D x  1 y  Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị, ta suy tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị đường thẳng x  1, y  Chọn D Bài toán Xác định đường tiệm cận đồ thị biết hàm số Phương pháp giải Tiệm cận đồ thị hàm số y ax  b , c  0, ad  bc  cx  d Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm 2x  số y  x 1 Thực theo bước sau:  d Bước Tập xác định D   \     c Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 1 Bước Xác định đường tiệm cận đứng, tiệm Khi lim y  lim y  nên đồ thị có đường x  x  cận ngang đồ thị tiệm cận ngang y  a - lim y  nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận lim y  ; lim y   nên đồ thị có đường tiệm x  c x 1 x 1 cận đứng x  TOANMATH.com Trang ngang y  a c - lim  y   nên đồ thị hàm số có đường tiệm x  d c cận đứng x   d c Vậy đồ thị hàm số y  Bước Kết luận Đồ thị hàm số y  ax  b có hai đường tiệm cận: cx  d a d Tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y   c c 2x  x 1 nhận đường thẳng y  tiệm cận ngang nhận đường thẳng x  tiệm cận đứng Chú ý: - Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm ax  b  d a điểm I   ;  tâm đối xứng cx  d  c c đồ thị số y  ax  b cx  d với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y  a d  ad chu vi    diện tích c  c  c Tiệm cận đồ thị hàm số hữu tỷ y  f  x g  x Điều kiện xác định g  x   Tính giới hạn lim y; lim y thỏa mãn định x  x  x0 Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm x 1 số y  x  2x  Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 1;  3 nghĩa đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang Ta có lim y  0; lim y  ; lim   kết luận x  X—>±0O X->Xg x 1 Chú ý: - Đối với hàm số phân thức hữu tỷ y  f  x   an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 f  x g  x  an với x 3 Suy đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng x  1; x  3 tiệm cận ngang y    g  x   bm x m  bm1 x m1   b1 x  b0  bm   Khi đó: + Nếu n  m đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang + Nếu n  m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang TOANMATH.com Trang y an bm + Nếu n  m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y0 - Nếu đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  x0 nghiệm phương trình g  x   (ngược lại nghiệm g  x   chưa tiệm cận đứng đồ thị) Hay nói cách khác x  x0 điểm gián đoạn hàm số Tiệm cận đồ thị hàm số vô tỷ Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng để xác  x2 định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận đồ thị hàm số y  x2 ngang tìm tập xác định hàm số Hướng dẫn giải Bước Tập xác định D   1; 1 Không tồn giới hạn lim y; lim nên đồ thị x  x  hàm số khơng có tiệm cận ngang Mặt khác hàm số liên tục khoảng  1; 1 lim y  f  1 ; lim y  f 1 nên hàm số liên tục x 1 x 1 đoạn  1; 1  Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số y  x 1 x2 A x  2 y  B x  1; y  C x  2; y  D x  2; y  1 Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 2 Ta có lim x2 lim x  x 1 x 1  ; lim   nên x  phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 2 x  x2 x 1 x 1  lim  nên y  phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số x  x2 x2 Chọn C Ví dụ 2: Đồ thị hàm số sau nhận đường thẳng x  tiệm cận đứng? A y  2x x2 TOANMATH.com B y  C y  2x x2 D y  x   x Trang Hướng dẫn giải 2x 2x 2x có tập xác định D   \ 2 lim  ; lim   nên đồ thị x  x  x2 x2 x2 hàm số có tiệm cận đứng x  Ta thấy hàm số y  Chọn A 3x  x 1 Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng đồ thị hàm số y  A  1; 3 B  1; 1 C  3; 1 D 1; 3 Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 1 Ta có đường tiệm cận đứng đồ thị x  tiệm cận ngang đồ thị y  , tọa độ tâm đối xứng đồ thị giao hai đường tiệm cận I 1; 3 Chọn D Ví dụ 4: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x 1 diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y  Khi hình chữ nhật tạo hai đường tiệm cận hai trục tọa độ có kích thước nên có diện tích S  1.2  (đvdt) Chọn A Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A B C x x2 D Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 2 lim y  lim x2 x2 lim y  lim x  x  lim y  lim x  x  x x2    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  x   Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  x2 2x  1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1 x2 Vậy số đường tiệm cận đồ thị hàm số TOANMATH.com Trang 10