Giáo trình Xác suất - Thống kê - Đại học Thuỷ lợi

PGS.TS NGUYỄN HỮU BẢO Giáo trình Xác suất - Thống kê - Các vỉ dụ lời giải - 10 đề thỉ luyện tập đáp án thang điểm Nhà xuất xây dựng Hà Nội - 2003 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I: CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT .10 §1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 10 §2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 10 §3 CÁC PHÉP TĨÁN biến số 11 §4 CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 11 4.1 Định nghĩa xác suất co điến 11 4.2 Định nghĩa hình học xác suất 12 4.3 Định nghĩa thong kê xác suất 12 §5 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 13 5.1 Định lý cộng xác suất 13 5.2 Định lý nhân xác suất 13 a b c d Khái niệm xác suất có điều kiện 13 Khái niệm tính độc lập hai biến cố 14 Công thức xác suất đầy đủ 15 Công thức Bayes .16 Lòi Giải BÃI Tập Chương 19 CHƯƠNG II: CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC 21 gl.CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 21 1.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 21 1.2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 21 §2 LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 21 2.1 Bảng phân bổ xác suất đại lượng ngẫu nhiên rời rạc .21 2.3 Hàm mật độ đ.l.n.n liên tục 23 §3 CÁC LUẬT PHÂN PHĨI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 23 A Với đ.l.n.n ròi rạc 23 Luật siêu hình học 23 Luật nhị thức 23 Luật Poisson 24 B Với đ.l.n.n liên tục 24 Luật phân phối 24 Luật phân phối Gamma 24 Luật chuẩn .25 §4 CÁC ĐẠC TRƯNG CỦA MỘT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 26 4.1 Kỳ vọng toán học 26 4.2 Phương sai 27 4.3 Cácmômen 27 4.4 ý nghĩa rnômen 28 §5 HÀM CỦA MỘT Đ.L.N.N 28 5.1 Hàm đ.l.n.n rời rạc 28 5.2 Hàm đ.l.n.n liên tục 29 BÀI TậP CHƯƠNG 11 31 Lòi Giải BÀI Tập Chương II 34 CHƯƠNG III: LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN 37 §1.LUẬT SỐ LỚN 37 1.1 Luật số lớn dạng Chebyshev 37 1.2 Luật so lớn dạng Khinchin 37 §2 ỨNG DỤNG CỦẤ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN 37 2.1 Định lỷ giới hạn Moivres - Laplace: 38 2.2 Định lý giới hạn trung tâm 38 2.3 Định lý giới hạn Poisson 39 CHƯƠNG IV: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 41 §1 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT HAI CHIỀU 41 Lĩ Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều ròi rạc (X, Y) 41 1.2 Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y) 41 1.3 Phân phoi xác suất hai chiều 41 a Rời rạc 41 b Liên tục 43 1.4 Hàm phân phoi xác suất hai chiều 43 §2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT cọ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN 44 2.1 Phân phoi xác suất có điều kiện 44 a Rời rạc 44 b Liên tục 44 2.2 Kỳ vọng có điều kiện 44 a Rời rạc 44 b Liên tục 44 §3 TÍNH ĐỘC LẬP VÀ TƯƠNG QUAN CỦA HAI Đ.L.N.N 45 3.1 Tỉnh độc lập hai đ.l.n.n 45 3.2 Mômen tương quan ( gọi hiệp phương sai covariance ) 45 §4 PHÂN PHÔI XAC SUẤT CỦA TÔNG HAI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 45 a Trường hợp Xvà Y đ.l.n.n rời rạc 45 b Trường hợp XvàY đ.l.n.n liên tục 46 §5 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN N CHIỀU 47 5.1 Hàm phân phoi xác suât n chiều 47 5.2 Hàm mật độ n chiều 47 5.3 Tỉnh độc lập 5.4 Ma trận Covarian 47 BÀI Tập CHƯƠNG IV 49 Lời Giải BÀI Tập Chương IV 51 CHƯƠNG V: THỐNG KÊ MÔ TẢ 53 §1.MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN 53 Mau ngẫu nhiên đơn giản nhiều chiều .53 Các cách cho mẫu chiều 53 a Mau liệt kê .53 b Các mẫu rút gọn 53 §2.CÁC ĐẶC TRUNG MẪU MỘT CHIỀU 54 2.1 Hàm phân phoi thực nghiệm ( hay gọi hàm phân phoi mẫu ) 54 2.2 Các so đặc trưng mau ( hay thống kê quan trọng nhất) 55 §3 CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU HAI CHIỀU.T 55 3.1 Bảng phân phối hai chiều 55 3.2 Các phân bố biên duyên 56 3.3 Mô men tương quan 56 3.4 Hệ số tương quan hai đ.l.n.n X Y 56 BÀI TẬP CHƯƠNG V 59 CHƯƠNG VI: ƯỚC LƯỢNG THỐNG KÊ 64 §1 ĐẶT VẤN ĐỀ 64 §2 CẲC ƯỚC LƯỢNG TỐT NHẤT CHO THAM SỐ 64 2.1 Tính khơng chệch 64 2.2 Tính vững 65 2.3 Tính hiệu 65 §3 KHOẢNG TIN CẬY CHO THAM SỐ 65 §4 CÁC ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG TRONG xử LÝ SỐ LIỆU 66 4.1 Ước lượng điếm cho giá trị thực đo 66 4.2 Ước lượng khoảng cho giả trị thực đo với độ tin cậy Ỵ t7fơ trước với giả thiết mẫu quan sát ve X có phân phoi chuẩn biết phương sai 66 4.3 Ước lượng khoảng cho giả trị thực đo với độ tin cậy y cho trước với giả thiết mau quan sát ve X có phân phoi chuấn chưa biết phương sai 67 4.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ đám đông ( xác suất xuất biến cổ A ) 68 4.5 Khoảng tin cậy cho phương sai 68 4.6 Khoảng tin cậy cho hiệu kỳ vọng 69 4.7 Khoảng tin cậy cho sai khác tỷ lệ mau lớn : 70 BÀI Tập Chương VI .* 71 Lời Giải BÀI Tập Chương VI 75 CHƯƠNG VII: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 78 gl.ĐẶT BÀI TOÁN 78 §2 CÁC TIÊU CHUẨN KIÊM ĐỊNH GIẢ THIẾT TÓI ưu MỨC a 78 §3 ỨNG DỤNG CÁC TIẾU CHUẲN KIỀM ĐỊNH MỨC a TRONG PHÂN TÍCH VÀ xử LÝ SÓ LIỆU 78 3.1 Kiếm định giá trị chân thực đại lượng cần đo đạc ( kỳ vọng EX) 78 a X giả định có phân phối chuẩn N , ơ2) vói ơ2 biết 78 b X giả định có phân phơi chn với phương sai chưa biêt 79 3.2 So sảnh hai kỳ vọng từ hai liệt sổ liệu khảc ( kiếm định liệt so liệu ) 80 a Trương họp mẩu giả định từ đ.l.n.n có phân phơi chn vói phương sai ơ2 biêt 80 b Trường họp mẫu giả định từ đ.l.n.n có phân phoi chuẩn với phương sai chưa biết 81 3.3 Kiếm định giả thiết tỷ lệ 81 a Bài toán so sánh tỷ lệ mau f tỷ lệ lý thuyếtp 81 b Bài toán so sánh tỷ lệ 82 3.4 Kiếm định sai số thô 82 a Sai số ngẫu nhiên 83 b Sai số hệ thong 83 c Sai số thô 83 3.5 Kiếm định giả thiết dạng phân phoi xác suất 84 BÀI Tập Chương VII 87 CÁC BÃI TẬP ÔN TẬP 93 A- PHầN XÁC suấT 93 B - PHầN THỐNG KÊ 96 PHỤ LỤC 102 §1.MỘT SỐ KIÉN THỨC BẲN VỀ TÔ HỢP 102 1.1 Hoán vị 102 1.2 Tổ họp 102 1.3 Chỉnh hợp 102 1.4 Chỉnh hợp lặp 103 1.5 Nhị thức Newton .103 §2 HÀM GAM-MA 103 §3 HÀM BÊ-TA 104 §4 CÁC PHÂN PHÓI THƯỜNG GẶP: 104 Phân phoi siêu hình học 104 Phân phoi nhị thức 104 Phân phoi hình học .104 Phân phoi nhị thức âm 104 Phân phối Poisson .105 Phân phoi [ a,b ] 105 Phân phoi mũ 105 Phân phoi chuẩn 105 Phân phổi loga chuẩn 105 10 Phân phoi gani-ma .106 11 Phân phối 106 12 Phân phoi Student .106 13 Phân phối F 106 14 Phân phối bê-ta 107 §5 CÁC BẢNG TRA 108 bảng : Giá trị hàm lapỉace 0(t)= —7=fe dx V2k Bảng : Giá tộ hàm Aa,v 108 109 Bảng : Giá trị hàm Student ty,v 110 Bảng : Giá trị tới hạn để kiểm định sai số thô ( Ta;n) 111 MỘT SÓ ĐỀ THI THỬ 112 A CÁC Đề THI CHO CHƯƠNG TRÌNH XÁC SUấT - Thống kê 60 TlếT ( HọC PHầN XÁC SUấT: 30 TlếT, HọC PHầN Thống KÊ30TlếT) 112 Đề thi học phần Xác suất 112 Đe thi học phần thong kê 114 B CÁC Đề THI CHO CHƯƠNG TRÌNH XÁC SUấT - Thống kê 45 TlếT 117 ĐÁP ẤN THANG ĐIỀM CÁC BÀI THI THỬ 120 A CÁC Đề THI CHO CHƯƠNG TRÌNH XÁC SUấT - Thống kê 60 TlếT 120 B CÁC Đề THI CHO CHƯƠNG TRÌNH XÁC SUấT THỐNG KÊ 45 TlếT 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO 132 THÔNG TIN TÁC GIẢ 133 LỜI NÓI ĐẦU Kẻ từ năm 1998 theo đạo Bộ Giáo dục - Đào tạo, mồn Xác suất Thống kê trở thành môn bắt buộc chng trình đào tạo tốn cho trường Đại học nhóm ngành AI thường hai học phần cuối sau Đại số tuyến tính Giải tích Nó thực cầu nối toán với lĩnh vực ứng dụng toán thực kiến thức tối cần thiết cho kỹ sư tương lai, người phải làm việc với kết quan trắc hay thiết bị thí nghiệm Chắng cịn thực cần thiết cho học viên hệ Sau đại học với luận án cao học mà hầu hết liên quan đến xử lý số liệu thực nghiệm thiết kế thiết bị thí nghiệm Cùng với yêu cầu cấp bách cải tiến phương pháp giảng dạy thiết kế nội dung chương trình đào tạo kỹ sư diễn trường đại học, giáo trình Xác suất - Thống kê cần có thay đối theo hướng tinh giản, gọn nhẹ phải mang nội dung ứng dụng, đào tạo nghề sâu sắc Với thời lượng chừng 45 đến 60 tiết, việc giảng dạy sở toán học, cách trình bày q sâu sắc tốn học, thuật ngữ tốn học cầu kỳ trở nên khơng phù hợp Nhiều kết sâu sắc lý thuyết xác suất trở nên chưa phù hợp với khối lượng kiến thức tốn cao cấp cịn hạn chế chương trình phổ biến trường đại học kỹ thuật Một trạng phổ biến giáo viên trẻ khó dạy giáo trình xác suất thống kê cho vừa chăt chẽ mặt tốn học lại vừa có khả cung cấp cho sinh viên hiểu biết ứng dụng lĩnh vực Sinh viên học xong hết 30 tiết xác suất thấy khó làm tập xác suất cố điên, sau 30 tiết thống kê sinh viên thấy khó khăn khơng để thực trình bày tập thống kê đề mang mầu sắc ứng dụng thực tiễn Chưa nói đến khả ứng dụng vào chun mơn sau mà trước mắt, tỷ lệ thi lại mồn xác suất thống kê số trường làm cho thấy cần có thay đổi trước hết khâu giáo trình ( sau vấn đề cải tiến phương pháp giảng dạy) Với ham muốn trình bày gọn nhẹ vấn đề lý thuyết truyền đạt nhiều ý nghĩa ứng dụng, thực hành mồn Xác suất, Thống kê, chúng tơi biên soạn chương trình này, phục vụ hệ đào tạo đại học hệ đào tạo sau đại học Với tham khảo cách viết số giáo trình số trường đại học kỹ thuật Mỹ Pháp, tin cách viết đắn Đồng thời với kinh nghiệm giảng dạy xác suất thống kê thân ( dù cịn ỏi), chúng tơi tin với hệ thống tập với lời giải, hướng dẫn đáp số với thi giải mẫu có thang điểm tài liệu thiết thực giáo viên trẻ, độc giả sinh viên nhiều trường hoan nghênh Vì lực thời gian có hạn, chúng tơi biết giáo trình cịn có nhiều nhược điếm sai sót Hy vọng nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp độc giả sinh viên để lần tái sau bố sung, sửa chữa, sớm đến giáo trình hoàn thiện Xin cảm ơn số bạn đồng nghiệp giảng dạy ngồi trường đóng góp ý kiến tài liệu đế cho thảo thêm phong phú bố ích Xin cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, chủ nhiệm Khoa đào tạo Việt - Nga, Đại học Quốc gia Hà Nội, GS.TS Hà Văn Khối, chủ nhiệm Bộ mơn Thủy văn Cơng trình trường Đại học Thuỷ lợi giáo sư đọc phản biện thảo cho nhiều ý kiến đạo q báu Neu giáo trình thành cơng, tơi xin kính tặng người thầy dạy Xác suất - Thống kê cho tôi, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, thành công Hà Nội, - 2003 Người biên soạn PGS.TS Nguyễn Hữu Bảo “ Sách viết đọng, có nhiều vỉ dụ hay bố ỉch, nhiều tập sinh động có lời giải quan trọng giảng sinh viên hiếu rõ lý thuyết vận dụng thực hành Đặc biệt sách cịn có đề thỉ đế sinh viên tự kiếm tra Nói chung, giáo trình tốt giúp cho sinh viên trường Đại học kỹ thuật học xác suất, thống kê khuôn khô từ 45 tới 60 tiết ” GS TSKH Nguyễn Duy Tiến ĐHQG Hà Nội ( Trích nhận xét phản biện thứ ) CHƯƠNG I: CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT §1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Khi xem xét việc, tượng mà ta quan tâm ta thường phải tiến hành thực nhóm điều kiện để xem kết cục Khi ta gọi tiến hành phép thử Ví dụ, cần xem xét tượng vỡ đập sông cố định, người ta cần xây dựng sông thu nhỏ theo tỉ lệ tương ứng tiến hành điều kiện nước dâng lên cho áp lực vào thành đập điều kiện khác tương tự thực tế đế quan sát xem đập có bị vỡ hay khơng Đó tiến hành phép thử Kết cục phép thử gọi biến cố Ví dụ gieo xúc sắc cân đối, đồng chất lên mặt phẳng lý tưởng Mỗi lần gieo lần tiến hành phép thử kết số chấm xuất mặt xúc sắc biến cố: xuất chấm, xuất chấm, , xuất chấm Vậy có biến cố xuất lần gieo xúc sắc Các biến cố cịn gọi biến cố sơ cấp, hay gọi biến cố đồng khả Tập hợp biến cố sơ cấp gọi không gian biến cố Các biến cố thường ký hiệu chữ A, B, Riêng biến cố chắn (là biến cố tiến hành phép thử chắn xảy ) ký hiệu chữ Q Còn ngược lại với biến cố chắn biến cố trống ( chắn không thê xảy sau phép thử ) ký hiệu chữ §2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIỂN CỐ Biến cố đối lập biến cố A, ký hiệu A, biến cố xảy biến cố A khơng xảy Ví dự' Khi gieo xúc sắc, biến cố “xuất số chấm chẵn” biến cố đối lập biến cố “xuất số chấm lẻ” ngược lại Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A c B, A xảy suy B xảy Ví dụ' Khi gieo xúc sắc, biến cố “xuất chấm” kéo theo biến cố “xuất số chấm chằn” Hai biến co A, B gọi tương đương, ký hiệu A = B, chúng đồng thời xảy đồng thời khồng xảy (tức A cz B B cz A) Ví dụ: Khi gieo đồng thời hai xúc sắc, biến cố “tống số chấm xuất 12” tương đương biến cố “ hai xúc sắc xuất chấm” 10 D miền phắng < (x, y): 71 71 2’ Tính kỳ vọng EX, EY Câu 3: Đe nghiên cứu khác thi vấn đáp thi viết với việc lấy điếm hú họa học sinh lóp chất lượng cao, người ta thấy điểm trung bình thi vấn đáp học sinh lóp khóa 41 24,6 điểm ( học phần toán ) sị2 = 0,24 học phần tốn đó, điêm trung bình 16 học sinh khóa 42 thi viết 25,8 s22 = 0,16 Vậy với mức ý nghĩa a = 0,05 liệu có kết luận có khác đáng kể điểm trung bình hình thức thi vấn đáp thi viết Đề số 4: Câu /: Có sách khoa học sách văn học xếp thành hàng giá sách Tìm xác suất biến cố xếp sách khoa học lại đặt cạnh sách văn học Câu 2: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ đồng thời ^_.i Đề số 3: Câu /: ( 3,0đ ) Gọi Hi biến cố “ sinh viên thuộc nhóm i ” với i = 1, 2, 3, Ta có hệ đầy đủ gồm biến co H1, H2, H3, H4 gọi A biến cố không giải câu đố chữ Theo đầu bài, P(H,)=^ P(H2) = -^, P(H3) = -2-, lo pey^W’2’ P(%2) = °3, lo P(%3) = 0A P(H4) = -±-, lo lo P(A^4) = O,5 Theo công thức Bayes, xác suất cần tìm là: TT / Ắx0,2 P(H1/) = 18 = 10 v /A7 _ _ _ _ _ 57 -4 X 0,2 + 4-X 0,3 +-4 x 0,4 + 4:x 0,5 Jỉ 18 18 18 18 121 TưOTgtự,P(H^).|ỉ P(H^) = iệ, vàP(H>/).Iệ Vậy sinh viên có khả thuộc nhóm Câu 2: (3,5đ)a) ( 2,0đ) Từ điều kiện jp(x)dx = l ta có: f X dx r ~^a = i-dt-i —dt ! dt '"ỉ/I b)( l,5đ)Tacó: {p|x-l| a = 0,01 -> 2O(a) = - a ta tth = 2,58 ) Vì thế, n= (2,58)2.0,0026325 +1 =44 (0,02)2 Vậy đế đạt độ xác = 0,02 độ tin cậy 99% cần 44 qua sát cần đo 44 chi tiết) ( Đề Số : Câu ỉ: (3đ), a) (lđ) Đẻ xếp em lên đầu có C10 cách xếp em cịn lại có 27 cách xếp lên xe lại Tổng số biến cố đồng khả 310 Vậy xác suất cần tìm Cịq.27 _ 5120 310 ”19683 b) Để em lên xe đầu, có c 10 cách xếp, để toa có em có c cách xếp (trong em cịn lại), em cịn lại có c cách xếp Vậy xác suất cần tìm C?ó-C^cj 1400 310 ” 19683 ■ 127 c) Giống trường họp b) nhân thêm số hoán vị Y, X X ,, 3!c^o.cịc^ _ 2800 Xác suat cân tìm là: 310 6561 Câu 2: (2đ) a) Từ điều kiện J p(x)dx =1, ta có: —00 1= jcce ^dx =-y |e Zxd(-Àx) À=a (l,0đ) Ầ 0 -2Ầ b) p {2 < X < 3} = jÀe“Àxdx = Jeudu = e“2Ầ -e“3X ( 1,0đ ) -3X Cău3* (5đ) a) Các ƯLKC cho định mức trung bình ( kỳ vọng ) X cho phương sai ( độ lệch tiêu chuẩn ) s’x Đê tính X, lập bảng: chọn Xo= 15 Xi Giá trị đại diện mi Ui mịUi mịUi2 10-12 11 20 -2 -40 80 12-14 13 60 -1 -60 60 14-16 15 100 0 16-18 17 40 40 40 18-20 19 30 60 120 300 s Vậy x = u + 15 = 0+15=15, S; =-ị- 300 = 4,82 295 b) Ta đưa toán kiếm địmh giả thiết: H: EX=14; K : EX 14 n = 250 nên mẫu lớn Miền tiêu chuấn có tiêu kiếm định r =^.^ = ^.7250.8,4 Sx 2,2 Tra bảng Laplace, từ điều kiện 2(t) = - a = 0,97 tìm tth = 1,645 Vì I T* I > tth nên bác bỏ giả thiết H: EX = 14, tức việc đề định mức 14 phút sở tốn học 128 Đề số 3: Câu 1: ( 3d) Việc học sinh trả lời câu hỏi phép thử lược đồ Bernoulli độc lập gồm phép thử với xác suất thành công Để học sinh thi đỗ, cần có nhiều hon lần thành công Vậy : P3(n>2) = P3(2) + P3(3) = + (l)12.| + +(ị)3=-^ = ^ Câu 2: ( 2đ ) Có tìm hàm mật độ biên duyên Px(x), Py(ỵ) trước tính EX, EY, làm sau: Ta có 71 71 +00 +00 +co EX = J xpx(x)dx = j x(J P(x,y)dy)dx = —00 -00 “ 22 X sin(x + y)dxdy 00 71 Ị - J x(sin X + cos x)dx = Và tính đối xứng hàm mật độ với X y, ta có EY = Câu 3: ( 5đ ) Cần tiến hành toán kiếm định giả thiết việc so sánh điếm trung bình ( kỳ vọng ) thi vấn đáp P1 thi viết p2 H: P1 = |U2 K: P1 (12 Với hai mẫu có phân phối chuẩn ( n lớn ) với phương sai chưa biết X1-X2 Tiêu chuấn có hàm tiêu dạng : T* = [ v^-i^+^-i)^;2 nỵ Theo đầu bài, X1 =24,6, Từ tính T* = «!=9, n2ý s'2 = 0,24, X2 = 25,8, «Ị + «2 - «2=16, 522=0,16 24,6 25,8 ~ -6£7 8x0,24 + 15x0,1661 V + 16-2 tth nên ta bác bỏ giả thiết kỳ vọng, tức với xác suất sai lầm loại khơng q 5% hồn tồn khẳng định kết thi vấn đáp có khác so với hình thức thi viết 129 ( Chú ý : Vì lấy mẫu nhỏ, ni = n2 = 16 nên có kết luận vậy, tăng thêm quan sát ni > 50, n2 > 50 kết luận hồn tồn khác thường có kết luận xác hơn) Đề số 4: Câu ỉ: ( 2,0đ ) Đẻ xếp sách thành hàng giá sách ta có 8! cách ( hoán vị sách ) Suy không gian biến cố sơ cấp gồm 8! biến cố Để xếp khoa học cạnh văn học ta xếp khoa học vị trí thứ 1, 3, 5, ( cịn văn học vị trí 2, 4, 6, ngược lại) Vì số biến cố thuận lợi X 4! X 4! Vậy xác suất biến cố A cần tìm ( sách văn học xếp cạnh sách kỹ thuật) là: 2x4!x4! 2x4! P(A) = : = —7- 8! 5.6.7.8 210 Câu 2: ( 3,0đ ) Trước hết ta tìm mật độ biên duyên ợ I Px 0) = j ^7 (3 y +8x - 2xy -12)dy = ^77— 090 12 f ~ ~ , 4—v Py(y) = j^(3y+8x-2xy-12)dx = — Từ ta thấy px(x)pY(y) = p(x, y) suy X, Y độc lập Câu 3: ( 5đ ) Trước hết tính K = -0,155 sj? =0,126 (l,5đ) Lập bảng: n= 19 Ki Kị -K SK ĩ, ® \ ÒK - 0,870 -2,014 - 0,4780 -0,6 - 1,253 - 0,3969 -0,17 - 0,042 -0,0167 0,004 0,448 0,1730 0,130 0,803 0,2891 0,330 1,367 0,4142 J Pi npi 0,0831 1,578 0,3782 7,186 0,1897 3,605 0,1161 2,205 0,1251 2,377 E = 16,952 130 Để tính T* = V——ta lập bảng thứ 2: i=i nPi (ni ~nPi)2 Khoảng ĩli NPi npi (- 0,87 ; - 0,60 ) 1,578 1,281 (- 0,60;-0,17) 7,186 1,413 (-0,17 ; 0,004) 3,605 0,043 (0,004; 0,13) 2,205 3,542 (0,13 ; 0,33 ) 2,377 0,163 T* = s = 6,442 Tra bảng xẳ V để tìm giá trị tới hạn xổ,975;2 tth = 7,38 So với T*J ta thấy chấp nhận giả thiết hệ số an toàn tuyến đê Hà Nội cho đại lượng ngẫu nhiên, kỳ vọng - 0,155, phương sai 0,1262 với mức ý nghĩa 0,025 131 TÃI LIỆU THAM KHẢO Harald Cramer, Phương pháp toán học thống kê (bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất Khoa học - Kỹ thuật, Hà Nội 1970 Sheldon M.Ross, Introduction to Probability Models, University of California, Berkeley ( Giáo trình thức AIT - Asian Institute of Technology) Academic Press New York - London - Toronto - Sydney Gerard Frugier, Probabỉtỉtẻret statỉstỉques ( cours et exereices ), Ellipses - Paris 2002 Walpole - Raymond , H.Myers and Sharon L.Myers , Engineers and Scientists Probability and Statistics for Prentice Hall / Upper Saddle River , New Jersey 07458 Và so tài liệu bạn đồng nghiệp khác 132 THƠNG TIN TÁC GIẢ Thơng tin tác giả: Họ tên: PGS.TS Nguyễn Hữu Bảo Nămsinh: 1950 Cơ quan: Bộ mơn tốn học, khoa CNTT, Trường ĐHTL Địa chỉ: - Bộ mơn tốn học, khoa CNTT, Trường ĐHTL - EMail: Nghbao@wru.edu.vn Nhuubao@yahoo.com II Phạm vi đối tượng sử dụng giáo trình: Đào tạo xác suất thống kê chương trình nhóm ngành AI cho tất trường Đại học khối Đại học kỹ thuật Từ khóa: Xác suất, xác suất thống kê, thống kê toán học Yêu cầu kiến thức : Học xong tốn Giải tích 1, Giải tích Lần xuất thứ năm 2004 Nhà xuất Xây dựng 133