GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ

GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Dùng cho học phần TOA2023) Huế, 2011 KHOA TOÁN Trần Thiện Thành CHƯƠNG BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 72 6.1 Ước lượng điểm 72 MỤC LỤC 6.2 Phương pháp tìm ước lượng 76 6.3 Ước lượng khoảng tin cậy 79 CHƯƠNG KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 85 CHƯƠNG BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1.1 Các khái niệm 1.2 Mơ hình xác suất rời rạc .6 7.1 Các khái niệm 85 7.2 Bổ đề Neyman-Pearson 89 7.3 Tiêu chuẩn tỷ số hợp lý 91 1.3 Mơ hình tổng qt - Hệ tiên đề xác suất 1.4 Xác suất có điều kiện 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 1.5 Dãy phép thử Bernoulli .17 PHỤ LỤC 98 1.6 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes .20 CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT .25 2.1 Biến ngẫu nhiên 25 2.2 Hàm phân phối xác suất 27 2.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc .29 2.4 Biến ngẫu nhiên liên tục 34 2.5 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 40 CHƯƠNG VECTƠ NGẪU NHIÊN 47 3.1 Vectơ ngẫu nhiên 47 3.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều 48 3.3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục hai chiều 51 3.4 Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 54 CHƯƠNG CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN 58 4.1 Một số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên .58 4.2 Luật số lớn 59 4.3 Một số định lý giới hạn 61 CHƯƠNG LÝ THUYẾT MẪU 64 5.1 Mẫu ngẫu nhiên 64 5.2 Thống kê đặc trưng mẫu 65 5.3 Phân phối xác suất số đặc trưng mẫu 69  Quan sát thời gian đợi tốn siêu thị có khách phải đợi 10 phút hay không … CHƯƠNG Nhóm kết gọi biến cố phép thử BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Mỗi biến cố tập không gian mẫu , thường ký hiệu hay Biến cố xảy không xảy thực phép thử, cụ thể thực phép thử kết ta nói biến cố xảy ra, ngược lại khơng xảy Đặc biệt gọi biến cố không thể, gọi biến cố chắn 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Hiện tượng ngẫu nhiên tượng quan sát điều kiện kết xảy khác nhau, khơng dự đốn trước Đây đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất 1.1.2 Phép thử ngẫu nhiên Phép thử (ngẫu nhiên) thí nghiệm hay quan sát tượng ngẫu nhiên Kết xảy thực phép thử khác Ví dụ 1.1.2  Gieo xúc xắc, xét biến cố biểu diễn “con xúc xắc xuất mặt chẳn”  Quan sát thời gian đợi tốn khách mua siêu thị, xét biến cố “khách đợi 10 phút” biểu diễn với ký hiệu thời gian đợi khách 1.1.5 Quan hệ biến cố Chẳng hạn:  Gieo xúc xắc mặt xuất mặt nhất, mặt nhị, …  Quan sát thời gian đợi toán khách hàng siêu thị có khách tốn ngay, có khách phải xếp hàng đợi phút, phút … Mỗi biến cố tập hợp, quan hệ lý thuyết tập hợp cho tương ứng quan hệ biến cố sau: Giả sử hai biến cố phép thử  Biến cố kéo theo biến cố 1.1.3 Không gian mẫu  Biến cố hợp Không gian mẫu tập hợp tất kết xảy thực phép thử, ký hiệu Không gian mẫu tập hợp biểu diễn dạng  Biến cố giao xảy Nếu , ký hiệu , ký hiệu (mỗi kết phép thử ký hiệu , gọi biến cố sơ cấp)  Biến cố hiệu xảy Biến cố Ví dụ 1.1.1  Phép thử gieo xúc xắc có khơng gian mẫu  Phép thử tung đồng xu xuất mặt sấp dừng có khơng gian mẫu  Phép thử chọn ngẫu nhiên điểm hình trịn bán kính R có khơng gian mẫu 1.1.4 Biến cố Khi thực phép thử, ta thường quan tâm nhóm kết phép thử có xảy hay không, chẳng hạn: , ký hiệu , ký hiệu xảy xảy hay , biến cố xảy gọi xung khắc , biến cố xảy gọi biến cố đối xảy xảy khơng Chú ý Dùng tính chất giao hốn, kết hợp phân phối để mở rộng quan hệ cho nhiều biến cố Ví dụ 1.1.3 Quan sát hoạt động hệ thống gồm phận máy khoảng thời gian t Gọi biến cố “máy thứ bị hỏng khoảng thời gian t”, Khi đó:  biến cố “có máy bị hỏng”  biến cố “máy hoạt động, máy 2, bị hỏng”  Hai biến cố xung khắc  Gieo xúc xắc có xuất mặt chẳn hay khơng , , biến cố xảy 1.1.6 Xác suất Xác suất đại lượng đo khả xảy (nhiều hay ít) biến cố Xác suất biến cố , ký hiệu , thỏa mãn , xác suất lớn khả xảy cao ngược lại Đặc biệt Phần đề cập đến việc xây dựng mơ hình xác suất khơng gian mẫu phép thử Việc xây dựng mơ hình xác suất phụ thuộc vào lực lượng cấu trúc khơng gian mẫu Từ đưa định nghĩa phương pháp tính xác suất biến cố phép thử Ví dụ 1.1.4  Khả xuất mặt gieo đồng xu cân đối, đồng chất với xác suất 0,5  Khả trúng giải đặc biệt mua tờ vé số nhỏ với xác suất (giả sử vé số gồm chữ số) 1.2 Mơ hình xác suất rời rạc 1.2.1 Tần suất biến cố Thực lặp lại phép thử lần độc lập điều kiện quan sát biến cố phép thử Gọi số lần xảy dãy phép thử tỷ số BÀI TẬP 1.1 Xác định không gian mẫu biến cố phép thử sau: a) Gieo xúc xắc xét biến cố “Tổng số chấm xuất 10” gọi tần suất xảy biến cố b) Chọn học sinh từ lớp gồm 20 nam, 18 nữ xét biến cố “Chọn nam nữ” J Bernoulli chứng minh tăng lên vơ hạn hội tụ đến giới hạn xác định - xác suất (Luật số lớn Bernoulli) Như vậy, xác suất biến cố xấp xỉ qua tần suất xảy biến cố đó, tức c) Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) bi từ hộp chứa bi đen, bi vàng xét biến cố “Lấy bi đen nhiều hơn” d) Cho phương trình Chọn ngẫu nhiên số thuộc [0;1] xét biến cố “Hai số chọn làm phương trình có nghiệm thực” Ba xạ thủ A, B, C người bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi biến cố A, B, C bắn trúng mục tiêu a) Hãy mô tả biến cố: , , b) Biểu diễn biến cố sau theo , :  : “có xạ thủ bắn trúng”  : “có nhiều xạ thủ bắn trúng”  : “chỉ có xạ thủ bắn trúng”  : “có xạ thủ không bắn trúng” b) c) ; ; ; đủ lớn Đây nội dung định nghĩa xác suất theo thống kê Ví dụ 1.2.1 Thí nghiệm gieo đồng xu cân đối, đồng chất sau: Người thực Số lần gieo Số mặt sấp xuất Tần suất xuất mặt sấp Buffon 4.040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 Như xác suất xuất mặt sấp gieo đồng xu xấp xỉ 0,5 Chứng minh hệ thức biến cố qua việc mô tả a) n phép thử Nhận xét Định nghĩa xác suất theo thống kê hồn tồn dựa thí nghiệm quan sát thực tế Hạn chế định nghĩa áp dụng cho phép thử mà lặp lại điều kiện Bên cạnh đó, để xác định tương đối xác giá trị xác suất cần tiến hành số đủ lớn phép thử Tuy nhiên, ngày với trợ giúp cơng nghệ thơng tin, người ta mô phép thử ngẫu nhiên mà không cần thực phép thử thực tế Điều cho phép tính xác suất theo phương pháp thống kê dễ dàng 1.2.2 Mơ hình xác suất phép thử có đếm kết Xét phép thử với khơng gian mẫu có đếm kết xảy (hữu hạn hay vơ hạn đếm được), biểu diễn sau: Khi đó, xác suất để số lần gieo không lần Mỗi kết i) có xác suất xảy tương ứng cho: (tính khơng âm) ii) BÀI TẬP 1.2 (tính chuẩn hóa) Khi với biến cố Gieo xúc xắc Tính xác suất a) Xuất mặt “nhất” mặt “lục” b) Có tổng số chấm xuất chia hết cho Ta gọi mơ hình xác suất hay không gian xác suất phép thử a) Lấy màu bi Đặc biệt, giả sử phép thử thỏa mãn điều kiện: b) Lấy bi xanh nhiều i) Không gian mẫu có hữu hạn kết quả, ii) Các kết có khả xảy ra, gọi đồng khả (thường phép thử có tính đối xứng, ngẫu nhiên …) a) Có “hai” c) Có 12 màu với Một hộp có 30 thẻ đánh số từ đến 30, có 15 thẻ có chữ “SU”, thẻ có chữ “ZU”, thẻ có chữ “KI” thẻ có chữ “SUZUKI” Chọn ngẫu nhiên thẻ từ hộp Tính xác suất để thẻ chọn chữ SUZUKI xác định bởi: Đây nội dung định nghĩa xác suất theo cổ điển Để tính xác suất cổ điển, ta thường sử dụng quy tắc phương pháp đếm giải tích tổ hợp tổ hợp, chỉnh hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân Ví dụ 1.2.2 Một hộp chứa cầu trắng, cầu xanh cầu đen kích thước Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất có cầu màu Giải Chọn ngẫu nhiên cầu từ hộp số đồng khả Rút ngẫu nhiên 13 từ tây 52 Tính xác suất b) Có sảnh từ “ba” đến “Át” Trong trường hợp này, mơ hình xác suất phép thử có dạng: Khi đó, xác suất biến cố Một hộp gồm 10 bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất Gọi A biến cố “3 cầu chọn có cầu màu” số phần tử A gồm trường hợp: có cầu trắng có cầu xanh có cầu đen Do đó, Vậy xác suất A Trong thùng có bóng vàng, bóng trắng bóng xanh kích thước Rút ngẫu nhiên (khơng hồn lại) bóng vàng dừng Tính xác suất số bóng lấy ra: a) Có bóng trắng, bóng xanh b) Khơng có bóng trắng a) Có 10 đội bóng bốc thăm chia làm cặp đấu, có hai đội hạt giống A, B Tính xác suất để hai đội A, B khơng phải gặp b) Có 16 đội bóng bốc thăm chia làm bảng (mỗi bảng đội), có hai đội hạt giống A, B Tính xác suất để hai đội A, B không nằm bảng Gieo xúc xắc xuất lần mặt “lục” dừng a) Tìm mơ hình xác suất cho phép thử b) Tính xác suất để số lần gieo khơng vượt q lần Ví dụ 1.2.3 Gieo đồng xu cân đối, đồng chất xuất mặt sấp dừng Tìm mơ hình xác suất phép thử tính xác suất số lần gieo không lần Giải Không gian mẫu phép thử với 1.3 Mơ hình tổng qt - Hệ tiên đề xác suất Trường hợp không gian mẫu tập không đếm ta khơng thể xây dựng mơ hình xác suất mơ hình rời rạc Để khắc phục, A N Kolmogorov đưa hệ tiên đề lý thuyết xác suất năm 1933 để xây dựng mơ hình xác suất tổng qt Cụ thể xây dựng mơ hình xác suất lớp -đại số biến cố không gian mẫu 1.3.1 -đại số Lớp tập i) không gian suy , iii) Từ họ suy Ví dụ 1.3.3 Cho phương trình Chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để phương trình có nghiệm thực gọi khơng gian đo Ví dụ 1.3.1 1) Giả sử khơng gian mẫu có phần tử (có hữu hạn kết quả) lớp gồm tất tập -đại số Số biến cố thuộc lớp 2) Giả sử phép thử có khơng gian mẫu Borel đoạn [0;1] Các biến cố thuộc lớp với Lớp thường dùng -đại số có dạng hợp, giao khoảng 1.3.2 Hệ tiên đề lý thuyết xác suất Giả sử không gian đo hàm tập i) với biến cố thỏa mãn: , (tính khơng âm) ii) Nếu dãy biến cố đơi một) cho (xung khắc (tính -cộng tính) iii) đó, ký hiệu độ đo Chẳng hạn thường dùng độ đo chiều dài, dùng độ đo diện tích, dùng độ đo thể tích Đây nội dung định nghĩa xác suất theo hình học Định nghĩa mở rộng định nghĩa xác suất theo cổ điển, kết xảy đồng khả , ii) Từ Bộ gọi -đại số biến cố nếu: Trường hợp không gian miền không gian Euclide hữu hạn chiều với độ đo hữu hạn lớp -đại số Borel xác suất biến cố định nghĩa Khi gọi (độ đo) xác suất biến cố hình xác suất tổng quát hay khơng gian xác suất phép thử Ví dụ 1.3.2 1) Giả sử không gian mẫu tập hàm tập tạo thành không gian xác suất có gọi mơ Giải Mỗi số chọn điểm thuộc đoạn Gọi biến cố “phương trình có nghiệm thực” Suy Ví dụ 1.3.4 (Bài tốn gặp nhau) Hai người hẹn gặp địa điểm xác định vào khoảng đến Người đến trước đợi người 10 phút; sau khơng gặp khỏi điểm hẹn Hãy tìm xác suất để người gặp nhau, biết người đến chổ hẹn khoảng thời gian quy định cách ngẫu nhiên không phụ thuộc vào người đến lúc Giải Giả sử (phút) thời điểm người thứ thứ hai đến điểm hẹn Vậy cặp thời điểm đến hai người điểm hình vng Gọi biến cố hai người gặp kết đồng khả năng, lớp gồm tất với biến cố Suy 2) Giả sử phép thử có khơng gian mẫu -đại số Borel đoạn [0;1] hàm tập thành không gian xác suất thuộc [0;1] , kết đồng khả năng, lớp tạo 10 1.3.3 Tính chất xác suất  Từ sở lý thuyết độ đo, xác suất có tính chất sau: i) Với biến cố ii) Nếu iii)   Vậy xác suất có sách Toán đứng cạnh iv) Đặc biệt, xung khắc v) 1.3.4 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn Chú ý - Tính chất (iv) xem quy tắc cộng xác suất Qua thực nghiệm quan sát thực tế, người ta thấy biến cố có xác suất nhỏ không xảy ta thực phép thử hay vài phép thử Từ đó, ta thừa nhận nguyên lý sau đây, gọi “Nguyên lý xác suất nhỏ”: Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho thực phép thử, biến cố khơng xảy - Tính chất (iv) (v) tổng quát sau: iv’) Với dãy biến cố Nếu thì Chẳng hạn máy bay có xác suất nhỏ bị xảy tai nạn Nhưng thực tế, nhiều người dùng phương tiện để lại tin tưởng chuyến bay, biến cố máy bay bị tai nạn không xảy Hiển nhiên việc xác định mức xác suất gọi nhỏ phụ thuộc vào toán v’) Ví dụ 1.3.5 Trong vùng dân cư, tỷ lệ người mắc bệnh tim 9%, mắc bệnh huyết áp 12% mắc hai bệnh 7% Tính xác suất chọn ngẫu nhiên người dân vùng người khơng mắc bệnh tim bệnh huyết áp Giải Gọi “người mắc bệnh tim”, giả thiết ta có “người mắc bệnh huyết áp” Theo Tương tự vậy, ta đưa nguyên lý xác suất lớn sau: Nếu biến cố có xác suất gần thực tế cho thực phép thử biến cố xảy Hai nguyên lý sở cho phương pháp luận thống kê mà đề cập chương sau Ví dụ 1.3.7 (Bài tốn ngày sinh) Chọn ngẫu nhiên nhóm để có hai người có ngày tháng sinh Giải Ngày tháng sinh người 365 ngày năm Do Gọi “người khơng mắc bệnh tim bệnh huyết áp” Suy “người mắc bệnh tim bệnh huyết áp” Do ta có Gọi “có hai người có ngày tháng sinh” Vậy Ví dụ 1.3.6 Xếp ngẫu nhiên 10 sách lên giá sách, có sách Tốn Tính xác suất có sách Tốn đứng cạnh Giải Ký hiệu sách Toán T1, T2, T3 Gọi biến cố sau: “Hai sách T1, T2 đứng cạnh nhau”, “Hai sách T1, T3 đứng cạnh nhau”, Nhận xét Khi số người chọn tăng lên xác suất có hai người ngày tháng sinh tăng lên Với xác suất gần 1, theo ngun lý xác suất lớn thực tế ta khẳng định có hai người ngày tháng sinh nhóm từ 50 đến 60 người “Hai sách T2, T3 đứng cạnh nhau” Ta có: 11 người Tính xác suất 12 Số người Xác suất 30 0,706 40 0,891 50 0,970 60 0,994 BÀI TẬP 1.3 Giả sử cho , Tính xác suất , - Xác suất chọn lần hai cầu trắng, biết lần đầu chọn cầu đỏ Giả sử , dụ để dấu “=” xảy Chứng minh Cho ví Có hộp q đánh số từ đến ẩn số Một người đặt ngẫu nhiên thẻ đánh số từ đến lên hộp Tính xác suất có thẻ đặt số với hộp Trên đoạn thẳng a) b) Trên đường tròn tâm có độ dài , chọn ngẫu nhiên điểm Tính xác suất để Xác suất có điều kiện khái niệm quan trọng lý thuyết xác suất Nó đưa đến khái niệm tính độc lập biến cố, quy tắc tính xác suất quy tắc xác suất đầy đủ … Chú ý  Nếu Xác suất có điều kiện tính trực tiếp mà khơng cần áp dụng cơng thức bán kính , cho điểm cố định a) Lấy ngẫu nhiên điểm đường trịn Tính xác suất để b) Lấy ngẫu nhiên điểm hình trịn Tính xác suất để c) Lấy ngẫu nhiên điểm suất để đoạn Qua kẻ dây cung (Bài tốn Buffon) Ném ngẫu nhiên kim có chiều dài đường thẳng song song cách khoảng kim cắt đường thẳng Tính xác lên mặt phẳng có kẻ Tìm xác suất để Gieo đồng xu xuất mặt sấp dừng Dùng nguyên lý xác suất lớn chứng tỏ rằng, thực tế số lần gieo để mặt sấp không vượt lần Hãy rút kết luận tương tự cho toán gieo xúc xắc xuất mặt “lục” dừng  Xác suất thơng thường biểu diễn Do xác suất có điều kiện xem xác suất không gian với lớp biến cố chọn thích hợp Điều kéo theo tính chất xác suất áp dụng cho xác suất có điều kiện, chẳng hạn:      Ví dụ 1.4.2 Cho Tính Giải Ta có 1.4 Xác suất có điều kiện Suy 1.4.1 Xác suất có điều kiện Giả sử không gian xác suất hai biến cố Xác suất tính điều kiện biết xảy gọi xác suất với điều kiện , ký hiệu hay Ví dụ 1.4.1 Một hộp gồm cầu trắng, cầu đỏ Chọn ngẫu nhiên cầu từ hộp Gọi “chọn lần cầu trắng”, Khi - Xác suất chọn lần cầu trắng - Xác suất chọn lần hai cầu trắng, biết lần đầu chọn cầu trắng 13 1.4.2 Tính độc lập biến cố Nhiều tốn xác suất thường sử dụng giả thiết tính độc lập biến cố, khơng phụ thuộc lẫn đến xác suất xảy biến cố Cụ thể hơn, ta có số dạng độc lập sau:  Hai biến cố  Dãy biến cố , gọi độc lập gọi độc lập đôi với độc lập 14  Dãy biến cố Cũng độc lập với gọi độc lập tồn thể với tập Giải Do độc lập nên , suy Vậy Nhận xét  Giả sử độc lập Do đó, nói cách khác, hai biến cố độc lập việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng đến khả xảy biến cố ngược lại  Dãy biến cố độc lập tồn thể độc lập đơi Điều ngược lại chưa  Phân biệt tính độc lập tính xung khắc biến cố Nói chung, hai biến cố xung khắc khơng độc lập độc lập Chứng minh tương tự cho cặp lại Ví dụ 1.4.5 Một máy gồm ba phận hoạt động độc lập Xác suất hỏng khoảng thời gian t phận tương ứng 0,2; 0,25 0,1 Tính xác suất sau khoảng thời gian t cịn hai phận hoạt động Giải Gọi Gọi “bộ phận bị hỏng khoảng thời gian t”, độc lập Theo giả thiết “còn hai phận hoạt động sau khoảng thời gian t” Suy Ví dụ 1.4.3 Gieo đồng xu Gọi biến cố “đồng xu xuất mặt sấp”, “đồng xu xuất mặt sấp” “Hai đồng xu xuất mặt” Xét tính độc lập Giải Không gian mẫu phép thử biến cố Suy BÀI TẬP 1.4 Một chùm chìa khóa chìa, có chìa mở khóa Một người mở khóa cách thử chìa (chìa khơng mở loại ra) Tính xác suất mở khóa sau lần thử Khi đó,   Theo định nghĩa tính độc lập, suy tồn thể độc lập đơi khơng độc lập 1.4.3 Quy tắc nhân xác suất Từ khái niệm xác suất có điều kiện cho ta quy tắc nhân xác suất biến cố sau: i) Với Đặc biệt, hai biến cố độc lập thì Đặc biệt, dãy biến cố độc lập Ví dụ 1.4.4 Giả sử hai biến cố độc lập Chứng minh cặp biến cố sau:  Một hộp gồm bi đỏ, bi đen Rút ngẫu nhiên bi, ghi nhớ màu bỏ lại bi vào hộp với bi màu khác Tính xác suất lần lấy lấy bi đỏ Gieo hai xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi biến cố “Tổng số chấm xuất lẻ”, biến cố “Có mặt chấm” Tính , Giả sử biến cố độc lập ii) Tổng quát: Với dãy biến cố Để nhập kho, sản phẩm nhà máy phải trải qua phòng kiểm tra chất lượng Xác suất phát phế phẩm phòng theo thứ tự 0,8; 0,9 0,95 Tính xác suất phế phẩm nhập kho độc lập Chứng minh cặp biến cố b) Được kết luận với thực chất  15 ; Người ta dùng thiết bị để kiểm tra loại sản phẩm nhằm xác định sản phẩm có đạt u cầu khơng Biết sản phẩm có tỉ lệ phế phẩm 2% Thiết bị có khả phát sản phẩm phế phẩm với xác suất 0,95 phát sản phẩm đạt yêu cầu với xác suất 0,97 Tính xác suất dùng thiết bị kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm a) Được kết luận phế phẩm  16 Một tín hiệu truyền từ trạm đến trạm theo sơ đồ sau: Trong trường hợp có suất trường hợp lần xuất Vì vậy, lần xuất hiện, xác (gọi cơng thức Bernoulli) Chú ý Các biến cố đó, chẳng hạn xác suất tín hiệu truyền thành cơng từ 0,9; Tính xác suất tín hiệu truyền thành cơng từ đến đến 0,8; từ xung khắc đôi Do đến Khi đó, xác suất có lần xuất phép thử 1.5 Dãy phép thử Bernoulli Ví dụ 1.5.2 Xác suất thành cơng thí nghiệm sinh hóa 0,6 Một nhóm gồm sinh viên tiến hành thí nghiệm độc lập với 1.5.1 Dãy phép thử Bernoulli a) Tìm xác suất có từ đến thí nghiệm thành cơng Xét phép thử biến cố quan sát phép thử với xác suất xảy Lặp lại phép thử lần cách độc lập, tức kết phép thử không ảnh hưởng đến kết phép thử khác Trong lần lặp phép thử, ta quan sát biến cố có xảy hay khơng xác suất xảy biến cố không đổi Dãy phép thử lặp gọi dãy phép thử Bernoulli b) Tìm xác suất có thí nghiệm thành cơng Giải Ta có dãy phép thử Bernoulli:  Phép thử lặp: tiến hành thí nghiệm sinh hóa  Biến cố “thí nghiệm thành cơng” với a) Xác suất có từ đến thí nghiệm thành cơng Các thành phần dãy phép thử Bernoulli gồm:  Số phép thử lặp ,  Biến cố quan sát với xác suất b) Xác suất có thí nghiệm thành cơng Ví dụ 1.5.1 1) Gieo 10 xúc xắc quan sát số lần xuất mặt “6 chấm” Đó dãy phép thử Bernoulli với biến cố quan sát “xúc xắc xuất mặt chấm” 2) Một người bắn viên đạn vào mục tiêu với xác suất bắn trúng viên 0,8 Quan sát số viên bắn trúng Đó dãy phép thử Bernoulli với biến cố quan sát “bắn trúng mục tiêu” 1.5.2 Công thức Bernoulli Trong dãy phép thử Bernoulli với biến cố quan sát , tốn đặt là: Tính xác suất xuất lần phép thử Bernoulli, ký hiệu , Gọi độc lập “ Gọi “ hợp mà xuất phép thử thứ ”, xuất lần xảy ra, chẳng hạn 17 dãy biến cố Ví dụ 1.5.3 Một khu muốn lắp hệ thống chuông báo động hỏa hoạn Mỗi chuông hoạt động độc lập xác suất báo động có đám cháy 0,7 Hỏi cần lắp hệ thống với chng để xác suất báo động có đám cháy 99,9% Giải Giả sử hệ thống gồm chuông báo động Hoạt động hệ thống chng xem dãy phép thử Bernoulli với biến cố “chuông báo động có đám cháy” Khi đó, xác suất hệ thống báo động có đám cháy Theo giả thiết, ta phải có Vậy cần lắp hệ thống với chng phép thử” Dễ thấy có trường 18 Như dãy biến ngẫu nhiên hội tụ theo phân phối hội tụ điểm dãy hàm phân phối tương ứng Ví dụ 4.1.2 Giả sử Theo giả thiết, ta phải có Suy biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất sau: Vậy với xác suất 90% sai số tổng cộng 10 lần đo nằm khoảng mm Chứng minh hội tụ theo phân phối tới Giải Ta có hàm phân phối với 4.2.2 Luật số lớn Chebyshev Định lý Giả sử dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng hữu hạn phương sai bị chặn số , tức với , , Dễ thấy với : Đặc biệt, kỳ vọng , phương sai Vậy ta có điều phải chứng minh , dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với 4.2 Luật số lớn 4.2.1 Bất đẳng thức Chebyshev Định lý Giả sử biến ngẫu nhiên , ta có có kỳ vọng phương sai hữu hạn với Bất đẳng thức Chebyshev có nhiều ứng dụng Nó cho phép đánh giá cận trên, cận xác suất để biến ngẫu nhiên rơi vào khoảng dựa vào hai đặc trưng kỳ vọng phương sai Về mặt lý thuyết, sử dụng để chứng minh định lý luật số lớn Ví dụ 4.2.1 Một thiết bị đo chiều dài có sai số đo lường biến ngẫu nhiên có kỳ vọng 0mm, độ lệch chuẩn 2mm Hỏi với xác suất 90% sai số tổng cộng dùng thiết bị đo 10 lần nằm khoảng nào? Giải Gọi lập với sai số đo lường lần đo , biến ngẫu nhiên Sai số tổng cộng 10 lần đo Ý nghĩa Luật số lớn cho ta quy tắc xác định giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên xấp xỉ trung bình số học giá trị quan sát từ biến ngẫu nhiên với số lần thực phép thử lớn Ví dụ 4.2.2 Trong hệ thống, gọi thời gian phục vụ cho khách hàng Bài toán đặt tìm giá trị thời gian phục vụ trung bình cho khách hàng Quan sát thời gian phục vụ cho 50 khách hàng, tính thời gian phục vụ trung bình 50 khách hàng 4,25 phút Theo luật số lớn, ta xem Một hệ quan trọng Luật số lớn định lý Bernoulli Cụ thể, xét dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Bernoulli có , với biến cố quan sát dãy phép thử Bernoulli Khi đó, đại lượng tần suất xuất biến cố độc phép thử Theo Luật số lớn Đây sở lý thuyết cho định nghĩa xác suất theo thống kê đưa chương với BÀI TẬP 4.2 Cho biến ngẫu nhiên Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho biến ngẫu nhiên , ta có: có hàm mật độ b) Tính xác xác suất 59 , với a) Dùng bất đẳng thức Chebyshev tìm chặn Nhận xét 60 Cho ( biến ngẫu nhiên độc lập với ) Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev tìm hai số hội tụ theo phân phối phân phối chuẩn tắc cho hạn, xét trung bình số học Xác suất để chi tiết sản xuất đạt tiêu chuẩn 0,8 Dùng bất đẳng thức Chebyshev để đánh giá xác suất mà tỷ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn 4000 sản phẩm nằm khoảng từ 78% đến 83% Gieo xúc xắc cân đối lần gọi số lần xuất mặt lục Chứng minh tần suất xuất mặt lục, , xấp xỉ với lớn Giả sử tiền điện gia đình phải trả tháng biến ngẫu nhiên với trung bình 160 ngàn đồng, độ lệch chuẩn 10 ngàn đồng Sừ dụng bất đẳng thức Chebyshev, xác định số nhỏ để với xác suất 99%, số tiền điện phải trả năm không vượt Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập xác định sau: Định lý giới hạn trung tâm có nhiều ứng dụng xác suất thống kê Chẳng đủ lớn , theo định lý giới hạn trung tâm với có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn , , Ví dụ 4.3.1 Giả sử thu nhập người dân vùng biến ngẫu nhiên có kỳ vọng 2,5 trđ/tháng, độ lệch chuẩn 0,5 trđ/tháng Chọn ngẫu nhiên 50 người dân vùng Tính xác suất để thu nhập trung bình 50 người lớn 2,4 trđ/tháng Giải Gọi thu nhập người dân chọn thứ , Theo giả thiết ta có Theo định lý giới hạn trung tâm, thu nhập trung bình 50 người có phân phối xấp xỉ chuẩn Do đó, xác suất để thu nhập trung bình 50 người dân lớn 2,4 trđ/tháng xấp xỉ sao? số Dãy thỏa mãn luật số lớn Chebyshev không? Tại Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập xác định sau: Một ứng dụng khác dùng để xấp xỉ xác suất liên quan đến phân phối nhị thức Như biết, Khi lớn việc tính tốn trực tiếp khó khăn Trong trường hợp này, ta vận dụng định lý giới hạn trung tâm để xấp xỉ xác suất sau:  Công thức xấp xỉ (Định lý Moivre-Laplace địa phương) Khi sao? số Dãy lớn thỏa mãn luật số lớn Chebyshev không? Tại  Công thức xấp xỉ (Định lý Moivre-Laplace) Khi lớn 4.3 Một số định lý giới hạn 4.3.1 Định lý giới hạn trung tâm Trong quy luật phân phối xác suất, phân phối chuẩn có vai trị đặc biệt quan trọng, điều kiện định, quy luật phân phối khác hội tụ phân phối chuẩn Điều thể qua định lý giới hạn trung tâm sau đây: Định lý Giả sử dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với kỳ vọng, phương sai hữu hạn Đặt dãy biến ngẫu nhiên chuẩn hóa Ví dụ 4.3.2 Xác suất làm phế phẩm nhà máy 0,02 Trong lô hàng gồm 2500 sản phẩm, xấp xỉ a) Xác suất có 55 phế phẩm lơ hàng b) Xác suất có từ 40 đến 70 phế phẩm lơ hàng Giải Gọi Tính số phế phẩm lơ hàng với Khi đó, áp dụng cơng thức xấp xỉ 1, ta có Áp dụng cơng thức xấp xỉ 2, ta có 61 62 , CHƯƠNG 4.3.2 Định lý xấp xỉ Poisson Định lý Giả sử dãy biến ngẫu nhiên tồn số cho Poisson có phân phối nhị thức Khi đó, hội tụ theo phân phối phân phối Trong trường hợp lớn nhỏ việc xấp xỉ qua phân phối chuẩn cho sai số lớn Khi ta vận dụng định lý Poisson để xấp xỉ sau:  Công thức xấp xỉ Khi lớn nhỏ, đặt Ví dụ 4.3.3 Trong ví dụ 4.3.2 ta thấy xác suất cơng thức xấp xỉ với , ta có nhỏ 5.1 Mẫu ngẫu nhiên Giả sử ta quan tâm đến biến ngẫu nhiên ứng với phép thử Thực phép thử lần cách độc lập, gọi quan sát lần thứ , biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với Khi đó, vectơ ngẫu nhiên gọi mẫu ngẫu nhiên cỡ , sinh từ BÀI TẬP 4.3 Thời gian phục vụ (đv: phút) cho khách hàng cửa hàng biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối mũ Dùng định lý giới hạn trung tâm, tính xác suất để thời gian phục vụ cho 50 khách hàng nằm khoảng 140 đến 200 phút tổng số chấm xuất Dùng định lý giới Một máy công cụ gồm 10.000 chi tiết máy Xác suất hỏng chi tiết máy 0,005 Xấp xỉ xác suất a) Số chi tiết máy bị hỏng 15 b) Số chi tiết máy bị hỏng nằm khoảng (40;60) Cho biến ngẫu nhiên trường hợp sau: a) có phân phối nhị thức Tính xác suất Xấp xỉ xác suất cơng thức xấp xỉ Nhận xét b) Xấp xỉ xác suất cơng thức xấp xỉ Nhận xét Gieo 3200 lần đồng xu cân đối, đồng chất Gọi số lần xuất mặt sấp a) Tìm số lần xuất mặt sấp có khả Tính xác suất tương ứng b) Tính xác suất nhận giá trị khoảng 63 Trong thực tế, quan tâm đến hay nhiều biến ngẫu nhiên, ta thường khơng có đầy đủ thơng tin phân phối xác suất Và giá trị đặc trưng liên quan kỳ vọng, phương sai, hệ số tương quan, khơng tính tốn Vì vậy, phương pháp thống kê tốn dựa vào thơng tin mẫu quan sát biến ngẫu nhiên xây dựng phương pháp sử dụng có hiệu thơng tin để kết luận với sai lầm biến ngẫu nhiên lớn Khi đó, áp dụng Gieo xúc xắc 100 lần Gọi hạn trung tâm xấp xỉ cho xác suất LÝ THUYẾT MẪU Chú ý Trong thuật ngữ thống kê, biến ngẫu nhiên quan tâm gọi dấu hiệu quan sát tổng thể nghiên cứu, thành phần mẫu ngẫu nhiên gọi thể dấu hiệu đối tượng lấy từ tổng thể hay gọi thứ Tập giá trị mẫu ngẫu nhiên , đó, gọi mẫu thực nghiệm hay mẫu cụ thể Đây giá trị quan sát mẫu ngẫu nhiên thực lấy mẫu Ví dụ 5.1.1 Gọi số chấm xuất gieo xúc xắc cân đối biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất , Giả sử tung xúc xắc lần gọi số chấm xuất lần tung thứ ta có biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với Vậy ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ 3, sinh từ Thực tung xúc xắc lần, giả sử lần thứ chấm, lần hai chấm, lần ba chấm mẫu thực nghiệm mẫu ngẫu nhiên Tùy theo vấn đề nghiên cứu lĩnh vực khoa học mà ta sử dụng phương pháp lấy mẫu sau: phương pháp lấy mẫu có hồn lại phương pháp lấy mẫu khơng hồn lại 64 5.2 Thống kê đặc trưng mẫu Giả sử mẫu ngẫu nhiên sinh từ mẫu thực nghiệm mẫu ngẫu nhiên có hàm phân phối 5.2.1 Định nghĩa thống kê Như vậy, hàm phân phối thực nghiệm xấp xỉ (ước lượng) cho hàm phân phối lý thuyết dựa mẫu Với cố định hàm phân phối thực nghiệm cho ta hình ảnh hình học phân phối lý thuyết Xấp xỉ tốt cỡ mẫu lớn Định nghĩa Một hàm biến ngẫu nhiên thành phần mẫu gọi thống kê mẫu Chẳng hạn , , thống kê mẫu Như thống kê mẫu thông tin tổng hợp từ thành phần mẫu Chú ý Từ định nghĩa thống kê biến ngẫu nhiên, tn theo quy luật phân phối xác suất định có tham số đặc trưng kỳ vọng , phương sai , … Mặt khác, mẫu ngẫu nhiên nhận giá trị cụ thể nhận giá trị quan sát tương ứng Các thống kê với quy luật phân phối xác suất chúng sở xây dựng phương pháp thống kê để nghiên cứu cho dấu hiệu nghiên cứu tổng thể Phần đề cập đến số thống kê mẫu quan trọng, gọi đặc trưng mẫu 5.2.2 Hàm phân phối thực nghiệm Định nghĩa Hàm 5.2.3 Trung bình mẫu Định nghĩa Ta gọi thống kê, ký hiệu , xác định xác định , trung bình mẫu ứng với mẫu gọi hàm phân phối thực nghiệm mẫu Hàm phân phối thực nghiệm mẫu thực nghiệm định sau: Tính chất Với cố định xác biến ngẫu nhiên có đặc trưng Giá trị trung bình mẫu thực nghiệm ký hiệu tương ứng Tính chất Giả sử biến ngẫu nhiên có kỳ vọng phương sai trung bình mẫu biến ngẫu nhiên có đặc trưng hữu hạn Từ đặc trưng trung bình mẫu, ta thấy cỡ mẫu lớn phân phối xác suất có xu hướng tập trung xác suất Như vậy, trung bình mẫu ước lượng cho kỳ vọng dựa mẫu 5.2.4 Phương sai mẫu, độ lệch mẫu Với mẫu thực nghiệm ta nhận hàm phân phối thực nghiệm khác Đồ thị chúng hàm bậc thang Tuy nhiên cỡ mẫu tăng vơ hạn hàm phân phối thực nghiệm tiệm cận đến hàm phân phối lý thuyết Điều thể qua định lý sau Định nghĩa Ta gọi thống kê, ký hiệu , xác định phương sai mẫu ứng với mẫu Định lý Glivenko Với giả thiết 65 Thống kê gọi độ lệch mẫu ứng với mẫu 66 Giá trị phương sai mẫu thực nghiệm độ lệch mẫu thực nghiệm ký hiệu tương ứng Tính chất Giả sử biến ngẫu nhiên có phương sai mẫu biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn phương sai b) Biểu diễn biểu đồ Dùng biểu đồ tần số, đa giác tần suất, biểu đồ hình bánh, tổ chức đồ để minh họa phân phối mẫu thực nghiệm Ví dụ 5.2.3 Hãy minh họa số liệu mẫu ví dụ 5.2.1 5.2.2 Tương tự trung bình mẫu, bản, phương sai mẫu (hay độ lệch mẫu ) thường dùng ước lượng cho phương sai (độ lệch tiêu chuẩn ) dựa mẫu Thống kê mô tả mẫu đưa thông tin tóm tắt mẫu bảng tần số, tần suất mẫu, hàm phân phối thực nghiệm, giá trị đặc trưng mẫu dùng biểu đồ, đồ thị minh họa cho thơng tin Đây bước thống kê để đưa phương pháp thống kê thích hợp Tỷ lệ % điểm thi XSTK 20 Số Sinh viên 5.2.5 Thống kê mô tả mẫu thực nghiệm 25 15 7% 4% 1% 6% 10% 20% 10 21% 31% a) Bảng tần số mẫu 3 Điểm thi XSTK Hay giá trị khác mẫu, khoảng chia rời nhau, tần số xuất Số Thống kê quan sát mẫu có giá trị lặp lại hay rơi vào khoảng Bảng tần số thường biểu diễn qua hai dạng: số quan sát mẫu rơi vào khoảng Chiều cao Ví dụ 5.2.1 Thống kê điểm thi môn XSTK sinh viên ngành M, ta có bảng sau: Điểm thi Số sinh viên 15 21 14 c) Các đặc trưng mẫu Dựa vào bảng tần số mẫu, ta xác định đặc trưng mẫu sau: Ví dụ 5.2.2 Đo chiều cao 240 cây, ta thu bảng thống kê sau: Chiều cao 4,5-7,5 7,5-10,5 10,5-13,5 13,5-16,5 16,5-19,5 19,5-22,5 Số 18 52 69 41 36 24 Ví dụ 5.2.4 Tính đặc trưng mẫu mẫu số liệu ví dụ 5.2.1 Giải Lập bảng tính sau: 67 68 Tổng b) Phân phối Khi-bình phương 15 21 14 70 12 28 75 126 98 40 27 408 Giả sử biến ngẫu nhiên 36 112 375 756 686 320 243 2532 biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối gọi có phân phối Khi-bình phương với Suy bậc tự Khi c) Phân phối Student Chú ý Nếu số liệu thống kê tần số dạng khoảng ta chọn giá trị đại diện khoảng trung điểm khoảng đó, sau tính đặc trưng mẫu Các máy tính bỏ túi dịng MS, ES có chức tính nhanh đặc trưng trên! Giả sử ; gọi có phân phối Student với độc lập biến ngẫu nhiên bậc tự 5.3.2 Phân phối đặc trưng mẫu BÀI TẬP 5.2 a) Mẫu sinh từ phân phối chuẩn Đo độ dài 30 chi tiết chọn ngẫu nhiên loại sản phẩm, ta mẫu: 39 43 41 41 40 41 43 42 41 39 40 41 44 42 42 Giả sử mẫu ngẫu nhiên ta có kết sau: sinh từ phân phối chuẩn Khi 41 41 42 43 40 41 41 42 43 39 40 41 39 40 42  Trung bình mẫu Thống kê mơ tả mẫu có phân phối chuẩn Và thống kê Khảo sát chiều cao nhóm trẻ sơ sinh tỉnh H, ta thu kết sau: Chiều cao (cm) 44 - 46 46 - 48 48 - 50 50 - 52 52 - 54 54 - 56 56 - 58 Số trẻ 15 62 206 270 212 63 17  Trung bình mẫu phương sai mẫu độc lập với thống kê Thống kê mô tả mẫu Cho hai mẫu quan sát với thơng tin sau Cỡ mẫu Trung bình mẫu Độ lệch mẫu Mẫu 80 55 kg 8,3 kg Mẫu 100 52 kg 8,7 kg Gộp hai mẫu lại với Tính trung bình mẫu độ lệch mẫu mẫu gộp 5.3 Phân phối xác suất số đặc trưng mẫu b) Xấp xỉ mẫu lớn Giả sử mẫu ngẫu nhiên , phương sai cỡ mẫu lớn trung bình mẫu Xét tham số xác suất sinh từ biến ngẫu nhiên có kỳ vọng Theo định lý giới hạn trung tâm (phần 4.3.1), có phân phối xấp xỉ chuẩn Đặt ( 5.3.1 Một số phân phối thống kê a) Phân phối chuẩn Trong thống kê, phân phối chuẩn đóng vai trị quan trọng nhiều phương pháp thống kê Định nghĩa tính chất phân phối chuẩn đề cập phần 2.4.3 69 mẫu sinh từ phân phối nhị thức tần suất mẫu biến cố cỡ mẫu lớn tần suất mẫu ) Chú ý trung bình mẫu Khi đó, với có phân phối xấp xỉ chuẩn thể xấp xỉ 70 hay có Kết thường dùng để ước lượng cho tham số xác suất với cỡ mẫu lớn Người ta thấy xấp xỉ tốt Các kết sử dụng phương pháp thống kê đề cập chương sau CHƯƠNG BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên thường phụ thuộc vào số tham số Việc biết giá trị tham số xác định đặc trưng biến ngẫu nhiên tồn thơng tin phân phối xác suất Chẳng hạn, giả sử biến ngẫu nhiên quan tâm có phân phối Poisson, biết tham số phân phối hồn tồn xác định Tuy nhiên, thực tế giá trị tham số khơng xác định cách xác mà thường ước lượng từ mẫu Đây nội dung toán ước lượng tham số toán quan trọng thống kê tốn Có hai phương pháp ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng tin cậy Vấn đề quan tâm phương pháp ước lượng đưa tiêu chuẩn ước lượng phương pháp xây dựng ước lượng 6.1 Ước lượng điểm Giả sử mẫu ngẫu nhiên sinh từ có phân phối xác suất phụ thuộc vào tham số chưa biết, ta viết Bài toán ước lượng điểm dựa vào mẫu tìm thống kê để ước lượng cho tham số Khi đó, với mẫu thực nghiệm giá trị cụ thể thống kê cho ước lượng điểm Cùng với mẫu ngẫu nhiên xây dựng nhiều thống kê khác để ước lượng cho tham số Vì vậy, ta cần lựa chọn thống kê “tốt nhất” để ước lượng Việc đánh giá ước lượng điểm thông qua ba tiêu chuẩn sau: tiêu chuẩn không chệch, tiêu chuẩn vững tiêu chuẩn hiệu Ba tiêu chuẩn dựa ý tưởng toán sau: Giả sử ước lượng điểm cho tham số Sai số bình phương trung bình ước lượng , ký hiệu , xác định Đại lượng đo phân tán giá trị ước lượng điểm xung quanh giá trị tham số ước lượng Rõ ràng ước lượng tốt giá trị nhỏ Việc chọn thống kê ước lượng để làm giảm sai số bình phương trung bình dựa vào hai đặc trưng kỳ vọng phương sai thống kê ước lượng 71 72 6.1.1 Ước lượng không chệch Định nghĩa Thống kê tham số Ngược lại, chệch, ký hiệu gọi ước lượng không chệch Ví dụ 6.1.3 Giả sử mẫu sinh từ phân phối Poisson trung bình mẫu ước lượng hiệu tham số Giải Ta có gọi ước lượng chệch tham số Do với độ Ý nghĩa Nếu thống kê ước lượng khơng chệch tham số , nghĩa sai số ước lượng trung bình Vậy tiêu chuẩn không chệch tránh giá trị ước lượng sai lệch phía Ví dụ 6.1.1 Giả sử tham số kỳ vọng trung bình mẫu ước lượng không chệch Tương tự phương sai mẫu ước lượng không chệch tham số Ví dụ 6.1.2 Giả sử hai ước lượng khơng chệch tham số với , thống kê có , ước lượng khơng chệch tham số Điều cho thấy ước lượng không chệch không 6.1.2 Ước lượng hiệu Nếu hai ước lượng không chệch tham số suy Và ước lượng gọi “hiệu quả” so với Từ ta đưa tiêu chuẩn hiệu từ tiêu chuẩn không chệch sau Mặt khác, phân phối xác suất Ta có , suy Khi đó, Dễ dàng thấy Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.1.4 Giả sử mẫu sinh từ phân phối chuẩn trung bình mẫu ước lượng hiệu tham số Giải Ta có Định nghĩa Thống kê gọi ước lượng hiệu tham số ước lượng không chệch có phương sai bé nhất, tức với Chứng minh Chứng minh Do Mặt khác, phân phối xác suất ước lượng không chệch tham số Việc kiểm tra tiêu chuẩn hiệu ước lượng dựa vào bất đẳng thức Cramer-Rao sau: Định lý (Bất đẳng thức Cramer-Rao) Giả sử mẫu ngẫu nhiên sinh từ có phân phối xác suất ước lượng khơng chệch tham số Khi Ta có , suy Khi đó, , gọi lượng thơng tin Fisher tham số Như thống kê Dễ dàng thấy Vậy ta có điều phải chứng minh 6.1.3 Ước lượng vững ước lượng khơng chệch Định nghĩa Thống kê ước lượng hiệu 73 gọi ước lượng vững tham số , tức 74 6.2 Phương pháp tìm ước lượng Như cỡ mẫu lớn ước lượng vững xấp xỉ với giá trị tham số ước lượng Do đó, độ xác ước lượng vững phụ thuộc vào cỡ mẫu quan sát Việc kiểm tra tiêu chuẩn vững ước lượng thường dựa vào hai kết sau Giả sử mẫu ngẫu nhiên sinh từ có phân phối xác suất với tham số Trong phần ta đưa hai phương pháp tìm ước lượng cho tham số là: phương pháp hợp lý cực đại phương pháp moment Định lý Nếu thống kê 6.2.1 Phương pháp hợp lý cực đại a) ước lượng không chệch , tức b) thỏa mãn: Ta định nghĩa hàm xác định , , ước lượng vững tham số Định lý Nếu thống kê gọi hàm hợp lý mẫu thỏa mãn: a) (tính tiệm cận khơng chệch), b) , Định nghĩa Thống kê làm cực đại hàm hợp lý , tức , gọi ước lượng hợp lý cực đại Nhận xét Hàm hợp lý phân phối xác suất mẫu ngẫu nhiên Do đó, phương pháp ước lượng hợp lý cực đại dựa quan sát có khả xảy lớn mẫu ngẫu nhiên ước lượng vững tham số Ví dụ 6.1.5 Theo tính chất trung bình mẫu Giả sử hàm Nếu ước lượng vững kỳ vọng khả vi, hàm logarit đơn điệu nên thông thường ước lượng hợp lý cực đại nghiệm hệ phương trình hợp lý: Chú ý Giả sử song ánh, BÀI TẬP 6.1 Giả sử mẫu sinh từ phân phối mũ ước lượng không chệch, hiệu vững tham số Chứng minh Giả sử mẫu sinh từ phân phối Bernoulli ước lượng không chệch, hiệu vững tham số Chứng minh Giả sử mẫu sinh từ có hàm mật độ tham số Kiểm tra tiêu chuẩn ước lượng thống kê ước lượng cho , với dùng để hợp lý cực đại là ước lượng hợp lý cực đại Đây tính bất biến ước lượng hợp lý cực đại Ví dụ 6.2.1 Cho mẫu ngẫu nhiên ước lượng hợp lý cực đại cho tham số Giải Theo giả thiết sinh từ phân phối Poisson với phân phối xác suất Tìm lượng thông tin Fisher tham số phân phối xác suất sau: Ta có a) với b) Cho lập và , suy , với hai ước lượng không chệch tham số Giả sử độc Tìm hai số cho thống kê ước lượng không chệch có phương sai bé 75 ước lượng Khi đó, 76 Tìm Giải phương trình hợp lý Ví dụ 6.2.3 Tìm ước lượng moment cho tham số Giải Ta có nên moment cấp Giải phương trình moment Hơn nữa, Vậy ước lượng moment cho Vậy ví dụ 6.2.1 ước lượng hợp lý cực đại cho Ví dụ 6.2.2 Cho mẫu ngẫu nhiên sinh từ phân phối có hàm mật độ Chứng minh ước lượng hợp lý cực đại tham số Ví dụ 6.2.4 Cho mẫu moment cho hai tham số Giải Ta có nên sinh từ phân phối chuẩn Tìm ước lượng Suy moment Giải hệ phương trình moment Giải Hàm hợp lý mẫu Vậy ước lượng moment cho Do điệu tăng nên nên hàm hợp lý tương ứng hàm đơn BÀI TẬP 6.2 Cho mẫu sinh từ phân phối chuẩn với Tìm ước lượng Vậy ta suy điều phải chứng minh hợp lý cực đại 6.2.2 Phương pháp moment Cho mẫu sinh từ phân phối Bernoulli Tìm ước lượng moment ước lượng hợp lý cực đại cho tham số Kiểm tra tiêu chuẩn ước lượng ước lượng thu Moment bậc biến ngẫu nhiên Moment mẫu bậc xác định mẫu ngẫu nhiên xác định cho tham số Kiểm tra tiêu chuẩn ước lượng Tìm ước lượng moment ước lượng hợp lý cực đại cho tham số nhiên sinh từ có hàm mật độ sau đây: a) với b) Chú ý Từ đặc trưng moment, ta xác định đặc trưng khác biến ngẫu nhiên Chẳng hạn kỳ vọng , phương sai … Moment đặc trưng tổng quát phân phối xác suất nghiệm hệ phương trình , với Kiểm tra tiêu chuẩn ước lượng ước lượng thu Cho mẫu , Định nghĩa Thống kê , với c) từ mẫu ngẫu sinh từ có phân phối xác suất với Tìm ước lượng moment ước lượng hợp lý cực đại cho tham số Giả sử thời gian hoạt động (đv: năm) loại máy có phân phối mũ Độ tin cậy loại máy thời điểm định nghĩa ước lượng hợp lý cực đại cho từ mẫu gọi ước lượng moment Chú ý rằng, tùy theo tốn mà ta dùng moment bậc trình moment số tham số cần ước lượng 77 thích hợp Số phương 78 Tìm 6.3 Ước lượng khoảng tin cậy Giả sử mẫu ngẫu nhiên sinh từ có phân phối xác suất phụ thuộc vào tham số chưa biết Bài toán ước lượng khoảng tin cậy dựa vào mẫu tìm hai thống kê cho Ví dụ 6.3.1 Cho mẫu ngẫu nhiên sinh từ phân phối chuẩn Với độ tin cậy , xây dựng khoảng ước lượng cho tham số kỳ vọng , biết biết Giải Từ lý thuyết mẫu trung bình mẫu có phân phối chuẩn Do chọn đại lượng lõi Khi khoảng gọi khoảng ước lượng tham số với độ tin cậy , tương ứng gọi giới hạn tin cậy dưới, giới hạn tin cậy Khoảng ước lượng thường chọn cho có độ tin cậy lớn 90%) độ rộng khoảng hẹp theo nghĩa nhỏ lớn (thường Ước lượng khoảng mang nhiều thông tin tham số ước lượng so với ước lượng điểm Nó đưa đo đo tin cậy xác ước lượng Khi lấy mẫu lặp lại nhiều lần độ tin cậy xác định tỷ lệ số lần lấy mẫu mà có khoảng ước lượng chứa giá trị tham số Do đó, với độ tin cậy cao ta kết luận giá trị tham số nằm khoảng ước lượng xác định cụ thể mẫu thực nghiệm có phân phối chuẩn tắc Khi đó, chọn giá trị hàm , ta có gọi phân vị chuẩn tắc Theo tính chất Và Do chọn Thực biến đổi, ta 6.3.1 Phương pháp xây dựng khoảng ước lượng Để xây dựng ước lượng khoảng, ta thường dựa vào đại lượng, gọi đại lượng lõi, có hai đặc tính sau: Vậy khoảng ước lượng cho kỳ vọng với độ tin cậy i) Nó hàm chứa thành phần ngẫu nhiên mẫu tham số ước lượng, ký hiệu ii) Nó xác định phân phối xác suất không phụ thuộc vào tham số, tức hàm phân phối không phụ thuộc vào Khi đó, phương pháp chung để xây dựng khoảng ước lượng cho tham số vào mẫu ngẫu nhiên là:  Bước Tìm đại lượng lõi  Bước Chọn hai giá trị chọn thỏa mãn có hàm phân phối cho ,  Bước Biến đổi biến cố hai thống kê cần tìm dựa 6.3.2 Khoảng ước lượng số tham số a) Khoảng ước lượng cho kỳ vọng Giả sử có phân phối chuẩn Dựa vào mẫu ngẫu nhiên sinh từ với trung bình mẫu , phương sai mẫu , xây dựng khoảng ước lượng cho kỳ vọng Thường  Trường hợp dạng , biết Theo phương pháp xây dựng khoảng ước lượng kỳ vọng gọi sai số ước lượng Phân vị chuẩn tắc từ bảng phụ lục I với  Trường hợp là: tra chưa biết Theo phương pháp xây dựng khoảng ước lượng kỳ vọng 79 với độ tin cậy 80 với độ tin cậy là: Giải Theo giả thiết, ta có với độ tin cậy tra từ bảng phụ lục Khi khoảng ước lượng cho chênh lệch chiều cao niên vùng với độ tin cậy 95% gọi sai số ước lượng Phân vị Student tra từ bảng phụ lục II Chú ý Chú ý Nếu biến ngẫu nhiên khơng tuân theo phân phối chuẩn với cỡ mẫu lớn ( ), áp dụng định lý giới hạn trung tâm luật số lớn có phân phối xấp xỉ Do đó, khoảng ước lượng cho kỳ vọng sai số ước lượng với độ tin cậy hay cm c) Khoảng ước lượng cho xác suất (tỷ lệ) Cho mẫu ngẫu nhiên tham số xác suất Gọi Ví dụ 6.3.2 Đo chiều dài loại chi tiết máy 25 lần, ta tính chiều dài trung bình mẫu 20,05 cm Biết chiều dài chi tiết máy có phân phối chuẩn với Hãy tìm khoảng ước lượng cho chiều dài trung bình chi tiết máy với độ tin cậy 99% Giải Gọi chiều dài chi tiết máy trên, theo giả thiết Ta có ; ; với độ tin cậy tra Từ tính sai số ước lượng sinh từ Ta xây dựng khoảng ước lượng cho với độ tin cậy số quan sát mẫu đại lượng tần suất mẫu biến cố Theo lý thuyết mẫu với cỡ mẫu lớn, áp dụng định lý giới hạn trung tâm luật số lớn có phân phối xấp xỉ Do đó, khoảng ước lượng cho xác suất với độ tin cậy sai số ước lượng Chú ý Khoảng ước lượng cho xác suất thường xác Khi đó, khoảng ước lượng cho chiều dài trung bình chi tiết máy với độ tin cậy 99% cm Ví dụ 6.3.4 Một lơ thuốc ta kiểm tra 200 ống thấy có 17 ống bị đục Với độ tin cậy 98%, tìm khoảng ước lượng tỷ lệ ống thuốc bị đục tồn lơ thuốc b) Khoảng ước lượng cho phương sai Giải Gọi biến cố “ống thuốc bị đục” tỷ lệ ống thuốc bị đục tồn lơ thuốc Theo giả thiết, từ mẫu ta có suy Với độ tin cậy tra Từ tính sai số ước lượng Giả sử mẫu ngẫu nhiên sinh từ Theo lý thuyết mẫu, ta có Theo phương pháp xây dựng khoảng ước lượng cho phương sai cậy với độ tin Khi khoảng ước lượng cho tỷ lệ ống thuốc bị đục tồn lơ thuốc với độ tin cậy 98% 6.3.3 Bài toán xác định cỡ mẫu phân vị tra từ bảng phụ lục III Ví dụ 6.3.3 Đo chiều cao ngẫu nhiên 20 niên vùng, ta tính độ lệch mẫu cm Biết chiều cao tuân theo phân phối chuẩn, ước lượng chênh lệch chiều cao niên vùng với độ tin cậy 95% Thơng thường, cỡ mẫu lớn độ rộng (khoảng biến thiên) khoảng ước lượng nhỏ ước lượng khoảng thu xác Mẫu cỡ lớn địi hỏi chi phí cho điều tra thời gian, nguồn nhân lực, tiền bạc , mẫu cỡ nhỏ kết luận thống kê khơng xác Do thực tế, trước tiến hành lấy mẫu, ta cần xác định cỡ mẫu cần thiết để thu ước lượng cho tham số với sai số mong muốn Đó nội dung tốn xác định cỡ mẫu 81 82 Giả sử ta muốn ước lượng khoảng cho tham số có sai số ước lượng Với sai số ước lượng cho trước (hay sai số mong muốn), ta tìm cỡ mẫu cho a) Ước lượng cho kỳ vọng Giả sử ta muốn ước lượng cho kỳ vọng lượng với độ tin cậy (nếu , theo ta có sai số ước chưa biết ước lượng độ lệch mẫu ) Khi đó, từ biến đổi Hãy xây dựng khoảng ước lượng cho tham số phần 6.3.2 Giả sử mẫu ngẫu nhiên sinh từ phân phối có hàm mật độ , Hãy xây dựng khoảng ước lượng cho với độ tin cậy qua đại lượng lõi Để xác định trọng lượng trung bình bao bột mì đóng gói máy tự động, người ta chọn ngẫu nhiên 50 bao tính kg Tìm khoảng ước lượng với độ tin cậy 99% trọng lượng trung bình bao bột mì, giả sử trọng lượng tuân theo phân phối chuẩn Trong thăm dò ý kiến 100 khách hàng, người ta thấy 55 người nói ưa thích mặt hàng A Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ người tiêu dùng ưa thích mặt hàng A ta chọn cỡ mẫu cần thiết b) Ước lượng cho xác suất (tỷ lệ) Giả sử ta muốn ước lượng cho xác suất lượng với độ tin cậy BÀI TẬP 6.3 , theo ta có sai số ước Khi đó, từ biến đổi Độ sâu biển xác định máy đo có sai số hệ thống 0, cịn sai số ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với độ lệch m Cần phải tiến hành lần đo để xác định độ sâu biển có sai số không 15m với độ tin cậy 90% Khảo sát trọng lượng loại trái cây, thu số liệu sau: Trọng lượng (g) 30 - 33 33 - 36 36 - 39 39 - 42 42 - 45 45 - 48 Số 25 36 28 14 Giả sử trọng lượng biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn ta chọn cỡ mẫu cần thiết Ngồi ta có ý cỡ mẫu cần thiết 12 (bất đẳng thức Cauchy) nên chọn trường hợp khơng phụ thuộc vào tần suất Ví dụ 6.3.5 Trong tranh cử, muốn biết tỷ lệ bầu cử cho ứng viên có sai số khơng vượt q 5% với độ tin cậy 99% cần thăm dị cử tri bỏ phiếu Giải Gọi tỷ lệ bầu cử ứng viên tranh cử Theo giả thiết, ta có độ tin cậy tra Từ tính a) Với độ tin cậy 98%, ước lượng trọng lượng trung bình loại Nếu muốn ước lượng có sai số khơng vượt 0,5g cần khảo sát b) Hãy ước lượng phân tán trọng lượng loại trái với độ tin cậy 95% c) Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỷ lệ có trọng lượng thuộc khoảng 36 45g Nếu muốn ước lượng có sai số khơng vượt q 4% cần khảo sát Để xác định số xe máy chưa đăng ký, cảnh sát giao thông kiểm tra ngẫu nhiên 400 xe thấy có 10 xe chưa đăng ký Dựa vào kết ước lượng số xe máy chưa đăng ký với độ tin cậy 98%, biết số xe máy đăng ký 90.000 xe Vậy cần thăm dò 666 cử tri để ước lượng cho tỷ lệ bầu cử ứng viên có sai số khơng vượt q 5% 83 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC [1] K M Ramachandran, Mathematical Statistics with Applications, Elsevier Academic Press, 2009 [2] J H Stapleton, Models for Probability and Statistical Inference, John Wiley & Sons, Inc, 2008 [3] Đinh Văn Gắng, Lý thuyết xác suất thống kê, Nhà xuất Giáo dục, 2007 [4] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nhà xuất ĐHQG Hà nội, 2006 [5] Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hồng Hữu Như, Thống kê tốn học, Nhà xuất ĐHQG Hà nội, 2004 [6] Trần Lộc Hùng, Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất Giáo dục, 2005 [7] Lê Bá Long, Giáo trình xác suất thống kê, Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng, Hà nội, 2006 [8] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất ĐHQG Hà nội, 2004 [9] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2005 [10] Nguyễn Văn Toản, Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê toán học, Nhà xuất Giáo dục, 2005 [11] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Nguyễn Thế Hệ, Bài tập xác suất thống kê toán, Nhà xuất ĐH Kinh tế Quốc dân, Hà nội, 2006 Bảng I Hàm phân phối chuẩn tắc 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 0.00 0.5000 5398 5793 6179 6554 6915 7257 7580 7881 8159 8413 8643 8849 9032 9192 9332 9452 9554 9641 9713 9772 9821 9861 9893 9918 9938 9953 9965 9974 9981 9987 Chú ý Với 97 0.01 5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9987 0.02 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 9987 0.03 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9988 0.04 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7704 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9988 sử dụng tính chất 0.05 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 9989 0.06 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 9131 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 9989 98 0.07 5279 5675 6064 6443 6808 7157 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 9989 0.08 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9990 0.09 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8133 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 9990 Bảng II Phân vị Student với bậc tự Bảng III Phân vị Khi-bình phương 10 63.657 31.821 15.895 12.706 6.314 9.925 6.965 4.849 4.303 2.920 5.841 4.541 3.482 3.182 2.353 4.604 3.747 2.999 2.776 2.132 4.032 3.365 2.757 2.571 2.015 3.707 3.143 2.612 2.447 1.943 3.499 2.998 2.517 2.365 1.895 3.355 2.896 2.449 2.306 1.860 3.250 2.821 2.398 2.262 1.833 3.169 2.764 2.359 2.228 1.812 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.106 2.718 2.328 2.201 1.796 3.055 2.681 2.303 2.179 1.782 3.012 2.650 2.282 2.160 1.771 2.977 2.624 2.264 2.145 1.761 2.947 2.602 2.249 2.131 1.753 2.921 2.583 2.235 2.120 1.746 2.898 2.567 2.224 2.110 1.740 2.878 2.552 2.214 2.101 1.734 2.861 2.539 2.205 2.093 1.729 2.845 2.528 2.197 2.086 1.725 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2.831 2.518 2.189 2.080 1.721 2.819 2.508 2.183 2.074 1.717 2.807 2.500 2.177 2.069 1.714 2.797 2.492 2.172 2.064 1.711 2.787 2.485 2.167 2.060 1.708 2.779 2.479 2.162 2.056 1.706 2.771 2.473 2.158 2.052 1.703 2.763 2.467 2.154 2.048 1.701 2.756 2.462 2.150 2.045 1.699 2.750 2.457 2.147 2.042 1.697 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0.005 0.010 0.020 0.025 0.050 2.744 2.453 2.144 2.040 1.696 2.738 2.449 2.141 2.037 1.694 2.733 2.445 2.138 2.035 1.692 2.728 2.441 2.136 2.032 1.691 2.724 2.438 2.133 2.030 1.690 2.719 2.434 2.131 2.028 1.688 2.715 2.431 2.129 2.026 1.687 2.712 2.429 2.127 2.024 1.686 2.708 2.426 2.125 2.023 1.685 2.704 2.423 2.123 2.021 1.684 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 0.005 0.010 0.020 0.025 0.050 2.701 2.421 2.121 2.020 1.683 2.698 2.418 2.120 2.018 1.682 2.695 2.416 2.118 2.017 1.681 2.692 2.414 2.116 2.015 1.680 2.690 2.412 2.115 2.014 1.679 2.687 2.410 2.114 2.013 1.679 2.685 2.408 2.112 2.012 1.678 2.682 2.407 2.111 2.011 1.677 2.680 2.405 2.110 2.010 1.677 2.678 2.403 2.109 2.009 1.676 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 2.660 2.390 2.099 2.000 1.671 2.648 2.381 2.093 1.994 1.667 2.639 2.374 2.088 1.990 1.664 2.632 2.368 2.084 1.987 1.662 2.626 2.364 2.081 1.984 1.660 2.621 2.361 2.078 1.982 1.659 2.617 2.358 2.076 1.980 1.658 2.614 2.355 2.075 1.978 1.657 2.611 2.353 2.073 1.977 1.656 2.609 2.351 2.072 1.976 1.655 0.005 0.010 0.020 0.025 0.050 0.005 0.010 0.020 0.025 0.050 0.005 0.010 0.020 0.025 0.050 0.005 0.010 0.020 0.025 0.050 99 0.005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 7.88 10.60 12.84 14.86 16.75 18.55 20.28 21.95 23.59 25.19 26.76 28.30 29.82 31.32 32.80 34.27 35.72 37.16 38.58 40.00 41.40 42.80 44.18 45.56 46.93 48.29 49.64 50.99 52.34 53.67 66.77 79.49 91.95 104.21 116.32 128.30 140.17 0.010 0.020 0.025 với bậc tự 0.050 0.950 0.975 0.980 0.990 0.995 6.63 5.41 5.02 3.84 9.21 7.82 7.38 5.99 11.34 9.84 9.35 7.81 13.28 11.67 11.14 9.49 15.09 13.39 12.83 11.07 16.81 15.03 14.45 12.59 18.48 16.62 16.01 14.07 20.09 18.17 17.53 15.51 21.67 19.68 19.02 16.92 23.21 21.16 20.48 18.31 24.72 22.62 21.92 19.68 26.22 24.05 23.34 21.03 27.69 25.47 24.74 22.36 29.14 26.87 26.12 23.68 30.58 28.26 27.49 25.00 32.00 29.63 28.85 26.30 33.41 31.00 30.19 27.59 34.81 32.35 31.53 28.87 36.19 33.69 32.85 30.14 37.57 35.02 34.17 31.41 38.93 36.34 35.48 32.67 40.29 37.66 36.78 33.92 41.64 38.97 38.08 35.17 42.98 40.27 39.36 36.42 44.31 41.57 40.65 37.65 45.64 42.86 41.92 38.89 46.96 44.14 43.19 40.11 48.28 45.42 44.46 41.34 49.59 46.69 45.72 42.56 50.89 47.96 46.98 43.77 63.69 60.44 59.34 55.76 76.15 72.61 71.42 67.50 88.38 84.58 83.30 79.08 100.43 96.39 95.02 90.53 112.33 108.07 106.63 101.88 124.12 119.65 118.14 113.15 135.81 131.14 129.56 124.34 0.00 0.10 0.35 0.71 1.15 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94 4.57 5.23 5.89 6.57 7.26 7.96 8.67 9.39 10.12 10.85 11.59 12.34 13.09 13.85 14.61 15.38 16.15 16.93 17.71 18.49 26.51 34.76 43.19 51.74 60.39 69.13 77.93 0.00 0.05 0.22 0.48 0.83 1.24 1.69 2.18 2.70 3.25 3.82 4.40 5.01 5.63 6.26 6.91 7.56 8.23 8.91 9.59 10.28 10.98 11.69 12.40 13.12 13.84 14.57 15.31 16.05 16.79 24.43 32.36 40.48 48.76 57.15 65.65 74.22 0.00 0.04 0.18 0.43 0.75 1.13 1.56 2.03 2.53 3.06 3.61 4.18 4.77 5.37 5.98 6.61 7.26 7.91 8.57 9.24 9.91 10.60 11.29 11.99 12.70 13.41 14.13 14.85 15.57 16.31 23.84 31.66 39.70 47.89 56.21 64.63 73.14 0.00 0.02 0.11 0.30 0.55 0.87 1.24 1.65 2.09 2.56 3.05 3.57 4.11 4.66 5.23 5.81 6.41 7.01 7.63 8.26 8.90 9.54 10.20 10.86 11.52 12.20 12.88 13.56 14.26 14.95 22.16 29.71 37.48 45.44 53.54 61.75 70.06 0.00 0.01 0.07 0.21 0.41 0.68 0.99 1.34 1.73 2.16 2.60 3.07 3.57 4.07 4.60 5.14 5.70 6.26 6.84 7.43 8.03 8.64 9.26 9.89 10.52 11.16 11.81 12.46 13.12 13.79 20.71 27.99 35.53 43.28 51.17 59.20 67.33 100