VECTƠ NGẪU NHIÊN
3.1. Vectơ ngẫu nhiên
3.1.1. Khái niệm
Giả sử là các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất . Một bộ có thứ tự gọi là một vectơ ngẫu nhiên chiều. Các biến ngẫu nhiên gọi là các thành phần của vectơ ngẫu nhiên.
Ví dụ 3.1.1. Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu kích thước của sản phẩm
được đo bằng chiều dài và chiều rộng thì ta có vectơ ngẫu nhiên 2 chiều , còn nếu xét thêm cả chiều cao nữa thì ta có vectơ ngẫu nhiên 3 chiều .
Vectơ ngẫu nhiên được gọi là rời rạc hay liên tục nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần là rời rạc hay liên tục.
3.1.2. Phân phối xác suất đồng thời
Đối với vectơ ngẫu nhiên có số chiều , các biến ngẫu nhiên thành phần thường có sự phụ thuộc nhau về mặt giá trị xuất hiện. Do đó, phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên phải được xác định đồng thời trên các thành phần của nó, gọi là phân phối xác suất đồng thời. Rõ ràng rằng, từ phân phối xác suất đồng thời có thể suy ra phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên thành phần.
Để đơn giản, trong các phần tiếp theo ta chỉ khảo sát vectơ ngẫu nhiên 2 chiều.
3.1.3. Hàm phân phối đồng thời
Định nghĩa. Cho vectơ ngẫu nhiên 2 chiều . Hàm xác định bởi ,
được gọi là hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên hay hàm phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên .
Tính chất. Hàm phân phối đồng thời có các tính chất cơ bản sau: a) với mọi .
b) là hàm không giảm và liên tục trái theo từng biến.
c) ; .
d) ; với là hàm
phân phối của hay còn gọi là hàm phân phối biên duyên của .
e) độc lập khi và chỉ khi .
f) .
Ví dụ 3.1.2. Trên mặt phẳng , chọn điểm sao cho ,
. Tìm hàm phân phối đồng thời của 2 biến ngẫu nhiên .
Giải. Theo giả thiết, ta có . Dựa vào xác suất hình học với độ
đo diện tích, suy ra
Khi đó, hàm phân phối của có thể thu được như sau:
3.2. Vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
3.2.1. Bảng phân phối xác suất đồng thời
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị tương ứng là . Khi đó vectơ ngẫu nhiên có tập giá trị là
.
Đặt thì dãy gọi là phân phối xác suất đồng thời của . Các xác suất này thỏa mãn:
Khi đó, bảng phân phối xác suất đồng thời mô tả phân phối của như sau:
Ví dụ 3.2.1. Gieo 3 đồng xu cân đối A, B, C. Gọi là số mặt ngửa xuất hiện của 2 đồng xu A, B và là số mặt ngửa xuất hiện của cả 3 đồng xu. Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của .
Giải. Ta có ; . Khi đó, bảng phân phối xác suất
đồng thời của là 0 1 2 3 0 1/8 1/8 0 0 1 0 1/4 1/4 0 2 0 0 1/8 1/8 trong đó ; ; ; ; ; .
3.2.2. Phân phối biên duyên
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho hệ , ta có
.
Tương tự thì .
Như vậy từ bảng phân phối xác suất đồng thời, nếu cộng các xác suất theo hàng hoặc theo cột, ta thu được phân phối xác suất biên duyên của các thành phần ngẫu nhiên.
Ngoài ra, nếu là một hàm hai biến thì dựa vào bảng phân phối đồng thời, ta có thể thu được phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên .
Ví dụ 3.2.2. Với hai biến ngẫu nhiên trong ví dụ 3.2.1, hãy tìm phân phối xác suất của và . Giải. Ta có 0 1 2 3 0 1/8 1/8 0 0 1/4 1 0 1/4 1/4 0 1/2 2 0 0 1/8 1/8 1/4 1/8 3/8 3/8 1/8 1 Bảng phân phối xác suất của là
0 1 2 1/4 1/2 1/4
Bảng phân phối xác suất của là 0 1 1/2 1/2
trong đó .
3.2.3. Tính độc lập các biến ngẫu nhiên
Dựa vào phân phối xác suất đồng thời và các phân phối biên duyên, ta có thể kiểm tra tính độc lập của các biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp rời rạc thì hai biến ngẫu nhiên là độc lập khi và chỉ khi
.
Từ kết quả này, ta suy ra trong trường hợp độc lập thì phân phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên có thể xác định được nếu biết phân phối biên duyên của mỗi biến ngẫu nhiên thành phần.
Ví dụ 3.2.3. Xét tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên trong ví dụ 3.2.1.
Giải. Từ bảng phân phối đồng thời của và , ta thấy
Do đó khơng độc lập.
BÀI TẬP 3.2
1. Cho hai biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất đồng thời như sau:
1 2 3 0
1
a) Xác định và tìm phân phân phối xác suất của . b) Tìm phân phối xác suất của . c) Hỏi có độc lập với nhau hay khơng?
0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8
2. Cho hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập với phân phối như sau:
1 2 3 2 4
0,3 0,2 0,5 0,6 0,4 a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của .
b) Tìm phân phối xác suất của .
3. Một hộp gồm 5 bi trắng, 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 bi. Gọi tương ứng là số bi trắng, bi đỏ lấy ra. Tìm phân phối xác suất đồng thời của . Tính xác suất . Hỏi có độc lập khơng?
4. Có hai chuồng gà: chuồng I gồm 5 gà mái, 3 gà trống; chuồng II gồm 2 gà mái, 4 gà trống. Xét các phép thử sau:
a) Từ mỗi chuồng bắt ra hai con gà. Gọi tương ứng là số gà trống bắt ra từ chuồng I, II. Tìm phân phối xác suất đồng thời của .
b) Từ chuồng I bắt một con gà bỏ vào chuồng II, sau đó từ chuồng II bắt ra hai con gà. Gọi tương ứng là số gà trống bắt ra ở lần 1, 2. Tìm phân phối xác suất đồng thời của .
5. Cho hai nhóm câu hỏi: nhóm I có 2 câu (20 điểm) và nhóm II có 3 câu (30 điểm). Một thí sinh được chọn ngẫu nhiên một nhóm câu hỏi. Xác suất thí sinh đó trả lời đúng mỗi câu trong nhóm I là 0,7 và trong nhóm II là 0,9. Gọi là nhóm câu hỏi chọn và là số điểm đạt được của thí sinh đó. Tìm phân phối xác suất đồng thời của
. Hỏi có độc lập khơng?
3.3. Vectơ ngẫu nhiên liên tục hai chiều
3.3.1. Hàm mật độ đồng thời
Định nghĩa. Giả sử vectơ ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối biểu diễn dạng:
, , thì hàm được gọi là hàm mật độ đồng thời của . Tính chất. Hàm mật độ có các tính chất sau:
i) với mọi .
ii) .
iii) nếu tồn tại đạo hàm tại .
iv) với miền .
Ví dụ 3.3.1. Cho vectơ ngẫu nhiên có hàm mật độ dạng
a) Xác định và tính xác suất .
b) Tìm hàm phân phối đồng thời .
Giải.
Từ với mọi , suy ra .
.
Vậy .
.
Hàm phân phối đồng thời
Xét hoặc thì . Xét , thì . Xét , thì . Xét , thì . Xét , thì .
3.3.2. Phân phối biên duyên
Tương tự trường hợp rời rạc, từ hàm mật độ đồng thời, ta có thể thu được hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên thành phần. Cụ thể, các hàm xác định bởi
tương ứng là hàm mật độ của và .
Trong trường hợp liên tục, hai biến ngẫu nhiên độc lập khi và chỉ khi với mọi .
Như vậy nếu hàm mật độ đồng thời có thể nhóm thành tích của hai hàm, mỗi hàm chỉ phụ thuộc một biến thì hai biến ngẫu nhiên sẽ độc lập.
Ví dụ 3.3.2. Với hai biến ngẫu nhiên trong ví dụ 3.3.1, hãy tìm hàm mật độ và
xét tính độc lập của .
Giải. Ta có, với thì
Với thì
Dễ dàng thấy rằng . Do đó khơng độc lập.
BÀI TẬP 3.3
1. Cho hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời dạng
a) Xác định và tính xác suất . b) Tìm hàm phân phối đồng thời .
c) Tìm hàm mật độ của . Hỏi có độc lập hay khơng? 2. Giả sử vectơ ngẫu nhiên có hàm mật độ dạng
a) Xác định và tính xác suất . b) Tìm hàm phân phối đồng thời .
c) Tìm hàm mật độ của . Xét tính độc lập của .
3. Giả sử có hàm mật độ đồng thời là
a) Xác định và tính xác suất . b) Xét tính độc lập của .
4. Cho hai biến có hàm mật độ đồng thời là
.
Tính các xác suất .
5. Trên đoạn thẳng có độ dài 1, chọn ngẫu nhiên hai điểm . Gọi tương ứng là độ dài đoạn . Tìm phân phối xác suất đồng thời của . Từ đó suy ra xác suất chọn được nằm giữa .
3.4. Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên
3.4.1. Vectơ kỳ vọng
Giả sử hai biến ngẫu nhiên có kỳ vọng tương ứng là thì bộ gọi là vectơ kỳ vọng của vectơ ngẫu nhiên .
Ngoài ra, dựa vào phân phối xác suất đồng thời, nếu là một hàm số thì
Trường hợp rời rạc
Trường hợp liên tục
Từ kết quả này, chẳng hạn ta có cơng thức tính kỳ vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên thành phần dựa vào phân phối xác suất đồng thời như sau:
Trường hợp rời rạc
Trường hợp liên tục
Ví dụ 3.4.1. Cho vectơ ngẫu nhiên có bảng phân phối đồng thời như sau:
1 3 5
1 0,1 0,2 0,05 2 0,3 0,15 0,2 Tính kỳ vọng, phương sai của và .
Giải. Ta có .
Suy ra .
Tương tự . Và
.
Ví dụ 3.4.2. Cho vectơ ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời như sau:
Tính kỳ vọng, phương sai của và .
Giải. Ta có .
Suy ra .
Tương tự . Và
.
3.4.2. Hiệp phương sai (Covariance)
Định nghĩa. Covariance (hiệp phương sai) của hai biến ngẫu nhiên , ký hiệu , được xác định bởi: Tính chất. a) . b) . c) với mọi hằng số . d) . e) Nếu độc lập thì .
Ví dụ 3.4.3. Xét hai biến ngẫu nhiên trong ví dụ 3.4.1, hãy tính .
Giải. Ta có . Do đó,
.
Suy ra khơng độc lập. Thêm vào đó nên .
3.4.3. Hệ số tương quan
Định nghĩa. Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên , ký hiệu , được xác định bởi:
Tính chất.
a) với mọi biến ngẫu nhiên . b) Nếu độc lập thì .
c) khi và chỉ khi nếu và nếu .
Ý nghĩa. Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa và . Khi càng gần 1 thì sự phụ thuộc càng chặt, khi càng gần 0 thì sự phụ thuộc càng yếu. Khi thì gọi là tương quan thuận, gọi là tương quan nghịch và gọi là khơng tương quan.
Ví dụ 3.4.4. Xét hai biến ngẫu nhiên trong ví dụ 3.4.2, hãy tính .
Giải. Ta có
. Suy ra
.
Như vậy hai biến ngẫu nhiên là tương quan nghịch nhưng sự phụ thuộc rất yếu.
BÀI TẬP 3.4
1. Cho có phân phối xác suất đồng thời
. a) Tìm và tính .
b) Tính và . Nhận xét. 2. Cho có hàm mật độ đồng thời
a) Tính kỳ vọng .
b) Tính và . Hỏi có độc lập không? Tại sao?
3. Cho vectơ ngẫu nhiên có các đặc trưng ; ; ; ; . Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên
4. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập và có phương sai bằng nhau. Với hằng số , hãy tính .
5. Cho hai biến ngẫu nhiên và đặt với . Chứng minh rằng