CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
Cho dãy biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất . Chương này trình bày một số kết quả về sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên khi chỉ số dần ra vơ cùng. Những kết quả này đóng vai trị rất quan trọng trong lý thuyết xác suất và những ứng dụng cho thống kê toán học.
Trước hết, ta cần nắm định nghĩa về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên về một biến ngẫu nhiên khác.
4.1 Một số dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
4.1.1. Hội tụ theo xác suất
Định nghĩa. Dãy biến ngẫu nhiên gọi là hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên , ký hiệu , nếu
Như vậy dãy biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất về thì với đủ lớn, thực tế ta có thể xem rằng không khác nhiều so với .
Chú ý rằng, giới hạn của hội tụ theo xác suất là duy nhất theo nghĩa: Nếu
và thì .
Ví dụ 4.1.1. Giả sử là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất như sau:
Chứng minh rằng hội tụ theo xác suất tới .
Giải. Xét biến ngẫu nhiên suy biến với . Ta có
khi . Vậy ta có điều phải chứng minh.
4.1.2. Hội tụ theo phân phối
Định nghĩa. Dãy biến ngẫu nhiên gọi là hội tụ theo phân phối về biến ngẫu nhiên , ký hiệu hay , nếu
với mọi điểm liên tục của , trong đó tương ứng là hàm phân phối của .
Như vậy dãy biến ngẫu nhiên hội tụ theo phân phối chính là sự hội tụ điểm của dãy hàm phân phối tương ứng.
Ví dụ 4.1.2. Giả sử là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất như sau:
Chứng minh rằng hội tụ theo phân phối tới với .
Giải. Ta có hàm phân phối của và là
và
Dễ thấy rằng với mọi : . Vậy ta có điều phải chứng minh.
4.2. Luật số lớn
4.2.1. Bất đẳng thức Chebyshev
Định lý. Giả sử biến ngẫu nhiên có kỳ vọng và phương sai hữu hạn thì với mọi , ta có
.
Bất đẳng thức Chebyshev có nhiều ứng dụng. Nó cho phép đánh giá cận trên, cận dưới xác suất để biến ngẫu nhiên rơi vào một khoảng nào đó chỉ dựa vào hai đặc trưng cơ bản là kỳ vọng và phương sai. Về mặt lý thuyết, nó được sử dụng để chứng minh các định lý của luật số lớn.
Ví dụ 4.2.1. Một thiết bị đo chiều dài có sai số đo lường là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng
là 0mm, độ lệch chuẩn là 2mm. Hỏi với xác suất trên 90% thì sai số tổng cộng khi dùng thiết bị trên đo 10 lần là nằm trong khoảng nào?
Giải. Gọi là sai số đo lường ở lần đo , thì các biến ngẫu nhiên là độc
lập với .
Sai số tổng cộng trong 10 lần đo là với . Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho biến ngẫu nhiên , ta có:
Theo giả thiết, ta phải có . Suy ra .
Vậy với xác suất trên 90% thì sai số tổng cộng trong 10 lần đo nằm trong khoảng mm.
4.2.2. Luật số lớn Chebyshev
Định lý. Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn bởi hằng số , tức là với mọi , thì
,
trong đó , .
Đặc biệt, nếu là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng , phương sai thì
.
Ý nghĩa. Luật số lớn cho ta một quy tắc xác định giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên xấp xỉ bằng trung bình số học của các giá trị quan sát được từ biến ngẫu nhiên đó với số lần thực hiện phép thử khá lớn.
Ví dụ 4.2.2. Trong một hệ thống, gọi là thời gian phục vụ cho một khách hàng. Bài
tốn đặt ra là tìm giá trị là thời gian phục vụ trung bình cho một khách hàng. Quan sát thời gian phục vụ cho 50 khách hàng, tính được thời gian phục vụ trung bình của 50 khách hàng trên là 4,25 phút. Theo luật số lớn, ta có thể xem .
Một hệ quả quan trọng của Luật số lớn là định lý Bernoulli. Cụ thể, xét dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối Bernoulli có , với
là biến cố quan sát trong dãy phép thử Bernoulli. Khi đó, đại lượng
chính là tần suất xuất hiện biến cố trong phép thử. Theo Luật số lớn thì .
Đây là cơ sở lý thuyết cho định nghĩa xác suất theo thống kê đưa ra ở chương 1.
BÀI TẬP 4.2
1. Cho biến ngẫu nhiên có hàm mật độ là , với . a) Dùng bất đẳng thức Chebyshev tìm chặn dưới của . b) Tính chính xác xác suất . Nhận xét.
2. Cho là các biến ngẫu nhiên độc lập với
( ). Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev tìm hai hằng số sao cho
3. Xác suất để chi tiết sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là 0,8. Dùng bất đẳng thức Chebyshev để đánh giá xác suất mà tỷ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn trong 4000 sản phẩm nằm trong khoảng từ 78% đến 83%.
4. Gieo một con xúc xắc cân đối lần và gọi là số lần xuất hiện mặt lục. Chứng minh rằng tần suất xuất hiện mặt lục, , sẽ xấp xỉ với khi lớn.
5. Giả sử tiền điện của một gia đình phải trả trong 1 tháng là biến ngẫu nhiên với trung bình 160 ngàn đồng, độ lệch chuẩn 10 ngàn đồng. Sừ dụng bất đẳng thức Chebyshev, hãy xác định số nhỏ nhất để với xác suất trên 99%, số tiền điện phải trả trong 1 năm không vượt quá .
6. Cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập xác định như sau:
trong đó là một hằng số. Dãy thỏa mãn luật số lớn Chebyshev không? Tại sao?
7. Cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập xác định như sau:
trong đó là một hằng số. Dãy thỏa mãn luật số lớn Chebyshev không? Tại sao?
4.3. Một số định lý giới hạn
4.3.1. Định lý giới hạn trung tâm
Trong các quy luật phân phối xác suất, phân phối chuẩn có vai trị đặc biệt quan trọng, vì trong những điều kiện nhất định, các quy luật phân phối khác hội tụ về phân phối chuẩn. Điều này thể hiện qua định lý giới hạn trung tâm sau đây:
Định lý. Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng, phương sai hữu hạn. Đặt thì dãy biến ngẫu nhiên chuẩn hóa
hội tụ theo phân phối về phân phối chuẩn tắc .
Định lý giới hạn trung tâm có nhiều ứng dụng trong xác suất và thống kê. Chẳng hạn, xét trung bình số học , theo định lý giới hạn trung tâm với đủ lớn thì sẽ có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn , trong đó ,
.
Ví dụ 4.3.1. Giả sử thu nhập của một người dân trong một vùng là biến ngẫu nhiên có
kỳ vọng là 2,5 trđ/tháng, độ lệch chuẩn là 0,5 trđ/tháng. Chọn ngẫu nhiên 50 người dân trong vùng trên. Tính xác suất để thu nhập trung bình của 50 người đó lớn hơn 2,4 trđ/tháng.
Giải. Gọi là thu nhập của người dân chọn thứ , . Theo giả thiết ta có
. Theo định lý giới hạn trung tâm, thu nhập trung bình của 50 người đó có phân phối xấp xỉ chuẩn . Do đó, xác suất để thu nhập trung bình của 50 người dân lớn hơn 2,4 trđ/tháng có thể xấp xỉ là
.
Một ứng dụng khác là dùng để xấp xỉ các xác suất liên quan đến phân phối nhị thức. Như đã biết, nếu thì . Khi lớn thì việc tính tốn trực tiếp sẽ rất khó khăn. Trong trường hợp này, ta có thể vận dụng định lý giới hạn trung tâm để xấp xỉ các xác suất trên như sau:
Công thức xấp xỉ 1 (Định lý Moivre-Laplace địa phương). Khi lớn thì
Cơng thức xấp xỉ 2 (Định lý Moivre-Laplace). Khi lớn và thì
.
Ví dụ 4.3.2. Xác suất làm ra một phế phẩm của một nhà máy là 0,02. Trong một lô
hàng gồm 2500 sản phẩm, hãy xấp xỉ a) Xác suất có 55 phế phẩm trong lơ hàng.
b) Xác suất có từ 40 đến 70 phế phẩm trong lô hàng.
Giải. Gọi là số phế phẩm trong lô hàng thì với , .
Tính được . Khi đó, áp dụng cơng thức xấp xỉ 1, ta có . Áp dụng cơng thức xấp xỉ 2, ta có
.
4.3.2. Định lý xấp xỉ Poisson
Định lý. Giả sử dãy biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức . Khi đó, nếu tồn tại số sao cho thì hội tụ theo phân phối về phân phối Poisson .
Trong trường hợp lớn và nhỏ thì việc xấp xỉ qua phân phối chuẩn cho sai số lớn. Khi đó ta có thể vận dụng định lý Poisson để xấp xỉ như sau:
Công thức xấp xỉ 3. Khi lớn và nhỏ, đặt thì
.
Ví dụ 4.3.3. Trong ví dụ 4.3.2. ta thấy xác suất rất nhỏ và lớn. Khi đó, áp dụng
cơng thức xấp xỉ 3 với , ta có
.
BÀI TẬP 4.3
1. Thời gian phục vụ (đv: phút) cho một khách hàng ở cửa hàng là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối mũ . Dùng định lý giới hạn trung tâm, tính xác suất để thời gian phục vụ cho 50 khách hàng nằm trong khoảng 140 đến 200 phút.
2. Gieo một con xúc xắc 100 lần. Gọi là tổng số chấm xuất hiện. Dùng định lý giới hạn trung tâm xấp xỉ cho xác suất .
3. Một máy công cụ gồm 10.000 chi tiết máy. Xác suất hỏng của mỗi chi tiết máy là 0,005. Xấp xỉ các xác suất
a) Số chi tiết máy bị hỏng là 15.
b) Số chi tiết máy bị hỏng nằm trong khoảng (40;60).
4. Cho biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức . Tính xác suất trong các trường hợp sau:
a) . Xấp xỉ xác suất đó bằng cơng thức xấp xỉ 1 và 3. Nhận xét. b) . Xấp xỉ xác suất đó bằng cơng thức xấp xỉ 1 và 3. Nhận
xét.
5. Gieo 3200 lần một đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi là số lần xuất hiện mặt sấp. a) Tìm số lần xuất hiện mặt sấp có khả năng nhất. Tính xác suất tương ứng. b) Tính xác suất nhận giá trị trong khoảng .