giáo trình xác suất thống kê kinhtế advanced mathematics and propability statistics

Phương pháp tổng quát nhất để tính số cách thực hiện (hay số kết quả) khác nhau có thể xảy ra của công việc là sử dụng các quy tắc và công thức của giải tích tổ hợp. Một công việc phả[r]

Chương BIẾN CỐ & XÁC SUẤT

§1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Trong lý thuyết xác suất, ta thường thực công việc phải tính số cách thực (hay số kết quả) khác xảy cơng việc Với cơng việc đơn giản, ta tính phương pháp suy luận trực tiếp Chẳng hạn như, lấy từ hộp có bi xanh bi đỏ bi Bằng suy luận ta thấy, có 10 cách lấy bi có màu tùy ý, có cách lấy bi xanh, có cách lấy bi đỏ Với cơng việc phức tạp hơn, ta tính cách vẽ sơ đồ cơng việc đếm số kết quả, ta gọi cách tính phương pháp vẽ sơ đồ. Chẳng hạn như, tung đồng thời hai hột xí ngầu Bằng phương pháp vẽ sơ đồ, ta thấy có cách tung để tổng số nút xuất hai hột xí ngầu Phương pháp tổng quát để tính số cách thực (hay số kết quả) khác xảy công việc sử dụng quy tắc cơng thức giải tích tổ hợp

1.1 Quy tắc cộng

Quy tắc Một công việc phải chia làm k trường hợp để thực Nếu có ni cách thực theo trường hợp i (i = 1, 2, … , k) khơng có cách

thực trường hợp trùng với cách thực trường hợp khác, cơng việc có số cách thực là:

n = n1 + n2 + … + nk

Ví dụ1 Có ba hộp bi Hộp có bi, hộp có bi, hộp có bi Có cách lấy ngẫu nhiên viên bi từ ba hộp bi đó?

Giải

Việc lấy ngẫu nhiên viên bi từ ba hộp bi chia làm ba trường hợp: Viên bi lấy từ hộp 1, từ hộp 2, từ hộp Nếu viên bi lấy từ hộp 1, suy luận ta thấy có cách lấy Tương tự, có cách lấy từ hộp 2, có cách lấy từ hộp Số cách lấy viên bi từ ba hộp bi là:

+ + = 12

Ví dụ2 Tung đồng thời ba hột xí ngầu khác Có cách tung để tổng số nút ba hột xí ngầu 6?

Giải

Chia làm bốn trường hợp: Hột xí ngầu thứ xuất mặt nút, mặt nút, mặt nút mặt nút Nếu hột xí ngầu thứ xuất mặt nút, cách vẽ sơ đồ ta thấy có cách tung Tương tự, trường hợp lại có cách tung, cách tung cách tung Số cách tung là:

1.2 Quy tắc nhân

Quy tắc Một công việc bao gồm k hành động liên tiếp Nếu có ni cách

thực theo hành động thứ i (i = 1, 2, … , k), cơng việc có số cách thực là:

n = n1  n2  …  nk

Ví dụ1 Có cách thực khác công việc sau: a) Tung hột xí ngầu hai lần liên tiếp?

b) Tung đồng xu ba lần liên tiếp?

c) Lấy bi không hồn lại bi từ hộp có 10 bi? Giải

a) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Tung lần tung lần Mỗi lần tung có cách Số cách tung là:

6  = 36

b) Bao gồm ba hành động liên tiếp: Tung lần 1, tung lần tung lần Mỗi lần tung có cách Số cách tung là:

2   =

c) Bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lấy bi lần 1, lấy bi lần 2, lấy bi lần lấy bi lần Lấy bi lần có 10 cách, lần có cách, lần có cách, lần có cách Số cách lấy là:

10    = 5040

Ví dụ2 Có thể lập ngẫu nhiên số ngàn từ 10 chữ số thập phân trường hợp sau:

a) Số ngàn số lẻ?

b) Số ngàn có chữ số khác nhau?

c) Số ngàn có chữ số khác số lẻ?

d) Số ngàn có chữ số khác số chẵn? Giải

a) Bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lập chữ số hàng ngàn, hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị Chữ số hàng ngàn có cách lập, hàng trăm hàng chục có 10 cách, hàng đơn vị có cách Số cách lập số ngàn lẻ là:

 10  10  = 4500

b) Bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lập chữ số hàng ngàn, hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị Số cách lập số ngàn có chữ số khác là:

9    = 4536

c) Bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lập chữ số hàng đơn vị, hàng ngàn, hàng trăm hàng chục Số cách lập số ngàn lẻ có chữ số khác là:

5    = 2240

Với chữ số hàng đơn vị số 0, việc lập bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lập chữ số hàng đơn vị, hàng ngàn, hàng trăm hàng chục Số cách lập trường hợp là:

n1 =    = 504

Tương tự, với chữ số hàng đơn vị số khác 0, ta có số cách lập là: n2 =    = 1792

Số cách lập số ngàn chẵn có chữ số khác là: n = n1 + n2 = 504 + 1792 = 2296

Chú ý Ta tính số cách lập số ngàn chẵn có chữ số khác cách lấy số cách lập số ngàn có chữ số khác trừ số cách lập số ngàn lẻ có chữ số khác Quy tắc tính gọi quy tắc trừ

1.3 Hoán vị

 Hốn vị cơng thức tính số hốn vị

Tập hợp A có n phần tử khác Nếu ta lấy phần tử tập hợp A đem xếp cho xác định vị trí phần tử, xếp gọi sắp thứ tự Một cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi một hoán vị n phần tử tập hợp A Số cách thứ tự n phần tử tập hợp A số hoán vị n phần tử tập hợp A Số hoán vị n phần tử khác ký hiệu Pn

Định nghĩa Một cách thứ tự n phần tử khác gọi hoán vị n phần tử

Cơng thức tính số hoán vị Pn = n!

Ta tính số hốn vị n phần tử khác quy tắc nhân Theo cách này, ta chia công việc thứ tự n phần tử khác thành n hành động liên tiếp sử dụng quy tắc nhân để tính số cách thứ tự n phần tử

Ví dụ Xếp ngẫu nhiên sinh viên, có X Y, ngồi vào bàn học có chỗ ngồi Có cách xếp để:

a) Năm người ngồi tùy ý? b) X ngồi đầu bàn? c) X Y ngồi cạnh nhau? d) X Y ngồi hai đầu bàn?

Giải

a) Một cách xếp sinh viên ngồi tùy ý vào bàn học có chỗ ngồi hốn vị phần tử Số cách xếp sinh viên ngồi tùy ý vào bàn số hoán vị phần tử Số cách xếp là:

b) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Xếp X ngồi đầu bàn, sau xếp người cịn lại Có cách xếp X ngồi đầu bàn Có 4! cách xếp người cịn lại vào chỗ ngồi lại Số cách xếp là:

 4! = 48

c) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Xếp X, Y ngồi cạnh nhau, sau xếp cặp X, Y người cịn lại Có 2! cách xếp X, Y ngồi cạnh Có 4! cách xếp cặp X, Y người lại Số cách xếp là:

2!  4! = 48

d) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Xếp X, Y ngồi hai đầu bàn, sau xếp người cịn lại Có 2! cách xếp X, Y ngồi hai đầu bàn Có 3! cách xếp người lại Số cách xếp là:

2!  3! = 48

 Hốn vị lặp cơng thức tính số hốn vị lặp

Tập hợp A có n phần tử, có m phần tử giống Một hoán vị n phần tử tập A gọi hoán vị lặp Số hoán vị n phần tử tập hợp A ký hiệu Pn(m)

Tập hợp B có n phần tử, có m1 phần tử giống thuộc nhóm

1, m2 phần tử giống thuộc nhóm 2, … , mk phần tử giống thuộc

nhóm k Một hoán vị n phần tử tập B gọi hoán vị lặp Số hoán vị n phần tử tập hợp B ký hiệu Pn(m1, m2, … , mk)

Định nghĩa Một hốn vị n phần tử, có số phần tử giống nhau, gọi hốn vị lặp n phần tử

Cơng thức tính số hốn vị lặp P (m)n n! m! 

n 1 2 k

1 k

n! P (m , m , , m )

m !m ! m ! 

Ví dụ Có cách lập số có bốn chữ số trường hợp sau: a) Số có hai chữ số 1, chữ số chữ số 3?

b) Số có hai chữ số hai chữ số 2? Giải

a) Số có bốn chữ số trường hợp hoán vị phần tử, có phần tử trùng Số cách lập là:

P (2)4 4! 12 2!

 

b) Số có bốn chữ số trường hợp hốn vị phần tử, có cặp phần tử trùng Số cách lập là:

P (2, 2)4 4! 2!2!

1.4 Chỉnh hợp

 Chỉnh hợp cơng thức tính số chỉnh hợp

Tập hợp A có n phần tử khác Nếu ta lấy từ tập hợp A k phần tử khác có ý đến thứ tự k phần tử đó, hay ta lấy phần tử khơng hồn lại từ tập hợp k phần tử, k phần tử lấy gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập hợp A Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu k

n

A

Định nghĩa Một chỉnh hợp chập k n phần tử khác cách lấy k phần tử khác nhau có thứ tự từ n phần tử

Cơng thức tính số chỉnh hợp k n

! A

( )! n n k 



Chú ý Ta sử dụng máy tính (calculator) để tính k n

A theo cú pháp: n  nPr  k  =

Ta tính số chỉnh hợp chập k n phần tử theo quy tắc nhân Theo cách này, ta chia công việc lấy k từ n phần tử thành k hành động liên tiếp sử dụng quy tắc nhân để tính số cách lấy k phần tử từ n phần tử Một chỉnh hợp chập n n phần tử hốn vị n phần tử

Ví dụ1 Một hộp có 12 viên phấn Lấy ngẫu nhiên viên khơng hồn lại viên phấn Có cách lấy?

Giải

Một cách lấy ngẫu nhiên ba viên phấn từ hộp phấn theo kiểu viên không hoàn lại chỉnh hợp chập 12 phần tử Số cách lấy ngẫu nhiên viên phấn theo kiểu là:

3 12

A = 1320

Ta tính số cách lấy ngẫu nhiên ba viên phấn theo kiểu viên khơng hồn lại quy tắc nhân Theo cách này, việc lấy ngẫu nhiên viên phấn bao gồm ba hành động liên tiếp: Lần thứ lấy ngẫu nhiên 12 viên, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 11 viên lại lần thứ ba lấy ngẫu nhiên 10 viên lại Số cách lấy ngẫu nhiên viên phấn theo kiểu viên khơng hồn lại là:

12  11  10 = 1320 Ví dụ2 Một bàn học có chỗ ngồi

a) Có cách ngẫu nhiên sinh viên ngồi vào bàn đó?

b) Có cách ngẫu nhiên 10 sinh viên ngồi vào bàn đó, lần sinh viên?

Giải

phần tử (chỗ ngồi), nên chỉnh hợp chập phần tử Số cách ngẫu nhiên sinh viên ngồi vào bàn là:

3

A 60

b) Một cách ngẫu nhiên 10 sinh viên ngồi vào bàn đó, lần sinh viên, coi cách chọn phần tử (sinh viên) khác có thứ tự từ 10 phần tử (sinh viên), nên chỉnh hợp chập 10 phần tử Số cách ngẫu nhiên 10 sinh viên ngồi vào bàn là:

5 10

A 30240

Ta tính số cách ngẫu nhiên sinh viên 10 sinh viên ngồi vào bàn quy tắc nhân Theo đó, việc ngẫu nhiên (10) sinh viên bao gồm (5) hành động liên tiếp

 Chỉnh hợp lặp cơng thức tính số chỉnh hợp lặp

Tập hợp A có n phần tử khác Nếu ta lấy từ tập hợp A k phần tử trùng tùy ý có ý đến thứ tự k phần tử đó, hay ta lấy phần tử có hồn lại từ tập hợp k phần tử, k phần tử lấy gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập hợp A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử kí hiệu Akn

Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác cách lấy k phần tử trùng nhau có thứ tự từ n phần tử

Cơng thức tính số chỉnh hợp lặp k k n

A n

Ví dụ Có hành khách, có M N, lên đồn tàu lửa có

10 toa Tính số cách xếp hành khách lên tàu trường hợp sau:

a) Lên toa tùy ý b) Lên toa đầu

c) M N lên toa

d) Chỉ có M N lên toa Giải

a) Một cách xếp tùy ý hành khách lên 10 toa tàu cách lấy phần tử (toa tàu) trùng tùy ý có ý đến thứ tự từ 10 phần tử (toa tàu), nên chỉnh hợp lặp chập 10 phần tử Số cách xếp hành khách lên tàu trường hợp là:

8 8

10

A 10

b) Trường hợp chỉnh hợp lặp chập phần tử Số cách xếp là:

8 8

8

A 8

c) Chia làm hai hành động liên tiếp: Xếp M, N lên toa xếp người lại lên toa tùy ý Số cách xếp trường hợp là:

6 7

10

d) Chia làm hai hành động liên tiếp: Xếp M, N lên toa đầu tiên, sau xếp người cịn lại lên toa lại Số cách xếp trường hợp là:

6 6

9

1 A 9

Ta tính số cách xếp hành khách lên tàu quy tắc nhân Theo đó, việc hành khách lên tàu bao gồm hành động liên tiếp

1.5 Tổ hợp

Tập hợp A có n phần tử khác Nếu ta lấy từ tập hợp A k phần tử khác không ý đến thứ tự k phần tử đó, k phần tử lấy gọi tổ hợp chập k n phần tử tập hợp A Số tổ hợp chập k n phần tử khác kí hiệu k

n

C

Định nghĩa Một tổ hợp chập k n phần tử khác cách lấy k phần tử khác nhau khơng có thứ tự từ n phần tử

Cơng thức tính số tổ hợp k n

! C

( )! ! n n k k 

 Chú ý

Cn0 Cnn 1 , C1n Cnn1n

Ta sử dụng máy tính để tính C theo cú pháp: kn n  nCr  k  = Ví dụ1 Một đội cơng nhân có nam nữ

a) Có cách lập ngẫu nhiên tổ công tác gồm nam nữ từ đội cơng nhân đó?

b) Trong đội cơng nhân có vợ chồng anh Hạnh chị Phúc có nhỏ cần phải chăm sóc Có cách lập ngẫu nhiên tổ công tác phải chiếu cố để người nhà chăm sóc con?

Giải

a) Chia làm hai hành động liên tiếp: Lập tổ công tác gồm nam từ nam lập tổ công tác gồm nữ từ nữ Có C49 cách lập tổ cơng tác gồm nam từ nam Có C25 cách lập tổ công tác gồm nữ từ nữ Số cách lập ngẫu nhiên tổ công tác gồm nam nữ là:

4

9

C C 1260

b) Sử dụng quy tắc trừ để tính số cách lập tổ cơng tác trường hợp cách lấy số cách lập tổ công tác gồm nam nữ trừ số cách lập tổ cơng tác có anh Hạnh chị Phúc

Số cách lập ngẫu nhiên tổ cơng tác có anh Hạnh chị Phúc là:

1

8

Số cách lập ngẫu nhiên tổ công tác gồm nam nữ có chiếu cố để người nhà chăm sóc là:

1260 – 224 = 1036

Ví dụ2 Một buổi khiêu vũ có 22 nam 18 nữ tham dự a) Có cách chọn ngẫu nhiên hai người khiêu vũ?

b) Có cách chọn ngẫu nhiên đơi nam nữ khiêu vũ? c) Có cách chọn ngẫu nhiên ba đôi nam nữ khiêu vũ?

Giải

a) Đây số tổ hợp chập 40 phần tử Số cách chọn là:

2 40

C 780

b) Chia làm hai hành động liên tiếp: Chọn nam 22 nam chọn nữ từ 18 nữ Số cách chọn là:

1

22 18

C C 396

c) Chia thành ba hành động liên tiếp: Chọn nhóm gồm nam 22 nam, chọn nhóm gồm nữ 18 nữ, hoán vị hai nhóm nam hay nữ Số cách chọn là:

3

22 18

C C  3! 7539840 Ví dụ3 Một bàn trịn có 10 chỗ ngồi

a) Có cách xếp ngẫu nhiên 10 người ngồi vào bàn đó? b) Có cách xếp ngẫu nhiên người ngồi vào bàn đó?

c) Có cách xếp ngẫu nhiên 12 người ngồi vào bàn đó, lần xếp 10 người?

Giải

a) Chia thành hai hành động liên tiếp: Xếp người 10 người vào bàn, sau xếp người cịn lại Xếp người 10 người vào bàn có cách xếp 10 chỗ ngồi bàn tròn Xếp người cịn lại vào bàn có 9! cách xếp số hoán vị phần tử Số cách xếp ngẫu nhiên 10 người ngồi vào bàn là:

1  9! = 362880

b) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Xếp người người vào bàn, sau xếp người lại Số cách xếp ngẫu nhiên người ngồi vào bàn là:

1 

A = 181440

c) Chia thành hai hành động liên tiếp: Chọn 10 người 12 người, sau xếp 10 người vào bàn Có 10

12

C cách chọn 10 người từ 12 người Mỗi nhóm 10 người có 9! cách xếp vào bàn Số cách xếp ngẫu nhiên 12 người ngồi vào bàn là:

10 12

§2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

2.1 Khái niệm phép thử biến cố

 Phép thử

Phép thử khái niệm lý thuyết xác suất khơng có định nghĩa xác Có thể hiểu phép thử sau: Thực công việc để mong chờ kết đó, công việc hiểu là phép thử Tung đồng xu để coi mặt sấp hay ngữa xuất tung đồng xu hiểu phép thử Rút hai từ tây để coi hai rút hai hiểu phép thử Một thí nghiệm, phép cân đo, quan sát tượng đó, … hiểu phép thử

Một phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có nó, gọi phép thử ngẫu nhiên Trong lý thuyết xác suất, ta xét phép thử ngẫu nhiên nên để đơn giản, từ ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên phép thử

 Biến cố

Một phép thử có nhiều kết xảy Mỗi kết xảy hay khơng xảy phép thử gọi biến cố phép thử Các kết đơn giản xảy phép thử gọi biến cố sơ cấp Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian mẫu phép thử

Mỗi biến cố phép thử trình bày dạng mệnh đề xác định kết phép thử người ta thường viết mệnh đề hai dấu ngoặc kép

 Hệ biến cố đầy đủ phép thử

Một phép thử có nhiều biến cố Mỗi tập hợp biến cố phép thử cho ln có biến cố tập hợp xảy thực phép thử, gọi một hệ biến cố đầy đủ phép thử Khơng gian mẫu phép thử hệ biến cố đầy đủ phép thử

2.2 Phân loại biến cố

 Biến cố chắn

Định nghĩa Biến cố chắn biến cố định phải xảy thực phép thử

Các biến cố chắn kí hiệu  Do đó, người ta gọi biến cố chắn biến cố 

Ví dụ “Hột xí ngầu xuất mặt có số nút nhỏ 7” biến cố  phép thử tung hột xí ngầu “Ba bi lấy có nhiều bi xanh” biến cố  phép thử lấy ngẫu nhiên ba bi từ hộp có bi xanh bi đỏ Biến cố

Định nghĩa Biến cố biến cố không xảy thực phép thử

Các biến cố ký hiệu  Do đó, người ta gọi biến cố khơng thể biến cố 

Ví dụ “Hột xí ngầu xuất mặt nút” biến cố  phép thử tung hột xí ngầu “Ba bi lấy có bi xanh bi đỏ” biến cố  phép thử lấy ngẫu nhiên ba bi từ hộp có bi xanh bi đỏ

 Biến cố ngẫu nhiên

Định nghĩa Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy hay khơng xảy thực phép thử

Mỗi biến cố ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ in hoa nằm đầu bảng chữ A, B, C, … hay có kèm theo số A1, A2, … ,

B1, B2, … Để đơn giản, từ biến cố ngẫu nhiên gọi tắt biến cố

Ví dụ Các biến cố “Hột xí ngầu xuất mặt i nút” (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), “Hột xí ngầu xuất mặt có số nút lẻ”, “Hột xí ngầu xuất mặt có số nút chẵn”, “Hột xí ngầu xuất mặt có nút màu đỏ”, … biến cố ngẫu nhiên phép thử tung hột xí ngầu Ta ký hiệu biến cố sau:

A : “Hột xí ngầu xuất mặt có số nút lẻ” B : “Hột xí ngầu xuất mặt có số nút lẻ” C : “Hột xí ngầu xuất mặt có nút màu đỏ”

Ai : “Hột xí ngầu xuất mặt i nút” (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

2.3 Quan hệ biến cố

 Biến cố tương đương

Định nghĩa Hai biến cố A B gọi tương đương A xảy B xảy A khơng xảy B khơng xảy

Nhận xét Hai biến cố tương đương hai biến cố có khả xảy không xảy giống Do đó, gặp hai biến cố A B mà ta suy luận: “A nghĩa B”, ta có:

A = B

Ví dụ Lấy ngẫu nhiên từ hộp có bi xanh bi đỏ ba bi Đặt A : “Ba bi lấy khơng có bi xanh”, B : “Ba bi lấy bi đỏ” Khi ta có:

A = B

 Biến cố đối lập

Định nghĩa Hai biến cố A B gọi đối lập A xảy B khơng xảy A khơng xảy B xảy

Hai biến cố A B đối lập B ký hiệu A đọc là: “Biến cố đối lập A” Do A biến cố nên có biến cố đối lập Biến cố đối lập A ký hiệu A Ta có A = A

Nhận xét Hai biến cố đối lập hai biến cố có khả xảy khơng xảy trái ngược Do để lập A , ta phủ định mệnh đề A tìm mệnh đề tương đương với mệnh đề phủ định (nếu cần)

Ví dụ1 Một xạ thủ bắn viên đạn vào bia Đặt A : “Xạ thủ bắn trúng” Khi A : “Xạ thủ bắn khơng trúng” hay A : “Xạ thủ bắn trật”

Ví dụ2 Lấy ngẫu nhiên từ hộp có bi xanh bi đỏ ba bi Đặt A : “Ba bi lấy có nhiều bi xanh”, B : “Ba bi lấy có bi xanh” Khi đó, biến cố đối lập A B là:

A : “Ba bi lấy bi xanh” B : “Ba bi lấy bi đỏ”

 Biến cố xung khắc

Định nghĩa Hai biến cố A B gọi xung khắc A xảy B khơng xảy hay B xảy A khơng xảy

Hai biến cố phép thử có quan hệ xung khắc chúng xảy đồng thời thực phép thử Dễ thấy hai biến cố đối lập xung khắc, hai biến cố xung khắc chưa đối lập

Quan hệ xung khắc mở rộng cho hệ có nhiều hai biến cố Hệ biến cố A1, A2, … , An phép thử gọi hệ biến cố xung khắc

từng đôi (hay gọi tắt hệ biến cố xung khắc) khơng có hai biến cố hệ xảy đồng thời thực phép thử

Hệ biến cố A1, A2, … , An vừa hệ biến cố đầy đủ, vừa hệ biến cố

Nhận xét Để tìm hệ biến cố đầy đủ xung khắc đơi phép thử, ta suy luận vẽ sơ đồ để tìm kết xảy phép thử cho khơng thừa khơng thiếu Hệ kết hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi phép thử

Ví dụ Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ba bi Đặt Ai : “Ba bi lấy có i bi xanh” (i = ,1 ,2 ,3) Ta thấy bốn biến cố

A0 , A1 , A2 , A3 hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi phép thử

lấy bi

2.4 Các phép toán biến cố

 Phép cộng biến cố

Định nghĩa Tổng hai biến cố biến cố, xảy có hai biến cố xảy

Tổng hai biến cố A B ký hiệu A + B hay A  B đọc là: “A cộng B” hay “A hay B” Các đặc trưng xảy (ký hiệu 1) không xảy (ký hiệu 0) A + B phụ thuộc vào A B tóm tắt bảng sau:

A B A + B

1 0

1

1 1

Ta mở rộng phép cộng hai biến cố cho n biến cố sau: Tổng n biến cố biến cố, xảy có n biến cố xảy Tổng n biến cố A1, A2, … , An ký hiệu A1 + A2 + … + An hay

A1  A2  …  An

Nhận xét Với biến cố A, để xảy ta phải xét nhiều trường hợp khác nhau, biến cố biểu diễn dạng tổng biền cố Khi đó, ta suy luận: “A nghĩa A1 hay A2 hay … hay An”, ta có:

A = A1 + A2 + … + An

Ví dụ Lấy ngẫu nhiên từ hộp có bi xanh bi đỏ ba bi a) Gọi A : “Ba bi lấy có màu giống nhau”

Đặt A1 : “Ba bi lấy bi xanh”, A2 : “Ba bi lấy bi đỏ”

Khi ta có:

A = A1 + A2

b) Gọi B : “Ba bi lấy có bi xanh” Đặt Bi : “Ba bi lấy có i bi xanh” (i = 1, 2, 3)

Khi ta có:

B = B1 + B2 + B3

 Phép nhân biến cố

Định nghĩa Tích hai biến cố biến cố, xảy hai biến cố đồng thời xảy

Tích hai biến cố A B ký hiệu AB hay AB hay A  B đọc là: “A nhân B” hay “A B” Các đặc trưng xảy không xảy AB phụ thuộc vào A B tóm tắt bảng sau:

A B AB

1 0

1

1 0

Ta mở rộng phép nhân hai biến cố cho n biến cố sau: Tích n biến cố biến cố, xảy n biến cố đồng thời xảy Tích n biến cố A1, A2, … , An ký hiệu A1  A2  …  An hay A1A2 … An

hay A1  A2  …  An

Định lí Nếu A1, A2, … , An biến cố thì:

1 A1A2   An A1A2  An

2 A1A2  An A1A2  An

Nhận xét Với biến cố A, có khả xảy phụ thuộc vào nhiều biến cố khác, biến cố biểu diễn dạng tích biến cố Khi đó, ta suy luận: “A nghĩa A1 A2 … An”, ta có:

A = A1  A2  …  An

Ví dụ1 Có hai hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Đặt Ai : “Bi lấy từ hộp i

bi xanh” (i = 1, 2)

a) Gọi A : “Hai bi lấy bi xanh”, ta có: A = A1 A2

b) Gọi B : “ Hai bi lấy bi đỏ”, ta có: B = A1A2

c) Gọi C : “Hai bi lấy có bi hộp bi xanh”, ta có: C = A1A2

d) Gọi D : “Hai bi lấy có bi xanh”, ta có: D = A1A2A1A2

e) Gọi E : “Hai bi lấy có màu giống nhau”, ta có: E = A A1 2 A A1 2

F = F A A A  1 2 A A1 2

g) Gọi G : “Hai bi lấy có bi xanh” Khi biến cố đối lập G B Do đó:

G = G B A A  1 2 A A1 2 A1 + A2

Ví dụ2 Một xạ thủ bắn ba viên đạn vào bia Đặt Ai : “Xạ thủ bắn trúng

viên thứ i” (i = 1, 2, 3)

a) Gọi A : “Xạ thủ bắn trúng viên”, ta có: A = A1  A2  A3

b) Gọi B : “Xạ thủ khơng bắn trúng viên nào”, ta có: B = A1A2A3

c) Gọi C : “Xạ thủ bắn trúng viên cuối cùng”, ta có: C = A1A2A3

d) Gọi D : “Xạ thủ bắn trúng viên”, ta có:

D = A1A2A + A3 1A2A3A1A2A3

e) Gọi E : “Xạ thủ bắn trúng nhiều viên” Khi biến cố đối lập E A, nghĩa E = A Do :

E  E A A1A2A3 A1A2A3

Ví dụ3 Có hai hộp bi Hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng Hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy từ hộp bi Đặt Ai : “Bi lấy từ

hộp i bi xanh” , Bi : “Bi lấy từ hộp i bi đỏ” , Ci : “Bi lấy từ hộp i bi

vàng” (i = 1, 2)

a) Gọi A : “ Hai bi lấy có bi hộp bi xanh ”, ta có: A = A1 B2 + A1 C2

b) Gọi B : “ Hai bi lấy có bi xanh bi đỏ”, ta có: B = A1 B2 + A2 B1

c) Gọi C : “ Hai bi lấy có bi xanh”, ta có:

C = A1 B2 + A1 C2 + B1 A2 + C1 A2

d) Gọi D : “ Hai bi lấy có khơng có bi xanh”, ta có: D = B1 B2 + B1 C3 + C1 B2 + C1 C2

e) Gọi E : “ Hai bi lấy có màu giống nhau”, ta có: E = A1 A2 + B1 B2 + C1 C2

f) Gọi F : “ Hai bi lấy có màu khác nhau”, ta có:

F = A1 B2 + A1 C2 + B1 A2 + B1 C2 + C1 A2 + C1 B2

§3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Biến cố có hai đặc trưng định tính xảy không xảy Khi gặp biến cố phép thử, câu hỏi đặt biến cố có xảy khơng? Biến cố chắn dĩ nhiên phải xảy ra, biến cố khơng thể đương nhiên khơng xảy dù ta thực phép thử biến cố lần Biến cố ngẫu nhiên xảy khơng xảy lần thử khác Khi thực phép thử biến cố ngẫu nhiên nhiều lần điều kiện nhau, ta thấy đặc trưng xảy hay không xảy biến cố có tuân theo quy luật xác định Để thể quy luật xảy biến cố, người ta gán cho biến cố số hợp lý để thể khả xảy biến cố Người ta gọi số xác suất biến cố đặc trưng định lượng biến cố Như vậy, xác suất biến cố một số thể khả xảy biến cố đó Tính xác suất biến cố tính khả xảy ra, hay tỷ lệ xảy số lần thử, biến cố 3.1 Định nghĩa xác suất

 Định nghĩa cổ điển

Một phép thử gọi phép thử đồng khả (hay đối xứng) phép thử cho biến cố có khả xảy giống lần thử khác Một phép thử gọi hữu hạn số biến số sơ cấp phép thử hữu hạn Chẳng hạn như: Tung đồng xu, rút hai , … phép thử đồng khả hữu hạn Một biến cố sơ cấp gọi thuận lợi cho biến cố biến cố sơ cấp xảy biến cố xảy

Xét A biến cố phép thử đồng khả hữu hạn

Định nghĩa Xác suất biến cố A, kí hiệu P(A), số xác định sau:

m P(A)

n  Trong đó:

 n số biến cố sơ cấp phép thử

 m số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A

Theo định nghĩa thì:  P(A)  1, P() = 0, P() = Ngoài ra, A B hai biến cố tương đương P(A) = P(B)

Nhận xét Để tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển, ta thực theo bước sau:

1 Xác định đặt tên cho biến cố cần tính xác suất

4 Dùng công thức xác định xác suất định nghĩa để tính xác suất Khi tính số biến cố sơ cấp phép thử số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất, ta sử dụng phương pháp: Suy luận trực tiếp, vẽ sơ đồ, sử dụng quy tắc cơng thức giải tích tổ hợp Ví dụ1 Tính xác suất để:

a) Đồng xu xuất mặt sấp tung đồng xu

b) Hai đồng xu xuất hai mặt sấp tung đồng thời hai đồng xu c) Hột xí ngầu xuất mặt nút tung hột xí ngầu

d) Hột xí ngầu xuất mặt có số nút chẵn tung hột xí ngầu e) Tổng số nút hai hột xí ngầu tung đồng thời hai hột xí ngầu f) Tổng số nút hai hột xí ngầu tung đồng thời hai hột xí ngầu g) Tổng số nút ba hột xí ngầu tung đồng thời ba hột xí ngầu

Giải

a) Gọi A : “Đồng xu xuất mặt sấp”, ta có: P(A) 0,5

2  

b) Gọi B : “Hai đồng xu xuất hai mặt sấp”, ta có: P(B) 0, 25

4  

c) Gọi C : “Hột xí ngầu xuất mặt nút”, ta có: P(C) 0,1667

6  

d) Gọi D : “Hột xí ngầu xuất mặt có số nút chẵn”, ta có: P(D) 0,5

6  

e) Gọi E : “Tổng số nút hai hột xí ngầu 6”, ta có:

P(E) 0,1389 36

 

f) Gọi F : “Tổng số nút hai hột xí ngầu 1”, ta có: P(F) 0

36

 

g) Gọi G : “Tổng số nút ba hột xí ngầu 6”, ta có: 10

P(G) 0,0462 216

 

Ví dụ2 Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ba bi Tính xác suất để:

c) Ba bi lấy có nhiều bi xanh Giải

a) Gọi A : “ Ba bi lấy bi xanh”, ta có: 10 C P(A) 0,1667 C   

b) Gọi B : “Ba bi lấy có bi xanh”, ta có: 10 C C P(B) 0,3 C  

c) Gọi C : “Ba bi lấy có nhiều bi xanh”, ta có:

0

6

3 10

C C + C C

P(C) 0,3333

C

  

Ví dụ3 Một hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ba bi Tính xác suất để:

a) Ba bi lấy có bi xanh b) Ba bi lấy có màu khác c) Ba bi lấy có màu giống

Giải

a) Gọi A : “ Ba bi lấy có bi xanh”, ta có:

1

3 12

C C 27

P(A) 0, 4909

C 55

  

b) Gọi B : “Ba bi lấy có màu khác nhau”, ta có:

1 1

3 12

C C C

P(B) 0, 2727

C 11

  

c) Gọi C : “Ba bi lấy có màu giống nhau”, ta có:

3 3

3

3 12

C + C + C

P(C) 0,0682

C 44

  

Ví dụ4 Xếp ngẫu nhiên sinh viên, có X Y, ngồi vào bàn học có chỗ ngồi Tính xác suất để:

a) X ngồi đầu bàn b) X Y ngồi cạnh

c) X Y không ngồi cạnh d) X Y ngồi hai đầu bàn e) X ngồi cách Y người

P(A) 4! 0, 5!



 

b) Gọi B : “X Y ngồi cạnh nhau”, ta có: P(B) 2! 4! 0,

5! 

 

c) Gọi C : “X Y khơng ngồi cạnh nhau”, ta có: 5! 2! 4!

P(C) 0,6

5!  

 

d) Gọi D : “X Y ngồi hai đầu bàn”, ta có: P(D) 2! 3! 0,1

5! 

 

e) Gọi E : “X ngồi cách Y người”, ta có: 2! 3!

P(E) 0,3

5!  

 

Ví dụ5 Bảng số xe Việt nam có bốn chữ số (kể bảng số 0000) Gặp ngẫu nhiên xe đường Tính xác suất để bảng số xe đó: a) Có bốn chữ số khác

b) Có cặp chữ số trùng c) Có hai cặp chữ số trùng

d) Là bảng số tứ q (có bốn chữ số trùng nhau) Giải

a) Gọi A : “Bảng số xe có bốn chữ số khác nhau”, ta có:

4 10

4 10

A

P(A) 0,504 A

 

b) Gọi B : “Bảng số xe có hai chữ số trùng nhau”

Để tìm số kết thuận lợi cho B, ta chia thành ba hành động liên tiếp: Chọn cặp chữ số trùng nhau, chọn hai chữ số khác không để ý tới thứ tự chữ số cịn lại, hốn vị bốn chữ số vừa chọn Ta có:

2

9

4 10

10 C P (2)

P(B) 0, 432

A

 

 

c) Gọi C : “Bảng số xe có hai cặp chữ số trùng nhau”

Để tìm số kết thuận lợi cho C, ta chia thành ba hành động liên tiếp: Chọn cặp chữ số trùng thứ nhất, chọn cặp chữ số trùng thứ hai chín chữ số cịn lại, hốn vị bốn chữ số vừa chọn Ta có:

4 10

10 P (2, 2)

P(C) 0,054

A  

 

4 10

10

P(D) 0,001 A

 

 Định nghĩa thống kê

Xét A biến cố phép thử

Thực phép thử n lần điều kiện giả sử có m lần biến cố A xảy Người ta gọi tỉ số m

n tần suất biến cố A Khi số lần thử n phép thử tăng lên người ta thấy tần suất biến cố A ngày gần với số xác định gần với tần suất A Người ta đồng tần suất biến cố A với số xác định gọi xác suất A Định nghĩa Xác suất biến cố A, kí hiệu P(A), tần suất biến cố A số lần thử phép thử tăng dần lên

Để tính xác suất biến cố A theo định nghĩa thống kê, tùy theo biến cố cần tính xác suất, ta chọn số lần thử phép thử đủ lớn đồng xác suất biến cố A với tần suất biến cố A

Ví dụ1 Qua theo dõi 10000 ca sinh bệnh viện thấy có 5123 ca sinh bé trai Tính xác suất để có ca sinh bé trai bệnh viện

Giải

Gọi A : “Có ca sinh bé trai bệnh viện” Tần số phép thử 10000 coi đủ lớn số ca sinh bệnh viện nên:

5123

P(A) 0,5123

10000

 

Ví dụ2 Kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm lơ hàng thấy có 12 phế phẩm Tính xác suất để có phế phẩm lơ hàng

Giải

Gọi A : “Có phế phẩm lơ hàng đó” Tần số phép thử 200 coi đủ lớn số sản phẩm lô hàng nên:

12

P(A) 0,06 6%

200

  

Nhận xét Trong trường hợp phép thử dẫn đến biến cố A phép thử đồng khả hữu hạn, người ta thấy xác suất biến cố A theo định nghĩa thống kê xác suất biến cố A theo định nghĩa cổ điển Như vậy, định nghĩa thống kê xác suất mở rộng thực định nghĩa cổ điển xác suất

3.2 Xác suất có điều kiện

B xảy Khi tính xác suất trường hợp này, số kết phép thử số kết thuận lợi cho A thay đổi Xác suất biến cố A tính với điều kiện B xảy gọi xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A B

Cơng thức tính Xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra, ký hiệu P(A/B), tính sau:

P(AB) P(A/B)

P(B) 

Trong P(AB) xác suất để A B đồng thời xảy P(B) xác suất để B xảy

Ví dụ1 Ba sinh viên X, Y, Z thi môn xác suất có hai sinh viên thi đậu Tính xác suất để sinh viên X thi đậu, biết sinh viên Y thi đậu

Giải

Gọi A : “Sinh viên X thi đậu”, B : “Sinh viên Y thi đậu” Ta tính P(A/B) Ta có :

2

P(B) P(AB)

3

 

Nên :

P(AB) /

P(A/B) 0,5

P(B) /

  

Ví dụ2 Tung đồng thời hai hột xí ngầu Tính xác suất để tổng số nút xuất hai hột xí ngầu khơng nhỏ 10 nút, biết có hột xí ngầu xuất mặt nút

Giải

Gọi A : “Tổng số nút xuất hai hột xí ngầu khơng nhỏ 10 nút” B : “Có hột xí ngầu xuất mặt nút” Ta tính P(A/B) Ta có:

11

P(B) , P(AB)

36 36

 

Do đó:

P(AB) / 36

P(A/B) 0, 2727

P(B) 11 / 36 11

   

3.3 Biến cố độc lập

Định nghĩa Hai biến cố A B gọi độc lập A xảy hay không xảy không làm thay đổi xác suất B, hay ngược lại

a) Lấy ngẫu nhiên có hồn lại từ hộp lần bi gọi A1 : “Bi lấy lần thứ bi xanh”, A2 : “Bi lấy lần thứ hai bi

xanh” Xét độc lập biến cố A1 A2

b) Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại từ hộp lần bi gọi B1 : “Bi lấy lần thứ bi xanh”, B2 : “Bi lấy lần thứ hai

là bi xanh” Xét độc lập biến cố B1 B2

Giải

a) Nếu A1 xảy ra, nghĩa bi lấy lần thứ bi xanh, thì:

2

6

P(A ) 0,6 10

 

Nếu A1 không xảy ra, nghĩa bi lấy lần thứ bi đỏ, thì:

2

6

P(A ) 0,6 10

 

Như dù A1 xảy hay không xảy ra, ta có P(A2) = 0,6 Hai biến

cố A1 A2 trường hợp độc lập

b) Nếu B1 xảy ra, nghĩa bi lấy lần thứ bi xanh, thì:

2

5

P(B ) 0,5556

 

Nếu B1 không xảy ra, nghĩa bi lấy lần thứ bi đỏ, thì:

2

6

P(B ) 0,6667

 

Như B1 xảy P(B2)  0,5556 Cịn B1 khơng xảy

P(B2)  0,6667 Nghĩa B1 xảy hay không xảy làm thay đổi xác

suất B2 Hai biến cố B1 B2 trường hợp không độc lập

Ví dụ2 Có ba hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi gọi Ai : “Bi lấy từ hộp i bi xanh” (i = 1, 2, 3) Xét độc lập ba

biến cố A1 , A2 A3

Giải Dễ dàng thấy rằng:

P(A1/A2) = P(A1/A3) = P(A1) = 0,6

Hay:

P(A2/A1) = P(A2/A3) = P(A2) = 0,7

P(A3/A1) = P(A3/A2) = P(A3) = 0,8

Nên ba biến cố A1 , A2 A3 độc lập

Nhận xét Khi xét độc lập biến cố, ta ý trường hợp: Nếu A B hai biến cố hai phép thử thực theo kiểu

2 Nếu A B hai biến cố hai phép thử thực theo kiểu lần lượt có hồn lại từ tập hợp A B độc lập

3 Nếu A B hai biến cố hai phép thử thực từ hai tập hợp khác thì A B độc lập

§4 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

Để tính xác suất biến cố phép thử, ta sử dụng định nghĩa đủ Tuy nhiên, với biến cố có dạng tổng hay tích nhiều biến cố, việc sử dụng định nghĩa để tính xác suất phức tạp, chí khó thực Người ta tìm quy tắc tính xác suất biến cố gọi cơng thức tính xác suất

4.1 Cơng thức cộng xác suất

Định lí Nếu A1, A2, … An n biến cố tùy ý thì:

i i i j 1 2

i=1 i=1 i<j

P A  P(A ) P(A A )   ( 1)  P(A A A )

   

n n

n

n Hệ

a Nếu A1, A2, … An hệ biến cố xung khắc đơi thì:

P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

b Nếu A1, A2, … , An hệ biến cố đầy đủ xung khắc đơi thì:

P(A1) + P(A2) + … + P(An) =

c Nếu A có biến cố đối lập A thì:

P(A) = – P( A ) hay P( A ) = – P(A)

Nhận xét Công thức cộng xác suất sử dụng để tính xác suất biến cố A = A1 + A2 + … + An Khi ta tính P(A) sau:

 Nếu biến cố A1, A2, … , An xung khắc đôi, thì:

P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

 Nếu biến cố A1, A2, … , An khơng xung khắc, thì:

i i j 1 2

i=1 i<j

P(A)P(A )P(A A )   ( 1) P(A A A ) n

n

n

Đặc biệt:

Nếu A = A1 + A2 A1, A2 hai biến cố khơng xung khắc thì:

P(A) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2)

Nếu A = A1 + A2 + A3 A1, A2 , A3 ba biến cố khơng xung khắc thì:

P(A) = P(A1)+P(A2)+P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3)+P(A1A2A3)

 Nếu biến cố A có yếu tố “ít nhất”, “nhiều nhất” Ta tính xác suất A theo bước sau:

Tính xác suất A

Tính xác suất A cơng thức P(A) = – P( A ) Ví dụ1. Lấy ngẫu nhiên từ hộp có bi xanh bi đỏ ba bi a) Tính xác suất để ba bi lấy có màu

b) Tính xác suất để ba bi lấy có nhiều bi xanh c) Tính xác suất để ba bi lấy có bi xanh

Giải a) Gọi A : “Ba bi lấy có màu”

Đặt A1 : “Ba bi lấy bi xanh”, A2 : “Ba bi lấy bi đỏ”, A1

và A2 hai biến cố xung khắc A = A1 + A2

Do đó:

P(A) = P(A1) + P(A2)

3

6

3

10 10

C C

0,

C C

  

b) Gọi B : “Ba bi lấy có nhiều bi xanh”, B : “Ba bi lấy bi xanh”

Ta có:

3 10

C

P(B) 0,1667 C

 

Nên:

P(B) = – P( B )  – 0,1667 = 0,8333

b) Gọi C : “Ba bi lấy có bi xanh”, C : “Ba bi lấy bi đỏ”

Ta có:

3 10

C

P(C) 0,0333 C

 

Nên:

P(C) = – P( C )  – 0,0333 = 0,9667

Ví dụ2 Một lớp có 50 sinh viên Trong có 30 sinh viên giỏi tốn, 20 sinh viên giỏi ngoại ngữ 10 sinh viên giỏi hai môn Gọi ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất để sinh viên giỏi hai môn

Giải

Gọi A : “Sinh viên giỏi hai môn”

Đặt B : “Sinh viên giỏi tốn”, C : “Sinh viên giỏi ngoại ngữ”, B C hai biến cố không xung khắc A = B + C

P(A) = P(A) + P(B) – P(AB) = 30 20 10 0,8 5050 50  4.2 Công thức nhân xác suất

Định lí Nếu A1, A2, … An n biến cố tùy ý thì:

P(A1A2 … An) = P(A1)P(A2 /A1)P(A3 /A1A2) … P(An /A1A2 …An1)

Hệ Nếu A1, A2, … , An n biến cố độc lập thì:

P(A1A2 … An) = P(A1)P(A2) … P(An)

Nhận xét Công thức nhân xác suất thường sử dụng để tính xác suất A biến cố nhiều phép thử Khi đó, ta biểu diễn A qua biến cố phép thử, giả sử A = A1A2 … An , tính P(A) sau:

 Nếu biến cố A1, A2, … , An độc lập, thì:

P(A) = P(A1)P(A2) … P(An)

 Nếu biến cố A1, A2, … , An khơng độc lập, thì:

P(A) = P(A1)P(A2 /A1)P(A3 /A1A2) … P(An /A1A2 …An1)

Khi xác suất có điều kiện P(Ak/A) tính theo cơng thức:

   

 

P AA P A /A

P A

k

k 

Ví dụ1 Có ba hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tính xác suất để:

a) Ba bi lấy bi xanh b) Ba bi lấy có bi xanh

c) Ba bi lấy có bi xanh

d) Bi lấy từ hộp bi xanh, biết ba bi lấy có bi xanh e) Bi lấy từ hộp bi đỏ, biết ba bi lấy có bi xanh

Giải

Đặt Ai : “Bi lấy từ hộp i bi xanh” (i = 1, 2, 3), A1 , A2 , A3 ba biến

cố độc lập

a) Gọi A : “Ba bi lấy bi xanh”, A = A1A2A3

Do đó:

P(A) = P(A1)P(A2)P(A3)

6

0,336 10 10 10

   

b) Gọi B : “Ba bi lấy có bi xanh”, thì:

1 3

BA A A A A A A A A

1 3

P(B) P(A )P(A )P(A ) + P(A )P(A )P(A ) + P(A )P( A )P(A )

6

0,188 10 10 10 10 10 10 10 10 10



         

c) Gọi C : “3 bi lấy có bi xanh”, C : “3 bi lấy bi đỏ” Ta có CA A A1 2 3 nên:

1

4

P(C) P(A )P(A )P(A ) 0,024 10 10 10

    

Do đó:

P(C) = – P( C ) = – 0,024 = 0,976 d) Đây tốn tính P(A1/ B) nên:

1 3

1

P(BA ) P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) P(A / B)

P(B) P(B) P(B)

0,6 0,3 0,

0,1915 0,188

  

 

 

e) Đây tốn tính P( A2/ B) nên:

2 3

2

1 3

P(BA ) P(A A A A A A ) P(A / B)

P(B) P(B)

P(A )P(A )P(A ) P(A )P(A )P(A ) P(B)

0,6 0,3 0, 0, 0,3 0,8

0,7021 0,188



 

 

    

 

Ví dụ2 Có hai hộp bi Hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng Hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tính xác suất để:

a) Hai bi lấy bi xanh

b) Hai bi lấy có bi xanh bi đỏ c) Hai bi lấy có màu khác d) Hai bi lấy có bi xanh

e) Bi lấy từ hộp bi đỏ, biết bi lấy có màu khác f) Bi lấy từ hộp bi vàng, biết bi lấy có bi xanh

Giải

Đặt Ai : “Bi lấy từ hộp i bi xanh”, Bi : “Bi lấy từ hộp i bi đỏ”,

Ci : “Bi lấy từ hộp i bi vàng” (i = 1, 2)

a) Gọi A : “Hai bi lấy bi xanh”, A = A1A2

P(A) = P(A1)P(A2)

2

0,0556 12

  

b) Gọi B : “Hai bi lấy có bi xanh bi đỏ”, B = A1B2 + B1A2

Do đó:

P(B) = P(A1)P(B2) + P(B1)P(A2)

2 3

0,1574 12 12

    

c) Gọi C : “Hai bi lấy có màu khác nhau”, thì:

C = A1B2 + A1C2 + B1A2 + B1C2 + C1A2 + C1B2

Do đó:

P(C) = P(A1)P(B2) + P(A1)P(C2) + P(B1)P(A2) + P(B1)P(C2)

+ P(C1)P(A2) + P(C1)P(B2)

3 4 35 0,6481 12 12 12 12 12 12 54

             

d) Gọi D : “Hai bi lấy có bi xanh”, thì: D = A1A2 + A1B2 + A1C2 + B1A2 + C1A2

Do đó:

P(D) = P(A1)P(A2)+P(A1)P(B2)+P(A1)P(C2)+P(B1)P(A2)+P(C1)P(A2)

3 0, 4167 12 12 12 12 12 12

           

e) Đây tốn tính P(B1 / C) nên:

1 2

1

3 3

P(CB ) P(B A B C ) 9 12 9 12 12

P(B / C) 0,3429

35

P(C) P(C) 35

54

  



    

f) Đây toán tính P(C2/ D) nên:

2

2

2 P(DC ) P(A C ) 9 12

P(C / D) 0, 2222

5

P(D) P(D)

12 

    

Ví dụ3 Giả sử ba sinh viên X, Y, Z có khả thi đậu mơn xác suất 70%, 80%, 90% Tính xác suất để:

a) Có hai ba sinh viên thi đậu kỳ thi mơn xác suất b) Sinh viên X Y thi đậu, biết có hai ba sinh viên thi đậu c) Sinh viên Z thi đậu, biết có ba sinh viên thi đậu

Giải

Đặt A1 : “Sinh viên X thi đậu”, A2 : “Sinh viên Y thi đậu”, A3 : “Sinh viên

Z thi đậu”, P(A1) = 0,7 ; P(A2) = 0,8 ; P(A3) = 0,9

1 3

A = A A A + A A A + A A A

Do A1 , A2 , A3 độc lập nên:

P(A) P(A )P(A )P(A ) + P(A )P(A )P(A ) + P(A )P(A )P(A )1 3

0,7 0,8 0,1 0,7 0,2 0,9 0,3 0,8 0,9 0,398 

         

b) Đây tốn tính P(A1A2 /A) nên:

1 2

1

P(AA A ) P(A A A ) 0,7 0,8 0,1

P(A A /A) 0,1407

P(A) P(A) 0,398  

   

c) Gọi C : “Chỉ có ba sinh viên thi đậu”, xác suất để sinh viên Z thi đậu, biết có ba sinh viên thi đậu, P(A3/C)

Ta có:

1 3

C = A A A + A A A + A A A

Nên:

P(C) P(A )P(A )P(A ) + P(A )P(A )P(A ) + P(A )P( A )P(A )1 3

0,7 0,2 0,1 0,3 0,8 0,1 0,3 0,2 0,9 0,092 

         

Do đó:

3

3

P(CA ) P(A A A ) 0,3 0,2 0,9

P(A /C) 0,587

P(C) P(C) 0,092  

   

Ví dụ4 Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy khơng hồn lại lần bi bi Tính xác suất để:

a) Ba bi lấy bi xanh b) Ba bi lấy có bi xanh

c) Ba bi lấy có nhiều bi xanh

d) Bi lấy lần thứ hai bi đỏ, biết ba bi lấy có bi xanh Giải

Đặt Ai : “Bi lấy lần thứ i bi bi xanh” (i = 1, 2, 3)

a) Gọi A : “Ba bi lấy bi xanh”, A = A1 A2 A3

Do ba biến cố A1 , A2 , A3 không độc lập nên:

P(A) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)

6

0,1667 10

   

b) Gọi B : “Ba bi lấy có bi xanh”, thì:

B = A A A1 2 3A A A1 2 3 A A A1 2 3

1 2

1

P(B) P(A )P(A /A )P(A /A A ) P(A )P(A /A )P(A /A A ) P(A )P(A /A )P(A /A A ) 6

0,5 10 10 10

 



         

c) Gọi C : “Ba bi lấy có nhiều bi xanh”, C = A Do đó:

P(C) = – P(A)  – 0,1667 = 0,8333 d) Đây tốn tính P( A2/ B) nên:

2 3

2

P(BA ) P(A A A ) P(A )P(A /A )P(A /A A ) P(A / B)

P(B) P(B) P(B)

   

4.3 Công thức Bernoulli

Thực phép thử n lần độc lập để quan sát biến cố A Giả sử lần thử, xác suất để biến cố A xảy p (P(A) = p) xác suất để biến cố đối lập A xảy q (P( A ) = q = – p)

Công thức Bernoulli “Xác suất để n lần thực phép thử, có k lần biến cố A xảy ra, biết xác suất để A xảy p” ký hiệu Pn(k ; p) tính sau:

Pn(k ; p) =

k k n k n

C p q  Ví dụ1 Tính xác suất để:

a) Một cầu thủ sút thành công lần lần sút penalty, biết cầu thủ có xác suất sút thành cơng penalty 70%

b) Có lần đồng xu xuất mặt sấp tung 10 lần

c) Có lần hột xí ngầu xuất mặt hay nút tung 20 lần Giải

a) Xác suất để lần sút penalty, có lần sút thành công (biết xác suất sút thành công 0,7) là:

P5(3 ; 0,7) =

3

5

C 0,7 0,3 = 0,3087

b) Xác suất để 10 lần tung đồng xu, có lần đồng xu xuất mặt sấp (biết xác suất để đồng xu xuất mặt sấp 0,5) là:

P10(5 ; 0,5) = C 0,5 0,5  0,2461 105 5

c) Xác suất để 20 lần tung hột xí ngầu, có lần hột xí ngầu xuất mặt hay nút (biết xác suất để hột xí ngầu xuất mặt hay nút

8 12

20 20

1

P ; = C

3 3

     

     

       0,148 Ví dụ2 Lấy ngẫu nhiên từ tây

a) Tính xác suất để lấy ra, có xì (con ách) b) Tính xác suất để 10 lần lấy ngẫu nhiên bài, có lần lấy xì

Giải

a) Gọi A : “Có xì lấy ra” thì:

1

4 48

2 52

C C C

P(A) 0,1493

C 

 

b) Xác suất để 10 lần lấy ngẫu nhiên bài, có lần xì (biết xác suất để có xì 0,1493) là:

P10(2 ; 0,1493) =

2

10

C 0,1493 (1 0,1493) 0,2751

4.4 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayès

Giả sử A1, A2, … An hệ biến cố đầy đủ xung khắc đơi

một phép thử

Định lí Với biến cố A, ta có:

a P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + … + P(An)P(A/An)

b k k

k

P(A )P(A/A ) P(A /A)

P(A)

 (k = 1, 2, … , n)

Cơng thức tính P(A) gọi cơng thức xác suất đầy đủ, cơng thức tính P(Ak/A) gọi công thức Bayès

Nhận xét Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayès thường sử dụng để tính xác suất biến cố hai phép thử liên tiếp, kết phép thử thứ sử dụng cho phép thử thứ hai Khi đó, A biến cố phép thử thứ hai A1 , A2 , … , An hệ biến cố đầy

đủ xung khắc đôi phép thử thứ nhất, thì:

 P(A), phép thử thứ hai, tính cơng thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + … + P(An)P(A/An)

 P(Ak/A), phép thử thứ nhất, tính công thức Bayès:

k k k

P(A )P(A/A ) P(A /A)

P(A) 

Ví dụ1 Có ba hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi

a) Tính xác suất để bi lấy bi xanh

c) Nếu bi lấy bi xanh, tính xác xuất để viên bi lấy từ hộp bi chọn bi xanh

Giải a) Gọi A : “Bi lấy bi xanh”

Đặt Ai : “Chọn hộp bi i” (i = 1, 2, 3), A1, A2, A3 hệ biến

cố đầy đủ xung khắc đôi phép thử chọn hộp bi, nên: P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3)

0,7 10 10 10

      

b) Đây tốn tính P(A1/ A), nên:

1

1

1 P(A )P(A/A ) 3 10

P(A / A) 0, 4444

1 0,7 P(A)



   



c) Gọi C : “Bi lấy lần thứ hai bi xanh” Sử dụng cơng thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(C) = P(A1/A)P(C/A1A) + P(A2/A)P(C/A2A) + P(A3/A)P(C/A3A)

Do:

1

1

2

2

3

3

1

P(A )P(A / A ) 3 10

P(A / A)

P(A) 0,7

1

P(A )P(A / A ) 3 10

P(A / A)

P(A) 0,7

1

P(A )P(A / A ) 3 10

P(A / A)

P(A) 0,7 21



  



  



  

Nên:

P C   128 0,6772

7 9 21 189

       

Ví dụ2 Có hai hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ

c) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi bỏ qua hộp 2, sau từ hộp lấy ngẫu nhiên bi bỏ lại qua hộp Cuối lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tính xác suất để bi lấy sau có bi xanh

Giải a) Gọi A : “3 bi lấy từ hộp có bi xanh”

Đặt A1 : “Bi lấy từ hộp bỏ qua hộp bi xanh”, A2 : “Bi lấy từ hộp

bỏ qua hộp bi đỏ”, thì:

P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2)

1 2

8

3

13 13

6 C C C C 45

0,3147

10 C 10 C 143

     

Ta có:

1

3

2 13

2

4 C C P(A )P(A/A ) 10 C

P(A /A) 0, 4667

45

P(A) 15

143 

   

Nên, xác suất để viên bi lấy từ hộp bi đỏ, biết bi lấy từ hộp có bi xanh, 46,67%

b) Gọi B : “3 bi lấy từ hộp bi xanh”

Đặt Bi : “3 bi lấy từ hộp bỏ qua hộp có i bi xanh” (i = 0, 1, 2, 3),

B0 , B1 , B2 , B3 hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi phép thử lấy

3 bi từ hộp 1, nên:

P(B) = P(B0)P(B/B0) + P(B1)P(B/B1) + P(B2)P(B/B2) + P(B3)P(B/B3)

Ta có:

3 2

4 6

0 3 3

10 10 10 10

3 3

7 10

0 3 3

15 15 15 15

C C C C C C

P(C ) P(B ) P(B ) P(B )

C C C C

C C C C

P(B/B ) P(B/B ) P(B/B ) P(B/B )

C C C C

   

   

Nên:

3 3 3

4 10

3 3 3 3

10 15 10 15 10 15 10 15

C C C C C C C C C C

P(C) 0,1758

C C C C C C C C

        

c) Gọi C : “3 bi lấy sau có bi xanh”

Đặt C1 : “Bi lấy từ hộp bỏ qua hộp bi xanh”, C2 : “Bi lấy từ hộp

bỏ qua hộp bi xanh”, thì:

1 2 2 2

1 2

P(C) = P(C C )P(C/C C ) + P(C C )P(C/C C ) + P(C C )P(C/C C ) + P(C C )P(C/C C )

1 2

1 2

1 2

1 2

2

6 5

1 3

10 10

6 24

P(C C ) = P(C )P(C /C ) =

10 13 65

6 15

P(C C ) = P(C )P(C /C ) =

10 13 65

4 14

P(C C ) = P(C )P(C /C ) =

10 13 65

4 12

P(C C ) = P(C )P(C /C ) =

10 13 65

C C C C

P(C/C C ) = P(C/C C ) =

2

C C

 

 

 

 

 

2

7

1 3

10 10

2

C C 21 C C

P(C/C C ) = P(C/C C ) =

40

C  C 

Nên:

24 15 14 21 12

P(C) = 0,4862

65 65 12 65 40 65 2       

Ví dụ3 Có 12 lơ hàng, có lơ loại 1, lô loại lô loại Cho biết lơ hàng có 10 sản phẩm, lơ loại có phế phẩm, lơ loại có phế phẩm lơ loại có phế phẩm Chọn ngẫu nhiên lơ hàng từ lơ hàng lấy ngẫu nhiên sản phẩm

a) Tính xác suất để sản phẩm lấy có phế phẩm

b) Tính xác suất để sản phẩm lấy có phế phẩm

c) Nếu sản phẩm lấy phế phẩm xác suất để sản phẩm lấy từ lơ loại bao nhiêu?

Giải

Đặt Ai : “Chọn lô hàng loại i” (i = 1, 2, 3), A1, A2 , A3 hệ biến

cố đầy đủ xung khắc đôi phép thử chọn lô hàng a) Gọi A : “3 sản phẩm lấy có phế phẩm”

Ta có:

P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3)

2

3

3 3

10 10 10

3 C C

0,0431

12 C 12 C 12 C

      

b) Gọi B : “3 sản phẩm lấy có phế phẩm”, B: “3 sản phẩm lấy sản phẩm tốt”

Ta có:

3 3

9

3 3

10 10 10

3 C C C

0,3069

12 C 12 C 12 C

      

Nên:

P(B) = – P(B)  0,6931

c) Gọi C : “3 sản phẩm lấy phế phẩm”, thì:

P(C) = P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/A2) + P(A3)P(C/A3)

3

3

3 3

10 10 10

3 C C

0,0375

12 C 12 C 12 C

      

Ta có:

3 3

2 10

2

4 C P(A )P(C/A ) 12 C

P(A /C) 0,0741

P(B) 0,0375 

  

Nên, sản phẩm lấy phế phẩm, xác suất để sản phẩm lấy từ lơ loại 7,41%

Bài tập chương _

1.1. Có sách toán sách tin học khác cần xếp lên

kệ sách có chỗ Có cách xếp trường hợp sau: a) Xếp tùy ý?

b) Sách toán kề nhau, sách tin học tùy ý? c) Sách toán kề nhau, sách tin học kề nhau? d) Sách toán sách tin học xen kẽ nhau?

1.2. Một ngày học mơn học Có cách xếp thời khóa

biểu ngày?

1.3. Một hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy từ hộp bi Có

bao nhiêu cách lấy bi: a) Có màu tùy ý?

b) Có bi xanh, bi đỏ bi vàng? c) Có bi xanh?

d) Có nhiều bi xanh?

1.4.Có cách phân phối 15 tặng phẩm cho lớp học cho:

a) Lớp thứ 2, lớp thứ hai lớp thứ ba 10 tặng phẩm?

1.5. Đội bóng đá nam Việt nam tham gia SEA games 22 có 20 cầu thủ gồm thủ mơn, hậu vệ, tiền vệ tiền đạo Đội thi đấu theo đội hình chiến thuật – – – Có cách để huấn luyện viên đưa đội hình thi đấu theo đội hình chiến thuật đó?

1.6. Có hai hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ, hộp có bi xanh

bi đỏ Lấy từ hộp bi, lấy từ hộp bi Có cách lấy bi:

a) Có màu tùy ý? b) Có xanh?

c) Có nhiều bi xanh?

1.7. Một lớp có 50 sinh viên, có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp

đó sinh viên để lập ban cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó, ủy viên học tập ủy viên văn nghệ Có cách chọn trường hợp sau:

a) Chọn tùy ý không phân biệt nam nữ? b) Lớp trưởng phải nữ?

c) Có nữ? d) Có nữ?

1.8. HĐND có 15 UV, có nữ Trong kỳ họp đầu tiên, HĐND

sẽ bầu CT ba PCT UBND Có cách bầu trường hợp sau:

a) Bầu tùy ý không phân biệt nam nữ? b) Có nam, nữ?

1.9. Hãy chọn hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi phép thử sau:

a) Chọn hộp bi từ ba hộp bi

b) Chọn hai hộp bi từ ba hộp bi.

c) Lấy ba viên bi từ hộp có bi xanh bi đỏ

d) Lấy hai viên bi từ hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng

1.10 Một xạ thủ bắn phát đạn vào bia Hãy tìm biến cố đối lập biến cố sau:

1.11. Có ba hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Đặt Ai : “Bi lấy từ hộp i bi xanh” (i = 1, 2, 3) Hãy dùng biến

cố A1, A2, A3 để biểu diễn biến cố sau:

a) Ba bi lấy bi xanh b) Ba bi lấy bi đỏ

c) Ba bi lấy có bi hộp bi xanh d) Ba bi lấy có bi xanh

e) Ba bi lấy có màu giống f) Ba bi lấy có nhiều bi xanh

1.12. Một lớp có 30 nữ 20 nam Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ lớp Tính xác suất để:

a) Có sinh viên nữ sinh viên chọn b) Có sinh viên nữ sinh viên chọn

c) Có sinh viên nữ sinh viên chọn d) Có nhiều sinh viên nữ sinh viên chọn

1.13. Một túi thi có chứa đạt loại giỏi, đạt loại đạt loại trung bình Rút ngẫu nhiên thi từ túi Tính xác suất để:

a) Có thi đạt loại giỏi

b) Ba thi thuộc ba loại khác c) Ba thi thuộc loại

1.14. Một người gọi điện thoại quên ba chữ số cuối mà nhớ ba chữ số khác chữ số cuối số chẵn Tính xác suất để người bấm lần trúng số cần gọi

1.15. Xếp ngẫu nhiên 10 người, có M N, thành hàng dọc Tính xác suất để:

a) M N đứng hai đầu hàng b) M N đứng cạnh

c) M N không đứng cạnh d) M N đứng cách người

1.16. Có hành khách, có M N, lên đồn tàu lửa có 10 toa Tính xác suất để:

b) hành khách lên toa khác c) M N lên toa

d) M N lên toa, hành khách lên toa lại

1.17. Tung hai hột xí ngầu Tính xác suất để tổng số nút hai hột xí ngầu khơng lớn nút, biết có hột xuất mặt

3 nuùt

1.18. Theo thống kê thì, trung bình năm Thành phố Đà nẵng có 200 ngày có mưa to, 150 ngày có gió lớn 30 ngày có bão Một người có cơng việc phải tới Đà nẵng Tính xác suất để người gặp ngày có thời tiết bất thường (ngày có thời tiết bất thường ngày có mưa to hay gió lớn)

1.19. Để sản phẩm nhà máy đưa thị trường phải qua ba khâu kiểm tra độc lập Xác suất phát phế phẩm khâu kiểm tra 80%, 90%, 99% Tính xác suất để phế phẩm lọt thị trường

1.20.Có ba nhóm sinh viên Nhóm có nam nữ Nhóm có nam nữ Nhóm có nam nữ Chọn ngẫu nhiên nhóm sinh viên Tính xác suất để:

a) Có sinh viên nữ

b) Có nhiều sinh viên nữ c) Có sinh viên nữ

d) Sinh viên nhóm nữ, biết ba sinh viên chọn có sinh viên nữ

e) Sinh viên nhóm nam, biết ba sinh viên chọn có sinh viên nữ

1.21. Có hai hộp phấn Hộp có viên phấn trắng, viên phấn đỏ viên phấn vàng Hộp có viên phấn trắng, viên phấn đỏ viên phấn vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để:

a) Được viên phấn trắng viên phấn màu b) Được viên phấn màu

c) Được viên phấn khác màu

phế phẩm Hãy cho biết lô hàng có nhiều khả lấy phế phẩm này? Tại sao?

1.23.Hai xạ thủ có khả bắn trúng mục tiêu 70% 80% Tính xác suất để:

a) Xạ thủ thứ bắn trúng phát thứ hai bắn phát b) Xạ thủ thứ hai bắn trúng phát bắn phát

c) Bắn trúng phát xạ thủ bắn phát d) Bắn trúng phát xạ thủ bắn phát

1.24. Một phân xưởng có máy Xác suất để máy sản xuất sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật 0,7 ; 0,8 ; 0,9 Trong máy sản xuất sản phẩm Tính xác suất để máy sản xuất được:

a) 15 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật b) 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật

c) Nhiều 13 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật

1.25. Một nhóm có sinh viên nam sinh viên nữ Chọn liên tiếp (lần lượt khơng hồn lại) từ nhóm sinh viên Tính xác suất để sinh viên chọn có:

a) Đúng sinh viên nữ b) Ít sinh viên nữ

1.26.Một tổ có sinh viên nam sinh viên nữ Chia tổ làm nhóm, nhóm sinh viên Tính xác suất để nhóm có sinh viên nữ

1.27. Một cửa hàng có 12 gà, có mái Một khách hàng mua gà nhà, sau quay lại mua tiếp thêm gà Tính xác suất để gà mua có:

a) Đúng mái b) Ít mái c) Nhiều mái

1.29.Giờ học môn Xác suất - Thống kê, giảng viên cho tốn Lớp có 30 sinh viên có sinh viên giải tốn Giảng viên gọi ngẫu nhiên sinh viên lớp có sinh viên giải Tính xác suất để gọi đến sinh viên thứ tư tốn giải

1.30. Một lơ hàng có 10 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm kiểm tra lấy đủ phế phẩm dừng lại Tính xác suất để:

a) Dừng lại lần kiểm tra thứ tư

b) Lần kiểm tra thứ lấy phế phẩm, biết kiểm tra tới lần thứ tư lấy đủ phế phẩm

1.31. Có ba hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có bi xanh bi đỏ Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên ba bi Tính xác suất để:

a) Ba bi lấy có bi xanh b) Ba bi lấy bi xanh

c) Chọn hộp bi 1, biết ba bi lấy có bi xanh

1.32. Có hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ Hộp có 16 bi xanh

bi đỏ Hộp có 42 bi xanh bi đỏ Tung đồng thời đồng xu

Nếu đồng xu sấp chọn hộp 1, đồng xu có mặt sấp

chọn hộp 2,các trường hợp cịn lại chọn hộp Từ hộp bi chọn ta lấy ngẫu nhiên năm bi Tính xác suất để:

a) Lấy bi xanh

b) Lấy năm bi màu

c) Năm bi lấy từ hộp 2, biết năm bi đĩ cĩ bi xanh

1.33. Có hộp bi Hộp có bi xanh đỏ Hộp có bi xanh đỏ a) Từ hộp lấy ngẫu nhiên bi bỏ qua hộp 2, sau từ hộp lấy

ngẫu nhiên bi Tính xác suất để bi lấy từ hộp cĩ bi xanh

Nếu bi lấy từ hộp cĩ bi xanh xác suất để bi lấy từ hộp bỏ qua hộp bi xanh bao nhiêu?

1.34. Trong 10 xạ thủ có người bắn giỏi, người bắn người

bắn trung bình Xác suất bắn trúng bia người bắn giỏi 90%, người bắn 70%, người bắn trung bình 50% Chọn ngẫu nhiên xạ thủ để bắn viên đạn vào bia Tính xác suất để:

a) Xạ thủ bắn trúng bia

b) Xạ thủ thuộc loại bắn giỏi, biết xạ thủ bắn trúng bia

1.35. Có hộp linh kiện Hộp có 10 linh kiện, có bị hư Hộp

2 có 15 linh kiện, có bị hư Lấy ngẫu nhiên từ hộp

1 linh kiện

a) Tính xác suất để linh kiện lấy bị hư

b) Số linh kiện lại hộp đem bỏ chung vào hộp (hộp trống), từ lấy ngẫu nhiên linh kiện Tính xác suất để linh kiện lấy từ hộp linh kiện hư Giả sử linh kiện lấy từ hộp

linh kiện tốt Tính xác suất để linh kiện lấy từ hộp hộp

lúc ban đầu linh kiện tốt

1.36. Một lồng có gà trống gà mái Bắt ngẫu nhiên từ lồng gà thay vào gà khác khơng giống với gà đó, sau người ta bắt ngẫu nhiên gà

a) Tính xác suất để gà bắt lần hai gà trống

b) Nếu hai gà bắt hai lần giống Tính xác suất để hai gà hai gà trống

1.37. Có hai lơ hàng, lơ có sản phẩm, lơ thứ i có i phế phẩm (i = 1, 2) Từ lô thứ i lấy ngẫu nhiên i sản phẩm (i = 1, 2) a) Tính xác suất để sản phẩm lấy có phế phẩm

Trong trường hợp đó, tính xác suất để phế phẩm lấy từ lô

b) Số sản phẩm cịn lại hai lơ hàng đem nhập chung lại, từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy lần sau có phế phẩm

1.38. Có hai lơ hàng Lơ gồm sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lô gồm sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên sản phẩm lô đem bỏ vào lơ Sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm lô

b) Nếu sản phẩm lấy lô loại B, tính xác suất để sản phẩm lơ đem bỏ vào lơ có sản phẩm loại B

1.39. Xưởng có hai máy A, B sản xuất loại sản phẩm Các máy sản xuất tương ứng 40%, 60% sản lượng xưởng tỷ lệ phế phẩm máy 1%, 6%

a) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm xưởng Tính xác suất để sản phẩm phế phẩm

b) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm xưởng thấy phế phẩm Hãy cho biết máy có nhiều khả sản xuất sản phẩm này? Tại sao?

1.40. Một người có chỗ ưa thích để câu cá xác suất để câu cá chỗ 0,6 ; 0,7 ; 0,8 Một hơm, người câu ba chỗ người thả câu ba lần câu cá Tính xác suất để người đến câu cá chỗ thứ

1.41. Có pháo bắn vào mục tiêu, bắn phát với xác suất bắn trúng 0,6 ; 0,7 ; 0,8 Giả sử xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt trúng k phát đạn – 1/2k (k = 0, 1, 2, 3)

a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt

b) Tính xác suất để mục tiêu trúng phát bị tiêu diệt

1.42 Có ba bình hoa giống nhau, bình có cành hồng đỏ cành hồng vàng Lấy ngẫu nhiên cành hồng từ bình cắm qua bình Sau từ bình lại lấy ngẫu nhiên cành hồng cắm qua bình Cuối lấy ngẫu nhiên cành hồng từ bình

a) Tính xác suất để cành hồng lấy từ bình cành hồng vàng b) Giả sử cành hồng lấy từ bình cành hồng vàng Tính xác suất

để cành hồng lấy từ bình cắm qua bình cành hồng lấy từ bình cắm qua bình cành hồng vàng

1.43. Tại phòng cấp cứu phỏng, người ta thống kê 80% bệnh nhân lửa 20% bệnh nhân hóa chất Qua điều trị, người ta thấy bệnh nhân lửa có 30% bị biến chứng, cịn bệnh nhân hóa chất có 50% bị biến chứng

b) Giả sử ta rút bệnh án bệnh nhân bị biến chứng Tính xác suất để bệnh án bệnh nhân lửa gây

1.44.Ở địa phương 100 người có 30 người hút thuốc Biết tỉ lệ người bị viêm họng số người hút thuốc 60%, số người không hút thuốc 10% Khám ngẫu nhiên người địa phương thấy người bị viêm họng Tính xác suất để người người có hút thuốc Nếu người khơng bị viêm họng xác suất người có hút thuốc bao nhiêu?

1.45. Nhân viên công ty nhận kiện hàng để bán cửa hàng trưng bày sản phẩm Mỗi kiện gồm 10 sản phẩm, kiện thứ có sản phẩm loại I, kiện thứ hai có sản phẩm loại I, kiện thứ ba có sản phẩm loại I Nhân viên bán hàng chọn ngẫu nhiên kiện từ kiện chọn ngẫu nhiên sản phẩm để trưng bày

a) Tính xác suất để sản phẩm trưng bày sản phẩm loại I