Giáo trình xác suất thống kê ĐH Xây Dựng

Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1 Các quy tắc đếm Quy tắc cộng: Nếu công việc chia làm k trường hợp để thực hiện: trường hợp có n1 cách thực xong công việc; trường hợp có n2 cách thực xong công việc, , trường hợp k có nk cách thực xong công việc cách thực trường hợp lại trùng với cách thực trường hợp khác, có n1 + n2 + + nk cách thực xong công việc Quy tắc nhân: Nếu công việc chia làm k giai đoạn: giai đoạn có n1 cách thực xong công việc; giai đoạn có n2 cách thực xong công việc, , giai đoạn k có nk cách thực xong công việc có n1n2 nk cách thực xong công việc Tích Descartes:  Cho hai tập hợp A B Tích Descartes A B, ký hiệu A  B tập hợp tất cặp (có thứ tự) (a; b) với a  A, b  B, nghĩa là: A  B = {(a, b) / a  A; b  B} Nếu A B hai tập hữu hạn số phần tử tập hợp A  B A  B = A B  Tương tự, tích Descartes k tập hợp A1, A2, , Ak, ký hiệu A1  A2   Ak tập hợp tất có thứ tự (a1, a2, , ak)  Ai, i = 1, 2, , k A1  A2   Ak = {(a1, a2, , ak) /  Ai, i = 1, 2, , k} Nếu A1, A2, , Ak k tập hữu hạn số phần tử tập hợp A1  A2   Ak A1  A2   Ak = A1  A2   Ak Ký hiệu Ak = A  A   A k lần 1.1.2 Chỉnh hợp lặp Cho A tập hợp có n phần tử, nỗi phần tử tập Ak gọi chỉnh hợp lặp n chập k Số chỉnh hợp lặp n chập k Fnk = nk Ví dụ 1.1 a Có cách xếp sách vào ngăn? b Một đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu, câu có phương án trả lời Hỏi thi có tất phương án trả lời? Giải: a Mỗi cách xếp sách vào ngăn chỉnh hợp lặp chập (mỗi lần xếp sách vào ngăn xem chọn ngăn ngăn, có sách nên việc chọn ngăn tiến hành lần) Vậy số cách xếp F35 = 35 = 243 b Mỗi phương án trả lời thi chỉnh hợp lặp chập 10, nên số phương án trả lời thi F410 = 410 1.1.3 Chỉnh hợp (không lặp) Mỗi phần tử Ak có thành phần đôi khác gọi chỉnh hợp n chập k (k  n) Số chỉnh hợp (không lặp) n chập k Α kn = n(n - 1) .(n – k + 1) = n! (n  k )! Quy ước: 0! = Ví dụ 1.2 Cho chữ số 2, 3, 4, 5, 6,7 Hỏi a Có số tự nhiên gồm chữ số thành lập từ chữ số này? b Có số tự nhiên gồm chữ số khác thành lập từ chữ số này? c Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho thành lập từ chữ số này? Giải: a Mỗi số gồm chữ số thành lập từ chữ số chỉnh hợp lặp chập Vậy, số số gồm chữ số lập từ chữ số F63 = 63 = 216 b Số số có chữ số khác lập thành từ chữ số số chỉnh hợp chập A 36 = 6! = 4.5.6 = 120 3! c Số chia hết cho thành lập từ chữ số phải có tận chữ số Do đó, cách thành lập số có chữ số khác chia hết cho cách thành lập số có chữ số khác từ chữ số lại 2, 3, 4, 6, Vậy, số số có chữ số khác chia hết cho thành lập từ chữ số A 52 = 5! = 20 3! Ví dụ 1.3 Có từ gồm mẫu tự khác thành lập từ mẫu tự từ “MATRIX” (các từ có nghĩa nghĩa)? Giải: Số từ gồm mẫu tự khác số chỉnh hợp chập 2, A 62 = từ gồm mẫu tự khác số chỉnh hợp chập 3, A 36 = 6! = 5.6 = 30 Số 4! 6! = 4.5.6 = 120 3! Vậy, số từ gồm mẫu tự khác thành lập từ mẫu tự từ “MATRIX” A 62 + A 36 = 30 + 120 = 150 1.1.4 Hoán vị Một chỉnh hợp (không lặp) n chập n gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử  n = A nn = n ! Ví dụ 1.4 Một đoàn khách du lịch dự định tham quan địa điểm khác A, B, C, D, E, G, H thành phố Huế Họ tham quan theo lộ trình đó, chẳng hạn B → A → C → E → D → H → G Như vậy, lộ trình hoán vị tập hợp gồm phần tử {A, B, C, D, E, G, H} nên đoàn khách có tất 7! lộ trình để lựa chọn Ví dụ 1.5 a Một bàn gồm sinh viên Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho sinh viên đó? b Có cách xếp nam nữ thành hàng ngang cho nam nữ đứng xen kẽ nhau? Giải: a Số cách xếp số hoán vị phần tử, 4 = 4! = 24 b Để nam nữ đứng xen kẽ bắt đầu hàng ngang phải nữ có cách xếp vị trí vậy: Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Trong đó, số cách xếp vị trí cho nam 3 = 3! số cách xếp vị trí cho nữ  = 4! Vậy, có tất 3!.4! = 144 cách xếp vị trí cho nam nữ 1.1.5 Tổ hợp Mỗi tập gồm k phần tử tập hợp gồm n phần tử gọi tổ hợp n chập k (k  n) Số tổ hợp n chập k, ký hiệu C kn tính công thức C kn = n! A kn = k !(n  k )! k! Các tính chất: a Cnn  k = C kn , k = 0, n b Ckn1 = C kn + C kn 1 , k = 1, n (Hằng đẳng thức Pascal) Nhận xét: Hai tổ hợp khác có phần tử khác Tổ hợp khác chỉnh hợp việc không lưu ý đến thứ tự xếp phần tử Ví dụ 1.6 a Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy 25 câu hỏi cho trước Hỏi lập đề thi khác nhau? b Một đa giác lồi có n cạnh có đường chéo? Giải: a Số đoạn thẳng có đầu mút đỉnh đa giác lồi n đỉnh số tổ hợp n chập 2, tức C 2n Do đó, số đường chéo đa giác C 2n - n b Số đề thi lập nên C325 = 25! 25.24.23 = = 2300 3!22! 1.2.3 Ví dụ 1.7 Một hội đồng gồm nam nữ tuyển vào ban quản trị gồm người a Hỏi có cách tuyển chọn? b Hỏi có cách tuyển chọn có thêm điều kiện ban quản trị phải có nam nữ? Giải: a Số cách tuyển chọn số tổ hợp chập 4, C94 = 9! = 126 4!5! b Số cách chọn ban quản trị số cách chọn tập {x, y, z, t) x người chọn từ nam, y người chọn từ nữ z, t người chọn từ người lại Như vậy, số ban quản trị có 5.4 C 72 = 420 1.1.6 Nhị thức Newton Chúng ta biết số đẳng thức đơn giản a + b = a1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Newton chứng minh công thức tổng quát sau (nhị thức Newton): (a + b)n = C0n a n + C1n a n 1b + + C kn a n  k b k + + Cnn b n = n k n C a nk bk k 0 1.2 PHÉP THỬ - BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Trong thực tế, gặp nhiều thí nghiệm, phép quan sát mà thực kết không dự đoán trước kiện quan tâm xảy không xảy Lý thuyết xác suất gọi phép thử phép thử ngẫu nhiên kiện xảy hay không xảy biến cố ngẫu nhiên 1.2.1 Các khái niệm Khi tiến hành gieo xúc sắc, gieo đồng xu, gieo thí điểm loại hạt giống, lấy sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra quan sát trạng thái hoạt động máy móc người ta nói làm phép thử  Tiến hành phép thử: thực tập hợp điều kiện xác định Tất nhiên tiến hành phép thử nhằm nghiên cứu kiện tượng Chẳng hạn, “gieo thí điểm loại hạt giống”, quan tâm đến kiện “nảy mầm” hạt giống  Biến cố: kết phép thử, gọi kiện Ví dụ 1.8 Thực phép thử T “gieo xúc sắc cân đối đồng chất” T kết thúc kết cụ thể: ωi = “xuất mặt i chấm”, i = 1, 2, , Khi đó, ωi (i = 1, 2, …, 6) biến cố T Ngoài ra, kết phức hợp : U = “số chấm xuất ≤ 6” V = “số chấm xuất > 6” A = “số chấm xuất chẵn” B = “số chấm xuất lẻ” biến cố T Khi nói đến biến cố phải gắn liền với phép thử Tùy theo tính chất xuất biến cố phép thử, ta phân loại biến cố:  Phân loại: + Biến cố chắn, ký hiệu , biến cố thiết xảy phép thử thực + Biến cố không thể, ký hiệu , biến cố thiết không xảy phép thử thực + Biến cố ngẫu nhiên, ký hiệu A, B, C, hay ω, biến cố xảy không xảy phép thử thực  Biến cố sơ cấp: kết cụ thể phép thử, hiểu biến cố nhỏ phân chia Ví dụ 1.9 Trong ví dụ 1.8, biến cố ω1, , ω6 gọi biến cố sơ cấp U, V, A, B biến cố biến cố sơ cấp  Không gian mẫu hay không gian biến cố sơ cấp phép thử, ký hiệu , tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử Mỗi biến cố A phép thử xem tập  Ví dụ 1.10 Trong phép thử “gieo đồng thời đồng xu cân đối đồng chất”, ta có  = {(SS), (SN), (NN), (NS)} Nếu gọi A biến cố “xuất mặt giống nhau” B biến cố “xuất mặt khác nhau” A B biến cố sơ cấp, biến cố A xảy (SS) hay (NN) xảy biến cố B xảy (SN) hay (NS) xảy 1.2.2 Các phép toán – Quan hệ biến cố Quan hệ “kéo theo”  Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A  B, A xảy kéo theo B xảy Mô tả hình học quan hệ hình dung A tập B B A  Nếu ω biến cố sơ cấp kéo theo biến cố A ω gọi biến cố sơ cấp thuận lợi cho A Tổng biến cố  Tổng biến cố A B, ký hiệu A  B, biến cố xảy hai biến cố A hay B xảy A B n  Ai , biến cố xảy Tổng n biến cố A1, A2, , An (n  2), ký hiệu i 1 n biến cố xảy Tích biến cố  Tích biến cố A B, ký hiệu A  B (hay AB), biến cố xảy hai biến cố xảy A B n  Tích n biến cố A1, A2, , An (n  2), kí hiệu n Ai (hay i 1  A ), biến cố xảy i i 1 n biến cố xảy Ví dụ 1.11 Hai xạ thủ bắn người viên đạn vào bia Gọi A, B tương ứng kiện xạ thủ xạ thủ bắn trúng bia Có thể mô tả biến cố A  B, A ∩ B sau: A  B biến cố “có viên đạn trúng bia” A ∩ B biến cố “có hai viên đạn trúng bia” Biến cố xung khắc  Hai biến cố A B gọi xung khắc A B không đồng thời xảy phép thử, ký hiệu A ∩ B =  A B Lưu ý, trường hợp A B xung khắc tổng hai biến cố A B ký hiệu A + B  Nhóm n biến cố {A1, A2, , An} (n  2) gọi xung khắc đôi hai biến cố nhóm xung khắc với nhau, nghĩa Ai ∩ Aj =  i  j Nhóm đầy đủ biến cố Nhóm n biến cố {A1, A2, , An} (n  2) gọi nhóm đầy đủ biến cố có biến cố n biến cố xảy phép thử thực hiện, nghĩa n Ai ∩ Aj =  (i  j) A  i i 1 Ví dụ 1.12 Một xí nghiệp dược phẩm có sở sản xuất loại thuốc A để điều trị bệnh khớp Lấy ngẫu nhiên sản phẩm xí nghiệp để sử dụng Gọi Ai = “Sản phẩm sở i sản xuất” (i = 1, 2, 3) Khi đó, {A1, A2, A3} có phải nhóm đầy đủ biến cố hay không? Giải: Lấy ngẫu nhiên sản phẩm xí nghiệp xảy trường hợp: sản phẩm sở sản xuất; sản phẩm sở sản xuất sản phẩm sở sản n xuất Nói cách khác, ta có Ai ∩ Aj =  (i  j)  A   , rõ ràng {A1, A2, A3} i i 1 nhóm đầy đủ biến cố Hiệu hai biến cố  Hiệu biến cố, ký hiệu A \ B, biến cố xảy A xảy B không xảy ra, nghĩa A \ B = A ∩ B B A Biến cố đối lập  Biến cố đối lập biến cố A, ký hiệu A , biến cố xảy A không xảy Như vậy, A = Ω\A hay A + A =  A∩A= A 1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Việc xảy hay không xảy biến cố ngẫu nhiên ta dự đoán trước Tuy nhiên trực quan nhận thấy biến cố ngẫu nhiên khác thường có khả xảy khác nhau, số biến cố thường hay xảy ra, số khác lại thường xảy Từ nảy sinh vấn đề tìm cách “đo lường” khả xuất biến cố khái niệm xác suất đời Xác suất biến cố số không âm, đặc trưng cho khả khách quan xảy biến cố 1.3.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm đồng khả Ta xét ví dụ sau: Thực phép thử “gieo đồng thời đồng xu cân đối đồng chất” Khi đó,  = {SS, NN, SN, NS} Nếu đồng xu chế tạo cân đối mặt đồng xu có khả xuất nên khả xảy kết ngang nhau, ta nói phép thử có biến cố sơ cấp đồng khả Gọi A biến cố “xuất mặt khác nhau”, nghĩa xuất sấp (S) ngửa (N) Khi đó, có trường hợp thuận lợi cho A hay có biến cố sơ cấp thuận lợi cho A Như vậy, khả để biến cố A xảy  Định nghĩa 1.1 (Theo quan điểm đồng khả năng) Nếu phép thử có tất n biến cố sơ cấp đồng khả năng, có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, xác suất A, ký hiệu P(A) xác định bởi: Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A P(A) = m = n Số biến cố sơ cấp đồng khả Tính chất 1.1 1) ≤ P(A) ≤ 2) P(Ω) = 1, P() = 3) Nếu A B xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) Chứng minh: 1) Với A biến cố  m  n Từ suy  m  hay  P(A)  n 2) Nếu Ω biến cố chắn phép thử số biến cố sơ cấp thuận lợi cho Ω số biến cố sơ cấp đồng khả phép thử Do đó, P(Ω) = 3) Nếu A B hai biến cố xung khắc biến cố sơ cấp thuận lợi cho A B Nói cách khác, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố tổng A + B tổng số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A số biến cố sơ cấp thuận lợi cho B: m = m1 + m2 m1 số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A m2 số biến cố sơ cấp thuận lợi cho B Từ suy P(A + B) = Hệ 1.1 m1  m2 m m = + = P(A) + P(B) n n n P(A) = – P(A) 10 Ví dụ 1.13 Một hộp đựng bi xanh bi trắng Ta lấy ngẫu nhiên bi, tính xác suất để lấy bi xanh bi trắng? Giải: Ta lấy ngẫu nhiên bi từ hộp chứa 12 bi có C12 trường hợp đồng khả hay số biến cố sơ cấp đồng khả n = C12 = 220 Gọi A biến cố “lấy bi xanh bi trắng” có C18 C 24 trường hợp thuận lợi cho A hay số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A m = C18 C 24 = 8.3 = 24 Vậy, xác suất để A xảy P(A) = m 24 =  0,109 n 220 Nhận xét: Định nghĩa xác suất theo quan điểm đồng khả đòi hỏi biến cố sơ cấp phải có tính đồng khả Thường tính đồng khả suy từ tính đối xứng, chẳng hạn: gieo xúc sắc hay gieo đồng xu, giả thiết cân đối đồng chất.Tuy nhiên, điều kiện lý tưởng mà thực tế lý để đảm bảo điều Hơn nữa, toán ta đưa giả thuyết tính đối xứng thường gặp thực tế Để khắc phục hạn chế định nghĩa này, người ta đưa định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa theo thống kê dựa tần suất xuất biến cố lớp phép thử Tần suất xuất biến cố Giả sử tiến hành n phép thử loại phép thử ta quan tâm đến xuất biến cố A Xét ví dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm nhà máy sản xuất, người ta phát thấy có phế phẩm Gọi A = “xuất phế phẩm” Khi đó, tỉ số gọi tần suất xuất A 100 lần thử, ký hiệu: 100 f100 ( A)   0, 05 100 Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2 Tần suất xuất A n lần thử, ký hiệu f n ( A) , xác định bởi: 11 k f n ( A)  Số lần xuất A = n Số phép thử Nhận xét: Khi số phép thử n thay đổi tần suất xuất biến cố thay đổi Người ta nhận thấy n nhỏ tần suất có dao động lớn Tuy nhiên, n lớn tần suất xuất biến cố thể tính ổn định rõ ràng Ví dụ 1.14 Nghiên cứu khả xuất mặt sấp gieo đồng xu, Buffon K.Pearson tiến hành gieo đồng xu nhiều lần liên tiếp thu kết sau Số lần xuất Người làm thí nghiệm Số lần gieo Tần suất mặt sấp (S) Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Quan sát bảng kết cho thấy tần suất xuất mặt sấp đồng xu n lần tung ổn định dần giá trị 0,5 Định nghĩa xác suất (Theo quan điểm thống kê) Định nghĩa 1.3 Khi số lần thực phép thử n lớn, tần suất biến cố A ổn định dần giá trị p ta nói A ổn định ngẫu nhiên số p gọi xác suất biến cố A, ký hiệu P(A) Từ định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê, ta xấp xỉ P(A) với f n ( A) n lớn P(A)  f n ( A) n lớn 1.3.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Để khắc phục hạn chế định nghĩa xác suất đòi hỏi phép thử phải có hữu hạn biến cố sơ cấp đồng khả năng, người ta đưa định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa mở rộng cho trường hợp phép thử có vô hạn biến cố sơ cấp đồng khả Định nghĩa 1.4 ( Theo quan điểm hình học) 12 Xét phép thử ngẫu nhiên mà không gian biến cố sơ cấp  biểu diễn miền hình học H không gian , hay tập biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A biểu diễn miền G  H Khi đó, điểm  đồng khả xác suất biến cố A Độ đo miền G P(A) = Độ đo miền H H  : độ đo độ dài H  2: độ đo diện tích H  3: độ đo thể tích Ví dụ 1.15 Gieo chấm điểm cách ngẫu nhiên vào mảnh vải hình vuông H cạnh a, có hình tròn G bán kính r  a Tìm xác H a suất để chấm điểm rơi vào hình tròn? G Giải: Khi phép thử “gieo chấm điểm vào mảnh vải hình vuông H” thực có vô hạn trường hợp xảy Tập biến cố sơ cấp đồng khả có biểu diễn miền hình vuông H có cạnh a Gọi A biến cố “chấm điểm rơi vào hình tròn G” Khi đó, biến cố sơ cấp thuận lợi cho A xác định cụ thể Tuy nhiên, ta nhận thấy tập biến cố sơ cấp thuận lợi cho A biểu diễn miền hình tròn G có bán kính r  a Theo định nghĩa xác suất, ta có xác suất để A xảy P( A)  Diện tích G Diện tích H   r2 a2 a2 P(A) = 16 = a2  hay  16 Những biến cố có xác suất gần dễ xảy xem chắn Ngược lại, biến cố có xác suất nhỏ khả xảy xem 13 xảy Việc quy định mức xác suất để xem chắn hay không chắn tùy thuộc vào toán cụ thể Chẳng hạn xác suất máy bay rơi 0,01 xác suất chưa thể xem nhỏ, xảy Nhưng xác suất chuyến tàu khởi hành chậm 0,01 xem xác suất nhỏ 1.4 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1.4.1 Định lý cộng xác suất Từ định nghĩa xác suất, ta suy tính chất sau xác suất: + Nếu A, B hai biến cố xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) (1.1) + Tổng quát, A1, A2, , An n biến cố xung khắc đôi n n ( Ai )   (Ai ) i 1 (1.2) i 1 Định lý 1.1 (Định lý cộng xác suất) Nếu A, B hai biến cố P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) (1.3) Chứng minh: Trường hợp A, B hai biến cố bất kỳ, biến cố tổng chúng biểu diễn thành tổng biến cố xung khắc A  B = A + B A Khi đó, P(A  B) = P(A) + P( B A ) Mặt khác, B = B ( A  A) = BA + B A nên P(B) = P(BA) + A B P( B A ), suy P( B A ) = P(B) - P(BA) Từ đó, ta có P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) Mở rộng:  BA Nếu A, B, C ba biến cố P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) n  Nếu A1, A2, , An nhóm đầy đủ biến cố  ( A )  i i 1 Ví dụ 1.16 Trong lớp học, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi môn Toán 10%, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi môn Anh 9% giỏi hai môn 5% Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp Tính xác suất để học sinh không đạt điểm giỏi môn Toán lẫn môn Anh? 14 Giải: Gọi A biến cố “Sinh viên đạt điểm giỏi môn Toán”, B biến cố “Sinh viên đạt điểm giỏi môn Anh” Theo giả thiết P(A) = 0,01, P(B) = 0,09 P(AB) = 0,05 Gọi C biến cố “Sinh viên không đạt điểm giỏi môn Toán lẫn môn Anh” C biến cố “Sinh viên đạt điểm giỏi môn Toán môn Anh” hay C = A  B Theo định lý cộng xác suất (1.3), ta có P( C ) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,01 + 0,09 – 0,05 = 0,14 Suy ra, P(C) = 1- P( C ) = 1- 0,14 = 0,86 1.4.2 Định lý nhân xác suất Xác suất có điều kiện Xét ví dụ: Một hộp chứa 10 viên bi giống nhau, có bi xanh bi trắng Người thứ lấy ngẫu nhiên bi (không trả lại vào hộp) Tiếp đó, người thứ lấy bi Tính xác suất để người thứ lấy bi xanh biết người thứ lấy bi xanh? Giải: Gọi A biến cố “Người thứ lấy bi xanh” B biến cố “Người thứ lấy bi xanh” Khi đó, xác suất P(B) phụ thuộc vào việc A xảy hay không xảy + Nếu A xảy xác suất B 5 , ký hiệu P ( B | A)  9 + Nếu A không xảy xác suất B 6 , ký hiệu P ( B | A)  9 Như vậy, việc xảy hay không xảy A ảnh hưởng đến khả xảy B Xác suất B điều kiện A xảy gọi xác suất có điều kiện B điều kiện A xảy ra, ký hiệu P( B | A) Định nghĩa 1.5 Giả sử  không gian biến cố sơ cấp B biến cố ngẫu nhiên phép thử Nếu P(B) > xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện B xảy ra, ký hiệu ( A | B ) , xác định bởi: 15 ( A | B)  ( AB ) ( B ) (1.4) Tính chất 1.2 1)  ( A | B )  2) ( | B) = 3) ( B | B ) = 4) Nếu A ∩ C =  (( A  C ) | B ) = ( A | B ) + (C | B ) 5) ( A | B ) = - ( A | B ) Ví dụ 1.17 Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%, mắc bệnh huyết áp 12%, mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người dân vùng, biết người mắc bệnh tim, tìm xác suất để người không mắc bệnh huyết áp? Giải: Gọi A biến cố “người bị mắc bệnh tim” B biến cố “người bị mắc bệnh huyết áp” 9% 12% Theo giả thiết, ta có P(A) = 0,09 , P(B) = 0,12 P(AB) = 0,07 7% Khi đó, ( B | A) xác suất người chọn bị mắc bệnh huyết áp biết người mắc bệnh tim Vậy ( B | A) xác suất người chọn không bị mắc bệnh huyết áp biết người mắc bệnh tim Theo công thức xác suất có điều kiện (1.4) ( B | A) = ( BA) 0, 07 =  0,667 ( A) 0, 09 Do đó, ( B | A) = - ( B | A) = – 0,667  0,333 Ví dụ 1.18 Để xét hiệu loại Vaccine, người ta điều tra tình hình mắc bệnh 1000 người dân có không tiêm phòng loại Vaccine Số liệu thu sau: Mắc bệnh Không mắc bệnh Tổng số Có tiêm phòng (A) 12 188 200 Không tiêm phòng (B) 288 512 800 16 Tổng số 300 700 1000 a Chọn ngẫu nhiên người số 1000 người này, biết người có tiêm phòng Xét xem khả người mắc bệnh bao nhiêu? b Chọn ngẫu nhiên người số 1000 người đó, biết người thuộc nhóm không tiêm phòng Xét xem khả người không mắc bệnh bao nhiêu? Giải: a Gọi A biến cố “người có tiêm phòng”; B biến cố “người không tiêm phòng”; C biến cố “người bị mắc bệnh” D biến cố “người không bị mắc bệnh” Khi đó, P(A)  200 = 0,2 1000 P(B)  800 = 0,8 1000 P(C)  300 = 0,3 1000 P(D)  700 = 0,7 1000 AC biến cố “người có tiêm phòng bị mắc bệnh” AD biến cố “người có tiêm phòng không bị mắc bệnh” BC biến cố “người không tiêm phòng mắc bệnh” BD biến cố “người không tiêm phòng không bị mắc bệnh” P(AC)  12 = 0,012 1000 P(AD)  188 = 0,188 1000 P(BC)  288 = 0.288 1000 P(BD)  512 = 0,512 1000 (C | A) xác suất người chọn bị mắc bệnh biết người có tiêm phòng, ta có (C | A) = P( AC ) 12  = 0,06 P( A) 200 b (C | B) biến cố người chọn không bị mắc bệnh biết người thuộc nhóm không tiêm phòng, ta có  (C | B ) = P( BC ) 288  = 0,36 P( B) 800 Tính độc lập biến cố 17 Định nghĩa 1.6 Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng đến khả xảy biến cố ngược lại Nói cách khác, hai biến cố A B gọi độc lập với ( B | A)  ( B) hay ( A | B )  ( A) Mở rộng khái niệm độc lập cho n biến cố, ta có  Hệ A1, A2, , An gọi độc lập đôi hai biến cố nhóm độc lập với nhau, nghĩa ( Ai | Ak )  ( Ai ) (i  k)  Hệ A1, A2, , An gọi độc lập toàn thể biến cố nhóm độc lập với tích số biến cố (n – 1) biến cố lại Điều có nghĩa dãy (i1, i2, , ik)  (1, 2, , n), ( Aj | Ai1 Aik )  ( Aj ) , j  {i1, i2, , ik} Định lý nhân xác suất Định lý 1.2 (Định lý nhân xác suất) a Với A, B biến cố bất kỳ, ta có ( AB )  ( A | B ).( B ) với P(B) > (1.5) b Với A1, A2, , An n biến cố bất kỳ, ta có: P( A1 An )  P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An 1 ) (1.6) Từ định nghĩa tính độc lập biến cố định lý nhân xác suất, ta suy ra: c Hai biến cố A B độc lập với ( AB )  ( A). ( B ) d Nếu {A1, AI, , An} độc lập toàn thể P( A1 A2 An )  P( A1 ) P( An ) Ví dụ 1.19 Hai xạ thủ bắn người viên vào mục tiêu Xác suất trúng đích xạ thủ 0,7; xạ thủ 0,6 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng đạn? Giải: Gọi A biến cố “xạ thủ bắn trúng mục tiêu” B biến cố “xạ thủ bắn trúng mục tiêu” H biến cố “mục tiêu bị trúng đạn” Lúc đó, P(A) = 0,7, P(B) = 0,6 H = A  B Theo công thức cộng xác suất, P(H) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) Mặt khác, hai biến cố A B độc lập với nên ( AB )  ( A). ( B ) = 0,7.0,6 = 0,42 Suy ra, xác suất để mục tiêu bị trúng đạn P(H) = 0,7 + 0,6 – 0,42 = 0,88 18 Ví dụ 1.20 Một người bắn liên tiếp vào mục tiêu có phát đạn trúng mục tiêu ngưng bắn Biết xác suất trúng mục tiêu lần bắn 0,6 Tính xác suất cho bắn đến phát thứ tư ngưng bắn Giải: Gọi Ai biến cố “phát thứ i trúng mục tiêu”, i = 1, 2, 3, , n A biến cố “bắn đến phát thứ tư ngưng” Ta có, A = A1 A2 A3 A4 Theo định lý nhân xác suất thì: P(A) = P( A1 ) ( A2 | A1 ) ( A3 | A1 A2 ) ( A4 | A1 A2 A3 ) Trong đó, P( A1 ) = – 0,6 = 0,4 Mặt khác, A2  A1 ; A3  A2  A1 nên A1 A2 = A2 A1 A2 A3 = A3 Từ suy ( A2 | A1 ) = – 0,6 ( A3 | A1 A2 ) = ( A3 | A2 ) = - 0,6 ( A4 | A1 A2 A3 ) = ( A4 | A3 ) = 0,6 Vậy, P(A) = 0,4.0,4.0,4.0,6 = 0,0384 1.4.3 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Định lý 1.3 Giả sử {A1, A2, , An} nhóm đầy đủ biến cố, P(Ai) > (i = 1, n) B biến cố phép thử Khi đó,ta có n ( B)   ( B | Ai ).( Ai ) (1.7) i 1 Chứng minh: Cho {A1, A2, , An} nhóm đầy đủ biến cố B biến cố phép thử, ta có B = BA1 + + BAn , {BA1, , BAn} xung khắc đôi nên theo công thức cộng xác suất A2 B P(B) = P(BA1) + + P(BAn) A1 Hơn nữa, theo công thức nhân xác suất ( BAi )  ( B | Ai ). ( Ai ) với P(Ai) > 0.AnDo đó, n ta có ( B )   ( B | Ai ).( Ai ) i 1 Công thức gọi công thức xác suất đầy đủ, cho phép tính xác suất biến cố B toàn nhóm biến cố đầy đủ A1, A2, , An Công thức xác suất Bayes 19 Cho {A1, A2, , An} nhóm đầy đủ biến cố với P(Ai) > B biến cố phép thử, P(B) > Theo công thức nhân xác suất: Suy ra, ( Ak | B )  ( Ak B)  ( Ak | B).( B ) (P(B) > 0) ( Ak B )  ( B | Ak ).( Ak ) (P(Ak) > 0) ( B | Ak ).( Ak ) thay P(B) công thức xác suất đầy đủ, ta có ( B ) ( B | Ak ).( Ak ) ( Ak | B)  n  ( B | A ).( A ) i i i 1 Ta có định lý sau Định lý 1.4 Cho {A1, A2, , An} nhóm đầy đủ biến cố với P(Ai) > B biến cố phép thử, P(B) > Khi đó, ( Ak | B)  ( B | Ak ).( Ak ) n , k = 1, 2, , n (1.8)  ( B | A ).( A ) i i i 1 Công thức gọi công thức xác suất Bayes Các xác suất P(A1), P(A2), , P(An) xác định trước phép thử tiến hành, gọi xác suất tiên nghiệm Các xác suất ( Ak | B ) xác định sau phép thử tiến hành biến cố B xảy ra, gọi xác suất hậu nghiệm Ví dụ 1.21 Một trại chăn nuôi nhận 50 giống từ ba sở, 15 thuộc sở 1; 10 thuộc sở 25 thuộc sở Tỉ lệ giống không đạt tiêu chuẩn sở tương ứng 16%, 15% 12% a Hãy xác định tỉ lệ giống đạt tiêu chuẩn lô giống? b Kiểm tra ngẫu nhiên từ trại chăn nuôi thấy không đạt tiêu chuẩn Hãy xét xem trách nhiệm thuộc sở lớn hơn? Giải: a Khi thực phép thử “kiểm tra giống trại chăn nuôi” có biến cố sau xảy ra: Ai = “con giống thuộc sở i” i = 1, 2, Khi đó, {A1, A2, A3} nhóm đầy đủ biến cố Gọi B biến cố “con giống không đạt tiêu chuẩn” Theo giả thiết, ta có 20 [...]... mức xác suất như thế nào để có thể xem là hầu như chắc chắn hay hầu như không chắc chắn tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể Chẳng hạn nếu xác suất máy bay rơi là 0,01 thì xác suất đó chưa thể xem là nhỏ, hầu như không thể xảy ra Nhưng nếu xác suất một chuyến tàu khởi hành chậm là 0,01 thì có thể xem xác suất này là rất nhỏ 1.4 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1.4.1 Định lý cộng xác suất Từ định nghĩa xác suất, ... cho thấy tần suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu trong n lần tung ổn định dần về giá trị 0,5 2 Định nghĩa xác suất (Theo quan điểm thống kê) Định nghĩa 1.3 Khi số lần thực hiện phép thử n khá lớn, nếu tần suất của biến cố A ổn định dần về một giá trị p nào đó thì ta nói A ổn định ngẫu nhiên và số p được gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A) Từ định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê, ta có thể... đối xứng thường rất hiếm gặp trong thực tế Để khắc phục hạn chế của định nghĩa này, người ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa theo thống kê dựa trên tần suất xuất hiện của biến cố trong một lớp các phép thử 1 Tần suất xuất hiện của biến cố Giả sử tiến hành n phép thử cùng loại và trong mỗi phép thử ta quan tâm đến sự xuất... , n (1.8)  ( B | A ).( A ) i i i 1 Công thức này được gọi là công thức xác suất Bayes Các xác suất P(A1), P(A2), , P(An) được xác định trước khi phép thử được tiến hành, được gọi là các xác suất tiên nghiệm Các xác suất ( Ak | B ) được xác định sau khi phép thử được tiến hành và biến cố B đã xảy ra, được gọi là các xác suất hậu nghiệm Ví dụ 1.21 Một trại chăn nuôi nhận 50 con giống từ ba cơ sở,... lấy được bi xanh” Khi đó, xác suất P(B) sẽ phụ thuộc vào việc A xảy ra hay không xảy ra + Nếu A đã xảy ra thì xác suất của B là 5 5 , ký hiệu P ( B | A)  9 9 + Nếu A không xảy ra thì xác suất của B là 6 6 , ký hiệu P ( B | A)  9 9 Như vậy, việc xảy ra hay không xảy ra của A đã ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của B Xác suất của B trong điều kiện A đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của B trong... không thể xác định cụ thể Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng tập các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A được biểu diễn bởi miền hình tròn G có bán kính r  a 4 Theo định nghĩa xác suất, ta có xác suất để A xảy ra là P( A)  Diện tích G Diện tích H   r2 a2 a2 P(A) = 16 = a2  hay  16 Những biến cố có xác suất càng gần 1 thì rất dễ xảy ra và được xem là hầu như chắc chắn Ngược lại, những biến cố có xác suất rất... suất A2 B P(B) = P(BA1) + + P(BAn) A1 Hơn nữa, theo công thức nhân xác suất ( BAi )  ( B | Ai ). ( Ai ) với P(Ai) > 0.AnDo đó, n ta có ( B )   ( B | Ai ).( Ai ) i 1 Công thức này được gọi là công thức xác suất đầy đủ, nó cho phép tính xác suất của biến cố B đối với toàn nhóm biến cố đầy đủ A1, A2, , An 2 Công thức xác suất Bayes 19 Cho {A1, A2, , An} là một nhóm đầy đủ các biến cố với... B Theo định lý cộng xác suất (1.3), ta có P( C ) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,01 + 0,09 – 0,05 = 0,14 Suy ra, P(C) = 1- P( C ) = 1- 0,14 = 0,86 1.4.2 Định lý nhân xác suất 1 Xác suất có điều kiện Xét ví dụ: Một hộp chứa 10 viên bi giống nhau, trong đó có 6 bi xanh và 4 bi trắng Người thứ 1 lấy ngẫu nhiên 1 bi (không trả lại vào hộp) Tiếp đó, người thứ 2 lấy 1 bi Tính xác suất để người thứ 2... , j  {i1, i2, , ik} 3 Định lý nhân xác suất Định lý 1.2 (Định lý nhân xác suất) a Với A, B là 2 biến cố bất kỳ, ta có ( AB )  ( A | B ).( B ) với P(B) > 0 (1.5) b Với A1, A2, , An là n biến cố bất kỳ, ta có: P( A1 An )  P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An 1 ) (1.6) Từ định nghĩa về tính độc lập của các biến cố và định lý nhân xác suất, ta suy ra: c Hai biến cố A và B độc... thủ bắn mỗi người một viên vào cùng một mục tiêu Xác suất trúng đích của xạ thủ 1 là 0,7; của xạ thủ 2 là 0,6 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng đạn? Giải: Gọi A là biến cố “xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu” B là biến cố “xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu” H là biến cố “mục tiêu bị trúng đạn” Lúc đó, P(A) = 0,7, P(B) = 0,6 và H = A  B Theo công thức cộng xác suất, P(H) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) Mặt khác,