Ngay ¶ khi tiÕn hµnh n php thö kh¸ víi ïng mét hÖ ®iÒu kiÖn th× tÇn sè vµ tÇn suÊt ña n lÇn thö nµy òng ã thÓ kh¸ tÇn sè vµ tÇn suÊt ña n lÇn thö trí.. Tuy nhiªn tÇn suÊt ã tÝnh æn ®Þnh[r]
(1)ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM
-
BỘ MƠN TỐN LÝ
GIÁO TRÌNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Dành cho sinh viên tất ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ)
(2)M l
Phần1.Lýthuyếtxá suất Biếnốngẫunhiênvà xásuất
1.1 Giảitíhtổhợp
1.1.1 Quyt¾éng
1.1.2 Quytắnhân
1.1.3 Hoánvị
1.1.4 Chỉnh hợp
1.1.5 Chỉnh hợplặp
1.1.6 Tỉ hỵp
1.1.7 Phươngphápgiải mộtbàitốngiảitíhtổhợp
1.2 Phpthưvµ biÕnè 10
1.2.1 Phpthö 10
1.2.2 BiÕnè(sùkiÖn) 11
1.2.3 Quanhệgiữaábiến ố 11
1.2.4 Phõn hiamộtbiếnốtheohệđầyđủ 13
1.3 Cáđịnh nghĩavềxá suất 14
1.3.1 Địnhnghĩaổđiểnvề xásuất 14
1.3.2 Địnhnghĩathốngkêvề xásuất 17
1.3.3 Nguyênlýxásuất lớnvàxásuất nhỏ 18
1.4 Cỏnh lýbn 19
1.4.1 Địnhlýộngxá suất 19
1.4.2 Địnhlýnhânxá suất 20
1.4.3 Địnhlýxá suấttoànphần- ĐịnhlýBayes 23
1.4.4 ĐịnhlýBernoulli 26
Bi tậphương1 28 BiếnngẫunhiênvàQuyluật phânphốixásuất 33 2.1 Biếnngẫunhiên 33
2.2 Quyluậtphânphốixásuấtủabiếnngẫu nhiên 34
2.2.1 Bảngphânphốixá suấtủabiếnngẫunhiênrời rạ 35
2.2.2 Hàmphânphốixáxuất 37
2.2.3 Hmmtxỏ sut 40
2.3 Cátham sốđặtrưngủabiếnngẫunhiên 43
2.3.1 Kúvängto¸n 44
2.3.2 Phươngsai 48
2.3.3 §élƯhhn 50
2.4 Mộtsốquyluật phânphốixá suấtthôngdng 51
(3)2.4.2 QuyluËtnhÞthø 52
2.4.3 QuyluËtPoisson 53
2.4.4 QuyluËthuÈnN(a, σ 2) 54
2.4.5 Quyluậtkhibìnhphương-χ 2 60
2.4.6 QuyluËtStudent-T(n) 61
2.4.7 Cáđịnhlí giớihạn 62
Bàitậphương 66 Phần2.Thốngkêtoán 70 Cơsởlýthuyếtmẫu 71 3.1 Tổngthểvà mẫu 71
3.1.1 Tổngthểvà kíhthướủatổngthể 71
3.1.2 Mẫuvàphươngpháp họnmẫu 71
3.1.3 MÉungÉunhiªn 73
3.2 Cáphươngpháp mơtảmẫungẫunhiên 74
3.2.1 S¾pxÕpsèliƯu thùnghiƯm 74
3.2.2 Hàmphânphốithựnghiệmủamẫu 75
3.2.3 Biểudiễnsốliệubằngbiểuđồ 76
3.3 Cỏtrng amungunhiờn 79
3.3.1 Hàmthốngkê 79
3.3.2 Trungb×nhmÉu 79
3.3.3 Phươngsai mẫu 80
3.3.4 Phươngsai điềuhỉnhmẫu 80
3.3.5 Độlệhtiêuhuẩnmẫu vàđộlệhtiêuhuẩn điềuhỉnhmẫu 80
3.3.6 SaisètiªuhuÈn 81
3.3.7 Cáh tínháđặtrưngmẫu 81
3.3.8 TÇnsuÊt mÉu 84
Bàitậphương 84 ớlượngthamsố 87 4.1 Phươngpháp ướlượngđiểm 87
4.1.1 Phươngpháp hàmướlượng(phươngpháp mômen) 87
4.2 Phươngpháp ướlượngbằngkhoảngtinậy 90
4.2.1 Kh¸iniƯm 90
4.2.2 ớlượngkỳvọng ủabiếnngẫunhiênó phânphốihuẩn 91
4.2.3 lượng kì vọng tốn biến ngẫu nhiên khơng theo quy luật phân phốihuẩn 97
4.2.4 ớlượngkhoảnghotỉlệ 97
Bàitậphương 100 Kiểmđịnhgiảthuyếtthốngkê 106 5.1 Kháiniệmhung 106
5.1.1 Giảthuyếtthốngkê 106
5.1.2 Tiêuhuẩnkiểmđịnh giảthuyếtthốngkê 107
5.1.3 Miềnbábỏgiảthuyếtthống kê 107
(4)5.1.6 Cásai lầmmắphảikhikiểmđịnh 108
5.1.7 Thủ tủakiểmđịnhgiảthuyếtthốngkê 108
5.2 Kiểmđịnhgiảthuyếtvề giátrịtrungbình 108
5.2.1 Đãbiếtphươngsai 109
5.2.2 Chưabiếtphươngsai 110 5.3 Kiểmđịnhsự bằngnhau ủahai kỳvọng ủahai biếnngẫunhiên óphânphối huẩn 113 5.4 Kiểmđịnhgiảthuyếtủaxá suất 116 5.4.1 Trường hợpmộttổng thể 116 5.4.2 Trường hợphai tổngthể 117 Bài tậphương5 118 Tươngquanvàhồiquy 123 6.1 Đồthịphântán 123
6.2 Hệsốtươngquan 124
6.2.1 Phân tíhýnghĩahệsốtươngquan 124
6.2.2 Hệsốtươngquanmẫu 125
6.2.3 Kiểmđịnhgiảthuyếtvề giátrịủaρ 127
6.3 Hồiquytuyếntínhđơngiản 128
6.3.1 Mơhìnhhồiquy tuyếntínhđơngiản 128
6.3.2 Phươngtrình hồiquytuyếntínhđơngiảnủa tổngthể 129
6.3.3 Phươngtrình đườnghồiquytuyếntínhmẫu 130 Bài tậphương6 133
Ph l1 139
Ph l2 141
Ph l3 142
(5)Lời nói đầu
"Xásuất thống kê" mônhọ ần thiết sinhviên khốiá trường Kinh tế-Nông-Lâm-Sinh-Y nội dung phong phúvà ứng dng rộng rãi nhiều lĩnh vự khoa họ tự nhiên, kỹ thuật, y họ kinh tế-xã hội Đã ó nhiều uốn sáhgiáotrìnhđượviết homơnhọnày,tuynhiênnhómtágiảmongmuốnviết mộtuốn giáo trìnhphùhợpvới nộidung hươngtrìnhủa Trường ĐạihọNơng Lâmđểsinh viên ó thể tiếpậnmơnhọ nàyvà ámơn họơ sởngànhsau đó,ũngnhưập nhậtvới hương trìnhthituyểnsauđạihọmơnTốnaoấp thốngkêủaĐạihọTháiNgunhokhốiá ngànhNơng-Lâm-Sinh-Y
Giáotrình gồmhai phần Phần I: "Lý thuyết xá suất" óhai hương Chương 1 trangbị kiến thứ giải tíh tổ hợp, khái niệm tảng, định lý quan trọngủalýthuyếtxásuấtổđiển Chương2quantâmđếnkháiniệmtrungtâmủaxásuất biếnngẫu nhiênvà áquy luậtphânphốixá suất, thamsốđặ trưngủa nó.Mộtsố quy luậtphânphốixá suất thôngdngvà định lývề luật sốlớn,định lýgiới hạnũng đượ trình bàytrong hươngnày Phần II: "Thốngkê tốn" gồmó 4hương Chương 3 trình bày ơsởlýthuyếtmẫu:áphươngpháphọnmẫu,sắpxếpmẫu,đặtrưngủamẫu.Chương
4vàChương5quantâmđếnhaibàitốnơbảnlàướlượngthamsốvàkiểmđịnhgiảthuyết thốngkê CábàitốnvềtươngquanvàhồiquytuyếntínhđơngiảnđượđềậpđếnởChương
6.Phầnuốiùng làmộtsốbảngphlthôngdng
Bnúththmụn "Xỏsutthngkờ"vi ungiỏotrỡnhnynuótrang bmts kinthbnvGiitớhinv istuyntớnh.Cỏkhỏinimmi đượ ập nhậtthêmáthuật ngữbằngtiếngAnhđểbạnđọóthểlàm quenvớiáthuậtngữ đọ sáh nướ ngồi Hệ thống ví d đượ lựa họn nhiều liên quan đến tốn thườnggặptrongthựtếủấlĩnhvựNơng,Lâmnghiệp,Sinhhọ.Cábàitậpởuốimỗi hương dành ho bạn đọ giải thông qua vận dng lý thuyết lời giải ví d tronghương
(6)Phần Lý thuyết xá suất
Skhụnghhnrtphbintrongthgiimtaangsng:tỏvnathgii tự nhiên nắng, mưa, giông, bão, đến vấn đề đời sống hính trị, xã hội on người.NgayảSinh-Lão-Bệnh-Tử- mộtquyluậttấtyếumàaiũngbiết,làhặngđường hắ mà đờingười phải trải quathì nhìn ũng nằmngồi điều khiển húng ta Tuy nhiên, khônghắ hắnlàm houộ sống ủahúng ta trởnên thúvị nhiều Hãythử tưởng tượng xemthế giới trở nênbuồn tẻ, hán ngắt đến mứ nàonếu nhưmọithứđềthểbiếttrướ mộtáhhắhắn, hồnhảo?
(7)Chương
Biến ố ngẫu nhiên xá suất
Chng dành đểgiới thiệu kháiniệm móngủa xá suất: php thử, biến ốngẫunhiên,biếnốsơấp, Cá địnhnghĩavềxásuấtđượgiớithiệuởM1.3và uối ùng M 1.4 ung ấp ơng để tính xá suất: định lý ộng, định lý nhân, địnhlýtoànphần,Bayesvà địnhlýBernoulli
1.1 Giải tíh tổ hợp
Mny dnh túm lượlại kiếnthứ giảitíh tổhợp màsinh viên đượ họ tronghương trìnhphổ thơng Cá tốngiải tíh tổhợp ịnđượ gọi làá tốn "đếm":đếmsốkếtquả,đếmsốkhảnăngxảy ra,đếmááhgiảiquyếtvấn đề, nóihung đếm sốlượng nhữngđối tượng nàođó màhầu hết áloại đối tượngđượ đề ập đến ó thể mơtả dãy áphần tử thỏamãn điều kiệnnhất định Ta ó thể mụ phngmtbitoỏngiitớh thpnhsau
Bàitoán "Chon, k N vàtậphợpE ={x1, x2, , xn}gồm n phầntửkhánhau.Có bao nhiêudÃyx1x2 xk áphầntửđượ lấytừtậpE vàthỏa mÃnátínhhấtN1, N2, ?"
Cónhiềhgiảiquyếtbàitốntrêntùytheốhlấyk phầntửvà phươngphápsắpxếp húngđểhota nhữngkếtquảkhánhau
1.1.1 Quy t¾ éng
(8)Giải Phươngán1:ó1áhhọn3sinhviênởTháiNgun;Phươngán2:ó1áhhọn3 sinh viên ởYên Bái;Phươngán 3: ó4áh họn 3sinhviên Tuyên Quang;Phươngán 4: ó 4áhhọn3sinhviên ởHàGiang.Vậy,ón= + + + = 10áh họn
Chú ý rằng, hất quy tắ đếmsố phần tử tậphợp hữu hạn khơng giaonhau Tuy nhiên,trongnhiều trườnghợp,taầnđếm sốphầntửủahợphaitậphợphữu hạn ógiao khá∅ Nếuký hiệun(•)là sốphầntử ủamột tậphợpnàođó thìta óquy tắ ộng mởrộngsau:
n(A∪B) =n(A) +n(B)−n(A∩B).
Víd1.1.2 Mộthộinghịkhoahọquốtếgồm100ngườibiếttiếngAnh,60ngườibiếttiếng Pháp, 20ngườibiết ảhai thứtiếng 50ngườiịn lạikhơng biếtả haithứ tiếngtrên Hỏi Hội nghịkhoahọđóóbaonhiêungười?
Giải Gọitậphợpnhững ngườibiếttiếngAnhlàA,những ngườibiếttiếngPháp làB.Khiđó tậphợpnhữngngườibiếttiếngAnhhoặPháplàA∪B.Theobàirataón(A) = 100;n(B) =
60;n(A∩B) = 20 vµ
n(A∪B) =n(A) +n(B)−n(A∩B) = 100 + 60−20 = 140.
Vậy Hộinghịkhoahọđóó140 + 50 = 190(người) 1.1.2 Quy tắ nhân
Giảsửmộtôngviệphảithựhiệnk giaiđoạnA1, A2, , Ak,trongđómỗigiaiđoạn
Ai đượthựhiện bởi1trongni áh, vớimọii = 1, , k.Khiđó,ón1n2 nk áhthự hiệnơng việnóitrênvà tagọilàquy tắnhân(MultipliativeRule)
Ví d 1.1.3 Biển số xe ô tô gồm 7ký tự, 2 ký tự đầu mã số tỉnh, ký tự thứ ba hữ bảng 26 hữái tiếng Anh, ký tự tiếp theolà hữ số thuộ tập
{0,1, ,9} Hỏi hỉ dùng mã số tỉnh ố định tỉnh ó thể làm đượ nhiều nhấtbao nhiêubiểnsốxekhánhau?
Giải Vì mãsố tỉnhđã đượố địnhnên t 26áh họnhữ áixếp v trớ thba v ú
10áhhọn hữsốhomỗivị trítrongbốnvịtrí ònlại.Theo quytắnhân, taó
26ì10ì10ì10ì10 = 260.000(biển sốxe)
1.1.3 Hoán vị
(9)Sốá hoánvịủa nphầntử,kýhiệuPn,là
Pn=n! =n(n−1)(n−2) .2.1và quyướ 0! = 1.
Víd 1.1.5 (i) Có3ngườiA, B, C xếpvào3hỗngồi.Ta óP3 = 3! = 1ì2ì3 = 6 áh xếpnhưsau:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
(ii)Từ3hữsố 1,2,3óthểtạođượbaonhiêusố gồm3hữsốkhánhau?
Gii Rừ rng mi số gồm3 hữ sốkhá tạora từ 1,2,3là hoánvị 3 phầntử Vậyta óP3 = 3! = 1ì2ì3 = 6 s,ú l:123,132,213,231,312,321.
1.1.4 Chỉnh hợp
Địnhnghĩa1.1.6 Mộthỉnhhợp(arrangement)hậpkủanphầntử(0< k 6n)làmộtdÃy óthứtự gồmk phầntửkhánhauđượlấytừtậpE
Sốá hỉnhhợphập kủa nphầntử,kýhiệuA
k n,lµ
Ak
n =n(n−1) .(n−k+ 1) =
n! (n−k)!.
Víd1.1.7 SinhviênnămthứnhấtủaTrườngĐạihọNơngLâmphảihọ5họphầntrong mộthọkỳ,mỗingàyhọ2họphần.HỏirằngPhịngĐàotạoủaTrườngóbaonhiêh xếpthờikhóabiểu trongngày?
Giải.Sốáhầntìmhínhlàsốáhghp2họphầntừ 5họphần,trongđóááhghp khánhau nế ítnhấtmột họphầnkhá nhauhoặthứ tự họphầnkhá Vì ááh xếpthờikhóabiểutrongngàylà
A25 = 5ì4ì3 = 60(áh)
1.1.5 Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa 1.1.8 Một hỉnhhợp lặp(arrangement with repetition) hập k n phần tử mộtdÃy óthứtựgồmk phầntử(khôngnhấtthiếtkhá nhau)đượlấytừtậpE
Sốhỉnh hợplặphập k ủan phầntử,kýhiệu A
k n,là
Ak n =nk.
Víd1.1.9 Có5kháh hàngkhơng quenbiết nhaúngvào muahàngởmộtửahànggồm ó7quầy.Giảsửákháhhàngvào muahàngởáquầymột áhngẫunhiên.Hỏi óbao nhiêhđể 5ngườivào7quầynóitrên?
Giải Vì mỗingười đề 7áhhọn quầynên sốáhđể 5người vàomua hàngmột áh ngẫunhiêntại7 quầyhínhlà
A5
(10)1.1.6 Tổ hợp
Định nghĩa 1.1.10 Một tổhợp (ombination) hập k ủan phầntử (0 < k 6 n) làmột tập ongồmk phầntửủa tậpE
Sốátổhợphập k ủan phầntử,kýhiệuC
k n,là
Cnk = n!
k!(n−k)! =
n(n−1) .(n−k+ 1)
k! .
V×
Cn−k n =
n!
(n−k)!(n−(n−k))! =
n!
k!(n−k)! =C
k n,
nên mộtáh lấyra k phầntử thìũnghính làmột áhlấy ran−k phầntử ịnlại Ta ó sốtrườnghợpđặbiệtsau
Cn0 =Cnn = 1;Cn1 =Cn1
n =n.
Từông thứtổhợptrên,taó ôngthứNhịthứNewton
(a+b)n =an+Cn1an−1b+ .+Ck
nan−kbk+ .+Cnn−1abn−1 +bn.
Thay n = 2,3vàngthứtrên táhằngđẳngthứđáng nhớquenthuộ Ví d1.1.11 (i)Chọnngẫunhiênra 2ngườitừmộtnhóm3ngườiA, B, C.Khiđó,ó
C32 =
3!
2!.1! = 3áhhọn :AB, AC, BC.
(ii)Cú5 hsinh,nhnra 2hsinhitrlp, hiúmyỏhhn?
Giải Rõ ràngsố áh họn 2họ sinh bất kỳtrong số 5họ sinh sốá tổ hợphập 2 5phầntử.Vậytaó
C52 = 5! 2!3! =
5ì4
2 = 10áh họn 1.1.7 Phươngpháp giải tốn giải tíh tổ hợp
Giảitíh tổ hợp mộtông quan trọng, ph v đắ lự hoviệ giải tập xá suấtsaunày.Trongqtrìnhgiảimộtbàitốngiảitíhtổhợp,ơngviệđịihỏinhiềutư duynhấthínhlà"nhậndạng"xembàitốnđóthuộáhđếmnào Nóiáhkhá,điềuquan trọngnhất làầnphânbiệt,sosánh đượákháiniệmtrênđểáp dngđượđúngơngthứ ần dùng.Do đó,tmộtsốnhậnxt sau
(11)3.LÊyrak phầntử,mỗilầnlấytừngphầntửmộtvà khônghoànlại 4.Lấyrak phầntử,mỗilầnlấytừngphầntửmộtvà óhoànlại
-Trong 4ỏhtrờn, hai ỏhu áphầntử đượlấyra đồngthờimột lần, haiáh sau áphầntửđượ lấylầnlượttừngphầntửmột,lấyk lần
-Trong3ỏhu,ỏphntlyralkhỏnhau Trongkhiú,ỏh4,ỏphn tly raúthúnhngphntly lpli
-Cáh3phânbiệtvới haiáhđầuở hỗlấyk lầnhaylấy1lần
-Cáh1phânbiệtvới áh2ởhỗó kểđếnthứtựáphầntửlấy rahaykhơng
b) Về mối quan hệ ákhái niệm: Hoán vị trường hợp đặ biệt hỉnh hợp
k =n.Chỉnhhợplà lấytổhợprồi hoánvị.Ta óthểđặ trưnghóaá kháiniệmbằng bảng tổngkết sau.ChotậpE gồmnphầntửxá địnhnhưtrên, k, n>1.
Khái niệm Chỉnhhợp Chỉnhhợplặp Hốnvị Tổhợp Tổ hợplặp Tính hất 1)Cóthứ tự 1)Cóthứtự 1)Cóthứtự 1)Khơngthứ tự 1) Khơngthứtự đặtrưng 2)Khơnglặp 2)Cólặp 2)Khơnglặp 2)Khơnglặp 2) Cólặp
3)k 6n 3)∀k,∀n 3)k=n 3)k 6n 3) ∀k,∀n C«ng thø A
k
n= (n−n!k)! Ank =nk Pn=n! Cnk = k!(nn−!k)! Cnk =Cnk+k−1
1.2 Php thư vµ biÕn è 1.2.1 Php thư
Trongthựtế,đểnhằmmộtmđíhnàođó,nhiềukhitaầnphảikhảosát,thuthậpdữ liệuthơngqua quansátáhiệntượngtrongtự nhiênhaytrongphịngthínghiệm
Mộtthí nghiệm hay quan sát tượng tự nhiên, xã hội hoặ vấn đề kỹ thuậtvới ùngmộthệđiềukiệnnàođó đượgọilàphpthử (experiment)
Cóhailoại phpthử: Phpthửkhơng ngẫu nhiênlàphp thửmàtrướkhi tiếnhànhta dự đốnđượkết quảủa nó,hẳnghạn nếuđunnướ điềukiện bìnhthường (dướiápsuất 1 atmotphe) nướ sôi 100
0
là php thử khơng ngẫu nhiên Tuy nhiên, giáo trình này, ta hỉ để ập đến php thử ngẫu nhiên, tứ loại php thử mà ta biết trướ đượ mộtáhhắ hắnkết quảủanó sẽnhư thếnàovà từ naytrởđi tasẽ dùngthuật ngữ "phpthử" ngắngọnthayhothuậtngữ"phpthửngẫunhiên"
Víd1.2.1 Cá thínghiệmsauđâylàáphp thử:(i)Tung mộtđồngtiềnvàquansát xem xuấthiệnmặt sấphay mặtngửa
(12)1.2.2 BiÕn è (sự kiện)
Định nghĩa1.2.2 (i)Khi mộtphp thửđượ thựhiện, mộtkết quảmàta quansátđượ gọi biếnốsơấp(simpleevent)
(ii)Tphpgmmtsbin spgi lbinngunhiờn(randomevent)v thng đượkýhiệubởiáhữái A, B, C,
(iii) Tập hợp gồm tất ả biến ố sơấp đượ gọi không gian mu (sample spae), thng kýhiulS
(iv)Biếnốkhôngthểxảyrakhithựhiệnphpthửđượgọilàbiếnốrỗng(emptyevent) (ký hiệulà)
(v)Biếnốluônxảyrakhithựhiệnphpthửđượgọilàbiếnốhắhắn(ertainevent) (ký hiệulà)
Chỳ ý1.2.3 Mtbinsp luụnl mtbinngunhiờnnhng ngượlại nhìnhung khơngđúng.NếutagọiV làtậphợpgồmábiếnốngẫunhiênthìtrongùngmộtphpthử, số phầntử ủaV sẽlớnhơn sốphầntửủakhơnggianmẫuS rấtnhiều
Ví d 1.2.4 (i) Gieo đồngtiền ân đối đồng hất Kýhiệu H biến ố "Đồng tiền xuất mặtsấp" T làbiến ố"Đồng tiền xuất hiệnmặt ngửa" Khi đóH, T làhai biến ố sơấp ủaphpthửtrênvà khơnggianmẫulà S={H, T}
(ii)Gieo mộtonxúxắânđốivàđồnghất KýhiệuEi làbiếnố"Xuấthiệnihấmở mặt trênủaxúxắ" Khiđó,Ei,vớii∈ {1, ,6}là6biếnố sơấp;"Xúxắ xuấthiện mặtó7hấm" làbiếnốrỗng; "Xúxắ xuấthiệnmộtmặt ósốhấm66 và>1" biến ố hắhắn; "Xú xắxuất mặtó số hấmhẵn", "Xú xắxuất mặtó số hấm lẻ", làábiếnố ngẫunhiênủaphp thửđãhovàkhônggian mẫulà
S ={E1, E2, , E6}.
(iii) Tiến hành xt nghiệm ghilại nhóm máu số người Ký hiệu A biến ố "NgườimangnhómmáuA"; Blàbiếnố"NgườimangnhómmáuB"; AB làbiếnố"Người mang nhómmáu AB"; O biếnố "Ngườimang nhómmáu O" Khiđó biếnố sơấp phpthửlàA, B, AB, O vàkhông gianmẫulà
S ={A, B, AB, O}.
1.2.3 Quan hệ biến ố
(13)Định nghĩa 1.2.5 (i) Biến ố A đượ gọi ko theo (imply)biến ố B A xảy B ũng xảyra, ký hiệulà A B (hoặA B) Nếu Ako theoB B kotheoA thìA
B đượgọilàhaibiếnốbằng nhau(equalevents), kýhiệulàA=B
(ii)Hợp (union)ủa haibiến ố Avà B,kýhiệu AB,làbiến ố xảyra hỉ khiítnhất mộttronghaibiếnốAhoặ B xảyra `
(iii)Giao(intersetion)ủa haibiến ốA B,kýhiệu bởiAB,là biếnố xảyra hỉkhiảhaibiếnố AvàB xảyra
(iv)Hiệu(differene)ủa haibiếnốA vàB,kýhiệubởiA\B,làbiếnốxảy rakhivà hỉkhi AxảyranhưngB khôngxảyra
(v)HaibiếnốAvàB đượgọilàxungkhắ(mutuallyexlusive) khivàhỉkhinếubiến ốA xảyrathìbiếnố B khơngxảyra vàngượlại,nghĩalàA∩B =∅.
(vi)TagọiA làbiếnốđối lập(omplement)ủabiếnố Anếuhúng xungkhắvà hợp ủahúnglàmột biếnốhắhắn NghĩalàtaóA= \A.
Taúthmụ tỏkhỏinimtrờnbng sVennnhsau
A B
Hình1.1:Hợpủa haibiếnốAvà B
A B
Hình1.2:Giao ủahaibiếnố AvàB
A B
Hình1.3:Hiệuủahai biếnốAvàB
A
A
Ω
Hình1.4:BiếnốđốilậpA ủabiếnốA
Chó ý1.2.6 (i) Ta ãthĨ mởrộngmối quanhệ giữaá biếnố homột sốhữu hạnbấtkỳ ábiến ố
(ii)Từ Định nghĩa 1.2.2,ta thấyngay haibiến ố đốilập thìxung khắ, ngượlại nhìnhung khơngđúng Víd ábiến ốEi (i= 1, ,6)trong phpthử gieomột on xú xắ làxung khắvới từngđôi,nhưng biến ốEi khôngđối lậpvới biến ốEj,với mọii6=j
(14)(iv)NếuAvà B làhaibiếnốxungkhắthì ábiếnốAvàB;AB vàAB;AB vàAB ũng xungkhắvớinhau
(v)Php hợpvà giaoábiếnố ótínhhấtgiaohoán, kếthợpvàphânphối.Nghĩalà
AB =BA;AB =BA;A(BC) =ABAC;A(BC) = (AB)(AC).
Saukhimở rộngá quanhệ trênhomột sốhữu hạná biếnố, taxt khái niệmquan trọngsau
nh ngha1.2.7 Cábiến ốA1, , An đượ gọilà mộthệ đầyđủ ábiến ố(system of mutuallyexlusiveand exhaustiveevents)nếuthoảmãnhaiđiềukiện:
(i)Chúngxung khắvớinhautừngđôi một,nghĩalà Ai∩Aj =∅,vớimọii6=j (ii)Tổng ủahúnglàmộtbiếnốhắhắn, nghĩalà
A1+A2+ .+An = Ω.
Nếukhảnăngxảyrấbiếnốđólànhưnhauthìtagọilàhệđầyđủđồngkhảnăng(system of equallylikelyandexhausiveevents)
Vídđơn giảnnhấtvề hệđầy đủlàhệ{A, A} (ởđâyn = 2) Tuy nhiên,trong ùngmột php thử,ta óthểviếtđượnhiềuhệ đầyđủkhánhau.Để bạnđọóthểhiểurõhơnvà ó thể sosánhákháiniệmtrên, taxt vídsau
VÝ d 1.2.8 Gieo on xú xắ GọiEi biến ố "Xú xắ xuất mặt i hấm",với
i = 1, ,6;A biếnố "Xúxắ xuất hiệnmặt ósố hấmhẵn"; B biến ố"Xú xắ xuất hiệnmặtósốhấmlẻ".HãymôtảábiếnốA, B, A+B, AB, Athụngquaỏbin sp vvit hyỏbin
Giải Rõràngkhônggian mẫuủaphpthửtrên làS={E1, E2, E3, E4, E5, E6}và
A=E2+E4+E6;B =E1+E3+E5;A=B;AB =∅;A+B =S.
Vì Ei, i = 1, ,6 tất ả biến ố không gian mẫu, húng xung khắ với đôi A, B hai biến ố đối lập nên php thử ó hai hệ đầy đủ
{E1, E2, E3, E4, E5, E6} vµ{A, B}
1.2.4 Phân hia biến ố theohệ đầy đủ
(15)Địnhnghĩa1.2.9 GiảsửE1, E2, , Enlàmộthệđầyđủábiếnố,Alàmộtbiếnốkhá rỗngnàođó.Khiđó
A=AΩ =A(E1+E2+ .+En) =AE1+AE2+ .+AEn
và tanóirằngA đượphânhiagiántiếp thànhábiếnốE1, E2, , En
VìónhiềuhệđầyđủnênmỗibiếnốkhárỗngAũngóthểphânhiatheonhiềh nhaunhằmm đíhhia Athành ábiến ốđơngiản hơnđể đánhgiá khảnăng xuất hiệnủa Athơngquấbiếnố đơngiảnnày
1.3 Cá định nghĩa xá suất
Ta biết biến ố ngẫu nhiên giống hỗ húng không hắ hắn, nhưngkhảnăngxảyraủamỗibiếnốlạióthểkhánhau Vớimỗimộtbiếnốngẫunhiên
A,ngườitadùngmộtonsốđểđặtrưnghokhảnăngxảyra ủabiếnốđólànhiềuhat, đượ gọilà xásuất (probability)ủa biếnố A,ký hiệuP(A).Trong m này,tasẽ đưa số định nghĩa ông thứvề xá suất Mỗi định nghĩa ó ưu, nhượ điểm định,nhưngquađótthểhìnhdungrasựpháttriểnủamơnXásuấtvà vaitrịủanóđối với ángànhkhoahọkhá
1.3.1 Định nghĩaổ điển xá suất
Địnhnghĩaxásuấtổđiển dựatrênhaigiảthiết"mấu hốt"sau:
1.Sốá biếnốsơấp trongphpthửngẫu nhiênlàhữuhạn(finite)
2.Tt ỏbinspphingkhnng(equallikelihood), nghĩalàkhảnăngxảy biến ố sơ ấp sau thự php thử Chẳng hạn gieo mộtonxúxắânđốivà đồnghấtthìkhả năngxuấthiệnámặtihấmlànhưnhau,với
i = 1, ,6, hoặ họn ngẫu nhiên hai ba người A, B, C khả họn đượ
AB hoặAC hoặBC lànhư
Chomtphpthvinbinspngkhnng,trongúúmbinsp thun li hobiếnố A,nghĩalà nếumột trongm biếnốđó xảyra thìkotheo Axảy Khi ú taú nhnghasau
Định nghĩa 1.3.1 Xá suất (probability) xt hiƯn biÕn è A mét php thư, ký hiÖu
P(A),làtỷ số giữasố ábiến ốsơ ấp thuận lợiho Avà số ábiến ốsơ ấp đồng khả năngóthể xảyrakhithựhiệnphp thửđó.Nghĩalà
P(A) = m
(16)Dựavào địnhnghĩa biến ố ngẫu nhiên, biến ố hắ biến ố rỗng, tính hất đơngiảnsauủaxásuất dànhhobạnđọtựhứngminh
TÝnh hÊt1.3.2 (i)06P(A)61. (ii)P(Ω) = 1.
(iii)P(∅) = 0.
Chú ý1.3.3 (i)NếutaxembiếnốA nhưlàtậponủakhơnggian mẫuS vàký hiệun(•) sốphầntửủamộttậphợpthìơngthứtrongđịnhnghĩatrênó thểviếtlạinhư sau:
P(A) = SèphÇntưđaA SèphÇntưđaS
= n(A)
n(S).
(ii) Việtínhxásuấtdựavào địnhnghĩatrênnêntheotrìnhtự sau:
-Xtphpthử đangquansátóphảilàphp thửđồngkhảnăngkhơng -Đếmđượtấtảá biếnốsơấp trongkhơnggianmẫu
-Đếmđượábiến ốsơấp thuậnlợihobiếnốA Sauđóápdngơngthứtrongđịnhnghĩa
Theohúýtrên,đểtínhxásuấtbằngđịnhnghĩaổđiển,tấpdngmộtsốphươngpháp tư duysauđểđếmđượsốphầntửtrongkhông gianmẫuvàsốphầntửủatậphợpA Phương phápsuy luận trự tiếp: Thường áp dng hotrường hợpsố biến ốsơ ấp đồng khảnăngtrongphpthửlàkhá nhỏvàviệ suyđốnkhá đơngiản
Ví d 1.3.4 Trong huồng kínó 6 on gà trống 4 ongà mái Bắt ngẫu nhiên ongà Tính xásuấtđểbắt đượongàmái?
Giải.GọiAlàbiếnố"Bắtđượongàmái".Phpthửbắtngẫunhiênmộtongàtronghuồng kín hota sốá biếnốsơ ấp đồngkhả năngtrongkhông gianmẫu làn(S) = + = 10 số biếnố sơ ấp thuận lợiho A làn(A) = 4 Vậy xásuất để bắtđượ mộton gà mái
P(A) = 4
10 = 0,4.
2 Phươngpháp dùng áơng thứ giảitíh tổ hợp: Trong phầnlớn trường hợp, php thửósốbiếnốsơấp rấtlớnvàkhơngthểsuyđốntrựtiếphayviệbiểuthịbằngsơ đồrấtphứtạpthìngườitathườngdùngơngủagiảitíhtổhợpđể"đếm"ábiếnốsơ ấp nhưđã trìnhbàyởM1.1
Ví d1.3.5 Bỏngẫunhiên5láthưvào 5phongbìđã ghisẵnđịahỉ Tínhxá suất: (i)Cả 5lá thưđềuđếnđúngđịahỉ
(17)Giải.Bỏngẫunhiên5láthưvào5phongbìđãđềtrướđịahỉ.Khiđó,sốphầntửtrongkhơng gianmẫulà n(S) = 5! = 120
(i)GọiAlàbiếnố"Cả5láthư đềuđếnđúngđịahỉ".Do đón(A) = 1
P(A) = 1
120 = 0,008.
(ii) Gọi B biến ố "Chỉ ó thứ đến địa hỉ" Khi ó 1 áh bỏ thứ vào phong bì đúngđịa hỉ, ó 4!áh bỏ 4lá thư ịnlại vào 4phong bì ịn lại Do đón(B) = 1ì4!
P(B) = 4!
120 = 0,2.
(iii)Gọi C biến ố "Chỉó thứ nhấtvà thứ hai đến đúngđịa hỉ" Khiđó, hỉ ó mộtáh bỏhailáthưđầuvào haiphongbì đúngđịahỉ, ịnó3!áhbỏ3láịn lạingẫu nhiênvào 3phongbìịn lại.Do đón(C) = 1ì1ì3!
P(C) = 1×1×3!
120 =
1
20 = 0,05.
Ví d1.3.6 Một hộpkín óhứa 100 hạtđậu giống,trongđó ó40hạt đậuhoa vàng hủng, 30hạt đậu hoavàng không hủng 30hạt đậu hoa trắng Chọn ngẫu nhiên 3 hạtđậu Hãytínhxá suấtđể
(i)Chọnđượ3loạihạtkhá (ii)Chọnđượ3hạtđậu hoavàng
(iii)Chnỳngmtht uhoatrng
Gii Phpthửởđây làáhlấythứnhất ởM1.1.8,tứlàhọnngẫunhiênùngmột lú3 phần tửtừ 100 phần tử khôngquan tâm đếnthứ tự nên sốá biến ố sơ ấp đồng khả trongkhơnggianmẫu làn(S) =C
3 100.
(i)GọiAlàbiếnố"Chọnđượ3loạihạtkhánhau".Khiđósốábiếnốsơấp thuận lợihoA làn(A) =C
1
40C301 C301 .V×thÕ
P(A) = C
1
40C301 C301
C3 100
= 0,223.
(ii)GọiB làbiếnố"Chọnđượ3hạtđậuhoavàng".Khiđósốá biếnốsơấp thuận lợihoB làn(B) =C
3
70.V×thÕ
P(B) = C
3 70
C3 100
= 0,339.
(iii) Gọi C biến ố "Chọn đượ 1 hạt hoa trắng" Khi số biến ố sơ ấp thuậnlợiho Clà n(C) =C
1
30C702 Do
P(C) = C
1 30C702
C3 100
(18)Ngồira, để ó thể hình dung đượ áh trự quan php thử biến ố, ta thườngsử dngmột số loạisơđồ như: sơđồ Vennđượ giớithiệu năm1880 bởinhà toán họ Jonh Venn, dùng đểmơ tả quanhệ logi ó thểủa số hữuhạn tậphợp; Sơ đồ hìnhây,sơđồ dạngbảng, haymơtảtậphợp
Nhậnxt1.3.7 (i)Địnhnghĩaổđiểnvềxásuấtóưuđiểmlàhỉrấhtínhxásuấtủa biến ốmột áh trựquan, đơngiản trongkhi hỉ ầntiến hành php thửmột áh giả định
(ii)Tuy nhiên, nhưtrên đãđềập, địnhnghĩa nàyđịi hỏikhảnăng xảyrấ biếnố sơ ấp số biến ố sơ ấp phải hữu hạn Đây giả thiết mạnh trongthựtế, điềukiệnđồngkhảnăngvàhữuhạnủấ biếnốsơấpủaphp thửkhơng phải lú nàoũng đượ bảođảm Ví d: âu2 phầnthảo luận 1.2 trên, rút ngẫu nhiên1trong10viên bi,nếuquantâmđếnthứtựủaviênbithìđólàábiếnốsơấpđồng khả năng, ịn hỉ quan tâm đến màu bi ó hai biến ố sơ ấp hỳng khụng ng kh nng,
1.3.2 Định nghĩa thống kêvề xá suất
M nygii thiumt nhngha khỏ vềxá suất Trướ hết, giả sử tatiến hànhn php thửvới ựngmthiukin, trongúbinA xuthinmln
Địnhnghĩa 1.3.8 Sốlần xuấthiệnbiếnốA đượgọilàtầnsố(frequeny)và tỷsố
f(A) = m
n
đượ gọilàtầnsuất(relativefrequeny)xuấthiệnbiến ốAtrongn phpthửđã ho
Tathấyrằngkhinthayđổithìmũngthayđổi.Ngayảkhitiếnhànhn phpthửkhávới ùng mộthệđiều kiệnthìtần sốvà tầnsuất ủan lầnthử nàyũngó thểkhátần sốvà tần suất n lần thửtrướ Tuy nhiên tần suấtó tính ổnđịnh,nghĩa khisố php thử n tăng lên đủlớn thìtần suấtsẽ biếnđổirất nhỏxung quanhmộtgiá trị xáđịnh Đểminh họaho nhậnxt trên,tanhắlạimộtvídkinh điểnđượthựhiệnbởiBuffonvà Pearsonđểnghiên ứu khảnăngxuấthiệnmặtsấpkhitungmột đồngxunhưsau
Ngườilàmthínghiệm Sốlần tung Sốlầnđượmặtsấp Tầnsuất Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005
(19)Địnhnghĩa 1.3.9 Xásuấtxuất hiệnbiếnố Alàgiới hạnủa tầnsuấtxuất hiệnbiếnốđó khiphp thửtănglênvơ hạn
P(A) = lim
n→∞f(A) = limn→∞
m n.
Trênthựtế, P(A)đượtínhxấpxỉbởitầnsuất f(A)khin đủlớn
Víd1.3.10.Đểxáđịnhtỷlệnảymầmủamộtgiốnglúa,ngườitagieothử5000hạtvàquan sát thấ 120 hạtkhơng nảymầm Vậy xásuất ần tìmxấpxỉ
5000−120
5000 = 0,976
haytû lệnảymầmlà97,6%
Nhnxt 1.3.11 (i) nhnghathngkờv xỏ suthotamtgiỏ trgnỳngdatrờn sởquansát thựtếđểđưa rakếtluậnxásuất xảyraủamộtbiến ố.Địnhnghĩa nàykhơng địihỏi nhữngđiềukiệnnhưđịnhnghĩaổ điểnvàó độhínhxákhá lớn,phùhợpvới thự tếũngnhư tínhtốnlýthuyết
(ii)Tuy nhiên,địnhnghĩanàyhỉápdnghonhữngphpthửóthểlặplạinhiềulầnmột áh độlậpvới điềukiện giốnghệtnhau Hơn nữa, đểxá địnhđượ giátrị xá suất mộtáhtươngđốihínhxá,taầntiếnhànhtrênthựtếmộtsốnđủlớnphpthử,màđiều nàynhiềukhi khơngthựhiệnđượvì hạnhếvềthời gianvàkinhphí
Ngồiá định nghĩa vừa nêu trên, người taòn đưa định nghĩa định nghĩa hình họ xá suất, định nghĩa tiên đề xá suất Kolmogorop, định nghĩa xá suấthủquan, Tuynhiờn,vikhuụnkhaungiỏotrỡnhny,hỳngtụikhụngtrỡnhby nhngnhngha úõymdnhbn tthamkho
1.3.3 Nguyên lý xá suất lớn xá suất nhỏ
Trongtht,tagpphinhiutrnghpmỏbinúxỏsutrtnh,gnnh bng 0 Trong trườnghợp đó,liệu t thểho nhữngbiến ốnày khơngxảy thự hiệnphp thử? Tất nhiên takhơng thểkết luậnnhư vậy,vì hímột biếnố óxá suấtbằng0vẫn hưahắhắnlàbiến ốkhơngthểó, tứlàvẫnóthể xảyra
(20)Tương tự vậy,ta ó thể đưa "Nguyên lý hắ xảy biến ố ó xá suấtlớn" nhưsau:Nếu biếnốngẫunhiênó xásuấtgầnbằng 1thìthựtếóthểhorằng biến ố sẽxảy php thử Cũng trên, việ quy định mứxá suất đượ oilà lớnsẽđượquyđịnhtrongtừngbàitoán thể
1.4 Cá định lý
ởm trướ,tađã đưarấhtính xásuấttrựtiếpbằngá địnhnghĩa Tuynhiên, thự tế, ó nhiều tốn phứtạp hơn,địi hỏi phải tính xá suất biến ố thơng quaxá suấtđãbiếtủanhữngbiếnốkhá óliênquanvớihúng Trongmnày,ta nghiênứu5địnhlýơbảnnhấtủa xásuất
1.4.1 Định lý ộng xá suất
Địnhlý 1.4.1 (i)NếuA vàB haibiếnốbấtkỳthì
P(AB) =P(A) +P(B)P(AB).
(ii) NếuA,B vàC làbabiếnốbất kỳthì
P(ABC) =P(A) +P(B) +P(C)P(AB)P(AC)P(BC) +P(ABC).
Ta óhệquả trựtiếpủaĐịnh lý1.4.1ho ábiếnố xungkhắ, biếnố đốilậpvà hệ đầy đủábiếnố
Hệ quả1.4.2 (i)NếuA vàB haibiếnốxung khắthìP(A+B) =P(A) +P(B). (ii)Nếu ábiếnốA1, , Anlà mộthệđầyđủábiếnố
P(A1+ .+An) =P(A1) + .+P(An) = 1.
(iii)Tổngxá suấtủahaibiếnốđốilập nhaubằng1,tứlàP(A) +P(A) = 1.
Ví d 1.4.3 Một gia đình ó hai vợ hồng hư on, xá suất hồng xem tivi 0,8,vợ xem tivilà0,5,xásuấtđểhaivợ hồngùngxemtivi là0,4.Hãytínhxá suấtđể
(i)Tivióngườixem (ii)Tivikhơngóaixem
Giải GọiAlàbiếnố "Chồngxemtivi", B làbiến ố"Vợxemtivi" Khiđó,
(i)Biếnố"Tivi óngườixem" làA∪B.VìA vàB khơngxungkhắnhau nênápdng Định lýộng