Giáo trình lý thuyết xác xuất thống kê toán, Thư viện số,Thư viện online, Thư viện chia sẻ sách, luận văn, đồ án, tài liệu, ebook, giáo trình, giáo án,bài giảng, báo cáo thực tập,luận văn tốt nghiệp,Đồ án tốt nghiệp,văn bản, biểu mẫu, quảng cáo, tập trung các lĩnh vực về giáo dục cho sinh viên, học sinh, giảng viên đại học, thạc sĩ, tiến sĩ.
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN (LƯU HÀNH NỘI BỘ) TP HỒ CHÍ MINH BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy môn Xác suất thống kê tốn, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Cơng Nghệ Thơng Tin TPHCM tổ chức biên soạn giáo trình “Lý thuyết xác suất thống kê tốn” Giáo trình biên soạn sở đề cương môn học theo tín Hội Đồng Khoa học Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM phê duyệt Nội dung sách gồm phần, phần 1: Lý thuyết xác suất, phần 2: Thống kê toán Cuốn sách giải vấn đề trọng yếu môn học, giúp sinh viên có tảng kiến thức để tiếp cận mơn học khác chương trình đào tạo hệ cao đẳng Phần lý thuyết trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ mẫu phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng Ngoài ra, sau chương có tập để sinh viên tự rèn luyện nghiên cứu Đây tài liệu sử dụng thức trường, giúp sinh viên học tập thi kết thúc học phần có hiệu tốt theo chương trình đào tạo tín Trong trình giảng dạy, giáo trình cập nhật, chỉnh lý để ngày hoàn thiện đầy đủ Do khả có hạn lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín nên giáo trình khơng tránh khỏi sai sót Tập thể giáo viên mơn Tốn mong nhận ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc ngồi trường Các ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc xin gửi chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng mơn TỐN Trường Cao đẳng Cơng nghệ Thông tin TP HCM Địa chỉ: minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN MỤC LỤC PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 1.2 1.3 1.4 CHƯƠNG I BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP I Giai thừa II Qui tắc nhân qui tắc cộng III Hoán vị IV Chỉnh hợp V Chỉnh hợp lặp VI Tổ hợp VII Nhị thức Newton CÁC KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT I Đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê II Sự kiện (biến cố) III Mối quan hệ biến cố CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT I Định nghĩa xác suất cổ điển II Đinh nghĩa xác suất theo thống kê III Định nghĩa xác suất theo hình học IV Nguyên lí xác suất nhỏ xác suất lớn MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT I Cơng thức cộng xác suất II Công thức nhân xác suất III Cơng thức xác suất đầy đủ (tồn phần) IV Công thức Bayes V Công thức Bernoulli BÀI TẬP MẪU CHƯƠNG I BÀI TẬP CHƯƠNG I Trang 9 11 12 12 12 14 15 15 15 16 20 20 23 23 24 25 25 28 33 35 36 37 43 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 BỘ MƠN TỐN 45 CHƯƠNG II ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI I Định nghĩa đại lượng ngẫu nhiên II Phân loại đại lượng ngẫu nhiên III Bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên rời rạc IV Hàm phân phối xác suất F(x) V Hàm mật độ xác suất f(x) CÁC ĐẶC TRƯNG BẰNG SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN I Kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên X II Phương sai III Một số đặc trưng khác: Mode,Median… CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT I Quy luật siêu bội II Quy luật nhị thức III Quy luật Poisson IV Quy luật phân phối chuẩn V Quy luật “Chi bình phương” VI Quy luật Student VII Phân phối Fisher BÀI TẬP MẪU CHƯƠNG II BÀI TẬP CHƯƠNG II 60 61 63 64 69 69 69 70 79 PHẦN II THỐNG KÊ 84 CHƯƠNG III MẪU NGẪU NHIÊN TỔNG THỂ VÀ MẪU I Tổng thể II Mẫu MƠ HÌNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG THỂ VÀ 84 45 45 45 46 48 49 51 51 53 58 60 84 84 85 86 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM 3.3 4.1 4.2 5 BỘ MƠN TỐN MẪU I Đại lượng ngẫu nhiên gốc II Mẫu ngẫu nhiên III Sai số quan sát CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU I Các tham số đặc trưng mẫu II Cách tính đặc trưng mẫu III Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM I Phương pháp hàm ước lượng II Phương pháp hàm ước lượng hợp lý cực đại ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY I Mô tả phương pháp ước lượng khoảng II Ước lượng trung bình tổng thể (hay kì vọng) III Ước lượng tỉ lệ tổng thể IV Các toán kéo theo IV Ước lượng phương sai tổng thể BÀI TẬP CHƯƠNG IV CHƯƠNG V KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾTTHỐNG KÊ KHÁI NIỆM 86 87 88 89 89 91 95 98 100 100 100 104 106 106 107 113 114 120 123 125 125 I Đặt toán II Mức ý nghĩa miền bác bỏ III Sai lầm loại sai lầm loại 125 126 127 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT CÓ THAM SỐ I Kiểm định giả thiết tỉ lệ đám đơng II Kiểm định giả thiết trung bình đám đông III Kiểm định giả thiết phương sai đám đơng có phân phối chuẩn IV So sánh hai tỉ lệ 128 128 130 134 135 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN V So sánh hai trung bình BÀI TẬP CHƯƠNG V CHƯƠNG VI 137 141 144 LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HÀM HỒI QUY 6.1 6.2 6.3 6.4 MỐI QUAN HỆ GIỮA HAI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN I X,Y độc lập với II X,Y có phụ thuộc hàm III X,Y có phụ thuộc tương quan không tương quan BẢNG TƯƠNG QUAN THỰC NGHIỆM I Phân phối thực nghiệm X II Phân phối thực nghiệm Y III Các phân phối thực nghiệm Y IV Đường hồi quy thực nghiệm ƯỚC LƯỢNG HỆ SỐ TƯƠNG QUAN VÀ HÀM HỒI QUY I Ước lượng hệ số tương quan II Phương pháp bình phương bé ƯỚC LƯỢNG HÀM HỒI QUY TUYẾN TÍNH I Ước lượng hàm hồi quy tuyến tính biến II Ứng dụng hàm hồi quy mẫu BÀI TẬP CHƯƠNG VI MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO PHỤ LỤC CÁC BẢNG TRA THỐNG KÊ PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CÁC BẢNG TRA THỐNG KÊ PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI TÀI LIỆU THAM KHẢO 144 144 144 144 145 145 145 146 147 149 149 150 151 151 153 154 156 158 169 176 182 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM PHẦN I BỘ MƠN TỐN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƯƠNG I BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1.1 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP I Giai thừa Kí hiệu n! tích n số nguyên dương liên tiếp từ đến n n! = 1.2.3 (n-1).n Qui ước: 0! = II Qui tắc nhân qui tắc cộng Qui tắc nhân Nếu tượng chia làm k giai đoạn Giai đoạn xảy n1 cách khác sau giai đoạn thứ xảy n2 cách khác nhau, giai đoạn thứ xảy n3 cách khác giai đoạn thứ k lại xảy nk cách khác tượng theo thứ tự nói xảy (n1.n2.n3 nk) cách Ví dụ Với chữ số 1, 2, 3, 4, a) Có thể lập số gồm chữ số? b) Có số gồm chữ số khác nhau? c) Có số chẵn gồm chữ số khác nhau? d) Có số gồm chữ số viết không lặp lại? Trong tập có số chia hết cho 5? BÀI GIẢI a) Ta chia thành giai đoạn: giai đoạn chọn số số cho để làm chữ số hàng đơn vị, nghĩa có cách chọn chữ số hàng đơn vị Giai đoạn chọn số cho để làm chữ số TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN hàng chục, có cách chọn chữ số hàng chục Giai đoạn chọn số cho để làm chữ số hàng trăm, có cách chọn chữ số hàng trăm Do từ chữ số cho, ta lập 5.5.5 = 125 số gồm chữ số b) Ta chia thành giai đoạn: giai đoạn chọn số số cho để làm chữ số hàng đơn vị, nghĩa có cách chọn chữ số hàng đơn vị Giai đoạn chọn số cho lại để làm chữ số hàng chục, có cách chọn chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Giai đoạn chọn số cho cịn lại để làm chữ số hàng trăm, có cách chọn chữ số hàng trăm khác chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục Do từ chữ số cho, ta lập 5.4.3= 60 số gồm chữ số c) Số chẵn số có chữ số hàng đơn vị số chẵn.Trong chữ số cho có chữ số chẵn số số Do có cách chọn chữ số chẵn cho hàng đơn vị Có cách chọn chữ số hàng chục khác với chữ số hàng đơn vị Có cách chọn chữ số hàng trăm khác với chữ số hàng đơn vị hàng chục Vậy tập hợp số gồm chữ số cho có 2.4.3 = 24 số chẵn gồm chữ số khác d) Có cách chọn chữ số hàng đơn vị.Có cách chọn chữ số hàng chục khác với chữ số hàng đơn vị.Có cách chọn chữ số hàng trăm khác với chữ số hai hàng Có cách chọn chữ số hàng ngàn khác với chữ số chọn trước Cuối có cách chọn chữ số hàng chục ngàn khác với chữ số Vậy có 1.2.3.4.5 = 120 = 5! số gồm chữ số khác Một số chia hết cho chữ số hàng đơn vị chữ số chữ số Vậy chọn toán chữ số làm chữ số đứng hàng đơn vị mà Lí luận ta có 4! = 24 cách chọn chữ số khác cho vị trí lại Vậy tập hợp số gồm chữ số khác viết từ chữ số cho có 1.4! = 24 số chia hết cho Qui tắc cộng Nếu tượng chia làm k trường hợp (sao cho trường hợp khơng có cách chung): trường hợp xảy n1 cách khác nhau, trường hợp xảy n2 cách khác nhau, trường hợp thứ xảy n3 cách khác , trường hợp thứ k 10 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN lại xảy nk cách khác tượng nói xảy (n1+ n2 + n3 +… + nk) cách Ví dụ Có lớp sinh viên: ngân hàng có 20 sinh viên nam 30 sinh viên nữ, ngân hàng có 25 sinh viên nam 31 sinh viên nữ, ngân hàng có 19 sinh viên nam 35 sinh viên nữ Tổng số cách chọn sinh viên nữ lớp là: 30+31+35=96 III Hoán vị Người ta gọi hoán vị n phần tử không lặp lại số cách xếp n phần tử khác vào n vị trí cho Kí hiệu: Pn = n! Ví dụ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho người vào bàn dài có chỗ ngồi? BÀI GIẢI Có 3! = cách xếp chỗ ngồi Ví dụ Một hội nghị bàn trịn có phái đoàn nước: người Việt Nam, người Mỹ, người Nhật, người Singapore người Hongkong Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho người có quốc tịch ngồi cạnh BÀI GIẢI Có thể mời phái đồn nước ngồi vào chỗ trước xếp phái đồn cịn lại Do có 4! = 24 cách xếp phái đồn ngồi theo quốc gia mình, có: 3! = cách xếp cho người Việt Nam 5! = 120 cách xếp cho người Mỹ 2! = cách xếp cho người Nhật 3! = cách xếp cho người Singapore 4! = 24 cách xếp cho người Hongkong Vậy có tất là: 4!3!5!2!3!4! = 4976640 cách IV Chỉnh hợp Chỉnh hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu 11 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Ak n= BỘ MƠN TỐN n! (n − k)! Ví dụ Một lớp học có 50 người Chọn Ban Cán Sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó, ủy viên Hỏi có cách chọn? BÀI GIẢI Số cách chọn ban cán lớp số cách chọn có thứ tự người từ 50 người A503 = 50! = 117600 (50 − 3)! V Chỉnh hợp lặp Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử cho Trong đó, phần tử có mặt 1, 2, , k lần nhóm k k Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Bn = n Ví dụ Xếp ngẫu nhiên 10 người lên toa tàu cách tùy ý Hỏi có cách? BÀI GIẢI Xếp ngẫu nhiên 10 người lên toa tàu cách tùy ý ta chia thành 10 giai đoạn (mỗi giai đoạn xếp người) Mỗi giai đoạn 10 có cách Vậy tổng số cách B10 =8 VI Tổ hợp Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm khơng phân biệt thứ tự, gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử Ckn = 12 n! k!(n − k)! TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MÔN TOÁN 20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42 21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21 25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.11 2.01 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.8 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.6 120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38 ∞ 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.32 1.00 Tương tự phân phối chi-bình phương, với X ∼ F ( n, m ) , giá trị x cho P ( X ≥ x ) = α tính sẵn với số α , m, n cho trước Ví dụ: X ∼ F ( 5,10 ) , để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.05 , ta tra bảng (Trường hợp α = 0,05 ), hàng 10, cột nhận giá trị x 3.33 Để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.01 , tra bảng (Trường hợp α = 0,01 ), hàng 10, cột 5, ta giá trị x 5.64 171 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN DÙNG CÁC BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Các bảng phân phối xác suất quan trọng gồm phân phối Gauss, Chi-Bình phương, Student Fisher Các giá trị xác suất đặc biệt chúng tính sẵn liệt kê thành bảng sau BẢNG Phân phối Gauss N ( 0,1) Với X ∼ N ( 0,1) , ta có hai tốn xác suất quan trọng : − Tìm P ( a ≤ X ≤ b ) , với a, b ∈ − Tìm giá trị t α cho P ( −t α ≤ X ≤ t α ) = P X ≤ t α = γ , , a ≤ b cho trước, ( ) với γ cho trước I Tìm P ( a ≤ X ≤ b ) Do f (x) = − x2 / e hàm mật độ X nên từ tính chất tích 2π phân, ta có P ( a ≤ X ≤ b) = ∫ b a ∫ f (x)dx = b f (x)dx − ≡ Φ (b) − Φ (a), Φ(x) = ∫ x f (t)dt ≡ 2π ∫ x e− t / 2dt ∫ a f (x)dx gọi hàm Laplace Các giá trị hàm Laplace tính sẵn liệt kê thành bảng gọi bảng phân phối Gauss Ngồi ra, Φ(x) hàm lẻ: Φ (− x) = −Φ(x) , ∀x ∈ cần liệt kê giá trị Φ(x) với x > , nên người ta Bảng phân phối Gauss gồm 400 giá trị Φ(x) , với x thay đổi từ 0.00, 0.01, 0.02, , 3.99 bố trí sau 172 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM − Các hàng bảng, trừ hàng đầu, đánh số từ 0.0, 0.1, đến 3.9 − Các cột bảng, trừ cột đầu, đánh số từ 0.00, 0.01 tới 0.09 Khi đó, ứng với giá trị x khoảng từ 0.00 đến 3.99 với hai số lẻ thập phân dạng x = a.bc , giá trị Φ(x) nằm hàng đánh số a.b cột đánh số 0.0c Chẳng hạn, với x = 1.52 , Φ(x) ≡ Φ (1.52) nằm hàng 1.5, cột 0.02, nghĩa Φ(1.52) = 0.4357 1.4 1.5 1.6 Ngoài ra, Φ (+∞) ≡ ≤ x ≤ +∞ 0.01 0.4207 0.4345 0.4463 2π ∫ +∞ 0.02 0.4222 0.4357 0.4474 0.03 0.4236 0.4370 0.4484 e− t / 2dt = 0.5 nên Φ (x) = 0.5 , với Tóm lại, X ∼ N ( 0,1) P ( a ≤ X ≤ b ) = Φ (b) − Φ (a) , (1) với Φ(x) tính sau − Khi ≤ x ≤ 3.99 , giá trị Φ(x) tìm thấy bảng, − Khi ≤ x ≤ +∞ , Φ(x) = 0.5 , − Khi x < , ta dùng công thức Φ (− x) = −Φ(x) Chú ý: Công thức (1) cho trường hợp a = −∞ hay b = +∞ Chẳng hạn P ( −∞ < X ≤ b ) = Φ (b) − Φ (−∞) = Φ (b) + 0, , Φ (−∞) = −Φ (+∞) = −0, , 173 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM P ( a ≤ X < +∞ ) = Φ (+∞) − Φ (a) = 0, − Φ (a) Hơn nữa, tính chất tích phân, ta có P ( a ≤ X ≤ b) = P ( a < X ≤ b) = P ( a ≤ X < b) = P ( a < X < b) ( ) II Tìm t α cho P ( − t α ≤ X ≤ t α ) = P X ≤ t α = γ , với γ cho trước Xuất phát từ đẳng thức γ = P ( −t α ≤ X ≤ t α ) = 2Φ ( t α ) , ta Φ ( tα ) = γ Do đó, ứng với giá trị γ cho trước, tính Φ ( t α ) = γ tìm vị trí số hạng bảng Bấy giờ, t α tổng số hàng số cột Chẳng hạn, với γ = 0.95 , Φ ( t α ) = γ = 0.475 Tra bảng, ta thấy giá trị 0.475 nằm hàng 1.9, cột 0.06, điều có nghĩa Φ(1.96) = 0.475 Do t α = 1.96 0.05 0.06 0.07 1.8 0.4678 0.4686 0.4693 1.9 0.4744 0.4750 0.4756 2.0 0.4798 0.4803 0.4808 ( ) Chú ý: Ta cịn gặp tốn tìm t α cho P X > t α = α , với α cho trước Khi ( ) ( ) P X ≤ tα = − P X > tα = − α = γ 174 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM ta nhận trở lại tốn vừa khảo sát Thơng thường, γ α gọi độ tin cậy nguy sai lầm Hoặc dùng BẢNG CHO ĐƠN GIẢN BẢNG Phân phối Student St ( n ) Do phân phối Student thường dùng toán thống kê nên với Τ ∼ St ( n ) , người ta có nhu cầu ( ) ( ) − Tìm t α cho P Τ ≤ t α = γ , − Tìm t α cho P Τ > t α = α ( ) Để làm điều này, người ta tính sẵn P Τ > t α = α , Τ ∼ St ( n ) , với số giá trị (nguy sai lầm) α (độ tự do) n liệt kê bảng gọi bảng phân phối Student Cụ thể, hàng bảng, trừ hàng 1, đánh số theo độ tự n, cột bảng, trừ cột 1, đánh số theo (nguy sai lầm) α Khi đó, nội dung bảng ứng với hàng cột nhận giá trị t α cần tìm ( ) Ví dụ Với Τ ∼ St (10 ) , để tìm t α cho P X > t α = 0.05 , nội dung bảng ứng với hàng 10, cột 0.05 cho giá trị t α = 2.228 0.04 0.05 0.06 2.398 2.262 2.150 10 2.359 2.228 2.120 11 2.328 2.201 2.096 ( ) Trường hợp tìm t α cho P Τ ≤ t α = γ khảo sát giống trường hợp phân phối Gauss 175 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM ( ) ( ) P Τ > tα = − P Τ ≤ tα = − γ Chú ý Khi Τ ∼ St ( n ) , với n ≥ 30 , ta − Dùng bảng phân phối Student với độ tự n = ∞ (hàng cuối), hay − Xấp xỉ phân phối Student phân phối Gauss, nghĩa X ∼ N ( 0,1) BẢNG Phân phối Chi-Bình phương Tương tự phân phối Student, phân phối Chi-Bình phương dùng thống kê ta gặp hai toán sau cho P ( X < a ) = P ( X > b ) = Tìm a, b ∈ − α , với (nguy sai lầm) α cho trước (bài tốn ước lượng), Tìm C ∈ − cho P ( X > C ) = α (bài toán kiểm định) Do P ( X < a ) = − P ( X ≥ a ) = − P ( X > a ) nên để giải toán này, người ta tính sẵn số giá trị x cho P ( X ≥ x ) = α , X ∼ χ2 ( n ) , tương ứng với giá trị α n cho trước, liệt kê thành bảng Các hàng, trừ hàng 1, đánh số theo bậc tự n, cột, trừ cột 1, đánh số theo giá trị α 0.02 0.025 0.03 19.679 19.023 18.480 10 21.161 20.483 19.922 11 22.618 21.920 21.342 176 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Giá trị bảng tương ứng với hàng cột tìm giá trị x cần tìm Chẳng hạn, với X ∼ χ2 (10 ) , để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.025 , tra bảng ứng với hàng 10, cột 0.025, ta x = 20.483 BẢNG Phân phối Fisher F ( n, m ) Tương tự phân phối chi-bình phương, với X ∼ F ( n, m ) , giá trị x cho P ( X ≥ x ) = α tính sẵn với số α , m, n cho trước Cụ thể, người ta xét hai giá trị α 0.05 0.01, giá trị x liệt kê thành hai bảng : Bảng ứng với α = 0.05 bảng ứng với α = 0.01 Trong bảng, hàng liệt kê giá trị n Cột liệt kê giá trị m giá trị bảng giá trị x cần tìm tương ứng Chẳng hạn, X ∼ F ( 5,10 ) , để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.05 , ta tra bảng 1, hàng 10, cột nhận giá trị x 3.33 3.63 3.48 3.37 10 3.48 3.33 3.22 11 3.36 3.2 3.09 177 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.01 , tra bảng 2, hàng 10, cột 5, ta giá trị x 5.64 178 6.42 6.06 5.80 10 5.99 5.64 5.39 11 5.67 5.32 5.07 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH Trong phần này, ta khảo sát phép tính thống kê ba loại máy: FX 500A, FX 500MS, 570MS FX 500ES, 570ES I Các ký hiệu, ghi − Các phím bấm máy ký hiệu biểu tượng đóng khung, ví dụ : , , , , …, , , , , , , , , … − Các phím mũi tên : phím nút Replay , , , − Chuỗi ký hiệu biểu tượng “ → → ” nghĩa bấm phím , , , theo thứ tự từ trái sang phải → , , → → máy II Các bước tính tốn thống kê với loại máy FX–500A, FX–500MS, FX–570MS Để nhận kết tính tốn thống kê biến, ta thực bước sau Bước 1: Vào chế độ thống kê (SD) Bước 2: Xóa liệu thống kê cũ Bước 3: Nhập số liệu thống kê Bước 4: Khai thác kết từ số liệu thống kê vừa nhập Bước 5: Thoát khỏi chế độ thống kê Cụ thể, ta có Bước 1: Vào chế độ thống kê Máy FX–500A: → 179 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Máy FX–500MS: → Máy FX–570MS: → Bước 2: Xóa số liệu thống kê cũ Trong chế độ SD, ta thực sau: → Máy FX–500A: → → Máy FX–500MS FX–570MS: → → → → Bước 3: Nhập số liệu thống kê Số liệu khơng có tần số: Chẳng hạn để nhập dãy số liệu X X Máy FX–500A: → → → → → → → → → → Máy FX–500MS FX–570MS: → → → → → → → → → → Số liệu có tần số: Chẳng hạn để nhập dãy số liệu X X Tần số → Máy FX–500A: 180 → → → → → → → → → → → → → → → → → → BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM → Máy FX–500MS FX–570MS: → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → Bước 4: Khai thác kết Với X trung bình mẫu; σ phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh; n σ n −1 ∑x ∑x phương sai mẫu có hiệu chỉnh; i tổng số liệu mẫu; i tổng bình phương số liệu mẫu n cỡ mẫu Ta có Máy FX–500A: X: → σn : → σ n −1 : → ∑x : → i 181 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM ∑x : → n: → i Máy FX–500MS FX–570MS: X: → → → σn : → → → σ n −1 : → → → ∑x : ∑x : i → → → i → → → n: → → → Bước 5: Thoát khỏi chế độ thống kê Máy FX–500A: → Máy FX–500MS: → Máy FX–570MS: → III Các bước tính tốn thống kê với loại máy: FX–500ES, FX–570ES Để nhận kết tính tốn thống kê biến, ta thực bước sau: Bước 1: Vào chế độ thống kê (STAT) Bước 2: Vào chế độ chỉnh sửa liệu Bước 2.1: Xóa liệu thống kê cũ Bước 2.2: Nhập số liệu thống kê Bước 3: Khai thác kết từ số liệu thống kê vừa nhập 182 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Bước 4: Thoát khỏi chế độ thống kê Chú ý: Chỉ có khác biệt hai loại máy bước Tất bước lại Cụ thể, ta có: Bước 1: Vào chế độ thống kê Máy FX–500ES: → → → Máy FX–570ES: → → → Bước 2: Vào chế độ chỉnh sửa liệu Trong chế độ STAT, ta thực sau: → → Bước 2.1: Xóa số liệu thống kê cũ → → → Bước 2.2: Nhập số liệu thống kê Số liệu khơng có tần số: Chẳng hạn để nhập dãy số liệu X X → → → → → → → → → → Số liệu có tần số: Chẳng hạn để nhập dãy số liệu X X Tần số Nếu hình khơng có cột Freq (cột để nhập tần số) bấm → Nhập liệu: → → → → → → → → → 183 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM → Nhập tần số: → → → → → → → → → → → → → → → Bước 3: Khai thác kết Với X trung bình mẫu; σ n phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh; σ n −1 ∑x ∑x phương sai mẫu có hiệu chỉnh; i tổng số liệu mẫu; i tổng bình phương số liệu mẫu n cỡ mẫu Ta có X: → → → → σn : → → → → σ n −1 : → → → → n: → → → → ∑x : ∑x : i i → → → → → → → → Bước 4: Thoát khỏi chế độ thống kê 184 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN TÀI LIỆU THAM KHẢO Xác suất thống kê GS ĐẶNG HẤN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TPHCM, 1991 2.Bài tập xác suất thống kê toán Chủ biên TS NGUYỄN CAO VĂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN HÀ NỘI, NXB GIÁO DỤC HÀ NỘI, 2002 Lý thuyết xác suất thống kê tốn Thạc sĩ HỒNG NGỌC NHẬM – TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TPHCM, 2005 Bài tập xác suất thống kê toán Thạc sĩ LÊ KHÁNH LUẬN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TPHCM, 2005 Lý thuyết xác suất thống kê toán học LÊ TRUNG TƯƠNG – TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM 185